Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Dinámica de Estructuras Certamen No 1 Departamento de Obras Civiles Certamen 1, Dinámica de Estructuras, Segundo Semestre 2018 1. a) Determinar la fuerza transmitida a la base de fundación del sistema mostrado en la figura debido a un desbalance rotacional que produce una fuerza armónica de magnitud m0 eω 2 , donde ω es la velocidad rotacional del desbalanceo, m0 e es el desbalance rotacional, m0 es la masa de desbalanceo y e es la excentricidad del desbalance. b) Una máquina lavadora industrial de 150 [kg] de masa, tiene un desbalance rotacional de 0.45 [kg-m]. La máquina se encuentra apoyada en un material de rigidez equivalente de 4×105 [N/m] y amortiguamiento de 0.08 (8 % del crı́tico). Si se requiere que la fuerza transmitida a la base sea inferior a 3000 [N], indique una expresión lo más simple posible para determinar el rango admisible de operación de la máquina (velocidades de operación). Explique gráficamente los resultados obtenidos. En base a la información obtenida, ¿qué recomendarı́a usted en términos de las condiciones operacionales de la máquina? Pared lateral Pared lateral M m0 Sistema e M m0 e : : : masa total masa desbalanceada excentricidad Propiedades equivalentes Rigidez : k Amortiguamiento : d Material de apoyo Figura 1: Problema 1. Solución: a) La ecuación de movimiento del sistema está dada por M ÿ(t) + cẏ(t) + ky(t) = m0 eω 2 sin(ωt) √ donde c = 2d kM y y(t) es una coordenada vertical medida desde el equilibrio estático. Resolviendo, m0 eω 2 /k y(t) = q sin(ωt − ψ) (1 − R2 )2 + (2dR)2 con R = ω/ωn , ωn2 = k/M y tan ψ = 2dR/(1 − R2 ). Luego, FT (t) = ky(t) + cẏ(t) m0 eω 2 FT (t) = q [sin(ωt − ψ) + cω cos(ωt − ψ)] (1 − R2 )2 + (2dR)2 p 1 + (2dR)2 2 FT (t) = m0 eω q sin(ωt − ψ + φ) 2 2 2 (1 − R ) + (2dR) donde tan φ = 2dR. 18 puntos HJ/dj/ig/mm H. Jensen V. / Segundo Semestre 2018 1/7 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Dinámica de Estructuras Certamen No 1 Departamento de Obras Civiles b) En este caso, M = 150 [kg], m0 e = 0.45 [kg-m], d = 0.08 y k = 4 × 105 [N/m], por lo que ωn = 51.6398 [rad/s]. Las condiciones operativas de la máquina admiten una fuerza máxima en la fundación de Fmax = 3000 [N], es decir |FT (t)| < Fmax p 1 + (2dR)2 m0 eω 2 p < Fmax (1 − R2 )2 + (2dR)2 p R2 1 + (2dR)2 Fmax ⇒ f (R) = p < = κ = 2.5 2 2 2 m0 eωn2 (1 − R ) + (2dR) 8 puntos Las velocidades de operación lı́mite verifican la siguiente ecuación cúbica para R2 : R2 p 1 + (2dR)2 p =κ (1 − R2 )2 + (2dR)2 ⇒ 4d2 R6 + (1 − κ2 )R4 + κ2 (2 − 4d2 )R2 − κ2 = 0 ⇒ 0.0256R6 − 5.25R4 + 12.34R2 − 6.25 = 0 4 puntos Como f (R = 1) > κ y lı́mR→∞ f (R) = ∞, gráficamente se tiene la siguiente situación: f (R) 6 4 2 0 R1 R2 R3 R Figura 2: Problema 1 - Condiciones de operación. Es decir, las velocidades de operación admisibles ω son tales que verifican R ∈ (0, R1 )∪(R2 , R3 ). Además, del gráfico anterior y la estructura algebraica de f (R), puede recomendarse el rango ω ∈ (ωn R2 , ωn R3 ) para operar la máquina: (1) es más amplio, y (2) la magnitud de la fuerza no es tan sensible a variaciones de ω en los lı́mites operativos, en comparación a lo que ocurre para R1 . 