Integración por fracción parcial-caso lineal I.elimont

Integración por fracción parcial -Caso Lineal
*3 Método de integración por fracción parcial –Caso lineal
Recordemos que una función racional h es la forma:
P( x)
h( x ) 
Q( x)
Donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) no es el polinomio nulo .Pues veremos en esta
sección y la siguiente, que es posible encontrar la integral una función racional
ampliándolo en una suma racional simple llamada FRACCIÓN PARCIAL y entonces
hallando la integral de esta fracción parcial.
Una función racional se dice que es propia si el grado del denominador es mayor que el
grado del numerador .Si una función racional es Impropia, tú puedes transformarla
haciendo una división.
P( x)
Numerador
Residuo o resto

 Cociente 
Q( x) Denominador
Denominador
P( x)
R( x)
 C ( x) 
 Q( x)  0
Q( x)
Q( x)
Y escribir:
Donde la función racional
R( x) Residuo o resto

, ahora es propia
Q( x) Denominador
1.1)
Caso en el que el denominador tiene factores lineales distintos, no
repetidos
Supongamos que los polos p1 , p2 ,..., pN son todos diferentes. Entonces se busca una
expansión de la forma
h  x 
P( x) b0  b1 x  b2 x 2 ......  bM x M


Q( x) 1  a1 x  a2 x 2  .....  aN x N
MN
b  b x  b2 x 2 ......  bM x M
AN
A1
A2
 0 1


 .....
 x  p1  x  p2  ......  x  pN   x  p1   x  p2 
 x  pN 
(1.1)
Donde:
Ak   x  pk  y  x  
para k  1, 2,.....N
x  pk
Licdo. Eliezer Montoya
 El valor de Ak , se encuentra multiplicando

 ambos miembros de la ecuación por  x  pk  ,
 luego simplicamos y evaluando para x  p
k

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Página 1





Integración por fracción parcial -Caso Lineal
x 2 dx
 x2  x  6
(Corresponde al ejercicio Nro 19 de los planteados resuelto por Juan Beltrán en su
página www.calculo21.blogspot.com , luego aplicaremos el método descrito anteriormente)
Ejemplo 1.
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Integración por fracción parcial -Caso Lineal
Ejemplo 2. 
5x  2
dx
x2  4
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Integración por fracción parcial -Caso Lineal
Ejemplo 3. 
4x  2
dx
x  x2  2x
3
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Integración por fracción parcial -Caso Lineal
Ejemplo 4- 
x3
dx Corresponde al problema 2 de los propuestos
x  x2
2
Usaremos la técnica descrita en la generalidad (1.1)
Solución. Eliezer Montoya
x3
 x 2  x  2 dx
Descomponemos en fracciones parciales
x3
x3
A
B



x  x  2  x  2  x  1  x  2   x  1
2
Para hallar el coeficiente indeterminado A, multiplicamos toda la
expresión por ( x - 2) , simplificamos y evaluamos para x  2.
 x  2
x3
 x  2   x  1
  x  2
A
 x  2
  x  2
B
 x  1
x3
B
23 5
 A   x  2
 A

2 1 3
 x  1
 x  1
Para hallar el coeficiente indeterminado B,multiplicamos toda la
expresión por ( x  1) , simplificamos y evaluamos para x  -1
x  3 1  3
2


x  2 1  3
3
 5/3
x3
2/3 
5
dx
2
dx
 x 2  x  2 dx    ( x  2)  ( x  1)  dx  3  ( x  2)  3  ( x  1) 
B
5
2
 ln ( x  2)  ln ( x  1)  C  ln
3
3
Recuerde por sustitución :
dx
3
( x  2)5
C
( x  1) 2
u  x  a 
du
   u  ln u  C

 x - a  du  dx
x 2 dx
Ejemplo 5. Problema propuesto (19)  2
x  x6
Compara las cuentas con el ejemplo nro. 01
Solución: Eliezer Montoya
1° Factorizamos el denominador y descomponemos en fracciones parciales
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Página 5
Integración por fracción parcial -Caso Lineal
x2
x  6
x6
 1 2
 1

2
x  x6
x  x6
 x  3 x  2 
x6
A
B


 x  3 x  2   x  3  x  2 
Por sustitución algebraica:


x6


A   x  3

x

3
x

2
 
 



x6

B    x  2

x  3  x  2  



x 3
x2
 x6 


  x  2  
 x6 


  x  3 

9
9
 A
5
5
x 3
4
4
  B
5
5
x2
Tenemos entonces:
9
4
x6
x6
5 
5


2
x  x  6  x  3 x  2   x  3  x  2 
2° Integrando ahora


x 2 dx
x6
 9/5 4/5 

1


 x2  x  6    x  3 x  2   dx   dx   x  3  x  2  dx 


 x

9 dx
4 dx
9
4
 
 x  ln x  3  ln x  2  C

5 x3 5 x2
5
5
x 2 dx
9
4
 x  ln x  3  ln x  2  C
2
x  x6
5
5
1.2) Caso en el que el denominador tiene factores lineales repetidos
Sin pérdida de generalidad supongamos que y(x) tiene un polo de orden r > 1, esto es, si
r
en su denominador aparece un factor de la forma  x  pi  , entonces la expansión dada en
P(x)/Q(x) no es válida. En este caso la expansión de y(x) es:
y ( x) 
Ai ,1
Ai ,2
Ai 1
A1
A2
P( x)


 ... 


 ...
Q  x   x  p1   x  p2 
 x  pi 1   x  pi   x  pi 2
.... 
Ai ,r
 x  pi 
3
Ai 1
Al

 ... 
 x  pi 1 
 x  pl 
(1.2)
Donde l es un entero positivo tal que N = r + l - 1
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Integración por fracción parcial -Caso Lineal
Ak   x  pk  y  x  
,para k  i
s  pk
 El valor de Ak , se encuentra multiplicando

 ambos miembros de la ecuación por  x  pk  ,
 luego simplicamos y evaluando para x  p
k






Y
1
d  
r
Ai ,t 
,para t  1, 2,...., r
 x  pi  y  x 
r t  

s  pi
 r  t ! dx
r t
Ejemplo 6. 
3x 2  4 x  2
dx
2
x  x  1
Usando la descomposición en fracciones simples tenemos:
3x 2  4 x  2
x  x  1
2

B1
B2
A


x  x  1  x  12
 3x 2  4 x  2 
 3x 2  4 x  2 
2
A   x.

A



  2 A2
2
2
x  x  1  x 0

  x  1  x 0 1


2
 3x 2  4 x  2 
3 4 2
2 3x  4 x  2


B2   x  1
 B2  

 1  B2  1

2 

x
1


x
x

1
x 1



 x 1
Y ahora:


2
  6 x  4  x   3x 2  4 x  2  
d 
d  3x 2  4 x  2 
2 3x  4 x  2


B1 
 B1  


 x  1

2 
dx 
dx 
x
x2



x
x

1
x 1


x 1

 x 1
 6 x 2 4x 3x 2 4x  2 
 3x 2  2 
32


 1  B1  1




2
2
x
1

 x 1  x  x 1
Entonces, como suma de fracciones parciales tenemos:
3x 2  4 x  2
x  x  1
2

2
1
1


x  x  1  x  12
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Integración por fracción parcial -Caso Lineal
3x 2  4 x  2
 x  x  1
2
2
1
1 
2dx
dx
dx
dx    



 dx  
2
x
 x  1  x  12
 x  x  1  x  1 
1
1
2
 2 ln x  ln x  1 
 C  ln x  ln x  1 
C 
x 1
x 1
1
 ln x 2  x  1 
C
x 1
3x  2
dx
x3  x 2
2
Factorizamos el denominador y descomponemos en sumas de fracciones parcial
3
Ejemplo 7. 
A A
3x  2
3x  2
B
 2
 1  22 
3
2
x x
x  x  1 x x  x  1
Usando el método corto o de sustitución:

 3x  2 
3x  2 
2
A2   x 2 . 2
 2  A2  2
 
 
x  x  1  x 0   x  1  x 0 1


3x  2 
3x  2
3 2
  2  
B    x  1 2
1 B 1


1

x  x  1 
 x  x 1

 x 1
Mientras que para calcular el coeficiente A1, debemos derivar y evaluar para x = 0:
A1 
 3x  x  1   3x  2  
d  2 3x  2 
d  3x  2 
x . 2
  
 
 
2
dx 
dx   x  1  x 0 
x

1
x
x

1

 x 0






 x 0
 3x 2  3x  3x  2 
 3x 2  6 x  2 
3  6  2 1



 1  A1  1


 
2
2
2
1

 x 0   x  1  x 0
 x  1
 1
3x  2
3x  2
1 2
1
 2
  2
3
2
x x
x  x  1 x x  x  1
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3
3
3
 1 2
 2
3x  2
1 
2
x 1 


2 x3  x 2 dx  2  x  x 2   x  1  dx    ln x  x  ln x  1     x  ln x  


2
2
3
 x 1 2 
  ln
 
x
x

3
2
 2 2  1

  ln     ln  1
 3 3  2

 2
1  2 
4 1
  ln  ln      1  ln 
2  3 
3 3
 3
Ejercicios propuestos En los problemas 1 al 30, Evaluar cada integral:
x3
x 1
1) 
2)  2
dx
dx
x x2
x( x  2)
11t  17
31y  9
3)  2
4)  2
dt
dy
2t  7t  4
6y  y  2
4t 2  3t  4
 t 3  t 2  2t dt
2x  1
7)  3
dx
x  x2  2 x
dx
9)  3
x x
8x  7
dx
 3x  1
3z  1
8) 
dz
z ( z 2  4)
t 7
10) 
dt
(t  1)(t 2  4t  3)
 2x
5)
6)
x 2 dx
 x2  x  6
x3  x 2  9 x  3
dx
13) 
x 2  x  12
x3  2 x 2  3x  1
 x3  3x2  2 x dx
xdx
14) 
( x  1)( x  1)( x  2)
11)
15)
17)
19)
21)
x3  5 x 2  4 x  20
 x2  3x  10 dx
5x2  7 x  8
 x3  3x2  4 x dx
x 2 dx
 x2  x  6
y3  4 y  1
 y.( y  3)3 dy
2z  3
 z 2 (4 z  1) dz
x3
25) 
dx
( x  1)2 ( x  7)
23)
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2
12)
x 4  2 x3  1
dx
16)  3
x  x2  2x
x3  5 x 2  x  22
dx
18) 
x 2  3x  10
5 x3  6 x 2  68 x  16
dx
20) 
x3  2 x 2  8 x
2 xdx
22) 
( x  2)( x 2  1)
x2  1
 ( x  3)( x2  4 x  4) dx
x4
26)  2
dx
( x  2 x  1)( x  1)2
24)
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27)
4 x 2  7 x  10
 ( x  2)(3x  2)2 dx
28)
x3  3x 2  5 x  12
 ( x  1)2 ( x2  3x  4) dx
29)
4z2
 ( z  1)2 ( z 2  4 z  3) dz
30)
 (t
(t  2)
dt
 1)(t  3)2
2
En los problemas 31 a 36 evalúa cada una de las integrales definidas:
2
4
2 5t  3t  18
xdx
31) 
32)

1 t (9  t 2 ) dt
2 ( x  1)( x  2)
33)
35)


3
2
5
3
4t 5  3t 4  6t 3  4t 2  6t  1
dt
(t  1)(t 2  1)
34) 
2
x2  2
dx
( x  2) 2
36)

2
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1
1
x5  3x 4  4 x3  x 2  11x  12
dx
x 2 ( x 2  4 x  5)
2z3  1
dz
z ( z  1) 2
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