Ejercicios Gravitación - CINEMÁTICA, DINÁMICA, CAMPO, POTENCIAL Y ENERGÍA

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CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MCU
1. La Tierra tarda 23 horas, 56 minutos y 4 segundos en girar sobre su propio eje. ¿Cuál es su
velocidad angular?
Sol.: 7,29·10-5 rad s-1.
2. La Tierra tarda 365 días en girar completamente alrededor del Sol a una distancia de 149 600 000
km. Si la Tierra tiene una masa de 5,972·1024 kg, calcula la fuerza centrípeta que actúa sobre esta.
Sol.: 3,508·1022 N
3. La Luna gira alrededor de la Tierra con una velocidad angular 2,66·10-6 rad/s a una distancia media
de la Tierra de 384 400 km. Si la masa de la Luna es de 7,35·1022 kg, calcula la fuerza centrípeta.
Sol.: 2,00·1020 N
4. La Tierra viaja en torno al Sol siguiendo una órbita que se completa en un año. Suponiendo que se
trata de una órbita circular de radio 1,5·1011 m, calcula el momento angular orbital de la Tierra
respecto al Sol. (MT = 5,972·1024 kg)
Sol.: 2,68·1040 kg m2 s-1
5. Mientras que la velocidad angular de cualquier punto sobre la superficie de la Tierra debido a la
rotación de esta es constante (ejercicio 1), la velocidad lineal depende de la latitud del punto en
cuestión. Con el dato del ejercicio 1, calcula la velocidad lineal de un punto situado en:
a. El Ecuador.
b. Tu latitud.
c. Polo norte.
Sol.: a) 460 ms-1
b) 350 ms-1
c) 0 ms-1
6. Starlink es un proyecto de SpaceX con el que se pretende ofrecer un servicio de internet de calidad
con cobertura mundial y a bajo costo. El proyecto consiste en crear una red de miles de satélites
en órbitas LEO que cubran todo el globo terrestre. Uno de los satélites Starlink de 2ª generación
(v1.5) orbita la Tierra a una altura de 550 km y tiene una masa de 260 kg tardando 1h 35min en
completar una órbita. Calcula:
a. Velocidad lineal y angular.
b. Momento lineal y angular.
Sol.: a) 7,63 km s-1; 1,1·10-3 rad s-1 b) 1,98·106 kg m s-1; 1,37·1013 kg m2 s-1
7. La órbita de la Tierra no es exactamente circular, si no ligeramente elíptica ( = 0,017). El punto
más cercano al Sol se llama perihelio y el más alejado, afelio. El perihelio, en contra de la intuición
popular, se produce actualmente a principios de enero y el afelio a principios de Julio. La velocidad
de la Tierra en su órbita elíptica no se mantiene constante, teniendo el valor más alto justo en el
perihelio y el más bajo en el afelio. A partir de los datos de la noticia del enlace, calcula el momento
angular de la Tierra en el perihelio y en el afelio.
Sol.: 2,70·1040 kg m2 s-1; 2,61·1040 kg m2 s-1
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CAMPO, POTENCIAL Y FUERZA GRAVITATORIA CREADO POR MASAS PUNTUALES.
TRABAJO DEL CAMPO GRAVITATORIO.
1. En el punto P(3,0) se sitúa una masa de 5 kg y en el punto Q(0,2) se coloca otra masa de 4 kg.
a) Calcula el campo gravitatorio en el origen de coordenadas.
b) Calcula la fuerza resultante que actúa sobre una tercera masa de 2 kg cuando se coloca en el
origen de coordenadas.
Datos: G = 6,67 · 10 -11 N m2 kg-2
Sol.: a) 3,71·10-11 + 6,65·10-11 N kg-1
b) 7,42·10-11 + 1,33·10-10 N
2. En el punto A(3,0) se sitúa una masa de 15 kg y en el punto B(0,0) se coloca otra masa de 10 kg.
Calcula el campo gravitatorio en el punto C(3,4).
Datos: G = 6,67 · 10 -11 N m2 kg-2
Sol.: -1,6·10-11 – 8,4·10-11 N kg-1
3. Un satélite de 3000 kg de masa gira en torno a la Tierra siguiendo una órbita circular de radio
9500 km. Obtener el módulo de la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite.
Datos:G= 6,67×10-11 Nm2kg-2; M(Tierra) = 5,98×1024 kg.
Sol.: 13260 N
4. La ISS orbita alrededor de la Tierra a una altura de 400 km. Calcule el módulo de la fuerza con la que
la Tierra atrae a la ISS.
Datos: G = 6,67 · 10 -11 N m2 kg-2 ; RT = 6370 km ; MT = 6 · 10 24 kg;
MISS = 450 tn
6
Sol.: 3,93·10 N
5. En tres de los vértices de un cuadrado de 1 m de lado hay tres masas iguales de 2 kg. Calcule:
a) La intensidad del campo gravitatorio en el otro vértice.
b) La fuerza que actúa sobre una masa de 5 kg colocada en él.
Datos: G = 6,67 · 10 -11 N m2 kg-2
Sol.: a) 𝑔⃗=–18,06·10–11 (𝑖⃗ + 𝑗⃗) N/kg b) 𝐹⃗ =–90,3·10–11 (𝑖⃗ + 𝑗⃗) N/kg
6. La masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra, el radio lunar es 0,27 veces el radio de la Tierra
y la distancia media entre sus centros es 60,3 radios terrestres.
a) Calcule la gravedad en la superficie lunar.
b) ¿En qué punto intermedio entre la Tierra y la Luna se equilibran las fuerzas que ambas ejercen
sobre un cuerpo de masa m?
Datos: gOT = 9,8 ms-2; G = 6,67 · 10 -11 N m2 kg-2
Sol.: a) gOL = 0,165gOT = 1,62 m/s2
b) x = 2,51·108 m
7. Dos masas iguales de 10 kg están situadas en los puntos de coordenadas (3, 0) y (-3, 0), medidas en
metros. Calcule:
a) La intensidad de campo gravitatorio generado por las dos masas en el punto (0, 2).
b) El potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.
Datos: G = 6,67 · 10 -11 N m2 kg-2
Sol.: a) = –5,7·10–11 N/kg b) V = -4,45·10–10 J/kg
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8. Dos masas de 5 kg se encuentran en los puntos A(0,2) y B(2,0) m. Determine razonadamente:
a) el valor de la intensidad del campo gravitatorio en el punto C(0,0) m;
b) el potencial gravitatorio en el mismo punto;
c) el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para desplazar una masa de 3 kg desde C hasta
el punto D(2,2) m. Justifique el resultado obtenido.
Dato: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2.
Sol.: a) 8,35·10-11 ( + ) N kg-1
b) -3,36·10-10 J kg-1 c) 0 J
9. De un campo gravitatorio se sabe que lo ha creado una masa puntual situada en uno de los ejes de
coordenadas y que en el punto P(0, 8) el vector 𝑔⃗ = (−9𝑖⃗ − 16𝑗⃗) · 10−10 N kg-1. Calcula la posición
y el valor de la masa que lo genera.
Dato: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2.
Sol.: (-4,5; 0) m; 2320 kg
10. Dos partículas puntuales con masas m1 = 5 kg y m2 = 20 kg se hallan situadas a lo largo del eje X. La
partícula de masa m1 se encuentra en el origen de coordenadas, x1 = 0, mientras que la masa m2 está
en el punto x2 = 6 m.
a) Determine el punto del eje X en el que se anula el campo gravitatorio.
b) Potencial gravitatorio debido al sistema de masas en los puntos del eje X situados en las
coordenadas xA = -1 m y xB = 7m.
Dato: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2.
Sol.: a) (2, 0) m
b) VA = -5,24·10-10 J kg-1; VB = -1,38·10-9 J kg-1
11. Un cuerpo de masa 2×1010 kg se encuentra fijado en el punto (-50, 0) m de un cierto sistema de
referencia. Otro cuerpo de masa 3×1010 kg se encuentra fijado en el punto (100, 0) m.
a) Calcular y representar gráficamente el vector campo gravitatorio debido a los dos cuerpos en
el punto (0, 0) m.
b) Calcular el potencial gravitatorio debido a los dos cuerpos en los puntos (0, 0) m y (0, 50) m.
c) Calcular el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de 10 kg cuando se
desplaza desde el punto (0, 0) m hasta el punto (0, 50) m
Datos: G = 6,67×10–11 N m2 kg–2.
Sol.: a) -3,34×10-4 N kg-1
b) -0,047 J kg-1; -0,037 J kg-1
c) -0,1 J
12. Dos masas m1 = 5 kg y m2 =10 kg, están situadas en los puntos (0,0) m y (0,–2) m respectivamente.
a) Calcular y representar gráficamente el vector fuerza gravitatoria debido a las masas m1 y m2,
que experimenta una masa m3 = 100 g situada en el punto (1,–2) m.
b) Calcular el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por m1 y m2, cuando m3 se
desplaza del punto (1,–2) m al punto (1,0) m.
c) Razonar brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b
Datos: G = 6,67×10–11 N m2 kg–2.
Sol.: a) -7,79·10-12 + 9,18·10-12 N
b) 2,17·10-11 J
13. Consideremos dos masas de igual valor, 𝑚, separadas una distancia 𝑑. Determinar el trabajo
realizado por el campo gravitatorio en llevar una tercera masa de igual valor 𝑚 desde el infinito hasta
el punto medio entre las dos primeras masas.
Sol.: 4Gm2/d
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14. Dos objetos tienen masas respectivas m1 = 0,5 kg y m2 = 9 kg. El primer objeto se sitúa en el origen
de coordenadas, mientras que el segundo se sitúa a una distancia de 2 metros según el eje X positivo.
a) Determina el punto sobre el eje X en el que se anula el campo de atracción gravitatoria entre
ambos objetos.
b) Calcula el valor del potencial gravitatorio debido a ambos objetos en dicho punto.
Dato: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2
Sol.: a) 0,38 m b) -4,58·10-10 J/kg
15. Dos masas de 10 kg se hallan situadas en los puntos (5, 0) y (0, 5) respectivamente. Nota: todas las
distancias expresadas en metros.
a) Calcula y representa la fuerza que experimenta una masa de 5 kg, situada en el punto (0, 0).
b) Calcula el trabajo necesario para llevar una masa de 5 kg desde el punto (0, 0) al punto (0, 10)
Datos: G = 6,67×10–11 N m2 kg–2.
Sol.: a) 1,34·10-10 + 1,34·10-10 N
b) -3,7·10-10 J
16. Dos masas idénticas de 1000 kg de masa están situadas en los puntos (0; -2) y (0; 2). Todas las
distancias se dan en metros.
a) Calcular y representar gráficamente el vector campo gravitatorio en el punto (2; 0), así como
la fuerza gravitatoria que experimenta una masa de 10 kg situada en ese punto.
b) Calcular el potencial gravitatorio en los puntos (2; 0) y (-4; 0) debido a las dos masas de 1000
kg.
c) Calcular el trabajo realizado por el campo gravitatorio para sobre una masa de 2 kg cuando
se desplaza del punto (2; 0) hasta el punto (-4; 0).
Datos: G = 6,67×10–11 N m2 kg–2.
Sol.: a) -1,18·10-8 N/kg; -1,18·10-7 N
b) -4,72·108 J/kg; -2,98·108 J/kg
c) -3,38·108 J
17. Una sonda desciende sobre un planeta. Durante su descenso, uno de los sensores mide la aceleración
de la gravedad. La siguiente gráfica muestra dicha variación de g en m/s2 frente a la altura en km.
A partir de los datos de la gráfica, obtenga el valor de la masa y del radio del planeta.
Datos: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2
Sol.: 6,42·1023 kg; 3390 km
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18. Una partícula de masa M1 se encuentra en el origen de coordenadas del plano xy. La componente x
del campo gravitatorio creado por esa partícula en el punto (2, 2) m es -1,18·10-11 N /kg.
a) Calcular el valor de la masa M1.
b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el campo gravitatorio creado por la masa M 1 para llevar otra
partícula de masa M2 = 5 kg desde el punto (4, 0) m al punto (2, 2) m?
Datos: G = 6,67·10-11 Nm2 /kg2
Sol.: a) 2 kg b) 6,91·10-11 J
PESO Y CAMPO GRAVITATORIO EN SUPERFICIE
1. a) ¿Cómo se modifica el peso de un objeto cuando se eleva desde el nivel del mar hasta una altura
igual a dos veces el radio terrestre?
b) Júpiter tiene una densidad media de 1,34·103 kg·m–3 y un radio igual a 7,18·107 m. ¿Cuál es la
aceleración de la gravedad en su superficie?
Datos: G = 6,67 · 10 -11 N m2 kg-2
Sol.: a) gh = g0T/9
b) g0J = 26,89 m/s2
2. Determine el valor de la intensidad del campo gravitatorio creado por la Tierra en un punto de su
superficie. ¿A qué distancia del centro de la Tierra el valor de dicha intensidad se reducirá un cuarto
de su valor en la superficie?
