T1: DESENVOLUPAMENT DE CONCEPTES NUMÈRICS BÀSICS Sentit numèric: Es podria definir com “una intuïció sobre els númerosque ve donada a partir dels diferents significats del número” i que inclou aspectes com la composició i descomposició delnúmero, l’estimació de quantitats, el reconeixement de la magnitud relativa dels números,la seua representació o la comprensió dels efectes que les operacions aritmètiques tenensobre els números 1. ELS DIFERENTS USOS I CONTEXTOS DEL NÚMERO Des del punt de vista de l’ensenyament, és important remarcar que les tasques plantejades dins de l’aula s’emmarcaran dins d’un context. Normalment, la pregunta d’un enunciat ens permetrà identificar aquest context. Des del punt de vista del resolutor, la resolució d’una tasca en un determinat context pot implicar recórrer a diferents usos (un o més d’un) del nombre natural. Diferents resolutores en una mateixa tasca poden fer usos diferents del número per a donar resposta a la pregunta. Donar resposta a una pregunta en un context determinat pot implicar fer diferents usos del número. Per exemple, en un context de mesura utilitzem el numero per a : nº per a recitar> nº per a comptar> nº per a expressar quantitat> nº per a mesurar Contextos i usos: Context cardinal: En un context cardinal els números apareixen amb la intenció de descriure la quantitatd’elements que integren una col·lecció.Quants/es...? Context ordinal: En un context ordinal els números apareixen amb la intenció d’indicar la posició relativad’un objecte respecte a altres objectes d’una col·lecció ordenada. Context de mesura: En un context mesura els números descriuen una magnitud d’un objecte a partir de lesunitats necessàries per a “cobrir-lo”.Quant/quanta...? o Què tant és...? Mesurar implica la quantificació (assignació d’un número) d’una magnitud d’un element. Les tasques en context mesura tindran un major nivell de complexitat que les plantejadesen altres contextos per als estudiants d’Educació Infantil, perquè requereix que demostrenhabilitat posant en joc diferents usos del número. És per això que les activitats de context demesura han d’iniciar-se una vegada els estudiants dominen l’ús del número com a seqüència, pera comptar i per a expressar numerositat Context de seqüencia: artificial En un context seqüència els números s’utilitzen en una situació de recitat de la seqüèncianumèrica en la qual s’ha d’emetre la llista de les paraules-número segons unes instruccionsd’inici i fi. Convé no confondre aquest context amb el de comptatge (en el qual s’usa la seqüència numèricaal mateix temps que es realitza les accions de etiquetaje i partició sobre els elements delconjunt a comptar) el qual és difícilment observable aïllat en una situació escolar. Context comptatge: artificial Finalment, en el context comptatge es recita la seqüència numèrica establint una correspondènciaun a un entre els numerals (paraules-número) i els objectes que seran comptats. Subitizar pera determinar quantitats El terme subitizar es refereix al reconeixement “sobtat” d’una xicoteta quantitat d’objectes sense necessitat de comptar. És a dir, la capacitat per a reconèixer a colp de vista el nombre d’objectes que formen la col·lecció. Les investigacions suggereixen que la subitizació es fenomenològicament diferent del comptatge i d’altres maneres de quantificar. Alguns estudis mostren que xiquets de 2,3 i 4 anys són més propensos a emprar la subitizació davant conjunts xicotets que el comptatge. Des delpunt de vista de l’ensenyament, Clements y Sarama (2009) paren esment a la distribució espacialdels objectes presentats, perquè per als xiquets i xiquetes les distribucions en línia, en rectangle(per parelles d’objectes) i finalment en forma de “dau” o “dominó” van en ordre de complexitatcreixent. La coordinació de conjunts (per a determinar quantitats) Al costat del comptatge i la subtització, la coordinació de conjunts (correspondència un aun) és la tercera tècnica típica emprada pels estudiants d’Educació Infantil per a donar respostaa les tasques que es plantegen en contextos cardinals. L’acció de coordinar dos conjunts consisteix (en essència) a realitzar una correspondènciaelement a element (un a un) entre els elements del primer conjunt amb els del segon, senseque sobre ni falte cap element per coordinar en cap dels dos conjunts. L’ús de quantificadors La coordinació de conjunts permet comparar col·leccions sensehaver d’usar les paraules-número. Com a conseqüència, en Educació Infantil l’ús d’aquesta tècnica(la coordinació) permet comparar quantitats discretes en edats primerenques mitjançant l’úsdels anomenats quantificadors. De fet, en una primera aproximació a les quantitats discretes,els xiquets empraran uns avaluadors de quantitat generalistes i no utilitzaran els números (lesparaules-número). A aquests avaluadors no numèrics els denominarem quantificadors (per adistingir-los dels números). No obstant això, hem de recordar que l’ús dels números en uncontext cardinal dóna una quantificació exacta i el dels quantificadors no. Entre els quantificadors, podem distingir: • Cap, alguns-uns, tots. Els tres estableixen una comparació entre un subconjunt i el seu conjunt de referència. Cap dóna una idea exacta de la quantitat: el zero o res. Alguns - uns, totsnecessiten d’una agrupació de referència de manera que el que es fa és comparar aquesta quantitat i la del conjunt de referència. • Punts... com, Igual... que. estableixen una relació d’equivalència entre la quantitat present en dos col·leccions diferents. • Més... que, Menys... que. estableixen una relació d’ordre entre la quantitat present en dos col·leccions diferents. • Molts i pocs. Tenen un caràcter relatiu i s’estableixen com a resultat d’una comparació entre quantitats. Per al conjunt que té pocs elements en realitat el que ocorre és que té menys elements que un altre respecte al qual el subjecte fa la comparació. 2. ACCESOS ESCOLARS AL NOMBRE NATURAL És habitual confondre accés amb context. - Un context és una situació de la realitat (p.e. una activitat a l’aula) en la qual el número apareix amb undeterminat significat. El acceso es un enfoque de enseñanza o trayectoria de aprendizajehaciauna organización de los contextos del número. 2.1 ACCÉS ORDINAL AL NOMBRE NATURAL L’accés ordinal als nombres naturals es basa en l’activitat de comptar. Això suposa que la intervenció primera serà l’ensenyament de la seqüència numèrica. Així, en l’accés ordinal al número el mestre donarà importància a la idea d’ordre lligada a la seqüència numèrica, i per tant, les activitats inicials es desenvoluparan en un context de seqüència i de comptatge, per a després abordar els altres contextos ( ordinal, cardinal i mesura). i. ii. iii. iv. Act de recitar: contextosecuencia Act comptatge: contextoconteo Act context cardinal Act context medida És més senzill, social i posteriorment útil. L’activitiat de comptar ocupa un paper primer (necessari) per a poder fer un ús correcte (i útil) del número en contextos i usos diferents: a) quan la usem per a comptar: context comptatge b) quan la usem per a marcar la posició: context ordinal c) quanla usem per a expressar la quantitat d’objectes: context cardinal d) quan la usem per a operar: - L’APRENENTATGE DE LA SEQÜÈNCIA NUMÈRICA: ADQUISICIÓ I ELABORACIÓ Ha de complir els axiomes de Peano. Ha de ser repetible i integrada per etiquetes úniques per a permetre el seu aprenentatge i facilitar el seu ús. L’aprenentatge de la seqüència numèrica passa per dos fases simultànies: i. Fase d’adquisició: els xiquets aprenen memoristicamentla seqüència numèrica correctament. 1. Memorització de les paraules-número (arbitràries) no obtingudes per generació algorítmica015 - 2. Generació de desenes a partir de les unitats elementals de la base com a característica bàsica del SND. - 3. L’aprenentatge de les regles de generació que combinen desenes i unitats. (construcció algorítmica) - Es distingeix tres parts en l’estructura de les seues produccions (recitat): - Part inicial estable i convencional: correcta Part estable, però no convencional: incorrecta Part no estable i no convencional: incorrecta: El avanç progressiu en el domini de parts convencionals i estables cada vegada més llargues de la seqüència numèrica es farà en dos passos: 1. Estabilitzant progressivament trossos de la tercera part (la no convencional ni estable),fent, per tant, més gran la segona part (estable, però no convencional) 2. Rectificant progressivament trossos de la segona part (l’estable i no convencional), per afer la primera part més gran. ii. Fase d’elaboració:el subjecte, gradualment,construeix relacions entre les elements de la seqüència numèrica convencional i estable que ja téadquirida. Aquestes relacions li permeten transitar d’un mer recitat de la seqüència numèrica enbloc a una emissió reflexiva (adquirint consciència del sentit numèric). Nivells d’elaboració de la seqüència numèrica: 1. Nivell corda: Necessita començar pel 1 i no diferencia entre les paraules (unodostrescuatro), recita de carrerilla. Puedesubitizar. 2. Nivell cadena irrompible: Necessita començar amb el 1 i diferencia les paraules, fent correspondència palabra-numero. Puede utilitzar la seqüència numèrica per a comptar: podent abordar amb èxit tasques en contextos cardinal, ordinal o de mesura, així com per a l’aplicació del comptatge a problemes additius. 3. Nivell cadena fragmentable: No necessita començar per el 1. Determinar el nº de delante y detrás del otro. Poden recitar de x a y amb ajuda de material, como el us dels dits (doble conteo). 4. Nivell cadena numerable: Realitza el doble conteo sense material: cuenta 3 a partir de 5, o cuenta de x a y: associar la secuencia (6,7,8) a la cantidad/posición( 1,2,3). 5. Nivell cadena bidireccional: Comptar tant en sentit creixent com decreixent, de d’un terme qualsevol i es pot canviar fàcilment la direcció, sense necessitat de recursos, empreant el doble comptatge. - PRINCIPIS DE COMPTATGE 1. Principi de correspondència un a un El principi de correspondència suposa l’assignació d’una única paraula-número a cada objecte de la col·lecció que vulguem comptar, sense la possibilitat d’assignar el mateix numeral a dos elements simultàniament. Aquest principi requereix coordinar dos processos: i) ii) particionar la col·lecció segons els objectes hagensigut ja comptats o no; etiquetar cada objecte comptat amb un numeral (o paraulanúmero). 2. Principi d’ordre estable: Estableix que els numerals s’han d’emetre en un ordre repetible i correcte. (etiquetado). Dependera de hastadondelleguesuparte estable i convencional 3. Principi d’abstracció Estableix que el comptatge pot ser aplicat sobre qualsevol conjunt d’elements, ja siguen físics o abstractes sempre que es tracte d’un conjunt discret (elements ben diferenciats). Adquisició completa als 7 anys. Em de començar amb objectes físics i tangibles. 4. Principi de cardinalitat: Estableix que en un comptatge l’últim numeral usat representa unapropietat del conjunt d’elements, doncs expressa el cardinal d’aquest. Pressuposa l’adquisició prèvia del principi de correspondència i el d’ordre estable. Es pot reforçar: repetint el últim numero i donant resposta: hi ha 3 caramels. 