3 puntos Especı́ficamente, se tienen los siguientes valores para R1 , R2 , R3 : HJ/dj/ig/mm R1 = 0.8581 ⇒ ω1 = ωn R1 = 44.31 [rad/s] = 7.05 [Hz] R2 = 1.2790 ⇒ ω2 = ωn R2 = 66.05 [rad/s] = 10.51 [Hz] R3 = 14.237 ⇒ ω3 = ωn R3 = 735.22 [rad/s] = 117.01 [Hz] H. Jensen V. / Segundo Semestre 2018 2/7 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Dinámica de Estructuras Certamen No 1 Departamento de Obras Civiles 2. El dispositivo de la figura se utiliza para registrar aceleraciones sı́smicas horizontales (acelerómetro). El sistema consiste en una masa m adosada a barras uniformes de masa despreciable, módulo de elasticidad E y área A. Además, tiene un amortiguamiento equivalente al 70 % del crı́tico. a) Determine la frecuencia natural del sistema (ωn ) en términos de E, A, L y m. b) Si la aceleración medida por el acelerómetro no debe presentar más de un 5 % de error para un movimiento basal armónico de frecuencia angular Ω0 , calcule el área mı́nima admisible (Amin ). c) ¿Es posible mejorar la precisión del instrumento al modificar su amortiguamiento? Explique. En caso de ser posible, indique en cuánto puede modificarse. m c L L E, A L L Movimiento basal (a) Acelerómetro L (b) Sistema dinámico Figura 3: Problema 2. Solución: a) La rigidez k del sistema se encuentra resolviendo el sistema presentado en la siguiente figura, con k = P/∆. Notar que pueden utilizarse conceptos de simetrı́a para facilitar el análisis. ∆ ∆ 1/2 P =1 √ 2/2 √ 1 √ 2/2 2/2 Figura 4: Problema 2 - Determinación de rigidez del sistema 4 puntos Ası́, a partir del sistema de la derecha se tiene lo siguiente ∆=2 i i HJ/dj/ig/mm √ L `i = (4 + 3 2) EA EA X N2 ⇒ k= H. Jensen V. / Segundo Semestre 2018 EA √ (4 + 3 2)L 3/7 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Dinámica de Estructuras Certamen No 1 Departamento de Obras Civiles Luego la frecuencia natural del sistema está dada por: s r k EA √ = wn = m (4 + 3 2)mL 6 puntos b) La solución estacionaria del sistema sometido a una solicitación armónica y(t) está dada por: R2 z(t) = p y0 sin (wt − ψ), (1 − R2 )2 + (2dR)2 tan (ψ) = 2dR 1 − R2 Un acelerómetro incorpora la siguiente aproximación para medir las aceleraciones z(t) ≈ − 1 ÿ(t), wn2 1 p (1 − R2 )2 + (2dR)2 ≈1 √ Para d = 70 % se tiene que F ADmax = 1/2d 1 − d2 = 1.0002. Por lo tanto, para encontrar el área máxima que verifica la condición de diseño se impone Rmax tal que 1 p = 0.95 2 (1 − Rmax )2 + (2dRmax )2 10 puntos 2 = 0.3493, con lo cual Amin = 23.598 Resolviendo, se obtiene Rmax mΩ20 L . E 10 puntos c) Dada la condición de diseño y R2 = 0.3493, es claro que no se puede incrementar el nivel de amortiguamiento porque el error excederá lo permitido. El nivel de amortiguamiento ideal para el movimiento basal objetivo, dopt , verifica 1 p = 1.00 2 2 (1 − R ) + (2dopt R)2 de donde dopt = 0.6424. 3 puntos La cota inferior para el amortiguamiento viene dada de resolver 1 p = 1.05 2 2 (1 − R ) + (2dmin R)2 con lo cual dmin = 0.5883. En resumen, cualquier nivel de amortiguamiento d ∈ [0.588, 0.700] permite errores de medición dentro de lo tolerable para el movimiento basal objetivo. En particular, d = 64.24 % permite medir sin error la aceleración basal objetivo. HJ/dj/ig/mm H. Jensen V. / Segundo Semestre 2018 4/7 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Dinámica de Estructuras Certamen No 1 Departamento de Obras Civiles 3. Considerar el sistema mostrado en la figura, que responde en forma lineal (modelo lineal). La barra uniforme de longitud L tiene masa m, mientras que la masa concentrada en el extremo libre es M . a) Determinar la frecuencia natural del sistema. Compare con la frecuencia de un péndulo simple y comente. b) Suponga que a la masa M se le aplica una carga armónica en la dirección