Capítulo 1 y 2 interes, descuento y rentas

Índice general
1 Interés y Descuento
1.1 El tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Fenómenos en los que el tiempo opera como elemento
subyacente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Valor tiempo del dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Tasa efectiva de interés (i) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Leyes de interés simple y compuesto . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Equivalencia de tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Tasa nominal de interés compuesto . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Inflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Tasa efectiva de inflación (h): . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tasa real (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Devaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Tasa de devaluación (dev) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Equivalencia de tasas moneda nacional - moneda extranjera
1.5 Descuento de Documentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Tasa de descuento efectiva (d) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Distintos Tipos de Descuento . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Interés simple y descuento racional simple,
interés compuesto y descuento racional compuesto . . . . . .
1.5.4 Interés simple y descuento comercial simple,
interés compuesto y descuento comercial compuesto . . . . .
1.5.5 Tasa nominal de descuento comercial compuesto (fm ) . . . .
1.5.6 Equivalencia de tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Rentas
2.1 Rentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Algunas definiciones y componentes de una renta . . . .
2.1.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Rentas de cuotas constantes . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Saldos y Amortización de una deuda . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Saldos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Amortización de deudas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Cuadro de Amortización e Interés . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Deudas pagaderas con cuotas de amortización constante
2.3 Rentas Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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18
18
20
20
20
. . . . . . . 25
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. . . . . . . 26
. . . . . . . 26
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45
Matemática Financiera - 2020
2.3.1
2.3.2
2.3.3
Rentas Perpetuas de Cuotas Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Rentas Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Rentas y tasa real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2
Capı́tulo 1
Interés y Descuento
3
Matemática Financiera - 2020
1.1
1.1.1
El tiempo
Fenómenos en los que el tiempo opera como elemento
subyacente
La realidad nos enfrenta a cada momento con toda una serie de fenómenos en los que el tiempo
opera como elemento subyacente; enumeramos algunos ejemplos:
1. es bien conocido el efecto que produce el tiempo como elemento determinante del desgaste
que sufre una máquina, de la vida o la muerte de las personas, de la evolución del salario
real
2. el tiempo está presente en fenómenos como la inflación, los intereses generados por un
cierto capital, el descuento que se realiza sobre el importe de un determinado documento
(conformes, pagarés, etc.), cuyo vencimiento se da en el futuro, el importe de las cuotas
que debemos abonar por una compra a crédito
3. los beneficios (o perjuicios) que causa el adelanto (o retraso) del cobro de nuestro sueldo,
por ejemplo por un feriado largo (turismo, carnaval, etc)
En todos estos fenómenos el tiempo contribuye a su ocurrencia pero no es el único factor. Por
ejemplo, si decidimos instalar una heladerı́a a modo de inversión, para obtener ingresos futuros,
más allá de que la generación de tales ingresos se vaya sucediendo en el transcurso del tiempo,
el nivel de estos estarı́a condicionado por la presencia de otros factores como el clima, el lugar
geográfico donde esté ubicada la heladerı́a, la presencia o no de otro establecimiento del mismo
ramo en una zona cercana, la evolución de los precios de las materias primas, etc..
Es la presencia de estos otros factores, de los cuales podemos tener o no un conocimiento más
o menos exacto, la que determina que los fenómenos que estamos analizando sean considerados
ciertos o simplemente posibles. Nos limitaremos a aquellos factores que consideraremos determinados, perfectamente previsibles.
1.1.2
Valor tiempo del dinero
No es lo mismo disponer de $ 1000 hoy, que dentro de un año aunque no haya inflación, durante
ese tiempo transcurrido el dinero puede ser utilizado de diferentes maneras, como por ejemplo
colocarse a interés.
En términos financieros una cifra monetaria (cantidad de dinero) es una magnitud relativa que
adquiere significación cuando está referida a un cierto instante del tiempo.
Las cifras monetarias no tienen el mismo tratamiento contable que financieramente. Desde el
punto de vista financiero no pueden sumarse cantidades de dinero de distinto momento del
tiempo porque son magnitudes heterogéneas.
Iguales cifras monetarias, expresadas en distintos momentos, financieramente no son iguales.
Es ası́ que si tenemos un trabajo por el que nos pagan $1.000 al fin de cada mes, nos resultarı́a
inaceptable que nos propusieran pagarnos sustitutivamente $6.000 al final de cada semestre.
Esto según veremos nos llevará a la necesidad de definir leyes que nos permitan movernos en
el tiempo para volver homogéneas magnitudes que no los son, y ası́ poder compararlas.
4
Matemática Financiera - 2020
1.2
Interés
Suponiendo que se dispone de un determinado capital de C unidades monetarias el cual se
coloca a interés durante n unidades de tiempo, en el momento n, o sea al vencimiento, se
tendrá una mayor cantidad de unidades monetarias, llamado monto, M . La diferencia entre
estos dos valores (M − C) es el interés I.
M −C =I
(1.1)
A partir de lo anterior se puede definir el interés, I, como el rendimiento que ha generado
el capital C al haber sido colocado durante n unidades de tiempo. Ası́ despejando de (1.1)
tenemos
(1.2)
C +I =M
colocando esto en una lı́nea de tiempo tenemos:
Observemos que el capital es un valor al momento 0 o valor presente V P , mientras que el monto
es un valor al momento n o valor futuro V F y que la diferencia entre estos dos valores es lo
que se ha definido como interés. Reescribiendo (1.2) resulta
VP +I =VF
1.2.1
Tasa efectiva de interés (i)
Se define tasa efectiva de interés al interés generado por una unidad monetaria durante una
unidad de tiempo.
1.2.2
Leyes de interés simple y compuesto
Para calcular el valor futuro generado por un valor presente a colocado interés durante n
unidades de tiempo existen dos forma de cḿ alculo: el interés simple y el interés compuesto.
Interés simple
En interés simple lo que genera interés durante una unidad de tiempo (cualquiera sea ella) es
siempre el valor de la colocación original.
5
Matemática Financiera - 2020
Queremos saber cuál será el valor futuro V F que genera un valor presente V P , colocado a
una determinada tasa efectiva i de interés simple definida en una cierta unidad de tiempo durante n perı́odos (suponiendo que n esta expresado en la misma unidad de tiempo en la que
está definida i).
Durante la primera unidad de tiempo, esto es el perı́odo (0, 1), se ha colocado $ V P , considerando que por $ 1 se generan $ i de interés por su colocación durante una unidad de tiempo,
se llega a que el interés generado en el perı́odo (0, 1), será $ V P · i.
=
Ası́ pues, el valor de la colocación en el momento 1 será igual a lo que tenı́amos en el momento
0 más lo que se generó de interés en este perı́odo y por ende el valor de la colocación en el
momento 1 será de $ (V P + V P · i).
I0,1 = V P · i
V F1 = V P + V P · i
En la segunda unidad de tiempo lo que genera interés es el mismo valor presente V P , que habı́a
generado interés en la primera unidad de tiempo y por lo tanto:
I1,2 = V P · i
V F2 = V P + V P · i + V P · i = V P · (1 + 2i)
y para la k-ésima unidad de tiempo, análogamente:
V Fk = V P + V
· · + V P · }i = V P · (1 + ki)
| P · i + ·{z
Ik−1,k = V P · i
k veces
Finalmente para la última unidad de tiempo:
In−1,n = V P · i
V Fn = V P · (1 + ni)
de donde, recordando que V Fn es lo que se habı́a definido como valor futuro V F :
V F = V P · (1 + ni)
El total de intereses generados entre 0 y n será la suma de los intereses generados en cada una
de las unidades de tiempo, esto es:
I=
n
X
Ik−1,k =
k=1
n
X
VP ·i=VP ·i·n
k=1
donde n e i están expresados en la misma unidad de tiempo.
Ejemplo 1
Calcular el interés y el monto que producen $ 200.000 colocados a interés simple en cada uno
de los siguientes casos:
1. un año y medio al 2% efectivo mensual.
2. 4 meses al 50% efectivo anual.
3. 10 meses al 9% efectivo trimestral.
6
Matemática Financiera - 2020
Solución:
V P = $200.000
1. im = 0, 02, n = 18, ⇒ I = $200.000 · 0, 02 · 18 = $72000 y V F = $200.000 + $72000 =
$272.000
4
= 13 , ⇒ I = $200.000 · 0, 5 ·
2. ia = 0, 5, n = 12
$33.333, 33 = $233.333, 33
3. it = 0, 09, n =
$260.000
10
,
3
⇒ I = $200.000 · 0, 09 ·
10
3
1
3
= $33.333, 33 y V F = $200.000 +
= $60.000 y V F = $200.000 + $60.000 =
Ejemplo 2
Se coloca cierta suma de dinero al 7% efectivo semestral de interés simple y al cabo de 2 meses
y 10 dı́as se retira el total del dinero que asciende a $ 18.490.
Calcular la suma de dinero colocada.
Observación: En este curso, y salvo que se especifique lo contrario, consideraremos año comercial (12 meses de 30 dı́as cada uno).
Solución:
is = 0, 07 n =
2, 333
6
2, 333
V P = V F − I = $18.490 − V P · 0, 07 ·
6
⇒ V P · 1, 0272 = $18.490
V F = $18.490
2, 333
⇒ V P · 1 + 0, 07 ·
= $18.490
6
⇒VP =
$18.490
= $18.000
1, 0272
Interés compuesto
En interés compuesto lo que genera interés durante una unidad de tiempo es el valor de la
colocación al comienzo de la unidad de tiempo que se está analizando.
En interés compuesto, los intereses que se van generando pasan a formar parte de aquella
masa que genera interés, a este proceso se le conoce como capitalización de intereses.
El problema será ahora saber cuál es el valor futuro V F que genera un determinado valor
presente V P , colocado a una determinada tasa efectiva i de interés compuesto definida en una
cierta unidad de tiempo durante n perı́odos (suponiendo que n esta expresado en la misma
unidad de tiempo en la que está definida i).
Durante la primera unidad de tiempo, esto es el perı́odo (0, 1), lo que genera interés es el
valor de la colocación al comienzo de tal perı́odo, es decir V P .
I0,1 = V P · i
V F1 = V P + I0,1 = V P + V P · i = V P · (1 + i)
En la segunda unidad de tiempo lo que genera interés es el valor de la colocación al comienzo
de la unidad de tiempo considerada, o lo que es lo mismo, el valor de la colocación al final de
la unidad de tiempo inmediata anterior.
I1,2 = V F1 · i = V P · (1 + i) · i
7
Matemática Financiera - 2020
con lo cual
V F2 = V F1 + I1,2 = V P · (1 + i) + V P · (1 + i) · i = V P (1 + i)2
Aplicando el mismo razonamiento, el interés en la tercera unidad de tiempo será:
I2,3 = V F2 · i = V P · (1 + i)2 · i
con lo cual:
V F3 = V F2 + I2,3 = V P · (1 + i)2 + V P · (1 + i)2 · i = V P (1 + i)3
y generalizando para las restantes unidades de tiempo, se llega a que el valor de la colocación
en el momento n, o valor futuro es:
V F = V P · (1 + i)n
Además recordando que I = V F − V P , tenemos que:
I = V P · [(1 + i)n − 1]
donde n e i están expresados en la misma unidad de tiempo.
Ejemplo 3
Calcular el monto al cabo de un año, si deposito $ 1.000 a interés compuesto, a las siguientes
tasas de interés:
a) 8 % efectivo mensual.
b) 20 % efectivo bimestral.
c) 60 % efectivo cuatrimestral.
Solución:
a) im = 0, 08 y n = 12 ⇒ V F = 1000(1 + 0, 08)12 = $2518, 17
b) ib = 0, 2 y n = 6 ⇒ V F = 1000(1 + 0, 2)6 = $2985, 98
c) ic = 0, 6 y n = 3 ⇒ V F = 1000(1 + 0, 6)3 = $4096
Ejemplo 4
El 31/12/04, se depositó en un banco la suma de $ 20.000, a una tasa de interés del 40% efectivo
anual. Calcular el monto que se tiene en la cuenta en las fechas siguientes: 28/02/05, 30/06/05,
31/12/05.
Solución:
31/12/04
28/02/05
30/06/05
31/12/05
7→
7→
7→
7→
$20.000 ia
2
n = 12
= 16
6
n = 12
= 12
=1
n = 12
12
= 0.4
V F = V P · (1 + i)n
1
⇒ V F = $20.000 · (1 + 0.4) 6 = $20.000 · 1, 05768 = $21.153, 62
1
⇒ V F = $20.000 · (1 + 0.4) 2 = $20.000 · 1, 1832 = $23.664, 32
⇒ V F = $20.000 · (1 + 0.4)1 = $20.000 · 1, 4 = $28.000
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Matemática Financiera - 2020
Comparación de los valores futuros generados a interés simple y compuesto
Suponiendo que se dispone de un determinado valor presente V P que se coloca durante n
unidades de tiempo a una tasa efectiva de interés i (i y n están definidas en la misma unidad de
tiempo). Teniendo la posibilidad de hacer la colocación a interés simple o a interés compuesto,
¿qué posibilidad resulta más conveniente?
En realidad a lo que apunta la pregunta es a ver cómo evolucionan, comparativamente en
el tiempo, el valor futuro a interés simple (V Fs ) respecto al valor futuro a interés compuesto
(V Fc ).
V Fs = V P (1 + i · n)
V Fc = V P (1 + i)n
Teniendo en cuenta que lo que nos interesa analizar es V Fs y V Fc en función de n, gráficamente
resulta:
V Fs es una función lineal, creciente respecto a n, mientras que V Fc tiene un crecimiento
exponencial respecto a la misma variable.
Concluyendo:
para n = 0
V Fs = V Fc = V P
para 0 < n < 1 V Fs > V Fc
para n = 1
V Fs = V Fc = V P · (1 + i)
para n > 1
V Fs < V Fc
Verifique el lector que se cumplen tales relaciones: utilice para ello un planteo geométrico y
otro analı́tico.
1.2.3
Equivalencia de tasas
Se dice que dos tasas (ambas de interés simple o ambas de interés compuesto) son equivalentes
cuando iguales valores presentes luego de iguales cantidades de tiempo se transforman en iguales
valores futuros.
El procedimiento general para obtener la relación que deben cumplir dos tasas cualesquiera
para que sean equivalentes consiste en:
a) plantear las respectivas fórmulas que relacionan valores presentes y valores futuros en un
perı́odo de n unidades de tiempo.
b) igualar los valores futuros y simplificar lo que corresponda.
9
Matemática Financiera - 2020
Es de destacar que tratándose de tasas definidas en diferentes unidades de tiempo se debe tener
especial cuidado en igualar los valores futuros luego que hayan transcurrido iguales cantidades
de tiempo.
Supongamos que contamos con un capital V P y lo colocamos a n años, a una tasa efectiva
anual ia , obteniendo al final del plazo un monto de V F ; por otra parte el mismo capital es
colocado el mismo tiempo a una tasa efectiva mensual im , si las tasas son equivalentes, al final
del plazo, se obtendrá el mismo monto V F . Queremos saber cuál es la relación entre esas dos
tasas, para ello deberemos expresar el plazo de n años en años y en meses (o sea 12n meses),
entonces tenemos que
V F = V P (1 + ia )n V F = V P (1 + im )12n
pero como los valores futuros son iguales tenemos que
V P (1 + ia )n = V P (1 + im )12n ⇒ (1 + ia )n = (1 + im )12n
1 + ia = (1 + im )
126n
6n
⇒ ia = (1 + im )12 − 1
análogamente
1
im = (1 + ia ) 12 − 1
Ejemplo 5
Repetimos lo hecho en el ejemplo 4
31/12/01
28/02/02
30/06/02
31/12/02
7→
7→
7→
7→
1
$20.000 ia = 0.4 ⇒ im = (1 + 0, 4) 12 − 1 = 0, 028436
n = 2 ⇒ V F = $20.000 · (1 + 0.028436)2 = $21.153, 62
n = 6 ⇒ V F = $20.000 · (1 + 0.028436)6 = $23.664, 32
n = 12 ⇒ V F = $20.000 · (1 + 0.028436)12 = $28.000, 00
Observese que en el ejemplo 4, se ha utilizado la tasa efectiva anual, y que en el ejemplo 5,
utilizando la tasa efectiva mensual equivalente hemos obtenido los mismos resultados.
Ejemplo 6
Calcular el capital que debe depositarse hoy al 79,58563% efectivo anual (de interés compuesto)
para poder retirar al cabo de 15 meses $ 103.946,4, utilizando en el planteo la tasa efectiva mensual equivalente.
Solución:
im = (1 + ia )1/12 − 1 = 0.05
V F = V P (1 + i)n ⇒ V P =
VF
(1+i)n
−15
V P = $103.946, 40 · (1 + 0.05)
= V F (1 + i)−n
= $50.000.
Ejemplo 7
Calcular durante cuántos meses hay que dejar depositado un capital de $ 120.000 al 20% efectivo anual de interés compuesto, para alcanzar el importe de $135.509,2.
Solución:
im = (1 + ia )1/12 − 1 = 0.01530947
n
V F = V P (1 + i)
⇒
VF
= (1 + i)n ⇒ ln
VP
VF
VP
= ln (1 + i)n = n ln (1 + i)
10
Matemática Financiera - 2020
ln VV PF
ln 135.509,20
120.000
⇒ n=
=
=8
ln (1 + i)
ln (1, 01530947)
entonces el tiempo necesario es de 8 meses.
Ejemplo 8
Una persona solicitó un préstamo de U$S 10.000 que canceló a los cinco meses devolviendo U$S
10.510,1. Calcule la T.E.A. (tasa efectiva anual) aplicada.
Solución:
V F = V P (1 + i)
⇒ im =
1.2.4
n
⇒
10.510.10
10.000
15
VF
VP
n1
= (1 + i) ⇒ i =
VF
VP
n1
−1
− 1 = 0, 01 ⇒ ia = 1, 0112 − 1 = 0, 126825
Tasa nominal de interés compuesto
La tasa nominal de interés compuesto jm está definida en un cierto perı́odo y tiene m capitalizaciones en esa unidad de tiempo.
jm
es la tasa efectiva en el perı́odo de capitalización.
m
Ejemplo 9
a) tasa nominal anual con 12 capitalizaciones del 24%:
0, 24
j12
=
= 0, 02 = im
12
12
b) tasa nominal anual capitalizable trimestralmente del 16%:
j4
0, 16
=
= 0, 04 = it
4
4
c) tasa nominal anual con 2 capitalizaciones del 20%:
j2
0, 2
=
= 0, 1 = is
2
2
11
Matemática Financiera - 2020
Ejemplo 10
Calcular la tasa efectiva de interés anual equivalente a cada una de las siguientes tasas:
a) tasa de interés anual nominal del 30% capitalizable cuatrimestralmente.
b) tasa de interés anual nominal del 30% capitalizable mensualmente.
c) tasa de interés anual nominal del 30% capitalizable bimestralmente.
Luego determinar la opción más conveniente para una persona que coloca el dinero en un banco
y se le presentan las tres opciones anteriores.
Solución:
a)
j3
0, 3
=
= 0, 1 = ic ⇒ ia = (1 + 0, 1)3 − 1 = 0, 331
3
3
b)
j12
0, 3
=
= 0, 025 = im ⇒ ia = (1 + 0, 025)12 − 1 = 0, 344889
12
12
c)
j6
0, 3
=
= 0, 05 = ib ⇒ ia = (1 + 0, 05)6 − 1 = 0, 3400956
6
6
La opción más conveniente es la b)
Observación: ¿Cuál es el V F que genera un V P colocado a una tasa nominal jm durante n
unidades de tiempo (n y jm definidas en igual unidad de tiempo)?
Vale la pena que el lector observe que jmm es la tasa efectiva de interés para el perı́odo de
m
capitalización y que 1 + jmm − 1 es la tasa efectiva para la unidad de tiempo en que está
definida la tasa nominal (que equivale a m perı́odos de capitalización), y de allı́ se deduce que:
m·n
jm
VF =VP 1+
m
Es posible razonar este resultado teniendo en cuenta que jmm es la tasa efectiva en el perı́odo
de capitalización y que en n unidades de tiempo en que está definida jm hay m · n perı́odos de
capitalización.
Ejemplo 11
El 31/01/01 Juan solicitó un préstamo en el Banco de Tuston por U$S 5.000. El banco le
aplica las siguientes tasas de interés: durante el año 01: 12,06% nominal anual capitalizable
bimestralmente. durante el año 02: 24,4832% nominal anual capitalizable trimestralmente. Se
pide: Calcular el monto que deberá abonar Juan al banco por el préstamo cuyo vencimiento es
30/09/02.
Solución:
año 01: j6 = 0, 1206 ⇒ ib = j66 = 0,1206
= 0.0201 ⇒ im = 0, 01
6
j4
0,244832
año 02: j4 = 0, 244832 ⇒ it = 4 =
= 0.061208 ⇒ im = 0, 02
4
V F31/12/01 = V P (1 + 0, 01)11 = 5.000 · 1, 0111 = 5.578, 34
V F30/09/02 = V F31/12/04 (1 + 0, 02)9 = 5.578, 34 · 1, 029 = 6.666, 63
12
Matemática Financiera - 2020
Otra forma de verlo serı́a:
V F30/09/02 = V F31/12/01 (1 + 0, 02)9
y sustituyendo V F31/12/01 por su expresión tenemos que:
V F30/09/02 = V P (1 + 0, 01)11 (1 + 0, 02)9 = 5000 · 1.0111 · 1.029 = 6.666, 63
Caso particular
cuando las capitalizaciones por unidad de tiempo tienden a infinito, o sea el perı́odo de capitalización tiende a cero, en ese caso la capitalización es instantánea. Ası́:
m·n
m ·j ·n
jm
jm jm m
V F = lim V P 1 +
= V P lim 1 +
m→∞
m→∞
m
m
Recordando que 1 +
jm
m
jm
m
→ e y si llamamos δ a jm , tenemos que
m→∞
V F = V P · eδ·n
Ejemplo 12
¿Cuál es el monto generado por un capital de $10.000 colocados a una tasa nominal de capitalización instantánea del 10 % anual si la colocación se hace a 1 mes?
