Solucionario-Matematicas-I-1o-BACH-Santillana-TEMA-10-Derivada-de-una-funcion

10
Derivada de una función
ACTIVIDADES
T .V .M.([2, 3]) =
f (3) − f (2) 9 − 5
=
=4
3−2
1
T .V .M.([2, 4]) =
f (4) − f (2) 15 − 5
=
=5
4−2
2
T .V .M.([3, 5]) =
f (5) − f (3) 23 − 9
=
=7
5−3
2
T .V .M.([2, 5]) =
f (5) − f (2) 23 − 5
=
=6
5−2
3
T .V .M.([3, 6]) =
f (6) − f (3) 33 − 9
=
=8
6−3
3
T .V .M.([2, 6]) =
f (6) − f (2) 33 − 5
=
=7
6−2
4
a) T .V .M.([2, 2 + h]) =
f (2 + h) − f (2) (2 + h)2 − (2 + h) + 3 − (4 − 2 + 3) h2 + 3 h
=
=
= h+3
2 + h−2
h
h
b) T .V .M.([3, 3 + h]) =
f (3 + h) − f (3) (3 + h)2 − (3 + h) + 3 − (9 − 3 + 3) h2 + 5h
=
=
= h+5
3 + h−3
h
h
1
1
−
f (2 + h) − f (2)
2
+
−
3
2
−
3 = lim 1 = −1
h
a) f ´(2) = lim
= lim
h→0
h→0
h →0 −1 + h
2 + h−2
h
1
1
−
f (−1+ h) − f (−1)
h
−
1
+
−
3
−
1
− 3 = lim 4 − 4 + h = − 1
f ´(−1) = lim
= lim
h → 0 −1+ h − (−1)
h→0
h →0 4 (−4 + h) h
h
16
b) f ´(2) = hlim
→0
= lim
h →0
f (2 + h) − f (2)
2(2 + h)2 + (2 + h) − (2 ⋅ 22 + 2)
= lim
=
h
→
0
2 + h−2
h
2(4 + h2 + 4 h) + 2 + h − 10
2 h2 + 9 h
= lim
= lim (2 h + 9) = 9
h
→
0
h→0
h
h
2(−1+ h)2 + (−1+ h) −  2 ⋅ (−1)2 + (−1)
f (−1+ h) − f (−1)
= lim
=
h → 0 −1 + h − (−1)
h→0
h
f ´(−1) = lim
= lim
h →0
2(1+ h2 − 2 h) − 1 + h − 1
2 h2 − 3 h
= lim
= lim (2 h − 3) = −3
h
→
0
h →0
h
h
1
1
−
f (2 + h) − f (2)
4 − (2 + h)2
(2 + h)2 22
c) f ´(2) = lim
= lim
= lim
=
h→0
h
→
0
h
→
0
2 + h−2
h
4 h(2 + h)2
4 − (4 + h2 + 4 h)
−h2 − 4 h
−h − 4
1
= lim
= lim
=−
2
h → 0 4 h(4 + h + 4 h)
h → 0 16 h + 4 h3 + 16 h2
h → 0 16 + 4 h2 + 16 h
4
= lim
1
1
−
f (−1+ h) − f (−1)
1− (1− 2h + h2 )
2 h − h2
2−h
(−1+ h)2 (−1)2
f ´(−1) = lim
= lim
= lim
= lim
= lim
=2
2
h → 0 −1 + h − (−1)
h→0
h
→
h
→
0
0
h
h(−1+ h)
h(1− 2h + h2 ) h →0 1− 2h + h2
473
10
Derivada de una función
a) f ´(1) = hlim
→0
(1+ h)3 + 4 − (13 + 4)
3 h2 + 3 h + h3
= lim
= lim (3 h + 3 + h2 ) = 3
h →0
h →0
h
h
b) f ´(−4) = hlim
→0
(−4 + h)3 + 4 − (−4)3 + 4
h
( h3 − 12h2 + 48h − 64) + 4 − (−64 + 4)
=
h →0
h
= lim
2
= lim( h − 12 h + 48) = 48
h →0
c) f ´(2) = lim
h→0
(2 + h)3 + 4 − (23 + 4)
8 + h3 + 6 h2 + 12h + 4 − 12
= lim
= lim ( h2 + 6 h + 12) = 12
h→0
h →0
h
h
d) f ´(−3) = hlim
→0
(−3 + h)3 + 4 − (−3)3 + 4
h
−27 + h3 − 9h2 + 27h + 4 − (−27 + 4)
= lim ( h2 − 9h + 27) = 27
h →0
h →0
h
= lim
 2 + h − (2 + h)2  − (2 − 22 )
2 + h − (4 + 4 h + h2 ) − 2 + 4
− 3 h − h2

