Analisis-de-Fourier-Hwei-P-Hsu-1

335 PROBLEMAS
RESUELTOS
Y EJERCICIOS
SUPLEMENTARIOS
EN CADA CAPITULO
Desarrollo completo y aplicaciones a.
• SISTEMAS LINEALES • TEORIA
DE LA COMUNICACION
• PROBLEMAS DE VALOR
DE FRONTERA, etc.
ANALISIS DE FOURIER
Hwei P. Hsu
Associate Professor
Department of Electrical Engineering
Wayne State University, Michigan
Raj Mehra, Editor
.SITESA
B
SISTEMAS TECNICOS
DE EDICION, S.A. de C.V.
ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA
Argentina • Brasil • Chile • Colombia • Ecuador • España,
Estados Unidos • México • Perú • Puerto Rico • Venezuela
Versión en español de la obra titulada Fourier Analysis, de Hwei P. Hsu, publicada originalmente en inglés por Simon & Schuster, Inc. Nueva York, E.U;A. © 1970.
Esta edición en español es la única autorizada.
PARA VENTA EXCLUSIVA EN MEXICO
© 1973 por Fondo Educativo Interamericano
. © 1987 por ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA, S.A.
Wilínington, Delaware, E.U.A.
© 1986 por Sistemas Técnicos de Edición, S.A. de C.V.
San Marcos 102, Tlalpail, 14000. México, D.F.
Reservados todos los derechos. Ni todo el libro ni parte de él pueden ser reproducidos,
archivados o transmitidos en forma alguna o mediante algún sistema electrónico, mecánico
-de fotorreproducción, memoria o cualquier otro, sin permiso por escrito del editor. Miembro de la Cáfnara Nacional de la Industria Editorial, registro número 1312.
Impreso en México. Printed in Mexico.
ISBN Q-201-029A~-1
Addi_~9n- W esley Iberoar_ner_i~ana
ISBN 968-50-0047-6
Sistemas Técnicos de Edición
JJKL-M-89
Se terminó de imprimir el día 16 de agosto de 1989,
en los ·talleres de Lito-offset de La Banca,
Moctezuma·Núm. 122 06900 México, D. F.
· La tirada fue de 1,000 ejemplares.
ANALISIS DE FOURIER
Versión en español de
Ramón G. Flórez Torres
•
Ingeniero Eléctrico
Universidad de los Andes
Bogotá, Colombia
Cón la colaboración de
M. en C. Federico Velasco Coba
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional Autónoma de México
y
José D. Arias Páez
Universidad Nacional· de Colombia
PROLOGO
La Théorie analytique de la chaleur, de Jean-Baptiste-Joseph Fourier., introdujo los métodos sencillos para la
solución de los problemas de valor en la frontera, que se presentan en el tratamiento analÍtico de la conducción del.
calor. Sin embargo, este "gran poema matemático", como Lord Kelvin denomino al análisis de Fourier, se ha extendido a muchas otras aplicaCiones físicas diferentes a las del calor; En efecto, el análisis de Fourier se ha convertido en
un instrumento indispen~able en el tratamiento de casi toda recóndita cuestión de física moderna, teoría de comunicaciones, sistemas lineales, etc.
El objetivo del autor al escribir este libro, es desarrollar completamente el análisis clásico de Fourier y mostrar
su relación con las aplicaciones modernas.
.
El libro está destinado a estudiantes de matemáticas, física y las diversas ramas de ingeniería; se puede utilizar
para un curso formal de análisis de Fourier, así como en los numerosos cursos relacionados que presentan y emplean
las técnicas de Fourier; tiene la ventaja de ser un libro de texto y de repaso; como texto es suf!.cientemente completo
y detallado como para no requerir referencias adicionales; y en la forma directa que caracteriza al libro de repaso,
suministra cientos de problemas solucionados completament~, en los r•· :les se utilizan la teoría y técnicas esenciales.
Los conceptos nuevos, las definiciones y los teoremas fundamentales importantes (o resultados) aparecen en el
texto sobre fondo sombreado; los conjuntos de problemas graduados, resueltqs completamente, que constituyen la
parte integral del libro, ilustran y amplían los· conceptos y desarrollan las técnicas de Fourier; los problemas suplementarios están ideados no sólo para servir como ejercicios, sino también como medio de fortalecer la habilidad y
perspicacia necesarias en la utilización práctica de las técnicas de Fourier.
·
Los tres primeros capítulos tratan las series de· Fourier y el concepto de espectros de frecuencia; a continuación se incluye un capítulo relacionado con la integral y la transformada de Fourier, y luego uno sobre las transformadas de Fourier de funciones especiales. En la segunda parte del libro se estudian las aplicaciones del análisis de.
Fourier a sistemas lineales, teoría de comunicaciones, y problemas de valor en la frontera; el capítulo final se relaciona con aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier.
El Único requisito formal para comprender el análisis de Fourier, es el conocimiento del cálculo elemental; sin
embargo, en la segunda parte del libro se supone que el estudiante está familiarizado con el dtlculo avanzado y las
matemáticas aplicadas.
'
El autor desea agradecer a Raj Mehr-a y Rhea Nichols, de Simon & Schuster, Inc., por sus esfuerzos editoriales
en la revisión de la primera edición; así mismo, el autor reconoce el estímulo recibido del profesor Forest E.
Brammer, y Edward F. Weller, Jr., así como la colaboración de Dennis F. Wilkie y Eugene A. Hanysz.
HweiP. Hsu
Southfield, Michigan
CONTENIDO
1 SERIES DE FOURI ER
CAPITULO
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
2
CAPITULO
FUNCIONES PERIODICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . · · ·
SERIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PROPIEDADES DE.L SENO Y DEL COSENO:
FUNCIONES ORTOGONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER .·. . . . . . . . ; . . . . . . . . .
APROXIMACION MEDIANTE UNA SERIE FINITA DE FOURIER . . . , . . . . . . . .
LAS CONDICIONES DE DIRICHLET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DIFERENCIACION E INTEGRACION DE LAS SERIES DE FOURIER . . . . . . . . . .
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.4
2.5
2.6
2.7
SIMETRIA DE LA FORMA DE ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
FUNCIONES PARES E IMPARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1a
2.1b SIMETRIA DE MEDIA ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . .
2.1c SIMETRIA DE CUARTO DE ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1d SIMETRIA ESCONDIDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . .
EXPANSION ENSERIE DE FOURIER DE UNA FUNCIONEN UN
INTERVALO FINITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3a EXPANSIONES DE MEDIO INTERVALO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LA FUNCION IMPULSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4a DERIVADAS.DE LA FUNCION ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SERIES DE FOURIER DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES PERIODICAS
DISCONTINUAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER POR DIFERENCIACION. . . . .
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 ESPECTROS DE FRECUENCIA DISCRETA
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
4
CAPITULO
5
7
13
16
17
21
ANALISIS DE FORMAS DE ONDAS PERIODICAS
2.2
2.3
CAPITULO
4
INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . _. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; .
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES COMPLEJAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ESPECTROS DE FRECUENCIA COMPLEJA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EVALUACION DE LOS COEFICIENTES COMPLEJOS DE FOURIER
POR MEDIO DE LA FUNCION ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCION PERIODICA:
TEOREMA DE PARSEVAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
24
24
27
27
27
28
33
34
37
40
- 43
45
48
52
52
57
58
62
65
68
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTROS CONTINUOS
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
1NTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DE LA SERIE DE FOURIER A LA INTEGRAL DE FOURIER · . . . . . . . . . . . . . .
TRANSFORMADAS DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TRANSFORMADAS SENO Y COSENO DE FOURIER . . . . . . . • . . . . . . . . , . .
INTERPRETACION DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER . . . . . . . . . . . . .
PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER . . . . . . . . . . . . '. . . . .
CONVOLUCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~/ :/. . . .
71
71
74
79
81
82
88
4.8 TEOREMA DE PARSEVAL Y ESPECTRO DE ENERGIA . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 FUNCIONES DE CORRELACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
CAPITULO
92
94
99 .
TRANSFORMADA DE FOURI ER DE FUNCIONES ESPECIALES
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l. . . . . . . . . . . . . . . .
LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCION IMPULSO . . . . . . . . . . .
LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA CONSTANTE . . . . . . . . . . . . . . .
LA TRANSFORMADA DE_FOURIER DEL ESCALON UNITARIO . . . . . . . . . . . .
LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA FUNCION PERIODICA . . . . . . . . . .
LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE FUNCIONES GENE~ALIZADAS . . . . . . .
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102.
102
104
106
110
114
118
9
CAPITULO
APLICACIONES MISCELANEAS DE LA TRANSFORMADA DE FOURI ER
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN DIFRACCION Y FORMACION
DE IMAGENES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1a TRANSFORMADA BIDIMENSIONAL DE FOURIER. . . . . . . . . . . . . . . .
9.1b TRANSFORMADA TRIDIMENSIONAL DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . .
LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TEORIADE PROBABILIDADES, . . . . . . .
9.2a
FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD Y FUNCION DE
DENSIDAD DE PROBABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
9.2b ESPERANZA Y MOMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·. .
9.2c FUNCION CARACTERISTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE EN EL ANALISIS DE FOURIER. . . . . . . . . .
FORMULA DE LA SUMATORIA DE POISSON . . . . . . . . . ·. . . . . . . . . . . . . .
CAUSALIDAD Y TRANSFORMADA DE HILBERT . . . . . . . . . , . . . . . . . . . .
EVALUACION DE ALGUNAS INTEGRALES . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . .
PROBLEMAS SUPLEMENTA\RIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER Y EL FENOMENO DE GIBBS
APENDICE
A.1
A.2
CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EL FENOMENO DE GIBBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
219
221
221
221
223
224
228 ·
236
239
243
244
247
253
B RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER y LAPLACE
APENDICE
B.1
DEFINICIONES Y PROPIEDADES BASICAS DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER Y LAPLACE . . . . . . . .
256
259
TRES FORMAS DE LAS SERIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
B·.2
e
APENO ICE
D RESUMEN DE LAS CONDICIONES DE SIMETRIA. . . . . . . . . . . . . . . . . .
E PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
F LISTA DE SIMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264
APENO ICE
265
APENO ICE
268
APENO ICE
INDICE DE MATERIAS . . . . . . . . :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271
1
CAPITULO
SERIES DE FOURIER
1.1
FUNCIONES PERIODICAS
f.(t)
PROBLEMA 1.1
Soluci6n:
t
t
Encontrar el período de la funciónf(t) = cos- + cos -.
3
4
si la función f(t) es p~riódica con un período T, entonces, de (1.1) se tiene
1
.
1
t
t
4
3
4
cos -(t + T) + cos - (t + T) = cos - + cos - ..
3
.
Puesto que cos (8 + 21rm) = cos 8 para cualquier entero m se tiene que
1
4
1
- T = 2rrm,
3
- T = 2rrn,
donde m y n son enteros; Por consiguiente T = 61rm = 81rn; cuando m = 4 y n = 3, se
obtiene el mínimo valor de T. (Esto se puede ver mediante el procedimiento de
ensayo y error). De donde, T = 241T.
PROBLEMA 1.2
Decir si lafunciónf(t) ~cos 10t + cos (10 + 1r) tes una función
periódica.
1
Figura 1.1
Una función periódica.
2
Análisis de Fourier
Solución:
aquí w 1 =10 y W2 =10 + 1T. Puesto que
10 + 71
no es un número racional, es imposible encontrar un valor T que satisfaga (Ll);
por consiguiente f(t) no es una función periódica.
ú)2
Encontrar el período de la función f(t) =(lO cos ti
.
1
Solución:
si aplicamos la identidad trigonométrica cos 2 0 =- (1 + cos 20) se tiene
2
.
1
2 .
f(t) = (10 cos tf = 100 cos 2 t = 100- (1 + cos t) =SO+ SO cos 2t.
PROBLEMA 1.3
.
2
Puesto que una constante es una función periódica de período T para cualquier valor
de T, y el período de cos 2t es rr, se concluye que el perío!lo de f(t) es 7T.
Demostrar que sif(t + T) = f(t), entonces
PROBLEMA 1.4
a+T/2
l
lT/2
f(t)dt=
a-T/
2
LT+t
Solución:
(1.6)
f(t) dt,
-T/
2
lt
f(t) dt =
f(t) dt.
(l. 7)
sif(t + T) = f(t), entonces, a1 hacer t = t-:- T, se tiene
(1.8)
f(T - T + T) = f(T) = f(T - T).
Considerar ahm;a
f
13
f(t) dt.
a
Si se hace la sustitución t = t - T y se usa la igualdad (1.8), se obtiene
f
f3
f(t) dt =
ff3+T
a
f
f(T- T) dT =
f3tT ·
f(T) d't.
atT
a+T
Puesto que cualquier símbolo puede representar la variable comodín
f{3 f(t) dt = if3+T f(t) dt.
a
(1.9)
atT
Ahora, el primer miembro de la ecuación (1.6) puede escribirse como
l
f
a+T!Z
f(t) dt ==
a-T/2
-T/2
.
f_
f(t) dt +
a-T/2
a+T/2
f(t) dt.
-T/2
Aplicando el resultado de (1.9) a la primera integral del segundo miembro de la anterior
ecuación, se tiene
r.
· a+T/2
Ja-T/2
f(t) dt ==
JT/2
a+T/2
la+T/2
f(t) dt +
f(t) dt =
la+T/2
-T/2
t<t) dt +
-T/2
L
-T/2
T/2
Ja+T/2
T/2
==
r
f(t) dt.
f(t) dt
_
3
Series de Fourier
En (1.9), if a= O y {3 = t, entonces (1.9) se convierte en
lt f(t) dt LT+t f(t) dt.
=
En (1.6), si a =T/2, entonces (1.6) se convierte en
Tf(t) dt iT/2 f (t) dt.
i
-T/2
(1.10)
=
O
PROBLEMA 1.5
Seaf{t + T) = f(t) y
g(t) =
lt f('T) d'T.
Demostrar que g(t + T) = g(t) si y sólo si·
lT/ f(t) dt = 0.
puestoqueg(t)= lt f(r:)dr,
2
-T 12
Solución:
i
·
g(t + T) =
i+T
f('T) d'T =
·¡T
l'f+t J('T) d'T.
f('r) d'T +
T
0
Por (1.10) y (1.7), se tiene
LT f ('T) dT= fT/ 2f('T) d'T = JT/ 2f(t) dt, T+t f(IJ dt ='lt f(t) dt.
l
-T/2
-T/2 "
T
O
O
Por consiguiente,
T/2 f (t) dt + ·¡t f (t) dt
-T/2
i
T/2
g (t + T) =
y g(t + T) = g(t) si y sólo si
PROBLEMA 1.6
i-T/2
1
O
f(t) dt =O
Seaf(t + T)= f(t), y
F(t)=
'
lt f('T)d'T-!.a t,
0
2
o .
.
21T/2 f(t) dt.. Demostrar que.F(t + T) =F(t).
. donde a0 =-
-T/2
Solución:
puesto que F(t) =
f(r) dr
.
~
T
. ..
r
F(t + T) =
t+T f('T)' d'T.;.. -a
1
(t + T)
l
T. .
i
o
=
.
-~a
0 t; se tiene
2
. f('T)d'T+
O.
2
0 •
.
iT+t f('T)d'T--a
. 1 t--a
1
T.
T
2
0
2
0
\
4
Análisis de Fourier
Por (1.10) y (1.7), se tiene
Tf(T) dT = lT/2 f(T) dT = 2a
1
T,
i
0
-T /2
O
l
T
T+t f(T) dT lt f(T) dT.
=
0
Por consiguiente,
. 1
2
F(t+ T)=-a 0 T+
Lt
.
1
2
1 . 2
-
f(T)dT--a,t--a 0 T
o
=
lt
1
2
f(T)dT--a 0 1 =F(t).
o
1.2 SERIES DE FOURIER
PROBLEMA 1.7
Deducir la forma (1.12) de (1.11) y expresar Cn y 8n en términos
dean ybn.
Solución:
se puede expresar
ancos nw 0 t + bnsen nw 0 t = Ja~ + b~ (
a,
Ja~ + b~
cos nw 0 t +
bn
Ja~ + b~
sen nw 0
t)
Si se utiliza la identidad trigonométrica
a 11 cosnw 0 t+ b 11 sennw 0 t= Cn(cosen cosnw 0 t+ sen
en sennwot)
(1.13)
=en cos (nwot- en),
donde
(1.14)
por consiguiente,
ó
en =tan
-1
(bn)
an .
(1.15)
5
Series de Fourier
También, si se hace
(1.16)
se obtiene
n= 1
n= 1
1.3
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES S.ENO Y
· COSENO: FUNCIONES ORTOGONALES
6
Análisis de Fourier
Verificarla integral (1.19c).
PROBLEMA 1.8
con la identidad trigonométrica
Solución:
cosAcos B ==
~[co~ (A+ B) + cos (A- B)],
y
se obtiene
I
\
T/2 cos (mw t) cos (nw t) dt
0
0
-T /2
1
== 2
¡·T/2 leos [(m+
. n)
W 0 t] + cos [(m- n) W 0 t]l dt
-T/2
1
1
==sen [(m+ n)wo t] 1 T/2
2 (m + n) W 0
-T/2
1
1
+sen [(m -n)w 0 t] 1T/2
2 (m -: n)w 0
-T/2
1
1
(
)
!sen [(m+ n)11] + sen [(m+ n)11]1
2 m+ n W 0
1
)
!sen [(m- n)17] +sen[(m-n)17]1
+ !._ (
2 m- n w 0
=O si m ::¡l:n.
1
.
Utilizando. la identidad
cos2 0 =- trigonométrica
.
2 (1 + cos 20) y haciendo m = n *O
se obtiene
i
T/2
. •
1
.
cos (mW 0 t) cos (nw 0 t) dt ==
lT/2
cos 2(mw 0 t) dt
-T/2
-T/2
1
==2
iT/2 [1 + 'cos 2mW•. t] dt
0
-T/2
== -1 t IT/2 + -1- sen 2mw 0 t IT/2
2 -T/2 4mw °
· -T/2
PROBLEMA 1.9
Solución:
Verificar la integral (1.19e).
con la identidad trigonométrica
sen A cos B ==~[sen (A+ B) + sen (A- B)],
se obtiene
Series de Fourier
I
7
T/2
sen (mwot) cos (nwot) dt
-T/2
=
2"1 I T / 2 !sen [(m+ n)co tl +sen [(m- n)w tll dt
0
0
-T/2
1
-1
=-
2 (m+ n)w 0
cos[(m+n)w 0 t]
·
1
+-
IT/2
-1
2 (m -n)cu 0
-r; 2
IT/2
cos[(m-n)w 0 t] ·
'-T'2
=o si m *n.
Si se hace m =n *O, y se utiliza la identidad trigonométrica sim 20 =2 sen 6 cosO se obtiene
T/2
1
l·T/2
sen (mwot) cos (nwot) dt = .
T/2
·
sen (mwot) cos (mwot) dt
-T/2
1 JT/2
. . = -2
sen (2mw4 t) dt
-T 12 .
/
1
1 T/2
4mwo
-T/2
=-:- - - cos (2mw 0 t)
=o.
Evidentemente, para m= n =O, la integral es cero.
)
1.4
EVALUACION DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER
8
Análisis de Fourier
Series de Fourier
9
Encontrar la serie de Fourier para la funciónf(t) definida por:
PROBLEMA 1.10
T
-L
--<t<O
2
.
1,
O<t<!_
2
f (t) =
{
(1.29)
y f(t + T) = f(t). (Ver figura 1.2)
Solución:
.
2
LT/2
an = T
2
1
por(1.27)yw 0 t
t=± T 12
= T" (± T) = ±rr,setiene
f(t)
2
f(t) cos (núJ 0 t) dt
---,
1
-T !2
2
=-
T
[10
-cos(núJ 0 t)dt+ iT/2 cos(núJ 0 t)dt
o
-T/2
2( 1
T
núJ 0
~{ -
=
T
--1
2 1
~
núJo
núJ 0
O.
núJ 0
o]}
.
(1.30)
puesto que sen O= sen (mr)= O.
Para n = O, se tiene
1
1
o
= -
T
IT/2
f (t) dt = O
(1.31)
-T /2
puesto que el valor promedio de f(t) durante un período es cero.
De (1.28) y W 0 T= (2rr/T) T= 2rr se tiene
¡T/2
2
bn = T
T
[lo
-
sen (núJ 0 t) dt +
lT/2 sen
T
e os· (núJ 0 t) lo
núJo
2
(núJ 0 t) dt
]
o
-T/2
= -2[1
-
= -
f(t) sen (núJ o t) di
-T/2
=2-
-1 cos (núJ 0 t)
-T/2 + -
núJo
-{[1-cos(-nrr)]-[cos (nrr)-1]}
núJ 0 T
2
= - (1- cos nrr).
nrr
1
1
l
'
=Oparan*O
2
1
1
1
•:......---¡ -1
1
[sen O- sen (-nrr)] + - - [sen (nrr)- sen
- a
.-
1
-T~~----+0------;¡~--~~ ~~
Figura 1.2
1
1
1
IT
12
+--sen núJot IT/2)
-T/2
.
L
1
1
1
-=--sen núJ 0 t lo
=-
1
(1.32)
Forma de onda del
problema 1.1 O.
1
1
10
Análisis de Fourier
Puesto que cos mr = (-t)»,
o,
bn =
{
n par
_
(1.33)
4
-·
n impar.
mr
De donde
00
4
f(t) = 77
n=impar
=;4 ( sen w t + 3"1 sen 3w t +S1 sen 5w t +· · ·) .
0
f(t)
1
0
(1.34)
0
PROBLEMA 1.11 Encontrar la serie de Fourier para la furición cuya forma de .onda
se muestra en la figilra 1.3.
la función[(!) se puede expresar analíticamente así:
Solución:
4t
T
2
1+-• - - <t<O
T
-
(1.35)
f("t) =
4t
{ 1--.
Figura 1.3.
Forma de onda del
problema 1 .11 •
T
o -<t<-.
2
T
Puesto que el valor promedio de f(t) durante un período es cero,
lT/2 f(t) dt. O,
T -T/2
- 1
1
- a0 = -
2
(1.36)
=
Por (1.27) y (1.35) se obtiene
lT/2 f (nw t) dt
T -T/2
2 lT/2
.dt +-210 -t
4
(nw
2
(t) e os
an = -
cos
=-
T
0
0
t)
-T/2
2
+T
lT/2 - 4-·t
0
T
T
T
-T/2
.
cos (nw 0 t) dt
cos (nw 0 t)dt.
La primera integral del segundo miembro es igual a cero. Haciendo t =-ten la segunda
integral se obtiene
. p810
81T/2
an = -
(-'T) cos [nw 0 (-'T)](-d't")--
p
T/2
=
10
8
2
T
T/2
't" cos (nw0 't") d't"- 28
T
lT/2 t
16
T2
=- -
0
iT/2 t
o
cos (nw 0 t) dt.
t cos (nw 0 t) dt
.
cos (nw 0 t) dt
o
= - 8- l T / 2 T cos (nw T)dT- - 8
o
r2
O
r2
lT/2
o
t cos (nw 0 t) dt
Series de Fourier
11
Ahora, integrando por partes, se obtiene
l
T/2
o
1
t cos (ncu 0 t) dt = - · - t sen (ncu 0 t)
ncuo
1
IT/2- _ 1
lT/2
ncuo
o
0
sen (ncu 0 t) dt
.
.
(n 2TT/T) 2 (cos nTT- 1).
De donde,
16 . 1
an = - - 2
(cos nTT- 1)
T (n2TT/T) 2
(1.37)
Puesto que cos mr = (- l)n,
n par
(1.38)
n impar.
Análogamente, por (1.28) y (1.35) se tiene
.
bn = ~-1
T/2
f(t) sen (ncu 0 t) dt
-T/2
2
=-
lT/2 .
2
sen (ncu 0 t) d~ +-T 12
'
T
T
.
2
+-
T
iT/2 - -
4
81o .
8
T2
=-
0
-T 12
.
1,
.
8lT./2
(-'T) sen [ncu 0 (-'T)] (- d'T)-~
=-
T2
4 t sen (ncu t) dt
t sen (ncu 0 t) dt
.
T
0
Lo T
lT/2 t sen,
o·
t. sen (ncu 0 t) 'dt
O
T/2
.
8
(ncu 0 t) dt--
T2
-lT/2 t sen
o
(ncu 0 t) dt
=o.
(1.39)
De donde,
(1.40)
PROBLEMA ~12
Encontrar la serie de Fourier para la funciónf(t) delmidapor
T
.
,--<t<O
o,
f(t) =
.
2
'
. { A sen CU 0 t,
y f(t + T) = f(t), W 0 = 2rr/T. (Ver figura 1.4.)
T
O<t<-,
2
(1.41)
Análisis de Fourier
12
f (t)
I
T
2
2
Figura 1.4.
Forma de onda del problema 1.12.
puesto que f(t) =O cuando-:- T/2 < t <O, de (1.27) y (1.28) se tiene
Solución:
2
ao = T
LT/2 A sen (wot) dt=2A
(-cos Wat)l~
12
Tw 0
0
A
= 7T
(1 - cos rr)
2A
(1.42)
7T
iT/2 1sen [(1 + n) w t] + sen [(1 - n)
A
= -
0
T o
W 0 t11 dt.
(1.43)
.
Cuando n= 1,
a 1 =AT
lr
12 sen (2w
0
1 cos 2w t
t) dt =A- ( - 0
T
0
2w 0
)Ir
12 = '-[1A
cos (2rr)]
4rr
0
·.
A
(1-1)
4rr
= -
;, o.
(1.44)
Cuandon=2,3, ... , ·
an =A {- cos [(1 + n) W 0 t] _ cos [(1- n) W 0 t]
T
Cl+n)W 0
(1-n)W 0
=
=
}IT/
2
0
~ {1 - [cos (1 + n) rr] + 1 - cos [(1 - n) rr] }
2rr
1+ n
0,
A
{ -
2
2
-- +--
2rr (1 + n
1- n
n par
2A
.
= , n unpar
1 - n)
(n - 1) (n + 1) rr
(1.45)
Análogamente
A
=-
T
lT/2 leos [(1- n)
o
W 0 t] -
cos [(1 + n) W 0 t1l dt.
.
(1.46)
13
Series de Fourier
Cuandon= 1
A
b1 =T
iT/2 dt--AT lT/2
0
A A sen 2Wot
cos (2w 0 t) dt = ___
2
0
T
IT0./2
2w 0
A
=
2'
(1.47)
Cuandon=2,3, ... ,
bn =.A {sen [(1- n) W 0
·T
(1 - n) w o
t] _sen [(1 + n) w 0 t]}IT/ 2
(1 + n) w 0
.
0
=~{sen [(1- n)rr]- sim O_ sen [(1 + n)rr]- sen O}
2rr
1- n
1 +n
=o.
(1.48)
De donde,
A A
f(t) =-+-sen
w. t -2A(
- - 1 cos 2w 0 t + -1- cos 4w t + · · ·) .
7T
2
o
7T
1·3
3.5
o
PROBLEMA 1.13
Solución:
(1.49)
Desarrollar f(t) = sen5 ten serie de Fourier.
en vez de proceder como se hizo en el problema (1.12), se hará uso de
las identidades
e±¡ne = cos
cos
ne ±j sen ne,
ne
(l. SO)
(l.S1)
(l.S2)
Se expresa
S
S
1
= - sen t - -sen 3t + - sen St.
8
16
'> 16
En este caso la serie de Fourier tiene tres térininos solamente.
1.5
APROXIMACION MEDIANTE _UNA SERIE
FINITA DE FOURIER
(l.S3)
14
Análisis de Fourier
Demostrar que si se aproxima una funciónf(t) por una serie finita de
Fourier Sk(t), entonces esta aproximación tiene la propiedad de ser el mínimo error
cuadrátiCo medio.
PROBLEMA 1.14
So lución:
si se sustituye (1.54) en (1.57), se tiene
2
E = T lT/2
. [f(t)- a2- L (an cos nwot + bn sen nwot) dt.
1
k
k
-T 12
]
n= 1
(1.58)
'
Considerar E k como una función de a0 , an, y bn. Entonces para que el error cuadrático
medio Ek sea un mínimo, sus derivadas parciales con respecto a a0 , an, y bn deben ser
iguales a cero, es decir,
(n=1,2,···).
Intercambiando el orden de la diferenciación y de la integración:
2 - L (an cos nwot + bn sen nwot) dt,
aE
1 ·1r12 [
aa k = - T
' f(t)- a
-T/2
o
~
aEk =(T/
ab"
T )_
2
k
]
(1.59)
n=l.
[f(t)-
-T /2
ao _
2
~ (a cos nw t + bn sen nw t)]sen (n<.vot) dt.
L
n= 1
0
0
0
·
(1.61.)
Si se usan las propiedades de ortogonalidad (1.19), (1.27), y (1.28) del seno y del coseno,
·
las integrales (1.59), (1.60) y 1.61) se reducen a
aE
a
1
_ k = ___E___
da o
aEk
2
iT/ 2
,T
~T 12
2
fT/2
f(t) dt =O,
--= an-f(t) cos (nw 0 t) dt =O,
aa"
T -TI 2
aE
21TI2' f(t) sen (nwot) dt =o.
__
k= b,;--
ab"
T
-T; 2
(1.62)
,
(1.63)
(1.64)
15
Series de Fourier
Solución:
1
Ek = T
por (1.57) se tiene
LT/2
[f (t) - Sk (t)P dt
-T/2
1 i T / 2 IU(t)P- 2f(t) sk (t) +[S k (t)PI dt
=-
T
-T/2
.
1T/2
1 lT/2
= 1T l T / 2 [f(t)P dt- 2
T
' f(t) Sk (t) dt + T
[S k (t)F dt.
-T/2
-T/2
(1.66)
-T/2
Ahora bien;
2 iT/2
2 a JT/2
2 k
f(t)Sk(t)dt=- __!!_
f(t)dt+- ~ an
T
-T/2
T
2
2
+T
L
TL
-T/2
k
(
T/2
.
f(t)cos(nw 0 t)dt
)_
-T/2
n=l
T/2
.
f(t) sen (nw 0 t) dt.
bn .[
-T/2
ndl
Teniendo ert cuenta (1.27) y (1.28), se obtiene
2 iT/2
T
.
f(t) Sk(t) dt =
2 + L (a~+ b~).
a2
k.
·
n=l
-T/2
(1.67)
Utilizando las relaciones de ortogonalidad (1.19),
1 lT/2
.
1 lT/2
[S k (t))2 dt = T .
[a2 + L
-T/2
-T/2
n=l
T
k
.
]2
,
Can cos nw 0 t + bn sen nw 0 t)
1 k
~ (a 2 + b 2)
2L n
n.
2
= ao + -
4
dt
.
(1.68)
n=l
Sustitu~endo (1.67) y (1.68) en (1.66), se obtiene
1 lT/2
E k=T
-T/2
1
=~
LT/2
T
2
2
1
n=l
k
n=l.
2
1 k '
[f(t)P dt- ao - - ~ (a 2 + b 2 ).
4
2L n
n•
-T/2
Solución:
k
[f(t)P dt- ao - ~ (an2+ bn2) + ao +- ~ (a2 + b2).
2 L
4
2L n
n
n=l
·
por (1.57), se tiene
1 lT/2
E k =; T
.
[f(t)- S k (t)P dt 2:. O.
(1.70)
-T/2
Y también por (1.65) se deduce que
2 IT/2
T
[f(t))2 dt;::,
-T/2
a2 + L (a;+ h;).
2
k
n=l
(l. 71)
16
Análisis de Fourier
PROBLEMA 1.17
Solución:
Demostrar el teorema de Parseval.
por (l.65),.se tiene
1(2
2)
E. k+ 1 =E k - ak+ 1 + bk+ 1 •
(l. 73)
2
Mediante las relaciones (1.70) y (1.73) se observa que la sucesión !E k! contiene solamente
términos no negativos y no es creciente; por consiguiente la sucesión converge. De (1.56),
1im E k (t) == f (t) k""""oo
lim S k (t) = O.
(1.74)
k-oo
De donde,
lim Ek = O.
(l. 75)
k->00
En consecuencia, por (1.65) se concluye que
1
-
T
f_T/2
-T/2
1.6
.a;
2
1 oo
[f(t)l dt ==- + - "\' (a~ + b~)
4
2~
n=1
LAS CONDICIONES DE DIRICHLET
f ( t)
Figura 1.5
Función continua por tramos y 1imites a la izquierda y a la derecha.
Series de Fourier
Solución:
17
por (1.69), se tiene
1
2 a~ +
L (a; +
IT/2 [f(t)F dt.
-T/2
2
00
b/.) :S T
n=l
·
Puesto que la serie del miembro izquierdo es convergente entonces es necesario que
lim (a; + b/,) = O,
n->oo
lo cual implica que lim an = lim bn = o.
n-+oo
n~oo
So lución:
los coeficientes de Fourier an y bn existen, puesto que la integr·al del valor
absoluto de f(t) es finita en el intervalo [- T/2, T/2]. Aplicando tL78) y la definición de
los coeficientes de Fourier se concluye que (1.79) es correcta, es decir,
lim
'{a" = hm. -2 IT
n->oo
n->oo
bn
T
12
f(t)
{cos
(nw 0 t)
Sen (nw 0 ( )
-.T /2
dt =O.
De donde,
.lim JT/2 f(t) {cos(nw t) dt O.
-T/2
sen
f)
0
=
n->OO
1.7
(nW 0
DIFERENCIACION E INTEGRACION DE
LAS SERIES DE FOURIER
18
Análisis de Fourier
puesto que t'(t) es continua por tramos y diferenciable, su serie de Fourier
Solución:
converge a ella; por lo tanto su representación en serie de Fourier es
f'(t)
=~o+ [<cx.n cos nwot + f3n. sen n~ot),
(1.82)
n~ 1
donde
CX.n =
21T/2
T
f'(t) COS (nw t) dt,
(1.83)
0
-T/2
21T/2
.
f'(t) sen (n<oot) dt.
f3n = -
T
.
-T/2
(1.84)
·
Integrando (1.83) y (1.84) por partes,
T ~(cos nw t) f(t) IT/2.
CX.n = 2
0
.
+.
nw 0
-T/2
J
T/2 f(t) sen (nw t) dt
0
J
-T !2
(1.85)
f3n = 2
T [ (sen nw 0 t) f(t) IT/2 - nw 0
-T/2
T/2
L
J.
f(t) cos (nw 0 t) dt
-T/2
.
(1.86)
=- nwoan
puesto que f(- T/2) = f(T/2).
Debe notarse que Oto.= O. Por consiguiente,
00
f'(t) =
L nw
n=l
0
(-an sen nw 0 t + bn cos nw 0 t),
'
lo cual se puede obtener de la serie de Fourier de f(t) diferenciando término por término.
(La diferenciación de una función con discontinuidades súbitas será tratada en la
sec. 2.5).
19
Serie!! de Fourier
So lución:
puesto que f(t) es una función continua por tramos y por el resultado
. del problema 1.6, la función F (t) defmida por
F(t) =
(
Jo
f('T) d'T- !_a 0 t
(1.89)
2
es continua y periódica con período T. Puesto qué
.
1
F'(t) = f(t)-
2
(l. 90)
a0 ,
se sigue que F (t) también es continua. Sea la expansión de F(t) en serie de Fouri~r
1
1
2 <Xo + L (<Xn cos núJot + f3n sen núJot).
F(t) =
00
.
(1. 91)
n= 1
. Entonces, para n ;;:::: 1,
LT/2
·
2
<Xn = T
.
:F (t) e os (núJ 0 t) dt
..;.T/2
2
·... .
= - - F(t) sen núJ t
0
núJoT .
IT/2
2
---T/2
núJoT
lT/2
F'(t) sen (núJ 0 t) dt
-T/2
l.
2
T/2
1
= - - - . . . . [f(t) - - ao] sen (núJot) dt
núJoT .-T./2
2
.
(1.92)
L
2
f3n = -
T/2
T
F(t) sen (núJ 0_i)·dt
-T/2
2.
·.
'IT/2
núJoT
2
·= - - ..T
·
núJo
-T/2
l.
T/2
2.
+ --
= - --.·F(t)cosnúJ 0 t
núJoT
L
T/2
.
F'(t)cos(núJ 0 t)dt
-T/2
.
1
.
. [f(t) - -2 a o ] cos (núJ o t) dt
-T/2
1
(1.93)
=-an•.
núJo
De donde
00
1
.
1
+ '\' (- bn cos núJ 0 t + an sen núJ 0 t).
2· ° n=l
L.., núJ
·
F(t) =-a
0
(1.94)
Análisis de Fourier
20
Ahora bien;
(l. 95)
De donde,
I.,
12
f(t) dt =
0
F(t 2 ) - F(t,) + ~a (t2 - t 1)
+ an (sen ncu 0 t 2 - sen nw 0 t)l
lo cual se puede obtener de la serie de Fourier de f(t) mediante integración término
por término.
Solución:
por el resultado del problema 1.21, se tiene
El término f a0 t·no es periódico y por consiguiente la integral no es periódica. Nótese
que la integración de la serie de Fourier de f(t) término por término, conduce a la serie
de Fourier de la integral def(t) solamente si a0 =O, es decir, sólo si el valor promedio
de f(t) es cero; esto se demostró en el problema 1.5.
Solución:
aplicando (1.27) y (1.28), se obtiene
T/2
-T/ [/(t)Jl dt =
l
2
1
2 a0
+ b"
,
lT/2
-T/ f(t) dt +
2
l
TI2
.
""
r.
( T /2
~ (" j_
f(t) cos (nw 0 t) dt
-T/2
.
J
f(t) sen (nw 6 t) dt
. -T !2
(1.99)
De esta manera,
1
T
IT
12
-T/2
1
1
[f(t)F dt =-a¿+ - '\''(a~+ b~).
4
2 L
00
n=l
21
Series de Fourier
1.8
PROBLEMA 1.24
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Encontrar el período de las siguientes funciones:
(a) cosnt, {b) cos21Tt, (e) sen(21Tt/k), (d) s~nt+sen{t/3)+sen{t/5),
(e) lsenwotl.
t
o
•
7T
Respuesta: (a) 21T/n; (b) 1, (e) k, {d) 30 1T, (e) 1T/W 0 •
La función fltl del
problema 1.29.
Figura 1.6
Demostrar que la función/{t) =constante, es una función
periódica de período T para cualquier valor positivo de T.
PROBLEMA 1.25
f( t)
PROBLEMA 1.26 Si/{t) es una función periódica de t con período T, demostrar
que f(at) para a =1= O es una función periódica de tcon períodb T/a.
PROBLEMA 1.27
que fa (t) = _!___
. 2a
l
Si f(t) es una función periódica de t con Te integrable, demostrar
·.-~
t+a
f (1:) dí: también es periódica con período T .
t-a
PROBLEMA 1.28 Demostrar que si f(t) y g(t) son continuas por tramos en el intervalo
(- T/2, T/2) y periódicas de período T, entonces la función
f
Figura 1.7
La función f!tl del
problema 1.30.
T/2
f(t)
h(t) = _!_
f(t- í:)g(í:)dí:
T -T/2
es continua y periódica con período T.
PROBLEMA 1.29 Encontrar la serie de .Fourier para la función f(t) definida por f(t) = 1
para-1T<t<O, f(t)=O, para O<t<1T y f(t'+21T)=f(t). (Ver figura 1.6).
f::
Respuesta:l _1.
sen (2n -1) t .
77 n = 1
2
2n -1
PROBLEMA 1.30 Encontrar la serie de Fourier de la función/{t) definida por f(t) = t
paraelintervalo(-1T,1T) y f(t+21f)=f(t). (Verfigura1.7).
00
Respuesta: 2
L
n = 1
(-1)n-1
n
sen .n t .
Figura 1.8.
~~..
-27T
Encontrar la serie de Fourier para la función/(t) defmida por f(t) = t
en el intervalo (-1T, 1r) y f(t + 21T) = f(t). (Ver figura 1.8).
PROBLEMA 1.31
oo ( 1)n
Respuesta:.! TT 2 + 4 '\' ---cos n t.
· 3
· ~
n2
n=1
L:aefunción f!tl del
·problema 1.31.
-TT
Figura 1.9
.
0
7T
2TT
La función/!tl del
problema 1.32.
f(t)
PROBLEMA 1.32 . Encontnu: la serie de Fourier para la función/{t) defmida por f(t) = et
en el intervalo (-1T, 1r) y f(t + 21T) = f(t). (Ver figura 1.9).
A
~ (-1)n
Respuesta: 2senh1T [1
- + ~
-2 (cos nt- n sen nt) ] .
TT
2
n= 1 1+n
PROBLEMA 1.33
(Ver figura 1.10).
Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) = 1A sen W0 t 1.
Figura 1.1 O La función f!tl del
problema 1.33.
Análisis de Fourier
22
2A
4A
Respuesta:- + 7T
7T
Desarrollar f(t) = sen2 t cos 3 t en serie de Fourier.
PROBLEMA 1.34
Respuesta~-.L (2 cos t- cos 3t- cos 5t).
16
Desarrollar f(t) = er cos t cos (r sen t) en serie de Fourier.
[Sugerencia: usar la serie de potencias para ez cuando z = reit.]
PROBLEMA 1.35
L n!r" cos n t.
00
Respuesta: 1 +
n= 1
Aproximar la función f(t) = ten el intervalo (- 1r, rr) mediante una
serie finita de Fouri~r de 5 términos que sean diferentes de cero. Calcular también
el error cuadrático medio en la aproximación.
PROBLEMA 1.36
S
Respuesta:2 n~
1
PROBLEMA 1.37
[ (-
]
1)n-1
n
sen nt ,
E 5 = 0.363.
Utilizando el desarrollo en serie de Fourier del problema 1.10,
demostrar que
7T
1
1
1
-=1--+---+·
4
3
S
7
1
[Sugerencia: hacer t =-Ten (1.34).]
4
PROBLEMA 1.38
Demostrar que
L.: !.. = 1 + ..!:.4 . + .!.9 + ...!._16 ·
00
+ . . . = "2 .
n= 1 n2
·6
Ji¿'
[Sugerencia: hacer t = 1r en el resultado del problema 1.31.]
00
PROBLEMA 1.39
Encontrar la suma de
L:
n=1
1
(2n -1) 2
[Sugerencia: hacer t =O en (1.40) del problema 1.11.]
Respuesta: rr2 /8
Si una función periódica f(t) tiene derivadas continuas hasta el
orden k y derivadas continuas por tramos de orden k + 1, demostrar que existe una
cota B, dependiente sólo de f(t) y k tal que
PROBLEMA 1.40
y
donde an y bn son los coeficientes de Fourier de f(t).
PROBLEMA 1.41 Seanf(t) y g(t) funciones continuas por tramos con período T,
y 8ean an, bn y~' f3n los re8pectivo8 coeficientes de Fourier de f(t) y g(9·
Demostrar que
J
~ ·
T~
-T/2
f(t)g(t)dt=~ a 0 a 0 +
oo
L (anein+bnf3n).
"=1
23
Series de Fourier
PROBLEMA 1.42
Si f(t) es una función periódica integrable, con período T, demostrar que
11T
~ bn
(T )
f (t) - - t dt = ~ '
T o
2
n= 1 nwo
donde bn es un coeficiente de Fourier de f(t) y W 0 = 2rr/T.
[Sugerencia: desarrollar
PROBLEMA 1.43
f:
t
T- t , para O< t < Ten serie de F ourier.]
Integrar la serie de F ourier para t 2 en el problema 1.31 para obtener
y
(-1)" se:3 nt = 112 t (t2- rr)
ri=1
h ~
00
PROBLEMA 1.44
Utilizar el teorema de Parseval (1.72) para probar que
(
1
2
n
2
1
)2 = ~
[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 1.10.]
PROBLEMA 1.45 De un conjunto infinito de funciones reales { ~n(t)}, donde n = 1, 2, ... ,
se dice que es un conjunto orto normal en el intervalo (a, b) si
Jb c/Jn
(t) c/Jm (t) dt = Smn ,
a
donde l:imn es la función delta de Kronecker. Seaf(t) una función defmida en el
intervalo (a, b) y si se supone que f(t) se puede representar como
L en c/Jn (t)
00
f (t) = e 1 cp 1 ( t) + e 2 c/J2 (t) + · · · + en c/Jn ( t) + · · · =
n=1
en el intervalo (a, b ), donde las en son constantes. I>emostrar que
f
e~ =Lb f(t)c/Jn(t) dt,
a
n = 1, 2, · · ·.
,
Los coeficientes en se denominan coeficientes de Fourier de f(t) con respecto al
conjunto ortonormal lc/Jr. (t)l.
L en c/Jn (t ),
k
PROBLEMA 1.46
Sif(t) en el problema 1.45, se aproxima por fk (t) =
n.=1
b
r [f(t) - f t)] dt es un mínimo.
demostrar que el error cuadrático medio _1_.
b-aJo,a
k (
2
.
PROBLEMA 1.47 Demostrar que si en son los coeficientes de Fourier de f(t) con
respecto al conjunto ortonormal {~n(t)}, entonces
lb
2
[f(t)] dt=
1; e~.
1
Este resultado se conoce como la identidad de Parseval.
•
2
CAPITULO
ANALISIS DE FORMAS DE
ONDAS PERIODICAS
2.1
'SIMETRIA DE LA FORMA DE ONDA
2.1 a Funciones pares e impares
o
(a)
f(t)
-Solución:
sea/{t) = / 1 (t) / 2 (t). Si/1 (t) y f 2 (t) son funciones pares, entonces
f(- t) = fl (- t) 12 (- t) = fl (t)f2 (t) = f(t),
y si/1 (t) y f 2 (t) son funciones impares, entonces
(b)
Figura 21.
(a) Una función par.
(b) Una función impar.
f (- t) = fl (- t) 12 (- t) = - fl (t) [- 12 (t)] = fl (t) 12 (t) = f (t).
Esto prueba que f( t) es una función par.
Análogamente, si/1 (t) es par y / 2 {t) es impar, entonces
f(-t) = fl (-t)f2 (-t) = fl (t) [-/2 (t)] = -fl (t)/2 (t) = -f(t).
Esto prueba que f(t) es una función impar.
24
25
Análisis de formas de ondas periódicas
So lución:
cualquier funciónf(t) se puede expresar como
l.
1
1
1
f (t) = 2 f (t) + 2 f (- t) + 2 f (t) - 2 f (- t)
1
1
(2.4)
= 2[f(t) + f(-t)] + 2[f(t)- f(-t)l.
Sea
1
.
(2.5)
2[f(t) + f(-t)] = fe(t),
1
(2.6)
2[f(t)- f(-t)] = 10 (t).
Entonces,
1
16 (-t) = -[f(-t) + f(t)] = fe(t),
.
f 0 ( - t) =
2
1
1
2
[f(-; t)- f(t)] = - 2 [f(t)- f(- t)] = - f (t).
0
De donde,
f(t) = fe (t) + 10 (t),
donde fe(t) es la componente par y [ 0 (t) es la componente impar de la función
dada,f(t).
Otra forma de solución:
si se supone que f(t) se puede expresar como
f(t) = fe(t) + f 0 (t),
(2.7)
f(t)
·K
donde fe(t) y [ 0 (t) denotan las componentes par e impar de f(t), respectivamente.
De acuerdo con la defmición de componentes par e impar dadas por (2.2) y (2.3),
se sigue que
.
.
.. t
{a)
(2.8)
f(-t) = fe(t)- f 0 (t).
La suma y la diferencia de (2~7) y(2.8) dan como resultado, respectivamente
1
fe (t) = 2 [f(t) + f(- t)]¡
<
. 1
(b)
10 (t) = 2[f(t)- f(-t)],
PROBLEMA 2.3
Encontrar las componentes par e impar de la función definida por
[figura 2.2(a)]:
-t
f(t)=
{
Solución:
t >o
e '
O,
(2.9)
t <o.
Figura 2.2
de acuerdo con (2.9), se tiene
O,
f(-t) =
{ et,
Por medio de (2.5) y (2.6), se concluye que.
t >o
.
(2.10)
t <o.
(a) La funciónj(t) del problema
2.3. (b) La componente par de
la figura 2.2 (a). (e) La corripo·
nente impar de la figura 2.2 (a).
26
Análisis de Fourier
.
.
1
{
~e (t) = 2 [{(t) + f(- t)l =
-e
1 -t
2
'
t >o
1
2e,
t <o '
~e-t
t>O
.
{
(2.11)
t
f0 (f)o~[/(t)-f(-t)]o :~ •• ' t<O
2
'
Las componentes par e impar de f(t) se ~uestran en las figuras 2.2(b-c).
Solución:
si se escribe nuevamente el primer miembro de (2.13), se tiene
1: 1:
f(t)df =
f(t) df + lB f(t) df,
Haciendo t =- x en la primera integral del segundo miembro
lo
-Bf(t)dt=
lo
.
B f(-x)(-dx)= lB f(-x)dx.
0
Puesto que f(t) es par, es decir,[(- x) = f(x), se tiene
B f(- x) dx = 1· B f(x) dx = lB f(t) dt.
l o
o
.
o
Lo cual es -cierto pues cualquier símbolo se puede usar para representar la variable
"comodín"; por consiguiente,
L:
f(t) dt = lB f(t) dt + lB f(t) dt = 2 lB f (t) dt.
}'
( (t)
r
__/¡
1
1
~
1
:
:
1
Solución:
_/
.t
:
1
si se escribe nuevamente elprimer miembro de (2.14), se tiene
1:
f(t) dt =
=
Figura 2.3
L:
f(t) dt + lB f(t) 'dt
lB f(- f) dt + lB f(t) dt,
Simetría de media onda.
Puesto que f(t) es impar, es decir,[(- t) =- f(t), se tiene
(2.12)
27
Análisis de formas dé ondas periódicas
ia
f(t) dt = -
a
ra f(t) dt la f(t) dt o.
+
.lo
=
o
En particular,
f(-0) = -f(O);
de donde,
'f(O)=O.
2.1 b Simetría de media onda
(a)
(b)
Figura 2.4
Solución:
(a) Simetría de cuarto de
onda par. (b) Simetría de
cuarto de onda impar.
Si f(t) tiene simetría de media onda, entonces, de acuerdo con (2 .16), se tiene
t(t)=-t(t+}r).
Puesto que f(t) es periódica con período T,
t(t-}r) =f(t+T-}r) =f(t+}r).
/
Por consiguiente,
f (t) = - f, (t + } T) = - f ( t - } T) .
PROBLEMA 2.7
En la figura 2.S(a), demostrar que si se construye una nueva función
sustrayendo de f(t) el término constante A/2, la nueva función es una función impar.
So lución:
la sustracción del término constante A/2 de /(t), solamente desplaza el eje
horizontal hacia arriba en A/2. Como se muestra en la figura 2.5(b ), es obvio que la
nueva función g(t) = f(t)- A/2 es una función impar.
' Figura 2.5
(¡1) Simetría escondida
(b) Simetría impar.
28
Análisis de Fourier
2.2
Solución:
COEFICIENTES DE FOURIER DE
ONDAS SIMETRICAS
el desarrollo en serie de Fourier de f(t) es
1
f(t) = 2 a 0 +
L
00
(an cos nw 0 t + bn sen nc:J 0 t).
n=l
Por (1.27) y (1.28), se tiene
iT/2
2
an = T
-
f(t) cos (nw 0 t) dt,
n =O, 1, 2, · · ·,
f(t) sen (nw 0 t) dt,
n = 1, 2, · · ·.
-T /2
21T/2
bn = T
-T /2
Puesto que sen nw0 t es impar y f(t) es par, el producto f(t) sen nw 0 t es una función
impar. Por consiguiente, de acuerdo con (2.14),
bn =O.
Así mismo, puesto que cos nwot es una función par, el producto f(t) cos nwot es una
función par; por consiguiente, según (2.13), se tiene
'
\
4
an = -
T
iT/2
o
f(t) cos (nw 0 t) dt.
29
Análisis de formas de ondas periódicas
So lución:
puesto que f(t) es una función impar, el producto f(t) cos nw 0 t es una
funci6n impar, y el productof(t) sen nw 0 t es una función par. Por consiguiente, de
acuerdo con(2.13) y (2.14), se tiene
4
bn = -
lT/2 . sen (nw t) dt.
f(t)
,
T o
Solución:
f(t) es
0
el coeficiente an en la expansión de Fourier de una función periódica
IT/2
2
an = T
f(t) cos (nto 0 t) dt
-T /2
I:
~[
=
1T
f(t; cos (n(d 0t) dt +
12
f(t) cos (nw 0 t) dt] ,
12
Cambiando lá variable t por (t-
f T) en la primera integral, se obtiene
~ {1T f (t- ~ r) cos [nw (t- ~ r)] dt
12
an =
0
12
+ .[T
(2.22)
_f(t) cos (nw 0 t) dt}.
Puesto que f(t) tiene simetría de media onda, si se tiene en cuenta la propiedad
f(t) =- f(t- f T) de (2.17) y el hecho de que sen mr =O,
2
an = -
IT/2
.
T o
'
[-f(t) cos (nw 0 t) cos nrr + f(t) cos (nw 0 t)] dt
2
= -[1- (-1)"1
lT/2
T
o
=
.
4
{ T
1·
o
f(t) cos (nw 0 t) dt
paran par
(2.23)
T/2
f(t) cos (nw 0 t) dt
paran impar
Un desarrollo similar muestra que
o
6
"
.
paran par
~ { ~ lTI' /~) •m (~,1) dt paran impar
(2.24)
l
30
Análisis de Fourier
Solución:
puesto que f(t) tiene simetría de cuarto de onda par,
f(t) = E(- t),
Por los resultados de los problemas 2.8 y}.lO se tiene, por consiguiente, que
· bn =
. a2n =
O} para todos los valores
o
4
a2n-1 = -
. T
=
i
T/2
.
f(t) cos [(2n- 1) w0 t] .dt
o
4 { [T 14
T
f(t) cos [(2n - 1) w 0 t1 dt
Jo
. iT/4 ·
+
Cambiando la variable t por (t +
4
a2n-1.= T
(2.27)
den (incluyendo ao),
T/2
}
f(t) cos [(2n- 1) W 0 t] dt .
(2.28)
t T) en la segunda integral, se tiene
{lT/4 f(t) cos [(2n- 1) w t] dt
0
0
(2.29)
Si se usa' la propiedadf(t) =- f(t +
a2n-l =
4
T
t T), se tiene
{lT/4 f(t) cos[(2n -1)w t] dt+
0
O
4
.
= -
T
io-T/4
T/4 .
i-T/4
f(t) cos [(2n - 1) w 0 t] dt.
Dado que f(- t) = f(t) y f(t) cos [(2n- 1)w 0 t] es una función par, según (2.13)
se obtiene
8
a2n-1=f(t) cos [(2n-1)W 0 t]dt.
(T/4
T
.
}
f(t) cos [(2n -1) w 0 t] dt
(2.30)
31
Análisis de formas de ondas periódicas
So tu ción:
puesto que f(t) tiene simetría de cuarto de onda impar
y
f(-t) = -f(t)
f
(t+~T) =-f(t).
Por consiguiente, de los resultados de los problemas 2.9 y 2.10, se tiene
o}
an =
para todos los valores
· de n (incluyendo a0 ),
_
b 2n - 0
4
b 2n-l = T
iT/2
o
(2.33)
f (t) sen [(2n - 1) w 0 t] dt.
.
(2.34)
Evaluando esta integral como en el problema 2.11
fT/4
8
b2n-l = T
PROBLEMA 2.13
Jo
.
f(t) sen [(2n- 1) w 0 t] dt.
f (t)
Encontrar la serie de Fourier de la onda cuadrada que se muestra
Solución:
--,
~--
1
1
en la figura 2.6.
porlafigura.2.6, se tiene
f(- t) == f(t)
1
1
1
1
f
1
2
1
y
Figura 2.6
es decir, la funciónf(t) tiene simetría de cuarto de onda par.
Por consiguiente, según el resultado del. problema 2.11, se tiene
00
f (t) =
L
a2n-1 cos [(2n -
1) w 0 t],
277
Wo=
T'
(2.35)
n=l
8
lT/4
T
o
a2n-1 = -
f (t) cos [(2n - 1) w 0 t] dt
81T/4 cos .[(2n- .
1) w 0 t] dt
=-
T
o
..
8
=----:~--:-sen
[(2n - 1) w 0 t]
(2n- 1) W 0 T
= (
=
2n
~ 1)
77
{(2? ~1)
sen [(2n - 1)
IOT/4
~] ·
para (2n -1) = 1,5 ...
(2.36)
para (2n -1) = 3,7 ...
(2.37)
7T
. -4
. (2n - 1) 77
1
T O
IT
T
'-:l 4 - l o4 2
La onda cuadrada del
problema 2.13
32
Análisis de Fourier
de donde,
4(
.1
1
)'
f(t) = - cos w 0 t - - cos 3w 0 t +- cos Sw 0 t- • • • •
3
1T
PROBLEMA 2.14
f (t)
J!-----.
--1
1
1
1
1
1
IT
1-
l !
2~_¡4
Figura 2.7
(2.38)
Encontrar la serie de Fourier de la 01ida cuadrada que se muestra
en la figura 2.7,
,-- Solución:
por la figura 2.7, se tiene
1
'1
_!_l _!_
S
t(-t) =-f(t),
:T
!2
1
1
t(t+}r)
=~t(t),
es deci!, la funciónf(t) tiene simetría de cuarto de onda impar.
Por consigueinte, según el resultado del problema 2.12, se tiene
La onda cuadrada del
problema 2.14.
00
f(t) =
Lb
2 n-t sen [(2n- 1) w 0
277
tl,
Wo = - '
T
(2.39)
n=l
8lT/4
h2n-1 = -
T o
8
= -.
f(t) sen [(2n- 1) w 0 t] dt
iT/4 sen [(2n - 1)
T o
·
w 0 t] dt
.
,T/4
-8
. = (2n - 1) WoT cos [(2n ,.. 1) wotl o
= ( 2n
f(t)
~ 1)
77
{ 1 -
cos [c2n - 1)
~]}
4
(2n- 1) 1T'
(2.40)
de donde
1
1
f(t) =4- (sen w 0 t +-sen
3w 0 t +-sen
Sw 0 t + · · J
·.
3
1T
'-T
o
T
t
S
(2.41)
Se debe notar que este resultado es el mismo del problema 1.10.
(a)
~ (t)
PROBLEMA 2.15
Encontrar la serie de Fourier de la función f(t) que se muestra eri
---+--+----ll.----~~-+--4----. t la figura 2.8(a).
Solución:
como se muestra en la figura 2.8(b), la funcióng(t) == [f(t)--}] es una
función impar; por consiguiente
L
00
(b)
Figura 2.8
(a) La funciónf(t) del
problema 2.15. (b) La
componente impar de fltl
de la figura 2.8(a).
g(t) ~
bn sen nw 0 t,
Wo=r·
21T
(2.42)
n=l
21T/2
bn = T
-T/2
g (t) sen (nw 0 t) dt.
.
(2.43)
33
Análisis de formas de ondas periódicas
Puesto que g(t) sen nw0 t es una función par, de (2.13), se tiene
.bn = -4
iT/2
.
a
(t) sen (nCúot) dt.
T o
(2.44)
.
Ahora bien;
entonces,
iT/2 (~-!_t)
b n =i_
T
T
2
o
sen (nCú 0 t) dt.
Integrando por partes, se obtiene
(~- !_T t)
1
--.
nrr
b = i_ [n
T
2
(2.45)
Por consiguiente,
1
t(t) = 2+ aCt)
00
1
2 +; L ;:; sen nCú t
1
=
1
0
n= 1
= -1 + -1~sen Cú 0 t + -1 sen 2Cú 0 t + -1 sen 3Cú 0 t + . . .) .
·.2
2
rr.
3
(2.46)
Teniendo en cuenta el resultado delproblema 2.15, encontrar la
serie de Fourier de la funciónf(t) que se muestra en la figura 2.9(a).
PROBLEMA 2.16
Solución:
f (t)
por la figura 2.9(b) y el resultado del problema 2.15, se tiene
f 1 (t) = 1- f(t) =
00
L ;:; sen nCú t.
2+; n=1
1
1
1
0
(2.47)
o
Por tanto,
T
(o}
f(t) = 1 - fl{t)
fl (t)=l-f(t)
n= 1
(2.48)
O
T
(b)
2.3
EXPANSIONEN SERIE DE FOURIER DE UNA
FUNCION EN UN INTERVALO FINITO
Una funciónf(t) no periódica, definida en cierto intervalo
Figura 2.9
(a) La función f(t) del
problema 2.16. (b) La
función/¡ (t) del problema
2.16.
Análisis de Fourier
34
(a)
/
(b)
(e)
,,,
T
• t
(e)
(d)
(f)
Figura 2.10 (al La funciónf(t) dada. (b) Simetría par: términos del
coseno, w 0 = rr/c. (e) Simetría impar: términos del seno, w 0 = rr/¡;.
(d) Términos del seno y del coseno, w 0 = 2rr/r (T: arbitrario).
(e) Simetría de media onda: términos del seno y del coseno, y armónicos
impares, w 0 = rr/r. (f) Simetría de cuarto de onda par: términos del
coseno y armónicos impares, w 0 = rr/(2-r;). (g) Simetría de cu~rto de
onda impar: términos del seno y armón'icos impares, w 0 = rr/(2t).
(g)
2.3a Expansiones de medio recorrido
"\
Análisis de formas de ondas periódicas
35
f ( t)
PROBLEMA 2.17
Dada la función (figura 2.11)
1
----1
para O< t <-rr
2
1
1
(2.S3)
1
para
2
1
o
rr<t<rr,
1T
1T
2
desarrollar f(t) en una serie de Fourier de términos del coseno y trazar la correspondiente
extensión periódica de f(t).
Figura 2.11
La función j(t) del
problema 2.17.
Solución:
en la figura 2.12 se muestra la gráfica de la extensión periódica par def(t).
Puesto quef(t) se extiende a una función par, se tiene
n = 1, 2, ·
Por (2.50), se tiene
an = ~
17
r 7T f(t) cos (nt) dt
=
Jo
~ 17T cos (nt) dt
17
t eCO
· 1r12
·--------,
1
1
2
' nt 17T
=-sen
nrr
1
1
7712
2
nrr
nrr
2
=--sen-;
~------;
1
1
l
1
1
:
: t
1
-7T
7T
7T
o
2
(2.S4)
Figura 2.12
7T
2
La extensión periódica par de
'
[ltl de la figura 2.11.
esto es,
O,
n par (n i= O)
2
--,
n =1, S,···
nrr
2
- , n = 3, 7, · · ·.
nrr
Paran=O,
2 i7T dt=l.
a=,O
1T
7T /2
(2.SS)
fo(t)
De esta manera, se tiene
2( cos t- -cos
1
1
fe(t) '1
= --3t + -cos
St- · ..)
2 rr
3
S.
para O<
1
1
.--.
1
1
1
¡---¡
(2.S6)
t< rr.
1
:
1
1
1
1
7T ¡--;¡;.- o
:1!,. ____·
1: - 2
PROBLEMA 2.18 Desarrolla~ f(t) definida por (2.53), en una serie de Fourier expresada
en términos del seno y trazar la correspondiente extensión periódica de f(t).
Solución:
el gráfico de la extensión periódica impar de f(t) se muestra en la figura 2.13.
2
-1
Figura 2.13
1•
1
1
1
7TI
1
1
1
1
1
L---~
La extensión periódipa impar
dej(t), de la figura 2.11.
36
Análisis de Fourier
Puesto que f(t) se extiende a una función impar,
an = O.,
n = 0,1,2, · · · .
Por (2.52), se tiene
i'"
f(t) sen (nt) dt
21'"
sen (nt) dt
bn =2-
rr
o
= ;
Tr/2
= - -cos nt
2
nrr
\'"
rr/2
2
feos n rr- cos !.n rr) ·
nrr \
· 2
'
(2.57)
esto es,
2
nrr
-·
n = 1,3,5, · · ·
4
- - , n = 2,6,10, • · ·
nrr
O,
n = 4, 8, 12, · · ·
Por consiguiente,
f(t)
f 0 (t)
' t + 1 sen 3t .+S
1 sen St + · · ·)
=;2 (sen
3
. 2(
. 13
rr
1S
- - sen 2t +-sen 6t +-sen 10t + · · ·
)
(2.58)
para <O< t < 1r
2
Figura 2.14
Dada la función (figura 2.14)
PROBLEMA 2.19
La funciónf(t) del
problema 2.19.
2k
-t
l
-
'(2.59)
f(t) =
{
2k
¡CZ- t)
desarrollar f(t) en una serie de Fourier en términos del seno.
f(¡(t)
la extensión periódica impar de f(t) se muestra en la figura 2.15 .
. Puesto que f(t) se extiende a una función impar,
So lución:
an =o,
Por (2.52), se tiene
=} 1 f(t) sen (nzrr t) dt
1
Figura 2.15
La extensión periódica impar
de hi figura 2.14.
b.,
.O
.
n = 0,1,2, ....
37
Análisis de formas de ondas periódicas
:Integrando ahora por partes, se obtiene
1
1t
n rr
(nrr
- - t) dt = --cos - t
n rr
1
1
1
1 2 t sen
0
11 2
10
+¡nrr
11!
2
0
cos (n
-rr1 ) dt·
l
2
2
/
1
1
1
- - - - cos - n rr + -2 sen - n rr.
2
2n rr
n rr
2
(2.61)
2
~Análogamente
I
J
.
/ 2
'1
{2
1
dt = --cos -nrr +--sen
-nrr.
2 2
(1- t) sen
2n rr
/12
2
n rr
2
(2.62)
Sustituyendoc(2.61) y (2.62) en (2.60),
(2.63)
de ·esta manera
(
r;
1
7T
1
7T
)
I(t) . =8k
- sen-t--sen3-t+-sen5-t-···.
.
1
~
2.4
~
1
9
LA FUNCION IMPULSO
l
(2.64)
Análisis de Fourier
38
con un cambio formal de la variable independiente, es decir, t - t 0 = r,
de donde t= t 0 +¡,y dt =d¡,
Solución:
l~ o(t- t )t/J(t) dt = f_~ o(T)t/J(T + t
0
0)
dT =
l~ o(t)t/J(t + t
0)
dt;
entonces, mediante (2.67), se tiene
L:
o(t)
~ (t + to) dt = tP (t + to) 1t=O = tP (to).
Análogamente, con at =¡, t = r/a, dt =.!. dt, si a> O, se obtiene
a
.
~ roo o(t)t¡J(.!) dt = !_t¡J(.!) 1
=
a )_ 00
a
a
a
t=O
1
- - "'(0)·
- \al '~-'
'
si a< O,
l
(L)
=;1 i-oo o(T)t/J -; · dT
oo
-oo o(at)t/J(t) dt
00
=
-~ f_~o(t) t/J (;) dt
=
y;j tP (O).
1
Solución:
aquí la expresión
lb
O (t - t 0 ) g (t) dt
B
se puede interpretar como sigue: si se selecciona la función de prueba lj>(t) tal que
g(t)
tP (t) = { o
paraa < t < b
(2.71)
para b < t 0 <a,
entonces, por (2.68), se tiene
b
L
a
ioo'
O(t - t 0 ) g (t) d_t =
O (t - t 0 ) tP (t) dt = tP Cte) =
-oo
{g
Cto)
O
para a< t0 < b
para b < t0 < a.
39
Análisis de formas de ondas periódicas
Solución: 1
aquí de nuevo la interpretaciqn de la expresión
Lb
o(l _lo) dl
es como sigue: si se selecciona la función de prueba 1/J(t) tal que
cp (l) =
1 para a< l < b
{
(2.71)
O para b < l 0 < a ;
entonces, por (2.68), se tiene
lb
o(l- lo)dl =
l~o(l- lo)'cf>(l) dl
= e/> Cto)
para a < l 0 < b .
={1
O para b < l 0 < a.
Solución:
sif(t) es una función j::Ontínua, entonces ·
l~ [f(l) o(l)] cp (t) dt = 1.~ o(t) [f (t) ~(t)] dt
= f(O) e/> (O)
= f (O)
f_~ o(t) e/> (t) dt
L~ [f (O) o(t)] cP (t) dt.
=
(2. 78)
Puesto que 1/J(t) es una función de prueba arbitraria, se concluye que f(t) & (t) = f(O) & (t).
·Según este resultado es obvio que
t o(t) =
o.
Por (2.69), se tiene
L
oo o (al) cp (l) dl = --;
1 cp(O) = --;
1
-oo
\
\
\
\
1"" o cp
(l) dt =
(l)
-oo
,
i"" a\
' -1
1
-oo
8 (l) cp (t) dl. "
40
Análisis de Fourier
Por tanto,
8(at) = ·2_ 8 (t).
\a\
Haciendo a =- 1 en el anterior resultado,
1
8(-t)=\- \ o(O=o(t),
1
lo cual muestra que 6(t) es una función par.
2.4a Derivadas de la función
So lución:
o
considerar la integral dada por
loo
-oo
f'(t) cp (t) dt.'
.
Integrando por partes, se obtiene
L:
f' (t) cp (t) dt = f (t) cp (t) [
_
00
1:
f (t)
cp' (t) dt.
(2.83)
Si s'e recuerda que la función de prueba cp(t) es tal que se anula fuera de algún intervalo,
es decir, es cero en t = ±oo,
Análisis de formas de ondas periódicas
i~ f'(t) cf> (t) dt = _
1:
41
f(t) cf>' (t)dt.
Se debe notar que la derivada/'(t) de una función generalizada arbitraria está
definida por (2.82).
So lución:
utilizando la expresión (2.82), se tiene
f_~ rt Ct) o Ct)J ,e/> (t) dt = - f_~ rt có o col cf>' Ct) dt
= -
i~ o(t) [f(t) e/>' ,Ct)l dt
= _
L:8(t)l[[(t)cp(t)]'- ftt)cp(t) !dt ·
=
,
=
-1:
o(t)
liC~)cf>Ct)l' dt +
1:
o(t) [f'(t)cf>(t)l dt ·
[~ e) '(t) rt(t) cf>Ct)1 dt + [~ro Ct) r Ct)1 cf> (t}dt
1:
lo~Ct)t(t)+ OCt) rCt)l c/>(t)dt.
(2,85)
Por tanto,
[f(t)
Solución:
o(t)], = f(t) [j '(t) + f'Ct) (5 (t). .
por (2.84), se tiene
t(t)o'(t) = [t(t) o(t)l,- f'Ct)o(t).
Puesto que según (2.74) setiene,/(t)c5(!)= f(O)c5(t),
. f'(t) o (t) = f' (O) o (t),
[ t(O) o CÓ1 ~ = f(O) o '(t).
Sustituyendo en (2.87), se obtiene
f(t)o'(t) = f(O)o'(t)- f'(O)D(t).
(2.87)
42
Solución:
Análisis de Fourier
por (2.82), se tiene
L:
1:
u '(t) cp (t) dt = _
u (t) cp' (t) dt.
Pero, según (2.88),.se tiene
1:
u'(t)cp(t~dt=-1
00
c//(t)dt =-[cp(oo)-cp(O)] =cp(O),
porque cp(oo) =O. Entonces,
1:
u'(t)cp(t) dt =
L:
8(t)cp(t) dt.
(2.89)
En consecuencia,
u '(t) = du (t) = 8 (t).
dt
(2.90)
u (t)
_~,_____¡-_'
o
Figura 2.16
La función unitaria de
Heaviside o función
esc*nada unitaria.
Si f(t) es una función continua por tramos con discontinuidades
súbitas a1 , a2 , ••• en t 1 , t2 , . . . (figura 2.17), y la función f' (t) está definida en todas
partes excepto en estas discontinuidades de número finito, encontrar la derivada
generalizada de f(t).
PROBLEMA 2.28
Solución:
considerar la función
g(t) = f(t)-
L ak u(t- tk),
f(t)
(2.92)
k
donde
1 para t > tk
u (t - t k) =
{
. O parat < tk.
Figura 2.28
Una función continua por
tramos con discontinuidades
súbitas.
la función g(t), obviamente, es continua en todas partes y su derivada es igual a[' (t)
excepto en un número fmito de puntos.
Por tanto, la diferenciación de (2.92) da
g'(t) = f'(t)-
L ak 8(t- tk)
(2.93)
k
Teniendo en cuenta·(2.90), por (2.93), se tiene
f!(t) = g'(t) +
L ak 8(t- .tk).
k
(2.94)
Análisis de formas de ondas periódicas
2.5
43
SERIES DE FOURIER DE LAS DERIVADAS DE
fUNCIONES PERIODICAS DISCONTINUAS
f(t)
PROBLEMA 2.29
Encontrar la serie de Fourier para la derivada de la forma de onda
de la figura 2.18.
Solución:
de acuerdo con el resultado del problema 2.15, la serie de Fourier de/(t)
está dada por
1
2
1
f(t) = - +-:-
.
TT
00
1
L -sen
n
i'lw 0 t
-T
n= 1
o
Figura 2.18
(2.99)
T
2T
La forma de onda del
problema 2.29.
44
Análisis de Fourier
Diferenciando término por término, se tiene
'
2
i (t) = T
L
n2rr
00
cos --t.
(2.100)
T
n=l
Por otra parte, según (2.94), se tiene
00
f'(t) =- .!._ +
T
(2.101)
o(t- nT).
n=-oo
Se observa que la serie de Fourier (2.100) no es una serie conV.ergente en el sentido
ordinario, pero se puede decir que la serie (2.100) converge a la función generalizada
(2.101) en el sentido de una función generalizada.
S(t+T)
S(t)
S(t-T) S(t-2T)
¡ 1 1 1:
-T
o
Figura 2 .. 19
T
2T
Un tren periódico de
impulsos unitarios.
Deducir la serie de Fourier para un tren periódico de impulsos
unitarios 5r(t) mediante la aplicación formal de (1.27) y (1.28).
PROBLEMA 2.30
Solución:
suponer que
1
Or (t) = 2" a0 +
L
00
(2.105)
(an cos nw 0 t + bn sen nw 0 t).
n=l
Aplicando (1.27) y (1.28), mediante (2.70) y (2.72), se tiene
1
1 i T / 2 or (t) dt = -1 l T / 2
_a = _
2 ° T -T/2
T
-T/2
an = -2
T
lT/2
-T/2
Or (t) cos {nw 0 t) dt = -2
T
.'
o(t) dt = -1 ,
(2.106)
T
lT/2 o
-T/2
(t) cos (nw 0 t) dt = 2- cos nwot 1
T
t=O
,
2
= T,
(2.107)
45
Análisis deformas de ondas periódicas'
2 LT/2
2
b;.._ = ~
Br (t) sen (nw 0 t) dt = -
-
T ·
-T/2
.
T
.
LT/2'
'
'
8 (t) sen (nw 0 t) dt
-
-T/2
=~T sennwoti t=O
=o.
(2.108)
De• donde,
L B(t- nT) = 1T + 2r'L cos nwot,
oo_
oo
n=-oo
2rr
T
Wo=-.
n=l
, 2.6
(2.109)
EVALUACION DE LOS COEFICIENTES
DE FOURIER POR DlFERENCIACION
PROBLEMA 2.31 · Encontrar la serie de Fourier para la forma de onda de la
figura 2.20{a), hallando la primera derivada de f(t).
Solución:
sea
1
L (an cos nw t + b~ sen nw t),
00•
f (t) = 2 a 0 +
0
0
(2.110)
n= 1
f'(t)=~<X0 +
f
(cxn
cos_nw~t+f3n_senn(t) 0 t), ·
(2.111)
f (t)
n=l
donde
2rr
Wo = - ,
~--1
~--1
1
1
1
1
1
1
1
1
-T
T
Diferenciando {2.110) término por término e igualando con (2.111), se obtiene
1
1
1 t
1
T
d O d
T
2
2
2
. (a)
2
T
(2.112)
De donde,
an = - f3n '
nw 0
- <Xn .
b n-
(2.113)
nw 0
Puesto que /'(t) es una función generalizada impar [f'tgura 2.20{b)], se tiene
n = 1,2, · .. ,
4
f3n = T
(2.114)
.
Jo[T 12 f'(t) sen (nwot) dt = 4T Jo{ T 12 [ -A a. ( t- 21 d)] 'sen
(nwot) dt
(b)
Figura 2.20
= _
4: sen ( nwid ) .
(2.115)
(a) La forma de onda del
problema 2.31. (b) La
primera derivada de la forma
de onda mostrada en la
figura 2.20(a).
46
Análisis de Fourier
De acuerdo con esto, por (2.113), se tiene
nw 0
d)
nw 0 d) = 2 Ad sen ( -22Ad
4A
an = - - = - - s e n (
nw 0 nw0 T
2
T
(n~d) _ T
f3n
- (mrd)
-
sen
T
(n;d)
(2,.116)
(2.117)
Puesto que el término constante --} ao se anula en el proceso de diferenciación, teniendo
en cuenta (1.23),
1
1
- a0 = 2
T
lT/
2
Ad
f (t) dt = - .
(2.118)
T
-T/'1.
Por consiguiente,
f(t) = Ad + 2Ad
T
T
f-.
L
n= 1
nrrd)
sen ( T
(n~d)
f. 2rr ~
cos\n T
1·
(2.119)
PROBLEMA 2.32 Utilizando la serie de Fourier del tren periódico de impulsos
unitariqs (2.103), resolver nuevamente el problema 2.31.
Solución:
la derivadaf'(t) de la figura 2.20(b) se puede expresar así
(2.120)
Por (2.103), se tiene
(2.121)
(2.122)
donde W 0 = : ; . Sustituyendo (2.121) y (2.122) en (2.120), y utilizando la identidad
trigonómetrica cos (A + B)- cos (A- B) =- 2 sen A sen B, se tiene
~
f , (t) = 2A L
T
n= 1
[ cos ( nw 0 t + T
nrrd)_- cos \nw
( 0t - T
nrrd)]·
f-. sen (nrrd)
T sen (nw t).
= - 4A
T L
(2.123)
0
n=1
De donde,
(Xn
=O.
(2.124)
47
Análisis de formas de ondas periódicas
De esta manera, se obtiene
= 2A
nrr
2Ad
T
sen (mrd)
T
nrrd-)
sen (-T
(2.125)
(n~d}
(2.126)
PROBLEMA 2.33
Encontrar la serie de Fourier para la forma de onda de la figura 2.21(a)
por diferenciación.
f(t)
A
-T
_I._-d2 -d1 O d 1
2
d2 T
2
T
(a)
t'(t)
o
- -A(b¡
(e)
Figura 2.21
Solución:
(a) La forma de onda del problema 2.33. (b) La primera
derivada de la forma de onda de la figura 2.21 (a). (e) Una
función par generalizada¡'' (t) de fl¿), de la figura 2.21 (a).
sif(t) se desarrolla en una serie de Fourier
1 '
f (t) =
2 B¡, + L (a" cos nw t + b sen nw t),
00
0
n= 1
0
0
(2.127)
48
Análisis de Fourier
donde W 0 = 2n/T, entonces
00
(-t1W 0 an sen nw 0 t + nw 0 bn cos nw 0 t),
(2.128)
L [- (nwoY an e os tlWot - (nwo) bn sen nwot].
(2.129}
f'(t) = [
n=l
f" (t) =
2
n=l
[Ver la figura 2.21(b)]. Ahora bien, según la figura 2.21(c),f"(t) es una función par
generalizada y
1
O< t < 2" T.
(2.130)
Por tanto,
(2.131)
4A
, )~:{cos nw 0 d 1 - cos nw 0 d 2 ),
T(d2 .,..d1
l,
,:;.;~1~~
i /AA.
an =
(2.132)
"·: ·.
·.
-~.feos nw 0 d 1 - cos nw 0 d 2 )
(nw 0 )2T(d2 - dJ'
AT
(2.133)
-:---::-:-.,..---:- (cos nw 0 d 1 - cos nw 0 d 2 ).
dt)
nz TTz (d2 -
El término constante ~ ao se puede obtener así:
1
1
-a0 = 2
T
.
JT/ 2f(t) dt -(d
A
.
+d
=
-T /2 .
·
T
1
(2.134)
2 ).
.
Por consiguiente,
(2.135)
2.7
PROBLEMA 2.34
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Probar que la función cero es la única función que es simultáneamente
par e impar.
PROBLEMA 2.35
Si la función f(t) es impar, probar que 1f(t) 1 es par.
PROBLEMA 2.36 Sea la funciónf(t) diferenciable en el intervalo (-a, a). Demostrar
que su derivadaf'(t) es impar cu!)l1do f(t) es par, y par cuando f(t) es impar.
49
Análisis de formas de ondas periódicas
Encontrar las componentes par e impar de las siguientes funciones:
PROBLEMA 2.37
(a) e
1,
(b) l..±.1., (e) t sen t -sen 2t.
t- 1
2
1 , f 0 ( t ) =. -2 t ,
[0 ( t ) = senh t, (b) fe (t) = -t2-+t - 1
t2 - 1
(e) fe(t)= tsen t,_ f0 (t)=-sen2t.
Respuesta: (a ) f e ( t ) = eosh t,
PROBLEMA 2.38 Encontrar la serie de Fourier de la funciónf(t) definida por
f(t)=itl para (-7T,7T) y f(t+21T)=f(t). (Verfigura2.22.)
1
Respuesta: JL _ ..1 ~
eos (2n -1) t.
2
2
TT n~ (2n -1)
-
Figura 2.22
PROBLEMA 2.39 Seaf(t) una función periódica con período T defmida en
(- T/2, T/2), cuya serie de Fourier es
L (an cos nw t+ bnsen nw t),
00
f(t) =~o +
0
0
2rr
Wo=-·
T
n=1
Si fe(t) y [ 0 (t) son las componentes par e impar de f(t), demostrar que las series de
Fourier de fe(t) y [ 0 (t) son, respectivamente:
~o+
fe(t) =
t
an cos áw 0 t
.Y
f 0 (t) =
n=1
L=1
bn sen nw 0 t.
n
PROBLEMA 2.40 Utilizar el resultado del problema 2.39 para encontrarla expansión
en serie de Fourier de cada una de las siguientes -funciones, definidas en (-7T, 1r) con
período 27T: (a) cosh t, (b) senh t.
[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 1.32.]
Respuesta: (a) 2 senh TT
rr
(b) 2 senh rr
TT
[1 b''f' (-
1)n cos nt]
1
+
n2 ·
'
1
+
2
1)n+1
L
--'
--'
---:- n sen n t.
n=1 1 + n2
oo
(-
Demostrar que el valor de la media cuadrática de f(t) es igual a la
suma de los valores de las medias cuadráticas de sus· componentes pares e impares o sea,
PROBLEMA 2.41
.!_J
T
T/2
-T/2
¡·T/2
[f(tWdt=.L ..
[fe(t)]
T -TI~
2
dt+; J . [i
T/2
2
0
(t)] dt.
-T/2
Sea la función f(t) periódica con período T. Si f( f T- t) = f(t),
determinar el comportam:iento de los coeficientes de Fourier an y bn de f(t). Ilustrar
f(t) gráficamente.·
PROBLEMA 2.42
Respuesta: a 2n +1 =O,
b 2 n = O.
Si la función periódicaf(t) con período T satisface f(f T:- t) =- f(t),
determinar el comportamiento de los coeficientes de Fourier an y bn de f(t). Ilustrar
f(t) gráficamente.
PROBLEMA 2.43
Respuesta: a 2 n =O,
b 2 n+1 =O.
La funciónj(t) del
problema 2.38.
50
Análisis de Fourier
Si la expansión en serie de Fourier de f(t) en el intervalo(- T/2, T/2)
PROBLEMA 2.44
es
00
! a +
2
0
L=1 (an cos nw t +
0
bn sen nw 0 t),
w 0 = 2TT/T,
n
demostrar que la serie de Fourier de cosenos y la de senos de /(t) en el intervalo (0, T/2)
son, respectivamente:
00
a0 +
00
L
L 2bn sen nw t.
2an cos nw 0 t . y
n=t
Suponer que /(t) =O para - i- T < t <O.
0
n:1
PROBLEM~ 2.45
Representar las siguientes funciones por una serie de Fourier de
cosenos y trazar una gráfica de la correspondiente extensión periódica de f(t):
(a) f(t) = t, O < t < TT,
(b) f(t) =sen E. t, O< t <l.
l
t
1
4
cos (2n- 1) t,
(2n1)2
TT "= 1
Respuesta: (a) TT
2
(b) 1_ i [-1 cos (2TT) t + _1 cos (4TT) t + _1
TT
TT 1·3
/
3.5
15.7
cos( 6/TT)t +· .. J.
PROBLEMA 2.46 Representar las siguientes funciones por una serie de Fourier de
senos y trazar una gráfica de la correspondiente extensión periódica de f(t):
O < t < TT,
(a) f(t) = cos t,
(b) TT- f,
(a) -ª. '\' _n_ sen 2nt,
TT ~1 4n 2 -1
PROBLEMA 2.47
L .!_sen nt.
00
00
Respuesta:
0 < (< Tf,
(b) 2
-
"= 1 n
Encontrar la serie de Fourier de cosenos y la de senos de
para O < t< ~ TT
f(t) =! TTt
4
=
t
TT( (TT - t) para
L
00
1 cos nt,
R espuesta: TT2· -n
16
n=1
t <t<
TT
TT,
l ntl
(- )
sen (2n -1) t.
~ (2n -1) 2
oo
'\'
Sea <f>n(t) = ../f2Rj sen (mrlr) t, donde n = 1, 2, · · · . Demostrar
que las funciones {<t>n(t)}, forman un conjunto ortonormal en el intervalo (0, ¡).
PROBLEMA 2.48
Suponer af(t) definida en el intervalo (0, ¡). Demostrar que la serie
de Fourier de f(t) con respecto al conjunto ortonormal {<f>n(t)} del problema 2.48, es la
serie de Fourier en senos de f(t), en el intervalo (0, ¡).
(Sugerencia: utilizar el resultado del problema 1.45.]
PROBLEMA 2.49
PROBLEMA 2.50
Demostrar que
1
(a) f(t)8(t- t 0 ) = f(t 0 )8(t- t 0 ),
(b) t8 ( t) = - 8 ( t)'
(e) 8'(-t)=-8'(t),
(d) 8"(-t) = (-1)"8"(t).
51
Análisis de fonnas de ondas periódicas
Demostrarque o [f(t)] =
PROBLEMA 2.51
1
L lf'(tn)l
o(t- tn), dondetn son
tn
los valores para los cualesf(t) se hace cero.
(Sugerencia: suponer f(t) = r y formar 1/1 (r) = I{J(t)/1/'(t)l.]
De_mostrar que
1
PROBLEMA 2.52
(a) o(t 2 - a 2 ) = - - lo(t- a)+ o(t +aH, (b) o (sent) = o?T(t) =
2lal
[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 2.51.]
¿""
o(t- n7T).
"=-oc
Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier
de la función/(t) definida por f(t) = t, para (-7T; 7T) y f(t + 27T) = f(t).
PROBLEMA 2.53
Respuesta: ver el problema 1,30.
PROBLEMA 2.54 Utilizando la serie de Fourier del tren periódico de impulsos
unitarios (2.103) y la diferenciación, encontrar los coeficientes de Fourier de la función
f(t) defmida por f(t) = é para (-7T, 1r) y f(t + 27T) = f(t).
Respuesta: ver el problema 1.32.
Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier
de la onda sinusoide rectificada,/(t) =lA sen W 0 tl.
PROBLEMA 2.55
Respuesta: ver el problema t'.33.
Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier
de la función cuya forma de onda se muestra en la figura 1.3.
PROBLEMA 2.56
Respuesta: la ecuación (1.40).
Utilizar la diferenciación para encontrar los coeficientes de Fourier
de la semionda sinusoide rectificada, de la figura 1.4.
PROBLEMA 2.57
Respuesta: la ecuación (L49).
Utilizar el resultado del problema 2.55 para deducir la serie de
Fourier de la semionda sinusoide rectificada, de la figura lA.
PROBLEMA 2.58
[Sugerencia: observar que f(t) se puede expresar comof(t) =fA sen W 0 t + f lA sen wot 1.]
PROBLEMA 2.59 Seaf(t) = fe(t) + [ 0 (t), donde/it) y fo(t) son las componentes"
par' e impar de /(t), respectivamente. Demostrar que
'
T1
JT/2
-T/2
PROBLEMA 2.60
entonces
1 iT/2
f(t)f(t-T)dt==T
.
-T/2
.
1 JT/2
fe(t)fe{t-T)dt+T.
f 0 (t)f 0 {t-T)dt.
-T/2
Demostrar que sif(t) es una función continua y diferenciable,
3
CAPITULO
ESPECTROS DE
FRECUENCIA DISCRETA
3.1
INTRODUCCION
3.2
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES >DE FOURIER
52
Espectros de frecuencia discreta
53
54
Análisis de Fourier
· Encontrar la serie compleja de F ourier, para la función diente de
sierra que se muestra en la figura 3 .1 , definida por
PROBLEMA 3.1
A
O< t < T,
f(t) = - t,
T
f (t)
~
-T
o
f(t + T)"' f(t).
la representación de f(t) en serie co~pleja de Fourier está dada por
Solución:
L
00
f(t) =_
T
Cn einc.Jot,
Wo =
2rr
n=-oo
Figura 3.1
(3.18)
T
(3.19)
La función diente de sierra.
Los coeficientes en se pueden encontrar a partir de (3.13); de esta manera,
en= .!_
lT
f(t) e-inwot dt
T o
(3.20)
Puesto que e-in 27T = 1,
.
A .
. A
A
i!f
(3.21)
n w0 T
2rrn 2rrn
Ciertamente este resultado no tiene significado paran= O; por consiguiente,..para n =O se
tiene, a partir de (3.8),
Cn=J--=J-=-e.
co =
.!_
lT
T o
f(t) dt = ~lT tdt = .!_A.
T2 o
2
(3.22)
De donde,
f(t) = ~ + j ~
2
f.' !einWot
2rr ~ n
(3.23a)
n=-oo
(3.23b)
n=-oo
L
00
donde
;
significa que la sumatoria sólo incluye enteros diferentes de cero_
n=-oo
PROBLEMA 32
Reducir el resultado del problema 3.1 a la forma trigonómetrica
de la serie de Fourier.
55
Espectros de frecuencia discreta
Solución:
puesto que según (3 .6),
e_n = .en* = -1 ( an + J."b·)
n '
.
2
se tiene
a0 = 2 e 0 ,
(3.24)
an = en + e_n = en + e: = 2 Re [en]'
(3.25)
(3.26)
donde Re y· /m denotan "la parte real de" y "la parte imaginaria de••, respectivamente.
Entonces, por (3.21) y(3.22), se tiene
A
(3.27)
bn = - - .
Tlrr
De donde,
A A(·sen
- - -
2
TT
úJ 0 t +
1
1
-sen
·2 w t + -sen
3w t + ·
°
2
°
3
·}
f(t)
- (3.28)
PROBLEMA 3.3
Encontrar la serie de Fourier en forma compleja de la función
periódica sinusoide rectificadaf(t) que se muestra en la figura 3.2, definida por:
O<t<1,
f(t) = A sen rrt,
Solución:
f(t+ T) = f(t),
T= l.
-2
(3.29)
Figura 3.2
puesto que el período T = 1, W 0 está dado por
2rr
W0 = -·= 2rr;
(3.30)
T
· por consiguiente, la serie compleja de Fourier está dada por
¿
00
f(t) =
en ei27Tnt,
(3.31)
n=-00
A partir de (3.13), los coeficientes en son:
en=~
lT
f(t)e-i27Tnldt
o
=
.11 A sen
.
.
rrt~-i 2 7Tntdt
0
. A [e-i7T(2n-l)t
vvb.
1
e-J7T(2n+l)t]·l
= 2i -jrr(2n_.1)- -jrr(2n+1)
0
-1
o
1
2
..
La función periódica sinusoid
rectificada.
56
Análisis de Fourier
e+ i7T = e-i7T,
Dado que e±i 27Tn = 1 y
en =
-2A
•
77(4n 2 - 1)
(3.32)
Se puede utilizar (3.8) para verificar este resultado cuando n =O; de este modo,
C
0
=
l_ (T f(t)dt
Jo
T
2A
17
(3.33)
De donde,
00
f(t) = - 217A "\'
1
ei27Tnt.
~ 4n 2 - 1
(3.34)
n=-oo
Reducir el resultado del problema 3.3 a la· forma trigonométrica de
PROBLEMA 3.4
la serie de F ourier.
So lución:
la ecu~ción (3 .34) se puede expresar también como
f(t) = -2A - -2A (1-e1·2 7T t + -1e l·4 7T t + -1e l'6 7T t + ....)
17
17 3
15
35
(1e-j27TI + 1 e-j47Tt + 1 e-j67TI +·")
- 2A
-17
3
15
.
35
.
2 A- -4 A [1
1 . '47Tt + e-1'4 7T)
t
- - -1 ( e 1'27TI +e -~·2~1\
, J + -1 -(el
17
17 3 2
15 2
+ l._
.!_(ei67Tt + e-i67Tt) + .. ·]
2
4
35 2
=
A 17
.
A (.!_cos 217t + __!_ cos 477t + l._ cos 617t + .. ·).
17 3
15
35
.
1
(3.35)
O utilizando (3.25) y (3.26), se tiene
4A
(3.36)
77(4n 2 - 1)'
bn ,; -2 lm [en] = O.
(3.37)
De donde,
2A
17
2A
17
00
-17 L (4n
4A
n =1
1
2
-
1)
cos n217t
4
1 cos 417t + -1 cos 677t + . . .).
- A (1-cos 217t + ~
17
3
15
35
(3.38)
57
Espectros de frecuencia discreta
3.3
Solución:
ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES COMPLEJAS
DE LAS SERIES DE FOURIER
puesto que eJmwot lm=o = 1,
i
T/2
1
.
e'""'ot • 1 dt = -.-
e'""'ot
}nwo
-T/2
=
,T/2
·
-T/2
~ (ein1T- e-/n7T)
}nw 0
=O
(3.40)
paran* O,
= iT/2 ei<n-m)wot dt
-T/2
·¡
1
= ·
ei(n-m)Wot T/2
j (n- m)wo .
-T/2
1
(ei<n-m)7T- e-j(n-m)7T)
j(n- m)w 0
·
1
[(-1)"-m _ (-1)"-m]
j(n- m)w 0 ·
= O
para n f. m •
(3.41)
PROBLEMA 3.6
Utilizando la propiedad de ortogonalidad del conjunto de funciones
complejas { einwot } de la serie de Fourier, determinar los coeficientes de la serie
compleja de Fourier.
58
Análisis de Fourier
seaf(t) una función periódica con período T, y· sea la serie de Fourier en
forma compleja, correspondiente a esta función la dada por
Solución:
¡:·
00
f(t) =
2rr
T
en einúJot,
n=-oo
Multiplicando ambos miembros por
(3.42)
e-imcuot,. e integrando en el intervalo [-
~ T, } T},
se obtiene
l
L
00
T/2 f(t) e-jmCUot dt = iT/2 (
-T/2
-T/2
=
en einCUot ) e.,-jmCUot dt
n=-oo
t cn<·[lT/2
ei<n-m)cuot dt] •
-T/2
n=-oo
(3.43)
·
En razón de (3.41), la cantidad en paréntesis angulares es cero excepto cuando n =m;
por consiguiente,
l
T/2
'LT/2
f(t) e-jmcuot dt = cm
-Tj2
e j• 0 d,t
-T/2
=cm
l
T/2
dt
-T/2
(3.44)
De donde, cambiando m por n,
/
(3.45)
3.4
ESPECTROS DE FRECUENCIA COMPLEJA
f(t)
J-d --1
D rh D .
t
-T
T
d
o d
T
2
2
2
2
----
Figura 3.3
T
Un tren de pulsos rectangulares
idénticos.
PROBLEMA 3.7
Encontrar los espectros de frecuencia para la función periódicaf(t),
que se muestra en la figura 3.3, la cual consta de un tren.de pulsos rectangulares idénticos,
de magnitud A y duración d.
Solución:
la función f(t) se puede expresar en un período como sigue:
1
1
2
2
para--d< t< -d
1
1
para- -T<t<- -d,
2
2
1
2
1
2
-d<t< -T
(3.46)
'
59
Espectros de frecuencia discreta
Entonces, por (3.12), con W 0 = 2rr/T, se tiene
=. A
_ id/2
.
e-jnWot dt
T -d/2
_
A
..
1
. -jnw 0 t
- T - jnw 0 e
ld/2
-d/2
~ _1_. (ejnWod/2 _ e-jnWod/2)
T jnw 0
2._ (einwod/2 _ e-i-nw 0 d!2)
= Ad __
1_
T (n~ 0 d) 2j
.
d)
Ad
nw 0.
sen-( 2
T
(n~0 d)
(3.47)
Pero nw 0 d/2 = nrrd/T; de donde;
sen (n_rrd)
Ad
en = -
T
(3.48)
-:-'---,-,--"-
T
(n;d)
Es obvio, según (3.47) o (3.48), que en es real y por consiguiente el espectro de
fase es cero. El espectro de amplitUd se obtie,ne dibujando (3.47) o (3.48) versus la
variable discreta nw0 • La ecuación(3.47) tiene valores solamente para la frecuencia
discreta nwo; es decir, el espectro de frecuencia es una función discreta y existe
solamente cuando
±2rr
±4rr
--,···,etc.
úJ =o'
T
.
r'
Se debe considerar el espectro para algunos valores específicos de d t T; para
d= 1/20 y T= 1/4 de segundo,
W0 =
2rr
- = 8rr.
T
Por consiguiente, el espectro de amplitud existe cuando
w=O,
±8rr,
±16rr,···,etc.,
y se muestra en la figura 3.4(a).
Puesto que d/T= 1/5, ~1 espectro de amplitud se hace cero en el valor de nw 0 ,
para el cual
d
nw 0 ~ = mrr
2
nrr fj_ = nrr
ó
T
(!)S ·
= mrr
(m=± 1, ±2, ... ),
esdecir,cuando w= ±Sw0 = ±40rr, ±10w 0 = ±80rr, ±1Sw 0 = ±120rr, · · ·.
En el caso siguiente se considerará d = 1/20 y T = 1/2 de segundo, y
W0 =
2rr
-
T
= 4rr,
d
-
T
=
1
10
60
1
T= -,
4
277
w 0 = - = 877
T
d
1
T
S
Análisis de Fourier
1 Cn 1
A/5
,
;
'
\
1
1
1
T= -,
2
277
w0 = = 477
\
A/10
d
1
-=10
T
T_
''1
1
1
1
1
1
1
d= - .
20
,
1 ,
''
o
-4077
-5w0
8077
10wo
4077
Sw0
(a)
(b)
Figura 3.4
'Espectros de amplitud.
Por co~siguiente, el espectro de amplitud existe cuando
w = O,
± 4 TT ,
±8rr, · · · ,
y se hace cero en el valor de nwo para el cual
d
nw 0 -
= mrr
2 .
ó
.
n rr ~- = n rr
T
(1..) =
10
(m. = ± 1, ± 2, . · . ),
m rr
es decir, cuando w = ±10w0 = ±40rr, ±20w0 = ±80rr, ±30w0 = ±120rr, ....
El espectro de amplitUd para ~ste caso se muestra en la figura 3 .4(b).
f(t)
Ah
n
T
'
T
2
Figura 3.5
o
d
T.
n~
T
PROBLEMA 3.8
Encontrar los espectros de frecuencia de la función periódica que
se muestra en la figura 3.5.
Solución:
por (3.13), con W 0 = 2rr/T, se tiene
2
La función /ltl del
problema 3.8.
=
e
n
_!_
T
iT
f(t) e-inwot dt = ~
T
o
=
ld
e-jnwot dt
o
~. _ 1 _ e-jnwot Id
T -jnw 0
0
-~ -.1_ (l - e-jnWod)
T ]nw 0
.
~ _1_ e-jnú!od/2(ejnú!od/2- e-jnwc)d/2)
T jnw 0
.
(3.49)
61
Espectros de frecuencia discreta
De donde,
Ad
1
en
1
sen(~)
(n~ 0 d)
T
=
'
(3.50)
~n = _ n~od = _ nrr (~) •
(3.51)
El espectro de amplitud es exactamente el mismo que el del problema 3.7 y no se
ve afectado por el cambío de origen, pero el espectro de fase es, ahora, igual a
,
- nwod/2 =- mrd/T radianes.
PROBLEMA 3.9
Demostrar que el desplazamiento en el tiempo de una función
periódica no tiene efecto sobre el espectro de magnitud, pero modifica 'el espectro
de fase en una cantidad de- nwor radianes para la componente de frecuencia nwo
si el desplazamiento en el tiempo es r.
Solución:
seaf(t) una función periódica con período T, y sea su serie de Fourier
la dada por
L.
00
f(t) =
en einWot.·
(3.52)
n=-oo
Por (3.52), se tiene
n=-oo
L
00
=
en e-jnWo'T einWot
n=-oo
00
_ "\'
- L
e' einw 0 t
n
'
(3.53).
n:::;;-oo
donde
(3.54)
Por conSiguiente, si
(3.55)
entonces
, - ·1 e
1 HcPn
en
n e
- n Wo'T) ~
(3.56)
Por (3.55) y (3.56), es obvio que el espectro de.magnitud de f(t) y f(t- r) es el mismo;
sin embargo, las fases son diferentes. El desplaz~ento en un tiempo T produce
un atraso de nw0 t radianes en la componente de frecuencia nw 0 •
Análisis de Fourier
62
S a (x).
fi(t+T)
o
-T
Figura 3.6
La función de muestreo.
Figura 3.7
3.5
fi(t-T)
fi(t-2T)
T
2T
Un tren periódico de impulsos unitarios •.
EVALUACION DE LOS COEFICIENTES
COMPLEJOS DE FOURIER POR MEDIO
DE LA FUNCION-8
PROBLEMA 3.10 Deducir la serie compleja de Fourier, del tren periódico de impulsos
unitarios de la figura 3. 7.
Solución:
un tren periódico 8y(t) de impulsos unitarios se puede expresar como
00
Dr (t) =
L
o(t- nT),
n=..;.oo
= i'J(t),
Por consiguiente, con W 0 = : ; , se tiene
_!_<t<!_}
2
2
(3.59)
T
T
--<t<-.
2
2
63
Espectros de frecuencia discreta
T1 iT/2. Sr (t)e-jnCilo. t dt = T1 JT/2 o(t) e-jnCilot dt
en =
-T/2
-T/2
.
.!._ e-jnCilot
T
t=o
1
(3.60)
T
Por tanto,
1
L o(t-nT)= T L
00
n=-oo
e
jn 2 -rr t
T
(3.61)
n=-oo
n=-oo
Probar que (2.103) esigual a (3.61).
PROBLEMA 3.11
Solución:
00
por (3.61), se tiene
¿: o(t _ nn ~ ¿ einCilot
00
00
=
n=-oo
n=-~
00
T + T L cos n w t
1
2
0
n=l
1- + ~
2 Loo cos n 217
-t
T
T
T
'
(3.62)
n=l
que es exactamente la expresión (2.103).
PROBLEMA 3.12 Hallar los coeficientes complejos de Fourier de la función f(t) que
se muestra en la figura 3.8(ar
Solución:
stiponer que
L en ejnCilot,
00
f(t) =
Cúo =
217
-.
T
(3.63)
n=-oo
Diferenciando término por término, como Se muestra en la figura 3. 8 (b·C), se
obtiene:
(3.64)
n=-oo
L (jnwo)2en einCilot
00
f"(t) =
n=-oo
1
L (nwo)2e~ einCilot.
00
-
n=-::"oo
(3.65)
Análisis de Fourier
64
f 1 (1)
f(l)
.d.
. t"
t,
T
-T
2
T
2
-t,
O
t,
T
T
2
-A/1 1
(a)
(b)
t" (1)
~ o(t+t,)
t,
~0(1-t,)
t,
Figura 3.8
(al La función fltl del problema 3.12.
(b) La primera derivada de fltl de la
figura 3.8(a). (e) La segunda derivada
defltl de la figura 3.8(a).
- 2A 0(1)
t,
(e)
Por la figura 3.8(c), la segunda derivada de f(t) en el intervalo- T/2 < t < T/2 es
t"(t) =
1a(t + t,)- 2 A 8(t) + ~ 8(t- t
~
~
~
1) ;
(3.66)
por consiguiente,
2A
(cos nw t - 1)
Tt1
o 1
•
(3.67)
= -
Utilizando la identidad trig·onométrica 1 - cos 8 = 2 sen 2
8
2 '
A
2 (nw
t )•
-(nwo) 2 en= - 4
~sen
__0_1
Tt 1
2
(3.68)
De donde,
(3.69)
65
Espectros de frecuencia discreta ,
Resolver nuevamente el problema 3.12, mediante la serie compleja
de Fourier (3.61) de un tren periódico de impulsos unitarios.
PROBLEMA 3.13
según la figura 3.8(c),["(t) se puede expresar así:
Solución:
"
A
2A
oo
A
oo
oo
.
f (t)=- "\' o(t+t1 - n T ) - - "\' o(t-nT)+- "\' o(t-t 1 -nT).
tl ~
(1 ~
tl ~
n=-oo
n=-oo
(3.70)
n=-oo
Por (3.61), se tiene
00
n=-oo
1
o(t-n-T)=T
00
2rr
T
n=-oo
Reemplazando t por t + t 1 , ypor t - t 1 , en la anterior expresión, se obtiene
respectivamente
00
1 00
o(t + t l - nT) = T
einú>o(lttl)
L
L
n=-oo
n=-oo
(3. 71)
(3.72)
n=-oo
(3. 73)
n=-oo
n=-oo
n=-oo
Sustituyendo (3.71), (3.72) y (3.73) en (3;70), se tiene
(3. 74)
Por consiguiente,
(3. 75)
de donde
(3. 76)
3.6
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCION
PERIODICA: TEOREMA DE PARSEVAL
Análisis de Fourier
66
PROBLEMA 3.14 Si/1 (t) y f 2 (t) son dos funciones periódicas que tienen el' mismo
período T, demostrar que
00
.Tl f_T/2 f (t)f (t)dt= L (c
1
2
-T/2
1) 0
(c2 )_ 0 ,
(3. 78)
n=-oo
donde (c¡)n y (c 2 )n son los coeficientes complejos de Fourier de / 1 (t) y f 2 (t),
respectivamente.
Solución:
sea
00
(ú
o
27T
T
= -,
(3. 79)
n=-oo
donde
(3.80)
Sea
L (c2)nejnWot,
()()
f2(t)=
(3.81)
n=-oo
donde
(3.82)
Entonces,
(3.83)
En razón de (3.82), se tiene
(
(3.84)
De donde,
PROBLEMA 3.15
Probar el teorema de Parseval.
67
Espectros de frecuencia discreta
Solución:
haciendo ! 1 (t) = f 2 (t) = f(t) en el resultado del problema 3.14, se tiene
1
T
iT/2.
[f(t)] dt=
-T/2
·
L
oo
2
.
(3.86)
en e-n.
n=-oo
·
Si f(t)' es real, entonces, según (3 .11 ), se tiene
De donde,
n=-oo
Solución:
. por (3.6), se tiene
por consiguiente
(3.87)
Sustituyendo (3.87) en (3.85), se obtiene
1
T
lT/2
-T/2
[f(t)J2dt =
·
L
oo
1 en 12
n=-oo
00
2
= 1 eo 1 + 2
¿-
2
1 en 1
n=t
(3.88)
Solución:
por (1.12), se tiene
00
f(t) = Co +Len eos (nwot- On)·
n= 1
68
Análisis de Fourier
Para el armónico enésimo de f(t),
fn (t) = en cos (n Wat- On).
El valor rcm (raíz cuadrática media) es Cnl-../2; por consiguiente, el valor cuadrático
medio del armónico enésimo es (Cnl-../2) 2 •
Debido a (1.14), se tiene
de donde,
2
1. 2
1en 1 = -Cn,
4
Entonces, por (3.88), se obtiene
(3;89)
3.7
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Demostrar que los coeficientes complejos de Fourier de una función
periódica par son reales, y los de una función periódica impar son imaginarios puros.
PROBLEMA 3.18
PROBLEMA 3.19
Si/(t) y g(t) son funciones periódicas con período Ty sus expansione!
de Fourier son
00
f(t) =
00
CnejnWot,
[
g(t)= [
n=-oo
dneinWot
para úJo =2rr
-
T
n=-oo
demostrar que la función
T/2
h(t) =l.
T
J
f(t- 1:)g(1:)d1:
-T/2
es una función periódica de igual período T, que se puede expresar como
00
h ( t) =
[
Cn dn e jn <:'o t •
n=-oo
PROBLEMA 3.20
Sif(t) y g(t) son funciones periódicas de período Ty sus
expansiones de F ourier son
L
oc .
f(t) =
n=-oo
00
cneinWot,
g(t) =
[
0=-00
dn ejnWot
_ 2rr
para ú J o - - '
T
69
Espectros de frecuencia discreta
demostrar que la función h (t) =f(t) g(t) es una función periódica de igual período T,
que se puede expresar como
¿:: anejnúJot,
00
h(t) =
n=-oo
L Cn-k dk.