5. Principi d’irrellevància d’ordre La quantitat d’elements d’una col·lecció no depèn de l’ordre en què es realitze el comptatge. Implica que: i) ii) iii) que l’element comptat és una entitat independent del numeral assignat; que els numerals s’assignen de manera temporal i arbitrària als elements i no romanen adheritsals mateixos més enllà del procés de comptatge; que el cardinal obtingut no depèn del’ordre d’en el procés de comptatge. Cóm saber si està adquirida? Canviant la posició dels objectes o el sentit del conteo (izq-dere, arriba-abajo). - ERRORS ASSOCIATS ALS PRINCIPIS DE COMPTATGE: Errors de partició: errors derivats de l’acció de la partició entre objectes comptats i no-comptats, relatius als objectes de la col·lecció a comptar. En relació al principi de correspondència: 1.Omissió d’un objecte: no se li asigna numeral ni és assenyalat amb el dit pel subjecte 2. Assignació de més d’un numeral a un mateix objecte 3. La no assignació d’un numeral a un objecte no omés, perquè ha sigut assenyalat en el procés de comptatge. Errors d’etiqueta: error derivat de l’acció de l’etiquetatge i relatius a la seqüència numèrica. En relació al principi d’ordre estable, pot haver un error en la adquisició de la seqüència numèrica (1,2,3,5). T2: EL SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL, FONAMENTS PER A L’ENSENYAMENT Número: és una idea o abstracció. Numerals: els símbols que representen els números 1. L’evolució dels sistemes de numeració i les seues implicacions didàctiques Origen: Els sistemes de numeració van nàixer per la necessitat de registrar la quantitat d’objectes d’una col·lecció. Definició: Un sistema de numeració està format per un conjunt de signes i regles que permeten assignar a cada número una representació exclusiva. El nostre: sistema de numeració decimal (SND). Evolució: 1.1 SISTEMES ADDITIUS: En els sistemes additius els números es representen mitjançant una col·lecció de signes bàsics. La suma dels números que representen els signes donarà com a resultat el número representat pel conjunt de símbols. Segons els agrupaments, podem trobar: Sistemes de representació simple: Es caracteritzen per la repetició uniforme d’un únic element tantes vegades com el número que es desitja representar. La representació del número està lligada a l’aspecte cardinal del número, de fet, la notació opera sobre el principi de correspondència un a un: a cada objecte se li assigna una marca (u altre objecte). Ex: pals de còmput o pals de comptatge. Dificultats: per representar i llegir números grans. Sistemes d’agrupació simple Per pal·liar aquestes limitacions, van realitzar agrupacions de 5 en 5 (per els dits de les mans), i era representada en la escriptura mitjançant una diferent organització dels símbols: recreant el agrupament o/i amb un ratllat. Es caracteritza per la elecció d’una base per a l’agrupament (ex: 5), de tal manera que s’empren dos símbols: per a les unitats i per als grups. Continua sent de naturalesa auditiva: el valor del número es determina per l’addició dels valors individuals dels símbols. Dificultats: La ratlla facilitava la lectura, però continuava sent molt laboriosa l’escriptura de números grans. Sistemes d’agrupament múltiple Es caracteritza per tindre un símbol per cadascuna de les potencies de la base. És a dir, no se limita el nombre de diferents símbols, sinó les vegades que es repeteix un mateix símbol. Així, en la representació d’un número, un mateix símbol apareixerà com a màxim tantes vegades com la base menys un. Dificultats: presenta limitacions similars amb la representació del número gran, però a més, el tipus de notació utilitzada no resulta potent per al càlcul. 1.2 SISTEMES MULTIPLICAITUS: Per solucionar els problemes amb el càlcul, sorgeixen aquests sistemes amb la intenció de evitar la repetició (limitada) de símbols en els sistema anterior. Per tant, els sistemes multiplicatius es caracteritzen per la substitució total o parcial de la repetició de signes iguals. Estos utilitzen dues classes de símbols: un per a les potencies de la base i altres per als multiplicadors. Un exemple de este sistema seria el nostre sistema de numeració oral: tres mil quatre-cents. Potencia de la base(mil o cent) i els que representen als multiplicadors (tres i quatre). 1.3 SISTEMES POSICIONALS: L’evolució d’un sistema multiplicador cap a un sistema posicional necessita: i) Establir un ordre en l’escriptura dels símbols que representen a les potències de la base: de major a menor ii) Eliminar els símbols de la potència de la base i dotar als multiplicadors de sentit segons la posició que ocupen. iii) Introduir un símbol (el zero) per a assenyalar l’absència de multiplicadors en una determinada posició. - Sistema babiloni: va ser el primer sistema posicional. 2. L’ensenyament del sistema de numeració decimal SND: es un sistema posicional. Es fonamental dominar: la idea de desena com a base de l’agrupament, el valor posicional de les xifres, o la representació escrita dels números. - Coneixements previs a la representació dels números: Des d’un accés ordinal, la introducció de la representació de numerals de més d’una xifra exigirà que l’estudiant d’infantil tinga adquirits els següents coneixements previs: i) La capacitat de construir col·leccions d’objectes donat el seu cardinal ii) El coneixement del cardinal cero com a absència iii) La possibilitat de representar els números d’una xifra mitjançant els signes corresponents (0 al 9) 2.1 ELS MODELS // MATERIALS MANIPULATIUS Models proporcionals:existeix una magnitud física que fa present la relació numèrica entre els elements que simbolitzen els diferents ordres de magnitud. Així, la peça que simbolitza la desena és deu vegades major que la de les unitats. - Models pre-agrupats: no es possible compondre/descompondre cap de les seues peces. Ex: bloc de Dienes de base 10 (blocs multibase), regles de Cuisenaire - Models agrupables: a partir dels elements individuals que representen la unitat, es pot compondre els elements d’ordre superior. Ex: blocs multilink Models no proporcionals:Les peces no guarden cap relació física amb les quantitats representades. Ex: monedes o àbacs. Per a l’ensenyament, s’ha de seguir aquest ordre: 1. Models proporcionals agrupables - - - 2. Models proporcionals pre-agrupats 3. Models no proporcionals Hem de tindre en compte que el xiquet, fins a aqueix moment i des d’un accés ordinal, ha construït les seues idees sobre el número a partir del comptatge (d’un en un). Els models han de facilitar una evolució des d’una concepció unitària del número a una multiunitària, basada en la idea agrupació que permeta compondre i descompondre el número en diferents parts. 