Identidades trigonométricas

CICLO ADMISIÓN 2015 –I
FORMULARIO
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Definición: son igualdades en donde intervienen las razones trigonométricas, las cuales se verifican
para todo valor admisible de la variable angular. Es decir las razones trigonométricas estén
definidas.
I. Identidades fundamentales
I.1 Identidades reciprocas
sen  x  .csc  x   1  csc  x   1/ sen  x 
cos  x  .sec  x   1  sec  x   1/ cos  x 
tan  x  .cot  x   1  cot  x   1/ tan  x 
sen  x 
cos  x 
 cot  x  
cos  x 
sen  x 
sen2  x   cos 2  x   1 sec 2  x   tan2  x   1
csc
 x   cot  x   1
2
I.5 Identidades adicionales
 se n4  x   cos 2  x   1  se n2(x)cos 2(x)
 cos 4  x   sen2  x   1  se n2(x)cos 2(x)
 cot 2  x   cos 2  x   cot 2(x).cos 2( x)
 sec 4  x   tan4  x   1  2 sec 2 (x)tan2 (x)
 csc 4  x   cot 4  x   1  2 csc 2(x)cot 2(x)
 csc 6  x   cot 6  x   1  3 csc 2(x)cot 2(x)
  sen  x   cos  x     sen  x   cos  x    2
2
sen4  x   cos 4  x   1  2sen2  x  .cos 2  x 
sen6  x   cos6  x   1  3sen2  x  .cos 2  x 
sen8  x   cos8  x  
  tan  x   cot  x     tan  x   cot  x    4
 x 
tan  x   cot  x   sec  x  csc  x 
sec
 x   csc  x   sec  x  csc  x 
2
2
2
I.6 Algunas desigualdades importantes
1  4 sen2  x  .cos 2  x   2sen4  x  .cos 4  x 
2
2
2
I.4 Identidades auxiliares
2
a
b
 cos  x  
c
c
 sec 6  x   tan6  x   1  3 sec 2 (x)tan2 (x)
I.3 Identidades Pitagóricas
2
 sen  x  
 tan2  x   sen2  x   tan2 (x).sen2 (x)
I.2 Identidades por cociente
tan  x  
Si asen  x   b cos  x   c  a 2  b 2  c 2
 n
1
n 1
2
 x 

:
 sen2n (x)  cos 2n (x)  1
 n, m 

:
2n
1  sen  x   cos  x    2 1  sen  x   1  cos  x  
 sen(x)  cos(x)
2
sen  x 
1 cos  x 
cos  x 
1 sen  x 



1  cos  x 
sen  x 
1  sen  x 
cos  x 
Si sec  x   tan  x   p  sec  x   tan  x   p 1
Si csc  x   cot  x   q  csc  x   cot  x   q 1
CEPRE-UNI
 x, a, b 
2m

nn  mm
 n  mn m
:
 a 2  b2  asen(x)  b cos(x)  a 2  b 2
 Si a ,b    y tanx   0
a tan(x)  b cot(x)  2 ab
TRIGONOMETRÍA
-1-
CICLO ADMISIÓN 2015 –I
II. Identidades de los ángulos
compuestos
II.1 Para la suma de dos ángulos
sen  x  y   sen  x  cos  y   sen  y  cos  x 
cos  x  y   cos  x  cos  y   sen  x  sen  y 
tan  x  y  
tan  x   tan  y 
1  tan  x  tan  y 
II.2 Para la diferencia de dos ángulos
sen  x  y   sen  x  cos  y   sen  y  cos  x 
FORMULARIO
Algunas aplicaciones de esta identidad son:
 Si x  y  45
 (1  tan(x)) 1  tan(y)  2
 Si x  y  30
 ( 3  tan(x))
II.3 Identidades auxiliares
sen  x  y  sen  x  y   sen2 x  sen2y
cos  x  y  cos  x  y   cos 2 x  sen2y
sen  x  y 
tan  x   tan  y  
cos  x  cos  y 
sen  y  x 
cot  x   cot  y  
sen  x  sen  y 
a.sen  x   b.cos  x   a 2  b 2 .sen  x   
b
Donde tan() 
a
Con frecuencia se utiliza las siguientes
identidades
 sen  x   cos  x   2.sen  x  45 