f ´(2) = lim 
= lim
= lim
= −3
h→0
h
→
0
h
→
0
h
h
h
f(2) = 2 − 22 = −2
La ecuación de la recta tangente en el punto P(2, −2) es:
y − (−2) = f´(2) ⋅ (x − 2) → y + 2 = −3(x − 2) → y = −3x + 4
f ´(−3) = lim
(−3 + h) − (−3 + h)2 − −3 − (−3)2 
h
h →0
−3 + h − (9 + h2 − 6 h) + 12
−h2 + 7 h
= lim
=7
h→0
h →0
h
h
= lim
f(−3) = −3 − (−3) 2 = −12
La ecuación de la recta tangente en el punto P(−3, −12) es:
y − (− 12) = f´(−3) ⋅ (x − (−3))
y + 12 = 7(x + 3)
y = 7x + 9
Cortes con el eje X: (−1, 0), (−3, 0)
La derivada f´(a) es la pendiente de la recta tangente en el punto P(a, f(a)).
f ´(−1) = lim
(−1+ h)2 + 4(−1+ h) + 3 − (−1)2 + 4 ⋅ (−1) + 3
f ´(−3) = lim
(−3 + h)2 + 4(−3 + h) + 3 − (−3)2 + 4 ⋅ (−3) + 3
h
h→0
h →0
h
h →0
= lim
1 + h2 − 2 h − 4 + 4 h + 3 − 1 + 4 − 3
h2 + 2 h
= lim
=2
h
→
0
h
h
= lim
h →0
9 + h2 − 6 h − 12 + 4 h + 3 − 9 + 12 − 3
h2 − 2 h
= lim
= −2
h
→
0
h
h
Corte con el eje Y: (0, 3)
f ´(0) = lim
h →0
474
(0 + h)2 + 4(0 + h) + 3 − (0)2 + 4 ⋅ (0) + 3
h
= lim
h →0
h2 + 4 h + 3 − 3
=4
h
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) = hlim
→0
f ( x + h) − f ( x )
4( x + h)3 − 4 x 3
4( x 3 + 3 x 2 h + 3 xh2 + h3 ) − 4 x 3
12 x 2 h + 12 xh2 + 4 h3
= lim
= lim
= lim
= 12 x 2
h
→
0
h
→
0
h
→
0
h
h
h
h
b) f ´( x ) = hlim
→0
f ( x + h) − f ( x )
( x + h − x )( x + h + x )
x + h− x
1
1
= lim
= lim
= lim
=
h →0
h →0
h
h( x + h + x )
h( x + h + x ) h → 0 x + h + x 2 x
1
1
−
f ( x + h) − f ( x )
−h
1
x
h
x
+
+
3
+
3 = lim x + 3 − ( x + h + 3) = lim
c) f ´( x ) = hlim
= lim
=−
→0
h →0
h → 0 ( x + 3)( x + h + 3) h
h → 0 ( x + 3)( x + h + 3) h
h
h
( x + 3)2
a) f ´( x ) = hlim
→0
= lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
( x + h)3 + 4( x + h)2 − ( x 3 + 4 x 2 )
= lim
=
h →0
h
h
x 3 + 3 x 2 h + 3 xh2 + h3 + 4( x 2 + h2 + 2 xh) − x 3 − 4 x 2
3 x 2 h + 3 xh2 + h3 + 4 h2 + 8 xh
= lim
= 3x2 +8x
h
→
0
h
h
f ´( x + h) − f ´( x )
3( x + h)2 + 8( x + h) − (3 x 2 + 8 x )
= lim
=
h →0
h →0
h
h
f ´´( x ) = lim
= lim
h →0
3( x 2 + h2 + 2 xh) + 8 x + 8 h − 3 x 2 − 8 x
3 h2 + 6 xh + 8 h
= lim
= 6x + 8
h
→
0
h
h
f ´´´( x ) = lim
h →0
b) f ´( x ) = hlim
→0
f ´´( x + h) − f ´´( x )
6( x + h) + 8 − (6 x + 8)
6h
= lim
= lim
=6
h→0
h→0 h
h
h
f ( x + h) − f ( x )
( x + h)2 − ( x + h) + 5 − ( x 2 − x + 5)
= lim
=
h
→
0
h
h
x 2 + h2 + 2 xh − x − h + 5 − x 2 + x − 5
= lim ( h + 2 x − 1) = 2 x − 1
h →0
h →0
h
= lim
f ´´( x ) = lim
h →0
f ´( x + h) − f ´( x )
2( x + h) − 1− (2 x − 1)
2h
= lim
= lim
=2
h →0
h→0 h
h
h
f ´´´( x ) = lim
h →0
f ´´( x + h) − f ´´( x )
2−2
= lim
=0
h→0
h
h
3
3
4
3
−1
3
4
a) f ´( x ) = 0
c) f ( x ) = 4 x 3 = x 4 → f ´( x ) = x 4 = x
b) f ´( x ) = 4 ⋅ x 4−1 = 4 x 3
d) f ( x ) =
4
4
7
4
−1
4
7
a) f ( x ) = 7 x 4 = x 7 → f ´( x ) = x 7 = x
−
3
7
=
−
1
4
=
3
44 x
1
1
= x −5 → f ´( x ) = −5 x −5−1 = −5 x −6 = −5 6
x5
x
4
77 x3
b) f ´( x ) = 8 ⋅ x 8−1 = 8 x 7
475
10
Derivada de una función
3
3
5
3
−1
3
5
c) f ( x ) = 5 x 3 = x 5 → f ´( x ) = x 5 = x
d) f ( x ) =
2
5
=
3
55 x 2
1
−4
= x −4 → f ´( x ) = −4 ⋅ x −4−1 = −4 x −5 = 5
x4
x
b) f ´( x ) = 3 x ln 3
a) f ´( x ) = 2 x ln 2
a) f ´( x ) =
−
1
x ln 2
b) f ´( x ) =
1
x ln 3
c) f ´( x ) = x
1
+1
x2
−
2
3
+
1
3
−
1
x ln 4
3 − 41
1
3
x =
+ 4
4
33 x2 4 x
d) f ´( x ) = 3 x ln 3 −
1
1+ x 2
2
3
4
a) f ´( x ) = 6 x 2 + 8 x − 8
c) f ´( x ) = 7 ⋅ x 3 − 3 ⋅ x
b) f ´( x ) = 2 cos x − 3(−sen x ) = 2 cos x + 3 sen x
d) f ´( x ) = −
2
3
a) f ´( x ) = 1⋅ 3 x 2 + x ⋅ x
−
1
3
= 3 x2 +
b) f ´( x ) = 1⋅ e x + x ⋅ e x
c) f ´( x ) = 1⋅ sen x + x ⋅ cos x
476
c) f ´( x ) =
1
3
a) f ´( x ) = 3 x 2 + 2 x − 1
b) f ´( x ) = −
c) f ´( x ) = 4 x ln 4
23 x 2
5
= 3 x2
3
3
1
−5
2x2
−
1
4
=
7
33 x2
−
9
44 x
10
Derivada de una función
1
x
d) f ´( x ) = 1⋅ ln x + x ⋅ = ln x + 1
e) f ´( x ) = cos x ⋅ cos x + sen x ⋅ (−sen x ) = cos2 x − sen2 x
1
x
1
x
f) f ( x ) = ( x 2 + 1) ⋅ → f ´( x ) = 2 x ⋅ + ( x 2 + 1) ⋅
−1
1
1
= 2 − 1− 2 = 1− 2
x2
x
x
g) f ´( x ) = (2 x + 2) ⋅ sen x + ( x 2 + 2 x ) ⋅ cos x
h) f ´( x ) = ( e x − 1) ⋅ ln x +
ex − x
x
a) f ´( x ) = 6 x ⋅ log 2 x + 3 x 2 ⋅
1
3x
= 6 x log 2 x +
x ln 2
ln 2
b) f ´( x ) = e x ⋅ sen x + e x ⋅ cos x = e x ( sen x + cos x )
c) f ´( x ) =
1
33 x2
⋅ cos x − 3 x ⋅ sen x
d) f ´( x ) = −sen x ⋅ tg x + cos x ⋅ (1+ tg 2 x ) = −sen x ⋅ tg x + cos x ⋅
1
−sen2 x
1
=
+
= cos x
2
cos x
cos x
cos x
e) f ´( x ) = 4 sen x + 4 x cos x + 3 x 2cos x − x 3 sen x = (4 − x 3 ) sen x + (4 x + 3 x 2 ) cos x
1 1
−4
1
+ ln x ⋅ 5 + 2 x ⋅ e x + x 2 ⋅ e x = 5 (1− 4 ln x ) + x e x (2 + x )
x x4
x
x
f) f ´( x ) = ⋅
g) f ´( x ) = (cos x + sen x ) tg x + ( sen x − cos x )(1+ tg 2 x )
h) f ´( x ) = 4 ⋅ x + 4 x ⋅
a) f ´( x ) =
1
cos x sen x
cos x sen x
+
−
=6 x +
−
x
x2
x
x2
2 x
1⋅ x − ( x + 2) ⋅ 1
2
=− 2
x2
x
1
⋅ (3 x + 4) − x ⋅ 3
−3 x + 4
2
b) f ´( x ) = x
=
(3 x + 4)2
2 x ⋅ (3 x + 4)2
c) f ´( x ) =
(2 x + 1)( x + 1) − ( x 2 + x − 3) ⋅ 1 x 2 + 2 x + 4
=
( x + 1)2
( x + 1)2
477
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) =
cos x ⋅ x 3 − sen x ⋅ 3 x 2
x cos x − 3 sen x
=
x6
x4
1
⋅ cos x − x ⋅ (−sen x )
cos x + 2 x sen x
2
b) f ´( x ) = x
=
cos 2 x
2 x cos 2 x
c) f ´( x ) =
a) f ´( x ) =
(cos x + 2) ⋅ ( x − 3) − ( sen x + 2 x ) ⋅ 1 ( x − 3) ⋅ cos x − 6 − sen x
=
( x − 3)2
( x − 3)2
2x +1
2 x +x
2
a) f ´( x ) = −2 cos x sen x
2
b) f ´( x ) =
b) f ´( x ) =
3 ( arc sen x )
1− x
2
−5
1
⋅
 x  ( x − 5)2
cos 

 x − 5 
c) f ´( x ) =
1
x
2
c) f ´( x ) = e x +7 x −4 ⋅ (2 x + 7)
2
SABER HACER
f ´( x ) =
3 ⋅ mx 2 − (3 x + m) ⋅ 2mx
m2 x 4
f ´(−1) =
3 m + 2m ⋅ (−3 + m) −3 m + 2m2
3
=
= − + 2 = 5 → m = −1
m2
m2
m
Una función es derivable si también es continua, así que primero analizamos si la función es continua en x = −1:
lim f ( x ) = −k + 2
 → Para que sea continua −k + 2 = k → k = 1.

lim+ f ( x ) = k
x →−1

x →−1−
f(x) solo es continua para k = 1, por tanto, solo puede ser derivable para este valor. Analizamos la derivabilidad
para este valor:
si x < 1
1
f ´( x ) =  2
3 x − 1 si x ≥ 1
lim f ´( x ) = 1 
 → f(x) no es derivable para ningún valor de k.
lim+ f ´( x ) = 2
x →−1

x →−1−
478
10
Derivada de una función
π
 1
2π
π
3
3
f ´  = 2 cos
+ sen = 2 ⋅ −  +
= −1 +

 3 
 2
3
3
2
2
 π
2π
π
3 −1
f   = sen
− cos =
 3 
3
3
2
 π 3 − 1
 es:
La ecuación de la recta tangente en el punto P  ,

