1 Ecuaciones diferenciales homogéneas . E: xy dx C .x y2/ dy D 0 D
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1 Ecuaciones diferenciales homogéneas . E: xy dx C .x 2 y 2 / dy D 0 D: H Reescribimos la ED en la forma: xy dx D .y 2 dy xy x 2 / dy ) D 2 D dx y x2 Al hacer el cambio de variable u D x2 y x2 x2 y x y dy ) D x2 y dx 1 x : 1 y , encontramos: x dy du DuCx : dx dx y D ux ) Al sustituir en la ED, obtenemos: uCx du u du u D 2 ) x D 2 dx u 1 dx u 1 uD 2u u3 : u2 1 Al separar variables hallamos: dx .u2 1/du D ) 3 2u u x .u2 1/ du D 2u u3 Z Z dx : x (1) Para integrar el lado izquierdo proponemos la descomposición en fracciones parciales siguiente: .u2 1/ A Bu C C D C : 2u u3 u 2 u2 Multiplicando por u.2 u2 / y desarrollando, obtenemos: u2 1 D A.2 u2 / C .Bu C c/u ) u2 1 D . A C B/u2 C C u C 2AI de donde obtenemos el sistema de ecuaciones: 2A D C D ACB D A D 1 0 ) C D 1 B D 1 I 2 0I 1 : 2 Sustituyendo en (1) Z 1 2u u 2.u2 2/ al integrar, obtenemos: Z Z Z 1 du 1 1 2u du dx D ) 2 u 2 2 u2 2 x 4. canek.azc.uam.mx: 22/ 11/ 2010 du D 1 ln u 2 Z dx I x 1 ln.u2 4 2/ D ln x C C I 2 multiplicando por 4: 2 ln u C ln.u2 lnŒu2 .u2 2/ D 4 ln x 4C I 2/ C 4 ln x D C ) lnŒx 4 .u4 Aplicando la exponencial en ambos miembros, y usando u D x 4 y4 x4 2u2 / D C: y encontramos: x y2 2 2 D C: x Al reducir, hallamos la solución general de la ED: y4 2x 2 y 2 D C:
