Matemática 1 - I.C. Problemas Función Exponencial y Logar´ıtmica

Matemática 1 - I.C.
Unidad 3
Problemas Exp-Log
Problemas Función Exponencial y Logarı́tmica
06 de julio de 2007
1. La población crece a un ritmo aproximado del 2% anual. Si se supone que el crecimiento de la problación
es exponencial, entonces dentro de t años la población estará dada por una función de la forma P =
P (t) = P0 e0.02t , donde P0 es la población actual. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la población?.
2. Un economista ha reunido los siguientes datos sobre el producto nacional bruto (PNB) de cierto pais:
Año
P N B( en miles de millones)
1990 2000
100 180
Use estos datos para predecir el PNB en el año 2010 si este crece:
a) linealmente,
b) exponencialmente.
3. Un modelo matemático para describir el crecimiento de la población es: P = P (t) = P0 e−kt , siendo P0
el número de personas en un cierto momento (t = 0), P el número de personas en el momento t, y k una
constante que depende de la situación.
La población de un pueblo era de 25.000 en 1980 (t=0). En 1989, era de 52.000.
(a) Utilizar los datos para determinar la función que modela el crecimento de la población del pueblo.
(b) ¿Puede predecir la población del pueblo en el año 2010?.
(c) ¿En qué momento la población será de 60.000 habitantes?
4. Un modelo logı́stico, basado en el supuesto que la Tierra no puede soportar más de 40000 millones de
personas, la población mundial en [miles de millones de personas] t años después de 1970, está dada por
P (t) = 1+C40e−k t , donde C y k son constantes positivas. Si en 1970 era de 3000 millones de personas y en
1985 de 4000 millones de personas ¿Qué predice el modelo respecto d ela población mundial para el año
2010?
5. Suponga que un fabricante calcula que un empleado nuevo puede producir cinco artı́culos en su primer
dı́a de trabajo. Al volverse más competente el operador, aumenta su producción diaria hasta haber
alcanzado determinada producción máxima. Suponga que en el n-ésimo dı́a de trabajo, la cantidad f (n)
de artı́culos producidos se calcula mediante la fórmula
f (n) = 3 + 20(1 − e−0.1n ).
(a) Estimar el número de artı́culos producidos en los dı́as 5◦ , 9◦ , 20◦ y 30◦ .
(b) ¿Puede llegar a producir aproximadamente 14 artı́culos?. ¿31 artı́culos?. Justificar su respuesta.
(c) Trazar la gráfica de f para 0 ≤ n ≤ 30. A las gráficas de este tipo se les llama curvas de aprendizaje, y se usan con frecuencia en educación y psicologı́a.
(d) ¿Qué sucede cuando n crece sin lı́mite?
6. Suponga que se invierten 1000 dólares a una tasa de interés anual del 8%. Calcular el saldo después de
10 años, en cada uno de las casos que se indican:
(a) El interés es simple
(b) El interés se capitaliza trimestralmente
(c) El interés se capitaliza continuamente
Inst. de Matemática y Fı́sica
Universidad de Talca
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7. Si se invierten $100.000 a una tasa de interés anual de un 9% (expresada en decimales) y el interés se
capitaliza mensualmente.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Determinar el monto S=S(t), después de t años.
Determinar el monto después de 10 años
¿En cuánto tiempo el capital inicial se duplica?
Expresar t en función de S.
Y, si el interés se hubiese capitalizado semestralmente, ¿cual habrı́a sido el monto después de 10
años?
Resumen de modelos
Crecimiento exponencial
Q(t) crece exponencialmente cuando Q(t) = Q0 ekt donde k es una constante positiva y Q0 es el valor
inicial Q(0).
Decrecimiento exponencial
Q(t) decrece exponencialmente cuando Q(t) = Q0 e−kt donde k es una constante positiva y Q0 es el valor
inicial Q(0).
Curvas de aprendizaje
La gráfica de una función de la forma Q(t) = M − A e−kt , donde A, M y k son constantes positivas, se
llama curva de aprendizaje.
Notar que, cuando t crece (tendiendo a +∞), e−kt tiende a 0, y por lo tanto Q(t) tiende al valor M .
Curvas logı́sticas
La gráfica de una función de la forma Q(t) =
M
, donde M , A y k son constantes positivas, es
1 + A e−kt
una curva logı́stica.
Notar que, cuando t crece (tendiendo a +∞), e−kt tiende a 0, y por lo tanto Q(t) tiende al valor M .
Interés simple (cuando el interés sólo se calcula sobre el capital)
Si se invierten P dólares (o unidades monetarias) a una tasa de interés anual r (expresada como un
decimal), el saldo B(t) después de t años será: B(t) = P (1 + r t) dólares (o unidades monetarias).
Interés compuesto (cuando el interés se calcula sobre el capital más los intereses)
Si se invierten P dólares (o unidades monetarias) a una tasa de interés anual r (expresada como un
decimal), y el interés se capitaliza k veces por año, el saldo B(t) después de t años (agregando el interés)
será:
r k t
B(t) = P 1 +
dolares
k
Interés compuesto continuamente (si se permite que el número de veces que se capitaliza el interés al
año aumente sin lı́mite).
Si se invierten P dólares a una tasa de interés anual r (expresada como un decimal) y el interés se
capitaliza continuamente, el saldo B(t) después de t años será:
B(t) = P er t
dolares
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