Estática y Resistencia de Materiales Sergio H. Oller Liz G. Nallim Primera Edición Corregida Estática y Resistencia de Materiales II ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES S. Oller, L. G. Nallim III Estática y Resistencia de Materiales Sergio H. Oller Profesor de la Universidad Nacional de Salta, Argentina (UNSa) Investigador Principal del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, Argentina (CONICET) Investigador Senior del Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería, España (CIMNE) Profesor Senior de la Universidad Politécnica de Cataluña, España Liz G. Nallim Profesora de la Universidad Nacional de Salta, Argentina (UNSa) Investigadora Independiente del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, Argentina (CONICET) IV ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES Estática y Resistencia de Materiales Sergio H. Oller, Liz G. Nallim Primera Edición, febrero 2020. Corregida, febrero 2021 Centre Internacional de Mètodes Numèrics a l’Enginyeria (CIMNE), 2020 Gran Capitán s/n, 08034 Barcelona, España www.cimne.com Impreso por: Artes Gráficas Torres S.A., Barcelona, España www.agraficastorres.es ISBN: 978-84-121101-2-8 Depósito legal: B-21133-2018 S. Oller, L. G. Nallim V A nuestros lectores, estudiantes y profesionales, para quienes hemos escrito este libro. VI ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES S. Oller, L. G. Nallim PRESENTACIÓN. ......................................................................... XV LISTA DE SÍMBOLOS. ............................................................. XVII CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN .......................................... 1 1.1 La Mecánica y la Resistencia de Materiales ...................................... 1 1.2 Principios fundamentales de la mecánica del sólido rígido. ............. 3 1.3 Objetivos de la resistencia de materiales – Problema y método de la resistencia de materiales. .............................................. 6 1.4 Sistema real y esquema de cálculo. .................................................... 8 1.5 Fuerzas exteriores e interiores – Reducción de fuerzas al centro geométrico de una sección transversal ...................................14 Fuerza interiores - Método de las secciones. ...................................... 15 1.5.1 1.5.2 Reducción de un sistema de fuerzas a una resultante en un punto. 17 1.6 Hipótesis fundamentales de la resistencia de materiales. ............... 22 1.7 Validez de las hipótesis fundamentales de la resistencia de materiales. ......................................................................................... 25 VII VIII CAPÍTULO 2 ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES CONCEPTOS BÁSICOS -ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL ................................... 27 2.1 Introducción. ........................................................................................ 27 2.2 Campos de la elasticidad ..................................................................... 28 2.3 Concepto de tensión............................................................................. 30 Tensor de tensión. ................................................................................. 30 2.3.1 2.3.2 Ecuación de equilibrio de Cauchy. ...................................................... 33 2.3.3 Ecuación de equilibrio rotacional de Cauchy o reciprocidad de las tensiones tangenciales. .......................................................................... 35 2.3.4 Estado de tensión según un plano cualquiera – Estado de equilibrio de un punto en función de la componente normal y tangencial (equilibrio en el contorno)……………………………………….36 2.3.4.1 Estado de equilibrio del punto en función de la tensión normal y tangencial – Caso particular problema plano .......... 38 2.3.4.2 Círculo de Mohr .......................................................................... 46 2.3.5 Tensiones principales, método analítico. ............................................ 49 2.3.5.1 Particularización al caso de estado plano de tensión.............. 52 2.3.6 Estado de tensión esférico y desviador. .............................................. 54 2.4 Concepto de deformación. ................................................................... 68 Deformación y ecuación de compatibilidad. ...................................... 68 2.4.1 2.4.2 Estado de deformación esférico y desviador. .................................... 73 2.4.3 Medición de la deformación en laboratorio. ...................................... 73 2.5 Ecuación constitutiva – Ley de Hooke. .............................................. 79 Introducción. .......................................................................................... 79 2.5.1 2.5.2 Coeficiente de Poisson y deformación transversal ............................ 80 2.5.3 Ley de Hooke para tensiones tangenciales – Módulo de elasticidad transversal ............................................................................................... 81 2.5.4 Ley de Hooke generalizada................................................................... 85 2.6 Tensión y deformación plana. ............................................................. 87 Problema de tensión plana. .................................................................. 87 2.6.1 2.6.2 Problema de deformación plana. ......................................................... 89 2.6.3 Ecuación de compatibilidad en función de las componentes del campo de tensiones. ............................................................................ 102 2.6.4 Módulo de elasticidad volumétrico. .................................................. 104 2.7 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo............... 105 CAPÍTULO 3 LEYES DE ESFUERZOS EN ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS .............................. 107 3.1 Introducción. ....................................................................................... 107 S. Oller, L. G. Nallim 3.2 Equilibrio interno-externo de una rebanada de una barra estructural – Esfuerzo interno. ............................................................ 111 3.3 Grado de libertad y vínculos estructurales en el plano....................... 115 Estructura isocinemática. ....................................................................120 3.3.1 3.3.2 Estructura isostática. ............................................................................121 3.3.3 Tipos de vínculos externos .................................................................125 3.3.4 Determinación e indeterminación estática de las estructuras.........125 3.4 Leyes de esfuerzo para una viga simple. ............................................ 136 Forma matemática de enfocar el problema mecánico de 3.4.1 cálculo de esfuerzos internos..............................................................136 3.4.2 Forma convencional de resolver el problema mecánico de cálculo de esfuerzos internos. .............................................................138 3.5 Viga Gerber o en Cantilever. ............................................................... 156 Definición. ............................................................................................156 3.5.1 3.5.2 Método analítico...................................................................................157 3.5.3 Método de descomposición................................................................158 3.6 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo.............. 280 CAPÍTULO 4 ESFUERZO AXIL - PIEZAS DE EJE RECTO .................................................................. 281 4.1 Piezas rectas de sección transversal conformada por un material simple................................................................................................ 281 Ecuaciones que gobiernan el comportamiento a esfuerzo 4.1.1 axil en barras rectilíneas. .....................................................................283 4.1.2 Influencia de la temperatura en las ecuaciones que gobiernan el comportamiento a esfuerzo axil en barras rectilíneas.....................286 4.2 Esfuerzo axil en cilindros de paredes delgadas sometidos a presión interior. ................................................................................... 311 4.3 Energía interna de deformación por axil. ........................................... 315 4.4 Piezas rectas de sección trasversal conformada por material compuesto. .......................................................................................... 318 Teoría general .......................................................................................318 4.4.1 4.4.2 Caso particular de hormigón armado. ...............................................321 4.4.3 Caso particular de hormigón pretensado. .........................................325 4.5 Esfuerzo axil en barras elastoplásticas. ............................................. 338 4.6 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo.............. 343 IX X ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES CAPÍTULO 5 MOMENTO FLECTOR ........................... 345 5.1 Introducción. .......................................................................................345 5.2 Flexión pura recta. ..............................................................................349 5.2.1 Deducción de la fórmula de la flexión de Navier - Bernoulli. ....... 351 5.2.2 Máximo módulo resistente y rendimiento de una sección transversal............................................................................................. 357 5.2.3 Ecuación de la elástica de Bernoulli. ................................................. 364 5.2.3.1 Método de integración de la ecuación de la elástica. ............ 367 5.2.4 Energía interna de deformación por flexión recta. ......................... 370 5.3 Flexión pura esviada. Det. del estado tensional y eje neutro ............378 5.3.1 Ángulos que se producen en la flexión esviada. .............................. 383 5.3.2 Estudio directo de la flexión esviada................................................. 385 5.3.3 Teoría generalizada de flexión pura esviada. .................................... 405 5.4 Flexión compuesta. ............................................................................. 412 Eje neutro ............................................................................................. 414 5.4.1 5.4.2 Núcleo central. ..................................................................................... 415 5.5 Flexión compuesta esviada. ................................................................ 415 Determinación del eje neutro ............................................................. 417 5.5.1 5.5.1.1 Forma geométrica de obtener el eje neutro........................... 418 5.5.2 Núcleo central. ..................................................................................... 432 5.5.2.1 Determinación del núcleo central en un caso general.......... 437 5.5.3 Teoría generalizada de flexión compuesta esviada .......................... 471 5.6 Flexión recta en piezas de distintos materiales. .................................479 Materiales compuestos con compatibilidad. .................................... 481 5.6.1 5.6.2 Materiales compuestos sin compatibilidad – Postesado de tendones sobre una sección de hormigón ........................................ 482 5.6.3 Postesado sobre una barra previamente tesada ............................... 485 5.6.4 Pretensado con adherencia ................................................................. 489 5.7 Flexión compuesta en secciones que no resisten a tracción..............495 Flexión compuesta recta. .................................................................... 495 5.7.1 5.7.2 Aplicación a una sección rectangular. ............................................... 498 5.8 Flexión recta en una pieza de hormigón armado de sección rectangular...........................................................................................502 5.9 Efecto de la temperatura en un material compuesto con compatibilidad. .................................................................................... 516 Barras de distintos mat. sometidas a variación de 5.9.1 temperatura........................................................................................... 520 5.9.2 Problema termo-elástico integrado en vigas de Bernoulli Material compuesto con compatibilidad de deformaciones ........... 524 5.10 Flexión elastoplástica ........................................................................529 S. Oller, L. G. Nallim 5.10.1 Sección con dos ejes de simetría...................................................530 5.10.1.1 Determinación del momento de plastificación parcial .........531 5.10.1.2 Determinación del momento plástico ....................................534 5.10.1.3 Particularización para una sección rectangular ......................534 5.11 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo ............ 540 ANEXO - Capítulo 5 ............................................................ 545 CAPÍTULO 6 ESFUERZO DE CORTE ......................... 565 6.1 Introducción. ...................................................................................... 565 6.2 Cinemática producida por el acoplamiento Flexión-Corte en una sección transversal. .............................................................................. 571 6.3 Corte por flexión recta – Fórmula general del corte o fórmula de Collignon-Jourawski ...................................................................... 574 Tensiones tangenciales por corte recto en secciones macizas .......576 6.3.1 Sección rectangular– Tensiones tangenciales por corte .......576 6.3.1.1 Sección circular – Tensiones tangenciales por corte ............579 6.3.1.2 6.3.1.3 Barra conformada por capas – Influencia del esfuerzo de corte........................................................................................583 6.3.2 Energía de deformación por corte recto – Teoría de Collignon-Jourawski .............................................................................587 6.3.2.1 Área reducida – Factor de forma de las secciones ................588 6.3.3 Tensiones tangenciales por corte recto en secciones abiertas delgadas ...................................................................................................592 6.3.3.1 Distribución y magnitud de las tensiones tangenciales en secciones abiertas de paredes delgadas ..............................594 6.3.3.2 Sección doble T delgada –Tens. tangenciales por corte…...597 Sección doble T gruesa – Tens. tangenciales por corte .......602 6.3.3.3 6.3.3.4 Sección U delgada – Tensiones tangenciales por corte ........604 6.3.3.5 Centro de corte o Centro de torsión ......................................611 6.3.3.6 Sección L delgada – Tensiones tangenciales por corte ........614 6.3.3.7 Sección L delgada de alas iguales – Tensiones tangenciales por corte ...............................................................618 6.3.3.8 Centro de corte en perfiles de alas paralelas – Problema simplificado ................................................................................622 6.3.3.9 Sección anular delgada abierta – Tensiones tangenciales por corte y centro de corte .......................................................624 6.3.3.10 Sección anular delgada cerrada – Tensiones tangenciales por corte y centro de corte .......................................................627 6.3.3.11 Secciones delgadas cerradas y simétricas–Caso particular ..631 6.3.3.12 Cálculo de los momentos estáticos respecto de ejes cualesquiera. Forma simple de cálculo del flujo de corte y tensiones tangenciales para ejes principales no paralelos a los lados de la sección. ...........................................632 XI XII ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES 6.4 Corte por flexión recta en secciones compuestas/mixtas – Fórmula general del corte o fórmula de Collignon-Jourawski ...........634 6.5 Corte por flexión esviada u oblicua – Fórmula general del corte o fórmula de Collignon-Jourawski ...................................................... 641 6.5.1 Corte oblicuo o esviado en secciones transversales macizas simétricas. ................................................................................................ 641 6.5.2 Corte esviado u oblicuo en secciones transversales delgadas. ......... 643 6.5.3 Forma general del corte esviado u oblicuo en secciones transversales de paredes delgadas para sistemas de ejes centroidales no-principales.................................................................... 644 6.6 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo............... 715 ANEXO - Capítulo 6 ............................................................ 717 CAPÍTULO 7 MOMENTO TORSOR - TORSIÓN UNIFORME ............................................... 731 7.1 Introducción al problema de torsión. ................................................. 731 Ley de distribución del esfuerzo de torsión en una barra. ............. 731 7.1.1 7.2 Teoría de torsión para piezas cilíndricas. ...........................................734 Introducción. ........................................................................................ 734 7.2.1 7.2.2 Estado de deformación de la barra.................................................... 735 7.2.3 Estado de tensión y equilibrio de la barra. ....................................... 736 7.2.4 Energía de deformación elástica acumulada en la barra. ................ 740 7.2.5 Estado de tensión elastoplástico perfecto y equilibrio de la barra.740 7.3 Teoría de torsión para piezas prismáticas de sección transversal no circular sometidas a torsión uniforme.........................743 Introducción. ........................................................................................ 743 7.3.1 7.3.2 Teoría de Saint Venant – Problema de valores de contorno. ........ 745 1ra. Suposición de Saint Venant: Sobre el estado tensional. 746 7.3.2.1 2da. Suposición de Saint Venant: Sobre la existencia de 7.3.2.2 la función de Prandtl. ................................................................ 749 3da. Suposición de Saint Venant: Sobre el campo de 7.3.2.3 desplazamientos. ........................................................................ 754 7.3.3 Teoría de Saint Venant – Analogía con el problema de Coulomb.758 7.3.4 Teoría de Saint Venant – Ejemplo de aplicación a una sección maciza de forma cualquiera. ................................................................ 758 7.3.5 Teoría de Saint Venant – Particularización a secciones de paredes delgada. .................................................................................................. 764 7.3.6 Teoría de Saint Venant – Particularización a secciones delgadas, abiertas compuestas.............................................................................. 767 7.3.7 Teoría de Saint Venant – Particularización a secciones cerradas de paredes delgadas. ............................................................................. 769 S. Oller, L. G. Nallim 7.3.8 Teoría de Saint Venant – Particularización a secciones cerradas multicelulares de paredes delgadas. .........................................................776 7.3.9 Teoría de Saint Venant – Particularización a secciones delgadas compuestas con formas y materiales distintos. ......................................780 7.4 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo ......... 793 APÉNDICE PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS SECCIONES TRANSVERSALES ............... 797 A.1 Introducción. ..................................................................................... 797 A.2 Momento estático de una sección respecto de un eje y posición del centro geométrico (CG). ............................................................... 798 A.2.1 Definición de momento estático y centro geométrico. ........................798 A.2.2 Teoremas de Pappus - Guldin. ................................................................802 A.2.3 Centro geométrico de secciones compuestas.........................................804 A.3 Propiedades mecánicas de piezas estructurales. .............................. 809 A.3.1 Centro de peso o gravedad de un cuerpo compuesto por distintos materiales.....................................................................................809 A.3.2 Centro geométrico de un cuerpo compuesto por distintos materiales. ...................................................................................811 A.3.3 Centro mecánico de un cuerpo compuesto por distintos materiales. ....................................................................................812 A.4 Momentos de inercia o Momento de segundo orden. ....................... 813 A.4.1 Teorema de Steiner. ...................................................................................814 A.4.2 Radio de giro. .............................................................................................816 A.4.3 Forma de tratar las secciones gruesas y delgadas...................................820 A.4.4 Rotación de ejes de inercia. ......................................................................825 A.4.5 Ejes principales de inercia.........................................................................829 BIBLIOGRAFÍA.................................................................. 837 XIII XIV ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES S. Oller, L. G. Nallim XV Este libro está dirigido a la formación de estudiantes de ingeniería, arquitectura y también a ingenieros y arquitectos como base de consulta para el ejercicio de la profesión. Presenta un enfoque de la Resistencia de Materiales enriquecido con nuevos conceptos y con ejemplos resueltos mediante herramientas informáticas, ayudando así a establecer una metodología de trabajo simple, reduciendo los tiempos de solución de los problemas y permitiendo una mejor asimilación de los conceptos fundamentales. El libro es fruto de la extensa experiencia de los autores dedicada a la enseñanza de esta temática y ha sido pensado para satisfacer la necesidad de conocimiento de los estudiantes de ingeniería y arquitectura. Con este objetivo se ha escrito este texto que permite el aprendizaje de las bases para el análisis de estructuras en general y piezas de máquinas. Este libro, además de los temas clásicos de la Resistencia de Materiales, incursiona sobre las bases del tratamiento de piezas de paredes delgadas, de materiales compuestos laminados y reforzados en general, como así también de hormigón armado y pretensado, estructuras de sección mixta, etc. Se espera que todos estos temas sean de ayuda para abordar conceptos más avanzados de cursos posteriores y desarrollos más profundos en el ejercicio profesional. Este trabajo ha sido posible gracias a un gran esfuerzo de los autores por resumir el amplio campo de conocimientos de esta materia, como así también por la colaboración de personas que durante mucho tiempo han aportado trabajo y conocimiento en estas páginas. Así, los autores quieren agradecer XVI ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES especialmente, por su dedicación en la preparación de las figuras y material gráfico de este libro, a Raúl Giménez Rodrigo, de la Unitat de Serveis TIC de la Escuela de Ingenieros de Caminos Canales y Puertos de Barcelona, y a Jorge Mariscal de la Llosa, Becario de Formación de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Salta. También, los autores agradecen a Clara Casanova, Albert Costa y Xavier Aparicio por la preparación y solución de algunos ejemplos de este libro, que fueron desarrollados durante sus Becas de Colaboración otorgadas por la Escuela de Ingenieros de Caminos Canales y Puertos de Barcelona, y al Dr. Ricardo Quinteros por el diseño de la cubierta de este texto. Queremos además mencionar a los estudiantes que, aunque sus nombres no están expresamente aquí incluidos, han contribuido durante tantos años a motivar la preocupación por mejorar nuestros conocimientos y la forma de transmitirlos. Los autores agradecen especialmente al Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería (CIMNE) por impulsar y financiar esta publicación. Finalmente, agradecemos a nuestros seres queridos que nos acompañan cada día y nos apoyan con su comprensión para hacer posible este trabajo. Noviembre de 2019 Sergio H. Oller, Liz G. Nallim S. Oller, L. G. Nallim XVII Esta lista contiene lo principales símbolos que se han utilizado y está ordenada de acuerdo a su aparición en el texto del libro. CG CM dens u , v, w Centro Geométrico Centro Mecánico densidad desplazamiento según las direcciones x, y , z respectivamente desplazamiento según la dirección xi , i 1, 2, 3 ui ai aceleración según la dirección xi , i 1, 2, 3 dV dx1dx2 dx3 pi ij , i j ij , ij , i j t t1 , t2 , t3 ejes p , I , II , III II , , III I1 , I2 , I3 p D u peso específico según la dirección xi , i 1, 2, 3 tensión normal tensión tangencial versor normal a un plano vector de tensión completa componentes del vector de tensión completa en los coordenados x1 , x2 , x3 tensor de tensiones inclinación del plano principal σ I diferencial de volumen tensiones principales versores normales a los planos principales invariantes de tensión tensor esférico de tensiones tensor desviador de tensiones vector desplazamiento de un punto ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES XVIII ij 2 ij , i j tensor de deformaciones deformación específica distorsión específica s gradiente simétrico V D I1 , I2 , I3 tensor esférico de deformaciones ε ij , i j E G C KV NGL qi i 1, 2,, n invariantes de deformación módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young módulo de elasticidad transversal o módulo de corte coeficiente de Poisson matriz constitutiva módulo de elasticidad volumétrico número de grados de libertad coordenadas generalizadas vector de posición de la partícula i velocidad la partícula i , derivada temporal de los respectivos vectores de posición ri vi q j = tensor desviador de deformaciones dq j dt GIE N= N3 Nz Q Qx , Q y Q1 , Q2 velocidad generalizada la partícula j grado de indeterminación estática esfuerzo axil o normal esfuerzo de corte o cortante esfuerzo de corte según los ejes cartesianos de la sección transversal x , y respectivamente esfuerzo de corte según los ejes principales de la sección transversal x1 , x2 respectivamente MT = M3 Mz M Mx , My momento tosor momento flector momento flector con vector momento sobre los ejes M1 , M2 cartesianos de la sección transversal x,y respectivamente momento flector con vector momento sobre los ejes KN EA / principales x1,x2 de la sección transversal respectivamente rigidez de una barra frente a esfuerzos axiles mec 3mec 33 deformación mecánica específica en la dirección x3 S. Oller, L. G. Nallim ter 3ter 33 XIX u3mec deformación térmica específica en la dirección x3 cambio entre la temperatura actual ( t ) y la de referencia ( tref ) desplazamiento en la dirección x3 por acción mecánica u3ter desplazamiento en la dirección x3 por acción térmica t coeficiente de dilatación térmica densidad de energía interna de deformación o energía específica de deformación energía específica complementaria energía potencial interna de deformación (energía primal) energía potencial interna complementaria de deformación (energía dual) módulo de elasticidad de referencia en piezas estructurales compuestas por varios materiales cuantía geométrica cuantía mecánica tensión umbral de fluencia módulos de la sección (resistentes) respecto a t t t c W Wc E y W1 ,W2 ref los ejes x1 , x2 respectivamente I1, I2 momentos principales de inercia de la sección respecto a los ejes x1 , x2 respectivamente curvatura coeficiente de uniformidad de corte radio de curvatura rendimiento geométrico de una sección transversal ángulo de rotación de la sección transversal respecto de los 1 , 2 F K mm x1n , x2n ejes principales de inercia x1 , x2 respectivamente flexibilidad rigidez eje de carga ángulo medido en sentido trigonométrico (anti-horario) desde el eje de inercia principal mayor hasta el vector momento menor ángulo medido entre el eje de inercia principal mayor y el vector momento abscisa y ordenada de puntos del eje neutro XX ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES Kmm pendiente del eje (plano) de carga m m Knn pendiente del eje (plano) neutro n n * Inn ̂ A, A m f (s) ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) J fC A 1 , 2 I I 0 , I 0 momento de inercia equivalente respecto al eje neutro n n ángulo medido en sentido trigonométrico (anti-horario) desde el eje de inercia principal mayor hasta la línea neutra menor ángulo medido entre el eje de inercia principal mayor y el eje neutro factor de forma sección transversal reducida distorsión media flujo de tensiones tangenciales respecto a la coordenada s giro absoluto de una sección respecto de otra en torsión ángulo de torsión unitaria o ángulo de torsión específica por unidad de longitud función de tensión de Prandtl función de alabeo de Saint Venant módulo de torsión función que define el contorno de la sección transversal matriz ortonormal de rotación de ejes en el plano vectores que definen las direcciones principales de inercia de una sección transversal matriz de momentos de inercia en el sistema cartesiano x, y primer y segundo invariante de inercia, respectivamente 1.1 La Mecánica y la Resistencia de Materiales La mecánica clásica es la parte de la física que estudia el equilibrio y el movimiento de los cuerpos sometidos a la acción de agentes externos (fuerza, temperatura, etc.). La mecánica es una ciencia que constituye la base para innumerables aplicaciones ingenieriles. En la Figura 1.1 se muestra las subdivisiones de esta disciplina. El estudio de la dinámica y de la cinética está centrado en la fuerza como causa que produce el movimiento. Concretamente, éstas estudian el movimiento de los cuerpos durante un determinado tiempo y las fuerzas que lo producen. La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las fuerzas que lo producen y, en consecuencia, se limita a estudiar la trayectoria en función del tiempo. MECÁNICA DINÁMICA Mecánica en Campo Transitorio (Interviene la variable tiempo) ESTÁTICA Mecánica en Campo Permanente (No existe la variable tiempo) Resistencia de Materiales Dinámica-Cinética (relación fuerza con movimiento) Figura 1.1 – Cuadro resumen: subdivisiones de la Mecánica Clásica. Cinética de los fluidos Dinámic a Compresibles Incompresibles Cinética del sólido deformable Cinética del sólido rígido Cinemática (movimiento independiente de las fuerzas que lo producen) Incompresibles Compresibles Compresibles Incompresibles Teoría de la plasticidad Teoría de fractura Teoría de daño Teoría visco‐plástica No Newtoniano Newtoniano Teorías Inelásticas Mecánica de los fluidos Deformable Mecánica del Sólido Estática básica Teoría de la elasticidad Mecánica del Sólido Rígido 2 Introducción S. Oller, L. G. Nallim 3 1.2 Principios fundamentales de la mecánica del sólido rígido La mecánica inicia sus primeros pasos con Aristóteles (380 aC) y Arquímedes (287 aC); pero fue Newton, en 1687, quien estableció las bases fundamentales a través de su obra “Principios matemáticos de la filosofía natural” (Philosophiæ naturalis principia mathematica). Por esta razón, una parte importante de la Mecánica Clásica se denomina Mecánica Newtoniana, la que se distingue de la Mecánica Cuántica y de la Mecánica Relativista. La Mecánica Clásica tiene a su vez tres formulaciones principales, la Mecánica Newtoniana que se basa en las tres leyes de Newton; la Mecánica Langrangiana que permite el uso, en igualdad de condiciones, de sistemas inerciales o no inerciales, sin que las ecuaciones cambien en su forma básica; y la Mecánica Hamiltoniana que es una formulación similar a la Lagrangiana, y constituye el enfoque más adecuado para construir la Mecánica Estadística Clásica y la Mecánica Cuántica. También comprende la Electrodinámica Clásica, que está basada en las ecuaciones de Maxwell; y la Termodinámica que se encarga de estudiar las transformaciones e intercambios de energía en sistemas mecánicos abiertos y cerrados. La Mecánica Relativista fue desarrollada por Albert Einstein a principios del siglo XX y su objetivo principal era resolver la incompatibilidad que existía entre la mecánica newtoniana y el electromagnetismo. Postuló dos teorías dentro de ésta: la de Relatividad Especial y la de Relatividad General. Por otra parte, dentro de la Mecánica Cuántica las aportaciones más relevantes fueron hechas por Hamilton y, más tarde, por Max Planck en 1900 quien enunció que la radiación electromagnética es absorbida y emitida por la materia en forma de cuantos de luz o fotones. Posteriormente, Werner Heisenberg (1932) y Erwin Schrödinger (1933) desarrollaron importantes trabajos en el área de la mecánica cuántica. La Mecánica Newtoniana, no obstante los avances actuales en ciencias, no ha perdido vigencia pues resulta un caso particular de la Mecánica Relativista. A pesar de los grandes avances de la Mecánica, en Ingeniería sigue empleándose la Mecánica Clásica o Newtoniana por la escala en que se desarrollan los fenómenos a tratar. 4 Introducción Es importante recordar que las variables fundamentales en mecánica clásica son: espacio, tiempo y masa. El espacio relaciona la posición de un punto con un cierto sistema referencial, el tiempo considera el instante en que se evalúa la posición y la masa establece una de las cualidades del cuerpo en análisis. La fuerza es una magnitud derivada que representa las acciones que hacen algunos cuerpos sobre otros. Estas fuerzas se pueden ejercer por contacto directo o, a la distancia, en forma indirecta. La masa y la fuerza son dos variables que están relacionadas entre sí y, por lo tanto, representan una sola. Es decir que en mecánica clásica hay tres variables fundamentales y entre ellas no hay ninguna relación. Mientras que, por ejemplo, en la mecánica relativista el espacio y el tiempo están relacionados. Los tres principios básicos de la mecánica del sólido rígido son: a) Ley de composición de fuerzas (principio de superposición): El efecto que provoca la resultante R de un sistema de fuerzas es equivalente al efecto de la suma de los efectos de las componentes (ver Figura 1.2a). b) Principio de transmisibilidad: Una fuerza aplicada sobre un cuerpo rígido puede ser reemplazada por cualquier otra fuerza aplicada sobre su recta de acción que tenga la misma intensidad, dirección y sentido que la fuerza original (ver Figura 1.2b). c) Leyes de Newton: c.1) Un cuerpo mantiene su estado de reposo o movimiento relativo si se le aplica un sistema de fuerzas nulo (Figura 1.3a). c.2) La fuerza resultante en un cuerpo provoca en éste una aceleración que es igual al cociente de la magnitud de esta fuerza sobre la masa (Figura 1.3b). c.3) A toda acción le corresponde una reacción igual y de sentido contrario (Figura 1.3c). 5 S. Oller, L. G. Nallim Figura 1.2 – Composición y transmisibilidad de fuerzas. Figura 1.3 – Representación esquemática de las leyes de Newton. 6 Introducción 1.3 Objetivos de la resistencia de materiales – Problema y método de la resistencia de materiales La mecánica clásica del sólido rígido supone que cuando sobre un sólido ideal se aplica un determinado sistema de fuerzas, aquel permanece indeformable y conserva su geometría original. Sin embargo, la realidad es distinta pues cualquier cuerpo real sobre el que actúan fuerzas exteriores se deforma en mayor o menor grado. Se dice que un cuerpo es deformable cuando la distancia entre dos puntos interiores varía en función de la magnitud de las cargas aplicadas (Figura 1.4). Figura 1.4 – Representación del cambio de configuración de un cuerpo después de la deformación. La Resistencia de Materiales es la ciencia (parte de la Teoría de la Elasticidad y ésta, a su vez, parte de la Mecánica) que trata la resistencia y rigidez de cuerpos sometidos a la acción de cargas y destinados a aplicaciones de ingeniería estructural. Por esta razón, la resistencia de materiales tiene dos objetivos principales respecto de los cuerpos cargados: a) Determinar las fuerzas interiores por unidad de superficie (tensiones). Concepto ligado a la resistencia. S. Oller, L. G. Nallim 7 b) Determinar las deformaciones que se producen por efecto de las tensiones. Concepto ligado a la rigidez.1 La resistencia de materiales conduce a garantizar el equilibrio local, es decir en cada punto del sólido y el equilibrio global, es decir de todo el sólido. Estos conceptos se pueden resumir diciendo que el objeto fundamental de la resistencia de materiales es garantizar la estabilidad del cuerpo. La estabilidad de una estructura depende de su geometría y cinemática, del material del que está constituida y de las fuerzas actuantes. Cuando todas estas situaciones se encuentran contempladas dentro del marco de la resistencia de materiales, el cuerpo habrá encontrado su estado estable. Es importante relacionar aquí la diferencia fundamental entre la Resistencia de Materiales (Teoría de la Elasticidad) y la Mecánica Teórica. Para la primera importa el sólido deformable en sí mismo, en tanto para la segunda importan también las leyes del movimiento del sólido. La diferencia entre la Teoría Matemática de la Elasticidad y la Resistencia de Materiales radica en la manera de enfocar el mismo problema. La Teoría de la Elasticidad estudia el comportamiento de los sólidos deformables de una manera más exacta, recurriendo a fundamentos básicos de la mecánica. Esto hace que la teoría de la elasticidad no siempre se pueda utilizar en forma simple para la solución de problemas prácticos. La Resistencia de Materiales no sólo pretende conocer las tensiones y deformaciones que ocurren en el interior de un sólido, sino también busca dar una interpretación correcta sobre la capacidad de trabajo y aplicación práctica de la estructura analizada. En la teoría de la elasticidad este último problema no se plantea. Por lo antes mencionado, la Resistencia de Materiales añade algunas hipótesis simplificativas a las pocas hipótesis fundamentales de la Teoría de la Elasticidad. Se obtienen así soluciones adecuadas en la mayoría de los problemas de dimensionado y comprobación de estabilidad de las piezas que componen una estructura. Estos dos problemas configuran importantes aplicaciones de la resistencia de materiales: a) Dimensionado: tarea que integra el diseño estructural y parte de suponer conocido el sistema de fuerzas en equilibrio que actúa sobre una estructura. Consiste 1 Recordar que rigidez es la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario K u f 8 Introducción en determinar las dimensiones de las piezas o elementos que la componen, de manera que las tensiones y las deformaciones no superen ciertos límites de seguridad o convencionales. b) Verificación: tarea que forma parte de la comprobación y es un caso particular del anterior. Es decir, conocido el sistema de fuerzas en equilibrio y las dimensiones de las piezas, se procede a verificar su seguridad en tensiones y deformaciones. 1.4 Sistema real y esquema de cálculo En la Resistencia de Materiales, como en cualquier rama de la ciencia, el estudio del problema real comienza por escoger el esquema de cálculo. El esquema de cálculo es una simplificación del problema real, manteniendo sólo las características importantes y despreciando todo aquello que no influye sustancialmente en el problema. Esta simplificación añade hipótesis restrictivas, pero resulta absolutamente necesario, pues los problemas reales son imposibles de abordar dada la complejidad e interrelación entre los fenómenos naturales que en éste se desarrollan. El concepto de esquema de cálculo induce a pensar que el problema que se está por resolver puede aproximarse al real, tanto como se quiera, según el grado de complejidad que se esté dispuesto a admitir en el análisis. Este concepto, ambiguo en su límite superior (tan perfecto como se quiera), no lo es tanto en su límite inferior ya que al menos debe cumplir con ciertas condiciones que garanticen que el problema conserve la esencia de la estructura a resolver. Como ejemplo se presenta una estructura formada por un forjado, vigas, columnas y zapatas de cimentación, cuyo modelo simplificado se muestra en la Figura 1.5. Éste puede ser tan complejo como se quiera, según cuál sea el grado de precisión y conocimiento que se quiera tener sobre este problema. Si sólo interesa estudiar una parte del problema (forjados, o vigas, o columnas, o cimentación), el esquema de cálculo será diferente. Por ejemplo se podría estudiar el pórtico ABCD o sólo la viga AB (Figura 1.5). Sin embargo, esto no es todo, pues habrá que pensar si se considera sólo el peso del forjado y sus sobrecargas, o se debería también incluir el peso de las vigas, columnas S. Oller, L. G. Nallim 9 y cimentaciones, etc. Todo dependerá, como se dijo, de lo que se quiera analizar y de cuánta precisión se desea alcanzar. Figura 1.5 – Simplificación del problema real mediante esquemas de cálculos. Cada sistema real puede admitir diferentes esquemas de cálculo y a cada esquema le podrían corresponder diferentes sistemas reales. La elección del esquema de cálculo, en Estructuras/Resistencia de Materiales, comienza por hacer hipótesis simplificativas en cuanto: al material, la geometría del cuerpo, las cargas aplicadas y los desplazamientos prescritos en determinados puntos. 10 Introducción a) El material: se considera continuo, homogéneo, elástico e isótropo. - Se dice que un material es continuo cuando el volumen está ocupado plenamente por la materia, sin oquedades ni discontinuidades. Siendo así, se puede aplicar en el análisis el cálculo infinitesimal. - Se dice que un material es homogéneo cuando cualquiera de sus partes tiene las mismas propiedades, independientemente de su posición en el espacio. El concepto de homogeneidad es un concepto macroscópico, pues al bajar a un nivel microscópico se observa que los materiales están compuestos por la participación de distintas sustancias, cuya distribución depende de su estructura interna. - Es necesario hacer también consideraciones sobre el concepto de elasticidad, que es la propiedad de los materiales de restablecer sus dimensiones originales luego de haber cesado la acción de las cargas impuestas. En general, todos los materiales tienen una parte de comportamiento elástico, sólo que en algunos el rango de comportamiento elástico es mayor que en otros (por ejemplo la goma, al contrario de los plásticos). - Se dice que un cuerpo es isótropo cuando en un punto sus propiedades son las mismas en cualquier dirección de análisis (por ejemplo el acero, al contrario de la madera). b) La geometría de la pieza estructural a estudiar requiere también consideraciones respecto de su sistema de cálculo. Las simplificaciones permiten reducir el cuerpo en 3-D a barras, placas, bóvedas o bloques, según sea el caso y la precisión que se quiera alcanzar en el análisis. 11 S. Oller, L. G. Nallim Figura 1.6 – Representación de una barra. - Se llama barra a todo cuerpo que tiene una dimensión mucho mayor que las otras dos. Geométricamente se obtiene una barra moviendo una figura plana a lo largo de una curva (ver Figura 1.6). Así, lo que en geometría es la generatriz de un cuerpo en resistencia de materiales es el eje de la barra; y lo que en geometría es una figura plana, tal que su contorno configura la directriz, en resistencia de materiales se denomina sección transversal o sección normal. En esta sección se puede identificar el centro geométrico (CG), por donde discurre el eje de la pieza formando un ángulo recto con dicha sección transversal en cada punto del eje. Según sea la generatriz (eje de la pieza), la barra recibe el nombre de: viga (eje recto), arco (eje curvo en un plano), arco alabeado o muelle (eje curvo alabeado). Según sea la directriz (sección transversal de la pieza), la barra recibe el nombre de: barra de inercia constante (sección constante), barra de inercia variable (sección variable). Un sistema formado por un conjunto de barras unidas entre sí mediante nudos y destinado a recibir cargas, se denomina estructura de barras. Si una viga, o un arco, poseen sección transversal simétrica, es posible trabajar con su plano medio, representando sólo la geometría correspondiente al eje de la pieza. 12 Introducción - Se llama placa a todo cuerpo plano donde dos de sus dimensiones prevalecen sobre la tercera llamada espesor. En su forma más simple, el estudio de las placas se basa en una generalización de la teoría de vigas. - Se entiende por bóveda al caso general de las placas, es decir que se trata de placas curvadas que tienen un radio de curvatura (si el radio de curvatura es infinito, se tiene una placa). - Un bloque configura una estructura donde las tres dimensiones son del mismo orden de magnitud. En este libro sólo se tratan las estructuras de barras en sus distintas formas y tipologías. c) Las cargas merecen otro tipo de consideración y también necesitan ser esquematizadas. Las fuerzas interiores y exteriores que se tengan en consideración dependerán del esquema de cálculo. Las primeras se estudiarán más adelante, mientras que las segundas pueden ser concentradas o distribuidas. Esta división no es más que convencional, pues no existen en la naturaleza verdaderas fuerzas concentradas, ya que esto exigiría que el área de aplicación de la carga tienda a cero. En la Figura 1.7 se presentan los tipos de fuerzas que se deben considerar en un esquema de cálculo. d) Los desplazamientos condicionan de manera sustantiva la resolución de las estructuras; pues los procedimientos de resolución son distintos según se trata de grandes o pequeños desplazamientos en la estructura. Las estructuras que sufren grandes desplazamientos requieren un tratamiento más complicado y más general que no puede abordarse con las herramientas de este curso de Resistencia de Materiales. S. Oller, L. G. Nallim Figura 1.7 – Representación esquemática de los tipos de fuerza que actúan sobre una estructura. 13 14 Introducción 1.5 Fuerzas exteriores e interiores – Reducción de fuerzas al centro geométrico de una sección transversal Las fuerzas representan la acción de los cuerpos entre sí. Si interesa estudiar una parte de un cuerpo en particular, todos los cuerpos o partes restantes que actúen sobre la parte que se desee estudiar, constituirán fuerzas exteriores. Las fuerzas exteriores podrán ser de volumen o de superficie. Serán fuerzas de volumen el peso del cuerpo y las fuerzas másicas en general, las fuerzas magnéticas, etc. Las fuerzas de superficie serán aquellas que resulten de la acción de un cuerpo sobre otro. Es decir, cuando existe un contacto. Si la superficie de aplicación tiende a cero, estas fuerzas reciben el nombre de fuerzas concentradas. Entre las fuerzas exteriores se encuentran no sólo las acciones que son el motivo del estudio que se desea llevar a cabo (ciertas acciones gravitatorias, hidráulicas, etc.), sino que están aquellas que garantizan el equilibrio externo del cuerpo, y que reciben el nombre de reacciones (ver Figura 1.8). Estas reacciones se desarrollan en ciertas partes del cuerpo preestablecidas, a través de unos dispositivos que se denominan apoyos, cuya función es restringir movimientos. Las fuerzas exteriores en equilibrio (acciones y reacciones) dan lugar a fuerzas interiores. Estas últimas se originan por la interacción entre partículas del cuerpo, y permiten transmitir o reducir los esfuerzos para conseguir su estado de equilibrio. De esta última parte se ocupa especialmente la Resistencia de Materiales. S. Oller, L. G. Nallim 15 Figura 1.8 – Relación entre las fuerzas exteriores y las fuerzas interiores. También se habla de fuerzas interiores, cuando dos partes estructurales interactúan entre sí. Por ejemplo, en la Figura 1.8, la interacción entre las dos barras que confluyen al nudo A , da lugar a dos fuerzas que son interiores a la estructura. 1.5.1 Fuerza interiores - Método de las secciones Una forma de conocer las fuerzas interiores en una barra es mediante un método que las ponga en evidencia, esto es por ejemplo el método de las secciones, que consiste en cortar la estructura en equilibrio y luego restituir el equilibrio mediante fuerzas que actúan sobre la sección de corte y que suplantan la acción de la parte faltante. Así, la Figura 1.9a muestra una barra C en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas exteriores Pn . Si se efectúa un corte de la barra en C mediante una sección , resulta la pieza estructural dividida en dos partes, C I y C II , como se representa en la Figura 1.9b, donde en la sección actúan, a cada lado, las fuerzas PI y PII que restituyen el equilibrio de las partes C II y C I respectivamente. 16 Introducción Si se plantean las ecuaciones de equilibrio en C I y C II en forma independiente se obtiene Para C I i II Pj P 0 1 C I (1.1) Para C II n PI Pj 0 i 1 C II (1.2) Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1.1) y (1.2) se obtiene la siguiente expresión i n II I P P 0 j Pj P 1 C I i 1 C II (b) (1.3) (a) La sumatoria de los términos (a) en la ecuación (1.3) corresponde a la ecuación de equilibrio global, es decir Pn C Pn C I II 0 (1.4) Si se reemplaza la ecuación (1.4) en la ecuación (1.3) se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio interno PII PI 0 (1.5) Las identidades dadas por las ecuaciones (1.1) a (1.5) muestran que las fuerzas interiores que actúan en la sección se pueden obtener tanto de la parte C I (izquierda) como de la parte C II (derecha) y que el equilibrio local garantiza el global y viceversa. S. Oller, L. G. Nallim 17 Figura 1.9 – Relación entre el equilibrio interno y externo en una parte estructural. Además, al practicar el método de las secciones, resulta la siguiente afirmación: “si las fuerzas que actúan sobre un lado de la sección son las mismas que las que actúan sobre el otro lado de la sección , las deformaciones que se producen a ambos lados de son iguales”. Esta condición se conoce como condición de continuidad de deformaciones. 1.5.2 Reducción de un sistema de fuerzas a una resultante en un punto La fuerza R (ver Figura 1.10) es la resultante de las fuerzas por unidad de área, que resulta de la integración de las tensiones que actúan en la sección transversal. Esta forma de representar las acciones internas mediante esfuerzos resultantes forma parte del método que utiliza la Resistencia de Materiales para resolver, en forma simplificada, un problema estructural. Haciendo una reducción del sistema de fuerzas interiores al Centro Geométrico de la sección (o mecánico en caso de ser una sección mixta), por donde pasa el eje de la pieza, se obtiene el vector principal R y el momento principal M . Escogiendo un sistema de ejes ortogonales tal que dos de ellos descansen sobre el plano de la sección normal y un tercero que sea tangente al eje de la pieza, es posible descomponer R y M en sus componentes cartesianas, tal como muestra la Figura 1.10. 18 Introducción En la Figura 1.10 se obtienen las componentes de los esfuerzos reducidos al centro geométrico (CG) sobre una sección transversal. A estos esfuerzos, llamados característicos, se acostumbra denominarlos convencionalmente esfuerzos de sección o fuerzas de sección. Cada componente recibe los nombres que se indican a continuación: - N : Esfuerzo normal o axil - Q y : Esfuerzo de corte según el eje y - Qx : Esfuerzo de corte según el eje x - MT : Momento torsor, en el eje z - M y : Momento flector según el eje y - Mx : Momento flector según el eje x Conociendo las fuerzas exteriores se pueden determinar estos seis esfuerzos característicos en una sección transversal, mediante seis ecuaciones de equilibrio de una de las partes de la barra seccionada. Haciendo, por ejemplo, el equilibrio de la parte derecha C II de la barra seccionada, en cualquier caso se debe cumplir: F i M i xi xi 0; Fyi 0; Fzi 0 (1.6) 0; M yi 0; M zi 0 (1.7) i i i i donde Fxi , Fyi , Fzi son las componentes cartesianas de la resultante R de las fuerzas PI y de las fuerzas externas Pn que actúan en C II ; mientras que M xi , M yi , M zi son las componentes cartesianas de los momentos de las fuerzas mencionadas, que resultan de la traslación de las fuerzas a un punto determinado de la sección transversal (centro geométrico, mecánico) (ver Figura 1.11). S. Oller, L. G. Nallim Figura 1.10 – Reducción de un sistema de fuerzas a una resultante en un punto. 19 20 Introducción Figura 1.11 – Resultante en una sección transversal Las ecuaciones (1.6) y (1.7) pueden escribirse vectorialmente de la siguiente manera: F 0; M i i i 0 i (1.8) donde Fx M x Fi Fy ; Mi M y F M z i z i (1.9) Mi di Fi (1.10) dx di d y d 0 z i (1.11) y Siendo 21 S. Oller, L. G. Nallim Reemplazando (1.9) y (1.11) en (1.10) se obtiene k dz 0 Fy Fz i d y Fz i d x Fy k d y Fx k d x Fz j (1.12) Mi Mx i MT k My j (1.13) i Mi d x Fx j dy Que también se puede escribir como Mx d y Fz Mi My d x Fz M d F d F y x T x y (1.14) Las ecuaciones (1.8) constituyen la condición general de equilibrio de un sólido rígido, como se verá más adelante. En el caso que una pieza contenga un plano medio de simetría es posible hacer una particularización de las ecuaciones (1.6) y (1.7), siempre que las cargas actúen también en ese plano medio. De esta manera, sólo aparecen los esfuerzos que actúan en el plano de la estructura. Un caso simple, y muy utilizado, es el que se representa en la Figura 1.12 (plano medio y z ), en la cual N es el esfuerzo axil, Q y Q es el esfuerzo de corte y Mx M es el momento flector. Debido a que, en este caso, todos los esfuerzos se producen en el plano y z , las ecuaciones de equilibrio global están dadas por Fy 0 Fz 0 M 0 (1.15) 22 Introducción Figura 1.12 – Esfuerzos característicos. 1.6 Hipótesis fundamentales de la resistencia de materiales Una vez se comprenden los conceptos de sistema real y esquema de cálculo, donde se ha hecho mención a la importancia de “esquematizar” el material, la geometría y las cargas, es posible plantear, en primer lugar, cuatro hipótesis que son coincidentes con las hipótesis básicas de la teoría de la elasticidad. Estas se enuncian a continuación: 1) Sobre el material: debe ser continuo, homogéneo, isótropo y elástico lineal. 2) Sobre las deformaciones: deben ser pequeñas y provenir de desplazamientos pequeños, además deben ser continuas y derivables. S. Oller, L. G. Nallim 23 3) Sobre la geometría: se debe admitir que ésta no cambia con la deformación, es decir que deben ser pequeñas (lo que constituye una conclusión de la condición 2). 4) Sobre la aplicación de cargas exteriores: deben aplicarse lentamente para evitar que se produzcan fuerzas de inercia (no interviene el tiempo). Además de estas hipótesis, la resistencia de materiales considera cuatro hipótesis adicionales: Figura 1.13 – Validez del principio de Saint – Venant. 5) Hipótesis de Saint-Venant, para una barra sometida a fuerzas exteriores, permite prescindir del efecto local que se provoca en las tensiones y deformaciones en una región de 1.0 a 1.5 veces la dimensión característica de una sección transversal para piezas suficientemente esbeltas (ver Figura 1.13). Hipótesis de Navier-Bernoulli: Las secciones planas y normales al eje neutro antes de la deformación, siguen siéndolo después de la deformación (Figura 1.14 6) Figura 1.14), evidencia que resultará más clara luego al analizar las secciones transversales sometidas a flexión. 24 Introducción Figura 1.14 – Hipótesis de Navier – Bernoulli. 7) Principio de superposición: Dada las acciones por separado, medidos los efectos que producen cada una de las acciones; se tendrá que la suma de las acciones (o la acción total), provocará un efecto que será igual que la suma de los efectos de cada una de las acciones evaluados por separado (Figura 1.15). Figura 1.15 – Principio de superposición. En la Figura 1.15 los efectos totales de las acciones en C (tensiones, deformaciones y desplazamientos) pueden obtenerse como: C 1C 2C C 1C 2C (1.16) uC u1C u2C 8) Existencia de un estado neutro: En cualquier estructura sometida a flexión siempre existe un punto sobre un eje en estado neutro en el que no existen tensiones ni deformaciones. S. Oller, L. G. Nallim 25 1.7 Validez de las hipótesis fundamentales de la resistencia de materiales 1) Las dimensiones de la sección transversal de una pieza estructural tienen que ser pequeñas comparadas con su longitud. Por ejemplo, si se designa con L a la longitud de la pieza, la restricción anterior se podría cuantificar con los siguientes valores límites: - L /10 para las dimensiones de la sección transversal en barras de hormigón armado. - L / 20 para las dimensiones de la sección transversal en barras de hormigón pretensado. - L /100 para las dimensiones de la sección transversal en arcos. Esto puede demostrarse mediante la teoría de la elasticidad. 2) Los arcos deben tener curvaturas suaves en su directriz y su radio debe ser grande respecto a su dimensión transversal. 3) La sección transversal debe ser constante o tener una variación muy suave a lo largo de la pieza. S. Oller, L. G. Nallim 27 2.1 Introducción La teoría de la elasticidad1 es una ciencia derivada de la mecánica que estudia el comportamiento de los sólidos, considerando que entre la magnitud de la fuerza F y el desplazamiento u , consecuencia de dicha fuerza, hay una proporcionalidad denominada rigidez K , que se mantiene constante a lo largo de todo el proceso mecánico de carga-descarga (ver Figura 2.1). Figura 2.1 – Respuesta fuerza-desplazamiento de una barra sometida a tracción. Se dice que un sólido deformable es elástico, cuando al cesar la acción que lo deformaba todos sus puntos regresan a la posición de origen recuperando la geometría original. La introducción a la teoría de la elasticidad, que se trata en este 1 S. P Timoshenko, and J. N Goodier. Theory of elasticity. McGraw-Hill, 1970 28 Elasticidad bidimensional capítulo, se basa en las cuatro hipótesis fundamentales planteadas en el Capítulo 1, que se repiten a continuación para mayor claridad: 1) Sobre el material: Debe ser continuo, homogéneo, isótropo y la relación entre carga y desplazamiento debe ser lineal. Sobre esto último se profundizará dentro del contenido de este capítulo. 2) Sobre las deformaciones: Deben ser pequeñas y provenir de desplazamientos pequeños. La función que las representa debe ser continua y derivable. También se tratará este concepto más en profundidad en este mismo capítulo. 3) Sobre la geometría del cuerpo sólido: Se debe admitir que ésta no cambiará con las deformaciones. Es decir, los desplazamientos deben ser pequeños y por lo tanto es ésta una consecuencia de la hipótesis 2. 4) Sobre la aplicación de las cargas exteriores: Deben aplicarse lentamente para evitar que se produzcan efectos dinámicos. Es decir que la variable tiempo no interviene en la formulación. 2.2 Campos de la elasticidad A continuación se presenta una descripción gráfica de los campos involucrados en la teoría de la elasticidad y su interrelación. Esta estructura conceptual, introducida por Enzo Tonti2 (ver Figura 2.2), tiene por objeto presentar las variables agrupadas en tensoriales (Tensión y Deformación ) y variables vectoriales (Fuerza F y Desplazamiento u ). Este esquema, denominado Diagrama de Tonti, muestra tanto la interrelación entre las variables mencionadas, como entre los campos en los que se establecen las formulaciones de la teoría de la elasticidad (Campo Primal, en el que la variable libre es el desplazamiento y el Campo Dual, en el que la variable libre es la fuerza). El diagrama de Tonti (Figura 2.2) permite iniciar el proceso deductivo partiendo del desplazamiento como variable libre del problema y, a partir de éste, obtener la E. Tonti (1975). On the formal structure of physical theories. Quaderno dei gruppi di ricerca matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche. Istituto di Matematica del Politecnico di Milano. 2 S. Oller, L. G. Nallim 29 deformación mediante la cinemática preestablecida (en este caso se ha escogido, como ejemplo, el caso más simple de una barra sometida a tracción uniforme). Una vez obtenida la deformación, se pasa a la tensión mediante la definición de una ley constitutiva (en este caso se ha utilizado la forma más simple establecida por Hooke para el caso uniaxial). Conocida la tensión se pasa, a continuación, a obtener la fuerza correspondiente (nuevamente en este caso se plantea la condición de equilibrio más simple para una barra sometida a tracción uniforme). Por último, se cierra el ciclo estableciendo la condición de equilibrio estructural que relaciona las fuerzas con los desplazamientos. Todo esto que se ha descrito ha resultado de recorrer el diagrama de Tonti en sentido anti horario y se conoce como formulación en el Campo Primal, que se basa en establecer como variable libre del problema el desplazamiento. Figura 2.2 – Campos de la mecánica del sólido – Diagrama de Tonti (ej. para esfuerzo axial). 30 Elasticidad bidimensional Se podría hacer una descripción análoga recorriendo el diagrama de Tonti en sentido horario, es decir partiendo de una variable de fuerza llamada conjugada de los desplazamientos, obteniéndose el mismo resultado, siendo ésta la formulación conocida como Dual. 2.3 Concepto de tensión 2.3.1 Tensor de tensión Para definir los esfuerzos interiores y su distribución en una sección transversal, es necesario introducir el concepto de tensión. Se considera la sección transversal A de una barra cargada y en equilibrio. En el entorno de un punto k se escoge un área diferencial dA sobre la cual actúa una fuerza interior dP (Figura 2.3). De aquí resulta la magnitud vectorial t que representa la tensión completa en el punto k de la sección transversal A t dP dA (2.1) Este vector de tensión completa puede descomponerse en una componente normal al plano de la sección denominada tensión normal n y dos componentes tangenciales a dicho plano denominadas tensiones tangenciales 1 y 2 . Figura 2.3 – Representación de la tensión completa en un punto de una sección transversal de una barra. 31 S. Oller, L. G. Nallim Si por el punto k se hacen pasar distintos planos, se tendrán distintas secciones de la barra y para cada una de ellas se tendrá un vector de tensión completa distinto en el mencionado punto. De esta forma t no sería una medida objetiva de la tensión, pues dependerá de la posición del plano que determine la sección transversal. Para evitar esta falta de objetividad se suele establecer una medida convencional de la tensión a través de la definición de los vectores de tensión completa en tres planos ortogonales que pasan por el punto k . De esta forma resulta el concepto de tensor de tensiones en un punto k , como la representación ordenada de los tres vectores de tensión completa para tres planos ortogonales que pasan por el punto. Esto es: t1 11 12 13 t 2 21 22 23 t 3 31 32 33 (2.2) Las componentes del tensor de tensiones se identifican mediante dos subíndices que indican el plano en el que actúan y la dirección que tienen, es decir i indica la cara en la que actúa la tensión cuya normal es xi ij j indica la dirección de la tensión paralela al x j El tensor de tensiones es un tensor de segundo orden que resulta de la composición de tres tensores de primer orden correspondientes a tres planos ortogonales entre sí (ver Figura 2.4). Debido a que cada punto del sólido está en equilibrio, éste también lo está y por lo tanto cumple también con el equilibrio rotacional, de donde surge que las tensiones tangenciales que se acercan o alejan de las aristas deben ser iguales. De esto resulta que este tensor de tensiones debe ser necesariamente simétrico, 12 21 ; 13 31 ; 23 32 (2.3) 32 Elasticidad bidimensional La condición de tensión expresada por la ecuación (2.3) se cumple en todos los puntos en equilibrio y recibe el nombre de reciprocidad de tensiones tangenciales o reciprocidad de Cauchy, que se demostrará más adelante. Figura 2.4 – Representación del estado tensional de un punto según tres planos ortogonales. Es habitual representar el tensor de tensiones como una matriz columna que sólo contiene los términos de la parte simétrica del tensor. Esta representación de un tensor simétrico se denomina notación de Voigt y, para este caso, se escribe se la siguiente manera 11 12 22 sim 11 22 13 23 33 23 33 13 12 (2.4) S. Oller, L. G. Nallim 33 2.3.2 Ecuación de equilibrio de Cauchy El equilibrio de un punto k perteneciente a un sólido, conduce a la denominada ecuación de Cauchy. Esta ecuación garantiza el equilibrio interno de este punto k considerando sus fuerzas másicas. Para simplificar el procedimiento y clarificar el concepto se presenta a continuación la formulación para un problema plano (2-D). La generalización de esta formulación al espacio es una simple expansión conceptual que no será tratada en este texto. Entonces, planteando las ecuaciones de equilibrio en las direcciones x1 y x2 (ver Figura 2.5) se tiene, 21 dx2 (dx1dx3 ) Fx1 0 11 ( dx2 dx3 ) 21 (dx1dx3 ) 21 x2 P1 11 11 dx1 (dx2 dx3 ) p1 dx1dx2 dx3 x1 dV (2.5) F 0 (dx dx ) (dx dx ) 12 dx (dx dx ) 22 1 3 12 2 3 12 x2 1 2 3 x1 P2 22 22 dx2 (dx1dx3 ) p2 dx1dx2 dx3 x2 dV donde el peso específico pi resulta del producto de la densidad dens por la aceleración ai , o sea pi dens ai i 1, 2 ; y el peso Pi del diferencial de volumen dV se obtiene del producto Pi pi dV i 1, 2 , con dV dx1dx2 dx3 . 34 Elasticidad bidimensional Figura 2.5 – Equilibrio de un punto proyectado sobre el plano x1 , x2 . Operando algebraicamente se llega a, 21 11 Fx1 0 x dx2 dx1dx3 x dx1dx2 dx3 p1 dx1dx2 dx3 0 2 1 F 0 12 dx dx dx 22 dx dx dx p dx dx dx 0 x2 1 2 3 2 1 3 2 1 2 3 x1 x2 (2.6) Quedando así la ecuación de equilibrio interno de Cauchy, definida en un punto k , expresada de la siguiente manera, 11 21 x x p1 0 1 2 12 22 p 0 2 x1 x2 div( p = 0 (2.7) 35 S. Oller, L. G. Nallim 2.3.3 Ecuación de equilibrio rotacional de Cauchy o reciprocidad de las tensiones tangenciales Las tensiones tangenciales deben garantizar la simetría del tensor de tensiones (ecuación (2.3)) y para ello se debe cumplir la condición de reciprocidad de las tensiones tangenciales ( ij ji ). Es decir que las tenciones que se acercan a una arista formada por dos caras concurrentes del cubo elemental en el punto k (ver Figura 2.5), o las que se alejan de ella, deben ser igual en módulo. A continuación se establece la ecuación de equilibrio rotacional del punto k , que se muestra en la Figura 2.5, tomando momento respecto del punto O , y que garantiza la reciprocidad de estas tensiones tangenciales. dx22 dx3 dx22 dx3 dx1dx22 dx3 11 0 M dx p O 11 1 11 1 x1 2 2 2 21 21 dx2 dx1dx2 dx3 x2 dx 2 dx dx 2 dx dx 2 dx dx 22 1 3 22 22 dx2 1 3 p2 1 2 3 x2 2 2 2 12 12 dx1 dx1dx2 dx3 x1 (2.8) Operando algebraicamente y luego eliminando los términos que multiplican a infinitésimos de orden superior (en este caso infinitésimos de 4to orden), resulta, M O 0 21 dx1dx2 dx3 12 dx1dx2 dx3 21 12 (2.9) La expresión obtenida en la ecuación (2.9) se puede generalizar a tres dimensiones (3D), es decir ij ji para i, j 1, 2,3 con i j (2.10) La ecuación (2.9) (y por ende la más general (2.10)) constituye la expresión algebraica del principio de reciprocidad de tensiones tangenciales de Cauchy. Este principio 36 Elasticidad bidimensional establece que las componentes de las tensiones tangenciales que actúan sobre planos perpendiculares entre sí y son normales a la arista común, tienen el mismo módulo y convergen o divergen de la arista. 2.3.4 Estado de tensión según un plano cualquiera – Estado de equilibrio de un punto en función de la componente normal y tangencial (equilibrio en el contorno) Sea nuevamente el estado de tensiones en un punto k de un sólido en equilibrio, pero en este caso se secciona el volumen elemental con un plano oblicuo identificado por su vector normal , resultando de aquí un tetraedro elemental tal como se muestra en la Figura 2.6. El tetraedro se ubica de tal manera que tres de sus caras coinciden con los planos delimitados por el sistema coordenado original x1 , x2 , x3 , y la cuarta cara (oblicua) tiene una orientación arbitraria, determinada por los cosenos directores 1 , 2 , 3 de la normal , esto es, ìï cos ï ïìï 1 ïüï ïï ï = ïí 2 ïý = ïícos ïï ïï ïï ïîï 3 ïþï ïï ïïcos î , x )üïï ( ïï ï (, x )ïýï ïï x , ( )ïïþï 1 2 3 (2.11) S. Oller, L. G. Nallim 37 Figura 2.6 – Representación del estado tensional de un punto A según distintos planos: a) tensiones en los planos cartesianos; b) tensiones en el plano oblicuo. Las áreas de las caras del tetraedro, indicadas por el índice del versor saliente, resultan 38 Elasticidad bidimensional A Sup(CDB ) A1 Sup( ADB ) A 1 A2 Sup(CAD ) A 2 A3 Sup(CAB) A 3 (2.12) Así, del equilibrio de fuerzas según los tres ejes coordenados se obtiene, Fx1 0 t1 A 11 A1 21 A2 31 A3 Fx 2 0 t2 A 12 A1 22 A2 32 A3 t3 A 13 A1 23 A2 33 A3 Fx 3 0 (2.13) Sustituyendo las ecuaciones (2.12) en las (2.13) resulta el estado tensional en un plano cualquiera, a partir del tensor de tensiones del punto k , t1 11 1 21 2 31 3 t2 12 1 22 2 32 3 t 13 1 23 2 33 3 3 (2.14) Que también puede escribirse matricialmente como, t1 11 12 t2 21 22 t 3 31 32 T 13 1 23 2 t T ; 33 3 pero T (2.15) t 2.3.4.1 Estado de equilibrio del punto en función de la tensión normal y tangencial – Caso particular problema plano Para simplificar los cálculos y obtener el estado tensional de un punto k en un plano cualquiera paralelo al eje x3 , se presenta en este apartado un caso particular del problema anterior expresado en el plano x1 x2 , tal como se muestra en la Figura 2.7. En este caso particular, muy común en muchas aplicaciones prácticas, 39 S. Oller, L. G. Nallim las tensiones 3i i 3 ( i 1, 2,3 ) son nulas y, en consecuencia, el vector tensión t está contenido en el plano x1 x2 . El plano oblicuo, paralelo al eje x3 , está definido por el vector normal cuyas componentes están dadas por 1 cos 2 cos , x cos cos , x cos 90º sen 1 (2.16) 2 donde es el ángulo que forma el eje cartesiano x1 con el vector que define la posición del plano oblicuo. De manera análoga a la ec. (2.12) y teniendo en cuenta la ec. (2.16), la proyección de áreas en el estado plano de la Figura 2.7 resulta, A1 A 1 A cos A2 A 2 A sen (2.17) Figura 2.7 – Representación plana del estado tensional de un punto según un plano oblicuo en la base ( x1 , x2 ). 40 Elasticidad bidimensional Así, como caso particular de la ecuación (2.13), el equilibrio de fuerzas resulta, t1 A 11 A1 21 A2 t2 A 12 A1 22 A2 (2.18) Sustituyendo las ecuaciones de proyección de áreas (ec. (2.17)), resulta el estado tensional en un plano cualquiera, definido por su normal , a partir del estado tensional del punto k , t1 11 1 21 2 11 cos 21 sen t2 12 1 22 2 12 cos 22 sen (2.19) Las ecuaciones (2.19), igual que la (2.15), también puede escribirse como, T T 12 1 11 12 cos t t 1 11 sen t 21 22 21 22 2 2 t T , ya que: (2.20) T Esto permite obtener las componentes de tensión t1 , t2 en un plano cualquiera en la base x1 , x2 , a partir del tensor de tensiones en el punto analizado. Otra forma de expresar el vector de tensión completa t es en un sistema de ejes locales dextrógiros, tangencial y normal al plano , definido por su normal . Esto permitirá luego definir el concepto de tensión principal. Para ello se expresa la tensión normal y la tensión tangencial al plano mencionado en función del ángulo (ver Figura 2.8), t1 t t2 Componentes en x1 , x2 Componentes en , s (2.21) 41 S. Oller, L. G. Nallim t1 cos t2 sen t1sen t2 cos (2.22) Si se sustituyen las ecuaciones (2.19) en las ecuaciones (2.22), se tiene 2 2 11 cos 21 sen cos 12 sen cos 22 sen 2 2 11 cos sen 21 sen 12 cos 22 sen cos (2.23) Considerando la reciprocidad de las tensiones tangenciales de Cauchy, la ecuación (2.23) resulta 11 cos 2 22 sen 2 212 sen cos sen cos 2 sen 2 11 22 cos 12 sen 2 cos 2 2 (2.24) Figura 2.8 – Representación plana del estado tensional de un punto, y de las tensiones normal y tangencial según un plano oblicuo en la base ( x1 , x2 ). En las deducciones que siguen se hará uso de las siguientes identidades trigonométricas 42 Elasticidad bidimensional 2 sen cos sen 2 2 2 cos sen cos 2 (2.25) de donde resulta, sen 2 1 cos 2 2 y cos 2 1 cos 2 2 (2.26) Teniendo en cuenta las identidades y relaciones trigonométricas dadas por las ecuaciones (2.25) y (2.26) y reemplazándolas en las ecuaciones (2.24), se obtienen las expresiones que permiten determinar la tensión normal y la tensión tangencial en un plano cualquiera definido por el ángulo , 11 22 1 cos 2 1 cos 2 12 sen 2 2 2 11 22 sen 2 cos 2 12 2 Reordenando, 11 22 11 22 cos 2 12 sen 2 2 2 11 22 sen 2 cos 2 12 2 (2.27) Las ecuaciones (2.27) se denominan ecuaciones de transformación para esfuerzo plano y muestran que existe una variación continua de las tensiones y con el ángulo α que define la posición del plano oblicuo. Lo anterior puede verse gráficamente en la Figura 2.9. 43 S. Oller, L. G. Nallim Figura 2.9 – Representación de la variación de las tensiones normal y tangencial en función de la inclinación del plano oblicuo en la base ( x1 , x2 ). Plano Principal Si se analizan las ecuaciones (2.27) y su representación gráfica (Figura 2.9) se puede observar que existen inclinaciones del plano oblicuo en los que la tensión tangencial es nula y, simultáneamente, la tensión normal adopta un valor extremo (máximo o mínimo). Es decir, se puede obtener el ángulo p que verifica p 0 y p max o min . Al plano cuya inclinación es p se lo denomina plano principal. Esto es, a partir de la segunda de las ecuaciones (2.27) resulta, 22 p 0 11 sen 2 p 12 cos 2 p 2 sen 2 p cos 2 p tg 2 p 1 p arctg 2 212 11 22 212 11 22 (2.28) A partir de la ecuación (2.28) se pueden encontrar las direcciones que definen los planos que garantizan que sobre ellos se anula la tensión tangencial. Como se 44 Elasticidad bidimensional expresó más arriba, a estos planos se los denomina planos principales y se lo designará con el ángulo p . A las tensiones normales que se producen en estos planos se las denomina tensiones principales. Otra forma de obtener los planos principales ( p ) es encontrando los valores que hacen extrema la función que define la tensión normal en la primera de las ecuaciones (2.24). Esto es, d 0 211 cos p sen p 222 cos p sen p 212 cos2 p sen 2 p d 0 22 11 2 cos p sen p 212 cos 2 p sen 2 p sen 2 p tg 2 p 212 11 22 cos 2 p p 1 arctg 2 212 11 22 (2.29) Nótese que la ecuación (2.29) coincide con la ecuación (2.28). El ángulo p , que resulta de esta expresión, se define convencionalmente como aquel ángulo que va desde el eje con mayor tensión en la base ( x1 , x2 ) , hasta el eje xI , que representa la tensión principal mayor en la base principal ( xI , xII ) . Se denominan signos convencionales a los siguientes (ver Figura 2.10): - Para las tensiones normales: positivas (+) para el caso de tracción (estiramientos), negativas (-) para el caso de compresión (acortamientos). - Para las tensiones tangenciales o cortantes: positivas (+) cuando actúan sobre la cara positiva en sentido de los ejes positivos, negativas (-) cuando actúan sobre la cara positiva en sentido de los ejes negativos. 45 S. Oller, L. G. Nallim Figura 2.10 – Representación de la convención de signos para las tensiones normales y tangenciales. Las ecuaciones (2.27) proporcionan las tensiones normales y cortantes que actúan sobre un plano cuya normal forma un ángulo con el eje x1 . Así, a partir de las ecuaciones (2.27) resulta claramente: 11 Para 0, 12 Para 22 , 2 12 (2.30) (2.31) La forma de escribir las ecuaciones (2.27) resulta especialmente útil para explicar el círculo de Mohr (ver Sección 2.3.4.2). Se determinarán ahora las magnitudes de las tensiones principales empleando las ecuaciones (2.27) y (2.29). Las tensiones principales se obtienen, según se dijo, para el ángulo p para el cual resultan nulas las tensiones tangenciales ( p 0 ). Para esto, a partir de la segunda ecuación (2.27), se obtiene 46 Elasticidad bidimensional sen 2 p cos 2 p 212 11 22 sen 2 p 212 cos 2 p 11 22 (2.32) Si ahora se sustituye la ec. (2.32) en la primera de las ecuaciones (2.27), resulta: p p 11 22 11 22 cos 2 2 2 p 2 212 cos 2 p 11 22 2 2 11 22 11 22 2 cos 2 p 12 2 2 11 22 (2.33) (2.34) La ecuación (2.34) permite obtener la magnitud de la tensión principal asociada al plano p . 2.3.4.2 Círculo de Mohr Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano (ecuaciones. (2.24) y (2.27)), pueden representarse mediante una gráfica conocida como círculo de Mohr. Esta gráfica es muy útil para apreciar las relaciones entre los esfuerzos normales y cortantes que actúan en un punto según distintos planos que pasen por él. Las ecuaciones de transformación (2.27) pueden reescribirse de la siguiente manera 11 22 11 22 cos 2 12 sen 2 2 2 22 11 sen 2 12 cos 2 2 (2.35) Las ecuaciones (2.35) constituyen las ecuaciones paramétricas de un círculo, cuyo parámetro es 2 . Si se elevan al cuadrado ambos miembros de estas dos ecuaciones y luego se suma miembro a miembro, se puede eliminar el parámetro 2 . Es decir, 47 S. Oller, L. G. Nallim 2 2 11 22 11 22 11 22 2 2 2 cos 2 12sen 2 2 12 cos 2 sen 2 2 2 2 2 11 22 11 22 2 2 2 2 sen 2 12 cos 2 2 12 cos 2 sen 2 2 2 (2.36) 2 2 11 22 11 22 2 2 12 2 2 med 2 R (2.37) En la ecuación (2.37) se identifican, en el primer miembro las coordenadas del centro del círculo med , 0 y, en el segundo miembro el radio R ; dados respectivamente por med 11 22 2 2 (tensión media); 22 2 R 11 12 2 (2.38) Figura 2.11 – Círculo de Mohr para esfuerzo plano. Teniendo en cuenta las ecuaciones (2.38), la ecuación (2.37) puede escribirse de la siguiente manera 48 Elasticidad bidimensional med 2 2 R 2 (2.39) La ecuación (2.39) constituye la ecuación de un círculo, llamado círculo de Mohr, en las coordenadas cartesianas ( , ), de radio R y centro en ( med , 0 ). La representación gráfica de este círculo a partir de la ecuación (2.39) se observa en la Figura 2.11. El círculo de Mohr representado en la Figura 2.11 puede trazarse de formas diferentes. Una de ellas es la que se explica a continuación: positivo hacia la derecha y positivo hacia abajo, lo que permite trazar el ángulo 2 positivo en sentido anti-horario, resultando el gráfico coincidente con las ecuaciones obtenidas. Sea, por ejemplo, el estado plano de tensiones en un punto representado por las tensiones normales y tangenciales que se muestran en la Figura 2.12a, en el que se ha supuesto a modo ilustrativo que 11 > 22 . Figura 2.12 – a) Punto en estado plano de tensión; b) Círculo de Mohr correspondiente. 