Derivabilidad - Centro de Matematica

Práctico 3
Matemática I. Curso 2010
Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Derivabilidad
1. Aplicando la definición calcular las derivadas de las siguientes funii) x3 , iii) x4 , iv) xn .
ciones: i) (x + 1)2
2. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a:
(a) f (x) = x2 + 1 en el punto x = 2;
(b) f (x) = log(x + 1) − 1 en el punto x = 0;
(c) f (x) = sin x en los puntos x = 0, x = π/4 y x = π/2.
3. Sea f (x) = ln |2x + 1|. Hallar los puntos del gráfico de f en los cuales
la tangente es paralela a la recta 2x + 3y − 20 = 0.
4. Determinar a, b ∈ R para que las funciones f (x) = x2 + ax + b y
g(x) = ex tengan la misma tangente en el punto de abscisa 0.
5. Usar la aproximación tangente para estimar los valores de (9.002)1/2 ,
(8.004)1/3 y e0.01 . Comparar las aproximaciones obtenidas con las que
da una calculadora.
6. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) (2x + 3)ex
√
d) 5 x/(x2 − 1)
g) (ex − 1)/(ex + 1)
b) x log(x)
e) log |2x2 − x|
h) [x(2x + 1)2 ]1/3
j) cos(x)/(x2 + 1)
k) e2x cos(3x)
m) ex
3
c) 3x+2
x−4
|
f) log | x−1
x+1
2
i) x sen(x)
( )
l) sen ex
2
n) e−x (5 cos(2x) + 2sen(2x)).
7. Bosquejar el gráfico de las siguientes funciones. Estudiar continuidad,
derivabilidad y dibujar las semitangentes en los puntos angulosos.
{ 2
{ 2
x x≤3
x x<2
f (x) =
,
f (x) =
9
x
>
3
2 x≤2

 2
x
x<0
x ≤ 1/e
 e
 x − 1/e2
−x + 1 0 ≤ x ≤ 1 ,
ln x + 1 1/e < x < 1
f (x) =
f (x) =
 2

x −1
x>1
x+1
x≥1
1
8. Determinar a y b para que las siguientes funciones sean derivables:
{
{
x2 − x si x ≤ 0
x2 + ax + b si x ≤ 0
ax + b si x > 0
eax + b
si 0 < x
9. Se definen las funciones seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente
hiperbólica de la siguiente forma:
sinh, cosh, tanh : R → R;
sinh(x) =
ex − e−x
,
2
cosh(x) =
ex + e−x
,
2
tanh(x) =
sinh(x)
.
cosh(x)
Probar que:
(a) sinh′ (x) = cosh(x)
(b) cosh′ (x) = sinh(x)
(c) cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
(d) tanh′ (x) = cosh−2 (x).
10. Utilizando la fórmula para la derivada de la función inversa probar
que:
(a)
(arcsin(x))′ = √
1
1 − x2
(b)
(arccos(x))′ = − √
1
1 − x2
(c)
(arctan(x))′ =
2
1
.
1 + x2