17( 1 desena / 7 unitats). L’enteniment de la relació entre representacions comporta que el xiquet, progressivament, ha de deixar de dependre del comptatge d’un en un: En una primera fase, ofereixen un gran interès tasques que actuen com a pont entre models agrupables i pre- agrupats, i on el estudiant recórrega al comptatge per a una agrupació correcta. En aquest sentit, els casellers decimals, en combinació amb altres materials agrupables, pot ser ajuda per al xiquet abans de treballar amb models com els blocs multibase. Com a pas previ per a la comprensió del valor posicional del sistema de numeració, es deu ensenyar en paral·lel: Les agrupacions L’aprenentatge de la representació oral i escrita de números de 2 xifres. ESQUEMA DE TRANSICIÓ D’ACTIVITATS, BASADES EN ELS MATERIALS MANIPULABLES: 1. Activitats de composició i descomposició de quantitats a partir de la unitat (models proporcionals) 2. Activitats que persegueixen la formació d’unitats d’ordre superior (desena, inicialment amb models proporcionals i després introduïnt models no proporcionals). 3. Activitats en les quals es posa èmfasi en la representació i en el valor posicional (tant models proporcionals com no proporcionals). - En aquest punt es pot optar per fer ús de colors amb l’objectiu de reforçar la idea que el significat de la xifra depèn de la posició. MATERIAL NO PROPORCIONAL: L’ÀBAC En l’àbac, a l’gual com en el SND, el valor de cada compte resideix en la posició de la vareta que ocupa. Encara que, la relació entre la desena i la unitat és únicament simbòlica, per això treballar amb ells compta major nivell d’abstracció. És millor utilitzar els blocs multibase en els primers moments, i deixar l’àbac per a números de tes o quatre xifres, ja que: - Les idees de valor posicional haurien d’estar ja fermament arrelades a aqueixes altures - La impossibilitat o/i laboriositat per a representar quantitats grans amb els blocs. Tema 3: L’ensenyament-aprenentatge de les operacions amb nombres naturals 1.La suma i la resta de nombres naturals abans dels algorismes Els xiquets construeixen els conceptes bàsics d’addició i sostracció en la etapa de infantil abans de rebre una instrucció explícita, a partir d’estratègies informals de comptatge. Durant anys, el focus principal de l’ensenyament es dirigia a la memorització dels fets numèrics bàsics, mentre que, actualment es planteja que l’aprenentatge d’aquests fets ha d’emanar de l’ús d’estratègies informals dels estudiants en contextos de resolució de problemes. Fets numerics bàsics: ser capaz de hacer operaciones sencillas sin necesidad de contarlo o hacerlas (5-4=1; 3+2=5). L’accés escolar als naturals triat en la instrucció té conseqüències a l’hora d’introduir la suma i la resta. Des de l’accés ordinal: la suma implica continuar comptant cap avant Des de l’accés cardinal: la suma de dos números implica un procés d’anada i tornada governat per la determinació del cardinal dels conjunts. i. Buscar dos conjunts que tinguen per cardinals aquests números ii. Unir els conjunts iii. Determinar el cardinal d’aquest conjunt. Convé no associar les operacions de suma i resta de manera exclusiva a l’ús d’algorismes. No és necessari conèixer els algorismes per resoldre qualsevol problema additiu. Tampoc és necessari partir de la representació escrita. - Seqüència en l’ensenyament de la suma i la resta Fase 1 (infantil-primaria): Usa la representació física i ús del comptatge per a resoldre-les. - Dificultats: representació de números grans i doble comptatge. (utilitzar les mans) Fase 2 (infantil-primaria): Fets numèrics/ taules de sumar i de restar Fase 3 (primaria): comença a representar números majors que 10 en el sistema de numeració posicional. Fase 4 (primaria): inici de l’ensenyament d’algorismes que permet ampliar la resolució de problemes additius amb números més grans. Estratègies de suma: comptar tot i comptar a partir de Es diferencia per el nivell d’elaboració de la seqüència numèrica. Comptar tot:sis més tres és • • • • • • • • • Podem identificar esta estratègia amb la usada en el cas del accés cardinal, si després de la unió es realitza el comptatge. Com soles es necessita comptar cap avant des del 1, el nivel dell d’elaboració de la seq. numèrica exigit seria el de cadena irrompible. I necessitarà adquirits els principis de correspondència 1 a 1 i de cardinalitat per a poder abordar la tasca. Comptar a partir de: més tres es (6) 7,8 i 9 Requereix el domini de tres sub-habilitats: i. ii. iii. Ser capaç d’iniciar el comptatge des d’un número diferent d’un Ser capaç d’entendre que la paraula que designa el cardinal de la primera col·lecció pot usar-se com a element d’un procés de comptatge (ús de seq. Numèrica) Ser capaç d’iniciar un comptatge sobre la segona col·lecció amb el següent numeral al qual determina el cardinal de la primera col·lecció. Normalment els xiquets i xiquetes, quan comencen a usar aquesta tècnica, comptaran sobreel sumand que es dóna en primer lloc. Després, i de manera espontània, ho faran sobre el majordels sumands com a estratègia simplificadora. Implica que l’estudiant, sense el recurs de cap material, tinga un nivell mínim de cadena numerable, perquè es requereix avançar cap avant un nombre de passosdes d’un número donat, la qual cosa implica realitzar un doble comptatge. Elxiquet ha d’emprar algun mètode de control— molt habitualment, els dits— per a coordinar elprocés de comptatge amb el sumand que s’afig pel que aquesta estratègia podriainiciar-se en nivells de cadena fragmentable fent ús dels dits de la mà. Estratègies