REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO BARINAS
INSTRUCCIONES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Llene todos los datos en letra imprenta.
Espere que el profesor de la orden de comenzar la prueba.
Lea cuidadosamente cada una de las preguntas antes de contestar.
Deberá formular cualquier pregunta durante los primeros 10 minutos del examen, que tenga relación con la prueba
que se está aplicando, en voz alta para beneficio del grupo.
Usted tendrá para responder un tiempo comprendido entre las _________ y las _________ horas.
Absténgase de consultar a sus compañeros, ya que esto es una falta grave establecida en el Artículo 45 Numeral 10
del Reglamento Disciplinario de la UNEFA.
Cuide su redacción y ortografía.
APELLIDOS Y NOMBRES:
C.I.:
1)_____________________________________________
1)_____________
2)_____________________________________________
2)_____________
DEPARTAMENTO: Ingeniería de petróleo
SEMESTRE:
NOTA:
SECCIÓN: F
FECHA:21/05/10
IIIPRUEBA: Unidad II
ASIGNATURA: Matemática II-
versión 02 (ponderación
NOMBRE DEL DOCENTE:
Lcdo. Eliezer Montoya
10%)
1. Calcular la integral definida de:
3
e (ln x )
1
xdx
b)
c) ∫ e6 x sin 5 xdx
=
∫ 2 ( x + 1)( x + 2)
∫1 x dx
0
(2 ptos cada uno)
2. (a) Representar la grafica de la función f (conocida como función por partes o
a trozos) (b) Hallar el área entra la gráfica de f el eje x desde
a)
4
x= a hasta x = b y hallar
∫
b
a
f ( x)dx
x3
2
+
para − 3 ≤ x ≤ 0
4
f ( x) = x 2 − x − 2
para 0 < x ≤ 3
16 − 4 x
para 3 < x ≤ 7
; a = −3 y b = 7
(6 ptos)
http://elimath.jimdo.com
Lcdo. Eliezer Montoya
3. Con la ayuda grafica .Calcula el área limitada por la parábola y = x 2 − 2 x − 3 y
el eje x
(2 ptos)
4. (a) Calcular el área entre la parábola y = 2 x − x 2 y la recta y = − x
(3ptos)
4(b) Calcular el área entre la parábola x = y − y y el eje y
2
(3ptos)
http://elimath.jimdo.com
Lcdo. Eliezer Montoya
Soluciones:
Calcular la integral definida de:
xdx
= La integral definida, esta dada por una división de
( x + 1)( x + 2)
polinomios (fracción propia), por tanto , descomponemos en fracciones parciales:
x
A
B
=
+
( x + 1)( x + 2) ( x + 1) ( x + 2)
1º Multiplicamos toda la expresión por ( x + 1), simplificamos y evaluamos para x = -1
a) ∫
4
2
( x + 1)
x
A
B
−1
−1
=
( x + 1) +