x, de magnitud F0 y frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema (es decir, la determinada en el ı́tem anterior). Se le solicita encontrar la respuesta dinámica del sistema considerando condiciones iniciales de reposo. c) Comentar sobre el rango de validez de la solución encontrada anteriormente. En otras palabras, se le solicita indicar explı́citamente dónde se utiliza y qué significa, en términos de la dinámica del sistema, la hipótesis de linealidad incorporada en el modelo anterior. m, L g y θ x M F (t) Figura 5: Problema 3. Solución: a) Se plantea un diagrama de cuerpo libre del sistema. θ `= L(m + 2M ) 2(m + M ) (m + M ) g F (t) Figura 6: Problema 3 - Diagrama de cuerpo libre 2 puntos Deducción de la ecuación de movimiento: • Energı́a cinética del sistema: 1 T = Jo θ̇2 2 2 donde Jo = M + m 3 L es la inercia rotacional respecto del pivote. • Energı́a potencial del sistema: V = −(m + M )g` cos (θ) HJ/dj/ig/mm H. Jensen V. / Segundo Semestre 2018 5/7 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Dinámica de Estructuras Certamen No 1 Departamento de Obras Civiles L(m + 2M ) es la distancia del pivote al centro de masas. 2(m + M ) • Momento externo aplicado en la coordenada θ: donde ` = Qθ = F (t)L cos(θ) • Lagrangiano: L=T −V = 1 m 2 2 M+ L θ̇ + (m + M )g` cos (θ) 2 3 • Ecuación de Lagrange: d ∂L ∂L − = Qθ dt ∂ θ̇ ∂θ • Ecuación de movimiento: m 2 L θ̈ + (m + M )g` sin(θ) = F (t)L cos(θ) 3 Para linealizar la ecuación de movimiento, se suponen desplazamientos pequeños. De esta forma se tiene que sin(θ) ≈ θ y cos(θ) ≈ 1. La ecuación linealizada es: m 2 M+ L θ̈ + (m + M )g`θ = F (t)L 3 M+ 6 puntos La frecuencia natural del sistema es: s ωn = (m + M )g` = 2 M+m 3 L s 3(m + 2M ) 2(m + 3M ) r g L 6 puntos r La frecuencia natural de un péndulo simple es conocida e igual a g . Considerando m = αM , α > 0, L entonces: r ωn = 3α + 6 2α + 6 r r g L 3α + 6 El factor siempre es mayor que 1. Por lo tanto ωn > 2α + 6 que un péndulo simple. r g . Es decir, el sistema es más rı́gido L 3 puntos b) Se resuelve la ecuación θ̈ + ωn2 θ = F0 sin(ωn t) , (M + m/3)L θ(0) = 0, θ̇(0) = 0 La respuesta del sistema tiene la forma: θ(t) = A1 sin(ωn t) + A2 cos(ωn t) + θp (t) HJ/dj/ig/mm H. Jensen V. / Segundo Semestre 2018 6/7 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Dinámica de Estructuras Certamen No 1 Departamento de Obras Civiles Donde la solución particular de la ecuación, θp (t) tiene la forma: θp (t) = A3 t sin(ωn t) + A4 t cos(ωn t) Reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene: 2A3 ωn cos(ωn t) − 2A4 ωn sin(ωn t) = F0 sin(ωn t) (M + m/3)L F0 2(M + m/3)Lωn =⇒ A3 = 0, A4 = − =⇒ θp (t) = − F0 t cos(ωn t) 2(M + m/3)Lωn 9 puntos Las constantes A1 y A2 se obtienen imponiendo las condiciones iniciales. θ(0) = 0 =⇒ A2 = 0 θ̇(0) = 0 =⇒ A1 = F0 2(M + m/3)Lωn2 Finalmente, θ(t) = F0 (sin(ωn t) − ωn t cos(ωn t)) 2(M + m/3)Lωn2 7 puntos c) La ecuación de movimiento se linealizó suponiendo pequeños desplazamientos. Dada la fuerza externa, el sistema linealizado responde con amplitud creciente, por lo que la solución encontrada será válida únicamente durante algún intervalo inicial [0, t∗ ] tal que θ(t∗ ) = θ∗ , donde θ∗ indica una cota para la respuesta en que la hipótesis de linealidad aún es apropiada. Esto se muestra esquemáticamente en la siguiente figura. θ(t) θ* t* t Figura 7: Problema 3 - Solución del sistema en resonancia 2 puntos HJ/dj/ig/mm H. Jensen V. / Segundo Semestre 2018 7/7