de resta: comptar cap amunt fins a, comptar cap avall i comptar cap avall fins a Comptar cap amunt fins a: 6-2= me pongo en 2 y voy hasta 6= 4) Resultado: los saltos Sin recursos, numerable. Con, fragmentable. Aquesta estratègia de resta es basa en les mateixes transicions que l’estratègia de sumacomptar a partir de (counting on). No obstant això, el procediment de control difereix, doncs,en aquest particular, el comptatge ha de detindre’s en aconseguir-se (verbalitzar-se) el minuend,sent la diferència el nombre de paraules incloses en el comptatge Comptar cap avall: (6-2: me pongo en 6 y bajo 2=4) Resultado: el numero Sin material, numerable. En l’estratègia comptar cap avall el resolutor inicia un comptatge descendent des del minuendrecitant tantes paraules com indique el subtrahend, de tal forma que l’última paraula indica elresultat. Aquesta estratègia funciona de manera anàloga a la comptar a partir de per al cas de la suma. El resultat és el número aconseguit en el comptatge descendent. Atés queés necessari comptar cap endarrere una quantitat d’elements, Fuson (1988) indica que aquestaestratègia necessita d’un nivell de cadena numerable en l’estudiant per a poder ser posada enpràctica. Comptar cap avall fins a: (me pongo 6 y bajo hasta el 2=4). Resultado: los saltos En l’estratègia comptar cap avall fins a és necessari comptarcap endarrere des d’un número fins un altre. Si l’estratègia s’utilitza sense material manipulableés necessari realitzar un segon comptatge a mesura que es va del minuend al subtrahend. Enaquest cas, seria necessari novament un nivell de cadena numerable. Estratègia Comptar tot Comptar a partir de operació Nivell d’elaboració Irrompible Ascendent Frag + material/ Numerable + Comptar cap amunt Comptar cap avall Comptar cap avall fins a Dirección comptatge - Descendent La suma más fácil: comptar tot La resta más fácil: Comptar cap amunt 2. El paper de les representacions pictòriques en l’ús d’estratègies És habitual en Educació Infantil fer ús d’elements pictòrics per a la representació de situacionsd’addició o problemes verbals. Vegem i analitzem el seu paper a partir de les diferents activitatspropossades. 3. La transició cap als algorismes No es necesario usar el algoritmo ni una resta tan grande si la operación es tan sencilla como restar con los dedos. La descomposició d’un número en desenes + unitats. Aquest fetnumèric és bàsic i reforçat amb el material adequat donarà als estudiants la base que desprésdonarà peu a la comprensió dels algorismes. De fet, com veurem més endavant, la descomposicióaritmètica dels números és el fet fonamental que cal compendre per a poder fer un ús reeixit delsalgorismes. Convé recalcar que, des de l’accés ordinal, convé reservar un espai (ampli) en l’ensenyamentque permeta l’aparició de les estratègies de comptatge estudiades. Així, a partir del comptatge,l’estudiant serà capaç d’establir fets numèrics que li permeten encaminar-se cap a l’ús dels algorismesestàndard amb el coneixement del que està ocorrent en cada pas. 4. Els algorismes estàndard de la suma i la resta Com indica Arnau (2017), l’objectiu dels algorismes és permetre la realització d’operacions aritmètiquesen les quals intervenen números de més d’una xifra. Aquest ensenyament requereix una major progressivitat desde l’aprenentatge dels fets numèrics bàsics fins a la formalització de l’algorisme tradicional. Els algorismes (en la seua forma estàndard) són el producte d’una llarga evolució històrica,principalment orientada cap a la cerca de mètodes de càlcul eficients i fiables. Per a la suma: Algorisme estàndard per a la suma Entender el concepto de me llevo una con la agrupación de 10 en 10 ( hacia las decenas, centenas..): Quan la suma d’un ordre de magnitud supera el número 9, és possible descriure el número usant les unitats d’ordre superior. Per exemple, si el resultat de sumar la columna de les unitats és tretze, podem descriure el resultat com 1 desena i 3 unitats. La portada consisteix a fer operativa la transformació anterior. Com tretze és 1 desena i 3 unitats, deixem el 3 en la columna de les unitats i passem 1 a la columna de les desenes Dividir el algoritmo en centenas, decenas y unidades: valor posicional Han de sumarse les xifres dels sumands pertanyents a un mateix ordre de magnitud (u,d,c) Evitar memorizar el mecanismo, deben comprender que son agrupaciones de unidades, decenas y centenas. Errors habituals en l’algorisme de la suma estàndard 1. Afegir un dígit extra en una columna (72+ 2= 0 11) 2. Ignorar les xifres extra: (72 + 2= 0 4): absència d’algun ordre d’algun sumand 3. Reutilitzar un dígit ja usat (72 +2= 9 4) absència d’algun ordre d’algun sumand 4. Omissió de l’implique ( en la columna…..): és habitual trobar errors en el implique de la suma portant. Habitualment, es produeixuna omissió de l’implique, però també es donen errors en els quals la portada no es realitza en lacolumna adequada. Per a la resta: Algorisme estàndard per a la resta 1. Pedir prestado (AMPRAR) Entender el valor posicional para pedir prestado. Entender que el uno de la decena es un 10 en la unidad. Les unitats del minuend han demanat reforços a les desenes del minuendo. És a dir es realitza el procés de la portada de la suma, però ensentit contrari. En lloc d’agrupar en unitats d’ordre superior, es descompon en unitats d’ordreimmediatament inferior. Convé assenyalar que en aquest procés el subtrahend no participa. o HACES LA RESTA CONVIRTIENDO EN EL MINUENDO UNA DECENA EN 10 UNIDADES. 2. Demanari pagar Entender la compensación:La idea de compensació entre minuend i subtrahend resulta més complexa que la de “demanarreforços” a l’ordre de magnitud superior. L’algorisme per compensació (demanari pagar) exigeix comprendre que: 1. Quan s’afig un mateix valor a minuend i subtrahend el resultat de la resta no vària o Si sumo 10 al minuendo y 10 al sustraendo, el resultado será el mismo que el número original. 