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Formulario Electrodinámica
Manel Bosch Aguilera
Radial:
I. RELATIVIDAT ESPECIAL
r
Transformación de Lorentz
x
µ0
=
µ0
Λν x ν
γ(v) = q
Transversal:
1
1−
v2
c2
v ct0 = γ ct − x
x 0 = γ ( x − vt)
c
v + v2
v12 = 1 v1 v2
1 + c2
~v ·~r
~v ·~r
0
~r = ~r + ~v
t = γ t− 2
(γ − 1) − γt
c
v2
~u · ~v
γu 0 = γu γv 1 − 2
c
Parametritzación Hiperbólica
γβ = sinh φ
x 0 = x cosh φ − ct sinh φ
Intérvalo
(∆s)2 = (∆x0 )2 − (∆~x )2 = (∆s0 )2
Cinemática relativista
L = γ −1 L 0
tan α = γ tan α0
0
u1 − v
1−
vu1
c2
k≡
u = u + kv
1
1− 2
n
<1
Aberración
sin α0 =
sin α
γ(1 + β cos α)
cos α + β
1 + β cos α
cos α0 =
III. DINÁMICA RELATIVISTA
ηµν = η µν = ηµ0 ν0 = diag(1, −1, −1, −1)
vµ = ηµν vν
qµ = η µν qν
ηµν uµ vν = uµ vµ = uµ vµ
T = γT0
q
L = L0 1 − β2 cos2 α
Cuadrivelocidat
dx µ
dx µ
=γ
= γ(c, ~u)
u µ u µ = c2
dτ
dt
p
~u
u4 = c2 + ~u2 ~β = 0
u
Cuadriaceleración
4
duµ
γ
γ4
~u ·~a, γ2~a + 2 (~a · ~u)~u
aµ =
=
dτ
c
c
uµ =
γ3
~u ·~a uµ aµ = 0
c2
u2 u̇2
a µ a µ = − γ6 2 + γ4 a2
c
γ̇ =
Transformación de velocidades:
u1 =
0
dt = γdτ
γ = cosh φ
ct0 = ct cosh φ − x sinh φ
λ R = γλ E
Fórmula de fresnel
tanh φ = β
c∓v
c±v
λR = λE
u⊥
0
u⊥ =
γ 1−
c2 − ~u2 = c2 γu−2
0
vu1
c2
0
SR comóbil: aµ = (0,~α), uµ = (c,~0)
(~u ×~a)2
µ
2
2
6
2
a aµ = −α
α =γ a −
c2
Cuadrimomento
Aceleración propia:
α = γu3
du
dt
E = mγc2
p µ p µ = m2 c2
II. ÓPTICA RELATIVISTA
λ = cT =
pµ = muµ
c
ν
Efecto Doppler
1 − ~n · ~β
λR = λE q
2
1 − vc2
T = E − mc2
pµ =
kµ =
E
, ~p
c
hν
(1, k̂)
c
~p = mγ~u
kµ k µ = 0
E2 = ~p2 c2 + m2 c4 ~v = c2
~p
E
Fuerza
~f = mγ~a + mγ̇~v
dpµ
f µ = maµ =
= γ cmγ̇, ~f = γ
dτ
~f · ~u
, ~f
c
!
IV. RADIACIÓN
III. ECS. ELECTRODINÁMICA CLÁSSICA
t0 = t −
Continuidad
∂ρ ~
+ ∇(ρ~u) = 0
∂t
R(t0 )
c
Potenciales de Liénard - Wiechert
~β
e
e
~ (~x, t) =
A
φ(~x, t) =
~
~
(1 − β · ~n) R τ =τ
(1 − β · ~n) R τ =τ
jµ = (cρ, ρ~u) = (cρ,~)
∂µ jµ = 0
Ecs. Maxwell
R
Potencia Radiada:
~ × ~E − 1 ∂t ~B = 0
∇
c
~ · ~B = 0
∇
~S = c (~E × ~B)
4π
~ × ~B = 4π~ + 1 ∂t ~E
∇
c
c
~ · ~E = 4πρ
∇
Fórmula de Larmor:
Potenciales:
P=
~ φ − 1 ∂t A
~
~E = −∇
c
~ ×A
~
~B = ∇
Fórmula de Larmor Relativista:
µ
2 q2
dp dpµ
P=−
3 m2 c3 dτ dτ
Transformaciones gauge y gauge de Lorentz:
1
φ0 = φ − ∂t Λ
c
1
~ ·A
~ =0
∂t φ + ∇
c
4π µ
j
c
Tensor de Faraday
~Λ
~0 = A
~ +∇
A
Distribución angular de potencia:
→
µ
∂µ A = 0
≡ ∂µ ∂µ =
Aµ =
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
F0i = − Ei = − F0i
∂2
∂t2
˙
dP
e2 |n̂ × [(n̂ − ~β) × ~β]|2
=
dΩ
4πc
(1 − n̂ · ~β)5
− ∇2
inv. gauge
Fij = −eijk Bk = Fij
Tensor dual:
1 µνρσ
e
Fρσ
2
Ecs. Maxwell covariantes:
∗ µν
F
∂µ F µν =
=
4π µ
j
c
∂µ ∗ F µν = 0
Transformaciones ~E, ~B
~E0 = ~Ek
k
0
~E⊥
= γ(~E⊥ + ~β × ~B)
~B0 = ~Bk
k
0
~B⊥
= γ( B⊥ − ~β × ~E)
Configuración estándard:
Bx0 = Bx
Ex0 = Ex
Ey0 = γ( Ey − βBz )
B0 y = γ( By + βEz )
Ez0 = γ( Ez + βBy )
B0 y = γ( Bz − βEy )
Fuerza de Lorentz
dpµ
q
= f µ = F µν uµ = qγ
dτ
c
~E · ~u
~v
, ~E + × ~B
c
c
Invariantes
~B2 − ~E2
2 e2 ˙ 2
|~v|
3 c3
~E · ~B
!
R