Semana 6 - Universidad Técnica Federico Santa María

Coordinación de Matemática II (MAT022)
Primer semestre de 2013
Semana 6: Lunes 22 de Abril – Viernes 26 de Abril
CÁLCULO
Contenidos
• Clase 1: Funciones Trascendentales:
Propiedades algebraicas y analíticas.
Función logaritmo natural y exponencial.
• Clase 2: Las funciones trigonométricas inversas, sus derivadas y las antiderivadas que
las relacionan. Funciones hiperbólica. Propiedades. Derivadas e integrales de funciones
hiperbólicas. .
CLASE 1
1.1 Funciones Trascendentales
1.1.1 Función Logarítmica
1
Definición 1.1. La función f (t ) = , con t > 0 es continua, por lo tanto para cualquier x positivo existe el número:
t
Zx
1
dt
t
1
Se llama Función Logarítmica (natural) a la función: ln : ]0, 1[! R, definida por
Z
x
ln(x ) =
1
Teorema 1.1. Si a ,b 2 R+ y r 2 R entonces
1. ln(1) = 0
✓ ◆
1
2. ln
=
a
ln(a )
dt
t
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
3. ln(a · b ) = ln(a ) + ln(b )
Å ã
a
4. ln
= ln(a ) ln(b )
b
5. ln(a r ) = r ln(a )
La función f (x ) = ln(x ) es continua en todo su dominio (R+ ), además:
• Si x > 1, entonces ln(x ) > 0.
Z
• Si 0 < x < 1, entonces ln(x ) =
Z
• Si x = 1, entonces ln(1) =
1
1
x
1
1
dt =
t
1
d t = 0,
t
Z
1
x
luego
1
dt <0
t
ln(x ) = 0 , x = 1.
1
, 8x 2 R+ de donde obtenemos que es estrictamente creciente. Es cóncava y cumple
x
ln(x ) ! +1 para x ! +1. ln(x ) ! 1 para x ! 0+ .
Notemos también que f 0 (x ) =
Observación 1.1. Graficar y = ln x con la información obtenida.
1.1.2 La Función Exponencial
El principal objetivo de esta clase es definir las funciones logarítmicas y exponenciales que fueron presentadas en mat021.
Aquí las podemos definir mediante integrales.
Definición 1.2. Se llama Función Exponencial a la función: e x p : R ! R+ , definida por e x p (x ) = ln 1 (x ). Es decir,
y = e x p (x ) , x = ln(y ).
Entonces:
e x p (ln(x ))
=
x ; si x > 0
ln(e x p (x ))
=
x ; si x 2 R
En particular, se tiene que:
Teorema 1.2. Si e x p (x ) : R ! R+ , entonces:
e x p (ln(1)) = 1
,
e x p (0) = 1
e x p (ln(e)) = e
,
e x p (1) = e
1. e x p es continua y creciente en R.
2. e x p (0) = 1
3. e x p (x + y ) = e x p (x )e x p (y ), 8x , y 2 R
4. e x p (x
y)=
e x p (x )
,
e x p (y )
5. e x p (r x ) = (e x p (x ))r ,
MAT022 (Cálculo)
8x , y 2 R
8x 2 R, 8r 2 R
2
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
6. 8x 2 R : e x p (x ) = ex
7. Es derivable y
d (e x p (x )) d (ex )
=
= ex
dx
dx
8. Es convexa.
9. e x p (x ) ! +1 para x ! +1
10. e x p (x ) ! 0+ para x ! 1
Observación 1.2. Graficar con la información obtenida.
Definición 1.3. Sea a > 0, x 2 R. Definimos a x por:
a x = e x p (x ln(a )) = e x ln(a ))
Teorema 1.3. Se cumplen las siguientes propiedades:
1. a x > 0 y continua, 8x 2 R
2. a 0 = 1
3.
d (a x )
= a x ln(a )
dx
4. a x es creciente si a > 1, decreciente si a < 1, igual a 1 si a = 1
1.1.3 Ejercicios Propuestos
1. Demuestre que para x > 1 y x 6= 0 se cumple:
x
< ln (x + 1) < x
1+x
2. Muestre que y = exp (x ) es la única función derivable que cumple y 0 (x ) = y (x ) con y (0) = 1.
3. Calcular para a > 1
Z
Z
a
ln a
eydy
ln x d x +
1
0
y dar una interpretación geométrica de esta cantidad.
