Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad del Perú. Decana de América Sesión I: Presentación del curso Docente: MSc. Ing. LUIS ERNESTO CRUZADO MONTAÑEZ [email protected] TELECOMUNICACIONES • ETIMOLOGÍA.-Del prefijo griego TELE “distancia” y del latín comunicare que significa comunicación. • CONCEPTO.-Técnica que consistente en transmitir un mensaje desde un punto a otro, normalmente con el atributo típico adicional de ser bidireccional. Las telecomunicaciones cubre todas las formas de comunicación a distancia, incluyendo radio, telegrafía, televisión, telefonía, transmisión de datos e interconexión de computadoras a nivel de enlace. MODOS DE TRANSMISIÓN ESPECTRO ELECTROMAGNETICO ELECTROMAGNETICO RADIOPROPAGACION DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS • Lo primero que hay que decir sobre la propagación en las bandas de Onda Media (MF) y Larga (LF) es que resulta muy diferente a la que tiene lugar en las bandas de HF. La diferencia principal es que mientras las señales de HF se refractan de vuelta hacia la superficie de la tierra en la capa F de la Ionosfera, las señales de LF, VLF y MF baja no pueden pasar a través de las capas inferiores D y E. Y la propagación a larga distancia de estas señales dependientes del comportamiento en estas regiones de la ionosfera. Mientras que la capa F se localiza entre 250 y 600 km, la capa D se encuentra entre 50 y 90 km, con la capa E sobre ella. • Las variaciones de las condiciones de propagación que observamos se deben a variaciones en la densidad de iones en estas capas, causadas a su vez por las variaciones en la radiación recibida del Sol. Líneas de investigación • Líneas de investigación TROPOSFERA Se encuentra a 10km sobre la superficie terrestre tiene utilidad simple para ondas de VHF es decir captan solo hasta VHF como máximo. SEÑALES Y SISTEMAS 1. SEÑAL Es todo aquello que contiene información acerca de la naturaleza o el comportamiento de algún fenómeno físico (Electromagnético , acústico, mecánico Biológico ,etc). Una señal se representa matemáticamente por medio de una función que depende de una o mas variables independientes. Son de dos tipos. SEÑALES CONTINUAS <>SEÑALES ANALÓGICAS SEÑALES DISCRETAS <> SEÑALES DIGITALES Señales en tiempo continuo y en tiempo discreto. Un ejemplo de señal en tiempo continuo es 𝒙 𝒕 =𝒕 un ejemplo de señal en tiempo discreto es 𝑥 𝑛 =n SEÑALES Y SISTEMAS 𝐒𝐈𝐒𝐓𝐄𝐌𝐀 Es cualquier medio físico ,proceso o algoritmo de computador que transforma una señal de Entrada “x” en una salida “y” mediante un mapeo “f” es decir y(t)=f(x(t)) ,ejm: circuitos electrónicos, sistema biológicos audiovisual, cardiaco, tratamiento de audio, tratamiento de voz, tensión o voltaje,sistema socio económicos: El mercado de acciones redes sociales etc. . PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS SISTEMA LINEAL: Es lineal si satisface las propiedades de escalado aditividad, homogeneidad y de superposición. osea Un. sistema incrementalmente lineal es aquél que, sin verificar la última condición, responde linealmente a los cambios en la entrada. y(t) = 2x(t) + 2 no es lineal ya que y(t) ≠ 0 para x(t) = 0 pero sí es incrementalmente lineal. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS SISTEMA DE CAUSALIDAD: Es causal si su salida al instante “t” no depende de los valores de la entrada en cualquier tiempo mayor a “t”, también se llama no anticipativo ya que la salida del sistema no anticipa valores futuros de la entrada.obs:todo los sistemas sin memoria son causales. Sistemas invariantes con el tiempo: Un sistema es invariante con el tiempo si su comportamiento y sus características son fijos. Un sistema es invariante con el tiempo si un desplazamiento temporal en la entrada ocasiona un desplazamiento temporal en la salida. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Sistemas estables: Un sistema es estable si para una entrada limitada la salida también es limitada y no diverge. Estabilidad (BIBO). Un sistema es estable en el sentido . (Bounded Input Bounded Output) si ante una BIBO entrada acotada en amplitud la salida también está acotada en amplitud. Sistemas invertibles e inversos:Un sistema es invertible si entradas distintas producen salidas distintas. Dada una salida, es posible deducir la entrada que la provocó. Para un sistema invertible hay un sistema inverso que, conectado en cascada con aquél, produce una salida igual a su entrada.. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS Sistemas con y sin memoria: Sistema sin memoria.-La salida para cada valor de la variable independiente es función exclusivamente del valor de la entrada para dicho valor de la variable. Sistema con memoria.-Incorpora algún mecanismo que almacena información sobre valores de la entrada correspondientes a distintos valores de la variable independiente. El fenómeno de la memoria está asociado con procesos de almacenamiento de energía. Denicion: Sea f(t) una función periódica con periodo T integrable en el intervalo (-T/2,T/2), entonces la serie de Fourier tiene la forma ESPECTRO DE FRECUENCIA Las expresiones anteriores ponen de manifiesto que una función periódica queda descompuesta en una serie infinita de funciones sinusoidales que tienen diferentes frecuencias, todas ellas múltiplos de la frecuencia de la función tal y como se muestra en Ilustración . Funciones ortogonales EJERCICIOS • 01.-Hallar la serie trigonométrica de de Fourier para la siguiente señal cuadrada. 2 1 1 𝑎0 = [න 1𝑑𝑡 + න 0𝑑𝑡ሿ 2 0 1 1 𝑏𝑛 = 1[න 1 sen 𝑛 𝜋𝑡𝑑𝑡 0 1 𝑎0 = 2 1 𝑏𝑛 = 1 1 (− cos 𝑛𝜋) ቊ 0 𝑛𝜋 2 2 𝑎𝑛 = [න 1 cos 𝑛𝜔0 𝑡 𝑑𝑡 + න 0 cos 𝑛𝜔0 𝑡 𝑑𝑡ሿ 2 0 1 2𝜋 𝜔0 = =𝜋 𝑇 1 𝑎𝑛 = න cos 𝑛𝜋𝑡 𝑑𝑡 𝑛 𝜋 cos 𝑛 = ൝ −1 2 2 0 𝑛: 𝑝𝑎𝑟 𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑛−1 𝜋 sen 𝑛 = ቐ −1 2 2 0 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟 Propiedades cos 2𝑛 𝜋 = 1 𝑏𝑛 = −1 1 (cos 𝑛𝜋) ቊ 0 𝑛𝜋 sen 2𝑛𝜋 = 0 0 cos 𝑛𝜋 = −1 𝑛 𝑎𝑛 = 0 sen 𝑛𝜋 = 0 𝑏𝑛 = − 1 (cos𝑛𝜋 − 1) 𝑛𝜋 𝑏𝑛 = − 1 𝑛 ൫ −1 − 1ቇ 𝑛𝜋 2 