Matemática para Administradores

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Universidad Nacional de Tumbes
Facultad de Ciencias Económicas
Escuela Académico Profesional de Administración
PRIMERA PRÁCTICA DIRIGIDA DE MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES II
RELACIONES Y FUNCIONES
Parte B: Funciones
1.
Dada la función f(x)=mx+b, x  . Si se sabe que f(3)=1, f(3)=6.Hallar f(6).
Solución:
La función f(x)=mx+b es evaluada para los valores de x=3 y x=3, resultando :
f(3)=3m+b=1 ; f(3)=3m+b=6.
A partir de esta evaluación se obtiene el sistema de ecuaciones lineales:
3m+b=1 ……(I)
3m+b=6 ……(II) . Sumando miembro a miembro (I) y (II), se obtiene:
2b =7  b =7 2 . El valor de “m” se obtiene a partir de (I) :
7
5
5
3m+b =1  3m+7 2 =1  3m =1  3m =   m =  . Habiendo encontrado
2
2
6
los valores de “b” y “m” es momento de expresar la función lineal como sigue:
5
7
f(x) = mx +b  f(x) =  x + . Esta función es evaluada ahora para x = 6:
6
2
5
7
5
7
7
10 7
3
f(x) =  x+  f(6) =  (6) +  f(6) = 5 +  f(6) =
 f(6) =
.Rpta.
6
2
6
2
2
2
2
2
2.
Halla el valor mínimo de la función dada por f(x) = x 2  8x .
Solución:
Tenemos una función cuadrática cuya gráfica es una parábola. Es una parábola
que se abre hacia arriba; en este caso el valor mínimo se encontrará en su vértice,
cuyas coordenadas debemos encotrar.
Vo : Vértice de la parábola.
xo : Abscisa del vértice.
yo : Ordenada del vértice.
Para encontrar la abscisa del vértice utilizamos la fórmula:
B
. Reemplazamos valores en esta fórmula:
xo =
2A
( 8) 8
xo =
= = 4 . Mientras que el valor de la ordenada del vértice la obtenemos
2(1) 2
evaluando la función cuadrática para x = 4, como sigue: f(x) = x 2  8x
yo  f(xo ) = f(4)  (4) 2  8(4) = 16  32 =  16
yo =  16
Respuesta. El valor mínimo de la función ocurre para x=4, resultando
f(4)=16.Ver gráfica 1.
3
3.
Traza la gráfica y determina el dominio y rango de la función f(x) = 4  x 2 .
Solución:
Para determinar el dominio de la función debemos despejar la variable “y”; es
decir: y = f(x) = 4  x 2  y = f(x) =  x 2 +4 .
Tenemos en este caso una función cuadrática o también podemos decir una
función polinómica de grado 2, y el dominio de dicha función es “Todos los
números reales”.
4.
Halla el valor mínimo de la función dada por
4
D f = =  ;
Para determinar el rango de la función debemos despejar la variable “x”; es
decir: y =  x 2 +4  x 2 = 4  y  x = 4 y . Tenemos una restricción, la misma que
la podemos evidenciar a través del planteamiento de la inecuación:
4  y  0   y  4  y  4
R f =  ;4 
La gráfica correspondiente se muestra a continuación en la figura 2.
5
4.
|
Determina en qué intervalo es creciente la función f(x) =  x 2 + 2x  2 .
Solución:
Tenemos, otra vez , una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que se
abre hacia abajo.Para responder a la pregunta debemos apoyarnos en su
gráfica, la misma que se observa en la figura 3.
6
En la figura 3 observamos que el vértice “V” tiene por coordenadas V(1; 1). A
partir de dicho vértice podemos establecer los intervalos:
Ic : Intervalo de crecimiento
Id : Intervalo de decrecimiento
7
Recordemoa que las coordenadas del vértice también se pueden obtener a partir
de la fórmula:
(2) 2
xo =
= 1
2( 1) 2
y  f(x ) = f(1) = (1)2 +2(1)  2 = 1+2  2 = 1
o
o
Ic =  ∞;1 . Respuesta.
5.
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función cuadrática
que pasa por los puntos P(1,5); Q(3,5) y R(4, 11).
Solución:
Sabemos que una función cuadrática tiene la forma general: f(x) = Ax 2 + Bx+C .
