Solucionario de Problemas de Ecuaciones

Escuela Superior Politécnica del Litoral
v
v
v
v
v
Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa
ecuación diferencial de la siguiente manera:
Donde
se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la
variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta
ecuación diferencial:
Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma:
"#$
%
+
&
'
+
=
dy
xy + 3x - y - 3
=
dx xy - 2x + 4y - 8
dy
x(y + 3) - (y + 3)
=
dx x(y - 2) + 4(y - 2)
dy (y + 3)(x - 1)
=
= f ( y )g ( x );
dx (y - 2)(x + 4)
(y − 2 )dy (x − 1)dx
=
⇒ Integramos
(x + 4 )
(y + 3 )
(y − 2 )dy (x − 1)dx
∫ (y + 3 ) = ∫ (x + 4 )
∫
a ambos lados de la ecuación
( y + 3 )dy
5dy
(x + 4 )dx
5dx
−∫
=∫
−∫
(x + 4 )
(x + 4 )
( y + 3)
y+3
5dy
5dx
∫ dy − ∫ y + 3 = ∫ dx − ∫ (x + 4 )
y − 5 ln y + 3 = x − 5 ln x + 4 + c
!
#$
&
=
'
π
Reemplazan do u y v :
3e x tan(y)dx + (2 − e x )sec 2 (y)dy = 0
ln tan(y) = 3ln 2 − e x + c;
(2 − e x )sec 2 (y)dy = −3e x tan(y)dx;
e ln tan(y) = e
− 3e x tan(y)
dy
=
= f(x).g(y);
dx (2 − e x )sec 2 (y)
2
tan(y) = (2 − e ) K;
sec (y)dy
3e dx
=−
;
tan(y)
(2 − e x )
La solución general es :
sec 2 (y)dy
3e x dx
=
−
∫ tan(y) ∫ (2 − e x ) ;
si y(0) = $/4;
⇒
u = tan(y) ⇒ du = sec 2 (y);
$/4 = arctan[(2 − e 0 )K ];
y = arctan[(2 − e x )3 K ];
v = 2 − e ⇒ dv = − e dx;
x
$/4 = arctan(K);
⇒ Reemplazan do :
$
tan   = K; ⇒ K = 1;
4
La solución particular es :
du
3dv
∫ u =∫ v ;
ln u = 3ln v + c;
y = arctan[(2 − e x )3 ];
#$ (
%
−
e x/2 ydy =
+
&
e
x/2
'
=
dx
;
e (1 + e x/2 )
y
dy
1
= x/2
= f( x ).g( y );
dx e (1 + e x/2 )ye y
g( y ) =
;
x 3
x
x
f( x) =
3ln 2 − e x + c
1
;
(1 + e x/2 )
1
;
ye y
dx
y
∫ ye dy = ∫ e x/2 (1 + e x/2 ) ;
dx
∫ e x/2 (1 + e x/2 ) = ?
1
u = e x /2 ⇒ du = e x /2 dx ;
2
1
2du
du = udx ⇒ dx =
;
2
u
2du
dx
2du
u
⇒ ∫ x/2
=∫
=∫ 2
x/2
e (1 + e )
u(1 + u )
u (1 + u )
Integrando por fracciones parciales obtenemos :
1
A B
C
= 2+ +
;
2
u ( u + 1) u
u 1+ u
Donde los valores de A, B, C son :
A = 1; B = - 1; C = 1;
⇒∫
2du
1  
  1 1
= 2 ∫  2 − +
du ;
u (1 + u )
u 1 + u  
 u
⇒∫
2du
du
du
du
= 2∫ 2 − 2∫
+ 2∫
;
u (1 + u )
u
u
1+u
⇒∫
2du
2
= − − 2 ln u + 2 ln 1 + u + c ;
u (1 + u )
u
⇒∫
2
2
2
e
x/2
dx
2
= − x/2 − 2 ln e x/2 + 2 ln 1 + e x/2 + c ;
x/2
(1 + e )
e
ye y − e y = ∫
x/2
dx
;
(1 + e x/2 )
e
La solución implicita general es :
⇒ ye y − e y = −
!
2
e
x/2
− 2 ln e x/2 + 2 ln 1 + e x/2 + c ;
)# $
&
−
−
−
&
+
'
=
(e y − e − y )x 1 + ln( x)dy = 2 y ln( x)dx ;
dy
2 y ln( x )
= y
= f( y ).g( x );
dx (e − e − y )x 1 + ln( x )
f( y ) =
2y
∧
(e − e − y )
y
=
ln( x)
;
x 1 + ln( x )
dy
2 y ln( x )
= y
dx (e − e − y )x 1 + ln( x )
ln( x)
(e y − e − y )
dy =
dx ;
2y
x 1 + ln( x)
ln( x )
(e y − e − y )
∫ 2 y dy = ∫ x 1 + ln(x) dx;
(e y − e −y )
= senh( y )
2
senh( y )
ln( x)
∫ y dy = ∫ x 1 + ln(x) dx ;
senh( y )
dy
y
y 2 n +1
senh( y ) + ∞ y 2 n
⇒
=∑
;
y
n = 0 (2 n + 1 )!
n = 0 (2 n + 1 )!
+∞
Si senh( y ) = ∑
Re emplazando :
y2n
ln( x )
dy = ∫
dx ;
∫∑
x 1 + ln( x )
n = 0 (2 n + 1 )!
+∞
+∞
y2n
∑ (2n + 1)!dy
n =0
+∞
y 2 n+1
y
;
dy = ∑
∫∑
n = 0 (2 n + 1 )!
n = 0 (2 n + 1 )(2 n + 1)!
+∞
2n
!
%&
∫
Si
dx = ?
+
⇒
=
⇒∫
%&
⇒∫
⇒∫
⇒∫
⇒∫
=
dx = ∫
+
;
+
# = 1 + u ⇒ 2 zdz = du ;
=∫
+
# $
+
# #
z
# #
= 2∫ # $

= 2

(
z
+
# $
+
3
)

dx = 2 


y 2 n +1
=
2
∑= (2n + 1)(2 n + 1)! 

;

 z3
# =  − z + C ;

3

+ +C

3
−
(
"
+∞
dx
+
)
−
+

 + C;

−
+

+C

3
+
3
!
(
)
3
+
3
!
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma:
y'+ p(x)y = g(x);
Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones:
Ø El método del factor integrante.
Ø Método de variación de parámetros
El método del factor integrante:
y' + p(x)y = g(x);
u(x) = e ∫
p(x)dx
;
u(x)[y' + p(x)y] = u(x)g(x);
d
[u(x)y] = u(x)g(x);
dx
∫ d[u(x)y] = ∫ u(x)g(x)dx;
u(x)y = ∫ u(x)g(x)dx;
y=
1
u(x)g(x)dx;
u(x) ∫
Método de variación de parámetros
y' + p(x)y = g(x);
yh' + p(x)yh = ;
yh' = − p(x)yh ;
dyh
= − p(x)yh ;
dx
dy
∫ yhh = ∫ − p(x)dx;
yh = ∫ − p(x)dx;
yh = e ∫ − p(x)dx;
Asumir:
emplazando :
y' + p(x)y = g(x);
[ y hv'(x) + y' hv(x)] + p(x)y hv(x) = g(x);
v'(x)[ y h ] + v(x)[ y' h + p(x)y h ] = g(x);
Pero y' h + p(x)y h = , entonce s:
v'(x)[ y h ] + v(x)[ ] = g(x);
v'(x)[ y h ] = g(x);
dv
[ yh ] = g(x);
dx
g(x)
∫ dv = ∫ yh dx;
g(x)
dx;
yh
y = yhv(x);
v(x) = ∫
y' = yh v'(x) + y'hv(x);
y = y h v(x);
y = e∫
− p(x)dx
!
∫
g(x)
dx;
yh
x3
;
xy'−2 y =
sen 2 (x)4 ctg(x)
y' −
x2
2
;
y=
x
sen 2 (x)4 ctg(x)
Tiene la forma y' + p(x)y = g(x);
Por lo tanto podemos aplicar el método del factor integrante :
Encontremos el factor integrante u(x) :
u(x) = e ∫
p(x)dx
2
− dx
−2
1
u( x) = e ∫ x = e − 2 ln( x ) = e ln( x ) = x −2 = 2 ;
x
Multipliquemos el factor integrante u(x) a ambos lados de la ecuación :

x2
1 
2  1 
;
y'
y
−
=


x2 
x  x 2  sen 2 (x)4 ctg(x) 

d  1  
1
;
 2 y = 
dx  x   sen 2 (x)4 ctg(x) 


1
 1 
dx ;
⇒ ∫ d 2 y  = ∫ 
2
 sen (x)4 ctg(x) 
x 




1
1
dx ;
⇒ 2 y = ∫
 sen 2 (x)4 ctg(x) 
x




csc 2 ( x )
1


dx = ∫
dx ;
⇒∫
 sen 2 (x)4 ctg(x) 
4 ctg(x)


Si u = ctg( x) ⇒ du = − csc 2 ( x )dx ;
⇒∫
⇒∫
csc 2 ( x )
ctg(x)
4
dx = ∫
 u 3/4 
4u 3 / 4
− du
−1 / 4
u
du
=
−
=
−
=
−
 3 /4 
∫
4
3
u


4 4 ctg 3 ( X )
4[ctg( X )]3 / 4
dx = −
+C =−
+ C;
3
3
ctg(x)
csc 2 ( x )
4
4 4 ctg 3 ( X )
1
y
=
−
+ C;
x2
3
La solución general de la ecuacion diferencial es :
⇒
 4 4 ctg 3 ( X )


y=x −
+ C ;
3


2
!
y'+ p(x)y = 1; y(0) = 1;
1 ; 0 ≤ x < 2
p(x) = 
- 2x ; x ≥ 2
"#" $% &'($#)"%* 0 ≤ x < 2 #$+*%)$,*+ %" $-."-&/' 0&1$#$'-&"%2 0*'0$ p(x) = 1
Ahora para x ≥ 2, p(x) = -2x;
y'-2xy = 1;
u( x ) = e ∫
y'+ y = 1;
dy
dy
+ y = 1; ⇒
= 1 − y ; (Ec. dif. separable);
dx
dx
dy
dy
= dx ⇒ ∫
= dx ;
1−y ∫
1−y
− ln 1 − y = x + C ;
(Ec. dif. lineal)
− 2 xdx
2
= e −x ;
2
2
e −x (y'- 2 xy ) = e − x (1);
2
2
d(e −x y )
= e −x ;
dx
−x
−x
−x
−x
∫ d(e y) = ∫ e dx; ⇒ e y = ∫ e dx;
2
2
2
2
2
Pero para integrar e −x dx necesitamos
ln 1 − y = −x + K
usar series de potencias :
e ln 1− y = e − x+K ;
+∞
(− 1 ) n x 2 n
n =0
n!
⇒ e −x y = ∫ ∑
2
−x
1 − y = k 1e ;
y 1 = 1 − k 1e −x ;
+∞
(− 1 ) n x 2 n + 1
n =0
( 2 n + 1)n!
⇒ e −x y = ∑
2
Pero y(0) = 1;
1 = 1 − k 1e 0 ; ⇒ k 1 = 0 ;
⇒ y 1 = 1 para 0 ≤ x < 2
⇒ y2 = ex
2
+∞
dx ;
(− 1 ) n x 2 n + 1
∑ ( 2n + 1)n!
+ k2 ;
2
+ e x k 2 ; para x > 2;
n =0
Ahora para encontrar k 2 usaremos la
condición de continuidad de dos funciones :
Esta condición dice :
lim f( x) = lim f(x);
⇒ lim y = lim y ;
x →a −
x→2 −
x→a +
1
x→2 +
2
2
 2 + ∞ (− 1 ) n x 2 n + 1

⇒ lim 1 = lim e x ∑
+ e x k 2 ;
x→2 −
x→2 + 
n = 0 (2 n + 1)n!

n 2 n +1
+∞
+∞
2
2
(− 1 ) 2
(− 1 ) n 2 2 n 2 4
⇒ 1 = e2 ∑
+ e2 k 2 ;⇒ 1 = e4 ∑
+e k2 ;
n = 0 (2 n + 1)n!
n = 0 (2 n + 1)n!
1 + ∞ (− 1 ) n 2 2 n 2
(− 1 ) n 2 2 n 2 4
;
= e k2 ;⇒ k2 = 4 − ∑
e
n = 0 (2 n + 1)n!
n = 0 (2 n + 1)n!
+∞
1
(− 1 ) n 2 2 n
;
⇒ k 2 = 4 − 2∑
e
n = 0 (2 n + 1)n!
+∞
⇒ 1−e4 ∑
La solución queda expresada con
la siguiente regla de correspondencia :
0≤x<2
1 ;
 +∞
+∞
y =  x 2 (− 1)n x 2 n +1
(− 1)n 2 2 n 
x2  1
+
−
2
e
e
∑
∑
 4
; x ≥ 2

n = 0 (2 n + 1 )n! 
e
 n =0 ( 2 n + 1)n!
!
!
#$
&
dy
y
= y
dx e + 2 x
& *3+$#)",*+ 4.$ $+(" $+ .'" $-."-&/' 0&1$#$'-&"% '* +$5"#"3%$2 '* %&'$"% -*' #$+5$-(*
" 62 4.$ ("% +& 7"-$,*+ 4.$ '.$+(#" )"#&"3%$ &'0$5$'0&$'($ +$" 8*+2 6 4.$ 8(9 '.$+(#"
)"#&"3%$ 0$5$'0&$'($2 $+ 0$-&# *3($'$# '.$+(#" +*%.-&/' $' 1.'-&/' 0$ 8*+ (x = f( y))
(e
(e
y
y
+ 2 x )dy = ydx ;
y
+ 2x) = y
dx
;
dy
dx
− e y − 2x = 0;
dy
⇒ x'−
#
e y 2x
−
= 0;
y
y
"+
≡ yx'−e y − 2 x = 0 ;
⇒
x'−
=
2x e y
;
=
y
y
!
x' + p(y)x = g(y);
= ∫
p( y ) = −
;
2
;
y
=
∫−
$
= e −2 ln y =
2x e y
=
y
y
⇒
%$

2x 
 x'−  =

y 

%$
=
%$
%$
=
x'−
⇒
%$
ey
.
y
[y x ]
−2
y
[y x] = ey
⇒
−2
y −2 x =
∫
3
e
∑
n =0
+∞
∫∑
n =0
x( y ) = y
∫
∫
[y x] = ∫ ey
∫
y
−2
dy
ey
dy
y3
∫
+∞
∑
n =0
y n −3
n!
 1
1
1

+
+
+
3
2
2! y
 0! y 1! y

" +*%.-&/' $+
+∞
∑
n =3
 *
*
= − − +
$
 $

y n −3 

n! 

 1
e
1 1
$
− 2 − + ln( y ) +
dy
=
&
y 2
 2y

y
3
dy
yn
ey
⇒ 3 =
n!
y
y n −3
dy =
n!
2
= y2
dy ⇒
3
y
&
+∞
−2
ey
dy ⇒
y3
'
ey =
y
[y x] = ey
+∞
∑
n =3

y n −2
+ C ;
( n − 2 )n!


