La función de demanda Cobb-Douglas parte de la siguiente función
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La función de demanda Cobb-Douglas parte de la siguiente función de utilidad: U ( x1 , x2 ) = α1 log( x1 ) + α 2 log( x2 ) (1) siendo α1, α2 > 0. Podemos fijar α1 + α2 = 1 sin falta de generalidad (nótese que podemos someter la función a una transformación monótona dividiendo todo por la suma α1 + α2). Es una función de utilidad monótona estricta y estrictamente cuasicóncava. F. de demanda La maximización de (1) con respecto a xi sujeto a la restricción presupuestaria Y = p1 x1 + p2 x2 nos da el sistema: α / x = λp α / x = λp Y = px + p x 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (2) (3) (4) Dividiendo (2) entre (3) e introduciéndolo en (4) obtenemos las siguientes ecuaciones de demanda de los dos bienes: x1 ( p1 , p2 , Y ) = α Y p (5) α Y p (6) 1 1 x2 ( p1 , p2 , Y ) = 2 2 si α1 + α2 = 1. Es un modelo muy restrictivo, los bienes son independiente brutos y la homoteticidad de la función de utilidad implica que la proporción de gasto en cada bien es constante: p1 x1 / Y = α1 p2 x 2 / Y = α 2 (5)’ (6)’ F. indirecta de utilidad Si introducimos las ecuaciones (5) y (6) en la función directa de utilidad (1) obtenemos la función indirecta de utilidad siguiente: V ( p1 , p2 , Y ) = log(Y αα αα α α ) p p 1 1 1 1 donde α1 + α2 = 1. 2 2 2 2
