Prueba 02-Unidad II-MathII-15%Versión01 New

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO BARINAS
INSTRUCCIONES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Llene todos los datos en letra imprenta.
Espere que el profesor de la orden de comenzar la prueba.
Lea cuidadosamente cada una de las preguntas antes de contestar.
Deberá formular cualquier pregunta durante los primeros 10 minutos del examen, que tenga relación con la prueba que se está
aplicando, en voz alta para beneficio del grupo.
Usted tendrá para responder un tiempo comprendido entre las _________ y las _________ horas.
Absténgase de consultar a sus compañeros, ya que esto es una falta grave establecida en el Artículo 45 Numeral 10 del
Reglamento Disciplinario de la UNEFA.
Cuide su redacción y ortografía.
APELLIDOS Y NOMBRES:
C.I.:
1)_____________________________________________
1)__________________
NOTA:
DEPARTAMENTO: Ingeniería de petróleo
SEMESTRE: III-
SECCIÓN: F
PRUEBA: Unidad II versión 01
ASIGNATURA: Matemática II
NOMBRE DEL DOCENTE:
(ponderación 15%)
FECHA:03/06/10
Lcdo. Eliezer Montoya
1) Representar la gráfica de la g (t ) = t 3 − 6t 2 + 8t función y hallar el área entre la
gráfica y el eje x con respecto las rectas t =0 y t = 5 (3ptos)
2) Hallar el área de la región formada por las dos gráficas
2.1 f ( x) = x 2 y g ( x ) = 2 x + 5
(2.5 ptos)
4
2.2 f ( x ) = cos ( x ) y g ( x) = 1 − cos ( x ) para −
π
3
≤x≤
π
3
(2.5 ptos)
3) Hallar el volumen del sólido generado girando la región limitada por los
gráficos de las ecuaciones y = 2 x 3 , y = 2 y x = 0 sobre el eje y. (3ptos)
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Lcdo. Eliezer Montoya
4) Encuentre el volumen del sólido generado girando la región limitada por los
gráficos de las curvas dadas sobre el eje indicado y = x 3 , x = 2 y el eje x sobre el
eje y
(4ptos)
3/ 2
1
5) Encontrar la longitud del arco formado por la curva y = ( x 2 + 2 ) desde x=0
3
hasta x= 3 (3ptos)
6) La aceleración de una partícula viene dada por a (t ) = t 2 + 2t + 1 m/s2, calcular la
velocidad recorrida en el intervalo que va desde t =3 hasta t = 6seg. (2ptos)
Solución:
1) Representar la gráfica de la g (t ) = t 3 − 6t 2 + 8t función y hallar el área entre la
gráfica y el eje x con respecto las rectas t =0 y t = 5 (este problema esta planteado
en la guía didáctica discutida en clases corresponde al ejercicio número 8)
La grafica de g (t ) = t 3 − 6t 2 + 8t viene dada por:
g (t ) = t 3 − 6t 2 + 8t
Factorizamos
g (t ) = t ( t 2 − 6t + 8 )
g (t ) = t ( t − 4 )( t − 2 )
Vemos que las raíces son:
t=0 ,t= 2,t = 4
La primera derivada nos da los puntos
máximos o mínimos
g , (t ) = 3t 2 − 12t + 8 = 0
t1=3,15 y t2=0,85
La segunda derivada nos da información
sobre el pto. de inflexión
g ,, (t ) = 6t − 12 = 0
0 = 6t − 12
12
t=
=2
6
Tabla de valores
t
0
0.85
y=g(t) 0
3.08
1
3
2
0
3
-3
3.15
-3.08
4
0
5
15
Comentario [P1]: Pto Máximo
Comentario [P2]: Pto Mínimo
El área formada por la curva y las rectas t= 0 y t =4 , viene dada por: A total = A1-A2
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5
2
4
5
0
0
2
4
A = ∫ ( t 3 − 6t 2 + 8t ) dt = ∫ ( t 3 − 6t 2 + 8t ) dt − ∫ ( t 3 − 6t 2 + 8t ) dt + ∫ ( t3 − 6t 2 + 8t ) dt =
2
4
5
 t 4 6t 3 8t 2   t 4 6t 3 8t 2 
 t 4 6t 3 8t 2 
+
+
+
= −
 − −
 + −
 =
4 3
2  4 3
2 
2 
4 3

