3.Teclab estadistica logaritmos

Matemática y
Estadística
Logaritmos y progresiones
1
3.1 Logaritmos y progresiones
3.1.1 Función logarítmica
Figura 1: ciudad
Fuente: [imagen sin título sobre ciudad]. s. f. Recuperada de https://goo.gl/3MMu8c
Si conociéramos cómo crece la población de la ciudad donde vivimos, por
ejemplo, sabríamos que Córdoba tiene una tasa de crecimiento promedio
de la población de 7,9 % y, si quisiéramos saber cuántos años tardará en
llegar a cierta cantidad de habitantes, por ejemplo, a duplicarse, entonces
necesitaríamos usar una nueva herramienta matemática que nos ayude.
Esa herramienta se llama logaritmos (Matemática 3° BGU, s.f., recuperado
de https://goo.gl/tLw1tU).
Otro uso de los logaritmos se aplica en el campo de la química, ya que
podemos trabajar con números muy chicos o demasiado grandes sin tener
que usar excesivos ceros. En química, es común hablar del “pH de ciertos
productos”. El “pH” es el nivel de acidez de ciertos productos. Se calcula
como el logaritmo de la cantidad de radicales ácidos que tiene ese
producto.
Definición
La función f(x) = loga (b) con base a positiva y distinta de 1 es la función
logarítmica de base a donde:
y  log a  b   a y  x
Se denomina base al valor a, mientras que b es el argumento de la función.
Además, la función tiene como dominio todos los números reales positivos
2
(sin incluir el 0), y su imagen son todos los números reales. Se llama
dominio al conjunto de partida de la función, e imagen al conjunto de
llegada de dicha función. Para fijar ideas, vamos a estudiar la función
logaritmo mediante algunos ejemplos.
Primer ejemplo
f  x   log 2  x 
Si
la función de X es el logaritmo de base 2 de X.
Construiremos una tabla con los valores correspondientes:
Tabla 1: Tabla de valores para f(x) = log2 (x)
X
f  x   log 2  x 
1
2
2
4
8
¼
1/8
0
½
1
2
3
-2
-3
y
porque x  2
20  1
21/ 2  2
21  2
22  4
23  8
22  1 / 22  1 / 4
23  1 / 23  1 / 8
Fuente: elaboración propia.
Si reemplazamos x por cada uno de esos valores en la función f(x) = log2(x),
obtenemos la siguiente gráfica:
Figura 2: Gráfica de f(x) = log2 (x)
Fuente: elaboración propia.
3
Veamos otro ejemplo:
Si f  x   log 1  x   log1/ 2  x  la función de X es el logaritmo de base 1/2 de
2
X.
Construiremos una tabla con los valores correspondientes:
Tabla 2: Tabla de valores para f(x) = log1/2 (x)
X
f  x   log1/ 2  x 
1
0
1/ 2
½
1/2
1
1/4
2
1/8
3
4
-2
8
-3
porque
x  1 / 2 
y
1 / 2   1
1/ 2
1 / 2   1 / 2
1
1 / 2   1 / 2
2
1 / 2   1 / 4
3
1 / 2   1 / 8
2
1 / 2   22  4
3
1 / 2   23  8
0
Fuente: elaboración propia.
Si reemplazamos x por cada uno de esos valores en la función f(x) = log2 (x),
obtenemos la siguiente gráfica:
f  x   log 1  x 
2
Figura 3: Gráfica de la función f(x) = log1/2 (x)
Fuente: elaboración propia.
4
Observaciones:
 Siempre el logaritmo de 1 nos da como resultado 0:
log a 1  0
,
a  1.
porque
 Como consecuencia, todas las curvas cortan al eje x en el punto de
coordenadas (1; 0).
0
 Siempre que tomamos el logaritmo de la base, el resultado es 1,
log a  a   1
porque
.
 Si a toma valores mayores que 1, el valor de
aumentar el de x.
 Si a toma un valor entre 0 y 1, el valor de
aumentar el de x.
f  x   log a  x 
f  x   log a  x 
, crece al
, decrece al
f  x   log a  x 
Dijimos al principio que el dominio de la función logaritmo
comprende todos los valores de x mayores que cero. Ahora bien, si
tomamos un logaritmo con un argumento diferente, por ejemplo: x + 5:
f  x   log a  x  5 
Llamamos dominio al conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente (la llamamos X). Llamamos imagen al conjunto de valores
que puede tomar la variable dependiente (la llamamos y o f(x)).