4. Muestre que si 0 < a < b entonces
p
ab <
5. Muestre que la función
b
lnb
®
f (x ) =
e
a
a +b
<
ln a
2
1/t
0
si
si
t >0
t =0
es C 1 (R).
CLASE 2
Antes de comenzar con las funciones hiperbólicas es conveniente un pequeño recuerdo de las funciones trigonométricas
inversas, las restricciones que debemos hacer en los dominios y codominios
poder invertir, las derivadas y algunas
R
R para
dx
primitivas relacionadas, por ejemplo, las primitivas de la forma pd x 2 , 1+x
2 etc. Esto hace que los cálculos que se
realizarán en la clase parezcan más naturales.
MAT022 (Cálculo)
1 x
3
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
2.1 Funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas son definidas tomando combinaciones de dos funciones exponenciales e x y e x . Estas funciones simplifican muchas expresiones matemáticas que aparecen en las aplicaciones, por ejemplo, en la tensión en un
cable suspendido de sus extremos, movimiento de ondas en sólidos elásticos, etc. Daremos una breve introducción a las
funciones hiperbólicas, sus gráficos, sus derivadas y antiderivadas.
Definición 2.1. Se definen las funciones hiperbólicas como:
• Seno Hiperbólico es la función sinh : R ! R definida por: sinh(x ) =
• Coseno Hiperbólico es la función cosh : R ! R definida por:
cosh(x ) =
ex +e
2
ex
e
2
x
• Tangente Hiperbólica es la función tanh : R ! R definida por:
tanh(x ) =
• Cotangente Hiperbólica es la función coth : R
sinh(x )
ex e
= x
cosh (x ) e + e
{0} ! R definida por:
coth(x ) =
x
cosh(x ) ex + e
=
sinh(x ) ex e
x
x
x
x
• Secante Hiperbólica es la función sech : R ! R definida por:
sech(x ) =
• Cosecante Hiperbólica es la función cosech : R
1
2
= x
cosh(x ) e + e
x
{0} ! R definida por:
cosech(x ) =
1
2
= x
cosh(x ) e e
x
Observación 2.1. Las funciones seno y coseno hiperbólico corresponden a las partes impar y par respectivamente de la
función exponencial.
2.1.1 Propiedades
Los nombres de estas funciones están relacionados con los nombres de las funciones trigonométricas ya que tienen comportamientos parecidos por ejemplo:
1. sinh es una función impar
2. cosh es una función par
3. 8x 2 R, cosh2 (x )
4. 8x 2 R, 1
sinh2 (x ) = 1
tanh2 (x ) = sech2 (x )
5. 8x , y 2 R, cosh(x + y ) = cosh(x ) cosh(y ) + sinh(x ) sinh(y ).
6. 8x , y 2 R, sinh(x + y ) = sinh(x ) cosh(y ) + cosh(x ) sinh(y ).
7. 8x 2 R, sinh (2x ) = 2 sinh x cosh x
8. 8x 2 R, cosh (2x ) = cosh2 x + sinh2 x
MAT022 (Cálculo)
4
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
2.1.2 Derivadas e integrales
Las seis funciones hiperbólicas, son combinaciones racionales de las funciones diferenciables e x y e
ables en todo punto donde ellas estén definidas.
Derivadas
x
luego son deriv-
Integrales
Z
d
(sinh x )
dx
cosh x
=
sinh x d x
=
cosh x + C
cosh x d x
=
sinh x + C
sech2 x d x
=
tanh x + C
cosech2 x d x
=
coth x + C
sech x tanh x d x
=
sech x + C
cosech x coth x d x
=
cosech x + C
Z
d
(cosh x )
dx
=
sinh x
d
(tanh x )
dx
=
sech2 x
Z
Z
d
(coth x )
dx
=
cosech x
d
(sech x )
dx
=
sech x tanh x
2
Z
d
(cosech x )
dx
Z
cosech x coth x
=
Ejemplo 2.1. Calcular las siguientes derivadas e integrales:
Å
Åp
ãã
Åp
ã
d
t
1.
tanh
1+t2
= sech2
1+t2 p
dt
1+t2
Z
Z
cosh 5x
1
2.
coth (5x ) d x =
d x = ln |sinh 5x | + C
sinh 5x
5
Z
Z 1✓
1
2
3.
sinh x d x =
0
Z
0
cosh 2x
2
1
◆
dx =
sinh 2
4
1
2
ln 2
e x sinh x d x =
4.
0
3
4
1
2
ln 2
2.1.3 Gráficas
Con las propiedades anteriores y las técnicas de mat021 podemos graficar las funciones hiperbólicas.
