Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Identidades Trigonométricas Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas). Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas. Relación pitagórica sen 2 cos 2 1 tan Identidad de la razón sen cos De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si sen 21 la conversión propuesta en la tabla indica que cos 1 - sen 2 3 2 , aunque es posible que obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ. Funciones de ángulos negativo sen - sen cos - cos cot - Cot sec - sec tan - tan csc - Csc cos 3 2 . Para Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Fórmulas de adición. sen sen cos cos sen tan cos cos cos sen sen tan tan 1 tan tan cot cot tan 1 cot cot Funciones trigonométricas en función de las otras cinco. En términos de Sen Cos sen sen 1 cos 2 Cos 1 sen 2 Cos sen Tan 1 sen 2 cot 1 sen 2 sen Sec 1 Csc Tan Sec Csc 1 sec 2 1 sec 1 Csc 1 sec Csc 2 1 Csc tan 1 tan 1 cot 1 Cot 2 2 1 tan 1 cot 1 cos 2 cos Tan 1 cot sec 2 1 Cos 1 tan cot 1 1 tan 2 1 cot 2 cot 1 tan 2 tan 1 cot 2 2 1 cos 2 1 sen 1 cos 1 ses 1 cos 2 2 cotan 1 2 sec 2 1 Sec sec sec 2 1 1 Csc 2 1 Csc 2 1 Csc Csc 2 1 Csc Identidades de ángulos múltiples Si Tn es el n-ésimo Polinomio de Chebyshev entonces cos nx Tn cos x Formula de De Moivre: cos nx i sen nx cos x i sen x Identidades para ángulos doble, triple y medio Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea sen x x sen 2 x ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la fórmula de De Moivre cuando n 2 . Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Fórmula del ángulo doble sen 2 2sen cos sen 2 2 tan 1 tan 2 cos 2 cos 2 - sen 2 cos 2 2 cos 2 1 tan 2 cos 2 1 2 sen 2 cos 2 1 tan 2 1 tan 2 2 tan cot tan Cot 2 2 2 1 tan Fórmula del ángulo triple sen 3 3sen 4 sen3 cos 3 4 cos 3 3 cos tan 3 3 tan tan 3 1 3 tan 2 Fórmula del ángulo medio sen 1 cos 2 2 cos 1 cos 2 2 Producto infinito de Euler: tan Csc cot 2 tan 1 cos 2 1 cos tan sen 2 1 cos cot csc cot 2 sen cos cos cos cos n 2 4 8 2 n1 Identidades para la reducción de exponentes Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para sen2 x y cos2 x . Sen sen2 1 - cos 2 2 sen3 3sen - sen 3 4 Cos cos 2 1 cos 2 2 cos3 3sen - sen3 4 Otros sen2 cos 2 1 - cos 4 8 sen 3 cos3 sen 3 2 8 cos5 10 cos 5cos 3 cos 5 16 Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Paso de producto a suma Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros. cos cos cos cos 2 sen sen cos cos 2 sen cos sen sen 2 cos sen sen sen 2 Deducción de la identidad cos cos Sabemos por el teorema de la suma y la resta que: 2 cos cos cos sen sen Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles cos cos casos: i. cos cos cos sen sen ii. cos cos cos sen sen Si tomamos la ecuación i y despejamos cos cos nos queda que: iii. cos cos cos sen sen ii al miembro izquierdo de la ecuación iii, y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación ii en el lado derecho de la ecuación iii (al sumar la Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría: cos cos sen sen cos cos cos sen sen cos - Simplificando el elemento sen sen y sumando cos cos quedaría: 2 cos cos cos cos Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda: cos cos cos cos 2 Nota: Este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores. Usando iii y el resultado anterior se obtiene también: sen sen cambio de signo. cos cos Notar el 2 Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Funciones trigonométricas inversas Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son: Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. Se nota arcsen . El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor. La función arcoseno real es una función - 1,1 0 ,2 , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor: x 1 - 2 1 x3 1 3x5 1 3 5 x 7 arcsen x -1 x 1 2 3 2 4 5 2 4 6 7 x1 2 Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. Se nota arccos . El significado geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor. Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como: arcsen arsen 2 Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. Se nota arctan . El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor. A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es: x3 x5 x7 x 1 x 3 5 7 arctan . 1 1 1 con x 1, con x -1 2 x 3 x 3 5 x 5 2 , arctan ar cot , 2 si x 0 si x 0 arctan arctan arctan 1 - Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Series de potencias A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por: 1k x 2 k 1 x x 3 x 5 x 7 1! 3! 5! 7! k 0 2k 1! sen k 1 x 2 k cos 2k ! k 0 x x2 x4 x6 0! 2! 4! 6! Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma. Relación con la exponencial compleja Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas según la fórmula de Euler: e i cos i sen Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas: cos ei e i ; 2 sen ei e i 2i A partir de ecuaciones diferenciales Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad: y y Es decir, la segunda derivada de cada función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación, y0 , y 0 1,0 La función seno es la única solución que satisface la condición inicial Y La función coseno es la única solución que satisface la condición inicial y0 , y 0 0,1 Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, juntas pueden formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno. Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y y implica que son funciones eigen del operador de la segunda derivada. La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal y 1 y 2 satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial. Referencias: Stewart, J. “Cálculo. Trascendentes tempranas”.Cengage Learning. Sexta edición. 2008. Texto guía del curso. Stewart. Weisstein, E.W: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall 1999 Heath, Sir Thomas (1921) (en inglés). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918. «Esquema del desarrollo histórico de la matemática» págs. pág. 6. Universidad Nacional del Nordeste. J J O'Connor y E F Robertson. «Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani» (en inglés) (html). Consultado el 08-06-2008. «La trigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi» (en catalán) (html). Consultado el 08-06-2008. «Al-Kashi, Gamshid ibn Messaoud» (en francés). Viète, François (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia Mettayer. OCLC165919384. Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp. 439–445. ISBN 0471-54397-7.