00
donde an =
k=-00
L en-k dk son los coeficientes de Fourier de h(t).]
00
[Sugerencia: demostrar que an =
k=-oo
Si f(t) es una función periódica con período T, y los coeficientes
complejos de Fourier son en, demostrar que los coeficientes complejos de Fourier de la
función portadora, de amplitud modulada periódicamente f(t) cos mw 0 t, están dados
PROBLEMA 3.21
por-}(cn-m +cn+m).
Si f(t) es integrable- en el intervalo finito (--} T, -} T) y w es real,
PROBLEMA 3.22
demostrar que
T/2
· lim
lw\->oo
J
f(t)e-iw 1 dt=O.
-T/2
[Sugerencia: utilizar el problema 1.19.]
PROBLEMA 3.23 Encontrar la serie compleja de Fourier para la función f(t) definida
por f(t) = sen4 ten el intervalo (0, 1r) y f(t + 1T) =f(t).
'
Respuesta:
l
(e 4 i 1 - 4e 2 i 1 + 6- 4e- 2 it + 8 - 4 1 1).
16
.
PROBLEMA 3.24 Encontrar la serie compleja de Fourier para la función f(t) definida
por f(t) = et en el intervalo (0, 21T) y f(t + 21T) =f(t), mediante integración directa.
Respuesta: . e
27T
00
- 1
"\'. _1_._ eint.
~
1-jn
n=-oo
211
PROBLEMA 3.25 Mediante diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier para
la función del problema 3 .4. Nótese que!' ( t) = f(t)- (e 2 1T - 1) 6 2 1r(t), donde
00
D277 (t)= [o<t-271n).
n=-::x>
PROBLEMA 3.26 · Reducir el resultado del problema 3.24 a la forma trigonométrica
de la serie de Fourier.
Respuesta:
8277
-
1
11
[l ~
2
+
_1_ (cos nt- n sen nt)].
~ 1 + n2
·
.
n=I
PROBLEMA 3.27 . Demostrar que si W 0 = 21T/T,
o~(t) =
L o '(i- nT) = ';; L neinwot =- :o L n sen nw t.
00
•200
200
0
n=-oc
n=-oo
n= 1
PROBLEMA 3.28 Encontrar los coeficientes c.omplejos de Fourier y dibujar los
espectros de frecuencia para la sernionda sinusoide rectificadaf(t) definida por
70 .
Análisis de Fourier
A sen w 0 t
para O < t < T /2
o
para T/2 < t < T
f(t) =
{
y f(t + T) =f(t), donde Wp = 2TT/T.
1
Respuesta: en =
· rr
2
2rr(1-n )
donde m = 1, 2, · · · ,
(1 + e- 1 n )
nótese que
Y
e2m+ 1
=O,
Encontrar los coeficientes complejos de Fourier y dibujar los
PROBLEMA 3.29
espectros de frecuencia para la función diente de sierra definida por f(t) =- ~ t +
1
para
O< t < T y f(t + 1) = f(t).
Respuesta: en = -._l_ , eo =O.
¡2rrn
PROBLEMA 3.30
Aplicar el teorema de Parseval (3.85) al resultado del problema3.29
para probar que
Mediante la diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier
para la funcióil diente de sierra de la figura 3 .1.
PROBLEMA 3.31
Respuesta: las ecuaciones (3 .23a-b).
Mediante la diferenciación, encontrar la serie compleja de Fourier
para la onda sinusoide rectificada de la figura 3.2.
PROBLEMA 3.32
Respuesta: la ecuación (3.34).
PROBLEMA 3.33
Demostrar que sif(t) es una función periódica y real con período T,
entonces
donde las en son los coeficientes complejos de Fourier de la funciónf(t).
[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 3.15.]
PROBLEMA 3.34 Si / 1 (t) y ! 2 (t) son dos funciones periódicas que tienen el mismo
período T, demostrar que
00
¿:
1 JT/2
.f 1 (t+c)f2 (t)dt=
T -T/2
n:-oo
donde (edn y (e 2 )n son los coeficientes complejos de Fourier de/¡ (t) y f2(t)
respectivamente, y W 0 = 2TT/T.
PROBLEMA 3.35
entonces
Demostrar que sif(t) es una función periódica y real con período T,
T1
J
T 12
-T/2
.
f(t+c)f(t)dt=
L
oo
2
lenle
1'n w 0 r
•
,
n=-oo
donde las en son los coeficientes complejos de Fourier de f(t) y Wo = 2TT/T.
i
,.i
4
CAPITULO
INTEGRAL DE FOURIER Y
ESPECTROS CONTINUOS
4.1
INTRODUCCION
4.2
DE LA SERIE DE FOURIER A LA
INTEGRAL DE FOURIER
considerar el tren de pulsos rectangulares de la figura 4.l(a), donde
So lución:
O para -
1
2
-T < t <-
1
2d
(4.1)
fr (t) =
1
1
-d<t<-T
2
2 '
O para
T> d.
fr(t + T) = fr(t),
-!j- =2 (or T=2 d)
.
'
'
1
1
1
1
1
1
1
1
.
,-,
1
1
1
1
1
1
1
1
¡.d.j
1
1
-T
'
1
_r.¡ o !.
1
2
_!l. !l.
2 2
2
1
1
fr(t)
,--1
1
1
1
1
T
- = 4 (or T = 4d)
d
~--,.
1
1
1
1
1
1
1·
1
1
1
1
-T
1
T
~--.
1
1
1
1
1
1
1
'
T
dOd
T
2
2
2
2
1
T
(b)
(a)
Figura 4.1
El proceso de 1imite a medida que Y. aumenta hacia infinito.
71
f(t) = lim fr(t)
T->oo
,
1
1
1
T
1 -
:'
1d
1
dOd
2
2
(el
= oo (or T --+<
72
Análisis de Fourier
Para T----+ oo, se obtiene la función
1 cuando - ~ d < t < ~ d
2
f(t) = lim lr(t) =
T->oo
{
2
(4.2)
O de otro modo
Es evidente que f(t) no es una función periódica. La figura 4.1 ilustra el proceso de
Hmite a medida que T aumenta y finalmente se hace infinito.
PROBLEMA 4.2
Utilizando el tren de pulsos rectangulares de la figura 4.1 como
ejemplo, discutir los efectos de incrementar el período en el espectro de la función
periódica.
So lución:
el espectro de frecuencia del pulso rectangular periódico ya ha sido
hallado en el problema 3.7. En la figura 3.4 se observa que cuando el espectro discreto
de una función periódica con período T, se dibuja en función de la frecuencia, la
distancia entre armónicos adyacentes es la frecuencia fundamental W 0 = 2rr/T. De este
modo, a medida que el período T aumenta, W 0 disminuye y las líneas en el espectro se
acercan unas a otras. En consecuencia, el número de líneas (armónicos) en una banda
de frecuencia aumenta.
Por otra parte, según (3.48), se tiene
(
)
nrrd
d
c., A
senT
T ("~d)
Por tanto, si el período T aumenta, las amplitudes de todos los armónicos disminuyen.
De lo anterior se concluye que en el límite, a medida que T se acerca al infinito
[figura4.1(c)], los armónicos se encuentran infinitamente cercanos y son de amplitud
infinitesimal, es decir, el espectro discreto se vuelve continuo.
/ntegra[de Fourier y espectros continuos
73
1
PROBLEMA 4.4
Solución:
Probar el teorema de la integral de Fourier.
la relación (4.9) también se puede expresar como
f(t) =
1
277
100 loo-oo
-oo
.
f(x) eJW(t- x) dx dw.
(4.13)
Sif(t) es real, se puede igualar las partes reales en la identidad de Fourier (4.13), la cual
se convierte en
1 •100 l. 00 f(x) cos. w (t- x) dx dw.
f(t) =·277 . -oo
-oo
.
Puesto que cos w (t -x) es par con respecto a w, por {2.13), se tiene
f(Ó= ~
loo
L:
f(x) cos w (t- x).dx dw.
(4.14)
74
Análisis de Fourier
4.3
TRANSFORMADAS DE FOURIER
PROBLEMA 4.5
Demostrar que (4.17) es condición suficiente para que exista la
transformada de Fourier de f(t).
Solución:
puesto que
e-i(;)t
de donde
se sigue que si
es finita, entonces
es finita, es decir, :F [f{t)] existe.
=cos (;)(- j sen (;)(
\
Integral de Fourier y espectros continuos
Solución:.
75
sif(t) es real, entonces, mediante la identidad
e-¡wr = cos wt- j sen wt,
es posible expresar la relación (4.15) como sigue:
F(w) =
=
L:
1:
f(t) e-iWt dt
f(t) cos wt dt- j
1:
f(t) sen wt dt
= R(w) + jX(w).
(4.24)
Igualando las partes real e imaginaria, se tiene
R((u) =
J~ f(t) cos wt dt,
X(w) =-
L:
f(t) sen wt dt.
Puesto que f(t) es real, se ti~ne ·
R(-w) = J~ f(t) cos (-wt) dt =
X(-w)=- L:f(t)sen(-wt)dt=
1:
L:
f(t) cos wt dt = R(w),
f(t)senwtdt=~X(w).
Por tanto;R (w) es una función par de w y X(w) es una función impar de w.
Por (4.21) y (4.22), se tiene
F(-w) = R(-w) + j X(-w)
PROBLEMA 4.7
=R(w)- j X(w) = F*(w).
Demostrar que (4.23) es una condición necesaria y suficiente para
que f(t) sea real.
el hecho de que (4.23), es decir, F(-w) = F*(w), es una condición
necesaria para que f(t) sea real, ya se demostró en el problema 4.6. Ahora se debe
demostrar que (4.23) es también una condición suficiente para que f(t) sea real.
Solución:
76
Análisis de Fourier
Sea
f(t) = fl (t) + j ¡2 (t),
(4.25)
donde/1 (t) y [ 2 (t) son funciones reales. Entonces de (4.16), se tiene
fU) = fl (t) + j ¡2 (t)
= -1
2rr
=
Loo F(w) eiWt dw
-oo
~.loo[R(w) + j X(w)] (cos wt+ j sen wt) dw
2rr
-oo
-
=1
- Loo [R(w) cos wt- X(w) sen wt] dw
2rr
_00
,
1 loo [R (w) sen wt +X (w) cos wt]· dw.
+ j2rr
·
-oo
(4.26)
Por tanto,
1 roo
TT )_oo [~ (w) cos wt- X (w) sen wt] d w,
(4.27)
f 2 (t) = 1
- Loo [R (w) sen wt + X (w) cos wt] dw.
(4.28)
ft (t) =
2
2rr
-oo
.
Ahora, si F (- w) = F *(w ),, entonces
R(-w)=R(w)
y
X(-w) = -X(w).
En consecuencia (de los resultados del problema 2.1 ), R ( w) sen wt y X (w) cos wt son
funciones impares de w, y el integrando en (4.28) es una función impar de w.
Por consiguiente, de (2.21), se tiene
¡2 (t) = o,
es decir,f(t) es real.
So lu ció'n:
si f(t) es real, entonces, por (4.23), se tiene
F(-w) = F*(w).
(4.29)
F*(w) = [F(w)[e-¡<;b(w),
(4.30)
Ahora bien, por (4.18), se tiene
(4.31)
Por consiguiente,
(4.32)
y por tanto,
[F(-w)[ = [F(w)[,
(4.33)
cp(-w) = - cp(w).
(4.34)
77
Integral de Fourier y espectros continuos
Solución:
sea
S: [f(t)} = F(w) == R(w) + j X(w).
Entonces por (4.19) y (4.20), se tiene
1:
R(w) =
f(t) cos wt dt,
-1-oo
(4.35)
(4.36)
00
X(w) =
f(t) sen wt dt.
(4.37)
.Si F ( w) =R ( w) y X ( w) = O, entonces el integrando de ( 4.3 7) debe ser impar con
. respecto a t. Puesto que sen wt es una función impar de t, f(t) debe ser una función par de t.
Otra forma de solución:
por (4.27), con X(w) =O, se tiene
f(t) =12rr
loo
-oo
=1
-
loo
1T
o
R(w) cos wt dw
R(w) cos wt dw,
.
.
(4.38)
donde, por (4.19), se tiene
R(w) = 2
ioo
f(t) cos wt dt.
(4.39)
Según (4.38), es obvio que f(- t) = f(t).
Análogamente si F ( w) = j X ( w ), es decir, R ( w) = O, entonces el integrando de
(4.36) debe ser impar con respecto a t. Como cos wt es una función par de t, f(t) debe
ser una función impar de t.
O, utilizando nuevamente (4.27) y siR (w) =O, entonces
1
f(t) =-2rr
1
=--
loo
X(w) sen wt dw
-c<>
loo X(w) sen wt dw,
1T
(4.40)
o
donde, por (4.20), se tiene
X (w) =- 2
ioo
f(t) sen wt dt.
(4.41)
Según (4.40), también es obvio que f(- t) =- f(t).
De los resultados anteriores se concluye que si f(t) es una función real y
S: [f(t)} = F(w) = R(w) + jX(w),
entonces
j= [fe(t)}= R(w),
(4.42)
j= [lo (t)} = j X (w),
(4.43)
donde f(t) =fe(t) + /0 (t), siendo f/t) y / 0 (t) las componentes par e impar de f(t),
respectivamente.
78
Análisis de Fourier
Encontrar la transfonnada de Fourier del pulso rectangular Pd(t)
[figura 4.2(a)] definido por
PROBLEMA 4.10
1,
Pd(l)
{
1
--'----'cb------'
----o
• t
.
d
d
2
ltl < ~d
2
pd (t) "'
Solución:
de (4.15), se tiene
2
F(w) = ~f [pd(t)] =
(a)
(4.44)
o, ltl >~d.
2
1:
l
Pd(t) e-¡Wt dt
d/2
e-JW 1 dt
-di 2
1
.
- jW t
ld/2
= -jw e
-d/2
, __!:.._ [eiWd/2 _ e-JWd/2]
d
jw
d
.
(b).
Figura 4.2
(a) El pulso rectangular del
problema 4.1 O. (b) La
transformada de Fourier del
pulso rectangular de la figura
4.2(a).
=!sen
(~d)
(T)
(id) .
sen
"'d
(4.45)
En la figura 4.2(b) la línea continua es el espectro de magnitud IF(w) 1, y la línea
punteada es F(w).
PROBLEMA 4.11
Encontrar la transfonnada de Fourier de f(t) defmida por
f(t) "' { e-a.t' t > O
o,
(4.46)
t <o,
donde a:> O (figura 4.3).
Solución:
f (t)
de acuerdo con (4.15), se tiene
F(w) =
Figura 4.3
1:
f(t) e-iWt dt
La funciónj(t) del
problema 4.11.
_ _ _ _ e"'"<CJ.+¡W)t
1
-(O:.+jw)
~~o
'"
1
0:. + jw
(4.47)
Integral de Fourier y espectros continuos
4.4
79
TRANSFORMADAS SENO V COSENO DE FOURIER
So lución:
si f(t) está defmida sólo para O < t < oo se puede definir f(t) para valores
negativos de t por la ecuación f(- t) = f(t), por lo que la función resultante es par.
En este caso se supone un comportamiento conveniente de f(t) para valores negativos del
tiempo; al interp~etar los resultados, por supuesto, se debe tener presente que f(t) está
defmida sólo para t mayor de cero.
Si ahora se define
Fe (w) =
f"'
f(t) cos wt dt,
entonces, por (4.38) y (4.39), se tiene
Loo Fe (w) cos wt dw.
f(t) = -2
o
17
Solución:
sif(t) está definida sólo para O< t < 00 , se puede también defmir f(t) para
valores negativos de t por la ecuación f(- t) =- f(t), por lo que la función resultante
es impar. Si ahora se define
F s (w) =
loo f(t) sen wt dt,
entonces, por (4.40) y (4.41), se tiene
f(t) = 2
17
ioo F (w) sen wt dw.
s
o
80
Análisis de Fourier
PROBLEMA 4.14
Solución:
Encontrar j= e [e-O:t]
1""
S
las transfonnadas coseno y seno de Fourier de e-at son
c¡:c
J
[e-O:t] =
Sea
y j= [e-O:t] para t ;>O, ex> o.
e-o:t cos wt dt = 11 y
l"" ~~
e-"" cos wt d t,
i""
e-o:t sen wt dt = lú entonces,hitegrando/1
por partes, se obtiene
11 =
J""
o
e-cxt cos wt dt
'
- e-o:t cos wt
ex
1"" - -w
ex
o
1
w
ex
ex •
i""
e-o:t sen wt dt
o
(4.56)
= - - -12
Análogamente, integrando / 2 por partes, se obtiene
- e-cxt sen wt
ex
1"" + ......:.
w 1""
· e-o: cos wt dt
1
ex
o
'
o
w
(4.57)
= -11.
ex
Resolviendo (4.56) y (4.57) para/ 1 e / 2 resulta
y
por tanto,
(4.58)
j= s [e-o:t] =
w
ex2 + w2
(4.59)
Integral de Fourier y espectros continuos
4.5
INTERPRETACION DE LAS TRANSFORMADAS
DE FOURIER
81
Análisis de Fourier
82
4.6
Solución:
la transfonnada de Fourier requerida es:
~ [a 1f 1 (t) + a2f 2 (t)] =
Solución:
PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS
DE FOURIER
1:
[a 1f 1 (t) + a2f2 (t)l e.-¡w 1 dt
o
para a> O,
~ [f(at)] = J~ f(at) e-JWt dt.
\
Sea at = x; entonces,
~ [f(at)] =!_loo f(x) éJ(W/ aJx dx.
.
a
-oo
Puesto que la variable comodín se puede representar por cualquier símbolo, se tiene que
1
~ [f(at)] = ~
ioo f(t)
-oo
e-J(WI a)t dt
(4. 70)
Para a <O,
~ [f(at)] = f~ f(at) e-;wt dt.
Integral de Fourier y espectros continuos
83
Si de nuevo se tiene, at =x; entonces,
1
j (i(at)] =;
r-oo f(x)
Joo
e-J(W/a)x dx
1
00
=-;1 -oo f(t) e-J(W/a)t dt
(4.71)
En consecuencia,
S: [f(at)] = l~l F (;).
Solución:
por (4.69), se tiene
S: [f (at)] = _!_ F (~).
la! a
Haciendo a =- 1,
S: [f(- t)] = F(-w),
Otra forma de solución:
la transfonnada de Fou~er de/(- t) es
S: [f(-t)l =
L:
f(-t) e-¡wt dt.
Haciendo- t = x dentro de la integral, se obtiene
. S: [f(- t)] = =
L-oo
f(x) eJWx dx
Loo. f(x)
e-¡(-W)x dx
-oo
=
1:
f(t) e-i <-w>t dt
= F(-w).
84
Análisis de Fourier
la transfonnada de Fourier requerida es
Solución:
Haciendo t- t 0 = x, dt = dx; por consiguiente,
S: [f(t- t0)] =
Solución:
1:
f(x) e-JW(to + x) dx
la transforniada de Fourier requerida es .
S: [f(t) efúJot] =
1:
[f(t) efúJot] e-iúJ 1 dt =
1:
f(t) e-f(úJ -Wo)t dt
= F (w -
PROBLEMA 4.20
Solución:
Si F(w) =S: [f(t)], hallarla transfonnada de Fourier de f(t) cos W 0 t.
=}
t] =S:[} f(t)
=}S: [i(t)
con la identidag cos w 0t
se tiene
S: [f(t)
(efúJot + e-JWot),
cos W 0
eiúJot
2 F (w-
+} f(t)
efúJot] +
1
=
PROBLEMA 4.21
W 0).
1
W 0)
y la propiedad (4.74),
e-JWot]
}s: [f(t)
e-iúJot]
+ 2 F(w + w 0 ).
(4.75)
Hallar la transfonnada de Fourier de la función coseno de duración
finita igual a d.
la función coseno de duración d [figura 4.4(a)] se puede expresar como
una función modulada por un pulso; es decir,
So lu ció.n:
f(t) = Pd(t) cos w 0 t,
donde
1 para
Pd(t)=
{ O para
(4.76)
Integral de Fourier y espectros continuos
·85
F(w)
(a)
Figura 4.4
(b)
(a) La función coseno de duración finita. (b) La transformada de Fourier de la función coseno en la figura 4.4(a).
Según el resultado (4.45) del problema4.10, se tiene
1 [pd(t)] =~sen (~d)·
Entonces, por (4.75), se obtiene
F(w) = 1 [pd(t) cos w 0 t]
sen
1
2
d (w - w 0 ) ·
sen
------------+-.
w -
1
2
d (w + w 0 )
~---------
(4.78)
Wo
La transformada de F ourier, F ( w ), se ~epresenta. en la figura 4.4(b ).
Solución:
por (4.16), se tiene
1:
1:
1:
27T f(t) =
F(w)eJWt dw.
(4.80)
Cambiando t por - t en la expresión anterior,
27T i(.·:-·t) =
F(w) e-¡wt dw.
(4.81)
Ahora, intercambiando t y w en (4.81), se obtiene
27T f(-w) =
PROBLEMA 4.32
F(t) e-iWt dt = 1 [F(t)]..
Hallar la transformada de Fourier de la función
f(t) = sen at.
(4.83)
7Tt
Solución:
(4.82)
por el resultado (4.45) del problema 4.10, se tiene
d).
1[pd(t)]=~ sen (w2
(4.84)
Análisis de Fourier
86
Según la propiedad de simetría de la transformada de Fourier, dada por (4.79), se tiene
~ [~sen (~t )] = 2TT Pd(-w)
o
(4.85)
~ [oon (H1J
"pd(-ru).
(4.86)
7Tt
Puesto que Pd(w) está definida por (ver problema 4.10),
para
lwl < 1 d
para
lwl > 2 d
2
(4.87)
1
es una función par de w; por consiguiente,
Haciendo
t
Pd(-w) = Pd(w).
(4.88)
d =a en (4.86), se tiene
cz:: (sen
J
at)
---;;¡- =P2a(w),
(4.89)
donde,
1 para
P2a (w) =
·
{ O para
lwl <a
(4.90)
lwl >a.
Las gráficas de f(t) =sen at/rrt y su transformada, F(w), se muestran en la figura 4.5.
f(t)=senat
7Tt
F(w)
a/77
-a
o
a
(b)
Figura 4.5
(a) La función f(t) del problema 4.23. (b) La transformada de Fourier deJ(t) mostrada en la figura 4.5(a).
Ahora se busca la relación entre la t~ansformada de Fourier de una función/(t), y
la transformada de Fourier de su derivada/'(t).
·
So lución:
~ [f'(t)] =
1:
integrando por partes, se obtiene
f '(t) e-¡wt dt = f(t) e-iúJt
1: L:
+ jw
f(t) e-¡wt dt.
(4.92)
Integral de Fourier y espectros continuos
87
Puesto que f(t) ~O cuando t - ± 00 , se tiene que
1:
S:[f'(t)]=jw
Solución:
f(t)e-iWtdt=jwF(w)=júJj[f(t)l.
considerar la función
cp (t) = 1~ f(x) dx;
(4.96)
entonces, cp'(t) =f(t). De donde, si j= [cp(t)] =41(w), entonces, de (4.91), se tiene
· S: [cp'(t)] =S: [f(t)l = jw<ll(w)
(4.97)
con tal que
tl~ cp(t) =
i""
f(x) dx = ("" f(t) dt = F(O) =O.
J-oo
-oo
(4.98)
Por cons~guiente,
1 cr
··
1
<ll(w) = ~ j [!(t)] = ~ F(w);
}W
JW
esto es,
S: [
1
1cr[
]
= - :t f(t).
{~ f (x) dx] = -F(w)
jw
jw
(4.99)
88
Análisis de Fourier
PROBLEMA 4.26
Si ~ (!( t)] = F( w ), demostrar que
~ [-jt f(t)] = dF(w).
(4.102)
dw
So lución:
puesto que
F((u) =
1:
(4.103)
f(t) e-¡wt dt,
se tiene
dF(w) =-.!!_
dw
dw
l""
f(t) e-i('lt dt.
(4.104)
~oo
Cambiando el orden de la diferenciación y de la integración se
dF ((u) =
dw '
L""
-oo
f (t) !_(e-¡wt) dt =
aw
l"" [-oo
jt f (t)] e- ¡w t dt
-
.
= ~ [- jt f(t)].
4.7
So_lución:
CONVOLUCION
por (4.105), se tiene
(4.109)
89
Integral de Fourier y espectros continuos
Cambiando la variable por t - x =y,
11 (t) * 12 (t) =
=
1:
1:
= 12 (t)
11 (t- y) 12 (y) dy
12 {y) ~~ (t- y) dy
* 11 (t).
(4.110)
Solución:
si se hacef1 (t) * f2(t) =g(t), y f 2(t) * f 3 (t) =h(t), entonces (4.111) se
puede expresar como
(4.112)
g (t) * 13 (t) = 11 (t) * h (t).
Puesto que
g (t) = J~ 11 (y) 12 (t- y) dy,
(4.113)
se tiene
g (t) * 13 (t) = J~ g (x) 13 (t - x) dx
=
L: [L:
11 (y) 12 (x
~y) dy] 1: (t - x) dx.
(4.114)
Sustituyendoz =x-y e intercambiando el orden de il!-tegración, se obtiene
(4.115)
Y dado que
.h (t) = J~ 12 {z) 13 (t- z) dz,
(4.116)
se tiene
(4.117)
Por consiguiente, la integral se identifica dentro del paréntesis angular en el segundo
miembrode (4.115) como h(t- y).
De donde,
g (t) * 13 (t) = J~, 11 (y) h (t- y) dy = 11 (t) * h(t);
esto es,
(4.118)
. 90
Análisis de Fourier
por la definición de convolución (4.105), se tiene
Solución:
f (t)
* o (t) =
1:
f (x) o (t - x) dx.
Utilizando la propiedad commutativa (4.108), se tiene
f(t) * o(t) = o(t) * f(t) =
i:
o(x) f(t- x) dx = f(t)
(4.119)
de acuerdo con (2.68).
De donde,
f (t) * o (t) = f (t).
procediendo como en el problema 4.29, se tiene
Solución:
f(t)
* o (t- T) = o (t- T) * f(t) = J~ o (x- T) f(t- x) dx = f(t- T)
de acuerdo con (2.68). Análogamente, se obtiene
f(t- t1)
* O(t- t2) = O(t -'t2) * f(t- i 1) = J~ O(x- t2) f(t- X- t1) dx
= f (t ...,. t2 - t 1)
= f(t -
PROBLEMA 4.31
Solución:
t1 - t2).
Probar el teorema de convolución en el tiempo.
la transformada de Fourier de / 1 (t) * / 2 (t) es
j= [/1 (t) * /2 (t)] =
1: [1:
11 (x) f2 (t- x) dx] e-¡Wt dt.
1
L:
Cambiando el orden de integración, se tiene
S: [/1 (t) * 12 (t)] =
11(x) [ [ 12 (t- x) e-iWt dt] dx.
(4.123)
1: /
Por la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada de Fourier (4.73),
se tiene
2 (t- x) e-¡Wt dt = F 2 (w) e-¡wx.
Sustituyendo el resultado anterior en S4.123), se obtiene
S: [f1(t) * /2 (t)] = J~ 11 (x) F 2 (cv) e-júJxdx =
LC:
f 1 (x) e-¡wxdx] F 2 (cv)
91
Integral de Fourier y espectros continuos
Probar el teorema de convolución en la frecuencia.
PROBLEMA 4.32
Solución:
por (4.16), se tiene
~-1 [~ 1 (w) * F (w)] =~- 1
[[
2
=
F 1 (y) F2 (w-y)dy]
2~ J~ [i: F (y) F
1
2 (w- y)
dy]
~}c.Jt dw.
(4.126)
'
Sustituy.endo w -y por x e intercambiando el orden de la integración, se obtiene
~
1
-
[F1 (w) * F 2 (w)] =
=
1:
L
1
217
F 1 (y)
loo
[l:
F 2 (x) ei<x + y)t dx] dy
.[
roo F (x) e 1. xt dx] dy
2
-oo F 1 (y) eJYt
)_
00
=·2rr [f1 (t) [ 2 (t)]
(4.127)
en donde las variables comodines de la integración se han cambiado.
La ecuación (4.127) se puede expresar también como
.
~ [f1 (t) f 2 (t)] = -
1F (w) * F..(w) 1IOO F (y) F (w- y) dy.
2rr
2
1
= -
2rr
1
2
-oo
PROBLEMA 4.33 Utilizando la propiedad de simetría de (4.79) la transformada de
Fourier y el resultado (4.122) del problema 4.31, resolver nuevamente elproblema 4.32.
Solución:
por (4.122), se tiene
~ [f1 (t)
* f (t)] = F (w) F (w);
1
2
2
esto es
(4.128)
Según la propiedad de simetría de la transformada de Fourier, se sabe que si~ [/(t)] =
F(w), entonces S: [F(t)] = 21T /(- w); aplicando este resultado a (4.128), se obtiene·
~ [F (t) F (t)] = 2rr
1
2
L:
f 1 (x) f 2 (-w- x) dx.
(4.129)
92
Análisis de Fourier
Sustituyendo x por -y, se obtiene
j= [F 1 (t) F 2 (t)] = 2rr
=1
-
2rr
1:
ioo
~oo
f 1 (-y) f 2 (-cu + y) dy
[2rr f 1 (-y)] l2rr f2 [ - (cu- y)]l dy.
,
(4.130)
Ahora, recordando que 21T / 1 (- w) =S: [F1 (t)JY 21T / 2 (- w) = j= [F2 (t)], y cambiando
F 1 (t) y F 2 (t) por / 1 (t) yf2 (t), respectivamente, y consecuentemente cambiando 21T !t(- w)
y 21T / 2 (- w) por F 1 (w) y F 2 (w), respectivamente, la ecuación (4.130) se puede escribir
también como
j= [f1 (t) f2 (t)] = -1
F 1 (y) F 2 (cu - y) dy = -1 F 1 (cu) * F2 (cu).
2rr -oo
2rr
ioo
1
1
Utilizar la convolución para encontrar f(t) = S: - [( + jcu) 2 ] •
1
PROBLEMA 4.34
Solución:
la transformada de Fourier de f(t) es
1
F(cu) = S: [f(t)] = -,---- 2
(1 + jcu)
1
1
(1 + jcu)
(1 + jcu)
-,---X
•
Por (4.47), se tiene que
CI-1
J
[-1.] =
1 + JCU
e-t u(t).
Por consiguiente, según 4.122, se obtiene
f(t) =
L:
e-x u(x) e-(t- x) u(t.:.. x) dx.
(4.131)
En la integral anterior, elintegrando incluye el factoru(x)u (t- x). Como u(x) =O para
x <O, y u(t- x) =O parax > t, entonces
O para O> x y x' > t
u(x)u(t- x) =
De donde,
f(t) =
1t
{ 1 paraO<x<t.
e-x e-(t- x) dx
·¡t
= e-t
dx = t e-t u (t).
(4.132)
0
4.8
PROBLEMA 4.35
TEOREMA DE PARSEVAL V ESPECTRO,
DE ENERGIA
Si j= [/1 (t)]= F 1 (w) y j= [/2 (t)] =F2 (w) demostrar que
(4.133)
93
Integral de Fourier y espectros continuos
Solución:
por (4;125), se tiene que
esto es,
l-oo
oo
loo F (y) F (w - y) dy.
[f1 (t) f2 (t)). e-¡wt dt = - 1
2rr
1
2
-oo
(4.134)
·
Ahora,-haciendo w =O, se obtiene
,
l-oo
oo
[f1 (t) f 2 (t)) dt = - 1
- 2rr
loo F (y) F (-y) dy
-
Loo F (w) F (-w) dw
1.
=-
2rr
2
1
-oo
1
-oo
2
mediante el cambio de la variable comodín de integración.
PROBLEMA 4.36
Si las funciones/1 (t) y f 2 (t) soh-reales, S: (f1 (t)] =F1 (w), y
S: lf2(t)] =F2(w); demostrar que
(4.135)
donde Fi(w)denota el conjugado complejo deF2 (w).
Solución:
sif(t) es real, entonces de (4.23}, se tiene
F(-w) = F*(w).
En consecuencia, según (4.133}, se puede expresar
=1
-
217
PROBLEMA 4.37
Solución:
loo F (w) F * (w) dw.
.
2
1
--oo
Probar el teorema de Parseval.
si S: [f(t)] =F(w}, entonces
S: [f*(t)) = I~ f~(t) e~JWt dt =
=
1:
[f(t) eiWt]* dt
[L:
f(t) e-¡(--w)t dtr
= F*(-w).
(4.137)
94
Análisis de Fourier
Por consiguiente, si se hace / 1 (t) = f(t) y / 2 (t) = f*(t) en (4.133), se obtiene
l
oo
loo
1.
f(t) t*(t) dt = -
'
-oo
2TT
F(w) F*[-(-w)l dw
-oo
1
00
=1
-
2TT
F(w) F *(w) dw.
-oo
Como/{t) f*(t) = 1f(t)l 2 y F(w)F*(w) = IF(wW, se tiene
L:
2
lt(t)j dt =
2~
L:
2
!F(w)l dw.
Si/{t) es real, la relación {4.136) se puede obtener de (4.135), en forma sencilla
4.9
FUNCIONES DE CORRELACION
(4.138)
Integral de Fourier y espectros continuos
R1 2 ('T) = f~ l1 (t + 'T) 12 (t) dt,
R21 ('T) =
L:
12 (t + 'T) 11 (t) dt,
R 11 ( 'T) = J~ 11 (t + 'T) f 1 (t) dt.
Solución:
por (4.145), se tiene
R21 ('T) =
1.:
12 (t + 'T) 11 (t) dt,
y· por consiguiente
R 21 (- "é) = f~ f 2 (t- ~) l1 (t) dt = f~ f 1 (t) 12 (t- 'T) dt = R 12 ('T).
Análogamente, por (4.146), se tiene
Ru ('T) =
y por consiguiente,
R 11 (-'T.)=
en razón de (4.143).
1:
L:
11 (t + 'T) 11 (t) dt,
11(.t- 'T) 11(t) dt = J~ 11(t) 11(t- 'T) dt = R 11 ('T),
95
96
Análisis de Fourier
Demostrar que la correlación de [ 1 (t) y [ 2 (t) está relacionada con la
convolución de [ 1 (t) y !2 (- t).
PROBLEMA 4.40
Solución:
esto es,
Sea G 12 (t) =[1 (t) * [ 2 (- t) de la definición (4.105) de convolución,
/1
(t)
* 12 (t) = J~ 1 (x) 12 (t- x) dx,
1
se obtiene
- =
J~ 11 (x) f 2 (x- t) dx.
(4.149)
Cambiando la variable t por T, se tiene
G12 ( T) = J~ 11 (x) 12 (x - 1") dx.
(4.150)
Cambiando nuevamente la variable comodín x por t, se obtiene
Gl2 (T) =
L:
/1 (t) 12 (t- T) dt
(4.151)
De donde,
(4.152)
la ecuación (4.72) del problema 4.17 muestra que si~ [f(t)) =F(w),
entonces~[[(- t)) =F(-w). De tal manera que si
Solución:
~ U 1 (t)l = F 1 (w)
Y ~ [12 (t)l = F2 (w),
entonces
~ (11 ( - t)l = F 1 (-w)
Y ~ [12 ( - t)l = F 2 (-w).
Aplicando ahora el teorema de convolución en el tiempo
~ [/1 (t) * 12 (t)l
=F 1(w) F 2(w)
a la relación (4.152), se obtiene
~ [R12 ('r)] = ~ [11 (t) * la(- t)] = F 1 (w) Fa (-w),
[4.1221
./
97
Integral de Fourier y espectros continuos
o
,. (4.157)
Análogamente, se obtiene
. j=[R2 , ('r)] = j= [f2 (t) * f, (-t)] = F 2 (w) F,(-w) = F, (-w) F 2 (w), .
o
(4.158)
y
j= [Ru (T)] = j= [f, (t) * f, (- t)] = F, (w) F, (-w).
,Según (4.23), si/1 (t) es una función real de t, entonces F 1 (- w) = Ft(w). De donde,
o
(4.159)
si / 1 (t) es una función real de t.
PROBLEMA 4.42
Solución:
Deducir el resultado (4.159) sin utilizar (4.155).
por (4.143), se tiene
~u (T) = J~ f (t) f, (t- ~) dt.
1
Entonces,
=
=
J~ [J~ f (t) f (t-' T) dt] e-JW'" dT
1
1:f, [J~
(t)
1
f 1 (t- T) e-¡wi dT] dt
(4.160)
por intercambio en el orden de integración.
Cambiando la variable (t- -r) por x en la integral que está dentro de los paréntesis
angulares de (4.160), se obtiene
j=
[R (T)] J~ f (t) [J~ f,(x) e-iW(t11
=
=
1
J~
[
1
x)
dx] dt.
(t) e-fWt dt J~ f, (x) efWx dx .
= F 1 (w) F 1 (-w)
=
IF,(w)\ 2 •
(4.161)
98
Solución:
Análisis d'3 Fourier
por(4.143),se tiene
Haciendo ¡ = O, se obtiene
Solución:
por (4.163), se tiene que
Haciendo r = O,
(4.166)
Por (4.164), se tiene que
R 11 (O) =
Loo [/ (t)] dt.
2
1
-oo
Por consiguiente,
roo [/1 (tW dt = 2171 1"" 1F 1 (w~l d w.
J-oo
2
-oo
Integral de Fourier y espectros continuos
99
4.10 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
PROBLEMA 4.45
Hallar la integral de Fourier que representa la función
1 para ltl <1
f(t) =
{
O para ltl >l.
Respuesta: f(t) = 1. ['"' cos tw sen w dw.
rrJo
PROBLEMA 4.46
úJ
Utilizar el resultado del problema 4.45 para deducir
foo sen
Jo w
úJ
dw =.!!.. .
2
[Sugerencia: hacer t == Oen el resultado del problema 4.45.]
PROBLEMA 4.47 Si f(t) es una función imaginaria pura, esto es,f{t) == j g(t), donde
g(t) es real, demostrar que las partes real e imaginaria de F ( w) son
R (w)
=L~ g(t) sen wt dt, X(w)=l~ g(t) cos wt dt.
Así mismo, demostrar que R ( w) y X ( w) son funciones impar y par de w, respectivamente;
esto es,
R(..:..w)=-R(w),
x(...:w)=X(w),
F(-w)=-F*(w).
Si j= [f(t)] ==F(w), demostrar que j= [f*(t)] ==F*(-:- w), donde f*(t)
es el conjugado de f(t), y F *(:- w) es el conjugado de F (- w ).
PROBLEMA 4.48
PROBLEMA 4.49
S: [f(at)
PROBLEMA 4.50
.
Si F(w) == j= [f(t), demostrar que
e
¡wo 1 ]
= -
1-
F
la 1
(w'. - úla) .
a
SiF(w) == :f[f(t)], hallar la transformada de Fourier de f(t) sen W 0 t.
Respuesta: ~ [F (w - w0 ) - F (w + w0 )].
2}
PROBLEMA 4.51
.
.
---....¡A/T
Hallarla transformada de Fourier de f(t) == e-altl.
o
2
· Respuesta: 2a/(a 2 + CtJ ).
PROBLEMA 4.52
T
-A/Tt----'
Hallar la transformada de Fourier de f(t) = _1_·_2
a~+ t
(a)
[SugerenCia: aplicar la propiedad de simetría de la transformada de Fourier (4.79) al·
resultado del problema 4.51.]
Respuesta: (17/a)e-alwl_
..
(a) Hallar la transformada de Fourier del pulso [ 1 (t) que se muestra
en la figura 4.6{a). {b) El pulso f 2 (t) que se muestra en la figura 4.6{b), es la integral de
[ 1 (t); utilizar el resultado de la parte (a) para.obtener la transformada de Fourier de f 2 (t);
comprobar el resultado mediante integración directa.
[Sugerencia: para la parte {b),utilizar el resultado del p-roblema 4-.25.] ~ )
sen2 T
2
2
Respuesta: (a) F 1 (w) =- ~A sen (wr), (b) F 2 (w) = AT
,wr
2
(~rr
PROBLEMA 4.53
\.w
t 2 (t)
A
-T
o
T
(b)
Figura 4.6
(a) El pulso del problema 4.53.
lb) La integral del pulso en la
figura 4.6(a).
100
Análisis de Fourier
El momento enésimo mn de una función f(t) está definido por
PROBLEMA 4.54
mn
=[~ t" f(t) dt
paran= O, 1, 2 · · ·
Utilizando el resultado del problema 4,26, demostrar que
paran=O,l,2,···
F <w) = j= [E <t) J .
y
<U= O
Utilizar el resultado del problema 4.54 para demostrar que F ( w) =
j= [f(t)] se puede expresar como
PROBLEMA 4.55
00
\ ' (- j)" mn
F (cu) =
L..
n=ú
[Sugerencia: desarrollar e_¡ cut=
cu" .
n'·.
f: (- j~t)" i~tegrar
e
(4.15) término por término.]
n=O
Demostrar que si 5 [f(t)] = F ( ~ ), entonces
PROBLEMA 4.56
00
IF(cu)l
~Loo lf(t)l dt, IF(cu)l ~-~-1 ~d~;t) 1 dt, IF(cu)l ~ ~ 2 foo ~d~t\t)\dt.
-oo
1CU 1
-oo
--oo
Estas desigualdades determinan las cotas superiores de 1F ( w) 1.
Utilizar la convolución para encontrar f ( t) = J - 1 [
PROBLEMA 4.57
.
.
1
(1 + jcu)(2 + jcu)
J.
.
Respuesta: (e-t- e· 21 )u(t).
PROBLEMA 4.58
Hallar f(t) del problema 4.57 desarróllando F (w) en fracciones parciales
[Sugerencia:
1
(jcu + l)(jcu+2)
= _1_ + -=:1_ y utilizar el resultado del problema 4.11.]
jcu+l
icu+2
'
PROBLEMA 4 ..59 . Demostrar .que si f(t). es de band~ limitada, esto es, F (w) = 5 [f(t)] =O
·
·
sen at
para lw 1> wc, entoncesf(t) * -;¡-= f(t) para a> wc.
[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 4.23 y el teorema de convolución en el
tiempo (4.122).]
SeaF(w) =J [f(t)] y G(w) =j= [g(t)]. Probar que
PROBLEMA 4.60
(a)
foo
-oo
(b)
f(x)g(t- x) dx=
·
_!_Joo
F(cu)G(cu)eicut dcu,
2rr
-oo
[~ f(t)g (-t) dt= 21 [~ F (cu) G(cu~ dcu,
77
(e)
f_~f(t)g*(t) dt = 21 f_~F(cu)G*(cu)dcu,
11
donde el asterisco denota el conjugado complejo. ·
[Sugerencia: (a) Utilizar (4.122) Y'(4.16); (b) deducir el resultado de la parte (a) haciendo
t= O; (e) deducir el resultado de la parte (b) con la ayuda de (4.72) y del problema 4.48.]
101
Integral de Fourier y espectros continuos
PROBLEMA 4.61
Seanf1 (t) y f 2 (t) dos funciones gaussianas; esto es,
2
2
_
1
-t /2a 1
) ---e
f1(t
,
alV'f;r
Demostrar que si[3(t) = !1 (t) * [ 2(t), entoncesf3 (t) también es una función gaussianay
2
i
2
donde a 3 = a 1 + a~ .
PROBLEMA.4.62 Dem~strar que la función de correlación de dos funciones gaussianas
cualesquiera, es una función gaussiana.
PROBLEMA 4.63
Si R 11 ('¡;)es la función de a11tocorrelación de [ 1 (t), demostrar que
Ru(O)¿ IRu(r)l.
[Sugerencia: desarrollar la expresión x > O para T #= O.]
PROBLEMA 4.64 SiR 11 (¡;) y R 22 (r) son las funciones de autocorrelación def1 (t) y
fz(t), y Rt2 (t) es la función de correlación de [ 1 (t) y [ 2 (t), demostrar que R 11 (O)+
R 22 (0)> 21R 12 ('r)l, para todo valor der.
.
[Sugerencia: desarrollar la expresión x >O, para todo valor der.]
PROBLEMA 4.65
(a) HaÍlar la función de autocorrelaciónR 11 (t) del pulso rectangular
f(t), deftnido por
·
{ A
para
Jtl < d/2
O
para
Jtl > d/2.
f( t) =
(b} Hallar la densidad espectral de energíaS (w) de f(t), apartir deR. 11 (r), obtenido en la
parte (a) y también comprobar que S 11 (w) = IF(w)l 2 , mediante F(w) dado en (4.45).
r (
2
. .
{A '(d-JrrJ) paraJrrJ<d
d/2)] 2
Respuesta: (a) R 11 ('r)=
·
(b)S 11 (cu)=A 2 dl.sencu cu/
2
O
para Jrrl > d,
d
SeaR 11 (!) la función de autocorrelacióny S 11 (w) = IF1 (w)l 2 , la
densidad espectral de energía de la función [ 1 (t). Demostrar que el teorema de WienerKhintchine (4.162-3) se puede expresar también como
PROBLEMA 4.66
Su (rr) ,;
ioo
o
R 11 (cu) cos cu 'r dcu
y
.
i
1
Ru (cu) = " o
00
.
Su (e) cos cu'r drr.
.
5
CAPITULO
TRANSFORMADA DE FOURIER
DE FUNCIONES ESPECIALES
5~ 1
INTRODUCCION
5.2
LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA
FUNCION IMPULSO
o(t)
o
(a)
F(úJ)
Figura 5.1
(a) La función impulso unitario-.
(b) La transformada de Fourier
de la función impulso unitario.
Solución:
aplicando la fórmula (4.16), que es la transformada inversa de Fourier,
a (5.3) se obtiene
oo
oo
.
o(t)=j=-l[l]=
.
_!__i lejc.Jtdw= 217
_!__l. ejc.Jtdw.
217
-oo
-oo
102
Transformada dl! Fourier de funciones especiales
Se debe observar que la integración ordinaria de
1:
103
eicv 1 dw no tiene significado en
este caso; en vez de ello, se debe interpretar la identidad (5.4) como una función
generalizada (o función simbólica), es decir la integración de (5.4) converge hacia cS(t) en
el sentido de una 'función generalizada.
Solución:
por (5.4), y UtilizandO la identidad ej<Vt = COS W t + j Sen Wt, Se tiene
o(t)
=]_loo
ej<Vtdw
2rr
-oo
Loo (cos wt + j sen wt)dw
= -1
2TT
-oo
1
/
e os w t d w + j - 1
2rr -oo
2rr
= -1
TT
1
00
00
= -1
sen w t d w'
-oo
loo cos wt dw
O
en donde se han utilizado las propiedades (2.13) y (2.14) de las funciones par~ impar.
Se observa de nuevo que la integración (S .S) converge acS(t) en el sentido de una
función generalizada.
-
... ...... -
O
(a)
t0
Hallarla transformada de Fourier de la función impulso desplazada
cS(t- to) que se muestra en la figura S.l(a).
PROBLEMA 5.4
Solución:
utilizando (2.68), se obtiene
j= [o(t- to)l
.
=Loo o(t- to) e-jWt dt ~ e-jWt t=,!?
1
-oo
~
1
(5.8)
Otra forma. de solución:
dado que j=(cS(t)] = 1, y según (4.73), o sea,
o
1[f(t- t 0)]= F(w)e-¡wto,
(b)
Figura 5;2
se obtiene
j=[o(t- to)l = 1 e-¡wto = e-¡wto,
tal como se muestra en la figura S.2(b).
(5. 9)
(a) La función impulso
desplazada. (b) La
transformada de Fourier de la.
función impulso desplazada.
104
Solución:
Análisis de Fourier
sustituyendo (5.11) en el segundo miembro de (5.10), se tiene
(5.12)
Aquí, para evitar confusión, se utiliza y, una variablé comodín diferente. Intercambiando
el orden de integración y usando (5.6), se obtiene
2177
L:
F(w)eicutdw =
=
L: L:
f(y) [2177
1:
eicu(t-y)dw] dy
f(y)8(t- y)dy = f(t).
(5.13)
la última integral se obtiene mediante el uso de (2.68). Por consiguiente, la fórmula
(5.10) ha sido probada.
5.3
PROBLEMA 5.6
LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE
UNA CONSTANTE
Hallar la transformada de Fourier de una función constante
f(t) = A,
l(t)
(5.14)
tal como se muestra en la figura 5.3(a).
A
So lución:
L:
la transformada de Fourier de f(t) =A es
j=[f(t)] = j=[A] =
o
=
(a)
Ae-icutdt
~ 77 A _!_Loo ej(-cu)t dt.
277
F(w)
(5.15)
-oo
Ahora, por (5.6), se tiene
O(y) = - 1
277
A277o(w)
Loo eiXY dx,
(5.16)
-oo
Haciendo x = t e y =- w, se tiene
--------~~------~~Ú)
o
8(-w)
=..!_Loo
eit<-"'> dt.
277
(5.17)
-oo
(b)
Figura 5.3
(a) La función f(t) =A.
(b) La transformada de
Fourier de f(t) =A.
Sustituyendo (5.17) en (5 .15), se obtiene
j=[A] = 277 Ao(-w).
(5.18)
Transformada de Fourier de funciones especiáles
105
Puesto que por (2.77), o(- w)::: o(w),
S:[A] = A211o(w).
(5.19)
1 [1] = 211o(w).
(5.20)
Haciendo A = 1, se obtiene
Otra forma de solución:
por(5.3);setiene
1[o(t)] = 1.
Ahora, utilizando la propiedad de simetría (4.79) de la transformada de Fourier, es decir,
si S: (f(t)] =F(w), entonces :f[F(t)] = 21T f(- w), se tiene
1[1] = 2118(- w) = 211o(w).
Por consiguiente,1 [A]=A21T6(w), tal como se muestra en la figura 5.3(b).
Hallar la transformada de Fourier de
PROBLEMA 5.7
Solución:
por(5.20), se tiene
1[1] = 211o(w)
y por (4.74), se tiene
1[f(t)e1wot] = F(w- w 0 ) .
De donde la transformada de Fourier de e 1 wot es
:f[eiwot] = 2tr0(w- w 0 ) .
PROBLEMA 5.8
So lución:
(5.21)
Hallar las transformadas de Fourier de cos W 0 t y de sen W 0 t.
utilizando la identidad
y el resultado (5.21), la transformada de Fourier de cos wot, es
1[cos w 0 t] = 1 [}<eJwot + e-Jwot)]
=
.!.s: [eiWol] + .!_S:
2
iw 0 t]
2
(5.22)
1
'úJI
.
An ál ogamente, puesto que sen w 0 t = ~(el
o - e-Iwot), se tiene
.
. 2J
1 [sen w 0 t] = 1
=
[;j
(eiwot- e-Jwot)]
1
-[211D(w-w 0 )-217o(w+w0 )]
2j
(5.23)
106
Análisis de Fourier
f(t) =cosw0 t
5.4
(a}
F(w)
LA TRANSFORMADA DE FOURIER DEL
ESCALON UNITARIO
PROBLEMA 5.9
Hallar la transformada de Fourier del escalón unitario u (t), el cual
está definido por (2.88) o sea
u(t)= {1 parat>O
O parat<O.
Solución:
(5.24)
supóngase que
S:[u(t)] = F(w).
-----L------L-----~----•w
o
Entonces, por (4.72), se tiene
(b)
Figura 5.4
(a) La funciónf(t) "'cos w 0 (
(b) La transformada de
Fourier de fltl = cos w 0 t
S:[u(- t)] = F(-w).
(5.25)
u(- t) = {O para t >O
1 parat<O,
(5.26)
Puesto que
se tiene
u (t) +u (:- t) = 1 (excepto cuando t = 0).
Por la linealidad de la transformada de Fourier y por (5 .20), se tiene
S:[u(t)] + S:[u(-t)] = S:[l];
(5.27)
,F(cu) + F(-cu) = 2rro(cu).
(5.28)
F(cu) =k o(w) + B (w),
(5.29)
esto es,
Ahora, se supone que
donde B (w) es una función ordinaria y k es una constante. Entonces, como 8 (- w) =
8(w), se tiene
F(cu) + F(-cu) 'i" ko(w) + B(cu) + ko(-cu) + B(-w)
=
2ko(cu) + B(cu) + B(-cu)
= 2rro(cu).
(5.30)
De donde se concluye que k = rr, y B ( w) es una función impar.
Para encontrar B(w), se procede así: por (2.90), se tiene
u'(t) = du(t) = o(t).
dt
Entonces, de acuerdo con (4.91), se obtiene '
S:[u'(t)] = jcuF(cu) = jcu[rro(w) + B(cu)].
= S:[o(t)]
=l.
(5.32)
Transformada de Fourier de funciones especiales
107
Ahora, puesto q~e según (2.75), w c5(w) =O, se tiene
1)
u
(5.33)
j (J) B ((J)) = l.
De donde,
1
(5.34)
B((J)) = -.- .
](J)
Finalmente, se obtiene
1
S:[u(t)] = 118((1)) + - . •
o
(5.35)
(o)
JC'lJ
F((J)) =R((J))+jX((J))
orCi
------------+-----------~(1)
(b)
o
(e)
Figura 5.5
Probar que la transformada de Fourier de la función escalón unitario,
dada por (5.39), es decir, S: [u (t)] = 1/jw, es incorrecta.
PROBLEMA 5.10
Solución:
se observa que 1/jw = -¡¡ w es una función imaginaria pura de w;
de acuerdo con el resultado del problema 4.9, se ha probado que si la transformada de
Fourier de una función real f(t) es imaginaria pura, entonces f(t) es una función impar
de t. Pero u(t) no es una función impar de t y, por consiguiente, 1/jw no puede ser su
transformada de F ourier.
(a) La función escalón unitario.
(b) La transformada de Fourier
de la función escalón unitario.
(e) El espectro de la función
esca.lón unitario.
108
Análisis de Fourier
Probar que
PROBLEMA 5.11
sgn t
cz:
J -1 [ -.1- ] = -1 sgn t,
1 (J)
2
1t------
(5.44)
donde sgn t (léase signum t) está definido como
j
s n t = 1 para t < O
g
l-1parat>O.
o
(5.45)
seanf(t) =sgn t y j=[sgn t] =F(w). Como sgn tes una función impar de t
[figura 5.6(a)], F(w) será imaginaria pura, de acuerdo con el resultado del problema 4.9 y,
en consecuencia, es una función impar de w.
Ahora, por (2.94), se tiene
Solución:
------1-1
(a)
\F (w)\
f'(t) = 28(t).
(5.46)
j=[f'(t)] = jwF(w) = j=[28(t)] = 2.