!
+∞
$
+
∑
=&

+( $
−$ )


)#$
&
'
2
xy' −y = x sen(ln(x));
y(1) = 0 ;
(&%&;"'0* $% ,<(*0* 0$% 1"-(*# &'($=#"'($
xy' − y = x 2 sen( ln (x));
y
y' − = xsen( ln (x));
x
#
"+
=
+
u( x ) = e ∫ p( x )dx ;
1
=− ;
x
⇒ u( x ) = e ∫ p( x )dx !
⇒ u( x ) = e ∫ p( x )dx = e
1
− ∫ dx
x
= e −ln( x ) ;
⇒ u( x ) = x −1 ;
x −1 y' − x −1
d −1
x y
dx
[
y
= x −1 xsen( ln (x));
x
]
∫
d −1
[x y] = sen( ln (x)) ⇒ d[x −1y] = sen( ln (x))dx ⇒
dx
x −1 y =
∫
d[x −1 y] =
∫
sen( ln (x))dx
sen( ln (x))dx
∫
y = x sen( ln (x))dx
∫
sen(ln( x))dx = ?
* = -!
z = ln( x);
⇒
dz =
dx = xdz ;
'
=
,
dx
;
x
;
z
dx = e dz ;
∫
∫
∫
sen(ln( x))dx =
∫
⇒
∫
y=
12 [sen (ln( 1)) − cos(ln( 1))]
+ C( 1);
2
[sen(0) − cos( 0)] + C ;
⇒0=
2
1
1
⇒ 0 = − + C; ⇒ C = ;
2
2
⇒0=
sen(z )e zdz ;
sen(z )e zdz +
sen(z )e zdz =
x [sen (ln( x )) − cos(ln( x))]
+ Cx ;
2
y( 1) = 0 ;
2
e z [sen(z ) − cos(z )]
+ C;
2
sen(ln(x ))dx =
.
x[sen(ln( x)) − cos(ln(x))]
+ C;
2
$
=
 x[sen(ln( x)) − cos(ln(x ))]

⇒ y = x
+ C
2


x 2 [sen(ln( x)) − cos(ln( x))]
+ Cx;
y=
2
!
[
−
$
]+
$
:
(
"+ $-."-&*'$+ 0&1$#$'-&"%$+ $>"-("+ (&$'$' %" +&=.&$'($ 1*#,"
M(x, y) + N(x, y)y' = 0;
Es exacta si :
∂M(x, y) ∂N(x, y)
=
;
∂y
∂x
My = Nx ;
Entonces existe :
F(x, y) tal que :
∂F(x,y)
= M(x,y);
∂x
∂F(x,y)
= N(x,y);
∂y
Si escogemos
∂F( x , y )
= M(x, y), se obtiene :
∂x
∂F(x,y)
= M(x,y)
∂x
∫ ∂F(x,y) = ∫ M(x,y)∂x;
F(x,y) = G(x,y) + h(y);
Luego derivando F(x, y) con respecto a y :
∂F( x , y )
= G' ( x , y ) + h' ( y );
∂y
∂F(x, y)
= N(x, y);
Luego igualando con
∂y
G'(x,y) + h'(y) = N(x,y);
h'(y) = N(x,y) − G'(x,y);
h( y ) = La constante de F(x, y).
Entonces :
F(x,y) = G(x,y) + h(y);
La solucíon es :
F(x,y) = 0 ;
G(x,y) + h(y) = 0 ;
Si se elige
∂F(x,y)
= N(x,y), y procedemos de la misma forma, se obtiene :
∂y
F(x, y) = H(x, y) + h(x);
Donde la solución es :
F(x, y) = 0;
!
::
"#$
&
xy
 3
e
 4x y − x + yln(x) + x

'
(
3



e
+ xln(x) − x  dy = 0
x − 4  dx +  x 4 −
y



xy
)

  4 e xy
 3
e xy
3
yln(x)
x
x
4
4x
y
+ x −
+ xln(x) − x  y' = 0
−
+
+
−


y
x
 


xy
e
M(x,y) = 4 x 3 y −
+ y ln (x) + x 3 x − 4 ;
x
M y = 4 x 3 − e xy + ln (x) ;
(
)
(
N(x , y ) = x 4 −
)
e xy
+ xln(x) − x;
y
Nx = 4 x 3 − e xy + ln (x) ;
My = Nx ;
entonces la ecuacion diferencia l es exacta;
 Fx = M(x, y)
⇒ Existe una función F(x, y), donde 
 Fy = N(x, y)
Si Fy = N(x, y), entonces se obtiene lo siguiente :
Fy = x 4 −
e xy
+ x ln (x) − x;
y
∂(F(x,y))
e xy
4
=x −
+ x ln (x) − x;
y
∂y

 4 e xy
∂(F(x,y)) =  x −
+ x ln (x) − x  ∂y;
y


Entonces integrando a ambos lados de la ecuación :

 4 e xy
 ∂y;

x
ln
(x)
x
∂
=
−
+
−
(F(x,y))
x
∫
∫ 

y

 e xy 
 ∂y + yx ln( x ) − xy + h ( x );
F( x , y ) = x y − ∫ 

y


xy
e 
 ∂y se usa series de potencias :
Para integrar 

y


n
xy
+∞
(x )n (y )n − 1 1 + ∞ (x )n (y )n − 1
e
1 + ∞ (xy )
= ∑
=∑
= +∑
;
y
y n = 0 n!
n!
y n =1
n!
n =0
4
+∞
 1 + ∞ (x )n (y )n − 1 

(x )n (y )n
 ∂ y = ln( y ) + ∑
∂y = ∫  + ∑
;


y
n!
n =1
n = 1 (n )(n !)



+∞
(x )n (y )n
4
+ yx ln( x ) − xy + h ( x );
F( x , y ) = x y − ln( y ) − ∑
n = 1 (n )(n !)
 e xy
∫  y
!
:
Ahora si Fx = M, entonces se obtiene lo siguiente :
Fx = M(x, y);
e xy
+ y ln (x) + x 3 x − 4 ;
x
+∞
n (x ) n −1 (y )n
Fx = 4x 3 y − ∑
+ y[1 + ln( x )] − y + h' ( x);
(n )(n!)
n =1
(
Fx = 4x 3 y −
)
(x ) n −1 (y )n
+ y + y ln( x) − y + h' ( x);
(n!)
n =1
+∞
Fx = 4 x 3 y − ∑
e xy
+ y ln( x ) + h' ( x );
x
Entonces reemplazando Fx :
Fx = 4 x 3 y −
e xy
e xy
+ y ln( x) + h' ( x ) = 4x 3 y −
+ y ln (x) + x 3 x − 4 ;
x
x
Eliminando términos :
(
4x 3 y −
(
)
)
h' ( x ) = x 3 x − 4 ;
Obteniendo h(x) :
(
)
h( x) = ∫ x 3 x − 4 dx ;
z 3 = x − 4 ; ⇒ 3z 2 dz = dx ;
z=
(
3
x−4
)
x = z 3 + 4;
( )
h(z) = ∫ (z 3 + 4 ) 3 z 3 3z 2 dz ;
h(z) = 3∫ (z 6 + 4z 3 )dz ;
z7

h( z ) = 3  + z 4 + C  ;

7
7
 3 x−4
h( x ) = 3 
+ 3 x−4
7

(
) (
)
4

+ C ;

Entonces :

 (3 x − 4 )
(x ) n (y )n
4
F( x , y ) = x y − ln( y ) − ∑
+ yx ln( x ) − xy + 3
+ (3 x − 4 ) + C  ;
7
n = 1 (n )(n!)


7
+∞
4
La solución implicitaes F(x, y) = 0, es decir :

 (3 x − 4 )7
(x )n (y )n
4
x y − ln( y ) − ∑
+ yx ln( x ) − xy + 3
+ (3 x − 4 ) + C  = 0 ;
7
n = 1 (n )(n!)


+∞
4
!
:
#$
&
'

y3 
xy
 2
2
2
y' = 0 ,
+ xy  +  2xy − x + ln(x + 1) + x y + 8
y −
y − 2 
x+1

 
M(x,y) = y 2 −
xy
+ xy 2
x+1
y3
N(x,y) = 2 xy − x + ln x + 1 + x y + 8
y −2
x
My = 2 y −
+ 2 xy
x+1
1
Nx = 2 y − 1 +
+ 2 xy ;
x+1
1−x−1
Nx = 2 y +
+ 2 xy ;
x+1
x
Nx = 2 y −
+ 2 xy ;
x+1
My = Nx ; la ecuación diferencial es exacta.
2
 Fx = M(x, y)
⇒ Existe una función F(x, y), donde 
 Fy = N(x, y)
Si Fx = M(x, y), entonces se obtiene lo siguiente :
Fx = M(x,y) = y 2 −
xy
+ xy 2 ;
x+1
xy
∂(F(x,y))
= y2 −
+ xy 2
x+1
∂x
xy


∂(F(x,y)) =  y 2 −
+ xy 2 ∂x;
x+1


x2 y2
x
2
∂x +
+ h( y );
F( x , y ) = xy − y ∫
x+1
2
x2y2
x+1−1
∂x +
+ h( y );
F( x , y ) = xy 2 − y ∫
2
x+1
x2y2
1
∂x +
+ h( y );
F( x , y ) = xy 2 − y ∫ ∂x + y ∫
2
x+1
x2 y2
2
+ h( y );
F( x , y ) = xy − xy + y ln x + 1 +
2
Ahora si Fy = N(x, y), entonces se obtiene lo siguiente :
Fy = N(x, y);
Fy = 2 xy − x + ln x + 1 + x 2 y + h' ( y );
!
:
Entonces reemplazando Fy :
2 xy − x + ln x + 1 + x 2 y + h' ( y ); = 2 xy − x + ln x + 1 + x 2 y +
y3
y8 − 2
Eliminando términos :
h' ( y ) =
y3
y8 − 2
;
Obteniendo h(y) :
h( y ) = ∫
h( y ) = ∫
y3
y8 − 2
dy ;
y3
(y )
4 2
−2
dy ;
z = y 4 ; ⇒ dz = 4 y 3 dy ;
h( z ) =
h( z ) =
h( y ) =

z− 2
1
dz
1 1
ln
= 
+ K;
2
∫
4 z − 2 4  2 2 z + 2

1
8 2
1
8 2
ln
ln
z− 2
+ C;
z+ 2
y4 − 2
y4 + 2
+ C;
Entonces :
F( x , y ) = xy 2 − xy + y ln x + 1 +
y4 − 2
x2y2
1
ln 4
+
+ C;
2
8 2
y + 2
La solución implicitaes F(x, y) = 0, es decir :
xy 2 − xy + y ln x + 1 +
#$
(
y4 − 2
x2 y2
1
ln 4
+
+ C = 0;
2
8 2
y + 2
- (.*
.
/
&
&
%
'
 1/2 −1/2
x 
dx + N(x, y)dy = 0
 y x
+ 2
x
y
+


"#" 4.$ %" $-."-&/' 0&1$#$'-&"% +$" $>"-(" 0$3$ -.,5%&#+$ 4.$
6? >
Nx = My ;
1
x
Nx = y − 1 / 2 x − 1 / 2 −
;
2
2
(x + y )2
∂N( x , y ) 1 −1 / 2 −1 / 2
x
x
;
= y
− 2
2
∂x
(x + y )2
1

x
∂x ;
∂N( x , y ) =  y − 1 / 2 x − 1 / 2 −
2 
2
2
x
y
(
)
+


!
:
1
∫ ∂N( x, y) = ∫  2 y
−1 / 2
x −1 / 2 −


∂x ;
(x 2 + y ) 
x
2


x
∂x ;
N( x , y ) = y −1 / 2 x 1 / 2 − ∫  2
2
 (x + y ) 


2
u = x + y;
∂u = 2 x∂x ;
1 ∂u
;
2 ∫ u2
1
+
+ C;
2u
1
+
+ C;
2
2 (x + y )
N( x , y ) = y −1 / 2 x 1 / 2 −
N( x , y ) = y −1 / 2 x 1 / 2
N( x , y ) = y −1 / 2 x 1 / 2


 1 /2 − 1 /2
x 
1
dy = 0
y x
dx +  y −1/2 x 1/2 +
C
+
+
2
2




x
y
2
x
y
+
+
(
)




7*#" -*,* 6 ? >@
 Fx = M(x, y)
⇒ Existe una función F(x, y), donde 
 Fy = N(x, y)
Si Fx = M(x, y), entonces se obtiene lo siguiente :
x
Fx = M(x,y) = y 1/2 x −1/2 + 2
;
x +y
∂(F(x,y))
x
= y 1 /2 x − 1 /2 + 2
∂x
x +y

x 
∂x;
∂(F(x,y)) =  y 1/2 x −1/2 + 2
x + y 


x 
∂x;
F(x,y) = ∫  y 1/2 x −1/2 + 2
x + y 

x
∂x;
F(x,y) = 2 y 1/2 x 1/2 + ∫ 2
x +y
u = x 2 + y;
∂u = 2 x∂x;
1 ∂u
;
2∫ u
1
F(x,y) = 2 y 1/2 x 1/2 + ln x 2 + y + h(y);
2
Ahora si Fy = N(x, y), entonces se obtiene lo siguiente :
Fy = N(x, y);
1
+ h' ( y );
Fy = x 1 / 2 y −1 / 2 +
2
2( x + y )
F(x,y) = 2 y 1/2 x 1/2 +
!
:
Entonces reemplazando Fy :
x 1 / 2 y −1 / 2 +
1
1
+ h' ( y ); = y − 1 / 2 x 1 / 2 +
+ C;
2(x 2 + y )
2( x 2 + y )
Eliminando términos :
h' ( y ) = C ;
Obteniendo h(y) :
h( y ) = Cx + K ;
Entonces :
1
ln x 2 + y + h(y);
2
1
1 / 2 1 /2
F(x,y) = 2 y x + ln x 2 + y + Cx + K;
2
La solución implicitaes F(x, y) = 0, es decir :
1
2 y 1 /2 x 1 /2 + ln x 2 + y + Cx + K ; = 0 ;
2
F(x,y) = 2 y 1/2 x 1 /2 +
!
:
(
&
M( x , y ) + N( x , y )y' = 0 ;
Si My ≠ Nx;
Entonces es una ecuación diferencial no exacta, por lo tanto se necesita un factor integrante :
Un factor integrante que solo depende de x es :
My-Nx
u(x) = e
∫ N(x,y) dx
;
u(x)M(x,y) + u(x)N(x,y)y' = 0 ;
Ahora la ecuación diferencial es exacta.
Un factor integrante que depende de y :
Nx-My
u(y) = e
∫ N(x,y) dx
;
u(y)M(x,y) + u(y)N(x,y)y' = 0 ;
Ahora la ecuación diferencial es exacta.
" xydx +
M(x,y) = xy;
(2x
+ 3y 2 − 20 )dy = 0;
2
Si y(1) = 1;
My = x;
N(x,y) = x + y −
Nx = ) x;
;
My ≠ Nx; entonces la ecuación diferencial no es exacta;
Por lo tanto debemos encontrar su factor integrante :
 Nx-My 
u(y) = e
u y =e
∫  M(x, y)  dy
 4x-x 
 dy
xy 
∫ 
3
=e
∫  y  dy
=y ,
u y =y ,
Luego mulitiplicando u(y) a ambos lados de la ecuación :
y ( xydx ) + y
xy ) dx +
(
(
x + y −
x y + y0 −
y
)dy = ;
)dy = ,
M x . y = xy ) ,
My = ) xy ,
N x. y = x y + y 0 −
y ,
Nx = ) xy ,
!
:!
My = Nx, por lo tanto la ecuación diferencial es exacta :
Fx = M(x, y);
∃(F(x, y)) talque : 
Fy = N(x, y);
Fx = M(x, y);
∂ F x. y
∂x
= xy ) ,
F x . y = ∫ xy ) ∂x,
F x. y =
x y)
+h y ,
Fy = N(x, y);
x y + h'(y) = x y + y 0 −
h'(y) = y 0 −
h y =∫
(
y1
h y =
y ;
y ;
0
y −
)
y dy,
− 0 y ) + C,
Entonces :
F(x,y) =
x y)
+
x y)
y1
+
y1
− 0 y ) + C;
− 0 y) + C = ;
2xdy - [y + xy 3 (1 + ln(x) )]dx = 0;
Si y(1) = 1;
x2 y 4 y6
+
− 5y 4 + C = 0 ;
2
2
(12 )(14 ) + (16 ) − 5(14 ) + C = 0 ;
2
2
1 1
+ − 5 + C = 0;
2 2
C = 5 − 1;
C = 4;
x2 y 4 y6
+
− 5y 4 + 4 = 0 ;
2
2
La solución :
x 2 y 4 + y 6 − 10 y 4 + 8 = 0 ;
!
:
[y + xy
3
(1 + ln(x))]dx - 2xdy = 0;
M(x,y) = y + xy 3 (1 + ln (x));
My = 1 + 3xy 2 + 3xy 2 ln (x);
N( x , y ) = -2x;
Nx = -2;
 Nx − My 
u(y) = e
∫  M ( x , y ) dy
u( y ) = e
;
 − 2 − 1 − 3 xy 2 − 3 xy 2 ln (x); 
dy

y + xy 3 (1 + ln (x) )