El dominio de la función logaritmo es los números reales positivos, es decir
los números reales mayores a cero.
La imagen de logaritmo son todos los números reales, tanto positivos como
negativos.
En resumen, para el dominio e imagen de una función logaritmo:
El dominio de la función logaritmo (en cualquier base) es los reales
positivos:
Y su imagen (o recorrido) es todos los reales:
5
¿Cómo determinamos su dominio? Lo que debe satisfacerse es que todo el
argumento de la función sea positivo. Es decir: x  5  0 (x + 5) debe ser
positiva. De aquí debemos despejar el valor de x: x  5 . Por lo tanto, x
debe ser mayor que -5. Esto significa que el dominio de esta función será
todo número mayor que -5, mientras que su imagen sigue siendo todos los
números.
Veamos otro ejemplo
Determinar el dominio de
f  x   log a  x  1
.
Si planteamos x  1  0  x  1 , obtenemos que el dominio de esta
función es el conjunto de todos los números mayores que 1.
Otro ejemplo más
Determinar el dominio de
f  x   log a  3  x 
.
Si planteamos 3  x  0  x  3 , obtenemos que el dominio de esta
función es el conjunto de los números mayores que 3.
Y, por último
Determinar el dominio de
f  x   log a  2 x  3
.
Si planteamos 2 x  3  0  2x  3  x  3 / 2 , obtenemos que el
dominio es el conjunto de números mayores que -3/2.
En resumen
Figura 4: logaritmos
Fuente: [Imagen sin título sobre logaritmos]. (s.f.). Recuperado de https://goo.gl/Q8qJfR
Los logaritmos tienen varias propiedades particulares, las estudiaremos a
continuación.
Propiedad del producto:
log a  b  c   log a  b   log a  c 
6
log 3  5  x  
Si queremos simplificar la siguiente expresión:
, aplicamos la
log3  5  x   log3  5   log3  x 
propiedad del producto:
.
b
log a    log a  b   log a  c 
c
Propiedad del cociente:
x
log 2   
 3  . Entonces,
Ahora queremos simplificar la siguiente expresión:
 x
log 2    log 2  x   log 2  3
3
aplicamos la propiedad del cociente:
.
Propiedad de la potencia:
log a  bc   c  log a  b 
log 4  x5  
Y, si queremos simplificar la expresión
log 4  x5   5  log 4  x 
propiedad de la potencia:
.
, debemos aplicar la
Veamos ejemplos:
log 4  3x5  
Si quisiéramos simplificar la
, primero, aplicaríamos la
5
log 4  3x   log 4  3  log 4  x5 
propiedad del producto
.
Ahora, en el segundo término, aplicamos la propiedad de la potencia:
log 4  3x5   log 4  3  5  log 4  x 
. Y, de esta forma, hemos llegado a su
forma más simple.
Otro ejemplo:
 9 x3 
log6 

2 

Para simplificar la expresión
, primero nos conviene aplicar la
 9 x3 
3
log6 
  log6  9 x   log 6  2 
 2 
propiedad del cociente:
; después, en el
primer
término,
aplicamos
la
propiedad
del
producto:
 9 x3 
3
log6 
  log6  9   log6  x   log6  2 
2


. Y, finalmente, aplicamos la
7
propiedad de la potencia al término del medio:
 9 x3 
log6 
  log6  9   3  log6  x   log6  2 
2


.
Y así hemos llegado a su forma más simple.
Todos estos ejemplos que hemos visto nos muestran cómo trabajar para
simplificar las expresiones en las que aparecen logaritmos. Sin embargo, a
la hora de calcular, necesitamos una herramienta más, ya que la mayoría
de las calculadoras solo tienen dos logaritmos muy específicos: el logaritmo
de base 10 (decimal) y el de base e (neperiano).
log a  b 
Entonces, la pregunta es: ¿cómo podemos calcular
? Para resolver
esta pregunta, vamos a estudiar otra propiedad, que es llamada cambio de
base de los logaritmos.
Cambio de base:
loga  b  
logc  b 
logc  a 
Donde c es la nueva base, seguramente una de las dos que tenemos en la
calculadora. Veamos, mediante algunos ejemplos, cómo calcular diferentes
logaritmos.
Primer ejemplo
Calcular el valor de
log 6  5 
.
Para resolver esto, elijamos uno de los dos logaritmos que tenemos en la
calculadora, por ejemplo, el logaritmo en base 10.
8
Figura 5: calculadora científica
Fuente: adaptado de [Imagen sin título sobre calculadora científica]. s. f. Recuperada de
https://goo.gl/4jQtwi
Aplicando la propiedad del cambio de base, obtenemos:
log6  5 
log10  5
log10  6 
En la calculadora, este logaritmo suele representarse mediante una tecla
que dice log.
log 6  5  
log10  5 
log10  6 

log  5 
log  6 

0.69897
 0.89825
0.77815
log 6  5   0.89825
De este modo, hemos resuelto el ejercicio.
Veamos otro ejemplo
log 6  5 
Calcular el valor de
, pero usando el otro logaritmo que tiene la
calculadora. En este caso, vamos a trabajar con el logaritmo en base e.
9
Figura 6: logaritmo base e en la calculadora científica
Fuente: elaboración propia.
Aplicando la propiedad del cambio de base, obtenemos:
log6  5 
loge  5
loge  6 
.
En la calculadora, este logaritmo suele representarse mediante una tecla
que dice ln.
log 6  5  
ln  5 
ln  6 
1.60944
 0.89825
1.79176

log 6  5   0.89825
Llegamos exactamente al mismo resultado con cualquiera de los dos
logaritmos que usemos.
Y, por último, calculamos el valor de
cambio de base, obtenemos:
log 2  7  
log10  7 
log10  2 
log 2  7 
. Aplicando la propiedad del
.
Y, resolviendo los logaritmos, llegamos al siguiente resultado:
log 2  7  
log  7 
log  2 

0.84510
 2.80734
0.30103
log 2  7   2.80734
10
Observemos que, al cortar la cantidad de decimales, generalmente
tendremos un resultado con error en la última cifra decimal que usemos.
3.1.2 Ecuaciones con logaritmos
Cuando tenemos que resolver una ecuación en la que están involucrados
los logaritmos, debemos utilizar todas sus propiedades.
Veamos ejemplos
Resolver:
log 5  x  2   0
.
Como en el argumento del logaritmo hay una resta y no conocemos
propiedades que se puedan aplicar en ella, vamos por la definición de
logaritmo.
log5  x  2   0  x  2  50
Resolvemos:
x  2 1
x  1 2
x3
Así, obtenemos que la solución de la ecuación es x = 3.
Otro ejemplo
log 6  x  3  1
Resolver
. Como en el argumento del logaritmo hay una
suma y tampoco podemos aplicar propiedades del logaritmo, usamos su
definición.
log 6  x  3  1  x  3  61  6
Resolvemos:
x3 6
x  63
x3
Así obtenemos que la solución de la ecuación es x = 3.
11
Y otro caso
log 2  2 x   4
Resolver:
. Dentro del argumento del logaritmo hay un
producto, entonces aplicamos la propiedad correspondiente:
log 2  2 x   log 2  2   log 2  x 
. Como
1  log 2  x   4  log 2  x   3
.
log 2  2   1
, reescribimos la ecuación:
Y ahora aplicamos la definición de logaritmo:
log 2  x   3  x  23
x 8
La solución de la ecuación es x = 8.
Y uno bien complejo:
log 2  4 x 2   log 2  8 x   8
Resolver
. Ahora, debemos trabajar cada término
aplicando las propiedades correspondientes.
