CAPÍTULO 1: La Teoría de la Relalvidad

CAPÍTULO1:
LaTeoríadelaRela4vidad
Bibliogra:a
Textosderepaso
1)  Capítulo39de“FísicaVol.2C”(6ªedición)deTipleryMosca,EditorialReverté.
2)  Capítulos1y2de“ModernPhysics”(5thediGon)deTipleryLlewellyn,W.H.Freeman.
3)  Capítulo1y2de“ModernPhysics”(3rdediGon)deR.A.Serway,C.J.MosesandC.A.
Moyer,Thomson/BrookCole(2005).
Textosconelniveldeestecurso
1)  “Rela%vidadEspecial”,A.P.French,EditorialReverté.
2)  Capítulo15de“MecánicaClásica”,JohnR.Taylor,editorialReverté.
3)  Capítulo7de“ClassicalMechanics”(3rdediGon),HerbertGoldstein,CharlesPooley
JohnSaYo,editorialAddisonWesley.
4)  Capítulo14de“ClassicalDynamicsofPar9clesandSystems"(5thediGon),StephenT.
ThorntonandJerryB.Marion,editorialThomsonBrooks/Cole.
Índice del capítulo 1
1.1 Relatividad newtoniana.
1.2 Los postulados de la relatividad especial.
1.3 Las transformaciones de Lorentz.
1.4 Dilatación del tiempo y contracción de la longitud.
1.5 El efecto Doppler relativista.
1.6 Transformación de las velocidades y aceleraciones.
1.7 Paradojas relativistas.
1.8 Cuadrivectores y espacio-tiempo.
1.9 Diagramas de Minkowski y causalidad.
Índice del capítulo 1
1.10 Tiempo propio y velocidad propia.
1.11 Momento lineal relativista.
1.12 Energía relativista.
1.13 Cuadrivector energía-momento.
1.14 Algunas consecuencias de los principios de conservación.
1.15 Colisiones relativistas.
1.16 El concepto de fuerza en mecánica relativista.
1.17 Formulación lagrangiana de la relatividad especial.
1.18 Introducción a la relatividad general.
1.1 Relatividad newtoniana
 LamecánicaclásicaseresumeenlasleyesdeNewton.Lasegundadeellasnosdice:
!
!
!
dv
F = m = ma
dt
[2ª ley de Newton]
dondeaeslaaceleracióndelamasamcuandosobreellaseejerceunafuerzaF.Esta
ecuaciónconGeneasuvezalaprimeraley,oleydeinercia.SiF=0,entonesv=cte.
LasleyesdeNewtontansólosonválidasenlossistemasdereferenciainerciales,es
decir,enaquellosenlosquesecumplelaleydeinercia.EstasleyesGenenlamisma
formaencualquiersistemadereferenciaquesemuevaconvelocidadconstantecon
respectoaunsistemainercial.
Figura 1.1: Las leyes de Newton son iguales para todos los observadores inerciales. En este ejemplo, las
leyes serán las mismas para un observador en el interior de un vagón (S’) que se mueve con velocidad
constante arbitraria como para un observado parado con respecto a las vías (S).
1.1 Relatividad newtoniana
  MatemáGcamente,elhechodelasleyesdeNewtontenganlamismaformaen
todoslossistemasdereferenciaseexpresamediantelainvarianciadedichasleyes
bajolastransformacionesdeGalileo:
xʹ = x − vt ; yʹ = y; z ʹ = z
Lasvelocidadessetransforman:
uʹx = u x − v, uʹy = u y , uʹz = u z
Estoimplicalainvarianciadela
segundaleydeNewton:
aʹx = a x ⇒ Fxʹ = Fx
Figura 1.2: Un sistema inercial S está ligado a la
tierra (o palmera) y otro sistema S’ está ligado al
ciclista que se mueve con una velocidad constate v
con respecto a S.
Cualquiersistemadereferenciaquesemuevaconvelocidadconstanteconrespectoa
unsistemadereferenciainercialtambiénesunsistemadereferenciainercial.Dicho
deotromodo,lasleyesdeNewtonsoninvariantesbajolastransformacionesde
Galileo.
1.1 Relatividad newtoniana
  Eléterylavelocidaddelaluz:lavelocidaddeunaondadependedelas
propiedadesdelmedioenelquesepropagaynodelavelocidaddelfocoemisorde
onda.Porejemplo,lavelocidaddelsonidorespectoalaireenreposodependedela
temperaturadelaire.LaluzyotrasondaselectromagnéGcas(radio,rayosX,etc.)se
propaganatravésdelvacíoconunavelocidadc=3x108m/s,predichaporlas
ecuacionesdeMaxwell.Pero,¿respectoaquéserefiereestavelocidad?Elmedioque
sepropusoparalapropagacióndelaluzsellamóéterysesupusoqueeléterestaba
extendidoportodoelespacio.SesupusoquelavelocidaddelaluzrelaGvaaléterera
lavelocidadpredicha(c)porlasecuacionesdeMaxwellylavelocidaddecualquier
objetorelaGvaaléterseconsiderócomosuvelocidadabsoluta.
AlbertMichelsonyEdwardMorley(1887)decidieronmedirlavelocidaddelaGerra
conrespectoalétermedianteuningeniosoexperimentoenlacuallavelocidaddela
luzconrespectoalaGerrasecomparabaendoshacesluminosos,unoenladirección
delmovimientodelaGerrarelaGvoalsolyotroperpendicularaladireccióndel
movimientoterrestre.Losexperimentosnomostraronningunadiferencia,poniendo
demanifiestoqueelmovimientodelaGerraconrespectoaléternopuedeser
detectado.Losdetallesdeesteexperimentopuedenencontrarse,porejemplo,enel
capítulo1dellibro“ModernPhysics”deTipleryLlewellyn.
1.1 Relatividad newtoniana
 ElexperimentodeMichelsonandMorley(1887):
(a)
(b)
Figura 1.3: (a) Esquema de la disposición del interferómetro de Michelson. (b) Fundamento del experimento
de Michelson-Morley en función del “viento de éter”.
Conclusióndelexperimento:ElmovimientodelaGerraconrespectoaléternopuedeser
detectado.
1.2 Los postulados de la relatividad especial
En1905AlbertEinsteinpublicóunarlculosobrelaelectrodinámicadeloscuerposen
movimiento.Enestearlculopostulabaqueelmovimientoabsolutonopodríamedirse
medianteningúnexperimento.Esdecir,eléternoexisla.SuteoríadelarelaGvidad
puedededucirsededospostulados:
Postulado1.Lasleyesdelansicasonlasmismasentodoslossistemasdereferencia
inerciales.
Postulado2.Lavelocidaddelaluzesindependientedelmovimientodelafuente.Es
decir,todoobservadormideelmismovalorcparalavelocidaddelaluz.
(a)
(b)
Figura 1.4: (a) Foco luminoso en reposo S y observador en reposo R1, con un segundo observador R2
moviéndose hacia el foco con velocidad v. (b) En el sistema de referencia en el que está en reposo el
observador R2, el foco luminoso S y el observador R1 se mueven hacia la derecha con velocidad v. Si no
puede detectarse el movimiento absoluto, los dos puntos de vista son equivalentes. Como la velocidad de
la luz no depende del movimiento de la fuente, el observador R2 mide el mismo valor para dicha
velocidad que el observador R1.
1.2 Los postulados de la relatividad especial
 Rela4vidaddelasimultaneidad:
“Dossucesos(oeventos)separadosespacialmentequeaparecencomo
simultáneosenunsistemadereferencianoson,engeneral,simultáneosen
otrosistemadereferenciainercialquesemueveconrespectoalprimero”.
Corolario:“relojessincronizadosenunsistemadereferencia,noloestán,en
general,enotrosistemainercialquesemueveconrespectoalprimero”.
Figura 1.5: Dos rayos golpean la parte delantera y
trasera del tren (S’) cuando este se mueve con
respecto al andén (S) con una velocidad v. (a) Los
golpes son simultáneos en S, alcanzando al
observador en C, situado a medio camino entre los
eventos, al mismo tiempo de acuerdo con su reloj,
como se muestra en (c). En S’ el flash de la parte
delantera es medido por el reloj en C’, situado en el
medio del tren, antes que el de la parte delantera
del tren (b y c). De este modo, el observador en C’
concluye que los golpes no fueron simultáneos.
(a)
(b)
(c)
(d)
1.3 Las transformaciones de Lorentz
Figura 1.6: Sistemas de referencia S
y S’ moviéndose con velocidad
relativa v. En ambos sistemas
existen observadores con reglas y
relojes que son idénticos cuando se
comparan en reposo.
LastransformacionesdecoordenadascompaGblesconlospostuladosdelarelaGvidad
especialsonlastransformacionesdeLorentzqueadoptanlasiguienteforma:
xʹ = γ ( x − vt ), yʹ = y, z ʹ = z
x = γ ( xʹ + vt ʹ), y = yʹ, z = z ʹ
⎛ vx ⎞
1
ʹ
t = γ ⎜ t − 2 ⎟ donde γ =
⎝ c ⎠
1− v2 / c2
vxʹ ⎞
⎛
ʹ
t = γ ⎜t + 2 ⎟
c ⎠
⎝
Ejemplo1.1:Lallegadadedosmuonesprocedentesderayoscósmicossedetectaen
ellaboratorio,unoenelinstantetayposiciónxayelotroen(tb,xb).¿Cuálesel
intervalodeGempoentreesosdossucesosenunsistemaS´quesemuevecon
velocidadvalolargodelejexconrespectoalsistemadellaboratorio?
1.3 Las transformaciones de Lorentz
LastransformacionesdeLorentzsepuedenexpresardeformamatricial:
⎛
⎜
x ′ = Λ̂x ⇒ ⎜
⎜
⎜⎝
ct ′
x′
y′
z′
⎞ ⎛ γ
⎟ ⎜
⎟ = ⎜ −γβ
⎟ ⎜ 0
⎟⎠ ⎜ 0
⎝
0 0 ⎞⎛
⎟⎜
0 0 ⎟⎜
1 0 ⎟⎜
⎟
0 1 ⎠ ⎜⎝
−γβ
γ
0
0
PropiedadesdelamatrizdeLorentz: Λ̂ T (v) = Λ̂(v);
AlternaGvamente:
⎛ cosh φ
⎜
−senhφ
Λ̂ = ⎜
⎜
0
⎜
0
⎝
−senhφ
cosh φ
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
z ⎟⎠
ct
x
y
donde β = v / c
γ =
det Λ̂(v) = 1;
0 0 ⎞
⎟
0 0 ⎟
1 0 ⎟
⎟
0 1 ⎠
1
1− β2
Λ̂ −1 (v) = Λ̂(−v)
donde γ ≡ coshφ
Ejemplo1.2:DemostrarquelacanGdadesuninvarianteLorentz,
(ct)2 − x 2 − y 2 − z 2
esdecir,queadoptaelmismovalorentodoslossistemasdereferencia.
1.4 Dilatación del tiempo
  Dilatacióndel4empo:ElGempotranscurridoentredossucesosqueocurrenenel
mismolugarenunsistemadereferenciasedenominaGempopropioτ.Elintervalode
GempoΔtmedidoencualquierotrosistemadereferenciaessiempremayorqueelGempo
propio.EstecrecimientosedenominadilatacióndelGempo.Conayudadelejemplodela
figura1.7ylospostuladosdelarelaGvidadespecialsedemuestrafácilmenteque:
Δt =
(a)
Δt ′
1 − v /c
Espejo
(b)
2
2
= γΔt′
(Δt′ = τ = tiempo propio)
Espejo
(c)
Figura 1.7: (a) El observador A´ y el espejo están dentro de una nave espacial en el sistema S´. El tiempo
que tarda el destello luminoso en llegar al espejo y regresar, según la medida realizada por A´, resulta ser
2D/c. (b) En el sistema S, la nave se está moviendo hacia la derecha con velocidad v. Si la velocidad de la
luz es la misma en ambos sistemas, el tiempo que tarda la luz en llegar al espejo y regresar es más largo que
2D/c en S porque la distancia recorrida es mayor que 2D. (c) Triángulo rectángulo que sirve para calcular el
tiempo Δt en el sistema S.
1.4 Contracción de la longitud
Ejemplo1.3:LosastronautasdeunanaveespacialquesealejadelaGerraav=0.6c
interrumpensuconexiónconelcontrolespacial,diciendoquevanadormirunasiesta
de1horayqueluegovolveránallamar.¿Cuálesladuracióndesusiestasegúnse
mideenlaGerra?Solución:1.25h.
  Contraccióndelalongitud:Lalongituddeunobjetomedidaenelsistemade
referenciaenquedichoobjetoseencuentraenrepososedenominasulongitudpropia
Lp.Enunsistemadereferenciaenelqueelobjetoseestámoviendo,lalongitudmedidaL
esmáspequeñaquesulongitudpropia.Estefenómenoseconocecomocontracciónde
Lorentz.ConayudadelastransformacionesdeLorentzsedemuestrafácilmenteque:
L = L p 1 − v 2 /c 2 = L p /γ < L p
Ejemplo1.4:UnareglaGeneunalongitudpropiade1mysemueveenunadimensión
alolargodesulongitudconvelocidadrelaGvavrespectoaunobservador.Éstemide
lalongituddelareglaysuresultadoes0.914m.¿Cuáleslavelocidadv?
Solución:0.406c.
1.4 Dilatación del tiempo y contracción de
la longitud
UnejemplointeresantededilatacióndelGempoodecontraccióndelalongitudlo
proporcionalaaparicióndelosmuonescomoradiaciónsecundariaderayoscósmicos.
LosmuonessedesintegrandeacuerdoconlaleyestadísGcadelaradioacGvidad:
− t /τ
N
(
t
)
=
N
e
0
endondeN0eselnúmeroinicialdemuonesent=0,N(t)eselnúmeroquequedaenel
instantetyτeslavidamediadelosmuones(τ=2µs).Puestoquelosmuonessecrean
agranalturaenlaatmósfera,pocosdeestosmuonesdeberíanalcanzarelniveldelmar.
Sinembargo,estoesposiblegraciasaladilatacióndelGempo.
(a)
(b)
Figura 1.8: Aunque los muones se crean a una gran altura de la atmósfera y la vida media es sólo de unos 2
µs cuando están en reposo, muchos aparecen en la superficie de la tierra. (a) En el sistema de referencia
terrestre un muón típico que se mueve a 0.9978c tiene una vida media de 30 µs y recorre 9000 m en este
tiempo. (b) En el sistema de referencia del muón, la distancia recorrida por la tierra es de sólo 600 m
durante los 2 µs de vida media del muón.