∫ 
 − 3 − 3 xy 2 − 3 xy 2 ln (x); 
dy


2
∫ 
= e  y (1+ xy (1+ ln( x ) ))
 − 3 (1 + xy 2 (1 + ln( x ) )) 
−3
∫  y (1+ xy 2 (1+ ln( x ) )) dy ∫ y dy 1
= 3;
u( y ) = e
e
y
Luego mulitiplicando u(y) a ambos lados de la ecuación :
1
1
[
y + xy 3 (1 + ln (x))]dx- 3 (2 xdy ) = 0 ;
3
y
y
1

 2x 
 2 + x(1 + ln (x))dx −  3 dy = 0 ;
y

y 
1
M( x , y ) = 2 + x(1 + ln (x));
y
My = −
2
;
y3
N( x , y ) = −
Nx = −
2x
;
y3
2
;
y3
My = Nx, por lo tanto la e.d. es exacta :
 Fx = M(x, y);
∃(F(x, y)) talque : 
 Fy = N(x, y);
Fx = M(x, y);
∂( F( x , y )) 1
= 2 + x(1 + ln (x));
∂x
y
1

F( x , y ) = ∫  2 + x(1 + ln (x)) ∂x ;
y

2
2
x x
x
x2
+ ln( x ) − + h( y );
F( x , y ) = 2 +
y
2
2
4
Fy = N(x, y);
−
Entonces :
F( x , y ) =
2x
2x
+ h'(y) = − 3 ;
3
y
y
x2
x x2 x2
ln(
x
)
+
+
−
+ C;
4
y2 2
2
x2
x x2 x2
ln(
x
)
+
+
−
+ C = 0;
4
y2 2
2
h'(y) = 0 ;
h( y ) = C
!
(
)
x 2 + y 2 y 2 + 1 y' = −2xyln(y);
[
]
2 xy ln (y) + x 2 + y 2 y 2 + 1 y' = 0 ;
M( x , y) = 2 xy ln (y);
My = 2 x[1 + ln( y )];
[
]
N( x , y) = x 2 + y 2 y 2 + 1 ;
Nx = 2 x ;
 Nx − My 
u( y ) = e
∫  M ( x , y )  dy
;
 2 x − 2 x [1+ ln( y ) ] 

 dy
2 xy ln (y)

∫ 
u( y ) = e 
1
u( y ) = ;
y
 − 2 x ln( y ) 
=e
∫  2 xy ln( y ) dy
1
=e
∫ − y dy
;
Luego se multiplica u(y) a ambos lados de la ecuación :
[
]
1
(2xy ln (y)) + 1 x 2 + y 2 y 2 + 1 y' = 0 ;
y
y
 x2

2 x ln (y) +  + y y 2 + 1  y' = 0 ;
y

M( x , y) = 2 x ln (y);
2x
;
My =
y
N( x , y) =
Nx =
x2
+ y y2 + 1 ;
y
2x
;
y
My = Nx, por lo tanto la e.d. es exacta :
 Fx = M(x, y);
∃(F(x, y)) talque : 
 Fy = N(x, y);
Fx = M(x, y);
∂(F( x , y ))
= 2 x ln (y); ;
∂x
F( x , y) = ∫ [2 x ln (y)]∂x ;
F( x , y) = x 2 ln( y ) + h( y );
Fy = N(x, y);
x2
x2
+ h'(y) =
+ y y2 + 1 ;
y
y
1 2
(y + 1) y 2 + 1 + C;
3
Entonces :
1
F( x , y ) = x 2 ln( y ) + (y 2 + 1) y 2 + 1 + C ;
3
1
x 2 ln( y ) + (y 2 + 1) y 2 + 1 + C = 0 ;
3
h(y) =
h'(y) = y y 2 + 1 ;
(
)
h( y ) = ∫ y y 2 + 1 dy ;
u = y 2 + 1;
du = 2 ydy ;
h( y ) =
1 2
1
 1
udu =  u 3 /2 + C  = u u + C ;
∫
2 3
2
 3
!
:
Sea
dy
+ p x y = g x y n una ecuación diferencial de Bernoulli, donde n ≠ 0,1.
dx
Esta es una ecuación diferencial no lineal, que se la convierte en lineal
haciendo el siguiente cambio de variable :
v = y "− n
Donde '
dv dv dy
dy
= (" − n ) y − n
#
=
dx dy dx
dx
Se multiplicará el factor (" − n ) y − n a ambos lados de la ecuación de Bernoulli :
(" − n) y − n dy + (" − n) y − n p x y = (" − n) y − n g x y n
dx
Se obtiene lo siguiente :
(" − n) y − n dy + (" − n) p
dx
Esto es :
x y "− n = (" − n )g x
v
dv
dx
dv

+ (" − n ) p x v = (" − n )g x  Esto es una ecuación diferencial Lineal,
dx

que se puede resolver por el método del factor integrante.
!
xdy - [y + xy 3 (1 + ln(x))]dx = 0;
xdy-[y + xy 3 (1 + ln (x))]dx = 0 ;
∫ (x
y

y' −  + y 3 (1 + ln (x)) = 0 ;
x

y
y' − = y 3 (1 + ln (x)); n = 3;
x
Se sustituye v = y 1−n ;
u=
⇒
x,
dv = x dx;
dy
dv
= −2 y − 3
;
dx
dx
Luego se multiplica − 2 y − 3 a ambos de la ecuación :
v' =
y
= −2 y − 3 y 3 (1 + ln (x));
x
y −2
− 2 y y' + 2
= −2(1 + ln (x));
x
Reemplazando v y v' :
−3
⇒
du =
v=
)
x dx =
x
x
dx
,
x
x
,
x
+ C,
!
x
x
x
+
+ K,
x v=− x −
!
Despejandola solución:
x x
x K
+
+ ,
v =− x−
! x
Reemplazando v = y-2 '
x x
x K
+
+ ,
y− = − x −
! x
∫ (x
v = y −2 ;
− 2 y − 3 y' + 2 y − 3
)
x dx = 2
−
2v
= −2(1 + ln (x));
x
Resolviendo por factor integrante :
v'+
2
&
dx
u( x ) = e ∫ x = x 2 ;
x 2 v'+ x 2
2v
= −2 x 2 (1 + ln (x));
x
d[x 2 v]
= −2 x 2 (1 + ln (x));
dx
y=
x 2 v = ∫ − 2 x 2 (1 + ln (x))dx ;
x 2 v = −2 ∫ (x 2 + x 2 ln( x ))dx ;
2
x 2 v = − x 3 − 2 ∫ (x 2 ln( x ))dx ;
3
!
'
1
2xln(x) 2x K
2
;
− x−
+
+
3
9 x2
3
xy'+y = y 2ln(x);
y
ln( x )
;
= y2
x
x
v = y 1− n = y −1 ;
y'+
si y(1) = 1;
n = 2;
dy
dv
= −y −2
;
dx
dx
Luego se multiplica − y − 2 a ambos lados de la ecuación :
y
ln( x )
− y − 2 y'− y − 2 = − y − 2 y 2
;
x
x
Reemplazando v y v' en la ecuación :
v ln( x )
=
;
x
x
Resolviendo por el método del factor integrante :
v'−
u( x ) = e ∫
dx
x
1
;
x
1
v ln( x )
v'− 2 = 2 ;
x
x
x
1
d  v 
 x  = ln( x ) ;
dx
x2
ln( x )
1
v = ∫ 2 dx ;
x
x
−
=
ln( x )
dx = ?
x2
dx
u = ln (x);
;
⇒ du =
x
dx
1
dv = 2 ;
v=- ;
⇒
x
x
ln( x)
1
dx
v=+∫ 2;
x
x
x
ln( x) 1
1
v=− + C;
x
x
x
v = − ln( x ) − 1 + Cx ;
Integrando
∫
Si y(1) = 1, entonces :
1
1=
C-1
C − 1 = 1;
C = 2;
La solución es :
y −1 = − ln( x) − 1 + Cx ;
1
y=
;
− ln( x ) − 1 + Cx
y=
!
1
;
− ln(x) − 1 + 2x
4(1 + x)dy + y[1 + 4xy 2 (1 + x)]dx = 0;
 1

+ xy 2  = 0
y'+ y 
 4(1 + x)

y
= −xy 3 ; n = 3;
y'+
4(1 + x)
v = y 1−n = y − 2 ;
dy
dv
= −2 y − 3
;
dx
dx
Luego se multiplica - 2y - 3 a ambos lados de la ecuación :
− 2 y − 3 y'+
v'−
− 2 y −3 y
= 2 y −3 xy 3 ;
4(1 + x)
2v
= 2x;
4(1 + x)
1
∫ − 2 ( 1+ x ) dx
1
− ln 1 + x
2
1
;
1+ x
1
1
2v
2x
=
v'−
;
1+ x
1 + x 4(1 + x)
1+x
u( x ) = e
=e
=
 1

d
v
 1 + x  = 2x ;
dx
1+x
2x
1
dx ;
v=∫
1+ x
1+ x
2x
∫ 1 + x dx = ?;
⇒
z2 = 1 + x;
2 zdz = dx ;
x = z 2 − 1;
z 2 − 1)2 zdz
2x
(
= 4 ∫ (z 2 − 1)dz ;
∫ 1 + x dx = 2 ∫
z
3
4z
− 4z + C ;
4 ∫ (z 2 − 1)dz =
3
∫
4
2x
dx =
1+ x
(1 + x)3
3
− 4 1 + x + C;
4 (1 + x )3
1
− 4 1 + x + C;
v=
3
1+ x
4(1 + x )2
− 4(1 + x ) + C ;
v=
3
4(1 + x )2
− 4(1 + x ) + C 1 + x ;
y −2 =
3
y=
!
1
4(1 + x )2
− 4(1 + x ) + C 1 + x
3
;
3y' +4csc(2x)y = 2y −1/2 ctg(x);
4
2
y'+ csc(2 x)y = y −1 /2 ctg( x );
3
3
1− n
3 /2
v=y =y ;
v' =
1
n=− ;
2
3 1 /2
y y' ;
2
3 1 /2
y a ambos lados de la ecuación :
2
2
3
4
3
3 1 /2
y y'+ y 1 /2 csc(2 x )y = y 1 /2 y − 1 /2 ctg( x );
3
2
3
2
2
v'+2 csc( 2 x )v = ctg( x );
Se multiplica
u( x ) = e ∫
2 csc( 2 x )dx
= e ln csc( 2 x )− ctg ( 2 x )
u( x ) = csc(2 x ) − ctg( 2 x );
u( x ) =
cos( 2 x)
1
;
−
sen( 2 x ) sen( 2 x)
1 − cos( 2 x)
sen 2 ( x )
2
=
= tan( x );
sen( 2 x )
sen( x ) cos( x )
2
tan( x )v'+2 tan( x ) csc(2 x)v = tan( x)ctg( x );
1 − cos( 2 x )
u( x ) =
=
sen( 2 x )
d[tan( x )v]
= 1;
dx
tan( x )v = ∫ dx ;
tan( x )v = ∫ dx ;
tan( x )v = x + C ;
v = xctg( x ) + Cctg( x);
y 3 /2 = xctg( x) + Cctg( x );
y = 3 (xctg( x ) + Cctg( x ))2 ;
Si y( π/4) = 1;
2
π

1 =  + C ;
4

π
1 = + C;
4
π
C = 1− ;
4
3
!
La solución particular es :
2
π



y = 3  xctg( x) +  1 − ctg( x)  ;
4



3
&4
y
y' = f  
x
dy
= f(x, y) es homogénea si se puede
dx
expresar esta ecuación como :
Se dice que la ecuación
dy  y 
= f  ;
dx  x 
Se hace la siguiente sustitución :
y
v = ; entonces y = vx;
x
dy
dv
;
= v+x
dx
dx
Reemplazando v, y y' en la ecuación :
dy  y 
= f  ;
dx  x 
dv
= f( v );
v+x
dx
dv
= f( v) − v ;
x
dx
dv
dx
=
;
f( v) − v x
v = φ( x);
y
= φ( x );
x
y = xφ( x );
!
y
sec 2  
dy y
x;
= +
y2
dx x
⇒
=
⇒
+ !
=
5
,
+ =
$
=
+
 
 
 
=
( )
$
$
⇒
$
$
⇒
+ = +
$
⇒
$
&
=
∫
∫
∫
$
( )
$
( )
=
&
$
+
=
+ +
=
!
( )


∫
4
+
( )
$
$
$
⇒
2
$
$
( )
=
∫
&
!
$
=3
$
$
( )
=
$
=
$
( )
$
⇒
∫
∫
=
∫
∫
$
$
( )
=
$
$
( )
⇒
=
$
=

 +
 $
=$ !
 $
 
 $
1
$
+
( )
1
( )
$
1
( )
1
=−
$
$
0
$
+
&
=
$
0
+
&
=
$
$
*
+
$
=
∫
 $
 +
 $
∫



$
+
1
2 
$
+
$ 
 *+


$


=
∫
 
 
 $
$
$ 

$

$
$ 

$

!
∫
(
$
−
1
2
∫
$
&
)
=
1
$
−
$
∫
$



$
$
$
2
&
=
∫
$
$ 

$

$
=
⇒
$
$
∫
=
$
=
$
$
$
&
=
$
$
⇒
$
=
∫
∫
∫
!
=
$
0
$
+
$
0
*
$
$
−
1
2
∫

− −
 0
+
0
&
$
=
$ +
$ %
*
/
∫
*
0
1
$
+
$
$

− −
 0

= 1 +

&
$
$ +
$
$
0
+
∫
0
*
0



$
$ %
*
/
$
$
!
!
∫
$
$
&
1
=
( )
$
∫
$
+
&
+
0
5
&
,
⇔
1
$ %
0
$
+
*
/
$
0
$
+
=−
$ %
0
*
$
$
=−
*
$
+C
+C
;
=
La
6
&
   