0
2
4
2
4
5
 t4
 t4
 t4
3
2
3
2
3
2
=  − 2t + 4t  −  − 2t + 4t  +  − 2t + 4t 
4
0 4
2 4
4
 (2)4
   (4)4
  (2)4

− 2(2)3 + 4(2)2 
=
− 2(2)3 + 4(2)2  + − 
− 2(4)3 + 4(4)2  + 
  4

 4
   4
5
4
 (5)4

3
2   (4)
3
2
+ 
− 2(5) + 4(5)  − 
− 2(4) + 4(4)  =
  4
 4
 4
 625


= 4 − 16 + 16 + − ( 64 −128 + 64) + 4 − 16 + 16  + 
− 250 + 100  − ( 64 −128 + 64)  =

  4


(
)
(
)
25 32 + 25 57
 625

 625 − 600 
= 4+4+ 
−150 = 8 + 
=8+ =
= ua ≈ 14.25ua

4
4
4
4

 4


2) Hallar el área de la región formada por las dos gráficas
2.1) f ( x) = x 2 y g ( x) = 2 x + 5
4
Igualemos ambas ecuaciones para hallar los puntos de intercepción, que dando en
presencia de una ecuación de segundo grado:
f ( x ) = g ( x) es decir, y = y
a = 1

x = 2 x + 5 ⇒ x − 2 x − 5 = 0 ⇒ b = −2 
4
4
c = −5 / 4 
2
2
−b ± b 2 − 4ac 2 ± 4 − 4 .(1)(−5 / 4 ) 2 ± 4 + 5 2 ± 9 2 ± 3
=
=
=
=
2a
2
2
2
2
2+3 5
x1 =
= ≈ 2.5
2
2
2−3
1
x2 =
= − ≈ 0.5
2
2
x=
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Con estos valores podemos encontrar los puntos donde se interceptan la recta y la
parábola
Para x = 5 / 2 → f (5 / 2) = (5 / 2)2 = 25 / 4 ≈ 6.25
Para x = −1/ 2 → f (−1/ 2) = (−1/ 2)2 = 1/ 4 ≈ 0.25
Ahora podemos diseñar una tabla de valores entre 5/2 y -1/2 para visualizar el área
buscada entre las dos curvas
x
-1/2
0
1
2
5/2
f ( x) = x 2
1/4
0
1
4
25/4
g ( x) = 2 x + 5
1/4 =0,25
5/4=1,25
13/4=3,25
21/4=5,25
25/4=6,25
Ahora estamos podemos calcular el área formada entre las curvas, que viene hacer la
diferencia entre el área de la recta menos el área de la parábola
5/ 2
5/ 2
5/ 2
2
3


2
x
5
x
2
A = ∫ ( g ( x) − f ( x ) ) dx = ∫  2 x + 5 − ( x )  dx = 
+ x− 
4


4
3
 2
−1/ 2
−1/ 2
−1/ 2
(
)
5/ 2
 2 5
x3 
30 126
 25 25 125 / 8   1 5 1/ 8 
=x + x− 
= +
−
−
=
− − +
=6+
4
3
8
3  4 8
3 
8
24
 4

−1/ 2
= 6+
15 21
6 24 − 6 18 9
−
=6− =
=
= ua ≈ 4.5ua
4
4
4
4
4 2
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4
2.2 ) f ( x) = cos ( x ) y g ( x) = 1 − cos ( x ) para −
π
π
≤x≤
3
3
Calculemos el área entre la curva superior menos la inferior, es decir, f(x) – g(x)
A=∫
π /3
−π / 3
π /3
π /3
( f ( x) − g ( x) )dx = ∫−π / 3 ( cos( x) ) − (1 − cos ( x ) ) dx = 2∫0 ( 2 cos( x) − 1) dx =
π /3