1.5 El efecto Doppler relativista
ParalaluzuotrasondaselectromagnéGcasenelvacíonopodemosdisGnguirentrelos
movimientosdelafuenteyelreceptor.Porlotanto,lasexpresionesclásicasnopueden
aplicarsealaluz.Larazónesqueensudeducciónunosuponequelosintervalosde
Gempomedidosenlossistemasdereferenciadelafuenteyelreceptorsonlosmismos.
Figura 1.9: Una fuente luminosa
se acerca a un observador A y se
aleja de un observador B con una
velocidad v.
  Larelaciónentrelafrecuenciadelafuentef0(llamadafrecuenciapropia)yla
frecuenciafmediaporunobservadorqueseacercaalafuenteconunvelocidadves:
f=
Paravelocidadespequeñas:
1+ β
f0
1− β
f
≈ 1+ β
f0
donde β = v / c
(v << c)
“corrimientoalazul”
1.5 El efecto Doppler relativista
  Larelaciónentrelafrecuenciadelafuentef0(llamadafrecuenciapropia)yla
frecuenciafmediaporunobservadorquesealejadelafuenteconunvelocidadves:
f =
Paravelocidadespequeñas:
1− β
f0
1+ β
f
≈ 1− β
f0
donde β = v / c
“corrimientoalrojo”
(v << c)
Ejemplo1.6:LalongituddeondamáslargaemiGdaporelhidrógenoenlaseriede
BalmerGeneunvalordeλ0=656nm.Enlaluzprocedentedeunagalaxialejana,el
valormedidoesλ=1458nm.Hallarlavelocidaddealejamientodedichagalaxiacon
respectoalaGerra.Solución:0.664c.
Ejemplo1.7:Elsolrotaalrededordesuejeunavezcada254días.ElsolGeneunradio
de7x108m.CalcularelefectoDoppler(corrimientodelafrecuencia)queseobserva
entrelosbordesizquierdoyderechodelsolcercadelecuadorparalaluzdelongitud
deondaλ0=550nm(luzamarilla).¿Laluzsecorrealrojooalazul?
Solución:(f-f0)/f0=10-5.
1.5 El efecto Doppler relativista
  LaleydeHubble:En1929E.P.Hubbleestableciómediantemedidasdel
corrimientoalrojoquetodaslasgalaxiassealejandenosotrosconunavelocidadv
queesproporcionalaladistanciaralaqueseencuentran:
v = H 0r
ConstantedeHubble:
H 0 = 67.80 ± 0.77 km/(s ⋅ Mpc)
= 20.80 ± 0.24 km/(s ⋅ años-luz)
Figura 1.10: La ley de Hubble nos dice que la velocidad de
recesión de las galaxias es proporcional a la distancia a la que
se encuentran.
Figura 1.11: El corrimiento al rojo de las líneas de absorción
para el Ca, H y K para cinco galaxias situadas a diferentes
distancias de nosotros.
1.6 Transformación de las velocidades
Sepuedehallarlaformaenlaquesetransformanlasvelocidadesdeunsistemade
referenciainercialaotroderivandolasecuacionesdetransformacióndeLorentz.
uy
uz
ux − v
u′x =
, u′y =
, u′z =
⎛ vux ⎞
⎛ vux ⎞
vu
1 − 2x
γ ⎜1 − 2 ⎟
γ ⎜1 − 2 ⎟
c
⎝
⎝
c ⎠
c ⎠
u′y
u′z
u′x + v
ux =
, uy =
, uz =
⎛ vu′x ⎞
⎛ vu′x ⎞
vu′
1+ 2x
γ ⎜1+ 2 ⎟
γ ⎜1+ 2 ⎟
c
⎝
⎝
c ⎠
c ⎠
Enellímitedevelocidadespequeñas,estastransformacionessereducenalaadición
develocidadesclásica:
u ʹ = u − v, u ʹ = u , u ʹ = u
x
x
y
y
z
z
Ejemplo1.8:SupongamosquedosrayoscósmicosseaproximanalaGerradesde
ladosopuestos.LasvelocidadesrelaGvasalaGerrasonv1=0.6cyv2=-0.8c.¿Cuálesla
velocidaddelaGerrarelaGvaacadaprotón?¿Cuáleslavelocidaddecadaprotón
relaGvaalotro?
Ejemplo1.9:UnfotónsemuevealolargodelejexenelsistemaS´convelocidadu´x=
c.¿CuáleslavelocidadenelsistemaS?Solución:c.
1.6 Transformación de las aceleraciones
Sepuedenhallarlascorrespondientestransformacionesdelasaceleracionesusandola
leydeadicióndevelocidadesylastransformacionesdeLorentz:
ay′
(vuy′ / c 2 )ax′
ax′
ax =
3 ; ay =
2 −
3,
vu′ ⎞
vu′ ⎞
vu′ ⎞
⎛
⎛
⎛
γ 3 ⎜ 1 + 2x ⎟
γ 2 ⎜ 1 + 2x ⎟
γ 2 ⎜ 1 + 2x ⎟
⎝
⎝
⎝
c ⎠
c ⎠
c ⎠
az =
az′
vu′ ⎞
⎛
γ 2 ⎜ 1 + 2x ⎟
⎝
c ⎠
2
−
(vuz′ / c 2 )ax′
vu′ ⎞
⎛
γ 2 ⎜ 1 + 2x ⎟
⎝
c ⎠
3
Contrariamentealoqueocurreenlamecánicanewtoniana,enrelaGvidadespeciallas
aceleracionescambiandeunsistemadereferenciainercialaotro,esdecir,noson
invariantes.
Ejemplo1.10:UnastronautaexperimentaunaaceleraciónconGnuagensusistema
enreposoinstantáneo.SipartedelreposodesdelaTierra,¿quédistanciaharecorrido
alcabodeunGempoterrestret?¿Cuántotardaenalcanzarunavelocidadc/2?¿Es
posiblequesuperelavelocidaddelaluzalcabodeunciertoGempo?
1.7 Paradojas relativistas
  Laparadojadelosgemelos:HomeroyUlisessongemelosidénGcos.Ulises
realizaunviajeaunavelocidadmuyelevadahaciaunplanetamásalládelsistema
solaryvuelvealaGerramientrasqueHomeropermaneceenella.Cuandosereunen
denuevo,¿cuáldelosdosgemelosesmásviejo,osonambosdelamismaedad?La
respuestacorrectaesqueHomero,elgemeloquepermanecióensucasa,esmás
viejo.¿Sabríasexplicarporqué?
Figura 1.12: Paradoja de los gemelos. La tierra y un planeta lejano están fijos en el sistema S. Ulises vuela
en el sistema S´ hacia el planeta y luego regresa a la tierra en S´´. Su gemelo Homero permanece en la tierra.
Cuando Ulises regresa es más joven que su gemelo. Los papeles que desempeñan los gemelos no son
simétricos. Homero permanece en un sistema de referencia inercial, pero Ulises ha de acelerar si quiere volver
a casa.
1.7 Paradojas relativistas
  Laparadojadelapér4gayelpajar:UncorredorllevaconsigounapérGgade10
mdelargoysedirigehacialapuertaabiertadeunpajarde5mdelargo.Ungranjero
estádepiecercadelpajardemaneraquepuedevertantolapuertadelpajarcomola
partetraseradelmismo.ElcorredorentraenelpajarllevandolapérGgaconuna
velocidadv,yenelinstanteenelqueelgranjerovequelapérGgaestá
completamentedentrodelpajarcierraestapuertaydeestemodo,haconseguido
introducirunapérGgade10menunpajarde5m.(Lavelocidadmínimapararealizar
estaoperaciónesv=0.866c.)