 3
2

 3 − 1 




 = −1+ 3  x − π  → y =  3 − 1 x + π − 3π + 3 − 1
y − 







 2
2 
3
3
6
2
 2  

f ´( x ) = 3 x 2 − 3 = 0 → x = ±1
x = 1 → f (1) = −2 → A(1, − 2)
x = −1 → f (−1) = 2 → B(−1, 2)
 1
1 2
f ´  = f ´(−1) → 3( k − 1) + − k = 3(k − 1) − 2 − k → k = 2
 3 
9 3
f ´( x ) = 3( k − 1) x 2 + 2 x − k

x2 
y = 4 1− 
9 

f ´( x ) =
x=
12
6
→y=
5
5
 −8 x 
1
4x
⋅ 
 = −
2 


9


x
x2 
2 4 1− 
9 4 1− 


9
9 

 12 
8
f ´  = −
 5 
9
 12 6 
La ecuación de la recta tangente en el punto P  ,  es:
 5 5
6
8 
12 
8
96 6
8
10
y − = − ⋅  x −  → y = − x + + → y = − x +
5
9 
5
9
45 5
9
3
f ´( x ) = 2e2 x + cos x → f ´´( x ) = 4e2 x − sen x → f ´´´( x ) = 8e2 x − cos x
479
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) = 3(4 x 2 + 5 x − 2)2 (8 x + 5)
1
5
−
4
b) f ´( x ) = sen 5 x ⋅ cos x =
c) f ´( x ) = −
d) f ´( x ) =
cos x
5
5 sen4 x
3
(1+ tg 2 x )
tg 4 x
4
−
−1 2
x − 7 x − 12) 3 ⋅ (2 x − 7) =
(
3
7 − 2x
3
(x
2
4
− 7 x − 12)
2
a) f ´( x ) = 53 x −2 x +1 ln 5 ⋅ (6 x − 2)
2
2
b) f ´( x ) = 7cos x ln 7 ⋅ 2 x ⋅ (−sen x 2 ) = −7cos x ln 7 ⋅ 2 x sen x 2
a) f ´( x ) =
1
1
1
⋅
⋅2 =
2x
2x 2 2x
1 −2 −2
⋅
=
1 x3
x
2
x
1
2 x
a) f ´( x ) = 2 1+ tg 2 (2 x − 5)
b) f ´( x ) = −sen ( x )
a) ln f (x) = ln ( x + 1)x  = x ln( x + 1)
b) ln f ( x ) = ln ( x 2 + 1)  = x 3 ln( x 2 + 1)

480
b) f ´( x ) =



x3


f ´( x )
1
= 1⋅ ln( x + 1) + x ⋅
f (x)
x +1
f ´( x )
1
2x4
= 3 x 2 ⋅ ln( x 2 + 1) + x 3 ⋅ 2
⋅ 2 x = 3 x 2 ln( x 2 + 1) + 2
f (x)
x +1
x +1

x 
x
 ( x + 1)
f ´( x ) = ln( x + 1) +

x + 1

x3
2 x 4  2
f ´( x ) =  3 x 2 ln( x 2 + 1) + 2
x + 1)
(


x + 1

10
Derivada de una función
a) f ´( x ) =
3x2 +1
b) f ´( x ) =
2
1− ( x + x )
3
a) f ´( x ) = 2 x cos x 2 e sen x
2
1
−1
−1
⋅
= 2
2
x +1
 1  x 2
1+  
x
b) f ´( x ) =
1
2 ln x
3
⋅3
1
1
1
⋅
=
x 3 3 x 2 6 x ln 3 x
ACTIVIDADES FINALES
T .V .M.([ –3, – 1]) =
T .V .M.([ –5, 2]) =
f (−1) − f (−3) 4 − 22
=
= −9
−1− (−3)
2
f (2) − f (−5) 7 − 56
=
= −7
2 − (−5)
7
T .V .M.([0, 3 ]) =
f (3) − f (0) 16 − 1
=
=5
3−0
3
T .V .M.([1, 4]) =
f (4) − f (1) 29 − 2
=
=9
4 −1
3
481
10
Derivada de una función
a) T .V .M.([ –1, 1]) =
f (1) − f (−1) 1− (−1)
=
=1
1− (−1)
1− (−1)
b) T .V .M.([3, 4]) =
7 21
f (4) − f (3)
= 7− =
4−3
4 4
π
f (π) − f  
  π  
2
 2 0 −1

c) T .V .M. , π =
=
=−
π
π
  2  
π
π−
2
2
d) T .V .M.([2, 10 ]) = 7 + 2 ⋅ 8 = 23
1
1
f (1+ h) − f (1) 1+ h − 1 1− (1+ h)
−1
=
=
=
1+ h − 1
h
h (1+ h)
(1+ h)
a) h = 1 →
b) h = 2 →
−1
(1+ 1)
=−
−1
(1+ 2)
1
2
=−
1
3
f (2) − f (0) 3 + 2a − (−5)
=
= 4 + a = 1 → a = −3
2−0
2
482
c) h = 4 →
d) h = 9 →
−1
(1+ 4)
−1
(1+ 9)
=−
=−
1
10
1
5
Derivada de una función
10
Respuesta abierta. Por ejemplo:
Porque la gráfica de la función es una recta de pendiente 2, y esta indica su variación en cualquier intervalo.
f) f ´(0) = hlim
→0
f ( h) − f (0)
h
h3 + 5 − 5
=0
h →0
h
= lim
483
Derivada de una función
484
10
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) = 2( x + 2) → f ´(2) = 8
d) f ´( x ) =
b) f ´( x ) = −2 → f ´(0 ) = −2
e) f ´( x ) =
c) f ´( x ) =
−7
2
( x − 4)
→ f ´(1) = −
−3
3
→ f ´(−1) = −
2 2−3x
2 5
−5
3
2 ( x + 1)
→ f ´(8) = −
5
54
7
9
 3
La parábola pasa por los puntos 0,  , (1, 1), (3, 3). Sustituyendo estos puntos en la ecuación cuadrática

2
f(x) = ax + bx + c, obtenemos la función:
2

1
  a =
3
= a ⋅ 0 2 + b ⋅ 0 + c 
2
 
2
 → b = −1
1= a + b + c
 
 
3
3 = 9a + 3b + c   c =
2

a) f ´(−1) = −2
b) f ´(0 ) = −1
f ( x) =
1 2
3
x − x + → f ´( x ) = x − 1
2
2
c) f ´(1) = 0
d) f ´(3) = 2
485
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) = 6 x + 4 → f ´(−2) = −8
b) f ´( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1 → f ´(3) = 22
c) f ´( x ) = 8 x − 1 → f ´(0) = −1
f ´( x ) = 2 x
La derivada f´(a) es la pendiente de la recta tangente en el punto P(a, f(a)).
Cortes con el eje X: (2, 0), (−2, 0).
f ´(2) = 4
f ´(−2) = −4
Corte con el eje Y: (0, −4).
f ´(0 ) = 0
La tangente a la curva f(x) es horizontal cuando la pendiente de la recta tangente es cero, es decir, cuando la
derivada es cero.
a) f ´( x ) = 3 x 2 + 6 x = 3 x ( x + 2) = 0 → x1 = 0, x 2 = −2
Es horizontal en los puntos (0, 0) y (−2, 4).
b) f ´( x ) = 3 x 2 + 6 x + 3 = 0 → x1 = x 2 = −1
Es horizontal en el punto (−1, −1).
c) f ´( x ) = 3 x 2 + 12 x + 9 = 0 → x1 = −1, x 2 = −3
Es horizontal en los puntos (−1, −5) y (−3, −1).
a) f ´( x ) = 6 x → f ´(1) = 6
f (1) = 2
y − 2 = f ´(1) ⋅ ( x − 1) → y − 2 = 6 ⋅ ( x − 1) → y = 6 x − 4
486
10
Derivada de una función
b) f ´( x ) = 3 x 2 → f ´(2) = 12
f ( 2) = 8
y − 8 = f ´(2) ⋅ ( x − 2) → y − 8 = 12 ⋅ ( x − 2) → y = 12 x − 16
c) f ´( x ) = 2 x − 2 → f ´(1) = 0
f (1) = −1
y − (−1) = f ´(1) ⋅ ( x − 1) → y + 1 = 0 → y = −1
d) f ´( x ) = −
1
→ f ´(−1) = −1
x2
f (−1) = −1
y − (−1) = f ´(−1) ⋅  x − (−1) → y + 1 = −1⋅ ( x + 1) → y = − x − 2
a) Tenemos que hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en x = 1.
f ´( x ) = 4 x → f ´(1) = 4
f (1) = −2
y − (−2) = f ´(1) ⋅ ( x − 1) → y + 2 = 4 ⋅ ( x − 1) → y = 4 x − 6
b) Tenemos que hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en x = −1.
f ´( x ) = 3 x 2 − 2 x → f ´(−1) = 5
f (−1) = −2
y − (−2) = f ´(−1) ⋅  x − (−1) → y + 2 = 5 ⋅ ( x + 1) → y = 5 x + 3
f ´( x ) = 2 x + 2
a) f ´(2) = 6
f (2) = 3
y − 3 = 6 ⋅ ( x − 2) → y = 6 x − 9
c) −2 = x 2 + 2 x − 5 → x1 = 1, x 2 = −3
f ´(1) = 4 → y + 2 = 4 ⋅ ( x − 1) → y = 4 x − 6
f ´(−3) = −4 → y + 2 = −4 ⋅ ( x + 3) → y = −4 x − 14
b) f ´(−1) = 0
f (−1) = −6
y − (−6) = 0 → y = −6
d) El punto de corte con el eje Y es (0, −5):
f ´(0 ) = 2 → y − (−5) = 2 ⋅ x → y = 2 x − 5
487
10
Derivada de una función
f ´( x ) = 3 x 2 + 6 x
a) Los puntos de corte con el eje X son (0, 0) y (−3, 0).
El punto de corte con el eje Y es (0, 0).
f ´(0 ) = 0
La recta tangente en (0, 0) es y = 0.
f ´(−3) = 9 → y − 0 = 9 ⋅  x − (−3) → y = 9 x + 27
b) f ´(1) = 9
f (1) = 4
y − 4 = 9 ⋅ ( x − 1) → y = 9 x − 5
c) 4 = x 3 + 3 x 2 → x1 = 1, x 2 = x 3 = −2
El caso x1 = 1 coincide con el apartado b).
f ´(−2) = 0 → y − 4 = 0 → y = 4
f ´( x ) =
1
→ f ´(1) = 1
x
f (1) = 2
y − 2 = 1⋅ ( x − 1) → y = x + 1
Como tiene que ser paralela a la recta y = x + 1, la pendiente debe ser 1, es decir, la derivada debe valer 1.
f ´( x ) = 3 x 2 = 1 → x1 =
1
1
, x2 = −
3
3
 1 
1
1
1
2
f   =
→y−
= x−
→ y = x−
3 3
3
3 3
 3  3 3