Primer término:
log 2  4 x 2   log 2  4   log 2  x 2 
log 2  4 x 2   log 2  22   log 2  x 2 
log 2  4 x 2   2  log 2  2   2  log 2  x 
log 2  4 x 2   2  2  log 2  x 
Segundo término:
log 2  8 x   log 2  8  log 2  x 
log 2  8 x   log 2  23   log 2  x 
log 2  8 x   3  log 2  2   log 2  x 
log 2  8 x   3  log 2  x 
12
Reunimos todos los términos:
log 2  4 x 2   log 2  8 x   8
2  2  log 2  x   3  log 2  x   8
5  3  log 2  x   8
3  log 2  x   8  5
3  log 2  x   3
log 2  x  
3
1
3
Finalmente, usamos la definición de logaritmo:
log 2  x   1  x  21
x2
La solución de la ecuación es x = 2.
3.1.3 Función exponencial
Figura 7: muestra de bacterias
Fuente: [Imagen sin título sobre bacterias]. s. f. Recuperada de https://goo.gl/k4LUut
Cuando se estudian bacterias, por ejemplo, para saber cuántas de ellas
tendrá un medio de cultivo en cierto tiempo, lo que debemos aplicar es la
función exponencial. Por eso decimos que los “gérmenes”, cuando se
reproducen, lo hacen a una “tasa exponencial”. Ahora, ¿qué es una función
exponencial? Veamos.
Definición
Se denomina función exponencial de base a a la función con a positiva
(mayor que 0) y distinta de uno.
13
f  x  ax
Esta función tiene en su dominio todos los números reales, y su imagen son
todos los números reales positivos. Para fijar ideas, vamos a estudiar esta
función mediante ejemplos.
Ejemplo:
Si
f  x   2x
, construiremos una tabla con los valores correspondientes:
Tabla 3: tabla de valores para f(x) = 2x
x
f  x   2x
0
2
1
2
3
-2
-3
1
21/ 2  2
2
4
8
2
2  1 / 22  1 / 4
23  1 / 23  1 / 8
Fuente: elaboración propia.
Si reemplazamos x por cada uno de esos valores en la función f(x) = 2 x,
obtenemos la siguiente gráfica
Figura 8: gráfica de f(x) = 2x
Fuente: elaboración propia.
14
Otro ejemplo:
x
1
1
g  x     x
2 2 ,
Si
correspondientes:
construiremos
una
tabla
con
los
valores
Tabla 4: tabla de valores para g(x) = 1/2x
x
0
½
1
2
3
-2
-3
g  x  1
2x
0
1 / 2   1
1 / 2   1 / 2
1
1 / 2   1 / 2
2
1 / 2   1 / 4
3
1 / 2   1 / 8
2
1 / 2   22  4
3
1 / 2   23  8
1/ 2
Fuente: elaboración propia.
Si reemplazamos x por cada uno de esos valores en la función g(x) = 1/2x,
obtenemos la siguiente gráfica:
15
Figura 9: gráfica de la función g(x) = 1/2x
Fuente: elaboración propia.
Algunas observaciones:
a
Todas las gráficas cortan al eje x en 1, ya que
1

.
 Entonces, todas las gráficas pasan por el punto (0; 1).
f  x  ax
 Si a es mayor que 1, el valor de
crece al aumentar el valor
de x.
 Los valores de la función son siempre positivos, sin importar cuál sea
su base.
0
En resumen:
Figura 10: funciones exponenciales
Fuente: elaboración propia.
16
3.1.4 Ecuaciones con exponenciales
Cuando tenemos que resolver una ecuación en la que están involucradas
funciones exponenciales, vamos a aplicar propiedades de potencias.
Veamos ejemplos:
x
Resolver 2  4  0 .
2x  4  2x  22 .
Despejando
la
exponencial,
obtenemos:
Desde aquí, ya podemos ver que la solución de la ecuación es x = 2.
x
Pero también podemos utilizar los logaritmos: 2  4  x  log 2 4  2 . Así
obtenemos que la solución es x = 2.
Otro ejemplo:
Resolver 2  24  5  2 . Debemos pasar al primer término todas las
exponenciales:
x
x
2 x  24  5  2 x
2 x  5  2 x  24
En este caso, sumamos las exponenciales:
2x  5  2x  6  2x
6  2 x  24
Y ahora despejamos la exponencial:
6  2 x  24
2x 
24
4
6
x
x
2
Y, desde aquí, ya vemos que 2  4  2  2 , por lo que la solución es
x = 2.