( x + 1) ⇒
= A + B.(0) ⇒ A = = −1
( x + 2)
−1 + 2
1
( x + 1) ( x + 2) ( x + 1)
2ºMultiplicamos ahora toda la expresión por ( x + 2), simplificamos y evaluamos para x = -2
x
−2
−2
A
B
( x + 2)
=
( x + 2) +
( x + 2) ⇒
= A.(0) + B ⇒ B =
=2
−2 + 1
−1
( x + 1) ( x + 2) ( x + 1)
( x + 2)
Una vez encontrados los coeficientes indeterminados podemos reescribir la
integral asi:
4
4
4
4
−1
xdx
2
dx
dx
=
+
dx
=
−
+
2
∫ 2 ( x + 1)( x + 2) ∫2 ( x + 1) ( x + 2)
∫2 ( x + 1) ∫2 ( x + 2)
luego por sustitución o cambio de variables tenemenos:
5
5
u = x + 1
dx
du
5
=
→
−
= − ln u = − ( ln 5 − ln 3) = − ln
∫
3
( x + 1) du = dx
u
3
2
3
4
−∫
2
6
6
u = x + 2
dx
du
6
3
9
=
→
2
=
2
ln
u
=
2(ln
6
−
ln
6)
=
2
ln
=
ln
= ln
∫
4
( x + 2) du = dx
u
4
2
4
2
4
De esta manera:
4
2∫
4
4
dx
dx
5
9
9/4
9.3
27
+ 2∫
= − ln + ln = ln
= ln
= ln ≈ 0.3001
( x + 1)
( x + 2)
3
4
5/3
5.4
20
2
2
−∫
(ln x)3
∫1 x dx Esta integral la podemos resolver usando el método de
sustitución o cambio de variables:
b)
e
http://elimath.jimdo.com
Lcdo. Eliezer Montoya
Solución : EliezerMontoya
u = ln x
(ln x)3
∫1 x dx = du = dx → cambiemos los limites de integración
x
Si x = e ⇒ u = ln e = 1
e
Si x = 1 ⇒ u = ln1 = 0
∫
e
1
c)
1
(ln x)3
u4 1 1
1
dx = ∫ u 3 du =
= − 0 = u.a.
x
4 0 4
4
0
∫
1
0
e6 x sin 5 xdx -Esta integral esta formada por el producto de una función
exponencial y otra trigonometrica, usemos la técnica de integración por partes:
∫e
6x
sin 5 xdx = u.v − ∫ vdu
(1) Integrando por partes
u = sin(5 x) ⇒ du = 5cos(5 x)dx
dv = e6 x dx ⇒ ∫ dv = ∫ e6 x dx =
1 t
1
e dt ⇒ v = e6 x
∫
6
6
sustituimos en (1)
1
5
sin 5 xdx = sin(5 x) e6 x − ∫ e6 x cos(5 x) dx. (2)
6
6
nuevamente integrando el segundo termino por partes
∫e
6x
5 6x
5
e cos(5 x)dx = − u.v − ∫ vdu
∫
6
6
u = cos(5 x) ⇒ du = −5sin(5 x)
−
(
)
1 t
1
e dt ⇒ v = e6 x
∫
6
6
5
5
1
5
− ∫ e6 x cos(5 x)dx = − cos(5 x) e6 x + ∫ e6 x sin(5 x) dx =
6
6
6
6
5
25
= − e6 x cos 5 x − ∫ e6 x sin(5 x) dx (3)
36
36
dv = e6 x dx ⇒ ∫ dv = ∫ e6 x dx =
http://elimath.jimdo.com
Lcdo. Eliezer Montoya
Sustituimos (3) en (2) y pasando al primer miembro tenemos:
25 6x
1 6x
5 6x
6x
∫ e sin5xdx = 6 e sin(5x) − 36 e cos5x − 36 ∫ e sin(5x) dx. =
25 6x
1 6x
5 6x
6x
∫ e sin5xdx + 36 ∫ e sin(5x) dx = 6 e sin(5x) − 36 e cos5x + C
61 6x
1
5
e sin5xdx = e6x sin(5x) − e6x cos(5x) + C
