Tarea Variable Compleja

Tarea 1 (Resuelta)
Matemáticas Avanzadas
Problemas de Variable Compleja
Los problemas fueron extraídos del libro " Análisis básico de variable compleja "de J. Marsden y M. Ho¤man, 1996, Editorial Trillas, al …nal de cada enunciado se muestra la página
en donde se obtuvo el problema.
1. Pruebe el teorema del binomio para números complejos, esto es, si z, w son números
complejos y n es un entero positivo,
(z + w)n = z n +
n n 1
n n 2 2
n n
z w+
z w + ::::::: +
w
1
2
n
donde
n
r
=
n!
r! (n r)!
La solucion por inducción implica que si funeciona para n debe funcionar para n+1
entonces
(z + w) (z + w)n = (z + w)n+1
(z + w) (z + w)n = (z + w) z n +
n n 1
n n 2 2
n n
z w+
z w + ::::::: +
w
1
2
n
por lo que aplicando sobre la suma completa
(z + w)n+1 = z n+1 +
n+1 n
n+1 n 1 2
n + 1 n+1
z w+
z w + ::::::: +
w
1
2
n+1
Use inducción sobre n. (página 21 problema 14)
2. ¿Es cierto que z 2 = jzj2 ? Si lo es, demuestre esta identidad. si no lo es, ¿para qué
valores de z es cierto? (página 34 problema 15)
z 2 = (a + ib)(a + ib) = a2
jzj2 = a2 + b2
Si igualamos las funciones
1
2iba
b2
a2
b 2 = a2 + b 2
b2 = b2
2b = 0
b
a =
= ib
i
2iba
2iba
2ia
Solo es valido para el caso en que z sea real
3. De…na sinh y cosh sobre todo C como
ez
sinh =
e
2
e +e
cosh =
2
z
z
z
Pruebe que
(a) cosh2 z
sinh2 z = 1
ez + e
2
z
ez + e
e2z + 2 + e 2z
2
ez
e
2
z
= 1
2
z 2
2z
e
ez e
2+e
z 2
=
=
4 =
1 =
2z
4
4
4
1
los demás son similares y de pura algebra
(b) sinh(z1 + z2 ) = sinh z1 cosh z2 + sinh z2 cosh z1
(c) cosh(z1 + z2 = cosh z1 cosh z2 + sinh z2 sinh z1
(d) sinh(x + iy) = sinh x cosh y + i cosh x sinh y
(e) cosh(x + iy) = cosh x cosh y + i sinh x sinh y (página 52 problema 16)
4. Determine los conjuntos en los cuales las siguientes funciones son analíticas y calcule
sus derivadas
(a) 3z 2 + 7z + 5
@
3z 2 + 7z + 5 = 6z + 7
@z
Separando en parte real y parte imaginaria
3z 2 + 7z + 5
3 (x + iy)2 + 7 (x + iy) + 5
u
v
2
=
=
=
=
3 (x + iy)2 + 7 (x + iy) + 5
3x2 3y 2 + 7x + 6ixy + 7iy + 5
3x2 3y 2 + 7x + 5
6xy + 7y
Aplicamos la ecuaciones de Cauchy-Reimman
@u
= 6x + 7
@x
@v
= 6x + 7
@y
@u
=
6y
@y
@v
= 6y
@x
La función es Analítica
(b) (2z + 3)4
@
(2z + 3)4 = 8 (2z + 3)3
@z
(2(x + iy) + 3)4 = (2x + i2y + 3)4
(2z + 3)4 = 216x + 216iy + 432ixy + 216x2 + 96x3
288xy 2 + 288ix2 y 64ixy 3 + 64ix3 y
216y 2 + 16x4
96x2 y 2 + 81
96iy 3 + 16y 4
Ahora separamos en parte real y parte compleja
u = 216x + 216x2 + 96x3 216y 2 + 16x4 + 16y 4 288xy 2
v = 216y + 432xy 96y 3 + 288x2 y 64xy 3 + 64x3 y
@u
= 432x + 288x2 + 64x3 288y 2
@x
@v
= 432x 288y 2 + 288x2 + 64x3
@y
192xy 2 + 216
192y 2 x + +216
@u
=
576yx 432y + 64y 3 192yx2
@y
@v
= 432y + 576xy 64y 3 + 192x2 y
@x
La función es Analítica
3
96x2 y 2 + 81
(c) (3z
1) = (3
z)
@
@z
3z
3
1
z
=
9
(3
3z
3z 1
2 +
z)
(3 z)2
3(x + iy) 1
3(x + iy) 1 ( x + 3
3z 1
=
=
3 z
3 (x + iy)
x + 3 + iy ( x + 3
2
2
((3x + i3y 1) ( x + 3 iy)
10x 3x + 3y
3 + i (10y 6xy)
=
2
2
( x + 3) + y
( x + 3)2 + y 2
10x 3x2 + 3y 2 3
( x + 3)2 + y 2
10y 6xy
v =
( x + 3)2 + y 2
u =
@u
6x + 10
=
@x
y 2 + (3 x)2
(2x
@v
10 6x
=
2
@y
y + (3 x)2
(10y
3x2 + 3y 2
6) (10x
2 2
y 2 + (3 x)
6yx) (2y)
y 2 + (3
x)2
2
La función no es Analítica
(página 93 problema 2)
5. De…na el símbolo @f =@z como
@f
1
=
@z
2
@f
1 @f
+
@x
i @y
(a) Demuestre que si f es analítica, entonces f 0 =@f =@z:
@f
@z
@f
@z
@u
@v
@f
+i
=
@x
@x
@x
@v
@u
1 @f
=
+i
=
@y
@y
i @y
=
si sumamos la de…niciones
2
@f
@z
@f
@z
@f
1 @f
+
@x
i @y
1 @f
1 @f
=
+
2 @x
i @y
=
4
3)
iy)
iy)
(b) Si f (z) = z; demuestre que @f =@z = 1 y @f =@ z = 0:
@f
@z
@f
@z
1
2
1
=
2
@(x + iy) 1 @(x + iy)
+
@x
i
@y
@(x + iy) 1 @(x + iy)
@x
i
@y
=
1
= (1 +
2
1
= (1
2
i
1) = 1
i
i
1) = 0
i
1
= (1
2
1
= (1 +
2
i
1) = 0
i
i
1) = 1
i
(c) Si f (z) = z; demuestre que @f =@z = 0 y @f =@ z = 1
@f
@z
@f
@z
1
2
1
=
2
@(x iy) 1 @(x iy)
+
@x
i
@y
@(x iy) 1 @(x iy)
@x
i
@y
=
(d) Demuestre que el símbolo @f =@z y @f =@ z cumple las reglas de suma, producto y
multiplicación escalar para las derivadas. (página 95 problema 14)
esta demostración es obvia
6. Determine si existen los siguientes límites complejos y encuentre sus valores, si existen:
1
log z
= z =1
z!1 z
1
1
lm
Solution:
1
z
z
z
z
lm
z!1 z
lm
z!1
1
x 1
= lm
=1
x!1
1
x 1
iy 1
1
= lm
=
y!1 iy
1
1
[y ! 0]
1
[x ! 0]
el Límite no existe
(página 105 problema 4)
7. Sea f analítica en una región A y sea
que no está sobre ; muestre que
Z
una curva cerrada en A. Para cualquier z0 2 A
f 0( )
d =
z0
Z
f( )
d
(
z0 )2
Aplicando el teorema integral de cauchy a la primera parte obtenemos
Z
f 0( )
d = 2 if 0 (z0 )
z0
5
Aplicando el teorema integral de cauchy de mayor orden a la segunda parte obtenemos
Z
f( )
d = 2 if 0 (z0 )
(
z0 )2
por lo tanto son iguales
¿Puede usted pensar en una forma de generalizar este resultado?(página 183 problema
6)
si se aplica para cualquier otro orden de n tambien se cumple suempre y ciando la
constantes devidaves de la integración se conserven
P
8. Sea f (z) =
an z n una serie de potencias con radio de convergencia
R > 0: Para
R
culquier curva cerrada en A=fz tal que jzj < Rg muestre que f = 0:
(a) Usando el teorema de Cauchy.
Z
f=
Z X
an z n dz
La integral se distribuye en la suma. Dado que la serie de potencias es analítica
dentro del radio de convergencia la integral de la función es 0
Z
Z X
f=
an z n dz = 0
(b) Justi…cando la integración término a término.(página 241 problema 16)
La deducción es la misma solo que hay que considerar que
X
an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + a3 z 3 + ::::::::an z n
se integra termino a termino
Z X
n
an z dz =
Z
a0 dz +
Z
a1 zdz +
Z
2
a2 z dz +
Z
3
a3 z dz + ::::::::
Z
an z n dz
Si es un contorno cerrado cada una de las integrales tendra que ser 0.
9. Si f es analítica en una región que contiene a un círculo y a su interior, y tienen un
0 de orden 1 únicamente en z0 en el interior o sobre ; muestre que
Z
1
zf 0 (z)
z0 =
dz
2 i
f (z)
utilizando la sugrerencia del libro f (z) = (z)(z
2 iz0 =
Z
zo)
zf 0 (z)
dz
(z)(z zo)
6
y se tiene un polo de orden 1 por lo tanto f 0 (z) = (z)
2 iz0 =
Z
z
(z
zo)
dz
por lo que queda desmostrado
(página 256 problema 10)
10. Si f1 y f2 tienen residuos r1 y r2 en z0 ; muestre que el residuo de f1 + f2 en z0 es r1 +
r2 :(página 274 problema 10)
Primero de…nimos
Re s(f1;Z0 ) = r1 = l m (z
z0 )f1 (z)
Re s(f2;Z0 ) = r2 = l m (z
z0 )f2 (z)
z!z0
z!z0
La desmostración es sencilla por que
F = f1 + f2
Re s(F;Z0 ) =
l m (z
z!z0
z0 )F (z) =
Re s(F;Z0 ) =
Re s(F;Z0 ) =
l m (z
z0 )F (z)
l m (z
z0 ) (f1 + f2 )
l m [(z
z0 )f1 + (z
z!z0
z!z0
z!z0
l m (z
z!z0
Re s(F;Z0 ) = r1 + r2
7
z0 )f2 ]
z0 )f1 + l m (z
z!z0
z0 )f2