49 S. Oller, L. G. Nallim 2.3.5 Tensiones principales, método analítico En la Sección 2.3.4.1 se obtuvo el estado de tensiones de un punto k en equilibrio, y se determinaron las tensiones sobre un plano oblicuo de orientación arbitraria, definido por los cosenos directores de la normal . Si ahora dicho plano oblicuo fuera un plano principal ocurrirá que el vector de tensión completa t coincidiría con el vector (ver Figura 2.13) y las tensiones tangenciales serán nulas sobre éste, es decir t1 1 1 cos(, x1 ) , x2 ) t2 2 con: t ; 2 cos( t 3 3 , x3 ) 3 cos( (2.40) La ecuación (2.40) también se puede escribir como t1 1 0 0 1 t2 0 1 0 2 0 0 1 3 t3 (2.41) Sustituyendo (2.41) en (2.15) y operando, se tiene 11 21 31 12 22 32 13 1 1 0 0 1 0 23 2 0 1 0 2 0 0 0 1 3 0 33 3 I 0 donde I es la matriz identidad y 0 el vector nulo. (2.42) (2.43) 50 Elasticidad bidimensional Figura 2.13 – Tensión sobre un plano principal. El sistema de ecuaciones (2.43) es un sistema de tres ecuaciones lineales homogéneas con tres incógnitas. Las incógnitas son los cosenos directores que definen la posición de los planos donde la tensión tangencial es nula. Para que el sistema de ecuaciones (2.43) tenga solución diferente de la trivial es necesario que det I I 0 (2.44) Desarrollando la ecuación (2.44) resulta, 11 12 21 22 31 32 13 12 13 1 0 0 11 23 0 1 0 21 22 23 0 0 0 1 33 31 32 33 11 22 33 122313 2 13 22 232 11 122 33 0 Finalmente la ecuación (2.46) puede escribirse como (2.45) (2.46) 51 S. Oller, L. G. Nallim 3 I1 2 I 2 I3 0 (2.47) donde I1 , I2 e I3 se denominan invariantes de tensión ya que sus magnitudes son independientes de la base ortogonal ( x1 , x2 , x3 ) , y están dado por I2 22 32 I1 11 22 33 (2.48) 23 11 13 11 12 33 31 33 21 22 (2.49) 11 I3 21 12 22 13 23 31 32 33 (2.50) La ecuación (2.47) es una ecuación cúbica, denominada ecuación característica de la matriz del “tensor de tensiones” (ecuación (2.4)), cuyas tres raíces representan las tensiones principales I II III , mayor, intermedia y menor respectivamente. Para determinar el plano en que se produce cada tensión principal es necesario reemplazar cada raíz de la ecuación cúbica en el sistema de ecuaciones (2.42). Tener en cuenta que una de las ecuaciones es linealmente dependiente de las otras, por lo que es necesario resolver este sistema de ecuaciones con una condición auxiliar. Puesto que es una base ortonormal, esta condición es aquella que garantiza que la suma de los cuadrados de los cosenos directores es la unidad. Así, para cada una de las tensiones principales i (i I , II , III ) , reemplazando en la ecuación (2.40) se obtiene 11 i 21 31 12 22 i 32 i 1 0 2 2 2 23 i2 0 , y i1 i2 i3 1 33 i i3 0 13 (2.51) Se debe notar que el problema planteado a través de la ecuación (2.43) constituye un problema de autovalores (o valores propios) y autovectores (o vectores propios), donde 52 Elasticidad bidimensional los autovalores constituyen las tensiones principales y los autovectores los cosenos directores que establecen la orientación de los planos principales. 2.3.5.1 Particularización al caso de estado plano de tensión Si ocurre que el estado de tensión es un estado plano (ver Figura 2.14), el tensor de tensión dado por la ecuación (2.2) se reduce a 12 11 21 22 (2.52) Las ecuaciones (2.40) y (2.41) se reducen a 11 12 1 1 0 1 0 0 1 2 0 21 22 2 (2.53) I 0 (2.54) Nuevamente, para que el sistema de ecuaciones (2.53) tenga solución diferente de la trivial es necesario que el determinante de la matriz de coeficientes sea nulo, es decir det I I 0 (2.55) Desarrollando la ecuación (2.55) resulta 11 12 21 22 0 11 22 122 0 (2.56) (2.57) 53 S. Oller, L. G. Nallim Figura 2.14 – Representación plana del estado tensional de un punto y de la tensión principal en la base ( x1 , x2 ). Finalmente, la ecuación (2.57) puede escribirse en términos de los invariantes de tensión: 2 I1 I2 0 (2.58) 2 donde I1 11 22 , I2 1122 12 , I3 0 . La solución de la ecuación característica (2.58) para el estado de tensión plano está dada por: I , II I1 I12 4I 2 2 (2.59) 2 I , II 22 22 2 11 11 12 2 2 med (2.60) R Siendo med la tensión media, y R el radio del Círculo de Mohr (ver ecuación (2.39)). 54 Elasticidad bidimensional Las dos direcciones principales se obtienen reemplazando las soluciones de la ecuación (2.59) en el sistema de ecuaciones (2.53), así para I se obtiene 11 I 21 I 12 1I 0 I 1I cos( , x1 ) cos I ; I I I 22 I I2 0 2 cos( , x2 ) sen 11 I 1I 12 I2 0 I I I 211 22 2 0 ; con I 2 1 I 2 2 1 (2.61) (2.62) De donde resulta 11 I 11 I 2 2 I 2 2 y I2 I2 1 12 12 2 I 1 2 I2 2 (2.63) 1 11 I 1 12 2 (2.64) Análogo procedimiento se sigue para encontrar los cosenos directores del plano donde se produce II , resultando un plano ortogonal a aquel donde actúa I . 2.3.6 Estado de tensión esférico y desviador Siendo el tensor de tensiones un tensor simétrico, este puede descomponerse en otros dos tensores simétricos, uno que representa un estado de tensión hidrostático denominado tensor esférico de tensiones p , y otro que representa un estado de corte puro denominado tensor desviador de tensiones D , esto es 55 S. Oller, L. G. Nallim p D (2.65) El tensor esférico se obtiene a partir de la presión p I1 11 22 33 , esto 3 3 es: 1 0 0 1 0 0 11 22 33 I 1 p 0 1 0 3 0 1 0 3 0 0 1 0 0 1 (2.66) Caso Plano El tensor desviador se obtiene por diferencia entre el tensor de tensiones y el tensor esférico, 0 12 D = - p 21 0 31 32 13 23 0 (2.67) Caso Plano Ejemplo 2-1: Para el estado tensional indicado en la figura, obtener: a) El tensor de tensiones. b) Los planos principales y las correspondientes tensiones principales. i. De forma analítica ii. Mediante el círculo de Mohr iii. Verificar si descomponiendo el estado tensional en un plano principal se verifica la condición de plano principal. c) Calcular la tensión en un plano cuya normal forma un ángulo de 35º con el eje x1 ( 35º ) 56 Elasticidad bidimensional a) Tensor de tensiones El tensor de tensiones viene dado por la siguiente expresión: 12 120 75 11 75 300 21 22 Este tensor, no es el tensor de tensiones principales, ya que no se trata de un tensor diagonal, porque las tensiones tangenciales son no nulas en la base x1 , x2 . b) Planos principales y sus correspondientes estados tensionales i. Forma analítica Para obtener los planos principales y sus correspondientes estados tensionales se resuelve el problema de autovalores dado por la ecuación (2.44), es decir: det I 0 Las tensiones principales son los autovalores del tensor de tensiones, que se obtienen resolviendo la ecuación o polinomio característico dado por la ecuación (2.47). Los autovalores obtenidos serán las tensiones principales: 11 12 21 22 120 75 75 300 0 2 I1 I2 2 180 41625 0 I 312.99 MPa; II 132.99 MPa En el caso de tensiones planas, también es posible calcular los autovalores, es decir las tensiones principales, aplicando directamente la ecuación (2.60). O sea, 57 S. Oller, L. G. Nallim I , II 120 300 2 2 120 300 2 75 2 I 312.99 MPa II 132.99 MPa Primer autovector: Para calcular las direcciones principales, se resuelve el problema de autovectores dado por la ecuación(2.51). Para el primer autovalor, se tiene I I I 0 Es decir, 75 75 1I 0 120 312.99 1I 0 432.99 75 300 312.99 I2 0 75 12.99 I2 0 Lo que conduce al siguiente sistema de ecuaciones linealmente dependiente 432.991I 75 I2 0 12.99 I I I I 2 751 12.99 2 0 1 75 Sustituyendo en la condición auxiliar 1I I2 1 se obtienen los cosenos directo2 2 res (autovectores de la matriz de tensiones) de la normal al plano donde actúa la tensión principal I , I , x1 ) 0.17067 cos 80.173º I cos( I 1I I 2 cos( , x2 ) 0.98533 cos 9.827º Segundo autovector: Procediendo de manera análoga se obtienen los cosenos directores que definen el plano donde actúa la tensión principal II , II , x1 ) 0.98533 cos 170.17º II cos( II 1II II 0.17067 cos 80.173º 2 cos( , x2 ) 58 Elasticidad bidimensional ii. Mediante el círculo de Mohr Para trazar el círculo de Mohr se obtienen en primer lugar el radio y la abscisa del centro (ec. (2.38)), 2 22 2 R 11 12 2 med 120 300 4 2 752 222.99 MPa 11 22 120 300 90 MPa 2 2 Con R 222.99 MPa y las coordenadas del centro C 90, 0 se traza el círculo de Mohr. Los puntos de corte del círculo con el eje (es decir para 0 ) corresponden a los puntos cuyas abscisas son las tensiones principales I y II . I med R 90 222.99 312.99 MPa II med R 90 222.99 132.99 MPa S. Oller, L. G. Nallim 59 Para obtener el ángulo de las direcciones principales se aplica la ecuación (2.29) y se obtiene el ángulo entre la tensión ortogonal mayor y la tensión principal mayor, tg 2 p 212 2 75 0.357143 rad p 9.827º 11 22 120 300 iii. Verificación de la condición de plano principal La condición de plano principal implica que sobre el plano principal definido por el ángulo p , obtenido en el inciso ii, la tensión normal es extrema (máxima o mínima) y la tensión tangencial es nula. Para ello, se emplean las expresiones (2.27), que proporcionan las mencionadas tensiones en ese plano, reemplazando se tiene: 22 11 22 11 cos 2 12 sen 2 2 2 120 300 120 300 9.827º cos 2 9.827º 75 sen 2 9.827º 2 2 II 132.99 MPa La otra tensión principal se produce en p 90º , es decir 80.173º 60 Elasticidad bidimensional 120 300 120 300 p 90 cos 2 80.173º 75 sen 2 80.173º 2 2 I 312.99 MPa Ahora se obtiene la tensión tangencial en los planos definidos por p y p 90º , empleando la segunda de las ecuaciones (2.27), para verificar que ésta es nula y que se trata efectivamente de planos principales. 11 22 sen 2 12 cos 2 2 120 300 9.827º sen 2 9.827º 75 cos 2 9.827º 2 9.827º 0 120 300 80.173º sen 2 80.173º 75 cos 2 80.173º 2 80.173º 0 Se verifica así que las tensiones tangenciales son nulas sobre los planos principales. c) Tensión en un plano a 35º Para calcular la tensión normal y la tensión tangencial, en un plano cuya normal forma un ángulo de 35º con el eje x1 , se emplean las ecuaciones (2.27), 61 S. Oller, L. G. Nallim 120 300 120 300 35º cos 2 35º 75 sen 2 35º 2 2 35º 88.653MPa 120 300 35º sen 2 35º 75 cos 2 35º 2 35º 222.987MPa Ejemplo 2-2: Dado el estado tensional plano de la figura, hallar los valores de 11 y 12 : a) A partir de las ecuaciones de equilibrio. b) Considerando el estado tensional en un plano cualquiera. 360º (90º 20º ) 250º , es el ángulo que forma el eje x1 con . a) A partir de las ecuaciones de equilibrio La sumatoria de fuerzas en las direcciones horizontal y vertical ( x1 y x2 ) lleva al siguiente sistema de ecuaciones: Fx1 11 dA sen 20º 21 dA cos 20º 10dA cos 20º 50dA sen 20º 0 Fx2 12 dA sen 20º 20 dA cos 20º 10dA sen 20º 50dA cos 20º 0 62 Elasticidad bidimensional Teniendo en cuenta que 21 12 , la solución del sistema de ecuaciones anterior permite obtener: 11 121.51 MPa 12 72.42 MPa b) Considerando el estado tensional en un plano cualquiera (ecs. (2.15) y (2.20)) t t 1 11 t2 12 11 12 11 12 12 1 22 2 , x1 ) 12 cos ( 22 cos ( x , ) 2 12 cos 250º 20 cos160º Por otra parte, es t1 10 cos 20º 50 sen 20º -26.498 t2 10 sen 20º 50 cos 20º -43.564 Reemplazando, se obtiene -26.498 11 -43.564 12 12 cos 250º 20 cos160º -26.498 11 cos 250º 12 cos160º -43.564 12 cos 250º 20 cos160º 11 121.51MPa 12 72.42 MPa Se puede comprobar que el resultado es idéntico si se utilizan las ecuaciones de transformación de esfuerzo plano, ecuaciones. (2.24), (2.27), 63 S. Oller, L. G. Nallim 11 22 11 22 cos 2 sen 2 12 2 2 11 22 sen 2 cos 2 12 2 11 20 11 20 cos 2 250º sen 2 250º 12 50 2 2 10 11 20 sen 2 250º cos 2 250º 12 2 11 121.51MPa 12 72.42 MPa Resultando los mismos valores que en los casos anteriores. Ejemplo 2-3: La barra de la figura tiene una sección transversal rectangular de dimensiones b h , se encuentra en equilibrio bajo la acción de cargas axiales P aplicadas en sus extremos. Probar que hay equilibrio en cada punto de la barra y que el estado de tensión en dicho punto depende de la orientación del plano en cuestión: a) En forma directa (emplear el círculo de Mohr, o la ec. (2.24)). b) Considerando la rotación de un plano cualquiera. a) En forma directa Se consideran dos casos, indicados en la figura como i) y ii). En el caso i) se toma la sección A correspondiente a un plano ortogonal al eje de la barra (sección transversal). En el caso ii) se considera una sección A , cuya normal forma un ángulo 45º con el mencionado eje. Se realizará un análisis separado para cada caso y luego se examinarán los resultados. 64 Elasticidad bidimensional Caso i), plano normal a la carga El estado tensional en el punto k , considerando la sección transversal A se representa a continuación El vector tensión está dado por: t 11 t 1 t2 12 0 y el equilibrio en el punto se plantea a través del equilibrio de fuerzas en la dirección x1 : 11 dx2 b 11 dx2 b 0 Si ahora se toma el equilibrio de la parte izquierda de la barra que se muestra en la siguiente figura, se obtiene P t dA 11bdx2 11bh A h Para representar el Caso i) en el círculo de Mohr, se calcula el radio y la abscisa del centro: med 11 / 2; R 11 / 2 C 11 / 2;0 ; R 11 / 2 I med R 11 II med R 0 Caso ii), estado de tensión en un plano 45º 4 2 65 S. Oller, L. G. Nallim El estado tensional en el punto k , considerando la sección A se representa a continuación Si se representa el círculo de Mohr a partir de este estado tensional se obtiene med / 2 C 11 / 2;0 ; R 11 / 2 I med R 11 II med R 0 El vector tensión tiene las siguientes componentes: t , siendo su módulo t Entonces el módulo resulta 2 2 , pero 11 2 66 Elasticidad bidimensional t 2 2 2 2 2 2 11 2 11 2 2 Si ahora se toma el equilibrio de la parte izquierda de la barra, como se muestra en la siguiente figura, se obtiene P t dA t bdx2 t bh A Se sabe que t 2 h 11 h 2h y que h , por lo que resulta 2 cos 45º 2 P t bh 211 2h b 11b h , que coincide con el Caso i) 2 2 b) Considerando la rotación de un plano cualquiera (ecuación (2.24)) La representación de un estado tensional sobre un plano prefijado se muestra en la siguiente figura (análoga a la Figura 2.8), t 0 cos sen 11 sen cos 12 12 1 22 2 cos(, x1 ) con: 1 2 cos(, x2 ) 67 S. Oller, L. G. Nallim Desarrollando el producto anterior se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones t cos sen cos 0sen 11 12 0 0 0 sen cos 21 cos 22 sen t cos sen 11 cos t 11 cos cos 0 sen cos sen Si ahora se considera que es 45º resulta 2 t 11 2 O también se puede resolver en forma más simple utilizando la ecuación (2.19), 2 t1 11 cos 21 sen 11 t 2 t2 12 cos 22 sen 0 Para obtener el estado tensional en un sistema de ejes normal y tangencial al plano , se utiliza la ecuación (2.24) 11 cos 2 22 sen 2 2 12 sen cos 11 2 t 22 11 11 sen 2 12 cos 2 2 2 Este estado de tensión en el que el vector de tensión completa permanece siempre paralelo a una misma dirección ( x1 en este caso) se denomina estado simple de tensión. Además se verifica que sólo una de las tensiones principales es diferente de cero. 68 Elasticidad bidimensional 2.4 Concepto de deformación La deformación es una magnitud adimensional que mide el desplazamiento relativo respecto a la dimensión original de la pieza, en tanto el desplazamiento es una medida absoluta del corrimiento que ha sufrido un punto. Existen diversas medidas de la deformación que resultan apropiadas para cada cinemática en particular (pequeñas o grandes deformaciones, etc.). Dados los alcances de este texto, se utiliza la deformación ingenieril que se define respecto del estado indeformado de la pieza. Dicho de otra forma, se compara el desplazamiento sufrido por la pieza con su dimensión antes de deformarse. La deformación, que es consecuencia de un estado de tensión y éste, a su vez, depende de la carga (ver diagrama de Tonti), se representa mediante un tensor, de manera análoga al concepto de tensión. Por esta razón, en este apartado se definirá su magnitud y, para no extender más el tratamiento de la misma, se dejará al lector que utilice las mismas expresiones que resultan de tratar el tensor de tensiones (deformaciones en distintos planos, deformaciones principales, círculo de Mohr de deformaciones, etc.). A continuación, se deduce la expresión de la deformación que permite escribir el correspondiente tensor. 2.4.1 Deformación y ecuación de compatibilidad La Figura 2.15 muestra la deformación que sufre un punto del sólido sometido a un estado tensional. La deformación total puede obtenerse como la composición de una cuota volumétrica (a) a la que se le añade una cuota desviadora que se representa en (b). 69 S. Oller, L. G. Nallim a) Estado de cambio de volumen b) Estado de cambio de forma superpuesto al cambio de volumen Figura 2.15 – Representación bidimensional (2-D) de la deformación de un punto de un sólido sometido a un estado de tensión. La deformación específica o alargamiento relativo a la longitud original se obtiene a partir de la Figura 2.15a. La deformación específica en la dirección x1 resulta u1 dx1 u1 u1 x1 u 11 1 x1 dx1 (2.68) De manera análoga en la dirección x2 , se tiene u2 dx2 u2 u2 x2 u 22 2 dx2 x2 (2.69) La distorsión específica o deformación angular por unidad de longitud se obtiene a partir de la Figura 2.15b. 70 Elasticidad bidimensional u2 u dx1 1 dx2 x x2 u2 u1 21 12 1 dx1 dx2 x1 x2 (2.70) Siendo 21 12 21 12 2 2 (2.71) Si ahora se deriva 11 dos veces respecto de x2 y 22 dos veces respecto de x1 , se obtiene respectivamente 2 11 2 u1 3u1 2 22 2 u2 3u2 2 ; x22 x22 x1 x22 x1 x12 x1 x2 x12x2 (2.72) La derivada segunda de 12 respecto de x1 y x2 conduce a 2 12 3u1 3u2 2 u1 u2 x1x2 x1x2 x2 x1 x1x22 x12x2 2 11 / x22 (2.73) 2 22 / x12 De donde se obtiene la ecuación de compatibilidad 2 11 2 22 2 12 x22 x12 x1x2 (2.74) Es decir que se cumple la siguiente identidad 3u1 3u 2 3u1 3u 2 x1x22 x12 x2 x22 x1 x2 x12 (2.75) En forma más general, en tres dimensiones, se tiene la siguiente expresión para el tensor de deformaciones, 71 S. Oller, L. G. Nallim 11 12 21 22 31 32 13 11 12 2 13 2 23 21 2 22 23 2 33 31 2 32 2 33 (2.76) La ecuación (2.76) constituye el tensor de deformación en tres dimensiones (3D) cuyas componentes se obtienen considerando las tres direcciones Cartesianas por analogía con las ecuaciones (2.68) y (2.70). De esta manera, el tensor de deformaciones resulta s u 1 T u u 2 u1 x1 1 u 2 2 x1 u3 x1 u1 x2 u2 x2 u3 x2 u1 u1 x3 x1 u2 1 u1 x3 2 x2 u1 u3 x3 x3 u2 x1 u2 x2 u2 x3 u3 x1 u3 x2 u3 x3 (2.77) siendo u1 u u2 u x1 3 x2 x3 (2.78) 72 Elasticidad bidimensional Ejemplo 2-4: Obtener la deformación longitudinal de la barra de la figura sometida a un desplazamiento u max en su extremo. x2 x3 A B x3 Se define la función desplazamiento u x3 teniendo en cuenta que ésta es lineal y vale cero en el extremo fijo A u 0 0 , y es máxima en el apoyo móvil B u u max , u max u ( x3 ) x3 u ( x3 ) u max x3 Luego, a partir de la ecuación (2.68) se obtiene la deformación longitudinal ( x3 ) provocada por el desplazamiento u max impuesto en el extremo B, u ( x3 ) u max ( x3 ) cte x3 73 S. Oller, L. G. Nallim 2.4.2 Estado de deformación esférico y desviador Siendo el tensor un tensor simétrico, este puede descomponerse en otros dos tensores simétricos, de igual manera que el tensor de tensiones, uno de ellos que representa un estado de deformación volumétrico, denominado tensor esférico de deformaciones V , y otro que representa un estado de distorsión pura, denominado tensor desviador de deformaciones D , esto es: V D (2.79) El tensor esférico de deformaciones V está relacionado con el tensor esférico de tensiones V p, y representa el cambio de volumen elemental V 3I1 11 22 33 , esto es: V 1 0 0 1 0 0 V 11 22 33 0 1 0 3I1 0 1 0 V 0 0 1 0 0 1 (2.80) donde I1 es el primer invariante del tensor de deformaciones. El tensor desviador de deformaciones D resulta de la diferencia entre el tensor de deformaciones y el tensor esférico V , 0 12 D = - V 21 0 31 32 13 23 0 (2.81) 2.4.3 Medición de la deformación en laboratorio Se denomina roseta de deformación a un dispositivo compuesto por tres galgas extensométricas (sensores) orientadas en tres direcciones distintas (ver Figura 2.16), cuyo objetivo es obtener las componentes del tensor de deformaciones. Debido a 74 Elasticidad bidimensional que se trata de una deformación en el plano del cuerpo, es necesario emplear la transformación de la deformación correspondiente a un tensor plano (análogo de deformaciones a los que se presenta en las ecuaciones (2.24) y (2.27) para tensiones). Un caso particular es medir la deformación extensional en tres direcciones distintas, y a partir de allí, inferir el tensor de deformaciones correspondiente. Figura 2.16 – Roseta de deformación adherida sobre un plano de la pieza a analizar. Debido a que los sensores A y C están orientados según los ejes x1 y x2 , respectivamente, pueden proporcionar de manera directa las deformaciones A 11 y C 22 . Para obtener la deformación angular correspondiente 12 es necesario utilizar las ecuaciones de transformación de la deformación en una dirección cualquiera, así se tiene 12 11 22 11 22 sen 2 cos 2 2 2 2 sen 2 cos 2 11 22 12 (2.82) Si se reemplazan las deformaciones específicas obtenidas en el laboratorio en la primera de las ecuaciones (2.82), se tiene 75 S. Oller, L. G. Nallim B A C A C cos 2 12 sen 2 2 2 2 (2.83) De la ecuación (2.83) se puede obtener la distorsión como sigue 12 2 A C B sen 2 2 A C 2 cos 2 (2.84) La ecuación (2.84) proporciona la deformación angular específica 12 y, de esta forma, se compone el tensor de deformación a partir de las medidas de las galgas extensométricas obtenidas en laboratorio, 12 / 2 ε 11 12 11 / 2 22 21 22 12 1 B A C A C A sen 2 2 2 sim C cos 2 (2.85) Ejemplo 2-5: Sabiendo que el campo de desplazamientos es lineal y que los puntos A , B y C tienen coordenadas x1A , x2A , x1B , x2B y x1C , x2C respectivamente, y sabiendo que cada uno de estos puntos se desplaza u1A , u2A , u1B , u2B y u1C , u2C , obtener: a) El campo de deformaciones. b) Particularizar el campo de deformaciones al caso donde sea u1A u2A u1B 0 ; u1C 2u2C 45º . u2B 1cm , teniendo en cuenta que el lado AB 2 mide 2m , 30º y 76 Elasticidad bidimensional a) Campo de deformaciones El campo de desplazamientos queda descripto a través de funciones lineales, que resulta de una cinemática que compone –en su forma más general- una traslación más una rotación respecto de un sistema de referencia: u1 x1 , x2 a1 x1 b1 x2 c1 u2 x1 , x2 a2 x1 b2 x2 c2 Conocidos los desplazamiento de los puntos A, B, C y reemplazando en la ecuación anterior, se obtiene u1A x1A , x2A a1 x1A b1 x2A c1 B B B B B u1 x1 , x2 a1 x1 b1 x2 c1 C C C C C u1 x1 , x2 a1 x1 b1 x2 c1 u2A x1A , x2A a2 x1A b2 x2A c2 B B B B B u2 x1 , x2 a2 x1 b2 x2 c2 C C C C C u2 x1 , x2 a2 x1 b2 x2 c2 Se obtiene un sistema de seis (6) ecuaciones con seis (6) incógnitas cuya solución permite encontrar los valores de los coeficientes de las ecuaciones lineales, S. Oller, L. G. Nallim 77 u1A x2B x2C u1B x2C x2A u1C x2A x2B a1 ; u2A x2B x2C u2B x2C x2A u2C x2A x2B a2 ; u1A x1B x1C u1B x1C x1A u1C x1A x1B ; b1 u2A x1B x1C u2B x1C x1A u2C x1A x1B ; b2 u1A x1B x2C x1C x2B u1B x2A x1C x1A x2C u1C x1A x2B x1B x2A ; c1 u2A x1B x2C x1C x2B u2B x2A x1C x1A x2C u2C x1A x2B x1B x2A c2 donde x1A x2B x2C x1B x2C x2A x1C x2A x2B Entonces, las funciones de desplazamiento en las direcciones coordenadas x1 y x2 se obtienen reemplazando los valores encontrados para a1 , a2 , b1 , b2 , c1 y c2 . Finalmente, pueden calcularse las componentes del campo de deformación u1 11 x a1 1 u2 22 x b2 2 12 1 u1 u2 1 12 2 2 x x 2 b1 a2 1 2 78 Elasticidad bidimensional b) Particularización del campo de deformaciones En función de los datos de este ejemplo, las coordenadas le los puntos A, B, C (en m ) resultan A x1A ; x2A 0;0 B x1B ; x2B 0; 2 sen2 30º sen 30º cos 30º C x1C ; x2C 2 sen 30º cos 30º ; 2 cos2 30º tg15º tg15º C x1C ; x2C 2.732; 4.732 Con estas coordenadas y los desplazamientos se determinan los coeficientes de las ecuaciones lineales que definen las dos componentes del campo de desplazamientos u1A u2A u1B 0 u1C 2u2C u2B 0.01 m 2 Y se obtienen los seis coeficientes de las ecuaciones lineales a1 0.00366; a2 0.01549; b1 0; b2 0.01; c1 0; c2 0; Las componentes del campo de deformación resultan 11 0.00366 22 0.01 1 12 0 0.01549 0.007745 2 79 S. Oller, L. G. Nallim 2.5 Ecuación constitutiva – Ley de Hooke 2.5.1 Introducción Una ecuación constitutiva vincula el estado de tensión con el estado de deformación de un punto, es decir, vincula los dos campos previamente definidos (ver diagrama de Tonti), permitiendo reproducir el comportamiento mecánico de un punto del sólido. La ecuación o ley constitutiva más simple y elemental es la conocida como Ley de Hooke. Ésta establece una relación lineal y elástica entre los campos de deformación y tensión. Hooke3 enunciaba en 1678 su ley en fuerzas y desplazamientos, diciendo “Según sea la fuerza, así será la deformación”, es decir F u (2.86) La relación dada por la ecuación (2.86) se transformaba en igualdad si se introducía el concepto de rigidez ( K ), esto es F K u (2.87) La expresión dada por la ecuación (2.87) constituye la forma inobjetiva de la ley de Hooke porque depende no sólo de parámetros mecánicos sino también de parámetros geométricos. La forma objetiva, obtenida años más tarde, depende sólo de parámetros mecánicos y, para el caso uniaxial, está dada por E (2.88) donde representa la tensión que produce la deformación , relacionadas a través del módulo de elasticidad longitudinal E o módulo de Young. La relación entre la rigidez K y el módulo elástico E , resulta de establecer la compatibilidad y el equilibrio en las ecuaciones (2.87) y (2.88), que para una barra 3 Timoshenko, Stephen; Goodier J.N. (1951). McGraw-Hill, ed. Theory of elasticity. 80 Elasticidad bidimensional de longitud , sección transversal A y cargada con una fuerza axial F aplicada en su centro mecánico, resulta E F u E A K EA F u (2.89) donde u es el desplazamiento que ha sufrido la barra en su extremo (incremento de longitud). En la ecuación (2.89) se observa que la rigidez a esfuerzo axil de una pieza depende del material a través del módulo elástico E , de la geometría de la pieza a través del área de la sección transversal A y de la longitud . En la Figura 2.17 se puede apreciar la representación en forma inobjetiva y en forma objetiva de la ley de Hooke para el caso uniaxial. Figura 2.17 – Representación de la Ley de Hooke caso uniaxial (formas inobjetiva y objetiva). 2.5.2 Coeficiente de Poisson y deformación transversal Al someter una pieza a un estiramiento (o acortamiento) en una dirección, se produce un cambio de dimensión en la dirección transversal (ver Figura 2.18). Este 81 S. Oller, L. G. Nallim fenómeno fue estudiado por Siméon D. Poisson en 1828, quien concluyó que existía una relación lineal entre la deformación axial y la transversal. Dada una barra constituida por un material isótropo y elástico, sometida a una deformación axial 33 , se produce una deformación transversal 11 22 de signo contrario a 33 , y cuya relación es siempre constante. A esta relación se le denomina coeficiente de Poisson, 11 22 33 33 Dado: 33 33 11 22 33 E (2.90) Este coeficiente es una propiedad de cada material y está acotado entre 0 0.5 , siendo 0.5 un límite no alcanzable para los sólidos, ya que corresponde al comportamiento incompresible V V V 0 propio de un fluido. Pieza deformada Pieza original Figura 2.18 – Cambio de dimensión transversal provocado por la acción de una tensión longitudinal. 2.5.3 Ley de Hooke para tensiones tangenciales – Módulo de elasticidad transversal En forma análoga a la expresión (2.89), que representa la ley de Hooke para un estado de tensión uniaxial, se describe en este apartado la ley de Hooke para un estado de tensión tangencial de corte puro, que ocurre cuando 0 . Esto es, 82 Elasticidad bidimensional G (2.91) Siendo y la tensión tangencial y la deformación angular respectivamente, y G el módulo de elasticidad transversal o de corte. Para obtener la relación entre el módulo de elasticidad axial E y el transversal G , se supone un elemento diferencial de volumen sometido a corte puro (ver Figura 2.19), es decir sometido a un estado tensional de tracción y compresión con el mismo módulo. Figura 2.19 – Representación del estado tensional de corte puro. Haciendo la siguiente sustitución 11 22 y 12 0 en las componentes del tensor de tensiones y fijando el ángulo de la normal saliente en 4 en la ecuación (2.24) o (2.27), se obtiene el caso de corte puro, es decir un punto que está sometido a un estado de tracción y compresión con el mismo módulo, sobre planos perpendiculares. Esto es, 83 S. Oller, L. G. Nallim 2 2 2 2 2 2 11 cos 22 sen 12 sen 2 2 2 0 sen 2 12 cos 2 11 22 2 2 (2.92) Cuando ocurre un estado de corte puro, se produce una distorsión en el punto material, sin que haya estiramientos ni acortamientos, sólo cambio de forma. A partir de esta distorsión se obtendrá a continuación el Módulo Elástico Transversal o de Corte G , que controla la relación que hay entre la tensión tangencial y la distorsión (ecuación (2.91)). Figura 2.20 – Relación geométrica entre los lados de un elemento diferencial de volumen sometido a un estado de corte puro. Sabiendo que a 11 a 22 a , se puede expresar la siguiente relación geométrica (ver Figura 2.20), 84 Elasticidad bidimensional a a a 22 a 1 22 tg 4 2 a a a 11a 1 11 (2.93) donde 12 es la deformación angular específica o distorsión específica. Teniendo en cuenta que 11 22 y la relación de Poisson expresada en la ecuación (2.90), se pueden escribir las deformaciones en los dos ejes cartesianos originales de la siguiente forma, 11 11 22 11 E 22 E E E 1 22 22 11 1 11 22 E E E E (2.94) Sustituyendo la ecuación (2.94) en la ecuación (2.93), y aproximando la tangente de un ángulo por su propio ángulo para valores pequeños del mismo, resulta. tg tg 1 1 1 4 2 2 E tg 4 2 1 tg tg 1 1 1 E 2 4 2 (2.95) 1 , y teniendo en cuenta que en el pro2 E blema de corte puro (ver ecuación (2.92)), se puede escribir la siguiente De donde se deduce que relación, E 2 1 G E 2 1 G Siendo G el módulo de elasticidad transversal o de corte. (2.96) 85 S. Oller, L. G. Nallim 2.5.4 Ley de Hooke generalizada Sea un punto de un sólido elástico e isótropo, sometido a un estado triaxial de tensiones, es posible obtener, aplicando el principio de superposición, las correspondientes deformaciones, y viceversa, mediante la ley constitutiva denominada Ley de Hooke Generalizada. 11 11 E E 22 33 22 11 33 ; 22 E E 33 33 E E 11 22 12 12 G 13 13 G 23 23 G (2.97) Figura 2.21 – Representación del estado tensional de un punto según tres planos ortogonales. Las ecuaciones (2.97) se pueden escribir de manera compacta, en forma de matriz cuadrada considerando la simetría de los tensores de tensión y deformación, 86 Elasticidad bidimensional 11 11 1/ E / E / E 1/ E / E 0 22 22 33 33 Sim 1/ E 1/ G 23 23 G 1/ 0 13 13 1/ G 12 12 (2.98) Que, en forma compacta se representa como, ε C1 : σ (2.99) donde C se denomina matriz constitutiva. O la inversa de la ecuación (2.98), E 1 2 11 22 33 Sim 23 13 12 E 1 2 E 1 2 E 1 2 E 1 2 E 1 2 0 11 0 22 33 23 13 G 12 G G (2.100) Que, en forma compacta se representa como, σ Cε (2.101) 87 S. Oller, L. G. Nallim 2.6 Tensión y deformación plana 2.6.1 Problema de tensión plana El problema de tensión plana en un punto k de un sólido en equilibro se define a partir de suponer que el tensor de tensiones verifica la condición que se muestra en la Figura 2.22. Es decir, que el vector de tensión completa para cualquier plano en el punto será siempre perpendicular al eje x3 (paralelo al plano x1 x2 ). 13 31 23 32 33 0 Figura 2.22 – Representación estado de tensión plana. Entonces, en el caso representado en la Figura 2.22 (tensión plana) el tensor de tensiones en la base cartesiana x1 , x2 resulta 11 12 21 22 0 0 0 0 0 (2.102) Teniendo en cuenta las simetrías se puede expresar este tensor en la siguiente forma de matriz columna 88 Elasticidad bidimensional 11 22 0 0 0 12 (2.103) Substituyendo en la ley de Hooke generalizada dada por la ecuación (2.98), se obtiene el correspondiente tensor de deformaciones y el tensor constitutivo para el caso particular de tensión plana, 11 1/ E / E 1/ E 22 33 Sim 23 0 13 12 / E 11 0 / E 22 0 1/ E 0 1/ G 1/ G 0 1/ G 12 (2.104) O sea, en forma compacta, se tiene 0 11 11 1/ E / E 0 22 ; 22 / E 1/ E 0 0 1/ G 12 12 11 22 E 13 23 0 33 (2.105) La inversa de la ecuación (2.105) constituye la forma directa de la ecuación constitutiva para tensión plana y está dada por 89 S. Oller, L. G. Nallim E 1 1 11 E 22 1 1 12 0 E 1 1 E 1 1 0 0 11 0 22 12 G (2.106) 2.6.2 Problema de deformación plana El problema de deformación plana se define a partir de suponer que el tensor de deformaciones verifica la siguiente condición, 11 12 ε 21 22 0 0 0 0 0 ; 13 31 23 32 33 0 (2.107) Teniendo en cuenta las simetrías, y reordenando en forma de matriz columna, se tiene 11 11 22 22 0 0 ε 0 0 0 0 212 12 (2.108) Substituyendo en la ley de Hooke generalizada, se obtiene el correspondiente tensor de deformaciones y el tensor constitutivo para el caso particular de deformación plana 90 Elasticidad bidimensional 1 11 22 33 E 1 1 2 23 13 12 1 1 0 1 2 2 1 2 2 0 11 22 0 0 0 2 1 2 12 2 (2.109) De lo anterior resulta, en forma compacta, 1 11 E 22 1 1 2 12 0 E 33 1 1 2 11 22 1 0 0 11 0 22 ; 1 2 212 2 (2.110) La inversa de la ecuación (2.110) resulta 1 11 1 22 E 2 12 0 0 11 1 0 22 0 2 12 (2.111) Ejemplo 2-6: Dada la lámina cargada de la figura, determinar: a) La deformación (tensor de deformaciones), conociendo los movimientos (desplazamientos) de tres puntos de la lámina cargada. b) La deformación a partir del equilibrio, utilizando el tensor constitutivo. 91 S. Oller, L. G. Nallim a) Tensor de deformaciones El campo de desplazamientos en el plano queda descripto a través de funciones lineales (ver Ejemplo 2-3): u1 x1 , x2 a1 x1 b1 x2 c1 , que en cada punto sería u2 x1 , x2 a2 x1 b2 x2 c2 u11 x1 , x2 a1 x11 b1 x21 c1 2 2 2 u1 x1 , x2 a1 x1 b1 x2 c1 ; 3 3 3 u1 x1 , x2 a1 x1 b1 x2 c1 u21 x1 , x2 a2 x11 b2 x21 c2 2 2 2 u2 x1 , x2 a2 x1 b2 x2 c2 3 3 3 u2 x1 , x2 a2 x1 b2 x2 c2 (1) Las condiciones de contorno de los puntos 1 , 2 , 3 permiten establecer de manera directa cuáles son los desplazamientos nulos. En este caso hay tres desplazamientos nulos que se determinan de manera inmediata u11 0, 0 0 , u21 0, 0 0 y u12 0, h 0 ; mientras que el desplazamiento del punto 3 en la dirección x1 es igual al desplazamiento impuesto, es decir u13 l , h / 2 u . La componente del desplazamiento en la dirección x2 para el punto 2 ( u22 ) se obtiene teniendo en cuenta la contracción por el efecto Poisson, 92 Elasticidad bidimensional 22 u2 /h 23 11 u1 / l h h u22 u13 , pero u13 u u22 0, h u l l Para el punto 3 la componente de desplazamiento en la dirección x2 ( u23 ) se obtiene de manera análoga a la obtenida para el punto 2 , u 3 / h / 2 22 2u 3 / h 2 3 2 u/l 11 u /l 1 h h u23 l , u 2 2 l Reemplazando estos desplazamientos en las funciones lineales (1) se obtiene un sistema de seis (6) ecuaciones con seis (6) incógnitas, 0 a1 0 b1 0 c1 0 a 0 b h c 1 1 1; h u a l b c 1 1 2 1 0 a2 0 b2 0 c2 h u a2 0 b2 h c2 l h h u a2 l b2 c2 2 2l Cuya solución es, u u a1 , b1 0, c1 0, a2 0, b2 , c2 0 l l Las funciones de desplazamiento en las direcciones coordenadas x1 , x2 se obtienen reemplazando los valores encontrados para a1 , a2 , b1 , b2 , c1 y c2 en (1), es decir: u x , x u x 1 1 2 l 1 u2 x1 , x2 u x2 l Finalmente, pueden calcularse las componentes del campo de deformación 93 S. Oller, L. G. Nallim u1 u 11 x l a1 1 u2 u 22 x l b2 2 12 1 u1 u2 1 12 2 2 x x 2 b1 a2 0 2 1 b) Deformación a partir del equilibrio Esta forma sería una alternativa a la descrita en el inciso a) obtenida en forma cinemática. La expresión que vincula el tensor de tensiones con el de deformaciones está dada por 1 11 E ε C1 σ 22 E 12 0 De donde resulta 11 E 1 E 0 11 0 0 0 2 1 E 0 11 ; 22 11 E E Substituyendo estos resultados en los obtenidos en la definición de las deformaciones, u u u u se obtiene 11 11 11 E ; o 22 11 11 E l E l l E l Ejemplo 2-7: Suponiendo que el estado tensional de la figura corresponde a un estado de deformación plana si 33 0 , o tensión plana si 33 0 , obtener a partir de la ley de Hooke generalizada el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones en los siguientes casos: a) E 20000 MPa, 0 94 Elasticidad bidimensional b) E 20000 MPa, 0.3 ● Caso de deformación plana En el caso de deformación plana es 33 0 . La tensión normal 33 se determinará a partir de la ley de Hooke generalizada y de la consideración del estado de deformación plana, de acuerdo a la ecuación (2.110). 1 11 1 22 E 2 12 0 0 11 E 11 22 1 0 22 y 33 1 1 2 0 2 12 a) Para E 20000 MPa, 0 ; resulta G E 10000 MPa . Reemplazan2 1 do se obtiene 2.5 104 11 1 0 0 5 1 0 1 0 12 ε 6 104 ; ε 22 2 20000 0 0 2 1 1 104 12 33 0 Así los tensores de tensiones y deformaciones están respectivamente dados por: 5 1 0 2.5 1/ 2 0 σ 1 12 0 MPa; ε 1/ 2 6 0 104 0 0 0 0 0 0 95 S. Oller, L. G. Nallim b) Para E 20000 MPa, 0.3 ; resulta G E 7692.31 MPa . En este 2 1 caso, se tiene 1 0.3 1 0.3 ε 0.3 20000 0 33 0 5 4.615 104 0.3 1 0.3 0 12 6.435 104 y 0 2 1 1.3 104 0.3 20000 MPa 4.615 6.435 104 2.1 MPa 1 0.3 1 2 0.3 Así los tensores de tensiones y deformaciones, para el caso de deformación plana, están respectivamente dados por: 0 5 1 4.615 1.3 / 2 0 0 MPa; ε 1.3 / 2 6.435 0 104 σ 1 12 0 0 2.1 0 0 0 Para este caso es posible hacer la verificación 3-D. La ley de Hooke generalizada para el caso 3-D de deformación plana puede escribirse como: 1 11 22 33 E 1 1 2 23 13 12 1 1 0 1 2 2 0 1 2 2 11 22 0 0 0 2 1 2 12 2 96 Elasticidad bidimensional 0.7 0.3 0.3 4.615 11 0.7 0.3 0 0.3 6.435 22 0.3 0 33 0.3 0.7 20000 4 10 1 0.3 1 2 0.3 0 0.2 23 0.2 0 13 0 0.2 1.3 12 Resolviendo, se obtiene 11 5 12 22 33 2.1 MPa 0 23 13 0 12 1 ● Caso de tensión plana Para este caso, conocido el tensor de tensiones, se puede utilizar la formulación dada por la ecuación (2.105), 1 11 E 22 2 E 12 0 E 1 E 0 0 11 0 22 ; 33 11 22 E 1 12 G 97 S. Oller, L. G. Nallim a) Para E 20000 MPa, 0 ; G E 10000 MPa . Reemplazando se 2 1 obtiene 1 11 20000 22 0 2 12 0 5 2.5 1 0 12 6 104 ; 20000 1 1 1 0 10000 0 0 33 0 Así los tensores de tensiones y deformaciones, para el caso de tensión plana, están respectivamente dados por: 5 1 0 2.5 1/ 2 0 σ 1 12 0 MPa; ε 1/ 2 6 0 104 0 0 0 0 0 0 b) para E 20000 MPa, 0.3 y G 1 11 20000 0.3 22 2 20000 12 0 33 0.3 20000 1 20000 0 E 7692.31 MPa , se tiene 2 1 5 4.3 0 12 6.75 104 ; 1 1.3 1 7692.31 0 0.3 5 12 1.05 104 20000 Así los tensores de tensiones y deformaciones, para este caso, están respectivamente dados por: 98 Elasticidad bidimensional 0 5 1 0 4.3 1.3 / 2 σ 1 12 0 MPa; ε 1.3 / 2 6.75 0 104 0 0 0 0 0 1.05 De manera análoga, para este caso es posible hacer la verificación 3D. La ley de Hooke generalizada para el caso 3D de tensión plana puede escribirse (ec. (2.109)) como: 0.7 0.3 0.3 4.3 11 0 0.7 0.3 0.3 6.75 22 0.3 1.05 33 0.3 0.7 20000 104 1 0.31 2 0.3 0 0.2 23 0 0.2 13 0 0.2 1.3 12 11 5 12 22 33 0 MPa 0 23 13 0 12 1 Ejemplo 2-8: Se fijan dos galgas extensométricas a la placa de la figura, en las direcciones x1 y x2 . La placa está sometida a tensiones normales uniformes 11 y 22 . Los dispositivos de medición proporcionan las lecturas 11 500 106 y 22 100 106 . Sabiendo que el módulo de Young del material de la placa es E 200 GPa y el coeficiente de Poisson es 0.3 , determinar los estados de tensión y de deformación que se producen en el instante de la medición. 99 S. Oller, L. G. Nallim Al tratarse de una placa sometida a tensiones en sus lados se admite un problema de tensión plana. De manera que las tres incógnitas del problema son 11 , 22 y 33 , mientras que son válidas las ecuaciones para estado plano de tensión (ecuación (2.105)), es decir: 1 11 E 22 E 12 0 E 1 E 0 0 11 0 22 y 33 11 22 E 12 1 G De la configuración del problema se observa que no existen tensiones tangenciales, por lo que es 12 0 12 0 , lo que permite plantear las ecuaciones del estado plano de manera reducida, 0.3 11 11 1 1 11 500 6 1 1 10 1 22 200GPa 0.3 100 22 E 1 22 11 0.116 0.3 0.116 0.055 2.565 104 GPa y 33 200 22 0.055 100 Elasticidad bidimensional Ejemplo 2-9: Sobre una placa delgada de acero con módulo elástico E 200 GPa y coeficiente de Poisson 0.3 , actúan dos tensiones normales uniformes 11 y 22 , como se muestra en la figura. Calcular la deformación angular máxima max y el plano en que se produce si 11 90 MPa y 22 20 MPa . Al tratarse de una placa sometida a tensiones en sus lados se admite un problema de tensión plana. Entonces conocido se obtendrá para luego, a partir de la ecuación de transformación de deformaciones planas, determinar la distorsión específica máxima max . Son válidas las ecuaciones para estado plano de tensión (ecuación (2.105)), es decir: 1 11 E 22 E 12 0 E 1 E 0 0 11 0 22 y 33 11 22 con 33 0 E 1 12 G 101 S. Oller, L. G. Nallim De la configuración del problema se observa que son nulas las tensiones tangenciales 12 0 por lo que es 12 0 , lo que permite plantear las ecuaciones del estado plano de manera reducida, 11 1 1 11 22 E 1 22 1 11 5 22 2 10 0.3 90 4.8 104 1 0.3 1 20 2.35 104 0.3 y 33 90 20 1.05 104 2 105 La distorsión específica para un plano cualquiera (ecuación (2.82)) está dada por 11 22 sen 2 12 cos 2 , como en este caso es 12 0 , resulta 11 22 sen 2 4.8 10 4 2.35 10 4 sen 2 7.15 10 4 sen 2 d 2 7.15 104 cos 2 0 45º que define el plano donde la d 4 distorsión es máxima. Si ahora se reemplaza 45º , se obtiene la deformación 4 angular máxima, 7.15 104 sen 2 7.15 104 4 102 Elasticidad bidimensional 2.6.3 Ecuación de compatibilidad en función de las componentes del campo de tensiones El problema de la teoría de la elasticidad consiste en determinar el estado tensional que se origina en un sólido sometido a un sistema de fuerzas. En el caso de un estado bidimensional, es necesario resolver: a) Las ecuaciones de equilibrio (ver ecuaciones (2.7)) 11 21 x x p1 x1 , x2 0 1 2 12 22 p x , x 0 2 1 2 x1 x2 (2.112) b) La ecuación de equilibrio en el contorno (ver ecuaciones (2.20) ) t1 111 21 2 t2 12 1 22 2 (2.113) Cada uno de estos sistemas de ecuaciones tienen tres incógnitas ( 11 , 22 , 12 ); no bastando el número de ecuaciones para la resolución de los mismos. Para ello es necesaria la ecuación de compatibilidad (ecuación (2.74)) vista en la Sección 2.4.1, la cual ahora puede escribirse en función de las tensiones empleando las ecuaciones constitutivas. Para el caso bidimensional, se tiene S. Oller, L. G. Nallim 103 1 11 E 11 22 1 (2.114) 22 22 11 E 12 2 1 12 12 G E Substituyendo las ecuaciones (2.114) en las ecuaciones de compatibilidad (2.74), se tiene 2 12 2 2 2 1 11 22 22 11 x22 x12 x1x2 (2.115) Siendo esta la ecuación que permite obtener, junto con las ecuaciones (2.68), (2.69) y (2.70), la solución del problema. Mediante la ecuación de equilibrio es posible dar a la ecuación (2.115) una forma diferente. Derivando la primera de las ecuaciones de equilibrio (2.112) respecto a x1 y la segunda respecto a x2 ; y luego sumando miembro a miembro se tiene: 2 12 2 11 2 22 p1 p2 2 x2 x1 x12 x22 x1 x2 (2.116) Si ahora se substituye la ec. (2.116) en la ec. (2.115) se obtiene otra forma de escribir la ecuación de compatibilidad en función de las tensiones p p 2 11 2 22 2 11 2 22 1 1 2 2 2 2 2 x1 x1 x2 x2 x1 x2 (2.117) 104 Elasticidad bidimensional 2.6.4 Módulo de elasticidad volumétrico V , o también V , ecuación (2.80), sustituyendo ésta en la ley de Hooke A partir de la definición de la deformación volumétrica V V 3I1 11 22 33 (ecuación (2.97)), se obtiene: V 11 22 33 V 11 22 33 22 33 11 33 11 22 E E E E (2.118) 22 33 2 11 22 33 11 E E Recordando la definición de presión p presentada en la ecuación (2.65), se escribe a continuación la relación constitutiva entre la presión y la deformación volumétrica, p 11 22 33 3 1 2 V 3 p E V p 3 p 6 p 1 2 3p E E E E E V 3 1 2 def KV E 3 1 2 (2.119) KV Siendo KV el módulo de elasticidad volumétrico que vincula la presión p con la deformación volumétrica V . Resulta claro, a partir de esta última expresión, que el coeficiente de Poisson debe ser menor que 0.5. 105 S. Oller, L. G. Nallim 2.7 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo Formulaciones 3D Ecuación Tensor de tensión Tensor de deformación Condición de equilibrio en el contorno Ley de Hooke generalizada 11 12 21 22 31 32 11 12 21 22 31 32 t T 13 23 33 13 11 12 2 13 2 23 21 2 22 23 2 33 31 2 32 2 33 t1 11 t2 21 t 3 31 12 22 32 Ec. (2.76) T 13 1 23 2 33 3 11 11 E E 22 33 22 11 33 22 E E 33 33 11 22 E E 12 12 G 13 13 G 23 23 G Formulaciones 2D Tensor de tensión Ec. (2.2) Ec. (2.15) Ec. (2.97) Ecuación 12 11 21 22 Ec. (2.52) 106 Elasticidad bidimensional Tensor de deformación Condición de equilibrio interno de Cauchy 12 2 11 12 11 21 22 21 2 22 div( p = 0 Condición de equilibrio en el contorno Tensión normal y tangencial sobre un plano cualquiera Tensiones principales Planos principales Condición de compatibilidad 11 21 x x p1 0 2 1 12 22 p2 0 x1 x2 t1 11 cos 21 sen t2 12 cos 22 sen 11 22 11 22 cos 2 12 sen 2 2 2 11 22 sen 2 cos 2 12 2 Ec. (2.107) Ec. (2.7) Ec. (2.19) Ec. (2.27) 2 I , II 22 22 2 11 11 12 2 2 Ec. (2.60) 212 1 p arctg 2 11 22 Ec. (2.28) 2 11 2 22 2 12 x22 x12 x1x2 Ec. (2.74) S. Oller, L. G. Nallim 107 3.1 Introducción Una estructura en ingeniería es un sistema material de piezas estables, destinado a soportar las fuerzas propias más acciones exteriores provenientes de su utilización. Las estructuras pueden ser de muy distintos tipos, pero básicamente se pueden clasificar en estructuras que trabajan por gravedad y por rigidez. Las estructuras de gravedad son aquellas que utilizan su propio peso para conseguir estabilidad, y pueden mantenerse estables cumpliendo con el único requisito que cada uno de sus elementos componentes sean estables por sí mismos (ver Figura 3.1). Figura 3.1 – Esquemas de estructuras de gravedad. 108 Leyes de esfuerzos Las estructuras de rigidez son aquellas que mantienen su estabilidad haciendo uso de su capacidad de responder a las acciones externas mediante sus propiedades elásticas (ver Figura 3.2). Figura 3.2 – Esquemas de estructuras de rigidez. En este libro se tratan principalmente las estructuras que mantienen el equilibrio por rigidez y sólo en algunos casos particulares se introducen conceptos que resultan de utilidad para el cálculo de estructuras de gravedad, como es el caso del núcleo central que se tratará en el Capítulo 5. Dentro de las estructuras que mantienen su estabilidad aprovechando su rigidez hay de muy diversos tipos, como estructuras de barras rectas y/o curvas (arcos, helicoides, etc.), pero en general se pueden clasificar, según sus dimensiones, en los siguientes tipos: Estructuras unidimensionales, denominadas normalmente estructuras de barras en las que hay una dimensión dominante sobre las otras dos. Por ejemplo: barras (vigas, columnas/pilares), arcos, pórticos (sucesión de barras formando retículas). Estructuras bidimensionales, placas, lajas, láminas, membranas, etc., en las que hay dos dimensiones dominantes respecto de la tercera dimensión. Estructuras tridimensionales, estructuras macizas de bloques, presas, etc. S. Oller, L. G. Nallim 109 Las estructuras mantienen su estabilidad si las fuerzas exteriores que actúan sobre ellas son equilibradas por fuerzas interiores –esfuerzos interiores- que se desarrollan en las partes estructurales que la componen (ver Sección 1.5.2) (Momento Flector, Esfuerzo Cortante, Esfuerzo Normal). A su vez, estas fuerzas resultan del estado tensional que se desarrolla en el interior se las piezas estructurales (ver Capítulo 2). El comportamiento estructural podría obtenerse directamente relacionando las acciones actuantes con el estado tensional que se desarrolla en la estructura (Mecánica de Medios Continuos), pero en algunos casos este camino tiene una elevada complejidad. Es por esto que se plantea una simplificación a través de un análisis intermedio entre las acciones y las tensiones que consiste en obtener unos esfuerzos interiores en las piezas estructurales, que resultan de las acciones exteriores, y a partir de estos esfuerzos obtener el campo de tensiones y deformaciones estructural (Figura 3.3). Las fuerzas en las estructuras representan las acciones externas y las de los cuerpos entre sí. En el caso que interese sólo estudiar una pieza estructural que forma parte de una estructura, el resto de ésta actúa como una fuerza exterior sobre la parte que se está estudiando. Las fuerzas o acciones exteriores pueden ser de volumen o superficie. Las primeras están relacionadas con las fuerzas gravitatorias, inerciales, magnéticas, etc. y las segundas resultan de la acción de un cuerpo sobre otro, es decir cuando existe contacto. Si la superficie de aplicación de la fuerza tiende a cero, ésta recibe el nombre de fuerza puntual. Las fuerzas exteriores pueden también clasificarse como activas o reactivas. Estas últimas se desarrollan en los apoyos de las estructuras. Las fuerzas interiores resultan como reacción interna entre partículas del sólido para equilibrar las fuerzas o acciones exteriores (ver Sección 1.5.1). Así, una pieza estructural sometida a Pi acciones exteriores en equilibrio, desarrolla interiormente unas acciones que a su vez también están en equilibrio. De esta manera el equilibrio local –o de cada parte- garantiza el equilibrio global o estructural. 110 Leyes de esfuerzos Figura 3.3 – Esquema del procedimiento a seguir para el análisis estructural. 111 S. Oller, L. G. Nallim 3.2 Equilibrio interno-externo de una rebanada de una barra estructural – Esfuerzo interno Los esfuerzos internos que se desarrollan en una sección transversal de una barra estructural resultan de reducir al Centro Mecánico ( CM ) la resultante de la fuerza que actúa en dicha sección transversal (Sección 1.5.1 y 1.5.2). En el caso de una barra de plano medio y z (ver Figura 3.4), los esfuerzos internos se reducen a un esfuerzo axil N, un esfuerzo de corte Q y Q , y un momento flector Mx M . El conocimiento de estos esfuerzos en una sección transversal de una barra es fundamental para el posterior estudio y valoración de la resistencia de la pieza estructural frente a cada uno de estos esfuerzos. Este análisis se abordará en los capítulos sucesivos de este libro. Debido a que, en este caso, todos los esfuerzos se producen en el plano y z , las ecuaciones de equilibrio que permiten obtener los esfuerzos internos están dadas en dicho plano por el siguiente sistema de ecuaciones, Fy 0 Fz 0 M 0 (3.1) Las ecuaciones diferenciales que expresan el equilibrio de una barra estructural resultan del equilibrio de las fuerzas externas con los esfuerzos internos que se desarrollan en un elemento de longitud diferencial o rebanada de la barra (ver Figura 3.5). Esto es, 112 Leyes de esfuerzos ⎧ ⎪ ⎪ dQ ⎪∑ Fy = 0 = Q − ( Q + d Q) + q ds ⇒ q = ds ⎪ ⎪ ⎪ dN (3.2) ⎨∑ Fz = 0 = N − ( N + dN) + p ds ⇒ p = ds ⎪ ⎪ ds dM ⎪ ⎪∑ MCM = 0 = M + Q ds + p ds yCM + q ds 2 − ( M + dM) ⇒ Q = ds − p yCM ⎪ ≅0 ⎪ Inf. orden sup. ⎩ Figura 3.4 – Esfuerzos internos M , Q y N en una barra de plano medio. donde CM es el punto de la sección ubicado en el centro mecánico de la sección transversal. S. Oller, L. G. Nallim 113 Resultando de aquí las tres ecuaciones diferenciales del equilibrio de una barra estructural (ecuaciones (3.2)). Figura 3.5 – Equilibrio de una rebanada diferencial de una barra estructural. - Observación sobre las ecuaciones diferenciales de equilibrio para un sistema de referencia axial distinto al utilizado anteriormente (yz) 114 Leyes de esfuerzos En algunos casos de análisis puede resultar útil emplear un sistema de referencia en el cual uno de los ejes no coincida con el eje axial de la barra. Si, por ejemplo, se toma como sistema de referencia el formado por los ejes y s , es necesario realizar unos cambios en el sistema de ecuaciones dados por las expresiones (3.2) para obtener resultados correctos. Esto es, Figura 3.6 – Equilibrio de una rebanada diferencial de una barra estructural para una referencia axial con origen en el extremo opuesto de la barra al anteriormente utilizado. dQ Fy 0 Q ( Q dQ ) q ds q ds dN Fz 0 N ( N dN) p ds p ds ds dM MC 0 M Q ds p ds yCM q ds 2 ( M dM) Q ds p yCM 0 Inf. orden sup. (3.3) 115 S. Oller, L. G. Nallim 3.3 Grado de libertad y vínculos estructurales en el plano La mecánica comienza por describir el comportamiento de un sistema estructural en función de unas coordenadas apropiadas, denominadas “coordenadas generalizadas” o “coordenadas de Lagrange”. Se denominan coordenadas generalizadas a un conjunto cualquiera de parámetros qi i 1, 2,, n , que sirven para representar de manera unívoca la configuración del sistema mecánico estructural de n grados de libertad (NGL) o posibilidades de movimiento. Estos parámetros pueden representar cualquier magnitud física, sin necesidad que sean homogéneos en cuanto a dimensiones. Por ejemplo, se pueden mezclar , desplazamientos u , u , , velocidades u , u , y aceleraciones u , u , x z x x z x x z x todas ellas traslacionales y angulares, etc. Una idea clave se basa en la elección de coordenadas que representen a muchos puntos materiales (partículas), incluyendo aquí la elección de los enlaces del sistema. De esta forma, se consigue una doble ventaja: por una parte, el número de parámetros es menor que el correspondiente directamente a las coordenadas de todas las partículas, y por otra, el número de ecuaciones de enlace se ve igualmente reducido. Un conjunto de coordenadas qi se denomina “libre” cuando su magnitud puede variar independientemente de las otras. Es decir, si las variaciones de las mismas qi se pueden escoger de forma arbitraria. En el caso que no sea así, será porque existe alguna “ligadura” o “vínculo” que relaciona dichas coordenadas, bien de tipo holónomo (m ligaduras rígidas expresables mediante coordenadas geométricas o vínculos externos en este caso) o no-holónomo o anholónomo (k ligaduras que siguen una ley cualquiera, como por ejemplo la elasticidad). Cuando las coordenadas generalizadas no son libres, se entiende que hay condiciones de ligadura formuladas explícitamente. Éstas se traducirán en relaciones entre 116 Leyes de esfuerzos las componentes de las qi (y también entre sus derivadas qi para enlaces no-holónomos). Debido a estas ligaduras el número de grados de libertad (NGL) de todo el sistema es en realidad menor que n . Por el contrario, si las coordenadas son libres, su número es precisamente n , que coincide con el número de grados de libertad del sistema (ver Figura 3.7). Siendo mi y ri la masa y posición de cada partícula. Esta reducción en el número de coordenadas se efectúa gracias a la eliminación de los m enlaces holónomos, que quedarán implícitos en la elección de las coordenadas generalizadas. Por el contrario, los k enlaces no-holónomos no pueden ser eliminados, debiendo quedar planteados de forma explícita. Descripción Cartesiana Descripción Lagrangeana Figura 3.7 – Número de variables intervinientes en una descripción Cartesiana y una descripción Lagrangeana. Por ejemplo, en el sistema plano rígido articulado de la Figura 3.8, basta con una única coordenada generalizada angular ( n 1 ; q1 ). En esta elección ya quedan englobados implícitamente los enlaces o ligaduras internas (ligaduras de sólido rígido) como también los externos (articulación). 117 S. Oller, L. G. Nallim Suponemos ahora el caso general de un sistema con un número finito de partículas N , sujeto a m ligaduras holónomas y k no-holónomas. Será posible su descripción mecánica mediante un conjunto más reducido de n 3 N m parámetros o coordenadas generalizadas. Figura 3.8 –Movimiento de un sólido rígido articulado, descripto por una única coordenada generalizada, el ángulo θ. La posición de todos los puntos de este sólido rígido queda determinada por los enlaces o ligaduras internas (ligaduras de sólido rígido) y externas (rótula cilíndrica en O). Un caso extremo de reducción en el número de coordenadas es el del sólido rígido. Considerado como sólido continuo, tendría un número infinito de partículas y por lo tanto de coordenadas. Sin embargo, como sólido rígido se consideran enlaces internos holónomos (distancia constante entre dos partículas cualesquiera) permitiendo reducir el número de coordenadas generalizadas del sólido a n 3N m 6 . En general, existirán unas relaciones entre los vectores de posición ri de cada partícula y las coordenadas generalizadas q j , es decir, ri ri (q j , t ) i 1, , N ; j 1, , n (3.4) A los vectores de posición de cada partícula ri los denominaremos “coordenadas vectoriales”. Éstas son equivalentes a definir las 3 N coordenadas cartesianas 118 Leyes de esfuerzos correspondientes. Por otra parte, éstas sólo serán libres para un sistema sin ligadura; en cualquier otro caso, no formarán un conjunto libre. Las coordenadas generalizadas podrán también depender del tiempo, y por lo tanto las velocidades vi se obtendrán de la derivada temporal de los respectivos vectores de posición ri , vi = n dri dr r dq j ri i i dt dt j 1 q j dt En la expresión anterior (ecuación (3.5)) a los términos q j = (3.5) dq j dt se los de- nomina velocidad generalizada. En lo sucesivo se establecerá el concepto de grado de libertad (NGL) y vínculo (restricción al movimiento o grado de libertad) particularizado en sistemas de estructuras en el plano ( z , y ) . Grados de Libertad de un punto material en el plano N 1 punto tiene n ( N 2) 2 grados de libertad en el plano. Se inmoviliza con m ( N 2) 2 vínculos externos Grados de Libertad (NGL) de un sistema de “ N ” puntos materiales en el plano 119 S. Oller, L. G. Nallim N 3 puntos tienen n ( N 2) 6 grados de libertad en el plano. Se inmoviliza con m N 2 6 vínculos externos. Grados de Libertad (NGL) de un sistema de “ N ” puntos materiales en el plano unidos por el vínculo de la rigidez (sólido rígido) puntos i unidos por vínculos internos de rigidez. Si fuesen elásticos serían vínculos noholónomos. El problema se reduce a N 3 puntos con mi 3 vínculos internos holónomos. Tiene n ( N 2) mi 3 grados de libertad. Se inmoviliza con m 3 vínculos externos. Grados de Libertad de un sistema de “ S ” sólidos rígidos puntos unidos por vínculos internos de rigidez. El problema se reduce a S 3 sólidos rígidos con N 3 puntos cada uno con mi 3 vínculos internos holónomos. Tiene n S ( N 2) mi S 3 grados de libertad. Se inmobiliza con m S 3vínculos externos. Grados de Libertad (NGL) de un sistema de“ S ” sólidos rígidos vinculados entre sí 120 Leyes de esfuerzos puntos unidos por vínculos internos de rigidez. El problema se reduce a S 3 sólidos rígidos con N 3 puntos cada uno con mi 3 vínculos internos holónomos. Tiene n S 2 grados de libertad. Se inmobiliza con m S 2 vínculos externos. Grados de Libertad de una cadena cerrada de “ S ” sólidos rígidos vinculados entre sí puntos unidos por vínculos internos de rigidez. El problema se reduce a S sólidos rígidos con N 3 puntos cada uno, con mi 3 vínculos internos holónomos. Tiene n S grados de libertad. Se inmobiliza con m S vínculos externos. Figura 3.9 – Número de variables intervinientes en una descripción Lagrangeana. Concepto de fijación o restricción al movimiento. 3.3.1 Estructura isocinemática El grado de indeterminación cinemática es aquel que resulta de la diferencia entre las posibilidades de movimientos o grados de libertad, y el número de fijaciones o vínculos (Figura 3.9). Así, se dice que una estructura es isocinemática cuando el número de grados de libertad n , o posibilidades de movimiento, es igual al número S. Oller, L. G. Nallim 121 de restricciones totales m . Esta afirmación se puede descomponer en dos partes: Isocinemática de vínculos externos: cuando el número de restricciones, o vínculos externos, es igual al número de posibilidades de movimientos externos o grados de libertad externos. Isocinemática de vínculos internos: cuando el número de restricciones, o vínculos internos, es igual al número de posibilidades de movimientos internos o grados de libertad internos. 3.3.2 Estructura isostática Hay un concepto dual al que se ha presentado en el apartado anterior, y es aquel que resulta de un análisis estático y no cinemático de la estructura. Es decir que, si se aplican cargas a las estructuras planas antes presentadas, éstas serán estables si los vínculos que fijan la posición de la estructura son capaces de reaccionar con fuerzas que equilibren las cargas aplicadas. El grado de indeterminación estático de una estructura plana resulta de la diferencia entre el número de incógnitas estáticas (reacciones de vínculo) y el número de ecuaciones de equilibrio disponibles (ecuaciones (3.1)). Esto se muestra, a modo de ejemplo, en los dos casos que a continuación se presentan: 1) Caso 1: Estructura plana inmovilizada (Isocinemática) Sea la estructura de la Figura 3.10 cargada con una fuerza concentrada P , cuyo equilibrio se consigue con las fuerzas Y1 , Y2 , Z1 , que resultan en cada uno de los vínculos que fijan cinemáticamente a la estructura. Así, el equilibrio se expresa como, Fy 0 fy (Y1 , Y2 , Py ) 3 ecuaciones = 3 incógnitas F Z P 0 f ( , ) z z z 1 Estructura plana Isostática M k 1 0 fM (Y2 , Py , Pz ) (3.6) 122 Leyes de esfuerzos Figura 3.10 – Estructura plana fijada en forma isocinemática 2) Caso 2: Cadena de piezas estructurales planas inmovilizadas (Isocinemática) Sea la cadena de piezas estructurales planas de la Figura 3.11 cargadas con las fuerzas concentradas Pi , cuyo equilibrio se consigue con las fuerzas que resultan en cada uno de los vínculos que fijan cinemáticamente la cadena de piezas estructurales. Así, el equilibrio se expresa como, Cada estructura plana S aporta 3 ecuaciones de equilibrio, (3 S )=9 Ecuaciones de equilibrio Externas: Z1 ,Y1,Y2 ,Y3 ,Y4 Internas : C D 0 2 2 C3 D3 0 Incógnitas: A2 B2 Y2 0 A3 B3 Y3 0 9 ecuaciones = 9 incógnitas (5 incógnitas) C2 D2 (1 incógnita) C3 D3 (1 incógnita) A2 , B2 Y2 A2 (1 incógnita) A3 , B3 Y3 A3 (1 incógnita) Estructura plana Isostática (9 incógnitas) (3.7) S. Oller, L. G. Nallim 123 Figura 3.11 – Cadena de piezas estructurales planas fijadas en forma isocinemática Así, se define el grado de indeterminación estático como aquel que resulta de una estructura que tiene más fijaciones que ecuaciones de equilibrio. Es decir, que hay un número de fuerzas incógnitas que no pueden conocerse (indeterminación) empleando las ecuaciones de equilibrio que se han formulado. Esto ocurre en las estructuras sobre-vinculadas, tanto con vínculos externos (fijaciones), como con vínculos internos (interacción entre las piezas que conforman la cadena estructural) (ver Figura 3.11). En el caso de mecanismos, la estructura tiene menos incógnitas de fuerzas que ecuaciones disponibles (estructuras hipostáticas). En el caso de cuerpos elásticos, los movimientos permitidos por la elasticidad del sólido, desarrollan fuerzas que se auto-equilibran internamente (si la resistencia del material lo permite), y sólo quedan sin equilibrar las fuerzas desarrolladas en los vínculos externos. Se puede deducir que las estructuras estáticamente determinadas (igual número 124 Leyes de esfuerzos de incógnitas de fuerzas que de ecuaciones de equilibrio), dan lugar a estructuras cinemáticamente determinadas (igual número de movimientos posibles que vínculos de fijación), siempre que éstas estén conformadas por cuerpos rígidos. En el caso de las estructuras elásticas, hay vínculos no-holónomos que permiten movimientos sujetos a la elasticidad del sistema (ver Figura 3.12). Sólido Rígido. Estructura determinada estáticamente y cinemáticamente Determinación: Estática: 3incógnitas- 3 ecuaciones=0(Isostática) Cinemática: 3GºLº - 3 restricciones=0(Iso-cinemática) Estructura Estáticamente Determinada y Cinemáticamente Determinada Sólido Elástico. Estructura determinada estáticamente, pero indeterminada cinemáticamente Determinación: 3incógnitas- 3 ecuaciones=0 (Isostática) Estática: Cinemática: GºLº 3 restricciones= (Indeterminada cinemática) Estructura Estáticamente Determinada, pero Cinemáticamente Indeterminada Figura 3.12 – Determinación estática y cinemática en sólidos rígidos y sólidos elásticos. 125 S. Oller, L. G. Nallim 3.3.3 Tipos de vínculos externos En la Figura 3.13 se presentan los tres tipos básicos de vínculos externos que se usan para fijar un punto de una estructura plana. Como se ve en esta figura, cada movimiento que se restringe desarrolla una fuerza reactiva externa. Vínculo de 1ra. Especie (apoyo móvil – restringe el movimiento vertical) Restringe una posibilidad de movimiento, o grado de libertad. Desarrolla una única fuerza de reacción. Vínculo de 2da. Especie (apoyo fijo – restringe los movimientos vertical y horizontal) Restringe dos posibilidades de movimiento, o grados de libertad. Desarrolla dos fuerza de reacción. Vínculo de 3ra. Especie (empotramiento – restringe los movimientos vertical, horizontal y la rotación) Restringe tres posibilidades de movimiento, o grado de libertad. Desarrolla tres fuerza de reacción. Figura 3.13 – Tipo de vínculos para fijar un punto de una estructura plana. 3.3.4 Determinación e indeterminación estática de las estructuras A continuación, y hasta no volver a tratar el problema de indeterminación cinemático que se verá al formular el método de rigidez, se estudiarán estructuras 126 Leyes de esfuerzos sólo desde el punto de vista estático, y por lo tanto siempre se hará referencia a su determinación o indeterminación estática. Para obtener en forma simple la determinación e indeterminación estática se recurrirá a dos métodos básicos: a) Fórmula de determinación estática de cada barra, y b) El método de los cortes. a) MÉTODO DE LAS BARRAS Este método consiste en una fórmula que tiene en cuenta el grado de indeterminación global, o número de incógnitas de fuerza, a partir de las fuerzas incógnitas de las barras componentes y del número de fuerzas incógnitas que se repiten internamente debido al tipo de vinculación entre barras. Así, el Grado de Indeterminación Estática GIE se obtiene de la siguiente expresión, GIE 3 C6 2 C5 C4 Número de incógnitas barras 3 K3 2 K 2 Número de incónitas repetidas h (3.8) Tal que C6 es el número de barras doblemente empotradas, C5 el número de barras empotradas - articuladas, C4 el número de barras biarticuladas, K 3 las uniones internas rígidas o empotradas, K 2 las uniones internas articuladas, y h los apoyos deslizantes externos. Para más detalles sobre el significado de estas variables se presentan esquemas de barras con diferentes condiciones de vínculo en las Figura 3.14 y Figura 3.15. 127 S. Oller, L. G. Nallim - Incógnitas añadidas por cada tipo de barras (C6) Barra doblemente empotrada Incógnitas de fuerzas por barras 3 C6 Las otras 3 incógnitas se conocen mediante las 3 ec. de equilibrio (C5) Barra empotrada articulada 2 C5 Las otras 3 incógnitas se conocen mediante las 3 ec. de equilibrio (C4) Barra doblemente articulada 1 C4 Las otras 3 incógnitas se conocen mediante las 3 ec. de equilibrio Figura 3.14 – Incógnitas por barras. 128 Leyes de esfuerzos - Incógnitas repetidas por cada tipo de vínculo interno (K3) Vínculo interno empotrado Incógnitas repetidas por vínculo 3 K3 3 incógnitas internas se conocen mediante el equilibrio (K2) Vínculo interno articulado 2 K2 2 incógnitas internas se conocen mediante el equilibrio Figura 3.15 – Incógnitas repetidas en los vínculos internos. - Incógnitas por tipos de vínculos externos Los vínculos externos están contenidos en la formulación a través de cada uno de las barras que se vincula al sistema de referencia externo, así sólo quedan por considerar los h vínculos de primera especie o apoyos deslizantes. En caso de existir se deben restar del total de incógnitas el número de estos apoyos. 129 S. Oller, L. G. Nallim b) MÉTODO DE LOS CORTES Este método es uno de los más utilizados y se basa en descomponer toda la estructura en sub-estructuras isostáticas que mantienen su equilibrio en forma aislada de la estructura principal, gracias a la imposición de las fuerzas internas en forma de fuerzas externas de extremo de barra. Sobre la estructura así descompuesta se evalúa la siguiente ecuación, GIE i 3 b (3.9) donde i es el número de fuerzas incógnitas y b es el número de barras del sistema estructural. A continuación, se presentan ejemplos que permiten ejercitar la utilización de las dos formas de obtener el grado de indeterminación estática GIE . Ejemplo 3-1: Dada las siguientes estructuras planas, representadas en las figuras que se muestran a continuación, obtener en cada caso el grado de indeterminación estática por los dos métodos antes expuestos. ESTRUCTURA 1 Método de las Barras C6 3 C5 0 C 0 4 GIE 3 3 3 2 9 6 3 2 K 3 K 0 2 h 0 130 Método de los Cortes i 4 3 12 GIE 4 3 (3 3) 3 b 3 ESTRUCTURA 2 Método de las Barras C6 1 C5 2 C 0 4 GIE 3 1 2 2 3 1 2 1 7 5 2 K3 1 K 1 2 h 0 Método de los Cortes i 2 3 2 8 GIE 8 (3 2) 2 b 2 Leyes de esfuerzos S. Oller, L. G. Nallim ESTRUCTURA 3 Método de las Barras C6 13 C5 6 C 0 4 GIE 39 12 30 4 17 K3 2 K 0 2 h 0 Método de los Cortes i 4 3 6 6 2 4 2 9 74 GIE 74 (57) 17 b 3 19 57 131 132 Leyes de esfuerzos En este último caso es necesario tener en consideración lo siguiente: Una unión fija con n barras concurrentes tiene: (n 3) 3 Incógnitas de fuerza Una unión articulada con n barras concurrentes tiene: (n 2) 2 Incógnitas de fuerza ESTRUCTURA 4 Método de las Barras C6 3 C5 2 C 1 4 GIE 9 4 1 6 4 4 K3 2 K 2 2 h 0 Método de los Cortes i 6 1 3 10 GIE 10 (3 2) 4 b 2 S. Oller, L. G. Nallim ESTRUCTURA 5 Método de las Barras C6 4 C5 2 C 0 4 GIE 12 4 12 1 3 4 K 3 K 0 2 h 1 Método de los Cortes i (2 1) 3 6 GIE 6 (3 1) 3 b 1 133 134 Leyes de esfuerzos O también se podría obtener el mismo resultado aislando todas las barras de la estructura i 3 (2 6) (2 3) 21 b 6 GIE 21 (3 6) 3 ESTRUCTURA 6 Método de las Barras C6 0 C5 0 C 4 4 GIE 4 2 2 0 K3 0 K 1 2 h 2 S. Oller, L. G. Nallim 135 Método de los Cortes i (12) 3 6 GIE 12 (3 4) 0 b 4 ESTRUCTURA 7 A continuación, se muestra un contraejemplo en el que los métodos anteriores muestran que es una estructura isostática, pero al tener tres rótulas alineadas configura un mecanismo no detectado por la formulación. Método de las Barras C6 0 C5 0 C 2 4 GIE 2 2 0 K3 0 K 1 2 h 0 Método de los Cortes i 6 GIE 6 (3 2) 0 b 2 136 Leyes de esfuerzos Este tipo de estructura necesita trabajar en estado deformado para equilibrarse. Esto se muestra en la siguiente figura, 3.4 Leyes de esfuerzo para una viga simple 3.4.1 Forma matemática de enfocar el problema mecánico de cálculo de esfuerzos internos En este apartado se aborda el problema de cálculo de los esfuerzos internos, o leyes de esfuerzo, en una viga simplemente apoyada a partir de la integración directa de la ecuación diferencial de equilibrio (3.2). Figura 3.16 – Viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente distribuida en el sentido negativo al sistema de referencias adoptado. En este caso particular, las ecuaciones de equilibrio (3.2) quedan reducidas a las dos expresiones siguientes: q( s) d Q( s) y Q( s) dM( s) . Luego, a partir de estas ds ds expresiones, la determinación del momento flector y del esfuerzo de corte se realiza mediante integración de las ecuaciones diferenciales de equilibrio. S. Oller, L. G. Nallim 137 Es decir, Q( s) q( s) ds q ds q s CQ q s2 CQ s CM M( s) Q( s) ds (q s CQ ) ds 2 (3.10) donde CQ y CM son constantes de integración. Las condiciones de contorno para obtener CQ y CM están dadas por: para s 0 M( s 0) 0 CM 0 q 2 q para s M ( s ) 0 CQ CQ 2 2 (3.11) Sustituyendo estas constantes de integración en las ecuaciones (3.10) se obtienen las siguientes expresiones para el momento flector y esfuerzo de corte, 138 Leyes de esfuerzos q Q(0) VA q 2 Q( s) q s 2 Q() V q B 2 2 M(0) 0 M( s ) q s q s 2 2 M() 0 Puesto que el corte deriva del momento, Q dM , el máximo valor del mods mento resulta donde el corte es nulo, esto es, dM q 0 q s s ds 2 2 2 2 2 q q q M( s ) 2 8 4 8 Mmax para Q Mmax Obsérvese que, en la rebanada diferencial contenida dentro del diagrama de corte y momento, se dibuja a la izquierda el sentido del corte y del momento resultante de las expresiones antes obtenidas. 3.4.2 Forma convencional de resolver el problema mecánico de cálculo de esfuerzos internos En este apartado se aborda el problema de cálculo de los esfuerzos internos, o leyes de esfuerzo, en una viga simplemente apoyada a partir de la forma convencional, basado en el concepto de equilibrio de una rebanada diferencial de la barra. Esta forma de plantear el problema es la clásica y muy útil para aquellos casos simples, evitando así la integración de la ecuación diferencial del equilibrio. Sin embargo, cabe notar que en los casos de cargas complejas se recomienda la utilización del método presentado en la sección anterior. A continuación, se describe el procedimiento a seguir; S. Oller, L. G. Nallim 139 a) Poner en evidencia las reacciones de los vínculos. Esto implica remover los vínculos y en sustitución de los mismos poner las fuerzas que éstos hacen sobre la estructura, tal como se muestra en la Figura 3.17. Figura 3.17 – Viga simplemente apoyada sometida a una carga uniformemente distribuida con los vínculos sustituidos por las correspondientes fuerzas reactivas. b) Cálculo de las reacciones o incógnitas de fuerzas. Se formulan las ecuaciones de equilibrio para toda la estructura dadas por las ecs. (3.1), Fs 0 H A (3.12) Fy 0 VA VB q 2 q Sust . Fy M 0 V q V q VA A B B 2 2 2 Los signos obtenidos son signos eficaces, es decir que son positivos si concuerdan con el sentido de la fuerza supuesta, y son negativos cuando el resultado tiene sentido opuesto al supuesto. Obsérvese también que de aquí resulta que VA CQ . c) Cálculo de los esfuerzos internos de sección, función del corte y flector. Se utiliza el método de los cortes para poner en evidencia los esfuerzos internos de corte y flector en la rebanada diferencial. Una vez hecho esto, se exige el equilibrio de cada una de las partes de la estructura. En este caso se ha elegido la parte izquierda (ver detalle en la Figura 3.18), 140 Leyes de esfuerzos Fs izq 0 s izq Fy s 0 VA q s Q( s ) Q( s ) VA q s q s2 q s2 izq M s 0 VA s 2 M( s ) M( s ) VA s 2 (3.13) qs en las ecuaciones anteriores, quedan completa2 mente definidas las leyes de variación de los esfuerzos internos para cualquier sección transversal s , de donde resultan definidas las leyes de variación de estos esfuerzos internos: Sustituyendo VA o Esfuerzo de Corte Q( s ) como la suma de todas las fuerzas a la izquierda de la sección transversal, proyectada sobre dicha sección, Q( s ) q qs 2 (3.14) o Momento Flector M( s ) como la suma de los momentos de todas las fuerzas a la izquierda de la sección, respecto de dicha sección, M( s ) q q s2 s 2 2 se verifica Q( s ) d M( s ) (3.15) s De la misma forma se pueden obtener estos dos esfuerzos calculándolos desde la derecha de la barra y cambiándoles el signo, es decir: Q( s) Q( s ) , y M( s ) M( s) (ver Figura 3.18). S. Oller, L. G. Nallim 141 Figura 3.18 – Representación de los esfuerzos de corte y momento flector en la sección transversal de una rebanada deferencial de una barra. d) Trazado de las leyes de esfuerzos internos de sección, función de corte y flector. Se representan gráficamente a continuación las ecuaciones de los esfuerzos internos obtenidas mediante las ecuaciones (3.14) y (3.15). Como se observa en la Figura 3.19, el Esfuerzo de Corte se grafica teniendo en cuenta el signo de la resultante de las fuerzas a la izquierda de la sección s respecto del eje positivo “y” (es decir positivo hacia la parte superior de la barra). Por el contrario, el Momento Flector se ciñe al signo de giro de su correspondiente vector que está sobre el eje “x”, ortogonal al plano de la viga (z-y), y por lo tanto no tiene ninguna relación con el eje positivo “y”. Esto da lugar a establecer una representación convencional, que en este libro se conviene graficarlo siempre del lado de las fibras traccionadas de la barra y, para evitar confusión en su trazado, los momentos representados en la sección diferencial siempre deben converger hacia la barra (ver Figura 3.19). 142 Leyes de esfuerzos Figura 3.19 – Representación gráfica del trazado de los esfuerzos de corte y momento flector para cualquier sección transversal s. En resumen, se puede decir que el diagrama de momentos flectores se representa del lado de las fibras traccionadas o estiradas, tal como muestra la Figura 3.20. Se dice que un momento flector es positivo cuando este signo coincide con el sentido de rotación del momento flector de la izquierda de la rebanada diferencial (o de la derecha cambiada de signo). Figura 3.20 – Representación gráfica del momento flector para una sección transversal s. S. Oller, L. G. Nallim 143 En el caso del diagrama de esfuerzo de corte, se representa la dirección y sentido del corte en la rebanada diferencial, a la izquierda de la sección en análisis (ver Figura 3.21) (o de la derecha cambiada de signo). Se dice que un esfuerzo de corte es positivo cuando el signo en la cara izquierda de la rebanada coincide con el sentido positivo del sistema de referencia local. Figura 3.21 – Representación gráfica del esfuerzo de corte para una sección transversal s. En el caso del diagrama de esfuerzo axil o normal, se representa la dirección y sentido de este esfuerzo en la rebanada diferencial, a la izquierda de la sección en análisis (ver Figura 3.22) (o de la derecha cambiada de signo). Al sistema de fuerzas axiles, en equilibrio, que aparece en la rebanada de la mencionada figura se le llama de tracción porque produce estiramientos. Figura 3.22 – Representación gráfica del esfuerzo axil para una sección transversal s. 144 Leyes de esfuerzos Ejemplo 3-2: Dada la estructura plana de la figura, obtener: a) Las leyes o diagramas de momento flector y esfuerzo de corte siguiendo la forma convencional de cálculo, b) Representar gráficamente dichos diagramas, Se resuelve este ejemplo a través del principio de superposición, descomponiendo la viga en dos vigas con cargas más simples cada una de ellas y luego superponiendo los resultados, a) Puesta en evidencia los vínculos y cálculo a) Puesta en evidencia los vínculos y de reacciones cálculo de reacciones 145 S. Oller, L. G. Nallim F 0 z P P Fy 0 VA P VA P M A 0 M AP P M AP P F 0 z q q Fy 0 VA q VA q q2 q2 q q 0 M M M A A A 2 2 b) Ecuaciones de Corte y Momento flector QP ( z ) B V P P A A B MP ( z ) M AP VAP z P( z ) A c) Verificación de los esfuerzos B QP ( z ) A d MP ( z ) dz Qq (z) B V q q z q ( z) A A B q z2 q q q M ( z ) M V z A A A 2 q 2 q z2 2 q z q z 2 2 2 c) Verificación de los esfuerzos B A b) Ecuaciones de Corte y Momento flector d P( z ) P dz B Q ( z) q A d) Ecuaciones del Escuerzo de Corte y Momento flector desde la derecha QP ( s ) A P B A P M ( s ) P s B QP ( z ) B QP ( s ) A P A B s . z B A P P M ( z ) M ( s ) P ( z ) A B d Mq ( z ) dz B A 2 d q z dz 2 q( z ) d) Ecuaciones del Escuerzo de Corte y Momento flector desde la derecha Qq (s) A qs B 2 A q M (s) qs B 2 Qq (z) B Qq (s) A q ( z) A B s.z Recuperando así las mismas expresiones B A q q q M (z) M (s) ( z)2 B A B 2 anteriores para los esfuerzos QP ( z ) y MP ( z ) B . A A Recuperando así las mismas expresiones B anteriores para los esfuerzos Qq ( z ) y A e) Trazado de las Leyes de Esfuerzo Cortante y Momento flector Mq ( z ) B A . 