2. El valor afegit a minuend i subtrahend s’aplica a diferents ordres de magnitud. o o La unidad del minuendo se quedará con dos números (decena y unidad), el sustraendo solamente con la unidad, y la decena añadida (para compensarla) será representada en la posición de las decenas, sumándose y obteniendo un nuevo número en la decena. HACES LA RESTA AÑADIENDO 10 UNIDADES EN EL MINUEDNO Y EN EL SUSTRAENDO, CONVIRTIENDO LA DECENA EN EL MINUENDO COMO 10 UNIDADES Y EN EL SUSTRAENDO COMO 1 DECENA. Complejidades associades a los algoritmes de la resta estàndard Des d’un punt de vista didàctic, l’algorisme de demanar i pagar ofereix uns certs avantatges i) ii) iii) Es basa en la addició més que en les subtraccions, la qual cosa fa que l’algorisme siga méssenzill d’aplicar S’elimina la dificultat de “amprar” quan hi ha zeros en els dígits a l’esquerra en el minuend,cas que constitueix una de les principals fonts d’error en la resta En cada pas, el nombre d’operacions i opcions és comparativament menor, la qual cosa estradueix en què siga un algorisme fàcil d’aplicar i recordar. Malgrat aquests avantatges, els mateixos autors subratllen que, des del punt de vista del significatde l’operació, l’algorisme demanar i pagar és menys apropiat que el de amprar,perquè no es fonamenta exclusivament en la comprensió de la idea de valor posicional. En aquest sentit, l’ús de material manipulatiu facilita especialment donar sentit a cadascuna dels passos del’algorisme amprar. L’algorisme de amprar és més procliu a la comissió d’errors. La dificultat sorgeix quan trobem un zero en l’ordre de magnitud superior del minuend. En el cas de demanar i pagar, la dificultat pot sorgir en donar sentit a les accions del propi algorisme. El cas límit en aquest es dona quan s’emporta en una posició del subtrahend on hi ha un 9. No obstant això, en aquest cas el resolutor pot optar per 2 procediments: a) Passar la portada a l’ordre de magnitud superior b) Fer la resta parcial i després es passa la portada a la xifra el subtrahend d’ordre superior *Convertir el 10 de la decenena en 0 decenas y 1 centena (a), o dejar el 10 en la decena y volver a pedir y pagar en la centena y decena correspondiente. Errors habituals en l’algorismgir e de la resta estàndard 1. Resta portant: evitar la portada Restar el xicotet al gran: no fer la portada, i restar la xifra del subtrahend ( en aquest cas major) a la del minuend. 2. Algorisme demanar i pagar: es comú oblidar portar un en el subtrahend. No és tan típic en l’algorisme de amprar ja que en aquest cas aquest procés precedeix a efectuar la resta parcial. 3. Algorisme d’amprar: el zero en l’ordre de magnitud superior. En aquest cas, el error principal és ignorar els zeros fins a trobar una xifra en el minuend diferent de zero i després considerar-los com si foren una desena. 5. El paper dels materials manipulatius en el modelatge de les operacions En aquest text ens centrarem especialment en dos casos: un material proporcional(els blocs multibase) i un no proporcional (els àbacs). Com indica González-Calero (2019), les característiques físiques dels blocs multibase, enconjunció amb altres materials com a plantilles o casellers decimals, donen sentit a la acció deportar o d’amprar dels algorismes de la suma i resta, respectivament. Al seu torn, la grandàriade les peces emfatitza la idea de valor relatiu de cada dígit del sistema decimal posicional. En concret poden usar-se blocs multibase i àbacs tenint en compte els arguments afavor i en contra que s’exposaran en les activitats de laboratorio.Per a exemplificar el procéspartirem de la suma 26 + 17. Mitjançant els blocs multibase (Figura 3.43) podem representarels número 26 i 17 i col·locar lesbarres (desenes) i cubs (unitats) en una disposició similar almuntatge estàndard de la suma. L’ús dels blocs multibase redueix la situació de suma a ajuntar dues col·leccions. Si s’inicial’agrupament per les glaçons (unitats), s’aconsegueix un total de tretze glaçons (unitats) En aquest punt es recuperen les activitats de compactació substituint deu dels cubs (unitat)per una barra (desena) i s’emporta la nova barra construïda a la zona on es troben la resta debarres. El conjunt d’aquesta acció i l’anterior sobre el material manipulable dóna sentit a laportada En aquest punt ja es pot realitzar l’agrupament de les barres (desenes) i obtindre el resultatfinal Modelatge de la suma amb materials Modelatge de la suma amb blocs base 10 Modelatge de la suma amb àbacs Modelatge de la resta amb materials Modelatge de la resta amb blocs de base 10 Modelatge de la resta amb àbacs T4: INTRODUCCIÓ ALS PROBLEMES VERBALS ARITMÈTICS D’UNA ETAPA La complejidad la regula el profesor: enunciadossencillos (¿Cuánto es 2+4?) o enunciadosmásdesarrollados (Salí de casa con 2 canicas. Gané x partidas y perdí nosecuántas. En total gané 4 canicas. ¿Con cuántas llegué a casa? La dificultad es lo que experimenta al alumnado, depende de las competencias de cada uno. Le operacions bàsiques ha de desenvolupar-se en paral·lel a la competència en la resolució de problemes. És important destacar que en aquesta etapa educativa, la resolució de problemes deu abordar-se principalment de manera verbal en el seu registre oral plantejant la situació real que representa el problema per mitjà de múltiples representacions: el llenguatge parlat, les representacions gràfiques, els models manipulatius, els símbols, les grafies, etc. perquè el propi llenguatge i la lectoescriptura estan en procés d’adquisició. PROBLEMA VERBAL ARTIMETIC-ALGEBRAIC: Un problema verbal aritmètic-algebraic és un text en el qual s’ofereix una descripciód’una situació o fenomen mitjançant relacions entre diverses quantitats que assumeixencert valor, el qual pot ser conegut o desconegut. La finalitat de resoldre aquests problemesés determinar una o diverses quantitats desconegudes. Per a això és necessari recórrer alcàlcul d’expressions aritmètiques o a la resolució d’equacions. - Se puederesolver de forma aritmètica (operaciones con números) y algebraico(operaciones con incognitas: ecuaciones) PROBLEMES D’UNA ETAPA: Problemes que es resolen en una unica operació. PROBLEMES MULTIETAPA: Els problemes que necessiten més d’una operació aritmètica. 