Otro ejemplo más:
17
1 3
 x  250
x
Resolver 5 5
. Debemos resolver primero la suma de dos
2
 x  250
fracciones con igual base: 5
.
2  250  5x 
Ahora, despejamos la exponencial:
2
 5x
250
.
Resolvemos la fracción:
2
1
1

 3  53
250 125 5
.
x
3
Entonces, finalmente obtenemos 5  5  x  3 . Con lo cual se ve
que la solución es x = -3.
5
4
 81  x
x
3 .
Y, por último: resolver 3
Pasamos las exponenciales del mismo lado de la igualdad:
5 4
  81
3x 3x
Ahora, resolvemos la suma de las dos fracciones con igual base:
5 4
9
 x  x
x
3 3
3
Entonces obtenemos:
9
9
 81  9  81 3x 
 3x
x
3
81
Finalmente, resolvemos la fracción:
9 1
  32
81 9
Con esto vemos que la solución es:
18
3x  32  x  2
Notar que para los ejercicios de ecuaciones con exponenciales, es
fundamental llegar a una base igual a la base que contiene el exponente x.
Por ejemplo:
Si 2x = 4
2x = 22
X=2
Si 3x = 9
3x = 32
X=2
19
3.2 Progresiones
3.2.1 Progresión aritmética
Si se nos presentan los siguientes números:
1, 3, 5, 7, 9,…
Sospechamos que hay alguna relación entre ellos, pero no siempre es fácil
darse cuenta de cuál es. Veamos:
3–1=2
5–3=2
7–5=2
9–7=2
Etcétera.
Entonces es una sucesión de los números naturales impares. Comienza en
el 1 y tiene diferencia de 2 entre cada par sucesivo de números. Pensemos
el siguiente caso: queremos acomodar sillas para armar un anfiteatro. La
primera fila tiene 6 asientos, y le agregamos de a 4 en cada fila, ¿cuántos
asientos tendremos que poner en cada una? Esa respuesta nos la da una
“progresión aritmética”, ya que vamos a ir sumando 4 a cada uno de los
resultados.
Figura 11: Ejemplo para progresiones aritméticas
ESCENARIO
A
A A A
A A A A A
A A A A A A A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A A A
A A A A A
A A A A A A A
Fuente: elaboración propia.
En conclusión, las filas tendrán: 6, 10, 14, 18, 22,... asientos.
Definición:
Una progresión aritmética a es una sucesión de números que satisfacen
ciertas condiciones. La más importante de ellas es que la diferencia entre
dos términos consecutivos tiene que ser una constante. Notemos que esa
20
es una buena forma de describir la progresión: dar la diferencia entre dos
valores sucesivos. Pero no es lo único que necesitamos. Veamos:
La sucesión 2, 4, 6, 8, 10,… también es una sucesión que tiene 2 unidades
de diferencia entre valores sucesivos, pero no representa a la sucesión de
los números impares.
Entonces necesitamos otro dato más para establecer sin dudas cuál es la
progresión que nos interesa. Esto puede hacerse dando el primer valor de
la sucesión.
¿Te animás a pensar?
Escribir la sucesión de números naturales que inicia en el 1 y tiene
diferencia de 2 entre términos. Escribimos entonces: 1, 3, 5, 7, 9,…
Ahora ha quedado bien determinada.
Veamos otros ejemplos:
Construir la progresión con valor inicial 8, y d = -2. Entonces obtenemos:
a2 = 8 – 2 = 6;
a3 = 6 – 2 = 4;
a4 = 4 – 2 = 2;
a5 = 2 – 2 = 0;
a6 = 0 – 2 = - 2;
a7 = -2 – 2 = - 4.
Ya podemos observar que la sucesión queda: 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, -6, -8,…
Y ahora te toca a vos construir la progresión con valor inicial -9, y d = 4.
Entonces obtenemos:
a2 = -9 + 4 = - 5;
a3 = - 5 + 4 = -1;
a4 = - 1 + 4 = 3;
a5 = 3 + 4 = 7;
a6 = 7 + 4 = 11;
a7 = 11 + 4 = 15.
Observamos que la sucesión queda como sigue: -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15,…
Si nos dan una sucesión, ¿cómo podemos determinar el valor inicial y el
valor de la diferencia entre términos?