Laparadojasurgecuandolasituaciónes
vistadesdeelpuntodevistadelcorredor.
ParaéllapérGgaGenesulongitudpropiade
10myelpajarGeneunalongitud
(contraída)de2.5m.¿Cómoesposible
introducirunapérGgade10menunpajar
2.5m?¿Sabríasresolverestaparadoja?
Figura 1.13: Paradoja de la pértiga y el pajar.
1.8 Cuadrivectores y espacio-tiempo
 Rotacionesentresdimensiones:
⎛ R11
⎛ x ⎞
⎛ x′ ⎞
⎜
!
!
!
!
x = ⎜ y ⎟ ; x ′ = ⎜ y′ ⎟ ⇒ x ′ = R̂x donde R̂ = ⎜ R21
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝ z ⎟⎠
⎜⎝ z ′ ⎟⎠
⎜ R
⎝ 31
R12
R22
R32
R13 ⎞
⎟
R23 ⎟
R33 ⎟⎠
Lasrotacionesdejaninvarianteslaslongitudes:
! !
! !
x ⋅ x = x 2 + y 2 + z 2 = ( x ′ )2 + ( y ′ )2 + ( z ′ )2 = x ′ ⋅ x ′
ParaellolasmatricesderotaciónGenenqueserortogonales: R̂ −1 = R̂T
!
Unvectortridimensionalsedefinecomounconjuntodetresnúmeros a = (a1, a2 , a3 )T
quesetransformanbajorotacionescomolascoordenadas:
3
!
!
a ′ = R̂a ⇒ ai′ = Rij a j
j=1
Lasrotacionesconversanelproductoescalardedosvectores:
! !
! ! ! !
a ⋅ b = a1b1 + a2 b2 + a3b3 ⇒ a ⋅ b = a ′ ⋅ b′
Cualquierleynsicaqueestéexpresadacomounaigualentrevectorestridimensionaleses
demaneraautomáGcaunaleyinvariantebajorotaciones.
∑
1.8 Cuadrivectores y espacio-tiempo
 Cuadrivectoresenelespacio-4empo:
⎛
⎜
x=⎜
⎜
⎜⎝
⎞
⎛
⎟
⎜
⎟ ; x′ = ⎜
⎟
⎜
⎜⎝
z ⎟⎠
ct
x
y
ct ′
x′
y′
z′
⎛ γ
⎞
⎜
⎟
⎟ ⇒ x ′ = Λ̂x donde Λ̂ = ⎜ −γβ
⎜ 0
⎟
⎜
⎟⎠
⎝ 0
−γβ
γ
0
0
0 0 ⎞
⎟
0 0 ⎟
1 0 ⎟
⎟
0 1 ⎠
LastransformacionesdeLorentzdejaninvarianteslacanGdad(móduloalcuadradodel
vectordeposicióncuadridimensional):
x ⋅ x = (ct)2 − x 2 − y 2 − z 2 = (ct ′ )2 − ( x ′ )2 − ( y′ )2 − ( z ′ )2 = x ′ ⋅ x ′
Paraescribirelmódulodelvectordeposicióncuadridimensionalennotaciónmatricial
introducirlamétrica:
⎛ 1 0 0 0 ⎞
⎜ 0 −1 0 0 ⎟
Ĝ = ⎜
⎟
0
0
−1
0
⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 0 −1 ⎟⎠
Conestamatriztenemosque:
x ⋅ x = x T Ĝx
1.8 Cuadrivectores y espacio-tiempo
Paradejarinvarianteelmódulodelvectordeposición,lamatrizdeLorentzdebe
saGsfacer:
Λ̂ T Ĝ Λ̂ = Ĝ
Uncuadrivector(ovectorenelespacio-Gempocuadridimensional)sedefinecomoun
conjuntodecuatronúmerosquesetransformanbajouncambiode
a = (a0 , a1, a2 , a3 )T
sistemadereferenciacomolascomponentesdelvectordeposicióncuadridimensional:
3
a ′ = Λ̂a ⇒ ai′ = Λ ij a j
j=0
LastransformacionesdeLorentzdejaninvarianteelproductoescalardecuadrivectores:
a ⋅ b = a T Ĝb = a0 b0 − a1b1 − a2 b2 − a3b3 ⇒ a ⋅ b = a ′ ⋅ b ′
Cualquierleynsicaqueestéexpresadacomounaigualentrecuadrivectoresesdemanera
automáGcaesunaleyinvariantebajotransformacionesdeLorentz:.
∑
p = q ⇒ p′ = q′
1.9 Diagramas de Minkowski y causalidad
Lastrayectoriasdeunaparlculasepuedenrepresentarendiagramasespacio-Gempoo
diagramasdeMinkowskicomoeldelafigura1.14.
Figura 1.14: Diagrama espacio-temporal o diagrama de Minkowski que muestra la posición de una
partícula en una dimensión en diversos instantes. La trayectoria que muestra la historia completa
de la partícula se llama ínea de mundo de la partícula. Un evento E tiene coordenadas (x,t) en el
sistema S y coordenadas (x’,t’) en S’.
1.9 Diagramas de Minkowski y causalidad
Sedefineelintervaloespacio-temporalcomolacanGdaddadapor
(Δs)2 = (cΔt)2 − (Δx)2 − (Δy)2 − (Δz)2
EstacanGdadeselanólogodeladistanciaenlamecánicaclásicayesfácildemostrarque
esuninvarianteLorentz,esdecir,Geneelmismovalorentodoslossistemasdereferencia
inerciales.
2
2
(Δs) = (Δs′ )
Figura 1.15: Dos eventos E1 y E2 con coordenadas (x1,t1) y (x2,t2) en el sistema S.
1.9 Diagramas de Minkowski y causalidad
LosdiagramasdeMinkowskisirvenparaclasificarlosintervalosespacio-temporales.
Ø IntervalosGpoGempo:
(Δs)2 > 0
LoseventosdeesteGpodeintervalos
puedeestarcausalmenteligados.
Ø IntervalosGpoluz:
(Δs)2 = 0
Ø IntervalosGpoespacio:
(Δs)2 < 0
LoseventosdeesteGpodeintervalos
nopuedentenerrelacióncausal.
Figura 1.16: Clasificación del espacio-tiempo unidimensional en
regiones de pasado, futuro y en otras partes. Una partícula con
una línea de mundo que pase por O no puede alcanzar regiones
marcadas como “en otras partes".