(5.47)
Entonces, por ( 4.91), se tiene
· Por consiguiente,
2
(5.48)
F(w) = -.-+k 8(w),
]W
o
donde k es una constante arbitraria. Puesto que F ( w) debe ser imaginaria pura e impar,
k= O. _De donde,
2
-<
F(w) = s=[sgn t] = -.-_.
.
(b)
Figura 5.6
(a) La funcion signum sgn t.
(b) E 1espectro de sgn t.
(5.49)
1 (J)
de lo cual se concluye que
cz:
J -1 [ -.1- ] = -1 sgn t.
2
]W
la figura 5.6 muestra la función signum sgn t y su espectro.
Otra forma de solución:
porlaecuación(5.35),setiene
j=[u(t)] = 778(w) + ~.
]W
u (t)
1~,---
1
2
o
1
21-----
+
o
o
1
2
Figura 5.7
La función escalón unitario y _sus componentes par e impar.
Se observa que u (t) se puede expresar como (figura 5.7)
u(t) = fe(t) + f 0 (t),
(5.50)
dondefe(t) y [ 0 (t) son las componentes par e impar de u(t), respectivamente. Por (2.15)
y (2.16), se tiene
.
1
~
1.
fe (t) = - [u(t) +u(- t)] = - ,
2
.
2
(5.51)
Transformada de Fourier de funciones especiales
1
1
2
2
1
2
f 0 (t) = - [u(t)- u(- t)] = -: sgn t =
t >o
(5.52)
1
{
109
2
t <o .
Por consiguiente, según (4.42) y (4.43), se concluye que
1 [~] = rr8(w),
(5.53)
. ]
1
1 [ -1 sgn
t = -.-.
(5.54)
2
1 {,)
Por tanto,
CI:1[1]
iw
2"1sgn t.
=
.J -
PROBLEMA 5.12
En el problema 4.25 se demostró que si 1 [f(t)] = 1(w), entonces
1
1[·i
-oo
L:
supuesto que
Demostrar que si
L:
f(x)dx] =
~F(w),
1 úJ
f(t)dt
~ F(O)= o.
f(t)dt = F (O) ¡6 O,.
entonces
[1-oo'
(
1
1
Solución:
f(x)dx]· =
.~ F(w) + rrF(0)8(w).
(5.55)
1
sea
g(t) =
1~ f(x)dx.
La integral anterior se puede expresar como la convolución de f(t) con la función escalón
unitario u(t); es decir,
foo
.
f(t)*u(t) = j_~ f(x)u(t- x)dx =
Jt-oo
f(x)dx = g(t)
(5.56)
puesto que u (t - x) = O para x > t.
Por consiguiente, según el teorema de convolución en .el tiempo (4.122) y el
. resultado{5.35), se tiene,
1[g(t)] =
1[1~ f(x)dx] = 1(t(t)]1[u(t)]
=
F(w) [71o(w) +
1
= -.-
1úJ
.
'
j~j
F(w) + rrF(w)8(w).
(5.57)
·Análisis de Fourier
110
Según (2.74), se tiene
F(w)o(w) = F(O)o(w).
Por consiguiente,
1
[i~ f(x)dx] = j~ F(w) + rrF(O)o(w).
5.5
PROBLEMA 5.13
Solución:
LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE
UNA FUNCION PERIODICA
Encontrar la transformada de Fourier de una función periódicaf(t).
una función periódicaf(t) con período T, se puede expresar como
n=-oo
tomando la transformada de Fourier de ambos lados, se obtiene
1[f(t)]=F(w)=1L~"" cnejnwot] = n~"" cn1[efnWo
1
].
(5.58)
Puesto que según (5.21), se tiene
1 [einWol] = 2 TTO(W - n Wo) •
(5.59)
la transformada de Fourier de f(t) es
;
O<l
(5.60)
n=-oo
Transformada de Fourier de funciones especiales
111
la función periódica es
Solución:
'oo
(5.62)
n=-oo
Por (5.59), se tiene
(5.63)
De donde,
00
t(t) =
L:
n=-oo
Puesto que einwo(t+ 217/Wo) = einwot, se tiene
f
[t +(~:)]
= f(t + T) = f(t);
es decir, f(t) es una función periódica con período T = 2rr/w 0 •
PROBLEMA 5.15 Encontrar la transformada de Fourier del tren de impulsos unitarios
fJT (t), donde fJT (t) está definido por
or(t) = .. ·+ o(t+ 2T) + o(t+
n + o(t) + o(t- n + o(t- 2T) + ...
00
=
L
o(t-nT).
n=--oo
So lución:
puesto que f¡T (t) es una función periódica con período T, y según el
resultado (3.61) del problema (3.10), la serie de Fourier de la función fJT (t) está dada por
Or (t) = ~
L
00
einWot,
(5.65)
n=-oo
donde w 0 = 2rr/T, entonces
Por (5.59), se tiene .
j= [or (t)] =
2 71
00
"\'
TL
n=-oo
o (w - n w 0 )
L o
00
= W0
(w - n w 0 )
n=-oo
(5.66)
112
Análisis de Fourier
or
f (t)
(5.67)
~T-I
Demostrar que los coeficientes complejos en de la exp¡¡nsión en serie
de F ourier de una función periódica f( t) con período T igualan a los valores de la
transformada de Fourier F 0 (w) de la funciónf0 (t) en w = nw 0 = n21T/T multiplicada por
1/T, donde f 0 (t) está definido por
PROBLEMA 5.16
(o)
F(w)
. {f(t),
1t1
<~ T
(5.68)
fo(t) =
_ . . . . __
__.__ _. L __
_ . L_ _-1..-¡~
-1
0,
úJ
1-
Solución:
úJo = 2rr
iti>.!_T.
2
la función periódicaf(t) con período Tse puede expresar como
T
L
00
{b)
Figura 5.8
f(t) =
(a) El tren de impulsos.
(b) La transformada de Fourier
del tren de impulsos.
en einWot'
úJo =
2rr
r'
n=-oo
1 JT/2 f(t) e-inwot dt. Ahora,
donde en= T
-T/2
=
D rtJ Fd:L
o
f(t) e-iwtdt.
(5.69)
-T/2
f(t)
-T
l
T/2
T
Puesto que
(5.70)
se concluye que
(o)
(5. 71)
{
0
(t)
1
o
(b)
Utilizando el resultado del problema 5.16, encontrar los coeficientes
complejos de la serie de Fourier de un tren de pulsos rectangulares cuyo ancho es d y
cuyo período es T, tal como se muestra en la figura 5.9(a).
PROBLEMA 5.17
Solución:
sea
L
00
Figura 5.9
(a) Un tren de pulsos
rectangulares. (b) Un sólo
pulso rectangular.
f(t) ~
en einWot'
(5.72)
n::;;-oo
Entonces, según la figura S .9(b), se tiene
fo(t) = Pit).
(5.73)
Transformada de Fourier de funciones especiales
113
Por consiguiente, según (4.45), se tiene
d)
(cu)
2 sen (:::..._
F 0 . = 1[f0 (t)] = S:[pd(t)]=.
(.¡)
2
(S. 74).
Por tanto, según (5.71), los coeficientes en de la serie de Fourier de f(t) están dados por
ncu d)
(
(ncu; d) '
0
sen2
(5.75)
que es exactamente el mismo resultado de (3.47), excepto por el factor A, la altura del pulso.
PROBLEMA 5.18 Hallar la transformada de Fourier de un tren de pulsos rectangulares
de ancho d y período T, el cual se muestra en la figura 5.9(a).
Solución:
según el resultado del problema 5.17, la serie de Fourier de esta función
está dada por
De {5.60) se sigue que la transformada de Fourier de ~sta función está dada por
(5. 77)
la ecuación (5.77) indica que la transformada de Fourier de un tren de pulsos
rectangulares consta de impulsos lqcalizados en w = O, ± w 0 , + 2w 0 , • • • , etc. La.
intensidad del impulso localizado en w = nw 0 está dada por (2rrd/T) Sa (nrrd/T).
El espectro se muestra en la figura 5.10 (caso en que d/T= 1/5).
IF,(cu)i
'
1
'
\
Figura 5.10 El espectro de un tren de pulsos rectangulares.
Análisis de Fourier
114
5.6
Solución:
LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE
FUNCIONES GENERALIZADAS
según la defmición de transformada de Fourier, se tiene
F(y)
=loo f(x)e-¡xydx,
(5. 79)
--x¡
G(x)=l"" g(y)e-¡xydy.
(5.80)
-oo
Entonces
(5.81)
Intercambiando el, orden de la integración, se tiene
L:
=
g(y)F(y)dy,
"
y como se puede cambiar el símbolo de la variable comodín, se tiene
f_:
f(x)G(x)dx= L:F(x)g(x)dx.
(5.82)
Transformada de Fourier de funciones especiales
Solución:
115
según la definición (5.85), se tiene
1:
o(t)<IJ(t)dt=
1:
S:[o(t)]cp(w)dw.
(5.86)
y según la definición (2.67) de la función 6, se tiene
I:
o(t)<IJ(t)dt
=cl>(t) lr=o =<IJ(w) ''"'=o= <IJ(O).
Pero
<IJ(o)
=[L: <t><t) e-¡wt dtl=o,
y como en la ecuación anterior la integración es con respecto a t, se obtiene
<IJ(O) =
_...,,
1: 1:
if>(t)dt =
if>(w)dw.
(5.87)
Comparando los resultaoos (5.87) y (5.86), se concluye que
s= [o et)] = 1.
PROBLEMA 5.21
6(t- 'Z').
Solución:
Utilizando la relación (5.85) hallar la tr¡msformada de Fourier de
se puede expresar
L:
o(t- 'T) W(t) dt
=='L: s=
[o (t- 1:)] <!> (w) dw.
(5.88)
Según (2.68), se tiene
1:
O(t- 'T) <1J (t) dt = <IJ('T) = <IJ(t) 1t=T = <IJ(w) lw=r
=
[1:
if>(t)e-¡wt.dtL=r
=Loo if>(x)e-¡rxdx.
-oo
Dado que el símbolo de la variable comodín se puede cambiar a voluntad, entonces
(5.89)
Comparando los resultados (5.88) y (5.89), se obtiene
s= [o (t- 'T)] = e-¡cu r.
Este es e1 mismo resultado (5.8) obtenido en el problema 5.4.
116
Solución:
Análisis de Fourier
por (5.85), se tiene
1:
~[f'(t)]cp(w)dw =
1:
f'(w)<fJ(w)dw.
(5.90)
Ahora bien, según la defmiciót\ (2.82); d_erivada de una función generalizada, se tiene
1:
f'(w)<fJ(w)dw = -
L:
f(w)<fJ'(w)dw.
(5.91)
Puesto que
=loo -jtcf:¡(t)e-jwtdt
-oo
= -
L:
[jtcf:¡(t)] e-iWt a{
= - ~ [jt cf:¡(t)],
se tiene
L:
f'(w)<fJ(w)dw = -
=
+
L:
1:
f(w)<fJ'(w)dw
f(w) 1[jtcf:¡(t)]dw.
(5.92)
De nuevo, mediante (5.85), se tiene
·1: f(w)~[jtcf:¡(t)]dw L: j~cf:¡(w)F(w)dw.
=
(5.93)
Comparando (5.93) y (5.90), se concluye qúe
~[f'(t)] =iwF(w).
(5.94)
Repitiendo el resultado (5.94), se obtiene
~[f<k>(t)l= (jw)k F(w).
(5.95)
117
Transformada de Fourier de funciones especiales
PROBLEMA 5.24
Utilizando la relación (5.85), demostrar que
.
,
dF(w)
~[(-Jt)f(t)] = F (w) = - - ,
dw
donde F(w) = 5 [f(t)]
Solución:
se tiene
según la defmición (2.82), de la derivada de una función generalizada,
1:
-1:
F'(w)cp(w)dw =
F(w)cp'(w)dw.
(5.98)
Y según (5.85), se tiene
(5.99)
Ahora, integrando por partes, se obtiene
5[cf>'(t)]
=L.:
=
cf>'(t) e-¡wt dt
cf>(t)e-¡wtJ:oo +iw
L:
cf>(t)~-¡wtdt
= iw<I>((L))
dado que la función de prueba cf>(t) se anula fuera de algún intervalo cf:¡(t) ~O cuando
t~±oo.
Por consiguiente,
=
=
L:
i:
(-j(L))f(w)<I>((L))d(L)
(-jt)f(t)<l>(t)dt.
(5.100)
De este modo,
1:
F'((L)) e/> ((L)) d (L) =
1:
(-jt) f(t)<l> (t) dt.
Por lo cual, según (5.85),·se concluye que
j= [(- jt) f(t)] = F' ((L)) = dF((L)).
d(L)
.
(5.101)
Análisis de Fourier
118
Mediante repetición de (50101), se obtiene
S:[(-itl f(t)] = F(k)(w) = dk F(w).
dwk
PROBLEMA 5.25
Solución:
Hallar las transfonnadas de Fourier de t y tk
(5.102)
o
según la ecuación (5o20), S: [1] = 21To(w); y según (5.101), se tiene
(5.103)
S:[(-jt)] = 2rro'(w).
Por tanto,
S:[t] =
2
~ o'(w) = i2rro'(w),
(5.104)
-}
donde o'(w) = d o(w). Análogamente, según (5.102), se tiene
dw
j=[tk] = ..l:.!!._ o<k)(w) = 2rrjko(k)(w),
(- j)k
.
(5.105)
donde
!>(k)(
u
5.7
w
) =
dk o(w) .
.
k
•
dw
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Evaluarías transfonnadas de Fourier de las siguientes funciones:
(a) 1-3o(t)+2o'(t-2), (h)sen 3t, (e) u(t-1)0
PROBLEMA 5.26
Respuesta: (a) 2rro(w)- 3 + 3jwe-1 2
+ 3o(w + 1) ~ o(w + 3)],
PROBLEMA 5.27
(b) j(rr/4) [o(w- 3)- 3o(w- 1)
ú),
(e) rro(w)- e-lúJ/jw.
Demostrar que la función escalón unitario u(t) se puede expresar,
roo sen w t dw
u(t) =.!. + .!.
2
rr ) 0
o
w
[Sugerencia: utilizar las fónnulas (5.35) y (4o27).]
PROBLEMA 5.28
Probar que
(a)
(b)
[Sugerencia: cos w 0 t u ( t) =
problema 4o19.]
PROBLEMA 5.29
t
1
{e i ú)o u ( t) + e-iúJo 1 u (t)} y utilizar el resultado del
Hallar la transfonnada de Fourier de un tren finito de impulsos
unitarios
k-!
f(t)= Lo(t-nT)o
n=O
Respuesta: e- i(k-t l úJT 12 sen (kw T12)
sen (wT/2)
.Transformada de Fourier de funcione~ especiales
119
Si f( t) = e· at u(t), demostrar que ~[E '(t)] =·jw S: [f(t )] .
PROBLEMA 5.30
[Sugerencia: f'(t) = o(t)- ae·at u(t).]
Seaf(t) una función periódica con períodO T. Si la funciónf0 (t)
PROBLEMA 5.31
está definida como
_ { f(t)
~ (t ) -
·
O
pata ltl < T/2
'
·paralti>T/2,
demostrar que f(t) se puede expresar como
L
00
f(t) ~
f 0 (t- nT) = f 0.(t)
* Or(t),
n=-oo
L
00
donde Or (t)= '
o(t- nT).
n=-oo
Utilizando el resultado del problema 5.31 y el teorema de convolución,
demostrar que la transformada de Fourier de una función periódicaf(t) con período T,
y coeficientes complejos en' se puede expresar como
.
.
PROBLEMA 5.32
f(t) para ltl < t/2
donde F 0 (w)=S:[f0 (t)]
y
f0 (t)=
·{ O
para ltl > t/2.
(Sugerencia: utilizar los resultados de los problemas 5.15 y 2.50.]
PROBLEMA 5.33 Probar que j= [1/t] = -7Tj sgn w = 77j- 277ju(w).
[Sugerencia: aplicar la propiedad de simetría (4.79) al resultado (5.44) del problema 5.11.]
PROBLEMA 5.34
Del resultado del problema 5.33 deduCir que paran= 1, 2, · · ·, se tiene
S: [-1/t 2] = -jw7Tj sgn w = w77 sgn w,
S: [2/t 3 ] = - (jw) 2 77j sgn w = jw 2 77 sgn w,
s=[~] =:.. (-jwt-1 77jsgn w.
t"
(n-1)!
[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 4.24; esto es, S: [f '( t )] = jw F (w).]
PROBLEMA5~35
Demostrarque S:[tu(t)] =j77o'(w)-1/w 2 •
[Sugerencia:. utilizar el resultado del problema 5.24.]
Demostrar que j= [ 1t 1] = - 2/ w 2·•
(Sugerencia: utilizar ltl= 2t u(t)- t, la ecuación (5.104), y el resÚltado del problema 5.35.]
PROBLEMA 5.36
Hallarla solución particular de la ecuación x"(t) + 3x'(t) + 2x(t) =
u (t), utilizando la transformada de Fourier.
'
[Sugerencia: tomar la transformada de Fourier de ambos miembros de la ecuación. Hallar
X(w) = j= [x(t)] y tomar la transformada inversa de Fourier.]
PROBLEMA 5.37
Análisis de Fourier
120
Respuesta: 1(1- 2e~ 1 + e- 21 ) u(t).
2
Hallar la solución particular a la ecuación x"(t) + 3x'(t) + 2x(t) =
PROBLEMA 5.38
35(t), utilizando la transformada de Fourier.
Respuesta: 3(e- 1 - e-21) u(t).
Sea F(w) la transformada de Fourier de f(t) y fk(t) la función
PROBLEMA 5.39
definida por
Demostrar que
fk(t) = -1
1T
J""
sen-kx
f(t- x) · dx.
X
-oo
En el resultado del problema 5.39, demostrar que
PROBLEMA 5.40
o(t) = lim sen kt .
t
k->oo
[Sugerencia: observar que lim f k ( t) = f ( t ). ]
k->oo
Hallar la transformada de Fourier del escalón unitario desplazado
PROBLEMA 5.41
u(t-t0 ).
-jWI
0
e
Respuesta: rro(w) + - - -
jw
Utilizar la relación (5.85) para deducir el teorema de convolución
PROBLEMA 5.42
en el tiempo
Utilizar la relación (5.85) para demostrar que
PROBLEMA 5.43
PROBLEMA 5.44 La transformada de Fourier F(w), de la función generalizadaf(t)
se puede definir mediante
J
oo f(t) cp(t) dt=
.
1
217
-00
J""
F(w)<l>(-w) dw,
-00
donde cf>(t) es una función de prueb~, y S: [cf>(t)] = ll>(w). Utilizando la ecuación deParseval
J""
-oo
f(t) g (t) dt =
.
2~ l""
[4.133)
F (w) G(-w) dw,
-oo
demostrar que la transformada de Fourier de la función impulso unitario es
S:[o(t)] =·t.
[Sugerencia:
.·
J
oo
-00
-J
o(t)cf>(t)dt == cf>(O) == 1
2rr
00
-00
<l>(w)dw =1.
2rr
J""
-00
.<1>(-w)dw.]
6
CAPITULO
APLICACIONES A
SISTEMAS LINEALES
6.1
SISTEMAS LINEALES
f¡ (t)
Sistema lineal
Figura 6.1
6.2
FUNCIONES OPERACIONALES DEL SISTEMA
121
Entrada y salida de un
sistema lineal
122
PROBLEMA 6.1
Análisis de Fourier
Obtener la expresión operacional para la respuesta de la corriente
i(t), al voltaje .v(t), del circuito que se muestra en la figura 6.2(a).
V (t)
So 1uci ón:
la fuente· es el voltaje aplicado v(t), y la respuesta es la corriente i(t), como
~e muestra en la figura 6.2(b ). La ecuación diferencial que relaciona i (t) y v(t) se puede
obtener utilizando la ley de Kirchhoff, así:
(a)
R i (t) + L di (t) + !.._
dt
e
V (t)
RLC
i (t)
lt
(6.8)
i (t) dt = v(t).
-oo
Diferenciando ambos miembros, se obtiene
circuito
2
L d i (t) + R di (t) + !.._ i (t) = dv(t),
de
dt
e
dt
(b)
Figura 6.2
(a) El circuito del problema
6.1. (b) Sistema del circuito
de la figura 6.2 (a).
(6.9)
donde el símbolo L representa la inductancia y no al operador L.
Utilizando el operador p = d/dt, la ecuación (6.9) se puede expresar como
( Lp 2 + Rp +
~) i (t) = pv(t).
(6.10)
Por tanto,
(6.11)
i (t) =
p
v(t) = H (p) v(t),
.
. 2
1
Lp + Rp + ~
e
donde
--.---·-_.1_ _-.-- = _1_ = y (p).
(
R+Lp+__!_)
Op
Z(p)
.
123
Aplicaciones a sistemas lineales
Posición de equilibrio
de la masa
:----..,.x(t)
Considerar el sistema mecánico simple que se muestra en la figura ·
6.3(a). Obtener la expresión operacional de x(t), que representa el desplazamiento de
una masa m desde su posición de equilibrio.
Solución:
la fuente es la fuerza aplicadaf(t), y la respuesta es el desplazamiento x(t)
de la masa m desde su posición de equilibrio [figura 6.3(b)].
Las fuerzas-que actúan sobre la masa son las siguientes:
(1) la fuerza aplicadaf(t);
(2) la reacción por inercia (-mál x/d2 t);
(3) la fuerza de amortiguamiento (resistencia por fricción)(- kd dx/dt), y
(4) la fuerza restauradora elástica(- k ;e).
En los numerales (3) y (4), kd y ks son el coeficiente dinámico de fricción y la constante
del resorte, respectivamente.
Aplicando el principio de d'Alembert, se tiene
d 2 x (t)
dx (t)
m - -2 -+ kd - - + ksx(t) = f(t).
dt
.
dt
m
(a)
f(t)
Figura 6.3,
Utilizando operadores, la ecuación (6.12) se convierte en
(mp 2 + kdp + ks)x(t) = f(t).
(6.13)
Poi: tanto,
x(t)=
dondeH(p)
·
mp + kdp + ks
f(t)=H(p)f(t),
(6.14)
=ll(mp + kdp + ks).
2
6.3
Solución:
1
2
RESPUESTA A FUNCIONES EXPONENCIALES
DE ENTRADA- FUNCIONES PROPIAS Y
FUNCIONES DEL SISTEMA
sea[0 (t)larespuestaa
e¡wt
Entonces,
L {eiWtj = f;,(t).
(~;16)
Puesto que el sistema es invariante, entonces por (6.7), se tiene
L {eiW(t+ tolj = f(t +lo).
(6.17)
L {eiW(t+ t 0 )j = L {eiWt 0 eiWt¡ = eiWt 0 • L leiWt!.
(6.18)
Pero según (6.6), se tiene
De donde,
(6.19)
Haciendo t =O, se obtiene
{6,40)
x ( t)
(b)
(6.12)
.
Sistema
mecánico
(a) El sistema mecánico del
problema 6.2.
(b) Representación del sistema
mecánico de la figura 6.3(a).
124
Análisis de Fourier
Como t 0 es arbitrario, se cambia t 0 por t y se expresa la ecuación (6.20} como
lo(t) = lo(O) eiWt =k eiWt,
Es decir, la salida es proporcional a la entrada, siendo k= { 0 (0) la constante de
proporcionalidad. En general, k es compleja y depende de w.
Otra forma de solución: supóngase que la excitación en la ecuación (63}, es la
función[¡(t) = e¡w 1 ; entonces
(6.21)
A (p) 10 (t) = B (p) e¡Wt,
donde [ 0 (t) es la respuesta del sistema. Ahora bien;
B(p) = bmpm + bm-lPm-1 +• • •+ b¡p + bo,
B (p) eiWt = B (jw) eiWt
dado que
pm eJWt = dm (eiWt) = (jw)m eJWt,
dtm
Por tanto, la respuesta[0 (t) está definida por la ecuación diferencial lineal
(6.22)
A(p) 10 (t) = B(jw) e¡Wt.
La función excitadora de la ecuación (6 .22} es B Uw) eiw 1, una función exponencial,
y según la teoría de las ecuaciones diferenciales, se puede suponer que la respuesta[0 (t)
también es exponencial. De donde, si 10 (t) = k 1 e¡wt, entonces
A(p)l0 (t) =A(p)[k 1 eiWtl =k1 A(p)[eiWt] =k 1 A(jw)eJWt =A(iw)l0 (t). (6.23)
Sustituyendo (6.23) en la ecuación (6.22}, se obtiene:
(6.24)
A (jw) 10 (t) = B (jw) eiWt,
Por tanto, si A (jw) -::/= O, entonces
\
10 (t) = B (jw) f!Wt = H (jw) eiWt.
· A(jw)
(6.25)
La figura 6.4 muestra un diagrama que ilustra la relación entre la entrada y la salida,
Entrada
H (jw)
t-sa_li_da-• dada por (6.25).
f¡ (t)
La entrailaf; (t) = e 1 Wt
la salida
Figura 6.4
Y
f 0 ( 1) = H (jW) e i wt •.
Función del sistema.
PROBLEMA 6.4
Hallar la respuesta del sistema especificado por H(jw), a una
constante K.
Solución:
según la ecuación (6.26} y por la linealidad del sistema, se tiene
L IKI =K H(O),
donde H(O) ~ H(jw)lw=o'
(6.28)
Aplicaciones a sistemas lineales
125
/
Si la función de entrada de un sistema lineal especificado por H(jw)
es una función periódica, con período T, hallar la respuesta del sistema.
PROBLEMA 6.5
Solución:
puesto que la función de entrada/¡(t) es periódica, entonces
L
00
fj (t) =
(6.29)
en einWot,
n=-oo
donde
en = -1
T
JT/2 (t)
f¡
.
e-jnWot dt.
-T !2
(6.30)
.
De la ecuación (6.26) se sigue que
fon (t) = H (jnwo) en ejnWot
(6.31)
es la salida en respuesta a la componente de entrada
fin (t) = én ejnWot.
(6.32)
Como el sistema es lineal, su respuesta totala/¡(t) es la suma de las componentesf0 n(t) ..
De este modo
00
(6.33)
n=-oo
6.4
RESPUESTAS SENUSOIDALES EN ESTADO
ESTACIONARIO
So 1ució n:
supóngase que la respuesta en estado estacionario del sistema a la entrada
cos wt es re( t), y que la respuesta en estado estacionario a sen wt es rsCt); es decir
L leos wtl = rc(t),
(6.34)
L l sen wtl = r s (t).
(6.35)
De la propiedad de linealidad ( 6.6) se sigue que
L leos wt + j sen wtl = re (t) + j r s (t).
(6.36)
Pero como cos wt + j sen wt = eiw 1,
(6.37)
Según (6.26) se sigue que
(6.38)
Análisis de Fourier
126
Puesto que rc(t) yr/t) son funciotl.es reales de t, se !iene
. re (t) ~ Re [ff (jcu) eiCUt],
(6.39)
r s (t) = /in [H (jcu) eiCU t].
(6.40)
L leos cut! = Re [H (jcu) eiCUt],
(6.41)
L lsencut! = lm [H(jcu)eiCUt].
(6.42)
Por consiguiente,
Solución:
se procede como se hizo en el problema 6.6. Sea
L 1vm cos (cut+ {3)1 = Z'e (t),
(6.43)
L lvm sen (cut+ {3)1 = rs(t).
(6.44).
Entonces,
L 1vm [cos(cut ;1- {3) + j sen (cut+ ¡3)]1 =L h;m e_i(úJt+ ~ >1
= L lvm ei~
eiCUtl.
(6.45)
Sea v,;, e i 13 = V~; entonces, de la ecuación (6.26), se tiene
L lvm eiCUtl = vm L leiCUtl =VmH(jcu) ejCUt.
(6.46)
Por tanto,
Z' e
(t) + j l's (t) = Vm H (j~) ejCUt.
(6.47)
Puesto que V m H(jcu) eiCUt = vm\H(icu)\ ej(CUt+ ~+e>,
i'e(t) =Re [Vm H(jcu)eiCUt] = vm\H(icu)\ tos (cut+ f3 +e),
(6.48)
r(t) = lm [Vm H (jcu)elCUt] = vm\H(icu)\ sen (cut+. {3 +e).
(6.49)
L lvm cos (cut+ {3)1 = vm\H(jcu)\ cos (~t + {3 +e),
(6.50)
L 1V m sen (cut + {3)1 = V m \H (jcu)\ sen (c,;t + f3 + e).
(6. 51)
De este modo,
Aplicaciones asistemas lineales
127
. PR9BLEMA 6.8
Hallar la respuesta/0 (t) de un sistema liileal cuando la entradafi(t)
es periódica con período T, y está expresada en serie de Fourier por
00
f; (t) = Co +
L
.
en cos (núJot + cf>n),
·
2rr
úJo = -;¡·
(6.52)
n= 1
Solución:
del principio de superposición y de los resultados de los problemas 6.4 y
6.7, se sigue que
f 0 (t) = L !f; (t)l
b
= L { Co +
Cn cos (núJ 0 t + cf>n)}
00
L L l~n
= L !Col+
COS (núJ 0 t + cf>n)l
n=l
L
00
= CoH (O) +
CniH (jnúJo)l cos [núJot + cf>n + e (núJ~)]..
(6.53)
n= 1
6.5
APLICACIONES A CIRCUITOS ELECTRICOS
R
PROBLEMA 6.9
Una fuente de voltaje v(t) = vm cos (wt + {3) se aplica al circuito en
serie RLC, que se muestra-en la figura 6.5. Hallar la corriente de respuesta i5 (i) en estado
estacionario.
V (t)
según el resultado del prqblema 6.1, la respuesta de la corriente i(t) está
relacionada con la fuente de voltaje por
1
i (t) = H (p) v(t) = - - [ v(t)1,
(6.54)
Solución:
dondeH(p)
se tiene
=1/Z (p) y Z(p) =R + Lp +
¿.
Z(p)
Figura 6.5
Utilizando ahora la not¡.tción fasorial,
v(t) = vm cos (úJt + {3) =Re [Vm eiúJt],
(6.55)
donde V m = V m ei ~.
Entonces según (6.50), la respuesta senusoidal en estado estacionari() isCt), está dada por
1
i 8 (t) =Re [ --.-Vm efúJt].
(júJ)
'
(6.56)
z
Ahora bien,
1 )
Z(júJ) = R + júJL
+ -1- = R + j ( úJL- _.
júJC
,
úJC
=
iZ(júJ)I e 16(úJ)= IZ_(júJ)I je(úJ),
donde
8(úJ) =tan-'
e
(6.57)
.( 1)
úJL-R úJC
.
El circuit.o en serie RLC del
problema 6.9.
Análisis de Fóurier
128
Entonces,
i s (t)
lZ (jw)"
Vm l cos [wt + {3- 61(w)].
(6.58)
v(t)
-
V
r-t
o
TT
2TT
-V
Una fuente de voltaje v(t), cuya forma es una ·onda cuadrada, como
se muestra en la figura 6.6(a), se aplica al circuito en serie RL que se muestra en la
figura 6.6(b ). Hallar la corriente de respuesta iit), en estado estacionario.
PROBLEMA 6.10
So 1u ció n:
la expansión en serie de Fourier de la onda cuadrada está dada P,Or (2.38).
Con w 0 = 21T/T = 1, se tiene
(a)
v(t)~ 4rrV [cost-~cos3t+~cosSt-···].
3
S
R=lÜ
V (t)
~
L=lh
La impedancia del circuito RL (figura 6.6(b)) a cualquier frecuencia angular w está
dada por.
Z(jw) = R + jwL.
Por consiguiente, para el armónico enésimo la impedancia es:
Z (jnw 0 ) = R + jnw0 L.
(b)
Figura 6.6
(a) Forma de onda de la fuente
(6.62)
Para este problema, R = 1 n y L = 1 h; por consiguiente,
de voltaje. (b) El circuito en
serie RL del problema 6.10.
donde
\Z(jn)j = ~
e(n) = tan- 1 n.
Según el principio de superposición, se sigue que la respuesta en estado estacionario i5 (t),
está dada por
.
1 s (t)
= 4V
1T
+-
ll
cos (t- tan- 1 1) -
1
-
cos (St- tan- S) + · ·
-
y2
sj26
PROBLEMA 6.11
l
----=
cos (3t - tan- 1 3)
3y10
1
J.
]
.
(6.63)
El voltaje de entrada al circuito RC, de dos fuente::;, que se muestra
en la figura 6.7, es la serie fmita de Fourier
v 1 (t) = 100 cos t + 10 cos 3t + cos St.
Hallar la respuesta resultante v0 s<t) en estado estacionario.
129
Aplicaciones a sistemas lineales
puesto que la fu~nte es
Solución:
V¡ (t) = R i (t) +
~ l~ i (t) dt·= ( R + p~). i(t),
(6.64)
f
la respuesta es
V¡ (t)
V 0 (t)
lt
= !_
C _00
i (t)' dt = __!:__ i (t).
(6.65)
pC.
•
1
V 0 (t)
=__!!E_ =
R + _1_
pC
1
1 + pRC
Por copsiguiente, la respuesta v0 (t) y la entrada v;(t) están relacionados por
1
V 0 (t) = ~ v 1(t) = H(p) V;(t),
(6.66)
1
R+pC
donde
1
H(p) = __L =
1
R + __!:__ 1 + pRC
pC
Ahora la razón de fasores V0 /V; a cualquier frecuencia angular w es
v·
1
1
V1
1 + jwRC
.Jl + (wRC)
~= H(jw) = - - -
j- tan- 1 wRC.
(6.67)
2
Puesto que w 0 = 1, la razón de fasores del armónico enésimo es
Por tanto, según el principio de superposición se sigue que la respuesta en estado
estacionario, voit), está dada por
100
vos (t) = --;:::===::::::::::: cos (t- tan-
.
)1 + R C
2
1
RC) +
2
1
·.
10
)1 + 9R 2 C 2
1
cos (3t- tan- 3RC)
.
cos .(St- tan- 1 SRC).
+
!
l
1
~ Te
Figura 6.7
Dividiendo el resultado (6.65) por (6.64), se obtiene
V; (t)
..
R
AIV\¡
)1 + 25R 2 C 2
6.5 a Cálculo de potencia en estado estacionario
(6.68)
Vo(t)
1
El circuito RC de dos fuentes
del problema 6.11.
Análisis de Fourier
130
i (t)
-
r----------,
Network =
b
Circuito
b.--L....-____.....
Figura 6.8
El circuito del problema 6.12.
sustituyendo (6.69) y (6.70) en (6.71), se tiene
Solución:
+ 10
LV l
oo
JT/2
COS
n -
n=t
(nCú 0 t + f3n ) dt
T -T/2
(6.73)
Utilizando las relaciones de ortogonalidad de la sección 13, se obtiene
Por tanto, (6.73) se puede expresar como
1
. pab = Vol o +
...
2
L
00
n=- 1
Denotartdo la raíz cuadrática media del armónico enésimo del voltaje por Veff,n y
la del ~rmónico enésimo de la corriente por Ieff,n• se tiene
(6.74)
Aplicaciones a sistemas lineales
131
Sea
(6.7S)
Entonces () n denota la diferencia de fase entre los annónicos enésimos del voltaje y de la
corriente. Introduciendo (6.74) y (6.75) en (6.72), se obtiene
Pab = Volo +
f:
Vett,n leff,n cosen
n= 1
00
= Po + p 1 + p 2 + ' ' ' =
L pn '
(6. 76)
n=O
donde Pn es la potencia promedio del annónico en~simo.
Determinar la poteneia promedio entregada al circuito de un puerto,
de la figura 6.8, si se sabe que
Vab(t) = 10 + 2 COS (t + 4S 0 ) + COS (2t + 4S 0 ) + COS (3t- 60°),
PROBLEMA 6.13
i (t) = S + COS t + 2 cos (3t + 7S 0 ),
So 1u ció n:
para V¡,/¡, () ¡ y P¡, siendo i = O, 1, 2, 3, se tiene
V o = 10,
fo = S,
P 0 = 50,
P, = !._2 cos 4S 0 = 0.707,
V,= 2,
2
p2 ==O,
p3 =
!._ 2 COS (-13S 0 ) = -0,707.
2
.
Por tanto, la potencia promedio entregada al circuito es
Pab = P 0 + P, + P 2 + P 3 =SO+ 0.707 +O- 0.707 =SO W.
6.6
APLICACIONES A SISTEMAS MECANICOS
Considerar el sistema mecánico ilustrado en la figura 6:9 que consiste
de un resorte, una masa y un amortiguador. Si el sistema se perturba por una fuerza
f(t) = / 0 cos (wt+ {3), hallar el desplazamiento x /t), de la respuesta en estado estacionario.
PROBLEMA 6.14
Solución:
la respuesta x 5 (t) y la función excitadoráf(t) están relacionadas por la
siguiente ecuación diferencial:.
2
d x(t)
dx(t)
() = f()
m
-+ B - + k xt
t,
dt>
dt
(6.77)
f(t)
Figura 6.9
El sistema mecánico del
problema 6.14.
Análisis de Fourier
132
donde m, By k representan la masa, el coeficiente de amortiguamiento y la constante del
resorte, respectiyamente. La ecuación (6.77) se puede expresar en forma operacional como
x(t)=
1
mp + Bp +k
l(t)=H(p)l(t),
·
H(p) =
1
2
(6.78)
donde
.
(mp 2 + Bp +k)
Dado q~e se pide la respuesta en estado estacionario, mediante notación fasorial, se tiene
l(t) =locos (wt + {3) =Re [F 0 eiWt],
donde F 0 = 10 eif3.
Entonces, según (6.50), se tiene que la respuesta en estado estacionario, xit), está
x s (t) = Re [F 0 H (jw) ~¡w t].
dada por
(6. 79)
Ahora bien;
H(jw) =
1
m (jw) 2 + B (jw) + k
=
1
k- mw 2 + jwB
= IH(jw)i jO(w)'
donde·
O(w)=-tan_ 1 · ( wB
k- mw 2
).
Entonces,
~
.
Q
w t + tJ - tan
t
f(t)
(a)
-1
w B .)
•
k- mw 2
(6.80)
PROBLEMA 6.15 Analizar el movimiento en estado estacionario del sistema que se
muestra en la figura 6.1 O(a), si la fuerza perturbadoraf(t) es la que se muestra en la
figura 6.1 O(b ).
Solución: .l,a respuestaxlt), el desplazamiento de la masa m desde su posición de
equilibrio, y la fuerza perturbadora están relacionádas por
d 2 x(t)
m --+ k x(t) = l(t),
dt 2
.
(6.81)
ecuación que se puede. expresar también como:
x(t)=
1
mp 2 +k
l(t)=H(p)l(t),
·
(6.82)
donde
H (p) =
(b)
Figura 6.10
(a) El sistema mecánico del
problema 6.15. (b) La fuerza
perturbadora del problema
6.15.
1
(mp 2 +k)
La expansión en serie de Fourier def(t), se obtiene del resultado delproblema 2.15,
esto es,
donde w 0 =2rr/T.
Aplicaciones a sistemas lineales
133
Puesto que interesa sólo el movimiento forzado o movimiento en estado estacionario
del sistema, se procede a utilizar la notación fasorial. Entonces, se tiene.
H (jw) =
1
m(jw) 2 +k
1
IH(jw)l ¡e(w)
y
H (jnw 0 ) =
1
[k - m (nw 0 ) 2 ]
Dado que el ángulo de fase en retraso O(w) es cera, entonces, por (6.51), se obtiene
Xs (t) =
_
~ [sen W 0 t + ~ sen 2w 0 t + ~ sen 3w 0 t + .. ·] .
TT
k - mw~
6.7
Solución:
2 k - 4mw~
3 k - 9m~~
(6.83)
RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL A UN
IMPULSO UNITARIO-FUNCION DEL SISTEMA
según la propiedad (2.68) de la funéión o,[¡(t) se puede expresar como
f; (t) =
1:
f; (T) o(t- T) dT.
(6.88)
Entonces, según la linealidad del operador L, dada por (6.6) y en razón de la ecuación
(6,85), se tiene
! 0 (t) = L lf;(t)l =
1:
f¡(T) L !o(t- T)! dT =
1:
f¡ (T) h(t- T) dT.
(6.89)
. Según la definición (4.105.) y la propiedad (4.108) de la convolución, la ecuación
(6.89) se puede expresar como
f 0 (t) = f; (t) * h (t) = h(t) * f;{t)
=
1:
f 1 (t- T) h(T) dT.
Análisis de Fourier.
134
6.7a Función del sistema
Sol uci6n:
por (6.86), se tiene
fo (t) = l¡ (t)
* h (t).
Por consiguiente, aplicando el teorema de convolución en el tiempo, dado por (4.122),
se obtiene
F o (ú>) = F 1 (ú>) H (ú>).
Aplicando la fórmula (4".16), de la transformada inversa de Fourier, se obtien-e
1
00
·
f 0 •(t) = CI
J - 1 [ F 0 (úJ)) = 1
- ·
F 1 (ú>) H(ú>) ei(út
dúJ.
277 -oo
PROBLEMA 6.18 Verificar que la función del sisteníaH(w) definida por (6.90), es
exactamente la misma función del sistema H(jw) definida por (6.26).
-Solución:
si t 1 (t) = eiúJot, entonces de (5.21), se tiene
F¡(úJ) = ~ [i 1 (t)] = ~ [eiúJot] = 217 O(úJ- ú> 0 ).
[5.21]
F;(ú>) H(ú>) = 2 17 o(ú>- ú> 0 ) H(ú>) = 277 H(ú> 0 ) O(úJ- ú> 0 ),
(6.94)
, De donde,
en razón de la propiedad (2.74), de la función[). Entonces, por (6.93), se tiene
= H(ú> 0 )
1:
O(úJ- úJ 0 ) eiúJt
= H (ú>o) eiúJot.
d~
(6.95)
Aplicaciones a ¡;istemas lineales
135
Dado que (6.95) se cumple para cualquier valor de w 0 , se puede cambiar Wo por w y se
obtiene
(6.96)
Por (6.26), se tiene
f 0 (t) = L leiWt¡ = H(jw) eiWt.
[6.26]
Comparando (6.96) y (6.26), se concluye que
H (w) = H (jw).
R
'VV\
le f
r
V¡ (l)
Hallar la respuesta al impulso unitario, del circuito RC que se muestra
PROBLEMA 6.19
en la figura 6.ll(a).
l
(a)
Solución: la función del sistemaH(jw), obtenida en el resultado (6~67) del problema
6.11, está dada por
I
v 0 (t)
i
h (t)
1
H (jw) =
jwC
1
R+-jwC
1
1 + jwRC
1
RC
(jw + __!__)
.
,
RC
(6.99)
o
Por consiguiente, según el resultado del problema 4.11, se tiene
~
h (t) =S: -1 [H (jw)l = _1 S:-1··
RC
.
1
1
J=
]W+-
_1_ e-tiRe u (t).
RC
Figura 6.11
RC
La respuesta h(t) al impulso unitario está trazada en la figura 6.11(b).
/
Una fuente de voltaje v¡(t) =e-tu (t) se aplica al circuito RC de la
figura 6.ll(a); hallar la respuesta, el voltaje v0 (t), siR= 1/2il y C = 1 f.
PROBLEMA 6.20
(b)
(6.100)
(a) El circuito RC del
problema 6.19. (b) La
respuesta al impulso unitario.
136
Solución:
Análisis de Fourier
sustituyendoR = 1/2il y C= 1 f en (6.100) se obtiene
h (t) = 2 e- 2 1 u (t).
(6.101)
Por tanto, según(6.86), se tiene
V0
(t) = V¡ (t)
=
* h (t)
f~ v;( 'T) h (t - 'T) d'T
= f~ e-'t u(T) 2e- 2 <t-'t) u(t- T) dT
=2e- 21 J~ e'tu('T)u(t-'T)d'T.
Dado que
~ para O < 'T < t,
para T <O, 'T > t
u(T)u(t-T)•
se tiene
(2 ·-"
V 0 (t) •
1' d'r)
e"
= 2 e- 2 1 (e 1 -
u(t)
1) u (t)
= 2 (e- 1 - e- 21) u(t).
(6.102)
la expresión u (t) ~n el resultado (6.102) indica que no hay respuesta debida a la fuente,
antes de que ésta se aplique.
PROBLEMA 6.21 Hallar la respuesta del circuito RC de la figura 6.ll(a), al escalón
unitario u (t), por convolución.
Solución:
por(6.100),setiene
.
.1
h (t) = - e-ti Re u(t).
RC
Por tanto, según (6.86), se obtiene
V0 (t) = V¡(t)
=
=
=
* h(t)
J~ V¡ (T) h (t- 'T) dJ
1
u(T)-e:-<t-1:}/RCu(t-T)dT
-oo
RC
··
l
oo
[R~
lt
e-<t-.1:}/RC dT] u(t)
=~~ 8-t!Rc
Lt
e't!RC dT)u(t)
= (1- e-tiRe) u(t).
(6: 103)
Aplicaciones a sistemas lineales·
137
6.7b Sistema causal
Demostrar que la respuesta/0 (t) de un sistell1a lineal causal, a
cualquierfuente fi(t), e_stá dada pc;>r
·
PROBLEMA 6.22
fo (t) =
'=
L
L"'
f¡ ('r) h (t- T) dT
. (6.106)
l¡(t-T)h(T)dT.
(6.107)
Solución:
de (6.104) y (6.105) se sigue que h(t), la respuesta al impulso unitario,
es causal; es decir,
h (t) = O para t < O.
(6.108)
h(T) =O paraT <O
(6.109)
Esto significa que
y
h (t- T) = O para t....: 'L < O ó
- 'L > t.
(6. IlO)
Si se aplica (6.110), se tiene que el integrando en la ecuación (6.86) es cero en elinteiValo
a 1i = 00• De (6.86) se tiene, entonces,
1i = t
f 0 (t)=
=
L:
f¡(T)h(t-T)dT
1~ f 1 (T)h(t-;- 'L)dT,
Análogamente, si se aplica (6,109) se tiene que el integrando en (6.87) es cero en el
inteiValo 7: =- oo a z- = O. Por (6 .8 7) se tiene, entonces,
fo (t) =
1""
f; (t,- 'L) h (T) dT
-oo
=
.
1""
f 1 (t-T)h(T)dT.
o
PROBLEMA 6.23 Si la función de la fuente[¡(t) es causal, es decir, si la fuente[¡(t) se
aplica en t =O, demostrar que la respuestaf0 (t) del sistema lineal causal es
fo (t) =
it
f;(T) h(t- T) dT.
(6.111)
Análisis dé Fourier
138
Solución:
Si[¡(r) =O para'&< O, entonces el límite inferior de la integral que aparece
en la ecuación (6.106), se puede cambiar a cero, pues en el intervalo 7: =- oo a r =O,
el integrando es cero. De este modo,
f 0 (t) =
lt
f¡(T) h(t- T) dT =
-oo
f¡(T) h(t- T) dT.
O
6.8
Solución:
lt
RESPUESTA DE UN SISTEMA LINEAL A UN
ESCALON UNITARIO-INTEGRAL DE
SUPERPOSICION
puesto que [¡(t) = u(t) y f 0 (t) =a(t), se sigue de (6.87) que
a(t)=
1:
u(t-T)h(T)dT.
Dado que
0 para T > t
u(t- T) =
{
1 paraT < t,
se tiene
a(t)= f_~h(T)dT.
Haciendo t = oo, se obtiene
a(oo) = a(t)\ 1=00 =
1:
h(T) dT.
En realidad, esta integral se puede expresar como
a(oo) = f~ h(T) e-i 6Yr: dT\úJ=O = H(w)\úJ=O = H(O).
(6.116)
Aplicaciones a sistemas lineales
139
Puesto que h('¡;) =O para¡< O, la ecuación (6.113), para un sistema causal, se convierte en
a(t) =
PROBLEMA 6.25
Solución:
it
h(T) dT.
Utilizando (6.115), resolver de nuevo elproblema 6.21.
por(6.100),setiene
h (t) = _1_ e-tiRe u (t).
. RC
[6.100]
Sustituyendo ( 6.1 00) en (6.115), se obtiene
vo(t) = a(t) =
'lt
o
h(T) dT=
.
lt
- 1 e-'T:IRC dT
o RC
= (1- e-ti RG) U (t),
lo cual es exactamente el mismo resultado de (6.103).
Solución:
por (5.35), se tiene
1 [1 1 (t)] = 1 [u (t)] = 7T 8 (w) + ~­
J{U
Si ahora 1 [[0 (t)] =1 [a(t)] =A(w), entonces, por (6.92), se tiene
A (w) =
["a
(w) +
j:]
H (w)
1
= 7T 8 (w) H (w) + -;- H (w)
.
JW
1
= 1rH(O) 8(w) + - H(w),
jw.
en razón de (2.74), una propiedad de la función 6.
Otra forma de solución: puesto que según (6.113), se tiene
a(t) =
J~ h(T) dT,.
del resultado (5.55), del problema 5.12, se sigue que
1
A(w) =-;- H(w) + 1rH(O) 8(w).
JW
[5.35]
140
Análisis de Fourier
cualquier función de entrada[¡(t) se puede expresar en la forma
Solución:
=
f¡(- oo) +
1""
E¡ (T) u(t- T) dT
(6;119)
-00
puesto que
0 para t<T
u(t- T) =
{ 1
parat>T.
Entonces, por (6.28) y (6.112), se tiene
L lu(t)! = a(t) ~ L lu(t- T)! = a(t- T).
y
L IKI =K H (O)
~
De este modo,
[
0
(t)=Lif1 (t)I=Lif(..:.oo)l+
L:
=f(-oo)H(O)+
i¡(T)L!u(t-T)IdT
1:
f¡(T)a(t-T)dT.
Solución:
(6.121)
Figura 6.12
La función de entradaf¡(t),
del problema 6.27.
Como [¡(t) tiene una discontinuidad de valor [¡(O+) en t =O, se tiene, entonces, según el
resultado (2.94) del problema 2.28, que
t¡ (t) = f; (0+) [j (t) + ¡;+ (t),
(6.122)
donde[¡~ (t) = [¡' (t)u (t), es decir, la derivada de [¡(t), para t >O. Sustituyendo (6.122)
1:
en (6.121), se obtiene
f 0 (t) =
=
[f1 (0+) D(T) + f;(T)u(T)] a(t -T) dT
11 (0+)
ioo
o(T) a(t- T) dT +
-oo
=
11 (0+) a(t) +
lt
{oc t; (T) a(t- T) dT
JO+
E¡ (T) a(t- T) dT
0+
puesto que, a(t- ¡)=O, para¡> ten el sistema .causal.
141
Aplicaciones a sistemas lineales
PROBLEMA 6.29 Explicar de qué manera la integi-al de superposiCión (6.120), expresa
realmente la respuesta de un sistema, como una suma continua de las respuestas a las
componentes en escalón, de la función/¡(t).
Solución:
una función de entrada/¡(t) se puede aproximar por la suma de un gran
número de escalones infinitesimales, como se muestra en la figura 6.13. Un escalón
infinitesimal localizado en 1: se puede expresar como .
df 1 ('r)
-
-
dT
~ T u (t- T) = f[ ( T) ~ T u (t- T).
.
(6.123)
En la figura 6.13 se observa que /¡(t) se puede expresar como
L t; (T) ~T u(t- T).
Figura 6.13
t
f 1 (t) = f 1 (0+) u(t) +
.
lim
6'T:->0
.
(6.124)
La función de entrada.fi(t),
aproximada por la suma de
·
funciones escalones.
'T:=O
Puesto que la respuesta del sistema al escalón unitario u (t) es a (t), la respuesta debida a
un escalón infinitesimal (6.123) está dada por
. f[(T) ~T a(t- T).
De donde f 0 (t), la respuesta del sistema a la fuente /¡(t), estará expresada como la suma
continua de las respuestas a los componentes escalonados de /¡(t), es decir
(6.125)
lt
=f1 (0+)a(t)+
t¡(T)a(t-T)dT.
Ot
PROBLEMA 6.30
Resolver el problema 6.20 utilizando la integral de superposición,
v¡ (t)
dada en (6.120).
Solución:
respecto ala figura 6.14,hacer: v¡(t)= e -t u(t). De este modo, se tiene
v; (t) = - e-t para t > O.
a(t), la respuesta al escalón unitario, se obtiene del resultado (6.103) como
a(t) = (1- e- 2 t) u(t).
De donde, utilizando (6.120), se obtiene
V0
(t) ~ v 1 (0+) a(t) +
Jo+
"
- .
= C1- e- 2 t) u(t) +
= (1-
~- 2 t) u(t)-
Figura 6.14
v; (T) a(t- T) dT
(
- t
{
Jot
'
- e-'T: [1- e- 2 (t-'O u(t- T)} dT
[lt
e-'T: dT- e- 2 t
lt
= (1- e-2t) u (t) + (e-t- 1) u (t) + e- 2 t (e 1 = 2(e-t- e- 2 t) u(t),
lo cual es el resultado (6.102).
e'T:
d'-c] u(Q
1) u (t)
La fuente de voltaje del
problema 6.30.
Análisis de Fourier
142
6.9
PROBLEMA 6.31
TRANSMISION SIN DISTORSION
Supongase que la funciónH(jw) de un sisterpa lineal, está dada por
H (jw)
=K e-¡Wto,
(6.126)
donde K y t 0 son constantes positivas. Hallar la respuesta del sistema,f0 (t), a la
excitación, /¡(t).
Solución:
sea
Según (6.92), se tiene que F¡(iw) y F 0 (iw) están relacionadas por
F o (jw) = F; (jw) H (jw)
=.K F; (jw) e-iWto
(6.127)
De donde,
=
:rr 1"" [F; (jw) e-¡Wto] eiWt dw
-oo
=
!i_l""
2rr
F; (jw) ei w(t- to) dw.
-oo
En razón de que
f¡ (t)
[
0
(t) se puede expresar como
(6.128)
1 tl
1
1
1
1
1
1
1
1
1
..
la ecuación (6.128) muestra que la respuesta es una réplica retardada de 1~ función de
entrada, con la magnitud de la respuesta alterada por el factor constante K, lo cual
se ilustra en la figura 6.15.
1
1
1
1
1
r-- to --+1
Kf¡ (t- :t0 )
:
1
1
1
1
KA
1
1
---~--------~--1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Figura 6.15
La función de entrada del
problema 6.31 y su réplica
retardada.
PROBLEMA 6.32 Hallar h(t), la respuesta al impulso unitario de un sistema de
transmisión sin distorsión.
Aplicaciones a sistemas lineales
So 1u e i ó n :
143
según la deftnición de la función de un sistema, dada por (6.91 ), se tiene
h(t) =5- [H(jw)] =
1
2~
1:
H(jw) eiWt dw.