146 Leyes de esfuerzos e) Trazado de las Leyes de Esfuerzo Cortante y Momento flector Superponiendo los resultados antes obtenidos, resultan las leyes de Momento Flector y Esfuerzo Cortante de la viga propuesta, esto es, Q( z ) B QP ( z ) B Qq ( z ) B P q ( z ) A A A B B B 2 q M( z ) A MP ( z ) Mq ( z ) P( z ) z A 2 A Ejemplo 3-3: Dada la viga plana de la figura, obtener: a) La ley o diagrama de Momento Flector y Esfuerzo de Corte integrando la ecuación diferencial del equilibrio. 147 S. Oller, L. G. Nallim b) Representar gráficamente dichos diagramas. En este caso se utilizan las ecuaciones de equilibrio (3.2), q( s) d Q( s ) ds y d M( s ) , tal que integrándolas se obtienen las expresiones del momento flector ds y del esfuerzo de corte, Q( s ) s q s2 Q ( s ) q ( s ) ds q ds CQ 2 2 3 M( s) Q( s) ds ( q s C ) ds q s C s C Q M 2 Q 6 Condiciones de contorno en los apoyos A y B para obtener las constantes de integración CQ y CM para s 0 M( s 0) 0 CM 0 q 2 q CQ CQ para s M( s ) 0 6 6 Sustituyendo estas constantes de integración en la Ecuación del Corte Q( s ) , se obtiene, 148 Leyes de esfuerzos q Q(0) qs q 6 Q( s) 2 6 Q( ) q q q 2 6 3 2 Tal que los ceros de esta función de Corte están en, q s02 q 2 Q( s0 ) 0 s0 , 2 6 3 3 siendo s0 la única raíz que está dentro del dominio de la viga. 3 Sustituyendo las constantes de integración en las ecuaciones del Momento M( s ) , se obtiene, M(0) 0 q s3 q M( s) s q 2 q 2 6 6 M( ) 6 6 0 Puesto que Q( s ) s s 0 0 d M( s ) , se obtiene el máximo de esta función de Mods s s0 mento Flector en s0 , punto en que el Esfuerzo de Corte es nulo, 149 S. Oller, L. G. Nallim Mmax M( s0 ) q s03 q s0 0.06415 q 2 6 6 Ejemplo 3-4: Dada la misma viga plana que se ha resuelto en el Ejemplo 3-3, se pide ahora obtener: a) La ley o diagrama de momento flector y esfuerzo de corte siguiendo la forma convencional de cálculo. b) Representar gráficamente dichos diagramas. Puesta en evidencia los vínculos y cálculo de reacciones En este caso es necesario obtener las reacciones de vínculo VA y VB a través de las ecuaciones de equilibrio (3.1) de todas las fuerzas que actúan sobre la estructura, 150 Leyes de esfuerzos q s q F V V 0 ( y A B 0 )ds VA VB 2 Fz 0 2 M 0 V ( q s ) sds V q B B 0 A 3 q y, sustituyendo ésta en la primera de las 3 q q q q ecuaciones, resulta VA VB , siendo esta última la constante 2 3 2 6 q de integración VA CQ obtenida de la condición de contorno en B encontrada 6 en el ejemplo anterior. Resultando de la tercera ecuación VB Ecuaciones del Esfuerzo de Corte y Momento Flector En este caso, al conocer las condiciones de contorno del problema, se puede hacer una integral definida para cada función, de la siguiente forma, s s q s q q s2 ds Q( s) VA q( s )ds VA 6 2 0 0 s s 2 3 M( s) M 0 Q( s)ds q q s ds q s q s A 0 0 6 2 6 6 Que, como puede verse, coinciden con las expresiones obtenidas en el ejemplo anterior (Ejemplo 3-3). Trazado de las Leyes de Esfuerzo Cortante y Momento Flector Puesto que las ecuaciones son las mismas que las obtenidas anteriormente, los diagramas correspondientes a los respectivos Esfuerzos de Corte y Momento Flector no se volverán a representar. S. Oller, L. G. Nallim 151 Ejemplo 3-5: Dada la misma viga plana que se ha resuelto en el Ejemplo 3-3 y en el Ejemplo 3-4 se pide ahora obtener: a) Las leyes o diagramas de momento flector y esfuerzo de corte siguiendo la forma convencional de cálculo, pero aprovechando el conocimiento de la posición de los centros geométricos de cada figura plana que intervenga en los cálculos (cargas, diagrama de corte, diagrama de momento). b) Representar gráficamente dichos diagramas. La obtención de estas leyes de esfuerzo se puede simplificar aún más, si se conoce el centro geométrico CG por donde pasa la resultante del diagrama de cargas. Así, para este caso particular, la resultante de la carga triangular actuante es una fuerza P q 2 aplicada en el centro geométrico del triángulo ubicado a una distancia zCG 2 3 del apoyo A. En este caso se puede proceder de la siguiente forma. Cálculo de reacciones Nuevamente se obtienen las reacciones de vínculo VA y VB a través de las ecuaciones de equilibrio (3.1) de todas las fuerzas que actúan sobre la estructura, y que igualmente coinciden con las condiciones de contorno obtenidas en el ejemplo anterior. q Fy 0 VA VB P VA VB 2 Fz 0 2 M 0 V P z V q 2 V q A B CG B B 3 2 3 q , y sustituyendo ésta en 3 q q q q la primera de las ecuaciones resulta VA VB , coincidiendo 2 3 2 6 q aquí también esta última con la contante de integración VA CQ obtenida de la 6 condición de contorno en B determinada en el ejemplo anterior. Resultando, al igual que antes, de la tercera ecuación VB 152 Leyes de esfuerzos Ecuaciones del Esfuerzo de Corte y Momento Flector En este caso, al conocer la fuerza total actuante P centro geométrico del triángulo zCG q , y la distancia del apoyo A al 2 2 , se procede de la siguiente forma, 3 q s2 q q s2 1 qs Q ( s ) V s V A A 2 6 2 2 3 M( s) M 0 V s 1 q s s s q s q s A A 6 6 2 3 153 S. Oller, L. G. Nallim Que, como puede verse, coinciden nuevamente con las expresiones obtenidas en el Ejemplo 3-3 y Ejemplo 3-4. Trazado de las Leyes de Esfuerzo Cortante y Momento Flector Puesto que las ecuaciones son las mismas que las obtenidas anteriormente, los diagramas correspondientes a los respectivos Esfuerzos de Corte y Momento Flector no se volverán a representar. Comentario Adicional Este último procedimiento puede resultar muy simple en algunos casos estructurales. Sin embargo, hay otros casos en que puede ser extremadamente complejo y por lo tanto resulta más simple la resolución que se ha presentado en el Ejemplo 3-3. Ejemplo 3-6: Dada la viga plana representada en la figura: a) Calcular las reacciones de vínculo. b) Obtener las leyes o diagramas de momento flector y esfuerzo de corte, y representar gráficamente. Reacciones de vínculo Par obtener las reacciones de vínculo, en primer lugar se las evidencia, tal como lo muestra la siguiente figura, 0; 0 z a q q z z a; a z a b b b c 0; a b z a 154 Leyes de esfuerzos A continuación, se calculan las reacciones de vínculo a través de las ecuaciones de equilibrio qb Fy 0 VA VB 2 Fz 0 H A M 0 qb 2 b a V B 2 3 A VB qb 2b 3a 6 y reemplazando en la primera ecuación se obtiene la reacción vertical en el apoyo A , VA qb qb qb qb VB 2b 3a 6 2 2b 3a 2 2 6 12 VA qb b 3c 6 Leyes de Esfuerzo La Ley del Esfuerzo de Corte viene dada por qb VA 6 b 3c ; 0 z a q z z a qb q 2 Q( z ) VA b 3c z a ; a z a b 2 6 2b qb qb qb VA 2 6 b 3c 2 ; a b z La posición z0 , para la cual el cortante es nulo, se obtiene igualando a cero la ecuación del corte correspondiente al tramo a z a b , o sea, qb q 2 b 3c z0 a 6 2b 2 b 2 z0 a b 3c 3 Q( z ) 0 z0 a b 3 b 3c 3 z0 a b 3 b 3c 3 155 S. Oller, L. G. Nallim La Ley del Momento Flector resulta: qb V z b 3c z; 0 z a A 6 3 q z z a z a qb q z a b 3c z ; a z a b VA z b 6 2 3 6 M( z) V z qb b z a b qb b 3c z q b z a b 6 A 2 3 2b 3 qb VB z 2b 3a z ; a b z 6 El momento máximo se produce en z z0 , y vale Mmax qb b 3c 2b 3 b 3c 9a 54 2 156 Leyes de esfuerzos 3.5 Viga Gerber o en Cantiléver 3.5.1 Definición Se denomina viga Gerber o en Cantiléver a aquella estructura isostática en la que el número de articulaciones internas es igual al número de apoyos móviles menos uno. Es decir, que se verifica N A NV 1 (3.16) donde N A es el número de articulaciones internas y NV es el número de vínculos móviles. En la Figura 3.23 se representan ejemplos de este tipo de vigas. Figura 3.23 – Ejemplos de vigas Gerber. Existen otros tipos de estructuras articuladas rectilíneas isostáticas, que no son vigas Gerber y que, sin embargo, se resuelven de la misma forma que éstas, tal como se verá en la Sección 3.5.2 y 3.5.3, y como se ilustra en la Figura 3.24. 157 S. Oller, L. G. Nallim Figura 3.24 – Ejemplos de vigas Gerber. 3.5.2 Método analítico El problema fundamental en este tipo de estructuras es el cálculo de las reacciones externas; para determinarlas se utilizan las tres ecuaciones básicas de la estática ya estudiadas, y se añaden tantas ecuaciones linealmente independientes como articulaciones internas tenga la estructura. Sea por ejemplo la viga representada en la Figura 3.25, las correspondientes ecuaciones vienen dadas por Fz 0 f z H A Fy 0 f y VA , VB , VD , P1 , P2 M A 0 fM A VB , VD , P1 , P2 (3.17) El conjunto de ecuaciones (3.17) contiene 3 ecuaciones con 4 incógnitas ( H A , VA , VB , VD ). La ecuación adicional, en este caso, se puedo obtener tomando equilibrio de momentos a la derecha de la articulación C , de la siguiente manera M Der C 0 fMC VD , P2 (3.18) Esta última expresión (ecuación (3.18)) podría ser establecida respecto de cualquier punto del plano, siempre que se conozca allí el valor del momento. 158 Leyes de esfuerzos Por ello es conveniente elegir el punto " C " ubicado en la articulación, donde se sabe que el momento allí es nulo. Figura 3.25 – Viga Gerber, determinación de reacciones. 3.5.3 Método de descomposición En este caso se descompone la estructura en " n " estructuras isostáticas, siendo n el número de articulaciones menos uno. Figura 3.26 – Viga Gerber, método de descomposición. S. Oller, L. G. Nallim 159 Ejemplo 3-7: Dada la viga plana representada en la figura: a) Calcular las reacciones de vínculo por descomposición. b) Calcular las reacciones de vínculo por el método analítico c) Obtener las leyes de esfuerzos y representarlas gráficamente. a) Reacciones de vínculo por descomposición Para obtener las reacciones de vínculo en primer lugar se las ponen en evidencia, tal como lo muestra la siguiente figura, 160 Leyes de esfuerzos A continuación, se calculan las reacciones de vínculo a través de las ecuaciones de equilibrio Fy 0 VF VG 20 3 4 2 FGH 3 4 M F 0 VG 3 20 2 VG 490 163.33kN 3 VF 163.33 140 23.33kN Fy 0 VD 40 VE 20 3 23.33 DEF M D 0 VE 4 20 3 1.5 4 23.33 3 4 VE 41.67 kN VD 35kN VD Fy 0 VB 10 3 VC 35 BCD 2 M 0 10 3 V 3 35 4 3 C B 2 VC 96.67 kN VB 31.67kN Fy 0 VA 31.67 VA 31.67 kN AB M A 0 M A VB 3 M A 31.67 3 b) Reacciones de vínculo, método analítico M A 95.01kNm 161 S. Oller, L. G. Nallim El problema tiene 5 incógnitas: M A ,VA , VC , VE y VG ; es necesario plantear 5 ecuaciones, de las cuales 2 provienen de la estática y las 3 restantes de plantear los momentos en las articulaciones. Fy 0 VA 10 3 VC 40 VE 20 10 VG M A 0 M A 10 31.5 3 VC 6 40 10 VE 14 20 10 5 14 VG 20 M Der 0 20 7 7 V 3 2 G F Der M D 0 20 10 5 4 VG 10 VE 4 Izq M B 0 M A VA 3 La solución de estas 5 ecuaciones permite obtener los resultados determinados anteriormente para las reacciones de vínculo: M A , VA , VC , VE y VG . c) Leyes de Esfuerzo y representación gráfica Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB ( 0 z 3 ): Q z A VA B Q A Q B B A B A Q z 0 A 31.67 kN B Q z 3 A 31.67 kN B Tramo BC ( 3 z 6 ): Q z B C Q C Q z 3 C 31.67kN BB B VA 10 z 3 C C QC B Q z 6 B 61.67kN Tramo CD ( 6 z 10 ): Q z C D Q D Q z 6 D 35kN CC C VA 10 3 VC 35 D D z 10 35kN Q Q C D QC B 61.67 C C Tramo DE ( 10 z 14 ): 162 Leyes de esfuerzos Q z D E Q E Q z 10 E 5kN DD D VA 10 3 VC 40 E E QE D Q z 14 D 5kN D QD C 35 Tramo EF ( 14 z 17 ): Q z E VA 10 3 VC 40 VE 20 z 14 5 41.67 20 z 14 F QE E 5 D Q E 316.67 20 z Q F F E F E Q z 14 E 36.67 kN F Q z 17 E 23.33kN F El valor de z que hace nulo el esfuerzo de corte en el tramo EF ( 14 z 17 ) resulta: Q z E 316.67 20 z0 0 z0 15.83m F La ley de esfuerzo de corte en el Tramo EF puede obtenerse empleando ejes locales. Para ello se adopta un eje local z con origen en el apoyo E , tal que 0 z 3 . Entonces el esfuerzo de corte está dado por Q z E F Q E 5 41.67 20 z 36.67 20 z QF F E F E Q z 0 E 36.67 kN F Q z 3 E 23.33kN Luego, el valor de z que hace nulo el corte resulta, Q z 36.67 20 z0 0 z0 1.83m Tramo FG ( 17 z 20 ): Q z F 23.33 20 z 17 G QF F E Q F 316.67 20 z QG Tramo GH ( 20 z 24 ): G F G F Q z 17 F 23.33kN G Q z 20 F 83.33kN G F 163 S. Oller, L. G. Nallim Q z G 83.33 VG 20 z 20 83.33 163.33 20 z 20 H QG G F Q H Q z 20 H 80kN GG G 480 20 z H H Q H G Q z 24 G 0 Ley de Momentos Flectores Tramo AB ( 0 z 3 ): M z A B M A 95.01 31.67 z MA VA MB B A B A M z 0 A 95.01kN m B M z 3 A 0 B Tramo BC ( 3 z 6 ): M z B MB C B A 0 Q B B z 3 C 31.67 z 3 10 2 2 164 Leyes de esfuerzos M C M z 3 C 0 BB B 50.01 1.67 z 5 z C C MC B M z 6 B 140.01kN m 2 Tramo CD ( 6 z 10 ): M D M z 6 D 140.01kN m CC C 140.01 z 6 35 D D D C MD C M z 10 C 0 QC C MC B M z C D Tramo DE ( 10 z 14 ): M z D MD C E D 0 M E M z 10 E 0 DD D 5 z 10 E E ME D M z 14 D 20kN m E QD D Tramo EF ( 14 z 17 ): M z E 20 36.67 z 14 F ME E D QE z 14 20 2 2 F E M F M z 14 F 20kN m E EE F 2 max F 2493.38 316.67 z 10 z M M z0 15.83 E 13.62kN m E F F MF E M z 17 0 E Tramo EF utilizando el eje local z con 0 z 3 . 20 36.67 M z E z 20 F ME E D QE F E z 2 2 M F M z 0 F 20kN m E EE F F 20 36.67 z 10 z 2 Mmax M z0 1.83 E 13.62kN m E F F MF E M z 3 0 E 165 S. Oller, L. G. Nallim Tramo FG ( 17 z 20 ): M z F MF G F E 0 (23.33) z 17 z 17 20 2 G QF F M F 2493.39 316.67 z 10 z MG G F 2 G F 2 M z 17 F 0 G M z 20 F 160kN m G Tramo GH ( 20 z 24 ): M z G 160 80 z 20 H MG G F H QG G z 20 20 2 2 M H M z 20 H 160kN m GG G 5760 480 z 10 z 2 H H MH G M z 24 G 0 Ejemplo 3-8: Dada la viga plana representada en la figura, obtener y representar gráficamente las leyes de esfuerzos. 166 Leyes de esfuerzos a) Cálculo de Reacciones q Fy 0 VA VC 30 4 M M 0 M 240 30 4 4 2 VC 4 4 A A q 4 Der M B 0 30 4 2 VC 4 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VC 60kN ; Verificación VA 60kN ; M A 480kN m M C 0 480 60 8 240 30 42 0 2 b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A VA B Tramo BC : Q s B C Q A Q B B A B A Q s 0 A 60kN B Q s 4 A 60kN B Q C Q s 0 C 60kN BB B Q B A q s 60 30 s C C QC B Q s 4 B 60kN B El corte en este tramo se anula en la coordenada local s0 , que se obtiene como 167 S. Oller, L. G. Nallim Q s B 60 30 s0 0 C s0 2m c) Ley de Momento Flector Tramo AB : M s A B M A M A VA s 480 60 s MB B A B A M s 0 A 480kN m B M s 4 A 240kN m B Tramo BC : M s B MB A MB Q B B s q C B 60 s 15 s2 C s2 30 s2 240 240 60 s 2 2 M C M s 0 C 0 B BB C max M M s0 2 B 60kN m C C MC B M s 4 B 0 168 Leyes de esfuerzos Ejemplo 3-9: Dada la viga plana representada en la figura, obtener y representar gráficamente las leyes de esfuerzos. a) Cálculo de Reacciones Fy 0 VA VB 50 20 7 72 M A 0 300 20 VB 7 50 7 3 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 91.43kN Verificación M B VB 98.57kN 7 0 300 91.43 7 20 7 50 3 0 2 169 S. Oller, L. G. Nallim b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A B Q A VA q s 91.43 20 s Q B B A B A Q s 0 A 91.43kN B Q s 7 A 48.57 kN B El cero del esfuerzo de corte se obtiene como Q s0 A 0 91.43 20 s0 s0 4.57 m B Tramo BC : Q s B C Q C Q s 0 C 50kN BB B Q B A VB 48.57 98.57 50 C C QC B Q s 3 B 50kN B c) Ley de Momento Flector Tramo AB : s2 s2 300 91.43 s 20 2 2 M B M s 0 B 300kN m A AA B max B 2 300 91.43 s 10 s M M s0 4.57 A 91.02kN m A B B MB A M s 7 A 150kN m M s A M A VA s q B 170 Leyes de esfuerzos Tramo BC : M s B C M C M s 0 C 150kN m BB B MB A Q B B s 150 50 s C C MC B M s 3 B 0 B C Ejemplo 3-10: Dada la viga plana representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzos cortantes con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones 171 S. Oller, L. G. Nallim Fy 0 VA VB VD 40 10 50 102 0 40 M VB 10 50 10 5 VD 10 5 6 60 A 2 Der M C 0 VD 6 60 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 170kN ; VB 290kN ; VD 10kN Verificación M D 10 0 VA 10 5 6 VB 5 6 40 10 5 6 50 6 60 0 2 b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A B Q A VA q s 170 40 s Q B B A B A Q s 0 A 170kN B Q s 10 A 230kN El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como Q s0 A 0 170 40 s0 s0 4.25m B Tramo BC : Q s B C Q B C 60kN B QB A 290 230 290 C QC B 60kN B B 172 Leyes de esfuerzos Tramo CD : Q s C QC D C B QC D 10kN C 50 60 50 D Q D C 10kN c) Ley de Momento Flector Tramo AB : M s A VA s q B s2 170 s 20 s 2 2 M B M s 0 B 0 A AA B max B M A M s0 4.25 A 361.25kN m B B MB A M s 10 A 300kN m El momento flector, en este tramo se anula para: M s* A 170 s* 20 s*2 0 s* 8.5m B Tramo BC : M s B C C C MB B M s 0 B 300kN m MB A QB B s 300 60 s C C MC B M s 5 B 0 B C Tramo CD : M s C MC D C B 0 QC D C M D M s 0 D 0 CC C s 10 s D D MD C M s 6 C 60kN m S. Oller, L. G. Nallim 173 Ejemplo 3-11: Dada la viga plana representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones F 0 V V V 1 10 3 3 6 2 A B D y 2 10 3 3 6 2 20 VB 10 M A 0 1 10 3 3 6 VD 10 3 6 2 2 3 6 2 Der M C 0 VD 6 2 3 6 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene 174 Leyes de esfuerzos VA 1.65kN ; VB 14.35kN ; VD 6kN Verificación VA VB M D 0 1.65 10 3 6 14.35 3 6 q2 q1 M B 3 6 6 10 3 20 1 10 3 6 0 2 2 3 b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A B Q A VA q1 s 1.65 1 s Q B B A B A Q s 0 A 1.65kN B Q s 10 A 8.35kN El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como Q s0 A 0 VA q1 s0 s0 1.65m B Tramo BC : B 175 S. Oller, L. G. Nallim Q C Q s 0 C 6kN BB B Q s B QB A VB q1 s 8.35 14.35 1 s 6 s C C QC B Q s 3 B 3kN q q( s) q2 1 Tramo CD : q( s) 2 s s 0.5 s s 6 6 2 C B Q s C QC D C B q s s 2 3 0.25 s Q D Q s 0 D 3kN CC C D D Q D C Q s 6 C 6kN 2 El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como Q s0 C 0 3 0.25 s0 D 2 s0 3.46m c) Ley de Momento Flector Tramo AB : M s A B B s2 2 M s A VA s q1 2 1.65 s 0.5 s ; 0 s 5 2 M s B V s q s M 1.65 s 0.5 s 2 20; 5 s 10 A B 1 B 2 B de M s A de M s B B M B M s 0 B 0 A AA B max B M A M s0 1.65 A 1.36kN m B B MB ' A M s 5 A 4.25kN m M B M s 5 B 4.25kN m B ' B B B B MB B M s 10 B 13.5kN m El momento flector, en este tramo, se anula para: 176 Leyes de esfuerzos B de M s*1 A 1.65 s* 0.5 s*12 0 s*1 3.3m de M s*2 B 1.65 s* 0.5 s*22 20 0 s*2 8.19m B Tramo BC : Q C B B C s 2 B B 13.5 8.35 14.35 s 0.5 s2 M s B MB B Q B A VB s q 2 C C MB B M s 0 B 13.5kN m 2 13.5 6 s 0.5 s C C MC B M s 3 B 0 Tramo CD : M s C MC D C B 3 s 0 QC 1 s3 12 D C s q s s s 0.5 s s 3 s s 2 3 6 M D M s 0 D 0 C CC D max D M C M s 3.46 C 6.93kN m D D MD C M s 6 0 C S. Oller, L. G. Nallim 177 Ejemplo 3-12: En la siguiente estructura plana obtener las leyes de momento flector, esfuerzo cortante y esfuerzo normal. a) Cálculo de Reacciones 178 Leyes de esfuerzos Fy 0 VA VC Fz 0 H A 10 3 VC 2 30 M A 0 10 MD P Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 30kN ; H A 10kN ; VC 30kN b) Ley de Momento Flector M A H A s 10 s MB M s A B B A B A M s 0 A 0 B M s 3 A 30kN m B M s B H A 3 VA s C M C M s 0 C 30kN m BB B 30 30 s C C MC B M s 2 B 30kN m M s D MD 30kN m C S. Oller, L. G. Nallim c) Ley de Esfuerzo Corte Q s A H A 10kN B Q s B VA 30kN C Q s D 0 C d) Ley de Esfuerzo Normal N s A VA 30kN B N s B H A P 10 10 0 C N s D 0 C Ejemplo 3-13: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones 179 180 Leyes de esfuerzos F 0 V V V 30 10 100 A B D y 2 Fz 0 H A M 0 30 10 10 V 10 100 10 6 3 V 10 6 3 3 B D 2 3 A M Der 0 100 3 V 3 3 D C Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 70kN ; VB 130kN ; VD 50kN Verificación M D 30 10 2 0 70 22 3 10 12 130 12 100 3 0 2 b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : s s B 10 z Q s A VA q z dz 70 30 dz 0 0 10 70 30 s 1.5 s 2 Q A Q B B A B A Q s 0 A 70kN B Q s 10 A 80kN B 181 S. Oller, L. G. Nallim El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como 2.70m B Q s0 A 0 70 30 s0 1.5 s02 s0 17.30m C E B Tramo BC y CE : Q B Q C Q B A VB 80 130 50kN D E Tramo ED : Q E Q C P 50 100 50kN c) Ley de Momento Flector Tramo AB : 182 Leyes de esfuerzos s B s 0 A 0 M s A Q z dz 70 30 z 1.5 z 2 dz B 70 s 15 s 2 0.5 s 3 M B M s 0 B 0 A AA B max B M A M s0 2.70 A 89.49kN m B B MB A M s 10 300kN m A El momento flector, en este tramo, se anula para: M s* A 70 s* 15 s 0.5 s B 2 * 3 * 0 s* 24.22m 5.78m Tramo BC : M s B C M C M s 0 C 300kN m B C BB B MB A QB B s 300 50 s C C MC B M s 6 B 0 Tramo CE : M s C MC E C B 0 QC D C MC s 50 s ME s 0 0 E s 3 150kN m C E C Tramo ED : M s E ME D E C QE D E s 3 150 50 s 3 D D ME E M s 3 E 150kN m 300 50 s D D MD E M s 6 E 0 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 3-14: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones 183 184 Leyes de esfuerzos Fy 0 VA VB 1 10 2 Fz 0 H A M 0 1 10 2 12 VB 10 2 A Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 4.8kN ; VB 7.2kN b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB ( 0 s 10 ): Qs A B Q A VA q s 4.8 1 s Q B B A B A Q s 0 A 4.8kN B Q s 10 A 5.2kN B El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como Q s0 A 0 4.8 1 s0 s0 4.8m B Tramo BC ( 10 s 12 ): Q s B Q B A VB q s 10 5.2 7.2 1 s 10 C B 2 s 10 Q C Q s 10 C 2kN BB B C C QC B Q s 12 B 0 c) Ley de Momento Flector Tramo AB ( 0 s 10 ): 185 S. Oller, L. G. Nallim s B s 0 A 0 M s A Q z dz 4.8 s dz B M B M s 0 B 0 A AA B max B M A M s0 4.8 A 11.52kN m B B MB A M s 10 2kN m A 4.8 s 0.5 s 2 El momento flector, en este tramo, se anula para: M s* A 4.8 s* 1 B s*2 0m 0 s* 2 9.6m Tramo BC ( 10 s 12 ): M s B VA s q C s2 VB s 10 2 4.8 s 0.5 s 2 7.2 s 10 M C M s 10 C 2kN m BB B C C MC B M s 12 B 0 186 Leyes de esfuerzos Ejemplo 3-15: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones 187 S. Oller, L. G. Nallim P1 P2 Fy 0 VA VB VD 10 20 P1 P2 M A 0 VB 10 10 5 20 14.5 VD 16 P2 Der M C 0 VD 3 20 1.5 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 2kN ; VB 18kN ; VD 10kN b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AP1 : Q s A VA 2kN P1 Tramo P1 B : Q s P VA P1 2 10 8kN B 1 Tramo BP2 : Q s B Q s P VB 8 18 10kN P2 B 1 Tramo P2 D : Q s P Q s B P2 10 20 10kN D P2 2 c) Ley de Momento Flector Tramo AP1 ( 0 s 5 ): M s A P1 M P1 M s 0 P1 0 AA A Q z dz 2 s P1 P1 0 A MP1 M s 5 A 10kN m A s P1 Tramo P1 B ( 5 s 10 ): 188 Leyes de esfuerzos M s P VA s P1 s 5 2 s 10 s 5 B 1 M B M s 5 B 10kN m P1 P1 P1 8 s 50 B B MB P M s 10 30kN m P1 1 Tramo BP2 ( 10 s 14.5 ): M s B VA s P1 s 5 VB s 10 2 s 10 s 5 18 s 10 P2 MB P2 s 10 30kN m B 10 s 130 P2 MP2 B s 14.5 15kN m Tramo P2 D ( 14.5 s 16 ): M s P VA s P1 s 5 VB s 10 P2 s 14.5 D 2 M D s 14.5 15kN m P2 P2 10 s 160 D MD P s 16 0 2 189 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 3-16: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones Fy 0 VA VC VD P q 6 VA VC VD 20 4 6 M A 0 P 3 VC 6 q 6 9 VD 12 20 3 VC 6 4 6 9 VD 12 Izq M B 0 VA 3 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 0kN ; VC 42kN ; VD 2kN 190 Leyes de esfuerzos b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB ( 0 s 3 ): Q s A VA 0 B Tramo BC ( 0 s 3 ): Q s B VA P 0 20 20kN C Tramo CD ( 0 s ' 6 ): Q s C QC D C B VC q s 20 42 4 s Q s 0 D 22kN C 22 4 s D Q s 6 C 2kN El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como Q s0 C 0 22 4 s0 s0 5.5m D c) Ley de Momento Flector Tramo AB ( 0 s 3 ): M s A 0 B Tramo BC ( 0 s 3 ): M s B C M C M s 0 C 0 BB B P1 s 20 s C C MC B M s 3 B 60kN m Tramo CD ( 0 s ' 6 ): 191 S. Oller, L. G. Nallim M s C MC D C B QC C B s s q 60 22 s 2 s 2 2 2 M D M s 0 D 60kN m C CC D max D M C M s 5.5 C 0.5kN m D D MC C M s 6 0 C El momento flector, en este tramo, se anula para: M s* C D s 60 22 s 4 * * 2 2 5m 0 s* 6 m 192 Leyes de esfuerzos Ejemplo 3-17: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones q1 q2 P Fy 0 VA 1 10 VB 20 3 3 VD 102 6 2 M 0 M q VB 10 P 13 q2 6 13 VD 19 A 1 2 2 3 6 2 Der M C 0 3 2 3 6 VD 6 193 S. Oller, L. G. Nallim Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 3.9kN ; VB 36.9kN ; VD 6kN b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB ( 0 s 10 ): Qs A B Q A VA q1 s 3.9 1 s Q B B A B A Q s 0 A 3.9kN B Q s 10 A 13.9kN B Tramo BC ( 10 s 13 ): Q s B Q B A VB 13.9 36.9 23kN C q s q2 s 6 Tramo CD ( 0 s 6 ): B q s s 3 s q s 6 2 s s Q s C QC B P q s 23 20 2 4 Q D Q s 0 D 3kN C CC 2 3 0.25 s D Q D D Q s 6 6kN C C D 2 C El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como Q s0 C 0 3 0.25 s0 s0 3.46m D c) Ley de Momento Flector Tramo AB ( 0 s 10 ): 2 194 Leyes de esfuerzos M s A M VA s q1 B s2 2 20 3.9 s 0.5 s 2 M A MB B A B A M s 0 A 20kN m B M s 10 A 69kN m B El momento flector, en este tramo, se anula para: 11.33m B 2 M s* A 20 3.9 s* 0.5 s* 0 s* 3.53m Tramo BC ( 10 s 13 ): M s B M VA s q1 10 s 5 VB s 10 20 3.9 s 110 s 5 36.9 s 10 C C C MB B M s 10 B 69kN m 299 23 s C C MC B M s 13 B 0 Tramo CD ( 0 s 6 ): M s C QC D D C s q s s 3 s 12 3 s s s s s 3 s 2 3 2 2 3 M D M s 0 D 0 C CC D max D M C M s 3.46 C 6.93kN m D D MC C M s 6 0 C S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 3-18: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones 195 196 Leyes de esfuerzos Fy 0 VA VC VD P q 6 VA VC VD 20 40 6 6 M D 0 M VA 12 P 9 VC 6 q 6 2 60 VA 12 20 9 VC 6 40 18 Izq M B 0 VA 3 M VA 3 60 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 20kN ; VC 180kN ; VD 100kN b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB ( 0 s 3 ): Q s A 20kN B Tramo BC ( 3 s 6 ): Q s B Q B A P 20 20 40kN C B Tramo CD ( 0 s 6 ): Q s C QC D C B VC q s 40 180 40 s Q D Q s 0 D 140kN C CC 140 40 s D Q D D Q s 6 100kN C C El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como 197 S. Oller, L. G. Nallim Q s0 0 140 40 s0 s0 3.5m c) Ley de Momento Flector Tramo AB : M s A B M A M VA s 60 20 s MB B A B A M s 0 A 60kN m B M s 3 A 0 B Tramo BC : M s B M VA s P s 3 60 20 s 20 s 3 C M C M s 3 C 0 BB B 120 40 s C C MC B M s 6 B 120kN m Tramo CD : M s C MC D C B C QC B s q s 2 2 s 120 140 s 40 2 2 M D M s 0 D 120kN m C CC D D max M C M s 3.5 C 125kN m D D MC C M s 6 0 C El momento flector, en este tramo, se anula para: M s* C D s 120 140 s 40 * * 2 1m 0 s* 2 6 m 198 Leyes de esfuerzos Ejemplo 3-19: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. 199 S. Oller, L. G. Nallim a) Cálculo de Reacciones Fz 0 H B Fy 0 VA VB P q L1 VA VB 50 20 7 2 M 0 q L1 V L P L L 20 49 V 7 50 10 1 1 2 B B A 2 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 48.57 kN ; VB 141.43kN b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A B Q A VA q s 48.57 20 s Q B B A Q s 0 48.57 kN B B B A A Q s 7 91.43kN El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como Q s0 A 0 48.57 20 s0 s0 2.43m B Tramo BC : Q s B Q B A VB 91.43 141.43 50kN C c) Ley de Momento Flector Tramo AB : B A 200 Leyes de esfuerzos s M s A VA q s1 ds1 VA s q B 0 48.57 s 10 s 2 s2 2 M B M s 0 B 0 A AA B max B M A M s0 2.43 A 59kN m B B MB A M s 7 A 150kN m El momento flector, en este tramo, se anula para: B 0 M s* A 48.57 s* 10 s*2 0 s* 4.86m Tramo BC : M s B MB A C B s 0 M C M s 0 C 150kN m BB B Q s1 B ds1 150 50 s C C MC B M s 3 B 0 C S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 3-20: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones 201 202 Leyes de esfuerzos Fz 0 H A Fy 0 VA q a VC VA VC 30 4 2 M Der 0 q a V a 30 8 V 4 C C B 2 a M A 0 M A q a a VC 2a M A 30 4 6 VC 8 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 60kN ; VC 60kN ; M A 240kN m b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A VA 60kN B Tramo BC : Q s B C Q C Q s 0 C 60kN B BB B Q B A q s 60 30 s C QC C Q s 4 60kN B B El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como Q s0 0 60 30 s0 s0 2m c) Ley de Momento Flector Tramo AB : M s A B M A M A VA dz 240 60 s 0 MB Tramo BC : s B A B A M s 0 A 240kN m B M s 4 A 0 B 203 S. Oller, L. G. Nallim s M s B MB A Q z B dz 0 C B C 0 0 2 60 30 z s dz 60 s 30 2 M M s 0 0 B BB C max C M B M s0 2 B 60kN m C C MC B M s 4 0 B C 60 s 15 s s C Ejemplo 3-21: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. 2 204 Leyes de esfuerzos d) Ley de esfuerzos normales. a) Cálculo de Reacciones Fy 0 VA VB P q L1 VA VB 50 20 7 Fz 0 H B P H B 50 2 M 0 M q L1 V L P L L 300 20 49 V 7 50 10 A B B 1 1 2 A 2 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 91.43kN ; VB 98.57 kN ; H B 50kN b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A B Q A VA q s 91.43 20 s Q B B A Q s 0 91.43kN B B B A A Q s 7 48.57 kN El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, resulta s0 4.57 m Tramo BC : Q s B Q B A VB 48.57 98.57 50kN C c) Ley de Momento Flector Tramo AB : B A 205 S. Oller, L. G. Nallim s M s A M A VA q z dz M A VA s q B 0 300 91.43 s 10 s 2 s2 2 M B M s 0 B 300kN m A AA B max B M A M s0 4.57 A 91.02kN m B B MB A M s 7 A 150kN m Tramo BC : M s B MB A C B s 0 M C M s 0 C 150kN m BB B Q z B dz 150 50 s C C MC B M s 3 B 0 C Ejemplo 3-22: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante. c) Ley de momentos flectores. d) Ley de esfuerzo normal. 206 Leyes de esfuerzos a) Cálculo de Reacciones Fz 0 H A H B Fy 0 VA P M A 0 H B L P 2 L Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA P ; b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AC : Q s A VA P C Tramo DC : Q s D H A 2 P C Tramo EC : Q s C P E H A HB 2P 207 S. Oller, L. G. Nallim c) Ley de Momento Flector Tramo AC : M s AC VA s AC P s AC C A M C M s AC 0 C 0 A AA C MC C M s AC L P L A A Tramo DC : M s DC H B s DC 2 P s DC C D Tramo CE : M s EC P s EC C E b) Ley de Esfuerzo Normal Tramo AC : N s AC H A 2 P C A Tramo EC : N s EC 0 C E Tramo DC : N s DC 0 C D M C M s DC 0 C 0 D DD C MC C M s DC L 2 P L D D M E MC C E C E M s EC 0 0 C E M s EC L P L C E 208 Leyes de esfuerzos Tramo BD : N s BD H B 2 P D B Ejemplo 3-23: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. 209 S. Oller, L. G. Nallim a) Cálculo de Reacciones q2 4 Fy 0 VA VB q1 9 2 VA VB 30 9 60 2 2 M B 0 VA 9 q1 9 q2 4 2 4 VA 9 30 81 120 8 2 2 3 2 3 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 99.44kN ; VB 290.56kN Verificación M A VB 9 30 92 60 4 2 4 9 2615 1215 1400 0 2 2 3 b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Qs A B Q A VA q s 99.44 30 s Q B B A Q s 0 99.44kN B B B A A Q s 9 170.56kN A El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como 210 Leyes de esfuerzos Q s0 0 99.44 30 s0 s0 3.31m Tramo BC : C B 60 s s 2 Q s B Q B A VB 170.56 290.56 7.5 s 4 2 120 7.5 s2 Q C Q s 0 C 120kN B BB C Q s 2 B 90kN C QC C Q s 4 0 B B c) Ley de Momento Flector Tramo AB : M B M s 0 B 0 A AA 2 B B s max B 2 M s 3.31 A 164.82kN m M s A VA s q1 99.44 s 15 s M A 2 B B MB A M s 9 A 320kN m El momento flector, en este tramo, se anula para: B 0 M s* A 99.44 s* 15 s*2 0 s* 6.63m Tramo BC : q2 q s s 4 q s q2 s 60 s 15 s 4 4 211 S. Oller, L. G. Nallim M s B C s ' q B C 60 s s s MB A Q B B s 4 2 3 320 120 s 2.5 s 3 M C M s 0 C 320kN m B BB C M s 2 B 100kN m C C MC B M s 4 B 0 212 Leyes de esfuerzos Ejemplo 3-24: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones Fz 0 H B T H B 100 Fy 0 V A VB VD q 10 P V A VB VD 40 10 50 10 M A 0 q 10 2 VB 10 P 10 5 VD 10 5 6 M 400 5 VB 10 50 15 VD 21 60 Der M C 0 VB 6 M VB 6 60 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 170kN ; VB 290kN ; VD 10kN ; H B 100kN Verificación M D 10 VA 10 5 6 VB 5 6 40 10 5 6 50 6 60 2 3570 3190 640 6400 60 0 b) Ley de Esfuerzo de Corte 213 S. Oller, L. G. Nallim Tramo AB : Q s A B Q A VA q s 170 40 s Q B B A B A B Q s 0 170kN A B Q s 10 230kN A El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, resulta s0 4.25m Tramo BC : Q s B C Q C Q s 0 C 60kN B BB B Q B A VB 230 290 C QC C Q s 5 60kN B B Tramo CD : Q s C QC D C B Q D Q s 0 C 10kN B CC P 60 50 C Q D D Q s 6 10kN B C c) Ley de Momento Flector Tramo AB : M s A B s2 VA s q 170 s 20 s 2 2 M B M s 0 B 0 A AA B max B M A M s 4.25 A 361.25kN m B B MB A M s 10 A 300kN m El momento flector, en este tramo, se anula para: s* 0; s* 8.5m Tramo BC : M s B M C M s 0 C 300kN m BB B 300 60 s C C MC B M s 5 B 0 Tramo CD : M s C M D M s 0 C 0 CC B 10 s C D MD C M s 6 B 60kN m C D 214 Leyes de esfuerzos 215 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 3-25: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. d) Ley de esfuerzos normales. a) Cálculo de Reacciones Fz 0 H B Fy 0 P q 2 4 VA VB 5 10 6 VA VB M A 0 q 6 6 P 4 VB 4 M 10 6 3 5 4 VB 4 60 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 0 ; VB 65kN 216 Leyes de esfuerzos Verificación M B 10 tg 42 22 10 60 80 20 60 0 2 2 BC 2 0.5 26.56º AB 4 b) Leyes de Esfuerzos Barra AC : Q z A VA C 0 q z cos 26.56º 10 z cos 26.56º Q C Q z 0 C 0 A AA 8.94 z C QC C Q z 4 35.78kN A A M z A VA C 0 z q z2 5 z 2 2 M C M z 0 C 0 A AA C C M AC /2 A M z 2 A 20kN m C C MC A M z 4 A 80kN m 217 S. Oller, L. G. Nallim N z A C N C N z 0 C 0 A 0 AA VA q z sen 26.56º 4.47 z C NC C N z 4 17.89kN A A Barra BC : Q y B 0 ; C M y B 0 ; C N y B VB 65kN C Barra DC : Qs D C Q C Q s 0 C 0 A DD q s 10 s D QC C Q s 2 20kN C D M s D MD q C s2 60 5 s 2 2 M C M s 0 C 60kN m D DD C C MDC / 2 D M s 1 D 65kN m C C MC D M s 2 D 80kN m N s D 0 C Equilibrio en el nudo C Fz 17.885 cos(26.56º ) 35.778 sen(26.56º ) 0 Fy 35.778 cos(26.56º ) 17.885 sen(26.56º ) 20 65 5 0 M C 80 80 0 218 Leyes de esfuerzos 219 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 3-26: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Leyes de esfuerzos con sus máximos, mínimos y ceros. Determinación del ángulo b cos 2m Suponiendo el caso en que el dato sea b , se obtiene la magnitud c mediante el teorema c b del seno: b c sen , sustituyendo en la expresión anterior se sen 90º sen obtiene: c sen cos 2 c sen 2 2 1 sen2 2 c sen2 4 2 4 c sen2 sen 1 26.56º 2 c a) Cálculo de Reacciones Fz 0 H B Fy 0 VA VB q 6 P VA VB 10 6 5 M B 0 VA 5 q 6 3 1 P 1 M VA 5 10 6 2 5 60 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 13kN ; VB 52kN 220 Leyes de esfuerzos b) Leyes de Esfuerzos Barra AC : Q z A VA q z cos 13 10 z cos 26.56º C Q C Q z 0 C 11.63kN A AA C QC C Q z 4 24.15kN A A El corte en este tramo se anula para, Q z0 A 13 10 z0 cos 26.56º 0 z0 1.3m C M z A C z2 13 z 10 13 z 5 z 2 2 El momento en este tramo se anula para: M C M z 0 C 0 A AA C max C M A M z0 1.3 A 8.45kN m C C MC A M z 4 28kN m A 221 S. Oller, L. G. Nallim z* 0 C M z* A 13 z* 5 z*2 0 z* 2.6m N z A VA q z sen 26.56º C 13 10 x sen 26.56º N C N z 0 C 5.81kN A AA C NC C N z 4 12.07kN A A Barra DC : Q s DC M s DC C D Q C Q s DC 0 D 0 C DD 10 s C QC C Q s DC 2 20kN A D 2 s DC D 60 10 2 M C M s DC 0 C 60kN m D DD C 2 C 60 5 s DC MDC / 2 D M s DC 1 65kN m D C C M M s DC 2 80kN m D C D C N s DC 0 C D Barra BC : Q s BC VB sen 52 sen 26.565º 23.5kN C B 222 Leyes de esfuerzos M s BC VB sen s BC C B 52 s BC sen 26.565º z' M C M z ' 0 C 0 BB B C C MC B M z ' 1 B 52kN m N s BC VB cos 52 cos 26.565º 46.51kN C B Equilibrio en el nudo C S. Oller, L. G. Nallim 223 224 Leyes de esfuerzos Ejemplo 3-27: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones qL 10 6 Fy 0 VA VB 2 VA VB 2 M A 0 q L 2 L M VB 6 10 6 2 6 30 VB 6 2 3 2 3 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A VA B VA 15kN ; VB 15kN q s q s 6 q s q s s 15 0.83 s 2 2 10 s 1.67 s 6 Q B Q s 0 B 15kN A AA B B Q AB /2 A Q s 3 A 7.5kN B B Q B A Q s 6 A 15kN El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como 225 S. Oller, L. G. Nallim Q s0 A 0 15 1.67 s02 s0 4.24m B c) Ley de Momento Flector Tramo AB : q s s s B 1.67 s s s M s A VA s 15 s 2 3 2 3 M B M s 0 B 0 A AA B B 15 s 0.28 s 3 Mmax M s0 4.24 A 42.43kN m A B B MB A M s 6 A 30kN m Ejemplo 3-28: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: 226 Leyes de esfuerzos a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones Fy 0 VA VB VD P1 VA VB VD 20 M A 0 P1 5 VB 10 VD 16 20 5 VB 10 VD 16 Der M C 0 M 2 VD 3 60 VD 3 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 2kN ; VB 42kN ; VD 20kN b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AP1 : Q s A VA 2kN P1 Tramo P1 B : Q s P Q A1 P1 2 20 22kN B P 1 Tramo BC : Q s B QC C Tramo CD : Q s C QC D B P1 D C VB 22 42 20kN 20kN 227 S. Oller, L. G. Nallim c) Ley de Momento Flector Tramo AP1 ( 0 s 5 ): M s A P1 M P1 M s 0 P1 0 AA A VA s 2 s P1 P1 MP1 M s 5 A 10kN m A Tramo P1 B ( 5 s 10 ): M s P VA s P1 s 5 2 s 20 s 5 B 1 M B M s 5 B 10kN m P1 P1 P1 22 s 100 B B MB P M s 10 120kN m P1 1 Tramo BC ( 0 s 3 ): M s B MB C B P1 QB B P1 s M C M s 0 C 120kN m BB B 120 20 s C C MC B M s 3 B 60kN m Tramo CD ( 0 s 3 ): M s C D M D M s 0 D 0 D CC C QC C s 20 s D D MD C M s 3 C 60kN m 228 Leyes de esfuerzos Ejemplo 3-29: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. d) Ley de esfuerzos axiles. a) Cálculo de Reacciones 229 S. Oller, L. G. Nallim 2 Fz 0 10 HB 2 2 Fy 0 10 10 2 VA VB M 0 10 2.5 V 10 B A 2/2 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 13.54kN ; VB 3.53kN ; b) Ley de Esfuerzo de Corte E Barra AE : Q A VA C E 2 2 13.54 9.57 kN 2 2 Barra EC : Q E Q A P 9.574 10 0.43kN H B 7.07 kN 230 Leyes de esfuerzos C Barra BC : Q B H B C Barra DC : Q D P 2 2 2 VB 7.07 3.53 2.5kN 2 2 2 2 2 10 7.07 kN 2 2 c) Ley de Momento flector Barra AE : M s AE VA E A 2 AE s 9.57 s AE 2 M A M E E A E A M s AE 0 0 E A M s AE 2.5 2 2 E A 33.85kN m Barra EC : C E 2 EC s P s EC 5 / 2 2 C C EC 33.85kN m s 5 / 2 M M EE E 0.43 s EC 35.36 C MC C M s EC 10 / 2 32.35kN m E E M s EC VA Barra BC : 2 BC 2 BC s VB s B 2 2 M C M s BC 0 C 0 B BB 2.503 s BC MC C M s BC 10 / 2 B M s BC H B C Barra DC : C B 17.70kN m 231 S. Oller, L. G. Nallim M s DC P C D 2 DC s 7.07 s DC 2 M C M s DC 0 C 0 D CD C MD C M s DC 10 / 2 50kN m D D d) Ley de Esfuerzo Normal E Barra AE : N A VA C 2 2 13.54 9.57kN 2 2 E Barra EC : N E N A 9.57kN 2 2 VB 7.50kN 2 2 C Barra BC : N B H B C Barra DC : N D P 2 2 10 7.07kN 2 2 Equilibrio en el nudo C 232 Leyes de esfuerzos 233 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 3-30: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones Fy 0 VA VB VD 10 5 1 5 M A 0 100 VB 10 VD 20 10 15 1 5 17.5 5 24 Izq M C 0 100 VA 15 VB 5 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 14.25kN ; VB 22.75kN ; VD 11.5kN b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A VA 14.25kN B Tramo BC : Q s B Q B A VB 14.25 22.75 8.5kN C Tramo CD : B 234 Leyes de esfuerzos Q s C QC D C B P q s 8.5 10 1 s Q D Q s 0 D 1.5kN C CC 1.5 s D Q D D Q s 5 6.5kN C C Tramo ED : Q s D ( P) 5kN E c) Ley de Momento Flector Tramo AB ( 0 s 10 ): M A M VA s 100 14.25 s MB M s A B B A B A M s 0 A 100kN m B M s 10 A 42.5kN m B En este tramo el momento flector se anula para: M s* A 100 14.25 s* 0 s* 7.02m B Tramo BC ( 10 s 15 ): M s B M VA s VB s 10 100 14.25 s 22.75 s 10 C M C M s 10 C 42.5kN m BB B 127.5 8.5 s C C MC B M s 15 B 0 Tramo CD ( 0 s 5 ): M s C QC D D C s s q 2 2 1.5 s 0.5 s 2 M D M s 0 D 0 CC C D D MD C M s 5 C 20kN m S. Oller, L. G. Nallim Tramo ED ( 0 s 4 ) M s E D M D M s 0 D 0 EE E P s 5 s D D MD E M s 4 E 20kN m Ejemplo 3-31: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. d) Ley de esfuerzos axiles. a) Cálculo de Reacciones 235 236 Leyes de esfuerzos Fz 0 H A H B 40 Fy 0 VA VB 10 4 42 M 0 H 1 V 4 10 40 2.5 B A A 2 M EDer 0 H B 5 40 2.5 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 40kN ; VB 0 ; H A 20kN ; H B 20kN b) Ley de esfuerzo de corte Barra AD : Q s AD VA cos 75.96º H A sen 75.96º 9.69kN D A Barra CD : Q s CD q s CD 10 s CD D C Q D Q s CD 0 D 0 C CC D Q D D Q s CD 1 10kN C C 237 S. Oller, L. G. Nallim Q s BE F H 20kN ; 0 s BE 2.5 B B Barra BE : E Q s BE H B 40 20kN ; 2.5 s BE 5 F Barra ED : Q s ED q s ED 10 s ED D E Q D Q s ED 0 D 0 E EE D Q D D Q s ED 3 30kN E E b) Ley de Momento Flector Barra AD : M s AD Q A s AD 9.69 s AD D D A M D M s AD 0 D 0 A AA D MD D M s AD 1/ cos 75.96º 40kN m A A Barra CD : M s CD D C s q CD 2 2 5 s CD M D M s CD 0 D 0 C CC D D CD MCD /2 C M s 0.5 C 1.25kN m D M D M s CD 1 5kN m D C C 2 Barra BE : M s BE H B s BE 20 s BE F B M B MF F B F B M s BE 0 0 F B M s BE 2.5 50kN m F ; 0 s BE 2.5 B M s BE H B s BE 40 s BE 2.5 E F 100 20 s BE M F ME E F E F M s BE 2.5 50kN m E F M s BE 5 0 E F ; 2.5 s BE 5 238 Leyes de esfuerzos Barra ED : M s ED D E s q ED 2 2 5 s ED 2 M D M s ED 0 D 0 E EE D D ED MED / 2 E M s 1.5 E 11.25kN m D M D M s ED 3 45kN m D E E b) Leyes de Esfuerzo Axil Barra AD : N s AD VA sen 75.96º H A cos 75.96º 43.65kN D A Barra CD : N s CD 0 D C Barra BE : N s EB VB 0 E B Barra ED : N s ED Q F 20kN D E Equilibrio en el nudo D E S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 3-32: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. 239 240 Leyes de esfuerzos b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. d) Ley de esfuerzos normales. a) Cálculo de Reacciones 241 S. Oller, L. G. Nallim Fz 0 H A P H A 2 Fy 0 VA VB q 2 VA VB 2 M A 0 VB 4 q 2 1 4 VB 4 10 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 0.5kN ; VB 2.5 ; H A 2kN b) Ley de Esfuerzos de Corte Barra AD : Q s AD H A 2kN D A Barra DC : Q s DC VA 0.5kN C D Barra EC : Q s EC q s EC s EC C E Q C Q s EC 0 C 0 E EE C Q D C Q s EC 2 2kN E E Barra BC : Q s BC P 2kN C B c) Ley de Momentos Flectores Barra AD : M s AD H A s AD 2 s AD D A Barra DC : M D M s AD 0 D 0 A AA D MD DA M s AD 3 6kN m A 242 Leyes de esfuerzos M s DC H A 3 VA s DC 6 0.5 s DC C D M C M s DC 0 C 6kN m D DD C MC C M s DC 4 8kN m D D Barra EC : M s EC C E s q EC 2 2 0.5 s EC 2 M C M s EC 0 C 0 E EE C C EC MEC /2 E M s 1 E 05kN m C M C M s EC 2 2kN m C E E Barra BC : M s BC P s BC 2 s BC C B M C M s BC 0 C 0 B CB C C MB M s BC 3 6kN m B B d) Ley de Esfuerzos Axil D Barra AD : N A VA 0.5kN C Barra DC : N D P 2kN C Barra EC : N E 0 C Barra BC : N B VB 2.5kN Equilibrio en el nudo C S. Oller, L. G. Nallim 243 244 Leyes de esfuerzos Ejemplo 3-33: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. 245 S. Oller, L. G. Nallim c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones Fz 0 H B Fy 0 VB VD VF VH 20 3 3 50 10 6 6 2 14 M B 0 50 3 VD 5 30 VF 3 2 3 10 14 2 9 VH 21 Izq M C 0 VB 3 20 6 3 M GDer 0 VH 6 10 8 4 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VB 120kN ; VD 17.51kN ; VF 154.18kN ; VH 53.33kN Verificación M D VB 5 20 6 5 50 2 30 VF 4 10 14 11 VH 16 600 600 100 30 616.68 1540 853.28 0 b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB ( 0 s 3 ): 246 Leyes de esfuerzos Qs A B Q A q s 20 s Q B B B A Q s 0 0 A B B A Q s 3 60kN A Tramo BC ( 3 s 6 ): Qs B C Q C Q s 3 C 60kN B BB q s VB 20 s 120 C QC C Q s 6 0 B B Tramo CD ( 0 s 2 ): Q s C QC D C B 0 P 50kN Tramo DE ( 2 s 4 ): Q s D QD C VD 50 17.50 67.50kN E D Tramo EF ( 4 s 6 ): Q s E Q D 67.50kN F E Tramo FG ( 0 s 6 ): Q s F Q E VF q s 67.50 154.17 10 s G Q F 86.67 10 s QG F G F Q s 0 86.67kN G G G F F Q s 6 26.67kN F Tramo GH ( 0 s 6 ): Q s G QG H G F q s Q H Q s 0 H 26.67 kN G GG 26.67 10 s H Q H H Q s 6 33.33kN G G El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como 247 S. Oller, L. G. Nallim Q s0 0 26.67 10 s0 s0 2.67 m Tramo HI ( 6 s 8 ): Q s H Q H I H G VH q s 6 33.33 53.33 10 s 6 Q I Q s 6 I 20kN H HH 80 10 s I Q I I Q s 8 0 H H c) Ley de Momento Flector Tramo AB ( 0 s 3 ): M s A q B s2 10 s 2 2 M B M s 0 B 0 A AA B B M AB /2 A M s 1.5 A 22.50kN m B B MB A M s 3 A 90kN m Tramo BC ( 3 s 6 ): s2 s2 VB s 3 20 120 s 3 2 2 M C M s 3 C 90kN m B BB C C 360 120 s 10 s 2 MBC /2 B M s 4.5 B 22.5kN m C C MC B M s 6 B 0 M s B q C Tramo CD ( 0 s 2 ): M s C MC D C B 0 M D M s 0 D 0 D CC C QC C s 50 s D D MD C M s 2 C 100kN m 248 Leyes de esfuerzos Tramo DE ( 2 s 4 ): M s D MD C QD D s 2 100 67.5 s 2 E D E E E MD D M s 2 D 100kN m 35 67.5 s E E ME D M s 4 D 235kN m Tramo EF ( 4 s 6 ): M s E ME F Q E E s 4 30 235 67.5 s 4 30 E F D ME 65 67.5 s MF F E F E M s 4 E 205kN m F M s 6 E 340kN m F Tramo FG ( 0 s 6 ): M s F MF G F E G Q F F s q s 2 2 340 86.67 s 5 s 2 M G M s 0 G 125kN m F FF G G MFG / 2 F M s 3 F 0 G G MG F M s 6 F 340kN m Tramo GH ( 0 s 6 ): M s G MG H G F 0 QG H G s q 26.67 s 5 s 2 s 2 2 M H M s 0 H 0 G GG H H max M G M s0 2.67 G 35.56kN m H H MH G M s 6 20kN m G 249 S. Oller, L. G. Nallim En este tramo el momento se anula para M s* G 26.67 s* 5 s* 0 s* 5.33m H 2 Tramo HI ( 6 s 8 ): M s H MH I H G QH I H s 6 s 6 q 2 2 20 20 s 6 M I M s 6 20kN m H HH I I MHI /2 H M s 7 H 5kN m I I MI H M s 8 H 0 I 320 80 s 5 s Leyes de esfuerzos 2 s 6 10 2 2 250 Leyes de esfuerzos Ejemplo 3-34: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzos de corte con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con su s máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones Fz 0 H B P Fy 0 VA VB P 2 q L1 VA VB 190 L12 P 2 M VB L1 L1 L2 P L1 L2 690 VB 7 M 0 M q A 2 2 3 3 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 91.43kN ; VB 98.57 kN 251 S. Oller, L. G. Nallim b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A B Q A VA q s 91.43 20 s Q B B A Q s 0 91.43kN B B B A A Q s 7 48.56kN A El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como Q s0 A 0 91.43 20 s0 s0 4.57m B Tramo BC : Q s B Q B A VB 48.56 98.57 50kN C B Tramo CD : Q s C QC D C B P / 2 50 50 100kN c) Ley de Momento Flector Tramo AB : M s A 300 91.43 s 10 s 2 B M B M s 0 B 300kN m A AA B min B M A M s 4.57 A 91.01kN m B B MB A M s 7 150kN m A Tramo BC : M s B MB A Q B A s VB s 150 48.56 s 98.57 s C B B 252 Leyes de esfuerzos M C M s 0 C 150kN m BB B 150 50 s C C MC B M s 2 B 50kN m Tramo CD : M s C MC D C B QC D C s 2 50 100 s 2 Ejemplo 3-35: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzos de corte con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. d) Ley de esfuerzos normales. 253 S. Oller, L. G. Nallim a) Cálculo de Reacciones Fz 0 H A P H A 50 Fy 0 VA VC q a VA VC 30 4 M A 0 M A M q a a a VC 2a M A 240 30 4 6 VC 8 2 M BDer 0 q a a VC a 30 4 2 VC 4 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 60kN ; VC 60kN ; M A 480kN m ; H A 50kN b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A VA 60kN B Tramo BC : Q s B C Q C Q s 0 C 60kN B BB B Q B A q s 60 30 s C QC C Q s 4 60kN B B El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como Q s0 0 60 30 s0 s0 2m 254 Leyes de esfuerzos c) Ley de Momento Flector Tramo AB : M s A B M A 480 60 s MB B A B A M s 0 A 480kN m B M s 4 A 240kN m B Tramo BC : M s B 60 s 15 s C 2 M C M s 0 C 0 B BB C max C M B M s 2 B 60kN m C C MC B M s 4 0 B d) Ley de Esfuerzo Normal Tramo AB : N s A H A 50kN B Tramo AB : N s B H A P 0 C S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 3-36: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. 255 256 Leyes de esfuerzos a) Cálculo de Reacciones Fy 0 VA VC VF P1 P2 VA VC VF 4 1 M A 0 P1 2 M VC 4 P2 7 VF 8 4 2 4 VC 4 1 7 VF 8 Der M D 0 VF 2 P2 1 VF 2 1 1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 2.75kN ; VC 1.75kN ; VF 0.5kN b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A VA 2.75kN B Tramo BC : Q s B Q B A P1 2.75 4 1.25kN C B Tramo CE : Q s C QC E Tramo EF : Q s E QE F C B E C VC 1.25 1.75 0.5kN P2 0.5 1 0.5kN c) Ley de Momento Flector Tramo AB ( 0 s 2 ): M s A B M A VA s 2.75 s MB B A B A M s 0 A 0 B M s 2 A 5.5kN m B Tramo BC ( 2 s 4 ): M s B MB A M QB B s 2 5.5 4 1.25 s 2 C B C M C M s 2 C 1.5kN m BB B 4 1.25 s C C MC B M s 4 B 1kN m 257 S. Oller, L. G. Nallim Tramo CE ( 0 s 3 ): M s C MC E C B QC D C s M E M s 0 E 1kN m C CC E E 1 0.5 s MD C M s 2 C 0 E E ME C M s 3 C 0.5kN m Tramo EF ( 3 s 4 ): M s E ME F E C QE E s 3 0.5 0.5 s 3 F M E 2 0.5 s MF F E F E M s 3 C 0.5kN m E M s 4 C 0 E 258 Leyes de esfuerzos Ejemplo 3-37: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. 259 S. Oller, L. G. Nallim a) Cálculo de Reacciones Fz 0 H A Fy 0 VA VC q L1 L2 VA VC 30 13.3 2 L1 L2 13.32 VC 13.3 M 0 M q V L L M 30 1 2 A C A A 2 2 2 2 M Der 0 q L2 V L 30 3.3 V 3.3 2 C C C 2 2 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 349.5kN ; VC 49.5kN ; M A 1995kN m b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AC : Qs A C Q C Q s 0 C 349.5kN A AA C C VA q s 349.5 30 s Q B A Q s 10 49.5kN A C Q Q s 13.3 C 49.5kN C A A El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como Q s0 0 349.5 30 s0 s0 11.65m c) Ley de Momento Flector Tramo AC : M s A C s2 M A VA s q 2 260 Leyes de esfuerzos 1995 349.5 s 15 s 2 M C M s 0 C 1995kN m A AA M C M s 10 C 0 A BA C C Mmax M s0 11.65 A 40.84kN m A MC C M s 13.3 C 0 A A Ejemplo 3-38: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: 261 S. Oller, L. G. Nallim a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones Fy 0 VA VC P q 10 VA VC 20 1.5 10 165 120 30 10 M C 0 VA 10 6 q 10 2 6 P 6 M M C VA 16 255 M C 10 Izq M B 0 VA 10 q 10 2 VA 10 15 5 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 7.5kN ; VC 27.5kN ; M C 135kN m b) Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AB : Q s A B Q A VA q s 7.5 1.5 s Q B B A B A B Q s 0 7.5kN A B Q s 10 7.5kN El cero del esfuerzo de corte, en este tramo, se obtiene como A 262 Leyes de esfuerzos Q s0 0 7.5 1.5 s0 s0 5m Tramo BC : Q s B Q B A P 7.5 20 27.5kN C B c) Ley de Momento Flector Tramo AB : M s A VA s q B s2 7.5 s 0.75 s 2 2 M B M s 0 B 0 A AA B max B M A M s0 5 A 18.75kN m B B MB A M s 10 0 A Tramo BC : M C M s 0 C 30kN m BB B M s B MB A M QB B s 30 27.5 s C C MC B M s 6 B 135kN m El momento flector, en este tramo, se anula para: C B 0 C M s* B 30 27.5 s* 0 s* 1.09m C S. Oller, L. G. Nallim 263 Ejemplo 3-39: Dada la estructura representada en la figura, hallar y dibujar: a) Reacciones en los apoyos. b) Ley de esfuerzo cortante con sus máximos, mínimos y ceros. c) Ley de momentos flectores con sus máximos, mínimos y ceros. a) Cálculo de Reacciones Fy 0 VA VC q a a 5a2 2 M A 0 M A VC 2a q a 2a 2 M M A VC 2a q 2 q a 2 a a M V a q 3a q a2 Der M 0 V a q a B C C 2 2 264 Leyes de esfuerzos Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VA 3 qa ; 2 VC 5 qa ; 2 MA 3 q a2 2 b) Ley de Esfuerzo de Corte B 3 Tramo AB : Q s A VA q a 2 B 3 Tramo BC : Q s A VA q a 2 Tramo CD : 3 5 VC q s q a q a q s 2 2 Q D Q s 0 D q a C CC q a q s D Q D D Q s a 0 C C Q s C QC D C B c) Ley de Momento Flector Tramo AB : M s A B 3 3 M A 2 M A VA s q a q a s 2 2 M B B A B A M s 0 A B 3 q a2 2 M s a A 0 B Tramo BC : M s B MB C B A 0 M C M s 0 C 0 B 3 C BB Q B B s q a s C C 3 2 MC B M s a B q a 2 2 265 S. Oller, L. G. Nallim Tramo CD : M s C MC D C B QC D C s s q 2 2 3 1 2 q a 2 q a s s 2 2 D 3 D 2 MC C M s 0 C 2 q a M D M s a D q a 2 C DC Ejemplo 3-40: Para el pórtico de la figura obtener los momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales. Trazar los diagramas correspondientes. 266 Leyes de esfuerzos Cálculo de Reacciones Fz 0 H A HG P2 H A HG 100 Fy 0 VA VG q1 1 q2 2 P1 VA VG 30 2 20 3 200 7 3 0.5 M 0 V H h h h P h h h 2.5 A 2 3 4 A 1 2 3 2 1 2 3 G 8 5.5 2 1 q11 2 3 4 q2 2 3 4 2 2 VA 7 H A 3 50 480 330 4 7 4.5 1 2 Izq M D 0 VA 2 H A h1 h2 P2 h1 h2 2.5 q11 2 2 q2 2 2 VA 3 H A 7 450 240 90 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene H A 72kN ; VA 92kN ; HG 28kN ; VG 228kN 267 S. Oller, L. G. Nallim Ley de Esfuerzo de Corte 0 s AC 2.5 Q s AC C H 72kN A A Tramo AC : C 2.5 s AC 5 Q s AC H A P2 72 100 28kN A Tramo BC : Q s BC q1 s BC 30 s BC C B Q C Q s BC 0 C 0 B BB C C QC Q s BC 2 60kN B B Tramo CD : Q sCD VA q1 2 cos 33.69º H A P2 sen 33.69º q2 cos2 33.69º sCD D C Q D Q sCD 0 D 11.09kN C CC 11.09 13.85 sCD D 3 QD D Q sCD cos(33.69º) 38.83kN C C En este tramo el corte se anula para Q s0CD 11.09 13.85 s0CD 0 s0CD 0.80m D C Tramo GE : Q s GE VG sen 14.03º H G cos 14.03º E G 228 sen 14.03º 28 cos 14.03º 28.1kN Tramo FE : Q s FE P1 200kN E F Tramo ED : Q s ED P1 VG 200 228 28kN D E Ley de Momento Flector Tramo AC 268 Leyes de esfuerzos 0 s AC 2.5 M s AC H A s AC 72 s AC C A M C M s AC 0 C 0 A AA C C MP M s AC 2.5 180kN m A 2 A 2.5 s AC 5 M s AC H A s AC P2 s AC 2.5 72 s AC 100 s AC 2.5 C A M C M s AC 2.5 C 180kN m P2 P2 A 28 s 250 C MC C M s AC 5 110kN m A D Tramo BC : M s BC q1 C B s BC 2 2 15 s BC 2 M C M s BC 0 C 0 B BB C MC C M s BC 2 60kN m B B Tramo CD : M s C MC D C B MC C A 60 110 QC D C s CD q2 cos 33.69º 2 s CD 2 2 M D M s CD 0 50kN m C CC max D D CD M C M s0 0.80 C 54.4kN m D 3 M D M s CD 0 D C cos(33.69º) C D 50 11.09 s CD 6.92 s CD 2 Tramo GE : M s GE QG G s GE 28.1 s GE E G E M E M s GE 0 E 0 G GG 4 ME GE M s GE cos(14.03º) E G 116kN m 269 S. Oller, L. G. Nallim Tramo FE : M E M F M s FE P1 s FE 200 s FE E F E F E F M s FE 0 0 E F M s FE 1 200kN m E F Tramo ED : M s ED ME D E E F QE F s ED VG s ED 4 H G h3 E 200 200 s ED 228 s ED 1 28 4 M E ED 28 s 84 MF D E D E M s 0 E 84kN m D M s 3 E 0 D Ley de Esfuerzo Normal Tramo AC : N s AC VA 92kN C A Tramo BC : N s BC 0 C B Tramo CD : N s CD VA q1 2 sen 33.69º H A P2 cos 33.69º D C q2 cos 33.69º sen 33.69º s CD 41.05 9.23 s CD N D Q s CD 0 D 41.04kN C CC D D 3 ND C Q s CD cos(33.69º) 7.77 kN C 270 Leyes de esfuerzos Tramo GE : N s GE VG cos 14.03º H G sen 14.03º E G 228 cos 14.03º 28 sen 14.03º 227.99kN Tramo FE : Q s FE 0 E F Tramo ED : Q s E H G 28kN D Esfuerzos en los nudos S. Oller, L. G. Nallim 271 272 Leyes de esfuerzos 273 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 3-41: Para el pórtico de la figura obtener y graficar los momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales. Cálculo de Reacciones FV 0 VA q 10 VA 20 10 FH 0 P2 P1 H A 20 10 H A M A 0 M A P1 10 P2 15 q 10 5 M A 10 10 20 15 20 10 5 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene H A 10kN ; VA 200kN ; M A 800kN m Ley de Esfuerzo de Corte Tramo AD : Q s ' A H A 10kN D Tramo DB : Q s ' D Q s ' A P1 10 10 20kN B Tramo CB : Q s C B B Q B Q s 0 B 0 CC C q s 20 s B B Q B C Q s 10 C 200kN 274 Leyes de esfuerzos Ley de Momento Flector Tramo AD ( 0 s 10 ): M s ' A D M P1 M s ' 0 P1 0 AA A M A H A s ' 800 10 s ' P1 P1 MP1 M s ' 10 A 900kN m A Tramo P1 B ( 10 s 15 ): M s ' D 800 H A s ' P1 s ' 10 800 10 s ' 10 s ' 10 B M B M s ' 10 B 900kN m DD D 700 20 s ' B B MB D M s ' 15 D 1000kN m Tramo CB : M s C B s2 s2 q 20 2 2 Ley de Esfuerzo Axil Tramo AB : N s ' A VA 200kN B Tramo CB : N s C P2 20kN B M B M s 0 B 0 CC C B B MB C M s 10 C 1000kN m S. Oller, L. G. Nallim 275 Ejemplo 3-42: Para la estructura de la figura obtener y graficar los momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales. Cálculo de Reacciones 276 Leyes de esfuerzos Diagrama de cuerpo libre Parte superior de la estructura FV 0 VD VB FH 0 H B H D M 0 V 10 M V 10 100 D D B 10 10 Izq M C 0 VB 2 H B 2 M VB 5 H B 5 100 Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene VB 10kN ; H B 10kN ; VD 10kN ; Parte inferior de la estructura VA 10kN ; VE 10kN H D 10kN 277 S. Oller, L. G. Nallim Ley de Esfuerzo de Corte B Tramo AB : Q A H B 10kN 2 C Tramo BC : Q B H B sen 45º VB cos 45º 2 10 10 2kN 2 2 2 2 2 VD 10 10 0 2 2 2 2 D Tramo CD : Q C H D D Tramo ED : Q E H D 10kN E Tramo AE : Q A VA VD 0 Ley de Momento Flector Tramo AB : M s BA ‐Q B A s BA 10 s BA A B B M B M A A B A B M s BA 0 0 A B M s BA 10 100kN m A B Tramo BC : M s CB QC B s CB B C C M B M s CB 0 A 0 B CC MB B M s CB 5 / ( 2 / 2) C A B 100kN m D Tramo CD : M C 0 Tramo ED : M s DE Q D E s DE 10 s DE E D D Tramo AE : M s A ME E Ley de Esfuerzo Normal E D M E M s DE 0 E 0 D ED E MD E M s DE 10 100kN m D D 100kN m 278 Leyes de esfuerzos B Tramo AB : N A VB 10kN Tramo BC : N B H B cos 45º VB sen 45º 10 C D Tramo CD : N C H D 2 2 VD 10 2 2 2 D Tramo ED : N E VD 10kN E Tramo AE : N A 10kN 2 2 10 0 2 2 S. Oller, L. G. Nallim 279 280 Leyes de esfuerzos 3.6 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo Formulación Ecuaciones diferenciales del equilibrio de una barra estructural, sistema y z . Ecuaciones diferenciales del equilibrio de una barra estructural, sistema s y . Esfuerzo de Corte y Momento flector por integración. Ecuación q dQ ds p q dN ds dQ ds Q p dM p yCM ds dN ds dM Q p yCM ds Ec. (3.2) Ec. (3.3) Q( s) q( s) ds q ds q s CQ M( s) Q( s) ds (q s CQ ) ds qs CQ s CM 2 2 Ec. (3.10) 4.1 Piezas rectas de sección transversal conformada por un material simple En este apartado se estudia el comportamiento de barras de eje recto sometidas a esfuerzos axiles puros (Figura 4.1). Se analizará una sección transversal A de esta barra, constituida por un único material simple, sometida a un esfuerzo axil puro N( x3 ) , cuando la resultante de las fuerzas interiores (esfuerzo axil) es colineal con el eje que contiene al centro geométrico ( CG ) de la sección transversal – ortogonal– de área A , N(x3 ) A 3 ( x1 , x2 , x3 ) dA (4.1) Se considera que el esfuerzo axil (normal) aplicado en una sección transversal hace que ésta se traslade paralela a sí misma y se mantenga plana después de la deformación (ver Figura 4.2). Esta suposición se conoce como “hipótesis de Bernoulli” y establece más precisamente que las secciones transversales permanecen planas y ortogonales al eje mecánico de una barra rectilínea después de la deformación. El cumplimiento cinemático de esta hipótesis implica que las deformaciones son constantes en cada sección de la barra y, por la ley de Hooke, la distribución de tensiones dentro de la barra resulta constante 3 ( x1 , x2 , x3 ) cte en cualquier punto de cada sección transversal de la barra. 282 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Figura 4.1 – Barra de eje recto sometida a un esfuerzo axil N . Figura 4.2 – Tensiones y deformaciones en una barra de eje recto sometida a un esfuerzo axil N . 283 S. Oller, L. G. Nallim 4.1.1 Ecuaciones que gobiernan el comportamiento a esfuerzo axil en barras rectilíneas Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de barras de eje rectilíneo sometidas a esfuerzo axil resultan de las siguientes condiciones de equilibrio, compatibilidad y ecuación de comportamiento del material. 1.a. Relación geométrica – Alargamiento de las fibras Al observar la Figura 4.3, puede verse que todas las fibras longitudinales que conforman la barra, incluidas las fibras AB y CD , sufren el mismo estiramiento de magnitud du3 , haciendo que la sección transversal permanezca plana después de la deformación (hipótesis de Bernoulli), como consecuencia de la traslación de la sección transversal paralela a sí misma. Es decir, du3 DD' BB' (4.2) Figura 4.3 – Estado de deformación hipotético de Bernoulli al aplicar un esfuerzo axil N en el eje de una barra. 284 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto 1.b. Relación de compatibilidad – Estado de deformación Esta relación garantiza un campo de deformaciones 3 ( x1 , x2 , x3 ) compatible con el campo de desplazamientos u3 ( x3 ) . A partir de la condición de compatibilidad presentada en el Capítulo 2, resulta el campo de deformaciones para este caso particular de barras de eje recto, s u 1 D 33 ( x1 , x2 , x3 ) du3 ( x3 ) dx3 (4.3) Sustituyendo en la ecuación (4.3) el campo de desplazamientos lineal u3 ( x3 ) umax x3 , que se representa en la Figura 4.3, resulta la siguiente ex presión simplificada para la deformación de una barra de sección constante y eje recto sometida a un esfuerzo axil constante, 33 ( x1 , x2 , x3 ) cte 3 u max (4.4) 1.c. Ley constitutiva del comportamiento del material– Ley de Hooke La ley constitutiva es una formulación matemática basada en leyes de la mecánica y representa una aproximación del comportamiento del material real, luego de introducir algunas hipótesis simplificativas. En este texto se estudian materiales elásticos lineales que pueden representarse adecuadamente, y dentro de ciertos límites de comportamiento, mediante la ley de Hooke (Capítulo 2). Para piezas unidimensionales (barras de eje rectilíneo), esta formulación adquiere la siguiente forma en función del módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal E , C: 1 D 3 ( x1 , x2 , x3 ) E 3 ( x1 , x2 , x3 ) (4.5) donde por simplicidad en la nomenclatura se toma 3 33 . Para el caso particular supuesto en la ecuación (4.4), resulta el siguiente estado tensional constante a lo largo de la barra, 285 S. Oller, L. G. Nallim 3 ( x1 , x 2 , x3 ) cte 3 E 3 E u max (4.6) 1.d. Condición de equilibrio externo-interno A continuación se formula la expresión que establece el equilibrio entre las fuerzas externas y el esfuerzo axial que se desarrolla en el interior de la barra de eje rectilíneo (ver Figura 4.2 y Figura 4.3). Para ello, es necesario escribir las ecuaciones de equilibrio traslacional y rotacional entre las fuerzas internas provenientes del estado tensional 3 cte y la única fuerza axial N que actúa en la sección transversal, cte N N 3 dA E 3 dA E 3 dA 3 A 3 A A A A 0 def M1 3 x2 dA E 3 x2 dA E 3 x2 dA 0 A A A S1 0 0 def M2 3 x1 dA E 3 x1 dA E 3 x1 dA 0 A A A S2 0 def (4.7) Es importante observar que los momentos estáticos S1 x2 dA 0 y A S2 x1 dA 0 son nulos, porque están calculados respecto de los ejes A ( x1 , x2 ) que pasan por el centro geométrico (CG)1 de la sección transver- sal A (ver Figura 4.3), de manera que se satisfacen las ecuaciones de equilibrio. Sustituyendo la ecuación (4.6) en la primera de las ecuaciones (4.7), se obtiene la relación entre el esfuerzo normal N y el alargamiento total de la barra de longitud , NOTA: Recordar que la posición del centro geométrico resulta de anular los momentos estáticos S1 ( x2 ) 0 y S 2 ( x1 ) 0 . 1 286 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto EA max EA N EA 3 umax u EA N N umax EA K / N N (4.8) KN Siendo KN EA / la rigidez de una barra frente a esfuerzos axiles. El alargamiento de una barra sometida a un esfuerzo axial que varía a lo largo del eje de la barra, N( x3 ) cte , y cuya sección transversal, A( x3 ) , varía también a lo largo del eje de la pieza, se obtiene a partir de la ecuación (4.3), du3 ( x3 ) 3 ( x3 ) dx3 N( x3 ) N( x3 ) dx3 u3 ( x3 ) dx3 EA( x3 ) EA( x3 ) (4.9) En este caso, la deformación es homogénea para cada x3 y en cada una de las secciones transversales (cumplimiento de la hipótesis de Bernoulli), pero no a lo largo de la longitud de la pieza x3 . Como puede verificarse, en el caso que sea N( x3 ) cte y A( x3 ) cte , se recupera la expresión (4.8). 4.1.2 Influencia de la temperatura en las ecuaciones que gobiernan el comportamiento a esfuerzo axil en barras rectilíneas A continuación, se introduce un cambio de temperatura en la barra como una acción externa. Para ello, es necesario suponer que la deformación total 3 resultará de la suma de la deformación mecánica 3mec más la deformación térmica 3ter , esto es: 3 ( x1 , x 2 , x3 ) 3mec ( x1 , x 2 , x3 ) 3ter ( x1 , x 2 , x3 ) 3 ( x1 , x 2 , x3 ) t t E (4.10) Siendo t el coeficiente de dilatación térmica, expresado en 1/ 0C y t t t ref el cambio entre la temperatura actual ( t ) y la de referencia ( t ref ). Así, la tensión en una barra solicitada en sus extremos con un esfuerzo axil N y, además, calentada (o enfriada) uniformemente con un salto térmico t , resulta, 287 S. Oller, L. G. Nallim 3 ( x1 , x2 , x3 ) E 3 ( x1 , x2 , x3 ) t t du ( x ) N E 3 3 E t t A dx3 (4.11) De donde se obtiene el desplazamiento que ha sufrido la barra, N du3 ( x3 ) t t dx3 3 ( x1 , x2 , x3 ) dx3 A E N N t t dx3 t t u3max du3 ( x3 ) 0 A E A E 0 ter u3 u3mec (4.12) El resultado obtenido en la última ecuación (4.12) resulta de suponer constante, a lo largo de la barra, el esfuerzo axil N( x3 ) cte , la sección transversal A( x3 ) cte , el módulo de elasticidad E( x3 ) cte y el coeficiente de dilatación térmica t ( x3 ) cte . Además, en la mencionada ecuación pueden darse tres casos extremos siguientes: N a. Problema mecánico puro: N 0 ; Δt 0 u3max AE b. Problema térmico puro sin restricción: N 0 ; Δt 0 u3max t t c. Problema térmico puro con restricción: u 3max 0 ; Δt 0 N AE t t Este último caso puede interpretarse como una superposición de los dos anteriores (caso a + caso b). Es decir, se deja dilatar libremente la barra por el salto de temperatura t (caso b) y luego se aplica un esfuerzo axil N para llevar la barra a su longitud inicial (caso a). Ejemplo 4-1: Obtener las funciones de desplazamiento, deformación, tensión, carga y rigidez axial de la barra de longitud , sección transversal cuadrada de lado a y sometida al desplazamiento impuesto u max en su extremo libre, mostrada en la figura. El material de la barra es elástico-lineal, con módulo E . 288 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Ejemplo 4-2: Obtener la ley de distribución de esfuerzos axiles, tensiones, desplazamientos y deformaciones en la siguiente barra. S. Oller, L. G. Nallim 289 Ejemplo 4-3: Una barra de longitud 6 m , sección transversal A 0.12 m 2 y módulo de elasticidad E 30000 MPa , está cargada con una fuerza axial de tracción de magnitud P . Determinar: a) El valor máximo de la fuerza P , para que las tensiones no superen 12.7 MPa . b) El desplazamiento en el extremo de la barra. 290 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto a) Máximo valor de la fuerza P 12.7 MPa A P 0.12 m 2 12.7 MN / m 2 1.524 MN b) Desplazamiento en el extremo P P P 1.524 MN 6 m 2.54 103 m E u max 2 A AE AE 0.12 m 30000 MN / m2 Ejemplo 4-4: La barra de la figura está sometida a su propio peso. Si la barra tiene longitud , sección transversal constante A , el material posee módulo elástico E y densidad ρ , determinar la distribución a lo largo de la barra de: a) el esfuerzo axil N ( x3 ) b) la tensión ( x3 ) c) la deformación ( x3 ) d) el desplazamiento u( x3 ) a) Cálculo del esfuerzo axil en la barra Considerando el peso de la barra que pende por debajo de una sección s y teniendo en cuenta el peso específico del material (densidad por gravedad), resulta la siguiente expresión para el esfuerzo axil: N ( s) g A s Vol 291 S. Oller, L. G. Nallim b) Estado de tensiones en la barra A partir de la ecuación de equilibrio (4.7), resulta la tensión: ( s ) N (s) s A c) Estado de deformaciones en la barra A partir de la ecuación de compatibilidad (4.5), resulta la deformación: ( s ) ( s) N ( s) s E AE E d) Desplazamiento de la barra A partir de la ecuación (4.9), resulta el campo de desplazamientos: s s N ( x3 ) s2 dx3 u ( s) x3 dx3 s 0 EA 0 E E 2 u ( s) ( x3 ) dx3 0 s 292 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Ejemplo 4-5: Dimensionar las barras de la estructura que se muestra en la figura (obtener la sección transversal de cada barra). Una vez conocida las dimensiones de cada barra, se pide encontrar la inclinación de las mismas para conseguir el mínimo peso de la estructura. Suponer que el material puede admitir como máximo la tensión adm . 293 S. Oller, L. G. Nallim Equilibrio nudo B Fx 0 NAB NCB cos 1 i n Fx2 i 0 P NCB sen n NCB P / sen ; NAB P cotg a) Cálculo del estado tensional y áreas de las barras de la estructura, adm NAB AAB adm NCB ACB NAB P adm cotg adm NCB 1 P ACB adm adm sen AAB b) Cálculo de la configuración estructural óptima en cuanto a su peso, En este caso se debe optimizar la posición de las barras de la estructura para minimizar su peso. Teniendo en cuenta las secciones transversales previamente calculadas, se determina el ángulo entre las dos barras que hace mínimo el peso estructural. Es decir, V AB AAB CB ACB ; AB , CB 2 cos dV d P P 1 0 adm adm cotg sen d d 2 cos 1 d P adm cotg 2sen cos d 0 3 60 dV P 1 1 2 0 adm 1 cotg d 2 cos 2 2sen 2 600 3 294 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Ejemplo 4-6: El eje de sección variable de la figura está sometido a la acción de una carga axial P en su extremo libre. El módulo elástico del material de la barra es E y las secciones transversales cumplen la siguiente relación A3 2 A1 5 A2 A , mientras que el área A4 varía linealmente. Calcular y representar gráficamente: a) La función de carga b) La función de tensión c) La función de deformación d) La función de rigidez e) La función de desplazamiento def s Definición del área A4 s4 A 1 4 4 295 S. Oller, L. G. Nallim Las funciones de desplazamiento ui i 1,..., 4 correspondientes a los tramos de longitudes λi i 1,..., 4 , en los ejes locales si i 1,..., 4 están dadas por λ1 u1 0 λ2 P λ3 P Pλ3 y 2Pλ1 ; 5Pλ2 ; P u3 ds3 ds1 u2 ds2 0 0 EA3 EA EA1 EA EA2 EA u4 s4 s4 0 s4 P ln 1 s4 / 4 P P ds4 ds4 4 0 EA 1 s / EA4 EA 4 4 Mientras que en el eje global x3 se pueden escribir como sigue 0 x3 λ1 u x3 2 Px3 EA λ1 x3 λ1 λ2 u x3 2 Pλ1 5P x3 λ1 EA EA 296 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto λ1 λ2 x3 λ1 λ2 λ3 u x3 λ1 λ2 λ3 x3 λ1 λ2 λ3 λ4 u x3 P x λ λ P 2λ1 5λ2 3 1 2 EA EA x λ λ λ P P 2λ1 5λ2 λ3 4 ln 1 3 1 2 3 EA EA 4 4 Ejemplo 4-7: La barra de acero de la figura ( E 200GPa , A 250mm2 ) está sometida a la acción de las cargas P1 , P2 15kN y P3 9kN . Determinar: a) La fuerza P1 necesaria para que el extremo D . b) La ley de esfuerzos axiles. c) La ley de tensiones. d) La ley de deformaciones. e) La ley de desplazamientos. a) Determinación de la fuerza P1 - Ecuación de equilibrio F 0 R P1 P2 P3 0 V - Ecuación de compatibilidad L L L 0 0 uD 0 x3 dx3 x3 dx3 0 LAB 0 N AB dx AE 3 LAB LBC LAB N x3 dx3 AE NBC dx AE 3 L L AB LBC NCD dx AE 3 NAB LAB NBC LBC NCD LCD AE AE AE uBAB uCBC uDCD Siendo uBAB R P P P L R 0.5 R 105 m N L AB AB 2 3 1 AB EA EA kN 5 104 297 S. Oller, L. G. Nallim uCBC NBC LBC P3 P2 LBC 24 0.2 9.6 105 m EA EA 5 104 uDCD NCD LCD P3 LCD 9 0.3 5.4 105 m 4 EA EA 5 10 Resultando el siguiente sistema de ecuaciones: R P1 15 9 0 R 15kN (sentido opuesto) 5 5 5 R 10 9.6 10 5.4 10 0 y P1 39kN b) Representación de la ley de esfuerzos axiles y c) Representación de las tensiones a lo largo de la barra 298 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Las tensiones en cada tramo de la barra se obtienen dividiendo el esfuerzo normal correspondiente en el área de la barra. Es decir, AB NAB 15kN 60 MPa A 2.5 104 m2 BC NBC 24kN 96 MPa A 2.5 104 m2 CD NCD 9kN 36 MPa A 2.5 104 m2 d) Representación de las deformaciones a lo largo de la barra Las deformaciones en cada tramo de la barra se obtienen dividiendo la tensión normal correspondiente en el módulo de elasticidad longitudinal. Es decir: AB AB 0.06GPa 3 104 200 GPa E BC BC 0.096GPa 4.8 104 200 GPa E CD CD 0.036GPa 1.8 104 E 200GPa e) Representación de la ley de desplazamientos La rigidez axil de la barra, en este caso, es constante en toda la longitud, y está dada por: EA 5 104 kN Por otra parte, en cada tramo, el esfuerzo normal es también constante en cada tramo, por lo que se verifica, u s 0 N N s N dx3 dx s EA EA 0 3 EA 299 S. Oller, L. G. Nallim 0 s LAB uAB 15 s 3 104 s 4 5 10 s 0, uA 0 4 s LAB , uB 1.5 10 m LAB s LAB LBC uBC uB 24 s LAB 5 104 s LAB , uB 1.5 104 m s LAB LBC , uC 1.5 104 9.6 105 m uC 5.4 105 m Ejemplo 4-8: Obtener el esfuerzo axil en cada una de las barras de la estructura articulada de la figura. Considerar que los materiales y las secciones transversales de las barras son iguales entre sí. Resolver primeramente siguiendo el método de compatibilidad y luego mediante el método de equilibrio. 300 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Equilibrio de fuerzas en el Nudo C Fx1 0 N1 sen N3 sen Fx2 0 F 2 N1 cos N2 N1 N3 N2 F 2 N1 cos Como puede observarse, el sistema anterior no tiene solución única porque hay tres incógnitas ( N1 , N2 , N3 ) y sólo dos ecuaciones. Se trata entonces de una estructura con un grado de indeterminación estática (uno de los esfuerzos axiles Ni ). Por lo tanto, es necesario resolver el problema mediante un método que permita formular una ecuación adicional para completar el sistema de ecuaciones anterior. a) Método de compatibilidad de desplazamientos En este procedimiento de cálculo es necesario formular una ecuación adicional a las anteriores ecuaciones de equilibrio. Esta ecuación se basa en la elasticidad de las barras, de manera de garantizar la compatibilidad de los movimientos del punto C (ver figura del problema). Como consecuencia, resulta una ecuación cuyas incógnitas son los esfuerzos axiles Ni . 301 S. Oller, L. G. Nallim Ecuación de compatibilidad adicional : N1 N2 cos E A cos E A u1 u2 u1 u2 cos N1 N2 cos2 Tal que sustituida en el sistema de ecuaciones anterior permite obtener los esfuerzos axiles buscados, F N 2 2 cos3 1 2 N N F cos 1 3 2 cos3 1 b) Método de equilibrio de fuerzas Como alternativa al método de compatibilidad, se utiliza el método del equilibrio, que permite formular una ecuación adicional basada en la elasticidad de las barras que completa el equilibrio de fuerzas en C. Como consecuencia resulta una ecuación cuyas incógnitas son los movimientos ui de la barra en el nudo C. En esta metodología no tiene importancia el número de incógnitas estáticas sino, por el contrario, importa el número de incógnitas cinemáticas. Particularmente, esta estructura tiene como incógnita cinemática el movimiento del punto C, por lo tanto se plantea una ecuación de equilibrio en función del movimiento de dicho punto. F x2 0 F 2 N1 cos N2 u 0 F 2 AE 1 cos 1 u2 AE 2 Sabiendo que u1 u 2 cos y que 1 cos 2 puede escribirse, a partir de la ecuación anterior, el desplazamiento vertical del punto C como u2 F 2 AE (2 cos3 1) Y de esta última expresión más la condición de equilibrio de los esfuerzos axiles en cada una de las barras, surgen los esfuerzos axiles buscados, 302 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto 2 u F N2 2 A E 2 A 2 2 cos3 1 2 N N A E u1 A F cos 1 1 3 2 cos3 1 1 1 Ejemplo 4-9: Obtener el esfuerzo axil en cada uno de los tirantes que sostiene la barra OB de la figura. Considerar que los materiales y las secciones transversales de los tirantes son iguales entre sí y que la barra OB es indeformable (rígida). Equilibrio de la barra rígida Fx2 0 F VO VA VB 3 M O 0 VA F VB 2 2 303 S. Oller, L. G. Nallim VA 3 F F 2 VB ; VO VB 2 2 Como se puede observar, el sistema de ecuaciones anterior no tiene solución única porque hay tres incógnitas y sólo dos ecuaciones. Es decir, se trata de una estructura con un grado de indeterminación estática. Por lo tanto, es necesario formular la siguiente ecuación de compatibilidad adicional que se puede deducir a partir de la figura anterior, 2 1 u A uB u uA B 2 2 VA h 1 VB h VB 2VA AE 2 AE Sustituyendo ésta en la solución de las ecuaciones de equilibrio, se obtienen las siguientes reacciones de vínculo, VA 3 3 1 F ; VB F ; VO F 10 5 10 Por lo tanto, los esfuerzos axiles en los tirantes son los siguientes, N1 VA 3 3 F ; N2 VB F 10 5 Ejemplo 4-10: La barra OB de la figura es infinitamente rígida y soporta una carga vertical F 200kN en el punto B . La barra BC es de un material cuyo módulo elástico es E 200GPa y su sección transversal es A 2 104 m2 . Obtener: a) La magnitud de la rigidez K del resorte o muelle para que la reacción vertical en D sea de igual magnitud que el esfuerzo axil de la barra BC . b) El esfuerzo axil de la barra BC y su estado tensional. c) La reacción en O y la fuerza que hace el resorte en D . d) La magnitud del desplazamiento vertical en el punto B . 304 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto ● Ecuaciones de equilibrio FV VO VD VC 200 0 M O VD 5 VC 10 200 10 0 de donde resulta, VD 2 VC 400; VO VC 200 ● Ecuación de compatibilidad Por lo requerido en a) es VD VC uD uB 5 10 u B BC uD uB 2 NBCλBC Vλ u D C BC 2 EA EA a) Rigidez K El desplazamiento del punto D de la barra coincide con el acortamiento del resorte, por lo que es uD VD K Igualando esta expresión con la ecuación de compatibilidad obtenida se tiene, VD VCλBC 2 EA K VD KVCλBC y considerando que es VD VC , resulta 2 EA 305 S. Oller, L. G. Nallim K 2 EA λBC K 2 200GPa 2 104 m 2 8 102 GN m 1 1m b) Esfuerzo axil de la barra BC y estado tensional. c) Reacciones y fuerza en el resorte A partir de las ecuaciones de equilibrio y sabiendo que VD VC se obtiene el siguiente sistema FV VO 2VD 200 0 M O VD 5 VD 10 200 10 0 De la segunda de estas ecuaciones resulta VD VC 133.33 kN Reemplazando esto en la primera ecuación de equilibrio, se tiene VO 2VC 200 66.667 kN (sentido contrario al supuesto) El esfuerzo axil en la barra BC y la tensión en cada punto de su sección transversal están dados respectivamente por NBC VC 133.33 kN ; BC NBC 133.33 kN kN 666.65 2 0.667 MPa 4 2 A m 2 10 m d) Desplazamiento vertical en el punto B . El desplazamiento del punto B es igual al estiramiento de la barra BC , u B BC NBCλBC 133.33kN 1m 0.00333 m 3.33 mm EA 200 106 kPa 2 104 m 2 Ejemplo 4-11: En la barra prismática de la figura, se aplica una carga horizontal F 200kN en el punto B . Obtener: a) El estado tensional a lo largo de la barra. b) La ley de esfuerzos axiles a lo largo de la barra. c) La función desplazamiento a lo largo de la barra. 306 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Para calcular las reacciones en los extremos de la barra es necesario imponer las siguientes condiciones - Equilibrio: F x3 VA VC F 0 VA F VC (a) - Compatibilidad: uB B A uB C B AB AB BC BC A E NBC NAB BC BC AB AAB EAB BC N NAB AB BC BC AAB EAB ABC EBC Sustituyendo en ésta última NBC VC y NAB VA 0.01 50 VC VA 3 2.5 10 210 1.5 1.0 VC 1.4285 VA (b) Sustituyendo (b) en la ecuación de equilibrio (a), resulta, VA NAB 0.08235 MN ; a) Estado tensional a lo largo de la barra VC NBC 0.11765 MN 307 S. Oller, L. G. Nallim b) Ley de esfuerzos axiles a lo largo de toda la barra c) Función desplazamiento a lo largo de toda la barra u A 0.08235 NAB u (s) A s s 3 E AB AAB 210000 2.5 10 uB B C B u ( s ') B uB A B A B A B u ( s 0) A 0 B u ( s 1.5) A 2.353 104 m u B 0.11765 s ' NBC s ' 2.353 104 50000 10 103 EBC ABC uB C u ( s ' 0) B 2.353 104 m B A 2.353 10 2.353 10 s ' C B uC B u ( s ' 1) A 0 4 4 308 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Ejemplo 4-12: Una barra de acero de longitud 4 m , sección transversal A 1104 m2 y módulo de elasticidad ECB EBD 2.1 105 MPa , tiene sus extremos fijos y soporta una fuerza axial P 0.01 MN en el punto B, tal como muestra la figura. Determinar: a) Las reacciones de apoyo y el esfuerzo axil a lo largo de la barra. b) El movimiento del punto B. a) Reacciones de apoyo y esfuerzo axil en la barra Ecuación de equilibrio de fuerzas en x3 , Fx 3 0 P VC VD (a) Puesto que hay una sola ecuación con dos incógnitas, es necesario formular una ecuación de compatibilidad de movimientos en el punto B. Esta es, uB B C uB D B NCB CB NBD BD ACB ECB ABD EBD CB CB BD BD (b) A E NCB NBD CB CB ABD EBD BD CB 309 S. Oller, L. G. Nallim Teniendo en cuenta que NCB VC y NBD VD A E A E VC VD CB CB BD , sustituyendo en (a), VD P 1 CB CB BD ABD E BD CB ABD E BD CB 1 Sustituyendo las magnitudes en la expresión anterior resulta, VD 2.5 10 3 MN VC 3 VD VC 7.5 10 3 MN Luego, los esfuerzos normales en las barras son NCB VC 7.5 103 MN (Tracción) y NBD VD 2.5 103 MN (Compresión) b) Movimiento del punto B uB C B NCB CB ACB ECB NCB VC 7.5 103 1.0 3.57 104 m 4 5 1.0 10 2.1 10 Ejemplo 4-13: La columna de la figura soporta su propio peso, más una fuerza P en su extremo superior. Determinar la ley de variación de la sección transversal A(z ) , para que la tensión sea constante a lo largo del eje vertical de la barra. Considerar que el peso por unidad de volumen (peso específico) es g , donde es la densidad y g la aceleración de la gravedad. 