d - Canek

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Método de Euler.
E: Considere el PVI P 0 D 5P P 2 , con P .0/ D 1:5. Determine una aproximación numérica de
la solución en t D 0:5 utilizando el método de Euler con tamaño de paso h D 0:1. Compare
su resultado con la solución exacta. Utilice redondeo a cuatro cifras decimales en todos sus
cálculos. Repita sus cálculos utilizando un tamaño de paso h D 0:05.
D: H Primero encontraremos la solución exacta; para ello resolvemos la ED separable:
Z
Z
Z dP
dP
dP
1
1
1
2
D 5P P )
D dt )
dt D
D
C
dt )
dt
5P P 2
5P P 2
5
5 P
P
1
1
)t CC D
ln.5 P / C ln P:
5
5
De donde
5t C C D ln
P
5
P
) C e 5t D
P
5
P
:
Usando la condición inicial P .0/ D 1:5, tenemos:
C D
3
7P
1:5
D ) 3e 5t D
:
3:5
7
5 P
Despejando ahora P , obtenemos:
15e
5t
3P e
5t
D 7P ) 15e
5t
15e 5t
:
D .7 C 3e /P ) P D
7 C 3e 5t
5t
Finalmente, el valor exacto en el punto t D 0:5 está dado por:
Pexacto D 4:1963 :
Por otra parte, para obtener la solución aproximada con el método de Euler, usaremos h D 0:1.
Empezamos utilizando .t0 ; P0 / D .0; 1:5/ & f .t; P / D 5P P 2 ; obtenemos en este caso:
P1 D P0 C h f .t0 ; P0 / D P0 C h 5P P 2 D 1:5 C .0:1/5:25 D 2:025 :
Considerando .t1 ; P1 / D .0:1; 2:025/ y repitiendo el proceso, obtenemos P2 :
P2 D P1 C h f .t1 ; P1 / D P1 C h 5P P 2 D 2:025 C .0:1/6:0244 D 2:6274 :
El valor de P3 lo calculamos considerando .t2 ; P2 / D .0:2; 2:6274/; obtenemos ahora:
P3 D P2 C h f .t2 ; P2 / D P2 C h 5P P 2 D 2:6274 C .0:1/6:2338 D 3:2508 :
Obtenemos finalmente P4 & P5 repitiendo el proceso dos veces más:
P4 D P3 C h f .t3 ; P3 / D P3 C h 5P P 2 D 3:2508 C .0:1/5:6863 D 3:8194 :
P5 D P4 C h f .t4 ; P4 / D P4 C h 5P P 2 D 3:8194 C .0:1/4:5092 D 4:2703 :
9. canek.azc.uam.mx: 4/ 2/ 2011
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Es decir, la aproximación de la solución en t D 0:5 está dada por:
Paprox .0:5/ D 4:2703 :
Tomando en cuenta estos resultados obtenemos el siguiente error porcentual:
4:1963 4:2703 Pexacto Paprox % D 100 % D 1:7635%:
EP D 100 Pexacto
4:1963
En el caso de que reduzcamos el tamaño de paso a h D 0:05 necesitaremos repetir el proceso 10
veces para obtener la solución en t D 0:5:
P1 D P0 C h f .t0 ; P0 / D P0 C h 5P P 2 D 1:5 C .0:05/5:25 D 1:7625 :
Si repetimos el proceso obtendremos P2 , consideremos entonces .t1 ; P1 / D .0:05; 1:7625/, de
donde:
P2 D P1 C h f .t1 ; P1 / D P1 C h 5P P 2 D 1:7625 C .0:05/5:7061 D 2:0478 :
El valor de P3 lo calculamos considerando .t2 ; P2 / D .0:1; 2:0478/, obtenemos ahora:
P3 D P2 C h f .t2 ; P2 / D P2 C h 5P P 2 D 2:0478 C .0:05/6:0455 D 2:3501 :
Obtenemos P4 y P5 repitiendo el proceso, tenemos entonces:
P4 D P3 C h f .t3 ; P3 / D P3 C h 5P P 2 D 2:3501 C .0:05/6:2275 D 2:6615 :
P5 D P4 C h f .t4 ; P4 / D P4 C h 5P P 2 D 2:6615 C .0:05/6:2239 D 2:9727 :
Siguiendo el método otras cinco veces obtenemos los siguientes resultados:
P6
P7
P8
P9
P10
D 2:9727 C h f .0:25; 2:9727/ D 3:274 :
D 3:274 C h f .0:3; 3:274/ D 3:5565 :
D 3:5565 C h f .0:35; 3:5565/ D 3:8132 :
D 3:8132 C h f .0:4; 3:8132/ D 4:0395 :
D 4:0395 C h f .0:45; 4:0395/ D 4:2335 :
Es decir, Paprox .0:5/ D 4:2335, este resultado se aproxima mejor a la solución exacta. En este
caso el error porcentual se reduce prácticamente a la mitad del error porcentual calculado en el
caso anterior. En efecto,
4:1963 4:2335 % D 0:8865%:
EP D 100 4:1963