O t - Cinvestav

TEORÍA DE CAMPO: FORMALISMO A TEMPERATURA CERO
I- INTRODUCCIÓN
I- IMÁGENES
II- TRANSFORMACIÓN DE C DE C+
Para describir un sistema cuántico, usamos
El vector de Estado
|Ψ >
Averiguamos los valores de las variables
dinámicas tomando el valor esperado de los
operadores correspondientes
En particular, el Hamiltoniano nos permite
describir la evolución temporal del sistema
Por medio de la Ec. De Schrödinger
Ô
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
∂
ih | Ψ >= Hˆ | Ψ >
∂t
Que, o bien tiene solución exacta (en un par de casos), o bien se resuelve,
en forma aproximada, cuando la energía representada por H1 es pequeña
con respecto a los eigenvalores de H0, con teoría de perturbaciones a
diferentes órdenes. Si H1 no es pequeño, recurrimos a métodos
variacionales, entre otros. En el caso de un problema de muchos cuerpos
debemos recurrir a nuevos métodos.
Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
Motivación: En muchos casos de interés, el resultado de los primeros órdenes
en teoría de perturbación no es suficiente para describir adecuadamente un
sistema de muchas partículas que interactúan entre ellas. Por esa razón es
esencial desarrollar un método que permita resolver la Ecuación de Shrödinger
a todo orden en teoría de perturbación.
Para desarrollar esa idea es conveniente tener la posibilidad de manejar
la evolución temporal del sistema en diferentes formas.
∂
< Ψ | Oˆ | Ψ >=
∂t
⎛∂
⎞ˆ
⎛ ∂ ˆ⎞
⎛∂
⎞
ˆ
= ⎜ < Ψ |⎟ O | Ψ > + < Ψ | ⎜ O ⎟ | Ψ > + < Ψ | O ⎜ | Ψ > ⎟
⎝ ∂t
⎠
⎝ ∂t ⎠
⎝ ∂t
⎠
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
⎛∂
⎞ˆ
⎛ ∂ ˆ⎞
⎛∂
⎞
ˆ
= ⎜ < Ψ |⎟ O | Ψ > + < Ψ | ⎜ O ⎟ | Ψ > + < Ψ | O ⎜ | Ψ > ⎟
⎝ ∂t
⎠
⎝ ∂t ⎠
⎝ ∂t
⎠
EVALUAR LAS DERIVADAS CON RESPECTO AL TIEMPO PLANTEA EL
PROBLEMA DE DÓNDE ESTÁ LA INFORMACIÓN DE LA EVOLUCIÓN
TEMPORAL DEL SISTEMA.
LA RESPUESTA CONDUCE AL CONCEPTO DE IMAGEN
IMAGEN DE SHRÖDINGER
IMAGEN DE HEISENBERG
IMAGEN DE INTERACCIÓN
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
¿Cuál es la idea?
Consideremos el valor esperado de un operador en un sistema concreto
< Φ | Oˆ | Φ >
∂
< Φ | Oˆ | Φ >
∂t
¿Cómo evoluciona este valor en el tiempo?
¿en dónde está la información sobre la evolución temporal del sistema?
En nuestro ejemplo anterior, un operador puede ser:
Y la función de onda:
| Φ >= Π i | ψ ( xi , t ) >
con
∂
Oˆ = ∑ pˆ x(i ) = −ih ∑ i
i
i ∂x
1 i (k .r −ωt )
e
| ψ ( xi , t ) >=
V
La información está en la función de onda, en este caso
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
Ec. De Shrödinger
∂
ih | Ψ s (t ) >= Hˆ | Ψ s (t ) >
∂t
Donde el Hamiltoniano no depende del tiempo, sólo el vector de estado
Una solución formal de la evolución temporal puede obtenerse de la forma
| Ψ s (t ) >= e
i
− Hˆ ( t −t0 )
h
| Ψ s (t0 ) >
Esto constituye la “imagen de Schrödinger”
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
Imagen de Interacción
Supongamos que el Hamiltoniano , en la imagen de Schrödinger, no
depende del tiempo y puede expresarse de la forma siguiente
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ 1
Además, suponemos que H0 representa un problema soluble. ¿Cómo
podemos incluir todos los efectos de HI (Que no tiene que ser una
perturbación pequeña)? Definimos el vector de estado en la imagen de
interacción de la manera siguiente:
| Ψ I (t ) >≡ e
i ˆ
H 0t
h
| Ψ s (t ) >
Lo cual representa una transformación unitaria en el tiempo t.