21
Sea la sucesión: 1, 5, 9, 13, 17,… Calculamos la diferencia entre dos
términos consecutivos:
17 – 13 = 4;
13 – 9 = 4;
9 – 5 = 4;
5 – 1 = 4.
Entonces podemos describir esta progresión mediante: a1 = 1 y d = 4.
Otro ejemplo:
Determiná el valor inicial y la diferencia de la siguiente progresión: 13, 8, 3,
-2, -7, -12,...
Calculamos la diferencia entre dos términos consecutivos:
8 - 13 = - 5;
3 - 8 = - 5;
-2 - 3 = - 5;
-7 - (-2) = -7 + 2 = - 5;
-12 - (-7) = -12 + 7 = - 5.
Entonces, podemos describir esta progresión mediante: a1 = 13 y d = -5. Si
consideramos los términos de la progresión:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d;
a6 = a5 + d = (a1 + 4d) + d = a1 + 5d.
Podemos escribir entonces la llamada fórmula general:
an = a1 + (n - 1) · d.
an = último término de la progresión
a1 = primer término de la progresión
n = cantidad de términos de la progresión
d = diferencia entre los términos de la progresión
¡A trabajar!
1) Determiná los valores que siguen en la siguiente progresión: 8, 12, 16,
20,... Determinar el valor inicial y la diferencia de la siguiente progresión: 1,4,7,10,13,…
22
¿Te animás a descubrir cuál es la progresión del siguiente dibujo? Se los
conoce como “dibujos cuadrados”
Figura 12: números rectangulares
Fuente: [Imagen sin título sobre números rectangulares]. (s.f.). Recuperado de https://goo.gl/tsS2s9
3.2.2 Progresión aritmética: suma de los primeros
términos
Muchas veces es de interés conocer el valor de la suma de los primeros
términos de una progresión. Supongamos que tenemos la serie de
números impares menores que 10. Esto es: 1, 3, 5, 7, 9. Queremos conocer
el valor de la suma de todos ellos. Como son pocos números, simplemente
podemos sumarlos: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Pero surge la pregunta: ¿hay un
modo más fácil de sumarlos? Pues resulta que sí. Tomemos los términos
primero y último:
1 + 9 = 10.
Ahora, el segundo y el anteúltimo:
3 + 7 = 10.
23
Podemos hacer la suma de un modo más sencillo:
Figura 13: Progresión aritmética
1
3
5
7
9
10
10
5
Fuente: elaboración propia.
Obtenemos como resultado de la suma: 10 + 10 + 5 = 25. Hagamos algo
similar, pero con la serie de números impares menores que 20. Esto es: 1,
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. Y calculemos el valor de la suma de todos ellos.
Usando un proceso similar al anterior, calculemos las sumas del primero y
el último número, luego, del segundo y del anteúltimo, y así
sucesivamente.
¿Qué obtenemos? Sería interesante ver si esto se cumple en todos los
casos. Hagamos la cuenta:
1 + 19 = 20;
3 + 17 = 20;
5 + 15 = 20;
7 + 13 = 20;
9 + 11 = 20.
Finalmente, sumamos todos los 20 y obtenemos como resultado 100. De
aquí surge una fórmula para la suma de números en una progresión:
n
 a1  an 
2
Es decir, conociendo el valor del primero (a1) y del último (an) término y la
cantidad de términos (n), podemos determinar el valor de su suma.
Veamos ejemplos:
En el primer ejemplo: primera serie: 1, 3, 5, 7, 9.
24
a1 = 1;
an = 9;
n = 5;
n
 a1  an   5  1  9   5  10  5  5  25
2
2
2
En el segundo ejemplo: segunda serie: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
a1 = 1;
an = 19;
n = 10.
n
 a1  an   10  1  19   10  20  10 10  100
2
2
2
En resumen:
Figura 14: progresiones aritméticas
Fuente: [Imagen sin
https://goo.gl/zSuq9F
título
sobre
progresiones
aritméticas].
(s.f.).
Recuperado
de
3.2.3 Progresión geométrica
Observemos ahora la siguiente sucesión: 2, 6, 18, 54, 162,… Es una
progresión geométrica, ya que, a cada valor se lo multiplica por 3 para
obtener el siguiente. En este caso, al cuadrado se lo divide por la mitad, y a
una mitad de nuevo en dos, y de nuevo en dos varias veces.