310 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto a) Equilibrio de fuerzas z N( z ) P A( s ) ds 0 b) Condición de tensión constante z ( z ) N( z ) P 1 P A( s ) ds cte A( z ) A( z ) A( z ) 0 A0 z resultando : P A( s ) ds 0 P A( z ) A0 Para resolver esta ecuación y obtener la función A(z ) , se deriva ambos miembros respecto de z y luego se resuelve la ecuación diferencial, A( z ) P dA( z ) P dA( z ) dz A0 dz A0 A( z ) z A0 P dA( z ) P A( z ) z dz ln A( z ) ln C e P C A0 A( z ) A0 A( z ) C e (a) z A0 P La constante de integración resulta de imponer la siguiente condición de contorno, A( z ) A0 en z 0 C A0 (b) Sustituyendo (b) en (a), resulta la ecuación que establece la variación de la sección transversal de la barra, A( z ) A0 e z A0 P Conocida la función A(z ) , se obtiene a continuación: c) Esfuerzo axial a lo largo del eje de la barra z z A0 z A0 N( z ) P A( s ) ds P P e P 1 P e P 0 311 S. Oller, L. G. Nallim d) Tensión a lo largo del eje de la barra. Verificación del estado de tensión constante que se ha impuesto. zA z P P P P P 0 1 A s ds e ( z ) ( ) 1 A 0 A( z ) A( z ) 0 A( z ) A( z ) 0 e) Desplazamiento a lo largo del eje de la barra s N( s) ds u( z) E A( s) z z P A( x) dx 0 E A( s) ds P z E A0 4.2 Esfuerzo axil en cilindros de paredes delgadas sometidos a presión interior A continuación se presenta el comportamiento mecánico de un cilindro de paredes delgadas (Figura 4.4) sometido a una presión p uniforme en su interior. Si el espesor e de la pared del cilindro es pequeño en relación a su radio de curvatura (relación menor que 1 a 10), la mencionada pared no tendrá resistencia a flexión comportándose como una membrana, en la que los esfuerzos no tienen componente radial y resultan distribuidos de manera uniforme en el espesor. Bajo las mencionadas condiciones, debido a la acción de la presión interna, se produce una dilatación del perímetro medio de la circunferencia directriz y en las paredes del cilindro se producen tensiones normales perpendiculares al radio, que se denominan tensiones circunferenciales y que se designarán como c . La integración de las tensiones c en el espesor conduce a obtener el esfuerzo axial N actuante, tal como se muestra en la Figura 4.4. Entre los distintos caminos para obtener la tensión axial de trabajo en función de la presión y el incremento del radio medio, se utiliza aquí la condición de equilibrio que garantiza la estabilidad entre los dos casquetes del cilindro. Esto es: 312 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto /2 0 2 N 2 /2 p (sen ) ds 2 N 2 0 p r (sen ) d 0 2 0 2 N 2 p r ( cos ) 0 2 N 2 p r (4.13) N pr Figura 4.4 – Cilindro de paredes delgadas sometido a una presión interior y representación esquemática del estado de equilibrio. A partir de esta última expresión se obtiene el estado de tensión, deformación y desplazamiento anular, a lo largo del perímetro, que sufre el tubo. Para determinar la tensión circunferencial c se toma como referencia una longitud unitaria del tubo. Así, resulta c N pr pr A e 1 e c p r E E e (4.14) Mientras que el perímetro incrementará su longitud en uc C 2 0 0 ds ds pr p r2 r d 2 E e E e (4.15) Con esta última ecuación es posible obtener el nuevo perímetro del tubo c , que resulta de añadir al perímetro original 0 el incremento dado por la ecuación. (4.15), esto es, 313 S. Oller, L. G. Nallim uc p r2 c 0 uc 2 r 2 E e 0 p r2 c 2 r 2 r r E e p r2 r E e (4.16) Ejemplo 4-14: El tubo de pared delgada de la figura tiene un radio d 2 r 5cm , se encuentra cerrado en sus extremos y está sometido a una presión interna p 0.5MPa . Determinar: a) El tensor de tensiones en el punto A . b) La magnitud de la carga axial P para que el punto A esté sometido a un estado tensional de corte puro. Cálculo de la tensión longitudinal Debido a que el recipiente se encuentra cerrado en los extremos se producirá, además de la tensión circunferencial c dada por la ecuación (4.14), una tensión normal a lo largo del eje del tubo. La presión sobre las tapas, que se encuentran rígidamente vinculadas al tubo, provoca una dilatación del tubo en su dirección longitudinal, por lo que la tensión asociada se denomina tensión longitudinal λ . Para determinar su magnitud se considera el equilibrio a través de una sección perpendicular al eje del tubo (sección m ), 314 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Sección La resultante de la presión interna p sobre la sección m , de área r 2 , es un fuerza dada por Fp r 2 p Por otra parte, en las paredes del tubo la fuerza resultante debida a λ está dada por área de la sección del tubo Fλ 2 r e λ Planteando el equilibrio en la sección m resulta Fp Fλ r p 2 r e 2 λ λ pr 2e a) Tensor de tensiones en el punto A El punto A , debido a la acción de las tensiones c y λ , se encuentra sometido a un estado plano de tensión, como se observa a continuación p r 0.5 5 12.5MPa e 2 0.1 p r c λ 6.25MPa 2e 2 c Entonces, el tensor de tensiones considerando estado plano, estás dado por 0 p r 1 0 12.5 MPa e 0 1/ 2 0 6.25 b) Valor de P para que haya cortante puro. Ahora la acción de P produce una tensión de compresión sobre la sección transversal del tubo, que se denominará * 315 S. Oller, L. G. Nallim * P P 2 3183.1 P 2 r e 0.05 0.001 Para que el punto A esté en un estado de cortante puro las tensiones principales deben ser de igual magnitud y sentido contrario. O sea, c λ * 12.5 6.25 2 3183.1 P P 0.003MN ● Verificación Se puede verificar que la carga obtenida, P 0.003MN , produce un estado de corte o cizallamiento puro en el punto A , * 2 3183.1 P 18.75MPa de compresión λ * 6.25 18.75 12.5MPa c 4.3 Energía interna de deformación por axil En esta sección se particulariza la expresión de la energía total de deformación acumulada en una pieza prismática (ver Capítulo 2) al caso de una pieza sometida a un esfuerzo axial puro. Para ello, se define primeramente la densidad de energía interna en cada punto de una barra sometida a esfuerzo axial puro, 1 1 E 3 d 3 E 32 3 3 3 2 2 2E 3 3 0 0 Ley de Hooke caso uniaxial 3 d 3 2 (4.17) 316 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Sustituyendo en esta última ecuación la tensión y la deformación por sus respectivas expresiones (4.10) y (4.12) en función de los esfuerzos, se tiene la densidad de energía interna complementaria, compuesta por la contribución mecánica en función del esfuerzo axil y la térmica en función de la temperatura, 2 2 1 1 N N2 1 N E 32 E t t E t t t t 2 A 2 2 EA 2 EA 2 (4.18) Integrando la densidad de energía por axil en todo el volumen, se obtiene la energía total acumulada en la pieza por efecto del esfuerzo axil, 2 1 N W dV E t t A dx3 2 EA V 2 N2 1 dx3 E A t t dx3 N t t dx3 2 EA 2 (4.19) Pudiéndose también escribir esta última en el siguiente formato, en función de esfuerzos y alargamientos, 1 1 W N dumec Nter duter N duter 2 2 (4.20) N dx el diferencial de desplazamiento mecánico producido por EA 3 el esfuerzo axil mecánico N ; luego du ter t t dx3 es el diferencial de despla- Siendo dumec zamiento térmico (producido por la acción térmica) y, por último, se define como N ter E A t t a un esfuerzo axil equivalente producido por la acción térmica. Así, se puede entender que la energía interna, debida al axil y a la temperatura uniforme, se acumula en la barra en forma de las siguientes componentes de energía potencial, Energía potencial mecánica : 1 N 1 WN N dx N dumec EA 3 2 2 317 S. Oller, L. G. Nallim Energía potencial térmica : 1 1 Wt E A t t t t dx3 Nter duter 2 2 Energía mutua o indirecta termo - mecánica : (4.21) WNt N t t dx3 N duter Se entiende por energía mutua o indirecta a aquella que se desarrolla por un estado de tensión sobre un estado de deformación, que no es consecuencia de esta tensión, sino de otro estado independiente de éste. En forma análoga a la demostración anterior, se puede expresar la densidad de energía interna primal, en función de las deformaciones axiales y de aquí la energía total acumulada en la pieza en función de los movimientos axiales que sufre un punto de la barra, W dV V dA dx λ A 3 2 1 du3 ( x3 ) 1 2 W E 3 dA dx3 E dA dx λ λ 2 A 3 dx3 A2 Siendo el gradiente de los desplazamientos (deformación axil total en este caso) du3 du3mec du3ter , que sustituido en la anterior, resulta la exdx3 dx3 dx3 presión de la energía total en función de los desplazamientos axiales de la barra, 3 3mec 3ter 2 1 du3mec du3ter dx3 W E dA λ 2 A dx3 dx3 2 1 du mec 2 du3ter du3mec du3ter 3 E dA dA 2 A dx3 A dx3 dx3 dA dx3 λ 2 A dx3 (4.22) Se puede presentar esta última en la forma de la ecuación (4.19) si en ella se susN tituye du3mec dx3 y du3ter t t dx3 . EA 318 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto 4.4 Piezas rectas de sección trasversal conformada por material compuesto 4.4.1 Teoría general En la práctica de la construcción aparecen, con cierta frecuencia, piezas estructurales compuestas por diversos materiales, cada uno de ellos con sus propias características mecánicas, como por ejemplo las estructuras mixtas de hormigón y acero, hormigón armado, hormigón pretensado, etc. Para analizar los efectos producidos por el esfuerzo axil en este tipo de secciones, se supondrá que, en el caso más general, el módulo de elasticidad en la sección es función de la posición del punto en el plano de la sección, es decir E E x1 , x2 (4.23) De acuerdo con la hipótesis de Bernoulli, la ley de deformaciones será la misma que la dada por la ec. (4.2), mientras que las tensiones vendrán dadas por 3 3 E x1 , x2 (4.24) y las condiciones de equilibrio (4.7) resultarán ahora def N A 3 dA E x1 , x2 3 dA A def M1 3 x2 dA E x1 , x2 3 x2 dA 0 A A (4.25) def M2 3 x1 dA E x1 , x2 3 x1 dA 0 A A Obsérvese que la diferencia entre las expresiones (4.7) y (4.25) radica en el hecho que los valores del módulo de elasticidad ( E ) no pueden sacarse fuera de la integral por no ser constantes en toda la sección transversal. Debido a que se considera válida la hipótesis de Bernoulli y por analogía con el caso de secciones con materiales simples, las deformaciones en la sección deben ser constantes. Entonces, para que se satisfagan las dos últimas ecuaciones de equilibrio (4.25), se debe verificar 319 S. Oller, L. G. Nallim E x , x x dA E x , x x dA 0 1 A 2 2 1 A 2 (4.26) 1 La expresión (4.26) indica que se deben anular las integrales por ser momentos estáticos respecto de ejes que contienen al centro mecánico2. Ello implica que el origen de los ejes de referencia x1 x2 y el punto de acción del esfuerzo axil debe ser el centro mecánico ( CM ) de la sección. Además, se tiene también que los ejes mecánicos deberán ser principales de inercia y, por lo tanto, los productos de inercia respecto de estos ejes son nulos. Es decir, E x , x x x dA E x , x x 1 A 2 1 2 1 A 2 2 x1 dA 0 (4.27) Resulta así, de las ecuaciones (4.25), (4.26) y (4.27), que la única condición que garantiza el equilibrio de la sección transversal es def N A 3 dA 3 E x1 , x2 dA A (4.28) Área mecánica de donde se deduce que la deformación sobre el eje mecánico vale 3 A N E x1 , x2 dA (4.29) y la tensión vale N E x1 , x2 3 x1 , x2 E x1 , x2 3 (4.30) E x , x dA A 1 2 En las expresiones anteriores también se puede incluir el efecto de la temperatura si se sustituye adecuadamente la relación tensión - deformación termoelástica3, 2 3 Ver definición de centro mecánico en el Anexo A. La relación (4.28) se expresa en termo-elasticidad como: N x , x dA E x , x dA E x , x x , x t dA total A 3 1 2 3 A 1 de esta expresión se deduce la deformación total: 2 A 1 2 t 1 2 320 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto 3 x1 , x2 E x1 , x2 3total t x1 , x2 t Nótese que se ha incluido un campo de temperaturas uniforme, no obstante el mencionado campo podría ser variable. También es necesario destacar que si el término de deformación térmica no respeta la planaridad en la sección, el análisis no cumple con las hipótesis básicas de Bernoulli. Las expresiones (4.29) y (4.30) proporcionan la respuesta en deformaciones, tensiones y movimientos al problema planteado. Dichas expresiones suelen, sin embargo, escribirse en muchos casos en forma ligeramente diferente. Para ello supóngase que se fija un módulo de elasticidad de referencia E (en general coincide con el módulo de elasticidad menor de entre todos los materiales que forman la sección), y sea por definición A E x1 , x2 dA n x1 , x2 E dA E n x1 , x2 dA E A* A A (4.31) A* donde A* es el área homogeneizada de la sección. Con estas nuevas definiciones, las expresiones (4.29) y (4.30) resultan 3 N E A* (4.32) 3 x1 , x2 n x1 , x2 du3 N A* (4.33) N dx3 E A* (4.34) y el alargamiento total de la barra de longitud está dado por 3 total = N E x , x dA 1 2 A mec E x , x x , x t dA x , x dA E A 1 2 A t 1 ter 1 2 2 321 S. Oller, L. G. Nallim N dx3 E A* u3 (4.35) 4.4.2 Caso particular de hormigón armado El hormigón armado es un material compuesto por acero y hormigón. El objetivo de esta combinación es conseguir que ambos materiales compartan el esfuerzo resistente y, en el caso extremo, en que el hormigón fracase en dicha misión como consecuencia de su fisuración, trabaje el acero solo. Se considera en este subapartado el comportamiento del hormigón armado a compresión y tracción, para estados de solicitaciones por debajo del límite de fisuración del hormigón, debiendo ambos materiales cumplir la condición básica de compatibilidad de deformaciones en cada sección transversal. Suponiendo la acción de un esfuerzo axil en el centro mecánico de la sección se tiene, a partir de la expresión (4.24), que la tensión en el hormigón h y en el acero a , valen, h NEh , Ea Aa Eh Ah a NEa Ea Aa Eh Ah Figura 4.5 – Columna de hormigón armado. (4.36) 322 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Denominando relación de módulos elásticos a n Ea / Eh , cuantía geométrica a Aa / Ah y cuantía mecánica al producto n , se reescribe la ec. (4.36) en la forma clásica que se utiliza en hormigón armado: N n N n Ah n 1 AT n 1 1 N 1 N h Ah n 1 AT n 1 a (4.37) donde AT Ah Aa representa la sección transversal total. De las ecs. (4.37) se puede observar que para el mismo nivel de deformaciones, se cumple la siguiente relación de tensiones entre ambos materiales (ver Figura 4.5) a n h 3 h a (4.38) Un proceso de diseño en hormigón armado parte de dar por conocida la tensión máxima que puede soportar el hormigón en su límite elástico max , la relación h de módulos elásticos n Ea / Eh y el esfuerzo axil en la barra. Con estos datos se desea encontrar las secciones transversales de acero Aa y de hormigón Ah . Para ello, es necesario suponer la relación de áreas entre acero y hormigón (cuantía geométrica Aa / Ah ). Esta relación debe estar comprendida entre un mínimo y un máximo que garantice que no se comporte como hormigón simple ni como acero simple respectivamente. Estos límites vienen dados por reglamentos. Ejemplo 4-15: El tensor de la figura, construido en hormigón armado de sección circular, está sometido a una carga axial F 200kN . La relación de módulos elásticos es n 10 y se supone una cuantía geométrica Aa / Ah 0.02 . Se pide: a) Obtener las dimensiones transversales (diámetro) del tensor para que la tensión máxima en el hormigón no supere su límite elástico max 2.4 MPa . h b) Verificar las tensiones en el hormigón y en el acero. 323 S. Oller, L. G. Nallim a) Dimensionado del tensor La tensión máxima en el hormigón viene dada por: max h F Eh F F Ea Aa Eh Ah 10 0.02 Ah Ah 1.2 Ah Despejando de esta expresión el término del área del hormigón, se obtiene: Ah F 0.2MN 0.06944m2 max 1.2 2.4MPa 1.2 h Por otro lado, se sabe que el área total viene dada por: AT 1.02 Ah 1.02 0.06944m2 0.070833m2 Como la sección transversal es circular, su área vendrá dada por la expresión: AT d 2 4 Como el área ya es conocida, despejando el diámetro, se obtiene: d 4 AT 4 0.070833m2 0.30m Luego, el cálculo de la sección transversal de las barras de acero se obtiene mediante la siguiente expresión: 324 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Aa 0.02 Ah 0.02 0.06944m2 1.3888 103 m2 b) Verificación de la tensión en el hormigón y en el acero: La tensión en el hormigón viene dada por: h F 0.2 MN 2.4 MPa 1.2 Ah 1.2 0.06944m2 Como se puede observar la tensión en el hormigón es igual a la máxima admisible. La tensión en el acero, viene dada por: a Ea 10 Eh 10 h 24MPa Ejemplo 4-16: En la barra de la Figura se aplica una carga horizontal F 800kN en lim el punto “B”. Adoptando n Ea / Eh 10 , lim a 500 MPa y h 20 MPa , calcular el área de acero Aa y de hormigón Ah para que ambos materiales tengan el mismo esfuerzo normal y ninguno de sus materiales supere su resistencia elástica. Ecuaciones de equilibrio F Na Nh 0 F F 2N 0 N 2 Na Nh N Ecuación de compatibilidad u ua uh Na AB Nh AB Ea Aa Eh Ah Eh Ah Ea Aa 325 S. Oller, L. G. Nallim Despejando, se obtiene el área de hormigón: Ah Ea A n Aa 10 Aa Eh a Verificación de la tensión máxima Para el acero lim a kN 800kN 2 500000 2 Aa m 3 2 Aa 0.8 10 m 2 2 Ah 0.8 10 m Para el hormigón lim h Aa 2 103 m2 kN 800kN 2 20000 2 2 2 Ah m Ah 2 10 m Se escogen las áreas mayores, es decir Aa 2 103 m2 , Ah 2 102 m2 , para garantizar que ningún material supere el límite de tensión establecido en los datos del problema. 4.4.3 Caso particular de hormigón pretensado El hormigón pretensado es un material diseñado con la finalidad de someter al hormigón a compresión, antes de introducir las cargas de servicio, en aquellas zonas donde se producen las tracciones. De esta forma, hasta que las compresiones sobre el hormigón no son anuladas, no aparecen las tensiones de tracción, evitando así la rotura del hormigón. Durante el tiempo en que se ha utilizado este material, se han desarrollado diferentes variedades de hormigón pretensado. Sin embargo, aquí sólo se establecerá una clasificación básica: • Según el momento en que se realiza el tesado de los cables - Hormigón pretensado con armaduras pretesas. Se trata de un tesado de cables previo al endurecimiento del hormigón. Este tipo de material normalmente se obtiene en talleres sobre bancos de tesado. - Hormigón pretensado con armaduras postesas. Se trata de un tesado de cables posterior al endurecimiento del hormigón. Este tipo de material normalmente se obtiene 326 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto en taller y/u obra, utilizando dispositivos (gatos) que tensan las armaduras entubadas, apoyados sobre el hormigón endurecido. Una vez tensado los cables, son anclados en sus extremos en el hormigón, por donde se transmite la fuerza de pretensado. • Según la adherencia entre armaduras y hormigón - Hormigón pretensado con adherencia. En este caso las armaduras están fuertemente adheridas al hormigón circundante. Aquí se considera compatibilidad de deformaciones y equilibrio en cada sección transversal entre armadura y hormigón. Si se utilizan armaduras pretesas, la unión acero - hormigón se da por "adherencia directa". Si las armaduras son postesadas, se consigue adherencia inyectando los tubos con mortero, que al endurecer constituye el elemento de "enlace indirecto". - Hormigón pretensado sin adherencia. En este caso no se establece ningún enlace que admita tensiones tangenciales entre armadura y hormigón. En cada sección transversal no hay compatibilidad entre acero y hormigón y, por lo tanto, solamente se debe cumplir la condición de equilibrio entre ambos materiales. En el hormigón pretensado con adherencia indirecta no existe unión entre ambos materiales en la primera fase, pero luego de inyectar el mortero en los tubos se debe considerar un pretensado con adherencia. Hay otros tipos de clasificación según la clase de anclaje, el grado de pretensado, etc. Respecto del cálculo, no existe ningún método especial para su análisis, debiéndose aplicar las bases conocidas de la mecánica, respetando las condiciones de equilibrio seccional y de compatibilidad cuando corresponda. Hormigón pretensado sin adherencia con armaduras postesas Este material de sección transversal compuesta, sin adherencia, no cumple la hipótesis de compatibilidad de deformaciones entre acero y hormigón (ver Figura 4.6). Por tratarse de un pretensado centrado sin cargas externas de servicio, se debe cumplir la siguiente condición de auto-equilibrio en cada sección transversal (ver ec. (4.28)). N 0 3 x1 , x2 dA a dA h dA A Aa Ah Na Nh Na Nh (4.39) 327 S. Oller, L. G. Nallim Por otro lado, se sabe que Na Ea Aa ua 0 y Nh Eh Ah a uh 0 (4.40) h Figura 4.6 – Prisma de hormigón pretensado sin adherencia con armaduras postesas. Debe considerarse que en todo instante se cumple la condición de equilibrio entre los dos materiales, debido al sistema constructivo que se basa en tensar el cable apoyando el dispositivo de tensado en el hormigón. Esto significa que a medida que se estira el cable, se acorta el hormigón. De la ecs. (4.39) y (4.40) resulta la deformación del hormigón h en función de la deformación que se impone al acero a . h Ea Aa n a Eh Ah a (4.41) En el caso termo-elástico4, se debe respetar coherentemente la correspondiente ley tensión - deformación. 4 Nota: La ecuación de equilibrio (4.39) queda expresada en comportamiento termo-elásticos como: Aa Ah N 0 Na + Nh a dA h dA Ea Aa a a ta Eh Ah h h th total Na Nh Resultando de aquí la deformación total en el hormigón como t total t 328 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Conocidos los estados de deformación, se obtienen las tensiones como: a Ea a h Eh h Eh Ea Aa a a Eh Ah (4.42) Como se puede observar, a diferencia del hormigón armado donde la relación de resistencia venía dada por la relación de módulos elásticos n Ea / Eh aquí, en el hormigón pretensado sin adherencia, la relación de resistencia depende de la relación de secciones transversales Aa / Ah . Hormigón pretensado en tiempos diferentes Sobre un hormigón pretensado sin adherencia con armaduras postesas, se vuelve a pretensar el hormigón con nuevos cables distintos a los utilizados en la etapa anterior. En este caso es necesario distinguir el estado previo, que corresponde al analizado en el subapartado anterior, de esta nueva fase de tensado. En esta nueva etapa, el material base "acero-hormigón" se comporta como un compuesto con compatibilidad de deformaciones. Esta situación ocurre siempre, tanto si se inyecta mortero en los tubos, como si el cable permanece sin adherencia indirecta. Esto último necesita una explicación, pues no hay una verdadera compatibilidad entre el acero y hormigón de la primera fase, pero ambos materiales se acortan la misma longitud debido a la imposición de desplazamientos de extremos del material base, exigido por el nuevo conjunto de cables. Estado mecánico previo: resulta de lo deducido en el apartado anterior. Ea Aa 0 0 h E A a h h 0 0 0 Na Nh = a Ea 0a A 0h Ea a 0a Ah (4.43) Estado mecánico producido por el nuevo pretensado: sobre el material mixto de base, se pretensa un nuevo grupo de cables cuya denominación llevará un signo "+", para E A htotal a a atotal ta ta th th Eh Ah 329 S. Oller, L. G. Nallim distinguirlo de los cables puestos en la etapa anterior. Así, la condición de equilibrio para esta etapa de pretensado se expresa como N 0 3 x1 , x2 dA = A dA a M dA Ea Aa a Eh Ah Ea Aa M Aa AM 0 Na (4.44) NM En esta última expresión se puede observar la condición de compatibilidad que se aplica al material base, a través de mantener único el incremento de deformación M para el acero y hormigón de la primera fase. De aquí resulta el incremento de deformación que sufre el material mixto ( M ) de base cuando es sometido a un nuevo pretensado, M Ea Aa a nAa a nA a* a Eh Ah Ea Aa Ah nAa A (4.45) donde A* n 1 Aa AT es la denominada área homogeneizada, en tanto A Eh Ah Ea Aa se conoce como área mecánica. Conocido el cambio de deformación del material base, se puede obtener el estado final de tensiones y deformaciones en todos los materiales componentes E a a a 0 0 a a a Ea a M 0 E 0 E 0 M h h h h M a a h n (4.46) a 0a M 0 0 h h M n a M (4.47) y 330 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Hormigón pretensado con adherencia y con armaduras pretesas Este material, de sección transversal compuesta, sí cumple la hipótesis de compatibilidad de deformaciones entre acero y hormigón. Estado mecánico previo: corresponde solamente al tensado del cable valiéndose del banco de tesado. En esta primera fase el hormigón se encuentra todavía en estado fluido. N Ea 0 a 0 a 0 a Ea Aa (4.48) 0 a Estado mecánico posterior al endurecimiento del hormigón: sobre el material mixto de base, formado por el propio cable de tensado y el hormigón endurecido, se deja actuar la fuerza inicial con que se ha tesado el cable Na . Esta irá perdiendo valor 0 a medida que se acorta la pieza de hormigón, hasta alcanzar el estado autoequilibrado final. La situación que aquí se describe es análoga a la segunda etapa de pretensado del caso anterior, con la sola diferencia que en este caso el cable aplica la acción y forma parte de la sección resistente. Por lo tanto, la nueva condición de equilibrio axial se expresa como N 0 3 x1 , x2 dA = Na 0 A dA Ea Aa a Eh Ah Ea Aa M 0 M AM (4.49) NM En esta última expresión se puede observar que el mismo cable aplica la acción y también resiste parte de la fuerza aplicada, gracias a la compatibilidad que existe entre el cable y el hormigón. De aquí resulta el incremento de deformación que sufre el material mixto de base, M , cuando se libera la fuerza actuante en el cable de tesado, Ea Aa a 0 M Eh Ah Ea Aa nAa a 0 Ah nAa nAa a 0 A* (4.50) 331 S. Oller, L. G. Nallim donde A* n 1 Aa AT es el área homogeneizada. En el caso termo-elástico, al igual que en apartados anteriores5, se debe respetar coherentemente la correspondiente ley tensión - deformación. Conocido el cambio de deformación del material base M , se puede obtener el estado final de tensiones y deformaciones en los dos materiales componentes: 0 E 0 a a a M a a 0 0 E h h h M h (4.51) 0 a M a 0 h h 0 M (4.52) Ejemplo 4-17: Una viga de hormigón pretensado de 30 30cm2 (sección cuadrada) se fabrica de la siguiente forma: se tensan cuatro cables de acero de 0.8cm2 cada uno, dispuestos en las esquinas de un cuadrado de 25cm de lado. La tensión de cada cable es de 1400MPa . Posteriormente, se hormigona la sección y una vez endurecida se cortan los cables, con lo cual el hormigón queda comprimido. Se desea conocer: a) Las tensiones de compresión finales en el hormigón b) Las tensiones finales en el acero c) El acortamiento de la pieza al cortar los cables Nota: La ecuación de equilibrio (4.49) queda expresada para comportamientos termo-elásticos como: N 0 Na NM Na M dA Na Ea Aa atotal ta ta Eh Ah htotal th th 5 AM Resultando de aquí el incremento de deformación total en el material mixto, como: total M total a total h = Na Ea Aa ta ta Eh Ah th th Ea Aa Eh Ah 332 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Una vez fabricada la pieza, se la somete a un esfuerzo axil de tracción de valor F 720 kN . Calcular: d) Las tensiones finales en el acero y en el hormigón e) El alargamiento de la pieza como consecuencia de la aplicación de la carga F 720 kN - Módulo de Elasticidad del acero Ea 210GPa - Módulo de Elasticidad del hormigón Eh 30GPa - Longitud de la pieza 4 m a) Tensiones de compresión finales en el hormigón La sección así formada está compuesta por dos materiales: hormigón y acero. Sea E Eh y Ea n Eh n E , donde n Ea 210GPa 7 30GPa Eh Por otro lado, el área de hormigón (descontando la sección de acero) será AT Ah 0.30 0.30 4 0.00008 m2 0.08968 m2 Se resolverá la primera parte del problema (apartados a), b) y c)) utilizando dos procedimientos conceptuales diferentes y, luego, se resolverán los apartados d) y e). Concluida esta resolución, se abordará nuevamente el problema utilizando la formulación deducida en el apartado correspondiente. Procedimiento 1 Los esfuerzos en cada uno de los cables valen N 0 a i 1400MPa 0.00008m2 112kN Con lo que la fuerza total será 4 Na Na 4 112kN 448kN 0 i 1 0 i 333 S. Oller, L. G. Nallim Cuando se cortan los cables, parte de este esfuerzo será transmitido al hormigón, con lo que éste se acortará una cantidad uh . El hormigón quedará, por tanto, comprimido y sometido a un esfuerzo axil de magnitud Nh N . Obviamente, por consideraciones de equilibrio, al no existir ninguna fuerza externa la fuerza final total que actuará sobre el acero será también Na Nh N . Además, por compatibilidad, el acortamiento del hormigón debe ser el mismo que el del acero. Es decir: - Acortamiento del hormigón uh N N 4m m 0.1487 105 N 6 2 2 Eh Ah 30 10 kN m 0.08968 m kN - Acortamiento del acero N N u 0 a a a a E A 448kN N 4m m 0.026667m 0.59524 104 N 210 10 kN m 4 0.00008 m kN 6 2 2 Obsérvese que el acortamiento del acero viene dado por una pérdida de tensión, es decir por la diferencia entre el esfuerzo axil inicial Na y el esfuerzo final N . 0 Como ambos alargamientos deben ser iguales, resulta 0.1487 105 N = 0.026667 0.59524 104 N de donde se obtiene N = 437.08kN . Las tensiones finales de compresión en el hormigón valdrán entonces h N 437.08 kN 4873.803 kPa 4.874 MPa (Compresión) Ah 0.08968 m2 b) Tensiones finales en el acero a 437.08 kN N 1.36588 106 kPa 1365.88MPa (Tracción) 2 Aa 4 0.00008 m Como puede observarse, se da el siguiente auto-equilibrio N h Ah a Aa 437.082 kN 334 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto c) Acortamiento de la pieza. Puede determinarse, a partir del hormigón o del acero, indistintamente. A partir del hormigón uh N 0.000 437 083GN 4m 0.00065 m Eh Ah 210GPa 0.08968m2 A partir del acero N N 0.026667 - 0.59524 10 N 0.00065 m u 0 a a a 4 a E A donde puede observarse la coincidencia de ambas cantidades. Procedimiento 2 El hecho de cortar los cables puede mirarse bajo el punto de vista de mantener las fuerzas de pretensado sobre los mismos y aplicar sobre el centro mecánico de la sec0 ción mixta de hormigón y acero una fuerza Na igual a la suma de las fuerzas de pretensado cambiada de signo. El centro geométrico y mecánico de la sección coinciden en este caso. La resultante de las fuerzas iniciales aplicadas sobre el acero vale N 0 a 4 112kN 448kN A partir de las ecuaciones determinadas previamente se obtienen las tensiones sobre el hormigón y sobre el acero, producido por el hecho de cortar los cables. A* Ah n Aa 0.08968 7 4 0.00008 m2 0.09192 m2 Por lo que h a n 448 kN N 4873.8 kPa 4.874MPa (Compresión) * A 0.09192 m2 448 kN N 7 34116.62 kPa 34.117 MPa (Compresión) * A 0.09192 m2 El valor anterior a representa la pérdida de tensión en los cables como consecuencia del pretensado. 335 S. Oller, L. G. Nallim Por lo que las tensiones finales en el acero valdrán a 1400 MPa a (1400 34.117) MPa 1365.88MPa En lo que respecta al acortamiento de la pieza al cortar los cables, se tiene 4 448 kN 448 kN 4 m Nds ds 0.00065m * 6 2 6 2 EA 30 10 kPa 0.09192 m 30 10 kPa 0.09192 m 0 0 u valor que coincide con el determinado anteriormente. Concluido los dos procedimientos, a continuación se resuelven los apartados d) y e). Para ello se aplican directamente las ecuaciones obtenidas en el procedimiento 2. Las tensiones debidas al esfuerzo F 720 kN valdrán En el hormigón 720 kN F 7833 kPa 7.833MPa (Tracción) * A 0.09192 m2 h En el acero a n 720 kN F 7 54830 kPa 54.83MPa (Tracción) * A 0.09192 m2 Por lo tanto, las tensiones finales que resultan de la superposición de estado de pretensado más la carga exterior, resultan En el hormigón h f 4.874 7.833 2.959MPa (Tracción) En el acero a f 1365.895 54.83 1420.725MPa (Tracción) Por último, para obtener el alargamiento de la pieza debido a la carga de F 720 kN , se utiliza la expresión 336 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto uh N 4 720 kN 720 kN 4 m Nds ds 0.00104m * 6 2 6 30 10 kPa 0.09192 m2 EA 0 30 10 kPa 0.09192 m 0 Procedimiento 3 El procedimiento que a continuación se describe, resulta de la aplicación directa de las expresiones deducidas previamente. Continuando con la base teórica ya presentada, se utiliza el signo negativo para expresar compresión o acortamiento, en tanto el signo positivo expresa tracción o alargamiento. Determinación de datos previos N 0 a M Aa a 4 0.00008 m2 1400 MPa 0.448MN 448kN 0 N 0 a Eh n 1 A AT a n Ea 210GPa 7 30GPa Eh 448kN 30 10 kN m 7 1 4 0.8 104 0.3 0.3 m2 6 2 1.6246 104 Respuesta al apartado a). Tensión final en el hormigón h Eh M 3 104 MPa 1.6246 104 4.8738MPa Nh 0.3 0.3 4 0.8 104 4.8738 0.437083MN 437083N Respuesta al apartado b). Tensión final en el acero a Ea a M a Ea M 1400MPa 2.1105 MPa 1.6246 104 0 0 1365.883MPa Na 4 0.8 104 1365.883 0.437083MN 437083N Respuesta al apartado c). Acortamiento de la pieza uh 0 M 4m 1.6246 104 0.00065m 337 S. Oller, L. G. Nallim Respuesta al apartado d). Tensiones finales en el hormigón y en el acero, resultantes del estado de pretensado más la carga externa. Cálculo del cambio de deformación del material mixto por la sola acción del esfuerzo axil externo: M F F 0.72 MN 4 Eh n 1 Aa Ah 3 10 MPa 7 1 4 0.8 104 0.3 0.3 m2 2.610966 104 Conocido el cambio de deformación se pueden responder las preguntas del apartado d). h Eh M 3 104 MPa 2.610966 104 7.8329MPa F F h h h 4.874 7.833 2.959MPa F a a F F F Ea M 2.1 105 MPa 2.610966 104 54.830 MPa F a a F 1365.883 54.830 1420.713MPa Respuesta al apartado e). Alargamiento de la pieza. El desplazamiento producido sólo por el esfuerzo axil se calcula como, uh N 0 M 4m 2.6109 104 0.00104m N Y el desplazamiento final después de la superposición de esfuerzos es uh f 0 M M F 4m 1.6246 10 4 2.6109 104 0.000394m Como se puede comprobar, las respuestas obtenidas mediante los tres procedimientos son coincidentes. Ejemplo 4-18: Sea una barra de hormigón pretensado con adherencia y armaduras pretesas, de sección circular de 0.3m de diámetro. Se quiere saber la fuerza inicial que se debe dar al cable para que la tensión final en el hormigón sea h 30MPa (de compresión). En ningún caso el cable debe superar su máxima resistencia a tracción max a a 1500 MPa . La relación de módulos elásticos vale n 10 . 0 338 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Cálculo del área total de la sección transversal del tensor 0.32 0.070686 m2 4 Cálculo del área total de la sección transversal del cable La tensión en el hormigón está dada por AT h 30 Eh M Eh N 0 a Eh n 1 Aa AT N 0 a n 1 Aa AT despejando de aquí el área del cable, se obtiene 30 AT 30 0.070686 Aa 0.001724m2 0 30 9 1500 30 n 1 a La fuerza inicial necesaria, será entonces: N 0 a 0 a Aa 1500 0.001724 2.58607MN El cambio de deformación del material mixto será 2.58607 MN 30.0001 M Eh Eh 10 1 0.001724 0.070686 m2 La tensión final en el acero será a a Ea M 1500 n 30.0001 1199.999 MPa 0 La fuerza final en el hormigón y en el cable será: Nh h Ah 30 0.070686 0.001724 2.068860 MN Na a Aa 1199.999 0.001724 2.068798MN 4.5 Esfuerzo axil en barras elastoplásticas Hasta ahora se ha supuesto que el comportamiento del material es elástico lineal. Esto introduce una severa limitación en el comportamiento de las estructuras, pues después de superar un cierto umbral de tensión y , tensión de fluencia, normalmente se inicia un comportamiento no-lineal no conservativo que difiere mucho de la clásica ley de Hooke. Se han formulado diversas leyes que representan el comportamiento tensión deformación de los materiales, algunas muy complicadas, y que requieren un estu- 339 S. Oller, L. G. Nallim dio especial para su comprensión y utilización correcta. Sin embargo, se pueden utilizar otras formulaciones que establecen ciertas simplificaciones que hacen que difieran de la realidad, pero mejoran sustancialmente el comportamiento simplista de la ley de Hooke. Figura 4.7 – Ley constitutiva elastoplástica. En este apartado se presentará la conocida ley tensión deformación elastoplástica perfecta (Figura 4.7). En ella se puede observar un comportamiento lineal para y , análogo a la ley de Hooke, pero luego de alcanzar el umbral y la tensión se mantiene constante, en tanto la deformación crece sin límite. En este caso, el comportamiento del material se representa mediante la siguiente ley A nivel tensional: y y E E y y y E A nivel deformacional: e y E y e p y E y (4.53) donde e es la deformación elástica (recuperable o reversible) y p es la deformación permanente (irreversible). De ley de comportamiento del material dada por (4.53) se desprende la siguiente función para representar la condición de equilibrio axial de una barra, 340 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto EA y y u E N dA A y y y A E (4.54) Ejemplo 4-19: Obtener el esfuerzo axil en cada una de las barras de la estructura articulada del Ejemplo 4-8, modificando el comportamiento de la barra 2. Ésta inicia un comportamiento elastoplástico al alcanzar la tensión umbral de fluencia y (ver Figura 4.7), las otras barras mantienen su comportamiento elástico durante el resto del proceso de carga. Dibujar la respuesta elastoplástica F uC , donde uC es el desplazamiento del nodo C . Considerar que las propiedades elásticas de los materiales y las secciones transversales de las barras son iguales entre sí. El problema se descompone en dos partes: a) Comportamiento elástico de todo el sistema, mientras se cumpla la condición 2 y (donde 2 es la tensión en la barra 2) En este caso valen todos los resultados obtenidos en el problema propuesto, Ejemplo 4-8, F cos2 N2 2cos3 1 F/A y 2 A 3 2cos 1 F N2 3 2cos 1 N1 N3 y el desplazamiento del punto C , durante el proceso elástico vale uCe N2 F 2 2 EA EA (2 cos3 1) De esta última expresión surge que el módulo de rigidez del sistema estructural elástico ante un desplazamiento del punto C vale Ke (2 cos3 1) EA con 2 2 341 S. Oller, L. G. Nallim b) Comportamiento elasto-plástico del sistema, mientras se cumpla la condición 2 y . Durante este comportamiento se resuelve un problema isostático, donde se tiene como incógnita el esfuerzo axil en las barras 1 y 3, en tanto el esfuerzo axil en la barra 2 está perfectamente determinado y vale N2y y A cte. , siempre que se cumpla que 2 y o que uC N2y 2 y 2 y 2 EA E En esta etapa de comportamiento elasto-plástico, se cumple la siguiente condición de equilibrio N1 N3 con N2y y A cte. y 2N1 cos N2 F 0 de estas ecuaciones surgen los esfuerzos axiles buscados, N1 N3 F N2y 2 cos F F y N2y 2 cos3 1 y también el desplazamiento del punto C durante el período elastoplástico u ue N2y F N2y u1 1 y uC 2 cos EA 2 cos 2 EA cos 1 Ny 1 F 2 cos3 y 1 2 2 EA 2 cos N2 p Además del incremento de desplazamiento durante el período plástico u1 , se obtiene también la rigidez plástica del sistema como Kp 2 EA cos 1 342 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto Estos resultados permiten trazar la respuesta carga-desplazamiento del nodo C , en formato F uC . S. Oller, L. G. Nallim 343 4.6 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo 344 Esfuerzo Axil en Piezas de Eje Recto 345 S. Oller, L. G. Nallim 5.1 Introducción Se entiende por flexión el caso de solicitación que se produce cuando en las secciones transversales de la barra aparecen momentos cuyos vectores representativos están contenidos en el mismo plano de la sección (ver Figura 5.1). Figura 5.1 – Barra sometida a flexión. Si en la sección transversal sólo existe flexión, es decir que el esfuerzo axil, el de corte y el momento torsor son nulos, la flexión se denomina flexión pura. Por ejemplo, la porción central de la viga simplemente apoyada de la Figura 5.2 está sometida a flexión pura, mientras que en la Figura 5.3 todas las secciones transversales de la viga están sometidas a flexión pura. Sin embargo, el caso de flexión pura no es el más común, pues junto con los momentos flectores es usual encontrar también en las secciones transversales esfuerzos cortantes. 346 Momento Flector Figura 5.2 – Barra simplemente apoyada sometida a dos cargas concentradas equidistantes de los apoyos. Figura 5.3 – Barra simplemente apoyada sometida a momentos en los apoyos. Si además de la flexión y el corte aparecen fuerzas axiles en la sección, se tiene el caso de flexión compuesta. Según sea el sentido de estos esfuerzos axiles, se tiene un problema de flexo-compresión o flexo-tracción (teniendo en cuenta que la flexión puede o no ser pura). En la Figura 5.4 se muestra un ejemplo de una viga sometida a flexión compuesta (flexo-tracción). Finalmente, si junto al momento flector actúan momentos torsores se dice que la sección está sometida a flexo-torsión. En forma sintética es posible expresar las diferentes combinaciones de esfuerzos que pueden presentarse en la flexión como S. Oller, L. G. Nallim 347 se muestra en la Figura 5.5. En la Figura 5.6 se representan barras sometidas a distintos tipos de flexión. Figura 5.4 – Barra simplemente apoyada sometida a flexo-tracción. Figura 5.5 – Tipos de flexión según los esfuerzos que actúan en la sección. 348 Momento Flector Figura 5.6 – Barras sometidas a diferentes solicitaciones por flexión. Por otra parte, se debe agregar que el momento flector puede ser recto (o plano) y esviado (desviado u oblicuo). Si el vector momento está sobre un eje principal de inercia de la sección (o un eje perpendicular a éste) se dice que la flexión es recta o plana (ver Figura 5.7). Caso contrario se dice que la flexión es esviada, desviada u oblicua (ver Figura 5.8). Se debe recordar que los ejes de simetría (y los ejes perpendiculares a éstos) son siempre ejes principales de inercia de la sección, por lo lo tanto si el vector del momento flector está sobre un eje de simetría de la sección la flexión será recta o plana. Figura 5.7 – Secciones sometidas a flexión recta. Figura 5.8 – Secciones sometidas a flexión esviada. S. Oller, L. G. Nallim 349 5.2 Flexión pura recta Se considera, en primer lugar, una barra cuya sección transversal es simétrica respecto de un eje. Se aplica un vector momento, normal a dicho eje de simetría, no existiendo otros esfuerzos en la sección. Como ejemplo de este caso se toma la viga empotrada mostrada en la Figura 5.9 sometida al par flector M1 en su extremo libre. Se considera válida la hipótesis de Bernoulli, la cual establece que en una pieza recta sometida a flexión pura las secciones se mantienen planas y normales al eje de la pieza después de la deformación, la que se puede verificar experimentalmente. A esta hipótesis, relacionada con la cinemática de la deformación, se agregan las hipótesis fundamentales de la resistencia de materiales. Esto es, el material de la viga es homogéneo, isótropo y linealmente elástico (cumple con la ley de Hooke). Figura 5.9 – Viga en voladizo sometida a flexión pura recta. 350 Momento Flector Figura 5.10 – Capa de fibras neutras y línea neutra. En virtud de la hipótesis planteada y considerando que se trata de flexión pura, las fibras longitudinales de la pieza se acortan o se alargan. Por continuidad de las deformaciones habrá una capa de fibras que poseen deformación nula, denominada capa de fibras neutras. La intersección de la capa de fibras neutra con cada sección transversal es una recta llamada línea neutra (o eje neutro) (ver Figura 5.10), sobre la cual las deformaciones son nulas así como las tensiones (por la ley de Hooke). Por lo expuesto, la pieza se deforma según una curva cuyo radio de curvatura dependerá sólo del momento aplicado, como éste es constante a lo largo de la luz de la barra, se concluye que el radio de curvatura también lo será. En este caso se tiene que el eje de la pieza describe un arco de circunferencia. El significado de la hipótesis de Bernoulli puede analizarse en el plano x2 x3 (Figura 5.9). Debido a que en la sección sólo existe momento flector, es decir que el esfuerzo axil es nulo ( N 0 ), se debe cumplir la siguiente condición de equilibrio, N 3 dA 0 A (5.1) donde, para simplificar la notación se adopta 3 33 . De acuerdo con la hipótesis de Bernoulli, las deformaciones deben ser lineales en la sección y función de x2 . Es decir que, para cada sección transversal, se cumple 33 x2 3 x2 y puede escribirse como la ecuación de una recta, 351 S. Oller, L. G. Nallim 3 x2 x2 (5.2) donde es la pendiente y es la distancia al origen. Teniendo en cuenta la ecuación constitutiva (ley de Hooke) resulta que las tensiones también deben ser lineales, 3 x2 E3 x2 E x2 E (5.3) Sustituyendo la ecuación (5.3) en la ecuación de equilibrio (5.1), resulta: 0 0 E x2 dA E dA 0 A (5.4) A Debido a que en la ecuación (5.4) E 0 y E dA 0 , el cumplimiento de la A condición de equilibrio exige que sea 0 y x dA 0 2 A (5.5) La segunda de las ecuaciones (5.5) implica que el eje neutro contiene al centro mecánico de la sección. Por otra parte, considerando las ecuaciones (5.5), la ecuación (5.2) resulta 3 x2 x2 (5.6) Que es la ecuación de una recta que pasa por el centro mecánico. En el apartado siguiente se deducirá el valor de α. 5.2.1 Deducción de la fórmula de la flexión de Navier-Bernoulli Se vuelve a utilizar la viga representada en la Figura 5.9 y se consideran dos secciones paralelas, distanciadas una de otra una magnitud dx3 , cuyo detalle se representa en la Figura 5.11. Se estudian ahora las relaciones geométricas – mecánicas con el fin de deducir la expresión que vincula la tensión con el momento actuante (expresión de Navier). La deducción se basa en la hipótesis de Bernoulli, antes mencionada. 352 Momento Flector Figura 5.11 – Deformación de una barra en flexión pura recta (hipótesis de Bernoulli). a) Relaciones geométricas. Las secciones separadas dx3 se mantienen planas pero giran respecto al eje neutro un ángulo d d 1 como se muestra en la Figura 5.11. Para pequeñas rotaciones, se verifica que el arco de longitud dx3 definidos por los puntos AB de la mencionada figura se puede obtener como dx3 d y 1 d dx3 (5.7) donde es el radio de curvatura y es la curvatura del eje deformado de la viga1. Se analiza ahora el alargamiento de las fibras CD ubicadas a una distancia x2 de la línea neutra (eje x1 ). La longitud de las fibras CD , luego de la aplicación del momento flector está dada por x d CD 2 1 (5.8) En el caso de flexión recta (debida a un momento flector M1 ), a efectos de simplificar la nota- ción, se desiganarán al giro de la sección 1 , al radio de curvatura 2 y a la curvatura 2 como: , y , respetcivamente (sin subíndices). No obstante, éstos sí se emplearán luego, al estudiar flexión esviada. 353 S. Oller, L. G. Nallim El alargamiento de las fibras será la diferencia entre la longitud final (ecuación (5.8)) y la longitud original (ecuación (5.7)), esto es du3 ( x2 ) x2 d d x2 d (5.9) b) Relaciones de compatibilidad. La deformación específica longitudinal en la dirección normal x3 es el gradiente del desplazamiento. Teniendo en cuenta la ecuación (5.9), 3 x2 du3 ( x2 ) d x2 dx3 dx3 (5.10) Considerando las relaciones geométricas (5.7), la deformación dada por la ecuación (5.10) puede también escribirse como 3 x2 x2 x2 (5.11) Igualando las expresiones (5.6) y (5.11) se obtiene (5.12) Notar que se verifica la hipótesis de planaridad de las secciones, siendo la pendiente del plano de la sección transversal luego de aplicado el momento flector, el cual coincide con la curvatura. La ecuación (5.11) muestra que las deformaciones son nulas a la altura de la línea neutra donde x2 0 , negativas (acortamientos) debajo de esta línea y positivas (estiramientos) por encima, incrementando su magnitud linealmente con x2 . c) Ley constitutiva. Las tensiones se obtienen directamente de la ley de Hooke, teniendo en cuenta la ecuación (5.11), 3 E 3 E x2 E x2 (5.13) La aplicación de la ecuación (5.13) está restringida al caso de materiales linealmente elásticos, mientras que las ecuaciones cinemáticas (5.7) a (5.11) se basan en consideraciones geométricas y de compatibilidad por lo que son aplicables independientemente de la relación constitutiva del material. Se retomará este concepto al estudiar el comportamiento de vigas en régimen elasto-plástico. 354 Momento Flector d) Condiciones de equilibrio. Las siguientes condiciones de equilibrio se deben satisfacer en este caso N 0 3 dA (5.14) M2 0 3 x1 dA (5.15) M1 3 x2 dA (5.16) A A A De la condición (5.14), se obtiene N 0 3 dA E3 dA A A E E x2 dA x2 dA A 0 A cte (5.17) S1 0 De la ecuación (5.17) se concluye que, para satisfacer la ecuación de equilibrio, el momento estático de la sección respecto al eje x1 debe ser nulo ( S1 0 ) lo cual implica que la línea neutra x1 contiene al centro mecánico (geométrico) de la sección. Este resultado es una reflexión obvia, ya que las tensiones aumentan con la misma pendiente (derivada) en tracción por encima del eje, que en compresión por debajo del eje. Solamente si el eje está exactamente en la posición centroidal habrá equilibrio axial de fuerzas. Reemplazando ahora la ley constitutiva (5.13) en la condición de equilibrio (5.15) se obtiene 0 M2 A E E x2 x1 dA x2 x1 dA A (5.18) I12 0 Esta expresión indica que la línea neutra coincide con el eje principal x1 de la sección, ya que el producto de inercia con respecto a los ejes x1 y x2 es nulo, o sea I12 0 . Reemplazando en la condición de equilibro (5.16) la ley constitutiva (5.13), se obtiene 355 S. Oller, L. G. Nallim E 2 E x2 dA x22 dA A A M M1 (5.19) I1 De la ecuación (5.19) se obtiene la siguiente relación 1 d M1 = dx3 E I1 (5.20) En esta expresión I1 representa el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro (momento principal de inercia). Es importante notar que, en este caso de flexión simple recta, el eje o línea neutra coincide con el eje principal de inercia de la sección x1 y el momento de inercia respecto a ese eje es el momento principal de inercia I1 . Se denotará también a este momento principal de Inercia como I11 , porque es la componente del tensor diagonal de inercia. De igual manera se denotará, indistintamente, como I 2 o I 22 al momento de inercia respecto del eje principal x2 . El producto E I1 M1 / se denomina rigidez flexional ya que relaciona la deformación por flexión (curvatura ) con el esfuerzo que la provoca (momento flector). e) Ecuación de Navier. Considerando la ley de Hooke (ecuación (5.13)) y la ecuación (5.20), se tiene: 3 = E x2 E M1 x2 I1 M1 x2 E I1 (5.21) (5.22) La ecuación (5.22) se conoce como ecuación de Navier. Es obvio, a partir de esta ecuación (lo mismo que de la (5.13)), que las tensiones normales varían linealmente a lo largo de la sección transversal, siendo nulas sobre la línea neutra y alcanzando valores máximos en las fibras más alejadas a esta línea (Figura 5.12). Si se denota a esta distancia como x2max se tiene que el valor absoluto de la tensión normal longitudinal máxima en la sección será, 356 Momento Flector max M1 I1 max x2 W1 M1 W1 I1 (5.23) (5.24) x2max Figura 5.12 – Distribución de tensiones normales en la sección La cantidad W1 se denomina módulo resistente de la sección. Depende sólo de la geometría de la sección transversal, por lo que es una característica geométrica de ésta y permite el diseño directo de la sección transversal para un dado momento flector y un dado valor nominal de la resistencia del material empleado. Si la tensión admisible del material es adm , entonces el diseño elástico de la sección requiere que se cumpla la siguiente condición, max adm M1 adm W1 (5.25) de donde resulta W1 M1 adm (5.26) 357 S. Oller, L. G. Nallim 5.2.2 Máximo módulo resistente y rendimiento de una sección transversal Las ecuaciones (5.25) y (5.26) muestran que las secciones más eficientes para resistir a flexión son aquellas que tienen mayor módulo resistente de sección ( W1 ). La parte de la sección ubicada cerca de la línea neutra tiene una escasa influencia en la resistencia a flexión de la sección, debido a que, por un lado, la variación lineal de las tensiones hace que éstas tengan una magnitud pequeña en las cercanías de la línea neutra y, por otro lado, la resultante de estas tensiones produce un momento muy bajo por ser su brazo de palanca (distancia al eje neutro) muy bajo también. Por estas razones, y desde el punto de vista de la economía de material, las secciones más eficientes son aquella en las que el material se encuentra alejado del eje neutro. Esto se logra incrementando la altura de la sección transversal (en la dirección perpendicular a la línea neutra) y dándole una forma apropiada, como por ejemplo los perfiles I. En el primer caso la altura máxima de la sección puede quedar restringida a un valor admisible definido por la posibilidad de inestabilidad estructural (pandeo lateral) o razones constructivas. En el caso de perfiles, el espesor mínimo del alma (elemento vertical del perfil I) también dependerá de la estabilidad de la zona comprimida y de las tensiones tangenciales causadas por el cortante, como se estudiará más adelante (Capítulo 6). Para analizar el rendimiento de secciones con distintas formas geométricas se toma una sección de referencia cuyo rendimiento es máximo, tal como se muestra en la Figura 5.13. Allí la sección de área total A está dividida en dos partes de áreas A / 2 , concentradas y separadas una distancia h , de tal forma que el espesor de cada una es mucho menor que h ( e h ). El módulo de esta sección ideal será máximo y se obtiene como sigue, A h I1ideal 2 I10 2 2 2 0 2 Ah 2 4 (5.27) donde I10 es el momento de inercia de cada sección de área A / 2 respecto al eje x0 (eje centroidal de cada sección de área A / 2 ), e I1ideal es el momento de inercia de la sección de referencia respecto a la línea neutra ( x1 ), obtenida luego de aplicar el teorema de Steiner. Sustituyendo el momento de inercia obtenido por medio de la ecuación (5.27) en la ecuación (5.24) se obtiene el módulo resistente de la sección ideal, 358 Momento Flector ideal 1 W I1ideal Ah 2 Ah h / 2 4 h / 2 2 (5.28) El módulo obtenido se utiliza como valor de referencia para definir el rendimiento geométrico de una sección como el cociente dado por W1 2 W1 ideal W1 Ah (5.29) Figura 5.13 – Concepto de máximo módulo de sección. El rendimiento definido por la ecuación (5.29) varía entre cero y uno, 0 1 , siendo las secciones más eficientes para resistir flexión recta aquellas cuyo rendimiento se acerque a la unidad ( 1 ). Sea, por ejemplo, una sección rectangular de base b y altura h , su módulo de sección y su rendimiento están dados respectivamente por W1 I1 bh3 /12 bh 2 Ah 6 6 h/2 h/2 2 Ah 1 3 Ah 6 (5.30) Si se hace el mismo cálculo para una sección I de altura h y área A , se obtiene W1I 1 2 Ah 2 Ah I 3 3 Ah 3 (5.31) S. Oller, L. G. Nallim 359 De las ecuaciones (5.30) y (5.31) es posible concluir que para la misma área, la resistencia flexional de la viga de sección I es aproximadamente dos veces la resistencia de la viga de sección rectangular ( I 2 ). En la Tabla 5.1 se muestran los rendimientos de algunas secciones típicas. Tabla 5.1 – Rendimiento de distintas secciones transversales. Ejemplo 5-1: Un momento flector de magnitud M1 se aplica a una viga en voladizo, de sección transversal cuadrada de lado a . Determinar cuál de las orientaciones mostradas en la figura es la más eficiente para resistir el momento flector. 360 Momento Flector Rendimiento Caso (1) En este caso es h1 a y el momento de inercia I1 1 a4 12 El módulo resistente de la sección para el caso (1) es 1 W1 I a 4 2 a3 a 11 A 6 h / 2 12 a 6 1 El rendimiento de la sección se obtiene aplicando la ecuación (5.29), es decir 1 2 2 Aa 1 1 W (Coincidente con ecuación (5.30)) 1 3 Aa 6 Ah1 Rendimiento Caso (2) En este caso es h 2 a 2 a 2 a 2 El momento de inercia es I1 2 I11 a4 12 El módulo resistente de la sección para el caso (2), W1 2 I1 2 h / 2 2 a4 2 a3 a A 12 a 2 6 2 6 2 El rendimiento de la sección, aplicando la ecuación (5.29), es 2 Aa 1 2 2 2 W 1 2 Ah Aa 2 6 2 6 La sección orientada como en el caso (1) es más eficiente que el caso (2), siendo 1 2 2 . Ejemplo 5-2: La viga simplemente apoyada de la figura está sometida a flexión pura, mediante la acción de momentos flectores M1 10 kN m aplicados en sus extremos. Considerando que el material de la viga tiene un módulo elástico E 20 GPa y que la sección transversal de la pieza es rectangular, determinar: 361 S. Oller, L. G. Nallim a) El radio de curvatura b) Las deformaciones longitudinales en los puntos B y C c) La tensión máxima a) Radio de curvatura El momento de inercia de la sección rectangular respecto al eje x1 es I1 0.1 0.23 6.667 105 m 4 12 Sustituyendo en la ecuación (5.20) se obtiene la curvatura 1 M1 0.01 MN m = 0.0075 m 1 5 4 E I1 20000 MPa 6.667 10 m b) Deformaciones longitudinales Las deformaciones en los puntos B y C se obtienen reemplazando las ordenadas x2 de cada punto en la ecuación (5.11), Punto B 3B x2B x2B 0.20 m 0.0075 m 1 3.75 104 4 Punto C 3C x2C x2C 0.20 m 0.0075 m 1 7.5 104 2 362 Momento Flector c) Tensión máxima Las tensiones máximas de tracción y compresión tienen el mismo valor absoluto. Se pueden obtener aplicando la ecuación (5.13) o bien aplicando la ecuación (5.23), max E 3max 20000 MPa 7.5 104 15MPa max M1 0.01MN m 0.01MN m 15 MPa 2 3 6.667 104 m3 W1 0.1 0.2 / 6 m Las deducciones realizadas en esta sección corresponden al caso de flexión pura, donde se observa que sólo se producen tensiones normales en la sección. En el caso de flexión simple (momento variable a lo largo de la pieza) aparece en la sección transversal un esfuerzo cortante, además del momento flector. Por tanto, habrá en la sección transversal, no sólo tensiones normales sino también tensiones tangenciales acompañadas de distorsiones, que se distribuyen de manera no uniforme provocando el alabeo de la sección transversal. Es decir que, en la flexión simple, a diferencia de la flexión pura, las secciones transversales de la barra no permanecen planas. Sin embargo, este alabeo no influye de manera sensible en el cálculo de las tensiones normales empleando las ecuaciones (5.22) y (5.23). En particular, cuando el corte es constante en la pieza, el alabeo de las distintas secciones será el mismo por lo que el alargamiento (o acortamiento) de las fibras longitudinales será también el mismo independientemente de que la sección permanezca o no plana. Se retomarán estos conceptos al estudiar las tensiones por corte en el Capítulo 6 de este libro. Ejemplo 5-3: Dada la viga de la figura, obtener las dimensiones de su sección transversal para que pueda soportar la flexión en la zona más desfavorable, sin que la tensión máxima supere la resistencia límite del material y 4 105 kN m 2 . 363 S. Oller, L. G. Nallim Diagrama de momentos Por simetría VB VC qλ 10 10 50 kN 2 2 qλ2 10 10 125kN m 8 8 2 ; M1max Dimensionado El momento de inercia de la sección es I1 bh3 1 h 3 h 4 h 12 12 3 36 Y el módulo resistente de la sección será W1 I1 h 4 2 h3 h / 2 36 h 18 364 Momento Flector Aplicando la ecuación (5.26) se dimensiona la sección empleando el módulo obtenido, M1max h3 125 W1 y 18 4 105 h 3 5.625 103 h 0.18 m Las dimensiones mínimas requeridas para la sección transversal serán h 0.18 m; b h / 3 0.06 m Verificación El momento de inercia de la sección es bh3 0.06 0.18 I1 2.916 105 12 12 3 trabajo M1max h 125 0.18 kN 3.86 105 2 5 I1 2 2.916 10 m 2 Valor ligeramente inferior a la resistencia límite y . 5.2.3 Ecuación de la elástica de Bernoulli Cuando se estudió el efecto del momento flector en la sección previa (Sec. 5.2.1) se obtuvo la ecuación (5.20) que relaciona el momento con la curvatura del eje de la viga 1 / = M1 / E I1 . En esta sección se desarrollará un método basado en la cinemática y la integración directa de la ecuación diferencial de la curvatura para calcular los desplazamientos y las rotaciones de las secciones transversales, que también puede obtenerse mediante consideraciones energéticas. Para esto, se analiza nuevamente la viga en voladizo de la Figura 5.11 y se considera que el eje de la pieza, luego de la deformación, tiene la forma que se representa con mayor detalle en la Figura 5.14. 365 S. Oller, L. G. Nallim Figura 5.14 – Deflexión del eje de la viga en voladizo por un momento flector positivo. En la Figura 5.14 se observa claramente que d ds . La ecuación (5.20) puede escribirse como 1 d M1 = ds E I1 (5.32) En la ecuación (5.32) la curvatura puede escribirse como 1 d d dx3 = ds dx3 ds (5.33) El ángulo está relacionado con la curva de deflexión a través de su tangente (ver Figura 5.14) tg du2 dx3 du arctg 2 dx3 (5.34) 366 Momento Flector Sustituyendo la ecuación (5.34) en la (5.33) se obtiene, du2 dx3 1 d arctg dx3 dx 3 ds (5.35) Además, se tiene que 2 ds du dx 2 2 2 3 du ds 2 1 dx3 dx3 (5.36) De (5.35) y (5.36) se obtiene d 2 u2 dx32 du2 d arctg 2 dx3 dx 3 du2 1 dx 3 (5.37) De (5.35), (5.36) y (5.37), se obtiene la curvatura de Euler Bernoulli para el caso de flexión recta, 1 d 2u2 dx32 3 du 2 2 2 1 dx3 (5.38) En el caso de material elástico lineal, la segunda igualdad de la ecuación (5.32) es válida. En este caso, la relación entre el momento y la curva de deflexión queda definida por la siguiente ecuación diferencial, M1 E I1 d 2 u2 dx32 3 du 2 2 2 1 dx3 (5.39) La resolución de esta ecuación diferencial es bastante compleja. Sin embargo, en aplicaciones comunes, en el dominio de las pequeñas deformaciones, las rota- 367 S. Oller, L. G. Nallim ciones son muy pequeñas. La tangente del ángulo de rotación du2 / dx3 (pendiente de la curva de deflexión) es también muy pequeña, por lo que en las ecuaciones (5.38) y (5.39) es 2 du2 0 dx 3 (5.40) Luego, para pequeñas deformaciones y rotaciones, las ecuaciones (5.38) y (5.39) están dadas respectivamente por d 2u 1 22 dx3 material con cualquier ley constitutiva M1 d 2u d 22 E I1 dx3 dx3 sólo para material elástico lineal (5.41) (5.42) La ecuación (5.42) se denomina ecuación de la elástica de Bernoulli. 5.2.3.1 Método de integración de la ecuación de la elástica Este método consiste en la integración de la ecuación (5.42) para obtener los giros ( du2 / dx3 ) y los desplazamientos de las secciones ( u2 ) de una pieza sometida a flexión recta. Se tiene2, du2 1 dx3 C1 dx3 du M 2 1 dx3 C1 dx3 E I1 (5.43) Integrando nuevamente se obtiene la ordenada de la curva de deflexión, es decir el desplazamiento de la barra en la dirección perpendicular a su eje mecánico. Integrando (5.43) se obtiene 2 Debido a que las deformaciones y rotaciones son pequeñas, es infinitesimal, por lo que tg 368 Momento Flector u2 1 du2 dx3 dx3 dx3 C1 x3 C2 dx3 (5.44) M du u2 2 dx3 1 dx3 dx3 C1 x3 C2 dx3 E I1 Las constantes de integración C1 y C2 se obtienen de las condiciones de apoyo y de continuidad de la barra. Ejemplo 5-4: La viga en voladizo de la figura es de sección transversal constante, tiene rigidez flexional EI1 y se encuentra sometida a la acción de una carga vertical P en su extremo libre. Determinar: a) La ecuación de la curva elástica. b) La deflexión y la pendiente en el extremo libre. Ley de momentos flectores A través de las ecuaciones de equilibrio se obtienen las reacciones en el empotramiento: F M x2 B 0 M B P 0 0 VB P 0 M B Pλ y VB P Usando el concepto de diagrama de cuerpo libre BD , donde D está a una distancia x3 del empotramiento, se obtiene M1 x3 P λ x3 369 S. Oller, L. G. Nallim Ecuación diferencial de la elástica Sustituyendo el momento obtenido en la ecuación (5.42) se obtiene P λ x3 M d 2u2 1 2 dx3 E I1 E I1 d 2u2 P x3 λ dx32 E I1 Siendo M1 en esta expresión, el momento en la cara izquierda de la rebanada diferencial de la barra. a) Ecuación de la elástica P λ x3 M d 2u2 1 2 dx3 E I1 E I1 d 2u2 P x3 λ dx32 E I1 Primera integración P x3 λ du2 d 2u P x32 22 dx3 dx3 λx3 C1 dx3 dx3 E I1 E I1 2 (ej.1) Segunda integración u2 P x32 x32 du2 P x33 dx3 x C dx λ λ C1 x3 C2 (ej.2) 3 1 3 dx3 E I1 6 2 E I1 2 370 Momento Flector En este caso, las condiciones de contorno se encuentran establecidas en el empotramiento, siendo x3 0 x3 0 u2 du2 dx3 x3 0 en (ej.1) 0 C1 0 x3 0 0 en (ej.2) C2 0 Reemplazando estos resultados en (ej.1) y en (ej.2) se obtiene, respectivamente, la ecuación de la pendiente y de la curva elástica de la pieza du2 P x32 λx3 ; dx3 E I1 2 u2 x32 P x33 λ E I1 6 2 b) Pendiente y deflexión en el extremo libre Pλ2 x3 λ 2 E I 1 En x3 λ λ3 P u 2 x3 λ 3E I1 5.2.4 Energía interna de deformación por flexión recta Como en el caso de esfuerzo axil, los problemas de flexión pueden con frecuencia resolverse de manera más simple mediante métodos energéticos. Conociendo las tensiones a través de la ecuación (5.22), tanto la energía de deformación como la energía complementaria, pueden obtenerse integrando la energía específica o energía por unidad de volumen. La energía específica de deformación está dada por 1 d E d E 2 2 donde, para simplificar la notación, se ha tomado 3 y 3 . La energía específica complementaria está dada por (5.45) 371 S. Oller, L. G. Nallim 1 2 d d E 2 E c (5.46) Si se tiene una barra de sección transversal A y longitud λ, la integración de las ecuaciones (5.45) y (5.46) en el volumen de la pieza permite obtener, respectivamente, la energía primal o de deformación y la energía dual o complementaria. La energía de deformación o primal se obtiene integrando la ecuación (5.45) en el volumen de la pieza, como sigue W dV V dA dx 3 A λ 2 1 d 2 1 2 W E dA dx3 E x2 dA dx3 λ λ 2 A dx A2 3 2 1 d 2 W E A x2 dA dx3 λ 2 dx3 I1 (5.47) 2 d 1 W E I1 dx3 λ2 dx3 (5.48) De manera análoga, la energía complementaria o dual se obtiene integrando en el volumen la ecuación (5.46), W c c dV V dA dx λ c A 3 2 1 M1 2 1 2 W dA dx3 x2 dA dx3 λ λ 2 E A A2 E I1 c 2 1 M1 2 W A x2 dA dx3 λ 2E I1 I1 c (5.49) 372 Momento Flector M12 M W dx3 1 d λ 2E I λ 2 1 c (5.50) La energía de deformación (primal), dada por la ecuación (5.48), se evalúa cuando la variable del problema es x3 . Mientras que la energía complementaria (dual), dada por la ecuación (5.49), se evalúa cuando la variable del problema es M1 x3 . Ejemplo 5-5: La viga simplemente apoyada mostrada en la figura, está sometida a la acción de una carga P 20kN en la mitad de la luz. Se pide: a) Determinar la sección transversal mínima, utilizando a1) una sección transversal rectangular, adoptando b h / 3 . a2) dos perfiles laminados ]. b) Obtener las ecuaciones de giro y desplazamiento, así como los valores máximos. c) Determinar la energía acumulada en función de los desplazamientos (energía primal) y en función de las fuerzas (energía dual). d) Representar gráficamente la función carga – desplazamiento en el punto de aplicación de la carga. Momento flector máximo Las reacciones de vínculo se obtienen de manera simple dada la simetría geométrica y mecánica de la pieza, VB VC P 2 El diagrama de momentos es bilineal, alcanzando el valor máximo en x3 λ/ 2 , 373 S. Oller, L. G. Nallim M1max Pλ 0.02 MN 10 m 0.05 MN m 4 4 a) Sección transversal mínima Aplicando la ecuación (5.26) se obtiene el módulo de sección necesario W1nec 0.05MN m 200 MPa W1nec 250 cm3 adm a1) Sección rectangular bh 2 h3 250 cm3 6 18 h 16.51cm h 3 250 18 cm b h / 3 5.50cm W1 Resultando el siguiente momento de inercia para la sección rectangular I1 bh3 5.50 16.513 2062.63 cm 4 12 12 a2) Perfiles laminados ] W1nec 250 3 W1 cm 125 cm3 2 2 De tablas de perfiles laminados se pueden obtener las características geométricas del perfil laminado UPN 180, cuyo módulo de sección y momento de inercia son, respectivamente, W1 150 cm3 ; I1 1350 cm4 374 Momento Flector Para la sección compuesta por dos perfiles resulta, I1 2 1350 2700 cm 4 ; W1 300 cm3 b) Ecuaciones de giro y desplazamiento λ P 2 x3 x3 2 M1 x3 P x3 P x3 λ P λ x3 x3 λ 2 2 2 2 Debido a la simetría del problema sólo se analiza el tramo x3 λ 2 Px3 d 2 u2 M 1 2 dx3 E I1 2 E I1 du2 dx3 Luego de la primera integración se obtiene Px3 Px32 du2 dx3 C1 dx3 2 E I1 4 E I1 Px32 C1 4 E I1 La segunda integración lleva a Px32 Px33 C1 dx3 C1 x3 C2 u2 12 E I1 4 E I1 Condiciones de borde y continuidad En x3 λ es 0 (por simetría); 2 Pλ2 Pλ2 C1 0 C1 16 E I1 16 E I1 En x3 0 es u2 0 ; Px33 Pλ2 x3 C2 12 E I1 16 E I1 C2 0 S. Oller, L. G. Nallim 375 Sustituyendo en las funciones de giro y desplazamiento resulta Px32 λ Pλ2 x x x3 3 1 3 4 E I1 16 E I1 2 3 2 u x Px3 Pλ x x λ 3 2 3 12 E I1 16 E I1 3 2 Valores máximos de giro y desplazamiento El desplazamiento máximo se produce en el punto medio de la pieza ( x3 λ/ 2 ), mientras que el giro máximo se da en los apoyos ( x3 0 y x3 λ), max Pλ3 Pλ3 Pλ3 u2 u x3 λ/ 2 96 E I 32 E I 48 E I 1 1 1 2 max x 0 Pλ 3 16 E I1 Sección rectangular: EI1 2 105 MPa 2.062 105 m4 4.125MN m2 max 0.02 MN 103 m3 u 0.101 m 10.1cm 2 48 4.125MN m 2 2 2 max 0.02 MN 10 m 0.0303 rad 16 4.125MN m 2 Sección de perfiles: EI1 2 105 MPa 2.7 105 m 4 5.4 MN m 2 376 Momento Flector max 0.02MN 103 m3 u 0.0771 m 7.71 cm 2 48 5.4MN m 2 2 2 max 0.02MN 10 m 0.023148 rad 16 5.4MN m 2 c) Energía acumulada de deformación (primal) y energía complementaria (dual) ● Energía de deformación – función del desplazamiento 2 E I1 d Se utiliza la ecuación (5.48), es decir W dx3 λ 2 dx3 En el inciso anterior se obtuvo, x3 u max 2 48 max x32 λ2 λ x u x3 3 3 2 2 λ 48 E I1 max 4 16 P u 2 λ3 Px32 Pλ2 4 E I1 16 E I1 Pλ3 48 E I1 x3 λ 2 Derivando esta última expresión se obtiene d 24 max u2 x3 ; dx3 λ3 2 d 576 max 2 2 6 u2 x3 λ dx3 x3 λ 2 Reemplazando en la expresión de la función de energía primal, y multiplicando por 2 para encontrar la energía almacenada en toda la pieza, resulta λ/ 2 W 2 0 2 λ/2 d 576 E I1 max 2 λ3 1 576 max 2 2 E I1 dx E I u x dx 3 3 λ6 u2 24 3 0 1 6 2 λ 2 dx 3 W 24E I1 max 2 u2 λ3 Sustituyendo las rigideces flexionales y las deflexiones máximas para la sección rectangular y para los perfiles laminados se obtienes, respectivamente, las siguientes energías acumuladas3, 3 Tener presente que 1 J 1 N m 0.239006 cal 377 S. Oller, L. G. Nallim Sección rectangular W Sección perfiles laminados 24 4.125MN m 2 2 0.101 m2 1010 J 3 3 10 m W 24 5.4 MN m 2 2 0.0771 m2 770 J 3 3 10 m ● Energía complementaria – función de la fuerza/esfuerzo M12 Empleando la ecuación (5.50), es decir W dx3 y considerando la simetría λ 2E I 1 c del problema, la energía complementaria puede escribirse como: 2 P 2 x3 2 λ/2 M λ/ 2 λ/2 P P 2λ3 2 2 c 1 W 2 dx3 dx3 x3 dx3 0 0 0 2 E I1 4 E I1 96 E I1 E I1 0.022 MN 2 103 m3 1010 J Sección rectangular W 96 4.125MN m2 c 0.022 MN 2 103 m3 770 J Sección perfiles laminados W 96 5.4 MN m 2 c Como es lógico, para ambos tipos de secciones, la energía de deformación y la energía complementaria son idénticas, porque se trata de un problema elástico lineal. d) Función carga – desplazamiento del punto de aplicación de la carga. P 48 EI1 max u2 ; K Rigidez 3 λ K u2max λ3 P ; F Flexibilidad 48 EI1 F 378 Momento Flector W W c P u2max 2 48 EI1 max max 3 u 2 u2 24 EI1 max 2 λ W u2 2 λ3 c P Pλ3 P 2λ3 W 2 48EI1 96 EI1 5.3 Flexión pura esviada - Determinación del estado tensional y eje neutro Hasta ahora se ha tratado el problema de flexión recta, es decir en barras cuyo plano de cargas coincide con un eje principal de inercia de la sección (esto implica que el correspondiente momento flector está en el eje principal ortogonal)4. Por ejemplo, la Figura 5.15 muestra una barra cargada en el eje de simetría (eje principal x2 ), sometida por lo tanto a flexión recta, en la que el vector momento resultará contenido en el eje principal de inercia x1 . Figura 5.15 – Barra sometida a flexión recta. En el caso de secciones asimétricas, o secciones simétricas cargadas fuera de su plano de simetría, se tendrá flexión esviada (no-recta). Es decir, se tiene un problema de flexión Notar que en las secciones transversales simétricas, al menos uno de los ejes principales de inercia coincide con un eje de simetría de la sección. 4 379 S. Oller, L. G. Nallim esviada (Figura 5.16) cuando el eje del vector momento, siempre normal al plano de carga, no coincide con ningún eje principal. Figura 5.16 – Barras sometida a flexión esviada. La flexión pura esviada es un caso general de la flexión pura recta y puede estudiarse como una superposición de dos flexiones puras rectas, cuyos vectores momentos M1 y M2 actuarán, a la vez, sobre los ejes principales de inercia de la sección transversal x1 y x2 . En flexión esviada, el eje de carga m m (ver Figura 5.17a y b) no coincide con los ejes principales de inercia de la sección y, como se demostrará luego, el eje neutro no resulta necesariamente perpendicular al eje (plano) de carga. Si x1 y x2 son ejes principales de inercia de la sección, se puede demostrar, como se hará más adelante, que la pieza adquiere una curvatura que resulta de la superposición simultánea de una flexión sobre el eje principal x1 (1/ 2 ) y otra sobre el eje principal x2 (1/ 1 ). Para llevar a cabo este análisis, se descompone el momento M sobre cada eje princi- pal de inercia x1 , x2 , obteniendo las componentes M1 y M2 , como se muestra en la Figura 5.17a. De esta manera se tienen dos problemas de flexión recta superpuestos. La integración de las tensiones normales σ 0,0, 3 en la sección transversal T produce el momento resultante M = M1 , M2 , 0 , esto es 380 Momento Flector M = d σ dA A 0 d1 d sen d sen ' siendo: σ dA 0 dA ; d d 2 d cos d cos ' 0 0 0 3 Figura 5.17a– Sección sometida a flexión esviada. i M d1 A 0 j d2 0 k 0 3 dA d 2 3 dA i d1 3 dA j A A d cos 3 dA i d sen 3 dA j A A [ d 3 dA cos ] i [ d 3 dA sen ] j A A M M M M cos i M sen j 1 M2 M1 M2 M M1 M cos M2 M sen (5.51) Siendo el ángulo medido en sentido trigonométrico (anti-horario) desde el eje de inercia principal mayor hasta el vector momento, mientras que es simplemente el menor de los ángulos, entre x1 y M , sin respetar el sentido trigonométrico. A partir del momento M se obtienen nuevamente las tensiones reemplazando los momentos dados por las ecuaciones anteriores en la ecuación (5.22), resultando para cada caso, 381 S. Oller, L. G. Nallim M cos M1 x2 x2 I1 I1 (5.52) M sen M2 x1 x1 I2 I2 (5.53) M3 1 x2 M3 2 x1 Se puede concluir que M M12 M22 con M1 3 x2 dA A M2 A 3 x1dA Los signos se corresponden con la orientación del momento en la sección representado en la Figura 5.17b. Figura 5.17 b– Ángulos y signos de las tensiones en una sección sometida a flexión esviada. La tensión resultante se obtiene mediante la suma algebraica de las tensiones dadas por las ecuaciones (5.52) y (5.53). Así, la tensión normal 3 actuante en cualquier punto de la sección transversal resulta, 382 Momento Flector 3 M3 1 x2 M3 2 x1 M cos M sen x2 x1 I1 I2 x x M 2 cos 1 sen I2 I1 (5.54) (5.55) La ecuación (5.55) puede escribirse en forma matricial de la siguiente forma, I M cos sen 11 0 1 0 x1 I 22 x2 (5.56) donde I11 I1 , I 22 I 2 son los momentos principales de inercia de la sección transversal. La ecuación del eje neutro viene definida por el lugar geométrico de los puntos de la sección transversal cuyo estado tensional es nulo, esto es, xn xn 0 M 2 cos 1 sen I2 I1 0 x2n xn cos 1 sen I1 I2 (5.57) De la ecuación (5.57) se obtiene la ecuación del eje o línea neutra I x2n x1n 1 tg I2 (5.58) Por otro lado, y considerando sólo aspectos geométricos, surge que la pendiente del eje (plano) de carga m m (ver Figura 5.17b) es K m m tg tg 90 cotg (5.59) Y la pendiente del eje (plano) neutro n n es I K n n 1 tg I2 (5.60) A partir de las ecuaciones (5.59) y (5.60) se observa que no se cumple la condición de ortogonalidad entre los planos de carga y neutro ya que, K mm 1 K nn (5.61) 383 S. Oller, L. G. Nallim En la Figura 5.18 se muestran ejemplos de vigas con sección transversal simétrica y no simétrica sometidas a flexión esviada. Intuitivamente se puede ver que las piezas no se flexionan en un plano normal al de la carga, sino que lo hacen según la dirección de menor rigidez. Figura 5.18 – Elementos estructurales sometidos a flexión esviada. La condición de ortogonalidad sólo se puede cumplir en el caso que sea I1 I 2 (ecuaciones (5.58) a (5.60)). Esto se cumple, por ejemplo, en secciones con simetría múltiple como el círculo y otros polígonos regulares, en las que cualquier eje centroidal es eje principal de inercia de la sección y, por tanto, se verifica que I1 I 2 . 5.3.1 Ángulos que se producen en la flexión esviada En la sección transversal representada en la Figura 5.19 actúa un momento flector cuyo vector representativo no está contenido en un eje principal de inercia de la sección. Se admite la hipótesis que la pieza se flexiona según una dirección que puede descomponerse en sus dos direcciones principales x1 ; x2 . De esta manera, las curvaturas según cada dirección principal, se obtienen aplicando para cada dirección la ecuación (5.20), es decir 1 M1 d 1 M cos EI dx EI 2 1 3 1 1 M2 d 2 M sen 1 EI 2 dx3 EI 2 (5.62) donde M M es la magnitud del momento, ya que su orientación viene dada por sus cosenos directores. 384 Momento Flector Figura 5.19 – Sección sometida a flexión esviada. La curvatura total (ver Figura 5.19) se obtiene componiendo las curvaturas en dos planos ortogonales principales dados por las ecuaciones (5.62), 2 2 2 d d 1 1 1 d 1 2 dx3 2 1 dx3 dx3 2 d M cos sen dx3 E I1 I 2 2 (5.63) 2 (5.64) Además, d 2 Msen dx3 I2 I 1 tg tg Mcos I 2 d 1 I1 dx3 (5.65) 385 S. Oller, L. G. Nallim La ec. (5.65) coincide con la ec. (5.60), la cual define la posición del eje neutro n n . Asimismo, de la ecuación (5.65) surge que el ángulo de flexión de una sección transversal, está alojado o contenido en el plano neutro. Por otro lado, la ecuación (5.64) se puede escribir como 1 d M * dx3 EI nn * con I nn 1 2 cos sen I1 I 2 2 (5.66) * Siendo I nn el momento de inercia equivalente de la sección transversal respecto del eje neu- tro. 5.3.2 Estudio directo de la flexión esviada En la sección previa se estudió la posibilidad de formular la flexión esviada respecto de ejes principales. Otra posibilidad para el análisis consiste en descomponer el momento sobre el eje neutro, que es el único eje de flexión (o rotación) resultante en el plano de la sección transversal (Figura 5.20). En este caso se retorna a la forma de Navier y se procede como si se tratara de un problema de flexión pura recta sobre el eje neutro. a) Relaciones geométricas. 1 d dx3 b) (5.67) Relaciones de compatibilidad. 