 1  = − 1 → y − − 1  = x − − 1  → y = x + 2
f −


 3 
 3 3 

3 3
3 
3 3


Como y = 3x + 6, la pendiente de la recta es 3.
a) f ´( x ) = 2 x + 4 = 3 → x = −
1
2

 1
 15 
 1
15
9
f −  = − → y − −  = 3 ⋅  x − −  → y = 3 x −

 2 
 4 
 2 
4
4
488
10
Derivada de una función
b) f ´( x ) =
3 (1− x ) − 3 x ⋅ (−1)
2
(1− x )
=
 x1 = 0 → f (0) = 0 → y = 3 x
= 3 → 
(1− x )
 x 2 = 2 → f (2) = −6 → y − (−6) = 3 ( x − 2) → y = 3 x − 12
3
2
 x1 = 1 → f (1) = −3 → y − (−3) = 3 ( x − 1) → y = 3 x − 6
c) f ´( x ) = 3 x 2 = 3 → 
 x 2 = −1 → f (−1) = −5 → y − (−5) = 3  x − (−1) → y = 3 x − 2



d) f ´( x ) =
6 x ⋅ x − 3 x2 −1 3 x 2 −1
=
= 3 → 3 x 2 − 1 = 3 x 2 → −1 = 0 → No tiene solución.
x2
x2
Como y = x + 6, la pendiente de la recta es 1.
f ´( x ) =
x +3− x
2
( x + 3)
=
 x = −3 + 3 → f −3 + 3 = − 3 + 1 → y − − 3 + 1 = x − −3 + 3
(
)
(
)
(
)
 1
=
→
1

2
 x = −3 − 3 → f −3 − 3 = 3 + 1 → y = x + 4 + 2 3
( x + 3)
(
)
 2
3
Como la recta tangente al vértice es horizontal, la pendiente tiene que ser cero, es decir, la derivada tiene que ser
cero.
a) f ´( x ) = 2 x − 4 = 0 → x = 2, f (2) = 2
V(2, 2)
b) f ´( x ) = −2 x + 2 = 0 → x = 1, f (1) = 0
V(1, 0)
c) f ´( x ) = −2 x + 2 = 0 → x = 1, f (1) = 2
V(1, 2)
d) f ´( x ) = 4 x + 4 = 0 → x = −1, f (−1) = −5
V(−1, −5)
e) f ´( x ) = 6 x − 6 = 0 → x = 1, f (1) = 2
V(1, 2)
f) f ( x ) = ( x − 1)(2 x + 5) = 2 x 2 + 3 x − 5
3  3
49
f ´( x ) = 4 x + 3 = 0 → x = − , f −  = −
4  4 
8
 3 49 
V − ,− 
 4
8
a) f ´( x ) = 2 x − 1
f ´(2) = 3
 → y − 2 = 3 ( x − 2) → y = 3 x − 4
f (2) = 2
f ´(0 ) = −1
 → y = −x
f (0 ) = 0 
El punto de corte de las dos rectas es:
y = − x 
 → 3 x − 4 = − x → x = 1, y = −1 → P(1, − 1)
y = 3 x − 4
489
10
Derivada de una función
b) f ´( x ) = 2 x − 4
f ´(2) = 0 
 → y − (−2) = 0 → y = −2
f (2) = −2
f ´(0 ) = −4
 → y − 2 = −4 x → y = −4 x + 2
f (0 ) = 2 
El punto de corte de las dos rectas es:

y = −2
 → y = −2, x = 1 → P(1, − 2)
y = −4 x + 2
c) f ´( x ) = 2 x
f ´(2) = 4
f ( 2) = 5
y − 5 = 4 ( x − 2) → y = 4 x − 3
f ´(0 ) = 0
f (0 ) = 1
y −1= 0 → y = 1
El punto de corte de las dos rectas es:
y = 4 x − 3
 → y = 1, x = 1 → P (1, 1)

y =1
d) f ´( x ) =
1
x +1
1 
1
1
2

3  → y − ln 3 = ( x − 2) → y = x − + ln 3

3
3
3
f (2) = ln 3
f ´(2) =
f ´(0 ) = 1 
→ y = x
f (0 ) = 0
El punto de corte de las dos rectas es:

1
2
x − + ln 3


3
3
3
3
3
 → y = x = −1+ ln 3 → P −1+ ln 3, − 1+ ln 3



2
2
2
y=x

y=
La recta tangente tiene pendiente 2 en los puntos en los que la derivada es 2.
f ´( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1 = 2 → x1 = 1, x 2 = −
f ´( x ) =
x + 2 − ( x − 2)
a) f ´( x ) =
2
( x + 2)
4
2
( x + 2)
=
1
3
 1 13 
A(1, 1), B− , − 
 3
27 
4
2
( x + 2)
= 1 → x1 = 0, x 2 = −4
La recta tangente a la curva tiene pendiente 1 en los puntos de abscisa 0 y −4.
b) f ´( x ) =
4
2
( x + 2)
= 4 → x1 = −1, x 2 = −3
La recta tangente a la curva tiene pendiente 4 en los puntos de abscisa −1 y −3.
490
10
Derivada de una función
c) f ´( x ) =
4
2
( x + 2)
≠0
No existen puntos en los que la recta tangente a la curva sea paralela al eje X.
d) f ´( x ) =
4
2
( x + 2)
=
1
→ x1 = 2, x 2 = −6
4
La recta tangente a la curva tiene pendiente
f ´( x ) = 2 ax
1
en los puntos de abscisa 2 y −6.
4
g ´( x ) = 2 x + 3
Necesitamos que coincidan en el punto x = 3, es decir, que f (3) = g (3) .
También necesitamos que la pendiente sea la misma en ese punto, es decir, que f ´(3) = g ´(3) .
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
9 a − 1 = 9 + 9 + b
3
11
→ a= , b =−
2 ⋅ 3 a = 2 ⋅ 3 + 3 
2
2
a) f ´( x ) = 2 x − 2
f ´(2) = 2
f ( 2) = 0
La recta tangente es: y = 2( x − 2)
1
2
La recta normal es: y = − ( x − 2)
b) f ´( x ) = −2 x
f ´(3) = −6
f (3) = −7
La recta tangente es: y + 7 = −6 ( x − 3)
1
6
1
6
La recta normal es: y + 7 = ( x − 3) → y = x −
c) f ´( x ) = 3 x 2
f ´(1) = 3
15
2
f (1) = 1
La recta tangente es: y − 1 = 3 ( x − 1)
1
3
1
3
La recta normal es: y − 1 = − ( x − 1) → y = − x +
4
3
491
10
Derivada de una función
d) f ´( x ) = −
1
x2
f ´(−1) = −1
f (−1) = −1
La recta tangente es: y + 1 = −( x + 1)
La recta normal es: y + 1 = x + 1 → y = x
1
2
Como la pendiente de la recta paralela a la recta normal es 2, la pendiente de la recta tangente deberá ser − .
 1 1
f −  =
 4  16
1
1
f ´( x ) = 2 x = − → x = −
2
4
La ecuación de la recta normal es: y −
f ´( x ) = 6 x 2 − 3