1.10 Tiempo propio y velocidad propia
  Tiempopropio:elGempomedidoporunrelojenreposomomentáneoconun
parlcula,conocidocomoGempopropio,esunainvarianteLorentz.DichoGempo
vienedadoporlafórmuladeladilatacióndeGempo:
c 2 dτ 2 = cdt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 ⇒ dτ = dt 1 − u 2 / c 2 =
dt
γ (u)
 Velocidadpropia:
! T
! T
dx ⎛ dt dx ⎞
d
x
!T
⎛
⎞
η≡
= ⎜ c , ⎟ = ⎜ cγ , γ
⎟⎠ = γ ( c, u )
⎝
⎠
⎝
dτ
dτ dτ
dt
LavelocidadpropiaesuncuadrivectorysumóduloesuninvarianteLorentz: η ⋅ η
Lavelocidadpropiasetransformacomocualquiercuadrivectorenuncambiode
sistemadereferencia:
vη1 ⎞
⎛
η0′ = γ ⎜ η0 −
⎟⎠ ; η1′ = γ
⎝
c
vη0 ⎞
⎛
⎜⎝ η1 −
⎟⎠ ; η2′ = η2 ; η3′ = η3
c
donde η = (η0 ,η1 ,η2 ,η3 )T = γ (c,u x ,u y ,uz )T y γ = 1 / 1− v 2 / c 2
= c2
1.11 Momento lineal relativista
  Conservaciónno-rela4vistadelmomentolineal:esinstrucGvorevisaralgunasdelas
ideasacercadelaconservaciónno-relaGvistadelmomentolineal.Consideremoslacolisión
delafigura1.17desdeelpuntodevistadedossistemasdereferenciaquesemuevenuno
conrespectoalotroconvelocidadv.
md
!
m
!
!
a
vaʹ
ma
md
!
vd
va
ʹ
(antes)
me
(después)
vd
(después)
!
ve
!
vb
(a) S
mb
(antes)
me
!
vbʹ
!
veʹ
Figura 1.17
(b) S ʹ
mb
SupongamosqueseconservaelmomentoenS´:
ʹ + mb vbx
ʹ = md vdx
ʹ + me vex
ʹ
ma vax
ʹ + mb vby
ʹ = md vdy
ʹ + me vey
ʹ
ma vay
LaconservacióndelacomponenteydelmomentoenS´,juntoconlatransformación
norelaGvistanosllevaalaconservacióndedichacanGdadensistemaS:
ʹ = vay , vby
ʹ = vby , etc.
vay
ma vay + mb vby = md vdy + me vey
1.11 Momento lineal relativista
Ahoraexploramoslaconservacióndelmomentoenladirecciónx.UGlizandola
transformacióndelavelocidadenladirecciónx:v´ax=vax–v,etc.,esfácildemostrarque
paraquesaGsfagalaconservacióndelmomentolinealenladirecciónxsedebecumplir:
ma vax + mb vbx = md vdx + me vex
ma + mb = md + me
(conservacióndelmomento)
(conservacióndelamasa)
EstoquieredecirquesilaconservacióndelmomentolinealdebeserunaleynorelaGvista
válida,esdecir,unaleyválidaentodoslossistemasdereferenciainerciales,nosóloel
momentodebeconservarseenunacolisión,sinoquetambiénlasumadelasmasasantes
ydespuésdelchoquedebeserlamisma(conservacióndelamasa).Esterazonamiento
nosmuestraquelaleydeconservacióndelamasasepuedededuciraparGrdela
conservacióndelmomentoydelprincipioderelaGvidad.
  ¿Cómoescogemosunaexpresiónparaelmomentorela4vista?:Lasfórmulasdeadición
delasvelocidadesqueresultanadecuadascuandoéstassongrandes,sededucendelas
transformacionesdeLorentzynodelastransformacionesdeGalileoquehemosuGlizado
antes.EnestesenGdo,seríasorprendentequelaexpresiónclásicadelmomentolineal,
masaporvelocidad,pasarasinningunamodificaciónalamecánicarelaGvista.
1.11 Momento lineal relativista
Para“adivinar”lanuevaexpresióndelmomentovamosaanalizarunacolisiónrasante
entreunobjetoquesemueverápidamenteyotrodeigualmasaquesemuevecon
pequeñavelocidad(verfigura1.18).
Figura 1.18: (a) En esta colisión, un objeto se acerca
por la parte de arriba con una gran velocidad u y se
hace rebotar simétricamente con otro objeto de igual
masa que se acerca desde abajo verticalmente con
velocidad v. Dado que el choque es simétrico, el
segundo objeto rebota hacia abajo con velocidad –v.
(b) El mismo choque visto en S´, que se mueve con
velocidad ucosθ hacia la derecha con respecto a S.
ElanálisisdeestacolisiónsugierequeelmomentolinealrelaGvistadeunaparlculade
masamquesemueveconunavelocidaduvienedadopor
!
p=
!
mu
1− u 2 / c2
[Momento lineal
relativista]
Nótesequeparavelocidadesbajasestaexpresiónsereducealaclásicap=mu.
1.11 Momento lineal relativista
  Conservacióndelmomentorela4vista:vamosacomprobarqueelmomentorelaGvista
seconservaenunacolisiónentodoslossistemasinerciales,siseconservaenalguno.
Consideremosdenuevoelchoquedelafigura1.17ysupongamosqueseconservael
momentoenladirecciónyenS´:
p′ay + p′by = p′dy + p′ey ⇒
ma v′ay
1 − v′ /c
2
a
2
mb v′by
+
1 − v′ /c
2
b
md v′dy
=
2
1 − v′ /c
2
d
2
+
me v′ey
1 − v′e2 /c 2
Ahoradebemoscomprobarqueestonosllevaalaconservacióndelmomentoenel
sistemaS.ParaellodebemosescribirlasvelocidadesenelsistemaS´enfunciónde
lasvelocidadesenS.
Ejemplo1.11:Demostrarque:
v′iy
1 − v′i /c
2
2
=
v iy
1 − v /c
2
i
(i = a,b,d,e).
2
Conelresultadodelejemplo1.11estrivialmostrarqueelmomentolinealenla
direcciónytambiénseconservaenS:
ma v ay
1 − v /c
2
a
2
+
mb v by
1 − v /c
2
b
2
=
md v dy
1 − v /c
2
d
2
+
me v ey
1 − v e2 /c 2
1.12 Energía relativista
Unavezdeducidalaconservacióndelmomentolineal,vamosaanalizarcomodos
observadoresdescribiríanlaconservacióndelmomentoalolargodeladireccióndesu
movimientorelaGvo,ladirecciónxenlafigura1.17.ElobservadorenS´escribiríala
conservacióndelmomentoenladirecciónxcomosigue:
p′ax + p′bx = p′dx + p′ex ⇒
ma v′ax
1 − v′a2 /c 2
+
mb v′bx
1 − v′b2 /c 2
=
md v′dx
1 − v′d2 /c 2
+
me v′ex
1 − v′e2 /c 2
UGlizandolatransformaciónrelaGvistadelasvelocidades(versección1.6):
⎛
⎞
v
v
ax
⎜
⎟, etc. donde γ = 1/ 1 − v 2 /c 2
=
γ
−
⎜ 1 − v 2 /c 2
2
2 ⎟
1 − v′a2 /c 2
1
−
v
/c
⎝
⎠
a
a
v′ax
Deestomodopodemosescribir:
⎛ mv
⎞
m
v
m
v
m
v
a
ax
b
bx
d
dx
e
ex
⎟
γ ⎜⎜
+
−
−
2
2
2
2
2
2
2
2 ⎟
1 − v b /c
1 − v d /c
1 − v e /c ⎠
⎝ 1 − v a /c
⎛
⎞
m
m
m
m
a
b
d
e
⎟=0
−γv⎜⎜
+
−
−
2
2
2
2
2
2
2
2 ⎟
1 − v b /c
1 − v d /c
1 − v e /c ⎠
⎝ 1 − v a /c
1.12 Energía relativista
Laprimeralíneadelaecuaciónanterioresigualaceroporlaconservacióndela
componentexdelmomentolinealenelsistemadereferenciaS´.Sinembargo,siel
momentodebeconservarseenambossistemasdereferencia,laexpresiónquefigura
enelsegundoparéntesisdebesertambiénigualacero.Estosignificaque
ma
1 − va2 / c 2
mb
+
md
=
1 − vb2 / c 2
2
1 − vd2 / c 2
+
me
1 − ve2 / c 2
2
m / 1− v / c
Enotraspalabras,lacanGdadsumadaatodaslasparlculasdebe
conservarse.EstacanGdadsereducealamasadelaparlculaparavelocidadesbajas.