 3.sen  x   cos  x   2.sen  x  30 

 sen  x   3.cos  x   2.sen  x  60 

3  tan(y)  4
II.4 Identidades para tres ángulos
sen(x  y  z)
 S1  S3
cos(x)cos(y)cos(z)
cos(x  y  z)
 1  S2
cos(x)cos(y)cos(z)
cos  x  y   cos  x  cos  y   sen  x  sen  y 
tan  x   tan  y 
tan  x  y  
1  tan  x  tan  y 

tan(x  y  z) 
S1  S3
….(*)
1  S2
Donde:
S1 : tan(x)  tan(y)  tan(z)
S2 :tan(x)tan(y)  tan(y)tan(z)  tan(z)tan(x)
S3 : tan(x)tan(y)tan(z)
A partir de la identidad (*) se presentan estos
casos particulares.

Si x  y  z   2n  1 ; n 
2
Entonces
tan  x  tan  y   tan  y  tan  z   tan  z  tan  x   1
cot  x   cot  y   cot  z   cot  x  cot  y  cot  z 
Si x  y  z  n ; n 
Entonces
cot  x  cot  y   cot  y  cot  z   cot  z  cot  x   1
tan  x   tan  y   tan  z   tan  x  tan  y  tan  z 
Identidades adicionales
Si x  y  z  0
tan  x   tan  y   tan  x  tan  y  tan  x  y   tan  x  y 
cos 2  x   cos 2  y   cos 2  z   2cos  x  cos  y  cos  z   1
tan  x   tan  y   tan  x  tan  y  tan  x  y   tan  x  y 
Si x  y  z   / 2
Si x  y   entonces
 cot()  tan(x) cot()  tan(y)  csc 2()
CEPRE-UNI
sen2  x   sen2  y   sen2  z   2sen  x  sen  y  sen  z   1
Si x  y  z  
cos 2  x   cos 2  y   cos 2  z   2 cos  x  cos  y  cos  z   1
TRIGONOMETRÍA
-2-
CICLO ADMISIÓN 2015 –I
FORMULARIO
III. Identidades de los ángulos
múltiples
III.2 Identidades del ángulo mitad
cos 2 x   cos 2 x   sen 2 x 
x
1  cos x
sen( ) 
2
2
2 tan  x 
1  tan 2  x 
Nota: El signo que se considerara, dependerá
del cuadrante al cual pertenezca x/2 y de la
razón trigonométrica.
Identidades para degradar
2sen2  x   1  cos  2x  2cos 2  x   1  cos  2 x 
También
2 tan  x 
1  tan
2
 x
cos  2 x  
x
1  cos x
cos( ) 
2
2
x
1  cos x
tan( ) 
2
1  cos x
Otras formas del cos(2x)
2

cos  2 x   1  2sen  x 

2

cos  2 x   2cos  x   1
sen  2 x  
 8 sen4 (x)  3  4 cos(2x)  cos(4 x)
 8 cos4 (x)  3  4 cos(2x)  cos(4 x)
III.1 Identidades del ángulo doble
sen  2x   2sen  x  cos  x 
tan  2 x  
 tan  2x  tan  x   sec  2x   1
1  tan
2
1  tan
2
 x
x
Una forma práctica de recordar estas dos
identidades, es utilizando la siguiente figura
También
x
x
tan( )  csc  x   cot  x  cot( )  csc  x   cot  x 
2
2
III.3 Identidades del ángulo triple
sen  3 x   3sen  x   4 sen3  x 
cos  3 x   4 cos 3  x   3cos  x 
tan  3 x  
3 tan  x   tan3  x 
1  3 tan 2  x 
Identidades para degradar
4 sen3  x   3sen  x   sen  3 x 
4 cos 3  x   3cos  x   cos  3 x 
Identidades auxiliares
 cot  x   tan  x   2csc  2x 

cot  x   tan  x   2cot  2x 

sen4  x   cos 4  x  

3 1
 cos  4 x 
4 4
5 3
sen6  x   cos6  x    cos  4 x 
8 8
1  sen  2x   sen  x   cos  x 