1. Complexitat i dificultat dels problemes aritmétics verbals d’una etapa Els problemes verbals aritmètics d’una etapa requereixen simultàniament la capacitat de resoldre determinades operacions aritmètiques com la capacitat de compendre la situació descrita en l’enunciat i traduir-la a relacions matemàtiques. En la complexitat dels problemes verbals influeixen: - - - L’estructura matemàtica del problema: tipo de operaciones. Hemos vistoproblemas de diferentecomplejidad con la mismaoperación. Por lo que no gradua la complejidad del problema La sintaxi de l’enunciat: el número de oraciones, el orden... Influye, però tampoco gradua la complejidad del problema. Por ejemplo: Major facilitat d’aquells problemes en els que l’ordre de l’aparició de les quantitats es correspon amb l’ordre en què s’ha d’operar amb elles. La semàntica de l’enunciat: el significado de las palabras. Les paraules clau Les paraules clau son verbs típics de la terminologia matemàtica (restar, triplicar, dividir,etc.) al costat de verbs no propis de la matemàtica (guanyar-perdre, ficar-traure, etc.) i altresparaules que evoquen relacions entre quantitats (total, benefici, etc.). S’ha demostrar que l’ensenyament dels problemes no pot organitzar-se al voltant de l’existència d’una correspondència biunívoca entre les paraules clau i les operacions aritmètiques que resolen el problema: Guanyar pot referir-se a fer operacions de suma i de resta. - Se equivocanporq el metodo se basa en las palabrasclave: no acaban de comprender el enunciado del problema L’evocació d’esquemes conceptuals: Segons l’enunciat: - Problemes d’àbac: la situació es purament matemàtica i l’operació per a resoldre el problema es dona explícitament. Problemes contextuals: no es dona explícitament l’operació, sinó que és el resolutor el que ha d’utilitzar un esquema (o estructura) conceptual que genere una relació entre quantitats de la qual poder deduir l’operació a realitzar. En els problemes verbals d’una etapa, únicament és necessari posar en joc un esquemaconceptual. En aquest cas, això condueix a una identificació entre esquema conceptuali la semàntica global de l’enunciat. Aquest significat global permet una categoritzaciósemàntica dels problemes d’una etapa, com veurem a continuació. 2. Categorització semàntica dels problemes additius d’una etapa Classificació semàntica dels problemes verbals d’una etapa: - Problemes additius: aquells que es resolen amb una suma o resta Problemes multiplicadors: multiplicació o divisió. NO LOS DAMOS. Dins dels problemes additius, veiem que hi ha quatre categories semàntiques: (igualació no lo damos). Combinació: Dues de les quantitats seran el cardinal de dos subconjunts (parts) la unió de les quals produeix un conjunt de referència (tot) que el seu cardinal serà la tercera quantitat. 1) 2) No debe existir un cambio temporal: es en el mismomomento. Estratègia: comptar tot Es donen les parts i es demana el tot Es dona el tot i una part, i es pregunta per l’altra part. - Problemes que soles donen el tot, i ninguna de les parts: No serà d’aquest tipus fins que no es calcule una de les parts: oferint la possibilitat que els xiquets observen que existeixen problemes amb múltiples solucions correctes Problemes mal construïts: els nens intenten donar resposta i) que els estudiants tracten d’aplicar els esquemes conceptuals que s’adapten a la situació ii) la força del contracte didàctic implícit que porta als estudiants a no considerar la possibilitat que el problema no tinga solució - Canvi: Presenten: una quantitat inicial, un augment o disminució i una quantitat final. Una de les tres pot ser desconeguda. Ex: Jorge té 7 anys. Quina edat tindrà dins de 15 anys? Comparació: Presenten: una quantitat de referència, una quantitat comparada i una diferència. Caracteritzats per: contindre les preposicions més que o menys que. El referent sempre es situarà darrere del que. Ex: Pedro té 2 bales menys que María - A vegades l’ús d’aquestes paraules porta a confusió amb els problemes de canvi. 3. La relació complexitat- dificultat en els problemes additius d’una etapa La classificació semàntica dels problemes additius d’una etapa permet establir una relació entre les característiques semàntiques del problema i la seua dificultat. Això dota al mestre d’una guia a l’hora de plantejar seqüències d’ensenyament graduant el nivell de dificultat a priori i jugant amb les diferents variables que li confereixen més o menys complexitat estructural al problema. TEMA 5: PENSAMENT ALGEBRAIC Las series presentan conceptos algebraicos. Por el concepto de generalización de la regla de la serie ( 1 rojo 2 azules): Sabemos que hay el doble de azules que de rojos en cada repetición ( x y 2x). Álgebra primerenca: utiliza las propiedas del algebra, introduciendo así el pensamiento algebraico (como la generalización). No introduce el algebra. Preálgebra: introduce el algebra, con el uso de las estructuras algebraicas y símbolos (incógnitas: x). 2. IDENTIFICACIÓ I DISCRIMINACIÓ DE PROPIETATS Els nens tenen dificultats per atendre a diferentes propietats dels objectes alhora. Tendeixen a percebre amb més facilitat les propietats qie responen a qualitats sensorials (color, forma, tamany, pes) que unes altres no perceptibles físicament, com la multitud/quantitat. Atribut(característica o propietat): característiques especifiques del objecte: azul, grande, fino, cuadrado… Descriptor: el conjunt dels atributs relaciontas entre si. Poden ser: - Qualitatius: els valors no són ordenables. Ex. Color - Ordinals: són ordenables. Ex. Suavitat (més a menys suau: suaus i aspres) -Quantitatius: si pren valors numèrics, i per tant, ordenables. Ex. El nombre de costats. - Medibles o mesurables: ordinals o quantitatius que siguen susceptibles de ser mesurats. Ex. Altura o intensitat del color. 