Porestarazón,aestacanGdadselasuelellamar“masa”deunparlculaen
movimiento:
M≡
m
2
1− v / c
2
= masa en movimiento; m = masa en reposo
SimulGplicamoslamasaenmovimientoporc2obtenemosunaenergíaquese
conservaenlacolisión:
2
E=
mc
2
1− v / c
2
= Mc 2
[Energía relativista]
1.12 Energía relativista
SihacemosundesarrollodeTaylordelaenergíarelaGvistaparapequeñasvelocidades:
1 2
E ≈ mc + mv + !
2
2
Energíaenreposo
EnergíacinéGca
Hoyendíaescostumbredarlamasadeunaparlculaenunidadesdeenergía.Casitodas
lastablasdeparlculaselementalesdanlasmasasenMeV,esdecir,laenergíaqueun
electrónadquierecuandoesaceleradoporunadiferenciadepotencialde1millónde
volGos.Así,elprotónGeneunamasademp=1.673x10-27kg:
m p c 2 = (1.673 ×10-27 kg) × (2.998 ×108 m/s) 2 = 938 MeV ⇒ m p = 938 MeV/c 2
me = 0.511 MeV/c 2 (masa en reposo del electrón)
 Relaciónentrelaenergíayelmomentolineal:
E 2 = p 2 c 2 + (mc 2 ) 2
Paraparlculassinmasa(m=0):
E = pc
1.12 Energía relativista
Ejemplo1.12:Unaparlculademasa2MeV/c2yenergíacinéGca3MeVchocacontrauna
parlculaenreposodemasa4MeV/c2.Despuésdelchoquelasdosparlculasquedanunidas.
Hallar(a)elmomentolinealinicialdelsistema,(b)lavelocidadfinaldelsistemadedosparlculas
y(c)lamasadedichosistema.
Solución:(a)4.58MeV/c,(b)0.509cy(c)7.75MeV/c2.
Ejemplo1.13:Unmesónπ+(tambiénllamadopion)esunaparlcularesponsabledelafuerza
nuclearfuerteentreprotonesyneutrones.Seobservaqueunmesóndecaeenreposo
convirGéndoseenunanGmuónµ+ yunneutrinoν.ComoelneutrinonoGenecargayGenemuy
pocamasa,nodejatrazaenunacámaradeburbujas.(Unacámaradeburbujasesunacámara
llenadehidrógenolíquidoquemuestraelpasodelasparlculascargadascreandounaseriede
pequeñasburbujas.)Sinembargo,latrazadelmuónesvisiblecuandopierdeenergíacinéGcay
separa.Silamasadelmuónesde106MeV/c2ysuenergíacinéGcasemideyresultaser4.6
MeV(porlalongituddesutraza),encontrarlamasadelπ+.
Solución:140MeV/c2.
1.13 El cuadrimomento
Laenergíayelmomentolinealsepuedencombinarparaformaruncuadrivectorenergíamomentoocuadrimomento:
T
T
E
E
!
⎛
⎞
⎛
⎞
p = ⎜ , px , py , pz ⎟ = ⎜ , p⎟ = mη
⎝c
⎠
⎝c ⎠
E2
2
2 2
ElmódulodelcuadrimomentoesuninvarianteLorentz: p ⋅ p = 2 − p = m c
c
Elcuadrimomentosetransformadeunsistemadereferenciaaotrocomocualquier
cuadrivector:
E ′ = γ (E − vpx ); px′ = γ ( px − vE / c 2 ); py′ = py ; pz′ = pz
E = γ ( E ′ + vpx′ ); px = γ ( px′ + vE ′ / c 2 ); py = py′ ; pz = pz′
Ejemplo1.14:Usarlasecuacionesdetransformaciónenergía-momentoparaderivarlas
expresionesquedescribenelefectoDopplerrelaGvista.Usarparaellolarelaciónde
EinsteinquenosdicequelaenergíadeunfotónvienedadaporE=hf,dondehesla
constantedePlanckyflafrecuenciadelfotón.
1.14 Algunas consecuencias
  Procesosinelás4cosen:sicanuclear:Unadelasprediccionesmássorprendentes
delarelaGvidadeslanoconservacióndelamasa.Lansicanuclearproporcionaejemplos
deestehecho.Porejemplo,elSolproduceenergíamedianteelprocesodefusión
nuclearconocidocomocadenaprotón-protón.Enestareacción,deformanetacuatro
protonesseconviertenenunnúcleode4He.Lamasaenreposodelos4núcleos
dehidrógenoesiguala4×938.3MeV/c2=3.7532GeV/c2,mientrasquelamasaen
reposodelnúcleode4Heesiguala3.7284GeV/c2.Deestemodo,enestareacción
defusiónlamasaenrepososereduceen≈25MeV/c2,loquesetraduceenunaenergía
liberadaqueeslaquefinalmentenosllegahastalaGerra.
  Lacreaciónyaniquilacióndepargculas:Quizásunadelasposibilidadesmás
notablesentretodaslasquesugierelaequivalenciamasa-energíaeslacreaciónde
parlculasnuevas,sisedisponedeunacanGdadadecuadadeenergía.Paracrearuna
parlculademasaenreposomsenecesitaráunaenergíadealmenosmc2.EnlaprácGca
debeemplearseunaenergíasuperioraésta,yenmuchoscasosunaenergíamuchísimo
mayor.
Figura 1.19: Creación de un par
electrón-positrón.
1.14 Algunas consecuencias
  Absorcióndefotones:supongamosqueunaparlcula(unátomoounnúcleo)
conunamasaenreposomesalcanzadaporunfotóndeenergíaQ,elcuales
completamenteabsorbido.¿CuálserálamasaenmovimientodelaparlculaM´
despuésdelaabsorciónycuálserásuvelocidad?
mc 2 + Q = M ʹc 2 (conservación de la energía)
Q
= M ʹv (conservación del momento)
c
M ʹ = m + Q / c2; v / c =
Q
mc 2 + Q
  Emisióndefotones:Consideremosunátomoenreposoconunamasamque
emiteunfotóndeenergíaQ.Debidoalretrocesodelátomo,laenergíadelfotón(y
portantosufrecuencia)sereduceencomparaciónconlaquetendríaenausenciade
retroceso:
⎛
Q0 ⎞
⎟
Q = Q0 ⎜⎜1 −
2 ⎟
⎝ 2M 0c ⎠
donde Q0 = ( M 0 − M 0ʹ )c 2 es la diferencia de energías en reposo del átomo antes y
después de la emisión.
1.14 Algunas consecuencias
  ElefectoCompton:detodoslosfenómenosqueponendemanifiestolas
propiedadescorpuscularesdelosfotones,elefectoComptonesquizáselmásdirecto.
