Práctico 5: Derivabilidad

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Matemática I. Curso 2011
Práctico 5: Derivabilidad
Cálculo diferencial
1. Aplicando la definición calcular las derivadas de las siguientes funcioii) f (x) = x3 ,
iii) f (x) = (x + 1)2 .
nes: i) f (x) = c
2. Calcular las derivadas de las siguientes funciones en sus respectivos
dominios:
a) (2x + 3)ex
b) x log(x)
c) 3x+2
x−4
√
d) 5 x/(x2 − 1)
e) log(−2x + 8)
f) log |2x2 − x|
g) (ex − 1)/(ex + 1)
h) (2x + 1)1/3
i) log(xx )
j) cos(x)/(x2 + 1)
k) e2x cos(3x)
l) ex
n) e−x (5 cos(2x) + 2 sen(2x))
o)tan x.
2
m) sen(ex )
3
3. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a los gráficos de las siguientes funciones, en los puntos indicados:
a) f (x) = x2 + 1 en el punto x = 2;
b) f (x) = log(x + 1) − 1 en el punto x = 0;
c) f (x) = sin x en los puntos x = 0, x = π/4 y x = π/2.
4. Sea f (x) = log |2x + 1|. Hallar el punto o los puntos del gráfico de f
en los cuales la tangente es paralela a la recta 2x + 3y − 20 = 0.
5. Determinar a, b ∈ R para que las funciones f (x) = x2 + ax + b y
g(x) = ex tengan la misma tangente en el punto de abscisa 0.
6. Bosquejar el gráfico de las siguientes funciones. Estudiar continuidad,
derivabilidad y dibujar las semitangentes en los puntos angulosos.
2
2
x x≤3
x x<2
f (x) =
,
f (x) =
9
x
>
3
2 x≤2

 2
x
2
e
x
<
0
x
−
1/e
x ≤ 1/e


−x + 1 0 ≤ x ≤ 1 ,
log(x + 1) 1/e < x < 1
f (x) =
f (x) =
 2

x −1
x>1
x+1
x≥1
7. Determinar a y b para que las siguientes funciones sean derivables:
(
(
x2 − x si x ≤ 0
x2 + ax + b si x ≤ 0
ax + b si x > 0
eax + b
si 0 < x
8. Se definen las funciones seno hiperbólico, coseno hiperbólico y tangente
hiperbólica de la siguiente forma:
sinh, cosh, tanh : R → R;
sinh(x) =
ex − e−x
,
2
cosh(x) =
ex + e−x
,
2
tanh(x) =
sinh(x)
.
cosh(x)
Probar que:
a) sinh0 (x) = cosh(x)
b) cosh0 (x) = sinh(x)
c) cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
d ) tanh0 (x) = cosh−2 (x).
9. Utilizando la fórmula para la derivada de la función inversa probar
que:
a)
(arcsin(x))0 = √
1
1 − x2
b)
(arc cos(x))0 = − √
1
1 − x2
c)
(arctan(x))0 =
1
.
1 + x2
Aplicaciones de derivada
1. La difusión de la gripe en una cierta escuela se modela mediante la
ecuación
100
,
P (t) =
1 + e3−t
donde P (t) es el número total de estudiantes infectados t dı́as después
de observar por primera vez la gripe.
a) Estime el número inicial de estudiantes infectados con la gripe.
b) ¿Cuán rápido se difunde la gripe después de tres dı́as?
2. La altura de un proyectil, t segundos después de haber sido lanzado
hacia arriba a partir del suelo con una velocidad inicial de v0 metros
por segundo, está dada por la fórmula:
f (t) = v0 t − 15t2 .
a) Calcular la velocidad media del proyectil durante el intervalo de
tiempo t a t + h.
b) Calcular el tiempo necesario para que la velocidad se anule.
c) Calcular la velocidad al regresar al suelo.
d ) ¿Cuál debe ser la velocidad inicial del proyectil para que regrese
al suelo al cabo de 10 segundos?
e) Probar que el proyectil se mueve con aceleración constante.
La Velocidad media durante un intervalo de tiempo es:
V elM ed =
diferencia de distancias en el intervalo de tiempo
intervalo de tiempo