Repaso de matemáticas - Universidad Autónoma de Madrid

Repaso de matemáticas
Beatriz de Blas
Universidad Autónoma de Madrid
Octubre 2008
Instrumentos matemáticos básicos que vamos a necesitar durante el curso.
Referencias:
• Apéndice 2 en Blanchard (2006).
• Hammond y Sydsaeter. “Matemáticas para el análisis económico.” Prentice Hall.
• Simon y Blume.
1
Progresiones geométricas
Definición:
1 + x + x2 + x3 + ... + xn ,
donde x <> 1.
Preguntas:
• ¿cuánto es el resultado de la suma?
• ¿a dónde converge la suma? (¿Es finita o infinita?)
Suma:
• Progresión geométrica finita
1 + x + x2 + x3 + ... + xn =
1 − xn+1
1−x
• Progresión geométrica infinita
1 + x + x2 + x3 + ... =
1
,
1−x
pero para esto necesitamos que |x| < 1.
Demostración de la suma finita
1 + x + x2 + x3 + ... + xn =
¡
¢
= 1 + x + x2 +¡ x3 + ... + xn + xn+1¢+ ... − xn+1 + xn+2 + ... =
1
= 1−x
− xn+1 1 + x + x2 + x3 + ... =
n+1
1
1
= 1−x
− xn+1 1−x
= 1−x
1−x ,
y cuando n → ∞ y x < 1, la suma tiende a
1
1−x ,
1
porque xn+1 → 0.
2
Aproximaciones
Cuando los números o tasas con las que trabajamos son pequeños (entre 0% y 10%), podemos
simplificar las expresiones aproximando:
(1 + x)(1 + y) ' 1 + x + y
(1 + x)2 ' 1 + 2x, entonces, (1 + x)n ' 1 + nx
1+x
1+y ' 1 + x − y.
Entonces, un ejemplo es cómo pasamos del tipo de interés nominal al real:
(1 + i)
= 1 + r → r ' i − π.
(1 + π)
3
Tasas de crecimiento
Referencias: Belzunegui et al. Anexo 7.1.
Supongamos que entre dos perı́odos t y t + 1 la variable Xt varı́a de la siguiente manera:
Xt+1 = Xt + γt Xt
= Xt (1 + γt ),
donde γt es la tasa de crecimiento de Xt entre t y t + 1.
Para calcularla, basta con despejar γt
Xt+1 = Xt (1 + γt ),
Xt+1
= 1 + γt ,
Xt
Xt+1
Xt+1 − Xt
γt =
−1=
Xt
Xt
y puede ser en tantos por 1 ó en términos porcentuales
¶
µ
¶
µ
Xt+1 − Xt
Xt+1
− 1 × 100 =
× 100.
γt =
Xt
Xt
La tasa de crecimiento puede suponerse constante, entonces
Xt+1 = Xt (1 + γ).
*Para varios perı́odos
Supongamos que conocemos la variación de la serie Xt para varios perı́odos: {Xt , Xt+1 , Xt+2 , ..., Xt+p } .
Sabemos que
Xt+1 = Xt (1 + γt ),
Xt+2 = Xt+1 (1 + γt+1 ) = Xt (1 + γt )(1 + γt+1 ),
Xt+3 = Xt+2 (1 + γt+2 ) = Xt+1 (1 + γt+1 )(1 + γt+2 ) = Xt (1 + γt )(1 + γt+1 )(1 + γt+2 ),
...
Xt+p = Xt+p−1 (1 + γt+p−1 ) = Xt (1 + γt )...(1 + γt+p−1 ).
2
También podemos hablar de tasa de crecimiento media
Xt+p = Xt (1 + γ)...(1 + γ) = Xt (1 + γ)p .
Para calcularla si tenemos Xt+p y Xt hacemos
Xt+p = Xt (1 + γ)p ,
Xt+p
= (1 + γ)p ,
Xt
µ
¶1
Xt+p p
γ=
− 1.
Xt
Por ejemplo para hallar la inflación, calculamos la tasa de variación o tasa de crecimiento de
los precios:
µ
¶
·
¸
Pt − Pt−1
Pt
πt =
× 100 =
− 1 × 100
Pt−1
Pt−1
4
Valor presente descontado
En ocasiones, querremos medir el valor de un flujo de rentas, o de pagos de alquileres, a dı́a de
hoy. Utilizaremos entonces, el concepto de valor presente descontado.
Valores futuros: Si hoy ponemos 1 euro en el banco a un tipo de interés real r = 4%, ¿cuántos
euros tendremos mañana?
e1 + 1 × r = 1(1 + r) = e1.04
¿Y dentro de dos meses suponiendo que el tipo de interés permanece constante?
e1 + 1 × r = 1(1 + r) = e1.04 → 1(1 + r)(1 + r) = 1(1 + r)2 = 1.042 = e1.0816
Valores presentes: También podemos hacer la operación contraria, ¿cuántos euros debo poner
en el banco hoy a un tipo de interés r = 4% para tener en un mes 1 euro?
1
hoy serán 1 euro mañana.
1+r
5
Funciones
Conceptos que se deben saber:
• Definición de función
• Relación lineal (función afı́n)
• Ordenada en el origen
• Pendiente
• Máximos y mı́nimos
• Desplazamientos de una recta frente a movimientos a lo largo de una recta
3