Solución Prueba Unidad IV-MatematicaII

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
NÚCLEO BARINAS
INSTRUCCIONES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Llene todos los datos en letra imprenta.
Espere que el profesor de la orden de comenzar la prueba.
Lea cuidadosamente cada una de las preguntas antes de contestar.
Deberá formular cualquier pregunta durante los primeros 10 minutos del examen, que tenga relación con
la prueba que se está aplicando, en voz alta para beneficio del grupo.
Usted tendrá para responder un tiempo comprendido entre las _________ y las _________ horas.
Absténgase de consultar a sus compañeros, ya que esto es una falta grave establecida en el Artículo 45
Numeral 10 del Reglamento Disciplinario de la UNEFA.
Cuide su redacción y ortografía.
APELLIDOS Y NOMBRES:
C.I.:
DEPARTAMENTO: Ingeniería de petróleo
NOTA:
SEMESTRE:
SECCIÓN:
III-
F
FECHA 16/07/2010
PRUEBA: Versión 01
ASIGNATURA:
NOMBRE DEL DOCENTE:
(ponderación 15%)
Matemática II -
Lcdo. Eliezer Montoya
Desarrollo
1) Evaluar
.
lim
( x , y ) → (1, −2)
(5x
2
+ 3xy )
(2ptos)
2) Sea f ( x, y ) = xe y + y ln x calcular la derivadas parciales
f1 ( x, y ) , f 2 ( x, y ) , f11 ( x, y ) , f12 ( x, y ) = f 21 ( x, y ) y f 22 ( x, y ) , (5Ptos)
2
3) Supongamos que
2
ex + y
z= 2
x + y2
demostrar que y.
dz
dz
−x
= 0 (3 ptos)
dx
dy
4) Calcule el valor de la derivada direccional en el punto P0 (1,3,2) para la
(
2
2
2
)
función f ( x, y, z ) = ln x + y + z en dirección del vector
1
1
1
Unitario u =
i−
j−
k -Problema 20 capitulo 12.6 de
3
3
3
Lehithold (3ptos)
5) Obtenga la ecuación de la recta normal y el plano tangente a la
1/ 2
1/ 2
1/ 2
superficie x + y + z = 4 en el punto P0(4,1,1) --Problema 9
capitulo 12.7 de Lehithold (3 pts)
2
2
6) Si las dos superficies f(x,y,z) y g(x,y,z) es decir x + y − z = 8
2
2
y
x − y + z = −2 se interceptan en una curva, determine la ecuaciones de
la recta tangente a la curva de intersección en el punto (2,-2,0)
(Problema 13 capitulo 12.7 de Lehithold (4 pts)
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Elaborado por: Eliezer Montoya
Solución:
1) Evaluar
lim
( x , y ) → (1, −2)
(5x
+ 3 xy ) = 5(1) + 3(1)(−2) = 5 − 6 = −1 (2 ptos)
2
2) Sea f ( x, y ) = xe y + y ln x calcular la derivadas parciales
f1 ( x, y ) , f 2 ( x, y ) , f11 ( x, y ) , f12 ( x, y ) = f 21 ( x, y ) y f 22 ( x, y ) , (5Ptos)
Tenemos:
f1 ( x, y ) = f x ( x, y ) = e y + y
1
y
= ey +
x
x
f 2 ( x, y ) = f y ( x, y ) = xe y + ln x
f11 ( x, y ) = f xx ( x, y ) =
d  y y
y
y
e +  = 0− 2 = − 2
dx 
x
x
x
f12 ( x, y ) = f xy ( x, y ) =
d  y y
1
y
e +  = e +
dy 
x
x
f 21 ( x, y ) = f yx ( x, y ) =
d
1
xe y + ln x ) = e y + = f12 ( x, y )
(
dx
x
f 22 ( x, y ) = f yy ( x, y ) =
d
xe y + ln x ) = xe y + 0 = xe y
(
dy
2
3) Supongamos que
2
2
ex + y
z= 2
x + y2
demostrar que y.
dz
dz
−x
= 0 (3 ptos)
dx
dy
2
ex + y
z= 2
⇒ aplicando la derivada de un cociente de funciones
x + y2
dz
=
dx
ex
2
+ y2
. ( 2 x ) ( x 2 + y 2 ) − 2 x.e x
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(x
2
+ y2 )
2
2
+ y2
2 xe x
=
2
( x 2 + y 2 ) − 1