Datos: G = 6,67·10−11 N m2 kg−2 ; RT = 6370 km; MT = 5,98·1024 kg.
Sol.: a) 9,83 N kg-1
b) 12740 km
3. Calcule la altura a la que se debe elevar un cuerpo para que pierda un 30% de su peso. ¿Cuánto
variará su masa?
Datos: Radio de la Tierra, RT = 6,37·106 m
Sol.: 1,24·106 m
4. Calcule la densidad media de un planeta esférico de 6000 km de diámetro si la aceleración de la
gravedad en su superficie es 4 m s-2.
Datos: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2
Sol.: 4,77·103 kg m-3
5. La masa de un cuerpo es de 100 kg sobre la superficie de Marte, donde la intensidad del campo
gravitatorio es de 3,7 m∙s-2.
a. ¿Cuál es el peso de dicho cuerpo sobre la superficie de un planeta de igual masa que la de
Marte, pero con la mitad de su radio?
b. ¿Cuál sería el nuevo peso del cuerpo si se encuentra sobre la superficie de un tercer planeta
de igual radio que Marte, pero con la tercera parte de la masa de éste?
Dato: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2
Sol.: a) 1480 N
b) 123 N
6. a) El planeta 1 tiene un radio tres veces mayor que el planeta 2. Si la densidad de ambos planetas es
la misma, ¿en cuál de los dos es mayor el peso de un mismo cuerpo? Razone su respuesta.
b) Dibuje las líneas del campo gravitatorio creado por dos masas iguales separadas una cierta
distancia. ¿Existe algún punto donde el campo gravitatorio sea nulo? Razone la respuesta.
Sol.: a) En el 1 (g1/g2=3)
b) Sí
7. Un planeta tiene un radio de 5000 km y la gravedad en su superficie es 8,2 m s -2. Este planeta orbita
en torno a una estrella que tiene una masa de 8·1031 kg. Determine:
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a. La masa del planeta.
b. La velocidad de escape desde su superficie.
c. el radio de la órbita en la que la energía mecánica del planeta tiene un valor de -8,15·1033 J.
Dato: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2.
Sol.: a) 3,07·1024 kg
b) 9,06 km s-1
c) 1,01·109 km
8. En una película de ficción un astronauta se halla en un planeta desconocido tras perder el rumbo en
su nave. Para conocer dónde se halla dispone de una tabla de la gravedad en distintos planetas, así
que elabora tres péndulos de distintas longitudes y mide el tiempo que tardan en realizarse 10
oscilaciones con cada uno, sus resultados son los siguientes. ¿En qué planeta es posible que se
encuentre?
Sol.: Marte
9. El peso de un objeto en la superficie de la Tierra es de 360 N. Cuando el objeto se encuentre a una
altura de 500 km sobre la superficie de la Tierra determine:
a. La intensidad de campo gravitatorio.
b. Dicho peso.
Datos: g0 = 9,8 ms-2; RT = 6,37·106 m
Sol.: a) 8,43 ms-2
b) 309,5 N
ENERGÍA Y VELOCIDAD
1.
Un asteroide de 3,0·1014 kg sigue una línea recta que pasa por el centro de un planeta de 6,4·1023 kg.
El asteroide se mueve a 0,650 km/s cuando está a 170 000 km del planeta.
a. Calcule la energía mecánica total del asteroide.
b. Si el asteroide se aleja del planeta, calcule la velocidad que debería tener para escapar de la
atracción gravitatoria del planeta y conteste explícitamente si una velocidad de 0,650 km/s
sería suficiente para escapar.
c. Si el asteroide se acerca al planeta, determine la velocidad cuando la distancia se haya
reducido a la mitad.
Dato: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2
Sol.: a) -1,20·1019 J
b) 709 m s-1
c) 961 m s-1
2. La intensidad del campo gravitatorio de un planeta de radio RT es g0 = 9.80 m∙s-2.
a. Determina a que distancia desde el centro del planeta la intensidad de la gravedad disminuye
a la mitad de su valor g0/2 (punto A), y a la tercera parte g0/3 (punto B).
b. Calcula la velocidad mínima que ha de llevar un cohete en el punto A para que llegue justo
hasta el punto B.