Sustituyendo ahoraH(jw), del sistema de transmisión sin distorsión, dada por (6.126),
en la anterior expresión, se obtiene
h(t) = _!_
2rr
Joo K ~:_¡Wto eiWt dw
-oo
= K12rr
Loo eiW(t-:-to>dw·
-oo
=K o(t- t 0 )
(6.130)
resultado que se obtiene mediante la identidad (5.6).
si v(x, t) es el voltaje en un punto distante x de la entrada, y en un tiempo
t, entonces para una entrada senusoidal de frecuencia w, el voltaje se puede expresar como
Solución:
v(x, t) = R.e [V m eiWt-Y<W>x],
(6.132)
donde Vm es la amplitud compleja del voltaje a la entrada y -y(w) es la constante de
propagación. ·
· Entonces, el voltaje de entrada está dado por v¡(t) = v(O, t), y el voltaje de salida por
v0 (t) = v(l, t) donde 1es la longitud de la línea de transmisión. De este modo, mediante
notación fasorial, se tiene
y
De donde, la función del sistema H(jw) para la línea de transmisión está dada por
H(íw) =
·V. e'-Y(w)l
m
= e-Y(w)l.
"
(6.133)
Vm
Si y (w) == .j(R + jw L) (G + jw C) = <X (w) + j {3 (w), entonces
H (jw) = e-Y(W)l = e-[cqw)t; 13 (W)]l
= e- ex (W)l e-¡ i3 (W)l
=
\H (jw)\ e i e<w>,
(6.134)
Análisis de Fourier
144
donde
[H(jw)] = e-CJ.(W)l,
e(w) = -{3(cv)l.
Según las condiciones para transmisión sin distorsión, dadas por (6.129), se concluye que
a(w) debe ser constante e independiente de w, y {3(w) debe ser una función lineal de w;
~~
\
Entonces, 'Y(w}se puede expresar como
y(w) = .j(R + jw L) (G + jw C)
=
=
1 (1 j~L) 1 j:C)
+
RG
(
+
<X(w) + j (3(w)
(6.135)
= K 1 + jK 2 w.
Es obvio que la ecuación (6.135) se cumple si
L
e
R
G
Entonces, la constante de propagación está dada por
y(w)
=V (1 i~LY
+
RG
=
)RG + jwL~ = a(w) + i f3Cw).
De donde,
<X(w) =
VRG = K (3(w) = wL, ~ = wL, ~ = w {Le= wK
11
V "R.
, Vi
.
2•
De este modo, cuando la condición (6.131) se cumple, se tiene la línea sin distorsión.
6.10 FILTROS IDEALES
Salida
Sistema
[
0
(t)
H(jw)
t
Espectro de entrada
F 1 (w)
. Figura 6.16
1
Espectro de salida
F 0 (w)
Ilustración de la relación (6.97).
PROBLEMA 6.34 Hallar h(t), l:! respuesta al impulso unitario, de un filtro ideal para
frecuencias bajas y comentar el resultado.
Aplicaciones a sistemas lineales
145
la figura 6.17(a) muestra las características de un filtro ideal para
frecuencias bajas. Según (6.91), la respuesta al impulso unitario,h(t), se obtiene por
Solución:
h (t) = j=-t [H (jw)]
=
loo
1 l(úe
2_
2rr
= -
2rr
H (jw) eJW t d W
-oo
ei W(t- tol dw
-w e
L
'
TT (t - t 0 ) 2j
-----:~e
jW(t-t 0 )
W e
1-w e
(6.137)
t0 )
.
El resultado (6.137) está dibujado en la figura 6.17(b ), de la cual se sacan las siguientes
conclusiones:
(1) La entrada aplicada es distorsionada por el sistema, debido al hecho de que el
filtro transmite sólo una limitada banda de frecuencias.
(2) El valor pico de la respuesta wcf7r es proporcional a la frecuencia de corte wc.
El ancho del pulso principal es 27r/wc; se puede hacer referencia a esta cantidad, como
la duración efectiva del pulso de salida, Td. Se observa que cuando wc- oo (es decir,·
cuando el f:tltro permite el paso de todas las frecuencias), Td- O, y el pico de la
respuesta- oo; en otros términos, la respuesta se. aproxirila a un impulso, tal como
debe ser.
(3) También se observa que la respuesta no es cero antes de t =O, es decir, antes
de que se aplique la entrada. Esta es la característica de un sistema físicamente no
realizable. Los filtros ideales no ·son físicamente realizables, y por consiguiente, no son
necesariamente sistemas causales.
h (t)
=
w e sen w e (t - to)
TT
We (t-
.\H(jw)\
1
o
--'W e
(a)
(b)
Figura 6.17
(a) Características de frecuencia d.e un filtro ideal para frecuencias bajas.
(b) La respuesta al impulso unitario de un filtro ideal para frecue11cias bajas.
PROBLEMA 6.35 (a) Evaluar la función seno-integral. (b) Hallar a(t), la respuesta al
escalón unitario de un f:tltro ideal para frecuencias bajas y comentar el resultado.
Solución:
(a)
dado que Sa(x) =sen x. es una función par, entonces
X
Si (~y) ;, ~Si (v).
Análisis de Fourier
146
Según la definición, cuando Y. = O, entonces
Si (O)= O.
·Dado que
roo sen dx 2 roo ~en dx
=
X
J-oo
X
X
) 0
= 1T'
X
se tiene
Si (oo) = 1!._
2
Si (-oo) = _1!_,
2
y
En la figura 6.18 se muestra una gráfica de Si(y).
Si(y)
a (t)
1.18 (rr/2)
rr/2
1
~
Pendiente = Wc
--------------------1T
-277
1T
277
y
o
Figura 6.19
Figura 6.18
La función seno-integral.
La respuesta al escalón
unitario de un filtro ideal
para frecuencias bajas.
(b) A partir de ( 6.113), a(t) la respuesta al escalón unitario, se puede obtener de
h(t),la respuesta al impulso unitario; es decir,
[6.113]
.h(1:) d1:
a(t) = [
=!:_l·i
.
1T
(6.138)
.
-oo
Cambiando'la variable wc(r- t 0 ) por~· en la integral (6.138), se obtiene
1
a(t) = -·
lwc
7 7 _00
<t- 10 ) sen x
1 io sen x
1
- - d x =-.-dx +X
TT-ooX
1
=-
77
ioo -sen- dx x +-1
"o
x
lwc
lwc
0
"o
<t-to> sen x
.
--dx
.
X
<t- to> sen x
·
--dx. (6.139)
x
Mediante la función seno-integral, la ecuación (6.139) se puede expresar como
(6.140)
En la figura 6.19 se muestra una gráfica de a(t), la respuesta al escalón unitario.
Aplicaciones a sistemas lineales
147
En el resultado anterior se observa lo siguiente:
(1) se observa nuevamente la distorsión debida a la banda limitada del filtro;
(2) se observa nuevamente que la respuesta no es cero' antes de t =O;
(3) utilizando Si(±oo) = ±rr/2, se observa que cuando wc----+ 00 ,
1 1
a(t) = - - -
2
2
1
1
2
2
=O para t < t
0
= - + - = 1 para t > t0 ,
i(l)
1
v;,( 1)
e
R
_l
y la respuesta se convierte en u(t- t 0 ), un escalón unitario retardado, tal como debe ser, Y
(4)
la entrada, un escalón unitario, tiene·un súbito ascenso mientras la respuesta
muestra un ascenso gradual.
_(o)
i (1)
JJ'h DC.
-2
o
-1
1
2
3
4
(b)
Figura 6.20
(a) El circuito del problema
6.36. (b) La forma de onda
de la corriente de entrada en
el problema 6.36.
6.11 PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
PROBLEMA 6.36
Hallar el voltaje de salida en estado estacionario, del circuito de la
figura 6.20(a), cuando la corriente de entrada tiene la forma de onda que se muestra en la
figura 6.20(b ). Hacer R = 1 Q y e= 1 f.
Respuesta:
! + ~[
vos (t ) =
.2
77
+
1
3
Lv1
v1 + 977
e
i ( 1)
R
L
1
vo (1)
l
1
sen ( 77 t - tan -1 77)
+ 772
(o)
sen (377t- tan- 1 377) + . . . ] .
2
i ( 1)
PROBLEMA 6.37 Calcular la potencia entregada al circuito del problema 6.36 y los
valores de lasraíces cuadráticas medias de i(t) y v0 (t).
Respuesta: P =0,2689 vatios, 1 = 0,707, y V= 0,519.
PROBLEMA 6.38 La corriente de entrada del c~rcuitoRLe de la figura 6.21(a), tiene
la forma de onda que se muestra en la figura 6.21(b ). La inductancia es L = 10 mh y el
voltaje de salida es una onda senusoidal de 300 hertz. Si el valor pico en el voltaje
de salida de las otras frecuencias, es menor que 1/20 del valor pico de la componente .de
300 hz, hallar los valores de e y de R .
Respuesta: C = 28.2 p.f,
R = 590 U.
(b)
Figura 6.21
(a) El circuito RLe del
problema 6.38. La forma de
onda de la corriente de entrada,
circuito de la figura 6.21 (a).
148
Análisis de Fourier
Analizar el movimiento en estado estacionario, del sistema mecánico
que se muestra en la figura 6.10, si la fuerza perturbadoraf(t) es una onda sinusoide
rectificada,[(t) = 1A sen wo t 1.
PROBLEMA 6.39
Respuesta:. xs (t) = 2A- 4.4
krr
7T
l.!
cos 2wo t + __!_ cos 4wot + .. ·].
3 (k - mw~)
15 (k _ 4 mw~)
Cuando el pulso rectangular [¡(t) = u(t)- u (t- 1) se aplica a cierto
sist~ma lineal, la respuesta esf0 (t) = f [u (t- 2) -u (t- 4)]. Hallar: (a) la función del
sistemaH(jw), y (b) la respuesta al impulso unitario, h(t) ..
PROBLEMA 6.40
R
Hallar la corriente del circuito RL, figura 6.22, debida a un impulso
PROBLEMA 6.41
unitario
Respuesta: h(t) = l
e-CR/L) 1 u(t).
L
Figura 6.22
El circuito RL del problema
6.41.
Una fuente de voltaje v¡(t) = 2e- tu (t), se aplica al circuito RL de la·
figura 6.22. Hallar la respuesta i (t), donde R = 2!'2 y L = 1 h.
PROBLEMA 6.42
Respuesta: 2(e- 1 - e-2t) u(t).
La respuesta al impulso unitario de un sistema lineal es e-t cos tu (t).
Hallar la respuesta debida al escalón unitario u (t), por convolución.
PROBLEMA 6.43
Respuesta: l [e-¡ (sen t- cos t) + 1] u (t ).
2
Si la respuesta al impulso unitario de un sistema lineal es h(t) =
t e-tu (t), y la entrada es [¡(t) = e -t u (t), hallar el espectro de frecue11.cia de la salida.
PROBLEMA 6.44
Respuesta: 1/(1 + jwt·
Demostrar que si la función de entrada a un sistema lineal es
diferenciada, entonces la respuesta también es diferenciada.
[Sugerencia: demostrar que [¡' (t) * h(t) = [[¡(t) * h(t)]' =¡¿ (t).]
PROBLEMA 6.45
PROBLEMA 6.46
Demostrar que si
J ih
oo
-oc
(t)! dt < oo,
donde h(t) es la respuesta
al impulso unitario de un sistema lineal, entonces la respuesta del sistema a cualquier
entrada acotada también es acotada.
[Sugerencia: utilizar 1[0 (t) 1= 1[¡(t) * h(t) 1.]
PROBLEMA 6.47 SiH(w) =R(w) + j X(w) es la función del sistema, de un sistema
lineal, demostrar que la respuesta del sistema a la entrada [¡(t) = cos w 0 t u(t), se
puede expresar como
10 (t) = R (w) cos w 0 t + 1 loo w X (w) cos wt dw
7T
úJ2 - úJ~
Jo
21oc
=- X ( úla ) senwat+_
7T
o
[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 5.28.],
úJ R (w)
úJ2 -
úJ~
•
senwtdw.
Aplicaciones a sistemas lineales
PROBLEMA 6.48
149
Hallar h(t), la respuesta al impulso unitario d~ un sistema lineal cuya ·
función es
para
úJ
>O
para
úJ
<O.
[Sugerencia: observar que H(w) = cos 0 0 - j sen 0 0 sgn w, y utilizar el resultado del
problema 5.33.]
Respuesta: h(t) = cos 80 o(t) + sen ea .
7Tt
PROBLEMA 6.49 El sistema del problema 6.48 se denomina defasador. Demostrar que
la respuesta del sistema del problema 6.48 a cos wct, es cos (wct-0 0 ).
PROBLEMA 6.50 Demostrar que si la señal de entrada a un sistema lineal, cuya
función H(Íw) está definida por
.
- j
H ( júJ) = - j sgn úJ =
{
para
ú. >O
para
úJ
.
+J
<O,
es una función real del tiempo, entonces la salida de este sistema también es una función
real del tiempo.
[Sugerencia: utilizar el problema 4.7.]
PROBLEMA 6.51 Hallar la salida rñ(t) si 1& entrada m(t) es (a) cos wct, y (b)
(1/1 + t 2 ), para el sistema del problema 6.50, que es un defasador de -rr/2 (ó- 90°)
dado que la función del sistema se puede expresar como
para úJ >O
para.w <O.
Respuesta: (a) sen úJ e t,
(b) t/ (1 +. (2 ).
PROBLEMA 6.52 · Sea un sistema formado pór la conexión en cascada de dos defasadores
idénticos, como el defasador del problema 6.51. Demostrar que la salida de este sistema
es- m(t) cuando la entrada es m(t).
PROBLEMA 6.53
La entrada de un filtro ideal para frecuencias bajas, cuya función es
.
H(júJ) =
-¡Wt 0
{
para lúJI < úJc
e
. o
para lúJI > úJc,
es un tren de impulsos
f; (t) =TE( t) or(t) = T E(t)
L:
o(t- nT)
n=-.x
cuya envolvente f(t) tiene un espectro de banda limitada, IF(w) 1=O para lw 1> wc.
Demostrar que si T< rrlwc, entonces la respuesta del ftltro es fo(t)= f(t- t 0 ):
Hallar h(t), la respuesta al impulso unitario del filtro ideal para
frecuencias altas, cuya función H(jw) es
PROBLEMA 6.54
150
Análisis de Fourier
para \w\ < wc
H(jw) = {
0-·cvt
e 1
o
para \w\ > wc.
[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 6.34, y observar que H (jw) = e-¡cvto- Hz(jw),
donde H ¡ ( jw) es la función del sistema de un ftltro ideal para frecuencias bajas.
Respuesta: h(t) = o(t- to)- wc sen Wc (t- to).
77
wc(t- to) ,
Hallar a(t), la respuesta al escalón unitario de un ftltro ideal para
PROBLEMA 6.55
frecuencias altas.
[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 6.35.]
Respuesta: a ( t) = u (t- t0 )
PROBLEMA 6.56
-{.!. .!.
.2
+
7T
sen [wc (t- t0 )]} •
Un filtro gaussiano es un sistema lineal cuya función es
H (w ) =e
- acv 2
e
-
¡ cv t 0
Hallar la respuesta de este ftltro a un impulso unitario.
1
Respuesta: h(t) =
e -<t-to>
214
a.
2VTTCX
PROBLEMA 6.57 SiH(w) =R(w) + j X(w) es la función de un sistema lineal y causal,
demostrar que h(t), la respuesta al impulso unitario del sistema, se puede expresar, ya sea
como una función de R(w) o de X(w); es decir,
2{00
2
roo
h(t)=-l R(w)coswtdw=-X(w)senwtdw.
7T o
.
7T o
1
[Sugerencia: fl(t) =O para t< O; de donde h(t) se puede expresar como h(t) = 2he(t) =
2h0 (t) para t >O, donde he(t) y h 0 (t) son las componentes par e impar de h(t),
respectivamente.]
PROBLEMA 6.58 Demostrar que si H(w) =R(w) + j X(w) e.s la función de un sistema
lineal y causal, entonces, (a) la transformada de Fourier de a(t), la respuesta del sistema
al escalón unitario, está dada por
~[a(t)] = TTR(O)o(w) + X(w) - j R(w) ,
w
w
(b) la respuesta al escalón unitario, a(t), se puede expresar como
21
7T
2loo
00
a(t) =-
o
R(w)
--sen
wt dw = R(O) +(l.!
'
.
7T
o
X(w)
- cos wtdw.
w
7
CAPITULO
APLICACIONES EN TEORIA
DE COMUNICACIONES
7.1
PROBLEMA 7.1
TEORIA DE MUESTREO
Probar el teorema del muestreo uniforme en el dominio del tiempo.
So 1u ci ón:
el teorema del muestreo se puede probar con la ayuda de (4.Ú5),
el teorema de convolución en la frecuencia; ~s decir,
[ 4.125]
Como f(t) no tiene componentes frecuenciales superiores a !M ciclos por segundo,
entoncesf(t) es unaji.mdón de banda limitada, como se muestra eri la figura 7.1(a),
lo cmil significa que .
·
.
F (UJ) = ~ [f(t)] = O para 1 UJ 1 > UJM = 217 fM
(7.1)
[Ver figura 7,l(b)].
Considerar ahora a fs(t), una función muestreada definida por el"producto de la
función f(t) y oy(t), que es una función periódica de impulsos unitarios [ver la figura
7.1(c)]:
fs(t) = f(t) 8r(t).
(7.2)
F(w)
~.
.. t
-------L~~~----------~· (J)
.. t
-WM
(a)
WM
(b)
(e)
\
Fs (W)
-'
...
w0 o"'o (w)
1
l
~;:;r-1
w.
-Wo
~' 1
..
fs (t)=f(t)Or(t)
''
'
(J)
-W0
(e)
(d)
Figura 7.1
MM~ MM.
-WM
WM
(f)
(a) La función de banda limitada j(t). (b) El espectro de j(t). (e) El ~ren de impulsos
unitarios. (d) El espectro del tren de impulsos unitarios. (e) La función muestreada
fs (t). ( f) El espectro def5 (t).
151
Wo
W
152
Análisis de Fourier
Recordando la defmición de 6T(t) dada por (2.104), y sus propiedades, se tiene
L
fs(t)=f(t)
o(t-nT)
n=-oo
L
=
f(t) o(t- nT)
n=-oo
00
L
=
(7.3)
f (nT) 8(t - nT).
n=-oo
[Ver figura 7.1(e).] La ecuación (7 .3) muestra que la funciónfs(t) es una sucesión de
impulsos localizados a intervalos regulares de T segundos y cuyos valores son iguales a
los de f(t) en los instantes del muestreo [figura 7.1(c)].
Del resultado del problema 5.15, se tiene
[5.66]
n=-oo
1
De acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia; dado por (4.125), se tiene
(7.4)
Sustituyendo w 0 = 2rr/T, se obtiene
• 1 [F(w) .* Bw (w) ]
F 5 (w) = -
T
o
1 'L.
\ ' F(w) * 8(w -nw ).
T
0
(7.5)
n=-oo
En el capítulo cuarto se demostró que
f(t)
f(t) * 8(t) = f(t),
[4.119]
* 8(t- T) = f(t- T).
[ 4.120]
Por consiguiente, el resultado (7 .5) se puede expresar como
(7.6)
n=-oo
La ecuación (7 .6) muestra que la transformada de Fourier defs(t), se repite cada w 0
rad/seg., como se muestra en la figura 7 .1(f). Se debe observar que F(w) se repetirá
periódicamente sin solaparse en tanto que w 0 > 2wM, ó 2rr/T> 2(2rr !M); es deci~,
(7.7)
Por consiguiente, mientras que se tomen muestras de f(t) a intervalos regulares menores
de l/(2fM) segundos, el espectro de Fourier de fs(t) será una réplica periódica de F(w),
y contendrá toda la información acerca de f(t).
Se puede investigar el resultado anterior, utilizando una técnica diferente, la cual,
naturalmente, ha de conducir a las mismas conclusiones. El espectro de Fourier F(w),
de una función de banda limitadaf(t), es el que se muestra en la figura 7.1(b).
Aplicaciones en teoría de comunicaciones
153
Supóngase ahora, que el espectro F(w) es esa porción del espectro periódico F 5 ( w)
[figura 7 .1(f)] que se encuentra entre- 1/2wo y 1/2wo, donde Wo = 2:rr/T Y Wo > 2wM.
Como Fs(w) es una función periódica de w, cuyo período es w 0 , se puede expandir en
una serie de Fourier, esto es,
oo
_ '\'
jn27Twjw 0
(7.8)
F s ( úJ ) - L..... Cn e
,
n=-oo
donde, por definición,
_ __!_ JWo/ 2 F S ( ) e -Jn27TW/W~ d úJ. ·
Cn -
Ú)
úJo
(7.9~
-wo/2
ComoF5 (w)=F(w) para -wM <w < wM, y (1/2)w 0 > wM, entonces la expresión
(7 .9) se puede expresar como
·
·
en = _!_ JwM F (w) e -Jn 27TJV/Wo dw.
(7.10)
úJo -WM
Ahora bien,
f(t) =
.
.
s=-• [F(w)] = __!__ Joo F(w) efwt do.).
217
(7.11)
_oo
, Puesto quef(t) es de banda limitada, es decir,F(w) =O para lwl > wM, entonces la
expresión (7 .11) se convierte en
1
f(t) =
JwM F(w) eiwt dw.
(7.12)
2 17 -WM
Seleccionando como puntos de muestreo los localizados en t =- nT = - n 2n1w 0 , por
(7 .12) se tiene que
f(-nT)=f (- n 217
_!_lwM F(w)e-Jn 2 7Tw¡w 0 dw.
(7.13)
úJ 0
217 -WM
.
)=
Comparando (7 .13) y (7.10), se obtiene
217- f
Cn=
(-n277)
- =.Tf(-nT).
Wo
(7.14)
Wo
La ecuación (7 .14) indica que en puede encontrarse unívocamente a partir de los valores
de la función, en los puntos de muestreo. Pero conociendo en, se puede hallar ~(w) si se
utiliza (7 .8), y en consecuencia, también se halla F( w ). Si se conoce F( w ), se puede hallar
f(t) para todos los valores del tiempo mediante la relación (7 .11).
Ahora, de la suposición w 0 > 2wM, se tiene
217
-
T
> 417 fM,
T< _1_.
2fM
Lo cual completa la prueba.
(7.15)
Análisis de Fourier
154
------------------------~~ t
(a)
- --
Solución:
.....
como T=l/(2/M), entonces w 0 = 21T/T"=41T[M = 2wM. Por tanto, (7.8)
se convierte en
DO
DO
_ '\'
jn27TW/2úJM _ ' \ '
jnTúJ
F s ( w ) - L... en e
- L... en e
.
n=-oo
(b)
(7.18)
n=-oo
TT
en = T f(-nT) = 1(-nT).
WM
(7.19)
Sustituyendo (7.19) en (7.18), se obtiene
('7.20)
1
Puesto que Fs( w) = F(w) para- wM < w < wM, entonces (7 .20) se puede reemplazar
en (7 .12), de lo cual se obtiene
(e)
Figura 7.2
(a). La función de banda
limitadaf(t). (b) La función
muestreada. (e) Reconstrucción
de una forma de onda.
f(t) =
1
TT
2
1::
L~oo :M f(-nT) einTúJ] eiúJt dw.
(7.21)
Intercambiando los signos de la integración y de la sumatoria, se tiene
oo [f(-nT) Jú.)M
1
].
~
sen wM(t + nT)
-wM 2wM eiw(t+nT) dw = n~oo f(-nT)
wM(t + nT)
f(t) = n~oo
00
sen wM(t- nT)
f (nT) ---"-'-'---'n=-oo
wM(t- nT)
En la última ecuación,(- n) se reemplazó por n porque todos los valores positivos y
negativos den están incluídos en la sumatoria. Puesto que T= 1T/wM, la expresión (7 .16)
se puede expresar también como
f(t) =
f: (~)
f
n=-oo
,wM
sen (wMt- nrr)
wMt- nrr
155
Aplicaciones en teoría de comunicaciones
Verificar la expresión (7.22).
PROBLEMA 7.3
supóngase que
Solución:
f (t) = O para 1 t 1 > T.
(7.23)
Entonces, en el intervalo,- T < t < T, la función f(t) se puede expandir en una serie
de Fourier
00
00
n=-oo
n=-oo
(7.24)
donde
)
= ¿___ JT f(t) e-f 27Tnti 2T dt = - 1- JT f(t) e-in7Tt/T dt.
e
n
2T
-T
2T
.
-T
(7.25)
.
Puesto que f(t) = O para t > T, y t <- T, entonces la ecuación (7 .25) se puede expresar
como
= ¿___
e
2T
n
J""
f(t) e-Jnrrt;T dt = _l_ F (nrr)·
2T
-oo
T
'
(7.26)
donde
F(w) = J'[f(t)]
=f"" f(t)
e-iwt dt .
-00
y
nrr
w=-.
T
Sustituyendo la expresión (7 26) en la expresión (7 .24), se obtiene
t
f(t) =
21T F
(n;)
(7.27)
efn7Tt/.T.
n=-oo
Ahora bien,
F(w) =
l""-oo
f(t) e-iwt dt = JT f(t) e-Jwt dt,
(7.28)
-T
en razón del supuesto (7 .23).
Sustituyendo (7 .27) en (7 .28), e intercambiando los signos de sumatoria y de
integración, se obtiene
F(w) =
1:
[ntoo 21T F (n;)
tr (";) L:
2¡T
=
~ F
L
n=-oo
(n")
T
efn7Tt/T
J
e-iwt dt
.-l(o-••IT)>
d~
sen (wT-nrr).
wT-nrr
De este modo, se completa la prueba del teorema de muestreo en la frecuencia.
156
Análisis de Fourier
?
7.2
MODULACION DE AMPLITUD
~-·
(a)
PROBLEMA 7.4
fl n
nn
n
Solución:
'--Verificar el teorema de translación de la frecuencia.
supóngase que~ [f(t)] =F(w). Por (5.22) y (5.23), se tiene
~[cos wctl = rro(w- wc) + rro(w + wc),
J V \1 \1 \1 \1
V
~[sen wct] = - j TTO (w- wc) + j TT o (w + wc).
(b)
Por consiguiente, de acuerdo con el teorema de convolución en la frecuencia, dado por
( 4.125), se tiene
.
1
~[f(t) cos wct] =-- F(w) * [rro(w- Wc) + rro(w + wc)]
2rr
f(t) COSWct
,. '
1
= -
2
1
= 1
2
1
(e)
F(w)
----~~--~-----L--~W
o
(e)
* o (w- wc) + -1 F (w) * o (w + Wc)
2
1
F (w- wc) + - F (w + wc)
2
(7.29).
resultado que se obtiene mediante (4.120). Análogamente, se tiene
~[f(t) sen wct] = __!_ F(w) * [-jrro(w- wc) +jrro(w + wc)]
2rr
;h
~[cosWc t l
F (w)
=-! j F (w) * o (w- wc) + ! j F (w) * o (w + wc)
2
=-
2
.
~ j F(w- wc) + ~ j F(w + cvc)•
(7.30)
Las ecuaciones (7 .29) y (7 .30) indican que la multiplicación de una señal f(t), por
una señal senusoidal de frecuencia w e, translada su espectro en ±we radianes. El proceso
de translación de la frecuencia se ilustra en la figura 7.3.
PROBLEMA 7.5
Demostrar que si f(t) es una señal de b!mda limitada, sin componentes
espectrales por encima ~e la frecuencia wM, entonces el espectro de la señalf(t) cos wet,
es también de banda limitada.
Solución:
como la señal/(t) es una señal de banda limitada, se tiene que
~[f(t)] = F(w) =O para 1 w 1 > wM.
De los resultados (7.29) del problema 7.4, y de la figura 7.3, se sigue que la señal/(t)
cos wet también es de banda limitada, y su espectro es igual a cero fuera de la ban~a
(we- wM) a (we + wM) para w >O. Se debe observar que este resultado está basado
en la suposición de que we > wM.
(f)
Figura 7.3
(a) La señal de banda limitada
fltl del problema 7.5. (b) La
función cos c..> e t. (e) La función
fltl cos wet. (d) El espectro de
f(tl. (e) El espectro de cos wet.
(f) El espectro de fltl cos wet.
157
Aplicaciones en teoría de comunicaciones
m(t)
(a)
PROBLEMA 7.7
Hallar el espectro de la señal modulada en amplitud, la cual está dada
por (7 .31 ), si la sefial moduladora es una señal senusoidal, esto es
. Wm < Wc 1
In (t) = m0 COS Wm(,
So 1u ció n:
-1-m 0
/
_..,
\
.
'--------~- ~,
(b)
Figura 7.4
Ü < m0 < l.
#"-----,\ I.
-1
la sefial de AM, en este caso, está dada por
(;¡) La señal mensaje de banda
limitada,flt). (b) 'La forma
de onda de una señal modulada
en amplitud.
M(w)
f(t) =K (1 + m 0 cos wmt) cos wct•
(7.34)
Utilizando identidades trigonométricas, la relación (7 .34) se puede expresar también como
f(t) =K cos wct +
! K m cos (wm- Wc)t + ! K m cos (wm + Wc)t.
0
2
0
2
'
(7.35)
De lo cual, mediante (5.22), se tiene
F(w) = S:[f(t)] =K rr[8(w- wc) + 8(w + Wc))
1
2
+ - K m0 17 [8 (w - Wm + Wc) + 8 (w + Wm - Wc)
.
.
+ 8(w- Wm- Wc) + 8(w + Wm + Wc)).
(7.36)
El espectro de este ejemplo se muestra en la figura 7.6. En éste caso, las bandas laterales
constan de los impulsos localizados en w = wc ± wm.
PROBLEMA 7.8
Para la señal de AM del problema 7.7, hallar el contenido relativo de
potencia, en la portadora y en las bandas laterales que llevan la información .
.
Solución:
la señal AM del problema 7.7, está dada por
f (t) =K [1 + m 0 COS wmt) cos Wct
1
.
.
1
=K COS Wct + - K m 0 COS (wm - wc) t + - K m 0 cos (wm + Wc)t•
2
2
~'---------------~~------------~
portadora
bandas laterales
(b)
Figura 7 !5
(al El espectro de m (t).
(b) El espectro de una señal
ordinaria modulada en
amplitud.
158
Análisis de Fourier
En la expresión anterior apar\lcen los términos correspondientes a la portadora y a las
bandas laterales. Es obvio que el promedio total de pot~::ncia,Pt, entregada por f(t)
1
(referida a una resistencia de 1 Q) está dada por
F(w)
1 ),
Pt = -1 K 2 + -1 K 2 m~+ -1 K 2 m~= -1 K 2 ( 1 + -m~
(7.37)
tK111o 1TO(W-Wc -Wm) .
2
8
8
2
2
Krro (w-wc/
/
Luego la potenc.ia en la portadora, Pe, y la potencia transportada por las bandas laterales,
.
P5 , están dadas por
p
e
o
2
ps = !. K2 mo2.
4
'
w~ w Obsérvese que Ps· = K 2 mV8, en cada una de las bandas laterales. El porcentaje de
Wc -wm
Figura 7.6
= !. K2
Wc +wn,
potencia contenida en las bandas laterales es
El espectro de la señal AM
del problema 7.7.
P
'
¿
X
Pt
Por ejemplo, si m 0
m2
lOO= _ _
o __ X 100%.
2 +m~
(7.38)
=1/2, entonces
Ps
1
4
pt . = 2 + !. =
1
9 , o sea, cerca del 11%,
4
m (1)
cuando m 0 = 1, [P/Pt1max = 1/3, o sea, cerca del33%.
Se debe recordar que la señal m(t) que contiene la información, da lugar a las bandas
laterales y sólo una fracción de la potencia de f(t), dada por la expresión (7 .38), está
contenida en esas bandas laterales. La potencia contenida en la portadora representa
un desperdicio
(a)
f(t)=m(t) COSWcl
PROBLEMA 7.9
Hallar el espectro de una señal de AM (DBLPS) dada por la
ecuación (7 .39).
si~ [m(t)] =M(w), entonces, se tiene
Solución:
F(w)
= ~[f(t)l = ~[m(t) cos wctl =!. [M(w- wc) +M(w + Wc)],
(b)
Figura 7.7
2 .
.
(7.40)
resultado que se obtiene aplicando (7 .29), el teorema de translación en la frecuencia.
El espectro de una señal DBLPS se muestra en la figura 7.8 ..
(af La señal senusoide de
banda limitada m (t). (b) La
funciónf(t) =m (t) cos Wct.
IM(w)l
o
(a)
(b)
Figura 7.8
(a) El espectro de m (t). (b) El espectro de la señal DBLPS.
159
Aplicaciones en teoría de comunicaciones
PROBLEMA 7.1 O
Demostrar que el espectro de la señal modulada puede ser transladado
a su posición original, si se multiplica la señal modulada por cos w ct, en el extremo
receptor.
So 1u ció n:
sea la señal modulada la expresada por
f (t) =m (t) cos Wct•.
(7.41)
Entonces, como se muestra en la figura 7 .9(a), en el receptor se multiplica la.señal recibida,
f(t), por cos wct para obtener, mediante el uso d~ una id~ntidad trigonométrica, el
siguiente resultado:
f (t) cos wct =m (t) cos 2 wct
1
- (1 + cos 2 Wct)
= m (t)
=
1
-
2
2
1
.
m (t) + - m (t) cos 2 Wct.
(7.42)
2
Ahorabien,si11m(t)]=M(w) y M(w)=O para lwl>wM,entonces,setiene,
1 [f (t) cos wct] = 1 [m (t) cás 2 Wct]
=
~ [~ m (t)] + ~
1
2
D
1
4
m (t) cos 2 wct]
1
4
= - M(w) +- M(w- 2wc) +.- M(w + 2wc).
.
(7.43)
El espectro de/(t) cos wJ=m(t) cos2 wct, se muestra en la figura 7.9(c). Del espectro
que se muestra en la figura 7.9(b), se concluye que la señal original m(t) se puede recuperar
mediante un filtro para bajas frecuencias, que permita el paso del espeétro hasta la
frecuencia wM. El proceso de demodulación se muestra en el diagrama de bloques de·Ia
figura 7.9(a).
multiplicador
•
2
f (t)
l:iltro para bajas
frecuencias
m(t)
m (t) COS ú>c t
=m(t) cos Wc t
{a)
F(w)
1[t(t) cos ú>c t]
l. Mo
2
..!.M)--
-Wc
o
t
-2Wc
··------
(b),.
Figura 7.9
.4
Ú)
Wc
(C:J
(a) El sistema de demodulación. (b) El espectro de la señal moduladaf(t).
(e) El espectro de la señal fltl cos wct.
PROBLEMA 7.11
Demostrar que la demodulación también se puede lo~rar multiplicando
la señal modulada/(t) = m(t) cos wct, por cualquier señal periódica de frecuencia wc.
Solución:
sip(t) es una señal periódica de frecuencia wc y de la forma
00
(7.44)
n=-oo
Ú)
160
Análisis de Fourier
entonces, según el resultado (5.57), su transformada de Fourier se puede expresar como
3-"[p{t)] = 2rr
L""
Cn S(w -nwc).
(7.45)
n;;;;-oo
Ahora bien, según (7 .40), se tiene
3-"[f(t)] =.!. M(w- Wc) +.!. M(w + Wc).
2
2
De donde, de acuerdo con ( 4.125), la transformada de Fourier de f(t), p(t), está dada por
n=-oo
00
n=-oo
00
= 17
L en
IM[w .:_ (n + 1) Wc] + M[w- (n- 1) wc11
(7.46)
n=-oo
mediante la relación (4.121).
Es obvio que este espectro contiene el términoM(w), el espectro de m(t), el cual se
pue~e recuperar mediante un filtro para bajas frecuencias, que permita el paso de
frecuencias hasta la frecuencia wM.
7.3
MODULACION ANGULAR
Aplicaciones en teoría de comunicaciones
Solución:
161
en el caso de una sefial PM, se tiene
W¡(t)
=:!..._dt e(t) =. :!..._dt [wct + kp m(t)] =Wc + kp m'(t),
En el caso de una sefial FM, se tiene
W¡(t)
Solución:
=! e(t) =! [Wct + kt l~ m('!) d'!] =Wc + kt m(t),
sim(t) =m 0 cos wmt, entonces por (7.48), se tiene
!pM(t) =A COS (wct + kp m0 COS Wmt).
Por la relación (7 .49), se tíene que <Pm = kpmo, porque la magnitud máxima de m(t) es m 0 ;
de esta manera, se tiene
,
!pM(t) =A COS (wct +
r/Jm COS Wmt), r/Jm = kp m 0 •
162
Análisis de Fourier
Dado que para la señal FM, cp(t) = kt Jm(t) dt = k¡mo sen wmt,
Wm
Demostrar que en una señal FM de modulación senusoidal, el índice
de modulación se puede definir como,
PROBLEMA 7.14
(7.60)
donde f m es la frecuencia de la señal moduladora, y Af es la desviación frecuencial
defmida como
So 1u ció n :.
según la fórmula (7 .56), para una señal FM se tiene
De donde,
(7.61)
En la relación (7.61) se observa que
(w¡- Wc)max = ktm 0 = 2rr D.f,
es decir, la máxima diferencia entre W¡ y wc se denomina desviación de frecuencia angular
de la señal FM. Por consiguiente,
:Pm = ktm 0 = 2rr D.f = D.f.
Wm
2rr fm
fm
PROBLEMA 7.15 HaDar el espectro de una señal FM, en la cual la modulación se hace
por una señal senusoidal
So 1u ció n:
por (7 .59), se tiene
f(t) =A cos (wct + c/Jm sen Wmt)
\
=A cos Wct cos Cc/Jm sen Wmt)- A sen Wct sen (c/Jm sen Wmt).
(7.62)
En la expresión (7 .62), los términos
cos Cc/Jm sen wmt)
y
sen (c/Jm sen ciJm, t)
son funciones periódicas, cuyo período es T= 2rrlwm. Por consiguiénte, estos términos
se pueden expandir en serie de Fourier. Se debe observar que
e
¡<j>
msen w mt = cos (if>m sen Wmt) + J. sen. Cif>m sen Wmt).
(7.63)
Considérese, por tanto, la expansión en serie de Fourier de (7 .63), es decir,
(7.64)
n=-oo
163
Aplicaciones en teon'a de comunicaciones
donde
e
1 JT/2
n
e
=-
T
·(-Jncumt) dt
(7.65)
j(rpm sencumt-ncumt) dt
(7.66)
Orf;m sencumt)
. e
-T/2
y T= 21f/Wm. De esta manera, se tiene
T/2
Wm
en=-
J
e
.
277 -T/2
Al hacer, wm t = x, se obtiene
e = 1- J7T e }(rpm sen x-nx) d x.
(7.67)
277 _7T
n
Los coeficientes de Fourier dados por la ecuación (7 .67), son las funciones de Bessel de
· primera clase. De la función generadora de las funciones de Bessel, se tiene
L
00
ez(x2-l)/2x =
fn(z) xn,
(7.68)
n=-oo
donde Jn(z) es la función de Bessel de primera clase, orden n y argumento z.
Al hacer, x = e 1cu 1 en la ecuación (7 .68), se obtiene
. z
(x2 - 1) = z _! (x - .!) = iz _!_ (eicut - e-icu t) = jz sen wt.
(7.69)
L
(7. 70)
2x
2
x
2j
De donde,
00
eiz sen cut=
fn(z) efncut.
n=-oo
Comparando las ecuaciones (7 .70) y (7 .64) resulta
(7.71)
n=-oo
n=-oo
De esta manera, por (7 .67), se ob~iene
en
__ Jn ("'
) _ _.!_ i7T e j(rpm sen x-nx) d x..
'f'm 2 77 -7T .
(7. 72)
Las propiedades de las funciones de Bessel y las curvas que ilustran su comportamiento,
se encuentran en muchos libros de matemáticas. Por (7.72), se obtiene
Ln(~m) = (-l)n fn(~m)•
(7. 73)
Ahora bien, por (7 .71), se obtiene
L fn(~m)
00
eJrf;m sencumt =
e:ncumt
n=-oo
= foC~m) + J,(~m) (eos Wmt + j
sen wmt)
+- LiC~m) (cos Wmt- j sen wmt)
+ 12<~m) (cos 2 wmt + j sen 2 wmt)
+ f_ 2 (~m) (cos 2 wm(- j sen 2 wmt)
+ ....
(7.74)
Si se igualan las partes real e imaginaria y se utiliza la relación (7. 73), 'se obtiene
cos(~m
sen Wmt) =loC~m)+ 2li~m) cos 2wmt + 2]/~m) cos 4wmt + ...
00
.=
fo(~m) + 2
L f2n(~m) eos
n=l
2n Wmt,
{7. 75)
Análisis de Fourier
164
00
= 2
L: f2n+l(q)m) Sen (2n + 1) Wmt•.
(7. 76)
n=O
Las ecuaciones (7. 7S) y (7. 76) son las expansiones en serie de F ourier de los términos
cos (rpm sen wmt); y sen (rpm sen wmt).
La distribución espectral de la sefial FM se puede obtener ahora, por sustitución de
(7 .75) y (7 .76) en la ecuación (7 .62), de esta manera,
f (t) =A cos (wct + 1>m sen Wmt)
=A COS wct IJ 0(q)m) + 2 Lf i1>m) COS 2 wmt +] 4(q)m) COS 4 Wmt + • • • ] l
-2 A .sen wct [ ] 1{q)m )sen wmt +] 3(q)m) sen 3 wmt + · · .].
(7. 77)
Mediante las fórmulas trigonométricas de suma y diferencia
1
cosA cos B = - [cos (A- B) + cos (A + B)],
2
t1
1
sen A sen B = - [cos (A- B)- cos (A + B)],
1
1
t tt
ILdttf 1nt.
2
se obtiene
f (t) =A IJ 0(q)m) COS Wct -] 1(q)m) [cos (wc - Wm) t - COS (wc + Wm) t]
+ ] 2(1)m) [cos (wc - 2 wm) t + cos (wc + 2 wm) t]
-] 3(1)m) [cos (wc - 3 Wm) t - COS (wc + 3 Wm) t]
+ ... l.
Figura 7.1 O El espectro de la señal FM
dada por la ecuación 7.78.
(7. 78)
La ecuación (7. 78) muestra que la sefial FM, representada por f(t), consta de uná
portadora y un número infmito de bandas laterales, separadas en las frecuencias
( Wc + Wm ), (Wc + 2wm ), ( Wc + 3wm ), etc., como se muestra en la figura 7.1 O. Las
amplitudes de los térmil).os de la portadora y de las bandas laterales, dependen de
~Pm, el índice de modulación; esta dependencia está expresada por las funciones
apropiadas de Bessel.
7.4
MODULACION DE PULSOS
PROBLEMA 7.16 Hállar el espectro de la sefial MAP (7 .79) si g(t) es un tren de pulsos
rectangulares periódicos, el ancho del pulso es d segundos, y se repiten cada T= llqfM)
segundos.
Aplicaciones en teon'a de comunicaciones
165
m(t)
Solución:
sea
S:[m(t)] =M(w),
(7.80)
M(w) =O para 1 w 1 > wM.
De acuerdo con el t~orema de convolución en la frecuen~, dado por (4.125), la
transformada de Fourier de f(t) =m(t) g(t) es
(a)
F(w) = 5=[f(t)] = S:[m(t)g(t)]
= _l. M(w)
277
g(t)
* G(w),
(7.81)
1
- r- r-
r-
donde G(w) =S: [g(t)].
La función G(w) se puede obtener de (5;77), si se hace
1
77
(21M)
Ú)M
T =
277
y
W 0 =- =
T
2wM.
(b)
F(t) =m(t)g (1)
Entonces;
00
(7.82)
· n=-oo
Sustituyendo (7 .82) en (7 .81 ), se obtiene
00
(e)
IM(w)l
n=-oo
00
n=-oo
00
(7.83)
n=-oo
(d)
mediante la relación (4.120).
Si m(t) es una sefial de banda limitada, como se muestra en la figura 7 .11(a),
entonces el espectro de amplitud de la sefial MAP es el que ilustra la figura 7.11(f).
g(t)
""',-,/
.
-
......
/
(e)
Hallar el espectro de la sefial MAP, dado porla ecuación (7.79), si
g(t) es un tren de pulsos periódicos de forma de onda arbitraria, que se repiten cada
T< 1/{2/M)segundos.
PROBLEMA 7.17.
. F (t)
puesto que g(t) es una función periódica, se puede expandir en una serie
de Fourier; de esta manera,
ñ (t) _
~
}ncu0t
_ 277
So 1u ció n:
o
-
L
en e
ú>o -
1.
T •
n=-oo
Entonces, según (7 .79), la sefial MAP f(t) = m(t) g(t) se puede expresar como
f(t) =m (t) (
n~oo
Figura 7.11
Cn
e}ncuol)
00
~
L
n=-oo
cnm
(a) La señal de banda limitada
m (t) del problema 7 .16. (b)
(t.)
e
}ncu0t
(7.84)
Un tren periódico de pulsos
rectangulares g (t). (e) La señal
MAP F(t) =m (t) g (t). (d) El
espectro de m (t). (e) El espectro
deg(t). (f) El espectro de la señal
MAPF(t).
166
Análisis de Fourier
De esta manera
L
00
Cn ~[m (t) e}ncuot].
(7.85)
n=-oo
Ahora bien, de acuerdo con la propiedad de desplazamiento en la frecuencia de la
transformada de Fourier, dada por 4.74, si ~[m(t)] =M(w), entonces, se tiene
De donde,
L
00
F(w)=
cnM(w-nw 0 ).
(7.86)
n=-oo
La figura 7 .12(b) ilustra el espectro de amplitud de la señal MAP, el cual consta de pulsos
espaciados periódicamente, cuya amplitud es modificada por los coeficientes de Fourier
deg(t). En la figura 7.12, w 0 se selecciona de tal manera que T< 1/(2/M).
jF(w)j
(b)
(a)
Figura 7.12
(a) El espectro de la señal de banda limitada m (t). (b) El espectro de la señal MAP del problema 7.17.
7.5
FUNCIONES DE CORRELACION PROMEDIO
167
Aplicaciones en teoría de comunicaciones
Solución:
sean/1 (t)y [ 2 (t) dos funciones periódicas con período T 1 , entonces, se tiene
f 1(t) = f 1(t + T 1 ),
(7.91)
f 1(t- 1") = f 1(t- 1" + T 1 ),
(7.'92)
f 2 (t- 1") = f 2 (t- 't + T.).
(7.93)
, Por consiguiente, los integrandos en (7 .87) y (7 .88) son funciones periódicas en la variable
t y con período T 1 , La ir.ttegral de tal función en cada período es la misma, por tanto, no
es importante si las funciones de correlación son promediadas en un intervalo muy grande,
T ~ oo, o en un intervalo de un período T 1 •
Luego para funciones periódicas, se tiene que
-
JT/2 f (t) f (t- 't) dt
T-+00 -T/2
1 JT/2
.
lim · f (t) fz(t- 1") dt
r-+oo
T
1
R 11 ('t) = lim - ,
T
R12 (-r) =
fTl/2 f (t) f .(t- 't) dt,
T.
-r.n
1
fTl/2 f (t) f (t- .1") dt.
= -
1
~N2
1
= -
1
1
T.
_
.
1
1
1
2
-~/2
PROBLEMA 7.19 Demostrar que las funciones de autocorrelación y correlación ,
promedios, de señales periódicas cuyo período es T 1 , son también funciones periódicas y
de igual período.
So 1u ció n:
por el resultado (7 .89), se tiene
R11 (1"- T 1 ) = ~. JT
1
112
f 1(t)f1 [t- ('t- T 1) ] dt
-T 1 /2
T1 JTl/2 f.(t)f.(t- 't +T.) dt.
=
1
}'
-T 1 f2
Pero según (7.93), se tiene que.
1
R 11 (1" ~ T 1 ) = .
T
fTl/2 f (t) f (t- 't) dt -R (1"). '
-Tl/2- .
1
!
=
1
11
(7.94)
Análogamente, por (7 .90) y (7 .93), se tiene
1
ITl/2 f (t) f [t-- (1"- T
T.
-1\12
R12 ('t- T 1 ) = =
1
2
1 )]
dt
_
T1 lTl/2 f (t) f (t- 1" + T dt
1
1
1
T
= -
1
1)
2
-T1 /2
lTl/2 f (t) f (t - T.) dt = -R (1").
1
-T 1 f2
2
,
12
(7.95)
Las ecuaciones (7 .94) y (7.95) muestran que R 11 (r) 'y R12 (r) son funciones periódicas
cuyo período es T 1 •
168
Análisis de Fourier
PROBLEMA 7.20
Hallar la. función de autocorrelación promedio de la onda sinusoide
dada por
f(t)=A sen(úJ 1t +cp),
Solución:
puesto quef(t) es periódica, entonces de (7 .89), se tiene
IT/2
1
Ru('r)=limf(t)f(t-'t)dt
T->00 T
-T/2
r1 JT1/2 t(t)t(t-'t)dt
=
. 1 -T1/2
. A2 JT1/2
= -
r1
=
sen (úJ 1t + cp) sen [úJ 1(t- 't) + cp] dt
-T1 ;2
A2 JT1/2
T
sen (úJ 1t + cp) sen (úJ 1t + r:p- úJ 1't) dt.
1
(7.96)
-T1 /2
Utilizando la identidad trigonométrica sen A sen B = ~ [ cos (A _:_ B) - cos (A + B)],
se tiene
A2 JT1/2 '
Ra('t) = - [cos úJ 1't- cos (2úJ 1f + 2cp- úJ 1't)] dt
2 T 1 -T,/2
.
= -
A2
2T
/
·¡T1/2
cós úJ1't
dt
·
1
-T1/2
A2
= -
(7.97)
cos (úJ1 't).
2
la ecuación (7 .97) muestra que R¡¡Cr) es ihdependiente de la fase t/J de f(t).
Demostrar que si / 1 (t) y f 2 (t) son funciones reales y periodicas,
que tienen el mismo período T1 , entonces
PROBLEMA 7.21
L [cin c2n] e-Jnwl'r'
00
R12('t) =
(7.98)
n=-oo
donde w 1 = 2rr/T1 y c 1n, c 2 n son los coeficientes complejos de Fourier de/1 (t) y fz(t),
respectivamente, y e'in denota el conjugadocomplejo de c1n.
So 1ución:
en el caso de funciones periódicas, según (7.90) se tiene
'---
R12('t) =
1 JT1/2
T.
f1(t) f2(t- 't) dt.
1 -T1/2
Sean las expansiones en series de Fourier de / 1 (t) y / 2 (t) las dadas por
f 1(t) =
'\'
jnw1 t
L...
C¡n e
,
(7.99)
n=-oo
00
f 2(t) == ~
'\' e 2n einw 1t ,
(7.100)
n=-oo
donde
(7.101)
169
Aplicaciones en teoría de comunicaciones
(7.102)
,Exprésandof2 (t-¡) de la ecuación(7.90), en la forma dada en (7.100), se obtiene
-
1 JTt/2
Rl/T) = T
1 -T1/2
=;
t.(t) f;J.(t- T) dt
.
fT1/2f1(t)[·f::
1 -T1/2
C2nejnw¡(t-'T~ dt.
J
n=-oo
(7.103)
Intercambiando el orden de la sumatoria y de la integral, se tiene
(7.104)
La integral dentro <;!el paréntesis angular se reconoce, eomparando con la expresión
(7.101), como el conjugado complejo de c 1n. Por tanto,
00
-R12('!)
. = L._.
'\' .[C¡n
* C2n ] e -jnw1'T •
n=-oo
Obsérvese que R.12 ( ¡) también es una función periódica de T cuyo período es T 1 •
PROBLEMA 7.22
Demostrar que sif(t) es una función real y periódica con período T,
entonces
(7.105)
n=-oo
donde w 0 = 2rr/T y en son los coeficientes complejos de Fourier de f(t).
Solución:
si se hacef1 (t) = f 2 (t) =;.f(t), y T 1 = T, entonces, de (7.98) en el problema
7.21 , se obtiene
L
00
Ru(T) =
'
L ~n
00
c1: Cn e -jnwo'T =
1
n=-oo
n=-oo·
'
12 e -jnwo'T =
L
00
1Cn 12 elnwo'T
n=-oo
'
dado que lc_nl 2 = lcn1
2
•
7.6
IDENTIFICACION DE SEI\iALES MEDIANTE
CORRELACION
Análisis de Fourier
170
ue
si s
n:
y n
no están correlacionadas, entonces, por la relación (7 .1 07),
tien~
se
qfuer12
[
1
lim s(t) n(t- 1") dt = lim r~oo
T
-T/2
.
r~oo
T
Jr
12
s(t) dt
-T/2
] [
1
lim -
r~oo
T
Jr
12
]
n(t) dt =O
-T/2
en razón de la suposición dada por la relación (7 .1 06).
Si se denota comoR5 n(t) a la función de correlación promedio de s(t) y n(t),
entonces la relación (7 .1 08) se puede expresar como
Rsn('T) = O para todo valor de T.
(7.109)
Para señales de ruido al azar, cuyo valor promedio es cero, se tiene
lim Rnn('T) = O.
(7.110)
'(~oo
_
1 JT/2
R u('T) = lim r~oo
=
T
f (t) f(t - 1") dt
-T/2
lim -1 JT/2 [s(t) + n(t)][s(t- 1") + n(t- 1")] dt
r~oo
T
-T/2
·
= Rs~ (1") + Rnn('T) + Rsn('T) + Rns (T).
(7.111)
Puesto que la señal s (t) y el ruid~n (t) :\.~tán correlacionadas, se tiene
Rsn('T) = Rns('T) =O.
De esta manera,
(7.112)
1
Utilizando el resultado (7 .112) del problema 7 .24, demostrar que la
función de auto~orrelación se puede usar para detectar señales.
PROBLEMA 7.25
Solución:
seaf(t) la señal recibida, que es la suma de la señal útil s (t) y el ruido n(t).
Ahora bien, si se conoce la naturaleza del ruido, tal como el espectro de I:'otencia que se
estudiará en la sección siguiente, entonces se puede calcular Rnn(-¡;), la función de
171
Aplicaciones en teoría de comunicaciones
autocorrelación promedio del ruido. Si Rsir:) difiere de R¡¡(:j). se puede concluir que
una señal útil s (t), eXiste en la señal recibida f(t), puesto que RssCr;) es diferente de cero.
