Integrales

GUÍA: INTEGRALES
Área de EET
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1. INTEGRALES
1.1 La Integral Indefinida.
1.1.1 Conceptos Básicos
Sea y = f(x) derivable respecto a x en D. Tenemos entonces que
,
dy
= f (x) o
dx
,
dy = f (x) dx , es decir, hemos encontrado la derivada y la diferencial de la función y =
f(x) respecto a: x. También, a cada función y = f(x) le corresponde una única función
,
,
derivada: f (x) o una única diferencial dy = f (x) dx . Considerando el proceso inverso:
,
,
dada f (x) o dy = f (x) dx si queremos encontrar y = f(x) obtendremos infinitas funciones
,
,
cuya derivada es f (x) o cuya diferencial es f (x) dx .
Ejemplo
,
1: A y = f(x) = 3x + 5 le corresponde una única función derivada f (x) = 6x
o una única diferencial dy = 6x dx respecto a x en
, pero esta
3x2 + 5,
derivada o diferencial lo es de infinitas funciones, como ser:
3x2 + 6, 3x2 – 5,
3x2 +
1
,........., 3x2 , funciones que difieren entre sí
2
solo en la constante aditiva. Notemos que 3x2 es la más simple de ellas
y que si C es una constante 3x2 + C representa a todas las funciones
anteriores para los distintos valores que asignemos a C.
,
Las consideraciones anteriores conducen a los siguientes hechos. Dada f (x) o
,
,
,
dy = f (x) dx , el hecho de encontrar y = f(x) se llama Integrar f (x) o Integrar f (x) dx , lo
que se anota:
∫
∫
,
dy = f (x) dx
∫
,
es decir: y = f (x) dx
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Tenemos entonces que “ la notación
,
∫ f (x) dx representa a todas las funciones que al ser
,
,
derivadas respecto a x dan f (x) , o a todas las funciones cuya diferencial es f (x) dx”.
En
,
∫ f (x) dx , ∫
es el símbolo de la integral, dx: Que es la diferencial de la variable
independiente, indica la variable respecto de la cual se ha derivado la función para
,
,
,
obtener f (x) o f (x) dx, y respecto de la cual hay que integrar. La función f (x) ubicada
entre los dos símbolos anteriores se llama La función Integrando.
La función que se obtiene al integrar
,
∫ f (x) dx
se llama la Integral Indefinida, La
,
Antiderivada o la función Primitiva de f (x) en D, y corresponde a un conjunto de infinitas
funciones (cada una de ellas es una integral indefinida o una antiderivada o una función
primitiva) que difieren entre sí únicamente en una constante aditiva llamada La Constante
de Integración .
,
“Si f(x) es una integral indefinida de f (x) en D entonces f(x) + C denota a todas las
,
integrales indefinidas de f (x) en D:
∫
Observación :
,
dy = f (x) dx
,
f (x) dx = f(x) + C
entonces
,
∫ dy = ∫ f (x) dx
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1.1.2 Tablas de Integrales Básicas
Basados en los teoremas sobre derivación, podemos establecer:
1)
∫ dx = ∫ 1 dx = x + C
2)
∫ k dx = kx + C
k :cons tan te
3)
∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
k :cons tan te
4)
∫ ( f(x) + g(x) −
5)
∫
6)
∫ x dx = ln x + C
7)
∫
8)
∫e
9)
∫ sen x
dx = − cos x + C
10)
∫ cos x
dx = sen x + C
11)
∫ tan x
dx = ln sec x + C
12)
∫ cot x
dx = ln sen x + C
13)
∫ sec x
dx = ln(sec x + tan x ) + C
14)
∫ co sec x
xr dx =
h(x) ) dx =
x r +1
+C
r +1
∫ f(x) dx
+
∫ g(x) dx
, r∈ ,
−
∫ h(x) dx
r ≠ −1
1
a x dx =
x
ax
+ C
ln a
a∈
+
dx = e x + C
dx = ln(co sec x − cot x ) + C
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15)
∫ sec
16)
∫ − co sec x dx = cot x + C
2
∫ co sec x dx = − cot x + C
17)
∫ sec x ⋅ tan dx = sec x +
18)
∫ − co sec x ⋅ cot x dx = co sec x + C
∫ − co sec x ⋅ cot x dx = − co sec x + C
19)
∫
20)
∫−
2
x dx = tan x + C
2
∫
1
C
dx = arc s en x + C
1− x 2
1
dx = arc cos x + C
1− x 2
1
dx = − arc cos x + C
1− x 2
1
21)
∫ 1 + x2
22)
∫ − 1 + x2
23)
∫x
24)
∫−x
dx = arc tan x + C
1
dx = arc co t x + C
1
2
x −1
dx = arc sec x + C
1
x2 − 1
dx = arc co sec x + C
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1.1.3 Integración Inmediata
Son aquellas integraciones que se hacen aplicando directamente las fórmulas anteriores.
Ejemplo
Resolución
1: Calcular
Resolución
x7 dx =
2: Calcular
Resolución
dx
x7 + 1
x8
+ C=
+ C
7+1
8
∫4
dx
x3
: La fórmula 5) da :
∫4
Ejemplo
7
: La fórmula 5) da :
∫
Ejemplo
∫x
dx
x
3
∫
dx = x
3: Calcular
∫
−
3
4
−
3
+1
x 4
4
+ C= 4 x + C
dx =
3
− +1
4

 7 x − 5 cos x +



 dx
2 
1− x 
3
: La fórmula 4) da :
∫7
x
∫
∫
dx − 5 cos x dx +
7x
− 5 cos x dx + 3
ln7
∫
∫
3
1− x 2
1
1− x
2
dx =
dx =
7x
− 5 sen x + 3 arc sen x + C
ln7
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Ejemplo
Resolución
4: Calcular
∫
7
dx
x
∫
: La fórmula 6) da :
7
dx = 7
x
1
∫ x dx = 7 ln x + C1
o
= 7 ln x + ln C
o
= ln C x7
1.1.4 Uso de una función auxiliar para las integrales inmediatas.
La derivación de funciones compuestas (Regla de la Cadena) da origen a muchas
funciones que para ser integradas con seguridad requieren el uso de una función auxiliar.
Para ello, en las fórmulas anteriores se reemplazan: la expresión que contiene a la
variable x (o parte de ella) por una adecuada función u = u(x), y dx por la correspondiente
du. Se integra y luego se vuelve a la variable original x. Así por ejemplo, la fórmula
se puede considerar también como
∫ u du
r
∫ x dx
r
donde aparece ur una función elevada a un
exponente, multiplicada por la diferencial de la base : ur du.
Del mismo modo
1
∫ x dx queda ∫
du
: la diferencial du dividida por la función u.
u
Las restantes fórmulas se interpretan análogamente. Los ejemplos a continuación aclaran
la técnica.
Ejemplo
Resolución
1: Calcular
∫ sen 2x dx
: No podemos usar la fórmula 9) directamente. Usamos una función
auxiliar: u = 2x luego du = 2 dx, luego dx =
∫ sen 2x dx = ∫ senu ⋅
=−
du
. Reemplazando:
2
du 1
1
=
senu du = ⋅ ( − cos u ) + C
2
2
2
∫
1
1
cos u + C = − cos 2x + C
2
2
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Ejemplo
Resolución
2: Calcular
:
5
∫ 3 − x dx
5
1
∫ 3 − x dx = 5 ∫ 3 − x dx ,
la fórmula 6) sugiere u = 3 – x luego du = -
dx ∴ dx = -du.
Reemplazando:
5
1
1
1
∫ 3 − x dx = 5 ∫ u ⋅ (− du) = − 5 ∫ u du = − 5 lnu + C1
= − 5 ln ( 3 − X ) + C1 = − ln (3 − x )5 + ln C = ln
Ejemplo
Resolución
3: Calcular
∫ (x
3
−5
)
4
C
( 3 − x )5
⋅ 3 x 2 dx
: Es una potencia multiplicada por la diferencial de la base, la fórmula 5):
∫u
r
du sugiere, la fórmula 6) sugiere u = x3 - 5 ∴ du = 3 x2 dx.
Reemplazando:
∫ (x
Ejemplo
Resolución
4:
3
−5
)
4
⋅ 3 x 2 dx =
Calcular
∫e
−x
∫u
4
du =
5
u
+C=
5
( x3 − 5 )
5
5
+C
dx
: u = - x, du = - dx ∴ dx = - du.
Reemplazando:
∫e
−x
dx =
∫e
u
( −du) = − eu du = − eu + C = − e− x + C
∫
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Ejemplo
Resolución
5: Calcular
: Usamos
∫
cos ec x
3 x
dx
∫ cos ec u du,
con u = x ∴ du =
1
2 x
dx ∴ dx = 2 x du .
Reemplazando:
cos ec x
∫
3 x
=
Ejemplo
Resolución
∫
dx =
cos ec u
3 x
2
3
⋅ 2 x du =
∫ cos ec u
du
(
2
2
ln( cos ec u − cot u ) + C = ln cos ec x − cot x
3
3
6: Calcular
∫
: Usamos
∫
)
+C
dx
1− 3 x 2
1
du , con u = x 3 ; du =
1− u2
3 dx ∴ dx =
du
3
.
Reemplazando:
1
∫
1− 3 x 2
1
3
Ejemplo
Resolución
dx =
∫
1
1 − u2
arc senu + C = =
7: Calcular
: Usando
1
3
⋅
du
3
=
1
3
⋅
∫
1
1− u2
⋅ du =
arc sen x 3 + C
dx
∫ x2 + 14 x + 52
1
∫ 1 + u2
du : x 2 + 14x + 52 = (x + 7 )2 + a .
52 = 49 + a ∴ a = 3
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∴
dx
∫ x2 + 14 x + 52
∴ u=
x+7
3
∴ du =
dx
∫ 3 + ( x + 7 )2 = ∫
=
1
3
dx
  x + 7 2 
3 1+ 
 