Datos: RT = 6,37·106 m; G = 6,67·10-11 N m2 kg-2
Sol.: a) 9,01·105 m; 1,10·107 m
b) 4·103 m s-1
3. En un cierto punto A la intensidad de la gravedad es la mitad que en la superficie de la Tierra, mientras
que en otro punto B es la cuarta parte. Determine la distancia de ambos puntos al centro de la Tierra
y la velocidad mínima que debe llevar un objeto en A para poder alcanzar el punto B.
Datos: g0 = 9,8 ms-2; RT = 6,37·106 m
Sol.: 9,02·106 m; 1,28·106 m; 5110 m/s
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4. En los vértices de un triángulo se encuentran situadas tres masas, siendo sus posiciones A(0,0), B(3,4)
y C(6,0) expresadas en metros, y sus masas mA = 3·106 kg, mB = 4·106 kg y mC = 5·106 kg
respectivamente. Calcule:
a. El vector intensidad de campo gravitatorio en el punto D(3,0).
b. La fuerza total que las masas en A y B ejercen sobre la masa situada en C.
c. La energía potencial total de la distribución de las tres masas.
Datos: G = 6,67·10–11 N m2 kg–2.
Sol.: a) 1,48·10-5 + 7,41·10-6 N kg-1
b) -59,81 + 42,67
c) -602,53 J
5. Recientemente la NASA envió la nave ORION-Artemis a las proximidades de la Luna. Sabiendo que la
masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna y la distancia entre sus centros es 3,84·105 km:
a. Calcule en qué punto, entre la Tierra y la Luna, la fuerza ejercida por ambos cuerpos sobre la
nave es cero.
b. Determine la energía potencial de la nave en ese punto sabiendo que su masa es de 5000 kg.
Datos: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2; MT = 5,98 1024 kg
Sol.: a) 3,45 ·105 km
b) -6,42·109 J
6. Una sonda espacial se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 25 km/s desde la
superficie de un planeta de masa MP = 3,25 ×1025 kg y con radio RP = 5,75 ×106 m.
a. Responda de forma justificada: ¿conseguirá escapar la sonda espacial de la atracción
gravitatoria del planeta?
b. Determine el peso de la sonda en el instante del lanzamiento si la energía cinética que se le
comunica es de 2 ×1012 J.
Dato: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2.
Sol.: a) No, v < ve
b) 4,2·105 N
7. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La energía mecánica del
satélite en la órbita es -4,5·109 J y su velocidad 7610 m·s-1. Calcule:
a. El radio de la órbita y la masa del satélite.
b. El módulo del momento lineal del satélite y el módulo del momento angular del satélite
respecto al centro de la Tierra.
Datos: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2; MT = 5,98 1024 kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37·106 m
Sol.: a) 6,89·106 m; 155,4 kg b) 1,18·106 kg m s-1; 8,14·1012 kg m2 s-1
8. El 18 de mayo de 2024, a las 00:45 hora local, se pudo ver en el cielo una gran bola de luz azul. El
evento, visible desde numerosos puntos de la península ibérica, se debió a la entrada en la atmósfera
de un objeto de origen cometario de unos 20 cm (masa estimada de 2,5 kg). En el siguiente enlace
se puede leer la reseña que el CAHA (Observatorio de Calar Alto) realizó del evento:
Bola de fuego enorme sobre España y Portugal (caha.es)
A partir de los datos que se dan en la reseña anterior calcule la velocidad con la que dicho objeto
atravesó la órbita lunar (384000 km). Suponga que solo actúa la fuerza gravitatoria de la Tierra y
que la masa del objeto fue de 20 kg.
Datos: G = 6,67·10-11 N m2 kg-2; MT = 5,98 1024 kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37·106 m
Sol.: 156000 km/h
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9. La Tierra tiene una masa de 5,98·1024 kg, y La Luna 7,35·1022 kg. La distancia entre los centros de
ambos astros es 3,84·108 m. Una nave de 3·104 kg viaja entre ellos.
a. ¿Qué energía potencial tiene la Luna debida a la Tierra?
b. Determina a qué distancia de la Tierra, en la línea que la une con la Luna, las fuerzas
gravitatorias que ambos cuerpos ejercen sobre la nave se cancelan.
c. Si en el punto de equilibrio anterior le damos a la nave una velocidad de 1 km/s, ¿cuánto
valdrá su energía mecánica total?
Datos: G = 6,67 · 10-11 N·m2·Kg-2.
Sol.: a) -7,63·1028 J b) 3,26·108 m
c) -2,42·1010 J
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