   
  + 
1
$
  
 $  
   +
0
0
(xy + 4 y
2
   *
 $   %
   /
*
  
 $   = − $ + C
  
+ 2x 2 )dx − (x 2 )dy = 0; si y(1) =
dy (xy + 4 y 2 + 2 x 2 )
=
;
dx
x2
dy y 4 y 2
= +
+ 2;
dx x x 2
y
v= ;
x
y = xv ;
dv
=
(v + 1 / 2 )
2
(
∫
y
 4 ln x

1
=
+ K  ;
tan 
x
2
2


 4 ln x

x
+ K  ;
y=
tan 
2
2


7
(
4dx
;
x
$
!
$
.
)
)
* =
$
1
=
tan (K );
2
2
π
K= ;
4
2 arctan 2 v = 4 ln x + C ;
arctan 2 v =
2 /2;
 4 ln x

2 v = tan 
+ K  ;
2



 4 ln x
1
+ K  ;
v=
tan 
2
2


dy
dv
= v+x
;
dx
dx
dv
= v + 4v2 + 2 ;
v+x
dx
dv
= 4v2 + 2 ;
x
dx
dv
dx
=
;
2
4v + 2 x
dv
dx
=
;
2
4(v + 1 / 2 ) x
∫
*
/
y=
4 ln x
+ K;
2
!
 4 ln x π 
x
tan
+  ;
4
2
 2
x
dy
= y + x2 − y2 ;
dx
y(x0 ) = 0; donde x0 > 0;
y(1) = >/4;
x2 − y2
dy y
= +
;
dx x
x
x2 − y2
dy y
= +
;
2
dx x
x
y2
dy y
= + 1− 2 ;
dx x
x
Se asume :
y
v= ;
x
y = xv ;
y' = v + xv' ;
v + xv5 = v + " − v ,
xv5 = " − v ,
dv
x
= "− v ,
dx
dv
dx
,
=
"− v , x
arcsen v =
v = sen(
x + C,
x + C ),
y
= sen( x + C ),
x
y = xsen( x + C ),
Si y(1) = 1;
" = sen C ,
π
= C,
La solución paticular es :

y = xsen

x+
π
,

x (ln(x) − ln(y) )dy − ydx = 0;
x(ln (x) − ln (y))dy − ydx = 0 ;
v + xv 5 = −
x(ln (y) − ln (x))dy + ydx = 0 ;
v
xv 5 = −
,
− v,
( (v ))
− v (" +
dv
v )
=
x
,
( (v ))
dx
 ( v ) 
 dx 
∫  v (" + v ) dv = − ∫  x ,
dy
y
;
=−
dx
x(ln (y) − ln (x))
dy
y
;
=−
dx
  y 
x ln   
  x 
Se asume :
u=
v ,
dv
du =
,
v
 u 
∫  (" + u ) du = −
y
;
x
y = xv;
y' = v + xv' ;
v=

"
x + C,

∫ du − ∫  (" + u ) du = −
u−
v −
ln
v
( (v ))
y
y
− ln 1 + ln  = −ln x + C;
x
x
!
"+ u = −
"+
x + C,
x + C,
v =−
x + C,
"
dy (2y − x + 5 )
=
;
dx (2x − y − 4 )
( x − 2 y − 5)dx − (2 x − y − 4 )dy = 0 ;
a 1b2 ≠ a 2 b1 ;
(1)(1) ≠ (− 2 )( −2 );
1 ≠ 4;
Se asume :
x = (u + h );
y = (v + k );
dy dv
;
=
dx du
Reemplazando x, y, y' en la ecuación, se obtiene
dv 2(v + k ) − (u + h ) + 5
;
=
du 2(u + h ) − (v + k ) − 4
dv 2 v − u + 2k − h + 5
=
;
du 2 u − v + 2 h − k − 4
2 k − h + 5 = 0 ;

2 h − k − 4 = 0 ;
Resolviendo el sistema :
k = - 1;
h = 3;
Entonces :
dv 2 v − u
;
=
du 2 u − v
Divivdiendo para u, para poder obtener una ecuación homogénea :
2v
−1
dv
u
;
=
du 2 − v
u
Resolviendo como una ecuación diferencial homogénea :
v
;
u
v = zu ;
z=
dz
dv
= z+u
;
du
du
dz 2 z − 1
=
z+u
;
du 2 − z
dz 2 z − 1
=
− z;
u
du 2 − z
!
:
dz 2 z − 1 − 2 z + z 2
;
=
du
2−z
(z − 2 )dz
du
=−
;
2
(z − 1)
u
(z )dz
(2 )dz
du
∫ (z 2 − 1) − ∫ (z 2 − 1) = ∫ − u ;
z−1
1
ln z 2 − 1 − ln
= − ln u + C ;
z+1
2
z−1
1
= − ln u + C ;
ln z 2 − 1 − ln
z+1
2
z−1
1
= − ln u + C ;
ln (z − 1)(z + 1) − ln
z+1
2
1
1
ln (z − 1) + ln (z + 1) − ln (z − 1) + ln (z + 1) = − ln u + C ;
2
2
3
1
ln (z + 1) − ln (z − 1) = − ln u + C ;
2
2
3 v
 1 v

ln  + 1  − ln  − 1  = − ln u + C ;
2 u
 2 u

⇒
v = y − k;
v = y + 1;
u
u = x − h;
⇒
u = x − 3;
La solución de forma implícita es :
3  y+1  1 y+1 
+ 1  − ln 
− 1  = − ln x − 3 + C ;
ln 
2 x−3
 2  x−3

(3y − 7x + 7 )dx − (3x − 7y − 3)dy = 0;
a 1b2 ≠ a 2 b1 ;
( −7 )(7 ) ≠ (− 3)( 3);
− 49 ≠ −9 ;
Usando :
x = (u + h );
y = (v + k );
dy dv
=
;
dx du
dy − 7 x + 3y + 7
=
;
dx − 3x + 7 y + 3
!
Reemplazando x, y y y' :
dv − 7 (u + h ) + 3(v + k ) + 7
=
;
du − 3(u + h ) + 7 (v + k ) + 3
dv − 7 u + 3v − 7 h + 3k + 7
=
du − 3u + 7 v − 3h + 7 k + 3
 − 7 h + 3k + 7 = 0 ;

− 3 h + 7 k + 3 = 0 ;
Resolviendo el sistema :
k = 0;
h = 1;
dv − 7 u + 3 v
;
=
du − 3u + 7 v
3v
−7 +
dv
u ;
=
7
du − 3 + v
u
v
z= ;
u
v = zu ;
dz
dv
= z+u
;
du
du
dz − 7 + 3z
=
;
z+u
du − 3 + 7 z
dz − 7 + 3z
− z;
=
u
du − 3 + 7 z
dz − 6 + z + z − 6 z
=
,
− + 6z
du
6 z − 1z + 6
dz
,
=−
u
6z −
du
(6 z − )dz
− du
∫ 6 z − 1z + 6 = ∫ u ,
⇒
u = 6 z − 1 z + 6,
du = ") z- 1,
6
(") z-1 ) − + ,
6z − =
")
6
(") z- 1)dz − du
")
∫ 6 z − 1z + 6 = ∫ u ,
(") z- 1)dz = − u + C ,
6
∫
") 6 z − 1 z + 6
u
6 z − 1z + 6
=−
6z − 1z + 6 = −
u + C,
u + K,
v
v
6  − 1 + 6 = −
u
 u
u + K,
y
 y 
+6 =−
6
 −1
x −"
 x −"
( x − ")
La solución de forma implícita es :
y
C
 y 
+6=
6
,
 −1
x −"
( x − ")
 x −"
!
+ K,
(y − x − 5)y'−(1 − x − y ) = 0;
(1-x-y) − (y − x − 5)y' = 0;
a1b2 ≠ a 2 b1 ;
(− 1)(− 1) ≠ (1)(− 1);
1 ≠ −1;
x = (u + h );
y = (v + k );
dy 1 − x − y
=
;
dx y − x − 5
Reemplazando x,y, y y’ en la ecuación:
dv
1-(u + h )-(v + k )
=
;
du (v + k ) − (u + h ) − 5
dv − u − v − h − k + 1
;
=
du − u + v − h + k − 5
− h − k + 1 = 0 ;

− h + k − 5 = 0 ;
Resolviendo el sistema de ecuaciones :
h = -2;
k = 3;
dv − u − v
=
du − u + v
v
−1−
dv
u;
=
du − 1 + v
u
v
z =  ;
u
v = zu ;
dv
dz
=z+u
;
du
du
dz − 1 − z
;
z+u
=
du − 1 + z
dz − 1 − z
u
=
− z;
du − 1 + z
dz − 1 − z + z − z 2
u
;
=
du
−1+z
!
dz
z2 + 1
=−
;
du
z−1
du
(z − 1)dz
∫ (z 2 + 1) = ∫ − u ;
1
ln z 2 + 1 − arctan(z) = − ln u + C ;
2
u
2
1 v
v
ln   + 1 − arctan  = − ln u + C ;
2 u
u
La solución implicita de la ecuación diferencial es :
2
1  y−3
 y−3
ln 
 + 1 − arctan
 = − ln x + 2 + C ;
2 x+2
 x+2
7 (8 *
&
9
*'
:
*. *;
'
'
'
!
(
)2 − (x + y − 1)2 ;
"# y' = x + y + 1
Se sustituye :
z = x + y;
y = z − x;
si y(0) = 7/4;
dy dz
=
− 1;
dx dx
y' = (x + y + 1)2 − (x + y − 1)2 ;
dz
− 1 = (z + 1)2 − (z − 1)2 ;
dx
dz
= z 2 + 2 z + 1 − (z 2 − 2 z + 1) + 1;
dx
dz
= 4z + 1;
dx
dz
∫ 4z + 1 = ∫ dx;
1
ln 4z + 1 = x + C 1 ;
4
ln 4z + 1 = 4 x + C 2 ;
4z + 1 = ke 4 x ;
z = ke 4 x −
1
;
4
x + y = ke 4 x −
y = ke 4 x −
Si y(0) =
1
;
4
1
− x;
4
7
;
4
1
7
=k− ;
4
4
k = 2;
La solución particular es :
y = 2e 4 x −
1
− x;
4
!
2
# y' = tan (x + y);
z = x + y;
y = z − x;
si y(0) = π ;
dy dz
=
− 1;
dx dx
y' = tan 2 ( x + y );
dz
− 1 = tan 2 (z );
dx
dz
= 1 + tan 2 (z );
dx
dz
= sec 2 (z );
dx
dz
∫ sec 2 (z) = ∫ dx;
∫ cos (z)dz = x + C ;
2
 1 + cos( 2z ) 
dz = x + C ;
2

z sen( 2 z )
+
= x + C;
2
4
x + y sen( 2 x + 2 y )
+
= x + C;
2
4
2 x + 2 y + sen( 2 x + 2 y ) = 4 x + K ;
∫ 
Si y(0) = π ;
2 π + sen( 2 π) = K ;
k = 2π;
La solución particular es :
2 x + 2 y + sen( 2 x + 2 y ) = 4 x + 2 π ;
!
#
y' = 10x - 2y + 5 − 5;
y' = 10x - 2y + 5 − 5;
z = 10 x − 2 y ;
10 x z
− ;
2
2
dy
1 dz
= 5−
;
dx
2 dx
1 dz
= z + 5 − 5;
5−
2 dx
dz
= 2 z + 5 − 10 ;
10 −
dx
dz
= 20 − 2 z + 5 ;
dx
dz
∫ 20 − 2 z + 5 = ∫ dx;
u 2 = z + 5;
y=
2 udu = dz ;
dz
2 udu
udu
=∫
;
20 − 2 u
10 − u
z+5
udu
udu
∫ 10 − u = −∫ u − 10 ;
Dividiendo u para u - 10;
∫ 20 − 2
=∫
u
10
= 1+
;
u - 10
u − 10
udu
du
−∫
= − ∫ du − 10 ∫
;
u − 10
u − 10
udu
∫ 10 − u = −u − 10 ln u − 10 ;
dz
∫ 20 − 2 z + 5 = − z + 5 − 10 ln z + 5 − 10 ;
Reemplazando las integrales :
− z + 5 − 10 ln z + 5 − 10 = x + C ;
z = 10 x − 2 y ;
La solucion de forma explicita es :
− 10 x − 2 y + 5 − 10 ln 10 x − 2 y + 5 − 10 = x + C ;
!
!
)#
(2x + y )dx − (4x + 2y − 1)dy = 0;
a1 b2 = a 2 b1
(2 )(− 2 ) = (− 4 )(1)
− 4 = −4 ;
dy
2x + y
=
;
dx 2(2 x + y ) − 1
z = 2x + y ;
y = z − 2x;
dy dz
=
− 2;
dx dx
Reemplazando :
z
dz
−2 =
;
2z − 1
dx
dz
z
=
+ 2;
dx 2z − 1
dz z + 2(2 z − 1)
=
;
dx
2z − 1
(2z − 1)dz
= dx ;
5z − 2
1
2z - 1 2
= −
Dividiendo
;
5z - 2 5 5(5z − 2 )
2dz
dz
∫ 5 − ∫ 5(5z − 2 ) = ∫ dx ;
2
1
z − ln 5z − 2 = x + C ;
5
25
La solución de forma implícita es :
2
(2 x + y ) − 1 ln 5(2 x + y ) − 2 = x + C ;
5
25
!
Aplicaciones
"#
!"
#$
0 < #
=
∫
−
(
)
−
=∫
%' ( −
)=
( )=
+
+
:A ∴
( )=
+ :
A ∴
=
( )
( )=
( )=
+ :=
→
=
− :=
+ :
= ,&'
! A ∴

%'
+ := ! → = 
( )=
( )=
−
−
A ∴
:

%'
→ := 
−
+ :=
!# % & '
!(
/
!12
A
,&'
+ :
= : ,&'
( :) =


 =−
) '