Solución:
1
V F = 10.000 · e0,1 12 = 10.083, 68
1.2.5
Aplicaciones
Interés Simple
El interés simple, dada su fórmula lineal de cálculo, es más utilizada en las transacciones
entre particulares, también es utilizada para el cálculo de los intereses de los bonos, y de los
intereses de la ley 14.500 (Cálculo de las liquidaciones de obligaciones de litigios)
Para el pago de obligaciones que surgen de un proceso judicial se establece el ajuste de las
sumas de dinero de acuerdo al IPC. A su vez para el cálculo del interés se utiliza el interés
simple a una tasa de 6% anual.
Ejemplo 13
Importe adeudado:100.000
Perı́odo de cálculo: Enero 2010 - FEB 2015
IPC ENE 2010: 285,07
IPC FEB 2015: 427,97
Importe 100.000 · 1,5012803=150.128,03
Intereses Legales
Cantidad de Meses 62
0, 06
150.128, 03 · 1 + 62 ·
= 196.667, 72
12
13
Matemática Financiera - 2020
Interés Compuesto
Es utilizado en la mayorı́a de los cálculos de las instituciones financieras, ya sean depósitos
o préstamos, por tal motivo en los ejercicios del curso que involucren operaciones bancarias, se
entenderá que los cálculos se realizarán aplicando la ley del interés compuesto.
14
Matemática Financiera - 2020
1.3
Inflación
En general hemos visto que los valores futuros son mayores que los valores presentes en términos
de unidades monetarias. Pero ¿esto significa que el poder adquisitivo del valor futuro es mayor
que el poder adquisitivo del valor presente? La respuesta es: no necesariamente. Esto nos lleva
a introducir el concepto de inflación.
En el curso veremos la inflación es el crecimiento sostenido de los precios.
1.3.1
Tasa efectiva de inflación (h):
Es el crecimiento que sufre el precio de una determinada canasta de bienes y servicios, expresado en tanto por uno durante una unidad de tiempo.
Es importante tener presente que la canasta de bienes y servicios particular a la que hace referencia la definición anterior puede ser diferente según cual sea la situación concreta que interese
analizar.
A modo de ejemplo, se utiliza como indicador del proceso inflacionario, el ı́ndice de precios
al consumo (IPC) elaborado por el Instituto Nacional de Estadı́stica (INE).
Los datos del IPC (base Diciembre 2010=100) para el perı́odo Diciembre 2016 a Enero 2019
son:
Año
2016
2017
2018
Mes
Dic
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
set
Oct
Nov
Dic
Ene
Feb
Mar
Abr
May
Jun
Jul
Ago
set
Oct
Nov
Dic
IPC inflación (h)
162,23
166,45
0,0260
167,28
0,0050
168,41
0,0068
168,78
0,0022
169,00
0,0013
169,25
0,0015
169,79
0,0032
171,10
0,0077
172,02
0,0054
172,81
0,0046
173,39
0,0034
172,86
-0,0031
177,55
0,0271
179,11
0,0088
179,61
0,0028
179,73
0,0007
181,19
0,0081
182,98
0,0099
184,07
0,0060
185,31
0,0067
186,23
0,0050
186,66
0,0023
187,34
0,0036
186,62
-0,0038
15
Matemática Financiera - 2020
La tasa efectiva de inflación de un cierto perı́odo es calculada como el cociente entre el IPC al
final del perı́odo sobre el IPC al final del perı́odo inmediato anterior menos 1, ası́, por ejemplo
la tasa de inflación para Enero 2017 es:
hene17 =
166, 45
IP Cene17
−1=
− 1 = 0, 0260
IP Cdic16
162, 23
La tasa de inflación del primer trimestre de 2017 es:
h1er
trim 17
=
168, 41
IP Cmar17
−1=
− 1 = 0, 0381
IP Cdic16
162, 23
También se podrı́a calcular como:
h1er
trim 17
= (1 + hene17 ) · (1 + hf eb17 ) · (1 + hmar17 ) − 1 =
= (1 + 0, 0260) · (1 + 0, 0050) · (1 + 0, 0068) − 1 = 0, 0381
Como se observa en el ejemplo, en definitiva, la inflación sigue la ley del interés compuesto.
1.3.2
Tasa real (r)
Cuando una persona concede un préstamo la tasa a la que efectúa dicho préstamo está condicionada por dos factores: la tasa de inflación esperada para el perı́odo del préstamo y una tasa
que lo recompense por el sacrificio que ha hecho de dejar de disponer del dinero, a esta última
se le llama tasa real:
i−h
(1 + i) = (1 + h) (1 + r) ⇒ r =
1+h
donde h, r e i están definidas para el mismo unidad de tiempo.
Es de notar que esta definición, y todo el párrafo, está visto desde la óptica del que concede el
préstamo.
Analice el lector el concepto de tasa real desde la perspectiva del que recibe el préstamo. Evalúe,
además, la razonabilidad de que la tasa de inflación esperada sea perfectamente previsible.
Ejemplo 14
El Sr. Pre Stamista concedió un préstamo el 31/10/17 al Sr. Sin Liquidez de $ 50.000. El
préstamo se canceló mediante un único pago el 28/02/18.
Calcular el importe que devolvió el Sr. Sin Liquidez y la tasa real anual que resultó en cada
uno de los siguientes casos, tomando en cuenta la información dada:
a) La tasa de interés efectiva cuatrimestral pactada fue la misma que la tasa efectiva de
inflación cuatrimestral desde que se concedió el préstamo hasta que se canceló.
b) La tasa de interés efectiva pactada fue el 1% mensual.
Solución:
a) Ya que ic = hc tenemos que rc = 0
179,11
hc = 172,81
− 1 = 0, 03646
V F = V P (1 + hc ) = 50.000(1, 03646) = 51.823
b) im = 0, 01 ⇒ ic = 0, 0406
= 0, 00399 ⇒ ra = 0, 01202
rc = 0,0406−0,03646
1,03646
V F = V P (1 + ic ) = 50.000(1, 0406) = 52.030
16
Matemática Financiera - 2020
Ejemplo 15
El 31/12/1 una empresa financió al 31/03/2 la deuda de un cliente por un importe de $ 15.000
y le cobró una tasa de interés del 21,55% efectivo anual.
Se sabe que las tasas efectivas mensuales de inflación fueron las siguientes:
• Enero : 1,5% efectivo mensual.
• Febrero : 1,2% efectivo mensual.
• Marzo : 0,9% efectivo mensual.
Se pide:
a) Calcular el monto que abonó el cliente al 31/03/2.
b) Determinar la tasa real efectiva trimestral de interés de la operación, y explique su significado desde el punto de vista de la empresa.
Solución:
1
it = 1, 2155 4 − 1 = 0, 05
ht = 1, 015 · 1, 012 · 1, 009 − 1 = 0, 03642462
a) V F = 15.000 · 1.05 = 15.750
b) rt =
0,05−0,03642462
1,03642462
= 0, 01309828 la empresa tuvo una ganancia de poder adquisitivo.
17
Matemática Financiera - 2020
1.4
Devaluación
La devaluación es la depreciación de una moneda (generalmente local) respecto de la moneda
de referencia .
1.4.1
Tasa de devaluación (dev)
Es el crecimiento que sufre el precio de una unidad monetaria de referencia en términos de la
moneda considerada (generalmente la local), expresado en tanto por uno durante una unidad
de tiempo.
La forma de cálculo de la tasa de devaluación para un perı́odo dado es el cociente entre el
tipo de cambio al final del perı́odo sobre el tipo de cambio al final del perı́odo inmediato
anterior menos 1, ası́, por ejemplo la tasa de devaluación para Enero del año 2 es:
devenero/2 =
1.4.2
T C31/01/2
−1
T C31/12/1
Equivalencia de tasas moneda nacional - moneda extranjera
Será de gran interés saber cuando dos tasas, una en moneda nacional y otra en moneda extranjera, son equivalentes. Aquı́ aplicaremos el mismo criterio visto para equivalencia de tasas,
o sea, si dos tasas, una i$ en moneda nacional y otra i$E en moneda extranjera son equivalentes, entonces a iguales valores presentes colocados durante iguales cantidades de tiempo dan
lugar a iguales valores futuros expresados en pesos, en este punto entrará en juego la tasa de
devaluación:
1 + i$ = (1 + dev) 1 + i$E
Ejemplo 16
Una persona poseı́a cierto capital en dólares al 31/12/1 y se le planteaba depositarlo por tres
meses en el banco XX que le ofrecı́a las siguientes opciones:
a) depositarlos en moneda nacional al 19% efectivo trimestral.
b) depositarlos en dólares al 0,5654% efectivo mensual.
Se sabe además que:
Fecha
31/12/1
31/01/2
29/02/2
31/03/2
tipo de cambio
dev
11,616
11,688
0,006198
11,764
0,006502
11,845
0,006885
Se pide:
1) Utilizando los datos disponibles, determinar cuál de las dos opciones que le ofrecı́a el
banco XX era la más conveniente.
2) ¿Cuál debió haber sido la tasa efectiva anual en pesos para que ambas opciones fueran
indiferentes?
18
Matemática Financiera - 2020
Solución:
la devaluación en todo el trimestre es devt = 0, 0197142
1) en moneda nacional i$t = 0, 19. La tasa efectiva trimestral en pesos equivalente en la
operación en dólares será:
1 + i$t (eq) = (1 + devt )(1 + itU $S )
1 + itU $S = 1, 0056543 = 1, 017058
y sustituyendo en 1 + i$t (eq) tenemos
i$t (eq) = 1, 0197142 · 1, 017058 − 1 = 0, 0371
La colocación en moneda nacional rinde un i$t = 0, 19, la tasa equivalente en moneda
nacional de la colocación en dólares es i$t (eq) = 0, 0371. Por ende conviene la colocación
en pesos.
2) i$a (eq) = (1 + deva ) 1 + iUa $S − 1
deva = 1, 01971424 − 1 = 0, 081219443
iUa $S = 1.00565412 = 0, 07 entonces i$a (eq) = 0, 1569048
Ejemplo 17
El 31/07/1, el Sr. A.L. Cornoke querı́a invertir U$S 5.000, y se le presentaron las siguientes
opciones:
a) depositarlos en el Banco A en dólares a una tasa del 5% efectivo anual.
b) depositarlos en el Banco B en moneda nacional a una tasa del 24% nominal anual capitalizable mensualmente.
c) depositarlos en el Banco C en dólares a una tasa del 4,5% nominal semestral capitalizable
bimestralmente.
d) prestárselo a un amigo, quien le devolverá U$S 5.102,69 el 31/12/4.
Determine cuál de las opciones era más conveniente, sabiendo que se esperaba una devaluación
del 2% efectivo mensual.
Solución:
a) iUa $S = 0, 05
$
j12
0, 24
=
= 0, 02 = i$m
12
12
1 + i$m
1, 02
=
−1=
− 1 = 0 ⇒ iaU $S = 0
1 + devm
1, 02
$
b) j12
= 0, 24 ⇒
iUm$S
j U $S
0, 045
c) j3U $S = 0, 045 ⇒ 3 =
= 0, 015 = ibU $S
3
6 3
iUa $S = 1 + iUb $S − 1 = 1, 00156 − 1 = 0, 09344
d) iU5 $S
meses =
12
VF
$5.102, 69
−1=
− 1 = 0, 020538 ⇒ iaU $S = 1, 020538 5 − 1 = 0, 05
VP
$5.000, 00
Conviene depositar en el banco C.
19
Matemática Financiera - 2020
1.5
Descuento de Documentos
Si una persona posee un documento a cobrar no vencido y necesita dinero en efectivo, puede
descontarlo, es decir, ceder la propiedad de dicho documento, a un banco o una empresa o
un particular que lo acepte, a cambio de una suma de dinero menor que la que figura en el
documento. En esto consiste la operación de descuento.
El dı́a que se venza el documento, quien lo recibió podrá cobrar la cantidad de dinero en él
escriturada a la persona que lo suscribió, o, en caso de que éste no pague, a la persona que lo
descontó.
Al valor que aparece escriturado en el documento se le llama valor nominal (VN) que es un
valor futuro.
A la cantidad de dinero recibida por el documento en el momento de descontarlo se le llama,
valor actual (VA) que es un valor presente).
El descuento (D) se define como la diferencia entre el valor nominal y el valor actual.
D =VN −VA
Podemos escribir también: D = V F − V P
Obsérvese la similitud con el interés: I = M − C, o sea que I = V F − V P
La operación de descuento de un documento, en realidad, es un caso particular de un préstamo
de dinero.
1.5.1
Tasa de descuento efectiva (d)
La tasa efectiva de descuento d es el descuento realizado por adelantar una unidad monetaria,
una unidad de tiempo a su vencimiento.
1.5.2
Distintos Tipos de Descuento
Existen cuatro formas distintas de calcular el valor actual de un documento que vence dentro
de n unidades de tiempo, y por consiguiente, el descuento correspondiente:
a) Descuento comercial simple. (DCS)
b) Descuento comercial compuesto.(DCC)
c) Descuento racional simple. (DRS)
d) Descuento racional compuesto.(DRC)
La diferencia se debe a que la tasa efectiva de descuento se aplica sobre diferentes valores y
siguiendo diferentes leyes. El análisis que se desarrolla a continuación supone en todos los casos
que d y n están expresados en igual unidad de tiempo.
20
Matemática Financiera - 2020
a) El descuento es comercial simple cuando la tasa efectiva de descuento se aplica para
cada unidad de tiempo, cualquiera sea ella, sobre el valor nominal del documento, o sea,
sobre el valor en el momento n.
¿Cuál es el descuento que nos aplican por llevar el valor nominal desde el momento n
al momento n − 1?
Teniendo en cuenta que la tasa de descuento se aplica en este tipo de descuento sobre el
valor en el momento n (para cualquier unidad de tiempo), o sea sobre V N , tenemos
Dn−1,n = d · V N
Similarmente, el descuento por llevar el valor en el momento n − 1 al momento n − 2 será
Dn−2,n−1 = d · V N
Y en general, el descuento por llevar el valor desde el momento k al momento k − 1 será
Dk−1,k = d · V N
Entonces el descuento que nos hacen por lleva el valor desde el momento n al momento
0, será la suma de estos descuentos
D=
n
X
k=1
Dk−1,k =
n
X
d·VN =n·d·VN
k=1
Y recordando que:
V A = V N − D = V N − n · d · V N = V N (1 − n · d)
Resumiendo
D =VN ·n·d
V A = V N (1 − n · d)
Ejemplo 18
¿Cuál es el valor actual de un documento que vence dentro de 6 meses, cuyo valor nominal es de $ 10.000 si se le descuenta a una tasa del 5% efectivo mensual de descuento
comercial simple?
Solución:
V A = V N (1 − n · d) = $10.000 · (1 − 6 · 0, 05) = $7.000
Además tenemos que
D = V N − V A = $10.000 − $7.000 = $3.000
21
Matemática Financiera - 2020
b) El descuento es comercial compuesto cuando la tasa efectiva de descuento se aplica
para cada unidad de tiempo, sobre el valor al final de la unidad de tiempo que se quiere
retroceder.
¿Cuál es el descuento que nos aplican por llevar el valor nominal desde el momento n
al momento n − 1?
Dn−1,n = d · V N
Entonces el valor en el momento n − 1 será
V An−1 = V N − Dn−1,n = V N − d · V N = V N (1 − d)
Del momento n − 1 al momento n − 2 será
Dn−2,n−1 = d · V An−1
y entonces
V An−2 = V An−1 − Dn−2,n−1 = V An−1 − d · V An−1 = V An−1 (1 − d)
Por lo tanto
V An−2 = V An−1 (1 − d) = V N (1 − d) (1 − d) = V N (1 − d)2
Ahora aplicando este razonamiento un número suficiente de veces tenemos que
V A = V N (1 − d)n
Luego, como D = V N − V A , tenderemos que
D = V N [1 − (1 − d)n ]
Ejemplo 19
¿Cuál es el valor actual de un documento que vence dentro de 6 meses, cuyo valor nominal es de $ 10.000 si se le descuenta a una tasa del 5% efectivo mensual de descuento
comercial compuesto?
Solución:
V A = V N (1 − d)n = $10.000 · (1 − 0, 05)6 = $7.350, 92
Además tenemos que
D = V N − V A = $10.000 − $7.350, 92 = $2.649, 08
c) El descuento es racional simple cuando la tasa efectiva de descuento se aplica para cada
unidad de tiempo, cualquiera sea ella, sobre el valor actual del documento, o sea, sobre
el valor en el momento 0.
22
Matemática Financiera - 2020
¿Cuál es el descuento que nos aplican por llevar el valor nominal desde el momento n
al momento n − 1?
Dn−1,n = d · V A
y haciendo el mismo razonamiento pero ubicándonos en un momento genérico k y retrocediendo al momento k − 1, tenemos :
Dk−1,k = d · V A
Entonces el descuento que nos hacen por lleva el valor desde el momento n al momento
0, será la suma de estos descuentos
D=
n
X
Dk−1,k =
k=1
n
X
d·VA=n·d·VA
k=1
Y recordando que:
VA=VN −D =VN −n·d·VA
⇒
V A (1 + n · d) = V N
⇒
VA=
VN
1+n·d
Ejemplo 20
¿Cuál es el valor actual de un documento que vence dentro de 6 meses, cuyo valor nominal
es de $ 10.000 si se le descuenta a una tasa del 5% efectivo mensual de descuento racional
simple?
Solución:
VA=
$10.000
= $7.692, 31
1 + 6 · 0, 05
Además tenemos que
D = V N − V A = $10.000 − $7.692, 31 = $2.307, 69
d) El descuento es racional compuesto cuando la tasa efectiva de descuento se aplica para
cada unidad de tiempo sobre el valor al inicio de dicha unidad de tiempo.
¿Cuál es el descuento que nos aplican por llevar el valor nominal desde el momento n
al momento n − 1?
Dn−1,n = d · V An−1
Por lo tanto el valor al momento n − 1 será
V An−1 = V N − Dn−1,n = V N − d · V An−1
⇒
V An−1 =
⇒
V An−1 (1 + d) = V N
VN
1+d
El descuento que nos aplican por llevar el valor nominal desde el momento n − 1 al
momento n − 2 es
Dn−2,n−1 = d · V An−2
23
Matemática Financiera - 2020
Por lo tanto el valor al momento n − 2 será
V An−2 = V An−1 − Dn−2,n−1 = V An−1 − d · V An−2
⇒
V An−2 =
⇒
V An−2 (1 + d) = V An−1
V An−1
VN
=
1+d
(1 + d)2
Aplicando este razonamiento un número suficiente de veces tenemos que:
VA=
VN
(1 + d)n
Y recordando que:
VN
D =VN −VA=VN −
(1 + d)n
⇒
D =VN 1−
1
(1 + d)n
Ejemplo 21
¿Cuál es el valor actual de un documento que vence dentro de 6 meses, cuyo valor nominal
es de $ 10.000 si se le descuenta a una tasa del 5% efectivo mensual de descuento racional
compuesto?
Solución:
VA=
$10.000
VN
= $7.462, 15
6 =
(1 + d)
(1 + 0, 05)6
Además tenemos que
D = V N − V A = $10.000 − $7.462, 15 = $2.537, 85
Comparación de los distintos tipos de descuentos
24
Matemática Financiera - 2020
Comparación de los distintos tipos de descuentos 0 ≤ n ≤ 3
1.5.3 Interés simple y descuento racional simple,
interés compuesto y descuento racional compuesto
Analizando las fórmulas de estas leyes financieras el lector podrá observar muy fácilmente
que la ley del interés simple y la ley del descuento racional simple, ası́ como, la ley del
interés compuesto y la ley del descuento racional compuesto son iguales. Por ello todo
lo que se afirmó en su momento para el interés simple y para el interés compuesto es
trasladable al DRS y al DRC respectivamente.
1.5.4 Interés simple y descuento comercial simple,
interés compuesto y descuento comercial compuesto
Para la equivalencia entre tasas compuestas, y asumiento que i y d están definidas para
el mismo perı́odo de tiempo, consideramos que:
VF
= (1 + i)n ,
por un lado tenemos que V F = V P (1 + i)n de donde
VP
VA
n
n
por otro V A = V N (1 − d) de donde
= (1 − d) .
VN
Asumiendo un mismo valor de n y que coinciden V F con V N y V P con V A tenemos que
1−d=
1
i
d
⇒ d=
o en forma equivalente i =
1+i
1+i
1−d
En forma análoga para la equivalencia entre tasas simples, y asumiento que i y d están
definidas para el mismo perı́odo de tiempo, consideramos que:
VF
por un lado tenemos que V F = V P (1 + ni) de donde
= (1 + ni),
VP
25
Matemática Financiera - 2020
VA
por otro V A = V N (1 − nd) de donde
= (1 − nd).
VN
Asumiendo un mismo valor de n y que coinciden V F con V N y V P con V A tenemos que
1 − nd =
1.5.5
i
d
1
⇒ d=
o en forma equivalente i =
1 + ni
1 + ni
1 − nd
Tasa nominal de descuento comercial compuesto (fm )
1
La tasa nominal de descuento comercial compuesto fm se caracteriza por estar definida
en cierta unidad de tiempo y tener m aplicaciones en dicha unidad de tiempo.
Dividiendo dicha tasa nominal fm entre el número de aplicaciones m, obtendremos la tasa
efectiva de descuento en el perı́odo de aplicación.
Ejemplo 22
¿Cuál es el valor actual de un documento que vence dentro de 6 meses, cuyo valor nominal
es de $ 10.000 si se le descuenta a una tasa de descuento comercial compuesto del 24%
nominal anual de aplicación mensual?
Solución:
12
= 0,24
= 0, 02 = dm
f12 = 0, 24 ⇒ f12
12
V A = V N (1 − d)6 = $10.000(1 − 0, 02)6 = $8.858, 42
Además tenemos que D = V N − V A = $10.000 − $8.858, 42 = $1.141, 58
En esta situación también es posible definir una tasa nominal de descuento comercial compuesto
con m tendiendo a infinito aplicaciones por unidad de tiempo, en que está definida la tasa. A
esta tasa se la denota δ 0
1.5.6
Equivalencia de tasas
Corresponde comenzar señalando que solo tiene sentido la equivalencia de tasas entre leyes
financieras simples entre si y entre leyes financieras compuestas entre si. El procedimiento general definido anteriormente para establecer la equivalencia de tasas sigue siendo válido cuando
se le aplica incorporando el tema descuentos. Existen algunas situaciones triviales. Por lo dicho
en 1.5.4 la tasa efectiva de interés compuesto anual y la tasa de descuento racional compuesto
efectiva anual son equivalentes si son iguales.
Determine el lector que condición debe cumplir una tasa de interés compuesto efectiva semestral
para se equivalente a una tasa nominal anual con aplicaciones mensuales de descuento comercial
compuesto para ser equivalentes.
1
No se define la tasa nominal de descuento racional compuesto por las razones explicadas en 1.5.4.
26
Capı́tulo 2
Rentas
27
Matemática Financiera - 2020
2.1
Rentas
Una renta es un conjunto de prestaciones con vencimientos diversos, cada uno de los cuales se
denomina cuota.
En sentido restringido, es una sucesión de pagos (o cobros) con vencimiento en épocas equidistantes. Esto último no constituye una limitación para nuesto análisis, ya que si los pagos o
cobros no fueran equidistantes, se agregarán los necesarios de valor 0, formando ası́ una sucesión
con intervalos regulares.
2.1.1
Algunas definiciones y componentes de una renta
a) Duración de una renta: es el número de cuotas.
b) Perı́odo: es el intervalo de tiempo que media entre dos pagos o cobros consecutivos.
c) Eje del tiempo: Utilizaremos un eje horizontal, y a cada instante le asignaremos un
número real t, de foma tal que al origen le asignamos t = 0. por ejemplo si definimos
como origen el 31/12/04 y definimos como unidad de tiempo un año.
31/12/01 31/12/02 31/12/03 31/12/04 31/12/05 31/12/06 31/12/07
|
|
|
|
|
|
|
−3
−2
−1
0
1
2
3
d) Valor de una renta: hace referencia a una expresión homogénea de la serie de prestaciones que la componen, es decir, una cantidad de unidades monetarias en un instante t
equivalente, en términos financieros, al conjunto de cuotas que conforman la renta.
e) Notación:
• Ck es la k-ésima cuota.
• i tasa efectiva de interés del perı́odo. Durante el desarrollo de este capı́tulo consideraremos la ley de interés compuesto.
• Al primer pago o cobro de una renta discreta le asignamos t = 1, y definimos como
unidad de tiempo al perı́odo por lo cual la cuota 2 estará en t = 2, la cuota k estará
en t = k y la cuota n estará en t = n. En este contexto, t = 0 está un perı́odo antes
del pago o cobro de la primera cuota.
|
0
C1
|
1
C2
|
2
C3
|
3
Ck
|
...
k
...
Cn ...
|
n ...
• Ck (t, i) es el valor de la cuota k-ésima en el instante t, o sea Ck (t, i) = Ck (1 + i)t−k .
Observe el lector que lo que se ha hecho para obtener el valor de la cuota k-ésima en
el instante t es simplemente aplicar la ley del interés compuesto. Apreciese además
que la fórmula vale si t > k, t = k o t < k.
28
Matemática Financiera - 2020
f) Cálculo del valor de una renta discreta en el momento t:
R(t, n, i) =
n
X
Ck (t, i) =
k=1
n
X
Ck (1 + i)t−k
k=1
t es el momento en el que se evalúa la renta (t ∈ R)
n es el número de cuotas de la renta discreta (n ∈ N).
i es la tasa efectiva en el perı́odo, se supone que es única, si hubiera más de una tasa se
debe utilizar más de una renta.
g) Una renta se dice vencida inmediata si las cuotas se pagan al final de cada perı́odo,
mientras que se dice adelantada inmediata si se pagan al principio. En nuestro desarrollo
posterior utilizaremos vencidas y adelantadas como equivalente de vencidas inmediatas y
adelantadas inmediatas.
h) El procedimento habitual para el cálculo del valor de una renta es
• Plantear un eje del tiempo que incluya los datos proporcionados (analizando si es
necesario o no separar la renta en rentas auxiliares).
• Determinar en el eje el momento t = 1, correspondiente al primer pago.
• Determinar el momento t del tiempo en el que deseamos calcular el valor de la renta.
2.1.2
Ejemplos
Ejemplo 23
Una persona obtiene un préstamo de $ 10.000 el 31/12/04 que cancelará en tres cuotas de la
siguiente forma: $ 2.000 el 31/01/05, $ 3.000 el 28/02/05 y el saldo el 31/03/05.
La tasa de interés pactada fue del 24% nominal semestral con capitalizaciones mensuales.
a) Calcular el importe a pagar el 31/3/05.
b) Si en lugar de pagar la tercera cuota el 31/03/05, lo hiciera recién el 31/05/05, determinar
cuál serı́a su importe.
Solución:
a) Recordando que la cuota 1 se ubica en t = 1, y que la unidad de tiempo es el mes, el
momento en que se efectúa el préstamo, 31/12/04, es t = 0. El valor del préstamo en
t = 0 es equivalente, financieramente, al conjunto de cuotas llevadas al momento t = 0
con una tasa equivalente a una tasa 24% nominal semestral con capitalizaciones mensuales
|
0
j6 = 0, 24
⇒
im =
j6
6
=
0,24
6
C1
|
1
C2
|
2
C3
|
3
= 0, 04
R (0, 3, 0.04) = C1 (0, i) + C2 (0, i) + C3 (0, i)
10.000 = C1 (1 + i)−1 + C2 (1 + i)−2 + C3 (1 + i)−3
10.000 = 2.000 · 1, 04−1 + 3.000 · 1, 04−2 + C3 · 1, 04−3
10.000 − 2.000 · 1, 04−1 − 3.000 · 1, 04−2
C3 =
= 5.965, 44
1, 04−3
29
Matemática Financiera - 2020
b) Ya que la cuota 1 se ubica en t = 1, que es 31/01/05, al hacer el último pago el 31/05/05,
le corresponde t = 5, o sea, que podemos suponer que C3 = 0, C4 = 0 y lo que se pide
es el valor de la quinta cuota C5 . Ahora, el valor del préstamo en t = 0 es equivalente,
financieramente, al conjunto de cuotas llevadas al momento t = 0 con una tasa efectiva
mensual im = 0, 04
|
0
C1
|
1
C2
|
2
|
3
|
4
C5
|
5
30/04/05 31/05/05
R (0, 5, 0.04) = C1 (0, i) + C2 (0, i) + C3 (0, i) + C4 (0, i) + C5 (0, i)
10.000 = C1 (1 + i)−1 + C2 (1 + i)−2 + C3 (1 + i)−3 + C4 (1 + i)−4 + C5 (1 + i)−5
10.000 = 2.000 · 1, 04−1 + 3.000 · 1, 04−2 + 0 · 1, 04−3 + 0 · 1, 04−4 + C5 · 1, 04−5
C5 =
10.000 − 2.000 · 1, 04−1 − 3.000 · 1, 04−2
= 6.452, 22
1, 04−5
Otra forma de pensarlo es, sobre la cuota calculada en la primera parte, C3 en t = 3,
calcular su valor equivalente en el momento t = 5, aplicando una tasa efectiva mensual
im = 0, 04:
C3 (5, 0.04) = C3 (1 + 0, 04)5−3 = 5.965, 44 · 1.042 = 6.452, 22
Obteniéndose el mismo resultado
Ejemplo 24
El Sr. Mc. Anadenabo abrió una cuenta en el Banco A que paga el 5% efectivo mensual y
efectuó los siguientes depósitos:
Fecha Depósito
31/01/04
100
29/02/04
83
31/03/04
89
30/04/04
10
31/05/04
130
Al 30/06/04 retiró el saldo y agregando $ 14,58 canceló un préstamo que habı́a obtenido en el
Banco B el 31/12/03 al 6% efectivo mensual.
a) Determine el importe P del préstamo obtenido el 31/12/03.
b) Calcule cuánto habrı́a necesitado al 30/06/04 para cancelar su deuda si hubiera realizado
los depósitos en el Banco B a cuenta del préstamo.
c) Suponiendo que el Banco B recibe pagos a cuenta de la deuda, ¿considera Ud. que la
operación llevada a cabo por el Sr. Mc. Aradenabo es financieramente inteligente?
Solución:
30
Matemática Financiera - 2020
a)
Banco A
im = 0, 05
100
|
83
|
89
|
10
|
130
|
31/01/04
29/02/04
31/03/04
30/04/04
31/05/04
1
2
3
4
5
R (6, 5, 0.05) = C1 (6, i) + C2 (6, i) + C3 (6, i) + C4 (6, i) + C5 (6, i)
R (6, 5, 0.05) = C1 (1 + i)5 + C2 (1 + i)4 + C3 (1 + i)3 + C4 (1 + i)2 + C5 (1 + i)1
R (6, 5, 0.05) = 100 · 1, 055 + 83 · 1, 054 + 89 · 1, 053 + 10 · 1, 052 + 130 · 1, 05
R (6, 5, 0.05) = 479, 07
Banco B
im = 0, 06
R(6, 1, 0.06) = 479, 07 + 14, 58 ⇒ 493, 65 = P · 1, 066 ⇒ P =
|
30/06/03
493, 65
= 348, 00
1, 066
···
100
|
83
|
89
|
10
|
130
|
···
31/01/04
29/02/04
31/03/04
30/04/04
31/05/04
1
2
3
4
5
b)
R (6, 5, 0.06) = C1 (6, i) + C2 (6, i) + C3 (6, i) + C4 (6, i) + C5 (6, i)
R (6, 5, 0.06) = C1 (1 + i)5 + C2 (1 + i)4 + C3 (1 + i)3 + C4 (1 + i)2 + C5 (1 + i)1
R (6, 5, 0.06) = 100 · 1, 065 + 83 · 1, 064 + 89 · 1, 063 + 10 · 1, 062 + 130 · 1, 06
R (6, 5, 0.06) = 493.65
No hubiera necesitado depositar nada más.
c) No, está colocando el dinero a un 5% efectivo mensual cuando en el préstamo le están
cobrando un 6% efectivo mensual. Dada la forma en que hace la operación está obligado a
agregar una suma de dinero al final de sus depósitos ($14, 58), cuando, si hubiera optado
por el otro mecanismo no hubiera necesitado agregar nada. No obstante todo esto es
válido si el Banco B acepta depósitos a cuenta de la cancelación de la deuda
31
Matemática Financiera - 2020
2.1.3
Rentas de cuotas constantes
Supongamos que estamos ante una renta de n cuotas iguales, esto es Ck = C, ∀ k = 1, 2, · · · , n,
estamos interesados en calcular el valor de esta renta:
R (t, n, i) =
n
X
Ck (1 + i)
t−k
=
n
X
k=1
C (1 + i)
t−k
=C
k=1
n
X
(1 + i)t−k
k=1
Definimos el factor de valuación:
V (t, n, i) =
n
X
(1 + i)t−k
k=1
Haciendo el desarrollo de la suma obtenemos:
(2.1)
V (t, n, i) = (1 + i)t−1 + (1 + i)t−2 + · · · + (1 + i)t−n
Si ahora multiplicamos ambos miembros por (1 + i) obtenemos:
(2.2)
(1 + i) · V (t, n, i) = (1 + i)t + (1 + i)t−1 + ... + (1 + i)t−n+1
Si restamos miembro a miembro (2.2) y (2.1):
i · V (t, n, i) = (1 + i)t − (1 + i)t−n = (1 + i)t 1 − (1 + i)−n
En consecuencia llegamos a que:
1 − (1 + i)−n
(1 + i)t
V (t, n, i) =
i
Por lo cual llegamos a que el valor de una renta de cuota constante es:
1 − (1 + i)−n
R (t, n, i) = C · V (t, n, i) = C ·
(1 + i)t
i
Ejemplo 25
El Sr. Campo Mar vende un campo de 150 hectáreas en 48 cuotas mensuales, iguales y consecutivas de $ 95.850, pagadera la primera al mes de compra del terreno. El vendedor aplica un
interés del 6% efectivo mensual.
Se pide: Calcular el valor del campo al momento de realizarse la venta.
Solución:
|
0
n = 48
C = $ 95.850
C1
|
1
C2
|
2
C3
|
3
Ck
...
k
...
C48
|
48
im = 0, 06
1 − (1 + i)−n
R (0, 48, 0.06) = C · V (t, n, i) = C ·
(1 + i)t =
i
32
Matemática Financiera - 2020
#
1 − (1 + 0.06)−48
(1 + 0.06)0 =
R (0, 48, 0.06) = 95.850 · V (0, 48, 0.06) = 95.850 ·
0.06
"
#
1 − (1 + 0.06)−48
R (0, 48, 0.06) = 95.850 ·
= 95.850 · 15, 65 = $ 1.500.055, 05
0.06
"
Ejemplo 26
Un electrodoméstico puede adquirirse pagando U$S 50 al contado y 12 cuotas mensuales vencidas y consecutivas de U$S 18 cada una. Si la tasa de interés es del 24% nominal anual
capitalizable mensualmente, calcular el precio contado del electrodoméstico.
Solución:
Renta Auxiliar
j12 = 0, 24
50
|
1
|
0
18
|
2
|
1
j12
12
18
|
3
|
2
18
|
4
|
3
18
|
5
|
4
18
|
6
|
5
18
|
7
|
6
18
|
8
|
7
18
|
9
|
8
18
|
10
|
9
18
|
11
|
10
18
|
12
|
11
18
|
13
|
12
= 0, 02 = im
"
P C = R(1, 13, 0.02) = 50+R∗ (0, 12, 0.02) = 50+18·
−12
1 − (1 + 0, 02)
0, 02
#
= 50+190, 36 = 240, 36
Como se observa hemos separado la renta original en dos, una primera con un importe único
de U $S50 y la segunda una renta de cuota constante.
Ejemplo 27 Una casa fue adquirida con la siguiente financiación:
• una entrega inicial de U$S 30.000 efectuada un mes antes de recibir las llaves,
• un pago de U$S 1.346,5 el dı́a de recibirlas, y
• pagos mensuales, consecutivos durante 15 años de U$S 1.000 cada uno, venciendo el
primero dos meses después de la entrega inicial.
Se pide: Determinar el precio contado de la casa (el valor al recibirla) si la tasa aplicada fue
del 6% anual nominal capitalizable mensualmente.
Solución:
30.000
|
1
Renta auxiliar
1.346, 5
|
2
|
0
j12 = 0, 06
j12
12
1.000
|
3
|
1
1000
|
4
|
2
...
...
...
1.000
|
182
|
180
= 0, 005 = im
P C = R(2, 182, 0.005) = 30.000 · (1 + 0, 005) + 1.346, 5 + R∗ (0, 180, 0.005) =
33
Matemática Financiera - 2020
"
1 − (1 + 0, 005)−180
P C = 30.150 + 1.346, 5 + 1000 ·
0, 005
#
=
P C = 30.150 + 1.346, 5 + 1000 · 118, 50 = 150.000
Ejemplo 28
El Sr. Juan deposita todos los dı́as 30 de cada mes U$S 1.000 en el banco Galicia que le otorga
un interés del 1% efectivo mensual. Se sabe además que el primer depósito lo hizo el 30/06/09.
Determine el importe que tenı́a en su cuenta el 30/12/09, luego de efectuado el depósito de ese
mes.
Solución:
1000
|
1
1000
|
2
1000
|
3
1000
|
4
1000
|
5
1000
|
6
30/06/09
1000
|
7
30/12/09
Saldo31/12/09 = R(7, 7, 0, 01) = 1.000 ·
1 − 1, 01−7
0, 01
(1, 017 ) = 1.000 · 7, 21354 = 7.213, 54
Ejemplo 29
La Sra. Muype Lada decidió el 31/12/08 comprar un TV. El precio contado del TV fue de $
2.000, y la casa Malavisión SRL le ofreció pagarlo en 12 cuotas iguales, mensuales y consecutivas, venciendo la primera el 31/01/09.
a) Determinar el importe de las cuotas si la tasa de interés que le cobran por la financiación
es el 5, 5% efectivo mensual.
b) Si Malavisión SRL depositara las 12 cuotas el mismo dı́a que las cobra en un Banco que
le abona el 69, 59% efectivo anual de interés, calcular el monto que tendrı́a en su cuenta
al 31/01/10.
c) Suponiendo un plazo de 14 meses, determinar la tasa de interés efectiva mensual de la
financiación, con el importe de la cuota hallada en primera parte.
d) Si el valor de la cuota hubiera sido de $ 400, 35; hallar el plazo de financiación suponiendo,
nuevamente, una tasa del 5, 5% efectivo mensual.
Solución:
a)
1 − 1, 055−12
= C · 8, 618518
0, 055
2.000
⇒ C=
= 232, 06
8, 618518
2.000 = R(0, 12 0, 055) = C ·
b) ia = 0, 6959
∼
im = 0, 045
Saldo31/01/10 = R(13, 12, 0, 045) = 232, 06 ·
1 − 1, 045−12
0, 045
· 1, 04513 =
232, 06 · 16, 159913 = 3.750, 07
34
Matemática Financiera - 2020
c)
2.000 = 232, 06 ·
1 − (1 + i)−14
i
8, 6184607 =
i
1−(1+i)−14
i
0, 055
0, 07
0, 075
0, 072
0, 0725
0, 07244
0, 072449
9, 5896479
8, 74546799
8, 48915373
8, 64153314
8, 61584576
8, 61892205
8, 6184605
⇒
2.000
1 − (1 + i)−14
=
232, 06
i
1 − (1 + i)−14
i
⇓
⇓
⇑
⇓
⇑
⇓
El sentido de las flechas se refiere a la acción que debemos tomar sobre el valor de
1−(1+i)−14
, que es inversa a la acción que debemos tomar sobre i.
i
Se sugiere, que utilizando alguna planilla electrónica en una PC, halle alguna función
que le permita resolver el cálculo planteado.
d)
2.000 = 400, 35 ·
1 − 1, 055−n
0, 055
⇒
2.000
· 0, 055 − 1 = −1, 055−n
400, 35
⇒ 0, 7252404 = 1, 055−n ⇒ ln(0, 7252404) = ln 1, 055−n = −n · ln(1, 055)
⇒
ln(0, 7252404)
= −n ⇒ n = 6
ln(1, 055)
Ejemplo 30
Anacleta quiere comprarse un pantalón cuyo precio de vidriera es $ 480 y se le presentan las
siguientes opciones:
a) pagarlo al contado.
b) comprarlo con una tarjeta de crédito cuyo próximo vencimiento de pago es exactamente
un mes después de la compra. En este caso tiene a su vez las siguientes opciones:
(i) efectuar un único pago de $ 480 al mes de la compra.
(ii) pagar 2 cuotas mensuales consecutivas de $ 253, 4 cada una (pagando la primera el
dı́a del próximo vencimiento de la tarjeta).
35
Matemática Financiera - 2020
(iii) pagar 3 cuotas mensuales consecutivas de $ 176, 3 cada una (pagando la primera el
dı́a del próximo vencimiento de la tarjeta).
Se pide:
a) Calcular las tasas efectivas mensuales y las anuales equivalentes que pagarı́a en las opciones con tarjeta de crédito si el precio contado es el precio de vidriera.
b) Calcular las tasas efectivas mensuales y las anuales equivalentes que pagarı́a en las opciones con tarjeta de crédito, suponiendo ahora que el precio contado es un 10% inferior
al de vidriera.
c) Suponiendo además una tasa de inflación anual del 4%, calcular las tasas reales anuales
equivalentes a cada uno de estos tres casos.
Solución:
a) (a) im = 0 ⇒ ia = 0
(b) im = 0, 0369982 ⇒ ia = 0, 5464505
(c) im = 0, 0501 ⇒ ia = 0, 7979
b) (a) im = 0, 1111 ⇒ ia = 2, 5407
(b) im = 0, 1134037 ⇒ ia = 2, 6293757
(c) im = 0, 108 ⇒ ia = 2, 4236
c) (a) ra = 2, 4045
(b) ra = 2, 4897
(c) ra = 2, 2919
36
Matemática Financiera - 2020
2.2
2.2.1
Saldos y Amortización de una deuda
Saldos
El saldo de una deuda es lo que queda por pagar. Si tenemos una renta de n cuotas y queremos
saber el saldo inmediatamente antes de pagar la k-ésima cuota, se puede calcular de dos formas:
a) Prospectivamente: mirando lo que queda por pagar, o sea
SkA = R (1, n − (k − 1) , i)
b) Retrospectivamente: mirando lo que ya se ha pagado (veremos la correspondiente fórmula
más adelante)
La relación entre el saldo inmediatamente antes e inmediatamente después de pagar una cuota
es la siguiente:
SkA − Ck = SkD
Si al saldo inmediatamente antes de pagar la cuota k se le resta la cuota k, al no mediar tiempo,
no se generan intereses y se obtiene el saldo inmediatamente después de la cuota k
La relación entre el saldo inmediatamente después de pagar la cuota k y el saldo inmediatamente
antes de pagar la cuota k + 1 es
A
Sk+1
= SkD · (1 + i)
pues transcurrió un perı́odo, por lo tanto hay que considerar los intereses generados en él.
Otra forma de notar los saldos es: S (t, n − k), donde t es el momento de valuación del saldo y
n − k el número de cuotas impagas.
Se puede demostrar que S (t, n − k) = R (t − k, n − k, i), de esta forma no solo se hace referencia a la cuota paga o por pagar, sino también al momento del tiempo en que se hace el cálculo.
Si bien esta notación es más general, también puede llevar a una mayor complicación en la
notación.
2.2.2
Amortización de deudas
Amortizar una deuda significa reducirla y/o cancelarla, liquidarla por completo.
Todo pago destinado a satisfacer una deuda puede ser desglosado en dos componentes claramente diferenciables:
• en primer lugar el pago se destinará a cancelar los intereses generados, determinando ası́
la “parte de interés”
• si existe remanente positivo, este será aplicado a reducir la deuda, si el remanente es cero,
la deuda se mantendrá en el nivel anterior, y si el remanente es negativo la deuda se verá
incrementada, en cualquiera de estos casos el remanente (sea positivo, negativo o cero) se
denominará “parte amortizante”
Al pagar la cuota Ck , tenemos que
Ck = Ik + Ak
donde:
37
Matemática Financiera - 2020
Ik : son los intereses generados por el saldo inmediatamente después de pagar la cuota k − 1, o
sea
D
Ik = Sk−1
·i
Ak : es lo que se reduce la deuda entre el momento inmediatamente después de pagar la cuota
k − 1 y el momento inmediatamente después de pagar la cuota k, o sea
D
Ak = Sk−1
− SkD
Ya que la igualdad Ck = Ik + Ak se cumple para todo k, resulta que:
j+h
X
Ck =
k=j
j+h
X
(Ik + Ak ) =
j+h
X
k=j
Ik +
k=j
j+h
X
Ak
k=j
y desde la definición de Ak resulta que:
j+h
X
Ak =
j+h
X
D
D
D
D
D
D
D
Sk−1
− SkD = Sj−1
− SjD + SjD − Sj+1
+ · · · + Sj+h−1
− Sj+h
= Sj−1
− Sj+h
k=j
k=j
por otro lado podemos despejar
j+h
X
k=j
Ik =
j+h
X
Ck −
k=j
j+h
X
Ak
k=j
Retomemos un punto pendiente, el cálculo del saldo por el método retrospectivo (mirando lo
que ya se ha pagado), entonces
!
k−1
k
X
X
A
D
Sk = D −
Aj (1 + i)
Sk = D −
Aj
j=1
j=1
Ejemplo 31
Dada una deuda que se paga en 20 mensualidades de $ 100, a la tasa del 4% efectivo mensual,
determine:
a) El saldo inmediatamente antes y después de pagar la quinta cuota.
b) Partes de amortización e interés que integran la sexta cuota.
c) Sumas de amortización y de interés incluidas en las cuotas sexta a décima.
Solución:
n = 20, C = 100, im = 0, 04
a)
S5A
1 − (1 + 0, 04)−16
= R (1, 16, 0.04) = 100·
0, 04
!
(1 + 0, 04) = 100·11, 6523·1, 04 = 1.211, 83
S5D = S5A − C5 = 1.211, 83 − 100 = 1.111, 83
38
Matemática Financiera - 2020
b)
I6 = S5D · i = 1.111, 83 · 0, 04 = 44, 47
A6 = C6 − I6 = 100 − 44, 47 = 55, 53
c)
10
X
D
Ak = S5D − S10
k=6
D
= R (0, 10, 0.04) = 100 ·
S10
10
X
1 − (1 + 0, 04)−10
0, 04
!
= 100 · 8, 1109 = 811, 09
Ak = 1.111, 83 − 811, 09 = 300, 74
k=6
10
X
k=6
2.2.3
Ik =
10
X
k=6
Ck −
10
X
Ak = 500 − 300, 74 = 199, 26
k=6
Cuadro de Amortización e Interés
Esta es una herramienta muy útil para el cálculo de amortizaciones e intereses:
Perı́odo
1
2
3
···
n
Saldo Inicial
S0D
S1D
S2D
···
D
Sn−1
Cuota Amortización
C1
C1 − S0D · i
C2
C2 − S1D · i
C3
C3 − S2D · i
···
···
D
Cn
Cn − Sn−1
·i
P
P
D
Ck
Ak = S0
Interés
S0D · i
S1D · i
S2D · i
···
D
Sn−1 · i
P
Ik
Saldo Final
− A1 = S1D
− A2 = S2D
− A2 = S3D
···
D
D
Sn−1 − An = Sn = 0
S0D
S1D
S2D
Ejemplo 32
Una persona obtiene un préstamo de $ 10.000 el 31/12/04 que cancelará en tres cuotas de la
siguiente forma:
$ 2.000 el 31/01/05, $ 3.000 el 28/02/05 y el saldo el 31/03/05. La tasa de interés pactada fue
del 24% nominal semestral con capitalizaciones mensuales.
Calcular el importe a pagar el 31/3/05.
Solución:
Perı́odo Saldo Inicial
1
10.000
2
8.400
3
5.736
Cuota Amortización Interés Saldo Final
2.000
1.600
400
8.400
3.000
2.664
336
5.736
5.965,44
5.736
229,44
0
10.965,44
10.000 965,44
39
Matemática Financiera - 2020
Ejemplo 33
El Sr. Endeudati contrajo el 01.01.01 una deuda de $ 3.500, que debı́a abonar en 8 cuotas
trimestrales, vencidas, iguales y consecutivas, durante dos años. Las tasas aplicadas fueron las
siguientes: 34,56% efectivo semestral para el primer año y 13,39317803% nominal trimestral
capitalizable mensualmente para el segundo año.
En el momento de abonar la última cuota, sólo pudo abonar $ 94,12, refinanciando el saldo en
cuatro cuotas mensuales, iguales y consecutivas, pagándose la primera de ellas un mes después
de refinanciar. En esta refinanciación se utiliza una tasa del 112,909624% efectivo anual.
a) Calcule el importe de las cuotas trimestrales.
b) Calcule el importe de las cuotas mensuales de la refinanciación.
c) Desarrolle el cuadro de amortización e interés de la deuda refinanciada
Solución:
|
0
3000
|
1
3000
|
2
3000
|
3
3000
|
4
3000
|
5
3000
|
6
3000
|
7
3000
|
8
01/01/01
it =0,16
o
it =0,14
/
a)
3.500 = R (0, 4, 0.16) + R (0, 4, 0.14) · (1 + 0, 16)−4
3.500 = C · V (0, 4, 0.16) + C · V (0, 4, 0.14) · (1 + 0, 16)−4
3.500 = C · V (0, 4, 0.16) + V (0, 4, 0.14) · (1 + 0, 16)−4
3.500
V (0, 4, 0.16) + V (0, 4, 0.14) · (1 + 0, 16)−4
3.500
3.500
C = 1−1,16−4 1−1,14−4
=
2, 798 + 2, 914 · 0, 552
+
· 1, 16−4
C=
0,16
0,14
C=
3500
= 794, 12
4, 407
b)
Saldo01/01/02 = 794, 12 − 94, 12 = 700 im = 0, 065
700 = R (0, 4, 0.065) = C · V (0, 4, 0.065)
700
700
700
C=
= 1−1,065−4 =
= 204, 33
V (0, 4, 0.065)
3, 4258
0,065
c) Cuadro de amortización e interés
Perı́odo Saldo Inicial Cuota Amortización Interés Saldo Final
1
700,00 204,33
158,83
45,50
541,17
2
541,17 204,33
169,15
35,18
372,02
3
372,02 204,33
180,15
24,18
191,87
4
191,87 204,33
191,87
12,47
0,00
817,32
700,00 117,33
40
Matemática Financiera - 2020
2.2.4
Deudas pagaderas con cuotas de amortización constante
Existe una forma de pago en cuotas en que lo que se mantiene constante a lo largo del tiempo
es la parte de amortización de cada cuota, en este caso es muy apropiado el uso del cuadro
de amortización e intereses. En la práctica, consideramos la deuda, y ya que en cada cuota se
cancelará la misma parte de esta, la dividimos entre la cantidad de cuotas y ello será igual a la
amortización constante.
Ejemplo 34
El Sr. P. Lado solicitó un préstamo por U$S 700 en el Banco de La Capital.
El Banco se lo financia en cuatro cuotas mensuales de amortización constante, pagadera la
primera al mes de contraı́do el préstamo, cobrándole una tasa del 12,682503% efectivo anual.
Desarrolle el cuadro de amortización e intereses.
Solución:
ia = 0, 12682503
⇒
A1 = A2 = A3 = A4 = A
Perı́odo
1
2
3
4
Saldo Inicial
700
525
350
175
im = 0, 01
⇒
A=
700
4
= 175
Cuota Amortización Interés Saldo Final
182
175
7
525
180,25
175
5,25
350
178,50
175
3,50
175
176,75
175
1,75
717,5
700
17,5
Ejemplo 35
El Sr. S. Implata pide un préstamo que cancelará pagando 6 cuotas mensuales vencidas de $
2.000 cada una y luego 4 cuotas bimestrales de $ 3.000, venciendo la primera de esta segunda
serie un mes después de pagada la sexta cuota mensual. Las tasas de interés pactadas son:
79,58563% efectivo anual durante los primeros 7 meses, y a partir de allı́ 58,68743% efectivo
anual.
a) Calcule el importe del préstamo.
b) El dı́a que se vence la segunda cuota bimestral, se presenta ante su acreedor, pidiéndole
una refinanciación de su deuda, ya que no puede abonar nada ese dı́a. Se le concede que
pague su saldo en 5 cuotas mensuales consecutivas de amortización constante, pagando la
primera a los dos meses. La tasa de la refinanciación aplicada es el 4% efectivo mensual.
Elabore el cuadro de amortización e intereses para la refinanciación, indicando los importes de las cuotas.
Solución:
6 cuotas mensuales, vencidas de $2.000
4 cuotas bimestrales de $2.000, la primera vence al mes de última mensual
ia = 0, 7958563 ⇒ im = 0, 05
ia = 0, 5868743 ⇒ ib = 0, 08
a)
P C = R (0, 6, 0.05) + R (1, 4, 0.08) · (1 + 0, 05)−7
41
Matemática Financiera - 2020
P C = 2.000 · V (0, 6, 0.05) + 3.000 · V (1, 4, 0.08) · (1 + 0, 05)−7
1 − 1, 08−4
1 − 1, 05−6
+ 3.000 ·
· (1, 08) · (1, 05)−7
P C = 2.000 ·
0, 05
0, 08
P C = 10.151, 38 + 7.626, 53 = 17.777, 91
b) 5 cuotas mensuales de amortización constante, la primera a los dos meses
im = 0, 04
1 − 1, 08−3
A
D = S2 bim = R (1, 3, 0.08) = 3.000·V (1, 3, 0.08) = 3.000·
·(1, 08) = 8.349, 79
0, 08
A=
8.349, 79
D
=
= 1.669, 96
5
5
I1 = D · (1 + 0, 04)2 − 1 = 8.349, 79 · 0, 0816 = 681, 34
Perı́odo
1
2
3
4
5
Saldo Inicial
8.349,79
6.679,83
5.009,87
3.339,91
1.669,95
Cuota
2.351,30
1.937,15
1.870,35
1.803,56
1.736,76
9.699,12
Amortización
1.669,96
1.669,96
1.669,96
1.669,96
1.669,96
8.349,80
⇒
Interés
681,34
267,19
200,40
133,60
66,80
1349,33
C1 = 2.351.30
Saldo Final
6.679,83
5.009,87
3.339,91
1.669,95
-
Ejemplo 36
Parte A
Una automotora financia un vehı́culo cuyo valor contado es de U$S 15.000, en 4 cuotas trimestrales consecutivas venciendo la primera un trimestre después de la compra. Las dos primeras
son de U$S 3.900 cada una , mientras que el saldo se financia en otras 2 cuotas de amortización constante. La tasa de interés en dólares vigente durante el primer semestre es del
8,243216% efectivo anual, y durante el segundo es equivalente al 1,786647% nominal trimestral
con capitalizaciones quincenales.
a) Calcule los importes que deberá pagar el interesado al final del tercer y cuarto trimestre
respectivamente.
b) Realice el cuadro de amortización e intereses.
Parte B
Se ofrece al comprador un plan alternativo de financiamiento en moneda nacional consistente
en pagar el auto mediante 3 cuotas en pesos uruguayos iguales, consecutivas, bimestrales,
venciendo la primera en el momento de efectuar la adquisición.
Otros datos:
• La tasa de devaluación esperada por la automotora es equivalente al 0,5% efectivo semestral.
• El tipo de cambio al momento de realizar la transacción es U$S 1 = $ 12.
42
Matemática Financiera - 2020
• Las tasas en moneda nacional son equivalentes a las tasas en moneda extranjera de la
Parte A.
Determine el valor de las cuotas del plan de financiación en pesos.
Solución:
Parte A
V C = U $S15.000, pagadero en 4 cuotas trimestrales, consecutivas, vencidas, las dos primeras
de U $S3.900 cada una, y las otras dos de amortizción constante.
Tasa del primer semestre es ia = 0, 08243216 ⇒ it = 0, 02
Tasa del segundo semestre es 0, 01786647 nominal trimestral con capitalizaciones trimestrales,
⇒ it = 0, 018
a)
S2D = 15.000 · 1, 022 − R (2, 2, 0.02)
S2D = 15.000 · 1, 022 − 3.900 · V (2, 2, 0.02)
1 − 1, 02−2
D
2
· (1, 02)2
S2 = 15.000 · 1, 02 − 3.900 ·
0, 02
b) Cuadro de
Perı́odo
1
2
3
4
⇒
S2D = 15.606 − 7.878 = 7.728
7.728
= 3.864
⇒ A=
2
I3 = 7.728 · 0, 018 = 139, 104 ⇒ C3 = 4003, 104
⇒
I4 = 3.864 · 0, 018 = 69, 552
amortización e
Saldo Inicial
15.000,00
11.400,00
7.728,00
3.864,00
interés
Cuota
3.900,00
3.900,00
4.003,104
3.933,552
15.736,656
⇒
Amortización
3.600,00
3.672,00
3.864,00
3.864,00
15.000,00
C4 = 3933, 552
Interés
300,00
228,00
139,104
69,552
736,656
Saldo Final
11.400,00
7.728,00
3.864,00
-
Parte B
3 cuotas en pesos, iguales, consecutivas, bimestrales, adelantadas
devs = 0, 005 ⇒ devb = 0, 001663897
T C : U $S1 = $12
La tasa en $ aplicada es equivalente a la aplicada en la financiación en U $S o sea
itU $S = 0, 02 ∼ iUb $S = 0, 01328
ibU $S = 0, 01328 ∼ i$b = 1, 001663897 · 1, 01328 − 1 = 0, 014975
V C = 15.000 · 12 = 180.000
43
Matemática Financiera - 2020
180.000 = R (1, 3, ib ) = C · V (1, 3, ib ) = C ·
180.000 = C · 2, 955955
⇒
C=
1 − 1, 014975−3
0, 014975
(1, 014975)
180.000
= 60.894
2, 955955
44
Matemática Financiera - 2020
2.3
2.3.1
Rentas Especiales
Rentas Perpetuas de Cuotas Constantes
En esta sección analizaremos rentas en que su duración será considerada infinita, o sea que el
número de cuotas que la componen son infinitas, es ası́ que, como habı́amos visto
1 − (1 + i)−n
(1 + i)t
R(t, n, i) = C V (t, n, i) = C
i
haciendo un abuso de la notación podemos decir que


→ 0
z }| {
 1 − (1 + i)−n 
C


t
(1 + i)t
R(t, ∞, i) = C V (t, ∞, i) = C lim 
 (1 + i) =
n→∞ 
i
i

C
(1 + i)t ,
i
C
y en el caso particular que t = 0, nos queda R(0, ∞, i) = C V (0, ∞, i) = .
i
Por lo tanto tenemos que R(t, ∞, i) =
Ejemplo 37
Si consideramos una renta de n cuotas anuales, constantes de valor $1, y una tasa efectiva
anual de 10%. Al ir cambiando n el valor de la renta crece, pero a partir de cierto momento
comienza a estabilizarse. Podemos observar su comportamiento en el siguiente gráfico:
45
Matemática Financiera - 2020
Ejemplo 38
Una persona que ganó el 5 de Oro deja en su testamento el 31/12/14 que parte de sus bienes sean invertidos de forma tal que el Hospital Pereira Rossell reciba a perpetuidad U $50.000
por año a partir del 31/12/15. Sabiendo que la tasa de interés es del 5% efectiva anual, Calcular
el valor de la donación al 31/12/14.
Solución:
R(0, ∞, 0, 05) = 50.000 lim
n→∞
50.000
1 − 1, 05−n
=
= 1.000.000
0, 05
0, 05
Observación:
Para t = 0, si hace una colocación de VP (um) a una tasa i > 0 (sin hacer un supuesto
adicional), podrı́a cobrar indefinidamente (y hasta infinito) V P · i por concepto de intereses,
por perı́odo.
Sin embargo, debemos tener en cuenta que si la inflación es positiva en cada uno de esos
perı́odos, el poder adquisitivo de dicho importe por perı́odo se deteriorarı́a a medida que fuera
transcurriendo el tiempo. ¿Qué supuesto adicional habrı́a que plantear para evitar el deterioro
de los importes que se percibirı́an año a año?
2.3.2
Rentas Continuas
Cuando estudiamos, en el capı́tulo 1, las tasas de interés nominales, vimos el caso particular
de las tasas nominales de capitalización instantánea, allı́, habı́amos llegado a una equivalencia
entre una tasa efectiva anual y una tasa nominal anual de capitalización instantánea:
(1 + ia ) = eδa
De esta forma podemos considerar una renta, pero en lugar de considerar cuotas, cuando la
prestación se va generando en el trascurso del tiempo y no en instantes precisos, lo haremos
como una función f cuya variable independiente será el tiempo.
Ahora deseamos obtener una expresión para el valor de una renta en el momento t, algo equivalente, para el caso discreto, de
R(t, n, i) =
n
X
Ck (1 + i)t−k
k=1
Ası́, cambiando Ck por f (·), la sumatoria por la integral y la tasa efectiva por la tasa nominal
de capitalización instantánea, tenemos que
Z n
Z n
δ(t−x)
δt
R(t, n, δ) =
f (x) · e
dx = e
f (x)e−δx dx
0
0
Es importante hacer una presición acerca de las convenciones que habı́amos hecho al comienzo
del estudio de rentas, cuando decı́amos que la primer cuota debe conincidir con el instante 1
en el tiempo, ahora, en las rentas continuas, vamos a acordar que la prestación tiene como
momento de inicio el instante 0.
46
Matemática Financiera - 2020
Si la prestación fuera constante en el trascurso del tiempo, esto es f (x) = C ∀x ∈ [0, n],
la última expresión se puede simplificar
δt
Z
n
−δx
e
R(t, n, δ) = Ce
δt
dx = Ce
0
−e−δx
δ
n
δt
= Ce
0
1 − e−δn
δ
Ejemplo 39
Una empresa de generación hidroeléctrica, ha contratado el suministro de energı́a a un paı́s
vecino durante un año. El suministro será de 60 megavatios/hora por mes. Se ha pactado un
precio de U $S10.000 por megavatio/hora por mes y una tasa de interés del 5% efectivo mensual.
Se efectuarán 12 pagos a intervalos mensuales, siendo el primero a los 45 dı́as del comienzo del
suministro. ¿Cuál es el importe de los pagos mensuales?
Solución:
En primer lugar calcularemos el valor al instante 0 del suministro, que podrı́amos identificarlo
con su precio contado.
El importe del suministro mensual es de 60 ∗ 10.000 = 600.000.
Debemos calcular la tasa nominal mensual de capitalización instantánea;
eδ = 1 + im → δ = L(1, 05) = 0, 04879
entonces:
R(0, 12, 0, 04879) = 600.000
1 − e−0,04879×12
0, 04879
= 5.449.823, 55
Ahora bien, este suministro se paga en 12 cuotas mensuales, la primera de las cuales vence a
los 45 dı́as, o sea que las 12 cuotas mensuales constituyen una renta:
1 − 1, 05−12
5.449.823, 55 = R(−0, 5, 12, 0, 05) = C
1, 05−0,5
0, 05
Operando tenemos que C = 600.063.
Otra forma de calcular el valor de las cuotas mensuales, serı́a asociar a cada cuota el suministro de energı́a de un mes. En consecuencia como cada cuota se paga 45 dı́as después de
comenzado el correspondiente suministro mensual, se puede obtener el importe de la cuota calculando el valor del suministro de un mes a los 45 dı́as de comenzado, es decir en el momento
t = 1, 5
1 − e−0,04879 0,04879×1,5
R(1, 5, 1, 0, 04879) = 600.000
e
= 630.063
0, 04879
2.3.3
Rentas y tasa real
Sea D0 una deuda que se cancela mediante el pago de n cuotas Ck , venciendo la primera una
unidad de tiempo después de contraı́da la deuda:
D0
|
0
C1
|
1
C2
|
2
C3
|
3
Ck
|
...
k
...
Cn
|
n
47
Matemática Financiera - 2020
La tasa efectiva i aplicada en la operación es aquella tal que:
D0 =
C2
Cn
C1
+
+
·
·
·
+
(1 + i) (1 + i)2
(1 + i)n
Si nos interesa calcular la tasa efectiva real de la operación, expresaremos los términos a precios
constantes, deflactándolos por el IPC: D0∗ = D0
C1
C1∗ =
(IP C1 /IP C0 )
C2
C2∗ =
(IP C2 /IP C0 )
..
.
Cn
Cn∗ =
(IP Cn /IP C0 )
La tasa efectiva real aplicada en la operación será aquella tal que:
C2∗
C1∗
Cn∗
+
D0 =
+ ··· +
(1 + r) (1 + r)2
(1 + r)n
Siendo lo mismo:
D0 =
C1
C2
Cn
+
+ ··· +
2
(IP C1 /IP C0 )(1 + r) (IP C2 /IP C0 )(1 + r)
(IP Cn /IP C0 )(1 + r)n
En el caso particular de que la tasa de inflación sea constante en cada subperı́odo considerado,
tendremos:
D0 =
C2
Cn
C1
+
+ ··· +
2
2
(1 + r)(1 + h) (1 + r) (1 + h)
(1 + r)n (1 + h)n
48