La ecuación (7 .112) también ofrece un medio de detectar una señal periódica oculta
por el ruido. Puesto que en este caso s (t) es una se'ñal periódica y n (t) es una señal no
periódica, del resultado del problema 7.19 y de la relación (7 .110), se sigue que Rss('L")
es periódica, mientras que Rnn(¡) se hace muy pequeña para valores grandes der. Por
co~iguiente, para valores suficientemente grandes de •.R¡¡(r:) será casi igual a R.sir),
y R¡¡(r) mostrará una naturaleza periódica.
PROBLEMA 7.26 Demostrar que la función de autocorrelación entre las señales
transmitida y recibida, es la misma función de autocorrelación entre la señal transmitida
y la señal útil recibida.
Solución:
seang(t) y f(t) la señal transmitida y la señal recibida, respectivamente.
Entonces, se tiene que
f(t) = s (t) + n(t),
dondes (t) es la señal útil recibida y n (t) es el ruido. Si ahora se correlaciona la señal
recibida/(t) con la señal transmitida, se obtiene
f-T n [s (t) + n (t)] g(t- 'T) dt = Rsg('T) + Rng('T). (7.113)
R¡g(i) = lim _!_
T->00 T '
,
-T/2
Puesto que n (t) y g(t) no están correlacionadas, es decir, Rng('L') =O, se tiene que
R¡g(T) = Rsg(T).
•
(7.114)
PROBLEMA 7.27 Partiendo del resultado (7 .114) del problema (7 .25), demostrar que_
la correlación promedio se puede utilizar para la detecCión de señales.
Solución:
si la señal recibida/(t) es únicamente ruido, es decir, si s(t) =O, entonces
la función de correlación promedio Rsg(r) =O, y por tantoR¡g(r) =O. Por consiguiente,
se concluye que si la función de correlación promedio entre la señal transmitida y la señal
.recibida no es cero, entonces existe una señal útil en la señal recibida. La ecuación (7.114)
también puede ser utilizada en la detección de una señal periódica contaminada por el
ruido. Puesto que la señal útil s(t)_y la señal transmitidag(t) son señales de la misma
frecuencia, se sigue del resultado del problema 7 .19, que Rsg('L') también es una función
periódica de igual período. Por c"onsiguiente, del resultado (7.114) se concluye que si la
función de correlación promedio, de la señal recibidaf(t) y la señal transmitidag(t), es
periódica, entonces f(t) debe contener una señal periódica. ·
Se debe observar que en el méto~o de correlación,R¡gÜ) =Rsg(r), sin ningún
término adicional del ruido, tal comoRnnCr), encontrado en la técnica de detección
mediante autocorrelación; por tanto, es posible detectar una señal periódica en la señal
recibidaf(t) a cualquier valor de 1i.
7.7
ESPECTROS DE POTENCIA PROMEDIO:
SEÑALES AL AZAR
· Análisis de Fourier
172
So 1u ció n:
de la relación (7 .120), se sigue que
Ru(O) =
. dw = JO() P (2 TT f) df.
h1 JO() P (w)
-00
.
(7.122)
-00
Ahora bien, por (7 .87), se tiene que
Ru('r)= lim
-
1
IT/2 f(t)f(t-T)dt.
T-+oo
T
-T/ 2
[7.871
Por consiguiente,
-_
Ru(O) = lim
1
T-+oo T
JT/2 [f(t)F dt.
(7.123),
-T/ 2
Comparando (7.123) con (7.122), se obtiene
lim -llT/2 [f(t))2 dt = -1
T
2TT
-T/2
T-+00
J""
-oo
P(w) dw =
'
f"" P(2rrv) dv.
-""
.
173
Aplicaciones en teona de comunicaciones
PROBLEMA 7.29
Hallar la densidad espectral de potencia· de una función periódicaf(t)
cuyo período es T.
So 1u ci ón:
supóngase que la serie de Fourier de la función f(t), está dada por
(7.124)
n=-oo
En el problema 7.22 se demostró que la función de autocorrelación promedio de
· /(t) está dada por
00
'\' 1en 12 e.jnWO'L •
- tt ('L ) = ~
R
[7 .105]
n=-oo
Si se toma la transformada de Fourier de Rj¡(r:), se obtiene
00
n=-oo
00
=
L 2rrlcnl o(w-nw
2
0)
(7.125)
n=-oo
mediante la relación (5.21).
Por tanto,P(w) consta de una serie de impulsos localizados en las frecuencias
armónicas de f(t). Cada impulso tiene un valor igual a la potencia contenida en esa
componente frecuencial y es una clara medida de la distribución de potencia enf{t).
Solución:
dado que f{t) es periódica, entonces de la ecuación (7.89), se tiene que
1
l~moo T
T
JT/2
,
·
[f(t)F dt
-T/2
1
= Tl
fTt/2 [f(t)P dt,
.
(7.127)
-Tl/2
donde T 1 es el período de f(t).
Sustituyendo (7.125) en (7.121) y utilizando la relación (7.127), se obtiene
;
1
L::::
[f(t)F dt =
2~
L:
P (w) dw =
1: [n~
2
lcnl o(w- nw 0 )] dw.
Si se ihtercambia el orden de la sumatoria y de la integral, y se utiliza la propiedad de la
fun<;ión 6, se obtiene
174
Análisis de Fourier
PROBLEMA 7.31
Solución:
Hallar la función de autocorrelación promedio del ruido blanco.
según la definición de ruido blanco, se tiene que
P(w) =K.
(7.128)
De la relación (7.120), se sigue que
Según la identidad ( 5 .4) de la función li, es decir,
-l
1
-oo
217
-oo
efWTdW = O('r),
se tiene.
R(-r) =K o(-r).
(7.129)
Por consiguiente, la función de autocorrelación promedio del ruido blanco resulta ser un
impulso.
PROBLEMA 7.32 La función de autocorrelación promedio de la corriente del ruido
térmico está dada por
(7.130)
donde
· k = constante de Boltzmann, k = 1,38 x .1 O- 23 julios/°K,
T = temperatura ambiente en grados Kelvin,
G = conductancia de la resistencia en mhos,
~ = número promedio de colisiones de un electrón, en un segundo.
Hallar la densidad espectral de potencia promedio, para la corriente del ruido térmico ..
Solución:
si se toma la transformada de Fourier de (7.130), se tiene
00
= kTG<Xi
e-eti'TI e-j(J.)'T d'r
-oo
2kTG
w2
1+-
(7.131)
a2
Puesto que ~. el número de colisiones por segundo, es del orden de 1012 , el factor
1 + w 2 1a 2 está cercano a la unidad para frecuencias inferiores a 1010 hz. Por consiguiente,
para frecuencias inferiores a 1010 hz, la densidad espectral de potencia promedio, para la
corriente del ruido térmico, se puede aproximar por medio de
P (w) = 2kTG.
(7.132)
Aplicaciones en teona de comunicaciones
7.8
Ryy ('t") =
175
RELACIONES ENTRE LA ENTRADA Y LA SALIDA:
CALCULO DEL RUIDO
1: 1:
h (A)
h (a) R"" ('T +a- A) dadA,
(7.133)
donde h (t) = j=-l [H(w)] =respuesta del sistema al impulso unitario
So 1ución:
en la ecuación (6.87) se demostró que la salida y (t) está relacionada con la
entrada x (t), por la integral de convolución, es decir,
y(t) =
Joo h('T) x(t- 'T) d'T.
-oo
(7.134)
Ahora bien, según la relación (7 .87), se tiene que
_
1 JT/2
Ryy ('t") = lim y(t) y(t-
•
T-'>oo T -T/ 2
'P dt.
(7.135)
Por la relación (7 .134), se puede expresary (t) y y (t- ¡)como
y (t)=
loo h (A) ~ (t -A) dA,
(7.136)
-00
y(t-'T)=
roo h(a)x(t-'T-a)da.
(7.137)
.l.,....oo
Sustituyendo {7 .136) y (7 .137) en (7 .135), se obtiene
_
Ryy('L)=j~r:
T1 JT/2
-r;
[Ioo h(A)x(t-A)dA
.
foo h(a)x(t-'T-a)daJ dt .
-oo
-oo
2
.,
.
(7.138)
Intercambiando el orden de la integración se puede expresar la relación (7 .138) como
JT/2
]
-1
xS!- A) x(t- 'T- a).dt dadA.
T -T/2
..
(7.139)
Dado que,
1JT;2..
Rxx('T+a-A)= lim T
T-'>oo
.
-T/2
;
x(t-A)x(t-'T-a)dt,
(7.140)
Análisis de Fourier
176
la ecuación (7 .139) se convierte en
Ryy (T) =
J"" l""
h (!..)
-oo
Solución:
h (a) Rxx (t:
+a~ !..)dad!...
-oo
porla ecuaéión 7.119, se tiene que P0 (w) está dado por
P 0 (w) = ~[Ryy(T)] =
Joo Ryy(T) e-¡w-r: dT.
(7.142)
-0<1
Sustituyendo (7.133) en (7.142), se obtiene
Po (w) =
L: [L: L:
h (!..)
h (a) Rxx (T +a- !..)dad!..] e-Jw'f: dT.
(7.143)
Con el cambio de la variable ll == r + a- A, seguido por una separación de variables,
se obtiene
oo
. oo
· "
oo
.
P 0(w) =
h (l..) dA.
h (a)da
Rxx {¡.t) e-iW(f.L-rJ+ A) d¡;.
i
-00
i
I
-00
-00
(7.144)
Puesto que
H (w) =
i""
h (T) e-¡w-r: dT,
-00
y h (t)es siemprereal,
1:
H*(w) =
h(T) e¡w-r: dT ..
Entonces, la ecuación (7 .144) se puede expresar como
P 0 (w) = H (w) H* (w) P 1 (w).
Dado que H(w)H*(w) == IH(w)l 2 , seiiene
Po (cy) = IH (wW P 1 (w).
(7.145)
177
Aplicaciones en teqría de coinunicacione~1
PROBLEMA 7.35 Hallar la función de autocorrelación'promedio, de la salida del
circuito RC para bajas frecuencias, que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada es
ruido blanco. Así mismo, hallar la media cuadrática del voltaje del ruido en la salida.
R
según el resultado (6.100) del problema (6.19), la respuesta ÍIÍlpulsiva h (t)
del circuito está dada por,
So 1u ció n:
·_c_I. .~o-----S-a-lid-o()
h (t) = _!.._ e-ti RC U (t),
·
EotrOOit--(t-)__
RC
mientras que, según.(7.129), la función de autocorrelación promedio. de la entrada (que es
el ruido blanco) está dada por
o
Rxx(t:) =K (t:).
Entonces, mediante la relación (7 .133), se obtiene
R
(t:)=f
1
. foo . K
-_e-A/Rcu(,\)
- · e-u/Rcu(a)o(t:+a-,-,\)dad,\
oo
RC
YY
-oo
-oo
RC
= - K- -loo e-U/RC u(a) ioo o(í:+a-,\)e-A/RC U(A)d,\da.
(RC) 2
.
(7.146)
-oo
-00
Recordando la propied¡¡.d (2.68) de la función 8, se tiene
Ryy(T) = ~foo e-u/RC u(a) e-cr+u)/RC da
(RC)2 _00
_._
.
e-1:/ RC e- 2ct/ RC da
K _ loo
(RC)2 o
.
dado que u(a) =O, para(]< O, y u(a) = 1, para a> O.
De donde,·
R
YY
(T)= ~ e-1:/RCloo·e-2u/RCda = ~e-1:/RC.
(RC) 2
2RC
o
.
(7.147)
La ecuación (7.147) es válida sólo para valores positivos de r; sin embargo, como la
función de autocorrelación es una función par de 1: ·[ver 4.148], se tiene
K . 1 ·¡ ·'
Ryy (t:) = - - e- 1: 1 RC,
-oo < t: < oo.
2RC
(7.148)
La media cuadrática del voltaje del ruido en la salida está dada por
1
JT/2 [y(t))2 dt Ryy
- (O)= -K .
T
-T-/ 2
lim T4oo
=
(7.149)
2 RC
Hallar la densidad espectral de potencia, para)a salida del circuito RC,
que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada es ruido blanco. Así mismo, comparar
la media cuadrática del voltaje del ruido en la salida, con el valor, obtenido mediante la
relación (7.121).
PROBLEMA 7.36
Solución:
según (6.99), la función del sistema,H(w), del circuitoRC, está dadapor
1
RC [6.99]
H (w) =
jw +
1
RC
Figura 7.13
El circuito RC para bajas
frecuencias del problema
7.35.
178
Análisis de Fourier
~:'
La densidad espectral de potencia de la entrada {ruido blanco), está dada por
[7 .128]
P; (w) =:K.
De esta manera, según (7 .141 ), la densidad espectral de potencia de la salida, está dada por
(kY K.
P 0 (w) = IH(w)l 2 P;(w) =
Ú)2
(7.150)
+(;¿y
Por (7 .121 ), se tiene que la media cuadrática del voltaje de salida, se puede evaluar a partir
de P 0 (w); de esta manera, se obtiene
lim
.!_
T->oo
T
JT [y
12
(t)F dt =
__!_foo P (w) dw
217 _00
-T/ 2
=
0
c/w
K
foo
2
277 (RC) _OC:
2
Ú)
(
+ -
1 )
2
RC
K
(7.151)
- -2RC
lo cual está de acuerdo con el resultado (7 .149).
7;9
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Demostrar que una función periódica de banda limitada; sin armónicos
de orden superior a N, se puede especificar unívocamente por su valor en 2N + 1 instantes·
d€> un período.
'
[Sugerencia: con 2N + 1 incógnitas, una función periódica de banda limitada tiene la forma
PROBLEMA 7.37
N
f(t)=Co+
Len
cos(wot+<f.ln),
ll=l
Wo =
277 . J
T
Considerar las funciones muestradoras
PROBLEMA 7.38
.+.
'f'n
( ) _
t -
sen wM (t- nT)
wM(t-nT)
'
n = O, ±1, ±2, · · · ,
donde wM + 2rr/M, Y T= 1/(2/M). Demostrar que (a) tl>n(t) son ortogonales en el
intervalo- oo < t < oo, y {b)
1:
<Pn (t) <P~ (t) dt = Tonm,
donde ónm es la delta de Kronecker.
[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 4.23, y el teorema de Parseval.]
PROBLEMA 7.39 Sif(t) es una señal de banda limitada, esto es, F(w) = ~ [/{t)] =O,
para 1w 1> w e• demostrar que
J""·-oo
f(t)</Jn (t) dt = T f(nT),
Aplicaciones en teon'a de comunicaciones
179
donde C/Jn(t) es la función muestreadora del problema 7 .38, para todo C/Jn(t) del mismo
problema, con wM > wc.
[Sugerencia: multiplicar (7 .16) por C/Jn(t), integrar entre- oo e oo, y utilizar el resultado
del problema 7 .38.]
PROBLEMA 7.40 Utilizando el teorema de convolución en el tiempo, dado por (4.122),
verificar el resultado del problema 7.39.
[Sugerencia: ver el problema 4.95.]
PROBLEMA 7.41 Sea f(t) una seííal de banda limitada, cuyo espectro es cero fuera del
intervalo de- fM a fM Hertz. Sif(t) se muestrea a una, rata de 2fM muestras por
segundo, probar que
Demostrar que el producto de una sefial de AM, con una onda periódica
cuya frecuencia fundamental es la frecuencia de la portadora de la sefial AM, incluye
un término proporcional a la sefial m (t).
PROBLEMA 7.42
PROBLEMA 7.43 Demostrar que la sefial DBLPS se puede demodular, multiplicando la
sefial por cualquier sefial periódica, cuya frecuencia fundamental es la frecuencia portadora
de la sefial DBLPS.
La eliminación de una banda lateral en una sefial DBLPS, produce
una sefial denominada sefial de AM de banda lateral única (BLU). La figura 7.14 muestra
un diagrama de bloques del método de defasamiento' para producir una sefial BLU.
Obtener: (a) la sefial DBLPS,f1 (t), multiplicando el mensaje dado, m (t), por una.
portadora cos wct, y (b) la sefial DBLPS,[2 (t), multiplicando la portadora defasada en
- f 1T, por el mensaje también defasado en - f 1r. Demostrar también que [ 1 (t) - [ 2 (t),
produce una sefial BLU.
PROBLEMA 7.44
Modulador
DBLPS
C.OS
f¡(t)
w/t)
m(t)
Señal BLU
_117
2
_117
;;,( t)
2
·Modulador
DBLPS
f2(t)
Defasador
Figura 7.14 Diagrama de bloques dei método de defasamiento para producir una señal BLU.
(a) Démostrar que la seííalf(t) =m (t) cos.wct, donde m (t) es una
onda periódica cuadrada, se puede expresar como la sefial modulada en fase
cos [wct+cp(t)]. (b)Hallarcp(t).
PROBLEMA 7.45
Respuesta: si se tiene
para O < t < T /2
1
.
m(t) = {
-1
y
para T/2 < t < T
m(t+ T)=m(t),
Análisis de Fourier
180
entonces tf>(t) también es una onda periódica cuadrada, es decir,
para O < t < T /2
c/J(t+ T) = c/J(t).
y
para T /2 < t < T
t
t
m ('I) d'I «
Las señales de FM con c/J ( t) = k 1 {
PROBLEMA 7.46
rr para todo
-oo
valor de .t, se denominan señales de FM de banda angosta. Hallar la ecuación y el espectro
de frecuencia de una señal de FM de banda angosta.
Respuesta: A cos Wc t - A c/J ( t) sen Wct,
A [8(w-wc)+8(w+wc)J- Ak¡ [M(w-wc)-M(w+Wc)],
2
2w
dondeM(w) = j= [m(t)].
Compél;I"ar y- hallar las diferencias entre una señal de FM de banda
angosta y una señal ordinaria de AM. (Cf., problema 7 .46.) .
PROBLEMA 7.47
PROBLEMA 7.48 Hallar el espectro de la señal MAP (7 .79), si g(t) es el pulso
rectangular periódico y simétrico, que se muestra en la figura 7.15. Esta señal especial
MAP también se denomina señal recortada.
O
T
L 1a n_ [M{w- (2n- 1)w l +
00
Respuesta:
2
"=1
-1
1
0
M{w + (2n- 1)w0 lJ. con
'
-__4___
(2n- 1)rr
para (2n- 1) = 1, S,· · ·
·
-4
(2n- 1)rr
para (2n- 1) = 3, 7, · · · .
a2n-1 =
{
Figura 7.15
El pulso rectangular periódico
y simétrico del problema 7 .48.
(Cf., problema 2.13.)
PROBLEMA 7.49 Demostrar que la función de autocorrelación promedio R (¡),es
11
una función par de ¡.
PROBLEMA 1.50 Demostrar que la derivada de la función de autocorrelación promedio
de f(t), es el negativo de la función de correlación promedio de f(t) y df1dt; esto es,
dRff/d'I= -R.t at;at··
PROBLEMA 7.51
De dos señales periódicas / 1 (t) y [ 2 (t) con período T, se dice que
no están correlacionadas o son incoherentes, si para todo valor.de r, se cumple que
Rt 2 ('I)= ~-
i
T/2
T/2
•
T/2
l¡(t)f2(t-'I)dt=l_I
f 1 (t)dixl_J
f 2(t)dt;
-T/2
T -T/2
T -T/2
es decir, la función de correlación promedio de [ 1 (t) y / 2 (t), es igual al producto del
promedio de / 1 (t) y / 2 (t) en un período.
Demostrár que el valor cuadrático medio deJa suma de dos señales periódicas
incoherentes, es la suma de los valores cuadráticos medios de las dos señales, cuando el
valor promedio de cada señal es cero
181
Aplicaciones en teoría de comunicaciones
PROBLEMA 7.52 Demostrar que el espectro de la densidad de pofencia de una onda
senusoidalA sen w 1 t (óA cos w 1 t); esP(w) = f A 2 [8(w- w 1 ) + 8(w w¡)].
[Sugerencia: utilizar el resultado del problema 7.20.]
+
Sistema Lineal
Dos señales/aCt) y fb(t) se aplican a dos sistemas, como se muestra
en la figura 7.16, siendo las salidas resultantes/1 (t) y / 2 (t), respectivamente. Expresar la
función de correlación promedioR12 , de / 1 (t) y / 2 (t), en términos deRab• h 1 (t) y h 2 (t),
donde h 1 (t) y h 2 (t) son las respectivas respuestas de los dos sistemas al impulso unitario.
PROBLEMA 7.53
Respuesta:
R12 ('t") =
1:h (Á)L: Rab + a- Á)
('t"
1
h 2 (a) dad
Si la densidad espectral S 12 ( w), de dos funciones / 1 (t) y / 2 (t), está
definida por S 12 (w) =S: [R 12 (-¡;)], demostrar que para los dos sistemas del problema .
7.53, sé cumple
S 12 (cu) = H 1 (cu) H~ (cu) Sab (cu),
Hallar la función de autocorrelación promedio, de la salida del
circuito para bajas frecuencias que se muestra en la figura 7.13, cuando la entrada tiene
una función de au tocorrelación promedio de la forma R~ x ( 't") = a K e -al T\ .
PROBLEMA '7.55
i
.
[ e-'-aiTI - -a e -biT!]
· , donde b = - 1 . .
b
,
RC
2
YY
b aK
2(b2-a2)
PROBLEMA 7.56 El coeficiente faK, deRxx(-c) del problema 7.55,ha sido seleccionado
de tal manera que la entrada tenga una densidad espectral K cuando w = Ó. Luego, a bajas
frecuencias la densidad espectral es la misma del ruido blanco. Demostrar que cuando a ;!!>
1/RC = b, el resultado del problema 7.55 se aproximaJil resultado (7 .148) del ruido blanco.
[Sugerencia: expresar Ryy(1:) como
R ('t")=bKe-biTi[
1
2
(1 - b 2 ja 2 )
YY
.
( 1 _E._e-<a-b)IT1)].]
a
PROBLEMA 7.57 SeaF(w) =R (w) + jX(w), la transformada de Fourier de una
función real f(t), y F(w) la transformada de Fourier de /(t), donde /(t) está definida
por
1 ['""
f(t) = ;
[X(cu) cos cut+ R(cu) sen cut] dcu.
o
l
Demostrar que (a) la relación entre /(t).y f(t) es
11 !
00
f(t)
00
=;
o
f(x) sen cu(t -x) dxdcu;
-00
(b) la relación entre F(w) y F(w) es
F (cu) = -j sgn cuF(cu).
[Sugerencia: (a) utilizar 4.19-20; (b) sustituir
R(cu) = .!. [F (cu) + F (-cu)]
2
y
(a)
Sistema Lineal
H 2(cu), h 2(t)
(b)
Figura 7.16
donde Sab(w) es la densidad espectral de faCt) y fb(t);H 1 (w) y H 2 (w) son las funciones
respectivas de los sistemas.
('t") =
l¡(t}
h 1(t)
Á.
PROBLEMA 7.54
.
-R
Respuesta:
H 1(cu),
X(iv)= 1. [F(cu)-F(-cu)]
2. 1
Los dos sistemas del
problema 7 .53.
182
Análisis de Fourier
1
en la definición def(t), y observar que f(t) = 277
6.50y9.55.]
A
A
PROBLEMA 7 ~58
iOC) F (w) e ·w't dw. [Verlos problemas
A
1
-00
La señal analítica f+(t) relacionada con la señal realf(t) está definida
por
f +(t) = f(t) + j f(t ),
donde /(t) es la señal definida en el problema 7.57. Demostrar que si j= [/+ (t) == F+ (w ),
entonces
2F(w),
F +(w) = 2F(w)u(w) =
{ O,
w>O
w <O,
donde u(w) es el escalqn unitario.
PROBLEMA 7.59 Hallar la señal analítica relacionada con la señal/(t);:;: cos wt.
[Sugerencia: ver el problema 6.5 1.)
Respuesta: f+ (t) = cos wt + j sen wt = e ¡wt.
PROBLEMA 7.60
· Con frecuencia es conveniente representar una señal real arbitraria
f(t), como una senusoide de la formaf(t) ==A (t) cos 8 (t), que es una onda modulada
en amplitud y en ángulo; en esta expresión, A (t) se denomina la función envolvente,
O(t)lajUnción de fase, y W¡ ==dO(t)/dt la frecuencia instantánea de la señalf(t). Sea
/(t) la señal definida en el problema 7.57; entonces la función envolvente A (t) se puede
definir mediante
A(t)=
f(t)
· · cos ltan- 1 [f(t)/f(t)]l '
y la función de fase se puede definir mediante
O(t) = tan- 1 [f(t)/f(t)] .
. Utilizando las anteriores definiciones, expresar f(t) ==A sen wt, donde A y w son
constantes, en la forma de una senusoide modulada en amplitud y en ángulo.
Respuesta; f(t) =A cos (wt- ~).
Hallar la frecuencia instantánea de la señal/(t) == 1/(1 + t 2 ).
[Sugerencia: ver el problema 6.51(b).]
PROBLEMA 7.61
Respuesta: w; = 1/(1 + t 2 ).
"-----
APL-ICACIONES A
PROBLEMAS DE VALOR
EN LA FRONTERA
8.1
SEPARACION DE VARIABLES Y
SERIES DE FOURIER
183
8
CAPITULO
184
Análisis de Fourier
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
185
f(x)
Hallar la solu,ción de la ecuación (8.1 ), con las condiciones de
frontera dadas por (8 .2), pero con deflexión inicial triangular (figura 8.1) y velocidad
inicial cero;
PROBLEMA 8.2
2
k x
para O< x < _! l
1
2
u(x,O) = f(x) =
·
.
{ -2k (l - x) para -1 1 < x < l,
l
2
au(x,t)l
at
- ()-0
-g
X •
1=0
·
2
(8.24}
(8.25)
puesto que g(x)= 0, entonces, por (8.23), se concluye que,Fn =O. Por el
resultado del problema 2 ..19, se observa que los coeficientes En de (8.21), están dados por
(2.63); es decir,
Soíución:
Figura 8.1
.
Deflexión inicial triangular.
'
186
Análisis de Fourier
Por tanto, la serie de Fourier de f(x) en términos de senos, _está dada por (2.64); es decir,
u(x, O)=
~~ (sen
"t -;
2
sen
3
~x + ;
2
sen S~x - .. }
Luego, por (8.18), se tiene
8k (
11 x
e 11 t
1
3 11 x
3e 11 t
)
u (x, t) = - 2 sen - cos - - - - 2 sen - - cos
+ ··· .
1T
l
l . 3
l
Solución:
(8.26)
la solución general de la ecuación (8.1) está dada por (8.18); es decir,
00,
n x ( En cos en- ·t + Fn sen-en t ) .
L Sen-l
l
.
l
11
u(x, t) = •
11
11
[8.18]
n=l
Puesto que la velocidad inicialg(x), es cero, por (8.22) se deduce que los coeficientes Fn
son cero, y la expresión (8.18) se reduce a
u(x, t) =
""
nrrx
enrrt
L En sen -l- cos - l- .
(8.28)
Utilizando la identidad trigonométrica
1
.
.
sen A cos B = - [sen (A - B) + sen (A + B)],
2
se sigue que
n 11 x
en 11 t · 1 [
n 11
n 11
]
sen - -. cos - - =
sen,/ (x- et) +sen l (x + et) .
1
1
2
Por tanto, se puede expresar (8.28) en la forma
1 Loo
nrr
, 1 Loo
nrr
u(x,t) = En sen- (x- et) +En sen - (x +et).
2
l
2
1
n=l
(8.29)
n='l
Comparando con (8.19), se concluye que las dos series anteriores son las obtenidas
sustituyendo ( x - ct) y (x + ct), respectivamente, por la variable x en la expansión
de f(x), dada por (8.19). Por consiguiente~
u (x, t) = .! f,(x - et) + .! f,(x +et),
2
2
donde [ 1 (x) es la extensión periódica impar de f(x), siendo el período 21, el cual se
muestra en la figura 8.2.
f(x)
f 1 (x-cl)
f 1 (x)
Figura 8.2
Extensión periódica de f(x) del problema 8.3.
Figura 8.3
Gráfica de f¡ (x) y f¡ (x- ct) del problema 8.3.
·Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
187
La gráfica de / 1 (x - ct) se obtiene de la gráfica de / 1 (x ), d0SJI8zándola ct unidades
a la derecha (figura 8.3). Se reconoce, así mismo, que es posible permanecer en un valor
particular de la función conservando el argumento, x- ct, constante; es decir, con
movimiento en la dirección x positiva y velocidad e mientras t aumenta. Esto significa
que / 1 (x - ct), (e > O) representa una onda que se propaga hacia la derecha. Análogamente
/ 1 ( x + ct) representa una onda que se propaga haeia la izquierda con velocidad e. Por
consiguiente, hi solución u(x, t) es la superposición de estas dos ondas.
Solución:
supóngase que la solución de la ecuación (8.30) es de la forma
u (x, y) =X (x) Y(y),
(8.33)
donde X(x) es función de x solamente, y Y(y) es función de y solamente. Si se sustituye
(8.33) en (8.30), se obtiene
X"(x)Y(y) + X(x)Y"(y) =O.
(8.34)
Dividiendo por X (x) Y (y) y separando las variables, se tiene
X"(x) - Y"(y)
-·--+--=0
X(x)
Y(y)
(8.35)
X"(x) = _ Y'·'(y)
X(x)
Y(y)
(8.36)
El primer miembro de la ecuación (8.36) es independiente de y, y por consiguinte, el
segundo miembro también lo es. El segundo miembro es independiente de x, el primer
miembro también debe serlo. Esto significa que las expresiones en ambps mie bros de la
ecuación (8.36), deben ser independientes de las dos variables x y y, e iguales a una
constante. Si la constante de separación se denota por k 2 , entonces,
X"(x)
Y"(y)
2
--=---=k.
X(x)
Y(y)
(8.37)
El signo de la constante de separación se escogió de tal manera que las condiciqnes de
frontera pudieran ser satisfechas. La ecuación (8.37) conduce a las dos ecuaciqnes
diferenciales lineales
X"(x)- k 2 X (x) =O,
(8.38)
2
(8.39)
Y"(y) + k Y (y) =O.
Las soluciones generales de (8.38) y (8.39) son
X (x) = A ekx + B e-kx,
(8.40)
Y(y) =ecos ky + D sen ky.
(8.41)
188
Análisis de Fourier
Según las condiciones de frontera, dadas por (8.31), sé tiene
X (O) = A + B = O,
Y(b) =D sen kb =O.
Y(O) =C =O,
De donde,
A =-B,
(8.42)
sen kb =O,
de lo cual se deduce que
kb = nrr
k -- nrr
b,
ó
n = 1, 2' . . . .
(8.43)
De esta manera se obtiene un conjunto infinito de soluciones Y (y) = Yn (y), donde
nrry
Yn(Y) = Dn sen - - . ,
b
n = 1, 2, · • · .
(8.44)
Las soluciones generales correspondientes a (8.40) se convierten en
Xn(x) = An(ekx- e-kx) ,= 2An senh kx
= 2A n senh nrrx
n = 1, 2, · • • •
b. ,
(8.45)
Por tanto, las funciones
nrrx
nrry
un(x,y) = Xn(x) Yn(y) =En senh -b- sen -b-,
n = 1, 2, · · · ,
(
8.46)
son las soluciones de (8.30) que satisfacen las condiciones de frontera (8.31). Obsérvese
que 2AnDn se reemplazó por la nueva constante arbitraria En.
,
Evidentemente una sola solución, un ( x, y), de (8 .46), no satisfacerá la otra condición
de frontera dada por (8.32). Dado que la ecuación (8.30) es lineal, se considera la serie
infinita
00
00
un(x,y) =LEn senh tl~x sen n~y.
n=l
n=l
·u(x,y) = L
(8.47)
Si se aplica la condición de frontera (8.32), se obtiene
-.¿; •
nrrd
u (d, y) = U0 = f....J En senh -b- sen
nrry
b
n=l
00
=
nrry
b , o< y< b,
L e sen-n
(8.48)
donde
en= En
nrrd
senh - - .
b
La ecuación (8.48) es una serie de Fourier en términos del seno, y los coeficientes en se
· pueden determinar c->mo [ver (2.51)]
2lb
e" = -
b
0
nrry
2U
0
Uo sen - - dy = - (1- cos nrr) =
b
nrr
sin embargo,
nrrd
b
en= En senh - - ,
{4Uo,
n=l,3,···
nrr
0,
n = 2, 4, ·. · ·.
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
189
y por consiguiente,
En = _ _ _4_U_,o_-__
n = 1, 3; S, ... ,
(8.49)
rrd)'
nrr senh ( n-b-
lo cual se puede sustituir en (8.47) para obtener la solución deseada: -
x,y) 4U ¿ 1
00
u(
0
= --
-
n
Tr
n=odd
8.2
senh (n~x)
senh (n~d)
sen nrry.
b
(8.50)
VIBRACION
y
O
Figura 8.4
a
Una membrana rectangular.
190
Análisis de Fourier
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
191
Análisis de Fourier
192
PROBLEMA 8.6
Hallar la solución de (8.51), con las siguientes condiciones de
frontera y condiciones iniciales:
u(x, y, t) =O para x =O,
x =a,
y= O,
y
y= b;
u(x,y, O)= xy (x-a) (y- b),
au 1~=o -o
at
- ·
Solución:
por(8.70),setiene
00
u (x, y, t) =
00
L L
m=l
(Gmn
cos kmnct + Hmn sen kmnct) sen
mTTX sen nTTy.
n=l
si se hace t =O; se tiene
00
·u(x,y, O)= L
"' L
"'G mn sen -amTTx sen nTTy.
b
m= 1 n= 1
a
b
. 193
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
De acuerdo con (8.76), se tiene
G
_ _4
b
a
.mn-
=4
-
.ab
bia
i
la
o
o
m77x
n77y
u(x,y,O) sen-- sen-- dx dy
a
m 77 x dx
x(x- a) sen-a
0
b
lb
n 77 y dy
y(y- b) sen--b
0
si n y m son impares
de otra manera.
Puesto que ou/otit=O =O, y de acuerdo con (8.78),Hmn =O, la solución final es
64a 2 b2
u(x,y, t) = - . -677
00
'\'
Loo-
L
1
--
m 3n 3
cos k
'
mn
m77 x
n 77 y
et sen --,sen--. (8.79)
a
b '
m=impar m=impar
Las pequeñas vibraciones transversales libres, dé una viga uniforme
sujeta por un extremo, que se extiende a lo largo del eje x, está regulada por la ecuación
de cuarto orden
2
if't~(x, t) + l_ a u(x, t) =O,
(8.80)
4
2
ax
e
at'
PROBLEMA 8.7
donde e 2 =El1(pA ), E= módulo de elasticidad de Young, 1 = momento de inercia de la
sección transversal de la viga; p = densidad,A =área seccional. Hallar la solución de
(8.80) que satisface las siguientes condiciones:
u (0, t) =o, . u (l, t) = o,
(8.81)
(8.82)
u(x,O) = x(l-x),
(8.83)
au 11=0 -o
•
(8.84)
at
So 1u ció n:
supóngase que la solución de (8.80) será de la forma
(8.85)
u (x, t) =X (x) T(t) .
. Sustituyendo (8.85) en (8.80), se tiene
x< 4 >(x) T(t) + _!_ X (x) T"(t) =O.
e•
1
Dividiendo por X(x) T(t) y_separando las variables, se obtiene
x< 4>(x) = _ l_ T"(t)
(8.86)
X(x)
e 2 T(t)
Puesto que el primer miembro de (8.86) depende sólo de x, y el segundo miembro
depende sólo de t, las dos expresiones en ambos miembros, deben ser iguales a una
constante. La constante, por ejemplo k 4 , debe ser positiva, por consideraciones físicas;
en particular, para hacer a T(t) oscilatorio. De esta manera, se obtienen las dos.
ecuaciones diferenciales ordinarias
194
Análisis de Fourier
x< >(x) - k X (x) = O,
(8.87)
T"(t) + c e T (t) =O.
(8.88)
4
4
2
Las soluciones generales de (8.87) y (8.88) son
X (x) =A cos kx + B sen kx +e cosh kx + D senh kx,
(8.89)
T(t) =Ecos k 2 ct + F sen k 2 ct.
(8.90)
Ahora bien, por las condiciones de frontera (8.81), se obtiene
X (O)= A +e= O,
(8.91)
X(l) =A cos kl + B sen kl +e cosh kl + D senh kl =O.
(8.92)
Puesto que
X"(x) = -k 2 (A cos kx + B sen kx- e cosh kx- D senh kx),
utilizando las condiciones de frontera (8.82), se tiene
X"(O) = -k 2 (A -e) =O,
(8.93)
X"(l) = -k (A cos kl + B sen kl- e cosh kl- D senh kl) = O.
(8.94)
2
Por (8.91) y (8.93), A +e= O, A- e= O, y por tanto, A =e= O. Entonces, por (8.92)
y (8.94), se tiene
B sen kl + D senh kl = O,
B sen kl - D senh kl = O,
y por tanto,
D senh kl =O.
B sen kl =O,
La segunda condiCión daD= O, dado que si senh kl =O, entonces k= O, y por tanto,
X(x) =O, lo cual daría una solución trivial. Entonces, por la primera condición,
sen kl = O,
esto es,
kl = nrr ·
o
nrr
k = -,
l
n = 1, 2, · · · .
(8.95)
De esta manera se obtiene el conjunto infinito de soluciones X(x) = Xn(x); es decir,
nrrx
Xn(x) = Bn sen - - ,
l
n = 1, 2, · · ·.
(8.96)
Puesto que
T '(t) = k 2 c (-E sen k 2 ct + F cos k 2 ct),
por la condición inicial (8.84), se obtiene
T'(O) = k 2 c F =O.
Por consiguiente, F =O, y las soluciones correspondientes Tn(t) se convierten en
(8.J7)
Por consiguiente, las funciones
n TT x
n• 71 2 ct
un(x, t) = Xn(x) Tn(t) = bn sen -·- cos - - - ,
.
l
[2
(8.98)
donde bn = BnEn, son las soluciones de (8.80) que satisfacen las condiciones de frontera
(8.81), (8.82), y la condición de velocidad inicial cero, dada por (8.84).
195
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera·
Para satisfacer la condición inicial dada por (8.83), se considera
()()
U (x, t)
=
L
Un(X, t)
n=l
()()
=L:
n 77 x
n 2 772 ct
bn sen -l- cos -. p-.
(8.99)
n=l
Por tanto, según (8.83), se tiene
·
L bn. sen -n77x- .
()()
u (x, O) = x (l- x) =
. '
l
(8.100)
n=l '
De esta manera los coeficientes bn son los coeficientes de Fourier en términos del seno,
de la función x( 1- x ), y están dados por
2
n77X
bn = l L x (l - x) sen - - dx
1
o
rl
paran impar
(8.101)
paran par.
la solución final es, por consiguiente,
. 8 l2
u (x t) = - 3
' · 77
""
'\'
L
w=impar
1
n 77 x
n 2 772 ct
sen - - cos --.-.
3
n
·z
f2
-
(8.102)
PROBLEMA 8.8
Determinar el desplazamiento u(x, t), de una cuerda infmita con
velocidad inicial cero. El desplazamiento inicial está dado por f(x), para- oo < x < 00•
Solución:
la función u(x, t) satisface la ecuación de onda de una dimensión
a u(x, t) =o
c
ae ..
' [8.1]
< x < oo,
(8.103)
1
2
1
2
y las condiciones iniciales
u(x, O)= f(x),
au(x,t)l
at
-oo
=0.
(8.104)
t=o
Procediendo como en el problema 8.1, se sustituye
u(x, t) = X(x) T(t)
en la ecuación (8.1), lo cual conduce a dos ecuaciones diferenciales lineales
X"(x) + k 2 X(x) =O,
2
2
T"(t) + c k T(t) =O.
las funciones
· X (x) = A cos kx + B sen kx,
. T(t) = C cos kct + D sen kct
son las soluciones de (8.105) y (8.106), respectivamente.
(8.105)
(8.106)
196
Análisis de Fourier
Utilizando la condición inicial (8.104), se obtiene
T'(O) = kc D := O.
De donde, D =O, y
u (x, t; k) = (F cos kx. + G sen kx) co~ kct
(8.107)
es una solución de (8.1) que satisface la condición (8.104).
Cualquier serie de las funciones (8.107), hallada de la manera usual; tomando k como
múltiplos de un número fijo, conduciría a una función que es peri_ódica en x cuando t = O.
Sin embargo, como f(x) en (8.103) no se supone periódica, es natural usar la integral de
Fourier en el presente caso en vez de las series de Fourier.
Puesto que Fy Gen (8.107) son arbitrarias, se pueden considerar como funciones
de k, y expresar, F= F(k), y G = G(k). Como la ecuación de onda (8.1) es lineal y
homogénea,la función
u (x, t)
=loo u (x, t; k) dk =loo [F (k) cos kx + G (k) sen kx] cos kct dk (8.108)
también es solución de (8.1 ).
Por (8.103), se tiene
u(x, O)= f(x)
=loo [F(k) cos kx + G(k) sen kx] dk.
(8.109)
.,
Ahora bien, por el teorema de la integral de Fourier
f (t) = ;
loo [f_: f (x) cos (t- x) dx] dÚ),
Ú)
[ 4.12]
se p.uede expresar
f (x) = ;
loo [i: f (y) cos k(x -y) dy] dk
(8.110)
=;loo [1: f(y)(coskxcosky+senkxsenky)dy] dk
= ;
loo [cos kx
Si se hace
1:
11
f(y) cos ky dy + sen kx
00
.
-"" f(y) cos ky dy,
F(k) = -;;
G(k)
i:
f(y) sen ky dy] dk.
(8. 111)
=-;;1 Loo
-oo f(y) sen ky dy,
entonces la expresión ( 8.111) se puede expresar en esta forma:
f(x) = ioo[F(k) cos kx + G(k) sen kx] dk.
(8.112)
Comparando (8.112) y (8.109), se puede expresar (8.109) como
u(x,O)
=f(x) =; ioo [i: f(y) cos k(x-y) dy] dk.
Entonces, por (8.108), se tiene
u (x, t) = ;
ioo [
L:
f(y) cos k(x- y) cos ,kct dy] dk.
(8.113)
(8.114)
197
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
Mediante la identidad trigonométrica
1
cos k(x- y) cos kct =
2 [cos k(x + ct- y)+ cos k(x- ct- y)],
la ecuación(8.114) se convierte en
u (x, t) =
[L:
~ loo [L:
~ ; loo
+
!(y) cos k (x + ct -y) dy] dk
;
(8.115)
!(y) cos k(x- ct- y) dy] dk.
Si se reemplaza x por x ± ct en (8.110), se tiene
f(x ± ct) = ;
loo [l:
!(y) cos k(x ± ct- y) dy] dk,
y comparando esto con (8.115), se obtiene
u(x, t) =
1
2
{,(x + ct) +
1
2
(8.116)
f(x- ct)
que es la ecuación ya conocida, de las ondas viajeras (ver el problema 8.3).
PROBLEMA 8.9
Utilizando la transformada de Fourier resolver nuevamente el
problema 8.8.
Solución:
sea la transfomiada de F ourier de la solución u ( x, t) con respecto a x,
la dada por
=~[u(x, i~] =J u(x, t) e-isx dx;
00
U(s, t)
-00
entonces,
u(x,t)=Jc¡::-1 [ U(s,t)] = 1-
2rr
(8.119)
'
Joo U(s,t)e ' xds.
15
-00
.
(8.120)
Se supondrá que las soluciones u(x, t) y ou (x, t)/ox, son pequeñas cuando lx 1 se hace
grande, y tienden a cero si x - . ± 00 •
Sean
_ d2 u (x, t)
uxx (x, t) -
,
aX2
,
Ux(x, t) = éJu(x, t)'
éJx
Ut(x, t) =
'
.
éJu (x, t).
éJt
Análisis de Fourier
198
Mediante integraciones parciales sucesivas se encuentra que la transformada de Fourier es
j=[uxx(x, t)] =
=
L:
I
Uxx(x, t) e-Jsx dx
(x=oo)
e-Jsx dux(x, t)
(x=-oo)
= e-Jsx ux(x,
t)[
+ js
00
= js
I
(X=OO)
= -s
2
ux(x, t) e-Jsx dx
e-Jsx du (~, t)
(x=-OO)
=is e-Jsx
L:
.
u(~,t)l_: -js(-js)
1:
u(x,t) e-Jsx dx
(8.121)
U(s, t)
dado que ux(± oo, t) =u(± oo, t) =O.
La transformada de Fourier de utt(x, t) es (puesto que se está tomando la
transformada con respecto a x)
j= [utt(x, t)]
=L.:
u 11 (x, t) e-Jsx dx
a2 {"" u (x, t) e-Jsx
. dx.
at -oo
= -
2
= uttCs, t).
(8.122)
Aplicando ahora la transformada de Fourier a la ecuación de onda (8.1) y por (8.121) y
(8.122), se obtiene
-s 2 U(s,t)-
1
U11 (s,t)=0,
e2
o
a
2
U(s,t) + s 2 e 2 U( s, t ) = O
-----'---'---'2
at
(8.123)
que es la ecuación de la transformada U(s, t).
La solución general de (8.123) es
U (s, t) =A (s) eis~t + B (s) e-Jsct,
(8.124)
donde A (s) y B(s) son constantes con respecto a t. Aplicando la transformada de
Fourier a las condiciones iniciales (8.103) y (8.104) se obtiene
U (s, O) = j= [u (x, O)] = Joo u (x, O) e-Jsx dx
-""
=
Joo f(x) e-Jsx dx
-00
= F(s),
U1(s, 0) = ~(u 1(x, t) \ t=O ) = O.
(8.125)
(8.126)
Por las relaciones (8.125) y (8.126), A (s) y B(s) de (8.124), se pueden evaluar ahora, de
la siguiente manera:
F(s) =U (s, O)= A(s) + B (s),
O= U t(s, O)= jse [A (s)- B(s)].
•
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
199
Resolviendo A (s) y B(s) en estas dos ecuaciones algebraicas, se obtiene
.
1
A(s) = B(s) =
F(s).
2
Por tanto, según (8.124), se tiene
U (s, t) = ~ F(s) efsct + ~ F(s) e-fsct.
(8.127)
La solución deseada u(x, t), es la transformada inversa de Fourier de U(s, t), en particular,
u (x, t) =
~- 1 [U (s, t)] = ~ S:-' [F (s) efsctl + ~ ~- 1 [F (s) e-fsct].
(8.128)
Por medio de la propiedad de desplazamiento en el tiempo, dada por (4.73), se tiene
~- JF(s) efsct] = f(x + ct),
1
1
~- [F(s) e-fsct] = f(x- ct).
.De esta manera,
1
1
2
2
u(x,t)=- f(x+ct)+- f(x-ct)
que es el mismo resultado obtenido en (8.116).
8.3
CONDUCCION DE CALOR
(8.129)
(8.130)
200
Análisis de Fourier
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
201
202
Análisis de Fourier
Aplicaciones a problemas de valor en la fron.tera
203
PROBLEMA.8.12 Utilizando la técnica de la transformada de Fourier, resolver
nuevamente el problema 8.11 ..
Solución:
1:
sea la transformada de Fourier,de la soluc~ón u (x, t),con respecto a x, la
dada por
U (s, t) = 5' [u (x, t)] =
entonces,
.
1
u(x,t)=Jc¡:-1 [ U(s,t)] =
-
277
u (x, t) e-isx dx;
(8.165)
foo U(s,t)e · ds.
(8.166)
1s x
-00
!)
Se supondrá que las soluciones u(x, t) y au(x, t)/ax son pequenas para valores grandes
de 1x 1 y se acercan a cero a medida que x ~ ± oo.
·
Según (8'.121), la transformada de Fourier de u;x(x, t) es
(8.167)
La transformada de Fourier de UtCx, t) es
5' [u 1(x, t)] =
'
l
oo
-00
u 1(x, t) e-Jsx dx = -
a
at
U (s, t)
= U¡(s, t). ·
·
(8.168)
204
Análisis de Fourier
Aplicando ahora la transformada de Fourier a la ecuación del calor (8.133), se obtiene
-s 2 U (s, t)- _!_ U¡{s, t) =O
c2
o
aU(s,t) +e 2 s 2 -U(s, t)-O
- .
at
(8.169)
La solución de la ecuación (8J69) es
2 2
-U(s,t)=U(s,O)e-c s 1 •
(8.1-?0)
Pero aplicando la transformada de Fourier a la condición inicial (8.152), se obtiene
U (s, O)= Joo u (x, O) e-jsx dx
-00
=
J"'
f(x) e-Jsx dx
-00
=loo f(y) e-Jsy dy.
(8.171)
-00
1:
Reemplazando (8.171) en (8.170), se tiene
U (s, t) = e-c2s2t
f(y) e-Jsy dy.
(8.172)
Ahora se puede obtener la solución u(x, t) tomando la transformada de Fourier de
·
(8 .172); esto es,
(8.173)
Suponiendo que se puede intercambiar el orden de integración, se obtiene
u(x, t) =
Li: {i:
f(y)
e[Js(x-y)-c2s2t) ds} dy.
(8.174)
Para evaluar la integral interior se procede como sigue:
Por la tabla de integrales, se tiene
roo e-w dw == }ir.
2
(8.175)
loo
Ahora bien;
loo
ooe[Js(x-y)-.c2 8 2t]ds _=
-")2 exp ~(X-Y
+jcsyt
-oo
-oo
2c {t
f
>
Introduciendo una nueva variable de integración w, mediante
x-y
.
. Ti\
.
~ +]CSyf,=]W,
2cyt
(X- -y)2] ds
2cyt
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
205
se tiene
(8.176)
en razón de (8.175).
Sustituyendo (8.176) en (8.174), se obtiene fmalmente
1_1oo f(y)
u(x, t) = _ _
e-<x-y;2/(4c2t)
2c ..¡iit _00
dy
(8.177)
que es exactamente el resultado (8.163).
Hallar la temperatura u(x, t) de una barra semi-infinita, que se
extiende de O a 00• El extremo en x =O se mantiene a una temperatura de cero, y la
distribución inicial de la temperatura es f (x) para O< x < oo. Se supone que la
condición en el extremo infmito es tal que u(x, t)--- O, a medida que x-- 00•
PROBLEMA 8.13
hay varias maneras de resolver este problema, pero en este caso se utilizará
el método de las imágenes.
Como la temperatura en x =O se mantiene en cero, se extiende la función inicial
dada, f(x), x >O, a una función impar, para- 0:0 < x < oo; de esta manera, el problema
pasa a ser de una barra infinita. (Ver el problema 8.11.)
Por (8.177),-se tiene
1u(x, t) = - · ("' f(y) e-<x-y) 2 /( 4 c 2 t) dy.
[8.177]
2cv;f
Solución:
loo
.
Teniendo en cuenta el hecho de que,[(- y)=- [(y), se obtiene
u(x, t) = ._ _
1_
2c,¡7Tt
100 f(y)
e-<x-y)2/(4c2t)
dy + __
1_ (''" f(-y) e-<x+y)2/(4c2t) dy
2c,¡7Ti ) 0
0
.
(8.180)
que es la solución deseada.
8.4
TEORIA DE POTENCIALES
206
Análisis de Fourier
z
T(r, cp, z)
1
X
Figura 8.5
Coordenadas cilíndricas.
z
Hallar la distribución de potencial, de la caja rectangular que se
muestra en la figura 8.7, si el potencial es cero en los lados y en la base, y f(x, y)
en la parte superior.
PROBLEMA 8.14
sea u (x, y, z ) la distribución de potencial en la caja rectangular que se
muestra en la figura 8.7. Entonces, u(x,y, z) satisface la ecuación
So 1u ei ó n :
X
Figura 8.6
Coordenadas esféricas.
\j2u = llxx + Uyy + Uzz =O,
(8.185)
· u(O,y,z) = u(a,y, z) =u (x, O, z) = li(x, b, z) = u(x,y, O)= O,
(8.186)
u(x,y,c) = f(x,y).
(8.187)
y las condiciones de frontera
u= f(x, y)
El método de separación de variables, sugiere el suponer una solución a (8.185) de la
forma
u(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z).
y
(8.188)
Reemplazando esta solución en la ecuación (8 .185), ésta se reduce a
X"(x) Y (y)Z (z) +X (x) Y"(y) Z (z) +X (x) Y (y)Z"(z) = O.
(8.189)
.
Dividiendo por X(x) Y(y)Z(z) y separando las variables, se obtiene
X
Figura 8.7
X'.'(x)
Y"(y)
Z"(z)
- - - = - - + - - = k x2,
X (x)
Y (y)
Z (z)
La caja rectangular del
problema 8.14.
(8.190)
k!
donde
es la constante de separación. En este caso, la separación deperide del hecho
de que el primer miembro es independiente de y y z, y el segundo miembro es
independiente de x.
Por consiguiente,
X"(x) +k; X (x) = O.
(8.191)
Luego de una segunda separación, se tiene
_ Y"(y) = Z"(z) _ k2 = k2
Y (y)
Z (z)
x
Y'
(8.192)
Lo cual conduce. a las siguientes ecuaciones:
Y"(y) +k~ Y (y) = O,
(8.193)
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
.207
Z"(z) -_k';, Z (z) = O,
(8; 194)
dondek; =k;= k~. Las soluciones generales de (8.191), (8.193) y (8.194) son
X (x) =A cos kxx + B sen kxx,
(8.195)
Y (y) =e cos kyy + D sen kyy,
(8.196)
Z (z) =E cosh kzz + F senh kzz.
(8.197)
Según las condiciónes de frontera, dadas por (8.186), se tiene
X (O) = X (a) = O,
Y(O) = Y(b) =O,
Z (O)= O.
Por consiguiente,
X(O) =A= O,
X(a) = B sen kxa =O;
de donde,
- mrr '
k x-
o
a
m= 1 ' 2' •.•.
(8.198)
Análogamente,
Y (O)= e= o,
Y (b) = D sen kyb =O;
de donde,
k=nrr
Y
b '
o
n = 12
'
' .•..
(8.199)
Así mismo
Z(O) =E= O.
Expresando kz en términos de m y n,
o
(8.200)
se obtienen las soluciones
mrrx
X (x) = Xm (x) = Bm sen - - ,
a
nrry
Y(y) = Yn(Y) = Dn sen - - ,
6
m = 1, 2, · · · ,
·n = 1, 2, · · ·,
Z(z) = Zmn(z) = F;,n senh kmnz.
Luego, expresando bmn = B~DnFmn• se sigue que las funciones
= b,mn
mrrx
nrry
sen - - sen - .- senh kmnZ,
a
·
b
(8.201)
donde m= 1, 2, · · ·, n = 1, 2, ···,.con kmn deftnido por (8.200), son soluciones de la
ecuación (8.185), que satisfacen las condiciones de frontera dadas por (8.186).
