Dinámica Relativista - Centro de Geociencias ::.. UNAM

II. Dinámica Relativista
LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA
FÍSICA MODERNA
II.
DINÁMICA RELATIVISTA
a)
Velocidades Relativistas.
b)
Dinámica Relativista.
c)
Aceleración bajo una fuerza constante.
d)
Invariantes Relativistas.
e)
Transformación de campos electromagnéticos.
M. en C. Angel Figueroa Soto.
Centro de Geociencias, UNAM
[email protected]
http://www.geociencias.unam.mx/~angfsoto/
II. Dinámica Relativista
Objetivo: comportamiento de la naturaleza dado los
postulados :
1.- Como suceden los fenómenos vistos desde diferentes
marcos de referencia.
2.- Principio de Causalidad.
3.- Interacción de cuerpos entre sí
Newton, Lagrange, Hamilton, Poincaré, Einstein
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas.
Cantidad de Movimiento. Masa y Energía
v t
S
mv 
m0 v
2
v
1
c2
S’

 dP d ( mv )
F

dt
dt
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas.
Cantidad de Movimiento. Masa y Energía
s
v t
S
Ec  
s
0
S’
S’

 
s d ( mv )
s
ds s

F  ds  
 ds   d ( mv )   d (mv)v
0
0
dt
dt 0
mv
v
0
0
Ec   d ( mv )v   d (
m0 v
1  v2 c2
)v
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas.
Cantidad de Movimiento. Masa y Energía
s
v t
S
Ec 
Ec  ET  m0 c
2
m0 c 2
1  v2 c2
S’
S’
 mo c 2  mc 2  m0 c 2
ET  Ec  m0 c 2
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas.
Cantidad de Movimiento. Masa y Energía
s
S
v t
2
v
Para bajas velocidades:
1 
2
c
S’
1 v2
 1
2
2
2 c2
1 v c
1
1
Ec  mo c  m0 v 2
2
2
S’
¿?
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas.
x’
v t
S
x' 
x  vt
v2
1 2
c
Obtener
S’
t’
vx’
v
t 2 x
c
t'
v2
1 2
c
dx '  ?
dt '  ?
y  y'
z  z'
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas.
x’
S
x' 
dx ' 
x  vt
v2
1 2
c
dx  vdt
1  v2 c2
v t
t’
S’
vx’
v
t 2 x
c
t'
v2
1 2
c
v
dx
2
c
dt ' 
1  v2 c2
dt 
y  y'
z  z'
Velocidad medida desde el
sistema de referencia S’:
dx '
v 
dt '
'
x
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas.
x’
v t
S
S’
t’
vx’
Obtener las velocidades medida desde el sistema de referencia S’:
dx '
v 
dt '
'
x
dy '
v 
dt '
'
y
dz '
v 
dt '
'
z
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas.
x’
S
v t
S’
t’
vx’
Obtener las velocidades medida desde el sistema de referencia S’:
vx  v
v 
v
1  2 vx
c
'
x

v2 
vy  1  2 


c

v 'y  
 v 
 1  vx 
 c 

v2 
vz  1  2 


c

vz'  
 v 
1  vx 
 c 
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas. Transformaciones Inversas
x
S
v t
S’
t
vx
Velocidades desde el sistema S:
x
x ' vt '
v2
1 2
c
dx  ?
v
t ' 2 x '
c
t
v2
1 2
c
dt  ?
y  y'
z  z'
Velocidad medida desde el
sistema de referencia S:
dx
dy
vx 
vy 
dt
dt
dz
vz 
dt
II. Dinámica Relativista
Análisis Vectorial y Matricial
Que es un Escalar, Vector, Matriz.
Sistema de Coordenadas.
Suma, Resta, Productos Escalar y Vectorial de Vectores.
Suma, Resta, Multiplicación de Matrices. Orden y Rango de matrices.
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
Los tensores son importantes en muchas áreas de la física, como relatividad
general y electrodinámica.
Los escalares y los vectores son un caso especial de los tensores.
Un escalar está especificado por un número real y es un tensor de rango 0.
En el espacio de tres dimensiones, un vector es especificado por 3=31
números reales, y es un tensor de rango 1.
Un tensor de rango n tiene 3n componentes.
Describir el mundo físico por medio de las matemáticas, pero una predicción
física debe de ser independiente de la convección matemática, tal como el
sistema coordenado con su origen arbitrario o la orientación de sus ejes.
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
Tensor de Rango 1
 a11

Ai'   aij A j  aij A j   a21
j
a
 31
a12
a22
a32
a13   A1 
 
a23   A2 
a33   A3 
Tensor de Rango 2
 A11
 21
kl
A A
 A31

A12
22
A
A32
A13 
23 
A 
A33 
Aij'   akl blj Ckl
i
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
En general, los tensores son sistemas de componentes organizados por uno o
más índices que transforman, de acuerdo a reglas específicas bajo un
conjunto de transformación.