3 2π
π  π 
= 2.  2 sin   −  − 2.   2 sin ( 0 ) − 0   = 4 .
−
=
3
3
3
2
 


= 2 ( 2 sin( x ) − x) )
0
2π

= 2 3 −
3

2(3 3 − π )

ua
 ua =
3

3) Hallar el volumen del sólido generado girando la región limitada por los
gráficos de las ecuaciones y = 2 x 3 , y = 2 y x = 0 sobre el eje y.
1º Encontremos la inversa la función dada y = 2 x 3
y = f ( x) ⇒ y = 2 x 3 , ⇒
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y
= x3 ⇒ x =
2
3
y
⇒ g ( y) =
2
3
y
2
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b
Vgira sobre el eje y = π ∫ ( g ( y ) ) dy ⇒ Método del disco
2
a
2
 y
π
V = π ∫  3  dy = 3
0
4
 2
2
∫
2
0
y
2/3
dy =
π  y5/ 3 
2

 =
3
4  5/3
0
π  25 / 3
3
05 / 3
−

4 5/3 5/3

π 2. 3 4 6π
=
uc
 =
3
5
4 5/3

4) Encuentre el volumen del sólido generado girando la región limitada por los
gráficos de las curvas dadas sobre el eje indicado y = x 3 , x = 2 y el eje x sobre el
eje y
Para x=0 , entonces y=0
Para x=2 , entonces y=8
Si y = x 3 ⇒ 3 y = x
Es decir g ( y ) = 3 y
Usando el método de arandelas, haciéndola girar
alrededor del eje y tenemos:
8
(
V = π ∫ (2)2 −
0
8
( y ) ) dy = π ∫ ( 4 − y ) dy =
2
2/3
3
0
8

y5 / 3 
= π 4 y −
=π
5 / 3 

0

3.(8)5 / 3 
 4(8) − 5  =




3.(23 )5 / 3 
3.215 / 3 
= π 32 −
=
32
−
=
π


5
5 



 5.32 − 3.32 
 2.32  64
=π 
=π 
=
π ≈ 40.192uc

5


 5  5
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5) Encontrar la longitud del arco formado por la curva y =
3/ 2
1 2
x + 2 ) desde x=0
(
3
hasta x= 3
1º.-Calculemos la derivada de la función y =
3/ 2
1 2
dy dy du
(por la
x + 2) ⇒
=
.
(
3
dx du dx
u
1
regla de la cadena: la derivada de la función externa y = u 3/ 2 , por la derivada de la
3
2
función interna u = ( x + 2 ) , de esta manera
3
3/ 2 
−1 d
1/ 2
dy d  1 2
1 3 2
1
2 .
=
x
+
2
=
.
x
+
2
x2 + 2) = ( x2 + 2)
2x + 0
(
)
(
)
(


dx dx  3
dx
2
 3 2
1/ 2
dy
= x ( x2 + 2)
dx
(
)
2º.-La longitud del arco s la podemos calcular a través de:
s=∫
3
0
2
3
3
3
1/ 2 2
 dy 
1 +   dx = ∫ 1 + x ( x 2 + 2 )
dx = ∫ 1 + ( x 4 + 2 x 2 )dx = ∫ x 4 + 2 x 2 + 1 dx
0
0
0
 dx 
(
)
3
 x3

 (3)3

= ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) dx =  + x  = 
+ (3)  − 0 = (9 + 3) = 12 unidades
0
0
 3
0  3

factorizando y simplificando raices
3
2
2
3
2
6) La aceleración de una partícula viene dada por a (t ) = t 2 + 2t + 1 m/s2, calcular la
velocidad recorrida en el intervalo que va desde t =3 hasta t = 6seg.
v(t ) = ∫
t =b
t =a
6
 t3 2t 2

+t
a (t ) dt = ∫ ( t + 2t + 1) dt =  +
2
2
3
3
5
2
 (6)3
  (3)3
 216
=
+ (6) 2 + (6)  − 
+ (3) 2 + (3)  =
+ 36 + 6 − 9 − 9 − 3 = 72 + 42 − 21 =
3
 3
  3

= 114 + 21 = 93 m
s
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