1
1
9
= 2  x +  → y = 2 x +



16
4
16
f ´(−1) = 3
f (−1) = 1
La recta tangente a la curva es: y − 1 = 3 ( x + 1) → y = 3 x + 4
1
3
1
3
La recta normal a la curva es: y − 1 = − ( x + 1) → y = − x +
2
3
a) f ´( x ) = 3 ⋅ 23 x−8 ⋅ ln 2
La ecuación de la recta tangente es: y − 2 = 6 ln 2( x − 2) → y = 6 ln 2( x − 2) + 2
La ecuación de la recta normal es: y − 2 = −
492
1
1
( x − 2) → y = −
( x − 2) + 2
6 ln 2
6 ln 2
10
Derivada de una función
d) f ´( x ) =
1
2x
⋅ 2x = 2
x2 +1
x +1
La ecuación de la recta tangente es: y = 0
La ecuación de la recta normal es: x = 0
a) f ´( x ) = 12 x 3 − 4 x − 7
b) f ´(−2) = 12 ⋅ (−2)3 − 4 ⋅ (−2) − 7 = −95
f ´(0 ) = 12 ⋅ 0 3 − 4 ⋅ 0 − 7 = −7
f ´(1) = 12 ⋅ 13 − 4 ⋅ 1− 7 = 1
a) f ´( x ) = 12 x 3 − 15 x 2 + 1
b) f ´(3) = 12 ⋅ 33 − 15 ⋅ 32 + 1 = 190
3
2
f ´(−2) = 12 ⋅ (−2) − 15 ⋅ (−2) + 1 = −155
f ´(0 ) = 12 ⋅ 0 3 − 15 ⋅ 0 2 + 1 = 1
c) f ´(4 − 8) = 12 ⋅ (−4)3 − 15 ⋅ (−4)2 + 1 = −1007
f ´(4) = 12 ⋅ 4 3 − 15 ⋅ 42 + 1 = 529
f ´(8) = 12 ⋅ 8 3 − 15 ⋅ 82 + 1 = 5 185
f ´(4) − f ´(8) = −4 656 ≠ −1007 = f ´(4 − 8)
493
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) = −9 x 2 + 10 x − 1
c) f ´( x ) = 3 x 2 + 2
b) f ´( x ) = −8 x 3 + 36 x + 1
d) f ´( x ) = 6 x 5 − 20 x +
3
x4
a) f ´( x ) = 20 x 3 + 9 x 2 − 14 x + 12
b) f ´( x ) =
(6 x − 5)( x + 1) − (3 x 2 − 5 x ) 3 x 2 + 6 x − 5
=
2
2
( x + 1)
( x + 1)
c) f ´( x ) =
−3 ⋅ 2 x + 8
= −3 x + 4
2
a) f ´( x ) = (10 x − 3)( x 4 − 2 x + 5) + (4 x 3 − 2)(5 x 2 − 3 x ) = 30 x 5 − 15 x 4 − 30 x 2 + 62 x − 15
b) f ´(−3) = 30 ⋅ (−3)5 − 15 ⋅ (−3)4 − 30 ⋅ (−3)2 + 62 ⋅ (−3) − 15 = −8 976
f ´(0 ) = 30 ⋅ 0 5 − 15 ⋅ 0 4 − 30 ⋅ 0 2 + 62 ⋅ 0 − 15 = −15
f ´(2) = 30 ⋅ 25 − 15 ⋅ 24 − 30 ⋅ 22 + 62 ⋅ 2 − 15 = 709
a) f ´( x ) = 6 x ⋅ 4 x + (3 x 2 − 1)⋅ 4 = 36 x 2 − 4
 2 x − 3 
 2  −18 x 2 + 22 x − 5
2
 + (−3 x + x − 1)  =
 3 
3
3
b) f ´( x ) = (−6 x + 1)
c) f ´( x ) = 2 (5 x − 3)( x 2 − 3 x + 1) + 2 x 5( x 2 − 3 x + 1) + (5 x − 3)(2 x − 3) = 40 x 3 − 108 x 2 + 56 x − 6
494
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) =
3 ( x 2 − 5 x ) − (3 x − 1)(2 x − 5)
(x
2
2
− 5x )
2
b) f ´(−1) =
f ´(1) =
(−1)2 − 5 ⋅ (−1)


−3 ⋅ 12 + 2 ⋅ 1− 5
a) f ´( x ) =
b) f ´( x ) =
c) f ´( x ) =
d) f ´( x ) =
f ´( x ) =
−3 ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−1) − 5
=−
2
(1 − 5 ⋅ 1)
2
2
=−
=
−3 x 2 + 2 x − 5
10
5
=−
36
18
6
3
=−
16
8
(21x 2 − 2)( x − 2) − (7 x 3 − 2 x + 4)
2
( x − 2)
24 x 3 (7 x 2 − x + 3) − 6 x 4 (14 x − 1)
(7 x
−4
(x
2
2
− 1)
2
2
− x + 3)
⋅ 2x =
2
(x2 − 5x)
f ´(2) =
=
=
−3 ⋅ 22 + 2 ⋅ 2 − 5
2
( 2 2 − 5 ⋅ 2)
=−
13
36
14 x 3 − 42 x 2
2
( x − 2)
84 x 5 − 18 x 4 + 72 x 3
2
(7 x 2 − x + 3 )
−8 x
2
( x 2 − 1)
(2 x − 1)(2 x 2 − x ) − ( x 2 − x + 3)(4 x − 1)
2
(2 x 2 − x )
=
x 2 − 12 x + 3
2
(2 x 2 − x )
( x + 1) − ( x − 1) ( x − 1) − ( x + 1)
2
2
8x
+
=
−
=−
2
2
2
2
2
2
( x + 1)
( x − 1)
( x + 1) ( x − 1)
( x − 1)
7
3
4
3
2
1
2
a) f ´( x ) = x 3 =
73 x4
3
1
5
−
4
c) f ( x ) = 5 x − 10 x 7 → f ´( x ) = x 5 −
7 −103
1
7
x =
−
5
10
4
10
5 x
10 x 3

1 
⋅ (1− 3 x ) − x ⋅ − 3 2 

2 x
 3 x 
1
3
5
b) f ´( x ) = x − x
4
−
5
=
3 x
3
−
2
55 x 4
d) f ´( x ) =
2
(1− x )
3
=
33 x2 − x
2
6 6 x 7 (1− 3 x )
495
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) =
(2 x − 4)(5 x + 2) − ( x 2 − 4 x )5
1
5x2 + 4x −8
1
−
=
−
2
2
2 x
2 x
(5 x + 2)
(5 x + 2)
b) f ( x ) =
(2 x + 2)( x 2 − 3 x + 2) − ( x 2 + 2 x − 15)(2 x − 3) −5 x 2 + 34 x − 41
x 2 + 2 x − 15
→ f ´( x ) =
=
2
2
2
x −3x + 2
( x 2 − 3 x + 2)
( x 2 − 3 x + 2)
c) f ´( x ) =
(2 x − 3)(2 x 2 − x ) − ( x 2 − 3 x − 1)(4 x − 1)
2
(2 x 2 − x )
2
f (x) =
2 x 2 + x − 3  1 
2x + 3
1
+   =
+ 2 → f ´( x ) =
 x 
x 2 −1
x +1
x
1
x
a) f ´( x ) = + e x
b) f ´( x ) = 2 x log x + x 2
c) f ´( x ) = 2 x log 2 x +

1
1 

= x 2 log x +

x ln 10
ln 10 
x2 + 3
x ln 2
1 x
⋅ e − (ln x + 4) ⋅ e x 1− x ln x − 4 x
x
d) f ´( x ) =
=
e2 x
xe x
1 x
⋅ e − ln x ⋅ e x 1− x ln x
x
e) f ´( x ) =
=
e2 x
xe x
f) f ´( x ) = 5e x − 3 x ln 3
496
1
x − x +5
5x 2 + 4 x −1
x + 10
2 x +5
+
=
− 2
2
2
2
x
2
x
x +5
2
x
−
x
(
)
1
2x + 3
2
x +1


