Tabla de integrales y formas de integrar 3 pag. Descargado por Ignacio Ferrand ([email protected]) Encuentra más documentos en Tabla de integrales inmediatas. función derivada integral dominio 𝒂 0 ∫ 𝑎 𝑑𝑎 = 𝑎𝑥 + 𝐶 −∞ < 𝑎 < +∞ 𝒙𝒏 𝑛 ∗ 𝑥 𝑛−1 𝒂𝒙 𝒙−𝟏 = √𝒙 𝑎 𝟏 𝒙 ∫ 𝑎 𝑑𝑎 = 𝑎 𝑥2 1 2√𝑥 𝑚 𝑚 −1 𝑥𝑛 𝑛 1 √𝒙𝒎 𝒍𝒐𝒈𝒂(𝒙) 𝑥 ln (𝑎) 1 𝒍𝒏 (𝒙) +𝐶 ∫ 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = xln (𝑥) − 𝑥 + 𝐶 𝑥 𝒆𝒂𝒙 2 + 𝐶 𝑐𝑜𝑛 {𝑥 ≠ −1} 𝑛+1 1 ∫ 𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝐶 𝑥 2 ∫ √𝑥 𝑑𝑥 = √𝑥 3 + 𝐶 3 𝑚 𝑛 +1 ∫ 𝑛√ 𝑥𝑚 𝑑𝑥 = 𝑥𝑛 + 𝐶 𝑚+𝑛 𝑥 ∫ 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥) − +𝐶 ln(𝑎) ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = −1 𝒏 𝑥 𝑛+1 𝑥2 𝑒𝑥 ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑎 𝑒 𝑎𝑥 + 𝐶 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = −cos (𝑥) + 𝐶 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) ∫ 𝑡𝑎𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = −ln ( |cos (𝑥)|) + 𝐶 𝒄𝒔𝒄 (𝒙) −𝑐𝑠𝑐(𝑥)cot (𝑥) ∫ 𝑐𝑠𝑐 (𝑥) 𝑑𝑥 = −ln ( |csc(𝑥) + cot (𝑥) |) + 𝐶 𝒔𝒆𝒏 𝟐(𝒙) 2𝑠𝑒𝑛 (𝑥) cos (𝑥) 𝒕𝒂𝒏𝟐 (𝒙) 2tan(𝑥)𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) ∫ 𝑡𝑎𝑛 2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 = −𝑥 + −2𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)cot(𝑥) ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 = − 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) −𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝒄𝒐𝒕 (𝒙) −𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥) 𝒕𝒂𝒏 (𝒙) 𝒔𝒆𝒄 (𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) ∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑑𝑥 = sen (𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑡 (𝑥) 𝑑𝑥 = ln (|sen (𝑥) |) + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐 (𝑥) 𝑑𝑥 = ln (|sec(𝑥) + tan (𝑥) |) + 𝐶 𝑠𝑒𝑐(𝑥)tan (𝑥) ∫ 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(2𝑥) ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 = 𝒄𝒐𝒕 𝟐(𝒙) −2𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)cot(𝑥) 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙) 2𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)tan(𝑥) 𝒄𝒔𝒄𝟐 (𝒙) 𝒔𝒆𝒏 −𝟏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (𝒙) 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝒙) 1 √1 − 𝑥 2 −1 √1 − 𝑥 2 𝑐𝑜𝑛 {𝑥 ≠ ±1} 1+ 𝑥2 2 𝑥 2 − + sen(2𝑎𝑥 ) 4𝑎 sen(2𝑎𝑥) 1 𝑎 4𝑎 +𝐶 +𝐶 tan (𝑎𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥)𝑑𝑥 = −𝑥 − cot(𝑥) + 𝐶 𝑐𝑜𝑛 {𝑥 ≠ ±1} 1 𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 = 1 𝑎 1 𝑎 cot(𝑎𝑥) + 𝐶 tan (𝑎𝑥) + 𝐶 −∞ < 𝑎 < +∞ − {0} [0 , +∞) 𝑛 𝐸𝑙 𝑑𝑜𝑚 √𝑥 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑛 𝑠𝑒𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟. [0 , +∞) [0 , +∞) −∞ < 𝑥 < +∞ −∞ < 𝑥 < +∞ 𝜋 −∞ < 𝑥 < +∞ ; { 𝑥 ≠ + 𝜋𝑛} 2 −∞ < 𝑥 < +∞ ; {𝑥 ≠ 𝜋𝑛} − {𝑥 ≠ 𝜋𝑛} − {𝑥 ≠ 𝜋 + 𝜋𝑛} − {𝑥 ≠ 𝜋 + 𝜋𝑛} 2 2 − {𝑥 ≠ 𝜋𝑛} − {𝑥 ≠ 𝜋𝑛} − {𝑥 ≠ 𝜋 2 + 𝜋𝑛} ∫ 𝑠𝑒𝑛 −1 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 −1 (𝑥) + √1 − 𝑥 2 + 𝐶 −1 ≤ 𝑥 ≤ +1 1 ∫ 𝑡𝑎𝑛 −1(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑡𝑎𝑛 −1(𝑥) − ln (1 + 𝑥 2 ) + 𝐶 2 −∞ < 𝑥 < +∞ ∫ 𝑐𝑜𝑠 −1 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑠 −1 (𝑥) − √1 − 𝑥 2 + 𝐶 Descargado por Ignacio Ferrand ([email protected]) Encuentra más documentos en −1 ≤ 𝑥 ≤ +1 𝒄𝒐𝒕 −𝟏 (𝒙) 𝒄𝒔𝒄 −𝟏 (𝒙) 𝒔𝒆𝒄 −𝟏 (𝒙) 1 ∫ 𝑐𝑜𝑡 −1(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑐𝑜𝑡 −1(𝑥) − ln (1 + 𝑥 2) + 𝐶 2 −1 −1 𝑥√𝑥 2 − 1 1 1+ 𝑥√𝑥 2 − 1 𝑥2 𝑐𝑜𝑛 {𝑥 ≠ ±1,0} −∞ < 𝑥 < +∞ ∫ 𝑐𝑠𝑐 −1(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑐𝑠𝑐 −1(𝑥) − √1 − 𝑥2 + 𝐶 𝑐𝑜𝑛 {𝑥 ≠ ±1,0} (−∞, −1] ∪ [1, +∞) ∫ 𝑠𝑒𝑐 −1 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑐− 1( 𝑥) − 𝑙𝑛 | 𝑥 + √𝑥2 − 1 | + 𝐶 (−∞, −1] ∪ [1, +∞) 2 No toda función puede integrarse, ya que estas no poseen anti derivada como lo es el caso de 𝑥 𝑒 . No son polinomios funciones de la forma 𝑎 𝑥𝑛 𝑜 √𝑥 𝑛 ± 𝑎. Otras formas de integrar Integración por partes. ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖 𝑢 → L.I.A.T.E 𝑑𝑣 → fácil de integrar Logaritmos Inversa trigonométrica Algebraica (polinomio) Trigonométrica Exponencial Integración de potencias de funciones trigonométricas. ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒎 (𝒙)𝒄𝒐𝒔 𝒏(𝒙)𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒙) + 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) = 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒎 (𝒙)𝒕𝒂𝒏𝒏 (𝒙)𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟐 (𝒙) + 𝟏 = 𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙) 𝑚: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 → Se usa la sustitución 𝑢 = cos(𝑥) → Se usa la sustitución 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠→ Se usa 𝑚: 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = 2( 𝑠𝑒𝑛 𝑥) = 1+cos (2𝑥) 2 1−cos (2𝑥) 2 → Se usa la sustitución 𝑢 = tan (𝑥) 𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 → Se usa la sustitución 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) Cuando todos son impares (primer caso), se escoge la menor potencia para hacer la sustitución. Cuando ambas son posibles (segundo caso), se escoge la mayor potencia. En caso de que <𝑚> sea impar y <𝑛> impar, no se puede realizar ninguna de las sustituciones. 𝒙 √𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 𝒙 √𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 Sustitución trigonométrica 𝒂 Descargado por Ignacio Ferrand ([email protected]) Encuentra más documentos en 𝒙 𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽 ; 𝒅𝒙 = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 √𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 = √𝒂𝟐 − (𝒂𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐 = √𝒂𝟐(𝟏 − 𝒂√𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = = 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽) 𝒙 = 𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽 ; 𝒅𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽𝒅𝜽 √𝒂𝟐 + 𝒙𝟐 = √𝒂𝟐 + (𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽) 𝟐 = √𝒂𝟐(𝟏 + 𝒂√𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽 = = 𝒂𝒔𝒆𝒄𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽) 𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒄𝜽 ; 𝒅𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒄𝜽𝒕𝒂𝒏𝜽𝒅𝜽 √𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 = √(𝒂𝒔𝒆𝒄𝜽)𝟐 − 𝒂𝟐 = √𝒂𝟐(𝒔𝒆𝒄𝟐𝜽 − 𝟏) = 𝒂√𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽 = 𝒂𝒕𝒂𝒏𝜽 Tips e integrales para tener en cuenta 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥) 𝑎 ∫ 𝑐𝑜𝑠 (𝑎𝑥) 𝑑𝑥 = 1 𝑎 𝑠𝑒𝑛 (𝑎𝑥) ∫ sec(𝑥) 𝑡𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) ∫ ∫ 1 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑥 = 1 𝑎 𝑙𝑛 (|𝑎𝑥 + 𝑏|) ∫ 1 −1 1 𝑑𝑥 = ∗ (𝑎𝑥 + 𝑏) 2 𝑎 𝑎𝑥 + 𝑏 ∫ ∫ csc(𝑥 ) 𝑐𝑜𝑡 (𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐(𝑥) ∫ 1 𝑥√𝑥 2 − 𝑎2 √𝑎2 𝑥2 1 1 − + 𝑥2 𝑎2 𝑑𝑥 = |𝑥| 𝑠𝑒𝑐 −1 ቈ 𝑎 𝑎 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 −1 ቂ ቃ 𝑎 𝑑𝑥 = 1 𝑥 𝑡𝑎𝑛 −1 ቂ ቃ 𝑎 𝑎 Descomposición en fracciones parciales Lineales → (𝒎𝒙 + 𝒃) 𝒏 ; Se hacen <n> fracciones parciales de la forma 𝐴𝑛 . (𝑚𝑥+𝑏) 𝑛 C uadráticas no factorizables; el discriminante 𝑏2 − 4𝑎𝑐 es negativo, se integran de la forma 𝐴𝑛 𝑥+𝐵 (𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐) 𝑚 El número de constantes que se deben determinar es igual al grado del denominador. Para la función irracional impropia, donde el grado del denominador es menor o igual, se hace primero la división sintética antes de descomponer en fracciones parciales. Descargado por Ignacio Ferrand ([email protected]) Encuentra más documentos en
