Grafica Nro 04.

Lcdo Eliezer Montoya
Grafica de función cúbica usando criterio de la 1ª y 2ª derivada
Julio 2010
Ejercicio Nro 4. Dada la función y = x3 − 3 x 2 − 9 x + 9
Hallar todos los valores aplicando los criterios de la primera y segunda derivada.
Función polinomial de 3er orden o Función Cúbica
Nombre de la función
y = x3 − 3 x 2 − 9 x + 9
1-Dominio f(x)
Rango f(x)
2.-Corte con los ejes
3.-Puntos críticos donde
f´(x) =0
Dom f(x) = R
Rgo f(x) = R
Corte con el eje X
Se hace y=0 tenemos una ecuación de tercer grado con
raíces reales
(-2.37;0) ;(0,83;0) y (4,55;0)
Corte con el eje Y
Se hace x=0 y se obtiene que
(0,9)
dy
= 3 x 2 − 6 x − 9 ⇒ 0 = 3x 2 − 6 x − 9 factorizando o aplicando la ecuación de segundo grado (lo haremos por
dx
factorización de un trinomio )
3x
2
( 3x )
− 6x − 9 = 0 ⇒
 x1 = 3

 x2 = −1
4.-Intervalos de crecimiento
y decrecimiento
* f´(a)>0 → crece ,
* f´(a)<0 → decrece
5.-Coordenadas del punto
Máximo y Mínimo
f´(xc) >0 → Mínimo
f´(xc)<0 → Máximo
6.-Puntos de inflexión
f´´(x) = 0
f´´(x)>0 → cóncava hacia
arriba
f´´(x)<0 → cóncava hacia
2
(
entonces los valores críticos son 3 y -1
( −∞, −1] crece
[3, +∞ ) crece
(−1,3) decrece
Máximo : (xc, f(xc))
Mínimo: ( xc , f(xc))
3
Max:
)
− 6 ( 3 x ) − 9.3
( 3x − 9 )( 3x + 3) = 3 x − 9 ( 3x + 3) = 0 ⇒ x − 3 3x + 3 = 0
=0 ⇒
( )(
)
3
3
3
2
y = f (−1) = (−1) − 3(−1) − 9(−1) + 9
Min :
= −1 − 3 + 9 + 9 = −4 + 18 = 14
(-1,14)
Punto de inflexión
= 1 − 3 − 9 + 9 = −2
= 27 − 27 − 27 + 9 = −18
(3,-18)
Luego desde ( −∞,1] es Cóncava hacia abajo
2
d y
= 6x − 6 ⇒ 0 = 6x − 6 ⇒ x = 6 = 1
6
dx 2
3
y = f (1) = (1) − 3(1) 2 − 9(1) + 9
y = f (3) = (3)3 − 3(3) 2 − 9(3) + 9
pues la segunda derivada es negativa
(1-2)
Y desde [1, +∞ ) es Cóncava hacia arriba pues la
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abajo
Comparamos el signo de la segunda derivada
 f ´´(0) < 0
f ´´( x) = 6 x − 6 
 f ´´(2) > 0
7.-Asintotas.
No presenta asintotas
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segunda derivada es positiva.
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En verde la grafica de la función de la primera derivada de f(x)