− x +1
2
 2 ( x + 1) − (2 x + 3) 2
⋅ 
− 3
 − 3 =
2
2

 x
x
2 2 x + 3 ( x + 1)
( x + 1)
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) = 4 x 3 + 21x 2
b) f ´( x ) =
3x2 − 4
2 x3 −4x
f ´´( x ) = 12 x 2 + 42 x
f ´´( x ) =
f ´´´( x ) = 24 x + 42
3 x 4 − 24 x 2 − 16
3
4 ( x 3 − 4 x )2
f ´´´( x ) =
−3 ( x 6 − 20 x 4 − 80 x 2 + 64)
5
8 ( x 3 − 4 x )2
497
10
Derivada de una función
c) f ´( x ) = 2 x cos x 2
f ´´( x ) = 2 cos x 2 − 4 x 2 sen x 2
f ´´´( x ) = −12 x sen x 2 − 8 x 3 cos x 2
d) f ´( x ) = 2e2 x
f ´´( x ) = 4 e2 x
f ´´´( x ) = 8 e2 x
a) f ´( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1
f ´´( x ) = 6 x + 4
b) f ´( x ) =
1
2 x −2
f ´´( x ) = −
c) f ´( x ) =
1
x
f ´´( x ) = −
f ´´´( x ) = 6
1
f ´´´( x ) =
3
4 ( x − 2)
1
x2
f ´´´( x ) =
3
5
8 ( x − 2)
2
x3
d) f ´( x ) = (cos x − sen x ) e sen x +cos x
2
f ´´( x ) = (cos x − sen x ) e sen x +cos x − e sen x +cos x ( sen x + cos x )
3
f ´´´( x ) = e sen x +cos x (cos x − sen x ) − 3 (cos 2 x − sen2 x ) − (cos x − sen x )


a) f ´( x ) = −9 x 2 + 8 x − 3
b) f ´( x ) =
a) f ´( x ) =
f ´´( x ) = −18 x + 8 = 0 → x =
2x
x +2
f ´´( x ) =
2
2 x ( x + 3) − x 2
2
( x + 3)
=
x2 + 6x
2
( x + 3)
−2 x 2 + 4
2
( x 2 + 2)
4
9
=0→ x =± 2
= 0 → x1 = 0, x2 = −6
2
b) f ´´( x ) =
(2 x + 6)( x + 3) − 2( x 2 + 6 x )( x + 3)
18
=
≠0
4
3
( x + 3)
( x + 3)
No existe ningún valor de x que anule la segunda derivada.
Calculamos las primeras derivadas:
−2
−3
f ´( x ) = −2 ⋅ ( x − 1)
f ´´( x ) = 4 ( x − 1)
La derivada n-ésima es de la forma:
n
−( n+1)
f n ( x ) = (−1) 2 ⋅ n!( x − 1)
498
−4
f ´´´( x ) = −12 ( x − 1)
−5
f IV ( x ) = 48 ( x − 1)
10
Derivada de una función
a) f(x) = g[h(x)], donde g ( x ) = ln x y h( x ) = 2 x 2 → f ´( x ) =
2
x
b) f(x) = g[h(x)], donde g ( x ) = log 3 x y h( x ) = x 2 − 1 → f ´( x ) =
2x
( x 2 − 1) ln 3
c) f(x) = g[h(x)], donde g ( x ) = 10 x y h( x ) = x + 3 → f ´( x ) = 10 x +3 ln 10
d) f(x) = g[h(x)], donde g ( x ) = e x y h( x ) = 3 x → f ´( x ) = 3e3 x
e) f(x) = g[h(x)], donde g ( x ) = cos x y h( x ) = 3 x − 1 → f ´( x ) = −3 sen(3 x − 1)
f) f(x) = g[h(x)], donde g ( x ) = sen x y h( x ) = x 2 − 3 → f ´( x ) = 2 x cos ( x 2 − 3)
a) f ´( x ) =
2
3
2 x + 1 3 x (2 x + 1) − 2 x
4x + 3
⋅
=
2
3
x
x
(2 x + 1)
2
x
+
1
(
)
b) f ´( x ) = e x ln x +
ex
x
499
10
Derivada de una función
c) f ´( x ) = e
d) f ´( x ) =
3 x 2 −1
x
 6 x ⋅ x − (3 x 2 − 1)
3 x 2 −1 
3 x 2 + 1


 = e x 

2
2
x
 x



4e4 x +1 (1+ x 4 ) − 4 x 3 e4 x +1
2
(1+ x 4 )
=
4e4 x +1 (1− x 3 + x 4 )
2
(1+ x 4 )
2
e) f ´( x ) =
x − 7 1 4 x ( x − 7) − 2 x
x − 14
⋅
⋅
=
2
2 x 2 ln 2
x ( x − 7) ln 2
( x − 7)
ln x +2
f) f ´( x ) = 3 ( ) ln 3 ⋅
4
3
g) f ´( x ) = x
e− x
2
−x
1
⋅ 4x3
x4 + 2
− ln x 3 ⋅ e− x
e
2
−x
⋅ (−2 x − 1)
=
−2 x 2 −2 x
1
h) f ´( x ) =
1
x
e
e3 x + e x
2
+x
 −1
 3 + (2 x 2 + x ) ln x 3 


x
1
(3e3 x + e x ) e x − (e3 x + e x )⋅  x 2  e x
e
2
x
=3+
1
x2
 x − 1
1
sen 
 x 
x2
a) f ´( x ) = 6 x cos 3 x 2
e) f ´( x ) = −
b) f ´( x ) = −2 x sen ( x 2 + 1)
f) f ´( x ) = (1+ tg 2 x − 1) ⋅
c) f ´( x ) = 1+ tg 2 ( x 2 − 3 x ) ⋅ (2 x − 3)
g) f ´( x ) = −cos 
d) f ´( x ) = cos x 2 + 3 x ⋅
500
ex
1
2 x + 3x
2
⋅ (2 x + 3 )
1
2 x −1


x
3 x 4 −1
⋅
 − x 4 + x − 1 (− x 4 + x − 1)2


h) f ´( x ) = 1+ tg 2
2 
1
⋅
1− x  (1− x )3
10
Derivada de una función
4
a) f ´( x ) = 5(3 x 4 − 2 x + 1) (12 x 3 − 2)

3
2 
4
3
 x 4  1− x − x ⋅ (−3 x ) 5 x (1 + 2 x )
 =


2
6
3 

3
3
 1− x  
(1− x )
(1− x )


b) f ´( x ) = 5
2
c) f ´( x ) = 5 x 2 ( x 3 − 1)3
3
d) f ´( x ) = 8 (1+ 2e x ) e x
3
1
3
e) f ´( x ) = 4 ln3 ( x 2 − 1) ⋅
2
⋅ 3 ( x 2 − 1) ⋅ 2 x =
3
( x 2 − 1)
24 x ln3 ( x 2 − 1)
x 2 −1
5
f) f ´( x ) = −18e x (1− 3e x )
g) f ´( x ) = 4 x sen x 2 cos x 2 = 2 x sen(2 x 2 )
h) f ´( x ) = −3 cos2 ( x 2 − 7 x + 1)⋅ sen ( x 2 − 7 x + 1) ⋅ (2 x − 7)
i) f ´( x ) = 6 x 2 tg ( x 3 − 8) ⋅ 1+ tg 2 ( x 3 − 8)
2
j) f ´( x ) =
3 
1
1 
1
1
 sen + cos   sen − cos 
x 2 
x
x 
x
x
501
Derivada de una función
a) f ´( x ) = e(
(
2
x +1)
x + 1)
x
b) f ´( x ) =
2x − 2x2 + 2
x2 −1
c) f ´( x ) =

1 
2e x +


x
ln
2 
2 2e + log 2 3 x 
1
x
d) f ´( x ) = 2 ln(ln x ) ⋅
1 1
⋅
ln x x
e) f ´( x ) = 6 x cos x 2 + 4 sen x cos x
2
f) f ´( x ) =
6 sen( x 3 + 1) ⋅ ( x 3 + 1) x 2
2
cos 2 ( x 3 + 1)
g) f ´( x ) = 2 x sen  sen(tg x 2 ) cos (tg x 2 )(1+ tg 2 x 2 )
h) f ´( x ) =
2 x cos x 2 cos 2 x + 2 sen x 2 sen 2 x
sen x 2 cos 2 x
i) f ´( x ) = 2e2 x cos x 2 − 2 xe2 x sen x 2
j) f ´( x ) =
502
−2 x 2 sen x 3
3
cos x 3
10
10
Derivada de una función
4
 2 x 4 3 x 3 x 2 x 2 
−
−
+ + 
2
3
2 3 
 5
a) f ´( x ) = 5
 8 x 3 9 x 2 2 x 1
−
−
+ 

2
3
2 
 5




1


2
2  −3 
3 sen x cos x + 6 cos (3 x − 1) sen(3 x − 1) + 6 x 1 + tg  2
 2
2
 x + 2  ( x + 2) 



b) f ´( x ) = 
−3
3
2
2 sen x − cos (3 x − 1) + tg 2
x +2
4x +5
( x − 16) − 4 x 2 + 10 x − 1
 4 x 2 + 10 x − 1
 4 x 2 + 10 x − 1
4 x 2 + 10 x − 1
3
2






c) f ´( x ) = 4 tg 
1+ tg 
 ⋅
2
x − 16
x − 16
( x − 16)




d) f ´( x ) =
1
1
sen2 x − cos 2 x
1
3


 −2 sen 2 x
⋅ 
+ 1+ tg 2 x 
2
2
2

+ tg 2 x ( sen x − cos x )
1
2


e) ln f ( x ) = ( x 2 + 4) ln(−3 x 2 + 10 x − 1) − ln( x 4 − 4)