Análisis de Fourier
208
Para satisfacer la condición de frontera dada por (8,187), se supone la solución
deseada en la forma
00
00
rn=l
n=l
00
=[
¿:
m=l
n=l
L L Umn(x,y,z)
u(x,y,z)=
00
bmn sen
mrrx
Sen nrry Senh k mnZ•
b
a
(8.202)
Si se hace
(8.203)
la condición de frontera (8.187) toma la forma
00
00
'\'
'\'
rn=l
n=l
mrrx
nrry
f(x;y) = ~ ~ Cmn sen -a- sen -b-,
O < x < a, O < y < b.
(8.204)
De esta manera, los coeficientes cmn son los coeficientes de la doble serie de Fourier en
términos del seno, que representa la función f(x, y) sobre el rectángulo indicado. Por
(8.76), estos coeficientes se determinan fácilmente como
cmn = - 4
ah
ibla
o
mrrx
nrry
f (x, y) sen ·- sen - dx dy.
a
b
·
o
(8.205)
Con estos valores de cmn' la notación de (8.203), solución (8.202), se convierte en
~
Loo cmn sen-mrrx
n rry senh kmnZ
sen
u(x,y,z) = ,~
a
rn=l
Senh kmnC '
b
(8.206)
n=l
donde kmn está definido por (8.200).
PROBLEMA 8.15
So 1u ció n:
Resolver el problema 8.14, si f(x,y)= U0 , siendo U0 una constante.
por (8.205), se tiene
Cmn = _±_
ab
ibia
la·
0
0
4U0
mrrx
sen - dx
a
= --
ah
16
Uo sen mrrx sen nrry dxdy
a
b
0
U~
lb
0
nrry
sen - dy
b
para m y nimpares
mnrr
=
{
para m y n pares
O
Por tanto, según (8.206), se obtiene
u(x,y,z) =
16~0 ~
rr
f-,
donde kmn = rr[(m 2 /a 2 ) + (n 2 /b 2 )]%.
mrrx
nrry senh kmnZ
1 sen-- sen--
~
~ mn
m=impar n=impar
a
b
senh kmnc'
(8.207)
209
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
PROBLEMA 8.16 Hallar la distribución de temperatura en estado estacionario, en una
placa semicircular de radio a, en la que las dos caras están aisladas, la parte circular se
mantiene a una temperatura constante U0 y su diámetro se conserva a una temperatura
de cero grados (figura 8.8).
Solución:
en la sección 8.3, la ecuación de flujo de calor se expresó como
\Fu- _!_
C
2
au =o.
at
[8.131]
En estado estacionario, la temperatura u es independiente del tiempo, por tanto,
ou /ot= O, y u satisface la ecuación de Laplace; es decir,
\/
2
u =O.
Figura 8.8
Como en este problema el flujo de calor es en dos dimensiones y las fronteras son
cilíndricas, se utilizará ellaplaciano de u en dos dimensiones y en coordenadas cilíndricas.
En consecuencia, por (8.183), se tiene
2
\ /2
2
u(r,c/J) = J u(r,c/J) + !:_ Ju(r,c/J) + _!_ J u(r,c/J) =O.·
Jr 2
r
r2
Jcp 2
ar
(8.208)
La temperatura u(r, cp ), considerada como función de r y cp, satisface (8.208) y las
condiciones de.frontera (figura 8.8)
u (a, c/J) = U0 ,
(8.209)
u(r, O)= O,
(8.210)
u (r, rr) = O.
(8.211)
1
El método de separación de variables, sugiere el suponer una solución a (8.208) de
la forma
u(r,c/J) = R(r)iP(cp). ·.
(8.212)
Reemplazando (8.212) en (8.208), se obtiene
R"(r)iP(cp)
+ _!_r R'(r)iP(cp)
+!
R(r)iP"(c/J) =O,
.
r2
.
-
o
r 2R"(r)iP(c/J) +rR'(r)iP(cp) + R(r)iP"(cp) =O.
(8.213)
Dividiendo (8.213) por R (r) <I> (cp), y separando las variables, se obtiene
·
R"(r)
R'(r)
iP"(cp)
r 2 - - +r - - = - - - = k2
R (r)
R (r)
iP (c/J)
'
(8.214)
donde k 2 es la constante de separación. En este caso la separación resulta del hecho de
que el primer miembro es independiente_ de cp y el segundo es independiente de r.
El signo de la constante de separación, se escogió de tal manera que la función <I> (cp)
estuviera expresada en términos del seno y del coseno en vez de funciones exponenciales.
La ecuación (8.124) conduce entonces a las dos ecuaciones siguientes:
r 2 R" (r) + rR' (r) - k 2 R (r) = O,
(8.215)
2
iP"(c/J) + k iP(cp) =o.
(8.216)
iP(cp) =A cos kcp + B sen kcp.
(8.217)
La solución general de (8.216) es
Para resolver la ecuación (8.215) se hace la transformación
La placasemicircular del
problema 8 .16.
Análisis de Fourier
210
Entonces,
R'(r) = dR = dR ds '= _! dR,
dr
ds dr
r ds
y (8.215) se reduce a
La solución general de esta ecuación es
R = e eks + D e-ks.
Como e 5 =r, entonces
R (r) = e rk + D r-k.
(8.218)
Según las condiciones de frontera (8.210) y (8.211), se tiene
<1> (O) = <1> (rr) = O.
Por tanto,
y
<1>(0) =A= O
<l>(rr) = B sen krr =O.
Puesto que resulta una solución trivial, si B =O, se debe tener sen krr =O, por lo cual
o
k= n,
n = _1, 2, · · · .
<l>(cf>) = <l>n(cf>) = Bn sen ncf>,
n = 1, 2, · · ·.
krr=nrr
De donde se hallan las soluciones
(8.219)
En (8.218) se observa que cuando r~ O, el término ,-k ~oo, dado que k=n >O.
Puesto que en r =O, R (O)= O, D debe ser igual a cero. De esta manera, se tiene
R(r) = Rn(r) =en rn,
n = 1, 2, · · ·.
(8.220)
Entonces, se sigue que las funciones
Un(r, e/>)= Rn(r)<l>n(cf>) = bn rn sen n cf>,
n = 1, 2, ... '
(8.221)
donde bn =BnCn, satisfacen la ecuación (8.208), así como las condiciones de frontera
(8.210) y (8.211).
Para satisfacer la condición de frontera (8.209), se supone la solución deseada en
la forma
,oo
u(r,c¡'>) =
00
L un(r,cf>) = L
bn rn sen ncf>.
(8.222)
n=l
Por (8.209), se tiene
00
(8.223)'
De esta manera, los términos bnan son los coeficientes de Fourier en senos, de la
función U0 , y
217T uo sen ncf> dcf>
bnan = -
o
77
4
=
{
Uo
n 1T
para n = 1, 3, · · ·
O
para n = 2, 4, · · · .
211
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
De donde,
4
b n -- rrna",
Uo
n = 1, 3, · · · .
Con estos valores de bn, la solución (8.222) se convierte en
,?: -;1 (r)·n
~ sen ncp.
00
4U
u(r, cp) = - :
(8.224)
n=unpar
Hallarla solución U(x,y) de la ecuación de Laplace en el senúplano
y> O, si u(x, O)= f(x) para-oo<x < oé> (figura 8.9).
PROBLEMA 8.17
So 1u ci ón:
y
t
a la ecuación de La place
1
1
1
Uxx(x,y) + Uyy(x,y) =O,
1 e
1
se aplica la transformada de Fourier con respecto a la variable x, en partic~lar,
I:
U(s,y) = S:[u(x,y)] =
1
1
o
u(x,y) e-Jsx dx.
(8.225)
La solución general de (8.225) es
U(s,y) = A(s) e 8 Y + B(s) e-sy.
(8.226)
Asínúsmo, se supondrá que u(x,y) está acotada cuando y---+ +oo. Por tanto, para
s>O, se hace A (s)=O; y
para s>O.
(8.227)
Puesto que U(s, O)= B(s), se puede expresar (8.227) como
para s>O.
U(s,y)=U(s,O)e-sy
(8.228)
Análogamente, paras< O, se hace B(s) =O, en (8.226), y se expresa
U(s,y)=A(s)esy para s<O;
(8.229)
Nuevamente, como U(s; O)= A (s), se puede expresar (8.229) como
U (s,y) =U (s, O) esy para s :<O.
Las dos ecuaciones (8.228) y (8.230) se pueden combinar en
-lsly
U(s,y) = U(s,O) e
.
Puesto que, u(x, O)= f(x), se tiene
U (s, O) = j= [u (x, O)] =
Por (8.231), se tiene
U(s,y) =
IL:
r:
.. X
u(x, O)=f(x)
Suponiendo que u(x,y) y ux(x,y) se anulen cuando x---+ ± oo, se obtiene la ecuación
para U(s,y) como [ver (8.121)]
U(s,y)=B(s)e-sy
1
1
(8.230)
(8.231)
f (x'.) e-Jsx' dx'.
(8.232)
dx'] e-lsly.
. (8.233)
f(x') e-Jsx'
Figúra 8.9
El semiplano del problema
8.17.
212
· Análisis de Fourier
I..a solución deseada u(x,y)es la transfonnada inversa de Fourier de (8.233); es decir,
1
u(x,y) =j=- [U(s,y)]
=__!__loo U(s,y) efsx ds
277
-oo
i: {i:
Intercambiando el orden de la integración, se obtiene
u(x,y) = 2177
f(x')
e[Js(x-x')-\s\Y] ds} dx'.
(8.235)
Ahora,
roo e [Js(x-x'>-\s\y] ds = j_ro e [Js(x-x')+sy] ds + loo e [Js(x-x')-sy]
d
·
s
j_
-00
o
-00
= efs( X-x')+ S y 10
+ ef S (x-x' )-S Y 100
j (x - x') +y
j(x - x')- Y o
_oo
1
1
j(x- x') +y
j (x- x') -y
2y
(x - x')2 + y2 .
(8.236)
Sustituyendo (8.236) en (8.235), se obtiene finalmente
oo f (x') dx' .y>O.
77 L (x - x')2 + y2
u(x,y)=~
(8.237)
-oo
8.5
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
PROBLEMA 8.18 Resolver la ecuación (8.1 ), utilizando las condiciones de frontera
dadas por (8.2) y con las condiciones iniciales
, {k
f(x)
u (x, O) = f (x) =
para O<x<a
X
a .
.
y
_k_ (l- x)
l-a
ex
Figura 8.1 O La condición inicial de la
cuerda elástica del problema
8.18.
=0.
au(x,t)l
at
para a<x<l,
t=o
Ver la figura 8.10.
f:
2
Respuesta: u(x, t) =
2 kl
l sen (n 77 a) sen(n 77 x)'cos(n 77 ct).
772a(l-a) n=t n2
l
l
l
PROBLEMA 8.19
Si la energía instantánea de una cuerda vibrante es
W
KE =
1
rl rau(x, t)rd
2 Pl L at ] x,
o
hallar la energía cinética de la cuerda vibraiJ.te del problema 8.18.
f:
2772 2
Respuesta: .l p
n
c
2 n=t 2!
A~ sen 2 (.n 77 ct), donde An =
l .
2
2kl
l.. sen (n 77 a) .
772a(l-a) n2
~
l
Aplicaciones a problemas de valor en la frontera
PROBLEMA 8.20
Probar que la función
u(x, t) = f(x- ct) + g(x + ct)
es una solución de la ecuación de onda en una dimensión, dada por (8.1 ), s\empre que
f y g sean dos funciones diferenciables de una sola variable.
PROBLEMA 8.21
La temperatura de una barra aislada de longitud 1, satisface las
condiciones de frontera u(O, t) =O, u(l, t) = 1, y la condición inicial u (x, O)= sen
(1Tx/(). Hallar (a) la distribución de temperatura después de un tiempo t, y (b) la
temperatura en estado estacionario, es decir, la temperatura en la barra a medida que
t~oo.
2 L
~ __
(-1)" e-A n t sen ( n11x ) , An = cn11,
Respuesta: (a) u(x, t) = X- +l
17 n.= 1
n
l
. l
2
(b) u(x,
PROBLEMA 8.22
con
t)l t=oo ~ ~l
Resolver
au
au
ax (0, t). =10, -ax (77, t) =o,
-
y
L (4n21-
u(x, O)= sen x.
00
Respuesta:
u(x, t)= l_ 1
17 n=1
17
PROBLEMA 8.23
2
2
e- 4 " e 1 cos 2nx.
1)
Resolver
con las siguientes condiciones de frontera e inicial: u(O,y) = u(a,y) = u(x, b) =O, y
u (x, O)= f(x).
Respuesta: u (x, y)=
f:
bn serih [n 17 (b- y)/ a] sen (nrrx), donde
n=
senh(n11b/a)
a
1
bn =
:la
~
PROBLEMA 8.24
f(x)sen (n;x) dx.
o
Resolver
2
2
a + a = 0 para 0 <
ax ay
U
U
2
2
X
< a,
0 < y < oo ,
con u(x,y)~o, cuando y~oo, u(O,y)=O u(a,y)=O y u(x,O)=x(a-x).
nrr). e- n7Ty. /a sen ( nfr x ) .
Respuesta: u (x, y) = -4a 2 Loo (1 - cos
·
.
rr 3
n3
a
"=1
PROBLEMA 8.25
.
.
Resolver
a2u+_!au+~ a2u =0
ar 2 . r ar r 2 ac~/
con u(r,O)= u(r,1r)=O y u(l,Q>)=Q>(1T-Q>).
parar<1,
0<cj1<1T,
213
214
Análisis de Fourier
L (2n-1
00
Respuesta: u(r, cp) =-ª.
,
n=l
7r
PROBLEMA 8.26
1
2
r " - sen(2n-1)cp.
1)3
Resolver
2
a u +.! au + 1 i'!_ =o
2
ar 2
r ar
r 2 acp
con
u(r, O)= O, a u (r, 1 rr) =O,
acf;
2
o< cp <!!.'
2
parar< 1,
-
u(1, cf;) = cp.
y
L (-1)l)-t (2n-1
00
Respuesta: u(r, cp) = .i
n=I
7r
2
r "-
2
1
sen (2n- 1)cf;.
1)
,
Hallar la distribución de temperatura u(x, t)de una barra infinita,
si la distribución de temperatura inicial es
PROBLEMA 8.27
O para x<O
f(x) =
{
·
T para x >O,
donde Tes una constante. (Cf., problema 8.11.)
erf(~)], donde erf y= 2_ JY e- ( d~.
2
Respuesta: u (x, t) = I_ [1 +
2
PROBLEMA 8.28
2cVt
Vrr
-
Utilizando la transformada de Fourier, resolver
2
a u - il!!_ = f(x, t)
ax 2
Respuesta: u(x, t)=
para
-oo <X< oo,
t >O,
at
~on la condición inicial u(x, O)= O para
t >O.
oo Joo -(x-(//4(1-'T)
\2vrr J-oo
e
-oo
H (.\)
PROBLEMA 8.29
0
={
~
t-e
H(t- e) f(~, e)d~de, donde
1 para .\ > O
O para .\<O.
Utilizando la transformada de Fourier, en términos del seno, resolver
a2 u - au = o,
ax 2
at
parax> .o'"'t.> o,
con u(x, O)= O, ¡>ara x >O, y u(O, t) = g(t), para T> O.
Respuesta: u (x, t) = ~
2 Vrr
f
0
1
g (e)
(t- e) 3 1 2
2
e -x / [ 4 (l- r)] de.
'
9
APLICACIONES
MISCELANEAS DE LA CAPITULO
TRANSFORMADA DE
FOURIER*
9.1
LATRANSFORMADA DE FOURIER EN
I:NFRACCION V FORMACION
DE IMAGENES
Figura 9.1
*Las secciones de este capitulo no pretenden ser una exposición completa y suficiente de los
temas respectivos.
215
La pantalla absorbente del
problema 9.1.
Análisis de Fourier
216
PROBLEMA 9.2
y
t
x
1
l l
1
l l
Considérese la difracción de una rendija que se extiende desde
=--k a, hasta x =t a, como se muestra en la figura 9.2(a). Supóngase que la amplitud
de la luz transmitida por la rendija es A veces la magnitud de la onda incidente, y que la
pantalla es completamente opaca en las otras regiones. Hallar la distrib~ción de la
intensidad de la luz, difractada en la dirección 8.
Solución:
según las suposiciones del problema, la característica de transmisión f(x)
~!!----~x es la que se muestra en la figura 9 .2(b) y está dada por
2
f(x) = Apa(x),
_e_
2
(9.6)
donde pix) se define como
{
'
f(x)
, Pa(x) =
.
O,
1
2
lxl <-a
1
2
lxl >-a.
'
Entonces, por el resultado (4.45) del problema 4.10, se tiene
------_¿--~----------~x
o. a
a
2
2
F(k) =
J""
sen
f(x) e-Jkx dx = Aa
(~a)
-oo
(b)
Figura 9.2
(T)
e)
=Aa
("a s:n e) ··
sen ( rra ~n
(a) La rendija del problema
9.2. (bl La característica de
transmisión de una sola rendija.
(9.7)
Como la distribución de intensidad de la luz difractada J, es proporcional al
cuadrado de la amplitud del patrón de difracción, se tiene
("a e)
("a ~n eJ
sen2
1 = (Aa) 2
sen
,\
,
(9.8)
donde a es el ancho de la rendija y A la longitud de onda.
Hallar la distribución de intensidad producida por una rejilla de
difracción, que consta de N rendijas de ancho a y separadas por una longitud d [figura 9.3(a)].
PROBLEMA 9.3
So 1u ció n:
eri el caso de una sola rendija, como se muestra en la figura 9 .2(b), la
característica de transmisión f(x) corresponde a un pulso de ancho a. En el caso de una
rejilla que consta de N rendijas de ancho a y espaciadas en una longitud d, la característica
de transmisión f(x) corresponde a un tren finito de pulsos como se muestra en la figura
9.3(b).
217
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
y
t
--~X
f (x)
(a)
t
Al
DDrDRD
-2d
o
-d
2d
d
A-------
----~------~--~~--------~x
.. X
o
(b)
Figura 9.3
(e)
(a) La rejilla de difracción del problema 9.3. (b) La característica de transmisión
de N rendijas. (e) Un pulso individual que ocurre en x =d.
Para hallar la transformada de Fourier de f(x) se procede como sigue:
Por la ecuación (9.7) se tiene la transformada de Fourier, F 0 (k), de l!tJ. pulso de
magnitud A y ancho a, localizado en el origen; es decir,
(T)
(k;)
217
F (k) = Aa sen
0
k = - sen
1\
e.
1
(9.9)
Entonces la transformada de Fourier de un pulso que ocurre en x =d, como se muestra
en la figura 9.3(c), se encuentra por medio del teorema del desplazamiento, dado por
4.73,como
(9.10)
Considérese ahora, un tren de N pulsos que ocurren en
x = -nd, -(n - 1)d, · · · , -d, O, d, · • • , (n - 1)d, nd,
donde N= 2n + l. Por superposición, se tiene
F(k) = F 0 (k) (1 + efkd + e-fkd + ••. + elnkd + e-Jnkd)
= F 0 (k) L1+ 2(cos kd + cos 2kd + • • • + cosnkd)]
= F 0 (k) [-1 + 2(1 + cos kd + cos 2kd + · • · + cos nkd)].
(9.11)
Las series entre paréntesis angulares se pueden sumar, tomando la parte real de la
serie exponencial correspondiente, y operando de la siguiente manera:
-1 + 2(1 + cos kd + cos 2kd + · · · + cos nkd)
= -1 + 2Re(1 + elkd + ef2kd + .•• + efnkd)
= -1 + 2Re
r[ 1 - _
1
= -1 + 2Re [
= -1 + 2Re
d
eJ(n+l)kd]
efkd
(1 _ ef(n+l)kd) (1 _ e-fkd)]
(1 _ efkd) ( 1 ~ e-fkd) .
1 _ e-fkd + efnkd _ ef(n+l)kd·].
[
2(1- cos kd)
218
Análisis de Fourier
De donde, considerando las partes reales, se obtiene
- 1 + 2 (1 + cos kd + cos kd + · · · + cos nkd)
= _
1
+ 1 - cos kd + cos nkd - cos (n +_ Í) kd
1- cos kd
cos nkd- cos (n + 1) kd
1- cos kd
1
1
2 sen- (2n + 1) kd sen - kd
2
2
2 sen 2 _!_ kd
2
1
2
sen- Nkd
(9.12)
sen_!_ kd
2
De donde
sen(~ Nkd)
sen(~kd).
(9.13)
La distribución de la intensidad J, producida por una rejilla de difracción que consta
de N rendijas de ancho a, espaciadas por una longitud d, está dada por
sen
2
l=IF(k)I =(Aa)
217
donde k = sen
,\
2
2
(!2 ka) sen (~ Nkd)
(~ka)
2
2
. sen
2
(~ kd)'
(9.14)
e.
.
Demostrar que la distribución de la intensidad de la luz no se afecta
si la rejilla de difracción es desplazada.
PROBLEMA 9.4
supóngase que la rejilla sea desplazada en la dirección x en una cantidad X 0 ;
entonces f(x- x 0 ) representa el cambio de la caracte_rística de transmisión. Entonces, de
acuerdo con el teorema del desplazamiento, dado en (4.73), el patrón de difracción se
convierte en
F(k) e -Jkxo
(9.15)
So 1u ció n:
La distribución de la intensidad está dada por
JF(k)e-jkxo 12 = IF(k)l2
(9.16)
puesto que 1 e -fkxo 1 = l.
La ecuación (9.16) demuestra que la distribución de la intensidad no se afecta si la
rejilla de difracción es desplazada.
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
219
9.1 a Transformada bidimensional de Fourier
Utilizando la técnica de la transformada de Fourier en una dimensión,
deducir la fórmula de inversión (9.20).
PROBLEMA 9.5
Solución:
se denota como G(u,y), la transformada de Fourier de la función
f(x,y), donde la transformada se toma con respecto a x; es decir,
G(u,y) =
1:
f(x,y) e-Jux dx.
(9.21)
Entonces, por la fórmula de inversión unidimensional (4.16), se tiene
1
00
f(x;y) =1277
G(u,y) elux du.
(9.22)
-00
Ahora se toma la transformada de Fourier F (u, v), de G (u, y) con respecto a y,
considerando a x como un parámetro; es decir,
F(u, v)
=loo G(u, y)
e-l vi dy.
(9.23)
-00
La fórmula de inversión (4.16) da
G(u, y) =1-
277_
·Loo F(u, v)
elvy dv.
(9.24)
-00
Reemplazando (9.24) en (9.22), se obtiene
00
f(x y ) = -1- ·
'
(2 77) 2
1 loo F(u v)
-oo
-oo
'
eJ(ux+vy) du dv.
•
.
220
Análisis de Fourier
Combinando (9.23) y (9.21), se obtiene
. ,":(u,v)
'\,
r
=1: 1:
f(x,y) e-f(ux+vy) dx dy.
PROBLEMA 9.6
Demostrar que la transformada de Fourier, de la imagen de un objeto ,
incoherente, es igual al producto de la transformada de Fourier del objeto, y la transformada
de Fourier de la imagen de una fuente puntual.
supóngase que las transformadas de Fourier de O(x,y), I(x,y), y E(x,y),
son las funciones Q (U, V), 'J1 (U, V) y r (U, V), respectivamente; es decir,
Solución:
íl(u, v) =
'P (u, v) =
f' (u, v) =
1: 1:
1: 1:
f'" roo
O(x,y) e-f(ux+vy) dx dy,
(9.25)
1 (x, y) e-f(ux+vy) dx dy,
(9.26)
E (x, y) e-f<ux+vy> dx.dy.
(9.27)
-00 "-00
Entonces, mediante la fórmula de inversión de Fourier (9.20), se tiene
1
O(x,y) = (2rr)2
Loo
roo Q(u, v)
-oo j_oo
/(x y)=-·-·
i
'
(2rrY
v)
1 Loo 'P(u
·
'
eJ(ux+vy) du dv,
(9.28)
ef(ux+vy) du dv
(9.29)
eJ(ux+vy) du dv.
(9.30)
00
-00
'
-00
00
E(x,y) = ( 11f) 2
2
1 Loo f'(u, v)
-oo
-oo
Por (9 JO), se tiene
E( X ·
X
, y - y ') = -11
2
(2 TT )
loo loo f'(
U1 V
) e 1 [u<x-x')+v(y-y')] dU d V,
(9.31)
.
-00
-00
.
Reemplazando (9.31) en (9.17), se obtiene
1
1 (x, y) = - (2 rr)2
Joo 'loo O'(x', y')· E (x- x', y -y') dx'dy'
-oo -oo
(9.32)
en donde E (x- x', y- y'), está dado por (9.31 ). Intercambiando el orden de integración
en (9.32), resulta
/(x,y)=
(;2~) 2 1:
X
1: {r(u,v)eHux+~y)
[i: 1:
O(x',y') e-i(ux'+vy') dx'dy']} du dv.
(9.33)
Mediante (9.25), el resultado (9.33) se convierte en
/(x.Y)=( 11T)'
2
loo
-oo loo
_oo Ü(u,v)r(u,v)eJ(ux+vy)cJudv.
(9.34)
Comparando (9.34) con (9.29), se concluye que
'P(u, v) = íl(u, v)f'(u, v).
(9,35)
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
9.1 b Transformada tridimensional de Fourier
9.2
LA TRANSFORMADA DE FOURIÉR EN TEORIA
DE PROBABILIDADES
9.2a Función de distribución de probabilidad y
función de densidad de probabilidad
221
222
Análisis de Fourier
PROBLEMA 9.7
Demostrar que
p (x) > O,
(9.44)
1~ p(x) dx,
(9.45)
p(x) dx = 1,
(9.46)
P(x) =
i:
Pr(x 1 <X< x2 ) =
ix
2
(9.47)
p (x) dx.
xl
Solución: ,~por la definición (9.39) y por el hecho de que P(x) es una fuqción
monótona creciente para todo valor de x, se tiene
p(x) >O.
Integrando (9.39) entre -oo y x, se obtiene
x
ix --;_¡;-
L
-oo p (x) dx = -oo
dP(x)
dx = P (x)- P (-oo).
Por (9.40a), se tiene que P(- 00) =O; de esta manera,
1~ p(x) dx =P(x).
1:
Entonces, por (9.40b), se tiene
p (x) dx = P {oo) -P (-oo) = l.
Por (9.45), se obtiene
P(x2 ) - P(x 1 ) =
1
x2
p(x) dx-
_oo
Jxl.
-oo
{x2
p(x) dx = )_
p(x) dx.
(9.48)
x1
Por (9.48) y (9.43), se obtiene
PROBLEMA 9.8
Supóngase que la variable al azar x, asume el valor x 0 ; entonces,
P(x) =O para X< X 0 ,
Hallar la densidad de probabilidad p(x).
P(x) = 1 para X> X 0 •
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
Solución:
223
de acuerdo con la suposición,P(x) se puede expresar como
(9.49)
P (x) = u (x - X 0 ),
un escalón unitario. En este caso, la densidad de probabilidad p(x) no existe en el sentido
ordinario; Sin embargo, en el sentido de una función generalizada (ver sección 2.4), se
puede obtener
(9.50)
mediante (2.90).
9.2b Esperanza y momentos
PROBLEMA 9.9
Demostrar que
(9.58)
Varianza de X= (X 2)-- (X) 2 •
So 1u ció n:
por (9 .56) y (9 .52), se tiene
Varianza de X =E [(X- X) 2]
=
=
=
1:
1:
1:
2
(x- X) p(x) dx
(x
2
2
2
-
2xX + X )p(x) dx
x p(x) dx-
2xJ:
xp(x) dx + (X)l
1:
p(x) dx.
Análisis de Fourier
224
Por tanto,
var (X)= (X 2 ) - 2 XX + (X) 2 = (X 2 ) _: (X) 2 •
(9.59)
Las ecuaciones (9.53), (9.54) y (9.46) se utilizan en la deducción de (9.59).
PROBLEMA 9.10 Demostrar que si la densidad de probabilidad p(x) es una función
par, es decir, p(-x)= p(x), entonces el valor medio y todos los momentos impares
son cero.
Solución:
por (9.55), se tiene
mn =momento enésimo de X =E [X"] =
1:
x" p(x) dx.
Sin es impar, entonces el integrando xnp(x) es una función impar de x. Por tanto, según
(2.14), se tiene
mn =
l""
x"p(x) dx =O paran = 1, 3, S, • ·• ,
(9.60)
-00
9.2c Función caracteñstica
Solución: según la fórmula (9.62), 1/)(w) es la transformada de Fourier de p(x) con
un cambio en el signo del exponente; entonces p(x) se puede hallar a partir de la
transformada inversa de Fourier de 1/J(w ), nuevamente con un cambio en el signo
del exponente; es decir,
·
1 {""
p (x) = )=~
1
[<f> (cu)] = -
cp (cu) e-fwx dcu.
217
.
-""
Otra forma de solución: reemplazando (9.62) en el segundo miembro de (9.63),
se obtiene
2117
1:
<j>(cu) e-fwx dcu = 2117
1: [1:
e-fwx
efwA p(A) d,\] dcu.
(9.64)
/
225
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
Cambiando el orden de integración, se tiene .
_1_
i""
=i""
cp(w) e-fwx dw
2TT _00
.
p(,\)
-""
,
[_!_
i"" efw(A-x) dw] d,\,
2TT ·
(9.65)
-oo
Mediante la identidad (5.6) de la función 6, se tiene.
1
2;
f""
efw(A-x) dw = o(,\ - x).
(9.66)
-00
Por tanto, en razón de (2.68),'se·obtiene
-1
2TT
Solución:
1"" 1>
'
f"" (,\)o(,\- x)
.
(jwx)"
(w) e-fúJx dw =
-00
p
-00
d,\ = p (x).
'
puesto que
e
¡wx
jwx
= 1 + - - + .. ·+
1
n!
(9.68)
+"'•
reemplazando-(9.68) en (9.62), se obtiene
cf>(w) ,;, E [efwX]
=i:
=
p (x) e.fwx dx •
J""
p(x) [1 + j_(JJX + · · · + (jwx)" + · · ·] dx.
1
n!
-""
Suponiendo que la integración término por término es válida, se obtiene
i
oo
{""
cp(w)= -""p(x)dx+j(J)j_
xp(x)dx+ "'+
Jn~
-"" x"p(x)dx+·"
00
.
(jw)"
= 1 +¡wm, + ·· · + - . - mn + · · ·.
n!
.Por tanto,
( . )" i.oo
(9.69)
226
Análisis de Fourier
PROBLEMA 9.14
)
Demostrar que si dos variables al azar X y Y son independientes,
entonces
p(x,y) =p(x)p(y).
Solución:
(9.73)
como las variables X y Y son independientes, según (9.72), se tiene
P(x, y)= P(x) P(y).
Entonces, por (9.71); se tiene
Demostrar que si dos variables al azar X y Y son independientes,
entonces no son correlacionadas.
PROBLEMA 9.15
Solución:
por (9.73) y (9.74), se tiene
E [XY] =
=
=
1: 1:
1: 1:
xyp(x, y) dx dy
xyp(x) p (y) dx dy
1: 1:
xp(x) dx
~E [X] E[Y].
yp(y) dy
(9.78)
227
Aplicaciones miscelaneas de la transformada de Fourier
De esta manera, según (9. 7 5) se concluye que las dos variables al azar X y Y no están
correlacionadas.
Demostrar que la funcion característica conJunta, de dos variables al
azar X y Y, es la doble transformada de Fourier de p(x,y) definida por (9.19), con el
signo del exponente cambiado.
PROBLEMA 9.16
Solución:
por (9.74), se puede expresar (9.77) como
,.~. (
) _E [ J(w 1 X+w 2 Y))
'f'
wl, w2 -
e
-ioo
. ioo p (x,y)e
-00
J{W1x+W2y) d
x dy ,
(9.80)
-00
que es la transformada bidi.inensional de F ourier de p ( x, y), definida por (9 .19), con el
signo del exponente cambiado.
PROBLEMA 9.17 Demostrar que la densidad de probabilidad conjunta p(x, y) se
puede expresar en términos de cf>(w 1 , w 2 ), mediante
(9.81)
por (~O), se sabe que cf>(w 1 , w 2 ) es la transformada bidimensional de
Fourier de p(x,y); entonces, aplicando la transformada inversa de Fourier (9.20), con
un signo cambiado, se obtiene (9.81).
Solución:
PROBLEMA 9.18
Demostrar que si las variables al azar X y Y son independientes,
entonces·
cp (w 1 , w2 ) e= cp (w 1) cp (w2 ).
Solución:
(9.82)
si X y Y son independientes, entonces por (9.79), se tiene
E[eJ<wtX+w2Y)] "'E[e¡wlx e¡w2Y] =E[e¡wlx] E[e¡w2Y].
(9.83)
Por tanto,
PROBLEMA 9.19 Demostrar que sicf>(w 1 , w 2 ) = cf>(w¡)cf>(w 2 ), entonces las variables
X y Y son independientes.
Solución:
por(9.81),setiene
1
. p (x, y) = - - ·-
(277)2
-- -1-
(277 )2
= -
1
2rr
loo ioo cp (w .w. e -}(wlx+w2y) dw dw
1,
-00
-00
2)
1
:
Loo loo ,./. (wt.) ~ ( )· e -J(wl
'~-'
-oo
2
...
'f' W2
x+w2y) d
W1
d W2
-oo
Loo cp (w· -~w0
e
dw 1 Loo cp (w ) e ~~Yd w
1)
-oo
1 -
2rr
2
-oo
2
.
= p(x)p(y),
en razón de (9.63). Por tanto, según (9.73), se concluye que X y Y son independientes;
Análisis de Fourier
228
PROBLEMA 9.20 Demostrar que la densidad de probabilidad, de la suma de dos
variables al azar e independientes, es igual a la convolución de sus respectivas densidades.
Solución:
supóngase que
Z =X+ Y,
(9.84)
donde X y Y son variables al azar e independientes.
Sea
cf>x(w) =E [efwX],
cf>y(w) =E [efwY],
cf>z(w) = E[efwZ].
Entonces
cf>z(w) =E [efwZ] =E [ei(wX+wY>].
Dado que X y Y son independientes, por (9.83), se tiene
c/>z(w) =E [efwX] E[efwY] = cf>x(w) c/>y(w).
(9.85)
Aplicando el teorema de convolución (4~122), se obtiene
Pz(z) = ~- [cf>z(w)]
1
= ~-
1
L:
[cf>x(w) c/>y(w)]
= Px(x)
=
9.3
* Py(Y)
p~(x) p¡..z- x) dx.
EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE EN EL
ANALISIS DE FOURIER
(9.86)
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
PROBLEMA 9.21
229
Demostrar que w de (9.91), es igual a cero
puesto que IF(w)l 2 es par con respecto a w, el integrando de (9.91) es
una función impar de w. Por tanto, según (2.14), se obtiene
Solución:
1:
es decir,
wl F(w) ¡• dw =O,
w=O. Con w=O, la definición (9.92) se puede expresar como
(9.93)
f(t)
A
Hallar el tiempo de dispersión !J.t, de la señal que se muestra en la
figura 9.4, la cual decae exponencialmente.
PROBLEMA 9.22
según (9 .88), el centro de gravedad de esta onda, T, se encuentra cómo
So 1u ció n:
o
Figura 9.4
(9.94)
Entonces, por (9.89),dado que 11!11 2 = A 2 T/2, se tiene
2
(M)• =
_1_1.oo
(t- T A•
A T
·
2
2
)
.
e-21/T dt
2
= ~ ("" ·(t:... T\ e-21/T dt
T
-- o
2
=
Jno
~. f
00
T )0
2)
(t
2
-
Tt + l_ T 2 ) e-2I!T dt,
4
= ~ ( Tl _ .Tl +
T
4
4
.
. .
T3)
.8
(9.9SY
Por tanto
1
2
M=-T.
(9.96)
Señal que decae e11 forma
exponencial.
Análisis de Fourier
230
Demostrar que el ancho de banda espectral ~w, de una señal f(t)
definida por (9.93), será finito sólo si la siguiente integral es finita; esto es,
PROBLEMA 9.23
r>O [f'(t)P dt = finita
'
(9.97)
-00
donde f'(t) = df(t)/dt.
Solución:
puesto que
6liF(wW = w2 F(w)F*(w) = jwF(w)[-jwF*(w)]
= jwF (w) [jwF (w)]*
=
liwF(wW, ·
se tiene
(9.98)
.Se recuerda que si
j= [f (t)] = F (w),
y si f(t) ~O· cuando t ~ ± oo, entonces por (4.91), se tiene
j= [f'(t)] = jw F(w).
Por consiguiente, según el teorema de Parseval (4.136), se tiene
1:
2
2
w iF(w)i dw=
L:
2
liwF(w)i dw =2rr
1:
W(t)Fdt.
(9.99)
Por tanto, sii: [f'(t)P dt = fmita, entonces
1:
2
2
w 1 F(w) 1 dw =finita
(9.100)
y en consecuencia, según (9.93), ~w será fmita.
PROBLEMA 9.24
Hallar el ancho de banda espectral del pulso rectangular de la figura
9.5(a).
(t)
Figura 9.5
O
t0
(a)
2TT
d
0
(b)
2TT
d
(a) El pulso rectangular del
problema 9.24. (b) El ancho
de banda espectral del pulso
rectangular de la figura 9.5 (a).
231
. Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
Solución:
según (4.45) y (4.73), la transformada de Fourier de f(t) está dada por
(1)
F (w) = e-jwto Ad sen
(9.102)
(~d)
Puesto que 1 e -jwt o l = 1, entonces
sen
1
F(w) 1 = Ad
1: \
(T)
(9.103)
(~d)
L:
Según el teorema de Parseval, dado por 4.136, se tiene
11 F 11
2
=
2
F(w) 1 dw = 277
2
(9.104)
2
f (t) dt = 2rr A d.
Por (9.93), se obtiene
J""
2
(Llw) 2 = -1w 2 1 F(co) 1 dw
2
11 F 11
-""
/
=
2
d
17
1:
= __!_
sen2
(~d) dw
("" [1 - cos (wd)] dw
(9.105)
7Td j_oo
el~ual es infinito, puesto que lim w 2 IF(w) 1=1= O.
w~o
PROBLEMA 9.25 (a) Probar la desigualdad de Schwartz. (b) Probar el principio de
incertidumbre en el análisis espectral.
Solución:
(a) seá x una variable real cualquiera y
m(x) = f"" [f (t) + xg (t))2 dt foo f (t) dt + 2 xJoo f (t) g (t) dt + x
2
=
..:..oo
-00
-00
1
00
2
-fXI
g 2(t) dt •
232
Sea
Análisis de Fourier
1:
1:
2
g (t) dt =a, _ 21: f(t) g(t) dt = b,
f (t) dt = c.
2
(9.108)
Puesto que m(x) es la integral de un valor al cuadrado, entonces la integral es siempre
positiva y real; de donde,
m (x) = ax 2 + bx +e > O para valores reales de x.
(9.109)
De (9.109) se sigue que su descriminan.te b2 - 4tJc debe ser negativo; es decir,
b 2 - 4ac :S. O o
La desigualdad de Schwartz, (9.107), se prueba reemplazando a, by e dados por (9.108).
(b) Segú11 el teorema de Parseval, dado por t4.136), se tiene
(9.110)
esto es,
(9.111)
Por (9 .99), se tiene
[9.99]
Multiplicando (9.89) y (9.93), y utilizando (9.110) y (9.99) se obtiene
1
(ó. t ó.w) 2 =
11 f 11
2
Joo (t- tY f2(t) dt loo w F (w) dw
2
11 F 11
2
-oo
1
1
2
-oo
(9.112)
Escogiendo una referencia de tiempo adecuada, se puede hacer T =O, sin pérdida de
generalidad; por tanto, con esta escogencia, se tiene
(9.113)
1: 1:
Utilizando la desigualdad de Schwartz (9.107), se obtiene
e f (t) dt
2
1:
[f '(t))2 dt:::
11:
2
ti (t)f '(t) dt
¡
•
(9.114)
Integrando por partes, se obtiene
tf(t)f'(t) dt =
¡~~: tf(t)df(t)_
= __!__ t f2(t)
2
loo - 2 Joo f2(t)
dt.
.
__!__
-00
-00
2
Por tanto, si lim t f (t) =O, entonces
t-->oo
1:
t f(t)f'(t) dt =-
~
i:
f2(t) dt
2
=- __!__ 11 f 11 •
2
(9.115)
233
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
Reemplazando este resultado en (9.114) y utilizando la desigualdad resultante en (9.113),
se obtiene
1
(9.116)
=-.
4
Por tanto,
1
¿\t ~Ú) 2: -.
2
Considerando la función f(t) que se muestra en la figura 9.6(a),
ilustrar el principio de incertidumbre del problema 9.25.
PROBLEMA 9.26
So l u e i ó n :
f(t)
la función y su derivada son
1
a > O,
f (t) = at e-at u (t),
/pendiente = a
1
(9.117)
1
--+---
(9.118) -e
f'(t) =a (1 - at) e-at u (t).
1
1
1
Por (9.88), el centro de gravedad t de esta forma de onda es
loo t'
ioo t2
1
l
e-2at dt
o
e-2at dt
3 1
2a 4a3
1
(a)
\F w)\
3
2a
(9.119)
1/a
(4a 3 )
Entonces por (9.89), se tiene
(M)2 =
_1_1oo (t - ~;2
_1_
a2 t2 e-2at dt
-a
2a
0
Figura 9.6
3
1
16a'
(9.120)
4a
De donde,
v3
M=-.
2a
(9.121)
-
El ancho de banda espectral Aw de f(t) se puede encontrar así: por (9.93), se tiene
(~wY = -
1
Joo
-2
IIFII
W
2
1F (w) 12 dw.
-00
Por (9,108) y (9.99), la ecuación (9.93) se puede expresar como
1
(tlw) 2 =
2 7T 11 f 11
= -
1
-2
11 f 11
2
2 7T
loo [r(t))2 dt
-00
Joo [f'(t))2 di.
-00
a
(b)
4a
1
o
(9.122)
(a) La función j(t) del
problema 9.26. (b) El
espectro de la función
j(t) de la figura 9.6(a)~ '
234
Análisis de Fourier
Por tanto, según (9.118), se tiené
roo a 2(1 - at) e- 2 al dt = - 1- ~ = a 2
11 Jn
--o
4a
(llw? = -
(9.123)
2
·
1 4
-4a
'
L'lw =a.
(9.124)
Y por consiguiente,
M L'lw = jl a = y"3 > _!:..
2a
PROBLEMA 9.27
2
(9.125)
2
Considerando la función gaussiana [figura 9.7(a)]
f(t) = e- 812 ,
a> O,
(9.126)
ilustrar el principio de incertidumbre del problema 9.25.
F(úJ)
f(t)
o
(b)
(a)
Figura 9.7
(a) La función gaussiana. (b) El espectro de la función de la figura 9.7 (a).
Solución: sea F(w) = S:[f(t)].
Entonces,
Esta clase de integral se evalúa "completando el cuadrado". Para hacer esto, multiplicar
2
2
el integrando por e-w ¡ 48 ·e +w ; 4 a. Entonces,
F(w) =
L:
e-W2/(4a) e-a[t+JW/(2a)]2 dt
2
=e -w !(4a)
1:
2
e-~v'B [t+Jw/(2a)]} dt.
(9.127)
Introduciendo una nueva.variable de integración y, mediante
- [ t+ (2a)
iw ] =y,
ya
entonces
ya dt=dy, y se tiene
l oo
e-{/B[t+JW/(2a)JY dt =
~ ioo e-y2 dy = ~'
Y
-oo
-oo
en razón de (8.175); es decir
oo
J
-00
e-Y dy = yrr.
2
-
(9.128)
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier .
235
Po:r consiguiente,
(9.129)
Por (9,¡26) y (9.129) se observa que la transformada de Fourier de una función gaussiana,
es también gaussiana.
Con a= 1/2, la transformada (9.129) da
~[e-t2/2] = y2TT e-úJ2/2.
(9.130)
De esta manera, excepto por el factor ,.fi1i, la función e- 121 2 es su propia transformada
de Fourier.
2
Puesto que la función e-at es pa)por (9.88) se deduce que el centro de gravedad
· T de esta onda es cero.
Entonces, por (9 .89), se tiene
(9.131)
1:
Ahora bien, de acuerdo con (9 .128), se tiene
2
dy =
e-by
v1·
(9.132)
Diferenciando la ecuación (9.132) con respecto a b, se obtiene
L:
y2 e-by2 dy = 21b
v1·
(9.133)
Utilizando (9.132) y (9.133), se puede evaluar (9.,131) como
-~
. 1
(M) 2 = 2(2a).
•.
V 2a = _1__
/]C
2(2éi)
(9.Ú4)
V 2a
Análogamente, por (9.93) y (9.129), se obtiene
1:
L:
a/ e-ú!2/(2a) dw
e-ú!2/(2a)
dw
1
.-·
- (2a) \ 2arr
2
\ 2arr
1
= -
2
mediante (9.132) y (9.133).
(2a)
(9.135)
Análisis de Fouri~r
236
Por consiguiente,
1
1
(~t?(t\w) 2 = - -
1
-
2 (2a) 2
. 1
(2a) = 4'
~t ~w = .!.
(9.136)
(9 . .137)
2
La ecuación (9.137) muestra que el signo de igualdad en la ecuación (9.106), es
válido para la función gaussiana.
PROBLEMA 9.28 Considerar el pulso rectangular dado en el problema 9.24. Demostrar
que el producto del ancho de banda espectral y la duración del pulso, es una constante
con "apropiada" selección de alguna medida del ancho de banda.
Solución:
en la figura 9.5 se observa intuitivamente que si se selecciona
~t = d,
y el ancho de banda espectral ~w como la banda que se extiende al primer cero de 1F (w) 1
(la mayor parte de la energía está concentrada en este ancho).
2rr
d
~w=-.
(9.138)
Se observa entonces que
2rr
~ t ~w = d -
d
=
2 rr ·
'
(9.139)
o sea que el producto del ancho de banda y la duración del pulso es una constante.
9.4
Solución:
FORMULA DE LA SUMATORIA DE POISSON
sea
or(t) =
L
n=-oo
- la cual está definida en (2.104).
Entonces, por (4.120), se tiene
o(t- nT)
(9.141)
237
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
00
n=-oo
00
L f(t) * 8(t- nT)
n=-oo
00
=
L f(t -nT)
n=-oo
00
=
L f(t+nT)
(9.142)
n=-oo
dado que todos los valores positivos y negativos de n están incluidos en la sumatoria.
Por tanto,
00
L f(t + nT) f(t) * 8r(t).
(9.143)
=
n=-oo
Ahora bien, por (5.66), se tiene
ú!o =
2rr
-;¡-·
n=-oo
Aplicando el teorema de convolución en eltiempo (4.122), a (9.143), se obtiene
1
[t_
1 (t+
nT)] F (~) 1[8T(t)]
=
217
00
= F(w)-
T
n=-oo
n=-oo
(9.144)
mediante la propiedad de la función 5, dada por (2.74).
Por (5.21), se tiene
Por consiguiente, según (9.144), se obtiene
~
n=-00
n=-oo
L
00
n=-oo
F (n ú!o) e¡nwot.
238
Análisis de Fourier
PROBLEMA 9.30
Solución:
Probar la fórmula de la sumatorja de Poisson.
haciendo t =O en (9.140), se obtiene
f:
f:
~
f(nT) =
n=-oo
Solución:
F(n w 0 ).
n=-oo
sea
Entonces,
1
1
a-jw
a+jw
=--· + - -
2a
(9.147)
Si se" hace T= 1 (de donde, w 0 = 27T) en la fórmula de Poisson dada por (9.145), se obtiene
00
[
00
f(n) =
n=-00
L _F(2rrn).
(9.148)
n=-oo
Por tanto, según (9.147), se tiene
2a
n=-OO
Solución:
n=-OO
sea
Entonces, por (9.129), se tiene
F(w) = ~[e-at2] = ~ e-w2/C4al.
Si se hace T= 1 (de donde, w 0 = 27T) en (9.140), se tiene
L
00
n=-oo
L F(2rrn)
00
f(t + n) =
n=-oo
ei 2 7Tnt.
[9.129]
239
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
Por tanto, según (9.129), se obtiene
(9.150)
n=-00
n=-oo
o
n::::-oo
n=-oo
L
-1
=1+
L
~
e-7T2n2/a ei2TTnt
n=-oo
+
e-7T2n2/a ei2nnt
n= 1
2 2
e-TT n /a (ei27Tnt + e-i27Tnt)
= 1+ [
n=l
= 1 + 2 L e-7T 2n 2/a cos 2 rrnt.
n=l
9.5
CAUSALIDAD Y TRANSFORMADA DE HILBERT
Sea F(w) =R(w) + jX(w), la transformada de Fourier de una
función causal f(t). Demostrar que f(t) se puede expresar en términos deR (w) o
X(w) solamente.
PROBLEMA 9.33
Solución:
puesto que f(t) es causal, por definición, se tiene
f (t) = O para t < O.
(9.151)
f(-t)=O para t>O.
(9.152)
De acuerdo con esto, se tiene
Por consiguiente, según (2.5) y (2.6), se tiene
f(t)=2fe(t)=2f0 (t) para t>O,
(9.153)
donde
f(t) = fe(t) + f 0 (t),
y fe(t) y f 0 (t) son las componentes par e impar de f(t), respectivamente. Entonces, por
(4.38) y (4.40) se obtiene
f(t)
para t >O.
i ~~
'
=--;;Jo
R(w) cos/wt dw
. (9.154)
=---;;2 Jo~~ X (w) sen wt dw
(9.155)
240
Solución:
Análisis de Fourier
si f(t) es real y causal, entonces por los resultados del problema 4.6, se tiene
J'"
R (w) = (oo f (t) e os wt dt =
f (t) cos wt dt,
)_oo
O
X (w) = - J~ f (t) sen cvt dt =
-1
(9.156)
00
f (t) sen wt dt.
(9.157)
Reemplazando la expresión (9.155) en (9.156) se obtiene
2
R (w) = - -
Loo Loo X (y) sen yt cos wt dy dt.
o
7T
o
(9.158)
-
Análogamente, reemplazando (9.154) en (9.157), se obtiene
21"" ioo
X (w) = - ~
o
7T
Solución:
.
R (y) cos yt sen wt dy dt.
(9.159)
o
con la descomposición de f(t) en sus componentes par e impar, es decir,
por (4.42) y (4.43) se tiene que,
S:[ie(t)] = R(w),
:f [f (t)] = jX (w).
0
Por consiguiente, según el teorema de Parseval, dado por (4.136), se tiene
oo
foo R (w) dw,
(9.162)
oo [f (t)J2 dt = irr1 foo X (w) dw.
(9.163)
2
_oo [f e(t)] dt =
l
l
1
2 77
2
-""
2
0
-~
-00
En razón de la causalidad de f(t) y de (9.153), se sigue que
f(t) = 2fe(t) = 2f0 (t)
para t >O.
Por tanto,
1fe(t) 1 = 1fo(t) 1·
En consecuencia, según (9.162) y (9.163), se tiene
1:
2
R (w)' dw =
L:
X'(w) dw.
Puesto que
1
F (w) [2 = R 2 (w) + X 2 (w),
y según el teorema de Parseval, dado por(4.136), se tiene
(9.164)
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
1
=77.
241
Joo R\w) dw
-=
(9.165)
en razón de (9.160) y R 2 (- w) =R 2 (w).
Para una función causal f(t), dado que f(t) =O, para t <O, se tiene
J
oo f2(t) dt =
roo f2(t) dt.
JO
-oo
Por consiguiente,
PROBLEMA 9.36
Demostrar la igualdad de estas dos integrales:
oo
L
2
2
a dw
ioo
w dw
(a2 + w2Y = . , (a2 + w2)2.
-~
(9.166)
-00
Solución: sea /(t) = e-at u(t). Entonces, por (4.47), se tiene
e¡:[ f(t'/J~ = 1
a
.
w
-=---J--.
F(w) = J
a+jw
2
a +w 2
a 2 +w 2
Por consiguiente, de acuerdo con (9.160), se tiene
l
oo
a.2dw
_oo (a2 + w2)2 =
. Solución:
roo·
w2dw
J_oo (a2 + w2)2 •
sea
f (t) = fe(t) + f 0 (t),
donde fe(t) y [ 0 (t) son las componentes par e impar de f(t), respectivamente. Puesto que
f(t) es causal, se tiene
f (-t) = O para t <O.
Ciertamente, para cualquier función causal se puede suponer que
'
242
Análisis de Fourier
Así mismo, por (9.153), se tiene
t eCt) = f 0 (t) para t > o.
Por consiguiente, se puede expresar que
fe(t) = f 0 (t) sgn t,
(9.169)
f 0 (t) = fe(t) sgn t,
(9.170)
donde sgn t se define como [ver ecuación (5.45)]
sgn t =
1
parat>O
{ -1 para t <O.
Ahora bien, por (4.42), (4.43) y (5.49), se obtiene
1 [f eCt)] = R (w),
1[f (t)] = jX(w),
0
2
S:[sgn t] = - - .
(jw)
Por tanto, según el teorema de convolución en la frecuencia, dado por la ecuación (4.125),
se obtiene
= __!_ jX (w)
2rr
1
= - X(w)
rr
= _!
7T
* }¡w
*-1
w
(oo X(y) dy.
J_oo
W- Y
Análogamente, se obtiene
jX(w) = 1[f0 (t)] = S:[fe(t) sgn t]
1
= . - R(w)
2 rr
2
*-
= -j _! R(w)
7T
jw
*l.
w
Por tanto,
Joo
, 1
1
1
R(v)
X (w) =-- R (w) *- =--.
-'dy.
rr
w
rr -OOw-y
PROBLEMA 9.38 La parte real de la función del sistema H(w), de un sistema causal
es, rr l> ( w); hallar la función del sistema H ( w ).
Solución:
sea
H(w)=R(w)+jX(w).
Dado que R (w) = rrl>(w), por (9.168), se tiene
X(w)=--1
,
rr
loo -O(y)
'. 1 dy = - 1- dy=- loo o(y)-_
w-y
_oo
w-y
w
7T
00
(9.171),
Aplicaciones misceláneas de la transformada de Fourier
243
mediante la relación (2.67).
Por tanto,
H(w) = rro(w)- j _!_ = rro(w) + ~.
. 9.6
PROBLEMA 9.39
EVALUACION DE ALGUNAS INTEGRALES
Evaluar las integrales
l
dx
a2 + x2'
oo
-00
Solución:
(9.172)
]úJ
ú)
dx
1 + x2 '
_oo
L
oo
sea
f (t) = e-at u (t).