  3  


dx ∴ dx = 3 du
Reemplazando:
dx
∫ x2 + 14 x + 52
=
3 du
∫ 3 1+ u2 


=
3
3
du
∫ 1 + u2
=
3
arc tanu + C
3
 x+7
3
arc tan 
+ C
3
 3 
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GUIA DE EJERCICIOS N° 4
∫
1 − . x3 dx
∫
2 −.
3
x dx
dx
∫ x2
3 −.
x4
+C
4
=
3x3 x
+C
4
=−
dz
∫ 3 z2
4 −.
=
1
+C
x
= 33 z + C
5 − . 2x 2 − 5x + 3 dx
=
2x3 5x 2
−
+ 3x + C
3
2
6 − . (1 − t ) t dt
=
2t t 2t 2 t
−
+C
3
5
7 − . ( 3s + 4 ) ds
= 3s3 + 12s2 + 16s + C
∫(
)
∫
2
∫
∫
8 −.
∫
9 −.
x3 + 5x 2 − 4
x2
dz
z
dx
∫x+2
10 − .
dx
=
x2
4
+ 5x + + C
2
x
= ln z + C o ln Cz
= ln(x + 2) + C
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ds
1
= ln(2s + 3) + C
2
∫ t2 − 1
t dt
= ln C t 2 − 1
x 2 dx

C
= ln 
6
3
 1 − 2x
∫ 2s + 3
11 − .
12 − .
∫ 1 − 2x3
13 − .
x+2




∫ x + 1 dx
= x + ln(x + 1) + C
∫
= −e− x + C
16 − . e3x dx
∫
=
∫
=
14 − .
15 − . e− x dx
17 − . a2x dx
1
ex
∫ x2 dx
18 − .
∫(
=
)
3
x
x
19 − . e + 1 e dx
dx
∫ ex + 1
20 − .
∫ (x
21 − .
3
e3x
+C
3
a2x
+C
2ln a
1
−e x
(e
=
x
+C
)
+1
4
+C
4
= x − ln(1 + e x ) + C
)
2
+ 2 3x 2 dx
(x
=
3
+2
3
)
3
+C
Página 13 de 27
∫(
22 − .
∫
23 − .
)
1
x3 + 2 2 x 2 dx
8x 2 dx
(x
3
x
+2
)
3
2
∫ 4 x3 + 2 dx
24 − .
x
25 − . sen( ) dx
2
=
(
9 3
x +2
2
)
3
2
4
=−
(
3
3 x +2
=
4
+C
4
(x
3
)
+2
9
2
)
+C
3
+C
∫
x
= −2 cos( ) + C
2
∫
=
1
sen 3x + C
3
27 − . 2 tg3x dx
∫
=
2
ln sec 3x + C
3
 5x 
28 − . 4 cos ec   dx
 2 
∫
=
8
5x
5x
ln cos ec
− cot
+C
5
2
2
∫
=
sen3 x
+C
3
∫
1
= ln sec 2x + C
2
31 − . x cot x 2 dx
∫
=
32 − . (1 + tg x ) dx
= tg x + 2ln sec x + C
26 − . cos 3x dx
29 − . sen2 x cos x dx
30 − . tg2x dx
∫
2
1
ln sen x 2 + C
2
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∫
33 − . sec 2 2ax dx
∫
34 − .
=
sen x + cos x
dx
cos x
sen y
1
tg2ax + C
2a
= ln sec x + x + C
∫ cos2 y dy
= sec y + C
∫
= sen e x + C
∫
=−
35 − .
36 − . e x cos e x dx
37 − . e3cos 2x sen 2x dx
dz
∫ 1 + cos z
38 − .
∫
39 − .
sec x
x
= − cot z + cos ec z + C
= 2ln sec x + tg x + C
dx
2
40 − . ( tg2x + sec 2x ) dx
∫
sec x tg x
∫ a + b sec xdx
41 − .
dx
∫ 9 + x2
42 − .
∫x
43 − .
dx
4x 2 − 9
e3cos 2x
+C
6
= tg 2x + sec 2x − x + C
=
1
ln a + b sec x + C
b
=
1
x
arc tg   + C
3
3
=
1
 2x 
arc sec   + C
3
 3 
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∫
44 − .
x3
1 − x8
dx
dx
∫ e x + e− x
45 − .
3x − 5
∫ x2 + 4 dx
46 − .
dx
∫ x2 − 6x + 11
47 − .
x−5
∫ x2 + 2x + 4dx
48 − .
∫
49 − .
dx
20 − 4x − x 2
∫
50 − . x 2 1 − xdx
∫
51 − .
x 2 −1
dx
2x − 1
x 2 + 2x
∫ (x + 1)2 dx
52 − .
=
1
arc sen x 4 + C
4
= arc tge x + C
=
=
=
3
5
x
ln(x 2 + 4) − arctg   + C
2
2
2
x −3
2
arc tg 
+C
2
 2 
 x + 1
1
ln x 2 + 2x + 4 − 2 3 arc tg 
+C
2
 3 
 x + 2
= arc sen 
+C
 24 
=
3
−2
(1 − x ) 2 15x 2 + 12x + 8 + C
105
=
1
2x − 1 3x 2 + 2x − 13 + C
15
(
=x +
(
)
)
1
+C
x +1
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1.2 Métodos de Integración
1.2.1 Integración por partes.
Sean u = u (x), v = v ( x). Entonces
d
dv
du
en donde
(u ⋅ v ) = u + v
dx
dx
dx
d (uv) = u dv + v du integrando obtenemos:
∫ d(u v ) = ∫ u dv
∫
u v = u dv +
+
∫ v du
∫ v du
∴
∫ u dv
= uv −
∫ v du
Fórmula de la Integración por Partes
Para aplicar ésta fórmula, la función que se desea integrar debe ser un producto de
funciones. En la integral, éste producto se separa en dos factores uno de los cuales debe
continuar a dx. Uno de ellos se iguala a dx, y el que contiene a dx se iguala a dv. No hay
normas para la separar los factores, pero
simple que
∫ v du
debe ser una integral inmediata o más
∫ u dv .
Página 17 de 27
Ejemplo
Resolución
1: Calcular
∫ x cos x dx
: De acuerdo a la fórmula de la integración por partes: x cos x dx = u dv
¿ Cuáles son u y dv ?
Hay varias posibilidades:
u
dv
x
cos x dx
cosx
x dx
x cos x
dx
1
x cos x dx
Ensayando el primer caso:
u=x
dv = cos x dx
∴ du = dx
∴ v = sen x
Aplicando textualmente la fórmula:
∫ x cos x dx
∫ sen x dx
= x sen x −
= x sen x −
( − cos x ) +
C
= x sen x + cos x + C
....... resultó de inmediato !
Si hubiéramos ensayado el segundo caso:
u = cos x
dv = x dx
∴ du = − sen x dx
∴v =
x2
2
la fórmula habría dado:
∫
x cos x dx =
de donde
x
cos x −
2
∫
x2
x
( − sen x) dx = cos x +
2
2
∫ v du es mas complicada que ∫ u dv de
∫
x2
sen x dx
2
..... la separación falla
Página 18 de 27
Ejemplo
2: Calcular
Resolución
: Sean:
∫x e
2x
dx
dv = e 2 x dx
u=x
∴ du = dx
∫xe
Observación :
2x
1 2x
e
2
∴v =
1 2x
1 2x
e −
e dx
2
2
1
1 1
= x ⋅ e2x − ⋅ e2x + C
2
2 2
1
1 2x
= x e2x −
e
+C
2
4
dx = x ⋅
∫
Frecuentemente al aplicar la integración por partes la integral
∫ v du
∫ u dv , sin ser una integral inmediata. En
Resulta ser más simple que
estos casos se calcula aparte.
Ejemplo
Resolución
3: Calcular
: Sean:
∫x
2
∫x
2
sen x dx
2
u=x
dv = sen x dx
∴ du = 2x dx
∴ v = − cos x
∫
sen x dx = x 2 ( − cos x) − ( − cos x ) 2x dx
∫
= − x 2 cos x + 2 x cos x dx
∫
∴ v du que es
∫x
2
∫ x cos x dx
(∗)
es más simple que
∫ u dv que es
sen x dx, sin ser una int egral inmediata
Calculándola aparte con el mismo tipo de separación:
Página 19 de 27
Para
∫ x cos x dx :
u=x
dv = cos x dx
∴ du = dx
∴
∫ x cos x dx
∴ v = sen x
∫
= x sen x − sen x dx = x sen x + cos x
que sustituida en ( ∗ ) :
∫x
Observación :
2
sen x dx = − x 2 cos x + 2(x sen x + cos x ) + C
También la integración por partes se utiliza para el cálculo de integrales
más simples, pero no inmediatas.
Ejemplo
Resolución
4: Calcular
: Sean:
∫ ln x dx
u = lnx
∴ du =
dv = dx
1
dx
x
∴v = x
1
∴ ln x dx = (ln x) ⋅ x − x ⋅ dx = x ln x − x + C
x
∫
Ejemplo
Resolución
5: Calcular
: Sean:
∫
∫ arc cos x dx
u = arc cos x
∴ du = −
1
1− x
2
dv = dx
∴v = x
dx
∫
∴ arc cos x dx = (arc cos x ) ⋅ x −
= x arc cos x −
∫