 3 −3 x 2 + 10 x − 1
f ´( x )
−6 x + 10
4 x 3 

 + ( x 2 + 4) 
= 2 x ln
−


2
4

f (x)
 3 (−3 x + 10 x − 1) 2 ( x − 1)
x4 −4


x



 3 −3 x 2 + 10 x − 1

−6 x + 10
2 x 3   3 −3 x 2 + 10 x − 1

 + ( x 2 + 4) 

f ´( x ) = 2 x ln
−
⋅


 



3 −3 x 2 + 10 x − 1) ( x 4 − 1)  

x4 −4
x4 −4


 (

2
+4
503
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) =
b) f ´( x ) =
c) f ´( x ) =
2x
d) f ´( x ) =
1− x 4
−4 (2 x − 1)
4
1− (2 x − 1)
1
1
⋅
2 x 1+ x
a) ln f ( x ) = 3 x ln( x 2 + 1)
f ´( x )
6x2
= 3 ln( x 2 + 1) + 2
f (x)
x +1

3x
6 x 2  2
f ´( x ) = 3 ln( x 2 + 1) + 2
( x + 1)

x + 1
b) ln f ( x ) = (3 x 2 − 7 x − 1) ln x
f ´( x )
3x2 − 7x −1
= (6 x − 7) ln x +
f (x)
x

3 x 2 − 7 x − 1 3 x 2 −7 x −1
 x
f ´( x ) = (6 x − 7) ln x +
x


c) ln f ( x ) = ln x ln(3 x 2 + 1)
2
f ´( x ) ln(3 x + 1)
6x
=
+ ln x ⋅ 2
f (x)
x
3x +1
2


ln x
 ln(3 x + 1) 6 x ln x 
(3 x 2 + 1)
f ´( x ) = 
+ 2



x
3 x + 1

d) ln f ( x ) = x ln( sen x 2 )
f ´( x )
2 x 2 cos x 2
= ln( sen x 2 ) +
f (x)
sen x 2

2 x 2 cos x 2 
f ´( x ) = ln( senx 2 ) +
sen x x 2

senx 2 

504
e) f ´( x ) =
f) f ´( x ) =
1
−2
⋅
2
( x − 1)
4x2
1−
2
( x − 1)
−2e2 x
1− e4 x
1
x (1 + ln2 x )
10
Derivada de una función
e) ln f ( x ) = 3 x ln(cos 2 x )
f ´( x )
sen 2 x
= 3 ln(cos 2 x ) + 6 x
f (x)
cos 2 x

sen 2 x 
f ´( x ) =  3 ln(cos 2 x ) + 6 x
cos 3 x 2 x


cos
2
x


f) ln f ( x ) =
x2
ln(− x 3 − 15)
5
f ´( x ) 2 x
3x4
=
ln(− x 3 − 15) +
f (x)
5
5 ( x 3 + 15)
2x

3x4


f ´( x ) =  ln(− x 3 − 15) +

3
 5
5 ( x + 15)

(
5
− x 3 − 15
)
x2
g) ln f ( x ) = sen x ln(− x 10 + 3 x 5 − 1)
(−10 x 9 + 15 x 4 ) sen x
f ´( x )
= cos x ln(− x 10 + 3 x 5 − 1) +
f (x)
− x 10 + 3 x 5 − 1

(−10 x 9 + 15 x 4 ) sen x  10
sen x

(− x + 3 x 5 − 1)
f ´( x ) = cos x ln(− x 10 + 3 x 5 − 1) +
10
5



−x + 3 x − 1


h) ln f ( x ) = −5 x 3 + 4 x − 1
f ´( x )
= −15 x 2 + 4
f (x)
f ´( x ) = (−15 x 2 + 4) e−5 x
3
+4 x −1
f ( 0 ) = c = −3
f ( 2) = 4 a + 2 b + c = 5
f ´( x ) = 2 ax + b
f ´(−1) = −2a + b
c = −3

4 a + 2b + c = 5  → a = 1, b = 2, c = −3

−2 a + b = 0 
505
10
Derivada de una función
f (0 ) = c = 0
f ´( x ) = 3 x 2 + 2 ax + b
f ´(1) = 3 + 2a + b = 3
f ´´( x ) = 6 x + 2a
f ´´(−1) = −6 + 2a = 0
c = 0

3 + 2a + b = 3 → a = 3, b = −6, c = 0

−6 + 2 a = 0
f (3) = 27 + 9 a + 3b + c = 0
f ´( x ) = 3 x 2 + 2 ax + b
f ´(2) = 12 + 4 a + b = 0
f ´(4) = 48 + 8 a + b = 0
27 + 9 a + 3b + c = 0

12 + 4 a + b = 0 → a = −9, b = 24, c = −18

48 + 8 a + b = 0
f (1) = a + b + c = −1
f ´( x ) = 4 ax 3 + b
f ´(1) = 4 a + b = 0
La pendiente de la recta y = 4x es 4, entonces:
f ´(0 ) = b = 4
a + b + c = −1

4 a + cb = 0  → a = −1, b = 4, c = −4

b = 4 
f (1) = 2 + a + b + c = 6
f ´( x ) = 6 x 2 + 2 ax + b
f ´(1) = 6 + 2a + b = 0
2 + a + b + c = 6

6 + 2 a + b = 0 → a = −9, b = 12, c = 1

24 + 4 a + b = 0
506
f ´(2) = 24 + 4 a + b = 0
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) = −
b) f ´( x ) =
1
2
( x − 3)
x2 −6x + 2
2
( x − 3)
c) f ´( x ) = −
≠0
=0→ x =
6 ± 28
→ x1 = 3 + 7, x 2 = 3 − 7
2
d) f ´( x ) =
9
2
( x − 3)
x 2 −1
2
( x 2 + 1)
≠0
= 0 → x = ±1
La pendiente de la recta r es 2. Por tanto, para que una recta tangente a f(x) sea paralela a r debemos encontrar
la solución de la ecuación f´(x) = 2.
a) f ´( x ) = 3 x 2 − 1 = 2 → x = ±1
c) f ´( x ) =
2
=2→ x =1
x
d) f ´( x ) =
b) f ´( x ) = 2 x + 4 = 2 → x = −1
−1
2
( x + 3)
= 2 → Sin solución.
La bisectriz del primer y tercer cuadrantes tiene por ecuación y = x y su pendiente es 1, por tanto f´(x) = 1.
1
3
a) f ´( x ) = 2 x − 3 = 1 → x = 2
b) f ´( x ) =
1
2
(1− x )
c) f ´( x ) = 3 x 2 − 2 x = 1 → x1 = − , x 2 = 1
= 1 → x1 = 0, x 2 = 2
d) f '( x ) = ln x + 1 = 1 → x = 1
La bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes tiene por ecuación y = −x y su pendiente es −1, por tanto f´(x) = −1.
a) f ´( x ) = −
1
= −1 → x = ±1
x2
c) f ´( x ) = 6 x 2 − 6 x = −1 → x =
1
3
b) f ´( x ) = 3 x 2 + 4 x = −1 → x1 = − , x 2 = −1
d) f ´( x ) =
−2
2
(2 x − 1)
= −1 → x =
3± 3
6
1± 2
2
507
10
Derivada de una función
f ´( x ) =
1
x
a) r : y − x = 2 → y = x + 2 → La pendiente de la recta r es 1.
1
= 1→ x = 1
x
3
4
1
4
1
4
b) s : 4 y = 3 − x → y = − x → La pendiente de la recta s es − .
1
1
= − → x = −4
x
4
c) t : y + x − 1 = 0 → y = − x + 1 → La pendiente de la recta t es −1.
1
= −1 → x = −1
x
1
2
d) u : 2 y − x = −4 → y = −2 + x → La pendiente de la recta u es
1
.
2
1 1
= → x =2
x 2
f ´( x ) = −
a) −
2
2
( x + 3)
2
2
( x + 3)
1
= − → x 2 + 6 x + 5 = 0 → x1 = −1, x 2 = −5
2
1
1
1
y − 1 = − ( x + 1) → y = − x +
2
2
2
f (−1) = 1
f (−5) = −1
1
1
7
y + 1 = − ( x + 5) → y = − x −
2
2
2
b) y + 2 x + 2 = 0 → y = −2 x − 2 → La pendiente de la recta es −2.
−
2
2
2
( x + 3)
= −2 → ( x + 3) = 1 → x1 = −4, x 2 = −2
Existen dos puntos donde la gráfica es tangente a la recta y + 2 x + 2 = 0 .
508
10
Derivada de una función
a)
b)
f ´( x ) = 2 x + 3
 → 2x + 3 = 3 → x = 0

g ´( x ) = 3

c)
1 
f ´( x ) = 
1
x  → = 1→ x = 1

x
g ´( x ) = 1 
Además, f(0) = g(0) = 2.
Además, f(1) = g(1) = 0.
Sus gráficas son tangentes en el punto x = 0.
Sus gráficas son tangentes en el punto x = 1.
f ´( x ) = e x 
x
 → e = 1→ x = 0
g ´( x ) = 1 
d)
f ´( x ) = −sen
g ´( x ) = 2 x
x 
 → −sen x = 2 x → x = 0