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
| Ψ I (t ) >≡ e
Imagen de Interacción
i ˆ
H 0t
h
| Ψ s (t ) >
Es fácil encontrar la ecuación de movimiento para este vector de estado:
i ˆ
H 0t ∂
∂
i ˆ hi Hˆ 0t
h
| Ψ I (t ) >= H 0 e
| Ψ s (t ) > + e
| Ψ s (t ) >
∂t
h
∂t
i ˆ
= H 0e
h
i ˆ
H 0t
h
| Ψ s (t ) > + e
i ˆ
H 0t
h
i ˆ
(− ) H | Ψ s (t ) >=
h
i hi Hˆ 0t ˆ − hi Hˆ 0t hi Hˆ 0t
i hi Hˆ 0t ˆ − hi Hˆ 0t
= − e H1e
e
| Ψ s (t ) >= − e H1e
| Ψ I (t ) >
h
h
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
| Ψ I (t ) >≡ e
Imagen de Interacción
i ˆ
H 0t
h
| Ψ s (t ) >
∂
i hi Hˆ 0t ˆ − hi Hˆ 0t hi Hˆ 0t
e
| Ψ I (t ) >= − e H1e
| Ψ s (t ) >=
∂t
h
Definimos:
Hˆ I ≡ e
i ˆ
H 0t
h
Hˆ 1e
i
− Hˆ 0t
h
La Ecuación de movimiento en la imagen de interacción queda:
∂
ih | Ψ I (t ) >= Hˆ I | Ψ I (t ) >
∂t
Oˆ I (t ) ≡ e
Y los operadores se definen:
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i
H 0t
h
Oˆ s e
i
− Hˆ 0t
h
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
∂
ih | Ψ I (t ) >= Hˆ I | Ψ I (t ) >
∂t
Imagen de Interacción
Oˆ I (t ) ≡ e
i
H 0t
h
Oˆ s e
i
− Hˆ 0t
h
∂ ˆ
ih OI (t ) = [Oˆ I (t ), Hˆ 0 ]
∂t
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DEMOSTRAR
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
Imagen de Heisemberg
| Ψ H (t ) >≡ e
i ˆ
Ht
h
| Ψ s (t ) >
∂
ih | Ψ H (t ) >= 0
∂t
Oˆ H (t ) ≡ e
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i ˆ
Ht
h
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Oˆ s e
i ˆ
− Ht
h
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
IMÁGENES
DEPENDENCIA DEL TIEMPO
OPERADOR
VECTOR DE ESTADO
Imagen de Shrödinger
NO
SI
Imagen de Heisemberg
SI
NO
Imagen de Interacción
SI
SI
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
Imagen de Interacción
Dependencia en el tiempo de los operadores de creación y aniquilación
Adoptemos una representación en la
cual H0 es diagonal con eigenvalores
hωk
Ĥ 0 = ∑ hωk ck+ ck
k
∂
iHˆ 0t / h
− iHˆ 0t / h
ˆ
ˆ
⎡ ckS , H 0 ⎤ e
ih ckI (t ) = ⎡⎣ckI (t ), H 0 ⎤⎦ = e
= hωk ckI (t )
⎣
⎦
∂t
ckI (t ) = ck e
− iωk t
y
ck+I (t ) = ck+ eiωk t
El tiempo aparece sólo como una fase exponencial compleja lo que se traduce
en que las propiedades de los operadores de creación y aniquilación son las
mismas en la imagen de Schrödinger y en la de interacción.
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COMPROBAR
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
Imagen de Interacción
Las Relaciones de Conmutación para los operadores de creación y
aniquilación en la imagen de interacción son las mismas que las de los
operadores en la imagen de Scrodinger que ya vimos anteriormente (Ver
Operadores de Campo). Las repito enseguida.
Cualquier operador en la imagen de Schrodinger puede expresarse en
términos de la serie completa de operadores Ck y Ck+ que generan
eigenestados de H0.
De acuerdo a las expresiones anteriores, el operador correspondiente, en
la imagen de interacción, se obtiene mediante el reemplazo:
+
k
+
ck → ckI (t ) y c → ckI (t )
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DEMOSTRAR
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Teoría de Campo no relativista: Aplicación a Superconductividad
DEMOSTRACIÓN
+
ˆ
OSk = ∑ Ok ck ck
Oˆ I (t ) ≡ e
k
Oˆ Ik (t ) = ∑ Ok e
i
i
H 0t
− H 0t
+
h
h
k
c e
e
i ˆ
H 0t
h
ck e
i
− Hˆ 0t
h
k
∑O c c = ∑O c
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Oˆ s e
i
− Hˆ 0t
h
= ∑ Ok cI+k (t )cIk (t )
k
+
k k k
k
i
H 0t
h
+
k Ik
(t )cIk (t )
k
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