2
Por ejemplo: ddx (sinh x ) = cosh x > 0 para todo x 2 R, se sigue que sinh x es creciente, además ddx 2 (sinh x ) = sinh x y
note que
ex
e
x
0
,
,
luego la función es convexa para x
MAT022 (Cálculo)
,
ex
e
x
x
x
x
0
0 y concava para x < 0. También podemos calcular
✓ x
◆
e
e x
lim sinh x = lim
= +1
x !+1
x !+1
2
5
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
y
✓
lim sinh x = lim
x! 1
ex
2
x! 1
no hay asíntotas para este gráfico. Se sigue:
e
x
◆
= 1
2
1
3
2
1
0
1
2
1
2
1
2
1
2
3
f (x ) = sinh(x )
f
De manera similar podemos graficar:
g
3
2
1
3
2
1
0
1
f (x ) = cosh(x )
1
3
g
2
1
0
1
2
f (x ) = tanh(x )
Dar como ejercicios los otros gráficos.
MAT022 (Cálculo)
6
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
2.1.4 Funciones Hiperbólicas Inversas
Las funciones hiperbólicas inversas son muy útiles en el cálculo de primitivas.
Recordemos que y = sinh x es inyectiva (es estrictamente creciente) y es sobreyectiva (es continua con limx ! 1 sinh x =
1 y limx !+1 sinh x = +1) se sigue que posee una inversa que además es derivable por el teorema de la función inversa.
No todas las funciones hiperbólicas son biyectivas en algunos casos debemos restringir el dominio y codominio para
poder definir la inversa.
Definición 2.2. Las inversas de las funciones hiperbólicas se definen como:
p
x 2 + 1), 8x 2 R
p
• arccosh(x ) = cosh 1 (x ) = ln(x + x 2 1), x 1
✓
◆
1
1+x
1
• arctanh(x ) = tanh (x ) = ln
, |x | < 1
2
1 x
• arcsenh(x ) = sinh 1 (x ) = ln(x +
• arccoth(x ) = coth 1 (x ) = tanh 1 ( x1 )
Ä ä
• arcsech(x ) = sech 1 (x ) = cosh 1 x1
• arccosech(x ) = cosech 1 (x ) = sinh
0<x 1
Ä
ä
1 1
x
Observación 2.2. Mostrar como se obtiene por ejemplo la definición de arcsenh(x ) = sinh 1 (x ) = ln(x +
Ä ä
Ejercicio 2.1. Calcular arctanh 12
p
x 2 + 1)
2.1.5 Derivadas de las Funciones Hiperbólicas Inversas
Función
arcsenh(x )
Derivada
p1 , x 2R
2
arccosh(x )
p1
x2 1
,
x >1
arctanh(x )
1
1
,
x2
|x | < 1
arccoth(x )
1
1
,
x2
|x | > 1
arcsech(x )
arccosech(x )
MAT022 (Cálculo)
1+x
x
p
1
1
p
x2
,
1
|x | 1 + x 2
0<x <1
,
x 6= 0
7
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Ejemplo 2.2. Muestre que
d
1
arccosh(x ) = p
dx
x2
1
,
x >1
Desarrollo: Por el teorema de la función inversa si consideramos f (x ) = cosh x entonces
Ä
recordar que cosh2 x
ä
1 0
f
(x )
sinh2 x = 1 de donde sinh x =
1
=
f0 f
1 (x )
=
1
Ä
sinh cosh
=
∆
=
1
p
x2
p
Ä
2
cosh
1
x
ä
1
cosh
1
x
ä
1
1
cosh2 x
1.
Teorema 2.1. En relación a las funciones hiperbólicas inversas tenemos:
Z
Å ã
1
x
•
d x = arcsenh
+C, a > 0
p
a
a2 +x2
Z
Å ã
1
x
d x = arccosh
+C, x > a > 0
p
a
x2 a2
8
Ä ä
1
arctanh ax + C si x 2 < a 2
Z
>
<
a
1
•
dx =
>
a2 x2
Ä ä
: 1
arccoth ax + C si x 2 > a 2
a
Z
Å ã
1
1
x
•
dx =
arcsech
+C, 0 < x < a
p
a
a
2
2
x a
x
Z
Å ã
1
1
x
•
dx =
arccosech
+ C , x 6= 0 y a > 0
p
a
a
x a2 +x2
•
Ejemplo 2.3. Calcular la integral
Z
1
p
0
2d x
3 + 4x 2
Desarrollo: Hacemos u = 2x entonces d u = 2d x y
Z
1
p
0
2d x
3 + 4x 2
Z
p
Z
=
=
MAT022 (Cálculo)
2
=
0
du
3+u2
2
du
Äp ä2
0
3 +u2
✓
◆
2
arcsinh p
3
q
8
Coordinación de Matemática II (MAT022)
Primer semestre de 2013
Semana 6: Lunes 22 de Abril – Viernes 26 de Abril
COMPLEMENTO
Contenidos
• Clase 1: Subespacios Vectoriales: Concepto y criterio. Combinación lineal.