𝑏𝑛 = ቐ𝑛𝜋 0 1 𝑏𝑛 = 1 (1 − −1 𝑛 ቇ 𝑛𝜋 𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑛: 𝑝𝑎𝑟 2 2 2 f 𝑡 = 2 + 𝜋 sen 𝜋𝑡 + 3𝜋 sen 3𝜋𝑡 + 5𝜋 sen 5𝜋𝑡 … … … . ORTOGONALIDAD Y REPRESENTACION DE SEÑALES 𝑎 𝑏 𝑛 𝑛 f 𝑡 = 𝑎0 + 𝐴𝑛 σ∞ 𝑛=1 ቆ𝐴 cos 𝑛𝑤0 𝑡 + 𝐴 sen 𝑛𝑤0 𝑡 ቁ 𝑛 𝑛 𝐴𝑛 = 𝑎𝑛 2 + 𝑏𝑛 2 𝜑 = tan−1 − Espectro f 𝑡 = 𝑎0 + 𝐴𝑛 σ∞ 𝑛=1൫cos 𝜑𝑡 cos𝑛𝑤0 𝑡 + sen 𝜑𝑡 sen 𝑛𝑤0 𝑡 ) ∞ 𝐹 𝑡 = 𝑎0 + 𝐴𝑛 cos( 𝑛𝑤0 𝑡 − 𝜑൱ 𝑛=1 𝐴𝑛 = 𝑏𝑛 𝑏𝑛 𝑎𝑛 FUNCIONES DE UNA ONDA TRIGONOMETRICA PERIODICA FUNCION PAR: f(-t)=f(t) ejm: cos (-β) = cos(β) SE CONCLUYE PARA FUCIONES PARES: 𝑎0 = 𝑇 2 2 න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 0 OBS: LA GRAFICA DE UNA FUNCION PAR ES SIMETRICA CON RESPECTO AL EJE VERTICAL 𝑇 4 2 𝑎𝑛 = න 𝑓 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜔0 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 0 𝑏𝑛 = 0 IMPAR: 𝑓 −𝑡 = −𝑓 𝑡 𝑎0 = 0 Ejm: sen(-α) = - sen(α) 𝑎𝑛 = 0 OBS:LA GRAFICA DE UNA FUNCION IMPAR ES SIMETRICA CON RESPECTO AL EJE HORIZONTAL. 𝑇 4 2 𝑏𝑛 = න 𝑓 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜔0 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 0 GENERADOR DE ONDAS SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER 𝑒 𝑗𝑛𝜔0 𝑡 + 𝑒 −𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑤0 𝑡 = 2 𝑒 𝑗𝑛𝜔0𝑡 −𝑒 −𝑗𝑛𝜔0𝑡 sen(n 𝑤0 𝑡) = 2𝑗 Aplicando a la serie trigonométrica de Fourier ∞ 𝑒 𝑗𝑛𝜔0 𝑡 + 𝑒 −𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑒 𝑗𝑛𝜔0 𝑡 −𝑒 −𝑗𝑛𝜔0𝑡 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎𝑛 ( ) − 𝑏𝑛 𝑗( ) 2 2𝑗 𝑛=1 ∞ 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ( 𝑛=1 𝑎𝑛 − 𝑗𝑏𝑛 𝑗𝑛𝜔 𝑡 𝑎𝑛 + 𝑗𝑏𝑛 −𝑗𝑛𝜔 𝑡 0 )𝑒 0 + ( )𝑒 2 2 Donde la amplitud exponencial es Fn 𝐹𝑛 = 𝑎𝑛 −𝑗𝑏𝑛 2 → 𝐹𝑛 = 𝐴𝑛 2 Obtenemos conjugada de amplitud exponencial: ∗ 𝑎 +𝑗𝑏 𝐹ഥ𝑛 = 𝑛 𝑛 ,también 2 𝐹𝑛 2 = 𝐹𝑛 𝐹𝑛 ∗ OBS: La fase siempre serán lo mismo que la función trigonométrica de fourier. SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER ∞ ∗ 𝒇(𝒕) = 𝑭𝟎 + (𝑭𝒏 𝒆𝒋𝒏𝝎𝟎 𝒕 + 𝑭𝒏 𝒆−𝒋𝒏𝝎𝟎 𝒕 ) 𝒏=𝟏 𝑗𝑛𝜔0 𝑡 Solo para n diferente de cero : 𝑓 𝑡 = σ∞ 𝐹 𝑒 𝑛=−∞ 𝑛 