3 x2 d dx3 (5.68) donde es la distancia del elemento diferencial de área al eje neutro. c) Ley constitutiva. 3 E 3 E (5.69) 386 Momento Flector Figura 5.20 – Sección sometida a flexión esviada. d) Condiciones de equilibrio E E dA dA A A N 0 3 dA A (5.70) Snn 0 S nn 0 significa que el eje n n pasa por el centro mecánico de la sección. EI E 2 E dA 2 dA nn A A Mnn M cos 3 dA A I nn 1 M cos EI nn (5.71) 387 S. Oller, L. G. Nallim E n dA 0 A M M sen 3 ndA A (5.72) E n dA 0 A I n 0 donde I n es el producto de inercia en ejes de flexión. Sustituyendo la curvatura dada por la ecuación (5.71) en la ley constitutiva (5.69) se obtiene 3 M I nn cos I nn M * con I nn * I nn cos (5.73) La ecuación (5.73) es la ecuación de Navier. De manera análoga, la curvatura se puede escribir como 1 d M * dx3 EI nn * con I nn I nn cos (5.74) Por comparación con la ecuación (5.66) se puede calcular el momento de inercia * I nn I nn cos como, * I nn 1 2 cos sen I1 I 2 2 (5.75) Ejemplo 5-6: La sección transversal de una viga, cuya forma y dimensiones se indican en la figura, está sometida a un momento M 1000kN m , aplicado en el centro geométrico CG “ O ” de la sección, cuyo vector representativo forma un ángulo de 45º con el eje x . Determinar: 388 Momento Flector a) La magnitud y signo de la tensión en los puntos I , C . b) La ecuación de la línea neutra. c) Los puntos de máxima tensión normal. Características geométricas de la sección En primer lugar, se obtienen las características geométricas de la sección para determinar sus ejes y momentos principales de inercia, 3 80 203 80 203 2 20 120 2 I xx 80 20 60 10 0 80 20 60 10 12 12 12 7 4 I xx 1.099 10 cm 2 2 3 3 803 20 80 20 120 80 20 80 80 20 10 0 80 20 10 I yy 2 12 2 12 12 6 4 I yy 9.787 10 cm 80 80 I xy 0 80 20 60 10 10 0 0 80 20 60 10 10 2 2 6 4 I xy 8 10 cm 389 S. Oller, L. G. Nallim Con estos resultados se calculan los momentos principales de inercia, I1,2 I xx I yy 2 2 I1 1.841 107 cm 4 I xx I yy 2 I xy 6 4 2 I 2 2.364 10 cm Y la orientación de los ejes principales de inercia 1 1 2 I xy tg I xx I yy 2 42.86º 42.86º 45º 87.86º Las coordenadas en el sistema de ejes principales de inercia, es decir en la base x1 , x2 , están dadas por x1 cos sen x x2 sen cos y x1 x cos y sen x2 x sen y cos a) Tensión en el punto I x 90; y 60 ; x1 25.17; x2 105.20 cotas en cm cos I sen I x2 x1 I x1I , x2I M I2 I1 sen 87.86º cos87.86º I x1I , x2I 1 105 kN cm 105.20cm 25.17cm 7 4 6 4 2.364 10 cm 1.841 10 cm kN I 1.042 2 10.42 MPa cm Tensión en el punto C x 10; y 40 ; x1 19.87; x2 36.12 (cotas en cm ) sen 87.86º cos87.86º C x1C , x2C 1 105 kN cm 36.12 cm 19.87cm 7 4 6 4 1.841 10 2.364 10 cm cm kN C 0.847 2 8.47 MPa cm b) Ecuación de la fibra neutra 390 Momento Flector sen 87.86º cos87.86º x2n x1n 0 1105 kN cm 7 4 6 4 2.364 10 cm 1.84110 cm cos87.86º n sen 87.86º n x2 x1 0 1.841 107 2.364 106 0 2.033 109 x2n 4.227 107 x1n x2n 207.935 x1n tg 1 207.935 89.72º Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-6 391 S. Oller, L. G. Nallim c) Punto de máxima tensión En el punto E se produce la máxima tensión de compresión: E 2.043kN cm2 20.43MPa En el punto F la máxima tensión de tracción: F 2.043kN cm 2 20.43MPa Ejemplo 5-7: Dada la sección de la figura, obtener: a) Las tensiones producidas por la flexión y su distribución en la sección transversal. b) La ecuación del eje neutro y su trazado. Datos: Espesor t 0.15 cm A 57 cm 2 I xx 3705 cm 4 I yy 734 cm 4 I xy 1215 cm 4 I1 4139 cm 4 I 2 301cm 4 19.642º 360º 19.642º 340.358º a) Cálculo de las tensiones 392 Momento Flector M cos M sen x2 x1 x1 , x2 1 x2 2 x1 M I2 I2 I1 I1 con x1 x cos y sen x1 cos sen x x2 sen cos y x2 x sen y cos Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-7 b) Ecuación del eje neutro I 4139 x2n x1n 1 tg x1x2 tg 1 tg 340.358º x1x2 78.484º 301 I2 xy x1x2 78.484º 19.642º 58.8418º S. Oller, L. G. Nallim 393 394 Momento Flector Ejemplo 5-8: Dada la viga de la figura, obtener la magnitud del momento M para que la tensión máxima en cualquier sección transversal no supere la resistencia límite de f 4 105 kN / m 2 . Datos: Espesor t 0.015 m A 0.003 m 2 I xx 0.5629 105 m 4 I yy 0.1264 105 m 4 I xy 0.1552 105 m 4 I1 0.6125 105 m 4 I 2 0.0768 105 m 4 17.714º 180º 17.714º 197.714º Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-8. S. Oller, L. G. Nallim 4 105 f 19534.523 Mmax 20.477kN m max max M M Ejemplo 5-9: Dada la sección de la figura, obtener: a) Las tensiones producidas por la flexión y su distribución en la sección transversal b) La ecuación del eje neutro y su trazado a) Cálculo de las tensiones M cos M sen x2 x1 x1 , x2 1 x2 2 x1 M I2 I2 I1 I1 con x1 x cos y sen x1 cos sen x x2 sen cos y x2 x sen y cos 395 396 Momento Flector Datos: Espesor paredes, t 0.15 cm A 57 cm 2 I xx 3705 cm 4 , I yy 734 cm 4 , I xy 1215 cm 4 I1 4139 cm 4 , I 2 301 cm 4 , 19.642º 30º 19.642º 10.358º b) Ecuación del eje neutro I 4139 tg10.358º x1x2 68.3446º x2n x1n 1 tg x1x2 tg 1 301 I2 xy x1x2 68.3446º 19.642º 87.9845º Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-9. S. Oller, L. G. Nallim 397 398 Momento Flector Ejemplo 5-10: Dada la sección de la figura, obtener: a) Las tensiones producidas por la flexión y su distribución en la sección transversal. b) La posición del eje neutro. Características geométricas Espesor paredes, t 0.01 m A 0.0035 m 2 xCG 0.032 m yCG 0.057 m I xx 1.525 105 m 4 5 4 I yy 0.765 10 m 5 4 I xy 0.643 10 m A partir de estos datos se obtienen el ángulo entre la base principal x1 , x2 y la base inicial x, y , y las magnitudes de los momentos principales de inercia 29.706º y 5 4 I1 1.892 10 m 5 4 I 2 0.398 10 m Conociendo el ángulo se obtiene el ángulo del vector momento respecto de la base principal, con el cual se determian las tensiones normales. 360º 330.294º a) Cálculo de las tensiones cos sen x1 , x2 M x2 x1 I2 I1 x1 x cos y sen x cos sen x con 1 x2 sen cos y x2 x sen y cos S. Oller, L. G. Nallim Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-10. b) Ecuación del eje neutro I x1x2 tg 1 1 tg x1x2 69.74º I2 xy x1x2 69.74º 29.07º 40.67º 399 400 Momento Flector Distribución de las tensiones producidas por la flexión Ejemplo 5-11: Dada la sección transversal que se muestra en la figura, determinar la distribución de las tensiones producidas por la flexión cuando se aplica un momento flector de 900 KN m en su centro geométrico, tal como se indica en la figura. Características geométricas A 0.011m 2 xCG 0.1607 m yCG 0.11429 m I xx 0.6289 104 m 4 4 4 I yy 1.677 10 m 4 4 I xy 0.1286 10 m 401 S. Oller, L. G. Nallim I1 1.692 104 m 4 4 4 I 2 0.6134 10 m 6.895º 90 90º 6.895º 83.105º 270º 270º 6.895º 276.895º Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-11. 402 Momento Flector Cálculo de las tensiones cos sen x1 , x2 M x2 x1 I2 I1 x1 x cos y sen x cos sen x con 1 x2 sen cos y x2 x sen y cos Ecuación del eje neutro I 1.692 104 tg 276.895º x1x2 87.49º x1x2 tg 1 1 tg tg 1 4 0.6134 10 I2 xy x1x2 90 xy 6.895 87.49º 90 4.385 Distribución de las tensiones producidas por la flexión S. Oller, L. G. Nallim 403 Ejemplo 5-12: Dada la viga de la figura, obtener las dimensiones de la sección transversal ( b , h ) para que ésta pueda soportar el máximo momento flector (en valor absoluto), sin que la tensión normal en ningún punto supere la resistencia admisible del material adm 200MPa . 404 Momento Flector Características geométricas I1 b h3 h h3 h 4 ; 12 3 12 36 I2 h b3 h h3 h4 3 12 3 12 324 Obtención de las leyes de esfuerzo y del máximo momento Reacciones de apoyo VA Ley de cortante MA qλ 60kN y VB 40kN λ 2 Q y s VA q s 60 10 s Ley de momento flector Mx s MA VA s q s2 100 60 s 5 s 2 2 Mmax M s 0 M A 100 KN m 405 S. Oller, L. G. Nallim Recordando la ecuación (5.55) x x M 2 cos 1 sen I2 I1 La tensión máxima de trabajo se produce en el punto 1 (fibra más alejada del centro geométrico), por lo que reemplazando en la ecuación de tensión anterior resulta, cos 1 sen 1 adm M A x2 x1 I I 1 2 En la base x1 ; x2 las coordenadas del punto 1 valen x11 h / 6; x21 h / 2 . Sustituyendo, la tensión resulta, cos 330º h sen 330º h 4258.846 adm 100 4 4 h3 h / 36 2 h / 324 6 adm 200000 4258.846 h3 h 0.28 m 28 cm ; h b 3 4258.846 0.28 m 200000 28 cm 9.3 cm 3 5.3.3 Teoría generalizada de flexión pura esviada Hasta aquí se ha estudiado la flexión esviada siguiendo dos caminos. Por un lado se realizó el análisis en ejes principales porque son los dos ejes ortogonales naturales donde se produce la flexión, y por el otro se ha estudiado la flexión esviada respecto del eje neutro que, como se vio, surge de la composición de los giros que se dan según los dos ejes principales. Todo lo visto permite resolver cualquier problema de flexión esviada, sin embargo hay casos en los cuales trabajar en ejes principales o con un sistema referido al eje neutro complica la resolución del problema. Además, la forma de trabajo que aquí se plantea derivará más adelante en un análisis del cortante por flexión (ver fórmula de Jouravsky), que puede complicar aún más el análisis. Para evitar esto, se presenta aquí la teoría generalizada de la flexión, que permite trabajar con dos ejes cualesquiera ortogonales y no principales. Sólo 406 Momento Flector se requiere que sean ejes centroidales y, en el caso de materiales compuestos, se requiere que estos ejes pasen por el centro mecánico de la sección transversal. Como no se hace el análisis sobre ejes principales, sino sobre ejes ortogonales x y , las componentes del momento actuante M sobre estos ejes, es decir Mx y M y , producen flexión en ambos ejes (ver Figura 5.21). Las tensiones normales se obtienen como 1 M 1 M 3 E y E x x y y y I yy x I xx x (5.76) Para provocar una curvatura pura y 1/ y es necesario aplicar momento en dos direcciones ortogonales no principales ( M x ; M y ); lo mismo que para provocar una curvatura pura x 1/ x . Figura 5.21 – Sección sometida a flexión esviada. Análisis en ejes ortogonales no principales. Para resolver este problema conceptual es necesario plantear las ecuaciones de equilibrio. Es decir, 407 S. Oller, L. G. Nallim 1 1 N 0 dA E y E x dA A A y x 1 1 E y dA E x dA A A x y S 0 S 0 y (5.77) x En la ecuación (5.77) los momentos estáticos de la sección respecto de los ejes x e y son nulos por ser estos ejes centroidales. Se plantean a continuación las ecuaciones de equilibrio para los momentos Mx y M y , donde las incógintas son los radios de curvatura x y y , 1 1 Mx y dA E y E x y dA A A y x 1 1 1 1 E y 2 dA E y x dA EI xx EI xy A A y x x y I xx I xy 1 1 x dA E y M y A A y x E x x dA 1 1 1 1 EI xy EI yy E x y dA E x 2 dA A A x y y x I yy I xy (5.78) (5.79) Resolviendo el sistema dado por las ecuaciones (5.78) y (5.79) se obtienen las curvaturas I yyMx I xyM y 1 y E I xx I yy I xy2 (5.80) I M I M 1 xx y xy 2 x x E I xx I yy I xy (5.81) y x 408 Momento Flector Sustituyendo las ecuaciones (5.80) y (5.81) en la ecuación de la tensión (5.76) se obtiene la siguiente expresión general, I yyMx I xyM y I xx I yy I xy2 y I xxM y I xyMx I xx I yy I xy2 x (5.82) Teniendo en cuenta que Mx = M cos y M y = M sen , la ecuación (5.82) también puede escribirse en función del momento flector total M de la siguiente forma (ver Figura 5.21), I yy cos I xy sen I xx sen I xy cos y M x I xx I yy I xy2 I xx I yy I xy2 (5.83) El ángulo ' es el ángulo entre el eje de momento de inercia mayor en la base x, y y el eje de momento (en sentido trigonométrico). La orientación del eje neutro resulta de la condición 0 en la ecuación (5.83), es decir, I yy cos I xy sen n I xxsen I xy cos n 0 M y x I xx I yy I xy2 I xx I yy I xy2 I yy cos I xy sen n I xx sen I xy cos n 0 y x I xx I yy I xy2 I xx I yy I xy2 (5.84) I xx sen I xy cos n x yn I cos I sen y y xy Se puede demostrar fácilmente que, a partir de la ecuación (5.83), se puede recuperar la formulación en ejes principales. Si los ejes x y coinciden con los ejes principales de inercia de la sección x1 x2 , es decir que x1 x y x2 y , resulta I xy I12 0; I xx I1 ; I yy I 2 ; Sustituyendo (5.85) en (5.83) se obtiene, (5.85) 409 S. Oller, L. G. Nallim 0 I sen I cos 0 I 2 cos I12sen 1 12 x M y 0 0 2 2 I1 I 2 I xy I1 I 2 I12 (5.86) cos sen M x2 x1 I I 1 2 Otro camino para deducir la fórmula generalizada de la flexión en ejes cualesquiera centrales ortogonales es trabajando en forma matricial. Para ello, se considera nuevamente la ecuación (5.56), que permite obtener la tensión por flexión trabajando en ejes principales y que, para mayor claridad, se reescribe a continuación, M I M cos sen 1 0 1 0 x1 I 2 x2 (5.87) Los momentos principales de inercia I1 , I 2 pueden escribirse respecto de cualquier sistema de ejes ortogonales (x, y) con el mismo origen de coordenadas (ver Apéndice). Es decir, I1 0 1 0 x1 I xx I 2 x2 I xy 1 I xy y I yy x (5.88) Sustituyendo (5.88) en (5.87) y escribiendo el momento flector M en la base x, y , se tiene M I xx M cos sen I xy 1 I xy y I yy x (5.89) Operando, M I xx I yy I 2 xy cos I yy sen I xy I xy y I xx x (5.90) 410 Momento Flector y I yy cos I xy sen ; I xy cos I xx sen I xx I yy I x I yy cos I xy sen y I xy cos I xx sen x I xx I yy I xy2 M 2 xy (5.91) M Finalmente, se obtiene la siguiente ecuación que permite determinar la tensión por flexión medida en ejes cualesquiera centrales ortogonales, 1 I xx I yy I xy2 I M cos I M sen y I M cos I M sen x yy xy xy xx Mx My Mx My Mx I yy M y I xy I xx I yy I xy2 y M y I xx Mx I xy I xx I yy I xy2 x (5.92) (5.93) Se observa que esta última ecuación coincide con la ecuación (5.82) antes deducida. Ejemplo 5-13: Resolver el Ejemplo 5-7 aplicando la fórmula de la flexión generalizada para ejes cualesquiera. Datos: Espesor paredes, t 0.15 cm A 57 cm 2 I xx 3705 cm 4 I yy 734 cm 4 I xy 1215 cm 4 a) Cálculo de las tensiones 411 S. Oller, L. G. Nallim Mx I yy M y I xy I xx I yy I M x 4 kN m; 2 xy y M y I xx Mx I xy My 0 ; I xx I yy I xy2 x Iˆ I xx I yy I xy2 Mx I yy MI M y x xy x x I yy y I xy x Iˆ Iˆ Iˆ b) Ecuación del eje neutro 0 Mx I y n I xy x n I yy y n I xy x n 0 ˆI yy yn I xy I yy xn 1215 n x 1.655 x n 734 yn tg n 1.655 xy tg 1 1.655 58.858º x xy Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-13. 412 Momento Flector 5.4 Flexión compuesta Se define la flexión compuesta como aquella solicitación que se produce cuando sobre la sección transversal actúa un momento flector y un esfuerzo axil o normal a dicha sección (ver Figura 5.22). Las hipótesis de la Resistencia de Materiales, que se consideran válidas, permiten abordar el problema aplicando el principio de superposición, o sea que los efectos de la solicitación por flexión compuesta pueden obtenerse como la suma de un estado de flexión más uno de tracción o compresión según sea el signo del esfuerzo axil. Si se tiene el caso de flexión compuesta recta, la tensión normal resultante será la suma algebraica de la tensión por flexión recta más la tensión por la fuerza axil, es decir, N M N M1 x2 A I1 (5.94) Figura 5.22 – Flexión compuesta recta. Este problema se puede plantear también de otra manera si se admite que la flexión se produce por la excentricidad de la fuerza normal o axil (ver Figura 5.23 ). Esto es, M1 N e2 (5.95) 413 S. Oller, L. G. Nallim Figura 5.23 – Sección sometida a flexión compuesta - carga excéntrica. Escribiendo ahora la ecuación (5.95) teniendo en cuenta la ecuación del momento en función de la excentricidad y del radio de giro de la sección transversal ( i12 I1 / A ), resulta la siguiente expresión para la tensión en función de la excentricidad, M1 e N Ne N N e 2 x2 (1 2 x2 ) 1 22 x2 A I1 A I1 / A A i1 (5.96) i12 Obsérvese que la acción del esfuerzo normal hace que el eje neutro se aleje del centro mecánico, como se observa en la Figura 5.24. En la Figura 5.24 se puede apreciar que al reducir la excentricidad e2 el eje neutro se aleja del centro mecánico de la sección, tal que para e2 0 x2n , se tiene esfuerzo axil puro para e2 x2n 0 , se tiene flexión pura 414 Momento Flector Figura 5.24- Representación geométrica de la posición del eje neutro en la sección transversal respecto de la posición de la carga. 5.4.1 Eje neutro Como se observa en la Figura 5.24, el eje neutro puede obtenerse gráficamente. Esta misma determinación se puede realizar analíticamente a partir de la ecuación (5.96) admitiendo que el eje neutro es el lugar geométrico donde la tensión es nula en la sección. Esto es, 0 N e2 n 1 x2 A i12 (5.97) i12 x e2 n 2 (5.98) La ecuación (5.98) también surge de la relación geométrica de la Figura 5.24. Es decir tg i1 x2n e2 i1 x2n i12 e2 (5.99) 415 S. Oller, L. G. Nallim 5.4.2 Núcleo central El núcleo central de una sección transversal es el área delimitada por el lugar geométrico de los puntos, centros de presión, que hacen que el eje neutro esté siempre sobre el contorno externo de la sección transversal. El límite del núcleo central, punto de presión para el cual la excentricidad del esfuerzo axil genera tensión nula en el borde de la sección (ver Figura 5.25), está dado por, lim 2 e i12 max x2 (5.100) Figura 5.25 - Posición del eje neutro cuando el esfuerzo normal (de tracción o compresión) se aplica en un punto que dista e2lim del centro de coordenadas principales. 5.5 Flexión compuesta esviada Sea el caso de tracción excéntrica, donde el punto de aplicación de la fuerza normal es el punto B , como muestra la Figura 5.26. Al trasladar la fuerza actuante N al centro geométrico de la sección se tiene, 416 Momento Flector M1 N e2 ; M2 N e1 (5.101) Entonces, la tensión total 3 puede obtenerse, por superposición, como sigue N M1 M2 (5.102) e2 e1 N M1 M2 N M1 / N M2 / N x2 x1 1 x2 x1 A I1 I2 A I1 / A I2 / A i12 i22 (5.103) N e2 e1 1 2 x2 2 x1 A i1 i2 (5.104) La ecuación (5.104) constituye una generalización de la ecuación (5.96) para el caso de una fuerza normal excéntrica respecto de los dos ejes principales de inercia de la sección. Figura 5.26 - Representación gráfica del eje de carga m-m, el vector ortogonal de momento flector M y su descomposición en ejes principales M1 y M2 . Estados tensionales M y en los planos determinados por la intersección de la sección transversal con los ejes principales de inercia. N 417 S. Oller, L. G. Nallim 5.5.1 Determinación del eje neutro La ecuación del eje neutro, como se vio antes, se obtiene como el lugar geométrico de los puntos de tensión nula, esto es (de la ecuación (5.104)), 0 N e2 n e1 n e2 n e1 n 1 2 x2 2 x1 0 1 2 x2 2 x1 A i1 i2 i1 i2 i2 e i2 x2n 1 1 12 x1n e2 e2 i2 (5.105) (5.106) c I x2n c tg 1 x1n I2 (5.107) Kn x2n c tg I1 n x1 I2 (5.108) Así, de la ecuación (5.108), se puede ver que el eje neutro es siempre paralelo al eje que produce la flexión esviada y dista de éste una magnitud c , medida sobre el eje principal de inercia x2 (ver Figura 5.27). En esta misma figura se puede ver la composición de los momentos M1 y M 2 y giros 1 y 2 , actuantes en los ejes principales, de donde resulta el vector giro de la sección φ φ1 φ 2 coincidente con con la dirección del eje neutro y un vector M M1 M2 normal al plano de cargas, que forma un ángulo con el eje x1 o ' medido en el sentido positivo trigonométrico, el cual no necesariamente está sobre el mencionado eje neutro. 418 Momento Flector Figura 5.27 – Composición de los momentos y giros actuantes en cada eje principal. Obsérvese que las resultantes de ambas composiciones dan vectores no-colineales: φ que yace sobre el eje neutro y M es normal al plano de cargas. 5.5.1.1 Forma geométrica de obtener el eje neutro La Figura 5.28 muestra una representación gráfica que ayuda a situar en forma simple y esquemática la posición del eje neutro en una sección transversal para un problema de flexión esviada. Esta figura representa en forma gráfica la ecuación (5.105) para flexión compuesta esviada desacoplada en cada eje de inercia principal. Así, el punto (0, x2n ) por donde pasa el eje neutro se obtiene en forma analítica, 0 N e2 n e1 n 1 x2 2 x1 A i12 i2 x1 0 x2n i12 e2 cuya representación gráfica resulta de igualar las siguientes relaciones de magnitudes representadas en los triángulos que se muestra en la Figura 5.28, esto es, i1 xn i2 2 x2n 1 e2 i1 e2 donde se puede ver la coincidencia en los resultados de los dos procedimientos. 419 S. Oller, L. G. Nallim Figura 5.28 Forma gráfica esquemática de ver la posición el eje neutro en una sección transversal cuando actúa una flexión compuesta esviada. Por otro lado, el punto ( x1n ,0) donde pasa el eje neutro corta al eje x1 se obtiene en forma analítica de la siguiente manera, e N e 0 1 22 x2n 21 x1n A i1 i2 x2 0 i22 x e1 n 1 cuya representación gráfica resulta de igualar las siguientes relaciones de magnitudes representadas en los triángulos que se muestra en la Figura 5.28, esto es, i2 x1n i22 n x1 e1 i2 e1 donde nuevamente puede verse la coincidencia en los resultados del procedimiento analítico y gráfico-trigonométrico. Ejemplo 5-14: La sección que se representa en la figura, de espesor constante t 1.5 cm , está sometida a una carga de compresión de 500 kN aplicada en el punto A . Determinar: 420 Momento Flector a) La distribución de las tensiones en la sección debidamente representadas. b) La ecuación del eje neutro. A 30 cm 2 Centro geométrico xCG 1.225cm; yCG 8.775cm Momentos de inercia I xx 562.981 cm 4 I yy 126.481cm4 I xy 155.268 cm4 Propiedades geométricas de la sección Los momentos de inercia principales centroidales y su orientación se obtienen empleando, respectivamente, las siguientes ecuaciones, I1,2 I xx I yy 2 2 I xx I yy 2 I xy ; 2 2 I xy 1 1 tg I xx I yy 2 Reemplazando se tiene, 2 I1,2 562.981 126.481 2 562.981 126.481 155.268 2 2 1 1 2 155.268 tg 17.714º 2 562.981 126.481 Los radios de giro referidos a los ejes principales de inercia resultan, I1 612.57 cm 4 4 I 2 76.88 cm 421 S. Oller, L. G. Nallim i12 I1 / A 612.57 / 30 20.419 cm 2 2 2 i2 I 2 / A 76.88 / 30 2.563 cm Cálculo de las tensiones. Se utiliza la ecuación (5.104), es decir x1 , x2 N e2 e1 1 2 x2 2 x1 A i1 i2 x cos sen x con 1 x2 sen cos y x1 x cos y sen x2 x sen y cos Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-14. b) Ecuación del eje neutro. Empleando la ecuación (5.105), se tiene, 0 e2 n e1 n N e2 n e1 n 1 2 x2 2 x1 0 1 2 x2 2 x1 A i1 i2 i1 i2 422 Momento Flector 0 1 3.652 n 2.452 n x2 x1 20.42 2.56 x2n 5.588 5.353 x1n La ecuación del eje neutro en la base x, y se obtiene realizando el cambio de base x1n cos 17.714º sen 17.714º x n n n x2 sen 17.714º cos 17.714º y x1n 0.95258 x n 0.304265 y n x2n 0.304265 x n 0.952585 y n Sustituyendo estas últimas expresiones en la ecuación del eje neutro en la base x1 , x2 , se obtiene la ecuación del eje neutro en la base x, y x n 4.79461 y n 2.581119 5.58846 0 Representación gráfica de la distribución de tensiones S. Oller, L. G. Nallim 423 Ejemplo 5-15: Dada la viga de la figura, obtener: a) La distribución de las tensiones en la sección transversal del centro de la luz producidas por la flexión. b) La magnitud de la fuerza axial P de compresión que es necesario aplicar en el centro geométrico ( CG ) de la barra para que no haya tracción en ningún punto de la sección transversal del centro de la luz. 424 Momento Flector Esp. Paredes t 0.015 m A 0.003 m 2 Momentos de inercia I xx 0.5629 10 5 m 4 I yy 0.1264 105 m4 I xy 0.1552 105 m4 I1 0.6125 105 m 4 I 2 0.0768 10 5 m 4 17.714º a) Distribución de tensiones por flexión en el centro de la luz. Se utiliza la ecuación correspondiente a la flexión simple esviada, es decir, 425 S. Oller, L. G. Nallim cos sen x2 x1 M I2 I1 x cos sen x con 1 x2 sen cos y x1 x cos y sen x2 x sen y cos Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-15a. Ecuación del eje neutro Se utiliza la ecuación (5.108), haciendo c 0 , es decir I x2n x1n 1 tg I2 0.6125 105 x2n x1n tg197.714º x1n 2.54472 5 0.0768 10 x1x2 tg 1 2.54472 68.546º y xy 68.546º 17.714º 50.83º Intersección con los lados de la sección, en la base x, y y n x n tg 50.83º x n 1.2276 Intersección lado AB : y n 0.04225 m x n 0.0344 m 426 Momento Flector Intersección lado AC : x n 0.01225 m y n 0.01504 m Representación gráfica de la distribución de tensiones b) Magnitud de la fuerza P para que no haya tracción en la sección. trac max C 48836.308 kPa P P 146.51 kN A El estado de tensión resultante se obtiene considerando la acción del momento flector y la carga de compresión, empleando la ecuación (5.103), N A 146.51kN N M M 1 x2 2 x1 A I1 I2 cos sen M x2 x1 I2 I1 Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-15b. S. Oller, L. G. Nallim Representación gráfica de la distribución de tensiones 427 428 Momento Flector Ejemplo 5-16: La sección de la figura se encuentra sometida a la acción de un momento flector M2 0.05MN m y a una fuerza de compresión N aplicada en el centro geométrico ( CG ). Determinar: a) La magnitud y signo de la fuerza N para que la sección esté totalmente comprimida y el eje neutro contenga al segmento BC de la sección transversal. b) La distribución de las tensiones sobre la sección transversal. Espesor t 0.01 m A 0.005 m 2 Momentos de inercia I1 3.666 105 m 4 I 2 1.237 10 5 m 4 a) Magnitud de la fuerza Se aplica la ecuación (5.103), es decir N M1 I1 A 0 x2 M2 N M x1 2 x1 I2 A I2 Para que la sección esté totalmente comprimida el eje neutro debe ubicarse sobre el segmento BC , de donde surge el valor de N , 0 N M2 BC x1 A I2 N M2 BC 0.05MN m x1 0.045 m I2 / A 1.237 105 / 5 103 m2 N 0.909458 MN S. Oller, L. G. Nallim b) Distribución de tensiones Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-16. 429 430 Momento Flector Ejemplo 5-17: Dada la sección de la figura, cargada con una fuerza de compresión P tal como se indica. Determinar: a) La magnitud de la fuerza P para que la máxima tensión de compresión no supere los 60 MPa . b) La distribución de tensiones sobre la sección transversal. Características geométricas de la sección A 0.014 0.20 0.008 0.143 0.0039 m2 Por simetría el centro geométrico está sobre el eje x2 . x2CG 0.014 0.20 0.143 0.008 0.143 0.143 / 2 0.1223 m 0.0039 A Se produce flexión compuesta recta en el plano x2 x3 por lo que sólo es necesario calcular el momento de inercia respecto a x1 , 0.20 0.0143 2 I1 0.20 0.014 0.143 0.1223 12 2 3 0.008 0.143 0.143 0.1223 0.008 0.143 12 2 I1 6.1472 10 6 m 4 ; i12 I1 6.1472 106 0.0016 m 2 A 0.0039 431 S. Oller, L. G. Nallim a) Magnitud de la fuerza P Se aplica la ecuación (5.103), es decir M2 N M 1 x2 A I1 I2 0 x1 N M1 x2 A I1 P e2 P 0.143 0.1223 0.143 0.1223 1 2 x2 60 MPa 1 0.0039 0.0016 A i1 P 0.184 MN b) Distribución de tensiones Posición del eje neutro e 0 1 22 x2n i1 i12 0.0016 x c 0.0773 m e2 0.143 0.1223 n 2 432 Momento Flector Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-17. 5.5.2 Núcleo Central Es importante recordar que el núcleo central es el lugar geométrico de los puntos de presión que consiguen tensión nula en los contornos de la sección transversal. Para determinar el contorno del núcleo central, en primer lugar se determina la distancia del origen de coordenada a una recta que pase por el contorno de la sección, como se muestra en la Figura 5.29. De la ecuación (5.105) se puede obtener la ecuación del eje neutro, o sea 0 1 e2 n e1 n x2 2 x1 i12 i2 De donde surge, operando algebraicamente, que la distancia d es (5.109) 433 S. Oller, L. G. Nallim d 1 2 e2 e1 2 2 i1 i2 2 (5.110) Figura 5.29 - Punto de presión que hace que el eje neutro sea tangente a la sección transversal. A partir de la ecuación (5.110) se pueden obtener los siguientes casos particulares de solicitaciones, para e 0 d , tracción o compresión pura para e d 0 , flexión pura. 434 Momento Flector Ejemplo 5-18: Determinar el núcleo central de una sección circular de radio R . R4 2 I1 I 2 2 R 4 i 4 A R2 Debido a que se trata de una sección simétrica, se puede tomar e1 0 y e2 e . Reemplazando en la ecuación (5.110) se tiene d 1 2 e2 e1 2 2 i1 i2 2 1 e2 i4 1 i2 e e i2 d R R2 4e e R 4 Resultando para una sección circular de radio R el núcleo central que se representa a continuación, En casos más generales, especialmente cuando las secciones presentan aristas, se puede seguir la siguiente operatoria para la determinación del núcleo central: - Se sitúa el eje neutro sobre uno de los lados. - Se fijan las coordenadas x1n y x2n de este eje (ec. (5.109)), quedando como incógnitas las excentricidades e1 y e2 (ver Figura 5.30). Es decir, 435 S. Oller, L. G. Nallim e1 i22 i22 x2n e 2 2 x1n i1 x1n (5.111) e2 i12 i12 x1n e 1 2 x2n i2 x2n (5.112) Figura 5.30 – Giro del eje neutro en la esquina de la sección cuando el punto de presión se desplaza en una recta. Ejemplo 5-19: Determinar el núcleo central de una sección rectangular de altura h y ancho b . Características geométricas A bh bh3 2 I1 h 2 i1 12 A 12 3 hb 2 I 2 b 2 I2 i2 12 A 12 I1 436 Momento Flector h Para el punto 1 es x2n , x1n 0 , reemplazando en (5.112) se tiene 2 h32 i h e1 0 e2 12 x h 6 2 2 1 n 2 b Para el punto 2 es x1n , x2n 0 , reemplazando en (5.111) se tiene 2 b32 i2 b e2 0 e1 2n 12 x1 b 6 2 Para los puntos ubicados sobre la recta que une los puntos 1 y 2 (rotación respecto a B ), se fijan las coordenadas x1n , x2n de B y. de la ec. (5.112), resulta la ecuación de una recta en e1 y e2 , i12 i12 x1n e2 n e1 2 n x2 i2 x2 437 S. Oller, L. G. Nallim En consecuencia, para una sección rectangular se obtiene el núcleo central que se representa a continuación 5.5.2.1 Determinación del núcleo central en un caso general Se supone el caso general de una sección que presenta vértices entrantes y salientes (perímetros cóncavos y convexos). A modo de ejemplo se presenta un perfil T como muestra la Figura 5.31. Se aplica la ecuación del eje neutro que, para mayor claridad, se reescribe a continuación, x2n x1n 1 e2 2 e1 2 0 i1 i2 (5.113) La determinación del núcleo central implica obtener las excentricidades que hacen que el eje neutro sea tangente (o secante) a la sección transversal. Por ello, el procedimiento para determinar el núcleo central se centra en la utilización sucesiva de la ecuación (5.113), donde las incógnitas son las excentricidades. Se usa a continuación la siguiente notación: 438 Momento Flector e1ij , e2ij designa las excentricidades que corresponden al eje neutro pasando por los puntos de la sección de coordenadas x1i , x2i y x1j , x2j . Debido a que los puntos i x1i , x2i y j x1j , x2j pertenecen al eje neutro, la tensión en ellos es nula, es decir que en ambos puntos se debe cumplir la ecuación (5.113). Esto es, Figura 5.31 – Eje neutro que pasa por los puntos i, j tangente al contorno de una sección T. ij 0 1 e1 0 1 eij 1 i x1i ij x2 e 2 2 i22 i1 j x1j ij x2 e2 2 i22 i1 (5.114) El sistema de ecuaciones (5.114) puede escribirse matricialmente como, x1i 2 0 i2 j x 0 12 i2 x2i i12 e1ij 1 ij x2j e2 1 i12 (5.115) 439 S. Oller, L. G. Nallim La solución del sistema de ecuaciones (5.115) permite encontrar las excentricidades buscadas. Es decir, x1i i2 e1ij 2 ij xj e2 12 i2 1 i22 x2i x2j x2i i12 1 x1i x2j x1j x2i x2j 1 i12 x1i x1j i j j i i12 x1 x2 x1 x2 (5.116) En síntesis, para el eje neutro tangente a la sección en los puntos i x1i , x2i y j x1j , x2j las excentricidades correspondientes valen i22 x2i x2j ij e1 i j x1 x2 x1j x2i i12 x1i x1j ij e2 i j x1 x2 x1j x2i (5.117) El núcleo central puede obtenerse en la base x, y realizando el correspondiente cambio de base, es decir 1 ij ij ij ex cos sen e1 cos sen e1 ij ij ij ey sen cos e2 sen cos e2 (5.118) ij ij ij ex e1 cos e2 sen ij ij ij ey e1 sen e2 cos (5.119) Ejemplo 5-20: Determinar el núcleo central de la sección transversal representada en la figura 440 Momento Flector A 62.5 cm 2 I xx 1.447 10 4 cm 4 I yy 4.349 104 cm4 I xy 105 cm4 I1 1.447 104 cm 4 I 2 4.348 103 cm 4 0.01037 rad Radios de giro i12 I1 1.447 104 cm 4 231.538 cm 2 2 62.5 cm A i22 I 2 4.348 103 cm 4 69.568 cm 2 2 62.5 cm A Se utiliza la ecuación del eje neutro, 1 e2 x2n x1n e 1 2 0 i12 i2 Eje neutro en AB , ● Ecuación para el punto A x A 1 7.2, x2A 21.7 0 1 ● Ecuación para el punto B 21.7 AB 7.2 AB e2 e1 231.538 69.568 441 S. Oller, L. G. Nallim x B 1 7.8, x2B 21.7 0 1 21.7 AB 7.8 AB e2 e1 231.538 69.568 Resolviendo se tiene, e1AB 0; e2AB 10.76 cm Eje neutro en AD , ● Ecuación para el punto A x A 1 7.2, x2A 21.7 0 1 21.7 AD 7.2 AD e2 e1 231.538 69.568 ● Ecuación para el punto D x D 1 17.2, x2D 13.3 0 1 13.3 eAD 231.538 2 17.2 AD e1 69.568 Resolviendo se tiene, e1AD 5.192 cm; e2AD 4.937 cm Eje neutro en DC , ● Ecuación para el punto D x D 1 17.2, x2D 13.3 0 1 13.3 eDC 231.538 2 17.2 DC e1 69.568 ● Ecuación para el punto C x C 1 7.8, x2C 13.3 0 1 13.3 eDC 7.8 eDC 231.538 2 69.568 Resolviendo se tiene, e1DC 0; Eje neutro en CB , ● Ecuación para el punto C e2DC 17.409 cm 1 442 Momento Flector x C 1 7.8, x2C 13.3 0 1 13.3 eCB 7.8 eCB 231.538 2 69.568 1 ● Ecuación para el punto B x B 1 7.8, x2B 21.7 0 1 21.7 CB 7.8 CB e2 e1 231.538 69.568 Resolviendo se tiene, e1CB 8.919 cm; e2CB 0 Resultando para la sección el núcleo central que se representa a continuación Ejemplo 5-21: Determinar el núcleo central de la sección transversal representada en la figura 443 S. Oller, L. G. Nallim A 48 cm 2 0.0048 m 2 I1 1195.313 cm 4 1.1953 10 5 m 4 ; I 2 486.0 cm 4 0.486 105 m 4 Radios de giro i12 I1 1.1953 105 0.00249 m 2 0.0048 A i22 I 2 0.486 105 0.00101 m 2 0.0048 A Se utiliza la ecuación del eje neutro, 1 e2 x2n x1n e 1 2 0 i12 i2 Eje neutro en AB ● Por simetría e1AB 0 ● Ecuación para el punto B x1B 0.09, x2B 0.0469 0 1 Es decir, x2AB AB e2 i12 0 1 e1AB 0; Eje neutro en AC , 0.0469 AB e2 0.00249 e2AB 5.31102 m e2AB 5.31 102 m 444 Momento Flector ● Ecuación para A x A 1 0.09, x2A 0.0469 0 1 0.0469 AC 0.09 AC e2 e1 0.00249 0.00101 ● Ecuación para C x C 1 0, x2C 0.1031 0 1 Resolviendo se tiene, 0.1031 eAC 0.00249 e1AC 0.01632 m; 2 e2AC 0.024151 m Eje neutro en BC , ● por simetría con el caso AC se tiene, e1BC 0.01632 m; e2BC 0.024151 m Ejemplo 5-22: Dada la sección de la figura, sometida a la acción de una fuerza N 0.5MN aplicada en el centro geométrico (CG) y con un momento flector M 0.05MN m . Determinar: a) La distribución de tensiones. Dibujar dicha distribución sobre la sección transversal. b) La ecuación del eje neutro. 445 S. Oller, L. G. Nallim c) El núcleo central. A 2 0.15 0.2 0.01 0.005 m2 I1 3.666 105 m4 I2 1.237 105 m4 i12 I1 / A 7.32 103 m2 i22 I2 / A 2.474 103 m2 a) Distribución de tensiones Se aplica la ecuación (5.104), es decir 0 e2 N e1 N e x1 , x2 1 2 x2 2 x1 x1 1 21 x1 A i1 i2 A i2 La excentricidad vale e1 e x1 M2 0.05MN m 0.1 m N 0.5MN N e1 0.5 0.1 x 1 2 x1 1 3 1 0.005 2.474 10 A i2 Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-22 446 Momento Flector b) Eje neutro x1 0 0.5 0.1 x1n 0.02474m xn 1 3 1 0.005 2.474 10 447 S. Oller, L. G. Nallim c) Núcleo central Empleando la ecuación del eje neutro, es decir, 1 e2 x2n x1n e 1 2 0 i12 i2 Eje neutro en AB ● Por simetría e1AB 0 ● Ecuación para el punto A x A 1 0.105; x2A 0.1 0.1 0 1 e AB 3 2 7.332 10 e1AB 0 AB e2 0.0733 m Eje neutro en DC Simétrico de AB DC e1 0 DC e2 0.0733 m Eje neutro en AD , ecuación para el punto D x1D 0.105; x2D 0.1 0.105 0 1 e AD 3 1 2.474 10 e1AD 0.0235 m AD e2 0 Eje neutro en CB , ecuación para el punto C x1C 0.045; x2CB 0.1 0.045 CB 0 1 e 3 2 2.474 10 CB e1 0.05497 m CB e2 0 Resultando para la sección el núcleo central que se representa a continuación 448 Momento Flector Ejemplo 5-23: Dada la sección simétrica de la figura, obtener: a) La magnitud de la fuerza P (aplicada en el punto A), de tracción, para que la tensión máxima (en valor absoluto), no supere max 250MPa . b) La distribución de tensiones en la sección y su trazado. c) La ecuación del eje neutro y su trazado. d) El núcleo central. A 0.0039 m 2 x0CG 0; y0CG 0.1223m I1 9.339 106 m 4 I 2 6.1472 106 m 4 0º a) Magnitud de la fuerza P 449 S. Oller, L. G. Nallim Se aplica la ecuación (5.103), es decir x1 , x2 M e N M1 P e x2 2 x1 1 22 x2 21 x1 A I1 I2 A i1 i2 Los radios de giro y las excentricidades están dados respectivamente por e1 0.0207 m e2 0.1 m 2 I1 9.339 106 2 i1 A 0.0039 0.00239 m 6 i 2 I 2 6.1472 10 0.00158 m 2 2 A 0.0039 Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-23a N max 1396.89 P N b) Distribución de tensiones 250000 178.969kN 1396.89 450 Momento Flector Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-23b c) Ecuación del eje neutro i2 e i2 x2n 1 1 12 x1n c m x1n e e2 i2 2 c m tg 451 S. Oller, L. G. Nallim i12 0.00239 c 0.0239 m e2 0.1 2 tg e1 i1 0.0207 0.00239 0.31312 tg 1 0.31312 17.38º 2 0.1 0.00158 e2 i2 d) Núcleo central Para la determinación del núcleo central se sigue un procedimiento análogo al del Ejemplo 5-21. De igual forma que en el ejemplo mencionado, el problema se simplifica debido a la simetría de la sección. Eje neutro en AB ● e2AB 0 ● x1B 0.0207, x2B 0.1 0 1 x1B AB e1 i22 0 1 0.0207 AB e1 0.00158 e1AB 0.07633 m Es decir, e2AB 0; e1AB 0.07633 m Eje neutro en BC , ● Ecuación para B x B 1 0.1, x2B 0.0207 0 1 0.0207 BC 0.1 BC e1 e2 0.00158 0.00239 ● Ecuación para C x1C 0.1223, x2C 0 0 1 0.1223 eBC 0.00158 1 452 Momento Flector Resolviendo se tiene, e1BC 0.01292 m; e2BC 0.02795 m Eje neutro en CA , ● por simetría con el caso BC se tiene, e1CA 0.01292 m; e2CA 0.02795 m Resultando para la sección el núcleo central que se representa a continuación Ejemplo 5-24: Un pilar cuya sección transversal se representa en la figura, está sometido a una carga de compresión de 150 kN aplicada en el punto A de la sección. Determinar: a) La tensión a la que está sometida la pieza en el punto de aplicación de la carga. b) La ecuación de la línea neutra y su representación. c) El núcleo central. Características geométricas 453 S. Oller, L. G. Nallim 2 I1 33.3358 104 0.1667 m 2 i1 A 0.02 4 i 2 I 2 6.11929 10 0.0306 m 2 2 A 0.02 ex 0.15 m Las excentricidades en la base x, y valen , se realiza el cambio a ey 0.405 m e1 0.254 m e cos sen ex la base x1 , x2 1 e2 sen cos ey e2 0.349 m Datos A 0.02 m 2 I1 33.3358 104 m 4 I 2 6.11929 104 m 4 15.725º a) Distribución de tensiones Se aplica la siguiente ecuación x1 , x2 e1 N e2 1 2 x2 2 x1 A i1 i2 x cos sen x con 1 x2 sen cos y x1 x cos y sen x2 x sen y cos 454 Momento Flector Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-24a 455 S. Oller, L. G. Nallim b) Ecuación del eje neutro ● En la base x1 , x2 x2n i12 e1 i12 n 0.4082 0.254 0.4082 n x 1 x1 e2 e2 i22 0.349 0.349 0.1752 n tg 1 3.965 75.84 x2n 0.478 3.965 x1n 12 ● En la base x, y , sustituyendo en las ecuaciones del cambio de base, x1 x cos y sen , x2 x sen y cos resulta y n 0.2346 1.7404 x n nxy tg 1 1.7404 60.12 ● Intersección con el lado CA x n 0.15 m y n 0.496 m ● Intersección con el lado AD y n 0.405 m x n 0.3675 m b) Determinación del núcleo central Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-24b. 456 Momento Flector Se utiliza la ecuación del núcleo central, donde las incógnitas son las excentricidades para las distintas posiciones del eje neutro coincidentes con los bordes de la sección trasversal. O sea, x2n x1n x1 , x2 0 1 e2 2 e1 2 0 i1 i2 ● Para el eje neutro en ij con i, j A, B, C, D se obtienen, de la ecuación (5.117), las coordenadas que definen el núcleo central en la base x1 , x2 , i22 x2i x2j ij e1 i j x1 x2 x1j x2i i12 x1i x1j ij e2 i j x1 x2 x1j x2i A partir de estas ecuaciones el núcleo central en la base x, y está dado por las ecuaciones (5.119), 457 S. Oller, L. G. Nallim exij e1ij cos e2ij sen ij ij ij ey e1 sen e2 cos Ejemplo 5-25: Dada la viga de la figura, obtener: a) La magnitud del esfuerzo de tracción N , necesaria para que la tensión máxima (en valor absoluto), no supere max 250MPa . b) La distribución de tensiones en la sección y su trazado. c) La ecuación del eje neutro y su representación. d) El núcleo central. Datos A 0.2087 102 m 2 I xx 1.018 105 m 4 I yy 0.145 105 m 4 I xy 0.155 105 m 4 I1 1.045 105 m 4 I 2 0.118 105 m 4 9.828º 458 Momento Flector Características geométricas 2 I1 1.045 105 3 2 i1 A 0.2087 102 5.01 10 m 5 i 2 I 2 0.118 10 5.65 104 m 2 2 A 0.2087 102 ex 0.0223 m Las excentricidades en la base x, y valen ey 0.0223 m Cambio a la base x1 , x2 , e1 0.01817 m e cos sen ex 1 e2 sen cos ey e2 0.02578 m a) Máximo valor de N Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-25a. 459 S. Oller, L. G. Nallim Se aplica la siguiente ecuación x1 , x2 e1 N e2 1 2 x2 2 x1 A i1 i2 x cos sen x con 1 x2 sen cos y x1 x cos y sen x2 x sen y cos Y se determina x1 , x2 N e1 1 e2 1 2 x2 2 x1 A i1 i2 La máxima tensión se da en el punto C y de aquí se obtiene el valor máximo de N , es decir N max 839.50598 N b) Distribución de tensiones 250 0.29779MN 297.79kN 839.50598 460 Momento Flector Con este valor de la carga se obtienen las tensiones en los restantes puntos de la sección transversal. c) Ecuación del eje neutro ● En la base x1 , x2 x2n i12 e1 i12 n x1 e2 e2 i22 5.007 103 001817 5.007 103 n x x1 0.02578 0.02578 5.654 104 n 2 x2n 0.19434 6.24973 x1n ● En la base x, y , sustituyendo en las ecuaciones del cambio de base, x1 x cos y sen , resulta y n 2.3861 77.703 x n x2 x sen y cos nxy tg 1 77.703 89.26 y para y n 0 x n 0.0307 S. Oller, L. G. Nallim 461 d) Determinación del núcleo central ● Para el eje neutro en ij con i, j A, B, C, D se obtienen, de la ecuación (5.117), las coordenadas que definen el núcleo central en la base x1 , x2 , 462 Momento Flector i22 x2i x2j ij e1 i j x1 x2 x1j x2i i12 x1i x1j ij e2 i j x1 x2 x1j x2i A partir de estas ecuaciones, el núcleo central en la base x, y , está dado por las ecuaciones (5.119), es decir, ij ij ij ex e1 cos e2 sen ij ij ij ey e1 sen e2 cos Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-25b. S. Oller, L. G. Nallim 463 Ejemplo 5-26: Dada la sección de la figura, que tiene un espesor t 0.01 m , cargada con una fuerza de compresión N 0.5MN en el centro geométrico ( CG ) y un momento flector como el que se indica en la figura. Determinar: a) La distribución de tensiones en la sección transversal y su trazado. b) La ecuación del eje neutro y su representación. c) El núcleo central. 464 Momento Flector Datos A 5 103 m 2 I1 3.666 105 m 4 I 2 1.237 105 m 4 I12 0 Características geométricas 2 I1 3.666 105 3 2 i1 A 5 103 7.332 10 m 5 i 2 I 2 1.237 10 2.474 103 m 2 2 A 5 103 Las excentricidades valen M2 0.05MN m e1 N 0.5MN 0.1 m e M1 0 2 N a) Distribución de tensiones producidas por el axil y la flexión Se utiliza la siguiente ecuación x1 , x2 N e2 e1 N e1 1 2 x2 2 x1 1 2 x1 100 4042.03 x1 A i1 i2 A i2 Se obtienen así las tensiones en los puntos representativos de la sección transversal, S. Oller, L. G. Nallim Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-26. 465 466 Momento Flector b) Ecuación del eje neutro 0 0 N e1 1 x1 100 4042.03 x1 A i22 x1 100 0.02474 m 4042.03 O también, c2 x1 i22 2.474 103 m2 0.02474 m e1 0.1 m c) Núcleo central Eje neutro en AB , ● Para el punto A x A 1 0.105, x2A 0.1 0 1 0.1 0.105 eAB e1AB 3 2 7.332 10 2.474 103 ● Para el punto B x B 1 0.045, x2B 0.1 0 1 0.045 eAB 0.1 e AB 1 3 2 7.332 10 2.474 103 Resolviendo se tiene, e1AB 0; e2AB 0.0733 m Eje neutro en DC , ● Simétrico al AB e1DC 0; e2DC 0.0733 m Eje neutro en AD , ● Para el punto A x A 1 0.105, x2A 0.1 0 1 0.1 0.105 eAD e1AD 3 2 7.332 10 2.474 103 467 S. Oller, L. G. Nallim ● Para el punto D x D 1 0.105, x2D 0.1 0 1 0.1 0.105 eAD eAD 3 2 3 1 7.332 10 2.474 10 Resolviendo se tiene, e1AD 0.02356 m; e2AD 0 Eje neutro en CB , ● Para el punto C x C 1 0.045, x2C 0.1 0 1 0.1 7.332 10 3 e2CB 0.045 2.474 103 e1CB ● Para el punto B x B 1 0.045, x2B 0.1 0 1 0.045 eCB 0.1 eCB 1 3 2 7.332 10 2.474 103 Resolviendo se tiene, e1CB 0.05497 cm; e2CB 0 468 Momento Flector Ejemplo 5-27: Dada la sección transversal que se muestra en la figura, cometida a una carga de compresión N 500 kN , obtener: a) El punto de aplicación de dicha carga para que el lado AB de la sección tenga tensión nula. b) La magnitud de la tensión en el punto C . c) El momento flector que es necesario añadir al estado de carga existente para que en la sección transversal la tensión sea uniforme. Se pide la magnitud, sentido y dirección de dicho momento flector y también la magnitud de la tensión final. Esp. Paredes t 1.5 cm Características geométricas A 20 1.5 30 cm 2 13 1 yCG 7 1.5 13 13 1.5 8.775 cm 2 30 7 1 xCG 7 1.5 13 1.5 0 1.225 cm 2 30 469 S. Oller, L. G. Nallim 2 1.5 133 2 13 I xx 0 7 1.5 13 8.775 13 1.5 8.775 2 12 562.9812 cm 4 2 1.5 73 2 7 7 1.5 1.225 I yy 0 13 1.5 0 1.225 2 12 126.481cm4 7 13 I xy 0 7 1.5 13 8.775 1.225 0 131.5 8.775 1.225 2 2 155.268 cm4 Los momentos de inercia principales centroidales y su orientación se obtienen empleando, respectivamente, las siguientes ecuaciones, I1,2 I xx I yy 2 2 I xx I yy 2 I xy ; 2 2 I xy 1 1 tg I xx I yy 2 Reemplazando se tiene, 2 I1,2 562.981 126.481 2 562.981 126.481 155.268 2 2 I1 612.57 cm4 4 I 2 76.88 cm 1 1 2 155.268 tg 17.714º 2 562.981 126.481 470 Momento Flector d e e AB 2 x AB 2 y 1.224 4.439 2 2 4.604cm 0.04604m M 500 0.04604 23.02 kN m 1.224 tg 1 15.41º 4.439 a) Tensión nula en AB , significa que el eje neutro contiene al lado AB . Empleando la ecuación del eje neutro, 1 e2 ● Para el punto A x A 1 x2n x1n e 1 2 0 , se obtiene: i12 i2 2.452, x2A 3.654 0 1 ● Para el punto B x1B 4.219, x2B 5.782 0 1 3.654 AB 2.452 AB e2 e1 20.42 2.56 5.782 AB 4.219 AB e2 e1 20.42 2.56 Resolviendo se tienen las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza N en la base x1 , x2 , e1AB 0.184 cm; e2AB 4.604 cm Para encontrar el punto de aplicación de N en la base x, y se aplican las ecuaciones de cambio de base, 471 S. Oller, L. G. Nallim 1 ex cos sen e1 ex cos sen e1 ey sen cos e2 ey sen cos e2 ex e1 cos e2 sen ey e1 sen e2 cos exAB 0.184 cos 17.714 4.604 sen 17.714 1.224cm AB ey 0.184 sen 17.714 4.604 cos 17.714 4.439cm b) Tensión en el punto C C 0.00184 500 0.04604 0.015 5.1288 105 kN / m 2 0.08735 1 0.0030 0.002042 0.000256 c) Momento flector para lograr tensión uniforme M* 23.02 kN m * 180º 15.41º 164.59º final 500 1.666 105 kN / m 2 0.0030 5.5.3 Teoría generalizada de flexión compuesta esviada Hasta aquí se ha estudiado la flexión compuesta esviada u oblicua basada en los ejes principales de inercia de la sección. Este tratamiento permite resolver cualquier problema de flexión esviada. Sin embargo, hay casos en los cuales trabajar en ejes principales puede complicar la resolución del problema. Otra alternativa es formular la teoría generalizada de la flexión compuesta, que permite trabajar con dos ejes cualesquiera ortogonales y no princi- 472 Momento Flector pales. Sólo se requiere que sean ejes centroidales de manera análoga al caso de flexión pura esviada. Como no se hace el análisis sobre ejes principales, sino sobre ejes ortogonales x y , las componentes del momento actuante M sobre estos ejes, es decir M x y M y , producen flexión en ambos ejes (Figura 5.32), análogo a lo visto en la sección 5.3.3. Figura 5.32 – Flexión compuesta esviada en ejes no principales. Teniendo en cuenta la ec. (5.82), las tensiones normales resultan 3 x, y I xxM y I xyMx N I yyMx I xyM y y x 2 A I xx I yy I xy I xx I yy I xy2 (5.120) En el caso que el momento flector M provenga de una carga excéntrica, las componentes del momento están dadas por Mx N ey M y N ex (5.121) Sustituyendo las ecuaciones (5.121) en la ecuación (5.120) se obtiene I yy ey I xy ex I xx ex I xy ey N 1 y x 2 2 A I xx I yy I xy / A I xx I yy I xy / A iˆ2 iˆ 2 donde iˆ 2 I xx I yy I xy2 / A . (5.122) 473 S. Oller, L. G. Nallim Figura 5.33 – Núcleo central en ejes no principales. Finalmente, la tensión por flexión compuesta esviada, producida por carga excéntrica, en ejes ortogonales centroidales cualesquiera, puede determinarse empleando la siguiente expresión, I xx ex I xy ey N I yy ey I xy ex y x 1 2 A iˆ iˆ 2 (5.123) La ecuación del eje neutro se encuentra igualando a cero la ecuación de la tensión (5.123), es decir, 0 1 I yy ey I xy ex n I xx ex I xy ey n y x iˆ 2 iˆ 2 (5.124) De donde se obtiene yn I e I e iˆ 2 xx x xy y I yy ey I xy ex I yy ey I xy ex n x (5.125) Siguiendo un procedimiento similar al explicado para ejes principales, se puede determinar el núcleo central trabajando en coordenadas ortogonales no principales. En este caso, nuevamente, las incógnitas son las excentricidades que hacen que el eje neutro contenga a un lado o a los vértices de la sección transversal. Para ello, se escribe la ecuación (5.125) en forma implícita, es decir, 474 Momento Flector 0 iˆ 2 x n I xx y n I xy ex y n I yy x n I xy ey (5.126) La ecuación (5.126) permite, conocidas coordenadas de dos puntos del eje neutro, determinar las excentricidades correspondientes. Sea por ejemplo la sección mostrada en la Figura 5.33 para la que se quiere determinar las excentricidades ( ex y ey ) que hacen que el eje neutro pase por los puntos i y j de la sección. Entonces, aplicando la ecuación (5.126) para las coordenadas de los puntos del eje neutro x , y y x , y , se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones con las ini i j j cógnitas exij y eijy , 0 iˆ2 xi I xx y i I xy exij y i I yy xi I xy eijy j j ij j j ij 2 0 iˆ x I xx y I xy ex y I yy x I xy ey (5.127) La solución del sistema de ecuaciones (5.127) permite encontrar las correspondientes excentricidades. Esto es, I xy xi x j I yy y j y i 2 ij ex iˆ j i i j 2 I I I x y x y xx yy xy j i j i ij I xx x x I xy y y ˆ 2 i e y I xx I yy I xy2 x j yi xi y j (5.128) Ejemplo 5-28: Hallar el punto de aplicación del esfuerzo axil para que la línea neutra pase por los puntos A y B . 475 S. Oller, L. G. Nallim Datos Espesor paredes t 0.704 cm xCG 0.7 cm yCG 1.69 cm Centro geométrico Área A 6.55 cm 2 I xx 22.9 cm 4 4 Momentos de inercia I yy 8.09 cm 4 I xy 8.00 cm Punto de aplicación del esfuerzo axil Las incógnitas son las excentricidades ( ex y ey ) que hacen que el eje neutro pase por los puntos A y B de la sección cuyas coordenadas son: x A 0.7 Punto A A y 5.65 1.69 3.96 x B 3.65 0.7 2.95 Punto B B y 1.69 Además iˆ 2 I xx I yy I xy2 / A 18.513cm 2 Sustituyendo estas coordenadas en la solución del sistema de ecuaciones (5.127), dado por (5.128), se obtiene: 18.513 15.650 ex 26.436 ey = 0 18.513 54.035 ex 9.928 ey 0 ex 0.24 cm ey 0.558 cm Ejemplo 5-29: El muro de la figura está sometido a la acción de una fuerza horizontal FH y a una fuerza vertical FV debida a su peso propio. Se pide: a) Determinar la relación entre la altura del muro h y la dimensión a de su sección transversal para que en ésta no se produzcan tensiones de tracción. 476 Momento Flector b) Determinar la magnitud de a si el peso específico del muro es 20 kN / m 3 , h 2.4 m , b 1 m y FH 1 kN c) Obtener la tensión máxima. d) Con los resultados obtenidos verificar que sólo se producen tensiones de compresión en la base del muro. Verificar también la seguridad al deslizamiento considerando un coeficiente de fricción de tg 30º . Solicitaciones en la base del muro La base del muro se encuentra sometida a flexión compuesta recta. Las tensiones normales pueden obtenerse como la superposión de las tensiones originadas por el esfuerzo normal N FV y las originadas por el momento flector M1 h FH , como se representa gráficamente a continuación, 477 S. Oller, L. G. Nallim a) Relación entre la altura del muro y el lado de la sección Debido a que se trata de un problema de flexión compuesta recta, las tensiones sobre rectas paralelas al eje principal x1 son uniformes. En particular en la arista AB ( A B ) las tensiones están dadas por, A A A N M M1 F h FH a FV FH 6 h N M a 1 V 1 3 A I1 2 a b b a /12 2 a b FV a Para que la sección transversal en la base del muro se encuentre sometida sólo a tensiones de compresión es necesario que el eje neutro coincida con la arista AB de la sección, es decir A 0 FV FH 6 h FH 6 h 0 1 1 ab FV a FV a a F 6 H h FV b) Magnitud de a FV proviene del peso propio de muro, cuyo peso específico es , es decir, 478 Momento Flector 6h FH a FV a b h a a2 6h FH bh 6 6 FH 1 0.548 m 1 20 b c) Tensión máxima La tensión máxima se da en la arista CD de la sección, es decir en las fibras más alejadas del eje neutro. C C C N M C FV h FH a FV FH 6 h N M1 a 1 3 A I1 2 a b b a /12 2 a b FV a 26.291 2.40 0.55 kN kN 48.00 2 48.00 2 0.548 0.01369 2 m m C 96.00 kN m2 Este será el valor de la tensión que debe resistir el terreno. d) Verificaciones Características geométricas A a b 0.548 1 0.548 m , 2 b a 3 1 0.5483 I1 0.01369 m4 12 12 Esfuerzos en la sección de la base FV a b h 0.548 1 2.40 20 26.291 kN M1 FH h 1 2.40 2.40 kN m Verificación de tensión nula en AB A N M1 a 26.291 2.40 0.55 kN kN 48.00 2 48.00 2 0 A I1 2 0.548 0.01369 2 m m 479 S. Oller, L. G. Nallim Verificación al deslizamiento del muro resistente Ffriccón FV tg 30º 26.291 kN 15.17 kN resistente FH 1 kN Ffriccón 15.17 kN seguridad resistente Ffriccón FH 15.71 15.71 1 5.6 Flexión recta en piezas de distintos materiales Sea una pieza constituida por diferentes materiales cuya sección transversal se representa en la Figura 5.34, en la cual se muestran los ejes principales de inercia y el centro mecánico ( CM ). Los distintos materiales se identifican en la sección a través del área Ai y del módulo elástico Ei , para i 1,..., N , donde N es el número de materiales diferentes que aparecen en la sección. Figura 5.34 – Sección transversal de una pieza con diferentes materiales sometida flexión recta. La deducción de la ecuaión de la tensión se basa en la hipótesis de Bernoulli, 480 Momento Flector a) Relaciones geométricas. Las secciones transversales, separadas una distnacia infinitesimal dx3 , se mantienen planas pero giran respecto al eje neutro un ángulo d . Para pequeñas rotaciones, se verifica d 1 1 d y dx3 dx3 (5.129) donde es radio de curvatura y es la curvatura del eje deformado de la viga. b) Relaciones de compatibilidad. La deformación específica longitudinal en la dirección normal x3 es el gradiente del desplazamiento. Esto es, x2 3 x2 du3 ( x2 ) d x2 x2 dx3 dx3 (5.130) c) Ley constitutiva. Las tensiones se obtienen directamente de la Ley de Hooke, pero en este caso dependerán del material. Así, para la parte de la sección transversal ocupada por el material i ésimo , resulta i 3i Ei d) Ei x2 (5.131) Condiciones de equilibrio Las siguientes condiciones de equilibrio se deben satisfacer en este caso N N 0 i dA i 1 (5.132) Ai N M2 0 i x1 dA i 1 (5.133) Ai N M1 i x2 dA i 1 (5.134) Ai De la condición de equilibrio (5.132) y teniendo en cuenta la ec. (5.131), se tiene N N 0 i dA i 1 Ai 1 N 1 N i E x dA S1 Ai i 2 i 1 1 i S1i S1 0 (5.135) 481 S. Oller, L. G. Nallim De la ecuación (5.135) se concluye que para satisfacer la ecuación de equilibrio, el momento estático de la sección respecto al eje x1 debe ser nulo ( S1 0 ) lo cual implica que la línea neutra x1 contiene al centro mecánico de la sección. Reemplazando ahora la ley constitutiva (5.131) en la condición de equilibrio (5.133) se obtiene N N 0 M2 i x1 dA i 1 Ai i 1 Ai N Ei x2 1 N 1 x1 dA Ei x2 x1 dA Ei I12i Ai i 1 i 1 i I12 (5.136) I12 0 Esta expresión indica que la línea neutra coincide con el eje principal x1 de la sección ya que el producto de inercia es nulo, es decir I12 0 . Finalmente, reemplazando la ley constitutiva (5.131) en la condición de equilibro (5.134), se obtiene N N M M1 i x2 dA i 1 Ai i 1 Ai Ei 2 1 N x2 dA Ei x22 dA Ai i 1 (5.137) I1i De donde se obtiene la siguiente relación M M1 1 N Ei I1i i 1 1 = M N E I i 1 e) i i 1 (5.138) Ecuación de Navier Considerando la ley de Hooke (ec. (5.131)) y la ec. (5.138), se obtiene: 1 i 3i = Ei x2 i M N E I j 1 j i 1 Ei x2 (5.139) 5.6.1 Materiales compuestos con compatibilidad En materiales que cumplen la condición cinemática de compatibilidad, las deformaciones específicas por axil y por flexión están dadas respectivamente por 482 Momento Flector N N N E A i 1 i ; M i M N E I i 1 i i 1 x2 (5.140) Las tensiones por axil y por flexión para el material i , están dadas respectivamente por i N Ei N Ei N; N E j 1 j Aj i M Ei M Ei N E j 1 j j 1 I M x2 (5.141) 5.6.2 Materiales compuestos sin compatibilidad – Postesado de tendones sobre una sección de hormigón Sea una pieza de hormigón con armadura postesada. Los esfuerzos se representan en la Figura 5.35. Figura 5.35 – Reducción al centro mecánico de la sección transversal del esfuerzo axil en el tendón. 483 S. Oller, L. G. Nallim a) Problema axil Para el problema axil, se tiene para el acero las siguientes expresiones para el alargamiento, deformación y tensión, λa Na λ0 Ea Aa Na Na Ea Aa Na Na Aa (5.142) Análogamente para el hormigón, el acortamiento, la deformación y la tensión están dadas por λh Nh λ0 Eh Ah Nh Nh Eh Ah Nh Nh Ah (5.143) Se debe tener presente que tratándose de barras postesadas la deformación específica Na es conocida (dato) a partir del sistema de fabricación. Por equilibrio axial resulta, 0 N a dA h dA Na Nh Aa Ah (5.144) Sustituyendo las ecuaciones (5.142) y (5.143) en la ecuación (5.144) se obtiene, 0 Na Ea Aa Nh Eh Ah ; (5.145) Despejando de la ecuación (5.145) la deformación específica del hormigón resulta N h N a Ea Aa (5.146) Eh Ah Entonces, sustituyendo la deformación (5.146) en la tercera de las ecuaciones (5.143) se obtiene la tensión en el hormigón, E N h N h h N a Ea Aa Ah (5.147) 484 Momento Flector La tensión en las barras de acero está dada por, Na Ea Na Na Aa (5.148) b) Problema de flexión por la excentricidad La ecuación de equilibrio flexional debido a la acción de la fuerza de postesado excéntrica se escribe, 0 M a x2 dA h x2 dA Aa (5.149) Ah Teniendo en cuenta (5.139) la ecuación (5.149) puede escribirse como, 1 0 M Na Ea Aa ea Eh x2 x2 dA Ah 0 M Na Ea Aa ea (5.150) 1 Eh I1h (5.151) Na Ea Aa ea 1 Eh I1h (5.152) La deformación específica del hormigón se obtiene reemplazando la curvatura dada por la ecuación (5.152) en la ecuación (5.130). Esto es, x 2 M h Na N a Ea Aa ea Eh I1h x2 M (5.153) a Eh I1h x2 Empleando la ley constitutiva y la deformación (5.153) se puede calcular la tensión en el hormigón producida por la flexión. Es decir, Eh M h M h N a Ea Aa ea h 1 I x2 N a h 1 I ea x2 (5.154) 485 S. Oller, L. G. Nallim Finalmente, las tensiones en el hormigón y en el acero están dadas respectivamente por h Nh Mh N N a a h 1 Ah a Na I ea x2 (5.155) Na Aa (5.156) 5.6.3 Postesado sobre una barra previamente tesada (2do. Postesado) Este apartado trata el tesado (2da. Etapa de Tesado) de unos nuevos tendones sobre una barra que ya ha sido tesada previamente (1ra. Etapa de Tesado). Tomando como base la barra de hormigón postesada del apartado anterior, se tesa un * nuevo tendón/tendones con una deformación impuesta Na , que es dato en este nuevo problema (ver Figura 5.36). El (*) distingue al nuevo tendón que se tesa en esta nueva etapa de tesado. a) Equilibrio axial, La ecuación de equilibrio axial de la barra pretensada (apartado anterior) con el nuevo cable de tesado se escribe de la siguiente manera, 0 m dA * *a dA AT Aa (5.157) Tal que m representa el cambio de tensión en el material mixto de base (hormigón más los antiguos tendones), y *a la tensión impuesta en el nuevo tendón. La ecuación anterior se puede reescribir considerando los materiales que componen el material mixto, 0 i dA * *a dA Ai De donde resulta Aa (5.158) 486 Momento Flector 0 Nm Ea Aa Eh Ah Na* Ea* Aa* (5.159) * Nm Na N* * * E a a Aa E A a a (5.160) Eh Ah donde N* a i N* *a * Ea Aa i (5.161) Figura 5.36 -Reducción al centro mecánico de la sección transversal del esfuerzo axil en el nuevo tendón añadido en un segundo tesado. Luego, sustituyendo la ecuación (5.161) en la correspondiente ley constitutiva es posible obtener Na* Ea* Na* Y i (5.162) 487 S. Oller, L. G. Nallim Na Ea Nm ; Nh Eh Nm (5.163) b) Flexión por excentricidad, equilibrio sobre el incremento de la flexión La ecuación de equilibrio flexional de la barra pretensada (apartado anterior) con el nuevo cable de tesado se escribe, 0 M m x2 dA * *a x2 dA AT Aa (5.164) Operando se obtiene, 0 0 1 x dA Ah Ai i 2 N* a Ea* Aa*ea* Eh x22 dA Ea x22 dA Na* Ea* Aa*ea* Aa (5.165) (5.166) De donde se obtiene el incremento de curvatura en toda la pieza como * Ma N* * * * a Ea Aa ea 1 Eh I1h Ea I1a (5.167) Entonces, a partir de la ecuación anterior (5.167) se obtiene el incremento de deformación específica por flexión en el material mixto (hormigón y acero) * Mm Ma N*aea* x2 x2 Eh I1h Ea I1a (5.168) De donde se puede obtener la tensión N* a en el nuevo tendón, así como el incremento de tensión en los tendones ya existentes Ma y en el hormigón Mh * N* N* a Ea a i N*a Aa* (5.169) 488 Momento Flector Ma Ea Mm Mh Eh Mm y (5.170) c) Superposición de las tensiones debido al problema axial y al problema de flexión h Nh Mh Eh Nm Eh Mm h Eh N*a Ea Aa Eh Ah Eh N*a ea* Eh I1h Ea I1a (5.171) x2 a Na Ma Ea Nm Ea Mm a Ea N*a E A a a Eh Ah Ea N*a ea* Eh I1h Ea I1a (5.172) (5.173) x2 (5.174) Con N* a N*a Aa* (5.175) d) Obtención de los estados finales de tensión por superposición La tensión en el hormigón resulta, h Nh Mh Nh Mh Na Naea Eh N*a Eh N*aea* x x2 2 h h a A I1 h Ea Aa Eh Ah Eh I1 Ea I1 (5.176) La tensión final en el acero resulta, a Na Na Ma Ea N*a Ea N*a ea* Na x 2 Aa Ea Aa Eh Ah Eh I1h Ea I1a (5.177) 489 S. Oller, L. G. Nallim La tensión final en el tendón añadido se mantiene, excepto que haya habido pérdidas por penetración de cuña etc., que debería ser tenida en cuenta atendiendo la tecnología de tesado que se haya utilizado. Na* N*a Aa* (5.178) 5.6.4 Pretensado con adherencia Sea una barra de hormigón con cables de acero de pretensado ubicados a una distancia ea* del centro mecánico como muestra la Figura 5.37. Se fabrica la barra pretensando primeramente el cable y luego se vierte el hormigón en el molde dejando fraguar y posteriormente endurecer el hormigón. Una vez el hormigón adquiere una adherencia plena con el cable, se sueltan los extremos de este hasta que se autoequilibra el nuevo sistema hormigón - acero tesado. Figura 5.37 – Barra de hormigón pretensado con adherencia. Esfuerzo axil actuante en el tendón con adherencia. El momento de inercia de cada cable de acero, respecto del eje mecánico será I1a* Aa* ea* 2 (5.179) a) Estado previo de tensión Antes de verter el hormigón en el molde, se tiene para cada cable un esfuerzo normal de tracción N*a que da una tensión previa *a en el cable o 0 tendón 490 Momento Flector N E A * a * a * N* a a * 0 a N*a * Ea*Na* Aa (5.180) De la ecuación (5.180) se obtiene la deformación específica impuesta, Na* N*a Ea* Aa* (5.181) b) Problema de equilibrio axial una vez endurecido el hormigón y soltado los extremos de los cables En este caso particular, la sección mixta está compuesta por el hormigón y por el propio cable que se va acortando, tanto como se lo permita el hormigón, al cual está perfectamente adherido. Es decir, 0 m dA * *a dA AT Aa (5.182) De donde resulta la siguiente ecuación de autoequilibrio axial entre los materiales que componen la barra estructural, 0 Nm Ea* Aa* Eh Ah N*a (5.183) Despejando de la ecuación (5.183), el incremento de deformación está dado por N m N E A * a * a * a Eh Ah (5.184) El incremento de tensión se obtiene empleando la ley constitutiva correspondiente a cada material, * N N* a Ea m (5.185) N N* h Eh m (5.186) c) Problema de equilibrio de momento una vez endurecido el hormigón y soltado los extremos de los cables 491 S. Oller, L. G. Nallim 0 M m x2 dA * *a x2 dA AT (5.187) Aa Exigiendo que la curvatura sea única para toda la pieza, se reescribe la ecuación anterior como 1 0 Ah Eh x dA * E x dA N e 2 2 Aa * a 2 2 (5.188) * * a a 1 N*a ea* Eh I1h Ea* I1a* (5.189) De donde surge la deformación por flexión en el material mixto Mm N*a ea* x2 x2 Eh I1h Ea* I1a * M m (5.190) Empleando la ecuación (5.190) se obtienen los incrementos de tensión por flexión para el acero y para el hormigón, * M M* a Ea m (5.191) * M M* h Eh m (5.192) d) Superposición de estados axiales y flexionales en los materiales que componen la sección transversal M* N M h N* h h Eh m Eh m Eh N*a Eh Ah Ea* Aa* Eh N*a ea* x a* 2 (5.193) Eh I1h Ea* I1 M* * N * M *a N* a a Ea m Ea m Ea* N*a Eh Ah E A * a * a Ea* N*a ea* E I E I h h 1 * a* a 1 ea* (5.194) e) Estado final añadiendo el proceso de tesado previo del cable antes de hormigonar la barra 492 Momento Flector M* h 0 N* h h Eh N*a Eh Ah Ea* Aa* Eh N*a ea* Eh I1h Ea* I1a* x2 (5.195) M* *a *a N* a a 0 Ea* N*a Ea* N*a ea* N*a e* * * * * a* a h A Eh Ah Ea Aa Eh I1 Ea I1 a (5.196) Ea* Na* Ejemplo 5-30: La sección que se representa en la figura está compuesta por dos materiales con módulos elásticos: E y 2 E , respectivamente. El espesor es constante y vale t 0.7cm . Se pide hallar y representar gráficamente los puntos que definen el núcleo central. Área mecánica A 31.5 cm2 E Centro mecánico: xCM 8.89cm; yCM 5.83cm; Inercias mecánicas IxxCM 1291.00cm4 E CM 4 I yy 661.54cm E CM 4 Ixy 729.16cm E Características geométricas - Orientación de los ejes principales de inercia mecánica 2IxyCM 1 1 tg CM CM 2 Ixx I yy 1 1 2 729.16 E 0.582 rad 33.346º tg 2 1291 E 661.54 E 493 S. Oller, L. G. Nallim - Inercias mecánicas principales CM 1,2 I I CM I yyCM I CM I yyCM xx xx 2 2 2 CM 2 Ixy 2 1291 661.54 2 1291 661.54 729.167 E 2 2 I1CM 1770 cm4 E CM 4 I2 182.079 cm E - Radios de giro 4 4 I1CM 1770 cm E I2CM 182.079 cm E 2 2 i1 56.1905 cm ; i2 5.7803 cm2 2 2 A A 31.5cm E 31.5cm E 2 Coordenadas de los puntos representativos de la sección x1 cos sen x x2 sen cos y x1 x cos 0.582 y sen 0.582 x2 x sen 0.582 y cos 0.582 Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 5. Ejemplo 5-31. Núcleo Central Se emplea la ecuación del eje neutro, es decir 494 Momento Flector 1 e2 x2n x1n e 1 2 0 i12 i2 Eje neutro en AB , ● Para el punto A 0 1 0.2449 e2AB 0.731 e1AB ● Para el punto B 0 1 0.1470 e2AB 0.713 e1AB Resolviendo se tiene, e1AB 0.347cm; e2AB 5.119 cm Eje neutro en DC , ● Para el punto D 0 1 0.1736 e2DC 0.729 e1DC ● Para el punto C 0 1 0.07587 e2DC 0.7136 e1DC e1DC 0.545 cm; e2DC 8.051 cm Eje neutro en DB , ● Para el punto D 0 1 0.1736 e2DB 0.729 e1DB ● Para el punto B 0 1 0.1470 e2DB 0.713 e1DB Resolviendo se tiene, e1DB 1.388 cm; e2DB 0.069 cm Eje neutro en AC , ● Para el punto A 0 1 0.2449 e2AC 0.731 e1AC ● Para el punto C 0 1 0.07587 e2AC 0.7136 e1AC Resolviendo se tiene, e1AC 1.393 cm; e2AC 0.076 cm Resultando para la sección el núcleo central que se representa a continuación S. Oller, L. G. Nallim 495 5.7 Flexión compuesta en secciones que no resisten a tracción Existen diversos materiales que se suelen utilizar en estructuras resistente con un comportamiento muy diferenciado a tracción respecto de sus capacidades a compresión. Esta característica es típica de los geomateriales (rocas, suelos, hormigones, cerámicos, etc.), que normalmente tienen resistencia bajas o muy bajas a tracción generando un reordenamiento tensional en las secciones transversales para alcanzar un estado de equilibrio estable. 5.7.1 Flexión compuesta recta Sea la sección de la Figura 5.38 solicitada por una carga de compresión N aplicada en el punto C ubicado sobre el eje principal de inercia x2 y fuera del núcleo central de la sección. De acuerdo a lo estudiado en secciones previas, el eje neutro sería perpendicular al eje x2 y cortaría a la sección originando tensiones de tracción, con valor máximo en el punto B , de magnitud 496 Momento Flector B e2 N 1 2 x2 A i1 (5.197) Sin embargo, el material que se está analizando no resiste tensiones de tracción, por lo que el equilibrio sólo debe satisfacerse con las tensiones de compresión generadas en la sección transversal. Estas tensiones son proporcionales a la distancia al eje neutro n n , lo que puede obtenerse de la Figura 5.38 como max x20 (5.198) de donde se obtiene max x20 (5.199) Figura 5.38 – Sección sometida a flexión compuesta recta – material sin resistencia a tracción. En estas condiciones se plantea un nuevo sistema de ecuaciones de equilibrio axial, de momento respecto al eje neutro n n y de momento respecto al eje x2 . Es decir, 497 S. Oller, L. G. Nallim N 0 dA A 0 M1 N x2 a A0 dA M2 0 0 x1 dA A (5.200) donde A0 es el área de la zona de compresión y la distancia del punto de aplicación de la carga C al eje neutro. Sustituyendo la tensión dada por la ecuación (5.199) en las ecuaciones de equilibrio (5.200), se obtiene max max max A0 N dA dA Sn A0 x20 x20 A0 x20 max max max A0 M N dA 2 dA In A0 x20 1 x20 A0 x20 0 (5.201) 0 donde S nA y I nA son, respectivamente, el momento estático y el momento de inercia del área comprimida A0 respecto al eje neutro. Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (5.201) resulta, 0 I nA (5.202) 0 SnA La ecuación (5.202) permite definir la posición del eje neutro a partir del punto de aplicación de la carga. Conocida la magnitud se puede determinar el valor de la tensión máxima empleando la segunda de las ecuaciones (5.201), es decir, max max N x20 0 I nA 0 2 Nx 0 SnA 0 A N x20 I n 0 A I nA Sn 0 (5.203) 498 Momento Flector 5.7.2 Aplicación a una sección rectangular Sea la sección rectangular representada en la Figura 5.39, de dimensiones b h , proveniente de una pieza de material que no resiste tensiones de tracción. Para determinar la distribución de las tensiones, la tensión máxima y la posición del eje neutro, es necesario determinar en primer lugar empleando la ecuación (5.202), que permite definir la posición del eje neutro medida desde el punto de aplicación de la carga. Para ello, se obtienen en primer lugar las características geométricas de la parte comprimida de la sección rectangular respecto del eje neutro, es decir, I A0 n b x20 3 3 S A0 n b x20 2 2 (5.204) Sustituyendo en la ecuación (5.202) se obtiene b x20 0 I nA S A0 n 3 3 2 x0 2 2 3 b x20 (5.205) 2 Figura 5.39 – Sección rectangular sometida a flexión compuesta recta – material sin resistencia a tracción. Como es x20 a , reemplazando en la ecuación (5.205) se obtiene 499 S. Oller, L. G. Nallim 2 0 1 x2 x20 a a x20 3 3 x20 3 a (5.206) (5.207) La tensión máxima se obtiene mediante la ecuación (5.203) max N x20 b x20 2 2 N N 2 0 0 b x2 A (5.208) 2 O bien, la ecuación (5.208) se puede escribir en función de la distancia a empleando la relación (5.207). Esto es, max 2 N 3 ba (5.209) La tensión en cualquier punto del área comprimida tiene una variación lineal y está dada por, N 0 SnA N b 3 a 2 2 2 N 9 b a2 (5.210) Ejemplo 5-31: Obtener las dimensiones de la zapata de sección rectangular que se muestra en la figura, para que la tensión máxima en el terreno no supere 0.5MPa . Determinar la posición del eje neutro y trazar la distribución de las tensiones en el plano de contacto. h Datos: N 0.5MN , M 0.3MN m , b 2 Dimensiones de la zapata La excentricidad de la carga se obtiene dividiendo el momento y la fuerza normal actuante en la sección, es decir, 500 Momento Flector e M 0.3MNm 0.6m N 0.5MN La tensión máxima está dada por la ecuación (5.209). Siendo a h e , se obtiene la tensión máxima, 2 max max 2 N 3 ba con ea h 2 4N 2 N 3 bh 3b h 2 b e be 2 Teniendo en cuenta que la relación entre las dimensiones de la sección transversal es b h / 2 , la tensión máxima resulta, max 4N 4 0.5 0.5 2 2 h 1.5 h 3 0.6 h 3 he 2 De donde surge la siguiente ecuación cuadrática 0.75 h2 0.9 h 2 0 Cuya solución permite encontrar la magnitud mínima de h h 2.34 m h 0.6 1.739 h b 2 1.17m 501 S. Oller, L. G. Nallim Posición del eje neutro a h e 1.17m 0.6m 0.57m 2 x20 3 a 3 0.57 m 1.71m Distribución de tensiones 502 Momento Flector 5.8 Flexión recta en una pieza de hormigón armado de sección rectangular Sea una pieza de hormigón armado de sección rectangular sometida a flexión pura recta, tal como se representa en la Figura 5.40. Para este análisis de considerará un comportamiento elástico lineal tanto para el hormigón como para el acero y se admite como hipótesis que el hormigón no resiste tensiones de tracción. 503 S. Oller, L. G. Nallim Figura 5.40 – Pieza de hormigón armado sometida a flexión pura recta. Considerando un comportamiento elástico lineal para el hormigón en compresión, la tensión en la parte comprimida de la sección rectangular se obtiene de la siguiente relación, max h y h h max 1 h yc yc y yc (5.211) siendo max la tensión máxima de compresión en el hormigón, h la tensión de h compresión en el hormigón a una distancia y de la fibra superior e yc la altura de la zona comprimida (o distancia del eje neutro a la fibra superior). El punto de aplicación de la resultante de compresión Nh se encuentra a una distancia yG de la fibra superior y está dada por yG 1 yc 3 (5.212) a) Condiciones de equilibrio N 0 Na Nh M Nh yz Na yz donde Na es el esfuerzo normal en las barras de acero. (5.213) 504 Momento Flector De la primera de las ecuaciones (5.213) se obtiene Na Nh a Aa max h yc b 2 (5.214) donde a y Aa son, respectivamente, la tensión y el área de las barras de acero. yc 2a Aa hmax b yG 2 a Aa 3 hmax b (5.215) De la segunda de las ecuaciones (5.213) se obtiene M Na yz a Aa yz a Aa h yG a Aa h a Aa yG (5.216) de donde resulta, M a Aa h 2 2a Aa2 3 max h b (5.217) La ecuación (5.217) puede reescribirse de la siguiente manera, 2 2a 2 A a h Aa M 0 max a 3 h b (5.218) La solución de la ecuación cuadrática (5.218) proporciona el área de acero necesaria para el equilibrio, a h 2a h 2 Aa 82a M 3max h b 4a2 max 3h b (5.219) Asumiendo valores de b y de h , y denominando Ah b h , se obtiene de la ecuación (5.219) el área de acero, 505 S. Oller, L. G. Nallim Aa 3max 8M h Ah 1 1 max 4a 3h Ah h (5.220) Ejemplo 5-32: La viga de hormigón armado de la figura posee sección rectangular y 20 m de luz. Dimensionar la sección transversal considerando que tiene que soportar, además de su peso propio, una carga puntual de 600 kN . Datos 24kN / m3 max 30 MPa h max 440 MPa a Sección de hormigón Se presupone la altura de la sección como la décima parte de la luz, hT λ 2m 10 T y se propone b h 0.5m 4 Así resulta una carga uniformemente distribuida debido al peso propio, dada por: q AT 24 2 0.5 24 kN / m Ley de momentos flectores A continuación se representa la ley de mommentos flectores debido a la acción de la carga concentrada y a la acción de la carga uniformemente distribuida, 506 Momento Flector Aplicando el principio de superposición se puede hallar el momento debido a la carga concentrada P ( MP ) y el momento debido a la carga distribuida q ( Mq ). Así, se tiene, MP Pλ 600 20 3000kN m 4 4 Mq qλ2 24 202 1200kN m 8 8 Mmax MP Mq 3000 1200 4200kN m Definición de la posición de las barras de acero y cálculo del área de las armaduras Aa Para un recubrimiento h 0.04 m , el área Ah resulta, Ah 1.96 0.5 0.98 m2 Aplicando la ecuación (5.220) se obtiene, 507 S. Oller, L. G. Nallim 3max A 8 M 3 30 0.98 8 4200 1 1 Aa h h 1 1 max 4a 3h Ah h 4 440 3 30 103 0.98 1.96 min nº Aa 0.501 1 0.897 0.005161 m2 2 17 20 0.005340 m 2 0.022 0.0001m2 A 20 4 4 Esta cantidad de barras exigiría un ancho de sección que pueda albergar las barras con una separación entre ellas igual al diámetro . Esto es, b 2 nº 2 0.02 17 0.68 m b Es necesario escoger un diámetro mayor para las barras, a fin de poder colocarlas en el ancho b 0.5m . Se propone emplear barras con un diámetro 0.028 m , entonces resulta, nº Aa 0.005161 8.38 9 28 0.005535 m2 0.0282 0.000615 4 Posición del eje neutro Se utiliza la ecuación (5.215) para determinar la posición del eje neutro, 2max A 2 440 0.005161 0.3027 m yc amax a h b 30 0.5 Verificación Nh max 30 103 0.3027 0.5 h yc b 2270.25 kN 2 2 508 Momento Flector Na amax Aa 440 103 0.005161 2270.84kN 1 1 yz h yG h yc 1.96 0.3027 1.8591 m 3 3 M Na y z 2270.84 1.8591 4.22 103 kN m Ejemplo 5-33: La sección mixta de la figura corresponde a una barra de 15.00m de luz y se fabrica en dos etapas que luego se detallan (Etapa 1 y Etapa 2). Determinar las tensiones en ambos materiales al final del proceso de fabricación. Despreciar en el cálculo de la etapa de fabricación el peso propio del acero y de la capa de hormigón. Una vez fabricada la barra, determinar la magnitud de la carga P, concentrada en el centro de la luz, para que el estado de tensión sea constante en el alma de acero de la barra (Etapa 3). La relación entre los módulos elásticos de ambos materiales es m Ea / Eh 7 , max 50 MPa y max 5MPa . a h Etapa 1) Se coloca la viga de acero sobre dos apoyos y se la carga con dos fuerzas F tal como indica la figura. 509 S. Oller, L. G. Nallim Etapa 2) Seguidamente se coloca sobre AA' la capa de hormigón y una vez que éste ha endurecido, se retiran las fuerzas F . a) Cálculo del centro mecánico y momentos de inercia mecánicos Ah 0.20 0.80 0.16 m2 Aa 2 0.20 0.01 0.38 0.01 0.0078 m2 A Ah Aa m Eh 0.16 0.0078 7 Eh 0.2146 Eh yCM yCM Eh Ah yh Ea Aa1 y1a Aa2 ya2 Aa3 ya3 Ah yh m Aa1 y1a Aa2 ya2 Aa3 ya3 Eh Ah Ea Aa Ah mAa 0.16 0.5 7 0.002 0.005 0.0038 0.2 0.002 0.395 0.4237 m 0.16 0.0078 7 510 Momento Flector Ih0 0.80 0.203 5.333 104 m4 12 0.2 0.013 0.01 0.383 Ia0 0.002 0.1952 2 1.9786 104 m4 12 12 2 ICM 5.333 104 0.16 0.1763 0.1 2 1.9786 104 0.0078 0.4237 0.2 7 Eh 1.4648 103 5.88185 104 7 Eh 5.5821103 Eh b) Aplicación de las fuerzas F soportadas solamente por el acero Se aplican las dos cargas, como se muestra en la siguiente figura, las que se soportan solamente con el acero. Se denotará como estado I a los resultados correspondientes a esta etapa. 511 S. Oller, L. G. Nallim F I 2 0.4 M1 ha 0 F I 2021.6 4 Ia 2 1.9786 10 2 I a 50 106 N / m2 aI F 24732.5 N 2021.6 2021.6 1/ m2 I c) Sección compuesta (sin peso del hormigón) Se resuelve ahora la segunda etapa con el estado de carga que se muestra en la siguiente figura. Se denotará como estado II a los resultados correspondientes a esta etapa. II sup h F II 2 0.1763 M12 Eh max x2 F II 63.166 3 ICM 5.5821 10 F F II inf h II sup a II inf a 2 0.2 0.1763 II II 5.5821103 F II 8.4914 2 7 0.2 0.1763 F 3 5.582110 II 2 7 0.4237 3 5.582110 F II 59.44 F II 1062.65 d) Sección compuesta más estado previo de carga El estado c) actúa sobre el estado b), entonces teniendo en cuenta que F F I F II , el estado ( III ) resultante será, III sup h hII sup F 63.166 512 Momento Flector hII III inf h III sup a III inf a aII sup inf aI sup aII aI inf inf F 8.4914 F 59.44 2021.6 F 2081.04 F 1062.65 2021.6 F 958.95 Suponiendo 50 106 N / m2 F 50 106 24026 N 2081.04 aIII 50 106 N / m2 F 50 106 52140 N 958.95 III sup a inf Para que no supere el valor de 50MPa se debe elegir la menor de estas fuerzas, o sea la que corresponde a aIII sup F 24026 N Ahora se verifica que la tensión en el hormigón no supere max 5MPa , h III sup h hII sup 24026 63.166 1.5176 MPa 5 MPa Para este caso el diagrama de tensiones resulta Etapa 3) Estado tensional en la barra mixta sometida a una carga concentrada de magnitud P en el centro de la luz, tal como indica la figura. a) Carga vertical en el centro de la luz Se hace ahora el análisis del caso en que se aplica una carga concentrada P en el centro de la luz de la viga de sección compuesta. 