• Clase 2: Espacio generado. Dependencia e independencia lineal. Ejemplos.
CLASE 1
1.1 Subespacios vectoriales
Definición 1.1.
1. Sea (V, +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S ✓ V, S 6= ;. Se dice que S es un subespacio vectorial de V si
(S, +, ·) es un espacio vectorial sobre K.
2. Si las operaciones + y · están claramente definidas, entonces escribiremos V en lugar de (V, +, ·) para un espacio
vectorial sobre K.
3. Si (S, +, ·) es un subespacio vectorial de (V, +, ·) usaremos la notación S  V .
Observación 1.1. La definición anterior no permite averiguar, de manera simple, si un determinado subconjunto es o no
subespacio de un espacio vectorial dado. El siguiente teorema nos brinda un método sencillo para este efecto.
Teorema 1.1. Sea (V, +, ·) un espacio vectorial sobre el cuerpo K y sea S ✓ V, S 6= ;. (S, +, ·) es un subespacio vectorial de
(V, +, ·) si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones:
1. Si u, v 2 S entonces u + v 2 S.
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
2. Si ↵ 2 K, u 2 S entonces ↵ · u 2 S.
Ejercicio 1.1. Si S  V entonces 0V 2 S.
Todo espacio vectorial tiene, de manera natural, dos subespacios vectoriales, llamados subespacios vectoriales triviales del espacio vectorial V . Estos son: el mismo espacio vectorial V , vale decir, V  V y el espacio vectorial nulo, vale
decir el espacio vectorial cuyo único elemento es el neutro aditivo de V : {0V }  V .
Ejemplo 1.1. Considere W = {(x , y ) 2 R2 : y = 0}. Probemos que W es un subespacio vectorial de R2 . Para ello, debemos
verificar:
1. W 6= ;, lo cual es cierto pues (0, 0) 2 W .
2. (x , y ), (u , v ) 2 W ) (x , y ) + (u , v ) 2 W .
En efecto: (x , y ), (u , v ) 2 W ) y = 0 ^v = 0. Por lo tanto, (x , y )+(u , v ) = (x , 0)+(u , 0) = (x +u , 0). Es decir, la segunda
componente de la suma de dos vectores en W da como resultado un vector que también pertenece a W .
3.
2 R, (x , y ) 2 W ) · (x , y ) 2 W .
En efecto: (x , y ) 2 W ) y = 0. Por lo tanto,
· (x , y ) = · (x , 0) = ( x , 0) 2 W .
Como las tres condiciones se satisfacen, hemos probado que W  R2 .
Ejemplo 1.2. Considere W = {(x 1 , x 2 , · · · , x n ) 2 Rn : x n = 0}. Probemos que W es un subespacio vectorial de Rn . Para ello,
debemos verificar:
1. W 6= ;, lo cual es cierto pues (0, 0, · · · , 0) 2 W .
2. (x 1 , x 2 , · · · , x n ), (u 1 , u 2 , · · · , u n ) 2 W ) (x 1 , x 2 , · · · , x n ) + (u 1 , u 2 , · · · , u n ) 2 W .
En efecto: (x 1 , x 2 , · · · , x n ), (u 1 , u 2 , · · · , u n ) 2 W ) x n = 0 ^ u n = 0. Por lo tanto, (x 1 , x 2 , · · · , x n ) + (u 1 , u 2 , · · · , u n ) =
(x 1 , x 2 , · · · , 0) + (u 1 , u 2 , · · · , 0) = (x 1 + u 1 , x 2 + u 2 , · · · , 0). Es decir, la n ésima componente de la suma de dos vectores
en W da como resultado un vector que también pertenece a W .
3.
2 R, (x 1 , x 2 , · · · , x n ) 2 W ) · (x 1 , x 2 , · · · , x n ) 2 W .
En efecto: (x 1 , x 2 , · · · , x n ) 2 W ) x n = 0. Por lo tanto,
· (x 1 , x 2 , · · · , x n ) = · (x 1 , x 2 , · · · , 0) = ( x 1 , x 2 , · · · , 0) 2 W .