 =
,&'
*
*+
!
,#-#
! 2
!*# 2
3*2
6 7
+
+
4
8
(
)
)
Tc:
+
#
= −K (Tc − Ta )
(
Ta: (
'
0
#%
%
.
)
!
5
+
#
= .°
+
-°
*
-° #
%
#
⇒ ! % = -°
,
+
"#$° #
*
"#$°
%
+ %#$#
⇒ T(t 1 + 1.5) = 27.5° C
dT
= −K (Tc − 26 );
dt
dT
= −Kdt ⇔
(Tc − 26 )
l Tc − 26
= e −Kt + C
dT
∫ (T − 26) = ∫ − Kdt
⇔ l Tc − 26 = −Kt + C
c
⇔ Tc − 26 = Ce −Kt
⇒ Tc ( t ) = Ce −Kt + 26(
⇒ Tc ( t ) = Ce −Kt + 26(
Si la temperatura antes de morir era de 37° C entonces:
!) = '"° (
'" = C + 26 ⇒
= %%
⇒ Tc ( t ) = 11e −Kt + 26
Si ! % ) = 28° C
⇒ ! % ) = 11e −Kt 1 + 26 = 28 ⇒ 11e − Kt1 = 2 ⇒ e −Kt1 =
1.7047
 2 
!
⇒ −kt 1 = ln   ⇒ kt 1 = 1.7047 ⇒ k =
t1
 11 
& ! % + %#$ = "#$°
2
;
11
%;
⇒ ! % + 1.5) = 11e −K ( t 1 + 1.5 ) + 26 = 27.5 ⇒ 11e −K (t 1 + 1.5 ) = 1.5 ⇒ e −K ( t 1 + 1.5 ) =
1.5
;
11
1.9924
 1.5 
!
⇒ −k (t 1 + 1.5) = ln 
 ⇒ k (t 1 + 1.5 ) = 1.9924 ⇒ k =
t 1 + 1.5
 11 
;
&
2
%
1.7047 1.9924
=
⇒ (t 1 + 1.5 )1.7047 = 1.9924t 1 ⇒ 1.7047 t 1 + 2.55705 = 1.9924t 1
t1
t 1 + 1.5
2#$$")$
⇒ 1.9924t 1 − 1.7047 t 1 = 2.55705 ⇒ % =
= 8.89 +
1.9924 − 1.7047
1
-#-0 +
#
/
+).#
!
:
3# &
/
%&9:5
+
# &
/
'
#$
1
'
(
#
x :# de
5000 − x :# de sanos
dx
= kx(5000 − x )
dt
dx
∫ x(5000 − x) = ∫ kdt
⇔
⇔
x
1


ln 
 = kt + C
5000  x − 5000 
x


ln 
 = 5000kt + C
 x − 5000 
− 5000Ce 5000 kt
x(t ) =
1 − Ce 5000 kt
en t = 0 x = 1
∴ x(0 ) =
1
− 5000Ce 0
=1→C = −
4999
1 − Ce 0
e 5000 kt
→ x(t ) = e 5000 kt
1
en t = 4 x = 50
x(t ) =
∴ x(4 ) = e 20000 k = 50 → k =
ln (50 )
20000
x(t ) = e 0.25 t ln ( 50 ) → x(t ) = 50 0.25 t
∴ x(6 ) = 50 0.25 *6 = 50 1.5 = 353
(# %
0
'
# &
(+
'
"1 +
8
> -"'(&0"0 $>&+($'($
3
= 3
3
=
3 ∫
%'(3 ) = +
∫
3( ) =
$' ( =
>=>
3( ) =
=3 →
$' ( =
>= >
3( ) = 3
=3
= 3 → =
%' (
3( ) = 3
%'(
)
)
→ 3( ) = 3
:
3(: ) = 3
=
3 =
;<
3
!
#
'.
3 > #
3 =
/
.
#&
%
0
(
'
/
#5
/
'
0
(
/
#
dv
dt
dv
mg − kv = m
dt
dv
m
k
m
= − dt → ln (kv − mg ) = − t + C → ln (kv − mg ) = − t + C
kv − mg
k
m
mg − fr = m
∫
∫


1  − mk t
1  − 30k t
(
)
→
=
+ 300 
Ce
mg
v
t
+
Ce


k
k


= ) 47 = ' 5
v (t ) =
1
Ce 0 + 300] = 3 → C − 3k = −300
[
k
= ∞ 4 7 = 60 5
300
1
= 40 → k = 7.5 ∴ C = −277.5
v(∞ ) = [Ce −∞ + 300] = 40 →
k
k
v(t ) = −37 e −0.25 t + 40
v(0 ) =
v (t ) =
dx
→ x(t ) = v(t )dt + C
dt
x (t ) =
∫ [− 37e
∫
− 0.25 t
+ 40]dt + C = 148e − 0.25 t + 40 t + C
x(t ) = 148e − 0.25 t + 40 t + C
=) 43 =)
x(0 ) = 148e 0 + 40(0 ) + C = 0 → C = −148
x(t ) = 148e − 0.25 t + 40 t − 148
!
> #
1# 5
'
'
!
( 6 7
#&
6 7
# %
(! = #
.
>
.
/
= #
# % '
? $
'
'? $
=
#
0
&
*
.
- >
'
#
'
∑ F = ma
x
"
Fm: fuerza del motor
Fr: Fuerza de resistencia del agua
Fm = 0 Newtons
Fr = kv
Como la velocidad es de m/seg
y la fuerza de resistencia de ) Newtons.
Ne
) Newtons
=
⇒
k=
Entonces k =
m/seg
∑F
x
= ma ⇒
Fm − Fr = ma;
dv
dt
m: masa total del sistema
m = ) kg + ? kg = 0 kg.
0 − kv = m
dv
, k=
dt
dv

+ v = 0 ,  Ecuación dif. separable
0
dt

dv
dv
dt
=
=0 − v
⇔
0
dt
0 − v 0
dv
dt
⇔
=−
(v − 0) 0
dv
dt
t
∫ (v − 0) = − ∫ 0 + C ⇔ v- 0 = - 0 + C
⇒ 0 − kv = 0
e
v- 0
=e
-
t
+C
0
⇒ v = 0 + ke
-
⇔ v- 0 = ke
-
Si la velocidad inicial es por partir del reposo entonces v( ) = ;
= 0+ k ⇒ k = - 0
La ecuación de la velocidad:
-
t
v = 0 − 0e 0
Como v = dx/dt
Entonces:
t
dx
= 0 − 0e 0
dt

x(t) = ∫  0 − 0e

x(t) =

−
 dt = 0t + 0( 0 )e


t
0
0t + 0( 0 )e
−
t
0
+C
Si parte del reposo x( ) = ;
= 0( 0 ) + C ⇒ C = − 0( 0 )
La ecuación del movimiento es:
⇒ x(t) =
b)
0t + 0( 0 )e
−
t
0
− 0( 0 )
La velocidad limite o máxima es :
v
t
0
t
0
!
(
=

 0 − 0e
t →∞ 

t
0

 = 0 pies/seg


t
0
+C
*#
@5
3
+
A
" +
#
B">
#
7= 8+
=
+
∫
= −∫
−
:
%' (
−
)= −
− =−
:
( )=
[
+
−
$' ( =
+
]
+
&=
( )=
:
[
( )=
:
[:
+
−
]→
+
= :
]→ ( ) =
−
+
$' ( = : B
( )=
−
?# @
A
3
+
#
*
→ :B
=
:
200e −5 t
# " A
#
#
dq q

+ = fem  *
R
dt C

R:
⇒
8 #
8= ) +
2
⇒
= ))
= )#)% :
9$
!
# =
& *
/
&
/
dq
q
+
= 20e − 5 t ;
dt 0.01
dq
⇒ 20
+ 100q = 20e − 5 t ;
dt
dq

⇒
+ 5q = e − 5 t ;  *
dt

$
$
! = ∫ =
20
⇒ ! =
%
!
⇒ ! =
−$
! =
−$
∫!
∫
$
( + )=
#
−$
−$
−$
&
∫
−$
=
=
−$
(+ )
−$
+
+
2
4
!) = )(
)=
⇒ ! =
⇒ ! =
−$
∫
! =
&
!
(
%
7=−
$
−$
! =−
=−
−$
$
2
= )(
⇒ ! =−
∫
−$
;
=
9$
∫
=
!
= ( ⇒
7=
(
−
%
$
−$
;
−$
$
−$
+
∫
%
$
−$
+C
4
−$
$
−
%
$
−$
!
&
/
B*+
 ( (: + x ) − *5  + *5 5 = ( *5 ,


"
dy
= y5 ,
dx
dv d y
=
= y5 5 ,
dx
dx
v=
Reemplazando en la ecuación :
 x (" + x ) − y'  + y'' = x y'';


 x (" + x ) − v  + v' = x v';


x (" + x ) − v + v'-x v' = ;
(
)
x (" + x ) − v + v5 " − x = ,
(
)
v5−
v
"− x
v5 " − x − v = − x (" + x ) ,
(
)
=
− x (" + x )
,
"− x
dx
dx
(
)
∫
∫
u x = e ("− x ) = e ( x
−
x −"
u x =
x +"
"C
(
 x −" 
d
v
 x +"  =
dx
"− x
v=∫
"+ x
)=e
"
x −"
x +"
,
x −"
,
x +"
=
v
x −" 
 v5−
"− x
"+ x 
−"
)

 =

x − " − x (" + x )
=
"− x
x +"
(
)
x
,
x −"
xdx
,
x −"
u = ( x − "),
x = "+ u ,
dx = udu,
!
x − "  − x (" + x )
x + "  (" − x )(" + x )

,


(
)
: + u ( udu )
xdx
=∫
u
x −:
∫
∫ (: + u )du =
xdx
∫
u + u + C,
=
x −: +
( x − :)
+ C,
x −:
v=
:+ x
x −: +
( x − :)
+ C,
x −:
v=
:+ x +
: + x ( x − :) + C
:+ x
x −:
v=
:+ x +
: + x ( x − :) + C
:+ x
v=
x −:
,
dy
dx
dy
=
dx
:+ x +
y=∫
: + x dx + ∫
: + x ( x − :) + C
:+ x
x −:
,
: + x ( x − :)dx + C ∫
:+ x
dx,
x −:
z = : + x,
z = :+ x,
zdz = dx,
x = z − :,
(
)
x −: = z − ,
y = (: + x )
C
y = (: + x )
C
y = (: + x )
C
y = (: + x )
C
(
−∫ z z −
−
∫ (z
) zdz + C ∫ (: + x )dx ,
)
− z dz + C ∫
!
− z + z +C
+
!
x −:
( x )dx ,
dx
+ C∫
x −:
x −:
x + x −: − C x −: + K ,
( :+ x ) − ( :+ x ) + C
x + x −: − C x −: + K ,
!
!
x
-1
( y' )
y'+
2
x
=y'';
dy
= y' ;
dx
dv d 2 y
v' =
=
= y' ' ;
dx dx 2
Reemplazando en la ecuación :
v=
x -1y' +
(y' )2
= y' ' ;
x
(v )2
−1
x v+
= v';
x
v2
v'− x −1 v =
;
x
Es una E. diferencial de Bernoulli :
z = v 1-n ;
n = 2;
z = v -1 ;
dz
dv
= − v −2
;
dx
dx
− v − 2 v'−(− v −2 )x −1 v = − v − 2
v2
;
x
1
z'+ x −1z = − ;
x
−1
x dx
= x;
u( x ) = e ∫
1
xz'+ xx −1z = −x ;
x
d[x.z]
= −1;
dx
xz = − ∫ dx = −x + C ;
C
;
x
C C−x
v − 1 = −1 + =
;
x
x
x
;
v=
C−x
dy
x
x
=
=−
;
dx C − x
x−C
xdx
;
y = −∫
x−C
Cdx
x−C
dx − ∫
y = −∫
;
x−C
x−C
y = −x − ln x − C + K ;
z = −1 +
!
/
B (+
."'0* 7"-$ 1"%(" %" )"#&"3%$ 8>9 +$ 7"-$ $% +&=.&$'($ -",3&* 0$ )"#&"3%$
dy
= v;
dx
dv dv dy
dv
=
=v ;
dx dy dx
dy
2y 2 y' '+2y (y' )2 = 1;
C
2
2y 2 y' ' +2y(y' ) = 1;
Reemplazando y' , y' ' en la ecuación :
dv
2
2y 2 v + 2y(v ) = 1;
dy
dv v v −"
+ =
,
dy y
y
Ecuacion diferencial de Bernoulli, n = -1.
z = v " − −" ,
z=v ,
dz dz dv
dv
=
= v ,
dy dv dy
dy
Multiplicando 2v a ambos lados de la ecuación :
dv
v #v
v #v −"
+
=
,
dy
y
y
"
dz
z
+
=
,
dy y
y
v
u y =e
y
∫ y dy
dz
+y
dy
=y ,
z y
=
,
y
y
[ ]
d y z
= ",
dy
y z = ∫ dy = y + C ,
y z = y + C,
" C
,
z= +
y y
v =
dy
=
dx
y+C
,
y
⇒
⇒
v =
v=
" C
+
,
y y
y+C
,
y
y+C
entonces separando variables
y
u = y + C,
zdz = dy,
y = u − C,
!
y
dy = dx
y+C
:
∫
*
*+
∫
(=
'
*=
∫
(
∫
(
)(
−
).
(+D =
∫(
−
)(
).
'
' (+D =
= (* +
'
−
)
(= *
'
'
(* + )
(+D =
)
'
y' y
2
−
(* + )
+ yy' ' − (y'
)2
= 0;
dy
;
dx
dv dv dy
dv
;
=
=v
dx dy dx
dy
v=
Reemplazando en la ecuación :
y' y 2 + yy' ' −(y' )2 = 0;
vy 2 + yv
y+
dv
− (v )2 = 0 ;
dy
dv v
− = 0;
dy y
dv v
− = −y ;
dy y
u( y ) = e
∫
−dy
y
=
1
;
y
06
= − 6 2 + 6@
0>
06
>=
=
6 − 62
∫
∫
06
+
6
∫
06
@
−6
'
>=
1
%' 6 −
1
%'
− 6 + D@
1 dv 1 v
1
−
= −y ;
y dy y y
y
1 
d  v
 y  = −1;
dy
1
v = − ∫ dy ;
y
1
v = −y + C;
y
v = − y 2 + Cy ;
!
:
1) Resuelva
y' ' +3y' +2y = sen(e x );
!
!
2) Resuelva:
si y(0)=3/16 ,
!
y’(0)=5/
y’(0)=5/16;
y' = C 1 e x − C 2 e − x +
y(0) =
1
(tan 2 (x) sec(x) + sec 3 (x))
2
3
;
16
Re solviendo :
3
= C1 + C2 ;
16
5
y' (0) =
16
1
1
5
= C1 − C2 + 0 + 
8
2
16
1
C1 − C2 = ;
4
7
;
32
−1
C2 =
;
32
7 x 1 − x tan( x) sec( x )
y=
e − e +
32
32
2
C1 =
!
3) Resuelva y' ' −5y' +6y
y' '−5y'+6 y = 0 ;
y = e rx ;
= xe x ;
y' = re rx ;
y' ' = r 2 e rx ;
Reemplazando y, y' , y' ' :
e rx [r 2 − 5r + 6] = 0 ;
r 2 − 5r + 6 = 0 ;
Ecuación
Característica
(r − 3)(r − 2 ) = 0;
r1 = 3;
r2 = 2 ;
y1 = e 3x ;
y2 = e2x ;
y h = C 1e 3 x + C 2 e 2 x ;
Solución hom ogénea
Encontremos la solución particular :
y' '−5y'+6 y = xe x ;
y p = x S [a 0 + a 1 x]e αx ;
s = 0;
α = 1;
y p = [a 0 + a 1 x]e x ;
y p = a 0 e x + a 1 xe x ;
y'p = a 0 e x + a 1 [xe x + e x ];
y' 'p = a 0 e x + a 1 [xe x + 2e x ];
Reemplazando en la ecuación diferencial no homogénea :
y' '−5y'+6 y = xe x ;
a 0 e x + a 1 [xe x + 2e x ] − 5[a 0 e x + a 1 [xe x + e x ]] + 6[a 0 e x + a 1 xe x ] = xe x ;
(2a 0 − 3a1 )e x + 2a1 xe x = xe x ;
2a 0 − 3a 1 = 0 ;