sec 2  x   csc 2  x   4 csc 2  2x 

tan  2x  cot  x   sec  2x   1

CEPRE-UNI
Identidades auxiliares
sen  3 x   sen  x   2cos  2 x   1
cos  3 x   cos  x   2cos  2 x   1
tan  3 x   tan  x  (
2cos  2 x   1
)
2cos  2 x   1
sen  3 x   4 sen  x  sen  60  x  sen  60  x 
cos  3 x   4 cos  x  cos  60  x  cos  60  x 
tan  3 x   tan  x  tan  60  x  tan  60  x 
TRIGONOMETRÍA
-3-
CICLO ADMISIÓN 2015 –I
FORMULARIO
Identidades adicionales
Determinamos las identidades condicionales
3
3
sen (x)  cos (y) 3
 Si x  y  30 

Si A  B  C  180, entonces
sen(x)  cos(y)
4
 tan(x)  tan(x  60)  tan(x  120)  3 tan(3 x) sen  A   sen  B   sen  C   4 cos( A)cos( B)cos( C )

csc(x)  csc(x  120)  csc(x  240)  3csc(3 x)
2
2
2
A
B
C
cos  A   cos  B   cos  C   1  4 sen( )sen( )sen( )
2
2
2

sec(x)  sec(x  120)  sec(x  240)  3 sec(3 x)
sen  2 A   sen  2B   sen  2C   4 sen( A)sen(B)sen(C)
cos  2 A  cos  2B  cos  2C   1  4 cos  A  cos  B  cos  C 
IV. Transformaciones trigonométricas
En general, para k 
Caso 1
xy
xy
sen  x   sen  y   2sen(
)cos(
)
2
2 
xy
xy
sen  x   sen  y   2sen(
)cos(
)
2
2
xy
xy
)cos(
)
2
2
xy
xy
cos  x   cos  y   2sen(
)sen(
)
2
2
cos  x   cos  y   2cos(
Algunas aplicaciones
 sen(x  120)  sen(x)  sen(x  120)  0
 cos(x  120)  cos(x)  cos(x  120)  0
3
2
3
 cos 2 (x  120)  cos 2(x)  cos 2(x  120) 
2
Caso 2
 sen2 (x  120)  sen2(x)  sen2(x  120) 
2sen  x  cos  y   sen  x  y   sen  x  y 
2cos  x  cos  y   cos  x  y   cos  x  y 
sen  2kA   sen  2kB   sen  2kC  
k 1
4  1
sen  kA  sen  kB  sen  kC 
Serie de senos para ángulos en progresión
aritmética
nr
P U
sen( )sen(
)
n
2
2
 sen  x  kr  
r
k 1
sen( )
2
Serie de cosenos para ángulos en progresión
aritmética
nr
P U
sen( )cos(
)
n
2
2
cos
x

kr




r
k 1
sen( )
2
Donde consideramos que
n: número de términos
r: razón de la P.A.
P: primer ángulo
U: último ángulo
Otras series (n  )
cos(

3
(2n  1) 1
)  cos(
)  ... cos(

2n  1
2n  1
2n  1
2
cos(
2
4
2n
1
)  cos(
)  ... cos(
)
2n  1
2n  1
2n  1
2
sen  x   sen  y   sen  z   sen  x  y  z 
sen(
xy
yz
zx
)sen(
)sen(
)
2
2
2

2
n
)sen(
)  ... sen(
)
2n  1
2n  1
2n  1
cos(
2sen  x  sen  y   cos  x  y   cos  x  y 
A partir de las siguientes identidades
 4 sen(
cos  x   cos  y   cos  z   cos  x  y  z 
xy
yz
zx
 4 cos(
)cos(
)cos(
)
2
2
2
CEPRE-UNI
tan(
2n  1
2n

2
n
1
)cos(
)  ... cos(
) n
2n  1
2n  1
2n  1 2

2
n
)tan(
)  ... tan(
)  2n  1
2n  1
2n  1
2n  1
TRIGONOMETRÍA
-4-