Consisteenelchoquedeunfotónconunelectrónlibre.Enelchoqueelfotónpierde
energíayportanto,sulongituddeondadisminuye.ElestudiosistemáGcodeeste
fenómenollevadoacaboporA.H.Compton(1919-1923)conelempleodefotonesde
rayosX,levalióelpremioNobelen1927.
!
E , pe
mc 2 + Q0 = E + Q (conservación de la energía)
nˆ0
Q0
Q !
= n̂ + p e
c
c
(conservación del momento)
SuponiendoquelaenergíacuánGcaesQ,la
longituddeondavienedadapor
hc
Q = hf =
λ
Lalongituddeondafinalvienedadapor:
λ − λ0 =
h
(1 − cos θ )
mc
Q0 , nˆ0
λ0 =
hc
Q0
λ=
hc
Q
Q, nˆ
Figura 1.20: La dispersión de la luz por un electrón
puede considerarse como el choque de un fotón de
momento lineal h/λ0y un electrón en reposo. El
fotón dispersado posee menos energía y por lo tanto
mayor longitud de onda.
1.15 Colisiones relativistas
Ejemplo1.15:UnaparlcularelaGvistaconmasama,energíaEayvelocidadvachocacon
otraparlculaenreposoydemasamb.Silasdosmasassefusionanenunasoladespuésde
lacolisión,¿cuáleslamasamylavelocidadvdelaparlculacompuesta?
Ejemplo1.16:ConsideremosunacolisiónfrontalentreunproyecGlconmasamayvelocidad
vayunobjeGvoestacionarioconmasamb.Supongamosademásquelasdosparlculasse
muevendespuésdelacolisiónalolargodeladirecciónenlaqueincideelproyecGl.
Calcularlavelocidadfinalvbdelaparlculab.
 Energíaumbralenreaccionesde:sicadepargculas:
Reacción:
proyecGl
a + b → d + ⋅⋅⋅ + g
blanco(estáGco)
Parlculasresultantesenlacolisión
Laenergíatotalmínimaquedebetenerlaparlculaaparaqueseproduzcaestareacción
vienedadapor:
Eamin =
(∑ m f )2 − ma2 − mb2
2mb
c2
∑m
f
= md + ⋅⋅⋅ + mg
1.16 Fuerza relativista
Elconceptodefuerzaenmecánicarela4vistasedefinehabitualmentecomo:
!
!
dp d
!
F=
=
γ mu
dt dt
ConestadefiniciónsesaGsfaceelteoremadelamecánicanewtonianaquerelacionael
trabajodelafuerzatotalconelcambioenlaenergíacinéGca:
(
)
! !
dK = F ⋅ dx
Ejemplo1.17:Unaparlculacargadasemuevealolargodeunalínearectaenuncampo
elétricouniformeEconvelocidadv.Sielmovimientoyelcampoeléctricoestánenla
direcciónx,demostrarqueelmódulodelaaceleracióndelacargaqestádadapor
dv qE ⎛ v 2 ⎞
a=
=
1− 2 ⎟
⎜
dt m ⎝ c ⎠
3/2
Ejemplo1.18:RecordemosquelafuerzamagnéGcaejercidasobreunacargaqen
movimientoconvelocidadvenuncampomagnéGcoBesigualaq(v xB).Siunaparlcula
cargadasemueveenunaórbitacircularconunavelocidadconstantevenpresenciadeun
campomagnéGcoconstante,calcularquelafrecuenciaangulardesumovimientoorbital.
1.16 Fuerza relativista
Ejemplo1.19:Demostrarqueelmomentolinealdeunaparlculaconcargaemoviéndose
enuncírculoderadioRenuncampomagnéGcoB estádadoporp=300BR,dondep
estáenMeV/c,BenteslasyRenmetros.
Ejemplo1.20:ElkaónK0esunmesónneutroquesedesintegraendospionescargados.
LospionesGenencargasopuestasymasasidénGcaseigualesa140MeV/c2.Supongamos
queelK0sedesintegraenreposoenunacámaradeburbujasenpresenciadeuncampo
magnéGcode2.0T(verFig.1.21).Sielradiodecurvaturadelospioneses34.4cm,
calcularlosmomentoslinealesylasvelocidadesdelospionesylamasadelmesónK0.
Figura 1.21: Ejemplo 1.20.
1.16 Fuerza relativista
 Energíapotencial:
!
!
F = −∇U( x) ⇒ K + U = constante
(conservacióndela
energíatotal)
 Cuadrifuerza:sepuededefinirunacuadrivectorfuerzacomosigue:
!
dp
K=
= K0, K
dτ
(
)
T
! "
T
! T
!
⎛ F ⋅u ⎞
⎛ 1 dE dp ⎞
=γ ⎜
, ⎟ =γ ⎜
, F⎟
⎝ c dt dt ⎠
⎝ c
⎠
Ejemplo1.21:(a)DemostrarquelasleyesdetransformaciónrelaGvistasdelas
componentesdelafuerzatridimensionalvienendadaspor
! !
2
Fy / γ
F /γ
Fx − (v / c )( F ⋅ u)
Fx′ =
; Fy′ =
; Fz′ = z
vux
vux
vux
1− 2
1− 2
1− 2
c
c
c
dondeueslavelocidaddelaparlculaensistemadereferenciaSyveslavelocidad
relaGvadelsistemaS’conrespectoaS(alolargodelejex).
(b)ParGcularizarestasrelacionesalcasoenelqueelsistemaSeselsistemaenreposo
instantáneoconlaparlcula.
1.17 Formulación lagrangiana
∫
t2
d ⎛ ∂L ⎞
∂L
−
=0
PrincipiodeHamilton: δ S = δ L dt = 0 ⇒ ⎜
⎟
t1
dt ⎝ ∂vi ⎠ ∂xi
L = −mc 2 1 − β 2 −U
β = v/c
Lagrangiano:
∂U
Ecuacionesdemovimiento: d ⎛ mvi ⎞
= Fi
⎜
⎟ =−
dt ⎝ 1 − β 2 ⎠
∂xi
Formalismohamiltoniano:
∂L
mc 2
2
pi =
; H = ∑ q!i pi − L ⇒ H =
+
U
=
K
+
U
+
mc
=E
2
∂q!i
1− β
i
Ejemplo1.22:Usarlaformulaciónlagrangianaparaderivarlaecuacióndemovimientode
unaparlcularelaGvistasomeGdaaunafuerzaconstante.
1.18 Introducción a la relatividad general
 Elprincipiodeequivalencia:
“Uncampogravitatoriohomogéneoescompletamenteequivalenteaunsistema
dereferenciauniformementeacelerado”.Estoesunaconsecuenciadelaigualdad
entrelamasainercialylamasagravitatoria.
(a)
(b)
Planeta
Figura 1.22: Los resultados de los experimentos en un sistema de referencia uniformemente acelerado (a)
no pueden distinguirse de los realizados en un campo gravitatorio uniforme (b) si la aceleración a y el
campo gravitatorio g tienen el mismo módulo.
1.18 Introducción a la relatividad general
  Desviacióndelaluzenuncampogravitatorio:unadelasconsecuenciasdel
principiodeequivalenciaeselhechodequelaluztambiénseveafectadaporun
campogravitatorio.Laideasepuedeentenderconayudadelafigura1.23.