2
2 2
(x + y )
+ y2
Elaborado por: Eliezer Montoya
Usando un cambio de variable

 dt

 dx = 2 x
2
2
t = x + y ⇒ 

 dt = 2 y

 dy

du

u = et ⇒
= et

dt

v = t ⇒ dv = 1
dt


du dt
dv dt
. v−
u

t
x2 + y 2
u
e
e
dz
dt
dx
dt
dx
z = = = 2
⇒
=
v t x + y2
dx
t2

Llegamos a la respuesta anterior; verifícalo.
2
2
ex + y
z= 2
⇒ aplicando la derivada de un cociente de funciones
x + y2
y sacando un factor común nos queda:
dz e
=
dy
x2 + y 2
. ( 2 y ) ( x 2 + y 2 ) − 2 y.e x
(x
2
+y
Queremos demostrar que y.
2
+ y2
2 2
)
2 ye x
=
2
( x 2 + y 2 ) − 1


2
2 2
(x + y )
+ y2
dz
dz
−x
=0
dx
dy
Multiplicando fraciones algebraicas y simplificando:
 2 xe x2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) − 1   2 ye x2 + y 2 ( x 2 + y 2 ) − 1 

  − x

=0
y. 
2
2
2
2
2
2

 

(x + y )
(x + y )

 

2 xye x
2
( x 2 + y 2 ) − 1 2 xye x + y ( x 2 + y 2 ) − 1

 −

 =0
2
2 2
2
2 2
(x + y )
(x + y )
+ y2
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2
2
Elaborado por: Eliezer Montoya
4) Calcule el valor de la derivada direccional en el punto P0 (1,3,2) para la
(
2
2
2
)
función f ( x, y, z ) = ln x + y + z en dirección del vector
1
1
1
Unitario u =
i−
j−
k (3 ptos)
3
3
3
Solución:
1º .Calculemos el gradiente:
∇f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z )i + f y ( x, y, z ) j + f z ( x, y, z )k
las derivadas parciales de la función vienen dadas por:

2x
 f x ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2


2y
Si f ( x, y , z ) = ln ( x 2 + y 2 + z 2 ) ⇒  f y ( x, y, z ) = 2
x + y2 + z2


2z
 f z ( x, y , z ) = 2
x + y2 + z2

2y
2z
2x
∇f ( x , y , z ) = 2
i+ 2
j+ 2
k
2
2
2
2
x +y +z
x +y +z
x + y2 + z2
Al evaluar el gradiente en el punto P0 (1, 3, 2 ) obtenemos el vector:
2(1)
2(3)
2(2)
i+ 2
j+ 2
k
2
2
2
2
(1) + (3) + (2)
(1) + (3) + (2)
(1) + (3) 2 + (2) 2
2
6
4
1 3
2
1
= i + j + k = i + j + k = ( i + 3j + 2k )
14 14 14
7 7
7
7
∇f (1,3, 2) =
2
Ahora podemos calcular la derivada direccional del vector unitario u con respecto
a el vector gradiente encontrado:
1 1
−4
 1
 1
Du .∇f ( x, y, z ) = 
( i − j − k )  .  ( i + 3j + 2k )  =
(1 − 3 − 2 ) =
37
7 3

 3
 7
=
−4
3 −4 3
.
=
≈ −0.1099
63
7 3 3
5) Obtenga la ecuación de la recta normal y el plano tangente a la
1/ 2
superficie x
+ y1/ 2 + z1/ 2 = 4 en el punto P0 (4,1,1) (3pts)
1º .Calculemos el gradiente:
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Elaborado por: Eliezer Montoya
∇f ( x, y , z ) = f x ( x, y , z )i + f y ( x, y , z ) j + f z ( x, y, z )k
las derivadas parciales de la función vienen dadas por:

1
 f x ( x, y , z ) = 2 x1/ 2

1

1/ 2
1/ 2
1/ 2
Si f ( x, y , z ) = x + y + z − 4 ⇒  f y ( x, y, z ) = 1/ 2
2y


1
 f z ( x, y , z ) = 1/ 2

2z
1
1
1
1
1
1
∇f ( x, y , z ) = 1/ 2 i + 1/ 2 j + 1/ 2 k =
i+
j+
k
2x
2y
2z
2 x
2 y
2 z
Al evaluar el gradiente en el punto P0 ( 4,1,1) obtenemos el vector normal :
1
1
1
1 1
1
1
N = ∇f (4,1,1) =
i+
j+
k = i + j + k = ( i + 2 j + 2k )
4 2
2
4
2 4
2 1
2 1
2º .La ecuación del plano tangente viene dado por el producto interno o
punto de:
∇f ( x0 , y0 , z0 ).[ ( x − x0 )i + ( y − y0 ) j + ( z − z0 )k ] = 0
( f ( x , y , z )i + f
x
0
0
0
y
( x0 , y0 , z0 ) j + f z ( x0 , y0 , z0 )k ) .[ ( x − x0 )i + ( y − y0 ) j + ( z − z0 )k ] = 0
f x ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + f z ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
Nos quedaría así:
∇f (4,1,1).[ ( x − 4)i + ( y − 1) j + ( z − 1)k ] = 0
∇f (4,1,1).[ ( x − 4)i + ( y −1)j + ( z −1)k] = 0
( i + 2 j + 2k ) .[( x − 4)i + ( y − 1) j + ( z − 1)k ] = 0
1
( i + 2j + 2k) .[( x − 4)i + ( y −1)j + ( z −1)k] = 0
4
1
1
1
( x − 4) + ( y −1) + ( z −1) = 0
4
2
2
1
1
1 1
x −1+ y − + z −1 = 0 mc
. .m.(4,2,1) = 4
4
2
2 2
x − 4 + 2 y − 2 + 2z − 2
= 0 ⇒ x + 2 y + 2z − 8 = 0
4
∴ x + 2 y + 2z = 8
( x − 4) + 2( y − 1) + 2( z − 1) = 0
x − 4 + 2 y − 2 + 2z − 2 = 0
x + 2 y + 2z = 8
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Elaborado por: Eliezer Montoya
3º -La ecuación de la recta Normal al plano en el punto P0 (X0 , Y0 , Z0) viene dada
por :
( x − x0 )
( y − y0 )
( z − z0 )
=
=
f x ( x0 , y0 , z0 ) f y ( x0 , y0 , z0 ) f z ( x0 , y0 , z0 )
( x − 4) ( y − 1) ( z − 1)
=
=
1
2
2
2
2
6) Si las dos superficies f(x,y,z) y g(x,y,z) es decir x + y − z = 8
2
y
2
x − y + z = −2 se interceptan en una curva, determine la ecuaciones de la
recta tangente a la curva de intersección en el punto (2,-2,0) (4pts)
Vea el a ejemplo Número 3 de la pagina 987 y 988 de Lehithold. Louis (1998) El
calculo 7ed .Vamos a generalizar para este problema
Sean
f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 − z − 8
y
g ( x, y , z ) = x − y 2 + z 2 + 2
Entonces
∇f ( x, y, z ) = 2 xi + 2 yj − k
y
∇g ( x, y , z ) = i − 2 yj + 2 zk
Por tanto:
N1 = ∇f (2, −2, 0) = 4i − 4 j − k
N 2 = ∇g (2, −2, 0) = i + 4 j + 0k
Calculemos el Producto Cruz o Externo (Producto Vectorial) de los vectores
Normales, para obtener asi un nuevo vector:
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Elaborado por: Eliezer Montoya
j k
i

  − 4 − 1  − j  4 − 1  +  4 −4 
N 2 × N 2 =  4 −4 −1  = i 
 
 k

1 4 
1 4 0   4 0  1 0 


= i ( 0 + 4 ) − j ( 0 + 1) + k (16 + 4 ) = 4i − j + 20k
En consecuencia, un conjunto de números directores de la recta tangente es
(4,-1,20), Asi las ecuaciones de las rectas tangentes son:
( x − 2) ( y + 2) ( z − 0)
=
=
4
−1
20
( x − 2) ( y + 2) z
=
∴
=
4
20
−1
Visualicemos en el espacio R3 (usando el graficador derive 6.0); tenemos:
x2 + y2 − z = 8 ⇒ z = x2 + y 2 − 8
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x − y 2 + z 2 = −2 ⇒ z =
y2 − x − 2
Ambas superficies .Vemos que se cortan
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El plano Tangente seria 4x-y+20z =10
Con un nuevo acercamiento
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