3. ELS MATERIALS LÒGICS PER A LA IDENTIFICACIÓ I DISCRIMINACIÓ DE PROPIETATS - Blocs lògics de Dienes: basat en quatre descriptors pròxims al nen: color(3), forma(4), grandària i gruix (2)= 48 piezas - Les fitxes atributs: cada atribut es representa amb una etiqueta, afirmativa si es compleixen i negativa (taxada) si no. 4. SELECCIONS I AGRUPACIONS: Selecció: elegim uns obejctesi descartem altres d’una col·lecció baix un criteri (regla). Agrupació: quan la regla de selecció s’aplica sobre el total de la col·lecció. *Importància del conjunt de referència - EL joc del si i del no: es proposa un lloc físic on col·locar els elements (com una caseta). Per a ajudar amb la verbalització de la regla sol fer-se ús de les fitxes atributs (tant afirmatives com negatives). - LES ACTIVITATS DIRECTES I INVERSES Directes: aquelles que van de la regla a la construcció de la selecció o agrupació. Inverses: aquelles que donada una agrupació o selecció demanen determinar la regla que ha donat lloc a aqueixa formació. El fet que l’activitat inversa siga més complexa que la directees manifesta en què mentre que la primera és una tasca basada en la percepció d’atributs (un omés d’un), en la segona es necessita identificar l’atribut (o atributs) que tenen en comú tots elselements de la col·lecció mostrada. Es necessari donar de manera explícitaels elements de fora de la casa per a poder determinar de manera unívoca les característiquesdels elements de l’interior. - LA COMPRENSIÓ DE LES REGLES DE FORMACIÓ D’AGRUPACIONS I SELECCIONS Regles de construcció no afirmatives Impliquen major implicació cognitiva. Recurs: els camins amb la regla afirmativa i negativa. Regles de construcció amb el connector “o” Els dos usos de la “o”. La “o” s’usa en el llenguatge ordinari de dues formes diferentes: Incloent: P o Q o els dos: és ad ir, al menys una de les dues alternatives ocorre. Excloent: P o Q, però no els dos: ocorre una de les dues alternatives. Si no s’indica el contrari, l’ús que es fa del connecto o és en sentit inclusiu. El joc de la “o” Regles de construcció amb el connector “i” Les dificultats estan associades al fet de que els nens siguen capaces d’atendre les dos (o més) característiques presents en la regla. Recurs de camins És habitual en el llenguatge quotidià ometre els connectors “i” en les regles de construcció ambmés d’un atribut. Així, per exemple parlaríem de “els blocs rojos triangulars” per a referir-nos a“els blocs rojos i triangulars”. En el aula proposem que el mestre o mestra pose especial atenció aaquestes omissions, almenys, quan s’aborden pro primera vegada aquest tipus de construccions. També és important destacar que les regles de formació d’agrupacions amb més d’un atributsólotienensentidocuando los atributoshacen referencia a descriptores distintos, així, no tindràsentit parlar de “els blocs rojos i blaus” o de “els blocs quadrats i triangulars”. - ERRORS ASSOCIATS A LES TASQUES DE SELECCIÓ I AGRUPACIÓ Error de limitació: limita el compliment de la regla a només uns pocs elements de la col·lecció. Error de contaminació: mutación de la regla. El nen canvia la regla de construcció per contagi d’un altre descriptor. Ex: està agrupant seguint la regla “sergroc” ens podem trobar que en introduir el triangle groc passe a aplicar la regla “sertriangle”. - COMPLEXITAT DE LES TASQUES DE SELECCIÓ I AGRUPACIÓ La complexitat depèn de variables que poden ser controlades pel mestre. El tipus de descriptors usats en la regla. És sabut que el color es percep més fàcilment que el gruix La complexitat estructural de la regla: ús de la negació, ús de diversos descriptors El nombre d’elements del conjunt de referència. La dificultat experimentada per l’alumne es algo que no es pot preveure. Ve definida per el percentatge d’errors cometidos per els estudiants quan resolen la tasca. Per tant, depèn del estudiants. 5. RELACIONS: SÈRIES I PATRONS Patró: regularitat predictible que, en general, implica relacions lògiques, numèriques o espacials entre elements, esdeveniments o accions. Podem parlar de diferents tipus de patrons: - Segons la seua dimensió: una, dos o tres dimensions - Segons la seua formació: repetició (el mateix motiu es repeteix formant una sèrie) o desenvolupament (el motiu es va modificant: creixent o decreixent.) Patrons lineals de repetició Sèrie reiterativa, d’alternança o patró de repetició: conjunt d’elements dotats d’un patró de repetició (cíclic). Nucli: conjunt mínim d’elements Descriptors: modifiquen els seus atributs dins del nucli i es repeteix de forma cíclica. Distractors: descriptors que no mostres variació cíclica al llarg de la sèrie. En les tasques de patrons amb distractors es convenient limitar el conjunt de referència: la col·lecció d’objectes per a completar la tasca. - Anàlisis dels patrons presents en les sèries - Tipus de tasques: De continuar: endevinar el següent element de la sèrie (soles un) D’inserir:completar un element situat dins de la sèrie D’estendre: continuar però amb més elements De reproduir: copiar o transferir un patró d’una sèrie amb diferents objectes -Complexitat en les tasques: Dependrà de diferents factors, però essencialment vindrà caracteritzada perla naturalesa i el nombre de descriptors presents en els patrons 1. Naturalesa del descriptor: alguns son més fàcils de percebre 2. El número de descriptors: 3. La longitud del nucli 4. El número de repeticions que es proposen del nucli 5. El tipus de tasca 6. La presència de distractors.