Por lo que la expresión representará una función periódica en el intervalo infinito y la representación convergerá en un sentido cuadrático medio (o cuadrado promedio),Gráficamente esto significa que, como fasor básico rota con velocidad angular de ωo rad/s,la serie de Fourier exponencial compleja describirá cualquier función periódica cuyo periodo sea justamente el tiempo que tarda el fasor básico en efectuar una revolución completa. 𝟏 𝑻 𝑭𝒏 = න 𝒇 𝒕 𝒆−𝒋𝒏𝒘𝟎 𝒕 𝑻 𝟎 SERIE COMPLEJA DE FOURIER EJERCICIO DE LA FUNCION RECTANGULAR NOTA: Es conveniente, a menudo tomar el intervalo de integración a partir de T/2 A –T/2 para aprovechar las posibles condiciones de simetría. Ejercicio: Cierta función rectangular está definida ⟨0;2⟩ 𝑓 𝑡 =ቄ 1 −1 0<𝑡<1 1<𝑡<2 Calcular de forma exponencial de la función definida. PROBLEMAS Resolución 𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒄𝒓𝒊𝒑𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆ñ𝒂𝒍 EJERCICIO DE LA FORMA EXPONENCIAL Con las definiciones anteriores se puede hallar la serie trigonométrica de Fourier 4 1 1 𝑓 𝑡 = sen 𝜋𝑡 + sen 3𝜋𝑡 + sen 5𝜋𝑡 + ⋯ + 𝑡 𝜋 3 5 2𝜋 𝝎𝟎 = 2 = 𝜋 Aplicando la definición del espectro de amplitud para serie exponencial SERIE DE FOURIER DE UNA ONDA CUADRADA DEMOSTRACION EXPONENCIAL DE LA SEÑAL Propiedad 2 1 𝐹 𝑛 = න 𝑓 𝑡 𝑒 −𝑗𝑛 𝜋𝑡 2 0 1 𝑒 −2𝑗𝑛 𝜋 = 1 2 𝐹 𝑛 = 1 න 𝑒 −𝑗𝑛 𝜋𝑡 𝑑𝑡 − න 𝑒 −𝑗𝑛𝜋𝑡 2 0 1 𝐹 𝑛 = 1 1 −𝑗 𝜋𝑡 1 1 −𝑗 𝜋𝑡 2 − 𝑒 𝑛 − − 𝑒 𝑛 2 𝑗𝑛 𝜋 0 𝑗𝑛 𝜋 1 1 𝐹𝑛 = 1 − (−1)−𝑛 2 2𝑗𝑛𝜋 1 𝐹𝑛 = ൞2𝑗𝑛𝜋 0 𝑛 = 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑛 = 𝑝𝑎𝑟 1 1 𝑗 −𝑗𝑛 𝜋 ( 𝐹 𝑛 = − 𝑒 − 1) − − 𝑒 −2𝑗𝑛 𝜋 − 𝑒 −𝑗𝑛 𝜋 2 𝑗𝑛 𝜋 𝑗𝑛 𝜋 1 𝐹 𝑛 = 1 − 𝑒 −𝑗𝑛 𝜋 − 𝑒 −𝑗𝑛 1 − 𝑒 −𝑗𝑛 𝜋 2𝑗𝑛𝜋 𝐹𝑛 = 1 2 (1 − 𝑒 −𝑗𝑛 𝜋 ൯ 2𝑗𝑛𝜋 𝑓 𝑡 = 1 1 1 𝑒 𝑗𝜋𝑡 + 𝑒 𝑗3𝜋𝑡 + 𝑒 𝑗5𝜋𝑡 + … 2𝑗𝜋 3 5 TRANSFORMADA DE FOURIER Señales no Periódicas: AREA 0 -T/2 T/2 𝐥𝐢𝐦 𝒇𝑻 𝒕 = 𝒇(𝒕) 𝑻→∞ ∆ = 𝟐 − 𝟏 FORMULA DE LAS TRANSFORMADAS DE FOURIER TRANSFORMADA DE FOURIER DIRECTA TRANSFORMADA DE FOURIER INVERSA ∞ 𝑭 𝒇 𝒕 = 𝑭 = න 𝒇 𝒕 𝒆−𝒋𝒕 𝒅𝒕 −∞ 𝒏𝝎𝟎 =𝝎 ∞ 𝒇 𝒕 = 𝑭−𝟏 = 𝟏 න 𝑭 𝒆𝒋𝒕 𝒅𝝎 𝟐𝝅 −∞ Obs: 𝑭 = 𝑻𝑭𝒏 PLANTILLA DE LA TDF DEL PULSO UNITARIO FUNCION ESCALON E IMPULSO ESCALÓN UNITARIO: 𝑢 𝑡 =ቊ 1 ; 𝑡>0 0 ; 𝑡<0 Impulso Unitario: DELTA DE DIRAC + 𝑡 >0 0 𝑑𝑢 𝑡 𝛿𝑡 = ቐ0 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑡 0− 𝑡 < 0 Una interpretación más intuitiva de la función δ(t) puede realizarse a partir de sus propiedades: 1. Toma valor cero fuera del instante cero 0 0 TDF del delta de dirac También puede definirse la función delta como 2. El área bajo la función es igual a 1 siendo δ∈(t) la señal representada en la Figura 1.3. En general, cualquier señal que cumpla las dos 3. Es una función par EJERCICIO Ejm: GRAFICA: 𝒖 𝒕 = 𝟏𝟎𝒖 𝒕 − 𝟐 − 𝟏𝟎𝒖 𝒕 − 𝟓 𝒅𝒖 𝒕 𝛿𝑡 = = 𝟏𝟎𝜹 𝒕 − 𝟐 − 𝟏𝟎𝜹 𝒕 − 𝟓 𝒅𝒕 GRAFICA ESPECTRAL: EJERCICIOS La expresión: 1) 𝒇 𝒕 = 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 𝒕 = 𝒕𝟎 +∞ ∞ 𝑭 𝒆𝒋𝝎𝟎𝒕 = න 𝒆𝒋(𝝎𝟎 −𝝎)𝒕 𝒅𝒕 −∞ 𝑭 𝜹 𝒕−𝒕𝟎 = න 𝜹 𝒕 − 𝒕𝟎 𝒆−𝒋𝝎𝒕 𝒅𝒕 = 𝒆−𝒋𝝎𝒕𝟎 −∞ 2) 𝒇 𝒕 = 𝒆𝒋𝟎 𝒕 Pero la transformada inversa ∞ 𝐹 −1 1 =𝛿 𝑡 1 = න 1 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 2𝜋 −∞ ∞ 𝑭 𝒆𝒋𝟎 𝒕 = න 𝒆𝒋𝟎 𝒕 . 𝒆−𝒋𝒕 𝒅𝒕 −∞ ∞ 𝟐𝝅𝜹 𝒕 = න 𝒆𝒋𝝎𝒕 𝒅𝒕 −∞ Propiedad y grafica del delta 𝑡→𝜔 entonces ∞ 𝟐𝝅𝜹 𝝎 = න 𝒆𝒋𝝎𝒕 𝒅𝒕 3) 𝒇 𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝝎𝟎 t 𝑭 𝒆𝒋𝝎𝟎𝒕 = 𝟐𝝅𝜹 𝝎𝟎 − 𝝎 −∞ +∞ 𝑭 𝒄𝒐𝒔𝝎𝟎 𝒕 = න 𝒄𝒐𝒔𝝎𝟎 𝒕 𝒆−𝒋𝒘𝒕 𝒅𝒕 𝑭 𝒆+𝒋𝒘𝟎 𝒕 = 𝟐𝝅𝜹 𝝎 − 𝝎𝟎 −∞ 𝑭 𝒆−𝒋𝝎𝟎𝒕 = 𝟐𝝅𝜹 𝝎 + 𝝎𝟎 𝒆𝒋𝝎𝟎 𝒕 + 𝒆−𝒋𝝎𝟎 𝒕 𝒄𝒐𝒔𝝎𝟎 𝒕 = 𝟐 ∞ 𝒆𝒋𝝎𝟎 𝒕 + 𝒆−𝒋𝝎𝟎 𝒕 −𝒋𝝎𝒕 𝑭 𝒄𝒐𝒔𝝎𝟎 𝒕 = න 𝒆 𝒅𝒕 𝟐 −∞ DEMOSTRACIÓN DEL coseno ∞ 𝟏 𝑭 𝒄𝒐𝒔𝝎𝟎 𝒕 = න 𝒆𝒋(𝝎𝟎 −𝝎)𝒕 + 𝒆−𝒋 𝝎𝟎 +𝝎 𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝑭 𝒄𝒐𝒔𝝎𝟎𝒕 = 𝟏 𝟐𝝅𝜹 𝝎 − 𝝎𝟎 𝟐 + 𝟏 𝟐𝝅𝜹(𝝎 + 𝝎𝟎 𝟐 −∞ 𝑭 𝒄𝒐𝒔𝒘𝟎𝒕 = 𝝅𝜹 𝝎 − 𝝎𝟎 + 𝝅𝜹 𝝎 + 𝝎𝟎 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝝎 = 𝝎𝟎 𝑭 𝒄𝒐𝒔𝟐𝝅𝒇𝟎 𝒕 = 𝟏 𝟏 𝜹 𝒇 − 𝒇𝟎 + 𝜹 𝒇 + 𝒇𝟎 𝟐 𝟐 GRAFICA ESPECTRAL: DEMOSTRACION DEL seno 𝑭 𝐬𝐞𝐧 𝝎𝟎 𝒕 = ? +∞ 𝑭(𝝎) = න 𝐬𝐞𝐧 𝝎𝟎 𝒕 𝒆−𝒋𝝎𝒕 𝒅𝒕 −∞ +∞ 𝑭 𝝎 = න −∞ 𝒆𝒋𝝎𝟎 𝒕 −𝒆−𝒋𝝎𝟎 𝒕 −𝒋𝒘𝒕 𝒆 𝒅𝒕 𝟐𝒋 𝒆𝒋𝝎𝟎 𝒕 −𝒆−𝒋𝝎𝟎𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝟎 𝒕 = 𝟐𝒋 +∞ 𝟏 𝑭 𝝎 = න 𝒆−𝒋 𝝎−𝝎𝟎 𝒕 −𝒆−𝒋 𝝎+𝝎𝟎 𝒕 𝒅𝒕 𝟐 −∞ GRAFICA ESPECTRAL: 𝑭 𝝎 = 𝒋𝝅 𝜹 𝝎 + 𝝎𝟎 − 𝜹 𝝎 − 𝝎𝟎 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝝎 = 𝝎𝟎 DREMOSTRACION DEL “Sa” 𝝉ൗ 𝟐 𝑭𝜫 =𝑨 න 𝒆 −𝒋𝝎𝒕 𝑨 −𝒋𝝎𝒕 𝝉ൗ𝟐 𝑭𝜫 = 𝒆 ቤ 𝝉 −𝒋𝝎 − ൗ𝟐 𝒅𝒕 −𝝉ൗ𝟐 𝑭𝜫 = 𝝉 𝝉 𝒋𝝎 −𝒋𝝎 𝒆 𝟐−𝒆 𝟐 𝑨𝒙𝟐 𝒋𝝎𝒙𝟐 𝑨𝝉 𝝉 𝑭 𝜫 = 𝝉 𝐬𝐞𝐧𝝎 𝝎 𝟐 𝟐 𝝉 =𝒂 𝟐 𝐴=𝐾 𝟐𝑨 𝑭𝜫 = . 