1 Ecuaciones diferenciales homogéneas . E: xy dx C .x y2/ dy D 0 D

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Ecuaciones diferenciales homogéneas .
E: xy dx C .x 2
y 2 / dy D 0
D: H Reescribimos la ED en la forma:
xy dx D .y 2
dy
xy
x 2 / dy )
D 2
D
dx
y
x2
Al hacer el cambio de variable u D
x2
y x2
x2
y
x
y
dy
)
D x2
y
dx
1
x
:
1
y
, encontramos:
x
dy
du
DuCx :
dx
dx
y D ux )
Al sustituir en la ED, obtenemos:
uCx
du
u
du
u
D 2
) x
D 2
dx
u
1
dx
u
1
uD
2u u3
:
u2 1
Al separar variables hallamos:
dx
.u2 1/du
D
)
3
2u u
x
.u2 1/
du D
2u u3
Z
Z
dx
:
x
(1)
Para integrar el lado izquierdo proponemos la descomposición en fracciones parciales siguiente:
.u2 1/
A Bu C C
D
C
:
2u u3
u
2 u2
Multiplicando por u.2 u2 / y desarrollando, obtenemos:
u2
1 D A.2
u2 / C .Bu C c/u ) u2
1 D . A C B/u2 C C u C 2AI
de donde obtenemos el sistema de ecuaciones:
2A
D
C
D
ACB D

A D
1
0
) C D

1
B D
1
I
2
0I
1
:
2
Sustituyendo en (1)
Z 1
2u
u
2.u2
2/
al integrar, obtenemos:
Z
Z
Z
1
du 1 1
2u du
dx
D
)
2
u
2 2
u2 2
x
4. canek.azc.uam.mx: 22/ 11/ 2010
du D
1
ln u
2
Z
dx
I
x
1
ln.u2
4
2/ D ln x C C I
2
multiplicando por 4:
2 ln u C ln.u2
lnŒu2 .u2
2/ D 4 ln x
4C I
2/ C 4 ln x D C ) lnŒx 4 .u4
Aplicando la exponencial en ambos miembros, y usando u D
x
4
y4
x4
2u2 / D C:
y
encontramos:
x
y2
2 2 D C:
x
Al reducir, hallamos la solución general de la ED:
y4
2x 2 y 2 D C: