Resolución numérica de modelos de valoración de

Resolución numérica de modelos de valoración de
derivados de tipos de interés en el marco del
LIBOR Market Model
Marı́a Suárez Taboada
Departamento de Matemáticas, Universidade da Coruña
[email protected]
18 de Febrero 2016
Abstract
En los mercados de opciones sobre activos se encuentran los ejemplos más clásicos de productos financieros cuyo precio depende de un
activo subyacente. Si consideramos un tipo de interés como dicho subyacente, habları́amos de productos derivados de tipos de interés que son
diseñados cada vez de una forma más compleja y requiriendo matemáticas
más sofisticadas ([1]).
Entre la variedad de tipos de interés destaca el LIBOR (London Interbank Offer Rate) que representa la tasa que emplean los grandes bancos para prestarse dinero entre ellos. El primer paso es determinar la
evolución del subyacente por medio de una ecuación diferencial estocástica
y a continuación, establecer un modelo matemático que rija su precio. En
particular, el teorema de Feynman-Kac permite calcular el precio de un
derivado como solución de un problema de Cauchy asociado a una ecuación
parabólica. En este punto, la elección del método numérico adecuado es de
vital importancia para garantizar la precisión de los resultados y tiempos
de ejecución reducidos.
El objetivo de este seminario es realizar en primer lugar una introducción a sencillos productos financieros y establecer los modelos matemáticos más conocidos para su valoración. Esta primera parte sentará las
bases para poder trabajar con productos más complejos como el ratchet
caplet ([4]). Se presentará un modelo matemático que determina la evolución
del precio del producto considerado ası́ como los métodos numéricos de
orden superior empleados en su resolución. Los métodos de Monte Carlo
son ampliamente conocidos por la sencillez de su implementación pero
pueden requerir un número alto de simulaciones para obtener determinada precisión o si trabajamos con carteras con un número elevado de
productos financieros. Como alternativa, veremos métodos basados en
Crank-Nicolson Lagrange-Galerkin ([2], [3]). Por último, se presentará un
test analı́tico para validar el método propuesto y se valorará un caso real.
References
[1] D. Brigo, F. Mercurio, Interest Rate Models: Theory and Practice (with
Smile, Inflation and Credit), Springer Finance (2007).
1
[2] A. Bermúdez, M. R. Nogueiras, C. Vázquez, Numerical analysis of
convection-diffusion-reaction pro- blems with higher order characteristics
finite elements. Part I: Time discretization, SIAM Journal on Numerical
Analysis 44 (2006) 1829-1853.
[3] A. Bermúdez, M. R. Nogueiras, C. Vázquez, Numerical solution of
variational inequalities for pricing Asian options by higher order LagrangeGalerkin method, Applied Numerical Mathematics 56 (2006) 1256-1270.
[4] M. Suárez-Taboada, Numerical methods to price interest rate derivatives
based on LIBOR Market Model for forward rates, 2012,
2