Tarea 1 de Ecuaciones Diferenciales Parciales. Ejercicio 1. Escribe

Tarea 1 de Ecuaciones Diferenciales Parciales.
Ejercicio 1. Escribe la EDP linear de primer orden más general en dos y tres variables. ¿Cuantas funciones
es necesario dar para especificar la EDP en cada caso?
Ejercicio 2. Se definen los operadores L1 y L2 por medio de la fórmulas
L1 u(x, y) = d(x, y) ux + e(x, y) uy + f (x, y) u.
L2 u(x, y) = a(x, y) uxx + b(x, y) uxy + c(x, y) uyy
Demuestra que los dos operadores son lineales.
Ejercicio 3. Demuestra que si dos operadores L1 y L2 son lineales, entonces el operador L1 + L2 es también lineal. Utiliza el resultado del ejercicio 1 para demostrar que el operador general de segundo orden
Lu(x, y) = a(x, y) uxx + b(x, y) uxy + c(x, y) uyy + d(x, y) ux + e(x, y) uy + f (x, y) u es lineal.
Ejercicio 4. Encuentra la solución de estado estacionario de la ecuación de calor con las siguientes condiciones de frontera:
a) u(0, t) = T1 , ux (L, t) = 0, con T1 constante.
b) ux (0, t) = h (T0 − u(0, t)), ux (L, t) = Φ, con h, T0 , Φ constantes.
Ejercicio 5. Clasifica las siguientes ecuaciones diferenciales
a) uxx + 3uxy + uyy + 2ux − uy = 0.
b) uxx + 3uxy + 8uyy + 2ux − uy = 0.
c) uxx − 2uxy + uyy + 2ux − uy = 0.
d) uxx + x uyy = 0.
Ejercicio 6. Verifica que u(x, y) = (A1 cos lx + A2 sin lx)(A3 ely ) + A4 e−ly ) satisface la ecuación de Laplace
para cualquier l > 0.
Ejercicio 7. De la definición de funciones hiperbólicas verifica las siguientes propiedades:
a) d(sinh x)/dx = cosh x, d(cosh x)/dx = sinh x.
b) cosh x ≥ sinh x para todo x.
c) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y.
Ejercicio 8. Ecuentra las soluciones separadas de las siguientes ecuaciones:
a) uxx + uyy + 2ux = 0.
b) x2 uxx − 2y uy = 0.
c) uxx + 2ux + uyy = 0.
d) uxx + y uy + u = 0.
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