25
Figura 15: progresión geométrica
Fuente: [Imagen sin título sobre progresión geométrica]. (s.f.). Recuperado de https://goo.gl/RgJxJc.
Definición
Una progresión geométrica es una sucesión de números que se construye
mediante un valor inicial a1 y un valor constante denominado razón de la
progresión, que habitualmente es representado por la letra r.
a2 = r a1;
a3 = r a2;
a4 = r a3;
a5 = r a4.
Y así se va construyendo toda la progresión. En general, podemos decir que
an+1 = r an.
Figura 16: fórmula del término general
Fuente: elaboración propia.
26
Veamos ejemplos:
Determinemos cuál es la razón de la siguiente sucesión: 2, 14, 98, 686,
4802… En este caso, debemos encontrar el valor de r por el cual se
multiplica a cada término para obtener el siguiente. Para eso, despejamos r
de la ecuación de la progresión:
an 1  r  an  r 
an 1
an
Y ahora, simplemente, usamos dos valores consecutivos de la progresión.
14
=7
2
98
r =7
14
686
r
=7
98
r
Así, hemos encontrado que la razón de la progresión es r = 7.
En este ejemplo:
Para determinar cuál es la razón de la siguiente sucesión: 4, -12, 36, -108,
324, -972, 2916…, de nuevo, debemos hallar el valor de r por el cual se
multiplica a cada término para obtener el siguiente. Repetimos el
procedimiento del ejemplo anterior:
r
an 1 12

 3
an
4
r
36
 3
12
Esta es una progresión geométrica con r = -3. Cuando la razón es negativa,
los signos de los términos se alternan: positivos y negativos. Por eso se la
denomina progresión alternante.
Ahora hagamos el ejemplo al revés. Debemos construir la sucesión con
razón 2 y término inicial 3. En este caso, construimos la progresión
multiplicando a cada término por la razón 2:
a2 = 3;
a2 = 2.3 = 6;
a3 = 2.6 = 12;
a4 = 2.12 = 24;
a5 = 2.24 = 48.
Entonces, la sucesión pedida es: 3, 6, 12, 24, 48…
27
Mirá el siguiente dibujo, Pensá qué relación tienen los números de la
derecha con él y entre sí, ¿y los números centrales (los que están en los
círculos rojos)?
Figura 17: progresión geométrica
Fuente: [Imagen sin título sobre progresión geométrica]. (s.f.).
Recuperado de https://goo.gl/vWKPMD
3.2.4 Progresión geométrica: suma de los primeros
términos
A veces necesitamos conocer el valor de la suma de los primeros términos
de una progresión geométrica. Esto puede hacerse simplemente sumando
uno por uno todos los términos, o bien, podemos encontrar alguna fórmula
que simplifique la cuenta. En efecto, la fórmula existe. La suma de los
primeros n números de una progresión geométrica
está dada por:
n
1
n  1
rr  1
S a
Donde Sn es la suma, r es la razón y a1 el primer término de la progresión.
Por ejemplo:
Calculá la suma de los diez primeros términos de una progresión
geométrica, sabiendo que el primer término es 3 y su razón es 5.
La progresión nos quedaría: 3, 15, 75, 375, 1875, 9375, 46875, 234375,
1171875, 5859375… Si sumamos cada uno de esos números, obtenemos: 3
+ 15 + 75 + 375 + 1875 + 9375 + 46875 + 234375 + 1171875 + 5859375 =
7324218. Para aplicar la fórmula, primero identificamos cada variable y le
asignamos su valor:
a1 = 3;
28
r = 5;
n = 10.
Reemplazando los valores en la fórmula, obtenemos la siguiente expresión:
S10  a1
r10  1
510  1
9765625  1
3
3
 3  2441406  7324218
r 1
5 1
4
Comprobamos entonces la validez de la fórmula. La próxima vez no
necesitaremos calcular los diez términos de la progresión.