∫
6
36
36
36 1 6x
5 6x
5 6x
6 6x
6x
∫ e sin5xdx = 61 6 e sin(5x) − 36 e cos(5x) + C = 61e sin(5x) − 61e cos(5x) + C =
∴∫ e6x sin5xdx =
e6x
[6sin(5x) − 5cos(5x)] + C
61
Usando la información anterior podemos determinar ahora:
1
e6 x
e6
1
e
sin
5
xdx
∴
6sin(5
x
)
−
5cos(5
x
)
=
[
]
[6sin(5) − 5cos(5)] − [6sin(0) − 5cos(0)]
∫0
61
61
61
0
1
6x
=
e6
5
[6sin(5) − 5cos(5)] +
61
61
(a) Representar la grafica de la función f (conocida como función por partes o a
trozos) (b) Hallar el área entra la gráfica de f el eje x desde
x= a hasta x = b y hallar
∫
b
a
f ( x )dx
x3
2
+
para − 3 ≤ x ≤ 0
2 4
f ( x) = x − x − 2
para 0 < x ≤ 3
16 − 4 x
para 3 < x ≤ 7
; a = −3 y b = 7
Para valores comprendidos entre −3 ≤ x ≤ 0 entonces y = 2 +
x
y
-3
-4,75
-2
0
-1
1.75
x3
4
0
2
Para valores comprendidos entre 0 < x ≤ 3 entonces y = x 2 − x − 2
x
0
1/2
1
2
3
y
-2
-9/4
-2
0
4
http://elimath.jimdo.com
Lcdo. Eliezer Montoya
Para valores comprendidos entre 3 < x ≤ 7 entonces y = 16 − 4 x
x
3
4
5
6
7
y
4
0
-4
-8
-12
Con esa información procedemos a graficar y obtenemos
Calculemos ahora el área formado por la región formada por la curva y el eje x
−2
x3
x4
(−2) 4
(−3) 4
81
A1 = ∫ 2 + dx = 2 x +
= 2(−2) +
− 2(−3) +
= ( −4 + 1) − −6 +
4
16
16
16
16
−3
−3
−2
= −3 + 6 −
81
81 48 − 81 −33
= 3− =
=
ua
16
16
16
16
0
x3
x4
(−2) 4
A2 = ∫ 2 + dx = 2 x +
= 0 − 2(−2) +
= − ( −4 + 1) = 3 ua
4
16
16
−2
−2
0
2
x3 x 2
A3 = ∫ ( x − x − 2 ) dx =
−
− 2x
3
2
0
2
=
2
(2)3 (2)2
=
−
− 2(2) − 0 =
3
2
0
8
8
8 − 18
10
−2−4 = −6 =
= − ua
3
3
3
3
http://elimath.jimdo.com
Lcdo. Eliezer Montoya
3
x3 x2
A4 = ∫ ( x − x − 2 ) dx =
−
− 2x
3
2
2
2
3
(3)3 (3)2
(2)3 (2) 2
=
−
− 2(3) −
−
− 2(2) =
3
2
2
3
2
9
9 10 18 − 27 + 20 38 − 27 11
10
= 9 − − 6 − − = 3 − +
=
=
= ua
2
2 3
6
6
6
3
4
4x2
−
A5 = ∫ (16 − 4 x ) dx = 16 x −
2
3
4
4
= 16 x − 2 x
= (16(4) − 2(4)2 ) − (16(3) − 2(3)2 ) =
2
3
3
= ( 64 − 32 ) − ( 48 − 18 ) = 32 − 30 = 2 ua
7
4 x2
A6 = ∫ (16 − 4 x ) dx = 16 x −
−
2
4
6
6
= 16 x − 2 x
4
= − (16(7) − 2(7) 2 ) − (16(4) − 2(4) 2 ) =
2
4
= (112 − 98 ) − ( 64 − 32 ) = 14 − 32 = −18 ua
−2
0
2
3
x3
x3
Área = - ∫ 2 + dx + ∫ 2 + dx - ∫ ( x 2 − x − 2 ) dx + ∫ ( x 2 − x − 2 ) dx
4
4
−3
0
2
−2
4
7
3
4
+ ∫ (16 − 4x ) dx - ∫ (16 − 4x ) dx
Es decir, la expresión anterior se puede reescribir