Pero f (0) = 1 ≠ g (0) = 0 .
Además, f(0) = g(0) = 1.
Sus gráficas no son tangentes en ningún punto.
Sus gráficas son tangentes en el punto x = 0.
La de la recta es 5, por tanto f ´(2) = 5 .
Como la recta es tangente a f en x = 2 → f (2) = 5 ⋅ 2 − 7 = 3
6 = a + b 
 → a = 2, b = 4
8 = 2a + b
La ecuación de la recta es y = 2x + 4.
g (0 ) = y ( 0 ) = 4
g ´(0 ) = y ´(0 ) = 2
509
10
Derivada de una función
f1 ´( x ) = −
1
2 5− x
a) f1 ´(1) = −
1
4
b) f1 ´(−4) = −
510
1
6
f2 ´( x ) = a
f1 (1) = 2
1
1
9
1
1
y − 2 = − ( x − 1) → y = − x + → − = − → a = 4
4
4
4
4
a
f1 (−4) = 3
1
1
7
1
y − 3 = − ( x + 4) → y = − x + → a = −
6
6
3
6
10
Derivada de una función
Consideramos la raíz positiva: y = 20 − x 2
y ´( x ) =
−x
y ( 4) = 2
20 − x 2
y ´(4) = −2
y − 2 = −2 ( x − 4) → y = −2 x + 10
a) f ´( x ) = 2 x − 4
La bisectriz del primer y tercer cuadrantes es y = x y tiene pendiente 1.
2 x − 4 = 1→ x =
5 9
f   =
 2  4
5
2
Llamando r a la recta paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes:
9
5
1
r: y − = x − → y = x −
4
2
4
La bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes es y = −x y tiene pendiente −1.
2 x − 4 = −1 → x =
3
2
3 9
f   =
 2  4
Llamando s a la recta paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes:

9
3
15
s : y − = − x −  → y = − x +

4
2
4
b) El punto de corte entre las dos rectas, r y s, es:


 7
7

 → x = 2, y = → P 2, 
15 
4
4
y = − x + 
4 
y = x−
1
4
1
1
1

El punto de corte de la recta r con el eje X es: y = 0 = x − → x = → P  , 0
4 
4
4
El punto de corte de la recta s con el eje X es: y = 0 = − x +
c) La base mide
15 1 7
− = y la altura mide 2.
4 4 2
 15 
15
15
→x=
→ P  , 0
4 
4
4
ÁreaT =
b⋅ h 7 2
= u
2
2
511
10
Derivada de una función
a) f ´( x ) = 3 x 2 + 6 x = 0 → x1 = 0, x 2 = −2
f (0 ) = 4
f (−2) = 8
Los puntos son (0, 4) y (−2, 8).
b) Si la ecuación de la recta es de la forma y = mx + n, tenemos:

4=n
 → m = −2, n = 4
8 = −2 m + n
La ecuación de la recta es: y = −2x + 4
c) La pendiente de la recta es −2: f ´( x ) = 3 x 2 + 6 x = −2 → x1 = −1+
f ´( x ) =
3
3
, x 2 = −1−
3
3
3
2
( x − 3)
a) Corte con el eje X:
9
4
b) f ´  =
2 3
2x − 9
9
=0→ x=
x −3
2
y=
4
x −6
3
Corte con el eje Y:
f ´(0 ) =
1
3
y=
2⋅ 0 − 9
=3
0−3
1
x +3
3
4
3
c) Calculamos los puntos de corte con los ejes de la recta y = x − 6 :
Corte con el eje Y: x = 0 → y = −6
Área del triángulo que forman: AT =
Corte con el eje X: y = 0 → x =
9
2
b ⋅ h 9 ⋅ 6 27 2
=
=
u
2
4
2
1
3
Calculamos los puntos de corte con los ejes de la recta y = x + 3 :
Corte con el eje Y: x = 0 → y = 3
Área del triángulo que forman: AT =
512
Corte con el eje X: y = 0 → x = −9
b ⋅ h 3 ⋅ 9 27 2
=
=
u
2
2
2
10
Derivada de una función
a)
h (1) − h (0 ) 83,1− 39
=
= 44,1 m/s
1− 0
1
b)
h (6) − h(4) 156,6 − 156,6
=
= 0 m/s
6−4
2
c)
h (13) − h(11) 0 − 0
=
= 0 m/s
13 − 11
2
En el primer intervalo la pelota está subiendo, y por tanto la velocidad media es positiva; en el segundo intervalo
la pelota recorre el mismo tramo hacia arriba y hacia abajo; en el último intervalo la pelota ya está en el suelo y
no se mueve, por lo que la velocidad media es cero.
PARA PROFUNDIZAR
□ f ´( x ) = cos x Toma valores entre −1 y 1, por tanto la mayor inclinación de la función es 1.
□ f ´( x ) = 3 x 2 − 4 x
f ´(1) = −1
La recta tangente es: y = −( x − 1) = − x + 1
Corta también en el (0, 1).
x 3 − 2 x 2 + 1 = − x + 1 → x 3 − 2 x 2 + x = 0 → x1 = 0, x 2 = x 3 = 1
□ f ´( x ) = 2 x − 3 = 3 → x = 3 → y = 1
y − 1 = 3 ( x − 3) → y = 3 x − 8
La recta tangente es y = 3x − 8.
□ f ´( x ) = −
1
x2
f ´´( x ) =
Por tanto: f n ( x ) = (−1)n ⋅
2
x3
f ´´´( x ) = −
6
x4
f iv ( x ) =
24
x5
n!
x n+1
513
Derivada de una función
514
10
10
Derivada de una función
f ( x ) ≠ f ( x0 )
Sea una función f(x) que no es continua en x = x0. → xlim
→x
0
Si la función es derivable en x = x0, entonces existe el límite:
lim
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h
h→ 0
= l → lim (f ( x 0 + h) − f ( x 0 )) = l ⋅ lim h → lim (f ( x 0 + h) − f ( x 0 )) = 0 → lim f ( x 0 + h) = lim f ( x 0 )
h→ 0
h→ 0
h→ 0
h→ 0
h→ 0
Esto no es cierto porque la función no es continua en x = x0, y la función no puede ser derivable en ese punto.
a) 3 y 2 y ´−2 y 2 − 2 x 2 yy ´= 9 x 2 y + 3 x 3 y ´
b) 3 y + 3 xy ´+3 y 2 y ´= 2
y ´(3 y 2 − 4 xy − 3 x 3 ) = 9 x 2 y + 2 y 2
y ´=
y ´(3 x + 3 y 2 ) = 2 − 3 y
9 x 2 y + 2y 2
3 y 2 − 4 xy − 3 x 3
y ´=
2 − 3y
3 x + 3y 2
Derivamos implícitamente:
1
1
1
+
y ´ = 0 → y ´= −
⋅2 y
2 x 2 y
2 x
y ´( x 0 ) = −
y0
x0
Calculamos la recta tangente que pasa por el punto P(x0, y0) :
y − y0 = −
y0
x0
( x − x0 ) →
y − y 0 x − x0
x
y
y
x
+
=0→ 1 + 1 = 0 + 0
y0
x0
y0
x0
2
2
x
y
515
Derivada de una función
Comprobamos que
1
y0
x
+ 0 = a2 :
y0
x0
1
y x + x0 y 0 ( y 0 x0 + x0 y 0 ) x0 y 0
y0
x
+ 0 = 0 0
=
= x0 + y 0 = a 2
x0 y 0
y0
x0
x0 y 0
MATEMÁTICAS EN TU VIDA
El costo marginal es la derivada del costo total de producción con respecto a la producción.
Los insumos son todos los elementos necesarios para producir un bien.
Porque mide la tasa de variación del coste entre la variación de la producción.
Positivo.
Función costo: f(x) = 3ax2 + 2bx
Es una función cuadrática cuya representación es una parábola cóncava; en el eje de abscisas se representa la
producción y en el eje de ordenadas los costes.
516
10