2 a 1 = 1 ;
Resolviendo el sistema :
3
1
a0 = ;
a1 = ;
4
2
x
x
y p = a 0 e + a 1 xe ;
3 x 1 x
e + xe ;
4
2
y = yh + yp ;
yp =
3
1
y = C 1e 3 x + C 2 e 2 x + e x + xe x ;
4
2
!
)
y'+2 y'+2 y = 0 ;
-x
' y' +2y' +2y = e cosx;
y = e rx ;
y' = re rx ;
y' ' = r 2 e rx ;
Reemplazando y, y' , y' ' :
e rx [r 2 + 2 r + 2 ] = 0 ;
r 2 + 2r + 2 = 0 ;
Ecuación
Característica
r1 , 2 =
− 2 ± 4 − 4( 2 )
2
β = 1;
λ = −1;
y1 = e
−x
= −1 ± i ;
cos x ;
−x
y 2 = e senx ;
y h = C 1 e − x cos x + C 2 e − x senx ;
Solución hom ogénea
Encontremos la solución particular :
y' '+2 y'+2 y = e − x cos( x );
y p = x S [a 0 cos x + b 0 senx ]e αx ;
s = 0;
α = -1 ;
y p = [a 0 cos x + b 0 senx ]e − x ;
y p = a 0 e − x cos x + b 0 e − x senx ;
No se puede asumir esta solución particular ya que contiene términos
linealmente dependiente con respecto a mi solución homogénea.
s=1
y p = x[a 0 e − x cos x + b 0 e − x senx ];
y p = a 0 xe − x cos x + b 0 xe − x senx ;
y'p = a 0 [x(− e − x senx − e − x cos x ) + e − x cos x] + b 0 [x(e − x cos x − e − x senx ) + e − x senx ];
y'p = a 0 [− xe − x senx − xe − x cos x + e − x cos x] + b 0 [xe − x cos x − xe − x senx + e − x senx ];
y' 'p = a 0 [2 xe − x senx − 2 e − x senx − 2e − x cos x ] + b 0 [− 2 xe − x cos x − 2e − x senx + 2e − x cos x];
Reemplazando y simplificando y p , y'p , y' 'p en la ecuación diferencial no homogénea :
y' '+2 y'+2 y = e − x cos( x );
a 0 [− 2 e − x senx ] + b 0 [2e − x cos x ] = e − x cos( x );
− 2a 0 = 0;
2 b 0 = 1;
a 0 = 0;
1
b0 = ;
2
!
1 −x
xe sen( x );
2
y = yh + yp ;
yp =
y = C 1e − x cos x + C 2 e − x senx +
1 −x
xe sen( x);
2
y' ' −2y' + y = cosx + 3e x + x 2 − 1;
Encontrando la solución homogénea :
y' '−2y' + y = 0 ;
y = e rx ;
y' = re rx ;
y' ' = r 2 e rx ;
Reemplazando y, y' , y' ' en la ecuación homogénea :
e rx [r 2 − 2r + 1] = 0 ;
r 2 − 2r + 1 = 0 ;
(r − 1)2 = 0 ;
r1 , 2 = 1;
y1 = ex ;
y 2 = xe x ;
y h = C 1 e x + C 2 xe x ;
Encontrando la solución particular :
y' '−2y' + y = cosx + 3e x + x 2 − 1;
Encontrando la primera solución particular :
y' '−2y' + y = cosx; Ecuación 1.
y p 1 = x s [a cos x + bsenx];
s = 0;
y p 1 = a cos x + bsenx;
y'p 1 = −asenx + b cos x = a[− senx] + b[cos x];
y' 'p 1 = −a cos x − bsenx = a[− cos x] + b[− senx];
Reemplazando y' ' p1 , y' p1 , y p1 en la ecuacion 1;
a[2senx] + b[− 2 cos x] = cosx;
 2a = 0;
Resolviendo

- 2b = 1;
1
y p1 = − senx ;
2
1
b=− ;
2
a = 0;
!
!
Encontrand o la segunda solución particular :
y' ' −2y' + y = 3e x ; Ecuación 2.
y p 2 = x s [a ]e x ;
s = 0;
y p 2 = [a]e x ;
No se puede asumir esta solución particular , ya que es
lienalmente dependiente con respecto a la solución homogénea.
s = 1;
y p 2 = x[a]e x ;
Tampoco se puede asumir esta solución,
por la misma razón anterior.
s = 2;
y p 2 = x 2 [a]e x ;
En este caso, esta solución es linealmente independiente, respecto
a la solución homogénea
y p 2 = ax 2 e x ;
[
= a[x e
]
y'p 2 = a x 2 e x + 2 xe x ;
y' 'p 2
2
x
]
+ 4 xe x + 2 e x ;
Reemplazando y' ' p2 , y'p2 , y p2 en la ecuación 2.
y' ' −2y' + y = 3e x
2 ae x = 3e x ;
3
a= ;
2
La segunda solución particular es :
y p2 =
3 2 x
xe ;
2
Encontrand o la tercera solución particular :
y' ' −2y' + y = x 2 - 1; Ecuación 3.
[
]
y p 3 = x s a + bx + cx 2 ;
s = 0;
y p 3 = a + bx + cx 2 ;
y' p 3 = b + 2 cx;
y' ' p 3 = 2 c;
Reemplazando y' ' p3 , y' p3 , y p3 en la ecuación 2.
y' ' −2y' + y = x 2 − 1
2 c − 2[b + 2 cx] + [a + bx + cx 2 ] = x 2 − 1;
!
[ 2- − 2 3 + " ] + [ 2- + 3] > + [ -] > 2 = > 2 − 1@
2- − 2 3 + " = −1

−4- + 3 = 0
- = 1

'
- = 1@
3 = 4@
" = 5@
'
2
65 3 = 5 + 4> + > @
6 5 = 6 5 1 + 6 5 2 + 65 3 @
1
3
6 5 = − +$' > + > 2 $ > + 5 + 4 > + > 2 @
2
2
&
'
6 = 67 + 65 @
6=
1
$> +
2
1
3
>$ > − +$' > + > 2 $ > + 5 + 4 > + > 2 @
2
2
!
E
"
/
x = ez . *
&
2
2ln(X)
x y' ' +2xy' +4y = 4sen(lnx) + e
;
x 2 y' ' + αxy' + βy = 0,
3*
donde α , β ∈ R .
3
'
Si x = e z ,
z=
x ,
dz "
= ,
dx x
Ahora :
dy dy dz dy "
;
=
=
dx dz dx dz x
dy " dy
;
y' =
=
dx x dz
Se necesita luego y' ' :
d y d  dy 
=
 ;
dx
dx  dx 
d y d  dy  dz
=   ;
dx
dz  dx  dx
d y "
= 
dx
x
d y "
= 
dx
x
d y " dx dy  dz

;
−
dz
x dz dz  dx
d y " dy  "
x  ;
−
dz  x
dz
x
d y  " d y " dy 
 ;
−
= 
dx
x
dz
x
dz


Reemplazando en la ecuación diferencial
y'' =
x 2 y' '+αxy'+βy = 0;
 " d y " dy 
 " dy 
 + αx
x 
−
 + βy = ;
x dz 
 x dz 
 x dz
d y dy
dy
− + α + βy = ;
dz
dz
dz
d y
dy
+ (α − ") + βy = ;
dz
dz
Resolviendo la ecuación x 2 y' ' +2xy' +4y = 4sen(lnx) + e 2ln(X) ;
Encontrando primero la solución homogénea :
x 2 y' ' +2xy' +4y = ;
d y
dy
+ ( − ") + ) y = ;
dz
dz
!
:
y' '+ y'+4 y = 0 ;


e rz  r 2 + r + 4  = 0 ;
 Ecuación característica 
2
r + r + 4 = 0;
1
15
− 1 ± 1 − 16
i;
=− ±
2
2
2
 15z 
;
y 1 = e −z / 2 cos

 2 
r1 , 2 =
 15z 
 ;
y 2 = e − z / 2 sen
 2 
 15z 
 15z 
 + C 2 e − z / 2 sen

y h = C 1 e −z / 2 cos

 2 ;
 2 


 15 ln( x ) 
 15 ln( x ) 
;
 + C 2 xsen
y h = C 1 x cos



2
2




Ahora encontremos la solución particular :
Como se asume que x = e z y z = ln(x), al reemplazar
en la ecuación x 2 y' '+2xy'+4y = 4sen(lnx) + 5e 2ln(X) , se obtiene :
y'' + y' + 4 y = 4sen(z ) + 5e 2 z ;
Donde se tiene 2 soluciones particulares :
y'' + y' + 4 y = 4sen(z ); Ecuación 1.
La primera solución tiene la siguiente forma :
y p = a cos(z) + bsen(z);
y'p = −asen(z) + b cos(z) = a[− sen(z )] + b[cos(z)];
y' 'p = −a cos(z) − bsen(z) = a[− cos(z)] + b[− sen(z)];
Reemplazando y' ' p , y' p , y p en la ecuación 1 :
y'' + y' + 4 y = 4sen(z ); Ecuación 1.
a[3 cos(z) − sen(z)] + b[3sen(z) + cos(z)] = 4sen(z);
3a + b = 0

− a + 3 b = 4
Resolviendo el sistema se obtiene :
2
6
a=− ;
b= ;
5
5
2
6
y p 1 = − cos(z) + sen(z);
5
5
6
2
y p 1 = − cos(ln(x)) + sen(ln(x));
5
5
Encontrando la segunda la solución particular :
y'' + y' + 4 y = 5e 2 z ; Ecuación 2.
!
Se asume la siguiente solución :
y p2 = ae 2 z ;
y' p2 = 2ae 2 z ;
y' ' p2 = 4ae 2 z ;
Reemplazando y' ' p2 , y' p2 , y p2 en la ecuación 2 :
y'' + y' + 4 y = 5e 2 z ; Ecuación 2.
4ae 2 z + 2ae 2 z + 4ae 2 z = 5e 2 z ;
10ae 2 z = 5e 2 z ;
1
a= ;
2
1
y p2 = e 2z ;
2
x2
1
;
y p 2 = e 2 ln( x ) =
2
2
y p = y p1 + y p2 ;
2
6
x2
;
y p = − cos(ln(x)) + sen(ln(x)) +
5
5
2
y = yh + yp ;
 15 ln( x )  2
 15 ln( x) 
x2
6
 − cos(ln(x )) + sen(ln(x )) +
 + C 2 xsen
y = C 1 x cos
;
 5


5
2
2
2




2
2) Resuelva: ( x − 2 ) y' ' +3( x − 2 )y' + y = ln
z
Si x - 2 = e ;
entonces
2
( x − 2) − 5ln ( x − 2) + 6;
z = ln( x − 1);
dz
1
=
;
dx x − 2
Ahora :
dy dy dz dy 1
=
=
;
dx dz dx dz x − 2
dy
1 dy
=
y' =
;
dx x − 2 dz
Se necesita luego y' ' :
d 2 y d  dy 
=
;

dx 2 dx  dx 
d 2 y d  dy  dz
=
;


dx 2 dz  dx  dx
d2y  1 d2y
1
dx dy  dz

= 
−
;
2
2
2
(x − 2 ) dz dz  dx
dx
 x − 2 dz
!
dy  1
d2 y  1 d2 y
1
(x − 2 ) 
;
= 
−
2
2
2
(x − 2 )
dz  x − 2
dx
 x − 2 dz
d2 y  1
d2 y
dy 
1
;
y'' = 2 = 
−
2
2
2
(x − 2 ) dz 
dx
 (x − 2 ) dz
Reemplazando en la ecuación diferencial homog{enea :
(x - 2)2 y' '+3(x - 2)y'+y = 0;
 1
d2 y
dy 
1
 1 dy 

 + 3(x − 2 )
(x − 2 ) 
−
 + y = 0;
2
2
2
(x − 2 ) dz 
 x − 2 dz 
 (x − 2 ) dz
dy
d 2 y dy
−
+3
+ y = 0;
2
dz
dz
dz
dy
d2 y
+ (3 − 1 )
+ y = 0;
2
dz
dz
Resolviendo la ecuación y' '+2y'+ y = 0 ;
2
d2 y
dy
+2
+ y = 0;
2
dz
dz
y = e rz ;
y' = re rz ;
y' ' = r 2 e rz ;
Reemplazando y, y' , y' ' en la ecuación homogénea :


e rz  r 2 + 2r + 1  = 0 ;
 Ecuación Característica 
2
r + 2r + 1 = 0 ;
(r + 1)2 = 0 ;
r1 , 2 = −1;
y 1 = e −z ;
y 2 = ze −z ;
y h = C 1e −z + C 2 ze −z ;
z = ln (x − 2 );
y h = C 1e −z + C 2 ze −z ;
y h = C 1e −ln ( x − 2 ) + C 2 ln (x − 2 )e −ln (x − 2 ) ;
C1
C ln (x − 2 )
;
+ 2
x−2
x−2
Ahora encontremos la solución particular :
yh =
Como se asume que x - 2 = e z y z = ln(x - 2), al reemplazar
en la ecuación ( x - 2)2 y' '+3( x - 2)y' + y = ln 2 ( x − 2) − 5ln( x − 2) + 6; , se obtiene :
y'' + 2 y' + y = z 2 − 5z + 6 ;
!
Donde la solución particular tiene la siguiente forma :
y p = x S [a + bz + cz 2 ];
s = 0;
y p = [a + bz + cz 2 ];
y' p = b + 2 cz;
y' 'p = 2 c ;
Reemplazando y' ' p , y' p , y p en la ecuación y' '+2y' + y = z 2 − 5z + 6;
2 c + 2(b + 2 cz) + (a + bz + cz 2 ) = z 2 − 5z + 6 ;
2 c + 2 b + a = 6

4c + b = - 5
c = 1

Resolviendo el sistema :
c = 1;
b = -9 ;
a = 22 ;
y p = 22 − 9z + z 2 ;
y p = 22 − 9 ln( x − 2 ) + ln 2 ( x − 2 );
y = yh + yp ;
y=
C1
C ln (x − 2 )
+ 22 − 9 ln( x − 2 ) + ln 2 ( x − 2 );
+ 2
x−2
x−2
!
x 2 y' '+ xy'+9y = 3tan(3ln(x)) ;
Si x = e z , entonces z = ln(x);
Encontrand o la solución homogénea :
x 2 y' ' + xy' +9y = 0;
Usando :
d2y
dy
+ (α − 1)
+ βy = 0 ;
2
dz
dz
Se obtiene :
dy
d2y
+ (1 − 1)
+ 9y = 0;
2
dz
dz
d2y
+ 9y = 0;
dz 2
y' '+9 y = 0 ;
y = e rz ;
y' ' = r 2 e rz ;
[
]
e rz r 2 + 9 = 0 ;
r 2 + 9 = 0;
r = ±3i ;
y 1 = cos z ;
y 2 = senz ;
y h = C 1 cos(3z ) + C 2 sen (3z );
y h = C 1 cos(3 ln( x )) + C 2 sen (3 ln( x ));
Encontremo s la solución particular :
x 2 y' ' + xy' +9y = 3tan(3ln(x) ) ;
Reemplazan do z = ln( x ) y x = e z , se obtiene :
y'' + 9 y = 3 tan (3z );
g(z) = 3 tan (3z );
yp = u1y1 + u 2 y 2 ;
0
u'1 =
sen 3z
g(z ) 3 cos 3z
W (y 1 , y 2 )
W (y 1 , y 2 ) =
y1
y2
y'1
y'2
;
=
cos 3z
sen 3z
− 3sen 3z 3 cos 3z
= 3 cos 2 (3z ) + 3sen 2 (3z );
W (y 1 , y 2 ) = 3
u'1 = −
3 tan (3z )sen (3z ) − sen( 3z )sen( 3z )
;
=
cos( 3z )
3
!
sen 2 ( 3z)
1 − cos 2 ( 3z )
;
=−
cos( 3z)
cos( 3z )
1
u' 1 = cos( 3z) −
;
cos( 3z)
u 1 ' = cos( 3z) − sec( 3z );
u' 1 = −
u 1 = ∫ (cos( 3z) − sec( 3z))dz
sen( 3z) ln sec( 3z) + tg( 3z)
;
−
3
3
cos 3z
0
− 3sen 3z 3 tan( 3z) 3 cos(3z ) tan( 3z )
u' 2 =
=
W (y 1 , y 2 )
3
cos( 3z)sen( 3z)
u' 2 =
;
cos( 3z)
u' 2 = sen( 3z);
1
u 2 = ∫ sen( 3z)dz = − cos( 3z )
3
yp = u1y1 + u2 y2 ;
u1 =
 sen( 3z) ln sec( 3z ) + tg( 3z) 
1
yp = 
−
 cos( 3z) − cos( 3z)sen( 3z);
3
3