x ⋅ −



 dx
2 
1− x 
1
1− x 2 + C
Página 20 de 27
EJERCICIOS PROPUESTO
∫
1 − . ln x dx =
x (ln x − 1) + C
2
 ln x 
2 −. 
 dx =
 x 
∫
−
(
)
1 2
ln x + 2ln x + 2 + C
x
3
∫
x ln2 x dx =
3 −.
∫
4 −.
x
x e 2 dx
2 2
x
3
x
2x e 2
=
5 − . x 2 e−3x dx =
4
8
 2
ln x − 3 ln x + 9  + C


1
e
3
x
− 4 e2
−3x
+C
 2 2x 2 
x + 3 + 9 + C


∫
−
∫
− x cos x + sen x + C
6 − . x sen x dx =
∫
cosnx
∫
x arc cos 2x −
∫
x 2 sen x + 2x cos x − 2 sen x + C
∫
x3
x3
ln 2x −
+C
3
9
7 − . x cosnx dx =
8 − . arc cos 2x dx =
9 − . x 2 cos x dx =
10 − . x 2 ln 2x dx =
2
n
+
x sennx
+C
n
3
∫
11 − . x 3x − 5 dx =
2x ( 3x − 5 ) 2
9
1
1 − 4x 2 + C
2
5
−
4 ( 3x − 5 ) 2
135
+C
Página 21 de 27
x ex
∫ (1 + x )2
12 − .
∫
13 − .
∫
ln(x + 1)
x +1
14 − . x ln
∫
15 − .
dx =
ex
+C
1+ x
dx =
2 x + 1 ( ln [ x + 1] − 2 ) + C
1+ x
dx =
1− x
arc sen x
x2
dx =
16 − . ln  x + 1 + x 2  dx =


x−
−
1 − x2
1+ x
ln
+C
2
1− x
arc sen x
1 + 1 − x2
− ln
+C
x
x
∫
x ln  x + 1 + x 2  − 1 + x 2 + C


∫
− x + (1 + x)arctg x + C
∫
ln tg
∫
−
∫
2( x − 1) e x + C
17 − . arctg x dx =
18 − . sen x ln(tg x)dx =
19 − . x sen2 x dx =
20 − . e x dx =
∫
21 − . x sen x dx =
∫
22 − .
x earctg x
3
2 2
x
(1 + )
dx =
x
− cos x ln tg x + C
2
cos 2x
x2 x
− sen 2x −
+C
4 4
8
2(6 − x) x cos x − 6(2 − x) sen x + C
−
(1 − x) earctg x
2 1 + x2
+C
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1.2.3 Integrales Trigonométricas Corrientes.
Recordemos las principales relaciones entre las funciones trigonométricas
sen2 x + cos2 x = 1
1 + tg2 x = sec 2 x
1 + cot 2 x = co sec 2 x
sen 2x = 2 sen x cos x
2
2
cos2 x =
1 1
+ cos 2x
2 2
cos 2x = 1 − 2 sen2 x
cos 2x = 2cos x − 1
Ejemplo
Resolución
Ejemplo
Resolución
Ejemplo
Resolución
Ejemplo
Resolución
sen2 x =
1: Calcular
:
∫ sen
2
∫ cos
2
∫ cos
2
∫ cos
2
∫
∫
∫ cos
2
∫
dx
1 1

