Análisis Matemático I Teoría

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL RIO GRANDE
Teoría : Análisis Matemático
Ing. Alvarez Francisco
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FACULTAD REGIONAL RÍO GRANDE
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
PROGRAMA DE MEJORAMIENTO DE LA ENSEÑANZA DE LA INGENIERIA
PROMEI
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RECTOR
Ing. Héctor Brotto
VICE- RECTOR
Ing. Carlos E.Fantini
DECANO
Regional Rio Grande: Ing. Mario Felix Ferreyra
SECRETARIO ACADÉMICO
Regional Rio Grande: Francisco Alvarez
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EQUIPO TÉCNICO RESPONSABLE
Ing. Francisco Álvarez
Ing. Rolando Javier Rodríguez
Lic. Lida Noemí Rojas
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ANÁLISIS MATEMÁTICO I
PRÁCTICA N° 1 - Números reales, intervalos, función y función lineal. Estudio
MRU
PRÁCTICA N° 2 – Gráficos de las funciones. Corrimientos. Entornos
PRÁCTICA N° 3 – Límite.
PRÁCTICA N° 4 – Ampliación del concepto de límite. Límites laterales.
PRÁCTICA N° 5 – Funciones continuas.
PRÁCTICA N° 6 – Cálculo de derivadas por definición y por reglas de derivación.
Significado geométrico. Derivación de funciones compuestas.
PRÁCTICA N° 7 – Derivación de funciones dadas en forma implícita. Significado
geométrico de la derivada.
PRÁCTICA N° 8 –Significado geométrico de la derivada. Derivadas sucesivas.
PRÁCTICA N° 9– Significado físico de la derivada. Estudio de un MR.
PRÁCTICA N° 10 - Gráfico de la función senoidal.
PRÁCTICA N° 11 – Aplicación del límite fundamental. Derivada de funciones
trigonométricas. Funciones circulares inversas. Derivación.
PRÁCTICA N° 12.- Funciones logarítmicas y exponenciales. Derivación
PRÁCTICA N° 13 – Funciones hiperbólicas.
PRÁCTICA N° 14 – La diferencial de una función.
PRÁCTICA N° 15 – Integrales indefinidas.
PRÁCTICA N° 16 – Método de Integración por partes.
PRÁCTICA N° 17 – Integración de funciones algebraicas fraccionarias.
PRÁCTICA N° 18 – Extremos y puntos de inflexión de una función. Máximos y
mínimos.
PRÁCTICA N° 19 – Regla de L’Hospital
PRÁCTICA N° 20 – Integrales definidas, aplicación. Integral por sustitución
PRÁCTICA N° 21 – Fórmulas de Taylor y Mac Lauren.
PRÁCTICA N° 22 – Curvas dadas en forma paramétrica.
PRÁCTICA N° 23 – Longitud de arco de curva dada en forma cartesiana.
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Pág.
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PRÁCTICA N° 24 – Curvatura y radio de curvatura.
PRÁCTICA N° 25 – Repaso general.
Exámenes parciales tipo.
Tabla de Derivadas
Tabla de Integrales
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1 – NÚMEROS
Los números pueden expresarse de la siguiente manera:
Naturales (1, 2 , 3, .....)
Negativos (-1, -2, ........)
Enteros
Neutro
(0)
Racionales p/q
Fraccionarios Reales
rracionales
Nosotros trabajaremos con los números reales, dejando para algebra el trabajar con
los números complejos que tienen la siguiente forma:
(1 + 2i)
Se pueden representar los números en un eje, en este caso eje x
Ejes
Gráfico de puntos
También podemos utilizar el eje cartesiano para realizar la gráfica.
P (1, 3); Q (-2, 4 ; M (0, -3 )
Conjuntos: Es una idea primitiva
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Idea Primitiva: Son conceptos que no se pueden definir. X , Y ( los conjuntos se
anotan con mayúsculas )
Elementos: x de X; Para indicar que x pertenece a X se anota. x X
Si anotamos con x X, esto equivale a que el elemento x no pertenece al conjunto X
Cuando un conjunto tiene un número finito de elementos puede darse enumerando todos
sus elementos. Por ejemplo:
X = { 1, 2, 3, 4 } extensión
Si el conjunto tiene muchos, pocos o infinitos elementos, puede definírselo dando una
propiedad que tengan los elementos de ese conjunto únicamente.
X = { X / x N, 0 < x < 4 } esta definición es por comprensión
X = { 1, 2, 3 } extensión
X = { X / x N, 1  x < 7 } comprensión
X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } extensión
Dados dos conjuntos X e Y, decimos que X es una parte o subconjunto de Y si cada
elemento de X  Y.
X Y
parte o subconjunto ; X { 1, 3 }; Y { 1, 8, 4, 3 }
Si X{ 1, 3 } ; Y{ 1, 3 } equivale a decir X = Y por que los elementos de X son iguales a
los de Y.
Trabajaremos con conjuntos que son parte de otro conjunto que llamaremos universal.
Por ejemplo: si trabajamos con números naturales podemos elegir como conjunto
universal al de todos los números naturales o los reales.
Los indicamos con I y para representarlos utilizamos los diagramas de Venn-Euler.
I rectángulos
X e Y óvalos
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Operaciones con conjuntos
Intersección: Dados dos conjuntos X e Y indicamos su intersección con X Y y esta
intersección está formada por los elementos comunes a X e Y.
X { 1, 3 }; Y { 2, 3, 4 } entonces la intersección será X Y { 3 }
Cuando X e Y no tienen ningún elemento en común al conjunto intersección se lo llama
conjunto vacío, y se lo representa por:
X Y = 
Unión: La unión de los conjuntos X e Y, es el conjunto formado por todos los
elementos de X y de Y, si X = {1;3 } y Y={2;3,4} entonces el conjunto está dado por:
X Y{ 1, 2, 3, 4 } y se representa en un Diagrama de Venn
Intervalos: Siendo a y b dos números reales, llamaremos intervalo abierto a,b y se lo
nota:
( a , b ) = { X / x R, a < x < b }
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gráficamente
Ejemplo: ( 2 , 5 )
Siendo a y b dos números reales, llamaremos intervalo cerrado a b y se lo nota:
[ a , b ] = { X / x R, a  x  b }
Ejemplo: [ -1 , 3 ]
( a , b ] abierto en a
[ a , b ) abierto en b
Intervalos infinitos: se denomina así a la siguiente expresión
[ a , + { X / x R, x  a } abierto por derecha
( - b { X / x R, x < b } abierto por izquierda
( -  R que representa a todos los reales
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Funciones
Dados dos conjuntos A y B, si asociamos de alguna manera a cada elemento x del
conjunto A un elemento y del conjunto B, obtenemos una función que indicamos con la
letra f y decimos que y es el valor de la función en x.
y = f ( x ) ; x = variable independiente; y = variable dependiente
Si a cada elemento de A le asociamos un elemento de B.
Definimos como A: dominio de la función y la expresamos como (D)
f (1) = 8
f (2) = 8
f (3) = 10
Los números 8 y 10 denominamos Imagen o rango de la función
Si la imagen coincide con todo el conjunto B la función se dice que es sobreyectiva
La función g es sobreyectiva
Si a cada elemento de la imagen le corresponde un solo elemento del dominio la función
es
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inyectiva.
La función h es inyectiva
Una función que es sobreyectiva e inyectiva se denomina biyectiva.
Por ejemplo dada la función f= {(1,8),(3;10)} con A={1,8 } y B={8,10}
Además de con los diagramas las funciones se pueden definir en otras dos formas.
1. Por tablas
x
y
2
37º
5
39º
10
40º
12
38º
x: hora
y: temperatura del paciente
y = f ( x ) es inyectiva – sobreyectiva – biyectiva
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2. Por fórmula
C
P  n P : presión; V : volumen
V
P=f(V)
Ejemplos:
y  f ( x)  x 2  4
y  f (2)  (2) 2  4  0
y  f (2 / 3)  (2 / 3) 2  4  4 / 9  4  32 / 9
y  f ( a  h)  ( a  h) 2  4
y  f (1 / a  h) 2  (1 / a  b) 2  4
y  f ( x  h)  ( x  h) 2  4
Gráfico de una función
Sea
y  f ( x)  x 2 esta función define a una parábola y
es simétrica a su eje
-x-
-y-
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
La función lineal
La función
y  f ( x)  m.x  n
y  3x  2
m3
n  2
n : ordenada al origen
m: pendiente
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Supongamos que y = m.x + n es la ecuación de la recta r. Si r pasa por P o y P1 cuando
en la ecuación de la recta la x sea xo la y debe ser y0
y1
= m.x1 + n
y0
= m.x0 + n
y1 - y0 = m.(x1-x0)
m = y1-y0= tg  se denomina tangente del ángulo 
x1-x0
Si x = 0
y=n
Ejemplo: y = 2.x –4
Primer método
Por tabla
-x- -y0
-4
1
-2
Segundo método
Pendiente: 2
Ordenada al origen: -4
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Ecuación de la recta que pasa por P0
Sea m conocida. Si la recta r pasa por P0 reemplazando en la ecuación de la recta los
valores de:
x = x0
y = y0
Entonces nos queda:
y = m.x + n
y0 = m.x0 + n
y-y0 = m.(x-x0)
Ejemplo: hallar la ecuación de la recta que
pasa por el punto P0( 1, -1 ) y es paralela a
la recta de ecuación
y = 2.x –3
m=2
y + 1 = 2.(x – 1)
y + 1 = 2.x – 2
y = 2.x – 3
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P0 (x0, y0) y P1(x1,y1) de la
figura
Ya vimos la ecuación de la recta
y – y0 = m.(x – x0 )
(1)
m = y1-y0
x1-x0
(2)
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reemplazando 2 en 1
y – y0 = y1-y0 . (x – x0 )
x1-x0
y  y0
x  x0

y1  y 0 x1  x0
(3)
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 (-1, ½ ) y P1 ( 3, -5 )
y  1/ 2
x 1

 5  1/ 2 3  1
4 ( y – ½) = -11/2 (x + 1)
4 ( y – ½ ) = -11/2 . x - 11/2
y – ½ = -11/8 . x – 11/8
y = -11/8 x – 7/8
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por P0 (1, 1 ) y P1 ( 2, 3 )
y 1 x 1

3 1 2 1
y–1=2(x–1)
y=2x–1
Ecuaciones de rectas especiales
Rectas paralelas al eje x
m=0
y=n
eje x
y=0
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Rectas paralelas al eje y
eje y
x=0
x=a
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2- APLICACIÓN FÍSICA DE LA FUNCION LINEAL
ESTUDIO DEL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
Supongamos tener un punto móvil M que se desplaza sobre el eje de la x de tal modo
que en cada instante t, su posición está determinada por el valor de x, medida a partir de
un punto de referencia 0. Si el móvil se mueve con velocidad constante v [m/seg.] , en
física se demuestra que la posición x en cada instante es:
x0 = f (t) = v.t + v0 esta es una ecuación de 1° grado en x y t.
Si deseamos calcular la posición inicial del móvil:
t=0
x = x0
 P0
x = f(t) = v.t + x0
x
M
P0
x
x0
0
Ejemplo: Supongamos que la ley del movimiento es: x = f (t) = 2t -3
a)
b)
c)
d)
e)
Dibujar la curva de posición en función del tiempo, determinando punto de partida.
Sentido del desplazamiento del móvil.
En que instante pasa por cero. (gráfica y analíticamente)
Posición a los 4 seg. y a los 6 seg. y espacio recorrido entre ellos
Curva velocidad en función del tiempo.
a) La curva que da la posición en función del tiempo 0 sea x = f (t) es en este caso una
recta de n = -3 que ubica el punto de partida P0 y de m = 2 que es la velocidad del
móvil. Con estos datos sé gráfica en forma habitual.
b) El desplazamiento del móvil es hacia la x positivas.
c) El móvil pasa por cero cuando x = 0
Luego
0 = 2t-3
 t = 3/2 = 1,5 seg.
d) sí
t =4
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x = 2.(4) – 3 = 5
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x = 2.(6) – 3 = 9
Sí t = 6
El espacio recorrido será e = M ’- M
e = 9 – 5 = 4m
e) La velocidad está dada por el valor de la pendiente y es un valor constante
Luego
v = 2 m/seg.
x
M’
M
9
5
e = M’- M
1
2 3 4
5
6
t (seg)
-3 = P0
La velocidad v esta dada por el valor de la pendiente y es un valor de v= 2 m/seg
velocidad
2
0
3-FUNCIONES VARIAS
FUNCION VALOR ABSOLUTO
x sí x 0
y = f (x) = x =
-x sí x< 0
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tiempo
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Sí x  0
Sí x < 0
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y=x
y = -x
y
La gráfica se compondrá de dos semirectas para valores positivos de x y = x , bicetriz
del 1er cuadrante, y para valores negativos será y= - x, bicetriz del 2°cuadrante
FUNCION POTENCIAL
0
x
y = f(x) = xn
1) n = 2
y

y = x2
Esta expresión es de 2do grado. Y es una
Parábola de segundo grado
Función par
y = x2
4
Una función se dice que es par sí : f (-x) = f (x)
f (-x) = (-x)2 = x2 = f(x)
1
Las funciones pares tienen gráficos simétricos
respecto del eje y
2) n = 3

y=x
-2
1
x
2
y
3
y = x3
Función impar
P
Una función se dice que es impar si
-x
f(-x) = -f (x)
f (-x) = (-x)3 = -x3 = -f (x)
Las funciones impares tienen gráficos simétricos
respecto del punto 0. Osea que los puntos P y P’
correspondientes a x y a –x están situados sobre la
misma recta que pasa por 0 y a igual distancia de 0.
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x
P’
x
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y = f(x) = x1/2 =
3) n = 1/2
x
y
HIPERBOLA EQUILATERA
y=√x
y = f (x) = 1/x
y
x
y = 1/x
x
NOCIONES PARA LA CONSTRUCCION DE GRÁFICOS
PROPIEDAD 1: Corrimiento según el eje y
y
g (x)
a
y = f (x)
y = g (x) = f (x) + a
f(x)
f (x)
Se obtiene corriendo el gráfico de la función hacia las y
positivas sí a es mayor que cero y hacia las y negativas sí
a es menor que cero.
x
x
Ej.: y = x2 + 3
Ejemplo: -x2 + 4
x
y
y
y = x2
y = x2 + 3
y = - x2 + 4
x
2
y=x
x
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PROPIEDAD 2: Corrimiento según el eje x
y
g (x) = f (x + a)
y = f (x)
y = g (x) = f (x + a)
f(x)
y
a
Para un valor de x = x + a en la primera función la ordenada
x
es f (x + a). Para obtener la misma ordenada en la segunda
x-a
x
x
x+a
función, debe dar un valor a x que es justamente x ya que
g (x) = f (x + a).
Luego si a es mayor que cero el gráfico de g se obtiene a partir del gráfico de f
corriendo a unidades hacia la x negativas y sí a es menor que cero
a unidades hacia la
x
y
derecha.
y = x2
Ejemplo: y = (x + 2)2
y = (x+2)2
Ejemplo: y = x – 2- 3
y
x
y =x
y = x-2
Ejemplo: y  
x
y =x-2-3
1
2
x4
y
y= -1 +2
x+4
y = 1/x
x
y=
1 +2
x+4
-1
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Grafico de funciones dadas por varias desigualdades
x2 sí x  0
y
y = f (x) =
4 sí < 0
y
x
x
y = f (x) =
x sí x < 0
4 sí x = 0
2x+1 sí > 0
INTRODUCCION: ENTORNO
Sean a, b
x
a
b
Supongamos tener dos números reales a y b y queremos calcular la distancia entre a y b
Distancia =b - a
Ej.: Calcular la distancia entre los puntos –1 y 3
Distancia: 3- (-1)= 4
distancia
-1
0
1
2
3
En base a lo visto, x-3indica la distancia entre x y 3, si deseamos que esa distancia
sea menor que dos escribimos.
Distancia: x - 3< 2
[1]
21
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Y se indica
x
1
3
5
Es decir todos los puntos del eje x situados entre 1 y 5
Si tenemos
x + 1< 3
[2]
es igual que
x – (- 1)< 3
x
-4
-1
2
Si en el eje deseamos excluir al punto 3 debe ser x  3
x  3 luego x – 3  0 de donde x -3> 0
0 <x - 3< 2
[3]
x
1
3
5
Al intervalo abierto del ejemplo [1] se lo llama entorno del punto 3 y de semiamplitud
2.
En el ejemplo [3] el entorno excluye al punto 3 y se lo llama entorno reducido del punto
3 de semiamplitud 2
0 <x - 4< 1
[4]
x
3
4
5
Entorno reducido del punto 4 de semiamplitud 1
x + 2< 4
[5]
x
-6
-2
2
Entorno del punto (-2) de semiamplitud 4
22
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En general x - a< 
[1]
Donde a es un número real y  es un número real positivo e indica un entorno del punto
a y de semiamplitud 


x
a-
a+
a
0 <x - a< 
Indica un entorno reducido del punto a de semiamplitud .


x
a-
a+
a
LIMITE
para
= 2.
Sea la función y = f(x) cuyo gráfico es el de la figura y deseamos determinar
que valores de x los valores de la función distan de 5 menos que una cantidad 
Es decir para que valores entre 3 y 7 excluido el 3 y el 7 y probablemente el 5.
En otras palabras deseamos saber para que valores la x la distancia entre la “y” y
el 5 es <  = 2
 f(x) – 5  <  = 2
[1]
y
y = f(x)
7
Q
=2
5
=2
3
valores de x donde se cumple [1]
2
P
1
0
3 - 1
23
3
3 + 2
x
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y
y = f (x)
7
5
Para determinar esos
valores gráficamente por 3 sobre
el eje y se traza una paralela al
eje x hasta cortar al gráfico de la
función en el punto P y por este
punto una vertical. De igual
modo se procede en 7 y
obtenemos el intervalo marcado
en la figura en donde se cumple
la condición [1].
3
δ
δ
Deseamos
ahora3 determinar
un entorno reducido del punto 3 para el cual sea
0
3–δ
3+δ
válida [1].x
En este caso hacemos
 = 1
0 <x - 3< 
[2]
Para determinarlo tomo por ejemplo desde x = 3 para la derecha y la izquierda
un valor  = 1 tengo un entorno reducido del punto x = 3 donde se cumple [1].
Como para el ejemplo de la figura analizando que para cada  > 0 fijado es
posible determinar un  tal que [1] se cumple cuando [2] se cumple, se dice que 5 es el
límite de la función y = f (x) para x3
Lím f (x) = 5
x3
Definición: Supongamos tener una función y = f (x) definido en un entorno de un punto
de abscisa x = a (excluido el punto a). Diremos que esa función tiene un límite L para
xa y se escribe
Lím f (x) = L
xa
Si para cada número  > 0 arbitrariamente pequeño es posible determinar
un  >0 tal que  f(x) – L <  para todos los x tales que 0 <x - a< 
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y
y = f(x)
L
0
a
x
Ejemplo: Decir cual es él Lím f(x) =
x2
si existe de la siguiente función:
f (x) = x2
y
y = x2
sí x  2
No existe límite porque la función no está definida en un entorno del punto 2.
Ejemplo: Decir cual es él Lím f (x) = si existe:
x2
x2
sí x  2
4
si x > 2
x
y
y = f (x)
f (x)
Lím f (x) = 4
x2
x
Expresaremos el resultado en notación matemática
Si para cada número  > 0 arbitrariamente pequeño es posible determinar
un  >0 tal que f (x) – 4 <  para todos los x tales que 0 <x - 2< 
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y
y = f (x)
Ejemplo: Decir cual es él Lím f (x) =
x2
si existe:
f (x)
x2
8
4
sí x < 2
sí x = 2
sí x > 2
x
Lím f(x) = 4
x2
f (2) = 8
Ejemplo: Decir cual es él
Lím f(x) =
x2
y
si existe:
y = f (x)
x2
sí x < 2
3
sí x > 2
f(x)
x
no existe límite
Ejemplo: Decir cual es él
Lím f (x) =
x2
x
sí x < 2
3
sí x > 2
y
si existe:
f(x)
x
No existe límite
26
27
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Aclaración sobre el concepto de límite
En la zona rayada el gráfico de la función está entre L +  y L -  para el entorno
reducido indicado de x = a.
1) La función tiene que estar definida de acuerdo a la definición de límite en un
entorno de x = a o sea tiene que haber gráfico a la izquierda y a la derecha de a.
En la fig. [1] y [2] decimos
Lím f(x) = L
xa
y
y = f(x)
Q
L+

Fig. 1
L
 P
L-

a-
0
27

a
a+
x
28
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y
L+

Fig. 2
L
y = f(x)

L-

0
a-

a+
a
x
Ello significa que fijado un  arbitrario y trazadas paralelas al eje x por L +  y L
-  podemos encontrar un entorno de x = a dentro del cual el gráfico de la función entre
estas dos paralelas está definido.
AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE
Sea la función y = f (x) cuyo gráfico es el de la figura.
y
y = f(x)
L2
L1
L2
L1
0
28
a
x
29
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Observamos que cuando x se aproxima a “a” por la izquierda los valores de la
función se aproximan a L1.
Decimos entonces que L1 es el límite de f(x) para x tendiendo a “a” por la
izquierda
Lím f (x) = L1
xaque se puede leer Lím f (x) = L1
xamenos
En lenguaje matemático esto significa que para cada  > 0 arbitrariamente
pequeño es posible determinar un número  > 0 tal que f (x) – L1<  para todos
los x tales que a -  < x < a
Igualmente la figura nos muestra que cuando x se aproxima a “a” por la derecha
los valores de la función se aproximan a L2.
Decimos entonces que L2 es el límite de f(x) para x tendiendo a “a” por la
derecha
Lím f(x) = L2
xa+
que se puede leer
Lím f(x) = L1
xamas
En lenguaje matemático esto significa que para cada  > 0 arbitrariamente
pequeño es posible determinar un número  > 0 tal que  f (x) – L2<  para todos
los x tales que a < x < a + 
Observación: Sí L1 = L2 tenemos el límite común L
y s í L1  L2 la función tiene un salto en x = a.
y
Ejemplo: Decir cual es él
Lím f(x) =
x2-
y
Lím f(x) =
x2+
3
de
3
sí x < 2
x
sí x  2
f(x)
Lím f (x) = 3
x2-
29
x
30
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En lenguaje matemático esto significa que para cada  > 0 arbitrariamente
pequeño es posible determinar un número  > 0 tal que f (x) – 3<  para todos
los x tales que 2 -  < x < 2
Lím f(x) = 2
x2+
En lenguaje matemático esto significa que para cada  > 0 arbitrariamente
pequeño es posible determinar un número  > 0 tal que f(x) – 2<  para todos
los x tales que
2 <x<2+
Límites Infinitos
Supongamos tener la función f (x) cuyo gráfico es el de la figura.
Observamos que cuando x se aproxima a “a” por la derecha los valores de la
función aumentan indefinidamente.
Decimos entonces que  es el límite de f(x) para x tendiendo a “a” por la
derecha.
Lím f (x) = 
xa+
En lenguaje matemático esto significa que para cada M > 0 arbitrariamente
grande es posible determinar un número  > 0 tal que f(x) > M para todos los x
tales que a < x < a + 
Igualmente observamos que cuando x se aproxima a “a” por la izquierda los
valores de la función disminuyen indefinidamente.
Decimos entonces que -  es el límite de f(x)
para x tendiendo a “a” por la izquierda.
y
+
Lím f(x) = - 
xaEn lenguaje matemático esto significa que
para cada M > 0 arbitrariamente grande es
posible determinar un número  > 0 tal que f (x)
< - M para todos los x tales que a -  < x < a.
y = f(x)
f(x)
M
x
a-
a
-M
30
-
a+
31
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Límite para x tendiendo a infinito
y
Sea una función y = f (x)
cuyo gráfico es el de la figura.
y = f(x)
Observamos que cuando los
valores positivos de x crecen
indefinidamente, los valores de la
función se aproximan a L.
L1+
Decimos entonces que L es
el límite de f (x) para x tendiendo 
, o sea:
f(x)
Lím f (x) = L
x +

L1
x
N
x
En lenguaje matemático esto significa que para cada  > 0 arbitrariamente
pequeño es posible determinar un número N > 0 tal quef(x) – L<  para todos
los x tales que N > x.
Ejemplo:
y
y=
y = f (x) =
1
x–3
+
2
1 +2
x–3
Lím f(x) = 2
x+ 
x
De igual manera
Lím f(x) = L
x - 
Límites infinitos para x tendiendo a infinito
Sea una función y = f (x) cuyo gráfico es el de la figura.
31
32
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Observamos que cuando los valores positivos de x crecen indefinidamente, los
valores positivos de la función también crecen indefinidamente L.
Decimos entonces que  es el límite de f(x) para x tendiendo , o sea:
Lím f (x) = + 
x +
En lenguaje matemático esto significa que para cada M > 0 arbitrariamente
grande es posible determinar un número N > 0 tal que f (x) > M para todos los x
tales que N > x.
y
y
y = f(x) = x3
M
y = f(x)
f(x)
x
0
M
N
Lím f (x) = 
x 
N
x
x
De igual modo se define:
Lim f (x) = - 
x - 
Ejemplo:
y = f(x) = x3
Propiedades de los límites
1. El límite de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de los
límites.
2. El límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites.
3. El límite de un cociente de funciones es igual al cociente de los límites.
4. El límite de un logaritmo de funciones es igual al logaritmo de los límites.
FUNCIONES CONTINUAS
32
Fi
g.
1
y
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x2
sí x  2
1
sí x > 2
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1) y = f (x) =
x2
sí x < 2
4
sí x > 2
x2
sí x  2
4
si x > 2
2) y = f (x) =
Fig. 2
y
3) y = f (x) =
x2
si x < 2
4) y = f (x) =
1/(x-2)
sí x > 2
4
Fig. 3
Fig. 4
y=f
y
y
(x)
2
2
x
4
4
y=
y = f(x)
f(x)
2
2
Definición:
Dada
x una función y = f (x)
2 se dice que es continua en x = x 0 si se cumplen las
x
siguientes condiciones.
2
1) Está definida en x = x0 o sea existe f (x0)
2) existe el
lím f (x)
x→x0
33
34
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3) lím f (x) = f (x0)
x→x0
Si no cumple una de estas condiciones, no es continua, es decir que es discontinua
en x0.
Ejemplo:
La figura 1 cumple la primera condición o sea f (x0) = f (2) = 4.
Pero no se cumple la segunda
lím f(x) = no existe
x→2
Y por lo tanto no se cumple la tercera.
Por lo tanto es discontinua en x = x0
Ejemplo:
La figura 2 no cumple la primera condición o sea f (x0) = f (2) = no existe
Si se cumple la segunda
lím f(x) = 4
x→2
Y no se cumple la tercera
Por lo tanto es discontinua en x = x0
Ejemplo:
La figura 3 cumple la primera condición o sea f (x0) = f (2) = 4
También cumple la segunda
lím f (x) = 4
x→2
Y se cumple la tercera.
Por lo tanto es continua en x = x0
Ejemplo:
La figura 4 no cumple la primera condición o sea f (x0) = f (2) = no existe
No se cumple la segunda
lím f (x) = No existe
x→2
Y por lo tanto no se cumple la tercera
Por lo tanto es discontinua en x = x0
34
35
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En los casos comunes la función es continua cuando su gráfico se puede trazar
sin levantar el lápiz.
Una función como la del ejemplo 2 que es discontinua en x = x0, pero que tiene
lím f (x) = 4
x→2
Y es finito, luego se dice que presenta una discontinuidad evitable. Esta función
se puede hacer continua si tomamos como valor de la función en x0 = 2 el valor del
límite. O sea que la nueva función será la del ejemplo 3 (se rellena el punto (2,4)).
Una función se dice que es continua por la izquierda de x = x0 sí
lím f (x) = f (x0)
x→x0Una función se dice que es continua por la derecha de x = x0 sí
lím f (x) = f (x0)
x→x0+
En la fig. 1 la función es continua por la izquierda en x0 = 2 pero no por la
derecha de x0 = 2 porque
lím f (x) = 4
x→2-
f (x0) = 4
lím f (x) = 1
f (x0) = 4
+
x→2
Una función y = f (x) se dice que es continua en el intervalo [a, b] si es continua
en todos sus puntos interiores y además es continua por la derecha de a y por la
izquierda de b.
35
36
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y
0
a
b
x
Derivada
Sea la función y = f (x) cuyo gráfico es el de la figura.
y
T
S
Q
y = f (x)

P
∆x
f (x+∆x)
f (x)

∆y
H
α
x
x+∆x
x
A partir de un valor de “x” fijo, al cual le corresponde como valor de la función f (x),
damos a x un incremento x positivo o negativa y la función se incrementa en un y.
y = f (x+x) – f (x)
36
[1]
37
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Tomamos el cociente incremental dividiendo [1] por x
y =
x
f (x+x) – f (x)
x
[2]
Al límite (cuando existe) del cociente incremental para x→0 se lo llama derivada de y
respecto de x y se lo indica.
y’= lim y = lim
x
f (x+x) – f (x)
x
[3]
Otras notaciones: y’= dy/dx = f ’(x)
Significado físico de la derivada
1) indica la variación que experimenta la y cuando la x varia entre los puntos x y x+x.
2) indica la velocidad media de variación de la y respecto de la x entre los puntos x y
x+x.
3) indica la velocidad instantánea de variación de la y respecto de la x en el punto de
abscisa x.
Ejemplo:
Si x es el tiempo y e y es el espacio.
1) indica el espacio recorrido cuando el t varia entre los puntos t y t+t.
2) indica la velocidad media o promedio entre los instantes t y t+t.
3) indica la velocidad instantánea en el instante t.
Ejemplo:
Si x es el volumen y e y es la presión
1) indica la variación de la presión entre los volúmenes V y V+V.
2) indica la velocidad media o promedio de variación de la presión con respecto al
volumen entre los puntos V y V+V.
3) indica la velocidad instantánea de variación de la presión con respecto al volumen
en el punto V.
Significado geométrico de la derivada.
En la figura anterior.
y/x = tg  = pendiente de la recta secante S.
37
38
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Si x→0 el punto Q→P o sea que la recta S→T o sea →
por consiguiente
y’= lim
y/x = lim
x→0
→
tg  = tg  = pendiente de la recta tangente T.
O sea que la derivada calculada en un punto da la pendiente de la recta tangente a la
curva en el punto en cuestión.
Calculo de la derivada por definición
Ejemplo 1: y = c
y
y = f (x+x) – f (x) = c – c = 0
y =
x
0
x
y’ = lim
x→0
Luego sí
y = lim
x
x→0
y=
C
0=0
y’ = 0
Ejemplo 2:
y = x3
y = f (x+x) – f (x) = ( x + x)3 – x3
= x3 + 3.x2 . x + 3.x. x2 + x3 – x3
y = 3.x2+ 3.x. x + x2
x
y’= lim
x→0
Luego si
y = x3
y=xn
38
(3.x2+ 3.x. x + x2) = 3.x2
y’ = 3.x2
y’ = n . x n-1
0
x
x+∆x
x
39
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Reglas de derivación
Sean u y v dos funciones de x.
Ejemplo:
u = 3 . x2
v = sen x
1) Si
y=uv
→
y’= u’  v’ La derivada de la suma /resta de funciones
algebraicas es igual a la suma /resta algebraica de las derivadas de las funciones.
Ejemplo:
y = x2 + x3
→
y’ = 2 . x + 3 . x2
2) Si
y=u.v
→
y’= u’. v + u . v’ La derivada de un producto de dos
funciones es igual a la derivada de la 1°función por la 2°sin derivar, mas la 1° sin
derivar por la derivada de la 2°.
Ejemplo:
Sabiendo que y = sen x →
y’ = cos x
Calcular
y = x . sen x → y’= sen x + x . cos x
Caso particular
y=c.v
luego
y’= c . v’
donde c = cte
→ y’= 0 . v + c . v’
Ejemplo:
y = 3 . x5
y’= 15 . x4
→
y’= u’. v – u . v´
v2
La derivada de un cociente es igual a la derivada de la 1°función por el denominador
sin derivar, menos la 1° sin derivar por la derivada del denominador, sobre el
denominador al cuadrado.
3) Si
y=u/v
Ejemplo:
y = x2 / sen x
Caso particular
Si
y=c/v
39
donde c = cte
→
y’= 2 . x . sen x – x2 . cos x
sen4 x
y’= 0. v – c . v’
v2
40
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luego
y’= -c . v’
v2
Ejemplo:
y = 4 / x3
→
y’= - 4 . 3 . x2 = - 12
x6
x4
FUNCIONES COMPUESTAS
y
2
u
Fig.
Fig. 1
u = g (x)
y = f (u)
u
y
x
g (x)
u
g (x+x)
f (u)
x
x+x
x
u
Sí
f (u+u)
u+u
u
y = f (u)
y = f (u) = f [ g (x)] = h (x)
y = g (x)
O sea que y es una función de x , a h se la llama función compuesta de “g” y “f” y se la
suele indicar.
h=fog
o: indica función compuesta
Observación: suponemos en lo anterior que dado un valor de “x” u = g (x) cae en el
dominio de la función. O sea que u = g (x) pertenece al dominio de la función f.
Las funciones compuestas las usamos para expresar funciones más complejas
sobre la base de funciones sencillas.
Ejemplo:
y = sen5 x
40
→
y = f (u) = u5
→
u = g (x) = sen x
41
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Ejemplo:
y  1  4x 2
→
y  f (u)  u
u = g(x) = 1+ 4x2
→
Regla de derivación de funciones compuestas
A partir de un valor de x fijo al cual corresponde un valor de u = g (x) y un valor de y =
f(u) incrementamos la “x” en x por consiguiente se incrementa la “u” en u y la “y”
en y.
y = y . u
x
u x
si x→0
u →0
Aplicando límite para x→0
lim
y/x = lim
y/u
x→0
u→0
* lim u/x
x→0
dy = dy . du
dx
du dx
Ejemplo: Siendo
y = f(u) = u5
y = sen5 x
hallar y’
u = sen x
dy = dy . du
dx
du dx
= 5.u4.cos x
y’= 5 . sen4 x . cos x
Ejemplo: Siendo
y = ( 1+ 4.x2)3
hallar y’
y’= 3 . (1+4.x2)2 . 8 . x = 24 . x . (1+4.x2)2
Ejemplo:
Siendo y = cos4(3x2 + 2x + 6) hallar y’
y’= 4. cos3(3x2 + 2x + 6) . [- sen (3x2 + 2x + 6) ] . (6x+2)
y’= - 4. cos3(3x2 + 2x + 6) . sen (3x2 + 2x + 6) . (6x+2)
La derivada del logaritmo neperiano de x es igual al reciproco de x.
Si y = Ln x
y’= 1 / x
el incremento de y de la función es igual a la función incremental en x menos la
función sin incrementar.
41
42
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y = Ln (x + x) – Ln x = Ln x + x = Ln ( 1 + x)
x
x
El cociente incremental será, multiplicando y dividiendo por x
y = 1 Ln ( 1 + x) = x
x
x
x
x
1 Ln (1 + x) = 1 Ln (1 + x)x/ x
x
x
x
x
Si hacemos x / x = t cuando x →0 también t→0 además será x/ x = 1/t
Consideramos valores positivos de x, pues solo para ellos está definida la función
logarítmica. El límite del cociente incremental será:
lim
y/x = lim = 1 Ln (1 + t) 1/ t =
x→0
x→0 x
1 lim Ln (1 + t) 1/ t =
x x→0
Lim (1 + t) 1/ t = e
t→0
y’= 1 / x ln e= 1 / x
FUNCIONES IMPLICITAS
En caso de funciones dadas por formulas, estas pueden presentarse de dos maneras.
1- Con la variable dependiente despejada
y = f (x) = x2 + 2 forma explícita
2- Con la variable dependiente no despejada
x3 + y3 = 3 . a . x . y forma implícita
Si suponemos a la función dada en forma implícita y deseamos calcular dy/dx se debe
proceder de la siguiente manera que veremos a través de un ejemplo.
Sea x3 + y3 = 3axy
Calcular y’
1- Derivamos ambos miembros de la ecuación respecto de x recordando que y es
función de x.
3x2+3y2y’=3ay+3axy’
2- De la ecuación anterior se despeja y’ si es posible.
3y2y’-3axy’=3ay-3x2
y’(3y2 – 3ax) = 3ay – 3x2
42
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y’ = ay – x2
y2 – ax
APLICACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Recta tangente y normal a una curva
Se trata de hallar la ecuación de la recta
tangente a la curva de ecuación y = f (x) en el
punto P0 (x0, y0).
La ecuación de una recta que pasa por
este punto y tiene pendiente m era:
y – y0 = m . (x – x0)
pero la pendiente de la recta tangente T será
igual a f ’(x0) por consiguiente la ecuación de la
recta tangente será:
y – y0 = f ’(x0) . (x – x0)
Si dos rectas como la tangente y la normal que son perpendiculares, la pendiente
de una de ellas es igual a la inversa cambiada de signo de la otra.
Luego si
mn = pendiente de la recta normal
m = f ’(x0) = pendiente de la recta tangente
luego mn = -1/f ’(x0)
Por lo tanto la ecuación de la recta normal será:
y – y0 = - 1
. (x – x0)
f ’(x0)
Ejemplo: Hallar la ecuación de las rectas
tangente y normal a la curva de ecuación y = x3
en el punto P0 de abscisa x0 = 2
y0 = f (2) = 23 = 8
x0 = 2
P0 (2, 8)
Pendiente de la recta tangente:
43
44
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m = y’= f ’(2) = 3.x2 = 3.22 = 12
Ecuación de la recta tangente:
y – y0 = m . (x – x0)
y – 8 = 12 . (x – 2)
y = 12.x – 16
Pendiente de la recta normal:
mn = -1/m = -1/12
Ecuación de la recta normal:
y – y0 = -1/m . (x – x0)
y – 8 = -1/12 . (x – 2)
y = -1 . x + 49
12
6
Ejemplo: Hallar la recta tangente a la curva de ecuación y = 2.(x-3)2 que sea paralela a
la recta tangente a la curva y = x2 en el punto P(1,1)
Pendiente de la recta tangente 1: m1 = f ’(1) =
2.x = 2.1 = 2
Pendiente de la recta tangente 2 = pendiente de
la recta tangente 1 por ser paralelas
y = 2. (x – 3)2
m2 = y’= 4.(x – 3) =2
x–3=½
x0 = 3 + ½ = 7/2 = 3,5
y0 = 2. ( x0 – 3 )2 = 2. ( 3,5 – 3)2 = ½ = 0,5
P0 ( 0.5 , 3.5)
Luego la ecuación de la recta tangente 2 será:
y – y0 = m2 . (x – x0)
44
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y – 3.5 = 2 . (x – 2.5)
y = 2x –13/2
Calculo gráfico de la derivada
DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN
Sea y = f (x)
y’= dx/dt
derivada primera de una función dada.
Si esta derivada es una función de x podemos volver a derivarla, obteniendo la derivada
segunda de la función.
y’’= d2y/dx2
Si volvemos a derivar, obtenemos la derivada tercera.
y’’’= d3y/dx3
y así sucesivamente
y’’’’= d4y/dx4
y en general
yn = dny/dxn
45
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Ejemplo
y = sen (2x)
y’ = -2cos(2x)
y’’ = -4sen(2x)
y’’’= 8cos(2x)
SIGNIFICADO FÍSICO DE LA DERIVADA: MOVIMIENTO
RECTILÍNEO
x
Supongamos tener
un punto móvil M que se
desplaza sobre una recta
de tal manera que su
posición en cada instante
está
dada
por
la
coordenada “x” respecto
del punto de referencia
cero.
x
M
x (t)
M1
Q1
∆y
M2
Q0
∆t
f(t)
x = f(t)
La función se
denomina en física como
la función de la posición y
la hemos dibujado en la
fig. 2.
Supongamos que
en un instante “t” al cual
corresponde un valor
x = f(t)
0
0
P0
f(t+∆t)
t
T= 0
t+∆t
t
P0
Fig. 1
Fig. 2
x = f(t)
El móvil está en M0.
En el instante “t+t” el valor de la función es:
f (t+t) = x + x
Y el móvil está en M1.
El espacio recorrido será:
f (t+t) – f (t) = x + x – x = x
La velocidad media o promedio del móvil entre M0 y M1 es el cociente del
espacio recorrido sobre el tiempo empleado en recorrerlo.
v1/2 = x/ t
46
(1)
47
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La velocidad instantánea en el punto M0 es:
lim
v1/2
t→0
Luego
v = lim
v1/2 = lim
x/ t = dx/dt
t→0
t→0
(2)
La aceleración media entre M0 y M1 es por definición el cociente entre la
variación de velocidad entre estos dos puntos divididos por el tiempo empleado en
recorrerlo.
a1/2 = v/ t = (v en M1) – (v en M2)
t
Y la aceleración instantánea es el
lim
a1/2
t→0
Luego
a = lim
a1/2 = lim
v/ t = dv/dt = d2x/dt2
t→0
t→0
(3)
Observación: Si en (2) la velocidad es mayor que cero, el móvil se desplaza hacia las x
positivas, si la velocidad es igual a cero, el móvil está detenido y si la velocidad es
menor que cero, el móvil va hacia las x negativas.
Si en (3) la aceleración es mayor que cero, el móvil se desplaza con movimiento
acelerado, si la aceleración es igual a cero, el móvil se mueve con movimiento uniforme
y si la aceleración es menor que cero, el móvil se desplaza con movimiento
desacelerado.
Ejemplo: Sea la función posición de un móvil que se desplaza sobre una recta de tal
modo que su coordenada x es: x=1/(1+t)
Respecto del punto de referencia 0 y se pide:
1- Dibujar la curva x = f (t)
a- el punto de partida P0
b- sentido del desplazamiento del móvil
c- alcanza el móvil el punto de referencia
2- Distancia del móvil al punto 0 y a P0 a los 4 seg.
47
48
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3a- Velocidad media entre t = 0 y t = 4 seg.
b- Velocidad instantánea a los 4 seg.
y
c- Aceleración media entre t = 0 y t = 4 seg.
d- Aceleración instantánea a los 4 seg.
1
P0
1- a- el punto de partida corresponde a t = 0
x = f (0) = 1/(1 + 0) = 1
0.2
b- El movimiento es hacia las x negativas
0
c- no alcanza el punto de referencia
2- x = f (4) = 1/(1 + 4) = 1/5 = 0,2
distancia a 0 = 0,2
distancia a P0 = 0,8
v1/2 = x/ t = f(4) – f(0) = 0,2 – 1 = -0,8
4–0
4
3-
v = dx/dt = -1/(1+t)2 = -1/(1+4)2 = -1/25
a1/2 = v/ t = v(4) – v(0) = (-1/25) – 1 = 6/25
4–0
4
a = dv/dt = 2/(1+t)3 = 2/(1+4)3 = 2/125
48
4
x
49
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Medida de ángulos
1- Sistema sexagesimal
Cuando dos rectas se cortan y forman
cuatro ángulos iguales, se dice que
cada ángulo es un ángulo recto.
y
 =  =  =  = 1R
α
1R/90 = 1º
→
1R = 90º
1º/60 = 1’
→
1º = 60’
1’/60 = 1”
→
1’ = 60”
β
x
γ
δ
2- Sistema circular o radial
Supongamos tener una circunferencia cuyo radio tomamos como unidad de
medida.
Si  abarca un arco cuya longitud es x, tomando como unidad de medida el radio
se dice que el ángulo  es de x radianes.
y
long. x
α
x
Ejemplo: Si el radio = 20 m y el arco abarcado tiene una longitud de 40 m,  será igual
a 2 rad. Dado que
arco = r .  →  = arco/r = 40/20 = 2 rad
Si en particular el arco abarcado tiene una longitud igual al radio  = 1 radian.
49
50
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Como la longitud de la circunferencia es 2 .  . r el ángulo central que abarque
una circunferencia tiene como medida 2 .  radianes, si el mismo ángulo lo medimos en
grados su medida es 360º por consiguiente.
2.  rad. = 360º
/2 = 90º
 = 180º
3. /2 = 270º
1 rad = 360º /(2. ) = 57,3º
Funciones Trigonométricas
y
Llamamos
circunferencia
trigonométrica a aquella cuyo centro es
el origen del sistema de coordenadas y
cuyo radio se elige como unidad de
longitud y sobre el cual se ha elegido un
sentido positivo para los ángulos que es
el antihorario.
T
P
tg x
sen x
0
Por definición llamamos sen x a la ordenada del punto P.
sen x = PH
cos x = ON = abscisa del punto P
tg x = MT = ordenada del punto T
La tg siempre se mide en M.
sec x = 1/cos x
cosec x = 1/sen x
cotg = 1/tg x
En el triangulo ONP por Pitágoras
(PH)2 + (ON)2 = (OP)2
Luego
sen2 x + cos2 x = 1
(relación pitagórica)
El triángulo ONP es semejante al triángulo OMT
50
x
cos x
x
N
M
51
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Teoría : Análisis Matemático
MT = PN
OM
Ing. Alvarez Francisco
tg x = sen x
1
cos x
ON
tg x = sen x
cos x
GRAFICO DE LA FUNCION SENO
y
y
Q
1
P
sen x
0
x
x
M
x
π/2
0
π
3/2.π
2.π
-1
2.π
x
y = sen x
0
0
P≡M
π /2
1
P≡Q
π
0
P≡R
3/2.π -1
P≡S
2. π
P≡M
0
Si al ángulo x le sumamos un múltiplo de 360º o sea 2. π rad la posición de P no
cambia por consiguiente no cambian los valores de las funciones trigonométricas.
sen x = sen (x+ 360º)
cos x = cos (x+ 360º)
tg x = tg ( x + 360º)
Se dice entonces que el seno, el coseno y la tangente son funciones periódicas de
periodo T = 360º = π
51
52
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GRAFICO DE LA FUNCION COSENO
y
y
Q
1
P
0
x
cos x
x
x
M
0
π/2
π
3/2.π
-1
2.π
x
y = cos x
0
1
P≡M
π /2
0
P≡Q
π
-1
P≡R
3/2.π 0
P≡S
2. π
P≡M
1
52
2.π
53
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GRAFICO DE LA FUNCION TANGENTE
y
y
Q
P
tg x
R
0
x
x
M
x
0
π/2
π
3/2.π
S
X
sen x cos x tg x tg x = sen x/cos x
0
0
1
0
0/1
P≡M
π /2
1
0
± ∞ 1/0
P≡Q
Π
0
-1
0
0/-1
P≡R
3/2.π -1
0
± ∞ -1/0
P≡S
2. π
1
0
P≡M
0
0/1
Función senoidal general
Siendo A = amplitud, ω = pulsación, α = fase inicial
y = A . sen (ω.x + α)
y = A . cos (ω.x + α)
Para dibujar una onda de esta función, debemos determinar el periodo T.
La onda comienza cuando el ángulo vale cero.
ω.x + α = 0
ω.x = - α
Luego
x1 = - α / ω
53
2.π
54
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Este es el desfasaje inicial.
La onda finaliza cuando el ángulo vale 2.π
ω.x + α = 2.π
ω.x = 2.π - α
Luego
x2 = 2.π/ ω - α / ω
El periodo valdrá
T = x2 – x1 = (2.π/ ω - α / ω) – (- α / ω)
T = 2.π/ω
Además se define a la frecuencia como
f = 1/T = ω / 2.π
Luego la frecuencia es:
f = ω / 2.π
Dibujaremos la y = A . sen (ω.x + α)
y
A
0
x1
x2
-A
T
Se trazan 2 rectas paralelas al eje x a las distancias +A y –A, se indica sobre el
gráfico el valor de x1 y a partir de este valor se toma el periodo T, en el rectángulo
resultante se dibuja una onda para lo cual se divida el periodo en cuatro partes y se
marcan los puntos fundamentales.
54
55
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Ejemplo: y = 2 . sen (3.x - 6)
A=2
ω=3
α=-6
Principio de la onda
y
2
0
3. x – 6 = 0
3.x = 6
x1 = 2
Fin de la onda
x2 = 2.π/3 + 2
x1 = 2
2+2.π/ 6
-2
T = 2.π/ 3
3. x – 6 = 2.π
3.x = 6 + 2.π
x2 = 2.π/3 + 2
Periodo
T = x2 – x1 = 2.π/ 3
y
Ejemplo: y = 3 . sen (-2.x + 6)
y = -3 . sen (2.x - 6)
A=3
ω=2
α=-6
Esto se debe a que
sen ( - α ) = - sen ( α )
P´H = PH
Principio de la onda
2. x – 6 = 0
2.x = 6
x1 = 3
55
P
α
H
α´
P´
x
56
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Fin de la onda
y
2. x – 6 = 2.π
2.x = 6 + 2.π
x2 = π + 3
3
0
Periodo
x2 = π - 3
x1 = 3
3 + π/ 2
T = x2 – x1 = π
-3
T= π
Ejemplo: y = 2 . sen2 4.x
y
A=2
ω=2
Principio de la onda
4. x = 0
x1 = 0
Fin de la onda
4. x = 2.π
x2 = π / 2
Periodo
T = x2 – x1 = π / 2
α=0
1
0
π/4
π/2
x
-1
T = π/2
y 1
x
0
y
2
x
Ejemplo:
y = cos (2.x) + 3
A=1
ω=2
Principio de la onda
2. x = 0
x1 = 0
Fin de la onda
2. x = 2.π
x2 = π
56
α=0
57
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Periodo
y
T = x2 – x1 = π
y = cos (2.x)
1
π/2
0
π
x
-1
y
cos (2.x) + 3
4
π/2
π
3
2
0
x
LÍMITE FUNDAMENTAL
lím
x→0
sen x
x
=1
Y
Supongamos tener el ángulo POM que
mide x radianes.
T
1) Analizamos el caso : 0 < x < π/2
En la figura: El área OHP < área OMP < área
OT M
OH . HP < PM . r < 1 . tg x
2
2
2
cos x . sen x < x . 1 < 1 . tg x
2
2
2
En el primer cuadrante sen x > 0
Si dividimos por sen x, todos los términos, la desigualdad se mantiene.
cos x <
57
x <
sen x
1
cos x
P
1
0
x
tg x
x
cos x
sen x
H M
P´
58
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invirtiendo
1
> sen x > cos x
cos x
x
(1)
válido para el 1er y 4to cuadrante
luego si tomo el lím en la desigualdad
x→0
lím.
x→0
cos x
= 1
sen x
x
= 1
lím.
x→0
1
=
cos x
1
luego
lím.
x→0
O sea que el límite del seno de un arco sobre el mismo arco que tiende a cero vale
1.
Derivada de y = sen x
Sea la función y = sen x
Para hallar la derivada determinamos
y
1
Δy
Sen ( x + Δx)
Sen x
x
x+ Δx
-1
Δy = f ( x + Δx) – f(x) = sen ( x+ Δx) – sen x
Pero
Sen α – sen β = 2 . sen (α – β ) . cos (α + β )
2
2
Luego
Δy = 2 . sen ( x+ Δx - x) . cos ( x+ Δx + x )
2
2
58
59
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Δy = 2 . sen ( Δx) . cos ( 2x + Δx )
2
2
Δy = 2 . sen Δx/2 . cos ( x+ Δx/2 )
Calculamos el cociente incremental
Δy = 2 . sen Δx/2 . cos ( x+ Δx/2 )
Δx
Δx
Δy = sen Δx/2 . cos ( x+ Δx/2 )
Δx
Δx/2
La derivada vale
y ´ = lím.
Δy = lím.
Δx→0 Δx Δ x→0
y ´ = lím.
Δ x→0
Δy =
Δx
sen Δx/2 . lím. cos ( x+ Δx/2 )
Δx/2 x→0
1 . cos x
y´= cos x
Derivada de y = cos x
y = cos x = sen ( π/2 – x )
y´= d ( cos x ) = d [ sen( π/2 – x )]
dx
dx
y´= cos ( π/2 – x ) . (-1)
y´ = sen x . (-1) = - sen x
y´ = - sen x
59
60
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FUNCIONES INVERSAS
Consideremos una función f: de A en B
f: A →B
A
B
f
1
a
2
b
Dado por el siguiente diagrama
Esta función tiene por dominio a “A” y por
imagen a “B” y es biyectiva, luego puedo obtener la
función de B en A
f -1: B →A
c
3
Indico con “f –1” la función inversa de la función
f , que es aquella que hace corresponder
A
B
4
“a”
“b”
“c”
a
a
a
f -1
a
5
b
→
→
→
1
2
3
porque f (1) = a
porque f (2) = b
porque f (3) = c
por lo tanto la función inversa hace corresponder
c
6
“1”
“2”
“3”
a
a
a
→
→
→
a
b
c
porque f (a) = 1
porque f (b) = 2
porque f (c) = 3
O sea que la función inversa se puede obtener del diagrama invirtiendo las
flechas, como se ve en la figura.
Observar que
D f –1= I f = B
I f –1= D f = A
y
Definición: La inversa de una función f:
A →B (biyectiva) es otra función que
indicamos con f –1 : B →A .Tal que a
cada y perteneciente a B, asocia un
único x perteneciente a A, tal que
f
(y) = x
y = ½ . x + 1.5
y = 2.x –3
1.5
0
x
-3
Determinación
de las inversas de funciones
Ejemplo 1:
60
61
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Sea y = f (x) = 2.x – 3
Ing. Alvarez Francisco
f: R →R;
Se pide hallar f –1 si existe.
Esta función cuyo gráfico es una recta es biyectiva, porque asocia a cada “y” un
único “x” y por consiguiente tiene función inversa.
Para dibujarla despejamos la “x”.
y = 2.x – 3
x = y + 3 = f –1(y) = ½ . y + 3/2
2
El gráfico de esta función es igual al
de la función anterior. Dado que es la misma
ecuación, solo se ha despejado “x”. Lo que se
acostumbra es que dada una función al hallar
su inversa, para graficar se intercambian las
variables, o sea la “x” con la “y” y la “y” con
la “x”.
y
y=x
f
y = x + 3 = ½ . x + 3/2
2
P(x,y)
Resultando entonces los gráficos de f
y de f –1 simétricos respecto de la recta y = x,
si las unidades de medida en ambos ejes son
las mismas.
O sea que el punto P (x , y ) de “ f ” se
transforma en P´( y , x ) en la f –1 .
x
f -1
y
P´(y,x)
0
y
x
x
y
Ejemplo: Dada
y = f(x) = x2 f: R →[0,∞)
Hallar su inversa si existe.
Como se ve a “y” le corresponden “x1” y
“x2”.
y
y = x2
61
x1
x
x2
62
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Por lo tanto la función no es biyectiva.
Luego no tiene inversa.
Ejemplo:
Dada y = f(x) = x2 f: [0,∞) →[0,∞); f: [D → I] ;Hallar su inversa si
existe.
En este ejemplo respecto del anterior, el dominio “D” está restringido al primer
cuadrante. Luego la inversa de esta función será:
y = x2
x=√y
y
y
y = x2
f
y=x
y
f –1
x
x
x
x = f –1 (y) = √ y
Para graficarla intercalamos “x” por “y” y consideramos inversa a “x”.
x = f –1 (y) = √ y
FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS
Arcoseno
y
La función y = sen x cuyo
gráfico es el de la figura no tiene
función inversa, por no ser una función
biyectiva, dado que a cada “y” de la
imagen le corresponde infinitos valores
de “x” del dominio.
1
- π/2
-1
62
π/2
x
63
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Ing. Alvarez Francisco
Ejemplo: Si consideramos una nueva función cuyo dominio sea [-π/2 , π/2], y su
imagen
[-1 , 1]. Es decir
f:[-π/2, π/2],[-1,1]
y = sen x
y = sen x
y
y = arcsen x
π/2
1
- π/2
y
π/2
x
-1
-1
1
x
-π/2
Esta nueva función es biyectiva y para determinar su inversa despejamos “x”
x = arcsen y
Para graficar invertimos las variables.
y = arcsen x
D = [-1 , 1]
I = [-π/2 , π/2]
Arco coseno
y
Sea ahora la función
1
y = cos x
Esta función no tiene inversa, por no
ser biyectiva. Restringiremos el dominio y
consideraremos una nueva función cuyo
dominio sea:
D=[0,π]
y cuyos valores son:
63
I = [ -1, 1]
-π/2
0
π/2
-1
π
x
64
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Ing. Alvarez Francisco
y
y = cos x
1
Esta función es biyectiva y tiene inversa, para
determinarla despejamos “x”
x = arccos y
0
π/2
π
x
Y para graficarla, cambiamos las variables, por lo tanto tendremos:
-1
I=[0,π]
-1
y
π
D = [ -1, 1]
y = arccos x
-1
0
1
x
Arco tangente
y
y
Q
P
tg x
R
0
x
x
M
x
0
S
T=π
Sea ahora la función
y = tg x
64
π/2
π
3/2.π
65
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Esta función no tiene inversa, por no ser biyectiva.
Restringiremos el dominio y consideraremos una nueva función cuyo dominio
sea:
D = [-π/2 , π/2]
y su imagen
I = (-∞ , ∞) = R
y cuyos valores son:
y = tg x
Esta función es biyectiva y tiene inversa, para determinarla despejamos “x”
x = arctg y
Y para graficarla, cambiamos las variables, por lo tanto tendremos:
I = [-π/2 , π/2]
D = (-∞ , ∞) = R
y = arctg x
y
π/2
0
x
-π/2
Derivada de funciones inversas
Sea
y = f(x)
Δy
Δx
=
y
x = f –1 (y)
su inversa
1
Δx
Δy
Calculamos el limite del cociente incremental para poder hallar la derivada.
lim
Δy
Δx→0 Δx
Si Δx→0
65
= lim
1
Δx→0 Δx
Δy
luego Δy→0
66
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Ing. Alvarez Francisco
lim
Δy
Δx→0 Δx
dy
dx
Ejemplo 1:
Sea
dy
dx
= lim
1
Δy→0 Δx
Δy
=
1
dx
dy
y = arcsen x →
=
x = sen y
1
dx
dy
pero
sen2 y + cos2 y = 1
operando
cos2 y = 1 – sen2 y
cos y = ± √ 1 – sen2 y
De acuerdo a la figura del arcsen x se trabaja en el primer y cuarto cuadrante,
donde el cos x es positivo. Por consiguiente:
cos y = √ 1 – sen2 y
Ejemplo 2:
dy
dx
=
y´=
1
√ 1 – x2
Sea
dy
dx
1
dx
dy
=
1
=
1
=
1
2
cos y
√ 1 – sen y √ 1 – x2
y = arccos x →
= 1
dx
dy
x = cos y
pero
sen2 y + cos2 y = 1
operando
sen2 y = 1 – cos2 y
sen y = ± √ 1 – cos2 y
De acuerdo a la figura del arccos x se trabaja entre 0 y π, o sea en el primer y
segundo cuadrante, donde el sen x es positivo. Por consiguiente:
66
67
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sen y = √ 1 – cos2 y
Ejemplo 3:
pero
dy
dx
=
1
dx
dy
y’=
- 1
√ 1 – x2
=
Sea
y = arctg x
dy
dx
=
1
=
-1
=
2
- sen y
√ 1 – cos y
→
-1
√ 1 – x2
x = tg y
1
dx
dy
sen2 y + cos2 y = 1
sen2 y = 1 – cos2 y
→
Si dividimos por cos2 y
sen2 y = 1 – cos2 y
cos2 y
cos2 y
dy
dx
y’=
Ejercicio:
67
1
dx
dy
=
1
=
2
sec y
1
=
2
1 + tg y
1
1 + x2
y = arcsen x2
derivar
y’=
Ejercicio:
=
tg2 y = sec2 y - 1 →
→
2.x
√ 1 – x4
derivar
y = arctg2 ( 2.x +1 )
y´=
2. arctg ( 2.x + 1) .2
1 + (2.x + 1)2
y´=
4. arctg ( 2.x + 1)
1 + (2.x + 1)2
sec2 y = 1 + tg2 y
1
1 + x2
68
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Teoría : Análisis Matemático
Ejercicio:
Ing. Alvarez Francisco
y = arccos3 x2
derivar
y´=
3. arccos2 x2 .
y´=
- 6.x . arccos2 x2
√ 1 – x4
–1
√ 1 – x4
2.x
FUNCION LOGARITMICA
DERIVADA
EL Nº e
y
y=(1+x)
↓
0
↑
1/x
x
y = ( 1 + x )1/x
- 0.5
- 0.1
- 0.01
4
2.8680
2.7320
0.01
0.1
0.5
- 2.7000
- 2.5937
- 2.25
↓
2.7182 = e
↑
Dada
e = 2.7182
y = ( 1 + x )1/x
Al graficar esta función
observamos que:
x
y = f( 0 ) = ( 1 + 0 )1/0 = 1∞
que no existe, dado que es una
indeterminación, pero a medida que los valores de “x” se aproximan a “0” por la
izquierda y por la derecha, los valores de “y” tienden al número “e” base de los
logaritmos neperianos.
e = 2,7182
Es decir que cuando: x → 0 y = ( 1 + x )1/x →
Luego
lim ( 1 + x )1/x = 2.7182 = e
x→0
2.7182
(1)
Este número “e” es la base de los llamados logaritmos naturales o neperianos.
Si en ( 1) hacemos la sustitución
x = 1/t
68
69
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x→0
para
Ing. Alvarez Francisco
t→∞
lim ( 1 + x )1/x = lim ( 1 + 1/t ) t = 2.7182 = e
x→0
t→∞
(2)
LOGARITMOS
Consideremos la función
y
y=ln x
ln (x+Δx)
y = log a x
con
Δy
ln x
Δx
1
0
x
a>0 y
x+Δx
x
a ≠1
Donde
a = nº = base de los
logaritmos
a = 10 → log. decimal
y = log x
a=e
→ log. natural
y = ln x
Para calcular la derivada de esta función
y = ln x

Δy = f ( x + Δx ) – f (x)
Δy = ln ( x + Δx ) – ln (x)
Δy = ln ( x + Δx )
x
Δy = ln ( 1 + Δx/x )
Δy = ln ( 1 + 1
x
Δx
Δy/Δx = 1/Δx
69
)
. ln ( 1 + 1 )
x
Δx
70
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Δy/Δx = 1 .
x
x
Δx
Ing. Alvarez Francisco
. ln ( 1 + 1 )
x
Δx
Δy/Δx = 1 . ln ( 1 + 1 )x/Δx
x
x
Δx

y´= lim
Δy/Δx = lim
1 . ln ( 1 + 1 )x/Δx
Δx→0
Δx→0 x
x/Δx
pero
lim
ln
Δx→0
f(x)
y´
ln
1 .
x
=
ln
lim
Δx→0
lim
Δx→0
f (x)
( 1 + 1 )x/Δx
x/Δx
De ( 2 ) = e
y´ = 1/x . ln e
y´ = 1/x
Observación: De (2)
Consideremos
t = x / Δx
sí Δx→0
luego
t→∞
Por lo tanto
lim
( 1 + 1 )x/Δx = lim ( 1 + 1/t ) t = 2.7182 = e
Δx→0
x/Δx
t→∞
luego sí
y = ln x
y´ = 1/x
Por propiedades de los logaritmos
y = log a x
70
→
ay = x
71
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Ing. Alvarez Francisco
→
y = ln x
ey = x
Consecuencia
Si:
y = log a x
ay = x
aplicando ln a la igualdad
ln a y = ln x
y . ln a = ln x
por lo tanto
y = ln x
log a
Luego
y = log a x = ln x
ln a
Sí en particular
a = 10
→
y = log x = ln x = 0,4343 . ln x
ln 10
Entonces
y = log x
y´ = 0,4343 . 1/x = 1
ln 10
Ejemplo:
Derivar
. 1
x
y = ln3 ( 3x – 2 )
y´= 3. ln2 ( 3x – 2 ) . 3
3x – 2
y´= 9. ln2 ( 3x – 2 )
3x – 2
71
72
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Teoría : Análisis Matemático
Ejemplo:
Ing. Alvarez Francisco
Derivar
y = log sen x
y´= 0.4343. cos x
sen x
y´= 0.4343 . cotg x
FUNCION POTENCIAL
y = xm
Ejemplos:
→ m = nº real
y = x1.71
y = √ x = x1/2
y = xe = x2.7182
Considerando que
y = xm
Aplicamos logaritmos a ambos miembros
ln y = ln xm
ln y = m . ln x
Derivamos en forma implícita
y´ = m . 1
y
x
y´= m . y
x
y´= m . xm
x
y´= m . x m-1
Ejemplo:
Derivar
y = x 1.71
y´= 1.71 . x 0.71
72
73
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FUNCION EXPONENCIAL
Sea la función
y = ax
Ing. Alvarez Francisco
con a ≠ 1
y
a>0
De estas funciones exponenciales la que nos interesa es aquella cuya base es a
= e.
y = ex
y=ex
y
1
0
x
x
y = ex
0
1
0.5
1.6
1
2.7
2
7.3
-0.5
0.6
-1
0.36
DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL
Dada
y = ax
con a ≠ 1
y
Aplicamos logaritmos a ambos miembros
ln y = ln ax
ln y = x . ln a
Derivamos en forma implícita
y´ = ln a .
y
y´= ln a . ax
2.x2 + 1
Ejemplo:
y=3
2.x2 + 1
y´= 3
. ln 3 . 4x
x3 + 3x + 2
Ejemplo:
y=e
x3 + 3x + 1
y´= e
73
( 3 . x2 + 3 )
a>0
74
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Ing. Alvarez Francisco
sen 2x
Ejemplo:
y=5
sen 2x
y´= 5
. ln 5 . cos 2x . 2
sen 2x
y´= 2 . ln 5 . cos 2x . 5
FUNCION POTENCIAL EXPONENCIAL
u=f(x)
y=u
v
v=g(x)
x2
Ejemplos:
y = ( sen x ) ;
sen x
y=x
Estas funciones se derivan aplicando logaritmos.
Frecuentemente se denomina a este sistema de derivación “derivadas
logarítmicas”
Se opera en dos pasos: primero se aplican logaritmos y luego se deriva.
Ejemplo:
y = x sen x
Aplicamos logaritmos.
ln y = ln x sen x
ln y = sen x . ln x
Derivamos
y´ = cos x . ln x + sen x
y
x
y´= y . (cos x . ln x + sen x )
x
y´= x sen x . (cos x . ln x + sen x )
x
Ejemplo:
y = (3x – 2 ) . ( 4x + 7)
5x – 4
Aplicamos logaritmos
74
75
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Ing. Alvarez Francisco
ln y = ln (3x – 2 ) . ( 4x + 7)
5x – 4
ln y = ln (3x – 2 ) + ln ( 4x + 7) - ln (5x – 4 )
Derivamos
y´ = 3
+
4
5
y ( 3x – 2 ) ( 4x + 7) (5x – 4 )
y´ =
y´ =
3
+
4
5
( 3x – 2 )
( 4x + 7) (5x – 4 )
3
+
4
5
( 3x – 2 ) ( 4x + 7) (5x – 4 )
.y
(3x – 2 ) . ( 4x + 7)
5x – 4
FUNCIONES HIPERBOLICAS
Las funciones hiperbólicas: (sh x); (ch x), (th x); (cth x) mediante las siguientes
relaciones:
Seno hiperbólico:
y
Por definición
y = sh x
y = sh x = ex – e-x
2
y
-x
x
x
Esta es una función impar
-y
f(-x)=-f(x)
f ( - x ) = sh ( -x) = e-x – e-(-x) = e-x – ex = - ex – e-x = - sh(x) = - f(x)
2
2
2
y
Coseno hiperbólico:
y = ch x
Por definición
y = ch x = ex + e-x
2
x
-x
x
75
0
x
Esta es una función par
76
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Ing. Alvarez Francisco
f(-x)= f(x)
f ( - x ) = ch ( -x) = e-x + e-(-x) = e-x + ex = ch(x) = f(x)
2
2
Tangente hiperbólica:
y
1
Por definición
y = th x
y = sh x
ch x
y
-1
RELACION FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRIA HIPERBOLICA
Si sumamos o restamos nos queda
ch x = ex + e-x = ex + e-x
2
2 2
±
sh x = ex – e-x = ex – e-x
2
2
2
ch x + sh x = ex
*
ch x - sh x = e-x
(ch x + sh x) * (ch x - sh x) = ex . e-x = ex-x = e0 = 1
ch2 x – ch x . sh x + sh x . ch x – sh2 x = 1
ch2 x – sh2 x = 1
(1)
SIGNIFICADO GEOMETRICO DE ESTA RELACION
X = ch x
(2)
Y = sh x
76
77
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Reemplazando ( 2 ) en ( 1 )
X2 – Y2 = 1
(3)
En un sistema de ejes ( 0 , X , Y ) la expresión ( 3 ) se representa por una
hipérbola equilátera.
Y = sh x
X = ch x
y
B
b
O
P(X,Y)
A
x
La pendiente m = y :x de la recta OB es, respectivamente tg t y th t, la correspondencia
no se extiende al arco AB
Y
El ch x es la abscisa del
punto P de la hipérbola y el sh x la
ordenada.
P
0
x
cos x
sen x
H
x
Observación: Como ch x > 0, obtenemos únicamente la rama positiva de la hipérbola.
Para establecer el significado de “x” comparamos las funciones hiperbólicas con
las circulares.
77
78
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El área del sector circular
OMP = x . 1
2
x = 2. área OMP
En las funciones hiperbólicas, lo demostraremos al ver integrales definidas, x =
2. área del sector hiperbólico
DERIVADA DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

y = sh x = ex – e-x = ex – e-x
2
2 2
ex + e-x = ex + e-x = ch x
2 2
2
Luego sí
y´=
y = sh x

→
y´= ch x
y = ch x = ex + e-x = ex + e-x
2
2 2
y´=
ex - e-x = ex - e-x = sh x
2 2
2
Luego si
y = ch x

→
y = tg x = sh x/ ch x
y´= ch x . ch x – sh x . sh x
ch2 x
y´= ch2 x – sh x
ch2 x
y´= 1/ ch2 x
y´= sech2 x
Ejemplo:
Derivar
y = ch2 ( 3x2 + 1)
78
y´= sh x
79
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Ing. Alvarez Francisco
y´= 2 . ch ( 3x2 + 1) . sh ( 3x2 + 1) . 6x
y´= 12 . ch ( 3x2 + 1) . sh ( 3x2 + 1)
Ejemplo:
Dada
y
y = sh 3x
T
Se pide la ecuación de la recta tangente a esa
curva en el punto de abscisa x0 = 1
y = sh 3x
10.02
y = sh 3x
y0 = f ( x0 ) = sh 3 = 10.02
f ´( x0 ) = 3 . ch 3x = 3 . ch 3 = 30.2
1
x
- 19.88
La ecuación de la recta tangente será:
y – y0 = f ´( x0 ) . ( x – x0 )
y – 10.02 = 30.2 ( x –1 )
y = 30.2 x – 19.88
DIFERENCIAL DE UNA FUNCION
y
S
Sea la función y = f ( x )
Si tomamos el límite del cociente incremental
para Δx→0 de la función
lim
f ( x + Δx ) – f ( x ) = f´( x )
Δx→0
Δx
y = f(x)
Q
∆y
P
dy
R
α
0
x
x x+∆x
Definimos como diferencial de la función y = f ( x ), y lo designamos con diferencial
“dy”, al producto de la derivada “y´” por el incremento Δx de la variable.
En símbolos:
dy = y´ . Δx
Puesto que la derivada y´ mide la tangente trigonométrica del ángulo α, que
forma la recta tangente con el semieje positivo de las “x” , resulta con respecto a la
figura
79
80
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y´= tg α = QR = QR
PR
Δx
Ing. Alvarez Francisco
→
QR = y´. Δx
Por consiguiente QR es la diferencial de la función.
La diferencial QR puede ser mayor, igual o menor que Δy(SR). Sin embargo, es
fácil demostrar que cuando Δx→0, dy y Δy son dos infinitésimos equivalentes es decir
que su cociente tiende a la unidad.
En efecto, siendo dy= y´. Ax resulta
dy = y´. Δx
Δy
Δy
En el limite
Δy/Δx = y´
Luego
dy/Δx = 1
Observación: Una función f (x), cuyo límite es vale cero cuando x→a, se dice que es
un infinitésimo en el punto x = a.
O sea que dy gráficamente representa el incremento que experimenta la función,
medido ese incremento sobre la recta tangente.
Luego para valores pequeños de Δx
Δy ≈ dy
(1)
Al usar la expresión (1) se dice que se ha hecho una aproximación lineal, lo que
significa que gráficamente se reemplaza la función por la recta tangente.
De ( 1 ) deducimos una fórmula que nos ha de servir para cálculos aproximados.
∆y = f ( x + Δx ) – f ( x ) ≈ dy
f ( x + Δx ) ≈ dy + f ( x )
f ( x + Δx ) ≈ f ( x ) + f´( x ) . ∆x
80
(2)
81
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APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL AL CÁLCULO DE ERRORES
Supongamos que “x” sea el resultado de una medida y que la “y” se obtenga en
base a y = f (x). Supongamos que al medir “x” se comete un error de ± ∆x (error
absoluto de x) y se quiere determinar que influencia tiene este error en el cálculo de “y”,
el error exacto de la “y” es ∆y (error absoluto de y)
∆y ≈ dy = f ´(x) . ∆x
El error absoluto de una medida no da la precisión con que esta fue efectuada.
Si decimos que en una medida se ha cometido un error de 1 m, este error no indica la
precisión de la medida, porque esta depende de la longitud de la medida.
Por eso se usa en teoría de errores, el error relativo.
error relativo = ∆y ≈
y
dy
y
También se utiliza el error relativo porcentual, que es 100 veces el error relativo.
error porcentual ∆y . 100 ≈ dy . 100
y
y
Ejemplo: En la medida de un cuadrado se ha obtenido 5 cm. con un error de ± 0,001
cm. Se desea saber el error absoluto, el relativo y el porcentual, correspondiente a la
superficie del cuadrado.
S = f (x) = x2
el error absoluto es:
∆S ≈ ds = f ´(x) . ∆x= 2.x.∆x= 2 . 5 . 0,001= 0,01 cm2.
la superficie es:
S = S2 ± ∆S =  25 ± 0,01=
25,01 cm2.
24,99 cm2.
Error relativo = ∆S ≈ ds = 0,01 = 0,0004
S
S 25
Error porcentual ∆S . 100 = 100 . 0,0004 = 0,04 %
S
Observación: Para hallar el valor de la diferencial de la variable independiente “x”
estudiaremos la función.
81
82
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y = f (x) = x
Por consiguiente
dy = dx = 1 . ∆x
dy = ∆x
luego
O sea que la “dy” de la variable independiente es igual al incremento de “x” ,por lo
tanto
dy = f ´(x) . ∆x = f ´(x) . dy
dy = f ´(x)
dx
INTEGRAL INDEFINIDA
Supongamos tener la función.
F (x) = x3/3
y la
f (x) = x2
Si derivamos
F ´ (x) = 3 . x2 = x2 = f (x)
3
Decimos en este caso que F (x) es una primitiva o integral de f (x).
Observamos que si a F (x) le sumamos una constante “C” cualquiera, o sea:
F (x) + C → [F (x) + C]´ = F´(x) = f (x)
(1)
A (1) que da todas las primitivas o integrales de f (x) se la llama la integral
indefinida de f (x) y se la indica con:

Luego

f (x) dx
f (x) dx = F (x) + C
Ejemplos:

pues
82
cos x dx = sen x + C
(2)
83
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[sen x + C ]´= cos x

1/x . dx = ln x + C
porque
[ln x + C]´= 1/x
En resumen

Si
Luego
f (x) dx = F (x) + C

f (x) dx = F (x) + C

F´(x) . dx = F (x) + C
→
[F (x) + C]´= F´(x) = f (x)
(3)
d F (x)
Es decir que el símbolo
constante.
 anula
al símbolo diferencial si sumamos una
Ejemplo:

d sen x = sen x + C

dV = V + C
Otra consecuencia de (3)

f(x) . dx = F (x) + C
Diferenciando ambos miembros
d
83

f(x) . dx = d [F (x) + C] = [F (x) + C]´dx
84
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= F´(x) . dx
= f (x) . dx
Es decir que el signo diferencial cancela al integral.
Tabla de integrales
1)

dx = x + C
1')

du = u + C
2)

x n dx = x n+1/(n+1) + C
2')

u n u' dx = u n+1/(n+1) + C
n distinto de -1
n distinto de -1
3)

1/x dx = ln x + C
3')

u'/u dx = ln u + C
4)

e x dx = e x + C
4')

e u u'dx = e u + C
5)

a x dx = a x / ln a + C
5')

a u u'dx = a u /ln a + C
6)

sen x dx = cos x + C
6')

sen u . u'dx = cos u + C
7)

cos x dx = - sen x + C
7')

cos u . u'dx = - sen u + C
8)

sec 2 x dx = tg x + C
8')

sec 2 u . u'dx = tg u + C
9)

cosec 2 x dx = - cotg x + C
9')

cosec 2 u . u'dx = - cotg u + C
10)

84
sh x dx = ch x + C
10')

sh u u'dx = ch u + C
85
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ch x dx = sh x + C
11')

ch u u'dx = sh u + C

sec x dx = ln ( sec x + tg x ) + C
12')

sec u u'dx = ln ( sec u + tg u ) + C
13)

dx
= arctg x + C
(1+ x 2 )
13')

u' dx = arctg u + C
(1+ u 2 )
14)

dx
√ 1+ x 2
14')

u'dx = arcsen u + C
√ 1+ u 2
11)

12)
= arcsen x + C
Prueba del 2
[F (x) + C ]´= xm+1 + C ´ = m+1 . xm = xm = f (x)
m+1
m+1
Prueba del 12

sec x dx =
=
por (3)


sec x . sec x + tg x
sec x + tg x
dx
sec2 x + sec x . tg x
sec x + tg x
dx
= ln ( sec x + tg x) + C
u = x2
Prueba del 7´:
u = 2x +3
[sen u + C]´= cos u . u´
Ejemplo:

85
x3 . dx = x4/4 + C
=

u´. dx = ln u + C
u
86
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Ejemplo:

(2.x3 – 5.x2 – 3.x +4 ) . dx =


x3 . dx – 5

= x4/2
- 5 . x3/3
- 3 . x2/2 + 4.x + C
= 2
x2 . dx – 3
x . dx + 4

dx
Ejemplo:

2 . dx =
a . x1/5

2
a
x-1/5 . dx

= 2
a
=
2 . 5 . x4/5 + C = 10 . x4/5 + C
a 4
4ª
=
5 . x4/5
2.a
+
C
Ejemplo:


- 1/3
-1/3
cos5 (3x + 1) . sen (3x + 1) . dx
cos5 (3x + 1) . sen (3x + 1) -3 . dx
cos6 (3x + 1) + C = - cos6 (3x +1)
6
12
Ejemplo:

x
. dx = -1/2
2
√3–x
= - 1/2
. (3 – x2)1/2 + C
½
= - √ 3 – x2
86

+ C
- 2 . x . dx
(3 – x2)1/2
+ C
x-1/5 . dx
87
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Ejemplo:

3 . ex . dx
ex + 1
= 3 . ln ( ex + 1 )
+ C
Linealidad de la Integral
Puesto que en el cálculo de derivadas y diferenciales, hemos visto que es:
d[c f(x)] = c df(x) y d(u+v-w)= du+dv-dw
Resulta
y

 c f(x) dx = c  f(x) dx
[ u (x) + v (x) –w(x) ] . dx =

u (x) . dx +
 v(x) . dx - 
w (x) dx
Este es el principio de la Integración por descomposición
Ejercicios modelo:
1 – tipo 1 y 2
 ( x – 1/x + 3.x + 5 ) . dx
 x . dx – x . dx + 3


3
2
3
-2
x . dx + 5

dx
x4/4 + 1/x + 3/2 . x2 + 5.x + C
2 – tipo 3´

x . dx = ¼
2.x2 + 3

4 . x . dx = ¼ . ln (2.x2 + 3) + C
2.x2 + 3
Esta es una forma de resolver el ejemplo tipo 3, otra es la siguiente:
La siguiente es otra forma de resolver la misma integral:
Hacemos una sustitución ya que no tenemos en las integrales inmediatas una que nos
lleve a la fórmula. La sustitución 2 x2 + 3 = z, pero entonces habrá que sustituir dx por
la expresión correspondiente de dz, diferenciando ambos miembros resulta:
4 x dx = dz; x dx = dz /4
Entonces la integral nos queda:
87
88
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Teoría : Análisis Matemático


x . dx =
2.x2 + 3
Ing. Alvarez Francisco
dz/4 = ¼ . ln z + C = ¼ ln (2x2 +3) + C
z
3 – tipo 2´

sen5 2.x

=½
.
cos 2.x
. dx
sen5 2.x . cos 2.x . 2 . dx = 1/12 . sen6 2.x + C
4 – tipo 5´

= 1/3
5 sh 3.x

.
5 sh 3.x
ch 3.x
.
. dx
ch 3.x . 3 . dx = 1 . 5 sh 3.x + C
ln 5
5 – tipo 13´

3 . dx = 3
5.x2 + 4

3.2
4.√5

dx
5.x2 + 4
=¾
√ 5 / 2 . dx =
1 + ( √ 5 /2 . x)2
 .1 +dx5/4 x
2
3 . arctg √ 5 /2 . x
2.√ 5
6 – tipo 14´

5.3
3 .√ 2
5 . dx = 5
√ 9 - 2.x2


dx
√ 9 - 2.x2
√ 2 / 3 . dx = 5
1 + (√ 2 /3 . x)2 √ 2

= 5 .
√9
. arcsen √ 2/3 . x
7 - tipo 29 y 30 de la práctica

dx
=
x + 2.x + 5
2
x2 + 2.x + 5 = a ( x + h )2 + k =
= a ( x + h )2 + k = a . (x2 + 2.h.x + h2) + k
88

dx
√ 1 + (√ 2/3 x)2
dx
(x + 1)2 + 4
a, h, k = ctes
+ C
+ C
89
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x2 = a . x2
2.x=2.h.a.x
h2 . a + k = 5
→
a=1
→
h=1
1+k=5
→
→

2
4

Ing. Alvarez Francisco
dx
=
x2 + 2.x + 5
dx
1+ x+1
2
4
k=4
dx
1 + (x + 1)2
4
= ½ . arctg 1 + x + 1
2
2
2
+C
INTEGRALES POR PARTES
A partir de la fórmula de diferenciación de un producto de dos funciones
u = f (x)
Dadas 2 funciones
v = g (x)
Deseamos calcular
d(u.v) = (u.v)´.dx
= ( u´. v + v´. u ) . dx
= v . du + u . dv
despejando
d(u . v) - v . du = u . dv
u . dv = d(u . v) - v . du
integrando ambos miembros


u . dv =

u . dv = u . v -
d(u . v) -


v . du
v . du
(1)
Esta expresión se utiliza para resolver integrales en las cuales aparecen:
89
90
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1. un producto de funciones
2. logaritmos
3. funciones circulares inversas
Generalmente en la aplicación de la expresión (1) “dx” forma parte de “dv”, en
“dv” se debe incluir la función que se sabe integrar. Si hay una sola esta es “u”.
Ejemplo:

x . ex . dx = u . v u

v . du

ex . dx = x . ex - ex + C
dv
u=x
dv = ex . dx

v=
ex . dx = ex
du = dx

x . ex . dx = x . ex -
Ejemplo:

x . sen x . dx = u . v u
dv
u=x
dv = sen x . dx
v=

du = dx
90
sen x . dx = - cos x

v . du
91
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
= - x . cos x +
Ing. Alvarez Francisco
cos x . dx = - x . cos x + sen x + C
Ejemplo:


arctg x . dx = u . v u
v . du
dv
u = arctg x
du = 1 . dx
1 + x2
dv = dx
v= x
= x . arctg x – ½

2 . x . dx
1 + x2
= x . arctg x – ½ . ln ( 1+ x2) + C
Ejemplo:

ln x . dx = u . v u
dv
u = ln x
du = 1/x . dx
dv = dx
v= x
= x . ln x –

= x . ln x – x + C
91
x . dx
x

v . du
92
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Ing. Alvarez Francisco
Importante Recordar que:
Sen 2 x = ½ ( 1 – cos 2x)
Cos2 x = ½ ( 1 + cos 2x)
Sen x = 2 sen ½ x cos ½ x
Integración de expresiones de la forma
 dx/ ax +bx + c partimos de la fórmula:
2
 dx/ 1 + x = arc tg x + C
2
dx /1 – x
2
= arg th x + c = ½ ln 1 + x/ 1-x + c
Se puede integrar cualquier expresión en la que aparezca como cantidad subintegral la
unidad dividida por un trinomio de segundo grado
1- sea integrar
dx/ a + b x
2
2 2
El denominador se puede escribir como a2 + b2 x2 = a2[1 + b2/a2 x] = a2[1 +( b/a x)2]
haciendo la sustitución
b/a x = z
dx = dz.a/b
∫
∫
Resulta I = a/b dz/ a2[1+ z2] = 1/ab dz/1 + z2 = 1/ab arctg b/a x + c
INTEGRACION DE FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES FRACCIONARIAS
Enteras
Racionales
Algebraicas
Fraccionarias
Irracionales
Funciones
Trigonométricas
Exponenciales
Trascendentes
Logarítmicas
Hiperbólicas
FUNCIONES ALGEBRAICAS
Es aquella en la cual para calcular el valor de la función se deben realizar las
operaciones comunes o sea suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces.
92
93
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Ing. Alvarez Francisco
y = f (x) = x2 – 2x + 3
√x - 5
TRASCENDENTES:
No algebraicas
y = sen x
y = ex – 3x2 + 1
y = ln x + x3 + 3
RACIONALES:
Una función algebraica es racional cuando la variable independiente x no figura
bajo el signo radical.
y = f (x) = x2 – 2x + 3
√5 - x
IRRACIONALES:
Es irracional cuando la variable independiente está bajo el signo radical.
y = √ 2.x
y = x 3/2 + 1
ENTERA:
Una función algebraica racional es entera si la variable independiente, no está
como divisor.
y = f (x) = x2 – 2x + 3
FRACCIONARIA:
Una función algebraica racional es fraccionaria si la variable independiente, está
como divisor.
y = x2 - 1
x+2
y = x-2 + 3 = 3 + 1/x2
Las funciones algebraicas racionales fraccionarias se pueden escribir como el
cociente de dos polinomios.
93
94
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Ing. Alvarez Francisco
y = f (x) = P (x)
Q (x)
Ejemplo:
1.
y = x3 – 2
x+3
→
→
P (x) = x3 – 2
Q (x) = x + 3
2.
y = 3.x2 + 2x + 1
x2 + 4
→
→
P (x) = 3.x2 + 2x + 1
Q (x) = x2 + 4
y=x+1
→
P (x) = x + 1
x2 + 3
→
Q (x) = x2 + 3
En los casos 1 y 2 la fracción es impropia porque el grado del numerador es 
que el grado del denominador.
En el 3 la función es propia porque el grado del numerador que es 1 es < que el
grado del denominador que es 2.
Supondremos siempre que la fracción es propia, en caso contrario, dividiremos
previamente.
Ejemplo: En el caso 1
3.
y = x3 – 2
x+3
D/d = C + R/d
D
d
x3 + 0x2 + 0x – 2
- x3 - 3x2
- 3x2 + 0x
3x2 + 9x
9x – 2
-9x – 27
- 29
x+3
x2 – 3x + 9
C
R
y = x3 – 2
x+3
= x2 – 3x + 9
-
29
x+3
Partiendo de las funciones algebraicas fraccionarias propias, resolvemos las
integrales de funciones racionales
y = f (x) = P (x)
Q (x)
para calcular
94
fracción propia
95
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
Ing. Alvarez Francisco
P (x) . dx
Q (x)
Se descompone a P (x) / Q (x) en una suma de fracciones simples las cuales se
obtienen de la siguiente manera.
1- por cada factor lineal de la forma “a.x + b” con “a” y “b” números que
aparecen en el denominador “Q” se escribe una fracción de la forma
A
a.x + b
donde A es un coeficiente indeterminado.
2- por cada factor lineal de la forma [a.x + b] n con “a” y “b” números que
aparecen en el denominador “Q” se escribe “n” fracciones de la forma
A1
a.x + b
+
A2
(a.x + b)2
An
(a.x + b)n
+…………+
donde A1 , A2 , A3 …… An son coeficientes indeterminados.
3- por cada factor lineal de la forma “a.x2 + bx + c” con “a” , “b” y “c” números,
que aparecen en el denominador “Q” y que igualando a cero tenga raíces
complejas se escribe una fracción de la forma
A.x + B
a.x2 + bx + c
donde A y B son coeficientes indeterminados.
4 - por cada factor lineal de la forma [a.x2 + bx + c] n con “a” , “b” y “c”
números que aparecen en el denominador “Q” y que igualando a cero tenga
raíces complejas se escribe “n” fracciones de la forma
A1.x + B1
a.x2 + bx + c
donde A1
indeterminados.
A2.x + B2
[a.x2 + bx + c] 2
A2 , A3 …… An
Q (x) = (x + 2) (2x – 1)
P ( x) = 3x -1
Ejemplo:

95
,
+
3x –1
. dx
(x + 2) (2x – 1)
y B1
An.x + Bn
[a.x2 + bx + c] n
+………+
,
B2 , B3 …… Bn
son coeficientes
96
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Ing. Alvarez Francisco
1º paso: descomponemos en suma de fracciones simples
3x –1
(x + 2) (2x – 1)
=
A
+
(x + 2)
B
(2x – 1)
Determinación de A y B. Tomamos el mismo común denominador y
multiplicamos cruzado.
3x –1
si x = -2 →
= A (2x – 1) + B (x + 2)
3 . (- 2) + 1
-6 + 1
-5
= A ( -4 –1)
= A (-5)
= -5 A
3.(½)+1
5/2
= B ( ½ + 2)
= B (5/2)
A=1
x=½ →
si
B=1
luego

3x –1 . dx
=
(x + 2) (2x – 1)

A dx +
(x + 2)

B . dx
(2x – 1)

dx
+
(x + 2)

dx
(2x – 1)

dx
+½
(x + 2)
Reemplazando A y B

3x –1 . dx
=
(x + 2) (2x – 1)
Operamos

3x –1 . dx
=
(x + 2) (2x – 1)

2 dx
(2x – 1)
= ln (x + 2) + ½ ln (2x – 1) + C
= ln (x + 2) + ln √ 2x – 1 + C
= ln [(x + 2) . √ 2x – 1 . C]
Q (x) = (x - 1) (x – 2)
P ( x) = 2x -1
Ejemplo:

96
2x –1 . dx
(x - 1) (x – 2)
97
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Ing. Alvarez Francisco
1º paso
2x –1
(x – 1) (x – 2)
=
A
+
B
(x – 1)
(x – 2)
Determinación de A y B. Tomamos el mismo común denominador y
multiplicamos cruzado.
2x –1
= A (x – 2) + B (x – 1)
x=1 →
si
2 . ( 1) – 1
1
= A ( 1 – 2)
= A (-1)
2.(2)–1
3
= B ( 2 - 1)
= B (1)
A = -1
x=2 →
si
B=3
luego

2x –1 . dx
=
(x – 1 ) (x – 2)

A . dx +
(x – 1 )

-
dx
+3
(x – 1 )
B . dx
(x – 2)
Reemplazando A y B

2x –1 . dx =
(x – 1 ) (x – 2)

dx
(x – 2)
= - ln (x – 1 ) + 3 ln (x – 2) + C
= - ln (x – 1) + ln (x – 2)3 + C
= ln (x – 2)3 . C
x–1
97
98
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Ing. Alvarez Francisco
Ejemplo:

2x3 +1 . dx
x2 + 3x +2
D/d = C + R/d
D
d
2x3 + 0x2 + 0x + 1
- 2x3 - 6x2 - 4x
- 6x2 - 4x + 1
6x2 + 18x + 12
14x + 13
x2 + 3x + 2
2x – 6
C
R
y = 2x3 – 2 = 2x – 6
x2 + 3x +2
x2 + 3x +2 = 0
+
14 x + 13
x2 + 3x +2
→
a.x2 + b.x + c = 0
→
x1 = -2
x = -b ± √ b2 – 4.a.c
2.a
x = -3 ± √ 9 – 8
2
x2 + 3x +2 = (x + 1) (x + 2)
14x +13
=
x2 + 3x +2
→
14x +13
=
(x + 1) (x + 2)
x2 = -1
A
+
(x + 1)
B
(x + 2)
Determinación de A y B. Tomamos el mismo común denominador y multiplicamos
cruzado.
14x +13
x = -2 →
si
= A (x + 2) + B (x + 1)
14 . ( -2) + 13 = B ( -2 +1)
15
= B (-1)
B = -15
x = -1 →
si
A=-1
luego
98
14 . (- 1)+13 = A ( -1 + 2)
-1
= B (1)
99
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
Ing. Alvarez Francisco
14x +13 . dx
(x + 1 ) (x + 2)
=

A . dx +
(x + 1 )

B . dx
(x + 2)
Reemplazando A y B

14x +13 . dx
(x + 1 ) (x + 2)
= -


dx
+
(x + 1 )
15 . dx
(x + 2)
Tomando ahora la expresión completa

2x3 +1 . dx
x2 + 3x +2

dx
2x3 +1 . dx
=
=
x2 + 3x +2

2x dx –

2
6

x dx – 6

dx +

dx -

14x +13 . dx
(x + 1 ) (x + 2)
dx
+
(x + 1 )
= x2 – 6x - ln (x + 1 ) + 15 ln (x + 2) + C
= x2 – 6x + ln (x + 2)15 + C
(x – 1)
Ejemplo:

x2 + 6x - 8. dx
x3 – 4x
x3 – 4x = x . (x2 – 4)
(x2 – 4) = (x – 2) ( x + 2)

x2 + 6x - 8. dx
x . (x – 2) ( x + 2)
x2 + 6x - 8. dx
x . (x – 2) ( x + 2)
=
x2 + 6x - 8. dx
= A (x – 2) ( x + 2) + B x. ( x + 2) + C. x . (x – 2)
+
B
(x – 2)
+
si x = 2
4 +12 – 8 = B . 2 . 4
si x = -2
4 – 12 – 8 = C (-2) (-4) -16 = 8 C →
si x = 0
99
A
x
-8 = A (-4)
→
8=8B
A=2
→
C
( x + 2)
B=1
C = -2

15 .
(x + 2)
100
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Ing. Alvarez Francisco
x2 + 6x - 8. dx =
x3 – 4x

2


dx +
x
dx
(x – 2)
–2

dx
( x + 2)
= 2 . ln x + ln (x – 2) – 2 ln (x + 2) + C
= ln x2 ( x – 2) . C
(x + 2)2
Ejemplo:

2.x2 – 3 . dx
x2 + 5.x
D/d = C + R/d
D
d
2x2 + 0x - 3
- 2x2 - 10x
- 10 x - 3
x2 + 5x
2
C
R
2
2.x – 3
x2 + 5.x
10x + 3
x2 + 5.x
=
=
2
-
A + B
x
(x + 5)
10x + 3
=
si x = 0
3 = A . 5 A = 3/5
si x = -5
-47 = B(-5)


A(x + 5)
10x + 3 =
x2 + 5.x
2.x2 – 3 . dx
x2 + 5.x
10x + 3
x2 + 5x
B = 47/5
3/5
=
2
+ Bx


dx
x
dx
-
+ 47/5
3/5


dx
(x + 5)
dx
x
- 47/5

= 2 . x - 3/5 . ln x – 47/5 ln (x + 5) + C
= 2x . ln [x3/5 ( x + 2)47/5 . C]
100
dx
(x + 5)
101
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Ing. Alvarez Francisco
Ejemplo:

8 . dx
x2 + 6x +8
x2 + 6x +8 = 0
→
a.x2 + b.x + c = 0
→
x1 = -2
→
=
8
(x +2) ( x + 4)
=
x = -b ± √ b2 – 4.a.c
2.a
x = -6 ± √ 36 – 32
2
8 . dx
x2 + 6x +8
x2 = -4
A
(x +2)
+
8 = A ( x + 4) + B (x +2)
si x = -4
→
8 = B (-2)
→ B = -4
si x = -2
→
8=A.2
→A=4

8 . dx
x2 + 6x +8
=
4

dx
(x +2)
-4

dx
( x + 4)
= 4 . ln (x + 2) – 4 ln (x + 4) + C
= ln (x + 2)4 . C
(x + 4)4
Ejemplo:

x4 – x3 - x - 1. dx
x3 – x 2
D/d = C + R/d
D
x4 - x3 - x - 1
- x4 + x3
-x-1
d
x3 + x2
x
C
R
x4 – x3 - x – 1 = x
x3 – x 2
101
- x + 1
x3 – x2
B
( x + 4)
102
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Ing. Alvarez Francisco
x + 1 =
x2(x –1)
A
x
x + 1
A x (x –1)
+ B (x –1)
=
+
B
x2
+
C
x –1
+ C x2
si x = 0
→
1=-B
→
B = -1
si x = 1
→
2=C
→
C=2
si x = -1
→
0 = A . (-1).(-2) + (-1). (-2) + 2 . 1
x + 1 =
x2(x –1)

0=2.A+4 →
A = -2
-2
x
+
-

x4 – x3 - x - 1. dx =
x3 – x2
1
x2
x . dx +
2

2
x –1
dx +
x

dx x2
2

= x2/2 + 2 . ln x - 1/x – 2 ln (x -1) + C
Ejemplo:

x . dx
(x + 1 ) (x2 + 4)
x2 + 4 = 0
→
x
(x + 1 ) (x2 + 4)
x
si x = -1 →
si x = 0 →
si x = 1 →

=
x = ± √ -4 = ± 2.i
=
A
(x + 1 )
= A(x2 + 4)
+
Bx + C
(x2 + 4)
+ (Bx + C) (x + 1 )
-1 = 5 A →
A = - 1/5
0 = -4/5 + C
→
C = 4/5
1 = -1 + (B + 4/5) 2
2 = (B + 4/5).2
B = 1 – 4/5
→
B = 1/5
x . dx
=
(x + 1 ) (x2 + 4)

= -1/5
102
raices complejas
-1/5 dx +
(x + 1 )


1/5 x +4/5 . dx
(x2 + 4)
dx + 1/5
(x + 1 )

x + 4 dx
(x2 + 4)
dx
x –1
103
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
= -1/5
4)
dx +
(x + 1)
1/10

 4 dx(x +
2x . dx + 1/5
(x2 + 4)
2
= - 1/5 . ln (x+1) + 1/10 . ln (x2+2) +2/5 . arctg (x/2) + C
INTEGRAL DEFINIDA
y
fig. 1
∆S
A
Supongamos tener fig. 1 y = f
(x) continua en [a, b] y supongo además
positiva en ese intervalo, para definir la
integral definida realizo los siguientes
pasos.
y = f (x)
B
1- Divido o sea hago una
partición del intervalo [a,
b] en “n” subintervalos
iguales o distintos y llamo
a esta partición ║∆║ e
indico con este símbolo la
norma de la partición, que
es el mayor de los
y
0
a
∆x
b
x
subintervalos.
y
fig. 2
a
b
y
x
a
fig. 3
b
x
2- Multiplico la longitud de cada subintervalo por el valor de la función en un punto intermedio
de él, y sumo estos productos y obtengo la suma S∆ relativa a la partición ∆.
S∆ = ∆ y . ∆x
(1)
3- Al límite de la suma anterior cuando la norma de la partición tiende a cero, se lo llama,
integral definida de f (x) entre “a” y “b” y se lo escribe:
103
104
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b
lim
║∆║→0
S∆ = lim
║∆║→0
∆ y . ∆x =
a
f (x) dx
(2)
Observación:
║∆║→0significa simultáneamente que el número “n → ∞” y que cada ∆x → 0.
Significado geométrico de la integral definida
Llamo S al área del trapezoide aABb con ∆S indica el área de cada uno de los trapezoides que
genera la partición.
∆S ≈ y . ∆x
S=
∆
∆S ≈ ∆ y . ∆x
S = lim ∆ y . ∆x =
║∆║→0
a
b
f (x).dx
(3)
O sea que la integral definida da el área limitada por el arco de curva AB de ecuación
, el eje de las “x” y las ordenadas trazadas en “x = a” y “x = b”.
a: es el extremo o limite inferior de la integral.
b: es el extremo o limite superior de la integral.
x es la variable muda de integración.
Observación:
Si f (x) < 0

b
f (x) dx = - [ área gris]
a
fig. 2
En la fig. 3

104
b
f (x) dx = - [ área gris – área celeste]
a
fig. 3
y = f ( x)
105
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Teorema del valor medio del cálculo integral.
Sea la figura, cuya función y = f(x) que es acotada y generalmente continua lo que en todo intervalo de
trabajo con excepción de un número finito de puntos en los cuales presenta saltos finitos. En C tiene un
salto finito.
y
fig. 4
M
J
B
D
W f (α)
V
valor medio
V
B
m
fig. 5
L
C
µ
y
A
T
W
H
a
α
b
x
a
α
b
x
Supongamos tener fig. 4 y= f (x) que es acotada y generalmente continua, lo que significa que
lo es en todo intervalo de trabajo con excepción de un número finito de puntos, en los cuales presenta
saltos finitos.
El área aTHb ≤ área aABCDb ≤ área aJLb Donde
aTHb = m . (b – a)
aJLb = M .(b – a)
b
aABCDb =
a
f (x) dx
b
m . (b – a) ≤
a
f (x) dx ≤ M . (b – a)
En donde “m” y “M” son el mínimo y el máximo absoluto de la función en [a, b]. Si dividimos
por (b – a).
b
m ≤
a(b – fa)(x) dx
≤ M
Al número µ comprendido entre m y M, que es igual al cociente que figura en la última
desigualdad y lo llama valor medio de la función en el intervalo [a, b].
105
106
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b
a(b – fa)(x) dx
= µ = valor medio de f (x) en [a, b]
De aquí resulta
b
f (x) dx = µ . (b – a)
a

m≤µ≤M
con
(1)
(2)
La igualdad (1) dice geométricamente que el valor medio es la altura de un rectángulo de base
(b – a), tal que su área es igual a la encerrada por la función, el eje x y las ordenadas en x = a y x = b. Si la
función es continua, como en la fig. 5, entonces existe en el intervalo [a, b] un punto α en el cual la
función toma el valor medio o sea :
a
b
f (x) dx = f (α) . (b – a)
Regla de Barrow
A)
Derivada respecto al extremo superior variable de una integral.
y
y = f (x)
N
M
A
 (x)
f (α)
x
a
α
x + ∆x
t
Supongamos tener:
y = f (t) continua cuyo gráfico es el arco de curva AMN.
x
área aAMx =
a
f (t) dt
Si “a” es fijo y “x” es variable, esta área depende de “x” o sea es una función de “x” que llamamos  (x).
Luego.
 (x) =
x
f (t) dt
a

Trataremos de derivar esta función, para ello incrementamos la “x” en ∆x.
106
(a)
107
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 (x + ∆x) =
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x + ∆x
f (t) dt
a

= área aAMN(x+∆x)
(b)
Restando miembro a miembro (b) y (a)
 (x + ∆x) -  (x) =
 (x + ∆x) -  (x) =
x + ∆x
f (t) dt
a

x
-
a f (t) dt = área xMN(x+∆x)
x + ∆x
f (t) dt
x

Aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral.
 (x + ∆x) -  (x) = ∆x . f(α) = valor medio
Dividiendo por ∆x.
 (x + ∆x) -  (x) = f(α)
∆x
Luego si
∆x→0
también α→x
lim
∆x→0
 (x + ∆x) -  (x) = lim f(α)
∆x
α→x
d = f(x)
dx
(c)
En resumen, si
x
f (t) dt
a

 (x) =
(d)
d = f(x)
dx
Resumiendo la derivada con respecto al extremo superior variable de una integral es igual al
valor de la función que se integra en el extremo superior.
B) Calculo de integrales definidas
Supongamos tener:
F (x)
tal que
F ´(x) = f (x)
(e)
O sea que F (x) es una integral de f (x). Por (d) tenemos que
´(x) = f (x)
(f)
Como las funciones F (x) y  (x) tienen igual derivada, difieren en una constante. Luego:
107
108
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 (x) = F (x) + C
Por (a)
x
a f (t) dt
=
F (x) + C
(g)
=0=
F (a) + C
=
F (x) - F (a)
=
F (b) - F (a)
=
F (x)
Si x = a
a
a
f (t) dt
→ C = - F (a)
Reemplazando en (g)
x
a f (t) dt
Si x = b
b
a f (t) dt
(h) Regla de Barrow
b
a
Ejemplo:
2
1
Ejemplo:
S= 2
2
4 . x3 dx
= 4
1
x3 dx = 4
Calcular el área limitada pro y = x2
3
x2 dx
1

2
x4 = 24 - 14 = 15
4 1
y el eje x entre x = 1
y x = 3.
y
3
S = x3
3 1
S = 1/3 ( 33 – 13)
8
S = 27 – 1
3
S = 26/3
y = x2
1
1
Ejemplo: Determinar el área limitada por y = sen 4x con el eje x.
108
3
x
109
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Comienzo de onda:
y
4x = 0 →
1
x1 = 0
Fin de onda:
0
π/4
π/2
x
4x = 2π →
x2 = π/2
Periodo
-1
T = x2 – x1= π/2
π/4
S = 2/4

π/4
4 sen 4x dx = ½
- cos 4x
0
0
S = - ½ (cos π - cos 0) = - ½ (-1 –1 ) = 1
Ejemplo:
Calcular el área limitada por la curva
y = 3x + 5
x+1
el eje x y
las ordenadas x = 0 y x = 3.
y
y = f(x)
3
S
-1
109
0
3
x
110
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S=
Ing. Alvarez Francisco
3
0
3
3x + 5
x+1
0
dx =
3+
2
dx
x+1
calculo auxiliar:
3x + 5
3x + 5
2
x+1
3
D= C + R
d
d
3x + 5
x+1
=
3+
2
x+1
3
S=3
3
0
0
dx + 2
3
S= 3
3
x
+ 2 .
= 9 + 2.(ln 4 – ln 1) = 11,772
ln (x + 1)
0
0
Ejemplo: Calcular el área limitada y = arcsen x
entre x = 0 y x = 1 y ele eje x.
S=
y
π/2
1
dx
x+1

1
arcsen x dx
0
1
y = arcsh x
S = x . arcsen x + ½
0
-1
1
- π/2
x
1
0 √ -2x1 – xdx
2
u = arcsen x
du =
dx
√ 1 – x2
dv = dx
v=x
1
S = (arcsen 1 – 0) + ½ √ 1 – x2
½
S = π/2 + 1 = 0,57
110
0
111
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Área entre curvas
S = área aAMBb – área aANBb
b
S=
a
f (x) dx -

b
g (x) dx
a
y
b
S=
a
B
M
y = f (x)
[f (x) - g (x)] dx
N
A y = g (x)
a
y = x2
Ejemplo: Calcular el área limitada por
e
b
x
y=2–x
Intersecciones:
y = x2
y
y=2–x
x2 = 2 – x
y = x2
2
x + x – 2 = 0 → x1 = -2 ; x2 = 1
4
S=
1
( 2 – x – x2 ) dx
-2
1
1
x
- x2
-2
2 -2

S=2
S = 6 + 3/2 – 3
S = 9/2
111
1
1
x3
3
-2
-2
1
x
112
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VALOR MEDIO
b
a(b – fa)(x) dx
= f (α) = valor medio de f (x) en [a, b]
(1)
y
Ejemplo: Hallar el valor medio de y = f (x)
x2
0≤x≤2
4
2≤x≤4
f (x)
4
0(4 – f0)(x) dx
= f (α)
2

 04
x2 dx +
f (α) =
4
2,67
4
4 dx
2
1
x
2
2
3
x
3
f (α) =
4
+
2
4 x
0
2
4
f (α) = 8/3
+ 8
4
=
2,67
INTEGRACION POR SUSTITUCION
Ejemplo:
I=
u = sec t

sec3 x dx =
du = sec t . tg t . dt
dv = sec2 t
v=
112

sec2 t . dt = tg2 t

x
sec t . sec2 t dt
113
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
I = sec t . tg t -
tg t . sec t . tg t

I = sec t . tg t -
. dt
tg2 t . sec t . dt
Calculo auxiliar
sen2 t + cos2 t = 1
dividiendo por cos2 t
tg2 t + 1 = sec2 t
luego
tg2 t = sec2 t – 1

I = sec t . tg t -

I = sec t . tg t -
(sec2 t - 1). sec t . dt
sec3 t . dt +

sec t . dt
I
2.I = sec t . tg t + ln (sec t + tg t)
I = sec t . tg t + ln (sec t + tg t)
2
Sea y = f (x)
y
y = f (x)
S
0
a
b
x
t0
x = g (t)
t1
Supongamos tener que calcular
b
S=
f (x) dx
a

113
(1)
114
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Sea
x = g (t)
dx = g´(t) . dt
(2)
Supongamos que g (t) y g´(t) son continuas y que cuando t varia entre t 0 y t1 , x varia entre :
a = g (t0)
(3)
b = g (t1)
Sustituyendo (2) y (3) en (1)
b
a
S=
t1
f (x) dx
=
t
f [g (t)] . g´(t) . dt
(4)
2
Esta formula la aplicamos a las siguientes integrales
(5)

R (x, √ a2 – x2 ) . dx
(6)

R (x, √ a2 + x2 ) . dx
(7)

R (x, √ x2 – a2 ) . dx
En donde R indica una función racional de la “x” y de la raiz, puede aparecer sumada, restada,
multiplicada, dividida y elevada a potencias.
(5)
x = a . cos t
√ a2 – x2
a
dx = a . sen t . dt
t
x
√ a2 – x2 = a . sen t
(6)
x = a . tg t
√ a2 + x2
x
dx = a . sec2 t . dt
t
a
√ a2 + x2 = a . sec t
(7)
x = a . sec t
x
√ x2 – a2
dx = a . sec t . tg t . dt
t
a
114
√ x2 – a2 = a . tg t
115
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Ejemplo: Sea
y
x2 - y2 = 1
a=b=1
a2
b2
S
-1
Luego
1
x
x2 – y2 = 1
Calcular S
y = ± √ x2 – 1
como es la rama positiva
y = + √ x2 – 1
3
S=
1
√ x2 – 1 . dx
x = sec t
√ x2 – 1
x
dx = sec t . tg t . dt
t
1
√ x2 – 1 = tg t
3
S=
S=
S=
S=
 1 tg t . sec t . tg t . dx
1
1
1
3
tg2 t . sec t . dx
3
(sec2 t – 1) . sec t . dx
3
sec3 t . dt –

3
sec t . dx
1
x=3
S=½
sec t . tg t + ln (sec t + tg t)
x=3
-
ln (sec t + tg t)
x=1
x=1
3
S = ½ x √ x2 - 1 - ln (x + √ x2 – 1)
1
S = 3/2 √ 8 – ½ (3 + √ 8 )
115
3
116
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Ecuación paramétrica de curvas
y
P
fig. 1
y
x
x
Hasta ahora hemos visto ecuaciones de curvas en las cuales la ordenada “y” de un punto
cualquiera “P” de las mismas se expresaba en función de la abscisa x de ese punto.
y = f (x)
(1)
Esta ecuación es la ecuación cartesiana de la curva. También podemos expresar la ecuación de la
curva introduciendo una variable auxiliar “t” llamada parámetro y expresando la abscisa y la ordenada del
punto P de la curva en función de ese parámetro.
Se obtiene así, la ecuación paramétrica de la curva.
x = g (t)
(2)
y = h (t)
Dando valores a “t” se calcula “x” e “y”, y se van obteniendo los puntos de la curva.
Este parámetro “t” puede ser a veces un ángulo o la longitud de un arco, etc.
Ejemplo:
En una circunferencia de radio
“r” puedo elegir como parámetro el ángulo
indicado, y entonces resulta:
x = g (t) = r. cos t
y = h (t) = r. sen t
y
fig. 2
(3)
P (x, y)
Ecuación paramétrica de la circunferencia.
De esta ecuación paso a la cartesiana, eliminando
“t” , para ello elevo al cuadrado ambos miembros y
tengo.
x2 = r2 . cos2 t
y2 = r2 . sen2 t
x2 + y2 = r2
(cos2 t + sen2 t)
1
x2 + y2 = r2
116
r
t
y
x
x
117
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Ejemplo: En la figura 3 se muestra la construcción de una elipse de semiejes a y b, que son los radios de
dos ecuaciones de circunferencias. Trazando por O → OP y por el punto de intersección con la primera
circunferencia una paralela al eje x y por P una paralela al eje y, se obtiene el punto Q de la elipse. Se
elige como parámetro el ángulo t. Y resulta la
siguiente ecuación:
y
x = OP . cos t
x = a . cos t
b
P
y = OR .sen t
R
y = b . sen t
Q (x, y)
t
x = a . cos t
y = b . sen t
O
(4)
x
a
fig. 3
Ecuación paramétrica de la elipse. Para pasar a la cartesiana.
x2/a2 = cos2 t
y2/b2 = sen2 t
x2 + y2 = 1
a2 b 2
x/a = cos t
y/b = sen t
Derivada de curvas dadas en forma paramétrica
x = g (t)
(1)
y = h (t)
Se desea calcular
dy/dx
dy = dy/dt =
dx
dx/dt
d2y = d
dx2
dx
y
x
dy
dx
.
.
.
117
=
dy
dx
=
2
x
.
.
.
.
.
..
.
=
x
dt
dx
d (y / x )/dt
x
. ..
.
.- y . x
ÿ.x
dy
dx2
(2)
= d
dt
d2y = d/dt . (dy/dx)
dx2
dx/dt
2
d2y/dx2
y
ÿ . x - y . x
x3
(3)
118
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Ejemplo:
Ing. Alvarez Francisco
Dada la curva de ecuación paramétrica.
x = t2 + 7
y = 3 + t 2 – 3 . t4
Se pide
dy/dx
d2y/dx2
a)
Hallar
b)
Ecuación de la recta tangente y normal a la curva en t0 = 1.
a)
dy
dx
= y
.
.
x
y
= -12 . t3 + 2 . t
2.t
dy = - 6.t2 + 1
dx
d2y = ÿ . x . - y . . x ..
dx2
x3 .
d2y = (36 . t2 + 2) . 2.t – 2.(-12. t3 + 2.t)
dx2
(2.t)3
d2y = -72 . t3 + 4.t + 24.t3 - 4.t
dx2
8.t3
d2y = - 48 . t3 = - 6
dx2
8. t3
b)
Ecuación de la recta tangente
y – y0 = f ´(x0) . (x – x0)
y0 = h (1) = 3 + 1 – 3 = 1
x0 = g (1) = 1 + 7 = 8
.
f ´(x0) = y (1) = -6 + 1 = -5
x. (1)
(y – 1) = - 5 (x – 8)
y = - 5x + 41
y
Ecuación de la recta Normal
y – y0 = -1/f ´(x0) . (x – x0)
S
y –1 = 1/5 . (x –8)
y= x
5
-3
5
a
x
118
t0
t1
b
119
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Integración de curvas dadas en forma paramétrica
Supongamos tener que calcular
b
S=
f (x) dx

a
Y supongo que la ecuación paramétrica de esa curva.
x = g (t)
dx = g´(t) . dt
y = h (t)
Supongamos que cuando “x” varía entre a y b, “t” varia entre t 0 y t1 ,
b
S=
a
x varia entre :
t1
f (x) dx
=
t
h (t) . g´(t) . dt
2
Ejemplo: Hallar el área limitada por la circunferencia de ecuación.
x = g (t) = r . cos t
y = h (t) = r . sen t
0
r . sen t . (-r . sen t) . dt
π/2

S = 4. S1 = 4
S=-4r
2
y

S1
0
sen2 t dt
π/2
t
0
S = - 4 . r2
2
(t – sen t. cos t)
S = - 2 . r2 ( 0 – π/2) = π . r2
119
P (x, y)
r
π/2
y
x
x
120
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LONGITUD DE ARCO
Rectificar un arco de curva significa determinar su longitud.
Supongamos tener el arco de curva AB de la figura 1.
y = f (x) Suponemos que y = f ´(x)
y
A
∆s
B
∆y
∆C
∆x
b
a
x
x α
fig. 1
x + ∆x
fig. 2
Existe en cada punto del arco, lo que significa que la curva tiene tangente en cada punto y
además suponemos que esta derivada es finita y continua, lo que significa que al variar el punto de
contacto, la recta tangente varía con continuidad.
Para definir que se entiende por longitud de arco AB realizamos los siguientes pasos.
1º paso: Realizamos una partición ∆ del intervalo [a, b] por medio de los puntos indicados en la fig. 1. Si
∆C es la longitud de una cuerda (fig. 2) de esa poligonal es
∆C = √ (∆x)2 + (∆y)2
Pero por el teorema del valor medio de Lagrange.
∆y = f ´(α) . ∆x
Donde α es un valor conveniente de la x.
∆C = √ (∆x)2 + f ´2 (α) . (∆y)2
∆C = √ (∆x)2 [1+ f ´2 (α)]
∆C = ∆x . √ [1+ f ´2 (α)]
2º paso: Formamos s∆ relativa a la partición ∆ en la siguiente forma.
s∆ = ∆ ∆C = longitud de la poligonal.
3º paso: Definimos como “s” a la longitud de arco de AB
s = lim
║∆║→0
120
∆
√ 1 + f ´2(α) . ∆x
(1)
121
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s=

Ing. Alvarez Francisco
b
√ 1 + f ´2(x) . dx
(2)
a
Si el recorrido sobre el arco AB corresponde a las “x” crecientes, la ecuación (2) da la longitud
del arco, con el signo correspondiente.
Observación:
Elemento diferencial de arco
Supongamos que la integral (2), el punto b tenga una abscisa variable “x”
s es una función de x que se indica con s (x).
x
s (x) =
a
√ 1 + f ´2(x) . dx
Derivando esta última expresión respecto de x que es el extremo superior variable de la integral,
resulta por lo visto.
ds =
dx
√ 1 + f ´2(x)
pero
f ´(x) = y´= dy
dx
ds =
√ 1 + (dy/dx)2 . dx
ds =
√ d2x + d2y
=
√ d2x + d2y . dx
dx
(3)
elemento diferencial de arco.
Longitud de arco de una curva dada en forma paramétrica
Sea la ecuación del arco AB
x = g (t)
para t variando [t0, t1]
y = h (t)
ds =
√ d2x + d2y
.
dx = g´(t) . dt = x . dt
.
dy = h´(t) . dt = y . dt
121
ds =
√ (x. .dt)2 + (y . .dt)2
ds =
.
.
√ x 2 + y 2 . dt
(4)
122
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Luego
t1
t
s =
√ x. 2 + y.2. dx
(5)
2
Observar que en (2)
ds =
√ 1 + f ´2(x) . dx
Ejemplo: Hallar la longitud de arco de la siguiente función en el intervalo señalado.
s=

b
√ 1 + f ´2(x) . dx
y
a
y = x 3/2
y = x 3/2
B
luego
A
y´= 3/2 . x1/2
s=

3
√ 1 + 9/4 . x) . dx
(2)
1
1
3
3
s = 4/9 . 2/3 . (1 + 9/4 . x ) 3/2 =
1
s = 4,65
8/27 . [ ( 1 + 27/4) 3/2 – ( 1 + 9/4) 3/2 ]
Ejemplo: Hallar la longitud del arco de curva de ecuación.
y = 2.x2 + 5.x
situado debajo del eje x
Intersección con el eje x
y = 2.x2 + 5.x = 0
x ( 2.x + 5) = 0 →
x1 = 0
determinamos el extremo.
y´= 4.x + 5 = 0
y´´ = 4
s=
122

→
x = - 5/4
mínimo
b
√ 1 + f ´2(x) . dx
a
→
2.x + 5 = 0
→ x2 = - 5/2
x
123
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s=
Ing. Alvarez Francisco
0

√ 1 + (4.x + 5)2 . dx
-5/4
4.x+5 = tg t
√ 12 + (4.x + 5)2
x = tg t - 5
4
dx = sec2 t . dt
4
t
√ 12 + (4.x + 5)2 =
1
s=
→
4.x+5
sec t
0

¼ . sec3 t . dt
-5/4
x=0
s=¼.½
sec t . tg t + ln (sec t + tg t)
x = -5/2
s = 6,95
Curvatura y radio de curvatura
Supongamos tener una curva de ecuación y = f (x), analizamos el cambio de dirección de la
tangente entre P y Q.
Siendo la longitud del arco
PQ = ∆s
y
En P la recta tangente forma un ángulo
α con el eje x, cuando el punto de tangencia en
P se traslada a Q, el ángulo pasa a ser α1 . Luego
el cambio de dirección de la tangente es
Q
∆s
P
∆α = α1 – α
Llamamos por definición curvatura
media entre los puntos P y Q a:
α1
α
x
Cm = ∆α / ∆s
Llamamos curvatura en el punto P de y
= f (x) al limite del cociente anterior cuando
∆s→0
C = lim
Cm = lim ∆α / ∆s = dα / ds
∆s→0
∆s→0
(1)
La curvatura en P es la velocidad con que varía la dirección de la tangente respecto del arco y se
suele medir en rad/m.
Hallar la expresión de la curvatura en función de “y” , y sus derivadas para calcularla
prácticamente.
y´= tg α →
123
α = arctg y´
124
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dα =
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1
y´´
1 + y´2
. dx
√ 1 + y´2 . dx
ds =
Sustituyendo en (1)
C=
y´´ . dx
1 + y´2
√ 1 + y´2 . dx
=
y´´
( 1 + y´2 )3/2
(2)
El radio de curvatura R es por definición, la inversa de la curvatura C.
R = 1/C
Ejemplo:
Calcular la curvatura de
y = x3
y ´ = 3 . x2
y´´ = 6 . x
f ´(1) = 3
f ´´(1) = 6
C=
C=
y´´
( 1 + y´2 )3/2
x = g (y)
124
=
(1 + 32)3/2
→
3
5. √ 10
Observación:
curva y se escribe.
C=
→
→
en
6
√ 103
=
x=1
6
R = 5 . √ 10
3
Si y´es ∞, la formula (2) falla. En ese caso se despeja x en la ecuación de la
y se usa como
x´´
( 1 + x´2 )3/2
125
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APLICACIONES DE LA DERIVADA
Extremos de una función
y
fig. 2
fig. 1
y
y = f(x) = 1/x
M
a
a=0
a=3
x
-M
fig. 3
y
Máximo absoluto
Propiedades de la función continua
-
Teorema de Weistrass
1- Establece que toda función continua en un
intervalo cerrado [a , b] es acotada. Esto
significa - fig. 1- que
mínimo absoluto
a
b
x
f (x)≤ M
-M ≤ f (x) ≤ M
observar que si el intervalo no es cerrado - fig. 2 esta propiedad no tiene por que cumplirse.
Ejemplo:
y = f (x) = 1/x
es continua en (0, 3] y sin embargo no es acotada
2 – fig. 3- Establece que: toda función continua en [a,b] alcanza un valor mayor que todos (máximo
absoluto) y un valor menor que todos (mínimo absoluto).
125
126
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Extremos locales o relativos (máximos y minimos relativos)
Se dice que una función y = f (x) – fig. 4 – presenta un máximo relativo o local en
existe un entorno “E” de x0 tal que
x = x0 si
f (x0)  f (x)
Para todos los x que pertenecen a “E”.
Decimos que una función – fig. 5 – y = f(x) presenta un mínimo relativo o local en x = x 0 si
existe un entorno “E” de x0 tal que
f (x0) ≤ f (x)
Para todos los x que pertenecen a “E”.
Observar en la – fig . 6 – que en el gráfico de la función, puede haber mas de un máximo relativo
y que un máximo relativo puede ser máximo absoluto, igualmente para mínimos relativos.
máximo absolutos
y
máximo relativo
y
fig.4
mínimo relativo
fig. 5
y
fig. 6
máximos relativos
f (x0)
f (x0)
mínimo relativo
mínimo absoluto
x
x
x0
x0
a
b
Función creciente y decreciente
x
x
x
Una función y = f (x). fig. 7 es creciente en x = x0 si existe un entorno “E” de x0 tal que
Si x1 < x0
→
f (x1) < f (x0)
Si x1 > x0
→
f (x1) > f (x0)
 x1  a E
Una función y = f (x). fig. 8 es decreciente en x = x0 si existe un entorno “E” de x0 tal que
Si x1 < x0
→
f (x1) > f (x0)
Si x1 > x0
→
f (x1) < f (x0)
TEOREMA
 x1  a E
Si f´(x0) es finita y
a) f ´(x0) > 0 la función es creciente en x = x0. fig. 7.
b) f ´(x0) < 0 la función es creciente en x = x0. fig. 8.
Demostración: caso a)
f ´(x0) = lim
f ( x0 + ∆x) – f (x0)
∆x→0
∆x
llamamos x1 = x0 + ∆x
→
∆x = x1 – x0
126
-1
-1
-1
x
127
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f ´(x0) = lim
f ( x1) – f (x0)
x1→x2
x1 – x0
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> 0
f ( x1) – f (x0)
x1 – x0
> 0
Un cociente > 0 implica que el numerador y el denominador tengan igual signo.
Luego si
y
P
fig.7
y
fig. 8
Q
f (x0)
f (x0)
E
E
x
x
x0
x0
x
x
máximo absolutos
y
fig. 9
S
máximos relativos
P
H
T
R
mínimo relativo
x1
x0
Q
x1 – x0 < 0
x
x2 x3
x4
x5 x6
x7
mínimo absoluto
o sea
x1 < x0
*
f (x1) – f (x0) < 0 o sea
f (x1) < f (x0)
Y si
x1 – x0 > 0
o sea
x1 > x0
**
f (x1) – f (x0) > 0 o sea
f (x1) > f (x0)
de (*) y (**) resulta que la función es creciente como queríamos demostrar.
El caso b) se demuestra de igual modo.
-1
127
-1
128
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Ejemplo:
y
y=x2
y´= 2.x
f ´(-2) = - 4
luego, la función
decreciente en x = -2
y = x2
es
f ´(1) = 2
luego, la función es creciente en x
=1
4
1
x
-2
1
x
Desde el punto de vista
geométrico, una función es
creciente,
cuando
su
pendiente es positiva y
decreciente
cuando
su
pendiente es negativa.
2
DETERMINACION DE LOS EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCION
MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS O LOCALES
Distinguiremos la determinación de los extremos ordinarios, o sea, aquellos en
los cuales la derivada es finita, puntos P y T de la (fig. 9) de la determinación de los
puntos extremos extraordinarios en los cuales la derivada es ∞. Puntos Q y S de la fig. 9
Extremos Ordinarios
I) Metodo de determinación de los extremos ordinarios
Para un extremo ordinario como P fig. 9 y 10. correspondiente a un máximo de la función. Esta
pasa de creciente a decreciente. Por consiguiente, la derivada pasa de valores positivos a la izquierda de P
a valores negativos a la derecha de P.
Y por lo tanto, se anula en
x = x0
En resumen, en un máximo relativo (M) como el P. la derivada vale:
128
129
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f ´( x0) = 0
y
máximo relativo
y la derivada pasa de positiva a
negativa.
Para un extremo ordinario como T
fig. 9 y 11. correspondiente a un
mínimo relativo de la función. Esta
pasa de decreciente a creciente. Por
consiguiente, la derivada pasa de
valores negativos a la izquierda de
T a valores positivos a la derecha
de T.
fig.10
y
mínimo relativo
fig.11
P
P
x
x
x0
x0
y´
y´
Y por lo tanto, se anula en
+
+
x = x4
x
x
-
-
En resumen, en un mínimo relativo
(m) como el T. la derivada vale:
f ´( x4) = 0
y la derivada pasa de negativa a
positiva.
y´´
y´´
+
Basándonos
en
esto,
podemos dar la primera regla
practica para determinar los
extremos de una función.
x
x
-
Sea
y = f (x)
1.
Calculamos
y´= f ´(x)
y hacemos
f ´( x ) = 0
(1)
Las raíces de la ecuación (1), ubican todos los puntos del gráfico de la función que tienen una
pendiente nula y que pueden ser (puntos P y T de la fig. 9) los extremos de la función.
-1
2.
-1
Para cada xi que es raíz de la ecuación (1) se analizan los signos de la derivada a su izquierda y
derecha.
si esta pasa de positiva a negativa hay un máximo
si esta pasa de negativa a positiva hay un mínimo
II) Método para la determinación de extremos ordinarios
129
130
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Si analizamos la fig. 10, la curva derivada o sea “ y´ “ observamos que esta es decreciente en x =
x0, luego su derivada segunda “ y´´ “ tiene en el punto signo negativo. Es decir, que en un punto como
el P de máximo relativo, tenemos:
f ´ (x0) = 0
y
f ´´ (x0) < 0
Máximo -
Observación: desde el punto de vista geométrico, el signo negativo de la “ y´´ “ indica que la función
presenta una concavidad hacia abajo.
Para el punto T de la fig. 11, la curva derivada o sea “ y´ “ observamos que esta es creciente en x
= x0, luego su derivada segunda “ y´´ “ tiene en el punto signo positivo. Es decir, que en un punto como
el T de mínimo relativo, tenemos:
f ´ (x4) = 0
y
f ´´ (x4) > 0
Máximo +
Observación: desde el punto de vista geométrico, el signo positivo de la “ y´´ “ indica que la función
presenta una concavidad hacia arriba.
Regla practica para la determinación de extremos
Sea
y = f (x)
1. Calculamos y´= f ´(x) y hacemos
f ´(x) = 0
(2)
Las raíces de (2) ubican todos los puntos del gráfico de pendiente cero, que pueden o no ser
extremos.
2. Calculamos y´´ = f ´´(x)
y reemplazamos en ella las raíces xi de (2). Sí
f ´´(xi ) > 0
mínimo
+
f ´´(xi ) < 0
máximo
-
Nota: Si la y´´ es cero usar el primer método.
Puntos de inflexión
En la fig. 9 los puntos R y H representan los puntos de inflexión de y = f (x), y los definimos
como los puntos de máximo o mínimo de su derivada primera, o sea de y´= f´(x).
Observar que la derivada segunda de una función es cero en los puntos de inflexión, que son
aquellos del gráfico en donde la curva pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (punto H en la
fig. 9) o de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba (punto R en la fig. 9).
Ejemplo: Determinar los máximos, mínimos y puntos de inflexión, de la siguiente función, y dibujarla.
y = f (x) = 1/3 x3 –2x2 + 3x + 1
Extremos:
130
1º Método
131
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y´= x2 – 4x + 3
1)
x2 – 4x + 3 = 0
x = 4 ± √ 16 – 12
2
2)
→
=
f ´(0) = 3
>0
f ´(2) = -1
<0
→
x1 = 1
x1 = 1
x2 = 3
-
máximo relativo
-
mínimo relativo
ymax = f (1) = 1/3 – 2 + 3 + 1 = 7/3 = 2,3
f ´(2) = -1
<0
f ´(4) = 4
>0
x2 = 3
ymin = f (3) = 9 – 18 + 9 + 1 = 1
Puntos de inflexión
y´= f ´(x) = x2 – 4x + 3
1)
y´´= 2x – 4
2x – 4 = 0
f ´´(1) = -2
<0
2)
x3 = 2
x3 = 2
hay inflexión
f ´´(3) = 2
>0
y3 = f (2) = 1 . 23 – 2 . 4 + 3 . 2 + 1 = 5/3 = 1,66
3
y
3
M
y = f (x)
2,33
1,66
1
m
1
2
3
x
Ejemplo: Determinar los máximos, mínimos y puntos de inflexión, de la siguiente función, y dibujarla.
y = f (x) = x5 – 5x4 + 5x3 + 1
Extremos:
1º Método
y´= 5.x4 – 20x3 + 15.x2
1)
y´= 5.x2 ( x2 – 4.x + 3 ) = 0
131
132
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→
x1 = 0
Ing. Alvarez Francisco
x2 = 0
x2 – 4x + 3 = 0
x = 4 ± √ 16 – 12
2
=
→
→
x3 = 1
x4 = 3
y´´ = 20 . x3 – 60 . x2 + 30 .x
2)
f´´(0) = 0
no decide
Analizamos x1 y x2 por el primer método.
f ´(-1)
x 1y2 = 0
132
>0
no hay extremos
f ´(1/2) = 5/16 – 20/8 + 15/4
>0
f ´´(1) = -10
<0
-
máximo relativo
f ´´(3) = 90
>0
+
mínimo relativo
ymax = f (1) = 1 – 5 + 5 + 1 = 2
x3 = 1
ymin = f (3) = 243 – 405 + 135 + 1 = - 26
x4 = 3
133
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Puntos de inflexión
y
1)
y´= f ´(x) = 5.x4 – 20.x3 + 15.x2
2
1,56
3
3
2
y´´= 20.x – 20.x + 15.x = 0
1
10.x (2.x2 – 6.x + 3) = 0
x1 = 0
x2 = 2,37
x3 = 0,6
0
0,6
1
y´´´= 60.x2 – 120.x + 30
2)
f ´´´(0) = 30
>0
hay inflexión
f ´´´(2,37)
>0
hay inflexión
f ´´´(0,6) < 0
hay inflexión
x=0
→
x = 2,35 →
y2 = f (2,37) = -15,41
x = 0,6
→
-15,41
y1 = f (0) = 1
-26
y3 = f (0,6) = 1,56
Forma práctica de trabajar para el cálculo de extremos
Máximos y minimos relativos
Usaremos preferentemente el segundo método, o sea:
Dada
y = f (x)
Calculamos
y´= f ´(x)
1)
y además
y´´= f (x)
f ´(x ) = 0
de aquí obtenemos los valores de las
raíces xi probables puntos extremos
2)
f ´´ ( xi )
133
→
>0
máximo →
ymax
→
<0
mínimo →
ymin
2,35
3
x
134
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Si
f ´´ ( xi ) = 0 el método falla y aplicamos el primer método.
Puntos de inflexión
Hemos visto que los puntos de inflexión son aquellos en los cuales la función derivada tienen un
máximo o un mínimo, estos puntos corresponden en el gráfico a un cambio de concavidad de la curva.
1)
f ´´ (x) > 0
f ´´(x)= 0
f ´´ (x) < 0
2)
f ´´ (x) > 0
punto de inflexión
punto de inflexión
mínimo en f ´
máximo en f ´
Prácticamente usaremos el segundo método, y si falla el primero.
y = f (x) y´= f ´(x)
1.
y´´= f ´´(x)
y´´´= f ´´´(x)
Hacemos la y´´ = f ´´(x) = 0
Determinamos las raíces xi probables de puntos extremos.
2.
Calculamos
<0
y´´´= ( xi )
hay inflexión
>0
y determinamos el “y” de inflexión
Si
y´´´= f ´´´(xi) = 0 el método falla y aplicamos el 1º.
Ejemplo:
y=
6.x
1 + x2
Hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión.
Máximos y mínimos
y´= 6 + x2 – 12.x2 = 6 – 6 . x2
(1 + x2)2 (1 + x2)2
y´´ = - 12 x (1 + x2)2 – (6 – 6 x2) 2 (1 + x2) 2 x
(1 + x2)4 3
y ´´= -12 x (1 + x2) – (6 – 6.x2) . 4x
(1 + x2)3
y´´= -12 x3 – 36 x
(1 + x2)3
134
f ´´ (x) < 0
f ´´(x)=0
135
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1) f ´(x) = 0
→
6 – 6 x2 = 0
→
x=±1
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→
x1 = -1
x2 = 1
2) si x1 = -1
f ´´(-1) = -12 + 36 > 0
8
ymin = f (-1) =
mínimo
-6/2 = -3
si x2 = 1
f ´´(1) = 12 – 36 < 0
8
ymax = f (1) =
máximo
6/2 = 3
Punto de Inflexión
1º método
12 x3 – 36 x = 0
1) y´´ = f ´´(x) = 0
12 x ( x2 – 1) = 0 →
x1 = 0
→
x2 = - √ 3
→
x2 – 3 = 0
x3 = √ 3
f ´´(-1) > 0
x1 = 0
hay inflexión
y = f (0) = 0
hay inflexión
y = f (-√ 3 ) = - 2,55
hay inflexión
y = f ( √ 3 ) = 2,55
f ´´(1) < 0
f ´´(-2) < 0
x2 = - √ 3
f ´´(-1) > 0
f ´´(1) < 0
x3 = √ 3
f ´´(2) > 0
135
136
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Ing. Alvarez Francisco
y
3
2.55
-1.7
1
0
x
1
1.7
-2.55
-3
Extremos extraordinarios
Los puntos Q y S de la fig. 9. Para ubicar los
puntos Q y S correspondientes a un mínimo y un
máximo respectivamente, en los cuales el valor de la
derivada primera es ∞, (la recta tangente es vertical),
se procede de la siguiente manera.
y
S
x
Q
1- Dada y = f (x) Calculamos
y´= f ´(x)
y determinamos los valores de xi, que hacen
y tales que
f ´(xi) = ∞
y = f (xi) sea un valor determinado.
2- Para cada xi correspondiente a un probable extremo extraordinario analizamos.
x < xi
→
f ´(x) < 0
x > xi
→
f ´(x) > 0
x < xi
→
f ´(x) > 0
x > xi
→
f ´(x) < 0
1)
mínimo relativo (punto Q)
2)
máximo relativo (punto S)
-1
136
137
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Ing. Alvarez Francisco
y
Ejemplo: Graficar dando los extremos
2
y = f (x) = 2 + ( x – 3 )2/3
y´= 2/3 . (x-4) -1/3
1-
x
4
2-
y´= ∞
→
para
y = f (4) = 2
x=3
<4
x=4
f´(3) = -2/3 < 0
mínimo relativo
x=5
>4
f´(5) = 2/3
>0
TEOREMAS RELATIVOS A DERIVADAS
TEOREMA DE ROLLE
y
fig.1
f (a)
y
f (b) = f (a)
fig. 2
f (a)
M
f (b) = f (a)
x
a
α
b
a
y
fig. 3
f (a)
x
m
α
b
y
fig. 4
f (b) = f (a)
f (a)
f (b) = f (a)
x
a
α
b
x
a
α1
α2
b
Supongamos tener la función
y = f (x)
que cumple las siguientes condiciones
1)
2)
3)
Es continua en [a,b]
Es derivable (tiene derivada finita) en (a,b)
f (a) = f (b)
(1)
y analizamos lo que ocurre con una función de estas características.
Caso 1: Si y = f (x) = constante
es
f ´(x) = 0
fig. (1)
(2)
137
-1
138
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Caso 2: Si y = f (x) ≠ constante
fig. (2, 3, 4)
Siendo la función continua en un intervalo cerrado, alcanza un máximo absoluto y un mínimo
absoluto, dentro de ese intervalo, uno de estos dos por lo menos deba ser interior. Por consiguiente debe
ser un máximo relativo (fig. 2) o un mínimo relativo (fig. 3) y como la derivada es finita, el extremo es
ordinario. Luego si este se produce en α es
f ´(α) = 0
(3)
En resumen: “Si una función y = f (x) cumple las tres condiciones (1) existe por lo menos un punto
interior α del intervalo en el cual f ´(x) = 0”
“TEOREMA DE ROLLE”
Observaciones:
Ejemplo:
1/x - 1
;
0<x<1
y = f (x)
0
;
x=0
En esta función no hay punto interior donde la derivada se anule, falla la primera condición.
y
y
-1
1
x
-1
0
1
x
y = f (x) = x2/3 – 1
Ejemplo:
-1 < x < 1
En esta función no hay ningún punto interior donde la derivada se anula, falla la segunda
condición.
TEOREMA DE CAUCHY O DE LOS INCREMENTOS FINITOS
y
y = f (x)
f (b) – f (a)
y =  (x)
 (b) –  (a)
0
a
α
b
Sean y = f (x)
condiciones.
1)
2)
3)
4)
138
x
e
y =  (x)
dos funciones que cumplen las siguientes
Son continuas en [a, b]
Son derivables (tienen derivada finita) en (a, b)
f ´y ´ no son simultáneamente nulas en ningún punto interior.
 (b) -  (a) ≠ 0
(4)
139
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Entonces existe un punto interior α, tal que.
f (b) – f (a) = f ´(α)
 (b) -  (a) ´(α)
(5)
O sea, dice que el cociente de los incrementos es igual al cociente de las derivadas en un punto
interior.
Demostración: Consideremos una función auxiliar.
F (x) = f (x) + k.  (x)
(6)
Donde k es una constante que elegimos de tal manera que:
F (a) = F (b)
(7)
O sea, de (6)
F (a) = f (a) + k.  (a) = f (b) + k.  (b) = F (b)
k=-
f (b) – f (a)
 (b) -  (a)
(8)
reemplazando (8) en (6)
F (x) = f (x) -
f (b) – f (a)
 (b) -  (a)
.  (x)
(9)
Esta función dada por (9) cumple las siguientes condiciones:
1)
2)
3)
F (x) es continua en [a,b] por serlo f y 
F (x) es derivable (tiene derivada finita) en (a,b) por serlo f y 
F (a) = F (b) por (7)
Luego la función F (x) cumple las tres condiciones del teorema de Rolle, por lo tanto su derivada
debe anularse en un ángulo interior α.
F´(α) = 0
y por (9)
F ´(α) = f ´ (α) -
f (b) – f (a)
 (b) -  (a)
. ´ (α)
(10)
Si ´ (α) ≠ 0. Luego en (10) tengo:
139
f ´ (α) =
f (b) – f (a)
. ´ (α)
 (b) -  (a)
f ´ (α) =
´ (α)
f (b) – f (a)
 (b) -  (a)
tesis
140
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TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LA GRANGE
Supongamos que en (5)
 (b) = b
 (a) = a
´ (α) = 1
Sea  (x) = x
f (b) – f (a) = f ´(α)
b - a
(11)
Sea una función y = f (x) que es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el (a, b), entonces existe un
punto α tal que la ecuación (11) se cumple.
SIGNIFICADO GEOMETRICO DEL TEOREMA ANTERIOR
y
y = f (x)
P
T
B
f (b) – f (a)
β
A
0
H
a
x0
α
b
x0 + h
x
h
f (b) – f (a) = BH = tg β = pendiente de AB
b - a
AH
f ´(α) pendiente de la recta tangente.
La expresión (11) dice que existe un punto del gráfico de la función en el cual la tangente a la
curva es paralela a la cuerda.
OTRA FORMA DE ESCRIBIR EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
De la ecuación (11). Resulta : f (b) = f (a) + (b – a) . f ´(α)
a = x0
b = x0 + h
b–a=h
α = x0 + θ.h
→
0<θ<1
f (x0 + h) = f (x0) + h . f ´(x0 + θ . h)
140
141
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FORMAS INDETERMINADAS... REGLAS DE L´HOPITAL
y
f (x)
 (x)
0
a
x0
α
b=x
x0 + h
x
1) forma 0/0
Supongamos que para la función del gráfico busca el:
lim
f (x) = f (a) =
x→a  (x)  (a)
0/0
Aplicamos el teorema de Cauchy
f ´ (α) =
´ (α)
f (b) – f (a)
 (b) -  (a)
f ´ (α) =
´ (α)
f (x) – 0
 (x) – 0
f ´ (α) =
´ (α)
f (x)
 (x)
lim
α→a
f ´ (α) =
´ (α)
si x→a luego α→a
lim f (x)
x→a  (x)
Si el limite del primer miembro existe, L´hopital dice que el limite del cociente de las funciones
es igual al limite del cociente de las derivadas.
Ejemplo:
lim 1 – cos x = 0/0 = lim sen x = 0
x→0
x
x→0
1
Ejemplo:
lim 1 – cos x = 0/0 = lim sen x = 1/2
x→0
x2
x→0 2.x
2) forma ∞/∞
Supongamos que para la función del gráfico busca el:
lim
f (x) = f (a) =
x→a  (x)  (a)
lim
1/ (x) = 0/0
x→a 1/f (x)
141
∞/∞
pasa a ser de la primera forma
142
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Resolvemos como en la primer forma.
L = lim
[-1/2 (x)] . ´(x)] = 0/0
x→a [-1/f 2 (x)] . f ´(x)]
L = lim
[f 2 (x)] . ´(x)]
x→a [ 2 (x)] . f ´(x)]
L = lim
f 2 (x) . lim ´(x)
x→a  2 (x) x→a f ´(x)
L = L2 . lim ´(x)
x→a f ´(x)
L = lim
x→a
f ´ (x)
´ (x)
O sea que la regla de L´hopital también sirve para ∞/∞.
0/0 e ∞/∞ son dos maneras simplificadas de escribir un limite, el primero indica un cociente de funciones
con numerador y denominador que tienden a cero y el segundo indica el limite de un cociente con el
numerador y denominador que crecen indefinidamente.
Ejemplo:
3) forma
lim
x→∞
ln x = ∞/∞ = lim
l/x = 0
x
x→∞ 1
0.∞
Indica un limite en el cual una función tiende a cero y la otra crece indefinidamente.
Ejemplo:
lim
[π – 2.x] . tg x = 0 . ∞
x→π/2
Se opera para poder aplicar la regla de L´hopital, llevandolo a la forma 1, 0/0, o a la forma 2,
∞/∞.
lim
[π – 2.x] = 0/0
x→π/2
cotg x
Aplico L´hopital
lim
x→π/2
-2
- cosec2 x
=
lim
x→π/2
2 . sen2 x
= 2
lim
x→π/2
-2
-1/ sen2 x
4) forma ∞ - ∞
Es igual al limite de las diferencias de dos funciones que crecen indefinidamente. Se resuelve
reduciendo a común denominador y llevando a la forma 1 o 2. 0/0 o ∞/∞.
Ejemplo:
lim
x→1
2
x2 – 1
-
1
x–1
= ∞-∞
lim 2 – (x + 1) = lim 1 – x = 0/0
x→1 x2 – 1
x→1 x2 – 1
142
143
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lim
x→1
5) forma
-1 =
2.x
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-1/2
00 …∞0…1∞
La primera indeterminación representa él limite de una potencia con una función en la base que
tiende a cero y otra en el exponente que también tiende a cero.
La segunda indica él limite de una potencia cuya base crece indefinidamente y otra en el
exponente que tiende a cero.
La tercera indica el limite de una potencia con una función en la base que tiende a uno y otra en
el exponente que crece indefinidamente.
Ejemplo:
1
1–x
L=
lim x
x→1
= 1∞
Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros.
1
1–x
= 1∞
ln L = ln lim x
x→1
1
1–x
ln L = lim ln x
x→1
ln L = lim
ln x
x→1
x–1
ln L =
lim
x→1
1/x
–1
= 1∞
= 0/0
=-1
L = e –1
FORMULAS DE TAYLOR Y MC LAUREN
En matemáticas se usa el principio de sustitución sintética que consiste en reemplazar funciones
complicadas por otras más sencillas, estas generalmente son polinomios.
y
y = f (x)
error Rn(x)
Pn (x)
0
x0
α
x
x
La formula de Taylor y Mc Lauren permiten usando este principio, aproximación con
polinomios a funciones trigonométricas, exponenciales, hiperbólicas, logarítmicas, etc.
143
144
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Se usan como elementos de demostración para poder realizar el cálculo de ciertas integrales, etc.
En definitiva estas formulas reemplazan a formulas complicadas por polinomios.
Supongamos tener:
Pn (x) = a0 + a1 .(x – x0) + a2 . (x – x0)2 + a3 . (x – x0)3 +………+ an. (x – x0)n
1!
2!
3!
(1)
n!
x0 , a0 , a1 , a2 , a3 ,………, an = números
P2 (x) = 3 + 2 .(x – 1) + 4 . (x – 1)2
1!
2!
x0 = 1
P1(x) = 4 + 5 (x – 8)
x0 = 8
Supongamos tener y = f (x) con infinitas derivadas.
Ejemplo:
y = ex
y = sen x,
luego
f (x0) = a0
f ´(x0) = a1
f ´´(x0) = a2
f ´´´(x0) = a3
(2)
f n (x0) = an
Reemplazando (2) en (1) tenemos.
Pn (x) = f (x0) + f ´(x0) .(x – x0) + f ´´(x0) . (x – x0)2 + ………+ f n (x0). (x – x0)n
1!
2!
n!
En (3) calculo las derivadas sucesivas.
P´n (x) = 0 + f ´(x0) .(1) + f ´´(x0) . 2. (x – x0) + ………+ f n (x0). n . (x – x0)n-1
1!
2!
n!
Calculo auxiliar
2
2!
=
2
1.2
=
1
1!
3
3!
=
3
1.2.3
=
1
2!
=
n
=
1 . 2 . 3.……(n-1) . n
n
n!
1
(n – 1)!
Simplificando
P´n (x) = f ´(x0) + f ´´(x0) . (x – x0) + f ´´´(x0) . (x – x0)2 +………+ f n (x0). (x – x0)n-1
144
(3)
145
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1!
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(n – 1)!
2!
P´´n (x) = f ´´(x0) + f ´´´(x0) . (x – x0) + f ´´´´(x0) . (x – x0)2 +………+ f n (x0). (x – x0)n-2
1!
2!
(n – 2)!
P n (x) = f n (x0)
Si hacemos
x = x0
Pn (x0) = f (x0)
P´n (x0) = f ´ (x0)
P´´n (x0) = f ´´(x0)
(4)
Pn n (x0) = f n (x0)
Por (4) se ve que en un entorno de x = x0 el polinomio (3) es una buena aproximación de la
función y = f (x) ya que ambos pasan por el mismo punto.
Pn (x0) = f (x0) tienen igual pendiente
P´n (x0) = f ´(x0) y la misma curvatura
P´´n (x0) = f ´´(x0)
Pero que error se comete cuando se reemplaza la función por el polinomio.
Indicamos este error en la figura con
Rn(x) = error = f (x) – Pn(x)
Este error se demuestra que es igual a:
Rn (x) = f n + 1 (α). (x – x0)n +1
(n + 1)!
Donde α es un valor entre x y x0.
De (5) resulta que
f (x) = Pn (x) + f n + 1 (α). (x – x0)n +1
(n + 1)!
Reemplazando en (3) queda:
145
= f (x) – Pn(x)
(5)
146
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f (x)=f (x0)+f ´(x0).(x – x0) + f ´´(x0).(x – x0)2 + …+f n (x0). (x – x0)n +f n+1 (α).(x – x0)n+1
1!
2!
n!
(n + 1)!
Formula de Taylor (6)
O sea
f (x) = Pn (x) + Rn(x)
Rn(x) se llama resto o termino complementario bajo la formula de La Grange.
Caso particular
Si x0 = 0
f (x)=f (0)+f ´(0) . x + f ´´(0) . x2 + f ´´´(0) . x3 +……+f n (0) . xn +f n+1 (α) . xn+1
1!
2!
3!
n!
(n + 1)!
Formula de Mc Lauren (7)
Ejemplo: Desarrollar y = sen x según las potencias de x en un entorno de x0 = 0
y=
sen x
y´=
cos x
y´´ = - sen x
y´´´= - cos x
y´´´´ = sen x
(8)
→
→
→
→
→
f (0)
=
f ´(0) =
f ´´(0) =
f ´´´(0) =
f ´´´´(0) =
sen 0 = 0
cos 0 = 1
- sen 0 = 0
- cos 0 = -1
sen 0 = 0
impares
Reemplazamos los valores calculados en (8) en la formula de Mc Lauren y obtenemos el
desarrollo del seno.
f (x) = f (0) + f ´(0) . x + f ´´(0) . x2 + f ´´´(0) . x3 +……+f n (0) . xn + f n+1 (α) . xn+1
1!
2!
3!
n!
(n + 1)!
sen x = 0 +
1 . x + 0 . x2 + -1 . x3 + 0 . x4 +……+ (-1)n+1 . x2n-1 + 0 . x2n
1!
2! 3!
4!
(2n-1)!
+R2n
(9)
Calculo auxiliar
2.n – 1 : impar
2.n : par
(-1)n : -1; 1
(-1)n+1 : 1; -1
R2n = f 2n+1 (α) . x2n+1
(2n + 1)!
f 2n+1 (α) = ± cos x
Debemos deducir basándonos en los primeros términos, el denominado termino general, que es
aquel que permite dando valores a “n”, deducir los términos ya calculados y los que le siguen.
Observamos, que solo las potencias impares de “x” tienen coeficientes distintos de cero. Luego el termino
general debe contar con “x” elevada a un exponente impar, que expresamos como (2.n – 1), debiendo
figurar como divisor el factor (2.n – 1)!.
Además las potencias impares se presentan con signos alternados. Luego el termino general,
debe poseer el llamado factor de signo que puede ser:
(-1)n
146
o
(-1)n+1
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Como el segundo término, da para n = 1 signo positivo, que corresponde al primer término no
nulo de la formula (7), o sea al 1 . x
1!
Adoptamos como factor de signo, el segundo resultado, como término general.
(-1)n+1 . x2n-1
(2.n –1)
Verificación:
Si
n=1
1.x
1!
n=2
- x3
3!
n=3
x5
5!
Al término general impar, sigue un término par nulo que es 0 . x2n si paramos la aproximación en
este termino resulta (9).
Por (7) el término complementario es:
R2n = f 2n+1 (α) . x2n+1
(2n + 1)!
La derivada que figura en este término complementario es de orden impar y si observamos en (8)
las derivadas de orden impar son iguales a ± cos x. Luego
f 2n+1 (α) = ± cos α
En resumen:
sen x = x + - x3 + x5 +……+ (-1) n+1 . x 2n-1 ± cos α . x 2n+1 (10)
1!
3!
5!
(2n-1)!
(2n + 1)!
Ejemplo: Hallar el
sen 1´ por la formula de Mc Lauren.
1´ = 0,016 . 360 = 2,9088 . 10 - 4
2.π
sen 1´≈ 2,9088 . 10 - 4 - (2,9088 . 10 - 4)3
1!
3!
sen 1´ ≈ 2,9088 . 10 - 4
Función Potencial. Ejemplo:
y = f (x) = (1 + x) m
147
m : número
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Desarrollar según las potencias de x o sea en un entorno de x0 = 0. (Formula de Mc Lauren).
y
y = (1 + x) m
1
0
α
x
x
f (x) = f (0) + f ´(0) . x + f ´´(0) . x2 + f ´´´(0) . x3 +……+f n (0) . xn +f n+1 (α) . x n+1
1!
2!
3!
n!
(n + 1)!
y = (1 + x) m
y´= m . (1 + x) m-1
y´´= m . (m – 1).(1 + x) m-2
y´´´= m . (m – 1).(m – 2).(1 + x) m-3
f(0) = 1
f `(0) = m
f ´´(0) = m . (m – 1)
f ´´´(0) = m . (m – 1).(m – 2)
y n = m . (m – 1).(m – 2).(m – 3) ……(m – [n – 1]) . (1 + x) m-n
f´´´´(0) = m . (m – 1).(m – 2).(m – 3) ……(m – [n – 1])
y n+1 = m . (m – 1).(m – 2).(m – 3) ……(m – n) . (1 + x) m - (n - 1)
en base a las derivadas, calculadas en la formula de Mc Lauren y deducimos el término general.
(1 + x)m = 1 + m . x + m . (m – 1) . x2 + m . (m – 1).(m – 2). x3 +………
1!
2!
3!
……+ m . (m – 1).(m – 2).(m – 3) ……(m – [n – 1]) . xn + Rn(x)
n!
Rn(x) = f n+1 (α) . xn+1 = m.(m – 1).(m – 2).(m – 3) ……(m – n) . (1 + α)m - (n - 1) .xn+1
(n + 1)!
(n + 1)!
Aproximación de orden 0
(1 + x) m = 1
Aproximación de orden 1
(1 + x)m = 1 + m . x
1!
148
149
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Aproximación de orden 2
(1 + x)m = 1 + m . x + m . (m – 1) . x2
1!
2!
y
orden 2
orden 1→ y = 1 + m.x
orden 0 → y = 1
x
Ejemplo:
√ 1,2 = (1 + 0,2)1/2 ≈ 1 + ½ 0,2 + ½ . ( ½ – 1) (0,2)2 = 1,095
1!
2!
APENDICE II
MATHEMATICA
Para definir una función
f x_
1
x2
1
x
1
x2
1 x
f 2
3
Plot f x , x, 1, 3
4
3.5
3
2.5
1.5
2
Graphics
Otro ejemplo, cambiamos de función
g x_
x
149
3
2
1
2.5
3
150
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2
1
3 x
Vemos el valor de la función en x
g4
2
Graficamos
Plot g x , x, 0, 5
4
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Graphics
Para limpiar funciones
Clear f
Clear g
Ahora se pueden dar otros valores de funciones
GRAFICADEFUNCIONES DADAS POR VARIAS DES IGUALDADES
f x_ : Abs x ; x 0; f x_ : Abs x ; x 0;
f x_ : 0 ; x 0
Plot Abs x , x, 1, 1 ;
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
0.5
1
Abs función Valor Absoluto
Clear f
2
f x_ : x ; x 2; f x_ : 4 ; x
Plot f x , x, 5, 5 ;
2;
10
8
6
4
2
-4
f 5
150
-2
2
4
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4
LIMITE
Calcularemos el límite de 1 x sin definir previamente la función
Limit 1 x, x 0
Plot 1 x, x, 10, 10
7.5
5
2.5
-10
-5
5
10
-2.5
-5
-7.5
-10
Graphics
1 Cos x2
Limit
,x
x4
1
0
2
1
Cos x2
Plot
, x, 5, 5
x4
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-4
-2
2
4
Graphics
Limite para x tendiendo a infinito
Limit 1 x, x
0
Para graficarla
Plot 1 x, x, 0, 100
2
1.5
1
0.5
20
Graphics
151
40
60
80
100
152
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FACULTAD REGIONAL RIO GRANDE
Teoría : Análisis Matemático
Ing. Alvarez Francisco
Para x tendiendo a menos infinito
Limit 1 x, x
0
Para evitar el mensaje ¨Graphics¨como ¨Out¨de ¨In¨correspondiente
se agrega¨ ; ¨al final del comando Plot.
Plot 1 x, x, 100, 0.001 ;
1
0.5
-100
-80
-60
-40
-20
-0.5
-1
-1.5
-2
Definiremos la función
Sen x x
S in x
f x_
x
Sin x
x
Observese que cuando se colocan¨ : ¨antes del signo ¨
reescribe la función pero la define.
g x_ : x2
LIMITES LATERALES
Clear f
f x_
1 x
1
x
Limite por Izquierda
Limit f x , x 0, Direction
1
Limite por derecha
Limit f x , x 0, Direction
1
Para graficar tres funciones juntas
y
y
x
x
y f x
Plot x, x, f x , x,
152
10, 10 ;
¨ , no
153
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Teoría : Análisis Matemático
Ing. Alvarez Francisco
20
10
-10
-5
5
10
-10
-20
Para obtener raices
Clear f
1
f x_
2
x x 2
1
2 x x2
Vamos a resolver el denominador
Denominator f x
2
2 x x
Solve Denominator f x
0, x
x
2, x 1
Clear f
Vamos a graficar ahora con el comando Showy veremos
los distintos tipos de graficos.
2
f x_ : x ; x 2; f x_ : 4 ; 2
Plot f x , x, 2, 6
x
4; f x_ : x ; x
6
5
4
3
2
1
-2
Graphics
Plot f x , x,
2
4
6
1
2
2, 2
4
3
2
1
-2
-1
Graphics
Para ver el recuadro
Show %, Frame True
153
4
154
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Teoría : Análisis Matemático
Ing. Alvarez Francisco
4
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
Graphics
Para colocar nombre a los ejes
Show %32, AxesLabel
eje x, eje y
eje y
4
3
2
1
-2
-1
1
2
eje x
Graphics
Para colocar la cuadrícula
Show %33, GridLines Automatic
4
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
Graphics
%significa que se grafique la última salida
%33 significa que se grafique la función de la salida 33
Veamos ahora como se utiliza la función S olve
Ejemplo : S ea
a.x3
g x
b.x2
c.x
d
esta ecuación debe cumplir que :
g 0
g 1
g` 0
1
g`` 0
10
154
2
155
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Ing. Alvarez Francisco
Clear g
3
2
g x_
a x
b x
c x d
2
3
d cx bx ax
Solve g 0
2, g 1
2, g ' 0
a
4, b 5, c
1, d
2
1, g'' 0
10 , a, b, c, d
APENDICEIII
DERIVADA E INTEGRALES
Sabemos que la definiciòn de derivada es:
f´(x) =
los comandos ausar son :
D f x , xlím
f x
x 0
Ejemplo :
f x_
3 x2
x
3
x2
xo f x
x
Cos x
f´ x
x
Cos x
f' x
1
6x
Sin x
Para evaluarla en cero
f' 0
1
Para evaluarla en
f'
2
2
3
Con la otra notación
D f x ,x
1
6x
Sin x
Otro Ejemplo
g t_
2
2t
t
g' t
1
2
t
Para graficar la función y su derivada
Plot f x , f ' x , x,
,
155
156
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Teoría : Análisis Matemático
Ing. Alvarez Francisco
30
20
10
-3
-2
-1
1
2
3
-10
Graphics
Para hallar las derivadas sucesivas
Clear f
f x_
Sin x 2
Sin x
2
f' x
2 Cos x Sin x
f '' x
2 Cos x
2
2 Sin x
2
f ''' x
8 Cos x Sin x
O D f x , x, n
D f x , x, 3
, donde n es el orden de derivación
8 Cos x Sin x
Para comparar los graficos utilizamos
¨GraphicsArray¨ y ¨Show¨
Graficamos f x y sus derivadas y
g1 Plot f x , x, 1, 1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-1
Graphics
g2
-0.5
Plot f ' x , x, 1, 1
156
0.5
1
157
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Teoría : Análisis Matemático
Ing. Alvarez Francisco
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
0.5
1
0.5
1
-0.5
-1
Graphics
g3
Plot f '' x , x, 1, 1
2
1.5
1
0.5
-1
-0.5
-0.5
Graphics
g4
Plot f ''' x , x, 1, 1
4
2
-1
-0.5
-2
-4
Graphics
GraphicsArray
GraphicsArray
Show %
157
g1, g2 , g3, g4
158
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Teoría : Análisis Matemático
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-1 -0.5
1
0.5
-1 -0.5
-0.5
0.5
-0.5
-0.5
0.5
1
0.5
1
-1
1
2
1.5
1
0.5
-1
Ing. Alvarez Francisco
4
2
-1 -0.5
0.5
1
-2
-4
GraphicsArray
Otro ejemplo
f2 x_
x4 1
x4
1
h1
Plot f2 x , x, 1, 1
1.1
1.08
1.06
1.04
1.02
-1
Graphics
h2
-0.5
0.5
1
Plot f2 ' x , x, 1, 1
0.075
0.05
0.025
-1
-0.5
0.5
-0.025
-0.05
-0.075
Graphics
h3
Plot f2 '' x , x, 1, 1
158
1
159
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Teoría : Análisis Matemático
Ing. Alvarez Francisco
12
10
8
6
4
2
-1
Graphics
h4
-0.5
0.5
1
Plot f2 ''' x , x, 1, 1
20
10
-1
-0.5
0.5
1
-10
-20
Graphics
Que corresponde a :
f2 x
f2 ' x
f2 '' x
f2 ''' x
1 x4
4 x3
12 x2
24 x
Para graficar las cuatro funciones juntas
GraphicsArray
h1, h2 , h3, h4
GraphicsArray
Show %
159
160
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Teoría : Análisis Matemático
1.1
1.08
1.06
1.04
1.02
Ing. Alvarez Francisco
0.075
0.05
0.025
-1
-1 -0.5
0.5
1
12
10
8
6
4
2
-0.5
-0.025
-0.05
-0.075
0.5
1
0.5
1
20
10
-1
-1 -0.5
0.5
1
-0.5
-10
-20
GraphicsArray
Si quiero comparar la función con la derivada primera y segunda
GraphicsArray
h1, h1 , h2, h3
GraphicsArray
Show %
1.1
1.08
1.06
1.04
1.02
1.1
1.08
1.06
1.04
1.02
-1 -0.5
0.5
1
-1 -0.5
0.075
0.05
0.025
-1
-0.5
-0.025
-0.05
-0.075
0.5
0.5
1
0.5
1
12
10
8
6
4
2
1
-1 -0.5
GraphicsArray
Para hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto.
Usamos
P0 x0 , f x0
y x
f ' x0 x x0
f x0
Ejemplo :
Dada
f x
3. x2 7. x
Calcular la tangente en x
2
Clear f
f x_
3. x2 7. x
3. x2
7. x
t x_
2.
5.
Plot
160
f' 2
2
x
2
f 2
x
f x ,t x
, x, 5, 5
161
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Teoría : Análisis Matemático
Ing. Alvarez Francisco
20
-4
-2
2
4
-20
-40
Graphics
Ejemplo :
Dadas
y f x
x2
y g x
2. x 3 2
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva
g x que es paralela a la tangente a f x en P0 1, 1
primero graficamos las dos funciones.
f x_
x2
x2
g x_
2
3
Plot
2 x
x
3
2
2
f x ,g x
, x, 2, 6
;
25
20
15
10
5
-2
tf x_
1
2
Plot
161
f' 1
1
x
1
2
f 1
4
6
x
f x , tf x , g x
, x, 2, 6
;
162
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Teoría : Análisis Matemático
Ing. Alvarez Francisco
25
20
15
10
5
-2
2
4
6
-5
Solve
g' x
x
2
tg x_
1
g'
7
2
2
f' 1
, x
7
Plot
2
7
2
X
7
2
g
7
2
X
f x , tf x , g x , tg x
, x,
2, 6
25
20
15
10
5
-2
2
4
-5
Para integrar
Clear f
f x_
x2 Sin x
x2
Sin x
f x
x3
3
x
Cos x
Para calcular la integral definida
f x_
4
4
x2
2
f x
x
0
Otro ejempo
162
x2
6
;
163
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Teoría : Análisis Matemático
x
3
x2
Ing. Alvarez Francisco
x
x2
3
f x_
x2
x
1
1
x2 1
x 1
Para simplificar esta función
Simplify f x
1
x
f1 x_
Sign x
Sign x
Plot
f1 x
, x, 6, 6
;
1
0.5
-6
-4
-2
2
-0.5
-1
f1 3
1
f1
4
1
163
4
6