 3
y = yh + yp ;
 sen( 3z) ln sec( 3z) + tg( 3z) 
1
y = C 1 cos(3z ) + C 2 sen (3z ) + 
−
 cos( 3z) − cos( 3z)sen( 3z);
3
3

 3
 sen( 3 ln x) ln sec(3 ln x) + tg( 3 ln x) 
1
y = C 1 cos(3 ln x) + C 2 sen(3 ln x ) + 
−
 cos(3 ln x) − cos(3 ln x)sen( 3 ln x);
3
3
3


!
4) Si y 1 = x −1/2 cosx, y 2 = x −1/2 senx forman un conjunto linealmente independiente y
1
son soluciones de x 2 y' ' + xy' + x 2 − y = 0;
4

1
Hallar la solución particular para x 2 y' ' + xy' + x 2 − y = x 3/2 ; si
4

>
y  = 0;
 2
y' ( > ) = 0;
Como y 1 = x −1/2 cosx, y y 2 = x −1/2 senx son soluciones de
1

x 2 y' ' + xy' + x 2 − y = 0, entonces se obtiene :
4

y h = C 1 x −1/2 cos x + C 2 x −1/2 senx ;
1

Para encontrar la solución de x 2 y' ' + xy' + x 2 − y = x 3 / 2 ;
4

Se aplica variación de parámetros :
 x2
x
1 
x 3 /2
x2


=
y
;
+
+
−
y''
y'
 x 2 4x 2 
x2
x2
x2


y' 
1 
y'' + +  1 − 2  y = x −1/2 ;
4x 
x 
yp = u1y1 + u 2 y2 ;
g(x) = x −1/2 ;
0
u'1 =
y2
g( x ) y' 2
W( y 1 , y 2 )
;
!
!
x −1/2 cos x
x −1/2 senx
y2
1
1
=
− 1/2
senx − x − 3 / 2 cos x x − 1/2 cos x − x − 3 / 2 senx
y' 2 − x
2
2
1
1




W( y 1 , y 2 ) = x − 1/2 cos x x − 1/2 cos x − x − 3 / 2 senx − x − 1/2 senx − x − 1/2 senx − x − 3 / 2 cos x ;
2
2




1
1
W( y 1 , y 2 ) = x − 1 cos 2 x − x − 2 senx cos x + x − 1 sen 2 x + x − 2 senx cos x ;
2
2
−1
−1
−1
2
2
W( y 1 , y 2 ) = x (cos x + sen x ) = x (1) = x ;
y1
W( y 1 , y 2 ) =
y' 1
W( y 1 , y 2 ) = x − 1 ;
0
x −1 / 2
x − 1 /2
u' 1 =
x − 1/2 senx
1
cos x − x − 3 / 2 senx
x − 1 senx
2
=
−
= −sen( x);
x −1
x −1
u 1 = ∫ − sen( x )dx = cos x ;
x − 1 / 2 cos x
0
1 −3 / 2
− 1 /2
−1 / 2
senx − x
cos x x
−x
2
u' 2 =
;
=
W( y 1 , y 2 )
x −1
y1
y' 1
0
g( x)
x − 1 cos x
u' 2 =
= cos x ;
x −1
u 2 = senx ;
y p = (cos x )(x − 1 / 2 cos x ) + (senx )(x − 1 / 2 senx )
y p = x − 1 / 2 (cos 2 x + sen 2 x ) = x − 1 / 2 (1) = x − 1 / 2 ;
y p = x −1 / 2 ;
y = yh + yp ;
y = C 1 x − 1/2 cos x + C 2 x − 1/2 senx + x − 1 / 2 ;
 π
Si y  = 0 ; y y' ( π ) = 0;
2
y = C 1 x − 1/2 cos x + C 2 x − 1/2 senx + x − 1 / 2 ;
0 = C1
2
(0 ) + C 2
π
2
(1) +
π
C 2 = −1 ;
C2
2
(1) +
π
2
;
π
2
= 0;
π
−3 / 2
1 −3 / 2
1 −3 / 2
 − 1 /2

 − 1 /2
 x
y' = C 1 − x
senx − x
cos x + C 2 x
cos x − x
senx −
;
2
2
2




1
1
1
 1
 1


0 = C 1 −
(0 ) −
(− 1) + C 2  (− 1) −
(0 ) −
;
2π π
2π π  2π π
π

 π

!
1
 1 
 1 
;
0 = C1 
−
− C2 


 π  2π π
 2π π 
1
C1
C
=
− 2 ;
2π π 2π π
π
1
C1
1
;
=
+
2π π 2π π
π
1 = C 1 + 2 π;
C 1 = 1 − 2 π;
y = (1 − 2 π )x −1/2 cos x − x − 1/2 senx + x − 1 /2 ;
!
!
1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial usando la identidad de Abel:
(1 − 2x − x )y' '+2(1 + x )y'−2y = 0; Si y(0) = y' (0) = 1.
2
Si una solución es y 1 = x + 1;
Se usará la identidad de abel :
W (y 1 , y 2 ) = e ∫
− p(x)dx
;
Donde la ecuación diferencial debe tener la siguiente forma :
y' ' + p( x )y' + q(x)y = 0;
(1 − 2 x − x ) y'' + 2(1 + x) y'2
y = 0;
(1 − 2 x − x ) (1 − 2x − x ) (1 − 2 x − x )
2
2
2
W (y 1 , y 2 ) =
y1
y'1
W (y 1 , y 2 ) =
x + 1 y2
= (x + 1)y'2 − y 2 ;
y'2
1
2
y2
;
y'2
Entonces :
2 ( 1 + x )dx
(x + 1)y'2 − y 2 = e
∫ − (1−2 x −x 2 )
;
( − 2 − 2 x )dx
(x + 1)y'2 − y 2 = e
∫ (1−2 x −x 2 )
;
u( x ) = (1 − 2 x − x );
2
du = (− 2 − 2 x )dx ;
2
(x + 1)y'2 − y 2 = e ln 1−2 x−x ;
(x + 1)y'2 − y 2 = 1 − 2 x − x 2 ;
y2
1 − 2x − x2
;
y'2 −
=
x+1
x+1
dx
−∫
1
x +1
;
u( x ) = e
=
x+1
y2
1
1 − 2x − x2
y'2 −
;
=
x+1
(x + 1)2
(x + 1)2
2
d  1
 1 − 2x − x
;
y
=
2
dx  x + 1 
(x + 1)2
(
1 − 2 x − x 2 )dx
1
;
y2 = ∫
(x + 1)2
x+1
(2 − 1 − 2x − x 2 )dx ;
1
y2 = ∫
(x + 1)2
x+1
!
:
1
2dx
(x + 1)2 dx
+∫
y2 = −∫
;
2
x+1
(x + 1 )
(x + 1)2
1
2dx
;
y 2 = − ∫ dx + ∫
(x + 1)2
x+1
1
2
y 2 = −x −
;
x+1
x+1
1
2
y 2 = −x −
;
x+1
x+1
y 2 = − x (x + 1 ) − 2 ;
y 2 = −x 2 − x − 2 ;
y = C 1 (x + 1) + C 2 (− x 2 − x − 2 );
Si y(0) = 1;
1 = C 1 (1) + C 2 (− 2 );
Si y' (0) = 1;
y' = C 1 + C 2 (− 2x − 1) ;
1 = C 1 + C 2 (− 1);
C 1 − C 2 = 1

C 1 − 2C 2 = 1
Resolviendo el sistema :
1

1
C2
C1
C1
- 1 1  0 1 0 

→
- 2 1  1 - 2 1 
= 0;
= 1 + 2C 2 ;
= 1;
La solución es :
y = x + 1;
!
"#
$
xy' ' +( x + 1)y' + y = 0;
Si y 1 = e − x ;
Usando el método de reducción de orden :
Se asume que y 2 = u( x)y 1 ;
y 2 = u( x)e − x ;
y'2 = −u( x )e −x + u' ( x)e − x ;
y' '2 = −[− u( x)e − x + u' ( x )e −x ] + [− u' ( x)e − x + u' ' ( x)e − x ];
y' '2 = u( x)e − x − 2 u' ( x)e − x + u' ' ( x )e −x ;
Reemplazando en la ecuación diferencial
xy' ' +( x + 1)y' + y = 0, se obtiene :
x[u(x)e − x − 2 u'(x)e −x + u''(x)e − x ] + (x + 1)[− u(x)e − x + u'(x)e − x ] + u(x)e − x = 0 ;
u' ' ( x )[xe − x ] + u' ( x )[− 2 xe −x + (x + 1)e − x ] + u( x)[xe − x − (x + 1)e −x + e − x ] = 0 ;
u' ' ( x )[xe − x ] + u' ( x )[− xe − x + e − x ] + u( x)[xe −x − xe − x − e −x + e −x ] = 0 ;
u' ' ( x )[xe − x ] + u' ( x )[− xe − x + e − x ] + u( x)[0] = 0 ;
u' ' ( x )[xe − x ] + u' ( x )[− xe − x + e − x ] = 0 ;
Falta y :
v(x) = u' (x);
v' (x) = u' ' (x);
Reemplazando v(x) y v' (x) en la ecuación diferencial :
u''(x)[xe −x ] + u'(x)[− xe −x + e − x ] = 0 ;
v'(x)[xe −x ] + v(x)[− xe − x + e −x ] = 0 ;
dv − x
[
xe ] = v(x)[xe − x − e −x ];
dx
dv
 1
= v(x)1 −  ;
dx
 x
dv
 1
∫ v(x) = ∫ 1 − x dx;
ln v( x ) = x − ln x ;
ex
v( x ) = ;
x
ex
u' ( x) = ;
x
!
e x dx
u x =∫
,
x
+∞
x n−:
u x = ∫∑
dx,
nF
n=
 : + ∞ x n−: 
u x = ∫ +∑
dx,
 x n=: nF 
+∞
xn
u x = x +∑
,
n=: (n )nF
y = u x y: ,

y =

x n  −x
x +∑
e ,
n =: (n )nF 
+∞
'

y = C :e − x + C 

xn 
,
n =: (n )nF 
+∞
x +∑
!
Ecuación homogénea de orden superior
%
&
)
' (
#
*'
'
+-#&3" %" +*%.-&/' =$'$#"%
&
<
(3 ) =
(
3
2
3+
+
:
;
)
3 +
3
3 +
(
-*+( 3 )
+
; 2
7
3+
3 +
3) +
(:
)
3
( 3 )(
!
+
3+
% y' ' '−6y' '+12y'−8y = 0
φ(
)=
:
+:
−
−! =
:
−
−!
−!
:
!
−
φ(
)= (
φ( )= (
(3 ) =
−
−
3
(
:
)(
) =
−
+
3+
)=
+
→
=
:
3
=
=
)
d 5y
+ 32y = 0
%
dx 5
π+ π
φ(
)=
+
π
=
2
= →
@ = 2:2 2 2
=
 π 
   = : :!± : :
 
 π 
=  -*+  +
  
π
  π
 π 
=  -*+  +
   = −
 
  
(π )) = −
= (-*+(π ) +
=
:2
π
=
( 3) = (
(D
φ( ) = (
φ( ) = (
%
:2
2
=
-*+(: : 3) +
:
2
±
(: :
3))
+
)=
: :!3
:!± :
+(
-*+(:
− 2D + 5 ) y = 0
2
−
+
−
+
) =
)( −
− :
=
± −:
= :±
= :±
(3 ) =
3
-*+( 3 )(
:
+
3) +
3
( 3 )(
+
3)
!
3))
−
:!3
+
− 3
:
3
)
Ecuación no homogénea de orden superior
y' ' ' +3y' ' +2y' = x 2 + 4x + 8
"#
(3 ) =
(3 ) +
(3 )
*
E E+
E=
→ φ(
)= (
)= (
+
+
)=
+ :)( +
)=
E E E+
φ(
φ(
= 2
:
= − :2
)=
+
+
(3 ) =
=− →
:
=
−3
+
+
− 3
*
2 (3 ) = 3 + 3 + ! →
=
(3 ) = 3
(3 ) = /3 + =3 +
(3 ) = 3 (/3 + =3 +
→
=:→
(/3
+ =3 +
)
(3 )
) = /3
+ =3 + 3
(3 ) = /3 + =3 + 3
E ( 3 ) = /3 + =3 +
E E ( 3 ) = /3 + =
E E E (3 ) = /
E E E+
/+
( /)3
E E+
(
E= 3 + 3 + !
+ =3 +
)= 3
+ 3+!
+ (:! / + = )3 + ( / + = +
)= 3
+ 3+!
/3 + = ) +
( /3
:

/ =:→ / =


− :! /
:

→==
:! / + = = → = =


!− /+ =
::
 /+ =+
=!→ =
→ =

1
(3 ) = : 3
&
+
:
3 +
::
3
2
(3 ) =
:
+
−3
+
− 3
+
:
3 +
:
3 +
::
3
!
(3 )
y' ' ' − y' ' −4y' +4y = 2x 2 − 4x − 1 + 2x 2 e 2x + 5xe 2x + e 2x
#
(3 ) =
(3 ) +
(3 )
*
E E E− E E −
E+
→ φ(
=
)=
−
−
+
) = ( − : ) − ( − :) =
φ ( ) = ( − :)( − ) = ( − :)( − )( + )
= 2
= − → (3 ) = : 3 +
: = :2
=
φ(
3
− 3
+
*
2 (3 ) = 2 : ( 3 ) + 2 ( 3 )
2: (3 ) = 3 − 3 − : →
=
(3 ) = /3
→
(3 ) = 3
(/3
)
+ =3 +
(3 )
+ =3 +
(3 ) = /3 + =3 +
E ( 3 ) = /3 + =
E E (3 ) = /
E E E (3 ) =
E E E−
E E−
= 3 − 3 −:
E+
( /3 + = ) + (/3
( / )3 + (− ! / + = )3 + (−
− /−
)=
+ =3 +
3 − 3 −:
)=
/− =+
3 − 3 −:
:

/= → /=


− + !/

− !/ + = = − → = =
→==


−:+ / + =
− / − = +
= −: → =
→

1
:
(3 ) = : 3
2 (3 ) = 3
=
=
→
=:→
3
3
+ 3
+
3
→
(3 ) = 3
(/3 + =3 + )
(/3 + =3 + ) =
+ =3 + 3 )
(3 ) =
(3 ) = 3
3
(/3
)
+ =3 +
(3 )
3
3
3
(/3
+ =3 + 3
)
(3 )
(3 ) = 3 (/3
)3 + )
E ( 3 ) = 3 ( /3 + ( / + = )3 + ( = +
)3 + ( = + ))
E E ( 3 ) = 3 ( /3 + (: / + = )3 + ( / + ! = +
E E E ( 3 ) = 3 (! /3 + ( / + ! = )3 + ( / + = + ! )3 + ( / + : = + :
E E E−
3
E E−
((: /)3 + (
E+
= 3
3
+ 3
3
+
/ + ! = )3 + ( / + : = +
3
)) =
3
!
3
+ 3
3
+
3
))
:

: /= → /=


− /

/ + != = → = =
→==

!