Área = -A1+A2-A3+A4+A5-A6
33
10 11
33 10 11
33
10 11
Area = − − + 3 − − + + 2 − ( −18) =
+ 3 + + + 2 + 18 =
+ + + 23
16
3 6
16 3 6
16
3 6
99 + 160 + 88 + 1104 1451
=
=
ua ≈ 30, 2292 ua
48
48
Por oto lado procedemos a encontrar
∫
7
−3
∫
b
a
f ( x )dx
0
3
7
x3
f ( x)dx = ∫ 2 + dx + ∫ ( x 2 − x − 2 )dx + ∫ (16 − 4 x )dx
4
−3
0
3
http://elimath.jimdo.com
Lcdo. Eliezer Montoya
0
x3
x4
(−3)4
81
−96 + 81
−15 15
+
=
+
=
−
−
+
2
dx
2
x
0
2.(
3)
= − −6 + = −
= −
=
∫−3 4
16
16
16
16
16 16
−3
0
3
x3 x 2
x
−
x
−
2
dx
=
−
− 2x
(
)
∫0
3
2
3
2
=
0
27 9
9 6 − 9 −3
− −6 = 3− =
=
3 2
2
2
2
6
7
∫ (16 − 4 x )dx = 16 x − 2 x
= (16.(7) − 2(7) 2 ) − (16.(3) − 2(3)2 ) =
2
3
3
= 112 − 98 − 48 + 18 = 130 − 146 = −16
0
3
6
x3
2
(
)
2
2
f
x
dx
=
+
dx
+
x
−
x
−
dx
+
(
)
∫ −3
∫
∫0
∫3 (16 − 4 x )dx =
4
−3
15 3
15 − 24 − 256 15 − 280 −265
=
− − 16 =
=
=
≈ −16.5625
16 2
16
16
16
3. Con la ayuda grafica, calcula el área limitada por y = x 2 − 2 x − 3 y el eje x
6
(2ptos)
Verifiquemos las raíces vistas en el grafico
x2 − 2 x − 3 = 0
x = 3
( x − 3)( x + 1) = 0 ⇒ Las raices son: 1
x2 = −1
Son los límites de integración a usar, por tanto la integral a desarrollar es:
http://elimath.jimdo.com
Lcdo. Eliezer Montoya
3
x3 2 2
A = ∫ ( x − 2 x − 3) dx =
− x − 3x
3 2
−1
3
2
−1
x3
=
− x 2 − 3x
3
3
=
−1
(3)
(−1)
=
− (3)2 − 3(3) −
− (−1)2 − 3(−1)
3
3
5 −27 − 5 −32
1
1
= ( 9 − 9 − 9 ) − − − 1 + 3 = −9 − − + 2 = −9 − =
=
ua ≈ 10.67ua
3
3
3
3
3
3
3
El área formada por la curva y el eje x es 32/3 unidades de área.
4. (a) Calcular el área entre la parábola y = 2 x − x 2 y la recta y = − x
(3ptos)
Analíticamente la intersección entre las dos curvas viene dada por:
2 x − x 2 = − x ⇒ 2 x − x 2 + x = 0 ⇒ 3 x − x 2 = 0 ⇒ x(3 − x) = 0
x = 0 ⇒ y1 = 0
donde las raices son 1
x2 = 3 ⇒ y2 = −3
3
3
Área = ∫ ( 2 x − x 2 ) − ( − x ) dx = ∫ 3 x − x 2 dx =
0
0
2
=
3 3
3x
x
−
2
3
=
0
3(3)2 33 27 27 81 − 54 27 9
− =
−
=
=
= u.a
2
3
2
3
6
6 2
4.(b) Calcular el área entre la parábola x = y 2 − y y el eje y
http://elimath.jimdo.com
Lcdo. Eliezer Montoya
(3ptos)
1
Área : ∫ ( y 2 − y ) dy =
0
y3 y 2
−
3
2
1
=
0
1 1 2−3
1
− =
=−
3 2
6
6
El área es 1/ 6 ua
¡Piensa como calcular dicho área con respecto a los ptos en x, la curva
expresada en y función de x!
http://elimath.jimdo.com
Lcdo. Eliezer Montoya
0