Hazde
luz
Figura 1.23: (a) Haz de luz moviéndose en línea recta a través de un compartimento que experimenta
una aceleración uniforme. La posición del haz se muestra a intervalos iguales de tiempo t1, t2, t3 y t4. (b)
En el sistema de referencia del compartimento la luz describe una trayectoria parabólica como lo haría
una pelota si fuera lanzada horizontalmente. Para mayor claridad, los desplazamientos verticales en (a)
y (b) están muy exagerados.
1.18 Introducción a la relatividad general
  Desviacióndelaluzenuncampogravitatorio:Einsteincalculóensuarlculo
original(1916)elángulodedeflexiónα quesufreunhazdeluzprocedentedeuna
estrellaalpasarporlasinmediacionesdelsol:
Posiciónaparente
delaestrella
4GM
α=
Rc 2
Estrella
Trayectoriadela
luz
dondeR=esladistanciamínimaalcentrodelsol,M
eslamasadelsol(M=1.99x1030kg)yGesla
constantedegravitaciónuniversal.Suponiendoque
elrayopasajustoporlasuperficiedelsol,entonces
R=6.96x108m,locualdaα=1.75segundosde
arco.
Estapredicciónfuecomprobadaen1919porel
astrónomobritánicoEddington.
Trayectoria
aparentedelaluz
Sol
Tierra
Figura 1.24: Desviación (muy exagerada) de un haz
de luz debido a la atracción gravitatoria del sol.
1.18 Introducción a la relatividad general
  Lentesgravitatorias:Einsteinpredijoen
1936quelaimagendeobjetoslejanos(como
galaxias)podríaserdistorsionadayamplificadaal
pasarlaluzatravésdeobjetos(comoestrellaso
galaxias)queactuaríandeformasemejantea
unalenteópGca.
Figura 1.25: Lentes gravitatorias que curvan la
luz procedente de objetos distantes. Las flechas
naranjas indican la posición aparente de los
objetos, mientras que las blancas indican el
camino que la luz ha seguido realmente.
Figura 1.26: “Anillos de Einstein” captados por
el telescopio Hubble. Galaxias elípticas situadas
a unos 2000-4000 millones de años-luz actúan
como lentes gravitatorias deformando la imagen
de otras galaxias situadas a una distancia dos
veces más grande.
1.18 Introducción a la relatividad general
  Corrimientoalrojogravitacional:otraprediccióndelateoríadelarelaGvidad
generaleselcorrimientodelafrecuenciadeunhazdeluzquesepropagaenun
campogravitatorio.Esfácildemostrarquelafrecuenciaf0deunaradiaciónemiGdaen
uncampogravitatorioconstante(verfigura1.27)sereduceaunaalturahaunvalorf
dadopor:
( f 0 − f ) v gh
≈ = 2
f0
c c
Enlaecuaciónanteriorelmiembro
deladerechaesigualala
diferenciadepotencialgravitatorio
Δφ = ghentreAyBdivididoporc2.
Figura 1.27: (a) Sistema de referencia S en reposo en el campo
gravitatorio de un planeta. (b) Nave espacial S´, lejos de
cualquier masa, que acelera con a = -g.
1.18 Introducción a la relatividad general
  ElátomoemisorenelejemploanteriorpuedeserconsideradocomounrelojenAy
elobservadorenBconcluiráqueelrelojenAvamáslentoqueunrelojenB.YaqueA
estáalpotencialgravitatoriomásbajo,podemosconcluirquelosrelojesvantanto
másdespaciocuantomenorseaelpotencial.
  EnelcasomásgeneraldeunamasaesféricaM,elcambiodepotencialgravitatorio
entrelasuperficieaunadistanciaRdelcentroyunpuntoenelinfinitoestádadopor:
GM
GM
dr
=
R r2
R
Δφ = ∫
∞
yelcorrespondientecambiodelafrecuenciaes
Δf / f0 = ( f0 − f ) / f0 = GM / Rc 2
f / f 0 = 1 − GM / Rc 2
“Corrimientoalrojo
gravitacional”
Figura 1.28: Corrimiento al rojo
de un haz luminoso cuando se
“Corrimientoalazul mueve hacia arriba en un campo
gravitacional”
gravitatorio.
Silaluzsemuevehacialazonadebajopotencial:
f / f 0 = 1 + GM / Rc 2
1.18 Introducción a la relatividad general
  Agujerosnegros:en1939J.R.OppenheimeryH.Snyderpredijeronquesila
densidaddeunobjetocomounaestrellaessuficientementegrande,laatracción
gravitatoriaserátangrandequenadapuedeescapardesusuperficie,nisiquierala
luz.Aesteobjetoseleconocecomoagujeronegro.Siconsideramosunaestrella
esféricademasaM,elradiocríGcopordebajodelcualsecomportacomoagujero
negrovienedadopor
2GM
RS = 2
c
Esteradioparaunobjetodelamasadel
solseríadelordende3km.EnlosúlGmos
añossehanidenGficadonumerosos
agujerosnegrosysecreequehayunoen
elcentrodelavíaLáctea.
Figura 1.29: Un disco de polvo de 3700 años-luz
de diámetro rodea a un agujero negro situado en el
centro de la galaxia elíptica NGC 7052 y que tiene
una de masa de 300 millones de veces la del sol.
(radio de Schwarzschild)
1.18 Introducción a la relatividad general
  Ondasgravitacionales:lateoríadelarelaGvidadgeneralpredicelaexistenciade
ondasgravitacionales.AligualqueunacargaeléctricageneraondaselectromagnéGcas,
unamasaaceleradadeberíagenerarondasgravitacionalesquesepropagaríanala
velocidaddelaluz.Estasondassondistorsionesdeespacio-Gempoquesepropagan.
Hastahaceunosdíastansóloexislaevidencia
indirectadelaexistenciadeondasgravitacionales.
En1974R.A.HulseyJ.H.Taylordescubrieronel
primerpulsarbinario,esdecir,unpardeestrellas
deneutronesorbitandounaalrededordelaotra,
unadelascualesestabaemiGendopulsosde
radiaciónelectromagnéGca.Enunpreciso
experimento,demostraronqueeldecrecimientoen
elperiodoorbitaldelparestabaenbuenacuerdo
conlasprediccionesdelarelaGvidadgeneralpara
elritmodepérdidadeenergíagravitacionala
travésdelaemisióndeondasgravitacionales.
Figura 1.30: El sistema binario PSR 1913+16 pierde
energía debido a la emisión de ondas gravitacionales. El
gráfico compara el cambio en el tiempo de revolución
calculado (línea continua) y medido (puntos).
1.18 Introducción a la relatividad general
Ondasgravitacionales:eldía11defebrero(2016)seanunciólaprimeraobservación
deondasgravitacionalesporpartedelobservatorioLIGO(LaserInterferometer
GravitaGonal-waveObservatory).Laseñalseatribuyóalafusióndedosagujerosnegros
conmasas29y36veceslamasadelSol[B.P.Abbo€etal.PRL116,061102(2016)].
Figura 1.31: Simulación numérica de las ondas
gravitacionales emitidas por la caída y fusión de
dos agujeros negros. Los contornos de colores
alrededor de cada agujero negro representan la
amplitud de la radiación gravitacional; las líneas
azules representan las órbitas de los agujeros
negros y las flechas verdes sus espines.
Figura 1.32: Esquema de funcionamiento de LIGO.
[ImágenestomadasdeE.BerG,Physics9,17
(2016)]