MA2174 - Departamento de Matemáticas

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DIVISIÓN DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
ASIGNATURA
HORAS/SEMANA
REQUISITOS
VIGENCIA
MA2174
TEORÍA 4
MA2173
DESDE ENERO 1983
MATEMÁTICAS VII
PRÁCTICA 2
HASTA AGOSTO 1984
PROGRAMA
1. Espacio lineal de funciones. Producto interior, norma L2 . Proyección ortogonal. Coeficiente de
Fourier generalizado. Familia ortogonal. Aproximación por cuadrado mínimo. Desigualdad de Bessel. Familia completa; igualdad de Parseval. El manejo de la notación; la familia {einθ }. Problemas
de tipo Sturm-Liouville. Operador simétrico, ortogonalidad de autofunciones. Operadores negativos, autovalores negativos.
2. La serie de Fourier con {cos nx, sen nx}. Paridad e imparidad, series y coseno. Teoremas de convergencia: L2 siempre; absoluta cuando f satisface condición de Lipschitz, puntualmente donde
f tiene derivadas.
Serie de Fourier en la notación compleja. El ejemplo f (0) = exp(ir cos θ), y las funciones de Bessel J(r). Diferenciación e integración de las series de Fourier. El manejo de frecuencias distintas
a 2π. Cómo elegir entre las diversas familias trigonométricas. Serie de Fourier doble.
La transformada de Fourier, para L1 . La convergencia de la integral de Fourier - en media cuando
f ∈ L2 , y puntualmente donde la función es diferenciable. La integral de Fourier en dos variables.
3.
a) La ecuación de calor ut = kuxx en una variable.
1) Las soluciones particulares que surgen por separación de variables.
2) Superposición de soluciones particulares.
3) El problema de valores iniciales sin condiciones de borde, resuelto con la serie ó la
integral de Fourier.
4) El problema de valores iniciales con condiciones de borde; el planteamiento del problema Sturm-Liouville apropiado. (Considérese las condiciones du + β ∂u
∂x = 0).
5) Condiciones de contorno no-homogéneas; la reducción al caso homogéneo que se
obtiene al considerar lı́mt→∞ u (x, t) como nivel de referencia.
6) La ecuación no-homogénea ut − kuxx = g, resuelta por la integral de Duhamel, ó por
el desarrollo de g en serie de Fourier.
b) Las ecuaciones uxx + uyy = λu, y uxx + uyy = 0.
1) Soluciones particulares en coordenadas rectangulares por separación de variables.
2) Reajuste del autovalor con cambios lineales de variables.
3) Las conclusiones particulares en coordenadas polares: rn einθ en el caso uxx + uyy =
0, Jn (r)einθ en el caso uxx + uyy = λu.
4) El problema de Dirichlet en discos y rectángulos, resuelto por superposición y series
de Fourier.
5) Familias {Jn (λn,k r)einθ } en el disco unitario, resolviendo ∆u = λu con condiciones de
borde.
6) La serie de Fourier-Bessel; el cómputo de los coeficientes que involucran J0 .
3.
c) La ecuación de calor ut = kuxx en una variable.
1) Soluciones particulares al separar variables, tanto en coordenadas rectangulares como
en polares.
2) Problemas de valores iniciales sin condiciones de borde, resueltas por la serie de Fourier doble ó la integral de Fourier en R2 .
3) Problemas de valores iniciales con condiciones de borde. El planteamiento del probledu
ma de ∆u = λu como parte, con las condiciones de borde apropiadas (αu + β dn
= 0).
Calor en cilindros y barras rectangulares.
4) Condiciones de borde no-homogéneas la reducción al caso homogéneo tomando la
función armónica lı́mt→∞ u (x, y, t) como nivel de referencia.
d) La ecuación de Laplace en tres variables uxx + uyy + uzz = 0.
1) Soluciones particulares al separar variables, incluyendo las de Jn (r).
2) Resolución del problema de Dirichlet para cilindros y cajas rectangulares.
e) La ecuación de la cuerda c2 uxx = utt .
1) Soluciones particulares al separar variables.
2) El problema de valores iniciales sin condiciones de borde la solución de D’Alembert.
3) El problema de valores iniciales con condiciones de borde, la solución en serie de
Fourier.
4) Vibraciones forzadas, o sea, la ecuación no-homogénea c2 utt − uxx = g. La solución,
o por la integral de Duhamel ó por el desarrollo de g en serie de Fourier.
BIBLIOGRAFÍA:
1. Churchill. Fourier Series and Boundary Value Problems.
2. Kreyszig. Matemáticas para ingenieros. Vol. II