𝝎 𝝉 𝑨 −𝒋𝝎𝝉 𝒋𝝎 𝑭𝜫 =− 𝒆 𝟐 −𝒆 𝟐 𝒋𝝎 𝝉 𝝉 𝒋𝝎 −𝒋𝝎 𝒆 𝟐−𝒆 𝟐 𝟐𝒋 𝝉 𝒔𝒆𝒏𝝎 𝟐 𝑭 𝜫 = 𝑨𝝉 𝝉 𝝎𝟐 𝐬𝐞𝐧𝝎 𝒂 𝑭 𝝅 = 𝟐𝒂𝑲( 𝝎𝒂 ) 𝐹 𝛱 = 2𝑎𝐾𝑠𝑎 𝜔𝑎 𝐹𝛱 = 2𝐴 𝜏 sen 𝜔 𝜔 2 𝜔𝜏 𝐹 𝜋 == 𝐴𝜏𝑠𝑎 2 𝝉 𝐬𝐞𝐧𝝎 𝟐 𝝉 𝝉 = 𝒔𝒂 𝝎 𝟐 𝝎𝟐 Función Pulso Rectangular y triangular: 𝑓(𝑡) La función del pulso 𝐴 𝜏 -2 𝑓(𝑡) 1 𝑓 𝑡 = 𝐴𝐺𝜏 (t) 𝜏 2 𝑡 −𝑎 𝑓 𝑡 = 𝐴∆2𝜏 (𝑡) 𝑎 𝑡 − 𝑎⩽t < 0 𝑎 𝑡 1 − 0⩽t < 𝑎 𝑎 0 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑡 1+ 𝑓 𝑡 = 𝑡 𝐿𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑠 𝝉 ∶ 𝒂𝒏𝒄𝒉𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐 ∞ 𝐹(𝜔)=−∞ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 0 𝑎 𝑡 −𝑗𝜔𝑡 𝑡 −𝑗𝜔𝑡 𝐹 𝜔 =න 1+ 𝑒 𝑑𝑡 + න 1 − 𝑒 𝑑𝑡 𝑎 𝑎 −𝑎 0 4 𝜔𝑎 𝜔𝑎 𝐹 𝜔 = 𝑎𝜔2 𝑠𝑒𝑛2 2 =a𝑆𝑎2 2 𝐹 𝜔 = 𝐴𝜏𝑆𝑎2 𝜔𝜏 2 1.-Calcular la transformada de fourier para la siguiente grafica 𝑠𝑎 0 = 1 Nota: 𝑠𝑎 1 = 0 Grafica: 𝑠𝑎 𝜔 2 Resolución: 𝐴=1 𝜏=1 𝑇=2 2𝜋 𝑤= 2 𝜔 sen 𝜔 2 𝐹𝛱 = = 𝑠𝑎 = 𝐹(𝜔) 𝜔 2 2 𝜔 EJERCICIOS 1.-Calcular la transformada de fourier Propiedades: 1.-Con corrimiento de tiempo: 𝑓 𝑡 = 3𝐺4 𝑡 𝑓 𝑡 = 𝐴𝐺𝜏 𝑡 − 𝜏ൗ2 Resolución 𝜏=4 𝐴=3 𝐹 𝛱 = 12𝑠𝑎 2𝜔 𝐹 𝛱 = 12𝑠𝑎2𝜔 = 𝐹 𝜔 2𝐴 𝐹𝛱 = sen 𝜔 𝜏ൗ2 𝜔 𝐹𝛱 = 𝐹 𝑡−𝑡0 = 𝑒 −𝑗𝜔𝑡0 𝐹 𝜔 6 sen 2𝜔 = 𝐹 𝜔 𝜔 𝐴=1 EJERCICIOS Y PROPIEDADES ejm Ejm: 2) Escalamiento: 𝐹 𝑎𝑡 = 1 𝐹( ) 𝑎 𝑎 3) Corrimiento de frecuencias: 𝐹 𝑓 𝑡 𝑒 𝑗𝜔𝑡0 = 𝐹 𝜔−𝜔0 𝐹 𝑡+𝑡0 = 𝑒 𝑗𝜔(𝑡0 ) 𝐹(𝜔) 𝐹 𝜔 = 12𝑠𝑎2𝜔 𝐹 𝜋 = 12𝑠𝑎2𝜔 𝑒 −𝑗𝜔 2 𝐹 𝑒 −𝑎𝑡 = 1 𝑎 + 𝑗𝜔 𝐹 𝑒 −𝑎 𝑡 = 2𝑎 𝑎2 + 𝜔 2 𝐹 𝜋 = 12𝑠𝑎2𝑒𝜔 +𝑗𝜔 2 DEMOSTRACION DE PROPIEDAD PROPIEDAD: F 𝑡 ↔𝐹 𝜔 +∞ 𝑓 𝑡 = 1 න 𝐹 𝜔 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑 𝜔 2𝜋 −∞ +∞ 2𝜋𝑓 𝑡 = න 𝐹 𝜔 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑 𝜔 −∞ 𝑡 → −𝑡 +∞ 2𝜋𝑓 −𝑡 = න 𝐹 𝜔 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑 𝜔 ∞ −∞ 𝑡 ↔ω 2𝜋𝑓 −𝜔 = න 𝐹 𝑡 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑 𝑡 −∞ 2𝜋𝑓 −𝜔 = 𝐹 𝐹 𝑡 TRANSMISION DE SEÑALES