Entonces, por el resultado del problema 4.11, se tiene
.
1
F (w) =S: [f (t)] = - . - ,
.
a+ ¡w
(9.173).
Ahora bien, de acuerdo con el teorema de Parseval (4.136), se tiene
L.:
2
1 F(w) 1
dw = 2rr
1:
(9.174)
P(t) dt.
Por tanto, según (9.173), se obtiene
00
e-2at' = -17.
-2a 0 a
= 2rr --·-
De esta manera,
(9.175)
Haciendo ti = 1, resulta
l
oo
-00
dx
- · -2 -rr
1 +x - •
(9.176)
244
Análisis de Fourier
Solución:
sea
Entonces, por (9.147), se obtiene
F(w) = :f[f(t)] =
a
a2+ w2
Ahora bien, utilizando el teorema de Parseval (4.136), se tiene
L:
1
2
F (w) 1 dw = 277
L:
f2(t) dt. _
Por tanto,
1
= !!_[e2at O
2
2a _00
+ e-2at loo]
-2a 0
77
. (9.177)
2a
De esta manera,
(9.178)
Haciendo a = 1 , se obtiene
(9.179)
\.
9.7
PROBLEMA 9.41
(a)
Si :f [f(x,y)] =F (u, v), demostrar que
:f [f(ax, by)]=
_1_
F(!!.a , X:),
labl
b
(b) :f[i(x-a,y-b)]
PROBLEMA 9.42
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
= F(u, v)e-j(au+bv).
Demostrar el teorema de Parseval para dos dimensiones, es decir,
ryoo lt(x, y)l dxdy = - 12
J~
PROBLEMA 9.43
(277)2
JOOJIF (u, vW dudv.
--ce
Demostrar el teorema de la transformada de Fourier
2
:f [V' f(x, y)]=- (u 2 + v 2):f [f(x, y)],
donde V'
2
2
es el operador laplaciano \7 =
a 1ax + a 1ay
2
2
2
2
•
Aplicaciones misceláneas de la tránsformada de Fourier
245
PROBLEMA 9.44 Supóngase que la función de prueba lf>(x,y) es una función continua,
que se anula fuera de alguna región fmita, y que la función bidimensional oes la función
simbólica definida por la relación
ff
00
8(x, y) cp(x, y) dxdy = cp(O, 0).
-oo
.
Demostrar las siguientes propiedades de la· función bidimensional
Jf
o:.
00
(a)
8 (x- g, y- r¡) cp (x, y) dxdy = cp (g, r¡);
-oo
(b) S(ax, by)= _1_ S(x, y);
labl
(e) ~ [8 (x, y)]= l.
PROBLEMA 9.45 En el capítulo sexto se defmió un sistema, como la transfm;mación
de una función de entrada en una función de salida. [Cf., (6.5).] Las funciones de entrada
y de salida, son funciones de una variable independiente unidimensional (el tiempo); pero
en el caso de sistemas de formación de imágenes, la entrada y la salida pueden ser
funciones de una variable independiente bidimensional (el espacio). De esta manera, un
sistema lineal de formación de imágenes se pJ.Iede representar por
L {f¡ (x, y)} = fo (x, y),
L {a1 f 11 (x, y)+ a 2 f 12 (x, y)}= a 1 L {fil (x, y)}+ a 2 L{f¡ 2 (x, y)}.
Se dice que el sistema ~s invariante en el espacio si
L !f; (x + X0 , Y+ Y oH= fo (x + Xo, Y+ Yo)•
Sea h ( x, y) la respuesta del sistema al impulso unitario; es decir,
L{8(x,y)l = h(x,y).
Deducir la relación de convolución bidimensiomíÍ
00
f 0 (x,y)=f 1 (x,y) *h(x,y)= Jft¡(g,r¡)h(x-g, y-r¡)dgdr¡.
-oo
PROBLEMA 9.46 Si ~[h(x,y)] =H(u; v), ~[[¡(x,y)] =F¡(u, v) y~ [[0 (x,y)] =
F 0 (x,y), demostrar que
F 0 (u, v) = F 1 (u, v) H(u, v),
donde H(u, v) es la función bidimensional del sistema. [Cf., (9.35).]
PROBLEMA 9.47
Hallar la función característica de la variable gáussiana al azar, X,
.
cuya densidad de probabilidad es p (x) =
Respuesta: cp (0) = e
}m cv
e
2 2
-CV 0' /2
.
.1-- e
aV2TT
~
-(x-m>
12
~
a
.
.
Si X es la variable gaussiana al azar del problema 9.47, demostrll;r
que E [X] =m y Var(X)= a 2 •
PROBLEMA 9.48
PROBLEMA 9.49 Si lf>x(w) es la función característica de la variable al azar X, hallar
la función característica lf>y(w), de la variable al azar Y= aX + b, donde a y b son dos
números reales cualesquiera, en términos de lf>x(w ).
Respuesta: 'f'y
"' (0) = e
jbCV
cp X (a(i)).
246
Análisis de Fourier
La variable al azar X se distribuye nonnalmente con densidad
PROBLEMA 9.50
probabilística p (x) =
e-x
1
212
2
a
•
Hallar la densidad probabilística de la variable
aV2TT
X
al azar Y=aX 2 •
[Sugerencia: si Y = g (X), entonces cpY (w) =
variable y = g (x),
00
cpy(w) =f
ejú.Jyh(y)dy=
e jú.Jg (x) px (x) dx. con un cambio de
-oo
Joo ejú.Jypy(y)dy y h(y)=py(y).]
-oo
-oo
2
·
-y/ 2 aa
y
av2 rray
Respuesta: p (y)= e
PROBLEMA 9.51
J""
·
u(y), donde u(y) =
{1 ara >O
p
Y
.
0 para y< 0
La densidad probabilística de una variable al azar X, es p (x) =
Demostrar que su función característica es cp (w Y= e- al úJ 1.
~/ 77 •
a +x 2
PROBLEMA 9.52 Demostrar que si la densidad probabilística de una variable al azar X,
es ..!. a e- a¡ x 1 , entonces su función característica ·cp (w) , es a2 ¡ (a 2 + w 2 ).
.
2
'
PROBLEMA 9.53 Verificar el priticipio de incertidumbre en el análisis espectral, para
la señal f ( t) = e- 1a 1 1 •
00
PROBLEMA 9.54
Probar que
L 1 +1a n
2
n=-oo
=
2
~ coth (~) ..
[Sugerencia: aplicar la fónnula de la sumatoria de Poisson, con f(t) = 1/(1 + t 2 ).]
PROBLEMA 9.55
mCt)
Demostrar que m(t) y m(t) del problema 6.51, están relacionadospor
=i""
-oo
m(T) dT
t- T
y
·"" m(T)
m(t)=-J
-oo
- - dT.
t- T
De esta manera, m(t) también se denomina transformada deHilbert de m(t).
Si una función real m(t), tiene como transfonnada de Hilbert a m(t),
demostrar que la transfonnada de Hilbert de m(t) es- m(Í); esto es, r:z(t) =- m(t).
PROBLEMA 9.56
PROBLEMA 9.57
Demostrar que
[Sugerencia: utilizar el teorema de Parseval.]
CONVERGENCIA DE. LA
SERIE DE FOURIER Y
EL FENOMENO DE
GIBBS
A.1
A
APENDICE
CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER
PROBLEMA A,1
Si Sk(t) denota la suma de los primeros (2k + 1) términos de la serie
de Fourier de f(t), es decir
.
sk (t) = ~ ao +
k
L (an cos
nwot + bn sen nwot),
(A.2)
n'=l
-
donde w 0 = 2Tr/T, y an y bn están dados por
21T/2
f(t) cos (nw 0 t) dt,
(A.3)
2 lT/2 f(t) Sen (nw t) dt,
.
(A.4)
80 = -
T
-T/2
bn = -
T
0
-T/2
demostrar entonces que .
21·T/2
Sk(t)=f(x)Dk[w 0 (x-t)]dx,
' T -T/2 .
(A. S)
donde Dk(~) es el llamado "núcleo Dirichlet"; es decir,
(A.6)
248
Análisis de Fourier
Solución:
en las expresiones (A.3) y-(A.4), tes la variable comodín. Por tanto,
=
-2 JT/2 f(x) cos (nw 0 x) dx] cos nw 0 t
[ T -T/2
+
.3_
[
T
=
f
T/2
f(x) sen (nw 0 x) dx
]
·
sen ilw0 t
-T/2
T2 IT/2 f(x) [co~ (nw x) cos (nw t) + sen (nw x) sen (nw t)] dx
0
-T/2 •
2 JT/2
=-
T
0
'
0
0
.
.
(A.7)
f(x) cos [nw 0(x- t)] dx,
-T/2
'
De esta manera,
. 1
Sk(t) =
l 8
L (an cos nwat +
k
+
0
bn sen nw 0 t)
n=l
=
k
T1 lT/2 f(x) dx + L
T2 JT/2 f(x) cos [nw (x- t)] dx .
0
-T/2
-T/2
h=l
·
2
=
.3. JT/ f(x){.!-_ + cos [w 0 (x- t)] + cos {2wo (x- t)]
T
2
-T/2
+ · · · + cos [kw 0 (x-
t)]} dx.
(A.8)
Hacer w 0 (x ~t) =~y considerar la suma
- Dk (() = .!-_ + cos ( + cos 2( + • • • + cos k(,
.
2
Utilizando la identidad trigonométrica, 2 cosA sen B =sen (A + B)- sen (A - B), se
obtiene
. e -
e
e
e
.
2 sen~ Dk(() =sen~,+ 2 sen- cos ( + 2 sen- cos ~(
2
2
.
2
2
(
.
+ ... + 2 sen - cos k(
2
= sen {_ - sen {_ + sen ~ ( - sen ~- ,; + sen 2_ (
2
2
2
.
2
2
- .. · - sen
= sen [
[(k - t) (J + sen [(k + t) (J
l
(k + t) (
De esta manera,
(A.9)
Convergencia de la serie de Fourier y el fenómeno de Gibbs
249
Por tanto,
(A.lO)
sen
PROBLEMA A:2
[(k+~) i]·.
Demostrar que la relación (A. lO) se puede expresar como
Sk(t);, 1_
T
So lución:
f
T
.
12
sen
f(t +A)
-7:12
[( 1) ]
k + -
2
.
2 sen(~ w 0
w0 A
dA.
A)
(A.ll)
.
haciendo el cambio de variables X- t por A en ia relación (A. lO), el
resultado es
sk·.co
~-~1-_:--~~'('+A) "<" [(• 1}·•]
+
2 sen (
2
~ woA)
dA.
(A.12)
Ahora bien, por la relación (A.9), se tiene
(A.13)
Por tanto,
sen [(k + ~) woA
2 sen
J
(~ w A)
0
es una función periódica en la variable A, con período T. Puesto que la funciéln f(t + A)
también es periódica en la variable X, con período T, el integrándo de (A.12) esperiódico
en la variable A, con período T. Entonces; por (L6), se puede expresar (A.12) como
que es la solución deseada.
Sea f(t) una función periódica con período T, integrable
absolutamente en un periodo. Demostrar que en todo punto de continuidad donde
existe la derivada, la serie de Fourier de f(t) converge al valor f(t), es decir,
PROBLEMA A.3
lim Sk(t)=f(t).
k->00
(A.14)
250
Solución:
Análisis de Fpurier
sea t un punto de continuidad de f(t). ,De acuerdo con (A.ll), se tiene
JT/2· f(t +A)
lirn Sk(t) = lirn -2 ·
k->00
T
k->OO
(A.15)
-T/2
Por (A.13), se tiene
dA.
=
=
2
JT/ [~ +
t
-T/2
n=!
1
cos nwoA] dA.
JT/2 dA.+[k JT/2. cos(nw A)dA.
2 -T/2
0
n=l
-T/2
T
(A.16)
=-
2
en razón de (1.19a). Por tanto,
~
r' [(k 1) w,Al
sen
+
2sen(~w0A)
-T/2
dA.= 1
(A.17)
para cualquier valor de k.
Por (A.17), se tiene
r JT/2 t (t)
t (t) = 2
-T/2
dA..
(A.18)
·
Por (A.l8) y (A.lS), se obtiene
_
.
2
lirn Sk(t)- f(t) = lirn k->00
k·~OO T
sen [(k + ~) w A]
JT/2
dA.. (A.19)
.
[f(t +A)- f(t)]
0
-T/2
2
sen(~ w~A)
Considerar ahora la función
g (A) = f (t + A.) - f (t)
2
sen(~
(¡J 0
f (t + A.) - f (t)
A
A)
2 sen
(.! A).
. 2
w0
.
Dado que f(t) tiene una derivada en el punto t,
f (t + A.) - f (t)
>..
permanece limitado a medida que A~ O.
·
Por otra parte, la función
es continua para A =1= O, y se aproxima a l/w 0 a medida que A---+ O, puesto que
lirn sen
e->o
e
e = l.
(A.20)
Convergencia de la serie de Fourier y el fenómeno de Gibbs
251
Según estos resultados y dado que f(t) es integrable absolutamente, se sigile que la función
g(t) defmida en (A.20), es integrable absolutamente. Entonces, por el resultado (1.79)
del problema 1.19, se tiene,
2
T/2
(A.21)
lim S k(t) - f (t) = lim g (A) sen
k-->OO
k-->OO
T
J
-T/2
Portanto, lim Sk(t)=f(t).
k-->00
PROBLEMA A.4
Sea f(t) una función continua por tramos, periódica con período T,
e integrable absolutamente en un período. Demostrar que en todo punto de discontinuidad
donde f(t) tiene una derivada de derecha y una de izquierda, la serie de ·Fourier de f(t)
converge al valor
1
- [f(t+) + f(t-)],
2
donde f(t +)es el valor de f(t)justamente en el lado derecho de la discontinuidad, y
f(t-) es el valor de f(t) justamente en el lado izquierdo dela discontinuidad; es decir,
lim Sk(t) = _!_ [f(t+) + f(t-)].
So 1uci ón:
(A.22)
2
k-->00
por (A.15), se tiene
=
sen
~lo
lim
f(t +A)
w0
2
2sen(~ w A)
-T 12
k-->oo
[(k + !) A]
· dA.
0
2JT/2
+ lim f (t + A.)
k-->OO T
o
.
dA..
(A.23)
Puesto que el integrando en (A.17) es par, entonces de acuerdo con (2.13), se obtiene
2
dA.=T
Jo
dA. = !.
2
-T/2
(A.24)
Por tanto, según (A.24), se tiene
1
21. T/2
- f(t+) = 2
T
0
sen
f(t +)
[(k+ ~)
2 sen (
w 0 A]
~ w A)
0
dA.
(A.25)
252
Análisis de Fourier
De esta manera,
lim
~ ·IT
k->oo
T
/2 f ( t
+ ,\)
_se_n~[(,_k_+_i_,_)_w_o_A_.. .]
d Á - .!_ f (t +)
2 sen ( 1 w 0 ,\ )
2
O
2
=
lim-2
k->oo
T
IT/2
sen
[i(t+A) -f(t+)]
0
[(k + 1) WoA] d,\.
2 sen
(i wo,\)
(A.26)
Considérese ahora la función
f (t + ,\) - f (t +)
g(,\) = f(t + ,\) - f( t+)
i
,\
(A.27)
,\
2 sen ( woA)
Puesto que f(t) tiene una derivada en el lado derecho en t,
f(t + ,\)- f(t+)
,\>o,
,\
permanece limitado a medida que A.- O, y la función
,\
i
2 sen
w 0 ,\)
también es limitada. Como en el caso donde f(t) es continuo, se concluye que la función
g(A.) es integrable absolutamente en el intervalo [0, T12]. De esta manera, por (1.79),
se tiene
lim
k->oo
~ rT/'
f(t +Á) sen [(• +
T )0
·
2 sen
~)
ru,Á]
1
2
d,\- - f(t +)
( 1
2 w A)
0
2
=
l i)
¡~~ ~ iT/ g(,\) sen (k+
w 0 A] d,\.
=O.
(A.28)
Por tanto,
1
2
d,\ = - f(t+).
(A.29)
sen ~(
~ k + 2 w 0 ,\.. d,\ =! f(t-).
lim l
f(t + ,\)
.
2
k ->oo T
-T /2
2 sen ( ~ w 0
(A.30)
Análogamente,
f_
.
0
1) ]
A)
Por tanto, según (A.29), (A.30) y (A.23), se obtiene
lim Sk(t) =!2 [f(H)
k-H>O
.
1
f(t-)1.
Convergencia de la serie de Fourier y el/enómeno de Gibbs
A.2
253
EL FENOMENO DE GIBBS
''L
-¡
1
1
1,
1
1
1
1
.1
1
1
1
r-1
1
1
Considérese la onda cuadrada de amplitud uno y período 21T
(figura ,1\.1), es decir,
PROBLEMA A.5
f(t) =
-1
{
-TT
< t <Ü
1 O<t<rr
Figura A.1
Analizar la suma de un número finito de té~os de la serie' de Fourier.
La onda cuadrada del
problema A.5.
Solución: según el resultado del problema 1.10, la serie de Fourier de la onda.
cuadrada es: (haciendo w 0 == 21T/T== 1)
1 (t) = -4 ( sen t + -1 sen 3 t + -1 sen 5 t + · • ·) •
3
1T
5
(A.31)
Esta ~erie no muestra uniformidad en la convergencia de la serie de Fourier, cerca de la
discontinuidad. En la figura A.2 se ilustran aproximaciones sucesivas.
f(t)
s 2 (t)=.1(sent+l senl)
s 1 (t) =isent
• .
3
1T
1T
(b)
(a)
f (t)
s· ( t)
3
=-41T ( sen t + -31 sen -3t + -51 sen
(e)
Figura A.2
Las tres primeras sumas finitas de la serie de Fourier., en la onda cuadrada de la figura A.1.
Considérese ahora la suma de un número finito de términos, de la serie Sk(t). ~egún
(A.10), esta suma está dada por (T== 21T, w 0 == 21T/T== 1)
3
.. 1
254
Análisis de Fourier
sen
.. 2 iT/2
Sk(t) = T .
f(x)
rrk
+ !) Wo(X- t)]
L\ . 2
[
2 sen
-T/2
%w 0(x- t)
dx
]
Sustituyendo x - t por y, y t- x' por y', se obtiene
dy'.
(A.33)
Esto es así, porque
dy' = .;_dx',
sen [(k+
sen
1)<~y')] =-sen [(k+ 1)Yl
[% (.;_y')] = - sen [
1Yl·
Puesto que
rr-t lt lt Jrr-t lrr:....t lt lt lrr-t
l-t + rr+t = -t + t + rr+t + rr-t ~ -1+ rr+t
se puede expresar (A.33) como
Sk(t) = _1
·
2rr
·
Jt
-t
l
_sen-=--:[(k_+--'-D--=-Y dy + _1
'2
sen (1 y)
2rr
i7J-t
rr+t
En la vecindad de la discontinuidad, es decir, t =O, se evalúa la primera integral en la
región donde y= O. Aplicando la regla deL 'Hospital, se obtiene el valor del integrando
eny=O?como
= 2k +l.
Y=O
La segunda integral se evalúa en la región donde y= n. El integrando de la segunda
integral en y = n _es (- 1 )k. Se puede despreciar la contribución de la segunda integral
en comparación con la contribución de la primera. Por consiguiente,
255
Convergencia de la serie de Fourier y el fenómeno de Gif?bs
(A.35)
puesto que el inte grande es par en y.
Como lo que interesa es la vecindad de la discontinuidad, es decir, t =O, y
e
e
1
.
sen
l lffi
-- =
'
e... o
[t ~H ~ J,' [(k; ~)Y]
se puede reemplazar senl/2y por l/2y, y obtener
.
S,(t)~; f sen
dy
;
sen
dy.
(A.36)
2
Sustituyendo (k + 1/2)y por¿-, se tiene
. (A.37)
donde S¡ (y) es la función seno-integral comentada en el problema 6.34. Puesto que
S¡(O) =O, y 8¡(00) = 1r /2 (ver el problema 6.34),
Sk(O) = 0,
.lim Sk(t)=l.
k->oo
Según la gráfica de S¡(y) (figúra 6.18) y figura: A.2, se observa que en t= O el valor
de Sk(t) es cero; luego asciende rápidamente a medida qu~ t aumenta, sobrepasa el valor
1 y oscila alrededor de la línea f(t) = 1, con amplitud decreciente. A medida que el
número de los términos aumenta, la curva resultante oscila con frecuencia creciente y
amplitud decreciente; a ambos lados de las discontinuidades hay sobrepaso de curvas.
Aunque la magnitud del pico no disminuye a medida que k aumenta, hay .un límite
inferior de 9% de sobrepaso aun si k---+ oo.
B
APENO ICE
RELACION ENTRE ·LAS
TRANSFORMADAS DE
FOURIER Y LAPLACE
B.1
PROBLEMA B.1
DEFINICIONES Y PROPIEDADES BASICAS .
DE l.A TRANSFORMADA DE LAPLACE
Hallarla transformad~ de Laplace del escalón unitario
. {1,
t>O
o, t <o.
Solución: · utilizart!lo la definición B.l, se tiene
(B.4)
f (t) =u (t) =
.
F(s) = ~[u(t)] =
loo
Q
PROBLEMA B.2
1 e--st
e-st dt = -.
•
S
loo = -.
1
O.
(B. S)
S
Hallar la transformada de Laplace de
f(t)'=
erx 1
'
t >O
. { o.. ·t <0,
donde ct es una constante.
256
(B.6)
Relación entre las transformadas de Fourier y Laplace
So 1uci ón:
.257
utilizando la defmición (B.l), se obtiene
F(s) = Í[eCXt] =
í"" eCXt e-st dt =roo e-<s-CX)t dt = - 1 - , Re[s] >a.. (B.7)
Jo
Jo
s-a
Si [ 1 (t) y [ 2 (t) son dos fuaciones del tiempo, y a 1 y a2 son
constantes, demostrar que
PROBLEMA B.3
Í [a1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t)] = a 1 Í[f1 (t)] + a 2 Í [f2 (t)] = a 1 F 1 (s) + a 3 F 2 (s).
Solución:
(B.8)
utilizando la definición (B.l), se·obtiene
Í[a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t)]
=i""
l""
[a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t)] e~st dt.
= a1
= a 1Í
f 1 (t) e-st
dt + a
1
00
2
f 2 (t) e-st dt
[f1 (t)] + a 2 Í U2 (t)]
= a 1 F 1 (s) + a 2 Fis).
PROBLEMA B.4
Hallar la transformada de Laplace de
f{t) =
Solución:
cos wt, :t > O
.
{ o,
t <o.
(B.9)·
porlaidentidad e±Jcut = cos wt ±i sen wt, se tiene
Utilizando el resultado (B.7) del problema B.2, se tiene
Í [eJcut] = - 1- , . Í [e-Jcut] = - 1s-jw
s+iw'
Re [s] > O.
(B.10)
Re [s] > O.
(B.ll)
Y utilizando (B.8), se obtiene
1
1
Í [cos wt] = .! [-+ - -] = 2 s 2 ,
2 s - j w s ;;1- j w
s +w
PROBLEMA B.5
Si ~[f(t)] =F(s), hallarla transformada de Laplace de
df(t)
dt
Solución:
por defmición,
(t)J l""o didt e-st dt,
Í [df
dt
=
integrando por partes, se obtiene
f [ ~:] = [f (t) e-st]~
+si""
f (t) e-st dt.·
Análisis de Fourier
258
Puesto que para Re [s] > O,
lim [f (t) e- 81 ] = O,
t-->oo
. [dt]
~ dt
PROBLEMA 8.6
Solución:
= sF(s)- 1(0).
(B.12)
Hallar la transformada de Laplace del impulso unitario [) ( t).
en el problema 2.27 se demostró que
o(t) = du (t).
(B.17)
dt
Utilizando esto en conjunto con (B.12) y (B.S), se obtiene
~[o (t)] = ~ [du (t~l
Lat J
·
= s ~[u (t)] - u (O)
=S
1
--u (O)
S
=
1- u (O).
(B.18)
Obsérvese que en la definición de u(t), dada en (B.4), u(O) no está definida. Si se utiliza
(B.16), entonces
f[o(t)] = 1-u(O+).= 1-1 =o,
(B.19)
mientras que si se utiliza (B.14), entonces
(
~[o (t)] = 1- u co-) = 1- o = 1.
(B.20)
Como en el caso de la transformada de Fourier, es conveniente tener
.~[o(t)l=L
(B.21)
De esta manera, se observa nuevamente una ventaja en seleccionar O-como el límite
inferior, de la integral que defme la transformada de Laplace.
Relación entre las transformadas de Fourier y Lap/ace
PROBLEMA B.7
259
Si f[f(t)] =F(s), hallar 13; transfonnada de Laplace de
J~ f('r) d'r.
Solución:
sea
g(t) =
Jt
f('r) d-r.
(8.22)
-00
entonces
dg (t) = f (t),
dt .
de tal manera que mediante (B.14), se obtiene
sG(s)- g(O-) = F(s),
(8.23)
donde G (s) = ~[g(t)]. Por el resultado (B.23), se tiene
G(s) = _!. F(s) +.!. g(O-).
S
.
Dado que g (O-) =
(8.24)
S
o
loo-
f ( 'r) d 'r, entonces
(
]
1
1
ro-
~ [ j_ f(T)d'r =~F(s)+~J-"" f(T)d't.
(8.25)
00
B.2
PROBLEMA B.S
RELACION ENTRE LAS TRANSFORMADAS
DE FOURIER Y LAPLACE
Si f(t) es causal, es decir,
f (t) = O para
t <O,
(8.29)
ioo
< oo,
(8.30)
1 f(t) 1 dt
260
Análisis de Fourier
entonces, demostrar que
1[f(t)] = ~[f(t)]s=JW'
Solución:
1:
(B.31)
por la definición (B.28), se tiene
1 [f (t)] =
=
f (t) e-iwt dt
J.
O f (t) e-Jwt dt +
loo
=
f (t) e-iwt dt
o
-00
~
roo f (t) e-jwt dt
Jo
(B.32)
\
dado que f(t) =O, para t <O.
La transformada 1 [f(t)] existe si se cumple la condición (B.30). Comparando
(B.32) y (B.27), se obtiene
5 [f (t)] = ~ [f (t)L=Jw.
Utilizar (B.31) para encontrar la transformada de Fourier de
PROBLEMA B.9
l(t) =
t >O
e-at
{
'
o, . t <o,
donde a> O.
Solución:
puestoquef(t)=O,parat<O y a>O,
=1 e-C<t dt =_l e-C<tloo =l < oo,
00
roo 1f(t)l dt
Jo
o
a
o
a
y se puede aplicar (B.31). Por¡¡;el resultado (B.7) del problema B.i, se tiene
~[f(t)] = - 1 -.
s+a
Por tanto, según (B.31 ), se tiene
1
-1
5[f(t)] = _.s +a S=]W
.
1
iw +a
(B.33)
que es exactamente el resultado obtenido en (4.47).
PROBLEMA B.10 Demostrar que la transformada de Fourier del escalón unitario u(t),
no se puede encontrar a partir·de (B.31).
Solución:
puesto que
la condición (B.30) no se cumple; por tanto, (B.31) no se puede aplicar. En efecto, según
los resultados del problema B.l y problema 5;9, se tiene
~[u (t)] = .!
S
PROBLEMA B.11
Si
y
5[u(t)] = rr8(w) + _!_,
iw
Relación entre las transformadasde Fourier y Laplace
261
demostrar que
Solución:
~[f(t)] = ~[f(t)L=iw + f[f(t)ls=-i"' si f(t) es par
(8.34)
~ [f (t)l = l? [f (t)] s=jw -.s? [f (t)l s= -jw si f (t) es impar
. (8.35)
1:
mediante (B.28), se tiene
~ [f (t)] =
\
f (t) e-iwt dt
=loo (t) e-iwtdt +Jo i(t) e-i"' dt . .
1
f
o
(8.36)
-00
1=
entonces existe
SiL: 1f(t) 1 dt < ,;,,
,
y es igual a
f (t) e±iwt dt
~ [f(t)]s=:¡:jw•
Si f(t) es par, es decir, f(- t) = f(t), entonces, cambiando las variables de integración,
se tiene
1°-=
f (t) e-iwt dt = (" f (- T) ei"'" dT
Jo
=loo·
o
f (T) e-(-jw)T dT
.
(8.37)
Si f{t) es impar, es decir, f(- t) =- f(t), entonces
J.
0
f (t) e-:-iwt dt =
1=
f (- T) eiWt dT
O
_oo
= -
=
ioo
f (T) e-(-jw)c dT
:....s? [f(t)]S=-ÍW"
Sustituyendo (B.37) y (B.38) en (B.36), se obtiene_
~[f(t)l = l?[f(t)ls=jW + ~[f(t)]s=-jW
SÍ f(.:_f) = f(t),
~[t(t)l = f[t(t)ls=jw-f[t(t)L=-jw
si t(-t) = -t(t).
(B.38)
26~
'
Análisis de Fourier
e
APENO ICE
TRES ·FORMAS: DE LAS
SERIES DE FOURIER
Forma 1:
trigonométrica
00
f(t) = ao +
2
Forma 2:
L:
n=l
trigonométrica
L en
00
f(t)= Ca+
cos(núlot- ()n).
n=l
Forma 3:
exponencial compleja
L
OO.
f(t)=
cne¡nwot.
n=-oo
Para todas las formas anteriores.
f (t + T) = f ( t),
277
úlo=-.
T
Fórmulas de conversión:
Paran =F O,
-1..
bn)
'~'n! = tan . - an ,
an· = 2 Re [en] ,
en =2\cn\
=va~+ b~,
-1 (
bn = -2 lm [en] ,
en =tan-
1
(!:)
Paran= O,
263
=-c/Jn·
APENDICE.
RESUMEN DE LAS
CONDICIONES DE
SIMETRIA
Resumen de las condiciones de simetría para ondas periódicas y•coeficientes de Fourier.
'
Tipo de simetría
Fórmulas de l~;_~oeficientes de Fourier
Formas de las series de Fourier
Condiciones
o_ O
-==-1-J,
"'F(-t) d*
i f '12
.
·
00
Par
'
Impar
L.: an cos ncu t
t<t> =~o +
f(t) = f( -t)
f(t) = -1(-t)
f(t) =.
Bn=tf
0
f: b"
f(t)cos(ncu 0 t)dt
o
n=l
bn .i_T1 .f(t) sen (ncu t) dt
T/2
sen ncuó t
=
0
o
n=l
;
00
Media onda
f(t) = -l(t +
f)
f(t) =
L.: [a2n-l cos (2n- 1)cu t
0
n=l
a 2n-t}
b2n-l
+ b2n-t sen (2n :..o 1) cu0 t]
JT/2
= .i..
T 0
f(t)
{cos [(2n-1)cu tldt
0
sen
'
•f(t) = f(-t)
Cuarto de onda par
y
f(t) = -t(t +
f)
l(t)=-H-t)
y
Cuarto de onda impar
cu 0 t
n=l
a2n-l = .!_
T
o
L.:
f(t) cos [(2n -1)cu0 tl dt
.
T/4
00
f(t) =
f(t)=-l(t+f)
¿ a2n-1 cos (2n -1)
J
•T/4
00
t<t> =
b2n-l sen (2n -1) W 0 t
n=l
b2n-t=tf
o
.
f(t)sen[(2n-1)cu0 t]dt
.
-~
\Ji~
,\
264
PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA DE
FOURIER
E
APENDICE
Las funciones son periódicas con período T, a> Q; b, t 0 y
W 0 = 2-rr/T, son constantes reales, con n = 1, 2, · · · .
f (t)
F(úJ)
1
f(at)
\a\
a
F (-úJ)
f (-t)
fe (t) =
F(ú))
k
[f(t) + f(-t)]
f 0 (t) = _! [f(t) -f(-t)]
2 .
f(t)= fe(t)+fo(t)
F (t)
2rrf(-úJ)
i'(t)
}úJF (úJ)
¡(n)(t)
( }úJ)n F (úJ)
Jt
f(x)dx
-00
-jtf(t)
f 1 (t) * f2 (t)
=Joo f (x) f (t- x) dx
-oo
1
2
265
266
Análisis de Fourier
F(w)
f(t)
_L F; (w) * F 2 (w)=
2rr
_!_loo
F (y)F (w- y) dy
2rr
1
2
-oo
1
e-at u(t)
jw +a
~ e-J/(4a)
1
p (t)= {
a
sen \~a)
para \t\ < a/2
O para
a---
\t\ > a/2
(~a)
sen at
rrt
1
te-at u(t)
(jw + a) 2
t n-1
--''----e-at u(t)
(n -1)!
·
1
e-at sen btu (t)
b
e-at cos btu(t)
jw +a
JL [e-a\úl-bl + e-a\úJ+b\J
2a
_]]_ [e-a\úl-b\_e-a\ú!+6\J
2aj
o(t)
.
1
o(t-to)
s'U)
jw
o<n) (t)
(jw)n
u (t)
rro(w) + _l_
jw
rro(w) + _L e-júlto
jw
1
2rro(w)
2 rrj o'(w)
2 rrr o<n> (w)
Propiedades de la transformada de Fourier
f(t)
267
F(w)
TT [8 (w - W 0 ) + 8 (w + W 0)]
-jTT[8(w- w 0 ) - 8(w + w 0 )]
sen w 0 t u(t)
Wo
w~- w
jw
cos w 0 t u(t)
2
w~- w
2
+_!!_ [8(w-w 0 )-8(w+w0 )]
2j
.
+ !!_ [8 (w - w 0 ) + 8 (w + W 0 )J
2
t u (t)
jTT 8 '(w)- _l_
1
TTj-2TTj u(w)
- .
w2
(-jw)n-1 _
---[TTj-2TTj u(w)]
(n ..,.. 1)!
-
2
sgn t ·
iw
L 8(w-.nw
00
00
8T(t)=
w 0 8r.u 0 (w)=w 0
L.8(t-nT)
n=-:-oo
n=-oo
Otras propiedades:
J-oo
00
f(x) G (x) dx =
Joo F (x) g (~) dx.
--eo
0)
F
APENO ICE
LISTA DE SIMBOLOS
"•}
bn
en
a(t)
Coeficientes de Fourier
B
Coeficiente de amortiguación
e
Capacitancia
d
Duración de un pulso
nkm
E
Núcleo de Dirichlet
Respuesta al escalón unitario
m
Masa
mn
m(t)
n(t)
p
p(x),p(x,y)
Momento enésimo de X
f(t)
Contenido de energía; esperanza
11/11
Pulso rectangular dé
y duraciónd
p
Frecuencia
P(x),P(x,y)
Potencia
Función de distribución
P(w)
Densidad espectral de potencia;
probabilística
Contenido de energía de f(t)
Transformada de Fourier de f(t)
Fc(w)
Transformada coseno de Fourier
Fiw)
Transformada seno de F ourier
de f(t)
de f(t)
IIFII
Densidad probabilística o
Error cuadrático medio
F(w),F(jw)
2
El operador d/dt
amplitud unitaria
Función del tiempo
2
Ruido
función de frecuencia
Pa(t)
matemática
Ek
f
Mensaje
Contenido de energía de
espectro de potencia
R
Resistencia
R(w)
Parte real de F ( w)
Ru,Rzz, ...
R¡z,Rz¡, ...
Funciones de autocorrelación
Ru,Rzz, ···
Funciones de autocorrelación
R¡z,Rz¡, ...
Funciones de correlación
F(w)
Funciones de correlación
promedias
G
Conductancia
h(t)
H(p)
Respuesta al impulso unitario
Función operacional del sistema
Si
Función seno integral
H(w),H(jw)
Transformada de Fourier de h(t);
Sa(t)
Sk(t)
Función muestreadora
promedias
función del sistema
i,I
~orriente
lm
Amplitud del fasor que representa
Suma de los primeros (2k + 1)
términos de la serie de
la corriente i(t)
k
Constante de Boltzman; constante
del resorte
K
Conductividad térmica
Fourier de f(t)
t
Tiempo
T
Período de una función
periódica; temperatura;
tensión
T
kz,kx•···•kmn Constante de separación
L
Inductancia; operador lineal
Centro de gravedad del área
bajo la curva f 2 (t)
268
269
Lista de símbolos
(T
Tiempo de ascenso
ek
Error entre f(t) y Sk(t)
Td
Duración efectiva del pulso
()
Angulo de fase
u
Deflexión de1 cordel o de la
X
Longitud de onda
membrana; potencial
p
Densidad
electrostático; :distribución
a
Desviación estándar
1/J
Función característica;
de temperatura
u(t)
Función escalón unitru.io
v, V
Voltaje
Vm
Amplitud del fasor que representa
al voltaje v (t)
ángulo de fase;
función de prueba
tPm
Indice de modulación
w
Frecuencia angular
w
Centro de gravedad del
X
Desplazamiento; variable
X
Variable al azar
área bajo la curva
X(w)
Parte imaginaria de F ( w)
IF(w)l 2
Y(p), Y(jw)
Admitancia
Z(p),Z(jw)
Impedancia
a
Constante de Atenuación
{3
Constante de fase
an, 13n
'Y
o(t)
oy(t), ow/W)
j= , (S: e ' j= s )
Transformada de Fourier
(coseno, seno)
cr-1
-t
-1
:f ' (j=c ' j=s )
Transformada inversa de
Coeficientes de F ourier
.f
Transformada de Laplace
Constante de propagación
.e-t
Transformada inversa de ·
.fu
Transformada bilateral de
Fourier (coseno, seno)
Función delta o impulso
unitario
Tren periódico de impulsos
unitarios
M
Dispersión en el tiempo
~w
Ancho de banda
Laplace
Laplace
Re
La parte real de
!m
La parte. ÍJTlaginaria de
/
INDICE
A
Admitancia
operacional, 123
senusoidal, 128
AM (modulación de amplitud); 156-160
señal, 156
BLU (banda lateral única}, 179
DBLPS (doble banda lateral y
portadora suprimida), 158
ordinaria, 156
Ancho de banda espectral, 229, 236
de un pulso cuadrado, 231
Ancho de banda, 147, 229, 236
de un filtro, 14 7
de una señal, 229
espectral, 229, 236
Aproximación mediante una serie finita de
Fourier, 13-16
Armónico
amplitud del, 5
enésimo, 5
Azar·
proceso al, 221
ruido al,166, 169
señal al, 17'1-172, 175
variable al, 221
función característica de la, 224
gaussiana, 245
momento enésimo de la, 223
no correlacionada, 226
ortogonal, 226
valor cuadrático medio de, 223
valor medio de, 223
varianza de, 223
B
Banda lateral, 157
inferior, 157
superior, 157
e
Cálculo de potencia en estado estacionario,
129-131
Cálculo de ruido, 175
Característica de transmisión, 215
de una pantalla absorbente, 215-216
de una rendija, 215-216
de una rejilla de difracción, 216-217
Causalidad, 239
Centro de gravedad, 228
Circuitos eléctricos, 127
Coeficientes de Fourier
con respecto al conjunto ortonormal, 23
de midas simétricas, 28-33 ·
simetría de cuarto de onda, 29
simetría de media onda, 29
simetría impar, 28
simetría par, 28
evaluación de los, 7-13
por diferenciación, 45~48
por medio de la función o, 62~65
Coeficiente de transmisión, 215
- Condiciones de Dirichlet, 16, 24, 247
Condiciones de frontera, 183
Condiciones iniciales, 183
Conducción de calor, 199-205
Conjunta
función característica, 226.
función de densidad, 226
función de distribución, 226
Conjunto ortonormal, 50
Constante de propagación de una línea
de transmisión, 143-144
Constante de separación, 184
Contenido de potencia, 65, 172
de una función periódica, 65
de una señal, 172
· Convergencia
de una sucesión de una funqión
generalizada, 4 3
de la serie de Fourier, 16, 247
en un punto de discontinuidad,
17, 251
Convolución, 88-92, 133
de las funciones causales, 88, 137.
ley asociativa de la, 89
ley conmutativa de la, 89
Convolución en dos dimensiones, 221, 245
·teorema de la, 221
Cuerda vibrante, 212
energÍa instantánea de la, 212
energÍa cinética de la, 212
271
D
Defasador, 149
Delta de Kronecker, 23
De las series de Fourier a la integral de
Fourier, H-73
Demodulacion, 158-159
Densidad espectral de potencia, 172-173
de una función periódica, 173
del ruido blanco, 174
del ruido termico, 174
Derivadas generalizadas, 40, 43
de una función con discontinuidades,
42-43
Descomposicion de una función en
funciones pares e impares, 25
Desigualdad de Schwartz, 232, 233
De.sviación de frecuencia angUlar de una
señal de FM, 162
Desviación estándar, 223
Detección, 158
Diferenciación de las series de Fourier, 17
Difracción, 215
de Fraunhofer, 215
de rayos X por cristales, 221
patrón de, 215
por una rejilla, 216
por una rendija, 216 ··
Discontinuidades, 16,42
súbitas, 42
Dispersión, 228
Distribución de temperatura en estado
estacionario
de una barra infinita, 202
de una barra semi-infinita, 205
de una placa semicircular, 209
Distribución del objeto, 219
Distribución de potencial de una caja
rectangular, 206
Doble banda lateral y portadora suprimida
(DBLPS)
señal de AM con, 158
E
Ecuación del calor
función de Green de la, 205
Ecuación de Laplace, 187, 205
Ecuación de Parseval, 114
Análisis de Fourier
El laplaciano, 199, 205
en coordenadas cilÍndricas, 206
en coordenadas esféricas, 206
en coordenadas rectangulares, 206
El principio de incertidumbre, 228
de Heisenberg, 228
en el análisis de Fourier, 228-236
en el análisis espectral, 228
Energía cinética de una cuerda vibrante, 212
.._ Energía
contenido, 94, 166, 228
de una señal (o función), 94, 166,
228
densidad de, 171
densidad espectral de, 94, 98
espectro de, 92,. 94, 98, 171
Energía instantánea de una cuerda vibrante,
212
Enésimó armónico de una función
periódica, S
Enésimo momento, 100, 223
de una función, 100
de una variable al azar, 223
Error
cuadrático medio, 14
en la aproximación por una serie finita
de Fourier, 13, 16
Error cuadrático medio, 14
con serie finita de Fourier, 14
mínimo, 14
Espectro de magnitud, 74, 81,
Espectro de potencia, 171 (ver densidad
espectral de potencia)
Espectro de potencia media, 171
Espectro frecuencial
complejo, 51!
continuo, 71, 81
de una señal DBLPS, 158
de una señal órdinaria de AM, 157
de una señal MAP, 164-166
de una señal periódica, 52·
de una señal senusoidal modulada en
FM, 162-164 ·
discreto, 52, 58, 72
Esperanza matemática, 223
Evaluació11-de los coeficientes de Fourier,
7-13
por diferenciación, 45-48
usando la función 6, 62-65
Expansión de Fourier de medio intervalo,
34-35
Expansiones de medio intervalo, 34-35
series de Fourier en cosenos, 34
series de Fourier en senos, 34
Expansión en serie de Fourier de una
función en un intervalo finito,
33-37
F
Fase
ángulo de, 5
espectro de, 58, 74 •
función de, 182
modulación de, (PM), 160
respuesta de, 142
retraso, 132
Fasores, 126
representación fasorial de funciones
senusoidales, 126
Fenómeno .de Gibbs¡ 253
Filtro ideal, 144 -14 7
para altas frecuencias, 149
para bajas frecuenciaS, 144
ancho de banpa del, 147
frecuencill de cotte del, 144
respuesta al escalón unitario del,
145-147
respuesta al impulso unitario del,
144-145
tiempo de ascenso, 147
Flujo de calor en estado estacionario, 187
FM (modulación de frecuencia), 161
banda angosta, 180
desviación de la frecuencia angular de,
162
espectro de una senusoidal modulada,
162-164
índice de moduálción de, 161
señal de~ 161
Frecuencia
de corte, 144
función de, 221
fundamental angular, S, 72
instantánea, 161, 182
portadora, 157
Fórmula de la sumatoria de Poisson,
236-239
Fórmula de inversión, 224
Función de autocorrelación, 95
promedio, 166
transformada de Fourier de la, 98
Función de autocorrelación promedio, 166
de ondas seimsoidales, 168
de señales periódicas, 167, 169
del ruido blanco, 174
del ruido térmico, 174
transformada de Fourier de la,. 168
Función de entrada, 121
Función de Green, 205
de la ecuación del calor, 205
Función de prueba, 37, 114
Función de salida, 121
Función delta, 37-43 -(ver impulso unitario)
bidimensional, 245
definición de la, 3 7
derivada de la, 40
representación integral de la, 103
transformada de Fourier de la, 102, 115
transfgrmada de Laplace de la, 258
Función envolvente, 182
Función gaussiana, 101, 234
transformada de Fourier de la, 235
Función generalizada, 37, 103
sucesión de la, 43
convergencia de la, 43
transformada de Fourier de la, 102,
114-118. 268
Función impar, 24
coeficientes de Fourier de la, 28-29
integración de la, 26
'
transformada de Fourier de la, 77
Función muestreada, 151
Función muestreadora, 62, 154
272
Función propia (o <;aracterística), 124
de un sistema lineal, 124
Función seno-integral, 146, 255
' Función simbólica, 37-103
Función unitaria de Heaviside, 42 (ver
escalón unitario)
Función theta, 238
Funciones de Bessel, 163
función generadora de las, 163
Funciones características, 224
conjuntas, 226
derivadas de las, 225
Funciones causales, 137, 239
convolución de las, 88, 137
transformada de Fourier de las, 239
Funciones de correlación, 94-98
autocorrelación, 95
correlación, 94
promedio, 166-171
Funciones de correlación promedio, 166
de señales reales periódicas, 168-169
transformada de Fourier de las, 1'80
Funciones pares, 24
coeficientes de Fourier de las, 28
integración de las, 26
transformada de Fourier de las, 77
Funciones periódicas, 1
armónico enésimo de las, 5
autocorrelación de, 167
componente fundamental de, 5
contenido de potencia de, 65
correlación de, 167
densidad espectral de potencia de, 173
espectro frecuencial complejo de, 58
período de, 1
series de Fourier de, 4
transformada de Fourier de, 110-113
Fundamental
componente fundamental de una
función periódica, S
frecuencia ángular fundamental,. 5, 72
Identidad de fourier, 73
Identidad de Parseval, 23, 67
Identificación de señales usando
correlación, 169-171
Imagen
de una fuente puntual, 219
distribución, 219
formación, 215-221
Impedancia
operacional, 123
senusoidal, 128
Impulso unitario, 37-43 (ver función delta)
Integración de las series de Fourier, 17
Integral de Duhamel, 141
Integral de Fourier, 71, 74
Integral de superposición, 138-141
Integral del valor absoluto de. una función,
16, 74, 102
Intensidad
de iluminación, 219
distribución, 216
producida por una rendija, 216
producida por una rejilla, 216-218
lndice
Intervalo de Nyquist, 153
Inversa
transformada de Fourier, 74
transformada de Laplace, 25 6
L
La ecuación de onda
en dos dimensiones, 189
en una dimensión, 183
La transformada de Fourier en dos
dimensiones, 218-220, 227
Ley asociativa de la convolución, 89
Uy conmutativa de la cqnvolución, 89
linea de transmisión, 143
constante de propagación de la, 143-144.
función del sistema para la, 143
'
M
Modulación
angular, 1.60-164
de amplitud (AM), 156-160
de amplitud de pulsos (MAP), 164
de fase (PM), 160
de frecuencia (FM), 161
de pulsos, 164-166
índice, 160-161
de una señal de FM, 161
de una señal PM, 160
Momento, 100, 223
enésimo, 100, 223
de una función, 100
de una variable al azar, 22 3
N
Núcleo de Dirichlet, 24 7
o
Onda inci4ente, 215
Onda plana monocromática, 215
Ondas periódicas, 24
análisis de, 24
Ondas via~eras, 197
Operacional
admitancia, 123
función del sistema en forma, 121
impedancia, 123
Operador lineal, 122
Ortogonales
conjunto de funciones, 5
funciones, 5, 57
definición de, .5, 57
variables al azar, 226
Ortogonalidad
de las funciones exponenciales
complejas, 57-58
de las funciones seno y coseno, 5 .
característica de ,transmisión de la,
215-216
patrón de difracción de la, 215
Parámetros estadísticos, 22 3
Período
definición, de, 1
J!M (modulación de fase), 160
Portadora, 157
. · frecuencia de la, 157
Potencial electrostático, 187
Principio de superposición, 121
Probabilidad·
l
función de distribución de, 221
conjunta, 226
función de densidad de, 221
conjunta, 226
teoría de, 221-228
Problemas de valor en la frontera, 183-214
Problema de valor inicial, 197
Propiedad de desplazamiento en el tiempo
de la transformada de Foui:ier, 84
Propiedad de desplazamiento en la frecuencia
de la transformada de Fourier, 84
Propiedad de escalonamiento de la
t.:ansformada de Fourier, 83
Propiedad de linealidad de la transformada
de Fourier, 83
Propiedad de simetría de la transformada
de Foilrier, 85
Pulsos rectangulares
espectro de frecuenCia de, 58
Punto de discontinuidad, 17
R
Relaciones entre la entrada y la salida, 17 5
Relación entre las transformadas de Fourier
y Laplace, 259
Representación en serie de Fourier de una
función no periódica, 72-73
Representación integral de la función delta,
103
Respuesta
amplitud de la respuesta, 142
a un escalón unitario, 138
a un impulso unitario, 138
de un sistema lineal, 133
a una función exponencial, 123
en estado estacionario, 125
fase de la, 142
función de la, 121
Respuesta en estado estacionario de un
"
sistema lineal, 125-127
senusoidal, 125
Ruido, 166, 175
al azar, 166
blanco, 174
térmico, 1·74
S
p
Pantalla absorbente, 215
Senusoidal
admitancia, 128
273
función, 5
impedancia, 128
Senusoide modulad¡¡ en amplitud y en
ángulo, 182
Señales
alazar, 171-172, 175
AM (modulación de amplit1,1d), 156
BLU (banda lateral única), 179
DBLPS (doble banda lateral y·
portadora suprimida), 158
analíticaS, 182
ancho de bl!flda de las, 228-229
contenido de energía de las, 94, 166,
228
debandalimi~ada, 151, .153, 156
de tiempo limitado, 154
duración de las, .228
FM (modulación de frecuencia), 161
de banda angosta, 180
incoherente, 180
MAP (modulación de amplitud de
pulsos), 164
moduladas en ángulo, 160
no correlacionadas, 180
PM (modulación de fase), 161
recortados, 180
Señal FM de banda ang,osta, 180
Serie(s) de Fourier, 1, 4
compleja, 53
convergencia de las, 16, 247
de derivadas de funciones periódicas
discontinuas, 43-45
de una función diente de sierra, 54
de una función senusoide rectific~da, 55
de un tren periódico. de impulsos
unitarios, 44, 62-63
diferenciación e integración de las, 17
divergencia de las, 17
doble, 191
expansión de una funciÓn en un
intervalo finito, 3 3-3 7
fmitas, 13
forma compleja de las, 52-56
teorema de diferenciación de las, 18
trigonométricas, 4
Series de Folirier en términos del coseno, 34
Series de Fourier en términos del seno, 34
Series dobles de'Fourier en términos del
seno, 208
Serie finita de Fourier, 13
aproximación por una, 13-16
Separación de variables, 183
Sgn t (Signum t), 108
Simetría
propiedad de la transformada de Fourier,
85
de onda, 24
Simetría de cuarto de onda. 27
impar, 27
par, 27
coeficientes de Fourier de señales
con, 29-31
Simetría de media onda, 27
coeficientes de Fourier de funciones
con, 29
Análisis de Fourier
Simetría escondida, 27
Sistema
causal, 137
de formación de imágenes, 245
de parámetros constantes, 121
físicamente
no realizable, 145
realizable, 145
invariante en el espacio, 245
invariante en el tiempo, 121, 122
mecánico, 131
óptico, 215
que no introduce distorsión, 142
Sistema lineal, 121
característica de filtro del, 144
función propia del, 124
respuesta a una función exponencial, 12'3
respuesta al impulso unitario de un,
133-134
respuesta a1 escalón unitario de un,
138-139
respuesta de amplitud del, 142
respuesta de fase del, 142
respuesta senusoidal en estado
estacionario del, 125
valor prooio de, 124
T
Teorema de convolución
en el tiempo,:90
en dos dimensiones. 221
en la frecuencia, 91
Teorema ,de convolución en la frecuencia,
151, 156
Teorema de la integtal de Fourier, 73
Teorema de modulación, 156
Teorema del muestreo, 151, 155
en el dominio de la frecuencia, 154
en el dominio del tiempo, 151
uniforme, 151·
Teorema de Parseval, 16, 65, ó7, 92,
94, 98, 173
en do~ dimensiones, 244
Teorema de translación en la frecuencia,
156
T~;orema de Wiener-Khinchine, 98, 101
Teoría de comunicaciones, 151-182
Teoría de potenciales, 205-212
Tiempo de dispersión, 228
Tiempo de subida, 147
Transformada coseno de Fourier, .79
Transformada de Fourier, 74
aplicaciones misceláneas de la, 215-246
bidimensional, 218-220, 227
con+ j, 224
de derivadas, 86
definición de la, 74
de funciones especiales, 102, 120
de funciones generalizadas, 102,
114-118, 265
de la función 6, 102, 115
de la función gaussiana, 235
del coseno, 105
del escalón unitario, 102, 115
del impulso unitario, 102, 115
del seno; ·105
de una constante, 104
de una función exp-onencial, 78, 105
!fe una función impar, 77
de una función par, 77·
de una función periódica, 110-113
de un pulso rectangular, 78
de un tren de impulsos unitarios,
111-112
de un tren de pulsos rectangulares, 113
doble, 227
en difracción y en formación de
imágenes, 215-221
en teoría de probabilidades, 221-228
interpretación de la, 81- 82
Transformada de Hilbert, 239, 242, 246
Transformada de Laplace, 256
bilateral, 261
definición de la, 256
de un escalón unitario, 256
de un impulso unitario, 258
inversa, 256
relación con la transformada de Fourier,
259
unilateral, 261
Transformadas seno de Fourier, 79-80
Transformada tridimensional de Fourier,
221
Transmisión sin distorsión, 142-144
V
Valor cuadrático medio, 223
Valor medio, 223
Valor propio (o característico), 124
de un sistema lineal, 124 ·
Varianza, 223
Vibración, 189-199
de una cuerda, 183
de una cuerda infinita, 195 -197
de una membrana, 189
de una viga uniforme sujeta por un
extremo, 193
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