dx =  + cos 2x  dx =
2 2

x
1
=
+ sen 2x + C
2
4
1
∫ 2 dx
+
1
cos 2x dx
2
∫
2x dx
x 1 1
1 1

2x dx =  + cos 4x  dx = + ⋅ sen 4x + C
2 2 4
2 2

x
1
=
+ sen 4x + C
2
8
4: Calcular
:
x dx
∫
3: Calcular
:
2
1
1
1 1

x dx =  − cos 2x  dx =
dx −
cos 2x dx
2
2
2 2

1
1 1
1
1
= x − ⋅ sen 2x + C = x − sen 2x + C
2
2 2
2
4
2: Calcular
:
∫ sen
1 1
− cos 2x
2 2
∫
∫ tan x dx
sen x
∫ tg x dx = ∫ cos x dx =
u = cos x
du = - sen x dx
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du
= − lnu + C = − lnu + C = − ln cos + C
u
1
= ln
+ C = ln sec x + C
cos x
=−
Ejemplo
Resolución
5: Calcular
∫
∫ sec
3
x dx
: Usando integración por partes:
u = sec x
∴ du = sec x tg x dx
dv = sec2 dx
∴ v = tg x
∫
∫
= sec x ⋅ tgx − ∫ sec x ⋅ tg 2 x dx
= sec x ⋅ tgx − ∫ sec x ⋅ ( sec 2 x − 1) dx
3
3
∫ sec x dx = sec x ⋅ tgx − ∫ sec x dx + ∫ sec x dx
2∫ sec 3 x dx = sec x ⋅ tgx + ∫ sec x dx
∴ sec 3 x dx = sec x ⋅ tgx − tg x ⋅ sec x ⋅ tg x dx
= sec x ⋅ tgx + ln( sec x + tg x) + C
∫
∴ sec 3 x dx =
1
1
sec x ⋅ tgx + ln( sec x + tg x) + C
2
2
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1.2.3 Integración usando Sustituciones Trigonométricas.
La integración por sustitución consiste en sustituir la variable de integración con una
nueva variable.
Existen muchos tipos de sustituciones. Las sustituciones trigonométricas que usaremos,
las aplicaremos cuando en él integrando aparezca una sola raíz de la forma:
a
tg z
b
a
a2 − b2 u2 , con u = u(x), la sustitucion sera : u = sen z
b
a
b2 u2 − a2 , con u = u(x), la sustitucion sera : u = sec z
b
a2 + b2 u2 , con u = u(x), la sustitucion sera : u =
Al aplicar la sustitución se suponen: a, b ∈
+
. En el resultado final se vuelve a la
variable x .
Ejemplo
Resolución
1: Calcular
∫ x2
dx
9 + x2
: Primer caso: a = 3, b = 1, u = x, ∴ x =
∫ x2
dx
9 + x2
=
3 sec 2 z dz
∫ 9 tg2 ⋅
=−
9 + 9 tg2 z
3
tg z, dx = 3 sec 2 z dz
1
=
1
cos ec z cot z dz
9
∫
1
( − cos ec z ) + C
9
volviendo a la variable x, dx x = 3 tg z obtenemos tg z =
x
3
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9 + x2
x
∴ cos ec z =
z
∴
9 + x2
x
3
∫ x2
Ejemplo
Resolución
dx
9 + x2
2: Calcular
∫
x
7 − x 2 dx
: Segundo caso: a =
∴ x=
9 + x2
1
=− ⋅
9
7 , b = 1, u = x,
7
sen z, x =
1
∫
(
7 sen z ∴ dx =
)
2
7 cos z dz
∫
7 − x2 =
∫
7 ⋅ 7 ⋅ 1 − sen2 z cos z dz = 7 cos2 z dz =
7−
7 sen z
⋅ 7 cos z dz =
∫
7
1 1

7  + cos 2z  dz =
2
2 2

∫
∫
dz +
7
2
∫ cos 2z dz =
7
7 1
7
7
z + ⋅ sen 2z + C = z + sen 2z + C =
2
2 2
2
4
7
7
z +
2 sen z cos z + C
2
4
volviendo a la variable x, dx x =
7 sen z
obtenemos sen z =
x
7
Página 26 de 27
7
x
∴
z
7 − x2
De sen z =
 x 
obtenemos z = arc sen 
 , y del triangulo : cos z =
 7
7


x
7 − x2
7
.
Sustituyendo estos valores en (∗) obtenemos:
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