:− / −: =
 / +: = +
→
=:→ =

(3 ) = : 3 3
(3 ) =
3
3
+
:
− 3
+
+
:
3 +
:
3
=
3
# y'''+y'= csc(x)
(3 ) =
(3 ) +
(3 )
*
→ φ(
E E E+ E =
φ(
)=
:
= 2
(
)=
+
=
)
+: =
= 2
=− →
(3 ) =
:
+
-*+ (3 ) +
(3 )
*
(3 ) =
: :
+
+
:
> (:2 -*+ ( 3 )2
:
E=
-+- ( 3 )
(3 )) =
-*+ ( 3 )
(3 )
−
(3 ) -*+ (3 ) = : -*+
− -*+ ( 3 ) −
(3 )
(3 )
-*+ ( 3 )
(3 ) -*+ (3 )
−
(3 )
− -*+ (3 ) −
= -+- ( 3 )(:) →
:
(3 )
-*+ ( 3 )
(3 )
-+- ( 3 ) −
:
E=
:
-*+ ( 3 )
−
(3 )
− -*+ ( 3 ) -+- ( 3 )
:
(
:
(3 ) +
(3 )) = :

 3 
= ∫ -+- ( 3 ) 3 = %'  ("'   
 

= − ∫ -+- ( 3 ) -*+ ( 3 ) 3 = %' (-+- ( 3 ))
= − -+- (3 ) -*+ ( 3 ) →
= − -+- ( 3 ) ( 3 ) →
= −∫: 3 = − 3
:

 3 
= %'  ("'    (:) + %' (-+- ( 3 ))(-*+ ( 3 )) + (− 3 ) ( 3 )
 

(3 ) = %'  ("'  3   + -*+ (3 ) %' (-+- (3 )) − 3 (3 )
 

E=
(3 ) =
:
+
-*+ ( 3 ) +
(3 ) + %'  ("'  3   + -*+ (3 )%' (-+- (3 )) − 3

 
!
(3 )
!
)# y''' = xln( x)
(3 ) =
(3 ) +
(3 )
*
→ φ(
EEE=
φ(
)=
:
)=
=
=
= 2
= 2
=
(3 ) =
→
:
+
3+
3
*
(3 ) =
:
+
:
+
:
> (:2 -*+ ( 3 )2
(3 )) =
3
:
:
E=
3
:
(
3 =: 3 − 3
)= 3
3
3
3 %' ( 3 )
=
3
:
3
( )→
3 %' (3 ) 3
3
:
=
∫ 3 %' (3 )
3=
:
3 
 %' ( 3 ) − 


3
3
3 %' ( 3 )
E=
=−
3
:
3 %' ( 3 ) 3
→
3
∫ %' (3 ) 3 = − 3 (%' (3 ) − :)
=−
3
:
3 %' ( 3 )
%' ( 3 )
%' ( 3 )
3=
3
3
 %' ( 3 ) 
3 
:
 3
=
 %' ( 3 ) −  (:) + (− 3 (%' ( 3 ) − :))( 3 ) + 




3
3
=
∴
=
%' ( 3 ) − %' ( 3 ) +
%' ( 3 ) − %' ( 3 )
E=
=
3 %' ( 3 )
→
3
(
&
=
∫
)
(
2
(3 ) =
:
+
3+
3 +
3
(
%'
(3 ) −
)
%' ( 3 )
!
)
Ecuación de Euler de orden n
x3
2
d 3y
dy
2 d y
−
− 6x
+ 18y = 0
x
3
2
dx
dx
dx
7
%° ?
=3
(
3
− :)( −
)3 − − 3 (
) − ( − :) −
) − ( − :) −
)− ( − ) =
− :)3
[ ( − :)( −
[ ( − :)( −
( − :)( −
( − )( − − ) =
( − ) ( + )=
=
:
=
−
− 33
−:
+ :! 3 =
+ :!]3 =
+ :!] =
=−
(3 ) = (
%' 3 )3 +
+
:
3−
°?
3 = → = %' 3
,(, − :)(, − ) − ,(, − :) − , + :! =
, − , − , + :! =
( , − ) (, + ) =
E E E−
φ(
E E−
)= (
E+:! =
)(
−
( )= : +
(3 ) = ( : +
)=
+
+
→
:
=
=
=−
−
%' 3 )3 +
3−
2
d 3y
dy
2 d y
+
− 10x
− 8y = 0
2x
3
2
dx
dx
dx
=3
x3
3
(
− :)( −
[(
− :)( −
)3 −
+ 3
) + ( − :) − :
( + )] =
[
(
− :) −
(
−
−
=
−: − ! =
)( + :)( + ) =
= −:
:
(3 ) =
:
(
3 +
3 −: +
− :)3
−
−: 3 3
−:
− !3 =
− !]3 =
=−
3−
!
!
x3
2
d 3y
dy
2 d y
−
+ 8x
− 8y = 4lnx
4x
3
2
dx
dx
dx
3 = → = %' 3
*
,(, − :)(, − ) − ,(, − :) + !, − ! =
,(, − :)(, − ) − ,(, − :) + !(, − :) =
(, − :)(,(, − ) − , + !) =
(, − :)(, − , + !) =
(, − :)(, − )(, − ) =
φ ( ) = ( − :)( − )(
( )= : +
+
*
E E E−
=
E E+:
(/
→ E E E− E E+: E−! =
− )= → : =:
=
(3 ) =
:
( )= −:
+
→
3+
3 +
=
3
E−! =
+ =)
= →
= / +=
= / +=
E= /
EE=
EEE=
@
$
− ( ) + : ( /) − !( / + = ) =
(− ! /) + (: / − != ) =

 − !/ =

: / − != =

(3 ) =
:
3+
/=−
:
→
==
3 +
!
(3 ) = − : %' 3 +
→
!
!
:
3 − %' 3 +
!
!
!:
2
d 3y
dy
2 d y
−
x
+ 2x
− 2y = x 3
3
2
dx
dx
dx
=3
x3
(
3
− :)( −
[ ( − :)( −
[ ( − :)( −
( − :)( ( −
( − :)( ( −
( − :) ( −
=
:
)3 − − 3 ( − :)3 − +
) − ( − :) + − ]3 =
) − ( − :) + ( − :)] =
)− + ) =
) − ( − )) =
)=
=:
=(
:
(3 ) =
33
−:
− 3 =
=
%' 3 )3 +
+
: :
+
3
+
3 %' 3 3
%' 3 + :
= : %' 3 + : 3 = 3 −:
3
3 −:
3
(
)
> 32 3 %' 32 3
3
−:
3 %' 3
3
−:
3
=3
3 %' 3 3
%' 3 + : 3
:
E=
3 −:
:
3
3
( 3 )(3 %' 3 ) − (%' 3 + :)(3
3
:
=−
3
3 3 %' 3
: %' 3 + :
3 −:
:
&
:
= ∫ 3(%' ( 3 ) − :) 3 =
3 

 %' ( 3 ) − 


3
(3 )( 3 ) − 3
→
3
= −∫ 3 3 = −
3(%' 3 + :) − 3 %' 3
→
3
3
3 
3

=
 %' ( 3 ) − ( 3 ) − ( 3 %' 3 ) + ( 3 )3


3
=
E=
)→
3
:
E=
=
=
3
= ∫: 3 = 3
2
(3 ) = (
:
+
%' 3 )3 +
3 +
3
!
!
&
Solución en serie alrededor de un punto ordinario
(x
2
− 1)
+∞
−: ∑
(3
)
d 2y
dy
+ 3x
+ xy = 0,
2
dx
dx
(
+∞
− :)3
∑
3
+∞
(
∑
+∞
=
+∞
+∞
− :)3
−
∑
+
3 +∑
+
(
)(
+
+ :)3 +
+∞
∑
3 +∑
=:
=:
=
+∞
−
3+
−
:
3 + ∑[
3+
(
+:
3
=
=
=:
− :)3 − ∑
(
3 =
=
=
=
+∞
+ 3∑
−:
=:
− :)3 − ∑
(
+∞
+ 3∑
−
=
+∞
y (0 ) = 4; y' (0 ) = 6
+∞
)−
+
+
(
+
3 =
−:
)(
+ :) +
+
)+
−:
]3
=
=
−
= →
=
−
+
:
= →
=
+
)−
(
+ :) +
(
+
+
= →
=
= →
=
(
(
(
)(
+
+
)+
:
:
= →
−:
!
=
+
:
+ :)
:
( + )+ = : +
+ )( + :)
+
)(
+
=
+
=
(
(
+
)(
−:
+ :)
@ ≥
:
:
=
:
!
+
!
+∞
(3 ) = ∑
3 =
+
:
3+
3 +
3 +
=
(3 ) =
 3

3
: + + ! +  +


:


3
3
3
3 + + : + ! +  →




3
3
+
+ +
3 +
!


(3 ) = + 3 + :: 3 + 3 + ::3
E (3 ) =
:
( )=
=


3
3 : 3
+ +
+  → E( ) =
: +
!


:
=
+
!
!
y' ' − xy' = e − x
+∞
∑
(
alrededor de x 0 = 0
+∞
− :)3
+∞
− 3∑
−
−:
3
=:
=
+∞
∑
(
+∞
−∑
−
=
3 = ∑ (− :)
=:
+∞
∑
+
(
+∞
=
+ ∑(
(
+
+
)(
F
+∞
3 = ∑ (− :)
=:
+∞
3
=
+ :)3 − ∑
)(
+
F
=
+∞
− :)3
3
= ∑ (− :)
+ :) −
)3
+∞
= : + ∑ (− :)
3
F
=:
:
=:→
=
(
+ :) −
+
F
=
=:
+
3
)(
(− :)
=
F
=
=
→
=
= →
=
+
=
(
+
(− :): →
:
(: + )(: + :) :F(: + )(: + :)
(− :)
=
+
( + )( + :) F( + )( + :)
(− :)
+
=
( + )( + :) F( + )( + :)
:
=:→
→
+
)(
=
+ :)
:
+
−
−
:
:
:
+
(− :)
F( + )(
+ :)
≥:
:
→
→
=
:
!
=
:
−
:
+∞
(3 ) = ∑
3 =
+
:
3+
3 +
3 +
=
(3 ) =
+
:
(3 ) =
+
:
3+
:

3 +

:

3
3
 3 +
+
+

: 
3 +


 3
3
3
3
 +  −
+
−
+ 
!

 
:
:

− 3 + 3 + 
!


:
!
−
!
3) Resolver la siguiente ecuación diferencial alrededor del punto
.
Determine las soluciones homogéneas de esta ecuación diferencial en términos
de series indicando a que función converge cada una de ellas. (Sugerencia: para
encontrar la solución particular use el método de variación de parámetros).
$+"##*%%*
!
"' ,# -,#$% %)./#+)/%
%) *% $+#$%
$ "+.,$
2
0 +1
13
2
1
0 +1
13
2
0 +1 # #
4
2
0 +1 #
136
13
1
"#$%#&"'
-")%
2
2
0 +1 # #
13
44
156
15
#&,$#* +$ *3($'0#G %"+ +*%.-&*'$+ 7*,*=<'$"+
15
2
$ #$$,5%";" 62 6H2 6HH $' %" $-."-&/'
2
0 +1 #
136
156
2
.$=* +$ &'(#*0.-$ %*+ -*$1&-&$'($+ 0$'(#* 0$ %"+ +.,"(*#&"+
0 +1 # #
13
1
0 +1 # #
13
(
15
0 +1 #
136
2
0 +1
13
1
1
2
0 +1
13
1
$ &=."%"' %"+ 5"($'-&"+ 0$ > 0$ (*0"+ %" +.,"(*#&"+2 $' $+($ -"+* " %" 4.$ ,G+ +$ #$5&($
4.$ $' $+($ -"+* $+ '
2
0 +1 # #
13
1
2
0 +1 # #
13
15
2
0 +1 #
136
1
2
0 +1
13
1
"#" %"
,?'I
& ' ? 2 $'(*'-$+ , ?
$#* ' ? , J
.$=* , ? '
!
!
2
0 +1 # #
13
1
2
2
0 +1
13
2
0 +17 #
13
#
1
2
0 +1 #
1
1
136
2
$ &=."%"' %*+ +.3K'0&-$+ 0$ (*0"+ %"+ +.,"(*#&"+ "% ,"6*#2 $' $+($ -"+* '?
0 +1 # #
13
+
8+9
+6
2
2
+
1
0 +1 #
13
+
0:+1 # #
13
8+9
+6
1
+
0 +17 #
13
+6
+17 #
#
2
0 +1
#
13
1
+1 #
$ &=."%"' %*+ -*$1&-&$'($+
+
+
"#$%#&"' '" $/"#" <," +
+
8+9
8+6
"#$%#&"' '" $/"#" <," +9 +6
+1
#
+1 #
+17 #
+1 # #
" 1/#,.%" 0$ #$-.##$'-&" $+
+1
+1 #
+1 # #
+17
=# > ?
#
#
#
#
#
#
@#
#
@#
+17
+1
+1
#
#
#
#
#
#
#
#
+1 +1
#
#
*# %* ("'(*
+17
+1 =# >
'-*'(#"'0* %*+ -*$1&-&$'($+
A/ #
A/ #
A/ #
A/ #
A/ #
A/ #
*%)&$'0* " %" +*%.-&/'
2
0 +1
13
1
+
" +*%.-&/' 7*,*=<'$"
+
+6
"#$%#&"' +B
@ "#$%#&"' +C
"#$%#&"' +D
E "#$%#&"' +F
8 "#$%#&"' +G
H "#$%#&"' +I
+6
+
+
+6
9
+9
+
+
+9
+B
+C
+D
+F
9
B
+
+6
+
+6
+
+
+B
B
+6
C
+6
1
+C
+
B
D
1
+ KLMMMMMMMMMNMMMMMMMMMO
J
JS
C
D
+1 ;
1
+1
+D
D
J
J
PQ R
9
C
176
+6 KLMMMMMMMMMNMMMMMMMMMO
J
JS
PT R
!
!
W
X
+ U
+ U
V
+6 Y
V
+6
Z
7*#" +$ $'-.$'(#" %" +*%.-&/' 5"#(&-.%"#
Normalizando la ecuación diferencial
]
`%#." ,6
a
`%#." ,
6
64
]
,
6
]
,6
a
_
6
La solución general es:
+ U
[
U
V
4
6
,
R
4^
6
J
1
J
se obtiene:
_
_
a
9
_
"#$%#&"' ,6
Por lo tanto a solución particular es:
[
,
^ 4
6
6
a
6
+ <,"
[\
+"'0* $% ,<(*0* 0$ )"#&"-&/' 0$ 5"#G,$(#*+
,6 6
[
Encontrando el wronskiano: ]
J
B
+6 Y
_
_
"#$%#&"' ,
,6
bc
,
6
V
bc
Z
U
V
bc
+($ $+ .' +*%.-&*'"#&* 0$ 5#*3%$,"+ 0$ -."-&*'$+ &1$#$'-&"%$+ -*##$+5*'0&$'($ " %" #&,$#"
)"%."-&/'2 0*'0$ -*'+("' $L$#-&-&*+ (&5* $>",$' +(" *3#" 7" +&0* $%"3*#"0" 5*# *3$#(*
"3#$#" 6 7#&+(&"' 0$ " *+"2 $> I $+(.0&"'($ 0$ %"
2 -*' $% ".+5&-&* 0$ %" 0&#$-(&)"
0$ %*+ "M*+
2
2
! *0&1&-"0* 6 -*##$=&0* 0*+ )$-$+ 5*# *3$#(*
"3#$#"
!
!