Otro ejemplo:
Calculá la suma de los ocho primeros términos de una progresión
geométrica, sabiendo que el primer término es 3 y su razón es 2. Primero,
identificamos cada variable y le asignamos su valor:
a1 = 3;
r = 2;
n = 8.
Reemplazando los valores en la fórmula, obtenemos que:
r8 1
28  1
256  1
S8  a1
3
3
 3  255  765
r 1
2 1
1
Y, por último, calcular la suma de los ocho primeros términos de una
progresión geométrica, sabiendo que el primer término es 4 y su razón es
3.
Primero, identificamos cada variable y le asignamos su valor:
a1 = 4;
r = 3;
n = 8.
Reemplazamos los valores en la fórmula:
8
1
1
1
1
1
  1
8
1,524 104  1
3
S8  4  
43
 4 6561  4
 4 1, 49977  5,9991
1
2
2
2
1
3
3
3
3
En este caso, conviene trabajar con decimales. Esto producirá un error en
la última cifra decimal que se utilice.
29
Entonces, resumiendo:
 La razón de una progresión geométrica es cualquier número real
distinto de 0.
 En una progresión aritmética, se suma una constante para obtener
los valores sucesivos (Portal educativo, s.f., recuperado de
https://goo.gl/1YK5J4).
 En una progresión geométrica, se multiplica una constante para
obtener los valores sucesivos.
 Una progresión geométrica con razón negativa posee términos
alternados positivos y negativos (Artacho, 2017, recuperado de
https://goo.gl/B5FxGs).
Síntesis
Durante esta unidad repasamos los conceptos de logaritmos y
progresiones.
Respecto a logaritmos y funciones exponenciales, vimos las formas que
pueden tener ambas funciones en un gráfico y vimos las principales
propiedades de ambas funciones. También definimos su dominio e imagen.
Luego repasamos progresiones aritméticas y geométricas. Notamos que en
las progresiones aritméticas se puede definir el concepto de “diferencia”
entre términos y en las progresiones geométricas el concepto de “razón”
entre términos. En ambos casos, también aprendimos a sumar términos de
ambas progresiones mediante las fórmulas mencionadas durante la
unidad.
30
Referencias
Artacho,
A.
(2017).
Recuperado
de
https://matematicascercanas.com/2017/03/02/progresion-geometrica/
[Imagen
sin
título
sobre
ciudad].
(s.f.) Recuperada de
http://lawrencenorfolk.com/wp-content/uploads/2012/03/megalopolis300x242.jpg
[Imagen sin título sobre logaritmos]. (s.f.). Recuperado
https://2.bp.blogspot.com/lWCHDYJ8Gow/V8Wq1jrFqBI/AAAAAAAAAbY/GK1X0G-AJAIs0acBuYTQR4lnx7GiAO1wCLcB/s1600/Log.jpg
de
[Imagen sin título sobre calculadora científica]. (s.f.) Recuperada de
https://www.casio-europe.com/resource/images/sgr/detail/fx82esplus.jpg
[Imagen sin título sobre bacterias]. (s.f.) Recuperada de
https://thumb7.shutterstock.com/display_pic_with_logo/74538/74538,12
64794745,7/stock-photo--gloved-hand-holding-a-petri-dish-45531214.jpg
[Imagen sin título sobre números rectangulares]. (s.f.). Recuperado de
http://casedyc.mex.tl/frameset.php?url=/blog_las-matematicas-capitulo-ii-i.html
[Imagen sin título sobre progresiones aritméticas]. (s.f.). Recuperado de
https://es.slideshare.net/carmenaneiros1/progresiones-aritmticas-paraslideshare-16779349
[Imagen sin título sobre progresión geométrica]. (s.f.). Recuperado de
https://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/sucesiones/nivel1/te
oria/sucesiones20.htm
[Imagen sin título sobre progresión geométrica]. (s.f.). Recuperado de
http://www.proyectodescartes.org/descartescms/blog/difusion/item/1026
-utlizando-los-juegos-didacticos-para-trabajar-la-competencia-lectora
Matemática
3°
BGU.
(s.f.).
Recuperado
http://es.calameo.com/read/004338359d1f6b11d258e
de
Portal
educativo.
(s.f.).
Recuperado
de
https://www.portaleducativo.net/cuarto-medio/17/progresion-geometrica
31