513 S. Oller, L. G. Nallim M1P IV sup h IV inf h IV sup a P 3.75 0.1763 P 118.44 5.5821 103 P 3.75 0.20 0.1763 P 15.921 P 7.5 P 3.75 2 5.5821 103 P 3.75 7 0.20 0.1763 P 111.45 5.5821 103 IV inf a P 3.75 7 0.4237 P 1992.5 5.5821 103 b) Carga vertical en el centro de la luz más estados previos en la viga Ahora se obtiene el valor de P para que la tensión sea constante en el alma de la viga de acero, hIII hIV F 63.166 P 1184 hIII hIV F 8.4914 P 15.921 sup h inf h sup a inf a sup sup inf aIII inf aIV sup F 2081.04 P 111.45 aIII aIV inf F 958.95 P 1992.5 sup inf Para hacer constante la tensión en el alma de la viga de acero, se tiene, sup a P a inf F 2081.04 958.95 F 1.6164 1992.5 111.45 514 Momento Flector P 24026 1.6164 38835.7 N El estado de tensión resultante se muestra en la siguiente figura Ejemplo 5-34: En la figura se muestra una barra de hormigón armado cuya sección se encuentra sometida a flexión simple. El comportamiento tensional a compresión del hormigón responde a una ley constitutiva parabólica dada por la siguiente expresión max h , M y el ancho b de la sección transversal, x2 2 . Dados max h x2 encontrar la magnitud mínima para la altura h de la sección transversal. h Na a Aa Nh x 0 bh d 2max h bx 3 (1) 515 S. Oller, L. G. Nallim xG = x 0 bh d Nh M Nb z Na z ; 3x 8 Nb Na (2) y M M N N Siendo un coeficiente de seguridad de mayoración de las acciones a establecerse según normativas. De la ecuación (1) se obtiene la posición de la fibra neutra. M 3 Nh 3 z x 2 hmax b 2 hmax b xz 3M 2hmax b Siendo z h xG se reescribe la anterior de la siguiente forma. 3M 3 x h xG x h x max 8 2h b Resultando de ésta última la siguiente ecuación cuadrática en la posición x del eje neutro. 3M 3 x h x2 maxh 0 8 2h b 2 16 M 8 8 x h h max 3 3 h b 4M 8 x2 h x maxh h b 3 2 16 M x 8 8 kx max 2 h 3 3 h bh Anulando el discriminante de la raíz resulta la altura mínima necesaria para equilibrar la sección 2 hmin 16 M 8 max 2 3 h b h hmin 9 16 M 9 M max 4 hmax b h b 64 3 Además, teniendo en cuenta que z h xG h x , la sección transversal de 8 acero necesaria para equilibrar la sección transversal, resulta 516 Momento Flector Aa = Na M M a z a 3 h 1 kx a 8 5.9 Efecto de la temperatura en un material compuesto con compatibilidad Sea la barra de la Figura 5.41, compuesta de hormigón con área Ah y una barra de acero de área Aa ubicada en el centro mecánico de la pieza, ambos materiales con adherencia plena entre sí (condición de compatibilidad)5. La barra se encuentra sometida a cambios de temperatura diferentes en cada material, manteniendo sus magnitudes en cualquier sección de la longitud de la barra. Se utiliza este sistema estructural como introducción conceptual al estudio del efecto térmico en materiales compuestos en problemas más complejos (apartados 5.9.1 y 5.9.2). Figura 5.41 – Barra de hormigón armado con armadura centrada sometida a un cambio de temperatura. a) Condición de equilibrio N 0 dA Aa Ea total a ta Ah Eh total h th a h A (5.221) 5 En este caso, al estar la barra ubicada en el centro mecánico, se producen sólo desplazamientos axiales y la curvatura del eje de la pieza resulta nula. 517 S. Oller, L. G. Nallim donde los sub-índices a y h denotan al acero y al hormigón respectivamente; siendo E el módulo elástico, el coeficiente de dilatación térmica y t el cambio de temperatura. b) Condición de compatibilidad de deformaciones total total total a h (5.222) Sustituyendo la ecuación (5.221) en (5.222), se obtiene, 0 total Aa Ea Ah Eh Aa Ea a ta Ah Eh h th (5.223) Despejando, se obtiene la deformación total total Aa Ea a ta Ah Eh h th Aa Ea Ah Eh (5.224) Las tensiones en los materiales: acero y hormigón resultan, total a Ea a ta total h Eh h th (5.225) Na a Aa Nh h Ah (5.226) Verificación Ejemplo 5-35: Dada una barra de hormigón armado de longitud λ 2m , con una armadura ubicada en el centro mecánico de la pieza, determinar el desplazamiento sufrido por la barra cuando se produce una disminución de temperatura de 20 ºC en el hormigón, juntamente a un incremento de temperatura de 30ºC en el acero. Obtener las tensiones y las fuerzas interiores que se desarrollan en cada material. Tener en cuenta los siguientes datos: Eh 20 GPa ; Ea 200 GPa h 1105 1 1 ; a 2 105 ºC ºC th 20º C ; ta 30º C 518 Momento Flector Ah 0.2 0.2 0.04 m2 ; Aa 0.0002 m2 Deformación total total Aa Ea a ta Ah Eh h th Aa Ea Ah Eh hormigón acero 5 5 0.0002 200 2 10 30 0.04 20 110 20 0.0002 200 0.04 20 total 1.619 10 4 Desplazamiento total del compuesto u total totalλ 1.619 10 4 2 0.000323 m Tensiones en cada material a Ea total a ta 200 1.619 104 2 105 30 0.1524GPa 152.4MPa h Eh total h th 20 1.619 104 1105 20 0.000762GPa 0.762MPa Esfuerzos normales en cada material Na a Aa 152.4 0.0002 0.03048MN Nh h Ah 0.762 0.04 0.03048MN Nota: Si el acero estuviese sólo, las deformaciones y desplazamientos provocados por el cambio de temperatura serían respectivamente, at a ta 2 10 5 30 6 10 4 ua atλ 6 104 2 0.0012 m Si el hormigón estuviese sólo, las deformaciones y desplazamientos provocados por el cambio de temperatura serían respectivamente, h t h th 1105 20 2 104 uh htλ 2 104 2 0.0004 m 519 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 5-36: Resolver el ejemplo anterior tomando el área neta de la sección de hormigón, es decir descontando el área de acero. Deformación total Aa Ea a ta AT Aa Eh h th total Aa Ea AT Aa Eh , con Aa m a ta AT Aa Eh h th Aa m AT Aa m Ea y AT b h Eh Reordenando resulta total AT h th Aa m a ta h th AT m 1 Aa Esta última expresión tiene en cuenta el área neta del hormigón. Considerando los datos del ejemplo, resulta m Ea Eh 10 , y la deformación específica total está dada por total 0.04 1 105 20 0.0002 10 2 105 30 1105 20 0.04 10 1 0.0002 Tensiones en cada material 1.617 104 a 200 1.617 104 2 105 30 0.1523GPa 152.3MPa h 20 1.617 104 1105 20 0.000766GPa 0.766MPa Esfuerzos normales en cada material Na a Aa 152.3 0.0002 0.03047 MN Nh h AT Aa 0.766 0.04 0.0002 0.03048MN 520 Momento Flector 5.9.1 Barras mixtas de distintos materiales sometidas a variación de temperatura Sea la barra de la Figura 5.42, de longitud λ, constituida por distintos materiales M1 , M 2 ,…, Mi y sometida a un gradiente térmico variable a lo largo de la sección según el eje x2 , es decir ti x2 . Figura 5.42 – Barra de distintos materiales sometida a un gradiente térmico. La deformación total resulta de la suma de la deformación mecánica ( mec ) y la deformación térmica ( term ). Asimismo, la misma puede escribirse como la superposición de una deformación constante en todos los materiales ( N ) y una deformación provocada por la curvatura ( M ) (ver Figura 5.42). Esto es, total x2 N M x2 i x2 i ti x2 i 1,..., nº Ei term (5.227) imec x2 siendo n º el número de materiales diferentes presentes en la sección transversal. La deformación por flexión M está dada por, M x2 x2 donde 1/ es la curvatura. Entonces, la tensión en el material i ésimo resulta, (5.228) 521 S. Oller, L. G. Nallim i x2 Ei N M x2 i ti x2 i 1,..., nº (5.229) a) Condición de equilibrio axial N 0 i dA Ei N M x2 i ti x2 dA i Ai Ai i (5.230) Reemplazando la ecuación (5.228) en la ecuación (5.230) se obtiene x 0 Ei NdA 2 dA i ti x2 dA Ai Ai i Ai (5.231) Teniendo en cuenta que la deformación N y la curvatura 1/ son constantes en todos los materiales y operando, resulta 1 0 Ei N Ai S1i i ti x2 dA Ai i (5.232) b) Condición de equilibrio de momentos M1 0 i x2 dA Ei N M x2 i ti x2 x2 dA i Ai i Ai (5.233) Reemplazando la ecuación (5.228) en la ecuación (5.233) se obtiene x 0 Ei N x2 dA 2 x2 dA i ti x2 x2 dA Ai Ai i Ai (5.234) Teniendo en cuenta que N cte , 1 / cte y operando, resulta 1 0 Ei N S1i I1i i ti x2 x2 dA A i i (5.235) Las ecuaciones (5.232) y (5.235) constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: N y 1/ . Resolviendo este sistema se obtienen las expresiones para la parte de la deformación total que es constante en todos los materiales de la sección ( N ) y la que varía linealmente con la distancia x2 ( M ). Resolviendo el sistema se obtiene, 522 Momento Flector i i Ei I1 Ei i Ai ti x2 dA Ei S1 Ei i Ai ti x2 x2 dA i i i N i 2 i i Ei I1 Ei Ai Ei S1 i i i (5.236) Ei i ti x2 x2 dA Ei Ai Ei i ti x2 dA Ei S1i Ai Ai 1 i i i i 2 (5.237) i i E I E A E S i 1 i i i 1 i i i En el caso particular que ti x2 sea constante en cada material, las ecuaciones (5.236) y (5.237) resultan, respectivamente, i i i Ei I1 Ei i ti Ai Ei S1 Ei i ti S1 i i i N i 2 i i Ei I1 Ei Ai Ei S1 i i i (5.238) Ei i ti S1i Ei Ai Ei i ti Ai Ei S1i 1 i i i i 2 i i Ei I1 Ei Ai Ei S1 i i i (5.239) Conociendo la deformación N y la curvatura 1 , la tensión en el material i ésimo se obtiene utilizando la ecuación (5.229), x i x2 Ei N 2 iti x2 (5.240) Mientras que la deformación total, de acuerdo a la ecuación (5.227), está dada por x total x2 N 2 (5.241) 523 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 5-37: La barra compuesta de acero y hormigón que se muestra en la figura está sometida a una variación de temperatura uniforme t , obtener la deformación axil, la curvatura y el estado tensional final. Deformación axil (constante) t Eh I1h Ea I1a Eh h Ah Ea a Aa Eh S1h Ea S1a Eh h S1h Ea a S1a S N 2 con S Eh I1h Ea I1a Eh Ah Ea Aa Eh S1h Ea S1a Curvatura h a h a 1 t Eh h S1 Ea a S1 Eh Ah Ea Aa Eh h Ah Ea a Aa Eh S1 Ea S1 S Deformación por flexión t Eh h S1h Ea a S1a Eh Ah Ea Aa Eh h Ah Ea a Aa Eh S1h Ea S1a x2 x2 S M Tensiones x j x2 E j N 2 t j para j a, h Nota: Los momentos de inercia se calculan utilizando el teorema de Steiner y los momentos estáticos se obtienen mediante las siguientes expresiones 524 Momento Flector Sh Ah dh Sa Aa da 5.9.2 Problema termo-elástico integrado en vigas de Bernoulli Material compuesto con compatibilidad de deformaciones Sea la viga mostrada en la Figura 5.43, constituida por nc láminas con compatibilidad de deformaciones y sometida al gradiente térmico indicado en la misma figura. Figura 5.43 – Barra de material compuesto sometida a un gradiente térmico t x2 . La temperatura a la altura del eje mecánico está dada por tCM tinf Debe notarse que si x2CM tsup tinf h x2CM t t h tCM sup inf 2 2 (5.242) 525 S. Oller, L. G. Nallim Luego, la ecuación que define la variación de la temperatura a lo largo del eje x2 está dada por, tsup tCM t x2 tCM x2 tCM x2 h x2CM (5.243) La deformación en un punto cualquiera de la sección está dada por total x2 i i x2 it x2 i x2 total x2 it x2 Ei i Ei term (5.244) mec La condición de equilibrio axial de la pieza está dada por nc nc i 1 i 1 nc Fx3 N ext i dA Eiitotal x2 dA Eiit x2 dA Ai i 1 Ai (5.245) La condición de equilibrio de momentos de la pieza está dada por nc nc i 1 i 1 nc x2 x2dA Eiit x2 x2dA M x1 M ext i x2dA Eitotal i Ai i 1 Ai (5.246) Sustituyendo la función de temperatura dada por las ecuación (5.243) en las ecuaciones (5.245) y (5.246) se obtiene, respectivamente, nc nc nc N ext Ei itotal x2 dA Ei i tCM dA Ei x2 dA Ai Ai i 1 i 1 i 1 Ai (5.247) nc nc nc M ext Ei itotal x2 x2 dA Ei i tCM x2 dA Ei i x22 dA Ai Ai i 1 i 1 i 1 Ai (5.248) Por otra parte la deformación puede descomponerse como la suma de una de extensión y otra de flexión, esto es total x2 Ni Mi x2 Ni i x2 donde Ni N cte y cte (5.249) 526 Momento Flector Sustituyendo la ecuación (5.249) en la ecuación (5.247) se obtiene nc nc N ext Ei NdA Ei Ai i 1 Ai i 1 nc nc x2 dA Ei itCM dA Ei i x2 dA Ai Ai i 1 i 1 (5.250) Sustituyendo la ecuación (5.249) en la ecuación (5.248) se obtiene M ext nc nc nc x22 Ei x2 dA Ei dA Ei i tCM x2 dA Ai Ai Ai i 1 i 1 i 1 N nc (5.251) Ei i x dA i 1 2 2 Ai Operando, de la ecuación (5.250) se obtiene, nc N ext N Ei dA Ai i 1 1 nc Ei x2 dA i 1 Ai nc (5.252) nc tCM Ei i dA Ei i x2 dA Ai i 1 Ai i 1 Operando, de la ecuación (5.251) se obtiene, nc M ext N Ei x2 dA Ai i 1 1 nc Ei x22 dA Ai i 1 nc nc (5.253) tCM Ei i x2 dA Ei i x dA Ai i 1 2 2 Ai i 1 Considerando la definición de momento estático y momento de inercia, las ecuaciones (5.252) y (5.253) resultan N M ext ext nc 1 Ei Ai i 1 N N nc E S i 1 i i 1 0 nc 0 E S i 1 i i 1 nc nc i 1 i 1 tCM Ei i Ai Ei S 1 nc Ei I1i tCM i 1 nc E S i 1 i i i 1 0 i i 1 nc 0 Ei i I1i i 1 (5.254) (5.255) 527 S. Oller, L. G. Nallim De las ecuaciones (5.254) y (5.255) se obtienen las deformaciones de extensión y de flexión, es decir, N ext nc tCM Ei i Ai i 1 N nc E A i 1 i (5.256) i nc ext M Ei i I1i 1 i 1 x2 M x2 nc i Ei I1 i 1 (5.257) Reemplazando (5.256) y (5.257) en la ecuación (5.249) se obtiene, nc nc N ext tCM Ei i Ai M ext Ei i I1i i 1 i 1 x2 total x2 N Mi x2 i nc nc i Ei Ai Ei I1 i 1 i 1 (5.258) La tensión en la lámina j ésima del material compuesto se obtiene reemplazando la deformación total dada por la ecuación (5.258) en la ecuación (5.244), nc nc tCM Ei i Ai Ei i I1i N ext M ext i 1 i 1 t E x j x2 E j nc j CM j 2 j nc n nc c (5.259) i i E A E A E I E I i i i 1 i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 Nótese que la curvatura provocada por el problema térmico es nc 1 térmico d térmico dx3 Ei i I1i i 1 nc E I i 1 (5.260) i i 1 Para aplicar el concepto anterior es imprescindible tener en cuenta la condición de borde del problema. 528 Momento Flector Ejemplo 5-38: La figura presenta la sección de una barra compuesta por dos materiales, sometida a un cambio de temperatura único ( tm ) y en la que están restringidas las deformaciones. Obtener el estado tensional final. Deformación en las fibras superiores e inferiores 0 N M x2sup 0 N M x2inf En este caso al ser tm cte , resulta 0 , reemplazando en la ecuación (5.258) se obtiene, para x2sup y x2inf respectivamente, 2 N ext tm Ei i Ai ext M i 1 x2sup 0 2 2 Ei Ai Ei I1i i 1 i 1 2 N ext tm Ei i Ai ext M i 1 x2inf 0 2 2 Ei Ai Ei I1i i 1 i 1 Escribiendo en forma matricial se obtiene 529 S. Oller, L. G. Nallim 2 0 0 N ext tm Ei i Ai i 1 2 E A i 1 i i 1 1 x2sup inf 2 i x2 E I M ext i 1 i 1 De este sistema de ecuaciones se obtienen N ext y M ext que se oponen a la deformación de la viga. Finalmente, sustituyendo en la ecuación (5.259) se obtiene el estado tensional final. 5.10 Flexión elastoplástica En el análisis de la flexión que se ha realizado hasta aquí se ha supuesto que el material de las barras obedece a la ley de Hooke. Se estudiará ahora el caso de flexión elastoplástica de barras, es decir cuando el material se deforma más allá de la región lineal. En este análisis se supone que el material presenta un comportamiento elasto-plástico perfecto, es decir que se idealiza la curva tensión –deformación como se muestra en la Figura 5.44, despreciando los efectos del endurecimiento del material. Esto último, al generar un incremento de la resistencia del material, hace que considerar un comportamiento elasto-plástico perfecto esté del lado de la seguridad. Figura 5.44 – Curva idealizada de un material elasto-plástico perfecto En los desarrollos que siguen se considera que el módulo elástico E y la tensión de fluencia y son de igual magnitud en tracción y compresión; y que las secciones se mantienen planas luego de la deformación lo que puede verificarse experimentalmente. 530 Momento Flector 5.10.1 Sección con dos ejes de simetría Por simplicidad se comenzará analizando el caso de flexión pura y recta, en secciones con dos ejes de simetría (ver Figura 5.45). Mientras el momento flector M1 M es lo suficientemente pequeño, la sección se mantiene elástica y las tensiones ( 3 y ) pueden calcularse con la expresión (Figura 5.45 a) M x2 I1 (5.261) Figura 5.45 – Tensiones por flexión, sección con dos ejes de simetría, producidas por: a) Momento elástico, b) Momento de fluencia, c) Momento de plastificación parcial, d) Momento de plastificación total. Si se aumenta el valor del momento flector M hasta que las deformaciones en las fibras más alejadas alcancen el valor de 3 y , las tensiones en esas fibras llegarán al valor de la tensión de fluencia y (ver Figura 5.45 b). El momento flector que corresponde a este caso se denomina momento de fluencia y se lo designa como My , y está dado por y M y x2max I1 My h I1 2 2 y I1 My h (5.262) Si ahora se aumenta nuevamente el valor del momento flector por encima del valor del momento de fluencia, la deformación crece de manera que existen fibras en las que a una distancia x2 x2y se verifica que y , manteniéndose en estas fibras la tensión constante e igual a y (ver Figura 5.45 c). En este caso se dice que la sección se encuentra parcialmente plastificada, ya que posee una zona plastifica- 531 S. Oller, L. G. Nallim da ( y ) y un núcleo elástico de altura 2 x2y donde las tensiones se encuentran por debajo de la tensión de fluencia ( y ). El momento flector para este caso se denomina momento de plastificación parcial ( Ma ). Finalmente, es posible incrementar aún más el momento flector de manera que el núcleo elástico se reduce hasta una magnitud despreciable ( x2y 0 ) y la sección de la viga se encuentra totalmente plastificada (ver Figura 5.45d). Se dice que en este caso la sección ha alcanzado su capacidad resistente última por flexión y el valor del momento flector se denomina momento plástico ( Mp ). 5.10.1.1 Determinación del momento de plastificación parcial En esta sección se determina el momento Ma que produce en la sección transversal un núcleo elástico de altura 2 x2y . Para este análisis se retoma la Figura 5.45 c) y se la reproduce con mayor detalle en la Figura 5.46. Figura 5.46 –Momento de plastificación parcial en secciones con dos ejes de simetría a) Relaciones geométricas. Se cumple la hipótesis de conservación de secciones planas, por lo que 1 d ; du3 x2 d dx3 b) Relaciones de compatibilidad. (5.263) 532 Momento Flector 3 du3 d x x2 2 dx3 dx3 (5.264) c) Ley constitutiva. x2 3 E E y y (5.265) y d) Ecuaciones de equilibrio. Ma x2 dA A A dA x2 b x2 dx2 (5.266) Teniendo en cuenta que la sección es simétrica respeto del eje x1 , la integral de la ecuación (5.266) puede realizarse en la mitad de la sección y multiplicar el resultado por dos, así se tiene, zona plástica zona elástica h x2y Ma 2 x2b x2 dx2 2y x2b x2 dx2 x2 0 (5.267) Por otra parte, la dimensión x2y del núcleo elástico puede determinarse en función de la curvatura mediante la siguiente expresión x2y y (5.268) Reemplazando las ecuaciones (5.264) y (5.268) en la ecuación (5.267) y teniendo en cuenta que en la zona plástica y se obtiene, h y Ex22 Ma 2 b x2 dx2 2 y y x2b x2 dx2 0 (5.269) 533 S. Oller, L. G. Nallim S1 I1e h E y Ma 2 x22b x2 dx2 y 2 y x2b x2 dx2 0 (5.270) E Ma 2 I1e y S1p (5.271) p donde I1e es el momento de inercia de la mitad del núcleo elástico ( Ae ) respecto del eje neutro ( x1 ) y S1p es el momento estático respecto del eje x1 de una de las zonas plásticas ( A p ) (ver Figura 5.47). Figura 5.47 –Sección parcialmente plastificada La curvatura en la ecuación (5.278) se puede escribir, a partir de la ecuación (5.264) como, x2y y E E x2y y (5.272) Sustituyendo esta última ecuación (ec. (5.272)) en la ecuación (5.271) se obtiene la siguiente expresión para el momento de plastificación parcial, 534 Momento Flector E y e e y p I S1 2 y I1 y S1p Ma 2 y 1 E x2 x2 y (5.273) 5.10.1.2 Determinación del momento plástico Como se mencionó anteriormente, el momento plástico es aquel que hace que en la sección transversal las tensiones sean iguales a la tensión de fluencia y para el cálculo se adopta el diagrama ideal mostrado en la Figura 5.45 d. El valor de Mp puede deducirse fácilmente como un caso límite del momento Ma cuando el núcleo elástico es nulo, es decir x2y 0 en la ecuación (5.267), p S1 zona plástica 0 zona elástica h h 0 M p 2 x2b x2 dx2 2 x2b x2 dx2 2 y 2 x2b x2 dx2 0 0 0 M p 2 y S1p (5.274) 5.10.1.3 Particularización para una sección rectangular Sea una sección rectangular de altura h y ancho b , el momento de plastificación parcial puede obtenerse empleando la ecuación (5.270) o la ecuación (5.273). Tomando como referencia la sección representada en la Figura 5.48, se calculan las características geométricas necesarias. Es decir, e 1 I = b x2y 3 3 ; h S1p b x2y d 2 (5.275) donde d es la distancia del centro geométrico de la zona plástica Ap al eje neutro x1 y está dada por (ver Figura 5.48), 1h 1h 1h d x2y x2y x2y 2 x2y x2y 22 2 2 22 (5.276) 535 S. Oller, L. G. Nallim Sustituyendo la distancia d dada por la ecuación (5.276) en la ecuación (5.275) se obtiene para el momento estático S1p la siguiente expresión, 2 2 1 h h y 1h y S b x2 x2 b x2y 2 22 2 2 p 1 (5.277) Reemplazando I1e dado por (5.275) y S1p dado por (5.277) en la ecuación (5.273), se obtiene I1 S1p y 3 y h 2 2 b x2 y 1 Ma 2 y b x2y x 3 2 2 2 2 y 3 2 x 1 h y 2 y 2 2 b y x2 x2 3 2 2 e (5.278) Resultando, x y 2 h2 2 y Ma 2 b 6 8 (5.279) El momento de fluencia puede obtenerse empleando la ecuación (5.262) My 2 y I1 2 y b h3 b h2 y h h12 6 (5.280) La misma expresión puede obtenerse como un caso límite de la ecuación (5.279) cuando la zona plástica es nula, es decir tomando x2y h / 2 . Reemplazando se obtiene, 536 Momento Flector h 2 2 h2 h2 h bh 2 2 M y 2 y b 2 y 6 8 6 24 8 (5.281) Figura 5.48 –Sección rectangular parcialmente plastificada El momento plástico para la sección rectangular puede obtenerse a través de la ecuación (5.279) haciendo x2y 0 , es decir 0 2 h2 h2 bh 2 M p 2 b 2 y b y 6 8 8 4 y (5.282) O bien utilizando la ecuación (5.274), reemplazando en ésta el valor del momento estático de la mitad del área plastificada Ap b h / 2 con respecto al eje neutro x1 , esto es S1p b hh h2 b 24 8 M p 2 y S1p 2 y bh 2 bh 2 y 8 4 (5.283) Ejemplo 5-39: La viga de sección rectangular ( h 16.51cm y b 5.5cm ) representada en la figura, está simplemente apoyada y se encuentra sometida a la acción de una carga concentrada en el centro de la luz. Si el material de la viga posee un comportamiento elasto-plástico perfecto con y 300MPa , obtener 537 S. Oller, L. G. Nallim a) La fuerza al inicio de la plastificación (fuerza de fluencia) b) La fuerza máxima que puede aplicarse (fuerza plástica) c) La zona, a lo largo de la luz de la viga, que trabaja completamente en régimen elástico, cuando actúa la fuerza plástica. d) La representación de las zonas elásticas y plásticas de la viga, a lo largo de la luz y de la altura de la sección en el caso c). Momento flector máximo El momento máximo, por simetría, se da en el centro de la luz, M P 4 a) Fuerza de fluencia Py . Se utiliza la ecuación (5.280) (o (5.281)) My Py y Py b h2 y 4 6 b h2 4 2 y b h2 2 300 0.055 0.16512 0.03MN 6 3 3 10 El momento de fluencia vale, 538 Momento Flector My Py 0.03 10 0.075MN m 4 4 b) Fuerza plástica Pp . Se utiliza la ecuación (5.282) (o (5.283)) Mp Pp y Pp 4 y bh 2 4 bh 2 300 0.055 0.16512 0.045MN 10 El momento plástico vale, Mp Pp 0.045 10 0.1125MN m 4 4 c) Zona elástica cuando actúa Pp 0.045MN En este caso las reacciones de vínculo valen RA RB Pp 0.045 0.0225MN 2 2 Teniendo en cuenta que el problema es simétrico, se analizará la mitad izquierda de la viga. Las secciones transversales permanecerán elásticas mientras el momento flector actuante en éstas no supere al momento de fluencia. My 0.075MN m RA x3y x3y 0.0225 3.33m 0.075 Es decir que el tramo de viga comprendido entre 0 x3 3.33m permenecerá completamente en régimen elástico cunado actúe la carga Pp . Por simetría, lo mismo ocurre para el tramo 6.66 m x3 10m . d) Zonas elásticas y plásticas cuando actúa Pp 0.045MN En el tramo 0 x3 3.33m las secciones de la viga se encuentran en régimen elástico. En la sección ubicada en x3 3.33m las fibras más alejadas de la sección alcanzan la tensión de fluencia, actuando en esta sección el momento My 0.075MN m . 539 S. Oller, L. G. Nallim La sección ubicada en x3 / 2 5m se encuentra totalmente plastificada, actuando allí el momento plástico Mp 0.1125MN m . En el tramo de viga 3.33m x3 5m las secciones se encuentran parcialmente plastificadas. La altura del núcleo elástico disminuye de manera continua desde la sección ubicada en x3 3.33m donde x2y h / 2 hasta x3 / 2 5m donde x2y 0 . Así, en el tramo 3.33m x3 5m actúa un momento de plastificación parcial dado por la ecuación (5.279), es decir, x y 2 h2 2 Ma RA x3 2 b 6 8 y x y 2 h2 2 x3 2 b 2 6 8 Pp y Despejando de la ecuación anterior x2y se obtiene, h2 P x 0.16512 0.045 x3 x2y 6 p y 3 6 4 300 0.055 8 8 4 b x2y 0.02044 0.00409 x3 a h / 2 x2y 540 Momento Flector 5.11 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo Flexión Pura Recta 1 d dx3 Relación geométrica Relación de compatibilidad 3 x2 Ley constitutiva elástica Rendimiento sección Ecuación Bernoulli de elástica du3 ( x2 ) d x2 x2 dx3 dx3 3 E 3 Equilibrio y curvatura Ecuación de Navier una de Energía de deformación por flexión du3 ( x2 ) x2 d ; M1 x2 ; I1 (5.10) E x2 (5.13) 1 M1 d = EI1 dx3 max (5.7); (5.9) (5.20) M1 M 1 I1 W1 max x2 W1 2 W1 ideal W1 Ah (5.21) (5.22) (5.29) 1 d M1 d 2u = 22 ds EI1 dx3 (5.32) (5.42) M12 dx3 M1 d λ 2 EI λ 1 Wc (5.50) Flexión Pura Esviada Estad de tensión en un punto Ecuación del eje neutro Ecuación de la curvatura x x M 2 cos 1 sen I2 I1 (5.55) I x2n x1n 1 tg I2 (5.58) 2 1 d M cos sen dx3 E I1 I 2 2 (5.64) 541 S. Oller, L. G. Nallim Estado tensional referido al eje neutro Ecuación de la curvatura referida al eje neutro Flexión Recta M 3 M * I nn I nn cos 1 d M I nn * * con I nn dx3 EI nn cos (5.73) (5.74) Compuesta Esta de tensión en un punto N M N e 1 x2 1 22 x2 A I1 A i1 N M Ecuación del eje neutro x2n Límite del núcleo central e2lim (5.94) (5.96) i12 e2 (5.98) i12 x2max (5.100) Flexión Compuesta Esviada Estado de tensión en un punto M e N M1 N e x2 2 x1 1 22 x2 21 x1 A I1 I2 A i1 i2 Ecuación del eje neutro i2 e i2 x2n 1 1 12 x1n e2 e2 i2 (5.103) (5.104) (5.106) c Ecuación central del núcleo x2n x1n e 1 2 0 i12 i2 1 e2 (5.109) Flexión Compuesta en Materiales Compuestos Para Materiales con Compatibilidad de deformación. N N N E A i 1 i i ; M M N E I i 1 i i 1 x2 (5.140) 542 Momento Flector i N Estado de deformación y tensión Ei Ei N E j 1 i M Ei N h x 2 M h Estado de deformación y tensión N E E Eh M h M h j j 1 N h h N a M x2 I ; x2 N a (5.146) M (5.153) a Eh I1h x2 Ea Aa (5.147) Ah Ea Aa ea x2 I1h a Na Postesado sobre un material compuesto de base. (5.141) Eh Ah Eh I1h Aj Ea Aa N a Na N E a a Aa ea N h j Ei M j 1 Postesado: Materiales sin Compatibilidad de deformación. N; N N a I1h Na Aa ea (5.154) x2 (5.156) * Nm Na N* * * a Ea Aa E A a a Eh Ah (5.160) M*a (5.168) Na Ea Nm (5.162) , (5.163) x 2 x2 Eh I1h Ea I1a M m Estado de deformación y tensión N *aea* Na* Ea* Na* i Nh Eh Nm (5.169), (5.170) 543 S. Oller, L. G. Nallim E N* a * a N* a i N*a * Aa Ma Ea Mm y Mh Eh Mm Superposición final h Nh hf Nh hf Na Naea Eh N*a Eh N*aea* x x2 2 h h a A I1 h Ea Aa Eh Ah Eh I1 Ea I1 (5.176) a Na Na Ma (5.177) Ea N*a Ea N*a ea* Na x 2 Aa Ea Aa Eh Ah Eh I1h Ea I1a Na* Pretensado con Adherencia N*a Aa* (5.178) N*a * * Ea Aa N* a N m mM (5.181) N * a Ea* Aa* Eh Ah x2 N*aea* x 2 Eh I1h Ea* I1a* * N N* a Ea m * M M* a Ea m y N N* h Eh m * M M* h Eh m (5.184) (5.190) (5.185) (5.186) (5.191) (5.192) 544 Momento Flector M* N M h N* h h Eh m Eh m Eh N*a Eh N*a ea* Eh Ah Ea* Aa* Eh I1h Ea* I1a* x2 M* * N * M *a N* a a Ea m Ea m Superposición de estados tensionales N E A * a E Eh Ah * a * a * a M* h 0 N* h h Eh N*a Eh Ah Ea* Aa* * a h h 1 E E I N e E I (5.194) * * a a * a* a 1 Eh N*a ea* Eh I1h Ea* I1a* (5.193) ea* x2 (5.195) M* *a *a N* a a 0 Estado final de tensiones Ea* N*a Ea* N*a ea* N * e a A Eh Ah Ea* Aa* Eh I1h Ea* I1a* * a * a Ea* Na* (5.196) S. Oller, L. G. Nallim 545 En este Anexo se presentan las Tablas Complementarias con el detalle de las operaciones realizadas en cada celda de aquellas que se utilizan para obtener los resultados que se muestran en los ejemplos del Capítulo 5 de este libro. Para mayor claridad se ordenan y designan a las diferentes tablas con el número del ejemplo al que se hace referencia en el Capítulo 5. 546 Ejemplo 5-6 Anexo – Capítulo 5 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 5-7 547 548 Ejemplo 5-8 Anexo – Capítulo 5 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 5-9 549 550 Ejemplo 5-10 Anexo – Capítulo 5 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 5-11 551 552 Ejemplo 5-13 Anexo – Capítulo 5 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 5-14 553 554 Ejemplo 5-15a Anexo – Capítulo 5 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 5-15b 555 556 Ejemplo 5-16 Ejemplo 5-17 Anexo – Capítulo 5 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 5-22 Ejemplo 5-23a 557 558 Ejemplo 5-23b Anexo – Capítulo 5 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 5-24a 559 560 Ejemplo 5-24b Anexo – Capítulo 5 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 5-25a 561 562 Ejemplo 5-25b Anexo – Capítulo 5 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 5-26 563 564 Ejemplo 5-30 Anexo – Capítulo 5 S. Oller, L. G. Nallim 565 6.1 Introducción El corte es un esfuerzo que puede, o no, coexistir con la flexión, el axil y la torsión, en la sección transversal de una barra cargada. Según su origen, existen dos tipos de esfuerzo de corte en una sección transversal de una pieza estructural: 1. Esfuerzo de Corte Directo, produce un efecto similar a las tijeras y actúa en remaches, tornillos, pasadores, etc., suele estar acompañado de un efecto de aplastamiento (ver Figura 6.1). 2. Esfuerzo de Corte por Flexión, producido en la sección transversal por la variación que sufre el momento flector a lo largo del eje de la pieza y es el que se tratará en este capítulo (ver Figura 6.2). Centrado en el problema que se tratará en este capítulo, se define el Corte por flexión en una sección transversal de una barra estructural al esfuerzo resultante de la integración de las tensiones tangenciales producidas en dicha sección transversal por el cambio sufrido por el momento flector a lo largo de la barra Q dA = dM dx , y cuyo vector representativo está contenido en el mismo A 3 plano de la sección transversal (ver Figura 6.2). 566 Esfuerzo de Corte Figura 6.1 – Corte Directo: a) Efecto del Cizallamiento en un pasador; b) efecto del Corte Directo; c) efecto del aplastamiento. Figura 6.2 – Corte por Flexión: Barra sometida a acciones que producen Corte nulo en la sección transversal m y Corte Q P por efecto de la variación de la Flexión M en la sección transversal n . 567 S. Oller, L. G. Nallim El corte por flexión produce en la sección transversal un alabeo que impide el cumplimiento de la hipótesis de planaridad de las secciones transversales después de la deformación (ver apartado 5.2.1). Para iniciar el estudio del corte por flexión es importante recordar los siguientes conceptos de elasticidad (ver capítulo 2), a) El tensor de tensiones cumple con el principio de Reciprocidad de Tensiones de Cauchy (ver apartado 2.3.3), y por lo tanto es simétrico. Así, las tensiones tangenciales que dan origen al esfuerzo de corte cumplen con la siguiente expresión general: ij ij 0 , i j . b) Un estado de corte puro se puede obtener sobre un plano a 45º cuando se introduce un estado de tensión tracción-compresión en planos ortogonales, es decir, 11 22 12 0 11 12 22 0 1t 0 1 t t 1 0 2 cos(,x1 ) cos / 4 1 2 cos(,x2 ) cos / 4 2 t1 1 2 t 2 2 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 (6.1) 2 2 2 11 2 c) La tensión tangencial producida por el esfuerzo cortante en el borde de una sección transversal es siempre tangente a la curva de dicho borde. Esta 568 Esfuerzo de Corte afirmación se justifica partiendo del supuesto erróneo que las tensiones tangenciales T producidas por el cortante Q se orientan en la dirección de dicho esfuerzo cortante (ver Figura 6.3), pero esta suposición exigiría la existencia de dos componentes de la tensión, una tangencial tangente al borde t y otra normal al borde n (ver Figura 6.3). Sin embargo, esta suposición no puede ser cierta por el principio de reciprocidad de tensiones tangenciales de Cauchy (ver Sección 2.3.3), ya que la tensión tangencial sobre la superficie de la barra debe ser necesariamente nula y por lo tanto su recíproca, la tensión normal al borde, también debe ser nula ( n 0 ). De esta disquisición resulta que la tensión tangencial sólo puede ser tangente al borde T t . Figura 6.3 – Dirección de las tensiones tangenciales en el borde de una sección transversal. d) Existe una relación entre el módulo de elasticidad transversal, o de cortante G , el módulo de elasticidad longitudinal E , y el módulo de Poisson . Para establecer esta relación se estudia a continuación la distorsión que sufre un elemento diferencial del sólido sometido a un estado de corte puro (ver apartado “b” de esta Introducción). 569 S. Oller, L. G. Nallim Figura 6.4 – Distorsión del elemento diferencial de sólido producido por un estado de corte puro. A partir de la Figura 6.4, resultan las siguientes relaciones geométricas, a tan 1 4 a a pero: 11 a a a tan 4 2 a a a ; 22 a a a 22 1 22 resultando: tan 4 2 a a 11 1 11 ; (6.2) Teniendo en cuenta la ley de Hooke Generalizada (Sección 2.5.3), en este caso particular resulta, 570 Esfuerzo de Corte 11 (1 )11 22 11 11 E E E E E (1 )11 22 22 11 11 11 E E E E E 11 (6.3) Sustituyendo esto último en la ecuación (6.2), se obtiene, (1 )11 1 1 22 E tan (1 )11 4 2 1 11 1 E (6.4) Pero, trigonométricamente se puede expresar la tangente de la diferencia de dos ángulos, como tan tan 1 4 2 2 tan 4 2 1 tan tan 1 2 4 2 (6.5) Igualando los resultados obtenidos en las ecuaciones (6.4) y (6.5), se obtiene el ángulo de distorsión en función del estado tensional que se muestra en la Figura 6.4, resultando así la ley constitutiva para un estado de corte puro (ver la sección 2.5.3) 2 (1 ) 11 G 1 E con: G E 2 (1 ) (6.6) 571 S. Oller, L. G. Nallim 6.2 Cinemática producida por el acoplamiento Flexión-Corte en una sección transversal Como se ha visto anteriormente, en el caso de flexión recta que se observa en la Figura 6.2, al actuar un momento flector variable a lo largo del eje de la barra estructural M1 ( x3 ) aparece un esfuerzo cortante que se define como Q2 ( x3 ) = d M1 ( x3 ) dx3 . Análogamente, si se trata de flexión simple esviada (oblicua) actuarán momentos flectores variables M1 ( x3 ) y M2 ( x3 ) , dando lugar a la aparición de esfuerzos cortantes dados por Q2 ( x3 ) = dM1 ( x3 ) dx3 y Q1 ( x3 ) = dM2 ( x3 ) dx3 . De esta manera, se produce en la sección transversal la coexistencia de un estado tensional compuesto por tensiones normales 3 x1 x2 x3 y tensiones tangenciales al plano de la sección 3i x1 x2 x3 3i x1 x2 x3 , tal como se observa en la Figura 6.5. Figura 6.5 – Estado tensional en una sección transversal producido por un momento flector variable a lo largo de la pieza estructural. Para una mayor claridad en el estudio, se analiza primeramente una viga sometida a flexión simple recta, es decir que la pieza estructural está sometida a la acción de M1 x3 M y, por lo tanto, a Q2 Q . En la Figura 6.6 se muestra una proyección en el plano x2 x3 de un tramo de la viga mencionada. Se observa que las tensiones tangenciales x2 , x3 se distribuyen en la sección en forma no unifor- 572 Esfuerzo de Corte me, produciendo deformaciones angulares no uniformes de la forma ( x2 , x3 ) , que conducen al alabeo de la sección transversal, tal como se ( x2 , x3 ) G muestra en la Figura 6.6. Esto hace que el desplazamiento producido por la flexión quede alterado por la acción del desplazamiento producido por el corte. Figura 6.6 – Alabeo de la sección transversal producido por un momento flector variable a lo largo de la pieza estructural, en el plano x2 x3 . En otras palabras, el estado simultáneo de flexión más corte (flexión simple) produce en una sección transversal la superposición de los estados cinemáticos de cada uno de estos efectos. Dicha superposición se resume en la Figura 6.7. En ella se puede ver que el radio de curvatura no es constante, y el giro de la sección 573 S. Oller, L. G. Nallim transversal está afectado por la distorsión debido al alabeo de la sección transversal. Asimismo, el desplazamiento vertical ( v u2 ) resulta de la superposición del desplazamiento producido por la flexión v M más el producido por el corte v Q . Es decir, que el desplazamiento de un punto de una sección transversal respecto de otra ubicada a una distancia ds dx3 resulta, dv dv M dv Q d v M ds m ds M dv m ds (6.7) donde M es el ángulo que gira una sección transversal debido a la acción del momento flector M , y que en este caso depende del movimiento normal al eje de la pieza v y de m que es la deformación angular media producida por el esfuerzo de corte Q . Figura 6.7 – Superposición de la cinemática producida por la flexión y el corte, en el plano x2 x3 . 574 Esfuerzo de Corte El fenómeno de alabeo invalidaría la formulación de flexión de Bernoulli descrita en el Capítulo 5, porque las secciones transversales dejan de ser planas después de la deformación. Sin embargo, en ciertos casos el alabeo de las secciones influye muy poco en la validez de la teoría de Bernoulli. En particular, para el caso en que el esfuerzo de corte es constante a lo largo de la barra ( Q( x3 ) cte ), todas las secciones transversales tendrán el mismo alabeo y, por lo tanto, las distancias relativas entre dos secciones transversales se mantiene constante de la misma manera que ocurre en el caso de la flexión pura y, en tal caso, seguiría valiendo la formulación de Navier-Bernoulli presentada en el Capítulo 5. 6.3 Corte por flexión recta – Fórmula general del corte o fórmula de CollignonJourawski En esta sección se hará el análisis de tensiones tangenciales por corte recto, es decir aquel corte que resulta de la flexión simple recta. A continuación, se deduce la expresión que relaciona la tensión tangencial en una sección transversal de una barra con el corte que la produce. Sea una barra cuya sección transversal se muestra en la Figura 6.8, donde ( x1 , x2 ) conforman un sistema de referencia centroidal principal, en la que actúa una ley de momentos flectores M( x3 ) M1 ( x3 ) cte . Como se puede observar en la mencionada figura, el cambio que sufre el momento flector M1 ( x3 ) a lo largo de un elemento diferencial de barra de longitud dx3 , produce una fuerza axial desequilibrada dN * entre dos secciones transversales contiguas, que sólo es reequilibrada por el esfuerzo de corte d Q3 23 ( x2 ) b ( x2 ) dx3 que resulta de integrar las tensiones tangenciales que actúan a cada altura x2 del eje de la viga. Así, el esfuerzo axial N * resultante en el área A* , comprendida entre x2 x2* x2max (ver Figura 6.8a), se obtiene integrado en dicha área las tensiones normales a la sección transversal 3 ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) , de la siguiente manera 575 S. Oller, L. G. Nallim N * ( x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) dA* A* M1 ( x3 ) * * x2 dA I * 1 A M (x ) M (x ) N ( x3 ) 1 3 x2* dA* 1 3 S1* ( x2 ) I1 A* I1 (6.8) * En forma análoga, para la sección transversal contigua (a una distancia dx3 ), se tiene, N * ( x3 ) dN * M1 ( x3 ) dM1 * S1 ( x2 ) I1 (6.9) De las ecuaciones (6.8) y (6.9) se deduce que el cambio de fuerza axial entre las dos secciones transversales es la diferencia entre las ecuaciones (6.9) y (6.8), dN * dM1 * S1 ( x2 ) I1 (6.10) Figura 6.8 – Equilibrio en un elemento diferencial de barra sometida a flexión. 576 Esfuerzo de Corte Pero esta fuerza axial debe ser equilibrada por un esfuerzo rasante en un plano paralelo al plano medio a la altura x2 , dando lugar a un esfuerzo cortante d Q3 23 ( x2 ) b ( x2 ) dx3 , que por reciprocidad de tensiones aparece alojado en la sección transversal como dQ2 . Luego, teniendo en cuenta la ecuación (6.10), se tiene, d Q3 dN * 23 ( x2 ) b( x2 ) dx3 dM1 * S1 ( x2 ) I1 (6.11) De donde resulta, 23 ( x2 ) 32 ( x2 ) ( x2 ) d M1 S1* ( x2 ) Q2 S1* ( x2 ) dx3 I1 b( x2 ) I1 b( x2 ) (6.12) Siendo esta expresión la denominada fórmula de Collignon (1877)-Jourawski (1844), que permite obtener las tensiones tangenciales en una sección transversal a una altura x2 desde el eje de la pieza. De esta relación se deduce que si x2 está sobre las fibras superiores de la barra se tiene que A* 0 y S1* ( x2max ) 0 ( x2max ) 0 , y si coincide con las fibras inferiores se tiene que el momento estático de la sección respecto a un eje centroidal es nulo S1* ( x2min ) 0 ( x2min ) 0 . De la misma expresión (6.12) se deduce que el máximo momento estático se obtiene en el eje que pasa por el baricentro de la sección x2 0 S1* ( x2 0 ) S1* max , por lo que en el caso de secciones con b( x2 ) cte , con seguridad será máxima la tensión tangencial en x2 0 1. 6.3.1 Tensiones tangenciales por corte recto en secciones macizas 6.3.1.1 Sección rectangular – Tensiones tangenciales por corte A continuación, se presenta a modo de ejemplo la distribución y magnitud de las tensiones tangenciales en una sección rectangular producidas por un corte vertical descendente, es decir, coincidente con el eje principal de inercia x2 de la sección transversal. 1 En algunas secciones con ancho variable b( x2 ) cte , neutro. Como por ejemplo en la sección triangular donde max max no se produce a la altura del eje 6Q / bh se da en x2 h / 6 . 577 S. Oller, L. G. Nallim Primeramente, se hará el cálculo con un sistema de referencia situado en el centroide de la sección y luego se mostrará la simplificación del cálculo para el caso en que se utilice un sistema de referencia local con base en un extremo de la sección transversal. El momento de inercia de la sección rectangular (ver Figura 6.9) respecto al eje principal de inercia x1 está dado por b h3 12 El momento estático de la parte de la sección A* respecto al eje x1 resulta I1 dA * 2 x 2 x2* b dx2* b 2 * S ( x2 ) * 1 x * 2 A* dA * x2max h /2 x2 h /2 x2 2 b h x22 2 2 Figura 6.9 – Distribución de las tensiones tangenciales por corte en una sección transversal rectangular. Sistema de referencia con base en el centro geométrico de la sección. 578 Esfuerzo de Corte Reemplazando estas dos últimas expresiones en la ecuación (6.12), se obtiene Q2 S1* ( x2 ) ( x2 ) I1 b( x2 ) ( x2 ) 6 Q2 b h3 2 b h Q2 x22 2 2 h 2 2 x2 2 b h3 b 12 max 3 Q2 3 Q2 x2 0 2 b h 2 A 0 x max h , x min h 2 2 2 2 (6.13) La tensión tangencial máxima también se suele escribir en función del coeficiente de uniformidad de corte que permite obtener la tensión tangencial máxima como (ver Figura 6.9 y Tabla 6.1), max Q2 Q2 A A , con 2 3 (6.14) donde A A es una sección transversal reducida en , tal que al multiplicarla por la tensión tangencial uniforme de magnitud max da lugar a un corte Q 2 . Esta simplificación permite resolver en forma más simple problemas de análisis estructural. Figura 6.10 – Sistema de referencia local con base en un extremo de la sección. 579 S. Oller, L. G. Nallim Seguidamente se hará la determinación de las tensiones tangenciales en la misma sección rectangular, pero tomando como base un sistema de referencia local (eje ) con origen en un extremo de la sección transversal, tal como se muestra en la Figura 6.10. En este caso, el momento estático del área A* con respecto al eje principal de inercia x1 se expresa en función de la coordenada local de la siguiente manera, 2 h S1* () ( b) b h b 2 2 2 2 Reemplazando esta última expresión en la ecuación (6.12) se obtiene la distribución de las tensiones tangenciales en la sección rectangular, en función de la coordenada , h Q2 ( b) Q S ( ) 2 2 () 2 b h3 I1 b() b 12 max 3 Q2 3 Q2 6 Q2 h b h 2 2 A () b h3 0 0, h * 1 6.3.1.2 (6.15) h 2 Sección circular – Tensiones tangenciales por corte A continuación, se presenta la distribución y magnitud de las tensiones tangenciales en una sección circular producidas por un corte vertical ascendente. El momento de inercia axial de la sección circular de radio R , mostrada en la Figura 6.11, respecto al eje principal está dado por R4 4 Para calcular el momento estático del área A* respecto al eje x1 es conveniente I1 expresar el radio de la sección transversal en función de x2* , 580 Esfuerzo de Corte 2 b( x2* ) * 2 * 2 * 2 R x2 b( x2 ) 2 R x2 2 2 Figura 6.11 – Distribución de las tensiones tangenciales por corte en una sección transversal circular. Sistema de referencia con base en el centroide de la sección. Usando esta última expresión se puede escribir el momento estático de la siguiente manera, * S1* ( x2 ) x * 2 A* S1* ( x2 ) dA* R x2 dA R 2 * x2 b( x2* ) dx2* 2 x2* R 2 x2* dx2* x2 2 3/2 2 2 R x 2 3 Reemplazando esta expresión del momento estático y la del momento de inercia de la sección circular en la ecuación (6.12) se obtiene, 2 3/ 2 2 2 R x2 Q S ( x2 ) 4Q2 3 ( x2 ) 2 4 2 R I1 b( x2 ) 3 R 4 2 R 2 x2 4 4 Q2 max 4 Q2 3 R 2 3 A x2 0 ( x2 ) 0 x max , x min R 2 2 * 1 Q2 R 2 x 2 2 (6.16) 581 S. Oller, L. G. Nallim Para el caso de una sección circular, la tensión tangencial máxima también puede escribirse en función del coeficiente de uniformidad del cortante (ver Tabla 6.1) como, max Q2 Q2 3 , con A A 4 Figura 6.12 – Orientación de las tensiones tangenciales en una sección transversal circular. a) Supuesto erróneo, b) Orientación real, c) Magnitud de las componentes 31 y 32 . Aunque aparentemente el cálculo mostrado en la ecuación (6.16) está bien, hay un error conceptual, porque este resultado supone que las tensiones tangenciales 582 Esfuerzo de Corte ( x2 ) son paralelas a Q 2 y constantes a lo ancho de la base b( x2 ) . Atendiendo el inciso c) de la Introducción (apartado 6.1 c)), las tensiones tangenciales deben ser tangentes al contorno de la sección, es decir que la componente n ( x2 ) 0 , y sólo existe t ( x2 ) (verFigura 6.12 a). Según esto, el cálculo anterior sólo permite obtener la componente vertical (paralela a Q 2 ) de la tensión real (ver Figura 6.12 b). Dicho esto, el cálculo mostrado en la ecuación (6.16) debe reinterpretarse conceptualmente considerando que la tensión tangencial obtenida es, en realidad, la componente vertical de la tensión resultante t que, en virtud del teorema de Cauchy, debe ser tangente al contorno. En otras palabras, la tensión tangencial dada por la ecuación (6.16) es ( x2 ) 32 ( x2 ) , es decir, ( x2 ) 32 ( x2 ) 2 4Q2 2 R x2 4 3 R La distribución y magnitud de las tensiones tangenciales resultantes en cada punto de la sección transversal pueden obtenerse resolviendo las ecuaciones de la Teoría de la Elasticidad. Sin embargo, bajo las hipótesis simplificativas de la Resistencia de Materiales, la componente 31 de la tensión t puede obtenerse siguiendo un procedimiento aproximado, basado en la representación geométrica mostrada en la Figura 6.12. Para cada ordenada x2 existen tres puntos para los cuales la dirección de la tensión tangencial resultante t es conocida; t es tangente al contorno en los puntos A y C ( x1 b x2 / 2 ) y t es paralela al eje x2 en el punto B ( x1 0 ) por razones de simetría. Así, en los puntos mencionados, se conoce el ángulo entre las direcciones de la tensión tangencial resultante t y la tensión obtenida con la fórmula de Collignon-Jourawski 32 , de manera que trigonométricamente es posible obtener la componente horizontal 31 de la siguiente manera: 583 S. Oller, L. G. Nallim Para los puntos A y C tan ( b x2 /2, x2 ) 31 x1 , x2 x b x2 32 ( x2 ) tan ( x1 , x2 ) x b x2 1 1 2 2 x2 max 32 ( x2 ) 31 2 R 2 x2 max 31 x2 32 ( x2 ) 2 b( x2 ) (6.17) 2 4Q2 x R 2 x2 4 2 3 R Para el punto B 31 x1 , x2 x 0 32 ( x2 ) tan 0 0 1 (6.18) Para los puntos comprendidos entre los puntos A y B (o B y C ) es posible asumir que las direcciones de las tensiones tangenciales resultantes T concurren al punto D , de manera que se obtiene una variación lineal de la magnitud las tensiones tangenciales 31 , tal como se muestra en la Figura 6.12 c). 6.3.1.3 Barra conformada por capas – Influencia del esfuerzo de corte Tal como se ha visto anteriormente, el problema de corte en una barra estructural está completamente acoplado con el de flexión ( Q( x3 ) = Q2 ( x3 ) = dM1 ( x3 ) dx3 ), y por lo tanto cuando se estudia el comportamiento de una barra a flexión, la influencia del corte es fundamental en la capacidad de carga de la barra. Así, a continuación, se presenta un ejemplo que muestra la resistencia y rigidez de una barra laminada sometida a flexión, considerando (o no) el efecto del corte. Se supone una barra laminada compuesta por n capas superpuestas. En un primer caso se considera que las n capas están superpuestas pero no están adheridas entre sí y actúan independientemente una de otra, sin fricción entre ellas. En un segundo caso se pegan entre sí las capas superpuestas, o se bloquea mecánicamente el desplazamiento relativo entre ellas mediante m pasadores. 584 Esfuerzo de Corte Primer caso: Láminas independientes no adheridas Para cada lámina se obtiene el siguiente estado tensional (ver Figura 6.13), P M 1h 12 P h P max 1 n 3 6 2 n 3 W1 bh b h 2 n h 2n 2 b 12 n n 0 en cada zona interlaminar Figura 6.13 – Viga laminada sin adherencia interlaminar. Segundo caso: Láminas adheridas Si sobre la misma viga anterior se adhiere una lámina a la otra evitando el deslizamiento relativo entre las mismas (ver Figura 6.14), se obtiene el siguiente estado tensional M P max 1 6 2 W1 bh max 3 Q2 3 P 2 bh 2 bh 585 S. Oller, L. G. Nallim Figura 6.14 – Viga laminada con adherencia interlaminar. El estado tensional compuesto o combinado en cualquier punto de la viga (ver Figura 6.15), para ambos casos, se obtiene a través de la composición para estado plano de tensiones tal como se estudió en el Capítulo 2. Realizando esta composición la tensión principal mayor resulta, 2 I 33 22 22 2 33 32 , pero: 33 , 32 32 , 22 0 2 2 2 1 2 2 42 2 2 2 I Figura 6.15 – Estado tensional en un punto de la viga. Un caso de comportamiento estructural similar a este último se consigue bloqueando el desplazamiento relativo entre láminas mediante elementos mecánicos pasantes (tornillos, remaches, pernos, etc.). Para estudiar este caso se adopta, a modo de ejemplo, la viga en voladizo representada en la Figura 6.16. Este bloqueo mecánico evita el desplazamiento entre láminas, resultando una respuesta estructural similar a las láminas adheridas entre sí. La diferencia radica en el estado tensio- 586 Esfuerzo de Corte nal local de cada lámina ya que se producen concentraciones de tensiones en las cercanías de cada pasador. Así, cada uno de los m pasadores se verá sometido a un corte máximo que resulta del área de influencia del mismo. Figura 6.16 – Viga laminada con pasadores que evita el desplazamiento interlaminar. cte max Qpasador b a 3 P b a 3 P a Q2 max 2 bh m 2 mh m m Por último, es interesante observar la variación de curvatura que hay entre una barra con láminas adheridas, respecto de la otra en que las láminas están libre de deslizarse entre sí (no soportan las tensiones tangenciales interlaminares). Primer caso: Láminas independientes no adheridas. P 1 M1 12 P n3 12 P 2 n n 3 3 E I1 E n b h E b h3 b h E 12 n Segundo caso: Láminas adheridas. 1 M1 P 12 P E I1 E b h3 E b h3 12 De donde se deduce que la barra con láminas no adheridas tiene una curvatura n 2 veces mayor que la barra con las láminas bloqueadas o bien, que la barra con 587 S. Oller, L. G. Nallim láminas no adheridas es n 2 veces más flexible que la barra con las láminas adheridas. Es claro que en el caso n 1 se recupera la curvatura de n láminas adheridas. En cuanto a la resistencia, se puede observar que la tensión axial en una barra laminada sin adherencia es n veces más grande que en una barra que tiene sus láminas adheridas. Esta diferencia se debe a que la primera no tiene tensiones tangenciales interlaminares, mientras que la segunda sí las tiene y alcanza la máxima tensión tangencial en su eje mecánico. 6.3.2 Energía de deformación por corte recto – Teoría de Collignon-Jourawski La energía específica de deformación, o densidad de energía, en un problema elástico lineal de corte recto resulta, 1 1 d d d G d G 2 2 2 0 0 (6.19) Pero, la distorsión promedio para una sección transversal se puede escribir en forma simplificada a partir de una condición de equilibrio basada en una tensión tangencial constante (ver Figura 6.7 y Figura 6.18), como m m Q2 ˆ G AG (6.20) Figura 6.17 – Densidad de energía en un punto resultante de la acción de una tensión tangencial. Tal que sustituida esta última en la condición cinemática que expresa el desplazamiento vertical en función de la distorsión d v Q m dx3 (ver ecuación (6.7)) se puede escribir esta distorsión media m en función del área reducida  , 588 Esfuerzo de Corte m Q d v Q Q2 d v Q 2 dx3 ˆ ˆ dx3 AG AG (6.21) Figura 6.18 – Cinemática producida por el corte en un elemento diferencial de barra. Así, la energía acumulada en toda la barra por el efecto del esfuerzo de corte se obtiene integrando la energía específica dada por la ec. (6.19) en el volumen de la misma, 1 Q Q 1 1 W dV dV m m dV 2 2 dA dx3 ˆ ˆ 2 2 V V V Aˆ 2 A AG 1 Q22 1 1 W dx3 W Q2 m dx3 Q2 d v Q ˆ 2 AG 2 2 6.3.2.1 (6.22) Área reducida – Factor de forma de las secciones Trabajar con el área reducida  simplifica el análisis estructural y garantiza que la energía acumulada en la pieza sea la correcta y coherente con la distorsión media m . Por lo tanto, es correcta su utilización para la evaluación de la energía acumulada, pero no debe utilizarse para el cálculo de las tensiones tangenciales producidas por el esfuerzo de corte ni para determinar la distribución de las mismas. Para obtener el área reducida se parte de igualar la energía obtenida a través de esta aproximación (ecuación (6.22)) con la energía real que se acumula en la pieza estructural. Así resulta, 589 S. Oller, L. G. Nallim 1 1 1 dW Q2 m dx3 Q2 m dx3 dA dx3 2 2 2 A dA (6.23) A A partir de esta última ecuación se despeja la distorsión media y se sustituye la expresión de Collignon-Jourawski para introducir una mejor aproximación de la distribución de la tensión en la expresión de la energía (ver Figura 6.18), m 1 1 1 dA 2 dA 2 b( x2 ) dx2 Q2 A Q2G A Q2G h 2 1 Q2 S1* ( x2 ) 1 Q22 S1*2 ( x2 ) dx2 b( x2 ) dx2 Q2G h I1 b( x2 ) Q2G h I12 b( x2 ) m m Q2 G (6.24) S1*2 ( x2 ) h I12 b( x2 ) dx2 Sustituyendo en esta última la ecuación (6.21), resulta la expresión del área reducida  . m d v Q Q2 Q2 ˆ dx3 AG G S1*2 ( x2 ) h I12 b( x2 ) dx2 Q2 1 S *2 ( x ) G 21 2 dx2 I b( x2 ) h 1 Aˆ 1 S *2 ( x ) I12 Aˆ 21 2 dx2 S1*2 ( x2 ) h I1 b( x2 ) h b( x2 ) dx2 (6.25) La ecuación (6.25) permite definir el factor de forma ̂ como la relación que existe entre el área reducida y el área de la sección transversal, ˆ Aˆ I12 A S1*2 ( x2 ) ( ) b x dx dx2 2 2 h h b( x2 ) (6.26) 590 Esfuerzo de Corte El factor de forma ̂ suele encontrarse tabulado para casos de secciones transversales simples. Un ejemplo de estas tablas se muestra a continuación (Tabla 6.1). Tabla 6.1 – Coeficiente de Corte (ver ecuación(6.14)) y Factor de Forma (ver ecuación (6.26)) para distintas secciones. Ejemplo 6-1: Obtener el Factor de Forma ̂ de la sección transversal rectangular que se muestra en la figura. I1 b h3 12 S1* ( x2 ) I12 b2 h6 144 2 b( x2 ) h 2 x2 2 2 Para evaluar el denominador de la ec. (6.26), se considera la simetría de la sección respecto al eje x1 , entonces la integral a lo largo de h resulta, h /2 2 0 2 2 h /2 S1*2 ( x2 ) 1 b h dx2 2 x22 dx2 b x2 b 2 2 0 591 S. Oller, L. G. Nallim b 2 h /2 0 2 h 4 h 2 4 2 x2 x2 dx2 2 2 h /2 4 2 b h b h5 2 h 3 x25 x2 x2 2 2 32 5 120 0 Aˆ ˆ A b2 h6 5 I 144 5 S (x ) bh 6 bh dx2 b h 120 b( x2 ) A h 2 1 *2 1 2 Ejemplo 6-2: Obtener el Factor de Forma ̂ de la sección transversal delgada que se muestra en la figura, A 1.3 18 2 0.8 40 78.8 cm 2 0.8 403 2 4 I1 2 1.3 18 20 22987cm 12 Momentos estáticos, S * () AB 1.3 20 26 1 * CD S1 () 1.3 18 20 (0.8 ) 20 2 468 16 0.4 2 AB * S1 () S * () CD 1 676 0.16 12.8 118.4 14976 219024 2 2 2 4 3 2 592 Esfuerzo de Corte 1 Aˆ 18/2 4 S ( ) d 2 S ( ) d AB 2 * 1 20 I12 b() 0 0 * 1 CD 2 I12 b() Aˆ 1 4 676 2 0.16 12.8 3 118.4 2 14976 219024 d d I12 0 1.3 I12 0 0.8 Aˆ 1 30.848 cm 2 0.0009565 0.03146 9 2 20 4 ˆ Aˆ 30.848 0.3914 78.8 A Si se compara el área reducida con el área de la sección transversal del alma, se concluye que son muy similares para estas secciones delgadas. Por lo tanto, siguiendo la aproximación que se muestra en la Tabla 6.1, el factor de forma resulta, Aalma 0.8 40 32 cm 2 ˆ Aalma 32 0.406 A 78.8 Lo que implica que este cálculo simplificado introduce un error pequeño, del 3.73% , en el cálculo de la energía para esta sección. 6.3.3 Tensiones tangenciales por corte recto en secciones abiertas delgadas Las secciones transversales de paredes delgadas son muy frecuentes en las estructuras por su alta rigidez y bajo peso. Geométricamente se puede decir que se trata de una barra de pared delgada si una de las dimensiones de la sección transversal es mucho menor que la otras, es decir que el espesor t es mucho menor que el perímetro desarrollado s de la sección transversal (ver Figura 6.19), y a su vez esta dimensión s es también mucho menor que la longitud de la barra. Los fundamentos básicos del comportamiento estructural de barras de paredes delgadas con fuerte influencia del esfuerzo de corte, fueron iniciados por Timoshenko y sus desarrollos posteriores se deben a Vlasov. S. Oller, L. G. Nallim 593 Figura 6.19 – Representación esquemática de una sección transversal de paredes delgadas. La formulación básica del comportamiento a flexión y tracción axil, obtenidas anteriormente para secciones macizas, se puede extender sin mayores errores a secciones delgadas. En la Figura 6.20 se muestra, a modo de ejemplo, la distribución de tensiones normales por flexión y por axil de tracción en este tipo de secciones. Figura 6.20 – Representación esquemática de la distribución de tensiones normales en secciones transversales de paredes delgadas. Por el contrario, esta formulación no se puede extender a problemas de compresión axial en los cuales se manifiesta más fuertemente el fenómeno de inestabilidad global (pandeo) que en las secciones macizas. Esto se debe a que en las secciones de pared delgada el mencionado fenómeno suele ir acoplado a una inestabilidad local (abolladura) que, por sus alcances conceptuales, exceden del tratamiento que se hará en este capítulo. Por otro lado, conviene advertir que las semejanzas con el comportamiento de las sec- 594 Esfuerzo de Corte ciones macizas difieren también en algunos casos por el no-cumplimiento del principio de Saint-Venant en los extremos de las secciones, ya que aparecen efectos locales de alabeos para cargas axiales cuya resultante pasa por el centroide de la sección (ver Figura 6.21). Figura 6.21 – Representación esquemática de la distribución de tensiones normales en secciones transversales de paredes delgadas. 6.3.3.1 Distribución y magnitud de las tensiones tangenciales en secciones abiertas de paredes delgadas En una barra de sección transversal de paredes delgadas sometida a flexión más corte, sigue siendo dominante el efecto de la tensión normal o axial que es fundamental para determinar la estabilidad estructural de la barra (Figura 6.22 a). Sin embargo, y a diferencia de las secciones macizas, adquiere en este caso una gran importancia el efecto de las tensiones tangenciales. Estas tensiones se obtienen siguiendo la misma formulación que en las secciones macizas (fórmula de Collignon-Jourawski, Sección 6.3 ), con la hipótesis que estas tensiones tangenciales se desarrollan en un plano normal al contorno de la sección (sección A-A, Figura 6.22 c) y no paralelas a la capa neutra (eje principal x1 en el caso de flexión recta). Resulta conveniente expresar las tensiones tangenciales en función de la coordenada curvilínea s , que es un sistema de referencia local referido, a su vez, al sistema de referencia principal de inercia x1 y x2 (ver Figura 6.23). Siguiendo la misma deducción conceptual que para las secciones macizas (ecuación (6.12) ), se puede obtener el estado 595 S. Oller, L. G. Nallim tensional ( s) con su correspondiente flujo de corte f ( s) (Figura 6.24). El flujo de corte es el producto de dicha tensión tangencial por el espesor de la pared t ( s ) como se muestra a continuación, s 3 ( s) 3s ( s) ( s) Q2 S1* ( s) I1 t ( s) f ( s) ( s) t ( s) Q2 S1* ( s) I1 (6.27) Figura 6.22 – a) Tensiones normales 3 debidas a M1 M ; b) Equilibrio en un elemento diferencial de barra de sección delgada sometida flexión; c) Dirección de la tensión tangencial. Integrando el flujo de tensiones f ( s) respecto a la coordenada s tangente al contorno de la sección, o la propia tensión tangencial, se obtiene la fuerza resultante Vs o V Q2 , según la integral se lleve a cabo en una parte de la sección o en todo el desarrollo s , respectivamente. Es decir, 596 Esfuerzo de Corte Vs s dA f ( s ) ds ( s ) t ( s ) ds s ( s) dA A* ( s ) I1 * Q S ( s) Q V 2 1 t ( s ) ds 2 S1* ( s ) ds Q2 I1 t ( s ) I1 s s (6.28) Figura 6.23 – Tensiones tangenciales y ejes locales en una sección transversal de paredes delgadas. Figura 6.24 – Distribución de tensiones tangenciales, flujo de tensiones y esfuerzo de corte en una sección transversal de paredes delgadas. S. Oller, L. G. Nallim 597 6.3.3.2 Sección doble T delgada – Tensiones tangenciales por corte A continuación, se presenta un análisis detallado del cálculo de las tensiones tangenciales ( s) y flujo por corte f ( s) para la sección doble T de paredes delgadas (ver Figura 6.25) que, en ejemplos posteriores para otras formas de perfiles, se resumirá por razones de espacio. Figura 6.25 – Distribución de tensiones tangenciales, flujo de tensiones y esfuerzo de corte en una sección transversal doble T de paredes delgadas. a) Equilibrio interno de una parte de la sección cortada a una distancia s del origen de coordenadas; b) Dirección y magnitud de las tensiones tangenciales en la sección. Como se puede ver en la expresión de Collignon-Jourawski, el problema de cálculo para obtener la tensión tangencial ( s) o el flujo de tensiones f ( s) , radica en la evaluación del momento estático S1* ( s ) . Esto es así porque tanto el corte Q2 como el momento de inercia I1 son constantes en la sección transversal, 598 Esfuerzo de Corte cte Q f ( s ) 2 S1* ( s ) , I1 o ( s ) f (s) t ( s) (6.29) El sentido que tiene el flujo de corte se puede obtener por distintos procedimientos, dentro de los cuales está el método de los cortes (Figura 6.25 a), o bien, teniendo en cuenta el signo del momento estático respecto del sistema de referencia adoptado. El sentido y variación del flujo, así como de las tensiones tangenciales que se presentan a continuación, resultan del signo del momento estático en las coordenadas locales utilizadas. Ala superior: Se evalúa a continuación el flujo f AC ( s ) y la tensión tangencial AC ( s ) en el ala superior a partir de un eje de referencia local s , con 0 s b / 2 , (ver Figura 6.26) f AC Q ( s ) 2 S1* ( s ) I1 f Q2 h s t f 2 I1 f (s) AC f AC tf ( s) Q s t f h 2 I1 t f 2 AC AC ( s 0) f A 0 der Q b h b (s ) f C 2 tf 2 I1 4 (6.30) AC ( s 0) A 0 Q s h 2 AC Q2 b h b C der I1 2 ( s 2 ) I 4 1 Si se repite el cálculo a partir de un eje de referencia local s , desde el otro extremo del ala superior, se obtienen las mismas magnitudes (y signo) para el flujo y las tensiones tangenciales que allí se desarrollan, pero respetando la dirección de la referencia local s (signo eficaz), es decir en sentido contrario a s . De esta forma, en la confluencia de las alas (punto C), el flu- 599 S. Oller, L. G. Nallim jo total f C f C der f C izq y la tensión total C C der C , reizq sultan, fC fC C der C der f C C izq izq Q b h Q b h 2 2 tf 2 tf I1 4 I1 2 Q b h Q2 b h 2 2 I1 4 I1 2 (6.31) Figura 6.26 – Distribución de tensiones tangenciales, flujo de tensiones en el ala superior de la sección transversal doble T de paredes delgadas. Alma: Avanzando en el cálculo del flujo y la tensión sobre esta sección transversal de paredes delgadas, se procede ahora a poner el sistema de referencias local s en una nueva posición C (con 0 s h ), tal como se muestra en la Figura 6.27. En este caso se suma al flujo total del ala superior f C el flujo del alma. Esto es equivalente a tener en cuenta el momento estático del ala superior más el del alma, de donde surge una ecuación cuadrática que alcanza su máximo a la altura del eje neutro que, como se ha estudiado en el capítulo de flexión, coincide en este caso con el eje principal de inercia x1 . Es claro que para s h (punto D) se recupera el flujo y la tensión tangencial que se tenía en s 0 . 600 Esfuerzo de Corte Q Q h s f CD 2 S1* ( s ) f C 2 s tw 2 2 I1 I1 CD Q2 b h C tf f ( s 0) f I 2 1 2 Q b h Q2 b h s h tw s t w CD h 2 tw h CD 2 tf ( ) f s f t max f 2 2 8 2 I1 2 I1 2 f CD ( s h) f D Q2 b h t f I1 2 CD s f CD s b h t f s h s 2 tw 2 2 tw 2 (6.32) CD Q2 b h t f C ( s 0) I1 2 tw Q2 b h t f h 2 h CD ( s ) CD max 2 I1 2 tw 8 t CD ( s h) D Q2 b h f I1 2 tw Figura 6.27 – Distribución de tensiones tangenciales, flujo de tensiones en el alma de la sección transversal doble T de paredes delgadas. - Ala inferior: El flujo y la tensión tangencial en el ala inferior se pueden obtener por simetría con el ala superior, que equivale a utilizar nuevamente las expresio- 601 S. Oller, L. G. Nallim nes (6.30) con dos sistemas de referencias locales: s y s , tal como muestra la Figura 6.28, y que garantiza que el flujo y las tensiones tangenciales en los extremos de las alas inferiores de la sección sean nulo. Figura 6.28 – Distribución de tensiones tangenciales, flujo de tensiones en el ala inferior de la sección transversal doble T de paredes delgadas. Debe recordarse que todos los cálculos anteriores se realizaron sobre los ejes medios de la sección transversal, hipótesis válida sólo para secciones de paredes delgadas. Si los espesores de las paredes fuesen gruesos, se incurriría en un error al utilizar esta formulación y en tal caso debe ser analizada tal como se muestra en el siguiente apartado. Por otro lado, es conveniente recordar que la sección transversal debe estar en equilibrio y por lo tanto las fuerzas sobre las alas y el alma, que resultan de la integración de los correspondientes flujos sobre el eje de la sección, deben cumplir la siguiente condición para asegurar que estos flujos sean resultantes del corte en la sección (ver Figura 6.29). Fx1 V f 0 Fx2 Vw Q2 MCG 0 (No hay Corte en x1 ) (6.33) 602 Esfuerzo de Corte Figura 6.29 – Distribución y equilibrio de las fuerzas ocasionadas por el corte en la sección transversal doble T de paredes delgadas. 6.3.3.3 Sección doble T gruesa – Tensiones tangenciales por corte El análisis que requiere este tipo de sección difiere conceptualmente de aquel que se llevó a cabo en el apartado anterior. El tratamiento es análogo al que se realiza para una sección maciza (sección 6.3.1), en el que el plano de corte se toma paralelo al eje principal x1 . Para ilustrar esto, se adopta una sección doble T (Figura 6.30), de altura total h1 y base b pero, en este caso, sus paredes son gruesas. Esto es, Q f ( x2 ) 2 S1* ( x2 ) I1 - ( x2 ) f ( x2 ) b( x2 ) (6.34) Para un plano de corte a la altura x2 comprendida dentro del ala superior: 603 S. Oller, L. G. Nallim Q Q h h x f ala ( x2 ) 2 S1* ( x2 ) 2 b 1 x2 1 2 4 2 I1 I1 2 h / 2 x2 h1 / 2 f ( x h1 ) 0 2 2 Q2 b h12 2 Q2b h12 2 Q2b h12 h2 h x2 x f x ( ) 2 2 2 2I1 4 4 2I1 4 I1 2 4 Q b h h h h 2 1 1 2I1 2 2 2 2 tf - (6.35) Para un plano de corte a la altura x2 comprendida dentro del alma: Q f alma ( x2 ) 2 S1* ( x2 ) I1 0 x2 h / 2 b h1 h tw h h t f x2 x2 2 2 2 2 2 2 2 Q h h h 2 b t f 1 tw x22 2 2 4 2 I1 Q2 I1 (6.36) Resultando, a partir de los flujos antes obtenidos, las siguientes tensiones tangenciales, f alma ( x2 h2 ) Q2 h1 h h ala ( x2 ) tf 2 b 2 I1 2 2 f alma ( x2 h2 ) Q2 t f h1 h h alma ( x2 ) b tw 2 2 I1 tw 2 2 alma ( x2 0) Q t f h h h2 f alma ( x2 0) max 2 b 1 tw 2 I1 tw 2 2 4 (6.37) 604 Esfuerzo de Corte Figura 6.30 – Distribución de tensiones tangenciales, flujo de tensiones y esfuerzo de corte en una sección transversal doble T de paredes gruesas. 6.3.3.4 Sección U delgada – Tensiones tangenciales por corte A continuación, se presentará un análisis detallado del cálculo de las tensiones tangenciales y flujo por corte para la sección U de paredes delgadas (ver Figura 6.31), siguiendo el mismo procedimiento de análisis basado en la expresión de CollignonJourawski descrito para la sección doble T delgada antes analizada. Q f ( s ) 2 S1* ( s ) I1 ( s ) f ( s) t ( s) (6.38) Se recuerda nuevamente que el sentido que tiene el flujo de corte se puede obtener por el método de los cortes, o teniendo en cuenta el signo del momento estático respecto del sistema de referencia adoptado. 605 S. Oller, L. G. Nallim Figura 6.31 – Distribución de tensiones tangenciales, flujo de tensiones y esfuerzo de corte en una sección transversal U de paredes delgadas. Ala superior: ( s ) y la tensión tangencial AB ( s) en el ala superior a partir de un eje de referencia loca s , con 0 s b (ver Figura 6.32), Se evalúa el flujo f AB f AB (s 0) f A 0 Q Q h f AB (s) 2 S1* (s) 2 s t f AB Q2 b h B 2 I1 I1 f (s b) f I 2 t f 1 2 b Q t h b Q t hb V AB f AB (s) ds 2 f s ds 2 f 0 I1 2 0 I1 4 606 Esfuerzo de Corte AB (s 0) A 0 AB s t f ( s ) Q h Q s h f AB (s) 2 2 AB Q2 b h B tf I1 t f 2 I1 2 (s b) I 2 1 (6.39) Figura 6.32 – Distribución de tensiones tangenciales, flujo de tensiones en el ala superior de la sección transversal U de paredes delgadas. Alma: Se procede ahora a poner el sistema de referencias local s en B, con 0 s h tal como se muestra en la Figura 6.33. En este caso se suma al flujo del ala superior f B , el flujo del alma f BC ( s) que se calculará en este apartado. Esto es equivalente a tener en cuenta el momento estático del ala superior más el de la parte del alma definida por la coordenada local s , de donde surge una ecuación cuadrática con un máximo en el eje neutro que, como se ha estudiado en el capítulo de flexión, coincide en este caso, con el eje principal de inercia x1 , y que para s h en C recupera el flujo y la tensión tangencial que tenía en s 0 . 607 S. Oller, L. G. Nallim Figura 6.33 – Distribución de tensiones tangenciales, flujo de tensiones en el alma de la sección transversal U de paredes delgadas. Q Q s htw s 2tw h s Q b h f BC (s) 2 S1* (s) f B 2 stw 2 t f 2 2 2 I1 2 2 I1 I1 BC Q2 b h B f (s 0) f t f I1 2 Q b h h 2t h f BC (s ) f max 2 t f w 2 8 I1 2 f BC (s h) f C Q2 b h t f I1 2 h V BC f BC (s) ds 0 Q2 h b h tf I1 0 2 h s ht s 2t w w ds 0 2 2 ds h3 tw Q2 b h2 t f Q2 12 I1 2 BC ( s ) f BC ( s ) Q2 b h t f s h s 2 2 tw I1 2 t w 2 (6.40) 608 Esfuerzo de Corte BC ( s) BC Q2 b h t f B ( s 0) I1 2 tw Q b h t f h2 h BC BC ( s ) max 2 2 I1 2 tw 8 t BC ( s h) C Q2 b h f I1 2 tw Ala inferior: El flujo y la tensión tangencial en el ala inferior se pueden obtener por simetría con el ala superior, que equivale a utilizar un sistema de referencias s , ecuación (6.39), o un sistema de referencias s acumulando el flujo que proviene del ala. En ambos casos se garantiza que el flujo y las tensiones tangenciales en el extremo del ala inferior de la sección (en D) son nulos. Sistema de referencias s (Figura 6.34 a) ( 0 s b ) Q Q h f DC ( s ) 2 S1* ( s ) 2 s t f ( ) 2 I1 I1 f DC ( s 0) f D 0 DC Q2 b h C f s b f tf ( ) I1 2 (6.41) 2 b Q t h b Q t hb V DC f ( s )ds 2 f s ds 2 f 0 I1 2 0 I1 4 DC (s) Q s h f DC (s) Q2 s t f h ( ) 2 tf 2 I1 t f I1 2 DC ( s 0) D 0 DC Q2 b h C ( s b) I 2 1 Verifica que el flujo en C es igual viniendo desde el alma que desde ala inferior. 609 S. Oller, L. G. Nallim Figura 6.34 – Distribución de tensiones tangenciales, flujo de tensiones en el ala inferior de la sección transversal U de paredes delgadas: a) Sistema de referencia local s , b) Sistema de referencia local s . Sistema de referencias s (Figura 6.34 b) ( 0 s b ) Q Q h f CD (s) 2 S1* (s) f C 2 s t f ( ) 2 I1 I1 CD Q2 b h C Q2 b h h s f (s 0) f t f tf t f I1 2 2 I1 2 CD D f (s b) f 0 b V CD f CD ( s) ds 0 b h s Q b b h Q t f hb 2 t f ds t f ds 2 0 2 I1 4 I1 0 2 CD ( s) 2 f CD ( s) Q2 S1* ( s) Q2 b h h s tf I t I 2 2 1 f 1 CD Q2 b h C ( s 0) I1 2 CD D ( s b) 0 (6.42) 610 Esfuerzo de Corte Verifica que el flujo en el extremo del ala inferior es nulo. Nuevamente, se debe recordar que todos los cálculos anteriores se han realizado sobre los ejes medios de la sección transversal, hipótesis válida sólo para secciones de paredes delgadas. Ahora se estudian las fuerzas que aparecen en las alas y alma como consecuencia de la integración del flujo de corte. Figura 6.35 – Distribución y equilibrio de las fuerzas producidas por el corte en la sección transversal U de paredes delgadas. Fx1 V AB V CD 0 Q1 BC Fx2 V Q2 MCG 0 (No hay Corte en la dirección x1 ) (6.43) En este caso particular, si se observa la ecuación (6.43) se puede concluir que la sección transversal no está en equilibrio porque aparece un momento debido a la acción de los flujos en las alas que producen torsión en la sección. Este problema se tratará a continuación (Sección 6.3.3.5) debido a que es necesario introducir el concepto de centro de cortante. 611 S. Oller, L. G. Nallim Caso particular de espesor contante en toda la sección: t t f tw En muchas situaciones prácticas ocurre que los espesores del alma y de las alas son iguales, es decir que el espesor de la sección es constante t t f tw . En estos casos se obtienen expresiones más simples para el flujo y la tensión tangencial que son, simplemente, una simplificación de las expresiones anteriores. El momento de inercia axial se reduce a la siguiente expresión, b t h 2 t h3 t h 2 I1 2 6 b h 12 4 12 (6.44) Así también, el flujo se reduce a la siguiente expresión, - Ala superior: (A partir de las ecuaciones. (6.39)) Q Q 6 Q2 h ( s ) 2 S1* ( s ) 2 s t s 2 h 6 b h I1 I1 b b 6 Q2 3 Q2 b 2 V AB f AB ( s ) ds s ds 0 0 h 6b h h 6 b h f - AB (6.45) Alma: (A partir de las ecuaciones (6.40)) Q2 * Q2 b h s ht s 2 t 6Q2 f (s) S1 (s) t b h s h s2 2 2 h (6 b h) 2 I1 I1 2 (6.46) 3 Q2 (4 b h) 6Q2b h BC ; f BC (s ) f max f BC (s 0) f B 2 2 h (6 b h) h (6 b h) BC 2 h V BC f (s) ds 0 6Q2 h (6 b h) 2 3 bh h /6 h 2 b h s h s ds Q2 0 6.3.3.5 Centro de corte o Centro de torsión En las secciones de paredes delgadas se puede observar que no todas cumplen con la condición de equilibrio seccional cuando actúa el corte. En algunas de ellas se desarrolla un momento torsor MT que no se equilibra (ver ecuaciones (6.33) y (6.43)). Esto se 612 Esfuerzo de Corte debe a que el esfuerzo de corte en la sección no está pasando por el centro geométrico (CG), o centro mecánico en las secciones compuestas (CM), en lugar de hacerlo por el centro de corte (CC). Se define entones como centro de corte (CC) de una sección transversal al punto del plano por donde debería pasar la resultante de las fuerzas de corte Q para que en la sección transversal no haya torsión MT (ver Figura 6.36). Es decir, en aquellas secciones donde la condición de equilibrio rotacional no se cumple M CG 0 , es porque el corte Q no pasa por el centro de corte CC de la sección transversal, y por lo tanto se produce una torsión que induce tensiones tangenciales que se deben superponer a las que resultan del propio esfuerzo de corte (ver Capítulo 7). Figura 6.36 – Centro de corte (CC) en una sección transversal U de paredes delgadas. Para ilustrar este concepto, se propone a continuación obtener el centro de corte CC de la sección transversal U de paredes delgada de espesor constante (caso particular analizado en las ecuaciones (6.44) a (6.46)) (ver Figura 6.37). Para ello se toma momento de todas las fuerzas obrantes en la sección respecto de un punto 613 S. Oller, L. G. Nallim cualquiera del plano, en este caso se ha escogido el punto O C , y debe resultar igual al momento producido por la resultante Q2 , V AB h Q2 d1 d1 V AB h Q2 3 Q2b 2 h 3 b2 d1 h 6 b h Q2 6 b h (6.47) Como se puede observar, la distancia d1 (y por lo tanto d entre el CG y el CC) es independiente de la magnitud del cortante Q2 , esto se debe a que el centro de cortante es una propiedad geométrica de la sección transversal. En este caso particular no ha sido necesario obtener la coordenada x2 de CC, puesto que x1 es un eje de simetría de la sección y por lo tanto el centro de cortante debe estar sobre este eje. Figura 6.37 – Posición del centro de corte (CC) en una sección transversal U de paredes delgadas. 614 Esfuerzo de Corte 6.3.3.6 Sección L delgada – Tensiones tangenciales por corte Siguiendo el mismo procedimiento antes realizado para secciones transversales doble T y U, se analiza a continuación una sección L de paredes delgadas. Se observa que este caso introduce una ligera complicación en el cálculo de los momentos estáticos como consecuencia de que los ejes principales de inercia no resultan paralelos a los lados de la sección transversal. - Características geométricas (ver figura adjunta): Área de la sección A b f t f bw tw El centro geométrico, referido al sistema de referencia x y coincidente con los ejes medios de la sección, resulta ubicado en xCG b2f t f bw2 tw ; yCG 2A 2A Los momentos de inercia y el producto de inercia respecto del sistema cartesiano x y con origen en el centro geométrico ( CG ), paralelos a los lados de la sección (ver Figura 6.38a) resultan, 2 t f b3f bf bw tw3 I xx t f b f yCG 12 2 12 2 3 t b3 bw b f t f w w I yy t wbw xCG 12 2 12 I xy t f b f bf 0 0 2 tw bw yCG t f bf CG 2 2 y x t b y b2 x CG CG w w w x CG CG A partir de estas últimas expresiones se pueden obtener los momentos principales de inercia de la sección, así como la orientación de estos ejes principales, I1,2 I xx I yy 2 I xx I yy 4 2 I xy2 ; tg(2 ) I 2 I xy xx I yy S. Oller, L. G. Nallim 615 x arctg CG yCG 2 2 h xCG yCG 90 - Cálculo de los momentos estáticos (ver Figura 6.38) Figura 6.38 – Ejes locales para la determinación de los momentos estáticos: a) Ala superior BA ; b) Ala inferior BC . El momento estático para el ala superior (tramo BA , Figura 6.38a) respecto al eje x está dado por 616 Esfuerzo de Corte dA tf 0 s bf S ( s ) s dA s t f ds* b 2f s 2 ; s s 2 Este momento estático puede expresarse respecto del eje principal de inercia de la sección x1 como * bf * x * * bf * dA s cos h sen t f ds* * S (s) * 1 bf s s * cos h sen dA * bf s * S x* ( s ) bf bf cos s*t f ds* h sen t f ds* s s S1* ( s ) S x* ( s ) cos t f b f s h sen 0 s bf Figura 6.39 – Distribución de tensiones tangenciales, flujo de tensiones y esfuerzo de corte en una sección transversal L de paredes delgadas (alas desiguales). De manera análoga puede obtenerse el momento estático para el ala inferior (tramo BC , Figura 6.38b), respecto al eje principal de inercia x1 , 617 S. Oller, L. G. Nallim dA t s t w ds* w bw2 s 2 ; 2 * bw S ( s ) s dA * y * * s bw s * 0 s bw dA * s sen h sen twds* * S1* ( s ) bw s s sen h sen dA * * bw s S *y ( s ) bw bw sen s*t w ds* h sen t w ds* s s S ( s ) S ( s )sen tw bw s h sen * 1 * y 0 s bw Conocida todas las características geométricas de la sección, se puede ahora realizar el análisis tensional. Cálculo del flujo y la tensión en el ala superior, tramo BA , 0 s b f : Se evalúa a continuación el flujo f BA ( s ) y la tensión tangencial BA ( s) en el ala superior a partir de un eje de referencia local s (ver Figura 6.38a), Q Q t f f BA ( s ) 2 S1* ( s ) 2 b 2f s 2 cos h t f b f s sen I1 I1 2 Q t f b f b f cos 2 h sen f BA ( s 0) f B 2 2 I1 2 BA max Q2 t f b f cos h sen sen BA f s h f max cos 2 cos I1 f BA ( s b ) f A 0 f El valor de la coordenada local que hace máximo el flujo de corte se obtiene haciendo f BA ( s ) / s 0 s max h sen / cos . bf bf bf Q t V BA f BA (s)ds 2 f cos b2f s2 ds h t f sen bf s ds 0 0 0 I1 2 2 Q t b 2 f f 2bf cos 3 h sen I1 6 618 Esfuerzo de Corte 2 2 f BA ( s ) Q2 b f s cos (s) h b f s sen tf 2 I1 BA Q2 b f b f cos 2 h sen BA B ( s 0) BA 2 I1 BA A ( s b f ) 0 sen BA Q2 b f cos h sen s max h max cos 2 cos I1 (6.48) 2 BA Cálculo del flujo y la tensión en el ala inferior, tramo BC , 0 s bw : Se evalúa a continuación el flujo f BC ( s ) y la tensión tangencial BC ( s ) en el ala superior a partir de un eje de referencia local s (ver Figura 6.38b), procediendo de manera análoga al tramo BA. Q Q t f BC ( s ) 2 S1* ( s ) 2 w bw2 s 2 sen h t w bw s sen I1 I1 2 V BC bw 0 f BC Q2 t wbw2 ( s ) ds 2bwsen 3 h sen I1 6 (6.49) 2 2 f BC ( s ) Q2 bw s sen h bw s sen ( s) 2 tw I1 BC 6.3.3.7 Sección L delgada de alas iguales – Tensiones tangenciales por corte A continuación se realiza una simplificación del cálculo realizado en la sección 6.3.3.6 para el caso en que se trate de un perfil L delgado de alas iguales, es decir t tw t f y b bw b f . - Características geométricas (ver figura adjunta): Área de la sección A 2 bt 619 S. Oller, L. G. Nallim Las coordenadas del centro geométrico, referidas al sistema de referencia x y coincidente con los ejes medios de la sección, resultan xCG yCG b 2t b2 t b 2A 2 2 b t 4 Los momentos de inercia y el producto de inercia respecto del sistema cartesiano x y con origen en el centro geométrico ( CG ), paralelos a los lados de la sección resultan, b /4 2 b/ 4 2 3 0 3 b t b b t t b yCG I xx t b yCG 2 12 12 2 2 3 3 3 t b3 b b tb tb tb t b t b I xx 4 4 12 16 16 12 5 I xx I yy t b3 24 b /4 b /4 b b I xy t b yCG xCG t b yCG xCG 2 2 3 b b b b t b I xy t b t b 4 4 4 4 8 620 Esfuerzo de Corte A partir de estas últimas expresiones se pueden obtener los momentos principales de inercia de la sección, así como la orientación de estos ejes principales, I1,2 I1 I xx I yy 2 I xx I yy 4 5 3 1 3 1 3 tb tb tb ; 24 8 3 2 I xy2 2 I xx I xy2 I xx I xy 2 tg(2 ) 2 I xy I I xx 45º yy 0 - Cálculo de los momentos estáticos en el ala superior: 1/ 2 t 2 2 t S (s) b s cos 45º b2 s 2 2 2 2 * 1 - Cálculo flujo y tensión en el ala superior: f BA 2 2 Q2 * 3 Q2 t b s ( s) S1 ( s) 3 2 b t 2 I1 (6.50) 3 Q2 BA BA BA ( 0) f s f f B max 3 Q b2 2 f BA ( s ) 3 2 b 2 s 2 b 2 2 f BA ( s b) f A 0 b V BA f BA ( s ) ds 0 3 Q2 3 b 2 2 b 3Q f BA ( s) ( s) 3 2 b2 s 2 t b t2 2 BA b 0 2 s 2 ds Q2 2 3 Q2 BA BA BA ( s 0) max B 2 2 bt BA ( s b ) A 0 Dada la simetría, en el ala inferior se obtienen los mismos valores de flujo y tensión tangencial. - Equilibrio de la sección y centro de esfuerzos cortantes CC: Considerando las fuerzas en las alas V BA V BC V f , que resultan de la integral del flujo de fuerzas cortantes (ecuación (6.50)), se calcula el equilibrio de fuerzas en la sección transversal (ver Figura 6.40). 621 S. Oller, L. G. Nallim Figura 6.40 – Distribución y equilibrio de las fuerzas producidas por el corte en la sección transversal L de alas iguales y paredes delgadas. 1 1 F V V 0 x f f 1 2 2 1 1 Vf Q2 Fx2 V f 2 2 MCG 0 (6.51) En este caso particular se puede ver que la sección transversal no está en equilibrio rotacional porque aparece un momento debido a la acción de los flujos en las alas que produce torsión de la sección respecto de CG . Partiendo del supuesto que el corte pasa por el punto CC B (ver Figura 6.41), y luego de tomar momento de todas las fuerzas actuantes en la sección respecto de ese punto, resulta que se verifica el equilibrio de momentos, y por lo tanto se concluye que CC B es, en efecto, el centro de corte para esta sección. Esto es, V f 0 V f 0 Q2 0 (6.52) Esta misma conclusión se tiene de la igualdad que resulta de tomar como centro de momentos el centro geométrico ( CG ) (ver Figura 6.41), 622 Esfuerzo de Corte Q2 d 2 V f d sen Q2 d 2 Q2 2 d 2 2 (6.53) Figura 6.41 – Posición del centro de cortante en la sección transversal L de alas iguales y paredes delgadas. 6.3.3.8 Centro de corte en perfiles de alas paralelas – Problema simplificado En el caso que se quiera estudiar una sección de paredes delgadas con una configuración dominante de alas paralelas como la que se muestra, por ejemplo, en la Figura 6.42, el procedimiento para encontrar el centro de corte ( CC ) se simplifica considerablemente. Para ilustrar esta afirmación se muestra a continuación el cálculo de las tensiones tangenciales, su distribución y la posición del centro de corte ( CC ) en la sección doble T de alas desiguales representada en la Figura 6.42. Se supone la acción de un corte vertical que pasa por el centro de corte, evitando así la torsión. La parte del esfuerzo de corte tomado por el alma es despreciable, en tanto cada ala (designadas como: I y II ) absorbe una parte del corte total. Esta suposición conduce a la hipótesis que ambas alas sufren la misma curvatura durante el corte por flexión, 1 1 1 M 1 I II E I1 (6.54) 623 S. Oller, L. G. Nallim En tal caso, los flujos máximos por corte en las alas I y II , y sus correspondientes tensiones tangenciales resultan, 2 I I Q Q S1 max b b b I ; S1* I tI I I tI 2 S1* max 2 max max 2 4 8 I1 I1 tI * I I f max 2 Q2 * II Q2 S1 max bII bII bII * II II S1 max ; S1 tII tII max max 8 2 4 I1 I1 tII * II f II max (6.55) Resultando : I max Q2bI2 ; 8I1 II max Q2bII2 8I1 Como se ve en las expresiones anteriores, cada ala absorbe una parte del corte en función de sus características geométricas y de la condición de compatibilidad de curvatura única (ecuación (6.54)). Figura 6.42 – Sección transversal de paredes delgadas con alas paralelas. Esto mismo se puede ver si se considera la sección compuesta por dos rectángulos que sufren la misma curvatura. En tal caso, la parte del corte Q 2 i , i I , II que absorbe cada ala resulta (ecuación (6.13)), 624 Esfuerzo de Corte 3 Q2 i imax imax Rectángulo 2 bi ti Q2 i 2 bi ti imax 3 I1 I Q b 2 Q b 3t 2 bI t I 2 I 2 I I Q2 3 8 I1 12 I1 I1 Q 2 I Q2 II I1 II Q b 2 Q b3 t 2 bII t II 2 II 2 II II Q2 3 8 I1 12 I1 I1 (6.56) En estas ecuaciones se puede observar que se produce una distribución del corte en las alas en proporción a su inercia. De esta forma, la posición del centro de corte CC resulta de la siguiente ecuación de equilibrio de momentos, Q 2 I d I Q 2 II d II Resultando, Q2 II d d I Q2 I II d h d I II d II dI I1 II I1 II h h dI dI I1 I I1 I I1 II d II (6.57) I1 I h I1 I I1 II Obsérvese, como ya se ha mencionado, que el centro de corte CC es una propiedad geométrica de la sección, y por lo tanto es siempre independiente de la magnitud del esfuerzo de corte. 6.3.3.9 Sección anular delgada abierta – Tensiones tangenciales por corte y centro de corte A continuación, se analiza el cálculo de las tensiones tangenciales y el centro de corte para una sección transversal anular abierta de paredes delgadas sometida a un esfuerzo de corte vertical descendente. Se considera que el radio medio de la sección es R y que el espesor t es constante, tal como se muestra en la Figura 6.43. - Características geométricas (ver Figura 6.43): A (2 R) t 625 S. Oller, L. G. Nallim dA ds 2 I1 x dA x t ds x2 t ( R d ); 2 2 2 2 A I1 2 0 con: x2 R sin y dA t R d s 2 sin 2 3 R t sin d R t R t 4 0 2 3 2 3 Figura 6.43 – Sección transversal anular abierta de pared delgada. - Cálculo de los momentos estáticos (ver Figura 6.43): El momento estático de la zona rayada está dado por S1* () x2 dA* R 2t sen d R 2t cos R 2t 1 cos s Según estas expresiones, el flujo de corte y la distribución de tensiones tangenciales serán (ver Figura 6.44), Q Q f () 2 S1* () 3 2 R 2t (1 cos ) R t I1 626 Esfuerzo de Corte Q max f ( 0) 2 2 f R Q2 f ( ) (1 cos ) f ( ) 0 R Q f ( / 2) 2 R 2Q2 max ( 0) tR Q f () Q2 S1* ( ) (6.58) ( ) 2 (1 cos ) ( ) 0 t I t t R 1 Q ( / 2) 2 tR Figura 6.44 – Flujo y tensión tangencial en una sección transversal anular abierta de pared delgada. Las resultantes, vertical y horizontal, producidas por el flujo por cortante resultan, respectivamente, Vx2 f () cos ds 0 s f ( ) 2 0 2 ds f () cos ( Rd ) Q2 (1 cos ) cos ( R d ) Q2 R 627 S. Oller, L. G. Nallim Vx1 f () sen ds 2 0 2 0 s f () sen ( Rd ) Q2 (1 cos ) sen ( R d ) 0 R (6.59) Mientras que el momento producido respecto del centro geométrico resulta, M CG f () R ds s 0 2 0 2 f ( ) R 2 d Q2 Q R 2 (1 cos )R 2 d 2 (1 cos ) d 2 Q2 R 0 R (6.60) De donde resulta la posición del centro de cortantes (ver Figura 6.45), M CG = Q2 d d M CG 2Q2 R 2R Q2 Q2 (6.61) Figura 6.45 – Posición del centro de cortantes (CC) en una sección transversal anular abierta de pared delgada. 6.3.3.10 Sección anular delgada cerrada – Tensiones tangenciales por corte y centro de corte Hasta ahora se han tratado problemas de secciones transversales delgadas abiertas, donde la sección tenía alabeo libre. Es decir, que entre los labios de una sección abierta 628 Esfuerzo de Corte delgada sometida a un esfuerzo de corte Q2 , tal como la que se muestra en la Figura 6.46, se produce un deslizamiento relativo libre que se designa como vQ . Figura 6.46 – Sección transversal anular de pared delgada. Condición de compatibilidad. La magnitud del mencionado desplazamiento libre se puede obtener analizando la configuración geométrica de la pieza deformada mostrada en la Figura 6.46, como se indica a continuación, dvQ ds vQ ds c c y también: v x3 dvQ dx3 Q donde c es la longitud desarrollada del perímetro medio de la sección. teniendo en cuenta que ( x3 ) dx3 = x3 G resulta vQ c G ( s ) f (s) ds ds c tG G (6.62) Luego, para conseguir un alabeo restringido, vQ 0 , (condición de compatibilidad entre los labios de la sección transversal), se debe introducir un sistema de fuerzas nulo que obligue a que la posición de los puntos A y A’ coincidan (ver Figura 6.47). 629 S. Oller, L. G. Nallim De esta forma, el flujo de corte final en la sección anular cerrada f * f f , resulta de la superposición del flujo de corte f que corresponden a la sección abierta (ver apartado 6.3.3.9) y el flujo de corte f que corresponde a la sección abierta sometida a la condición de cierre o compatibilidad v Q 0 (ver Figura 6.47). Figura 6.47 – Alabeo en la sección transversal anular cerrada de pared delgada produQ cido por la restricción del desplazamiento v (condición de compatibilidad). Es decir, que para que el alabeo sea restringido, se debe cumplir la condición de compatibilidad que exige, vQ 0 c f * (s) f (s) f ds ds ds c tG c tG tG 630 Esfuerzo de Corte 0 c f (s) 1 ds f ds c t ( s) G t ( s) G Para t cte f c f (s) ds c t (s) f ds c t (s) (6.63) f ( s ) ds c Siendo f un flujo de corte constante en la sección, que garantiza el alabeo restringido que tiene una sección anular cerrada. De aquí, el flujo final y la correspondiente tensión tangencial resultan, respectivamente, f* f f * (6.64) Ejemplo 6-3: Obtener la distribución del flujo y de la tensión tangencial debida a la acción de un esfuerzo corte descendente en la dirección principal x2 , en una sección anular cerrada delgada de espesor t cte y radio medio R . Flujo en la sección abierta sometida al corte Q2 f ( ) Q2 (1 cos ) R Flujo en la sección cerrada sometida a la condición de alabeo restringido vQ 0 631 S. Oller, L. G. Nallim f c f ( s ) ds c Q2 R f Q2 R 2 0 2 0 f ( ) R d c (1 cos ) R d 2 R Q2 2 R 2 De esta forma, el flujo de corte final en la sección resulta, f* f f f* 6.3.3.11 Q2 (1 cos ) 1 R Q2 cos R Secciones delgadas cerradas y simétricas – Caso particular Si las secciones delgadas están cerradas y, además, tienen un eje de simetría paralelo al plano de carga (por ejemplo, la sección anular estudiada en el apartado anterior), se puede simplificar el cálculo del flujo de corte/tensiones tangenciales y resolver sólo dos secciones transversales abiertas simétricas. Esto es posible porque siempre, sobre el eje de simetría, se anulan el flujo de cortante y las tensiones tangenciales (ver Figura 6.48), razón por la cual se puede comenzar el cálculo del momento estático a partir de este eje de simetría. 632 Esfuerzo de Corte Figura 6.48 – Distribución del flujo de corte/ tensiones tangenciales en secciones de paredes delgadas cerradas simétricas. Es importante observar que cada sub-sección mantiene su propio centro de corte CC, y al componerlas resulta la posición del centro de corte sobre el eje de simetría de la sección completa en coincidencia con el CG. 6.3.3.12 Cálculo de los momentos estáticos respecto de ejes cualesquiera. Forma simple de cálculo del flujo de corte y tensiones tangenciales para ejes principales no paralelos a los lados de la sección En los apartados anteriores se puede ver que resulta complicado obtener el flujo por corte y sus correspondientes tensiones tangenciales para secciones transversales delgadas en aquellos casos en que los lados de la sección transversal no son paralelos a los ejes principales. Para simplificar el cálculo de los momentos estático respecto de cualquier sistema de referencia, se muestra a continuación un procedimiento que permite evaluar los mismos respecto de un sistema de referencia que resulte más cómodo para los cálculos (por ejemplo el sistema x y ) y luego se realiza un cambio de base para trasladar los momentos estáticos al sistema referencial basado en ejes principales x1 x2 . Para esto se considera, en primer lugar, el cambio de la base ortogonal x, y cualquiera a una base ortogonal principal x1 , x2 , rotada un ángulo respecto de la primera (ver Apéndice, Propiedades geométricas de las secciones transversales), como se ilustra en la Figura 6.49. El cambio de base para una matriz columna, o tensor de primer orden, está dado por, 633 S. Oller, L. G. Nallim x1 x2 xp cos sen x sen cos y A x p Ax ; x (6.65) x AT x p donde A es la matriz ortonormal de cambio de base, es decir que se verifica A1 AT . Figura 6.49 – Cambio de base de un sistema ortogonal x, y a otra base ortogonal x1 , x2 , rotada un ángulo . Escribiendo ahora la definición de los momentos estáticos en la nueva base x1 , x2 e introduciendo el cambio de base dado por la ecuación (6.65), se pueden obtener los momentos estáticos en la nueva base. Esto es, S* A* x p dA* A* A x dA* S 2* x1 * cos sen x * * A* dA A* dA sen cos y S1 x2 S 2* x cos y sen * * A* dA x sen y cos S1 La ecuación (6.66) se puede escribir en forma canónica como, (6.66) 634 Esfuerzo de Corte S2* x1 dA* x cos y sen dA* A* A* S1* * x2 dA* * x sen y cos dA* A A (6.67) Reordenando términos, las ecuaciones (6.67) pueden reescribirse de la siguiente manera, Sy Sx * * * S2 A* x dA cos A* y dA sen S1* * x dA* sen * y dA* cos A A * S x* -Sy * * * S2* S *y cos S x*sen S1* cos -sen S x Reordenado * * * * * S1 S y sen S x cos S 2 sen cos S y (6.68) 6.4 Corte por flexión recta en secciones compuestas/mixtas – Fórmula general del corte o fórmula de CollignonJourawski A modo de ampliar el concepto de corte por flexión presentado en secciones simples constituidas por un material homogéneo (apartado 6.3 ), en esta sección se extiende la formulación de Collignon-Jourawski a problemas de barras de sección compuesta por materiales con compatibilidad de deformaciones entre ellos, sometidas a corte por flexión. Casos comunes de estas estructuras se encuentran en el hormigón armado, hormigón pretensado con adherencia, secciones mixtas de acero-hormigón, materiales compuestos laminados, etc. Se supone una barra que cumple la hipótesis cinemática de Bernoulli, que está sometida a corte por flexión y que está compuesta por n j materiales sujetos a mo- 635 S. Oller, L. G. Nallim vimientos compatibles entre sí. Esta barra tendrá ni materiales distintos por encima del plano de deslizamiento de corte y nk materiales en el propio plano de corte (ver Figura 6.50). En forma análoga a lo que se ha presentado en el apartado 6.3 para una barra de un solo material, el cambio que sufre el momento flector M1 ( x3 ) a lo largo de un elemento diferencial de barra de longitud dx3 , produce una fuerza axial desequilibrada dN * entre dos secciones transversales contiguas, que sólo es reequilibrada por el esfuerzo de corte dQ3 23 ( x2 ) b ( x2 ) dx3 que resulta de integrar las tensiones tangenciales que actúan a cada altura x2 del eje de la viga. Siguiendo un procedimiento análogo al mostrado en la sección 6.3 , se obtiene la fuerza normal resultante en el área A* , comprendida entre las ordenadas x2 y x2max (ver Figura 6.50), integrando las tensiones normales i3 ( x1 , x2 , x3 ) i ( x1 , x2 , x3 ) en el área A* , de la siguiente manera, ni ni N * ( x3 ) i ( x1, , x2 , x3 ) dA* i 1 A * i i 1 A * i M1 ( x3 ) Ei nj E I N ( x3 ) ni M1 ( x3 ) * Ex nj E I j 1 j 1 j i 1 A * i i* i 2 dA 1 j j j 1 M1 ( x3 ) * nj E I j 1 j x2i*dA* ni M (x ) Ei S ( x2 ) 1 3 S1* ( x2 ) i I1 i 1 (6.69) * 1 1 j donde I1 es el momento de inercia mecánico de la sección transversal y S1* ( x2 ) el momento estático mecánico de la parte de la sección por encima de la capa x2 , ambos respecto del eje principal x1 que pasa por el centro mecánico CM de la sección. En forma análoga, para la sección transversal contigua, se tiene, N * ( x3 ) dN * M1 ( x3 ) dM1 * S1 ( x2 ) I1 (6.70) Por diferencia entre las ecuaciones (6.70) y (6.69) resulta la expresión de la fuerza axial necesaria para equilibrar la sección transversal, 636 Esfuerzo de Corte dN * dM1 * S1 ( x2 ) I1 (6.71) Figura 6.50 – Equilibrio y distribución de tensiones tangenciales en un elemento diferencial de una barra compuesta sometida a flexión. 637 S. Oller, L. G. Nallim Si se admite que nk es el número de materiales seccionados por una capa situada a la altura x2 desde el eje de la pieza que da lugar a un esfuerzo cortante dQ3 y que, por reciprocidad de tensiones, aparece alojado en la sección transversal dQ2 , se obtiene, nk dN * k23 ( x2 ) b k ( x2 ) dx3 k 1 dM1 * S1 ( x2 ) I1 nk d M1 1 * dN k 23 ( x2 ) b k ( x2 ) S1 ( x2 ) dx3 k 1 dx3 I1 * (6.72) De donde resulta, nk nk nk Q2 S1* ( x2 ) ( x2 ) b ( x2 ) ( x2 ) b ( x2 ) ( x2 ) b ( x2 ) C( x2 ) I1 k 1 k 1 k 1 k 23 k k 32 k k k (6.73) Siendo esta expresión la denominada fórmula de Collignon-Jourawski extendida a secciones compuestas, que permite obtener las tensiones tangenciales en todos los materiales que colaboran en una sección transversal a una altura x2 desde el eje de la pieza. Debido a que se considera la hipótesis de compatibilidad de deformaciones entre estos materiales, la distorsión de los k materiales que coexisten en una misma capa situada a una altura x2 , se puede escribir como, ( x2 ) 1 ( x2 ) k ( x2 ) G1 Gk (6.74) Tal que para un material k cualquiera la tensión resulta, k ( x2 ) G k ( x2 ) (6.75) Sustituyendo esta última expresión en la ecuación (6.73) se tiene el ángulo de distorsión ( x2 ) a cada altura x2 y para cada fibra de la sección transversal, 638 Esfuerzo de Corte nk ( x2 ) G k b k ( x2 ) C ( x2 ) k 1 ( x2 ) C ( x2 ) nk G k bk ( x2 ) k 1 (6.76) Q2 S1* ( x2 ) nk I1 G k bk ( x2 ) k 1 Figura 6.51 – Compuesto formado por estribos (cercos) y hormigón. Capa compuesta considerada en la ecuación (6.77) a la altura x2 . A partir de las ecuaciones (6.75) y (6.76) resulta la tensión para un material l cualquiera de la misma capa, l ( x2 ) G l ( x2 ) G l Q2 S1* ( x2 ) nk I1 G k b k ( x2 ) k 1 ni l ( x2 ) G l ( x2 ) Q2G l Ei S1* ( x2 ) i 1 (6.77) i nk k k E j I1 j G b ( x2 ) j 1 k 1 nj 639 S. Oller, L. G. Nallim Esta última expresión es también válida para un compuesto formado por estribos (cercos) y hormigón colaborando juntos a una altura x2 (ver Figura 6.51). Obsérvese que la ecuación (6.77) se reduce a la expresión básica para una sección homogénea (ver ecuación (6.12)) cuando la capa x2 corta un único material l . Esto es, ( x2 ) l - ni S Q2 G l El El i 1 I1 j G l j 1 nj * 1 ( x2 ) i b ( x2 ) k 1 nk l ( x2 ) k Q2 S1* ( x2 ) I1b( x2 ) (6.78) Cálculo del Área Reducida en secciones transversales compuestas El cálculo del Área Reducida  en secciones de material compuesto permite simplificar el cálculo de estructuras a través del concepto de rigidez reducida al corte Aˆ G . Esta área reducida se basa en la igualación de la condición de energía mosC C trada en el apartado (6.3.2.1). Primeramente, se obtiene el módulo de elasticidad transversal mecánico de la sección compuesta homogeneizada GC por el método de los promedios, nj nj AˆC GC Aˆ j G j j 1 GC Aˆ G j j 1 nj Aˆ j (6.79) j j 1 AˆC A través del método de homogeneización de los promedios se escribe la distorsión media m en la sección transversal compuesta (ver Figura 6.18 y ec. (6.21)), a partir de la energía acumulada en la sección, m 1 Q2 A ( x2 ) ( x2 ) dA 1 Q2 GC A 2 ( x2 ) dA 1 Q2 GC ( x ) b( x )dx 2 h 2 2 2 (6.80) 640 Esfuerzo de Corte Teniendo en cuenta que la sección está compuesta en cada capa por distintos materiales, se reescribe la ecuación anterior como, m 1 Q2 GC nk ( x ) h l 1 l 2 2 bl ( x2 )dx2 2 ni * l Q ( ) G E S x nk 2 1 2 i i 1 l i 1 b ( x2 )dx2 Q2 GC h l 1 n j nk k k E j I1 G b ( x2 ) j j 1 k 1 (6.81) Considerando ahora la distorsión media m en función de la rigidez reducida Aˆ C GC , e igualándola con la expresión anterior (6.81) que resulta de la energía acumulada en la sección transversal compuesta, se obtiene la expresión del área reducida, m Q2 Q AˆC m 2 ˆA G GC C C 1 2 ni Gl Ei S1* ( x2 ) nk i bl ( x )dx i 1 2 2 h nj nk l 1 E j I1 Gk bk ( x2 ) j j 1 k 1 (6.82) Si se incorpora el concepto del factor de forma ˆ AˆC / AC presentado en el apartado (6.3.2.1), a partir del área reducida se puede obtener la rigidez reducida Aˆ G como, C C nj nj j 1 j 1 AˆC GC Aˆ j G j ˆ j Aj G j (6.83) S. Oller, L. G. Nallim 641 6.5 Corte por flexión esviada u oblicua – Fórmula general del corte o fórmula de Collignon-Jourawski 6.5.1 Corte oblicuo o esviado en secciones transversales macizas simétricas A continuación, se presenta la expresión que relaciona la tensión tangencial en una sección transversal maciza y simétrica, de una barra, con el corte que la produce mediante un planteo aproximado. Aceptando estas restricciones, la expresión del corte oblicuo (esviado) surge de la superposición de los efectos producidos por la acción de los cortes rectos en los ejes principales de inercia de la sección. El tratamiento exacto del problema debe hacerse siguiendo los métodos de la Teoría de la Elasticidad2 y, por lo tanto, excede los alcances de este texto. En la Figura 6.52 se muestra la forma en que se equilibra la sección transversal maciza y simétrica cuando es sometida a una flexión esviada u oblicua variable que da lugar a un esfuerzo de corte esviado. Este esfuerzo de corte puede ser descompuesto en las direcciones de los ejes centroidales principales de inercia. El esfuerzo de corte Q( x3 ) actúa siempre ortogonal al momento M( x3 ) y, por lo tanto, lo hace según el ángulo que es el complemento del ángulo en el que actúa el momento flector. Siguiendo los mismos pasos que para el corte recto desarrollado en el apartado 6.3 , se presenta a continuación la extensión conceptual para tratar el corte esviado. El cambio que sufre el momento flector M( x3 ) a lo largo de un elemento diferencial de barra de longitud dx3 produce una fuerza normal desequilibrada dN * entre dos secciones transversales contiguas. La rebanada de barra se reequilibra por el esfuerzo de corte d Q que resulta de integrar las tensiones tangenciales que actúan en el punto de confluencia de coordenadas ( x1 , x2 ) . Así, las fuerzas axiales desequilibradas dN1* y dN 2* se obtienen integrando, respectivamente, las tensiones normales obrantes en las áreas A1* (entre x2 y x2max ) y A2* (entre x1 y x1max ), resultando, 2 S.P. Timoshenko, J.N. Goodier. Theory of Elasticity. Mcgraw Hill Education (India) Private Limited; 3 edition (2010). 642 Esfuerzo de Corte x2max M M * * M1 * N dA 1 3 1 * A1 x2 I11 x2 dA1 I11 S1 ( x2 ) d M1 * S1 ( x2 ) 2 ( x2 )b1 ( x2 )dx3 dN1* I1 d M1 S1* ( x2 ) Q2 S1* ( x2 ) ( x ) 2 2 dx3 I1 b1 ( x2 ) I1 b1 ( x2 ) max N * M2 dA x1 M2 x* dA M2 S * ( x ) 2 x1 I 2 1 2 I 2 2 1 2 A2* 3 d M2 * S 2 ( x1 ) 1 ( x1 )b2 ( x1 )dx3 dN 2* I2 d M2 S 2* ( x1 ) Q1 S 2* ( x1 ) ( x ) 1 1 dx3 I 2 b2 ( x1 ) I 2 b2 ( x1 ) (6.84) Figura 6.52 – Equilibrio de una sección transversal maciza y simétrica sometida a una flexión esviada variable que da lugar a un esfuerzo de corte esviado. 643 S. Oller, L. G. Nallim La fuerza dN * dN1* dN 2* (ver Figura 6.52) debe ser equilibrada por la resultante de la composición de las tensiones 1 ( x1 ) y 2 ( x2 ) . Una forma más precisa de resolver este problema, desde la Resistencia de Materiales, sería el estudio directo del corte por flexión esviada siguiendo lo estudiado en la sección 5.3.2. De esta manera, a partir de la ec. (5.73) se puede demostrar que la tensión tangencial a una distancia del eje neutro resulta * Q S nn I nn b cos (6.85) 6.5.2 Corte esviado u oblicuo en secciones transversales delgadas En este apartado se deducen las expresiones del corte por flexión esviada en secciones transversales de paredes delgadas, de manera análoga al procedimiento seguido en problemas de corte recto. A diferencia de las barras macizas, las tensiones tangenciales (o el flujo de corte) se obtienen cortando la sección delgada con un plano normal al contorno, y no paralelo a los ejes principales (ver Figura 6.53). dN * d M1 * d M2 * S1 ( x2 ) S 2 ( x1 ) ( x1 , x2 ) dx3 I1 I2 ( x1 , x2 ) d M1 S1* ( x2 ) d M2 S 2* ( x1 ) dx3 I1t dx3 I 2t Q2 S1* ( x2 ) Q1S 2* ( x1 ) ( x1 , x2 ) I1t I 2t S*(x ) S*(x ) ( x1 , x2 ) Q 1 2 cos 2 1 sin I 2t I1t (6.86) 644 Esfuerzo de Corte Como se ha visto, al trabajar en ejes principales ( x1 , x2 ) , el problema de corte esviado se descompone en dos problemas de corte desacoplado según cada eje principal. Esto permite calcular el centro de corte en cada uno de dichos problemas y luego obtener el centro de corte de la sección por composición de ambos problemas desacoplados. Figura 6.53 – Equilibrio de una sección transversal delgada sometida a una flexión esviada variable que da lugar a un esfuerzo de corte esviado. 6.5.3 Forma general del corte esviado u oblicuo en secciones transversales de paredes delgadas para sistemas de ejes centroidales no-principales En ciertos casos es conveniente calcular el flujo de corte o las tensiones tangenciales en un sistema de referencias centroidales no-principal, esto siempre que se pueda encontrar un sistema de referencia cómodo para el cálculo de los momentos estáticos. Para estos casos se describe a continuación la forma generalizada de tratar el corte por flexión en ejes no-principales. Esto conduce a unas expresiones algebraicas más complejas que cuando se trabaja en ejes principales, pero en ciertos casos se simplifica la forma de operar. Se tiene que la tensión normal a la sección transversal que resulta de un problema de flexión esviada para ejes no-principales vale (ver apartados 5.3.3 y 5.5.3) 645 S. Oller, L. G. Nallim I yyMx I xyM y ( x, y ) y I xxM y I xyMx x (6.87) Mx ( I yy y I xy x) M y ( I xx x I yx y ) I xx I yy I xy2 I xx I yy I xy2 (6.88) I xx I yy I xy2 I xx I yy I xy2 que reordenando los términos se puede escribir ( x, y ) Con esta tensión normal evaluada en dos secciones transversales contiguas, distanciadas un dx3 , se calcula el desequilibrio en la barra, y de aquí resulta la tensión tangencial que restituye dicho equilibrio. Esto es, N * dA* * A Mx ( I yy y I xy x) I xx I yy I * A 2 xy dA M y ( I xx x I yx y ) * A I xx I yy I xy2 dA (6.89) de aquí resulta que la fuerza no equilibrada vale, dN * d Mx I xx I yy I xy2 (I * A yy y I xy x) dA dM y I xx I yy I xy2 (I xx x I yx y )dA (6.90) * A Figura 6.54 – Equilibrio de una sección transversal delgada sometida a una flexión esviada variable que da lugar a un esfuerzo de corte esviado – Sistema de referencia no principal. 646 Esfuerzo de Corte Teniendo en cuenta que dN * ( x, y ) t dz (6.91) Se obtiene la tensión tangencial, Qx I xdA Ixy ydA I yy ydA Ixy xdA 2 xx t(Ixx I yy I ) A* t(Ixx I yy Ixy ) A* A* A* (6.92) Qy Q x I yy Sx* Ixy S*y IxxS*y Ixy Sx* (x, y) t(Ixx I yy Ixy2 ) t(Ixx I yy Ixy2 ) Qy (x, y) 2 xy Obsérvese que cuando los ejes x e y son principales, es decir x x1 e y x2 , resulta I xy 0 , recuperándose la forma de la ecuación (6.86). De esta forma es también más fácil la determinación del centro de corte. Ejemplo 6-4: Calcular la distribución de tensiones tangenciales producida por un corte vertical descendente Q y en la sección de paredes delgadas de la figura. h 3t b h 2 t 12 2 3 2b t I yy 3 b2h t I xy 2 I xx La distribución de las tensiones tangenciales se calcula teniendo en cuenta que actúa un corte vertical ‐Q y y un corte horizontal nulo Qx 0 , resultando, ‐Q y Qx I yy S x* I xy S *y I S * I xy S x* 2 xx y t ( I xx I yy I ) t ( I xx I yy I xy ) 2 xy 2 h3t b h 2t 2 b3 t 2 b3 t b3h2t 2 Con, I xx I yy I 2 h 3b 2 3 3 36 12 2 xy 647 S. Oller, L. G. Nallim - Cálculo de la tensión y el flujo en el ala superior S (s ) t s * x AB AB h2 ; S (s ) t s * y AB t s s AB b 2 t s AB b 2 AB 2 AB 2 b3 t AB h b3 t 2 h s AB I yy S x* t s 2 3 3 2 t s AB b 2 t 2 h 2 b 2 h t AB I xy S s AB 2 b s AB t s b 2 2 4 * y Sustituyendo en la expresión de la tensión tangencial, resulta ( s AB ) 3 Q y 2 b s AB 3 s AB b h t 2 h 3b 2 ( s AB 0) 0 A 3Qy b b ( s AB ) 2 8 t h 2 12 t b h 3Qy b B ( s AB b) 2 t h2 3 t b h Los ceros de esta función son: ( s ) 0 s AB AB 0 2 3 b El máximo y su posición es: Q b max d ( s AB ) b b 0 s AB ( s AB ) ( s AB ) 2 y AB ds 3 3 2h t 3 b ht 648 Esfuerzo de Corte La fuerza V AB transmitida por el ala superior es nula, y resulta de la siguiente integración de las tensiones tangenciales V AB 2b s b h t 2 h 3b 3Qy b AB 3 s AB t ds AB 0 2 0 - Cálculo de la tensión y el flujo en el alma h s BC h S x* ( s BC ) b t s BC t 2 2 2 t s h BC h b t t s 2 2 2 BC 2 b2 t b S *y ( s BC ) b t t s BC 0 2 2 BC 2 b3 t 2 h s BC s BC b h 3 t s b t h h 2 BC I yy S x* b t t s 3 2 2 2 3 2 b2h t b2 t b4 t 2 h I xy S *y 2 2 4 Sustituyendo en la expresión de la tensión tangencial, resulta 3Qy b BC B ( s 0) 2 t h2 3 t b h BC BC 2 3Qy 4 h s 4 s b h 3 Q y (b h) h ( s BC ) CG ( s BC ) 2 h 2 h t 3b t 2 2 t h2 3 t b h 3Qy b C ( s BC h) 2 t h2 3 t b h El máximo y su posición es: 3Q y (b h) max d ( s BC ) h h 0 s BC ( s BC ) ( s BC ) 2 BC ds 2 2 2h t 3 b ht La fuerza V BC transmitida por el alma, resulta de la siguiente integración de las tensiones tangenciales 649 S. Oller, L. G. Nallim V BC 4hs 2 t h 3 tb 3Qy h 2 h BC 4 s BC b h t ds BC Q y 2 0 - Cálculo de la tensión y el flujo en el ala inferior CD h h bt h ht s S x* ( s CD ) t b t h 0 t s CD 2 2 2 2 s CD b2 t t s b S ( s ) t b t h 0 s CD t 2 2 2 2 CD 2 * y CD 2 b3 t b t h h t s CD I yy S x* 2 3 2 b 4 t 2 h b3 t 2 h s CD 3 3 2 2 CD 2 CD 2 b 2 h t b 2 t t s b 4 t 2 h b t h s I xy S 2 2 2 4 4 * y Sustituyendo en la expresión de la tensión tangencial, resulta ( s CD ) 3 Q y b 2 4 b s CD 3 s CD b h t 2 h 3b 2 3Qy b CD C ( s 0) 2 t h2 3 t b h 3Qy b b ( s CD ) 2 8 t h 2 12 t b h ( s CD b) 0 D 650 Esfuerzo de Corte Los ceros de esta función son: ( s ) 0 s CD CD b 3 b El máximo y su posición es: Q b max d ( s CD ) 2b 2b 0 s CD ( s CD ) ( s CD ) 2 y ds 3 3 2h t 3 b h t La fuerza V CD transmitida por el ala inferior es nula, y resulta de la siguiente integración de las tensiones tangenciales V CD b 4 b s b h t 2 h 3b 3Qy b 2 CD 3 s CD t dsCD 0 0 2 - Verificación del equilibrio La resultante de las fuerzas traslacionales y rotacionales que se desarrollan debido a las tensiones tangenciales, confirman que la única fuerza actuante en la sección es el cortante vertical, FV V BC Q y AB CD FH V V 0 M CG V AB h V CD h 0 2 2 651 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 6-5: Calcular la distribución de tensiones tangenciales producida por un corte vertical descendente Q y Q , que actúa en el centro de cortante, en la sección de paredes delgadas abierta de la figura. - Cálculo de los momentos estáticos de la sección abierta Tramo DA x2 s cos x1 s sen S1* x2 x2 x2D s cos 13.96 D x1 x1 x1 s sen 2.37 x dA x 2 DA 2 t ds ; x2 s cos 13.96 DA S1* ( s ) s DA 0 s cos 13.96 t ds t 0 s DA s cos ds s DA 0 13.96 ds 652 Esfuerzo de Corte s DA 2 S (s ) t cos 13.96 s DA ; 0 s DA 30 2 * 1 S2* DA x dA x t ds ; 1 x1 s sen 2.37 1 DA DA S 2* ( s DA ) s DA 0 s sen 2.37 t ds t 0 s DA s sen ds s DA 0 2.37 ds s DA 2 sen 2.37 s DA ; 0 s DA 30 S (s ) t 2 * 2 DA Tramo AB x1 s cos x2 s sen x1 x1 x1A s cos 15.99 A x2 x2 x2 s sen 9.75 S1* S1* s DA 30 S1* S1* 30 DA DA AB t S1* s AB S1* 30 s AB 0 DA x2 dA S1* 30 DA s AB 0 x2 t ds ; x2 s sen 9.75 s sen 9.75 ds s AB 2 AB sen 9.75 s ; 0 s AB 20 t 2 653 S. Oller, L. G. Nallim S2* S2* s DA 30 S 2* S 2* 30 S s * 2 AB DA DA t s AB 0 S 30 * 2 AB DA x1dA S2* 30 DA S AB 0 x1 t ds ; x1 s cos 15.99 s cos 15.99 ds s AB 2 AB cos 15.99 s ; 0 s AB 20 t 2 Tramo BC x1 s sen x2 s cos x1 x1 x1B s sen 0.17 B x2 x2 x2 s cos 21.99 S s BC S s BC * 1 * 2 S s AB 20 AB S s AB 20 AB * 1 * 2 s BC 2 cos 21.99 s BC ; 0 s BC 30 t 2 s BC 2 BC sen 0.17 s t 2 Tramo CE x1 s cos x2 s sen x1 x1 x1C s cos 18.19 C x2 x2 x2 s sen 1.722 654 Esfuerzo de Corte S s CE S s CE * 1 * 2 S s BC 30 BC S s BC 30 BC * 1 * 2 s CE 2 CE sen 1.722 s ; 0 s CE 40 t 2 s CE 2 cos 18.19 s CE t 2 - Cálculo de los flujos de la sección abierta f (s) Q2 S1* Q1 S2* ; I1 I2 f2 Q2 Q cos Q1 Q sen f1 Flujo f2 Para DA: 0 s DA 30 s DA 2 f 2DA I1 f 2DA I1 cos 13.96 s DA t 2 Q2 Q cos s DA 2 t Q f 2DA ( s DA ) cos 2 13.96 s DA cos I11 2 f DA 2 DA 2 1 Q s 2 DA (s ) cos 37.75º 13.96 s cos 37.75º 21127.49 2 DA 655 S. Oller, L. G. Nallim f 2D ( s DA 0) 0 s DA 2 DA s f 2DA ( s DA ) Q Q 67587.4 1914.06 f 2A ( s DA 30) 424.2 Para AB: 0 s AB 20 AB 2 t Q s f ( s ) f ( s 30) cos sen 9.75 s AB cos I1 2 2 AB 1 Q s Q cos 37.75º sen 37.75º 9.75 s AB cos 37.75º f2AB (s AB ) 424.2 21127.49 2 Q A AB f 2 ( s 0) AB 2 AB s 1 s 424.2 f 2AB ( s AB ) Q 424.2 87290.4 2740.5 f B ( s AB 20) Q 2 105.0 AB 2 AB A 2 DA Para BC: 0 s BC 30 BC 2 t Q s 2 BC f ( s ) f ( s 20) cos 21.99 s cos I1 2 2 BC Q 1 Q s BC BC f2 (s ) cos 2 21.99 s BC cos 105 21127.49 2 BC 2 BC B 2 AB 2 s BC 1 s BC BC BC f2 (s ) Q 105 67587.4 1215 Q B BC f 2 ( s 0) 105 f C ( s BC 30) Q 2 47.84 Para CE: 0 s CE 40 f 2CE ( s CE ) f 2C ( s BC CE 2 t Q s CE 30) cos sen 1.722 s cos 2 I1 656 f CE 2 Esfuerzo de Corte CE 2 Q 1 Q s CE (s ) cos 37.75º sen 37.75º 1.722 s cos 37.75º 47.84 21127.49 2 CE f CE 2 2 s CE 1 s CE (s ) Q 47.84 87290.4 15517.03 CE Q C CE f 2 ( s 0) 47.84 Q f 2D ( s CE 20) 66.53 E CE f 2 ( s 40) 0 Flujo f1 Para DA: 0 s DA 30 s DA 2 f1DA I 2 f1DA I 2 sen 2.37 s DA t 2 Q1 Q sen f1 DA DA 2 t Q s (s ) sen 2 2.37 s DAsen I2 2 DA S. Oller, L. G. Nallim f1 DA DA 2 1 Q s 2 DA (s ) sen 37.75º 2.37 s sen 37.75º 10799.21 2 DA f1D s DA 0 0 s DA 2 DA s f1DA ( s DA ) Q Q A DA 57624.9 7442.8 f1 s 30 86.30 Para AB: 0 s AB 20 f1AB ( s AB ) f1A s DA AB 2 Qt s AB 30 sen cos 15.99 s sen 2 I2 Q A AB f s 0 AB 2 AB 1 s s 1 86.30 f1AB ( s AB ) Q 86.30 44618 1103 f B s AB 20 Q 1 48.18 Para BC: 0 s BC 30 f1 BC BC 2 Qt s f1 sen 2 0.17 s BC sen 2 I2 B Q B BC f1 s 0 BC 2 BC s 1 s 48.18 f1BC ( s BC ) Q 48.18 57624.9 103761 f C s BC 30 Q 1 184.28 Para CE: 0 s CE 40 CE 1 f CE 2 Qt s CE f cos sen 18.19 s sen I2 2 C 1 657 658 Esfuerzo de Corte Q C CE f1 s 0 184.28 2 s CE Q 1 s CE CE CE f1 ( s ) Q f1D s CE 20 184.28 44618 969.73 160.44 E CE f1 s 40 0 - Flujo total f ( s ) f1 s f 2 s Para DA: f DA ( s DA ) f1DA f 2DA f D s DA 0 0 s DA 2 DA s Q Q A DA 31104.9 1522 f s 30 108.4 f DA s DA 0 0 s DA 0; s DA 20.43 S. Oller, L. G. Nallim DA df ds DA 659 DA smax 10.22 2s 1 0 Q DA DA 31104.9 1522 f max smax 10.22 297.9 DA Q A AB f s 0 AB 2 AB s s 1 108.4 Para AB: f AB ( s AB ) Q 108.3 91270 786.4 f B s AB 20 Q 33.02 Para BC: Q B BC f s 0 BC 2 BC s s 1 33.02 f BC ( s BC ) Q 33.02 31104.9 1200.9 f C s BC 30 Q 37.97 BC smax 12.95 df BC 2 s BC 1 0 BC BC Q ds BC 31104.9 1200.9 f max smax 12.95 28.02 660 Esfuerzo de Corte Para CE: Q C CE f s 0 37.97 CE 2 s Q 1 s CE D CE CE CE f (s ) Q f s 20 37.98 91270.3 912.69 113.64 E CE f s 40 0 f CE ( s) 0 sCE 59.84; sCE 40.15 El flujo no se anula en el tramo CE. Ejemplo 6-6: Calcular la distribución de tensiones tangenciales producida por un corte vertical descendente Q y Q , que actúa en el centro de cortante, en la sección de paredes delgadas cerrada de la figura. - Cálculo del flujo de cortante en la sección cerrada f s* f s ds f s ds , donde se utiliza s * para definir la curva cerrada t s* ds s* ds s* t f s ds s* 30 0 20 30 20 0 0 0 f DA s ds f AB s ds f BC s ds f CE s ds 661 S. Oller, L. G. Nallim 30 20 DA 3 DA 2 AB 2 s AB 3 AB s s s s s* f s ds Q 3 31104.9 2 1522 3 91270 2 786.4 108.30 0 0 30 20 3 2 2 sCE 3 BC s BC s BC sCE s sCE 3 31104.9 2 1200.9 33.02 3 91270.3 2 912.69 37.98 0 0 Q 1.733 Q 1.733 Q s* ds 30 20 30 20 100 f 100 57.69 f final s f s f Q Q Q Q ; fA 57.69 108.3 57.69 123.33 Q Q Q Para AB: f B 33.02 57.69 77.21 Q Q Q Para BC: f C 37.97 57.69 111.06 Para DA: f D 662 Esfuerzo de Corte Para CE: f D izq Q Q Q ; 113.62 57.69 117.19 f D der Q 113.62 Diagrama final de flujo de cortante (tensiones tangenciales) f AB f CE 2 s AB 1 1 s AB Q f 57.69 108.3 91270.3 786.4 AB s 0 AB s AB 1.83 2 s CE 1 1 sCE . f CE s CE 0 s CE 9.02 s Q 57.69 37.98 91270.3 912.69 Ejemplo 6-7: Obtener la expresión analítica y la representación gráfica de la distribución de tensiones tangenciales para la sección de la figura de espesor constante t 0.05 m , cuando está sometida a un cortante horizontal Q 300 kN . 663 S. Oller, L. G. Nallim - Características geométricas A 0.4 0.4 0.8 0.8 0.4 0.1 0.1 0.05 0.15 m2 0.05 0.83 4 I2 2 0.4 0.05 0.42 2 0.011 m 12 - Cálculo de las tensiones tangenciales Lado E E (parte simétrica): E E s Q S2* s I2 t 300 s 0.05 0.40 10909.09 s 0.011 0.05 E 2181.8 kN / m 2 Lado EB y FA : EB s 2181.8 300 s 0.05 s 0.40 0.011 0.05 2 2181.8 10909.09 s 13636.36 s C 4363.61 kN / m 2 Lado CCD : s 0 , por tener momento estático nulo 2 664 Esfuerzo de Corte Ejemplo 6-8: La sección que se representa en la figura, de espesor constante t 1.5 cm , está sometida a un esfuerzo de corte Q 100 kN en la dirección positiva del eje principal x1 . Determinar: 1. La magnitud de la tensión en el punto A . 2. El sentido del flujo de tensiones en la sección. 665 S. Oller, L. G. Nallim 3. La posición del centro de corte. Área A 30 cm2 Centro geométrico x0CG 1.225 cm; y0CG 8.775 cm Ixx 562.98 cm4 Momentos de Inercia I yy 126.48 cm4 4 Ixy 155.268 cm Nota: f s s t s Q1 * Q S2 s 2 S1* s I2 I1 x1 cos sen x ; x2 sen cos y * * S1 s cos -sen Sx s * * S2 s sen cos Sy s - Características geométricas 2 I1 612.57 cm4 562.98 126.48 562.98 126.48 2 I1 ; I2 155.268 4 2 2 I2 76.88 cm 1 1 2 155.268 tg 17.714º 2 562.98 126.48 - Tensión en el punto A A Q1 S2* A I2 t S x* 7 1.5 13 8.775 44.36 cm3 A * 7 3 S y A 7 1.5 1.225 23.88 cm 2 666 Esfuerzo de Corte S 2* S A * 2 A S x* sen S *y cos 44.36 sen 17.714º 23.88 cos 17.714º A A 9.2513 cm A 3 Q1 S2* I2 t A kN kN 100 9.2513 8.022 2 80220 2 cm m 76.88 1.5 - Sentido del flujo en la sección - Centro de corte Momento interior = Momento exterior V AB 0 V BC 0 Q1 d2 d2 0 El Centro de Corte CC coincide con A 667 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 6-9: Obtener la expresión analítica y la representación gráfica de la distribución de tensiones tangenciales para la sección de la figura de espesor constante t 0.05 m , cuando está sometida a un cortante horizontal Q2 Q 300 kN . - Características geométricas A 0.4 0.4 0.8 0.8 0.4 0.1 0.1 0.05 0.15 m2 0.05 0.83 I1 2 0.4 0.05 0.42 2 0.011 m4 12 - Cálculo de las tensiones tangenciales Lado EE - FF (parte simétrica): EE s EE Q S1* s EE I1 t 300 s EE 0.05 0.40 0.011 0.05 E 2181.8 kN / m 2 Lado EB y FA : 10909.09 s EE 668 Esfuerzo de Corte 300 s EB 0.05 s EB s 2181.8 0.4 0.011 0.05 2 EB EB 2181.8 10909.09 s EB 13636.36 s EB 2 C 4363.61 kN / m2 Lado CCD : s 0 , por tener momento estático nulo Ejemplo 6-10: Dada la sección transversal que se muestra en la figura, sometida a un esfuerzo cortante vertical descendente, obtener la expresión analítica y la representación gráfica de la distribución de tensiones tangenciales en la sección. 669 S. Oller, L. G. Nallim - Características geométricas A 40 0.5 20 1 20 0.5 50 cm2 yCG 40 0.5 10 20 10 1 5 6 cm A 2 2 1 103 Ixx 2 1 10 5 6 40 0.5 42 20 0.5 6 12 186.66 320 360 866.66 cm4 Los momentos estáticos se obtienen empleando las coordenadas locales que se muestran en la figura: S s s AB S s s BC S s s ED * x * x * x B A B C D E S * 0 xA 0.5 4 S x* 20 cm3 B S * 0 xC 0.5 4 S x* 20 cm3 B 0.5 6 S * 0 xE S x* 30 cm3 D 670 Esfuerzo de Corte B s s DB Sx* s 30 1 s DB 6 30 6 s DB D 2 2 DB 2 S * 30 cm3 xD Sx* 48 cm3 DB /2 Sx* 40 cm3 B - Distribución de tensiones tangenciales Q Sx* s Ixx t Ejemplo 6-11: Dada la sección transversal que se muestra en la figura, determinar analíticamente la posición del centro de corte. A 0.005 m2 xCG 0.045 m; yCG 0.1 m I1 3.669 105 m4 ; I2 1.239 105 m4 0º Q1 0; Q2 Q - Momentos estáticos para el lado AB 671 S. Oller, L. G. Nallim S1* s s AB 0.01 x2A B A S 2* s S1* s AB 0 0 0.15 5 S1* s AB 7.5 10 2 S * s AB 0.15 1.5 104 1 S 2* s AB 0 0 AB * AB 0.15 s 5 s AB 0.01 x1A S2 s 5.063 10 2 2 S * s AB 0.15 4.5 105 2 B A - Distribución de tensiones en el lado AB 0 f AB Q Q Q 0.01 s AB 0.1 s I1 S2* s I 2 S1* s 5 3.669 10 2 1 f AB s AB 27.255 s AB Q V AB 0.15 0 Q 27.255 s ds AB AB 0.3066 Q - Equilibrio rotacional respecto del punto " C " , d VAB 0.2 0.06132 Q 672 Esfuerzo de Corte Ejemplo 6-12: Determinar la distribución de tensiones tangenciales cuando en la sección de la figura actúa un esfuerzo cortante Q vertical, aplicado en el centro de corte de la sección (no hay torsión). El espesor de las paredes es constante t 0.5 cm A 15 cm2 ; xCG 1.25 cm; yCG Nota: f s s t s Ixx 539.219 cm4 8.75 cm I yy 164.219 cm4 4 Ixy 210.938 cm Q1 * Q S2 s 2 S1* s I2 I1 x1 cos sen x ; x2 sen cos y * * S1 s cos -sen Sx s * * S2 s sen cos Sy s - Ejes principales de inercia 2 I1 633.944 cm4 Ixx I yy Ixx I yy 2 I1,2 Ixy 4 2 I2 69.494 cm 2 673 S. Oller, L. G. Nallim 2 Ixy 1 arctan 2 Ixx I yy 24.183º Entonces resulta, Q1 Q cos ; Q2 Q sen 2 2 - Tensiones tangenciales para el lado AB s AB AB x1 s x A cos y A sen 2 AB x s AB x s sen y cos A A 2 2 S1* s s AB 0.5 x2 s AB B A S1* s AB 0 0 S1* s AB 5 20.655 * AB S1 s 10 36.189 S2* s AB 0 0 B S2* s s AB 0.5 x1 s AB S2* s AB 5 7.853 A * AB S2 s 10 4.303 Q Q f AB s s t 1 S2* s 2 S1* s I2 I1 f AB 0 0; f AB 5 0.017 Q; f AB 10 0.027 Q - Tensiones tangenciales para el lado BC s BC BC x s x y cos 1 B sen B 2 BC x s BC x sen y s cos B B 2 2 674 Esfuerzo de Corte S1* s s BC 0.5 x2 s S1* s AB 10 C B S2* s s BC 0.5 x1 s S2* s AB 10 C B f BC s BC s t f BC 0 0.027 Q; S1* s BC 0 36.189 S1* s BC 7.5 42.821 * BC S1 s 15 23.793 S2* s BC 0 4.303 S2* s BC 7.5 3.814 * BC S2 s 15 0.409 Q1 * Q S2 s 2 S1* s I2 I1 f BC 7.5 0.084 Q; f BC 15 0.037 Q - Tensiones tangenciales para el lado CD s CD CD x1 s xCG cos yCG sen 2 CD x s CD x s sen y cos CG CG 2 2 S1* s s CD 0.5 x2 s CD S1* s BC 15 C D S2* s s BC 0.5 x1 s CD S2* s BC 15 C B f CD s CD s t f CD 0 0.037 Q; S1* s CD 0 23.796 S1* s CD 2.5 12.538 * CD S1 s 5 0 S2* s CD 0 0.409 S2* s CD 2.5 1.221 * CD S2 s 5 0 Q1 * Q S2 s 2 S1* s I2 I1 f CD 2.5 0.011 Q; f CD 5 0 675 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 6-13: Dada la sección transversal de la figura, sometida a un esfuerzo cortante Q vertical ascendente, obtener: 1. Las tensiones tangenciales en toda la sección y la representación de su distribución. 2. El máximo esfuerzo cortante Q que puede soportar la sección, sabiendo que la máxima tensión tangencial no debe ser superior a max 200MN / m2 Espesor de paredes t 1.5 cm A 57 cm2 Ixx 3705.0 cm4 4 I yy 734.0 cm 4 Ixy 1215.0 cm I1 4139.0 cm4 4 I2 301.0 cm 19.642º Nota: f s s t s Q1 * Q S2 s 2 S1* s I2 I1 676 Esfuerzo de Corte cos sen Q1 0.942 Qy Q1 2 2 Qx 0 Q2 sen cos Qy Q Q2 0.336 Qy 2 2 x1 cos sen x ; x2 sen cos y * * S1 s cos sen Sx s * * S2 s sen cos Sy s - Ejes locales y Distribución de las tensiones tangenciales - Máximo corte Q para que max 200MN / m2 0.02MN / cm2 max f max 0.06 Qy 1.5 t Qy max 1.5 0.02 1.5 0.5MN 0.06 0.06 Q Qy 0.5MN - Momentos estáticos y tensiones tangenciales Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-13. S. Oller, L. G. Nallim 677 Ejemplo 6-14: Dada la sección transversal de la figura, sometida a un esfuerzo cortante Q 10 kN , vertical ascendente, obtener: 1. Las tensiones tangenciales en toda la sección y la representación de su distribución. 2. La posición del centro de corte sobre el eje x1 . 678 Esfuerzo de Corte Espesor de paredes t 0.5 cm Cálculo del área y momento de inercia A 2 20 20 0.5 30 cm2 I1 2 20 0.5 102 I1 2333.33 cm4 - Ejes locales y distribución del flujo de corte - Momentos estáticos y tensiones tangenciales 0 Q1 Q Q f s S2* s 2 S1* s 2 S1* s I2 I1 I1 0.5 203 12 679 S. Oller, L. G. Nallim Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-14. - Centro de corte Q d VBC 20 VBA 20 d 0.267 20 2.411 20 10 d 4.288cm 680 Esfuerzo de Corte - Verificación 20 20 fB 4 f BE fE 0.4285 4 0.535 0.4285 10 kN 6 2 6 V BA V FE V DE 0 Q2 V EB Q1 V BC Ejemplo 6-15: Dada la sección transversal de la figura, sometida a un esfuerzo cortante vertical ascendente Qy 200 kN , obtener: 1. La distribución de tensiones tangenciales producida por el cortante vertical, aplicado en el centro geométrico, tal como indica la figura. 2. La posición del centro de esfuerzos cortantes. A 0.011 m2 Ixx 0.6289 104 m4 4 4 Iyy 1.6766 10 m 4 4 Ixy 0.1286 10 m I1 1.6921104 m4 4 4 I2 0.6134 10 m 6.895º (entre x , y) 1 De la figura ˆ 90º 83.105º y 6.895º ; entonces S1* s cos ˆ sen ˆ Sx* s S1* s S2* s f s Q sen cos y * * I2 S2 s sen ˆ cos ˆ Sy s I1 S. Oller, L. G. Nallim - Ejes locales - Momentos estáticos en la base x , y S * s B s AB t y 0 y AB A CG A x Tramo AB B s S *y s A s AB t AB x A0 xCG 2 C B * 0 s * BC S x s B S x B A s t BC yB yCG 2 Tramo BC C B * * 0 BC S y s B S y B A s t BC xB xCG S * s D S * C C s CD t y 0 y x CD C CG C B x Tramo CD D C s S *y s C S *y C B s CD tCD xC0 xCG 2 E D * 0 s DE * S x s D S x D C s t DE yD yCG 2 Tramo DE E D * DE * 0 S y s D S y D C s t DE xD xCG 681 682 Esfuerzo de Corte - Flujo de Corte Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-15. - Distribución del flujo de corte S. Oller, L. G. Nallim - Verificación del equilibrio (aplicando Simpson) 0.15 0 4 271.9 529.9 40.441 6 0.20 529.9 4 789.6 564.85 141.783 6 0.30 564.85 4 125.6 257.9 40.467 6 0.20 257.9 4 371.2 0 58.096 6 V AB V BC V CD V ED Qy V BC V ED 141.783 58.096 199.879 kN AB CD 0 V V 40.441 40.467 0.027 kN 0 2. Cálculo del centro de corte - Cálculo sobre la distancia x1 ( d1 ) 683 684 Esfuerzo de Corte Tomando momento respecto a " B " V CD d1 Q2 0.2 V ED 0.3 Q2 Q2 D S1* s D S1* s Q sen ds 0.3 Q sen ds 0.2 C E I1 I1 Q sen d1 1 I1 D C S1* s ds 0.2 D E S1* s ds 0.3 1 0.3 5.363 104 4 6.166 104 4.735 104 0.20 I1 6 0.2 4.735 104 4 2.278 104 0 0.30 6 d1 0.124 - Cálculo de la distancia sobre el eje x2 ( d2 ) Tomando momento respecto a " B " V CD d2 Q2 0.2 V ED 0.3 Q2 Q2 685 S. Oller, L. G. Nallim d2 D 1 S2* s ds 0.2 I2 C D E S2* s ds 0.3 1 0.3 1.51104 4 1.177 105 1.004 104 0.20 I2 6 0.2 1.004 104 4 1.247 104 0 0.30 6 d2 0.183 - Cambio de base de las coordenadas del centro de corte dx cos ˆ sen ˆ d1 dx cos 83.105º sen 83.105º 0.124 dy sen ˆ cos ˆ d2 dy sen 83.105º cos 83.105º 0.183 dx 0.196 m d y 0.101 m Ejemplo 6-16: Dada la sección transversal de la figura, sometida a un esfuerzo cortante vertical ascendente Qy 10 kN , obtener la distribución de tensiones tangenciales. 686 Esfuerzo de Corte t 0.03 m I1 7.099 104 m4 4 4 I2 1.546 10 m 6.238º yCG 0.1833 m xCG 0.0667 m S1* s S2* s f s Q sen cos I2 I1 S1* s cos sen Sx* s x1 cos sen x y * * y x sen cos S2 s sen cos Sy s 2 - Momentos estáticos en la base x , y S * s B s AB t y 0 y A CG A x Tramo AB B s AB S y* s A s AB t x A0 xCG 2 * 0 s BC C B BC * S x s B S x B A s t yB yCG 2 Tramo BC C B * BC * 0 S y s B S y B A s t xB xCG S. Oller, L. G. Nallim S * s D S * C C s CD t y 0 y x C CG C B x Tramo CD D C s CD S *y s C S *y C B s CD t xC0 xCG 2 * 0 s DE E D DE * S x s D S x D C s t yD yCG 2 Tramo DE E D * DE * 0 S y s D S y D C s t xD xCG - Flujo de Corte Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-16. 687 688 Esfuerzo de Corte - Distribución del flujo de corte - Verificación del equilibrio (aplicando Simpson) V ij lij fij fi 4 f j 6 2 Fx V AB V CD 2.1275 2.1341 6.6 103 N CB DE Fy V V 10.135 0.0147 9.987 N Ejemplo 6-17: Dada la sección transversal de la figura, sometida a un esfuerzo cortante vertical ascendente Qy 10 kN , obtener la distribución de tensiones tangenciales. 689 S. Oller, L. G. Nallim t 0.03 m I1 8.009 104 m4 4 4 I2 2.818 10 m 0º yCG 0.1833 m xCG 0.0667 m S* s S* s S* s S* s f s st Q 1 sen 2 cos Q 1 sen 90º 2 cos 90º I2 I2 I1 I1 S* s Q 1 I1 - Momentos estáticos del cuarto de sección simétrico Por simetría se supone nulo el momento estático en AB / 2 y en CD / 2 . También, por simetría los momentos estático en B y en C son iguales. S * s B s AB t y AB /2 y CG 0 AB / 2 x AB ;B Tramo AB / 2 s AB B 2 AB * S y s AB / 2 s t x0 xCG 2 * B s BC BC /2 B BC * S s S B s t y0 yCG x x BC B AB /2 2 Tramo B; 2 BC / 2 B BC B * * S y s B S y B AB / 2 s t x0 xCG 690 Esfuerzo de Corte - Flujo de Corte Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-17. 691 S. Oller, L. G. Nallim - Distribución del flujo de corte - Verificación del equilibrio (aplicando Simpson) V ij lij fij fi 4 f j 6 2 Fx V AB /2 2 VAB /2 2 0 CB /2; B 0.988 N Fy 4 V Ejemplo 6-18: En la sección transversal de la figura, todas las paredes tienen el mismo espesor ( t 0.012 m ). Determinar: 1. La distribución de tensiones tangenciales (o flujo) cuando actúa un cortante vertical ascendente Q 500 kN . 2. Utilizando las tensiones o flujo obtenido en el apartado anterior, verificar que Q es el único esfuerzo resultante en la sección transversal. 692 Esfuerzo de Corte Espesor de paredes t 0.012 m A 0.0312 m2 I1 1.730 103 m4 3 4 I2 0.738 10 m 0 Q1 Q Q f s st s S * s 2 S1* s 2 S1* s I2 2 I1 I1 - Ejes locales - Cálculo de momentos estáticos (considerando la simetría) Tramo G ' G S s * 1 G G' s G 'G t 0.35 * E G sGE GE * Tramo GE S1 s G S1 G G ' s t 0.35 2 Tramo E ' E S s * 1 E E' 0 s E ' E t 0.15 EC E; EC EC 2 E ; E E s EC * Tramo E; S1 s 2 S1* E S1* E s 2 t 0.15 E G E' 2 2 S. Oller, L. G. Nallim Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-18. 693 694 Esfuerzo de Corte - Distribución del flujo cortante y esfuerzos resultantes Ejemplo 6-19: Dada la sección transversal de la figura, sometida al esfuerzo cortante Q Q2 que se indica, obtener la distribución de tensiones tangenciales y su trazado. Espesor de paredes t 0.002 m 695 S. Oller, L. G. Nallim La sección es simétrica respecto de los ejes x1 y x2 y su centro geométrico CG coincide con el centro de corte CC , y se ubican como se muestra en la figura. Los flujos de cortante están dados por: 0 Q1 Q Q f s S2* s 2 S1* s 2 S1* s I2 I1 I1 - Cálculo del momento de inercia principal I1 0.1 0.0023 0.1 0.0023 0.1 0.002 0.12 2 0.1 0.002 02 I1 2 12 12 0.002 0.23 2 0.2 0.002 02 12 I1 6.667 106 m4 - Ejes locales 696 Esfuerzo de Corte - Momentos estáticos Tramo AB S s * x B A s AB t 0.1 * C B s BC BC * Tramo BC S x s B S x B A s t 0.1 2 Tramo CD S s * x C D s DC t 0 E C C s CE Tramo CE S x* s C S x* C D S x* C B s CE t 2 Tramo EF S s * x F E S x* E s EF t 0.1 E C -Cálculo del flujo y de la tensión tangencial en la sección S. Oller, L. G. Nallim 697 Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-19. - Verificación del equilibrio Fx 0 2 V BC / Q2 V CE / Q2 1/ Q2 2 0.25 / Q2 0.25 / Q2 1/ Q2 2 AB EF Fx1 0 2 V / Q2 V / Q2 2 0.0375 / Q2 0.0375 / Q2 Ejemplo 6-20: La viga de la figura está sometida a una carga uniformemente repartida p 50 kN / m . La sección transversal de la viga es un perfil angular de alas iguales como el que se muestra en la figura. Determinar las tensiones tangenciales en la sección de la viga sometida a máximo corte. 698 Esfuerzo de Corte -Características geométricas de la sección A 0.5 0.5 0.01 0.01m2 0.5 0.01 0.5 0.5 0.01 0.5 / 2 0.375 m yCG 0.01 x 0.5 0.01 0 0.5 0.01 0.5 / 2 0.125 m CG 0.01 Reacciones de vínculo F 0 V V 50 7 M 0 V 5 50 7 7 / 2 y A B A B a) Corte máximo B Qmax QB A 145 kN 699 S. Oller, L. G. Nallim b) Tensiones tangenciales para el corte máximo - Momentos de inercia en la base x , y respecto al centro geométrico 2 2 0.5 0.013 0.53 0.01 0.5 Ixx 0.5 0.01 0.5 0.375 12 0.5 0.01 2 0.375 12 Ixx 2.605 104 m4 2 3 0.53 0.01 0.5 0.125 0.5 0.01 0.5 0.01 0 0.125 2 Iyy 0.5 0.01 2 12 12 Iyy 2.605 104 m4 0.5 0.5 Ixy 0.5 0.01 0.5 0.375 0.125 0.5 0.01 0.375 0 0.125 2 2 4 4 Ixy 1.563 10 m - Momentos principales de inercia respecto al centro geométrico 2 Ixx I yy Ixx I yy 2 I1,2 Ixy 2 2 2 2 2.605 104 2.605 104 2.605 104 2.605 104 1.563 104 2 2 I1 4.167 104 m4 4 4 I2 1.042 10 m ; 2 Ixy 1 45 arctg 2 4 Ixx I yy 700 Esfuerzo de Corte - Direcciones principales, ejes locales y cambio de base Qmax 145 kN Q2 Qmax cos 145 cos 102.53 kN 4 Q1 Qmax sen 145 sen 102.53 kN 4 cos sen cos sen * * x 4 4 4 S s x1 4 Sx s ; 1* * S2 s sen cos Sy s x2 sen cos y 4 4 4 4 - Momentos estáticos en la base x , y S * s B s CBt 0.125 C x Tramo CB B s CB S y* s C s CBt 0.375 2 * A B s BA * BA 0.125 S s S B s t x B x C 2 Tramo BA A B * S s S *y B s BAt 0.125 C y B - Flujo de Corte Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-20. S. Oller, L. G. Nallim - Distribución del flujo de corte - Verificación del equilibrio (aplicando Simpson) 0.5 0 4 54.138 217.482 0.018 0 6 0.50 FV 6 217.482 4 380.541 0 144.97 kN M B 0 el Centro de cortante (CC ) coincide con el punto B F H 701 702 Esfuerzo de Corte Ejemplo 6-21: Determinar la magnitud y distribución de las tensiones tangenciales producidas por el esfuerzo de corte vertical ascendente de 200 kN aplicado en el centro geométrico de la sección mostrada en la figura. - Características geométricas de la sección A 10 1 20 1.5 2 30 1 110 cm2 20 1.5 10 2 30 1 20 xCG 10.91 cm 110 2 1.5 203 Ixx 2 10 1 10.912 20 1.5 10 10.91 30 1 9.092 12 4 Ixx 6909 cm - Momentos estáticos en la mitad simétrica Tramo EA Tramo FA S s S s A * x E * x F A s EAt EA 10.91 s FAt FA 10.91 B A A Tramo AB S x* s A S x* A E S x* A F s AB t AB s AB 2 10.91 703 S. Oller, L. G. Nallim Tramo BC S s * x C B S x* B s BC t BC 9.09 B A - Flujo de Corte (parte simétrica) Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-21. 704 Esfuerzo de Corte - Verificación del equilibrio (aplicando Simpson) V AB 20 3.158 4 5.742 3.947 100.2 kN 6 V EA 1.579 5 3.94 kN 2 V FA 1.579 5 3.94 kN 2 V BC 3.947 15 29.602 kN 2 3.94 3.94 29.602 F 3.94 3.94 H parte simétrica F V 29.602 0 parte simétrica 100.2 100.2 200.4 kN Q parte simétrica Ejemplo 6-22: Dada la sección transversal que se representa en la figura, sometida a un esfuerzo vertical descendente, se pide obtener la magnitud y distribución de las tensiones tangenciales en toda la sección. - Características geométricas A 40 0.5 20 1 20 0.5 50 cm2 S. Oller, L. G. Nallim yCG 40 0.5 10 2 10 1 5 6 cm 50 2 2 1 103 Ixx 2 1 10 5 6 40 0.5 42 20 0.5 6 12 186.67 320 360 Ixx 866.67 cm4 - Ejes locales y distribución de las tensiones tangenciales 705 706 Esfuerzo de Corte - Momentos estáticos (mitad simétrica) Tramo AB Tramo CB Tramo ED S s S s S s * x * x * x B A B C D E s AB t AB 4 s CB tCB 4 s ED t ED 6 DB * B E * DB s 6 Tramo DB S x s D S x D D s t 2 - Flujo de Corte Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-22. Ejemplo 6-23: Determinar la distribución de tensiones tangenciales cuando en la sección de la figura actúa un esfuerzo cortante Q 100kN vertical ascendente, aplicado en su centro de esfuerzos cortantes (no hay torsión). 707 S. Oller, L. G. Nallim t 0.5 cm A 15 cm2 Ixx 539.219 cm4 4 I yy 164.219 cm 4 Ixy 210.938 cm yCG 8.75 cm xCG 1.25 cm f s st S s S s Q2 Q1 I1 I2 * 1 * 2 Q1 Q cos 2 Q Q sen 2 2 S1* s cos sen Sx* s x1 cos sen x ; S* s sen cos S* s 2 y x2 sen cos y - Cálculo de los momentos principales y direcciones principales de inercia. 2 Ixx I yy Ixx I yy 2 I1,2 Ixy 2 2 2 539.219 164.219 2 539.219 164.219 210.938 2 2 I 633.944 cm4 I1,2 1 4 I2 69.494 cm 2 Ixy 1 2 210.938 1 arctg arctg 24.183º 2 Ixx I yy 2 539.219 164.219 708 Esfuerzo de Corte - Momentos estáticos en la base x , y S * s B s AB t 6.25 A x Tramo AB B s AB * AB S y s A s t 8.75 2 * C B s BC BC * S s S B s t 6.25 x B x A 2 Tramo BC C B * BC * S y s B S y B A s t 1.25 S * s D S * C C s CD t 8.75 x C B x Tramo CD D C s CD S *y s C S *y C B s CD t 1.25 2 - Flujo de Corte Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-23. 709 S. Oller, L. G. Nallim - Distribución del flujo de corte y magnitud de tensiones tangenciales Ejemplo 6-24: La sección transversal que se representa en la figura, está sometida a una carga de compresión de 150 kN aplicada en el punto " A " y a un esfuerzo de corte ascendente de 50 kN aplicado en el centro de corte. Obtener: 1. La distribución de tensiones normales en la sección. 2. la ecuación de la línea neutra y su representación gráfica. 3. La distribución de tensiones tangenciales en la sección. - Características geométricas Los radios de giro respecto de los ejes principales de inercia de la sección están dados por: i12 I1 4.47 103 0.19456 m2 ; A 0.023 i22 I2 6.60 104 0.0287 m2 A 0.023 - Ecuaciones de cambio de base * * x1 cos sen x S1 s cos sen Sx s ; * * S2 s sen cos Sy s x2 sen cos y 710 Esfuerzo de Corte t 0.01 m A 0.023 m2 I1 4.47 103 m4 4 4 I2 6.60 10 m yCG 0.47826 m xCG 0.10652 m - Ecuaciones fundamentales Se emplearán las siguientes ecuaciones, vistas en los correspondientes capítulos, que se repiten a continuación para facilitar el desarrollo de este ejemplo. Para las tensiones normales: N x1 , x2 1 e1 A i22 e2 1 x1 N e1 e1 A 1 2 x1 2 x2 2 i1 i1 x2 i2 Para las tensiones tangenciales: S* s S* s f s st Q 1 sen 2 cos I2 I1 - Excentricidades en las bases x , y ; x1 , x2 ex 0 xCG 0.10652 exy e 0 y y CG 0.47826 e cos 18.95º sen 18.95º ex 0.25606 e12 1 e2 sen 18.95º cos 18.95º ey 0.41775 711 S. Oller, L. G. Nallim 1. Cálculo de las tensiones normales en ejes principales x1 , x2 Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-24 a). 2. Ecuación del eje neutro En la base x1 , x2 x1 , x2 e N e1 1 2 x1 21 x2 0 1 8.92231 x1 2.14709 x2 0 A i2 i1 x2 0.4657 4.15553 x1 En la base x , y x1 cos 18.95º sen 18.95º x Sustituyendo en la ecuación del eje neu x2 sen 18.95º cos 18.95º y tro, se obtiene: 0 1 7.74143 x 4.92832 y 712 Esfuerzo de Corte Utilizando esta ecuación se obtiene la intersección de la línea neutra con los lados de la sección en la base x , y y en la base x0 , y0 , x 0.10652 m y 0.37023 m Lado CA x0 0 m y0 y yCG 0.84849 m y 0.47826 m x 0.43364 m Lado AD x0 x xCG 0.54017 m y0 0 y 0.5515 m x 0.20282 m Lado EC x0 x xCG 0.0963 m y0 1 m - Representación de las tensiones normales en la sección S. Oller, L. G. Nallim 713 3. Cálculo de las tensiones tangenciales, debidas a Q aplicada en el centro de cortante - Ejes locales - Momentos estáticos en la base x , y S * s A s DAt y D y CG 0 D x Tramo DA A s DA xCG S y* s D s DAt x0D 2 * C A s AC AC * A yCG S x s A S x D s t y0 2 Tramo AC C A * AC A * S y s A S y D s t x0 xCG S * s C s BC t y B y CG 0 B x Tramo BC C s BC xCG S *y s B s BC t x0B 2 S * s C s EC t y E y CG 0 E x Tramo EC C s EC xCG S *y s E s EC t x0E 2 714 Esfuerzo de Corte - Flujo de Corte Ver Tabla con el detalle de las operaciones en Anexo Capítulo 6. Ejemplo 6-24 b). 715 S. Oller, L. G. Nallim 6.6 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo Corte recto en secciones macizas Fórmula de Collignon-Jourawski dM1 S1* ( x2 ) Q2 S1* ( x2 ) dx3 I1 b( x2 ) I1 b( x2 ) ( x2 ) Coeficiente de uniformidad de corte max Estado combinado de tensiones nor- I 2 males y de corte Energía de defor1 Q22 W ˆ mación por corte 2 AG Área reducida – Factor de forma de las secciones (6.12) Q2 Q2 A A (6.14) 2 1 2 2 2 4 2 2 1 1 dx3 W Q2 m dx3 Q2 dv Q 2 2 (6.22) 1 S *2 ( x ) I12 ; Aˆ 21 2 dx2 S1*2 ( x2 ) h I1 b( x2 ) h b( x2 ) dx2 (6.25) (6.26) Aˆ ˆ A Fórmula de Collignon-Jourawski para secciones compuestas Secc. 6.3.1.3 ni l ( x2 ) Q2G l Ei S1* ( x2 ) i 1 i k k E j I1 j G b ( x2 ) j 1 k 1 nj nk (6.78) Corte recto en secciones delgadas Fórmula de Collignon-Jourawski Posición del centro de corte ( s ) Q 2 S1* ( s ) I1 t ( s ) f ( s ) ( s ) t ( s ) d1 V AB h Q2 Q 2 S1* ( s ) I1 (6.27) (6.47) 716 Flujo en secciones cerradas Cambio de base de momentos estáticos Fórmula de Collignon-Jourawski Esfuerzo de Corte f (s) ds Q2 S ( s ) t (s) f '( s ) f ( s ) f ds I1 c t (s) * 1 c * S1* cos -sen S x * * S 2 sen cos S y Corte esviado en secciones macizas (6.63) (6.64) (6.68) * Q S nn I nn b cos Corte esviado en secciones delgadas Fórmula de ColligdM1 S1* ( x2 ) d M2 S 2* ( x1 ) ( x1 , x2 ) non-Jourawski dx3 I1t dx3 I 2t Q S*(x ) Q S*(x ) ( x1 , x2 ) 2 1 2 1 2 1 I1t I 2t (6.85) (6.86) S. Oller, L. G. Nallim 717 En este Anexo se presentan las Tablas Complementarias con el detalle de las operaciones realizadas en cada celda de las tablas que se utilizan para obtener los resultados que se muestran en los ejemplos del Capítulo 6 de este libro. Para mayor claridad se ordenan y designan a las diferentes tablas con el número del ejemplo al que se hace referencia en el Capítulo 6. 718 Ejemplo 6-13 Anexo – Capítulo 6 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 6-14 719 720 Ejemplo 6-15 Anexo – Capítulo 6 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 6-16 721 722 Ejemplo 6-17 Anexo – Capítulo 6 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 6-18 723 724 Ejemplo 6-19 Anexo – Capítulo 6 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 6-20 725 726 Ejemplo 6-21 Anexo – Capítulo 6 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 6-22 727 728 Ejemplo 6-23 Anexo – Capítulo 6 S. Oller, L. G. Nallim Ejemplo 6-24 a) 729 730 Ejemplo 6-24 b) Anexo – Capítulo 6 S. Oller, L. G. Nallim 731 7.1 Introducción al problema de torsión Una pieza prismática está sometida a torsión, cuando al reducir el sistema de fuerzas exteriores al centro geométrico de una sección transversal cualquiera de la pieza (o al centro mecánico en el caso de secciones mixtas), resulta un momento torsor MT . Si sólo actúa este momento torsor en la sección transversal de la pieza – libre de flexión, cortante y normal –, se dice que el problema es de torsión pura1. 7.1.1 Ley de distribución del esfuerzo de torsión en una barra El cálculo y distribución del esfuerzo de torsión en una barra recta –ley de momentos torsores– constituye un problema que en muchos casos es hiperestático. Una forma simple de calcular la distribución de este esfuerzo es mediante un símil entre el esfuerzo de torsión y el esfuerzo cortante producido por una carga ficticia de magnitud equivalente al módulo del momento torsor (ver Tabla 7.1). 1 J. M. Gere. Timoshenko - Resistencia de materiales. Editorial Internacional Thomson Editores Spain Paraninfo. Madrid, 2002. 732 Momento Torsor Esta forma simple de proceder, mediante una analogía entre la ley del cortante y la ley del torsor, permite calcular la ley de distribución del momento torsor en una barra y será utilizada como complemento de las leyes de esfuerzo ya estudiadas en el Capítulo 3 (Estructuras isostáticas: Leyes de esfuerzo). La relación entre el momento torsor y el giro relativo –ángulo de torsión específico– entre dos secciones transversales adyacentes fue estudiado por primera vez por Coulomb en el año 1784, pero su análisis sólo se centró en barras cilíndricas. Fue luego, en 1855, cuando Saint Venant extendió la formulación de torsión a barras de secciones transversales cualesquiera (rectangular, elíptica, etc.), siempre que se cumpla la condición de torsión uniforme a lo largo del eje de la barra. Esta última teoría permite predecir la relación entre la tensión tangencial , la distorsión angular , el momento torsor MT y el ángulo de torsión específica para secciones de forma cualesquiera. La teoría de Coulomb se basa en que las secciones transversales no se alabean (situación de cumplimiento estricto en barras cilíndricas), mientras que la de Saint Venant ha sido establecida bajo el supuesto de que las secciones se alabean, pero todas uniformemente y libremente. El alabeo en las secciones nocirculares/anulares ocurre como consecuencia de los fuertes gradientes de tensión que hacen que la sección pierda la planaridad. Si el alabeo relativo entre todas las secciones a lo largo del eje de la pieza es constante, podría utilizarse la teoría de Saint Venant sin grandes errores en una gran cantidad de problemas de la ingeniería. El cumplimiento de esta hipótesis se consigue cuando la torsión es uniforme a lo largo del eje longitudinal de la barra. En el caso que esto no se cumpla y ocurra un momento torsor variable a lo largo de la pieza o se tengan secciones transversales restringidas de alabearse, será necesario abordar el estudio del problema mediante una teoría general establecida a partir de la Teoría de la Elasticidad2, pero que excede del tratamiento de la resistencia de materiales que aquí se está haciendo. Para comenzar el estudio del comportamiento a torsión de las barras, primeramente se tratará la torsión en piezas cilíndricas y luego se presentará la generalización de Saint Venant para piezas sometidas a torsión uniforme (sin alabeo relativo entre secciones de la misma pieza). 2 S. P Timoshenko, and J. N Goodier. Theory of elasticity. McGraw-Hill, 1970 S. Oller, L. G. Nallim 733 Tabla 7.1 – Leyes de momentos torsores obtenidas a partir de la “barra equivalente”. Notar que sólo hay torsión uniforme en tramos de las piezas a), b) y c), siempre lo suficientemente alejados de las condiciones de contorno impuestas (apoyos y/o cargas). 734 Momento Torsor 7.2 Teoría de torsión para piezas cilíndricas 7.2.1 Introducción Como se comentó, este problema fue estudiado por primera vez por Coulomb (1784). Se considera torsión constante a lo largo de toda la barra cilíndrica. Es decir, la barra está sometida a dos pares extremos iguales y de sentido contrario. Al actuar el momento torsor MT se produce un giro relativo entre las dos caras extremas y cada sección genérica s s experimenta también un cierto giro (ver Figura 7.1 ). Figura 7.1 – Barra cilíndrica sometida a torsión y su deformación. Para abordar el estudio de este problema es necesario admitir las siguientes hipótesis básicas establecidas por Coulomb: 1. Toda sección circular plana y normal al eje de la pieza gira por acción de la torsión respecto de su respectivo centro. 2. Toda sección circular plana y normal al eje de la pieza se conserva plana y circular después de la deformación. 735 S. Oller, L. G. Nallim 3. Todo radio trazado en una sección cualquiera, se conserva recto después de la deformación. Estas tres hipótesis podrían entenderse con más claridad si el lector se imaginara que la barra cilíndrica está conformada por una pila de discos, que giran uno respecto de otro sólo impedido por la fricción desarrollada entre sus caras. Esta teoría puede demostrarse mediante razonamientos geométricos que se expondrán a continuación y es estrictamente exacta en concordancia con la teoría de la elasticidad. 7.2.2 Estado de deformación de la barra Cortando una rebanada diferencial de la barra cilíndrica de la Figura 7.1 y estudiando las relaciones geométricas que resultan del giro entre las dos secciones distanciadas dx 3 (ver Figura 7.2), se obtiene la expresión que relaciona la distorsión superficial cilíndrica , provocada por el giro absoluto de una sección respecto de otra, y el ángulo de torsión unitario o ángulo de torsión específico por unidad de longitud . Esto es, d dx 3 ds d ds dx3 (7.1) Figura 7.2 – Estado de deformación en una rebanada de barra cilíndrica, sometida a torsión. 736 Momento Torsor 7.2.3 Estado de tensión y equilibrio de la barra En la Figura 7.3 se observa la rebanada de longitud dx3 sometida a la acción del momento torsor MT . Si sobre la sección transversal se aísla un punto a través de un elemento diferencial de área, la tensión tangencial en este elemento diferencial es compatible con las condiciones de borde de la barra, es decir tangente a la curva que define el contorno. A partir de la descomposición de la tensión en las direcciones principales ( x1 , x2 ), resulta el siguiente tensor de tensiones para ese punto de la sección transversal, 0 0 0 0 31 32 13 23 0 siendo: 33 22 11 12 0 31 1 sen cos 2 32 (7.2) A partir de la ley de Hooke (ecuación constitutiva) y sustituyendo en ella la ecuación (7.1), se obtiene el siguiente estado tensional en la sección transversal, () G () G con G E 2(1 ) (7.3) donde G es el módulo de elasticidad transversal o módulo de corte (ver ec.(6.6)). Asimismo, la distribución de las tensiones tangenciales dada por la ecuación (7.3) se representa gráficamente en la Figura 7.4. Teniendo en cuenta las ecuaciones anteriores –estado de deformaciones, estado de tensiones y ecuación constitutiva– y la Figura 7.4, se deduce a continuación la ecuación de equilibrio entre el esfuerzo externo (momento torsor) y las tensiones que se desarrollan en el interior de la barra. La tensión () que se desarrolla en un elemento dA , distante del eje de la barra un radio , produce un momento torsor igual a: d MT () dA MT () dA A (7.4) Sustituyendo en la ecuación anterior la ecuación (7.3), se obtiene, MT () dA A A ( G ) dA G 2 dA G I p A (7.5) 737 S. Oller, L. G. Nallim donde I p es el momento de inercia polar3 de la sección (ver Apéndice). Figura 7.3 – Estado de tensión elástica en una rebanada de barra cilíndrica, sometida a torsión. Figura 7.4 – Distribución tensional en una sección transversal de una barra cilíndrica sometida a torsión. 3 4 4 Inercia polar: 1) Sección circular maciza de diámetro D 2 R I p D R ; 2) Sección anu- 32 2 d4 4 4 . lar de diámetro mayor D 2R y diámetro menor d 2r I p 1 D4 2 R r 32 D 4 738 Momento Torsor Figura 7.5 – Superficie de rotura generada por un momento torsor en una barra cilíndrica constituido por un material frágil. Despejando de la ecuación (7.5) el ángulo de torsión unitario , se obtiene una expresión equivalente a la curvatura de Bernoulli para problemas de flexión4 (ver Analogía entre el problema de flexión de Euler-Bernoulli y el problema de torsión de Coulomb M1 du d 1 d M1 ( x2 ) x2 3 x2 3 x2 == I1 dx3 dx3 dx3 E I1 Torsión de Coulomb M ds d d MT () T () Ip dx3 dx3 dx3 G I p 4 Flexión de Euler- Bernoulli 739 S. Oller, L. G. Nallim Capítulo 5) y también resulta la expresión de la tensión en función del momento torsor (expresión también análoga a la fórmula de Navier para problemas de flexión). Esto es, MT G Ip sust.(7.3) M M () ( G ) T T GI I p p M max G max T max Ip (7.6) Sustituyendo en esta última la ecuación (7.1), se obtiene la expresión para el giro absoluto entre dos secciones distantes una magnitud . d MT dx3 G I p MT dx3 GI p (7.7) Para el caso en que la torsión es constante a lo largo de la barra, la expresión anterior se reduce a la siguiente, MT GIp (7.8) Esta teoría se podría aplicar con cierta precaución a aquellos casos en que el momento torsor y la sección transversal de la barra tiene una ligera variación a lo largo del eje. La rotura que se produce por torsión en una barra cilíndrica tiene la forma de una superficie helicoidal para materiales frágiles, y ésta se inicia cuando la tensión tangencial supera la resistencia de rotura del material, que equivale a decir que la tensión principal mayor supera la resistencia de rotura a tracción. Esta afirmación resulta de estudios experimentales y puede deducirse de un simple análisis de las líneas de isotensión y para ello se muestra la Figura 7.5. 740 Momento Torsor 7.2.4 Energía de deformación elástica acumulada en la barra El trabajo realizado por el momento torsor se acumula internamente en forma de energía elástica. Para cuantificar esta energía se partirá de la densidad de energía por unidad de volumen que se acumula en un punto de la sección transversal y luego se integrará sobre todo el volumen de la barra para obtener la energía total acumulada. Esto es, 1 d G d 2 W V 1 dV 2 (7.9) Integrando primeramente sobre la sección transversal y luego sobre la longitud, resulta: W M A T dA dx3 I p MT d 2 1 dA dx3 MT d A I p dx3 2 max Ip 1 1 dA dx3 2 A 2 1 2 max (7.10) Para problemas en los cuales el momento torsor y la inercia polar son constantes, la expresión anterior se simplifica de la siguiente manera, 1 1 1 MT2 1 MT2 MT d MT max W dx3 2 max 2 2 G Ip 2 G Ip (7.11) 7.2.5 Estado de tensión elastoplástico perfecto y equilibrio de la barra Considerando como válida las hipótesis cinemáticas previamente enunciadas en el apartado 7.2.2, se formula ahora una generalización, para abordar el comportamiento a torsión elastoplástico perfecto (tensión plástica constante durante todo el proceso no-lineal) y su consecuente equilibrio. Al igual que en el caso elástico, el tensor de tensiones tiene la forma expresada en la ecuación (7.2), esto es 741 S. Oller, L. G. Nallim 0 0 0 0 31 32 13 23 0 siendo: 33 22 11 12 0 31 1 sen cos 2 32 (7.12) La ley constitutiva elasto-plástica que se utiliza para el material cumple con la siguiente restricción, 0 elástico () G () G ( ) y y 0 plástico () (7.13) donde y es la tensión límite donde se inicia el comportamiento plástico del material. A continuación se analiza la evolución del estado tensional en la sección transversal a medida que se aumenta el ángulo específico de torsión. Se considera como estado tensional de partida aquel que se muestra en la Figura 7.6a, donde la sección transversal se encuentra en el límite del comportamiento elástico, ya que sólo las fibras ubicadas en max R alcanzan la tensión límite y , correspondiendo a este caso un ángulo de torsión específico y y un momento torsor MTy que se denomina momento torsor de fluencia. Si se continúa incrementando el ángulo de torsión específico se llega al estado final representado en la Figura 7.6c, donde toda la sección se encuentre plastificada ( y ), correspondiendo este caso a un ángulo de torsión específico u y a un momento torsor MTu denominado momento torsor de plastificación total o momento último. La transición entre los dos casos mencionados (Figura 7.6a y Figura 7.6c) produce un estado tensional de plastificación parcial, pudiéndose identificar en la sección transversal un núcleo elástico de radio e y un anillo plástico periférico de espesor p R e , tal como se muestra en la Figura 7.6b. A este caso intermedio corresponde un ángulo de torsión específico a (con a y a u y a u ) y un momento torsor de plastificación parcial MT (con MT MT MT ). Se determina a continuación el momento torsor MTa y, luego, los momentos torsores MTy y MTu se obtienen como casos límites de MTa . Sustituyendo la ley 742 Momento Torsor constitutiva elasto-plástica (7.13) en la ecuación de equilibrio (7.4), resulta la siguiente relación para el problema elasto-plástico, e MT MTp e MTa () dA () (2 d ) ( G ) 2 2 d A e 0 R 2 G 3 d 2 y e 2 d G 0 e 4 2 y 2 R3 R y e 2 2 d (7.14) e 3 3 I ep donde MTe es la parte del momento torsor MTa equilibrada por el núcleo elástico, MTp es la parte del momento torsor MTa equilibrada por el anillo plástico e I pe es el momento de inercia polar del núcleo elástico, dados respectivamente por, MTe G I ; e p MTp y 2 R 3 e 3 3 ; I e p e 4 2 Figura 7.6 – Transición de comportamiento de un estado elástico a totalmente plástico. De la ecuación (7.14) resulta el ángulo de torsión unitario o torsión específico y también la tensión en función del momento torsor. Esto es, 743 S. Oller, L. G. Nallim MTa y 2 R 3 e G I pe 3 3 MTa MTp G I pe 3 2 R3 e MTa y 3 ; Rango elástico: 0 e () G e Ip y ; Rango plástico: e R () (7.15) De la ecuación de equilibrio (7.14) resultan las siguientes ecuaciones particulares que corresponden, respectivamente, al momento torsor de fluencia (Figura 7.6a) y al momento torsor de plastificación total o último (Figura 7.6c): Estado elástico límite : e R Estado totalmente plastificado : 0 e R4 2 2 R 3 MTu y 3 MTy G (7.16) El radio del núcleo elástico e para un momento torsor MTa ( MTy MTa MTu ) se obtiene despejando de la ecuación (7.14). 7.3 Teoría de torsión para piezas prismáticas de sección transversal no circular sometidas a torsión uniforme 7.3.1 Introducción Este problema fue estudiado por primera vez por Saint Venant en el año 1855 para piezas sometidas a torsión uniforme y la necesitad de su estudio estuvo motivada porque la teoría de Coulomb no podía generalizarse a piezas de sección transversal no circular/anular. A partir de la teoría de Saint Venant se reconoce que las piezas de secciones nocirculares sufren alabeo después de una deformación torsional, es decir que las secciones transversales no mantienen la condición de planaridad. Este fenómeno 744 Momento Torsor necesariamente debe estudiarse desde la óptica de la Teoría General de la Elasticidad y puede decirse que sus alcances están más allá de los objetivos de la resistencia de materiales. Sin embargo, mediante la teoría de Saint Venant, que aquí se expone, puede establecerse una hipótesis de simplificación que da lugar a una aplicación de utilidad práctica. Esta hipótesis se basa en admitir que es posible estudiar, sin errores significativos, aquellas piezas cuyas secciones transversales sufran alabeo por torsión, siempre que éste sea constante en todas las secciones a lo largo del eje de la pieza (alabeo relativo nulo entre dos secciones transversales o problema de torsión uniforme)5. El alabeo de la sección, producido por fuertes gradientes de tensión que en ella ocurren, da lugar a una distribución de tensiones tangenciales muy distinta a la que resulta de la teoría de Coulomb y puede decirse que ahora el ángulo de distorsión se obtiene a partir del ángulo de torsión unitario o específico y de la función de alabeo que adopta la sección transversal. Como regla de cumplimiento obligado y previo al tratamiento de la teoría de Saint Venant, es conveniente recordar lo siguiente: - Las tensiones tangenciales en el perímetro de una sección transversal deben orientarse en dirección tangencial a dicho contorno perimetral. Como puede verse en la Figura 7.7.a, si se supone la existencia de una tensión según una orientación cualquiera, significaría la existencia de una tensión tangencial normal N y otra tangente T al contorno. Puesto que no puede existir una tensión tangencial superficial, o sea es N 0 (a no ser que exista una fuerza de fricción con la superficie exterior de la pieza), entonces necesariamente la única tensión existente es la que resulta tangente al contorno T . - En las aristas, las tensiones tangenciales deben necesariamente ser nulas, 0 , y esto resulta de una extensión de la condición anterior, puesto que ambas tensiones tangenciales 1 0 y 2 0 quedan sobre la superficie lateral de la pieza (Figura 7.7.b). 