Dicha función no la conocemos pero la podemos obtener a partir de la evaluación
de esta función en los tres puntos P, Q y R.
Evaluación en punto P:
f(1) = A(1) 2 + B(1)+C =5
f(1) = A+B+C =5 ......(I)
Evaluación en punto Q:
f(3) = A(3) 2 + B(3)+C =5
f(3) = A(9)+B(3)+C =5
f(3) =9A+3B+C =5 ......(III)
8
Evaluación en punto R:
f(4) = A(4) 2 + B(4)+C =11
f(4) = A(16)+B(4)+C =11
f(4) =16A+4B+C =11 ......(II)
Ahora juntamos las ecuaciones (I), (II) y (III) para formar un sistema de
ecuaciones simultáneas lineales:
A+B+C =5 ......(I)
9A+3B+C =5 ......(II)
16A+4B+C =11 ......(III)
Entre (I) y (II) eliminamos “C”:
 A  B  C = 5 ......(I)
9A+ 3B +C = 5 ......(II)
8A+2B =0 ......(IV)
Entre (I) y (III) eliminamos “C”:
 A  B  C = 5 ......(I)
16A+4B +C =11 ......(III)
15A+3B =6 ......(V)
Las ecuaciones resultantes (IV) y (V) pueden ser simplificadas para luego
resolverlas:
9
4A+B =0 ......(IV)
5A+B = 2 ......(V)
4A  B =0 ......(IV)
5A+B = 2 ......(V)
A=2
5(2)+ B = 2 ......(V)
10+ B = 2 ......(V)
B = 8
A+ B +C = 5 ......(I)
2  8+C = 5 ......(I)  C =11
Entonces la función cuadrática será:
f(x) = 2x 2  8x +11
Las coordenadas de sus vértices serán:
( 8) 8
xo =
= 2
2(2) 4
y  f(x ) = f(2)  2(2)2  8(2)+11
o
o
yo = 8  16 +11= 3
Observando la figura 4, se deduce que el intervalo de ecrecimiento es:
Ic = 2; + ∞ . I =  ∞;2 . Respuesta
d
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6.
Determinar las asíntotas verticales, horizontales y la gráfica de la siguiente
x+1
función: y =
x 2
Solución:
Asíntotas verticales
Para determinar las asíntotas verticales debe de estar despejada la variable
x+1
“y”; en este caso ya lo está: y =
. Luego igualamos el denominador a cero:
x 2
x  2 =0
x = 2 . Asíntota vertical.
Asíntotas horizontales
Ahora corresponde despejar la variable “x” y luego igualar a CERO el
denominador de la expresión así obtenida:
x+1
y=
 y(x  2) =x +1  xy  2y =x +1  xy  x =2y+1  x(y  1) =2y+1
x 2
2y+1
 y  1=0  y =1 . Asíntota horizontal
y1
x=
Dibujando la gráfica de la función dada se debe evidenciar la presencia de las
asíntotas, como se ve en Figura 5.
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7.
Señalar las gráficas que representan a una función. Justifique su respuesta.
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8.
Determinar cuáles de los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones.
Justique su respuesta.
a) P = (2,1);(3,2);( 1,1);(3,0) ,
b) Q = ( 1,0);( 1,1);( 1,2)

c) R = (2,2);(3,2);(4,2)



d) T = ( 2,2);( 1,1);(0,0);(1,1)
,
Solución:
a) No es función, puesto que existen 2 pares ordenados que tienen el mismo primer
elemento. P = (2,1);(3, 2);( 1,1);(3,0)


b) No es función puesto que en este caso existen 3 pares ordenados que tienen el
mismo primer elemento. Q = ( 1,0);( 1,1);( 1,2)


c) Si es función puesto que No existen pares ordenados que tienen el mismo primer
elemento.
d) Si es función puesto que No existen pares ordenados que tienen el mismo primer
elemento.
9. El área de un rectángulo es 40 metros cuadrados. Expresa su perímetro”y” como
una función de “x”, siendo “x” la medida de uno de sus lados.
Solución:
Designemos las variables correspondientes:
y: Perímetro del rectángulo.
x: Medida de un lado cualquiera del rectángulo en mención.
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Dibujemos el gráfico correspondiente:
Perímetro del rectángulo = suma de los cuatro lados.
Reemplazando valores en expresión anterior, se tiene:
40 40
80
y= x+ x+

 2x +
x
x
x
80
y = 2x +
; y = f(x)
x
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