ˆ
ˆ
  1 x  2 y  3 zˆ
x
x
x
 '
 x j
  j 'i
'i
x
j x x
El número de índices es llamado el rango del tensor.
En Cuatro dimensiones, las transformaciones son las transformaciones de
Lorentz, y los tensores de rango 1 son llamados cuadri vectores
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
Convenio de suma de Einstein
Amn  Anm
Tensor Simétrico.
Amn   Anm
Tensor Anti simétrico.
 ij
Delta de Kronecker
Símbolo de Levi-Civita
Tensor de Rango 3
 ijk
1

0
 ijk  pqk   ip jq   iq jp
1

0
 1

 ijk   jki   kij
 ijk   ikj   jik   kji
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
Producto Escalar
A B  C
ci  ai bi
Producto Vectorial.
A B  C
ci   ijk a j bk
Rotacional y Divergencia
 A
(  A)i   ijk  j Ak
 A
(  A)i   i Ai
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
A  (B  C)
ai ( klm bl cm )i  ai ilm bl cm   ilm ai bl cm
 lmi ai bl cm  bl  lmi cm ai
 mil ai bl cm  cm mil ai bl
B  (C  A)
C  ( A  B)
 iml ai bl cm   ai iml cm bl
 A  (C  B )
 mli ai bl cm  cm mli bl ai
C  ( B  A)
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
D  A (B  C)
d i   ijk a j ( B  C ) k   ijk a j ( lmn bm cn ) k
d i   ijk a j  kmn bm cn
d i   ijk  kmn a j bm cn   ijk  mnk a j bm cn
d i  ( im jn   in jm )a j bm cn
d i   im jn a j bm cn   in jm a j bm cn
d i   ii jj a j bi c j   ii jj a j b j ci
d i  bi a j c j  ci a j b j
D  B( A  C )  C ( A  B)
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
( A  B )  (C  D)
( A  B )i (C  D )i
( ijk a j bk )( ipq c p d q )   ijk a j bk  ipq c p d q   jki pqi a j bk c p d q
 jki pqi a j bk c p d q  ( jp kq   jq kp )a j bk c p d q
 jp kq a j bk c p d q   jq kp a j bk c p d q   jj kk a j bk c j d k   jj kk a j bk ck d j
a j bk c j d k  a j bk ck d j  a j c j bk d k  a j d j bk ck
( A  C )( B  D )  ( A  D )( B  C )
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
  ( A  B)
  ( A  B)
  (  A)
  (  A)
II. Dinámica Relativista
Transformación de Campos Electromagnéticos
Ecuaciones de Maxwell
  
E  E (r , t )
  
B  B(r , t )

   (r , t )
  
J  J (r , t )

E  

B  0


  E   t B

 
  B   t E  J
Ley de Gauss campo
Eléctrico
Ley de Gauss campo
Magnético
Ley de Faraday
Ley de Ampere

  E   x Ex   y E y   z Ez   i Ei


B   A


Bi  (  A)i ijk  j Ak
II. Dinámica Relativista
Ecuaciones de Maxwell
  
E  E (r , t )
  
B  B(r , t )

   (r , t )
  
J  J (r , t )

E  

B  0


  E   t B

 
  B  t E  J


  E   t (  A) 



E   t A  
Ley de Gauss campo
Eléctrico
Ley de Gauss campo
Magnético
Ley de Faraday
Ley de Ampere


  ( E   t A)  0



E     t A
Ei   i0   t Ai
II. Dinámica Relativista
Ecuaciones de Maxwell
  
E  E (r , t )
  
B  B(r , t )

   (r , t )
  
J  J (r , t )

 t (  E )   t 



t   E    J  0

E  

B  0


  E   t B

 
  B  t E  J
Ley de Gauss campo
Eléctrico
Ley de Gauss campo
Magnético
Ley de Faraday
Ley de Ampere



  (  B )    ( t E )    J  0

t     J  0
Ley de Conservación de la carga
eléctrica
II. Dinámica Relativista
Ecuaciones de Maxwell
  
E  E (r , t )
  
B  B(r , t )

   (r , t )
  
J  J (r , t )

E  

B  0


  E   t B

 
  B  t E  J
Ley de Gauss campo
Eléctrico
Ley de Gauss campo
Magnético
Ley de Faraday
Ley de Ampere
Definimos los cuadrivectores:
Cuadri Velocidad
V  (Vt , Vx , Vy , Vz )
Vt 
c
1  v2 c2
,
Vi 
V
1  v 2 c2
,
Cuadri Operador:
   ( t ,  x ,  y ,  z )  ( t ,  )
 0   t , 1   x ,
 2   y , 3   z
Cuadripotencial:

  ( ,  A)
0  1 , 1   Ax , 2   Ay , 3   Az
II. Dinámica Relativista
Ecuaciones de Maxwell
  
E  E (r , t )
  
B  B(r , t )

   (r , t )
  
J  J (r , t )

E  

B  0


  E   t B

 
  B  t E  J
Ley de Gauss campo
Eléctrico
Ley de Gauss campo
Magnético
Ley de Faraday
Ley de Ampere
Definimos la cuadri corriente:

j  (  ,  J )
j0   , j1   J x , j2   J y ,
j3   J z
El campo Electromagnético:
F      
 ,   0,1, 2,3
II. Dinámica Relativista
Ecuaciones de Maxwell
El campo Electromagnético:
F      
F0i   0i   i0   t ( Ai )   i0   t Ai   i0  Ei
II. Dinámica Relativista
8. Un hombre abandona la tierra en una nave cohete que hace el
recorrido de ida y vuelta a una estrella, situada a una distancia de 4 añosluz a la velocidad de 0.9c (OJO: Distancia y velocidad medidas desde la
tierra). A su regreso a la tierra ¿cuánto tiempo es más joven que su
hermano gemelo que permaneció en ella? (Un año luz es igual a 9.46 x
1015m).
t
t:
t0
1 v
2
t0  1  v
2
d (2)(4)(9.46 1015 )
t 
 8.8años
v
0.9c
c2
c
2
Tiempo desde el sistema S
t
t0 :
Tiempo desde el sistema S’
t0  3.8años
t  t0  5años