5 Nota: Es importante recordar que una simplificación análoga permite utilizar la formulación de flexión de Euler-Bernoulli en piezas sometidas a flexión simple (flexión más cortante). El esfuerzo cortante genera una distribución de tensiones tangenciales no uniforme en la sección transversal que provoca también alabeo. No obstante esto, si se consigue que el alabeo relativo entre todas las secciones de la pieza sea nulo (todas las secciones se alabean la misma magnitud), entonces no se desarrollan tensiones secundarias y puede aplicarse la teoría general de flexión establecida por Euler-Bernoulli junto a la teoría general del cortante de Jourvasky-Colignon. Claro que esto valdría sólo en aquellos casos de cortante uniforme. S. Oller, L. G. Nallim 745 Figura 7.7 – Distribución de tensiones tangenciales en una sección de forma cualquiera. a) En el perímetro de la sección; b) En las esquinas de una sección. 7.3.2 Teoría de Saint Venant – Problema de valores de contorno Esta formulación se basa en suponer parte de la solución –el campo de tensiones o el campo de desplazamientos–, al tiempo que las condiciones de contorno son satisfechas. Luego, se verifica si la suposición adoptada cumple con las condiciones del problema. Figura 7.8 – Barra genérica para estudiar la torsión de Saint Venant con alabeo libre. A continuación se presentará un problema de valores de contorno que se enunciará a través de tres suposiciones y que conducirá a la obtención de la 746 Momento Torsor ecuación general de la torsión utilizando la función de tensión de Prandtl ( x1 , x2 ) . Concretamente, Ludwig Prandtl en 1903 determinó la relación entre la tensión y la pendiente direccionada de la función . Se supone para el desarrollo de esta formulación, una barra prismática, cuya sección transversal está definida por la curva fC ( x1 , x2 ) sometida a un estado de torsión uniforme (ver Figura 7.8). 7.3.2.1 1ra. Suposición de Saint Venant: Sobre el estado tensional Se supone que sólo actúa un momento torsor MT que da lugar a un estado de tensiones tangenciales formado por 1 , 2 en la sección transversal como muestra la Figura 7.9. 0 0 31 0 0 32 13 23 0 11 12 siendo : 31 32 22 33 0 21 0 1 (7.17) 2 Figura 7.9 – Suposición del estado de tensiones en el plano de una sección transversal. Bajo este estado de tensión, se exige ahora el cumplimiento de las condiciones de equilibrio que a continuación se detallan. 747 S. Oller, L. G. Nallim 1.a. Condición de equilibrio en el contorno Para una sección transversal de forma arbitraria, comprendida entre los dos extremos de la barra 0 x3 , y admitiendo que no hay fuerzas aplicadas sobre la superficie de la barra, se escribe la condición de equilibrio en el contorno de la siguiente manera, 0 ti ij j i, j 1, 2,3 t1 0 0 0 t 2 0 0 t 3 31 32 (7.18) 13 1 0 13 3 23 2 0 23 3 0 0 3 31 1 32 2 1 1 2 2 Siendo ti el denominado vector de tensión completa, ij el tensor de tensiones y j cos( , x j ) el coseno director del vector saliente normal al contorno de la sección transversal (ver Capítulo 2 - Conceptos Básicos Sobre Elasticidad Bidimensional). La ecuación (7.18) muestra que no hay componentes de tensión en la dirección x3 , ni tampoco en la dirección normal al contorno –sólo hay tensiones tangenciales tangentes al contorno–, pero sí se deduce que una de las componentes de tensión tangencial ( 1 o 2 ) en el plano ( x1 , x 2 ) tiene sentido contrario al asignado en la Figura 7.10. Figura 7.10 – Tensiones que garantizan el equilibrio en el contorno para una pieza sometida a torsión. 748 Momento Torsor La ecuación del equilibrio en el contorno (7.18), también puede escribirse en la siguiente forma, que resulta conveniente para ser utilizada más adelante, 0 1 dx2 dx 2 1 dfC dfC dx2 df cos 1 cos(, x1 ) C dx con: 1 cos 2 cos( , x2 ) dfC , x3 ) cos 0 3 cos( 2 (7.19) Obsérvese que no hay componente de tensión tangencial que sea normal al contorno. 1.b. Condición de equilibrio en un punto interior de la sección – Equilibrio de Cauchy Para establecer la condición de equilibrio en un punto interior de una barra se considera que las tensiones se desarrollarán por la sola presencia del momento torsor que se mantiene uniforme a lo largo del eje de la pieza, o sea que la barra no está sujeta a fuerzas másicas ( p pi p1 p2 p3 T 0 ). Se utiliza la condición de equilibrio interno de Cauchy teniendo en cuenta el estado de tensiones definido en la ecuación (7.17) (ver Cap. 2 - Conceptos Básicos Sobre Elasticidad Bidimensional), esto es div(ij ) pi 0 21 31 1 0 31 =0 o bien =0 11 x2 x3 x3 x3 x1 2 22 32 0 32 =0 o bien =0 0 12 x3 x x x x 2 3 3 1 13 23 33 0 13 23 1 2 0 x1 x2 x3 x1 x2 x1 x2 En la ecuación (7.20) se observa que se debe cumplir que (7.20) 1 2 0 , lo que x3 x3 implica que el estado tensional 1 y 2 es constante a lo largo del eje x3 . Esta situación ocurre porque el momento torsor MT se mantiene constante a lo largo de 749 S. Oller, L. G. Nallim la barra ( MT cte ), que corresponde a un problema de torsión uniforme sin restricción al alabeo de la sección. También se deduce de la ecuación (7.20), que el estado tensional 1 y 2 sólo tiene variación en el plano ( x1 , x 2 ) de la sección transversal y siempre cumple la condición 7.3.2.2 1 2 0. x1 x2 2da. Suposición de Saint Venant: Sobre la existencia de la función de Prandtl Observando el problema de la distribución de las tensiones tangenciales y las condiciones de equilibrio formuladas en el apartado anterior, Ludwig Prandtl (1875-1953) introdujo en el año 1903 una función gradiente de tensión ( x1 , x 2 ) o potencial de tensión –también puede definirse como función de Airy–, en el plano de la sección transversal y cuya pendiente define el estado tensional de un punto de la sección (ver Figura 7.11). Esto es la medida de la tensión, def 1 31 x2 2 32 x1 def (7.21) Así, definida la función de Prandtl –que hace las veces de función potencial– se puede obtener el estado tensional en un punto de la sección transversal sometida a torsión, a partir de las condiciones de contorno, de la condición de equilibrio seccional, de la definición de la tensión y de las condiciones de compatibilidad que se introducirán más adelante. 2.a. Ecuación de equilibrio en el contorno Partiendo de la suposición de existencia de la función de Prandtl, la ecuación de equilibrio en el contorno (ecuación (7.19)) queda expresada de la siguiente forma, 0 1 dx2 dx dx2 dx1 d 2 1 0 dfC dfC x2 dfC x1 dfC dfC (7.22) 750 Momento Torsor Esta ecuación de equilibrio en el contorno, permite suponer que la función de Prandtl ( x1 , x2 ) f cte , es constante en el contorno de la sección transversal C (ver Figura 7.12). En esta misma figura se muestran las componentes de tensión en un punto “A” de la sección transversal. Figura 7.11 – Definición de las tensiones en el contorno a partir de la función de Prandtl. 2.b. Medida de la tensión En el apartado anterior se han definido las componentes de la tensión 1 y 2 en un punto “A” de la sección transversal. En este apartado se muestra la composición de dichas componentes (ver Figura 7.11 y Figura 7.12). Así, resulta, 1 cos 2 cos 1 2 2 1 con: 1 2 dx2 dx1 d x2 d x1 d d dx1 cos 1 d cos dx2 2 d (7.23) 751 S. Oller, L. G. Nallim De donde resulta que la tensión producida por el momento torsor MT es tangente a la función de Prandtl ( x1 , x2 ) f cte (ver Figura 7.11). C Figura 7.12 – Función de Prandtl y la tensión en un punto “A” de la sección. 2.c. Equilibrio en la sección – Fórmula de Bredt (sección llena) A continuación se establece el equilibrio entre el momento torsor MT y el momento interno generado por la integral de las tensiones tangenciales en la sección transversal (ver Figura 7.13). Esto es: MT 1 x2 2 x1 dA A x2 x1 dA MT A x x1 2 MT xi dA A x i (7.24) i 1, 2 Integrando por partes esta última expresión, resulta la ecuación de equilibrio que relaciona el momento torsor con las tensiones tangenciales, 752 Momento Torsor MT xi dA xi dA C xi i dfC A x fC i A xi i 1, 2 (7.25) MT 2 dA C x1 1 x2 2 dfC A fC Figura 7.13 – Equilibrio entre el momento externo MT y el momento interno genera- do por las tensiones tangenciales en la sección transversal. Para el caso particular de una sección maciza en la que C ( x1 , x2 ) f cte 0 , la ecuación (7.25) queda reducida a la siguiente ecuaC ción, que mide el doble del volumen V encerrado por la función de Prandtl, MT 2 dA 2 V (7.26) A Para el caso más general en que C ( x1 , x2 ) fC cte se obtiene, de la Figura 7.12 y de la Figura 7.14, la siguiente expresión para la ecuación (7.25), x1 1 x2 2 Haciendo: C df C 2 C dAC df C fC AC df C 2 dAC dAC 2 (7.27) 753 S. Oller, L. G. Nallim Sustituyendo la ecuación (7.27) en la ecuación (7.25), resulta la siguiente ecuación de equilibrio, MT 2 dA 2 C dAC A AC C cte MT 2 dA 2 C AC A (7.28) Obsérvese que para C 0 , se recupera la ecuación (7.26), válida para una sección maciza. Figura 7.14 – Función de Prandtl para C 0 y evaluación del volumen contenido. 2.d. Equilibrio en una sección simplemente conexa – Generalización de la fórmula de Bredt Suponiendo una barra cuya sección transversal tiene un hueco (ver Figura 7.15), el equilibrio en dicha sección se consigue a partir del cálculo del volumen encerrado por la función de Prandlt contenida en la zona maciza de la sección. Dicho de otro modo, se resta de la sección llena la parte de momento torsor que no puede ser soportado por la parte hueca de la sección transversal. Esto se puede expresar de la siguiente manera, MT 2 dA 2 0 A0 2 dA 2 1 A1 A1 A0 Torsor en la sección Maciza Torsor no soportado por el hueco (7.29) 754 Momento Torsor Resultando de esta última la ecuación de equilibrio para la sección simplemente conexa, MT 2 dA 2 0 A0 2 1 A1 2 1 A1med ( A0 A 1) (7.30) Siendo A1med el área del hueco más el área de la mitad de las paredes que rodean el hueco. Generalizando para una sección múltiplemente conexa, se podría escribir esta expresión a partir de la siguiente generalización, MT 2 dA 2 0 A0 2 i Ai 2 i Aimed A i i (7.31) Figura 7.15 – Función de Prandtl para una sección con un hueco. 7.3.2.3 3da. Suposición de Saint Venant: Sobre el campo de desplazamientos En lo referente a la deformación, la teoría de Saint Venant admite las siguientes hipótesis: - La deformación de cualquier sección transversal se manifiesta girando alrededor del punto “CG” (Figura 7.16), acompañado de un alabeo ( x1 , x2 ) igual para todas las secciones. S. Oller, L. G. Nallim 755 - El ángulo de torsión específico por unidad de longitud es constante a lo largo de toda la pieza. En virtud de esto, se puede expresar el siguiente campo de desplazamientos consistente con las hipótesis, u1 x2 x3 x2 En el plano de la sección: u2 x1 x3 x1 En el eje de la pieza: u3 ( x1 , x2 ) (7.32) Siendo ( x1 , x2 ) , la función de alabeo de Saint Venant. Figura 7.16 – Desplazamiento de un punto de la sección por efecto de la torsión. A partir del campo de desplazamientos previamente definido, resulta el siguiente campo de deformaciones, 11 u u1 u 0 ; 22 2 0 ; 33 3 0 x1 x 2 x3 ( x1 , x 2 ) u 3 u1 ( x1 , x 2 ) x 2 x 2 1 2 31 x1 x3 x1 x1 ( x1 , x 2 ) u 3 u 2 ( x1 , x 2 ) x1 x1 2 2 32 x x x 2 x 2 2 3 (7.33) 756 Momento Torsor 3.a. Tensión tangencial provocada por la torsión Suponiendo un material homogéneo y elástico lineal, la tensión resulta según la ley de Hooke, i G i i 1,2 (7.34) Sustituyendo en la última expresión las ecuaciones (7.21) y (7.33), resulta el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, cuyas incógnitas son la función de tensión o de Prantl ( x1 , x2 ) y la función de deformación o de Saint Venant ( x1 , x2 ) , ( x1 , x 2 ) ( x1 , x 2 ) G x 2 1 x1 x 2 ( x1 , x 2 ) ( x1 , x 2 ) G x1 2 x1 x 2 (7.35) A continuación se escribirá esta última expresión en función del campo de tensiones, eliminando la función de alabeo. Para ello se deriva la primera de las ecuaciones (7.35) respecto de x2 y la segunda respecto de x1 , luego se suman miembro a miembro las expresiones obtenidas, resultando así la ecuación diferencial de la torsión, 1 2 ( x1 , x 2 ) 2 ( x1 , x 2 ) 1 G x x x 22 x 2 1 2 2 2 ( x1 , x 2 ) 2 ( x1 , x 2 ) G 1 x 2 x1 1 x 2 x1 S.M.M : 1 2 2 ( x1 , x 2 ) 2 ( x1 , x 2 ) 2 G x 2 x1 x12 x 22 Recordando que (7.36) ( x1 , x 2 ) 0 , se puede escribir la ecuación de la torsión x3 como, 2( x1 , x2 ) 2 G (7.37) 757 S. Oller, L. G. Nallim Otra forma de escribir esta ecuación de la torsión y que es útil luego en la aplicación a secciones transversales de paredes delgadas, resulta de integrar ambos miembros de la ecuación (7.37) sobre el área de la sección transversal, 0 2 ( x1 , x 2 ) 2 G dA A 0 1 2 A x 2 x1 dA 2 G dA A (7.38) A través de la fórmula de Green, la expresión anterior se rescribe como (ver Figura 7.17), 0 1 dx1 2 dx2 2 G dA A fC dx2 df 1 cos C dx1 cos 2 dfC ; 0 1 2 2 1 df C 2 G dA A fC 0 dfC 2 G dA fC (7.39) A 0 df C 2 G A fC Siendo esta última una forma de relacionar la tensión tangencial con el ángulo de torsión específico. Figura 7.17 – Definición de los cosenos directores de la normal saliente al contorno de la sección transversal. 758 Momento Torsor 7.3.3 Teoría de Saint Venant – Analogía con el problema de Coulomb Siguiendo la expresión (7.6) de la teoría de Coulomb, puede deducirse el módulo de torsión J a través de la siguiente analogía entre las dos teorías, MT G Ip Analogía MT M J T GJ G (7.40) Sustituyendo en esta última las ecuaciones (7.26) y (7.37), resulta la siguiente expresión para el módulo de torsión, J 2 dA 4 dA MT A 2 A 2 G ( x1 , x2 ) 2 ( x1 , x2 ) (7.41) En el caso de una sección circular maciza, este módulo de torsión tiende al momento de inercia polar, situación que se verificará más adelante. La ecuación (7.40) permite relacionar, en forma simple, el ángulo de torsión específico con el momento torsor aplicado, siempre que se calcule correctamente el módulo de torsión J . 7.3.4 Teoría de Saint Venant – Ejemplo de aplicación a una sección maciza de forma cualquiera Se supone un eje de sección transversal maciza (Figura 7.18), cuyo perímetro está definido por la ecuación fC ( x1 , x2 ) 0 (siendo f C continua y derivable). Se tienen en cuenta las ecuaciones obtenidas en las secciones previas y que a continuación se resumen. Ecuación diferencial de la torsión Ecuación de equilibrio en el contorno 2 ( x1 , x 2 ) x 22 2 ( x1 , x 2 ) x12 2 G dx2 dx1 d 0 x2 df C x1 df C df C (7.36) (7.37) (7.22) 759 S. Oller, L. G. Nallim Medida de la tensión dx2 dx1 d x2 d x1 d d 1 Ecuación de equilibro (Bredt) (7.23) 2 MT 2 dA (7.26) A MT 2 dA 2 0 A0 2 i Ai 2 i Aimed i A Ecuación de la torsión para secciones de paredes delgadas (7.31) i 2 ( x1 , x 2 ) 2 G 0 dfC 2 G A (7.39) fC Se puede proceder a resolver el problema de torsión de este eje, adoptando como función de tensión una expresión análoga a la función que describe el perímetro de la pieza, esto es, C fC ( x1 , x2 ) (7.42) Siendo C una constante a determinar y que una vez conocida resuelve el problema formulado. Figura 7.18 – Sección transversal de forma cualquiera. 760 Momento Torsor A partir de este punto hay dos procedimientos a seguir, que en este texto se designan como A) y B), y se describen a continuación. Procedimiento A): Sustituyendo la función de tensión, ec. (7.42), en la ecuación diferencial de la torsión (7.36) o (7.37) se obtiene, 2 f ( x , x ) 2 fC ( x1 , x2 ) 2G C C 21 2 2 G C 2 f ( x , x ) 2 f ( x , x ) 2 x2 x1 C C 1 2 1 2 2 2 x2 x1 (7.43) A partir de la ecuación de equilibrio (7.26) y de la ecuación anterior, resulta MT 2 ( x1 , x2 ) dA MT 2 C f C ( x1 , x2 ) dA A C MT 2 fC ( x1 , x2 ) dA A A 2G fC ( x1 , x2 ) 2 f C ( x1 , x2 ) x22 x12 2 (7.44) Obteniéndose de esta última ecuación la siguiente relación entre el momento torsor MT y el ángulo de torsión específico , 2 fC ( x1 , x2 ) 2 fC ( x1 , x2 ) MT x22 x12 4 G f C ( x1 , x2 ) dA (7.45) A Procedimiento B): Sustituyendo la función de tensión (7.42) en la ecuación equilibrio de la torsión (7.26) se obtiene, MT 2 C fC ( x1 , x2 ) dA A C MT 2 fC ( x1 , x2 ) dA (7.46) A De esta otra forma también se obtiene C y, con ésta, el ángulo de torsión específico . 761 S. Oller, L. G. Nallim 2 f C ( x1 , x2 ) 2 f C ( x1 , x2 ) C x22 x12 2G (7.47) Para ambos procedimientos, substituyendo la función de contorno fC ( x1 , x2 ) en (7.45) o (7.47) se obtiene el ángulo específico de torsión. A partir de allí, se puede obtener la magnitud de la tensión tangencial a través de la ecuación (7.23), esto es f dx f dx df d C C C C 2 C 1 d d x2 d x1 d dx1 cos β 1 d con: cos dx2 2 d (7.48) Ejemplo 7-1: Resolver el problema de torsión en un eje cilíndrico macizo mostrando que, en este caso, la teoría de Saint Venant conduce a la solución de la teoría de Coulomb. a) Teoría de Coulomb: G ; MT G Ip ; Ip R4 2 762 Momento Torsor de donde se obtiene 2 MT 2 MT 2 MT M T max y 4 3 GR Ip R G R4 b) Teoría de Saint Venant: Se define la función de tensión de Prandtl a partir de la ecuación del perímetro de la sección transversal, o sea la ecuación de la circunferencia multiplicada por la constante C, x2 x2 C fC ( x1 , x2 ) C 12 22 1 R R Utilizando la ecuación de equilibrio de la torsión (7.26) se obtiene la función de Prantl, MT 2 dA 2 C fC ( x1 , x2 ) dA A C MT A 2 f C ( x1 , x2 ) dA MT A R MT M C T 2 4 R 2 R R4 2 2 R 2 x 2 dA x22 dA R 2 dA 2 A 1 A A R Ip MT x12 x22 2 2 1 2 R R R MT x 2 x22 R 2 4 1 R y a partir de ésta resulta la tensión: 1 2 MT 2 MT x2 ; 1max 4 x2 R R3 2 2 MT x1 x1 R4 ; 2max 2 MT R3 M M 2 2 d 2 MT T T x2 cos x cos x2 cos x1 sin 4 1 R4 d R4 R 763 S. Oller, L. G. Nallim Valores de tensión que coinciden con los obtenidos por la teoría de Coulomb. El ángulo específico de torsión resulta, 2 ( x1 , x2 ) 2 ( x1 , x2 ) 2 G x22 x12 2 2 MT 2 MT 2 G 4 R G R4 Resultando también el mismo valor que en la teoría de Coulomb. Ejemplo 7-2: Resolver el problema de torsión en un eje macizo de sección elíptica. De la misma forma que para la sección circular, ahora se define la función de tensión de Prandtl a partir de la ecuación del perímetro de la sección transversal, esto es entonces la ecuación de una elipse multiplicada por la constante C , x2 x2 C fC ( x1 , x2 ) C 12 22 1 a b Utilizando la ecuación de equilibrio de la torsión (7.26), se obtiene la función de Prantl, MT 2 C fC ( x1, x2 ) dA C A MT 2 f ( x1, x2 ) dA A 2 MT x x2 dA 22 dA dA Ab A a 2 1 A 2 764 Momento Torsor b x1 1x22 /b2 a2 2 b a3 2 x1 dx1 dx2 A x1 dA 40 0 4 a x2 1x12 / a2 b2 MT MT a b3 2 2 ; 4 C x dA x dx dx 2 2 2 1 0 0 4 b a A b a3 a b3 2 2 2 ba 4b a x 1x22 /b2 a2 4a dA 4 1 dx2 dx1 ba 0 0 A MT x12 x22 1 b a a2 b2 y a partir de esta función de tensión, resulta la magnitud de la tensión: 1 2 MT x2 ; x2 a b3 2 2 MT x1 ; x1 b a3 1max max 2 2 MT a b2 2 MT b a2 2 MT 2 MT 2 MT cos d sen x2 cos x1 cos x2 x1 3 3 3 d a b b a a b b a3 El ángulo específico de torsión resulta, 2 ( x1 , x2 ) 2 ( x1 , x2 ) 2 G x22 x12 2 MT 2 MT a 2 b2 2 G MT a b3 b a 3 G a3b3 7.3.5 Teoría de Saint Venant – Particularización a secciones de paredes delgadas Dada una sección transversal delgada sometida a un momento torsor, en la forma que se muestra en la Figura 7.19, se tiene en este caso la función de Prandtl con la forma aproximada a la que se muestra en la Figura 7.19a). No obstante, la forma de esta función no difiere mucho de un casquete de cilindro como se muestra en la Figura 7.19b). Si en vez de utilizar la función verdadera de Prandtl se utili- 765 S. Oller, L. G. Nallim za esta aproximación, se obtiene un buen resultado y a la vez una expresión simple para evaluar la tensión y el ángulo específico de torsión. Para este caso particular, la ecuación diferencial de la torsión (7.36) se reduce la siguiente expresión, 2 ( x1 ) 2 G x12 (7.49) Figura 7.19 – Sección delgada sometida a momento torsor. a) Función de Prandtl para una sección delgada b) Aproximación de la función de Prandtl en una sección delgada. Integrando esta ecuación dos veces e introduciendo las correspondientes condiciones de contorno, resulta la forma simplificada de la función de Prandtl, que se representa en la Figura 7.20, esto es, ( x1 ) x1 2 G x1 C1 ( x1 ) G x12 C1 x1 C 2 ( x1 ) x para 0 0 C1 0 1 x1 e e2 Condiciones de Contorno: para x1 ( x1 ) 0 G C2 0 2 4 e2 C G 2 4 (7.50) 766 Momento Torsor Resultando, ( x1 ) G x12 G e 2 e2 G x12 4 2 ( x1 0) G e2 4 (7.51) La tensión será, 2 ( x1 ) ( x1 ) x1 2 G x1 e max 2 ( x1 ) G e 2 2 (7.52) Figura 7.20 – Sección delgada sometida a momento torsor. Detalle de la función de Prandtl en una sección delgada. Sustituyendo la función de Prandtl en la ecuación de equilibrio (7.26), se obtiene la expresión del momento torsor, 2 e2 2 MT 2 dA 2 V 2 e b 2 G e b A 4 3 3 1 MT G e3 b 3 (7.53) Y de esta última se obtiene el ángulo específico de torsión y el módulo de torsión que también puede obtenerse a partir de la ecuación (7.41), 767 S. Oller, L. G. Nallim MT 1 G e3 b 3 1 J e3 b 3 MT GJ (7.54) Sustituyendo el ángulo específico de torsión en la ecuación (7.52), se obtiene la tensión máxima en función del momento torsor aplicado, max G e 2 MT 1 2 e b 3 MT 1 e A 3 (7.55) Siendo A el área de la sección transversal. 7.3.6 Teoría de Saint Venant – Particularización a secciones delgadas, abiertas compuestas Las expresiones que rigen el comportamiento mecánico de estas secciones compuestas surgen de forzar la compatibilidad al giro, estableciendo el mismo ángulo de torsión específica para las diversas secciones simples definidas en la sección anterior (ver Figura 7.21). Eso es, 1 2 n M1T 1 G e13 b1 3 MT2 1 G e23 b2 3 MT M1T MT2 MTn MT G n 3 ei bi 3 i 1 ; MTn 1 G en3 bn 3 G 3 1 ei b MTi G ei3 bi 3 3 (7.56) MT 1 n 3 G ei bi 3 i 1 Sustituyendo la última de las ecuaciones (7.56) en la primera de ellas, se obtiene la relación entre el momento torsor total y el que absorbe cada subsección, 768 Momento Torsor MTn 1 3 G en bn 3 MT 1 3 n G ei3 bi i 1 M n T en3 bn n e i 1 3 i bi MT (7.57) Además, sustituyendo el ángulo de torsión específica en la ecuación (7.52) se obtiene la magnitud de la tensión para las n partes de la sección en la dirección local x2 , normal a la dirección local x1 (ver Figura 7.20) 2n ( x1 ) 2 G x1 2 MTn 1 3 en bn 3 x1 n max 2 n2 ( x1 en MTn ) 1 2 2 en bn 3 (7.58) Figura 7.21 – Sección delgada compuesta, sometida a momento torsor. Simplificación de la función de Prandtl mediante la compatibilidad al giro de las subsecciones que componen la sección transversal. 769 S. Oller, L. G. Nallim 7.3.7 Teoría de Saint Venant – Particularización a secciones cerradas de paredes delgadas Se supone una simplificación para la función de Prandtl, tal como se muestra a continuación (ver Figura 7.22) y luego se la sustituye en la ecuación de equilibrio (7.30), resultando así la relación entre momento torsor y la tensión, 2 MT 2 1 x1 e Aneta 1 e cte (7.59) dA 2 0 A0 2 1 A1 2 1 A 0 V med Resultando, de la ecuación (7.59), las siguientes relaciones que permiten evaluar el comportamiento mecánico a torsión de una sección transversal cerrada de paredes delgadas, MT 2 e Amed MT 2 e Amed (7.60) Conocida esta última como la fórmula de Bredt, pues deriva directamente de la ecuación (7.26). El ángulo específico de torsión resulta ahora de la ecuación (7.39), df C 2G A med fc MT 2 Amed 1 e dfC fC 2 G Amed df 2 G Amed 1 df C e fC MT 4 G Amed C fc 2 1 MT i ei f C i 4 G Amed 2 Para e cte la ecuación anterior adquiere la siguiente forma, (7.61) 770 Momento Torsor MT i f C i 4 eG A med 2 MT 2 4 e Amed G fC i i MT GJ Figura 7.22 – Sección delgada cerrada; a) Distribución tensional, b) definición de las áreas consideradas, c) Definición del área media, d) Función de Prandtl y la aproximación adoptada, e) detalle de la función de Prandtl y su aproximación. 771 S. Oller, L. G. Nallim Para cte , la ecuación anterior se simplifica de la siguiente forma, df C 2 G Amed 2 G Amed fC df C fC M T GJ 4 Amed J df eC fC 2 e cte 4 e Amed 2 (7.62) f i C i Ejemplo 7-3: Dado un eje de sección anular como el que se muestra en la figura, comparar la aproximación de la fórmula de Bredt a los resultados que se obtienen de aplicar la teoría de Coulomb. med 2 MT R med MT 2 MT 4 4 med ( R r ) 2 A e e R r 2 a) Teoría de Saint Venant – Formula de Bredt: Utilizando la fórmula de Bredt (ec. (7.60)), resulta de forma directa la aproximación de la tensión media obtenida anteriormente. Esto es, med MT MT 2 MT 2 2 med med 2e A 2 R e e R r y el ángulo de torsión específica resulta de (7.61), 772 Momento Torsor MT 2 R med e 4 G R 2 med 2 MT 2 eG R med 3 b) Teoría de Coulomb (ecuación (7.6)) R R M R G ; T ; I p 2 dA 2 (2 d ) 4 R 4 r 4 r r G Ip 2 r 2 De estas expresiones se obtiene 2 MT 2 MT 2 MT R max 4 4 4 4 ( R r ) ( R 4 r 4 ) G (R r ) Y de esta última se deduce que la tensión media vale, med 2 MT R med ( R 4 r 4 ) La tensión media también puede escribirse de otra forma si el momento de inercia polar se expresa en función del R med R r / 2 . Esto es, I R e/2 2dA R e/2 2 (2 d) Rmed e/2 p Rmed e/2 Rmed e/2 Rmed e 4 Amed e2 4 med R e /2 2 2 med med ( Rmed ) Rmed G Rmed G MT 2 Amed e e 2 3 MT G Ip Para e pequeño med med 2MT MT MT 2 med med 2 A e 2 R e e R r 2 Ejemplo 7-4: Dado un eje de sección anular como el que se muestra en el Ejemplo 7-3, cuyas dimensiones son R 0.125m y r 0.12 m . Obtener y comparar los resultados que se obtienen utilizando la fórmula de Bredt (simplificación de la teoría de Saint Venant) y los que se obtienen de aplicar la teoría de Coulomb. Suponer que el eje está sometido a un momento torsor constante MT 120 kN m y que el módulo elástico transversal del material es G 85000 MPa . 773 S. Oller, L. G. Nallim a) Teoría de Coulomb: Utilizando las expresiones de Coulomb (7.6) para ejes de sección anular se obtienen los siguientes resultados Ip 4 R r 4 0.125 4 0.12 4 5.777 10 5 m 4 2 2 2 MT 2 120 kNm rad 0.02444 4 4 kN G ( R r ) 85 106 m (0.125 m)4 (0.12 m) 4 2 m min 2 MT r kN 2 120 kNm 0.12 m 2.49243 105 2 4 4 4 4 m ( R r ) (0.125 m) (0.12 m) max 2 MT R kN 2 120 kNm 0.125 m 2.59628 105 2 4 4 4 4 m ( R r ) (0.125 m) (0.12 m) med 2 MT R med 2 120 kNm 0.1225 m kN 2.54435 105 2 4 4 4 4 ( R r ) (0.125 m) (0.12 m) m La tensión media calculada corresponde a la magnitud de la misma en la mitad del espesor de la pared de la sección transversal y para ello se ha utilizado en el cálculo el radio medio R med R r / 2 0 .1225 m . b) Teoría de Saint Venant – Formula de Bredt: Utilizando la fórmula de Bredt (ec. (7.60)), se obtiene en forma directa la aproximación de la tensión media obtenida anteriormente. Esto es, 774 Momento Torsor Amed R med 0.1225 m 0.04514 m2 2 2 e R r 0.125 m 0.12 m 0.005 m med MT MT 120 kNm kN 2.54541105 2 2 2 med 2e A m 2 R med e 2 0.1225 m 0.005 m y el ángulo de torsión específico resulta de (7.61), 2 R med MT e 4 3 4 G2 R med 2 eG R med MT 120 kNm rad 0.02444579 kN 3 m 2 0.005 m 85 106 2 0.1225 m m Como puede verse, para este caso de un cilindro de paredes delgadas, hay una gran similitud entre los resultados obtenidos por ambas teorías. Ejemplo 7-5: El tubo de acero de la figura, de módulo elástico transversal G 84500 MPa , está sometido a un momento torsor MT 11.53 kN m . Obtener las tensiones tangenciales medias en todas las paredes y el ángulo de torsión específico. Determinación del área media 0.00635 AB CD 0.1143 2 0.12065 m 2 med A AB BC 0.00635 0.0127 BC DA 0.23495 0.244475 m 2 2 0.00635 0.00635 0.0127 2 Amed 0.1143 2 0.23495 0.02949 m 2 2 2 Utilizando la fórmula de Bredt se obtiene las tensiones en los lados de la sección, 775 S. Oller, L. G. Nallim med AB MT 11.53 kN 1.5389 104 2 med 2 eAB A 2 0.0127 0.02949 m med BC MT 11.53 kN 3.0779 104 2 med 2 eBC A 2 0.00635 0.02949 m med med CD med BC DA El ángulo de torsión específica resulta de (7.61), MT i 1 ei f C i 4 G Amed 2 11.53 AB BC CD DA eAB eBC eCD eDA 0.004136 rad 2 m 4 84.5 106 0.029495 776 Momento Torsor Ejemplo 7-6: Se consideran tres piezas constituidas del mismo material cuyas secciones transversales se muestran en la figura: Sección –a-: maciza, Sección -b-: anular delgada cerrada y Sección –c-: anular delgada abierta. Las tres secciones tienen igual módulo elástico transversal G , y resistencia máxima max . Obtener el máximo momento torsor MTmax que puede soportar cada una de ellas. a) Sección circular maciza - Teoría de Coulomb (MTmax ) A G I p G R4 R4 max R3 G max 2 2 GR 2 b) Sección anular delgada - Fórmula de Bredt (MTmax )B max (2 e Amed ) max (2 e R2 ) También puede obtenerse a partir de la teoría de Coulomb c) Sección anular delgada abierta 2 1 (MTmax )C max e2 b max Re2 3 3 7.3.8 Teoría de Saint Venant – Particularización a secciones cerradas multicelulares de paredes delgadas La formulación para evaluar las secciones cerradas multicelulares de paredes delgadas resulta de establecer a la vez el equilibrio en cada celda, ecuación (7.39), junto al equilibrio global en la sección completa, ecuación (7.31) (ver Figura 7.23). Esto se formula de la siguiente forma, S. Oller, L. G. Nallim - Equilibrio global: MT 2 i Aimed i 1 - Equilibrio de med med cada celda: f dfC 2 G Ai f i dfC j f ij dfc 2 G Ai Ci Ci Cij 1 1 i dfC i j dfC 2 G Aimed e e j fCi i fCij ij 777 (7.63) En estas últimas ecuaciones, i i / ei representa la tensión en la celda “i”, en la pared de espesor e i que la celda no comparte con ninguna otra celda (ver Figura 7.23), ij ( i j ) / eij es la tensión en la celda “i”, en una pared de espesor eij que esta celda comparte con la celda “j”, mientras que i y j son los flujos en las respectivas celdas contiguas. Figura 7.23 – Sección cerrada multicelular de paredes delgadas. 778 Momento Torsor Para resolver el problema de torsión en la hipotética sección de la Figura 7.23, se necesitan cinco ecuaciones para dar respuesta a las cinco incógnitas del problema: , 1 , 2 , 3 , 4 . Estas ecuaciones serán, MT 2 1 A1med 2 2 A2med 2 3 A3med 2 4 A4med dfC dfC dfC 2 G Amed 1 2 1 3 1 e e 1 e 1 f C1 fC12 12 fC13 13 dfC df df df 2 1 C 2 3 C 2 4 C 2 G A2med 2 e e e fC21 21 f C23 23 f C24 24 fC2 e2 3 dfC 3 1 dfC 3 2 dfC 3 4 df C 2 G A3med e e e fC e3 f C32 32 fC31 31 fC34 34 3 df C dfC dfC med 4 e 4 2 e 4 3 e 2 G A2 fC42 42 fC43 43 fC4 4 Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, se procede a calcular las tensiones en las paredes de la sección, 1 1 / e1 , 2 2 / e2 , 3 3 / e3 , 4 4 / e4 12 1 2 / e12 , 13 1 3 / e13 21 12 , 23 2 3 / e23 , 24 2 4 / e24 31 13 , 32 23 , 34 3 4 / e34 , 42 24 , 43 34 Ejemplo 7-7: Un momento torsor de magnitud M T se aplica en la sección multicelular de la figura. Obtener las tensiones tangenciales medias en todas las paredes y el ángulo de torsión específico. e 0.01m A1med 2.40 1.00 2.40m 2 A2med 0.50 0.80 0.40m 2 779 S. Oller, L. G. Nallim Se formula a continuación el sistema de ecuaciones que establece el equilibrio global y el de cada celda, Equilibrio global: Equilibrio de cada celda: MT 2 i Aimed i 1 2 G Aimed i 1 e fCi i df C i j med med MT 2 1 A1 2 2 A2 dfC df med 1 2 C 2 G A1 1 AB BC FG GH HA e1 CF e12 df C df med 2 1 C 2 G A2 2 CD DE EF e2 FC e21 Sustituyendo las magnitudes numéricas, resulta, j fCij 1 dfC eij ; e1 e2 0.01m 780 Momento Torsor MT 4.8 1 0.8 2 MT 4.8 1 0.8 2 4.8 G 630.0 1 50.0 1 2 0 680.0 1 50.0 2 4.8 G 0 50 260.0 0.8 G 1 2 0.8 G 210.0 2 50.0 2 1 1 0.189144 MT 2 0.115131MT G 25.59621M T y de esta última, resultan las siguientes magnitudes de tensión, 1 0.189144 MT 18.9144 MT 1 0.01 e1 2 0.115131MT 11.5131MT 2 0.01 e 2 1 2 0.189144 0.115131 MT 7.4013 M T 12 0.01 e12 MT 25.59621 G Las unidades resultarán luego de definir las magnitudes de MT y G , todas ellas en unidades de fuerza expresadas en N (o múltiplos) y unidades de longitud expresadas en m . 7.3.9 Teoría de Saint Venant – Particularización a secciones delgadas compuestas con formas y materiales distintos La teoría de Saint Venant permite una aproximación muy útil para resolver problemas de torsión en secciones compuestas por subsecciones de formas y materiales diversos. Para ello se parte de establecer la compatibilidad al giro para las “n” subsecciones que componen la sección total, estableciendo que el ángulo de torsión específico i en cada subsección “i” debe ser el mismo que para la sección compuesta. Además, en las secciones de paredes delgadas –cerradas y abiertas– se supone G cte sobre todo el contorno f C . Para tener en cuenta esta sin- 781 S. Oller, L. G. Nallim gularidad, se adoptará un módulo de elasticidad transversal arbitrario único G * para la sección compuesta. Estableciendo la condición de compatibilidad y teniendo en cuenta el módulo de torsión J i y el momento torsor MTi correspondiente a cada subsección, se tiene 1 2 n M1T MT2 MTn G* J1* G* J2* G* J2* (7.64) G i * ei3 bi ; Secc. delgadas abiertas 3G med 2 4 Ai * ; Ji ; Secc. delgadas cerradas * (7.65) df G C k f Gk ek Ck Gi 4 Ai G* i dA ; Secc. macizas 2 i ( x1, x2 ) Una vez cumplida esta condición, se establece la condición de equilibrio seccional, a partir de cada subsección, y de aquí resulta el ángulo de torsión específica MT MTi G* J i* i i MT MTi G* J i* * * G Ji (7.66) i Establecida la condición de compatibilidad y equilibrio, se procede a obtener el estado de tensión en cada punto de las subsecciones de la sección compuesta, df ( x1 , x2 ) MTi C siendo: C i i i d 2 f ( x1 , x2 ) dA Ai i 2 Gi x ; Secc. delgadas abiertas i i i MT ; Secc. delgadas cerradas ei 2 Aimed ei ; Secc. macizas (7.67) 782 Momento Torsor Ejemplo 7-8: Obtener el ángulo de torsión específico y las tensiones en la sección compuesta de la figura. Se considera un ángulo de torsión específico constante para todas las subsecciones, 1 2 M1T MT2 G * J1* G * J 2* Gi 3 * ei bi ; Secc. delgadas abiertas 3 G 2 con J i* 4 Aimed ; Secc. delgadas cerrada * df G C k f Gk ek Ck 1) Resolución de la sección cerrada (1): Si G cte en f C , se puede escribir la siguiente expresión para el ángulo de torsión específico, M1 * T * con J1* G J1 4 A1med 2 G * df C k G e k k fCk 4 A1med G * dfC f Gh e1h Ch 2 G * df C Ga e1a f Ca donde G * es el módulo de elasticidad adoptado arbitrariamente y M1T el momento torsor absorbido por la sección cerrada de hormigón h y de acero a . Teniendo en cuenta que el flujo 1 será constante sobre toda la subsección (1), se puede plantear la siguiente ecuación de equilibrio (ver (7.67)), que da lugar a cuantificar el estado tensional en el hormigón y el acero de la sección cerrada, 783 S. Oller, L. G. Nallim 1h 1 M1T e1h 2 A1med e1h 1a 1 M1T e1a 2 A1med e1a 2) Resolución de las dos alas (2): A partir de la ecuación (7.65), se expresa el mismo ángulo específico de torsión para las dos alas en función del momento torsor MT2 que éstas absorben, MT2 G* J 2* con J 2* G2 3G e2h b2h 3 * Teniendo en cuenta la ecuación de equilibrio (7.67), se obtiene el estado tensional en las alas de hormigón de la sección abierta (2), 2h 2 G2 e2h 3MT2 G2 e2h 2 2 eh bh 2 2 3) Resolución de la sección completa (1+2): Dado que 1 2 , entonces se cumple, M1T 4 A1med 1 df 1 df f Gh e1hC f Ga e1aC Ch Ca 2 MT2 3 1 e h b2h * 2 3G y además, el momento torsor total surge de la suma de los momentos torsores que absorbe cada parte de la sección compuesta, 784 Momento Torsor med 2 4 A1 1 h 3 h 1 2 * * * * MT MT 2 MT G J1 2 G J2 2 * e2 b2 1 dfC 1 dfC 3G G eh G ea fCh h 1 fCa a 1 de donde puede deducirse la magnitud del ángulo de torsión específica MT G J 2 G* J 2* * * 1 MT 4 A 3 1 2 * e2h b2h 1 df 1 df 3G f Gh e1hC f Ga e1aC Ch Ca med 2 1 y a partir de esta magnitud también se pueden obtener las tensiones tangenciales en cada parte de la sección, tal como se ha expresado en los dos subapartados anteriores. 4 A1med M1T M1T 1 * * a MT G J1 1h ; 1 1 dfC 1 dfC 2 A1med e1h 2 A1med e1a Gh e1h f Ga e1a fCh Ca 2 M2 G* J 2* 3 1 eh b2h * 2 3G 2h 3MT2 e h 2 2 b2h Ejemplo 7-9: Dada la estructura de la figura, cuya barra AB se encuentra sometida a torsión, calcular la distribución de tensiones tangenciales y el ángulo de torsión específico en la sección transversal del extremo B de la barra cuyo material tiene un módulo de corte G 80 106 kN / m2 , suponiendo las siguientes secciones transversales: 1. Sección de pared delegada abierta “S1”, de espesor t 0.03 m . 2. Sección de pared delegada cerrada “S2”, de espesor t 0.03 m . 1. Sección S1 785 S. Oller, L. G. Nallim xCG 0.22 0.05m 2 0.2 0.4 d 3 0.22 0.075m 6 0.2 0.4 Momento torsor en la barra AB MT AB P 1 xCG d 10 1 0.05 0.075 8.75kN m Ecuaciones para la determinación de tensiones y ángulo específico de torsión MT ; s 2Gs 1 G t3j bj 3 j t 2MT s ; imax s i 2 1 3 t b j j 3 j Cálculo de las tensiones tangenciales y su distribución 2MT ti 2 1 t3j bj 3 j 786 Momento Torsor Cálculo del ángulo de torsión específico MT 8.75 0.015 rad 0.8703º 1 6 5 1 3 80 10 2.16 10 G t j bj 3 3 j 2. Sección S2 787 S. Oller, L. G. Nallim Momento torsor en la barra AB MT AB P 1 10kN m Cálculo de las tensiones tangenciales y su distribución b MT i i ti ; MT i 2 2ti Amed 4G Amed 788 Momento Torsor Cálculo del ángulo específico de torsión b MT i 10 40 i ti 1.953 104 rad 0.1118º 2 6 2 med 4 80 10 0.08 4G A Ejemplo 7-10: La pieza de la figura está construida de una aleación ligera, cuya resistencia a tensiones tangenciales está limitada a 2.8MPa y su módulo de elasticidad transversal es G 27GPa . Obtener: 1. El máximo momento torsor MT que puede soportar. 2. El ángulo específico de torsión y el ángulo de torsión total que gira la sección “B” respecto del empotramiento “A”. 3. La distribución de tensiones tangenciales en la sección transversal. S. Oller, L. G. Nallim Cálculo del momento torsor máximo Amed 0.0252 0.05 0.05 0.0046 m2 El momento torsor máximo que se puede aplicar, resulta del mínimo espesor: MT max 2 tmin Amed 2.8 106 2 0.002 0.00446 499.52 N m Cálculo del ángulo de torsión específico b MT i 499.5 2 0.025 2 0.05 0.03 0.02 rad i ti 0.00238 9 2 med 2 m 4 27 10 0.00446 4G A 0.00238 2 0.00476 rad 0.272º Distribución de tensiones tangenciales en la sección transversal 789 790 Momento Torsor Ejemplo 7-11: La sección transversal representada en la figura es de pared delgada y está sometida a un momento torsor MT 40kN m . Se pide: 1. Dimensionar la sección transversal para que la tensión tangencial máxima no supere el valor 80000 kN / m2 . 2. Representar gráficamente la distribución de las tensiones tangenciales en la sección transversal. 3. Obtener el ángulo específico de torsión , considerando un módulo de elasticidad transversal G 80 106 kN / m2 . Dimensionado de la sección transversal i s 2Gsi 2MT si t ; imax si i 2 1 t3j bj 3 j MT ti 1 t3j bj 3 j A continuación se obtienen las tensiones en cada lado de la sección, en función del espesor de sus paredes. 791 S. Oller, L. G. Nallim max 80000 0.86617 t3 Distribución de tensiones tangenciales t 3 0.86617 80000 t 0.02221 m 792 Momento Torsor Ángulo específico de torsión MT 40 rad 0.015 4 6 m 138.54 t 80 10 1 G t3j bj 3 j 793 S. Oller, L. G. Nallim 7.4 Resumen de la formulación básica obtenida en el capítulo Teoría de Coulomb Distorsión angular Tensión tangencial elástica Ángulo de torsión específico. Problema elasto-plástico MT Ip (7.3) (7.6) MT G Ip (7.6) MT dx3 GI p Ángulo de torsión absoluto Tensión tangencial elastoplástica (7.1) () G () G Ángulo de torsión específico. Problema elástico Energía de deformación por torsión d dx3 (7.7) 1 1 MT2 1 MT2 W dx3 MT d 2 max 2 G Ip 2 G Ip (7.11) Rango elástico: 0 e () G 3 2 R3 e MTa y 3 () e I p Rango plástico: e R () y MTa y 2 R 3 e G I pe 3 3 MTa MTp G I pe (7.13) (7.15) (7.15) 794 Momento Torsor Teoría de Saint Venant Ecuación diferencial de la torsión 2 ( x1 , x 2 ) 2 ( x1 , x 2 ) x 22 2 ( x1 , x 2 ) x12 2 G (7.36) Ecuación de equilibrio en el contorno dx2 dx1 d 0 x2 df C x1 df C df C Medida de la tensión Ecuación de equilibro (Bredt) Analogía con el problema de Coulomb Relación tensión-ángulo de torsión específica St. Venant – Secciones delgadas St. Venant – Perfiles delgadas abiertos (7.22) dx2 dx1 d x2 d x1 d d 1 (7.23) 2 MT 2 dA 2 0 A0 2 i Ai 2 i Aimed i A MT G Ip Analogía MT 2 ( x1 , x2 ) 4 G dA i ; J A 4 dA A 2 ( x1 , x2 ) 0 df C 2 G A fC MT M T 2 (1 / 3) e b J 1 1 MT G e3 b G J e ; J e2 b 3 3 3 MT en bn MTn n n max M M ; ; T T j n 1 2 1 n 3 en bn ei3 bi G ei bi 3 3 i 1 i 1 2 ( x1 ) 2 G x1 max Ge 2 (7.31) (7.40) (7.41) (7.39) (7.52) (7.53) (7.55) (7.56) (7.57) (7.58) 795 S. Oller, L. G. Nallim St. Venant – Perfiles delgadas cerrados MT 2 e A med (7.39) (7.60) fC St. Venant – Perfiles delgadas cerrados múltiplemente conexos MT 2 G Amed ; 2 e Amed dfC df C fC 2 G Amed MT i 1 fC i ei 4 G Amed 2 M T GJ 4 Amed J df f eC C 2 (7.41) Eq. global: MT 2 i Aimed i 1 Eq. celda"i": 2 G Aimed i 1 1 e df e C fCi i i j j fCij ij dfC (7.63) 796 Momento Torsor Apéndice Propiedades geométricas de las secciones transversales A.1 Introducción La formulación que se utiliza en Resistencia de Materiales hace uso de la definición de algunas propiedades geométricas de las secciones transversales de las barras. Concretamente, es necesario conocer la posición del Centro Geométrico (CG) de la sección, del Centro de Gravedad (CP) y del Centro Mecánico (CM). Asimismo, es preciso determinar los momentos estáticos (primer orden) y los momentos de inercia (segundo orden) respecto a cualquier sistema de referencia contenido en el plano de la sección transversal. En el caso de los momentos de inercia, interesa particularmente la determinación de sus valores principales, como así también sus correspondientes direcciones. En este Apéndice se definen las propiedades geométricas y se desarrollan ejemplos que permiten entender el procedimiento para obtener la información antes mencionada. 798 Propiedades Geométricas de las Secciones A.2 Momento estático de una sección respecto de un eje y posición del centro geométrico (CG) A.2.1 Definición de momento estático y centro geométrico En primer lugar, se define el momento estático de una sección respecto a ejes ortogonales cartesianos. Sea la sección transversal mostrada en la Figura A.1, se define como Momento Estático respecto al eje x ( S x ) y respecto al eje y ( S y ) a las cantidades definidas por las siguientes integrales: Momento Estático respecto al eje x Momento Estático respecto al eje yx Sx Sy A A y dA (A.1) x dA (A.2) AREA Sección Transversal de un objecto Ejes cartesianos ortogonales Figura A.1 – Momento estático de una sección respecto de ejes cartesianos ortogonales. Cambiando el sistema de referencia a otro paralelo (ver Figura A.2), donde x x a y y y b (A.3) 799 S. Oller, L. G. Nallim Se obtienen los respectivos momentos estáticos respecto a los ejes x e y , S x S y A A x x a y dA y y b x dA Substituyendo (A.3) en (A.4) y (A.5), (A.4) (A.5) Momento Estático respecto al eje x Momento estático con respecto al eje x´ S x y b dA S x b A (A.6) Momento estático con respecto al eje y´ S y x a dA S y aA (A.7) A A Sist de ref. paralelo Figura A.2 – Momento estático de una sección respecto a ejes ortogonales paralelos a los ejes x-y. El eje respecto del cual el momento estático se anula, se denomina eje central o centroidal. Del conjunto de ejes paralelos sólo uno es central, y se obtiene como: 800 Propiedades Geométricas de las Secciones Coordenada en "y" S xC 0 S x b A b yCG Sx A A y dA A (A.8) dA Coordenada en "x" S yC 0 S y a A a xCG Sy A A x dA A dA (A.9) La intersección de los ejes centrales determina el centro geométrico, centroide o baricentro de la sección. El momento estático de una sección respecto de cualquier eje que pase por el centro geométrico es nulo. Ejemplo A-1: Para la sección triangular de la figura, determinar: a) El momento estático (o momento de primer orden), respecto del eje x. b) La coordenada yCG del centro geométrico. a) Momento estático S x respecto al eje x : Es conveniente elegir como elemento de área una elemento diferencial horizontal de longitud b( y ) y espesor dy , paralelo al eje x . Por semejanza de triángulos se obtiene la función de variación b( y ) , b( y ) h y b h b( y ) b Entonces, de aquí resulta el diferencial de área, h y h 801 S. Oller, L. G. Nallim dA b( y )ꞏdy bꞏ h y ꞏdy h Resultando de la definición (ec.(A.1)) el momento estático de la figura plana triangular, respecto del eje x : h S x yꞏdA y b A 0 h h h y b b y 2 y3 1 dy h y y 2 dy h S x bh 2 h h0 h 2 3 0 6 b) Ordenada al centro geométrico. Recordando la ecuación S x A yCG , se obtiene: yCG 1 2 bh Sx 6 1 h b h 3 A 2 Ejemplo A-2: Determinar el centro geométrico de la sección trapecial mostrada en la figura Para determinar el centro geométrico de la sección trapecial representada en la figura, se determina en primer lugar el momento estático S x de acuerdo a lo definido por la ecuación (A.1). Se elige como elemento de área una elemento diferencial horizontal de longitud b( y ) y espesor dy , paralelo al eje x . Por semejanza de triángulos se obtiene: b( y ) b1 (h y ) h 802 Propiedades Geométricas de las Secciones Teniendo en cuenta que h h1 h2 y que b1 b2 b2 h1 h2 h2 h1b2 . Sustituyendo b1 b2 hacia atrás se tiene: h h1 b( y ) b1 b1 y h1b2 b1 b2 b1 b2 h1b1 h1b2 h1b2 b( y ) b1 b1 y b1 b2 h1b1 Resultando de la definición (ec.(A.1)) el momento estático de la figura plana trapecial, respecto del eje x : 2 1 b 2b2 h12 b b b h2 b b h S x yꞏdA b1 y b1 y 2 1 2 dy 1 1 1 2 1 S x 1 h1b1 2 3 6 0 A h Recordando la ecuación S x A yCG , se obtiene la ordenada del centro geométrico: yCG (b1 2b2 )h12 S (b 2b2 ) h 6 x 1 ( ) b b h (b1 b2 ) 3 A 1 2 1 2 A.2.2 Teoremas de Pappus - Guldin Hay dos teoremas, denominados de Pappus – Guldin, que permiten obtener en forma simple la distancia de un eje al centro geométrico. Ambos teoremas se basan en el concepto de simetría de rotación. A continuación se presentan estos teoremas. Teorema 1: El área que desarrolla la rotación de una curva plana es igual al producto de la longitud de dicha curva por la distancia que recorre su centro geométrico en un giro completo. A L 2 yCG (A.10) 803 S. Oller, L. G. Nallim Figura A.3 – Teorema 1 de Pappus-Guldin. Teorema 2: El volumen que desarrolla la rotación de una sección plana es igual al producto del área de dicha sección por la distancia que recorre su centro geométrico en un giro completo. V A 2 yCG (A.11) Figura A.4 – Teorema 2 de Pappus-Guldin. Ejemplo A-3: Determinar por el primer teorema de Pappus – Guldin el centro geométrico de una media circunferencia. A L(2 yCG ) yCG 2R yCG A 4 R 2 L 2 2 R 2 2 804 Propiedades Geométricas de las Secciones Ejemplo A-4: Determinar por el segundo teorema de Pappus – Guldin el centro geométrico de un medio círculo. V A(2 yCG ) yCG yCG 4 R3 V 3 A2 R 2 2 2 4R 3 A.2.3 Centro geométrico de secciones compuestas Se considera como sección compuesta aquella que está constituida por varias formas simples (Figura A.5). Esta consideración facilita la localización del centro geométrico. Figura A.5 – a) Sección compuesta; b) división de la sección en áreas simples. Otro concepto que ayuda a localizar el centro geométrico es que si el área dispone de un eje de simetría, el centroide se localizará en dicho eje. Algunas figuras complejas cuentan con dos ejes de simetría y, por consiguiente, el centro geométrico se localiza en la intersección de estos dos ejes, como se muestra por ejemplo en la Figura A.6. 805 S. Oller, L. G. Nallim Figura A.6 – a) Perfil representativo de una sección doble T; b) Perfil representativo de una sección hueca. En los casos en que la sección no posea dos ejes de simetría se usa el método de las áreas compuestas para localizar el centro geométrico. Sea, por ejemplo, la sección mostrada en la Figura A.5a). Se considera que el área total A está compuesta por n áreas simples como se muestra en la Figura A.5b), de manera que: n A Ai (A.12) i 1 De acuerdo a la definición de momento estático, la aplicación de las ecuaciones (A.1) y (A.2) lleva a: n S x S x i A yCG (A.13) i 1 n S y S y i A xCG (A.14) i 1 donde S x i y S y i son los momentos estáticos de cada área Ai respecto de los ejes x e y , respectivamente. Las ecuaciones (A.13) y (A.14) expresan que el momento estático del área total con respecto a un eje particular, es igual a la suma de los momentos estáticos de todas las áreas componentes con respecto al mismo eje. 806 Propiedades Geométricas de las Secciones Teniendo en cuenta las expresiones (A.8) y (A.9), los momentos estáticos de las áreas individuales respecto de los ejes x e y , se pueden escribir, respectivamente, como i S x i Ai yCG (A.15) i S y i Ai xCG (A.16) i i donde xCG y yCG son las coordenadas del centro geométrico CG i de cada área Ai . Luego, las coordenadas del centro geométrico de la sección total se pueden obtener reemplazando (A.15) y (A.16) en (A.13) y (A.14): n yCG Ai yCG i i 1 n A i 1 i n (A. 17) xCG A x i CG i i 1 n (A.18) A i 1 i Ejemplo A-5: Localizar el centro geométrico (CG) de la sección de área A mostrada en la figura en la que las cotas están en mm . Para determinar el centro geométrico de la sección representada en la figura, en primer lugar se debe establecer el sistema de coordenadas que se empleará como referencia. Debido a que el centro geométrico debe estar en el eje y , por ser éste un eje de simetría de la sección, se obtiene de manera directa x CG 0 . 807 S. Oller, L. G. Nallim Luego se divide el área total A en las áreas conocidas: A1 y A2 , de manera que es posible construir la siguiente Tabla, que contiene la información de las propiedades geométricas de las áreas individuales. Figura Área ( mm2 ) (i ) yCG ( mm ) A1 20 80 1600 70 112 103 A2 40 60 2400 30 72 103 n2 A A y 184ꞏ10 A 4000 i 1 (i ) Ai ꞏyCG ( mm3 ) i i i i CG 3 Finalmente, se obtiene la ordenada del centro geométrico mediante la expresión: 2 yCG A y (i ) CG i i 1 2 A i 1 184 103 mm3 46mm 4 103 mm2 i Ejemplo A-6: En la sección representada en el Ejemplo A.5 se considera el eje horizontal x que pasa por el centro geométrico (CG) de la sección de área A ( x es un eje centroidal). Si A es la porción de A localizada sobre el eje, como se muestra en la figura, determinar el primer momento de A con respecto al eje x . Para calcular el momento estático del área A con respecto al eje x se divide A en las áreas A1 y A3 como muestra la Figura. 808 Propiedades Geométricas de las Secciones Teniendo en cuenta el resultado del Ejemplo A-5, en el que se determinó que el centro geométrico está localizado 46mm sobre la base de A , se determinan las (1) (3) coordenadas yCG e yCG de los centros geométricos de A1 y A3 respecto al eje x , y luego se calcula el momento estático. (i ) yCG ( mm ) (i ) Ai ꞏyCG ( mm3 ) Figura Área ( mm2 ) A1 20 80 1600 60 46 20 / 2 24 1600 24 3840 A3 14 40 560 (60 46) / 2 7 7 560 3920 A ꞏy 42320 i i i CG Finalmente, el momento estático del área A con respecto al eje x resulta: S x(A) 42.320 103 mm3 Ejemplo A-7: Conocida la ordenada del centro geométrico ( yCG h / 3 ) de la sección representada en la Figura, calcular la abscisa xCG . 809 S. Oller, L. G. Nallim xCG Sy A xdA A A 2 b1 h b2 2 3 b1 2 b1 3 b2 bh 2 x A i CG i 1 i 2 A i 1 i h 2 h 2 2 b b b1 b1 1 b b1 2 3 3 3 1 b 2b 2 1 bh 3 2 xCG A.3 Propiedades 1 b2 2b1 3 mecánicas de piezas estructurales A.3.1 Centro de peso o gravedad de un cuerpo compuesto por distintos materiales El concepto que se desarrolla aquí es una generalización de lo enunciado anteriormente para secciones planas. Sea un cuerpo compuesto por diferentes materiales, tal como se muestra en la Figura A.7. El peso de cada material está dado por: Pi mi g Vi dens i dV g (A.19) donde mi , idens y Vi son, respectivamente, la masa, la densidad y el volumen de cada material, mientras que g es la aceleración de la gravedad. A partir de la ecuación (A.19) se puede obtener el peso total del cuerpo mostrado en la Figura A.7 como: 810 Propiedades Geométricas de las Secciones n n P Pi g idens dV i 1 (A.20) i 1 Vi Las coordenadas del centro de gravedad del conjunto resultan: n n xCP Px i 1 n C i i P i i 1 yCP Py i 1 n C i P i 1 i i 1 Vi n g i 1 Vi (A.21) dens i dV n n i g idens xi dV g idens yi dV i 1 Vi n g i 1 Vi (A.22) dens i dV Figura A.7 – Cuerpo compuesto por distintos materiales. 811 S. Oller, L. G. Nallim Teniendo en cuenta que dV dA resulta de las ecuaciones (A.21) y (A.22), para cte , n xCP n x dA i 1 dens i i Ai n dA i 1 dens i i n yCP i 1 Ai n dA i 1 dens i i 1 Ai idens yi dA i 1 n dens i S yi (A.23) dens i Ai n i Ai i 1 n dens i i 1 S xi (A.24) dens i Ai Es preciso notar que las ecuaciones (A.23) y (A.24) constituyen una generalización de las ecuaciones (A.8) y (A.9), las cuales corresponden al caso simple de una sección compuesta por un único material, es decir con dens cte . A.3.2 Centro geométrico de un cuerpo compuesto por distintos materiales La coordenada del Centro Geométrico del cuerpo mostrado en la Figura A.8 se determina mediante las siguientes expresiones n yCG yi dV i 1 Vi n dV i 1 Vi n l yi dA i 1 l n Ai l dA i 1 l yCG Ai y dA A dA A n n y dA S i 1 Ai n i dA i 1 Ai i 1 n x i A i 1 (A.25) i (A.26) 812 Propiedades Geométricas de las Secciones Figura A.8- Pieza estructural constituida por varios materiales. A.3.3 Centro mecánico de un cuerpo compuesto por distintos materiales La coordenada del Centro Mecánico del cuerpo mostrado en la Figura A.8 se determina mediante las siguientes expresiones, n yCM n n E y dV E l y dA E y dA i 1 Vi i i n E dV i 1 Vi i i i 1 i l Ai n E l dA i i 1 l Ai i 1 i i Ai n E dA i 1 (A.27) i Ai n yCM E S i 1 n i x i E A i 1 i i (A.28) 813 S. Oller, L. G. Nallim donde Ei es el módulo de elasticidad longitudinal del i-ésimo material compuesto que integra la pieza. A.4 Momentos de inercia o Momentos de segundo orden Como complemento de lo anterior se definen otra de las características geométricas de las “secciones transversales”, la que viene dada a través de los denominados momentos de segundo orden o momentos de inercia. La expresión matemática de estos momentos (ver Figura A.9), en forma cartesiana, están dados por: I xx y 2dA, I yy x 2dA A A (A.29) Y en forma polar es IO 2dA (A.30) A Si se desarrolla la expresión del momento de segundo orden (momento polar de inercia) dado por (A.30) se tiene: IO x 2 y 2 dA x 2dA y 2dA I xx I yy A A A (A.31) Por otra parte, se denomina producto de inercia de una sección respecto de los ejes x e y a la siguiente expresión: I xy x y dA A (A.32) Si alguno de los ejes ( x o y ) es de simetría el producto de inercia de las sección respecto a estos ejes resulta nulo. 814 Propiedades Geométricas de las Secciones Figura A.9 – Momento de segundo orden. A.4.1 Teorema de Steiner Este teorema sirve para evaluar el momento de inercia respecto de cualquier otro eje paralelo al ya conocido. Sean x, y un sistema de ejes ortogonales paralelos a los ejes cartesianos x, y como se observa en la Figura A.10, donde: x x a x x a, y y b y y b (A.33) Por definición, los momentos de segundo orden de la sección transversal A respecto a los ejes x e y , están dados por: I xx y2 dA, I yy x2 dA, I xy y x dA, A A A (A.34) Si se reemplaza en las ecuaciones (A.34) las coordenadas por sus expresiones (ecuaciones (A.33)) se obtienen: I xx y2 dA y b dA y 2 dA b2 dA 2 y b dA 2 A A A A A (A.35) 815 S. Oller, L. G. Nallim I yy x2 dA x a dA x 2 dA a 2 dA 2 x a dA 2 A A A A A (A.36) I xy y x dA y b x a dA A A y x dA b a dA y a dA x b dA A A A (A.37) A Figura A.10- Momento de inercia de una sección respecto a ejes ortogonales paralelos a los ejes x, y . resultando: I yy I yy a 2 A 2 a S y (A.38) I xx I xx b 2 A 2 b S x (A.39) I xy I xy a b A b S y a S x (A.40) Cuando los ejes x e y son ejes centrales (Figura A.11) resulta S x S y 0 . Por lo tanto, las expresiones (A.38) a (A.40) se simplifican considerablemente, obteniéndose I yy I yyCG a 2 A (A.41) 816 Propiedades Geométricas de las Secciones I xx I xxCG b 2 A (A.42) I xy I xyCG a b A (A.43) Figura A.11– Momento de inercia de una sección respecto a ejes ortogonales paralelos a los ejes centrales x-y. A.4.2 Radio de giro El radio de giro es otra característica geométrica de las secciones, que permite tener una idea de la robustez de una pieza. Las expresiones matemáticas de los radios de giro respecto a los ejes x e y (Figura A.9), están dadas respectivamente por: ixx I xx A (A.44) i yy I yy A (A.45) Para determinar los radios de giro respecto de los ejes x e y , paralelos a los ejes x e y , se considera la Figura A.11 y se aplican las expresiones del teorema de Steiner (A.38) a (A.40), de la siguiente manera 817 S. Oller, L. G. Nallim ixx2 I xx I b2 A 2 b S x xx ixx2 b 2 2 b yCG A A A A (A.46) iyy2 I yy I yy a 2 A 2 a S y i yy2 a 2 2 a xCG A A A A (A.47) Cuando los ejes x e y son ejes centrales (Figura A.11), las expresiones (A.46) y (A.47) se simplifican considerablemente, resultando: ixx'2 ixxCG CG i '2yy i yy 2 2 b2 (A.48) a2 (A.49) Ejemplo A-8: Para la sección rectangular representada en la figura determinar: a) El momento de inercia respecto al eje central x . b) El radio de giro respecto al eje central x . c) El momento de inercia respecto al eje x que contiene a la base del rectángulo, aplicando el teorema de Steiner. a) Se escoge como elemento diferencial de área un elemento rectangular paralelo al eje x de base b y altura dy , de manera que todos los puntos del elemento dA se encuentren a igual distancia y del eje x . Aplicando la definición de momento de inercia se obtiene: 818 Propiedades Geométricas de las Secciones h/2 y3 I xx y dA y bdy b 3 h / 2 A 2 I xx Resultando h/2 2 h / 2 b h3 h3 3 8 8 bh3 12 b) El radio de giro se obtiene aplicando la definición dada por la ecuación (A.44): ixx I xx A bh3 1 h 12 bh 12 c) El momento de inercia I xx se obtiene aplicando la ecuación (A.43): 2 bh 3 h bh 3 bh 3 bh 3 I xx bh 12 2 12 4 3 Ejemplo A-9: Para la sección triangular representada en la figura determinar: a) Los momentos de inercia respecto de los ejes cartesianos x e y representados en la figura. b) El producto de inercia respecto a los mismos ejes que el inciso a). c) Los momentos de inercia respecto de los ejes centrales, aplicando el teorema de Steiner. 819 S. Oller, L. G. Nallim a) En primer lugar se determina la variación de las magnitudes diferenciales respecto de los ejes coordenados con origen en O , b b b y h y b y , h h h h h x b x h x b b Por definición, el momento de inercia con respecto al eje x se obtiene de la siguiente manera: h h b b y3 b y 4 I xx y 2 dA y 2b y dy y 2 b y dy h h 4 3 0 0 A I xx h 0 b h3 12 De manera análoga, el momento de inercia con respecto al eje y se obtiene: b I yy b h h x3 h x 4 x dA x h x dx x h x dx b b 4 3 0 0 A 2 2 b 2 I yy 0 h b3 12 b) Para determinar el producto de inercia respecto de los ejes x e y , se utiliza la variación de las magnitudes diferenciales encontradas en a) y se aplica la definición de producto de inercia: h 2 b( y ) x I xy x y dA x ydx dy 2 A 0 0 0 h b b y h 0 h 1 2 2 b2 b2 2 b y y y dy 0 2 h h 2 h 1 b2 y 2 2 b2 y3 b2 y 4 2 2 h 3 h 2 4 0 I xy b2h2 24 y dy 820 Propiedades Geométricas de las Secciones c) Se conoce que las coordenadas del centro geométrico de la sección triangular de la figura están dadas por xCG b / 3 , yCG h / 3 . Si se aplica el teorema de Steiner, a partir de las ecuaciones (A.41) a (A.43), se obtiene: 2 I yyCG I yy a 2 A De manera análoga se obtiene I xxCG h b3 b b h h b3 12 3 2 36 b h3 36 El producto de inercia se obtiene de la siguiente manera: I xyCG I xy ab A h 2b 2 b h bh h 2b 2 24 3 3 2 72 A.4.3 Forma de tratar las secciones gruesas y delgadas a) Secciones gruesas Sea la sección mostrada en la Figura A.12. Para determinar las coordenadas del baricentro del se aplican las ecuaciones (A.17 y A.18), lo cual conduce a: yCG 1 2 A1 yCG A2 yCG A1 A2 e 2 he e 2 be h e e be h e e (A.50) be h e 2 b h e 2 xCG 2 2 A x 1 A2 xCG 1 CG A1 A2 he b e 2 b h e 2 2 b e be h e e 2 2 be h e e (A.51) 821 S. Oller, L. G. Nallim Figura A.12 – Sección transversal de paredes gruesas. b) Secciones delgadas Sea la sección mostrada en la Figura A.13, la cual se obtiene a partir de la Figura A.12 tomando un espesor muy pequeño ( e 0 ). Para determinar las coordenadas del baricentro se aplica lo visto anteriormente. Figura A.13 – Sección transversal de paredes delgadas. yCG xCG h 1 2 be 0 he A1 yCG A2 yCG h2 2 2 b h A1 A2 h b e 1 2 A1 xCG A2 xCG A1 A2 b 2 be h e e 0 h b e b2 2 b h (A.52) (A.53) 822 Propiedades Geométricas de las Secciones Observar que: be h 2 e2 h2 lim e 0 2 h b e 2 b h (A.54) (A.55) he b 2 e2 b2 e 0 2 b h e 2 b h lim Ejemplo A-10: Calcular las coordenadas de a) centro geométrico, b) centro de gravedad y c) centro mecánico de la sección mixta representada en la figura. a) Determinación del centro geométrico Figura (1) (2) (3) Área ( cm 2 ) 8 30 240 1 20 20 1 20 20 3 Ai 280 i 1 (i ) yCG ( cm ) (i ) Ai yCG ( cm 3 ) 25 240 25 6000 20 11 220 20 0.5 10 11 0.5 3 A ꞏy 6230 i 1 i i CG 823 S. Oller, L. G. Nallim Finalmente, se obtiene la ordenada del centro geométrico mediante la expresión: 3 A y yCG (i ) CG i i 1 3 A 6230cm3 22.25 cm 280cm 2 xCG 0 i i 1 b) Determinación del centro de gravedad idens Figura Área ( cm 2 ) (1) (2) (3) 8 30 240 1 20 20 1 20 20 kg / cm 3 kg / cm 240 1 240 20 3 60 20 3 60 1 3 3 n 3 3 A 280 i 1 AiP Ai ꞏidens A i i 1 P i (i ) yCG cm i AiP ꞏyCG ( kg ) 25 240 25 6000 60 11 660 60 0.5 30 11 0.5 3 A 360 i 1 P i i ꞏyCG 6690 Finalmente, se obtiene la ordenada del centro de gravedad mediante la expresión: 3 yCP A ꞏy P i i 1 i CG 3 A i 1 P i 6690kg 18.58 cm 360kg / cm xCP 0 c) Determinación del centro mecánico Figura Área ( cm 2 ) Ei kg / cm 2 AiM Ai ꞏEi (i ) yCG ( kg ) ( cm ) i AiM ꞏyCG ( kg cm ) (1) 8 30 240 1 240 1 240 25 240 25 6000 (2) (3) 1 20 20 1 20 20 10 10 20 10 200 20 10 200 11 200 11 2200 0.5 200 0.5 100 824 Propiedades Geométricas de las Secciones n 3 Ai 280 3 A 3 AiM 640 i 1 i 1 i 1 M i i ꞏyCG 8300 Finalmente, se obtiene la ordenada del centro de mecánico mediante la expresión: 3 yCM A M i i 1 i ꞏyCG 3 A i 1 M i 8300kg cm 12.969 cm 640kg xCM 0 Ejemplo A-11: Para la sección mixta del ejemplo A-10 determinar: a) el momento de inercia axial respecto al eje paralelo a la base que contiene al centro geométrico, y b) el momento de inercia axial respecto al eje paralelo a la base que contiene centro mecánico. a) Cálculo del momento de inercia geométrico Figura Área cm 2 (1) 240 (2) (3) 20 20 I xx0 i ( cm 4 ) d i ( cm 2 CG ) 2 30 83 1280 12 25 22.25 1 203 666.67 12 11 22.25 20 13 1.67 12 0.5 22.25 ( cm 4 ) 2 240 7.56 1814.4 7.56 2 20 126.56 2531.2 126.56 473.06 2 Ai dCG i 2 20 473.06 9461.2 Finalmente, se obtiene el momento de inercia geométrico mediante la expresión: 825 S. Oller, L. G. Nallim 3 2 I xxCG I xx0 i Ai d CG i i 1 1280 1814.4 666.67 2531.2 1.67 9461.2 15755.14 cm 4 b) Cálculo del momento de inercia mecánico I xx0 i Figura Área ( cm 2 ) ( cm ) (1) 240 1280 (2) 20 666.67 1112.97 (3) 20 1.67 0.5 12.97 2 dCM i ( cm 2 ) 4 25 12.97 2 144.72 2 2 2 Ai dCM i ( cm 4 ) 240 144.72 34732.8 3.88 20 3.88 77.6 155.5 20 155.5 3110 Finalmente, se obtiene el momento de inercia geométrico mediante la expresión: 3 2 I xxCM Ei I xx0 i Ai d CM i 1 i 1 1280 34732.8 10 666.67 77.6 10 1.67 3110 74572.2kg cm 2 A.4.4 Rotación de ejes de inercia Conocidos los momentos de inercia axiales y el producto de inercia de la sección representada en la Figura A.14 con respecto a los ejes x, y , el objetivo es determinar los momentos de inercia para un sistema de ejes rotados respecto de los anteriores. Se toma como punto de partida el cambio de una base ortogonal x, y a otra base ortogonal x, y , rotada un ángulo respecto de la primera, es decir se efectúa un cambio de base para un vector o tensor de primer orden: x y x cos sen x sen cos y A x (A.56) 826 Propiedades Geométricas de las Secciones x A x , x AT x (A.57) La matriz de transformación A es ortonormal, es decir que se verifica A1 AT . Ahora se escribe la inercia de una sección plana como un tensor de segundo orden, donde sus componentes reúnen toda la información del estado de inercia. Es decir: I xx I I yx I xy , con I xy I yx I yy (A.58) Este tensor cambia sus componentes según la orientación que toman los ejes x, y al rotar sobre " O " . El cambio de base para un tensor de segundo orden viene dado por I A I AT , con I xy I yx (A.59) Resolviendo este producto se tiene I xx I yx I xy cos sen . I yy sen cos I xx cos I xy sen I xx sen I xy cos (A.60) I cos I sen I yx sen I yy cos yy yx I xx I xx cos I xy sen cos I yx cos I yy sen sen I xy I xx sen I xy cos cos I yx sen I yy cos sen I yx I xx sen I xy cos sen I yx cos I yy sen cos I yy I xx sen I xy cos sen I yx sen I yy cos cos 827 S. Oller, L. G. Nallim Operando cada uno de estos componentes y teniendo en cuenta que I xy I yx , se obtiene: I xx I xx cos 2 I xy sen cos I yx cos sen I yy sen 2 I xy I xx sen cos I xy cos 2 I yx sen 2 I yy cos sen I yx I xx sen 2 I xy cos sen I yx cos 2 I yy sen cos (A.61) I yy I xx sen 2 I xy cos sen I yx sen cos I yy cos 2 De donde surge: I xx I xx cos 2 I yy sen 2 2 I xy sen cos I xy sen 2 I xy I xx I yy sen cos I xy cos 2 sen 2 sen 2 2 cos 2 (A.62) I yy I xx sen 2 I yy cos 2 2 I xy cos sen I xy sen 2 Las expresiones de las inercias en el sistema de ejes x, y pueden obtenerse partiendo de las ecuaciones de transformación (A.62) y de la definición de momento de inercia. Teniendo en cuenta que, x x cos y sen y x sen y cos Resulta, I xx y dA x sen y cos dA 2 2 A A x sen 2 2 y 2 cos 2 2 x y sen cos dA A x 2 dA sen 2 y 2 dA cos 2 2 x y dA sen cos A A A (A.63) 828 Propiedades Geométricas de las Secciones I xx x 2 dA sen 2 y 2 dA cos 2 2 x y dA sen cos A A A I xx I yy sen 2 I xx cos 2 I xy sen 2 (A.64) Figura A.14– Momento de inercia de una sección respecto a ejes ortogonales rotados. De la misma manera I yy x dA x cos y sen dA 2 2 A A x cos 2 2 y 2sen 2 2 x y sen cos dA (A.65) A I xx sen 2 I yy cos 2 I xy sen 2 I xy xy2 dA x cos y sen x sen y cos dA A A I xy cos sen 2 I xx I yy sen cos 2 cos 2 sen 2 2 (A.66) 829 S. Oller, L. G. Nallim A.4.5 Ejes principales de inercia Entro todos los posibles ángulos que definen una rotación de los ejes x, y existe sólo uno donde uno de los momentos de inercia se hace máximo y el otro mínimo, en tanto el momento centrífugo o producto de inercia se hace cero. Estos ejes reciben el nombre de ejes principales de inercia. Se pueden seguir distintos caminos para determinar los ejes principales de inercia, y el valor de los respectivos momentos de segundo orden. Aquí se ha optado por tres de los muchos que hay. a) Considerando la ecuación característica del tensor de inercia Dado el tensor de inercia, que está identificado con los ejes ortogonales que pasan por el punto "O " del plano (Figura A.14), es posible encontrar otro sistema coordenado ortogonal, rotado respecto del anterior, donde x coincide con un vector 1 y el eje y 2 , tal que sobre la dirección del primero se tenga I1 Imax , sobre el segundo eje I2 Imin , y el correspondiente producto de inercia I12 0 . Este sistema de ejes será un sistema de ejes principales, asociado al sistema x, y . Los momentos de inercia I1 e I 2 se denominan momentos principales de inercia de la sección. En otras palabras, se trata de otra manera de medir las mismas características geométricas de una sección. Esto es, I I* 0 (A.67) I I* 1 0 (A.68) donde I * son los momento principales de inercia, I es el tensor de inercia y 1 es la matriz identidad. Para que la solución de este sistema no sea la trivial, para 0 , es necesario que: det I I * 1 0 (A.69) Desarrollando el determinante anterior se obtiene la ecuación característica del tensor de inercia I 830 Propiedades Geométricas de las Secciones I xx I * det I yx I xy 2 I xx I yy I * I xx I * I yy I * I xy I yx 0 * I yx I (A.70) Resultando la siguiente ecuación característica en I * I* 2 I * I xx I yy I xx I yy I xy2 0 I 0 I0 (A.71) donde I 0 e I 0 son el primer y segundo invariante de inercia. La ecuación (A.71) tiene dos raíces, que serán los valores propios o autovalores de (A.68), tal que el mayor de estos autovalores coincidirá con I1 I max y el menor con I 2 I min , I1,2 I xx I yy I xx I yy 2 4 I xx I yy I xy2 2 (A.72) Desarrollando esta última expresión se obtiene, I1,2 I xx I yy 2 2 I xx I yy 2 I xy 2 (A.73) Sustituyendo cada uno de estos autovalores en (A.67), se obtendrán los correspondientes vectores propios o autovectores (direcciones principales). Esto es: Para I max cos I1 1 cos ; x ; y 1 1 (A.74) 831 S. Oller, L. G. Nallim Para I min cos I2 2 cos ; x ; y 2 (A.75) 2 Figura A.15– Nomenclatura utilizada para designar los ángulos en una rotación de ejes. Se verifica que el producto escalar entre los versores que indican las direcciones principales es nulo, es decir: 1 2 0 (A.76) El resultado dado por la expresión (A.76) confirma que 1 2 . Como nota aclaratoria, conviene resaltar que el sistema (A.68) está constituido por dos ecuaciones linealmente dependientes, por lo que sólo tiene solución si se aplica la siguiente condición auxiliar: xi 2 iy 1 , i 1, 2 2 (A.77) donde xi , iy son las componentes de los vectores que definen las direcciones principales en las direcciones cartesianas x e y , respectivamente. Si se desarrolla la ecuación (A.68) para el momento principal de inercia I1 se obtiene, 832 Propiedades Geométricas de las Secciones I xx I1 1x I xy 1y 0 y x I yx 1 I yy I1 1 0 (A.78) Teniendo en cuenta la condición auxiliar dada por la ecuación (A1.77) para la dirección principal de inercia 1 , resulta 1x 2 1y 1 2 (A.79) Se despeja 1y de la primera de las ecuaciones (A.78) y luego se lo sustituye en la condición auxiliar (A.79), se obtiene y 1 I xx I1 I yx 1x b) x 1 , x 1 2 1 I I 1 xx 1 I yx 2 I I1 xx I yx y 1y 2 1x 2 1 I xx I1 I yx 1x (A.80) (A.81) Maximizando la ecuación (A.64) Derivando la expresión (A.64) respecto de , e igualando a cero, se obtiene el ángulo (ver Figura A.16) para el cual el momento de inercia es máximo o mínimo, así como el valor correspondiente: dI xx 0 2 I xx cos sen 2 I yy sen cos I xy cos 2 sen 2 d (A.82) cos 2 0 I xx I yy sen 2 2I xy cos2 0 I xx I yy 2I xy tg 2 1 tg 2 tg 2 2I xy I xx I yy (A.83) (A.84) 833 S. Oller, L. G. Nallim I xx I1 I max I yy I 2 I min I I 0 12 xy (A.85) Si se sustituye el ángulo obtenido a través de la ecuación (A.84) en el sistema de ecuaciones (A.64-66) se obtienen los valores de los momentos principales de inercia antes determinados (Figura A.16). c) Círculo de Mohr Mohr establece una construcción gráfica, para obtener tanto los momentos de inercia máximos y mínimos, como así también el valor del ángulo en el que se producen estos momentos de inercia. Para ello se pate de representar el tensor de inercia en un plano convencional, como se muestra en la Figura A.17. I xx I I yx I xy I yy (A.86) Figura A.16– Momento de inercia de una sección respecto a ejes ortogonales rotados a las posiciones de ejes principales. 834 Propiedades Geométricas de las Secciones Figura A.17– Círculo de Mohr. Del círculo de Mohr representado en la Figura A.17 surge lo siguiente: 2 R I1 I xx I yy I xy2 2 I xx I yy R, 2 tg(2) I2 I xx I yy R 2 2 I xy I xx I yy (A.87) (A.88) (A.89) d) Círculo de Mohr-Land Existe una variante del círculo de Mohr, donde se representa el tensor de inercia en un cierto modo, y luego se obtiene de allí la misma información que brinda el círculo de Mohr, más otra que es de utilidad en problemas de flexión. A continuación se detalla en forma gráfica el mencionado círculo. Por encima del centro geométrico de la sección se traza el círculo de inercia con un diámetro igual 835 S. Oller, L. G. Nallim al momento de inercia polar Io I xx I yy . En la Figura A.18 se presenta la construcción. Figura A.18– Círculo de Mohr-Land. 836 Propiedades Geométricas de las Secciones 837 S. Oller, L. G. Nallim P. Benham, R. Crawford and C. Armstrong (1997). Mechanics of Engineering Materials. Longman. T.H.G. Megson (2005). Structural and Stress Analysis. Elsevier, Second Edition, USA. R. D.Cook, W. C.Young, (1999). Advanced Mechanics of Materials. Prentice Hall. M. Cervera Ruiz y E. Blanco Díaz (2015). Resistencia de Materiales. Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería (CIMNE) M. Cervera Ruiz y E. Blanco Díaz (2012). Mecánica y Resistencia de Materiales. CIMNE. M. Cervera Ruiz y E. Blanco Díaz (2002). Mecánica de estructuras. Vol. 1 y Vol. 2. EdicionsUPC. Barcelona. J. M. Gere (2002). Timoshenko Resistencia de materiales. Editorial Paraninfo, Madrid. S. P Timoshenko, and J. N Goodier (1970). Theory of elasticity. McGraw-Hill. S. P. Timoshenko y D. H. Young (1976). Teoría de las estructuras. Urmo. S. P. Timoshenko (1983). History of Strength of Materials. Dover. J. Miquel Canet (2000). Cálculo de estructuras. Vol. 1 y Vol. 2. Edicions-UPC CIMNE. Barcelona. L. Ortiz Berrocal (1991). Resistencia de materiales. McGraw-Hill. Bruhn (1973). Analysis and design of flight vehicle structures. Jacobs Publishing Inc. B. K. Donaldson (1993). Analysis of aircraft structures – An introduction. McGraw-Hill. M. C. Y. Niu (1997). Airframe – Stress analysis and sizing. Hong Kong Conmilit Press Ltd.. 838 Bibliografía W. Nash (1991). Resistencia de materiales. McGraw-Hill. H. West (1998). Analysis of Structures – An Integration of Classical and Modern Methods. Jhon Wiley and Sons, USA. K. Hirschfeld (1975). Estática en la Construcción. Editorial Reverté, Barcelona. F. P. Beer, E. R, Johnston, J. T. De Wolf & D. F. Mazurek, (2011). Mechanics of Materials. McGraw-Hill. R. R. Craig, (2011). Mechanics of Materials. Wiley. R. C. Hibbeler (2010). Mechanics of Materials. Prentice Hall. Ch. Massonnet (1968). Résistance des matériaux. Dunod. E. P. Popov, (1999). Engineering Mechanics of Solids. Prentice Hall. Liz G. Nallim Sergio H. Oller Estática y Resistencia de Materiales Este libro está dirigido a la formación de estudiantes de ingeniería, arquitectura y también a ingenieros y arquitectos como base de consulta para el ejercicio de la profesión. Presenta un enfoque de la Resistencia de Materiales enriquecido con nuevos conceptos y con ejemplos resueltos mediante herramientas informáticas, ayudando así a establecer una metodología de trabajo simple, reduciendo los tiempos de solución de los problemas y permitiendo una mejor asimilación de los conceptos fundamentales. El trabajo contenido en este libro es fruto de la extensa experiencia de los autores dedicada a la enseñanza de esta temática y ha sido desarrollado con el objetivo de ayudar al aprendizaje de las bases del análisis de estructuras en general y de piezas de máquinas. Estática y Resistencia de Materiales Sergio H. Oller Liz G. Nallim Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la E.T.S de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona (UPC), España; Especialista en Cálculo Avanzado de Estructuras por la Università degli Studi di Roma, Italia. Catedrático “Senior” de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras en la E.T.S de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona, Universidad Politécnica de Cataluña (UPC), España; Profesor Titular de Estabilidad y de Mecánica en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Salta (UNSA), Argentina; Investigador Principal del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET), Argentina; Investigador “Senior” del Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería (CIMNE), España. Doctor “Honoris-Causa” por la Universidad Nacional de Salta (UNSA), Argentina; Profesor Honorario por la Universidad Nacional de Salta, Argentina. Doctora en Ingeniería, Orientación Estructuras, por la por la Universidad Nacional de Salta (UNSA), Argentina; Profesor Titular de Estabilidad II de la carrera de Ingeniería Civil y docente de la carrera de Doctorado en Ingeniería de la Universidad Nacional de Salta (UNSA), Argentina; Docente en la Maestría en Ingeniería Estructural y el Doctorado en Ingeniería del Instituto de Estructuras de la Universidad Nacional de Tucumán (UNT), Argentina; Directora del Aula CIMNE – UNSa; Investigador Independiente del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET), Argentina. Liz G. Nallim Sergio H. Oller Estática y Resistencia de Materiales Este libro está dirigido a la formación de estudiantes de ingeniería, arquitectura y también a ingenieros y arquitectos como base de consulta para el ejercicio de la profesión. Presenta un enfoque de la Resistencia de Materiales enriquecido con nuevos conceptos y con ejemplos resueltos mediante herramientas informáticas, ayudando así a establecer una metodología de trabajo simple, reduciendo los tiempos de solución de los problemas y permitiendo una mejor asimilación de los conceptos fundamentales. El trabajo contenido en este libro es fruto de la extensa experiencia de los autores dedicada a la enseñanza de esta temática y ha sido desarrollado con el objetivo de ayudar al aprendizaje de las bases del análisis de estructuras en general y de piezas de máquinas. Estática y Resistencia de Materiales Sergio H. Oller Liz G. Nallim Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos por la E.T.S de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona (UPC), España; Especialista en Cálculo Avanzado de Estructuras por la Università degli Studi di Roma, Italia. Catedrático “Senior” de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras en la E.T.S de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Barcelona, Universidad Politécnica de Cataluña (UPC), España; Profesor Titular de Estabilidad y de Mecánica en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Salta (UNSA), Argentina; Investigador Principal del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET), Argentina; Investigador “Senior” del Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería (CIMNE), España. Doctor “Honoris-Causa” por la Universidad Nacional de Salta (UNSA), Argentina; Profesor Honorario por la Universidad Nacional de Salta, Argentina. Doctora en Ingeniería, Orientación Estructuras, por la por la Universidad Nacional de Salta (UNSA), Argentina; Profesor Titular de Estabilidad II de la carrera de Ingeniería Civil y docente de la carrera de Doctorado en Ingeniería de la Universidad Nacional de Salta (UNSA), Argentina; Docente en la Maestría en Ingeniería Estructural y el Doctorado en Ingeniería del Instituto de Estructuras de la Universidad Nacional de Tucumán (UNT), Argentina; Directora del Aula CIMNE – UNSa; Investigador Independiente del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET), Argentina.