Como las tres condiciones se satisfacen, hemos probado que W  Rn .
Ejemplo 1.3. Sea (1, 2) 2 R2 y consideremos W = {(x , y ) 2 R2 : (x , y ) = ↵ · (1, 2), ↵ 2 R}. Probemos que W es un
subespacio vectorial de R2 .
1. W 6= ;, lo cual es cierto pues (0, 0) = 0 · (1, 2) 2 W .
2. Debemos probar ahora que (x 1 , x 2 ), (u 1 , u 2 ) 2 W ) (x 1 , x 2 ) + (u 1 , u 2 ) 2 W .
En efecto: (x 1 , x 2 ), (u 1 , u 2 ) 2 W ) 9↵, 2 R : (x 1 , x 2 ) = ↵ · (1, 2),
(u 1 , u 2 ) = · (1, 2). Por lo tanto, (x 1 , x 2 ) + (u 1 , u 2 ) = ↵ · (1, 2) + · (1, 2) = (↵ + ) · (1, 2) 2 W,
3. Probemos ahora que 2 R, (x 1 , x 2 ) 2 W ) · (x 1 , x 2 ) 2 W .
En efecto: (x 1 , x 2 ) 2 W ) · (x 1 , x 2 ) = · (↵ · (1, 2)) = ( ↵) · (1, 2) 2 W,
pues
pues
↵+
2 R.
2 R.
Gráficamente, este subespacio vectorial se representa por una recta en el plano, en la misma dirección que el vector
(1, 2).
MAT022 (Complemento)
2
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Ejemplo 1.4. Como en el ejemplo anterior, sea V un espacio vectorial real, y sea u0 2 V, con
u0 6= 0V . Consideremos W = {v 2 V : v = ↵ · u0 , ↵ 2 R}. Probemos que W es un subespacio vectorial de V .
1. W 6= ;, lo cual es cierto pues tomando 0 2 R, obtenemos que 0 · u0 = 0V 2 W .
2. Probemos que v1 , v2 2 W ) v1 + v2 2 V. En efecto: v1 , v2 2 V nos asegura que existen ↵,
v 1 = ↵ · u0 y que v 2 = · u0 . Luego, v1 + v2 = ↵ · u0 + · u0 = (↵ + ) · u0 2 V
2 R de manera que
3. Probemos ahora que 2 R, v 2 W ) ·v 2 W. En efecto: v 2 W nos asegura que existe ↵ 2 R tal que v = ↵·u0 . Luego,
· v = · ↵ · u0 = ( ↵) · u0 2 W.
Debido a la analogía con el ejemplo anterior (4.-), este espacio vectorial recién descrito se denomina recta vectorial,
con dirección u0 .
Ejemplo 1.5. Sea E = {(x , y , z ) 2 R3 : 2x + y = 0}. Probemos que E  R3 .
1. E 6= ;, lo cual es cierto pues (0, 0, 0) 2 E .
2. Probemos que:
(x , y , z ), (u , v, w ) 2 E ) (x , y , z ) + (u , v, w ) = (x + u , y + v, z + w ) 2 E . Este último vector pertenece a E ()
2(x + u ) + y + v = 0, condición que se cumple pues como (x , y , z ), (u , v, w ) 2 E ) 2x + y = 2u + v = 0 de donde
2x + y + 2u + v = 2(x + u ) + y + v = 0. Luego, la suma de los vectores pertenece a E .
3. Análogamente para el producto por escalar.
®Ç
Ejercicio 1.2. Verificar que si S =
®Ç
Ejercicio 1.3. Verificar que si T =
a
c
b
d
a
c
b
d
å
´
2 M2⇥2 (R) : a = b y c = d , entonces S  M2⇥2 (R).
å
´
2 M2⇥2 (R) : a = 1 , entonces T no es subespacio vectorial de M2⇥2 (R).
Proposición 1.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W1 , W2  V . Luego:
1. W1 \ W2  V.
2. W1 + W2  V, donde el conjunto suma de W1 + W2 se define como:
W1 + W2 = {u + v : u 2 W1 , v 2 W2 }
Definición 1.2. Si W1 , W2  V y W1 \ W2 = {0V } entonces el subespacio suma W1 + W2 es llamado suma directa y se escribe
W1 W2 .
Observación 1.2. La unión de subespacios no es necesariamente un subespacio vectorial. Considere por ejemplo V1 =
x , y 2 R2 : x = 0 y V1 = x , y 2 R2 : y = 0 .
MAT022 (Complemento)
3
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
1.1.1 Ejercicios
1. Sea S = {A 2 M n ⇥n : A t = A}
2. Sea T = {A 2 M n⇥n : A t = A}
3. Muestre que S
4. n
T = M n ⇥n (R)
Probar que S  M n ⇥n .
Probar que T  M n ⇥n .
m ) C n [a ,b ]  C m [a ,b ].
5. Considere los siguientes subespacios vectoriales de R3 :
E = {(x , y , 0) : x , y 2 R},
F = {(0, 0, z ) : z 2 R},
G = {(0, y , z ) : y , z 2 R}.
Determine: E \ F, E \ G , G \ F, E + F, E + G , G + F . Haga una descripción geométrica y dibuje cada uno de estos
subespacios.
1.2 Combinaciones lineales
Definición
1.3. Sean ↵1 , ↵2 , · · · , ↵n 2 K y sean u1 , u2 , · · · , un 2 V , donde V es un espacio vectorial real. La expresión
Pn
↵
u
es
una combinación lineal de los vectores u1 , u2 , · · · , un .
i
i
i =1
Observación 1.3. 0v es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores.
Ejemplo 1.6. El vector de R3 , (0, 2, 3) es una combinación lineal de los vectores (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1).
escribimos
(0, 2, 3) = ↵ · (1, 0, 0) + · (1, 1, 0) + · (1, 1, 1)
Para probarlo,
luego, debemos encontrar ↵, , 2 R que satisfagan las siguientes ecuaciones:
0
2
3
=
=
=
↵+
+
+
Resolviendo, determinamos que = 3,
= 5, ↵ = 2.
Notar que (0, 2, 3) no es combinación lineal de los vectores (1, 1, 0), (1, 1, 1), pues, usando el mismo razonamiento, si
(0, 2, 3) = ↵ · (1, 1, 0) + · (1, 1, 1) entonces
0 = ↵+
2 = ↵+
3 =
lo cual es obviamente contradictorio.
1.2.1 Ejercicios
1. Considere los vectores u = (2, 1, 2), v = (1, 1, 1) 2 R3 . Escriba, si es posible, los vectores a = ( 4, 5, 8) y b =
(4, 1, 5) como combinación lineal de u y v. Determine los valores de x para los cuales el vector (x , 4, 7) es una
combinación lineal de u y v.
2. Dados u1 = (1, 2, ↵, 1), u2 = (↵, 1, 2, 3), u3 = (0, 1, , 0) 2 R4 , determine los valores de ↵ y
vectores sea combinación lineal de los otros dos.
para que uno de los
3. Decidir si p (t ) = t 2 t + 1 es combinación lineal de p 1 (t ) = (t 1)2 y p 2 (t ) = t
Ç
å
Ç
å Ç
å
1 2
0 1
1
1
4. Decidir si
es combinación lineal de
y
.
1 0
1 1
1 0
MAT022 (Complemento)
4
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
CLASE 2
2.1 Espacio generado
Recordemos que para los propósitos de estas notas, los cuerpos que estamos considerando son: el cuerpo de los números
reales R, el cuerpo de los números complejos C y el cuerpo de los números racionales Q. Pero las definiciones aquí dadas
funcionan para cualquier cuerpo.
Ejercicio 2.1. Verificar que la intersección de una colección de subespacios de un espacio vectorial V es también un
subespacio vectorial de V .
El propósito del ejercicio anterior es poder justificar la siguiente definición.
Definición 2.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea X ✓ V, X 6= ;. El espacio generado por X , denotado
por hX i ó por G(X ), es dado por la intersección de todos los subespacios de V que contienen al conjunto X .
Teorema 2.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Los elementos de G(X ) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de
elementos de X .
Si X es finito, digamos X = {x1 , x2 , · · · , xk }, entonces
(
hX i =
k
X
i =1
)
↵ i xi ,
↵i 2 K
Observación 2.1. Si W = hv 1 , v 2 , . . . , v n i decimos que v 1 , v 2 , . . . , v n generan a W o que es un conjunto generador de W .
Ejemplo 2.1. Si W = {(x , y ) 2 R2 : (x , y ) = ↵ · (1, 2), ↵ 2 R} entonces W = h(1, 2)i, es decir, (1, 2) genera a W .
Observemos que (2, 4) también genera a W y, de manera más general, si ↵ 6= 0, entonces (↵, 2↵) genera W .
Los vectores (0, 0) y (1, 2) también forman un conjunto generador de W .
Ejemplo 2.2. Si W = {v 2 V : v = ↵ · u0 , ↵ 2 R}
entonces
W = G(u0 ) = hu0 i.
Ejemplo 2.3. En R2 considere los vectores u = (2, 1), v = ( 1, 1), w = (1, 4). Probemos que R2 = G(u, v) = G(u, v, w) y que
R2 6= G(u).
Para probar que R2 = G(u, v), debemos demostrar que dado cualquier (x , y ) 2 R2 , existen ↵, 2 R tal que (x , y ) =
↵ · (2, 1) + · ( 1, 1). La igualdad implica
´
x = 2↵
y =
↵+
de donde
↵=
x +y
,
3
MAT022 (Complemento)
=
2y
x
3
.
5
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Esto significa que dado cualquier vector (x , y ) 2 R2 podemos determinar explícitamente, en función de x e y , los
valores de ↵ y .
Ya que {u , v } ⇢ {u , v, w }, se puede fácilmente concluir que R2 = G (u , v, ) ⇢ G (u , v, w ), de donde concluimos que
G (u , v, w ) = R2 .
Otra manera de concluir lo mismo es proceder de mana análoga al caso anterior. Para probar que R2 = G(u, v, w),
debemos demostrar que dado cualquier (x , y ) 2 R2 , existen ↵, , 2 R tal que
(x , y ) = ↵ · (2, 1) + · ( 1, 1) + · (1, 4). Notar que si tomamos, arbitrariamente, = 0, los valores de ↵ y obtenidos arriba
demuestran la afirmación. Si asignamos otro valor a , también podemos resolver el sistema para ↵ y .
En general,
entonces, podemos decir que:
x +y 5
2y x 7
↵=
,
=
3
3
donde es un parámetro real. Por lo tanto, en este caso también es posible determinar explícitamente los valores de ↵,
y .
Para probar que R2 6= G(u) basta encontrar un vector en R2 que no sea combinación lineal de u. Por ejemplo, si
tomamos el vector (1, 0) 2 R2 vemos que no existe ↵ 2 R : (1, 0) = ↵ · (2, 1).
Ejemplo 2.4. Claramente
G((1, 0), (0, 1))
=
=
=
h(1, 0), (0, 1)i
h( 1, 2), (3, 2)i
G((1, 0), ( 1, 2), (5, 3)) = R2
R2 [x ]
=
=
=
G(1, x , x 2 )
h2, 1 + x , x x 2 i
h1, 1 + x , 1 + x + x 2 i
Análogamente,
Ejemplo 2.5. Rn [x ] = G(1, x , x 2 , · · · , x n )
Ejemplo 2.6. hsin(x ), cos(x )i = { f (x ) 2 C 1 (R) : f (x ) = ↵ sin(x ) +
®Ç
Ejemplo 2.7. M 2⇥2 (R) = G
1
0
0
0
å Ç
,
0
0
1
0
å Ç
,
0
1
0
0
å Ç
,
cos(x ), ↵,
0
0
0
1
2 R}.
å´
Ejercicio 2.2. Caracterizar el espacio generado por los vectores (0, 1, 2) , ( 1, 3, 1) y (2, 11/2, 3)
Ejercicio 2.3. Encontrar un conjunto generador del subespacio
®Ç
å
´
a b
: a ,b, c 2 R  M2⇥2 (R)
b c
MAT022 (Complemento)
6
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
2.2 Dependencia e independencia lineal
Definición 2.2. Sean u1 , u2 , · · · , un 2 V . Diremos que {u1 , u2 , · · · , un } es un conjunto:
1. linealmente independiente (l.i.) ssi
n
X
i =i
↵i · ui = 0V ) ↵i = 0
8i = 1, · · · , n .
También se dice que los vectores anteriores son linealmente independientes (l.i.).
2. linealmente dependiente (l.d.) ssi
9↵1 , · · · , ↵n 2 K, no todos nulos :
n
X
i =i
↵i · ui = 0V
También se dice que los vectores anteriores son linealmente dependientes (l.d.).
Ejemplo 2.8. El conjunto {(1, 0), (0, 1)} ⇢ R2 es un conjunto l.i.
En efecto, si consideramos
(0, 0) = ↵1 (1, 0) + ↵2 (0, 1) = (↵1 , ↵2 )
entonces obtenemos que ↵1 = 0, ↵2 = 0.
Ejemplo 2.9. El conjunto {(1, 2), (3, 1)} ⇢ R2 es un conjunto l.i. En efecto, si consideramos
(0, 0) = ↵1 (1, 2) + ↵2 (3, 1) = (↵1 + 3↵2 , 2↵1
↵2 )
entonces, tenemos el sistema lineal a resolver
↵1 + 3↵2 = 0
2↵1 ↵2 = 0
Obtenemos que ↵1 = 0, ↵2 = 0.
Ejemplo 2.10. El conjunto {(1, 2), (3, 1), (5, 1)} ⇢ R2 es un conjunto l.d. Como antes, si tenemos la igualdad
↵1 (1, 2) + ↵2 (3, 1) + ↵3 (5, 1) = (0, 0)
se sigue
↵1 + 3↵2 + 5↵3
2↵1
↵2 + ↵3
=
0
=
0
Este es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, que tiene infinitas soluciones. Luego, hemos probado que {(1, 2), (3, 1), (5, 1)}
es l.d.
Es importante mencionar que, si bien ↵1 = ↵2 = ↵3 = 0 es una posible solución del sistema, no es la única. Lo que
hemos probado es que existen valores ↵i , no todos nulos, que satisfacen la condición de la definición.
Ejemplo 2.11. El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ⇢ R3 es un conjunto l.i.
MAT022 (Complemento)
7
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Ejemplo 2.12. El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} ⇢ R3 es un conjunto l.d. Basta notar que (1, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0). En
otras palabras, existen valores de ↵1 , ↵2 , ↵3 no todos nulos tales que ↵1 (1, 0, 0) + ↵2 (0, 1, 0) + ↵3 (1, 1, 0) = (0, 0, 0).
En efecto, basta tomar ↵1 = 1, ↵2 = 1, ↵3 = 1.
Ejemplo 2.13. El conjunto {(0, 1, 0), (1, 1, 0)} ⇢ R3 es un conjunto l.i.
Ejemplo 2.14. El conjunto {sin(x ), cos(x )} ⇢ C(R) es un conjunto l.i.
reales ↵1 y ↵2 de manera que valga la siguiente igualdad
En efecto, supongamos que tenemos valores
↵1 sin(x ) + ↵2 cos(x ) = 0.
Derivando, obtenemos una segunda ecuación, que nos permite determinar ↵1 y ↵2 , dada por
↵1 cos(x )
↵2 sin(x ) = 0.
Multiplicamos la primera ecuación por ↵2 y la segunda por ↵1 , las sumamos y como este sistema debe satisfacerse
para todos los valores posibles de x 2 R, necesariamente, ↵21 + ↵22 = 0. La única posibilidad es que ↵1 = ↵2 = 0.
Ejemplo 2.15. El conjunto {e ↵x , e
x } ⇢ C 1 [0, 1]
es un conjunto l.i., siempre que ↵ 6= .
Ejemplo 2.16. El conjunto {1, x , x 2 , · · · , x n } ✓ Rn [x ] es un conjunto l.i.
2.2.1 Observaciones
1. Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0V es un conjunto l.d. En particular, el conjunto {0V } es l.d.
2. Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de M también es l.i.
3. Si un conjunto de vectores N es l.d., todo conjunto que contenga a N será l.d.
4. Si bien en la definición de conjuntos linealmente independientes o dependientes hemos considerado conjuntos
finito, la finitud se puede eliminar. Es decir, si tenemos un conjunto X ⇢ V , X 6= ;, entonces diremos que X es un
conjunto linealmente independiente si todo subconjunto no vacío finito de este es linelamente independiente. En
caso contrario, decimos que este conjunto es linealmente dependiente.
5. Si X es un conjunto finito o infinito, X 6= ;, entonces uno puede considerar todas las combinaciones lineales posibles
usando una cantidad finita de vectores de X . Este conjunto resulta ser el espacio generado por X .
Teorema 2.2. Sea X ⇢ V, X 6=
, X 6= {0V }. Entonces, 9Y ✓ X tal que Y es un conjunto l.i. y G(X ) = G(Y ).
Este teorema afirma que cualquier subconjunto no vacío de vectores, salvo el que contiene sólo al 0V , tiene un subconjunto l.i. de vectores. Notemos también que no hace referencia a si el conjunto X es finito o no. De todas maneras, en
este curso en general trabajaremos con juntos finitos X de vectores.
MAT022 (Complemento)
8