matrices ejemplos

Inversa de una matriz
Clase 7
1
Inversa de una matriz
De…nición 1 Si A es una matriz n n; una inversa de A es una matriz A0 con la propiedad que
AA0 = A0 A = In , si tal A existe, entonces A se dice invertible.
Teorema 1 Si A es invertible entonces su inversa es única.
Prueba. Sea A una matriz invertible y sean A0 y A00 dos inversas de A entonces AA0 = A0 A = In
y A00 A = AA00 = In :
Luego A0 = A0 In = A0 (AA00 ) = (A0 A) A00 = In A00 = A00 : Por tanto, A0 = A00 y así la inversa es
única.
Notación 1 Si A es invertible su inversa se denotará por A
Teorema 2 Si A es una matriz invertible de n
por Ax = b tiene solución única dada por x = A
1.1
1
1
:
n; entonces el sistema de ecuaciones lineales dado
b:
Propiedades de las matrices Invertibles
Teorema 3 Sea A una matriz invertible. Entonces
a. La matriz A
1
es invertible y A
1
1
= A:
b. Si c es un escalar diferente de cero entonces cA es invertible y (cA)
1
= 1c A
1
:
c. Si B es otra matriz invertible del mismo tamaño de A entonces AB es invertible y (AB)
B 1A 1:
d. La matriz AT es invertible y AT
1
= A
1 T
1
= A
1 n
Ejercicio 1 Sean A1 ; A2 ; :::; An matrices invertibles, entonces A1 A2
(A1 A2
An )
=
:
e. Si n es un entero no negativo An es invertible y (An )
1
1
= An
1
1
:
An es invertible y
1
A2 A1 .
Teorema 4 Sea A una matriz cuadrada. Si B es una matriz cuadrada, tal que AB = In ó BA = In
entonces A es invertible y A 1 = B:
Prueba. Sean A y B matrices cuadradas tales que BA = In . Denotemos las columnas
de
2
3A
x1
6 x2 7
6
7
por a1 ; a2 ; :::; an , es decir A = [a1 a2 :::an ]. Encontremos espacio(a1 ; a2 ; :::; an ). Sea w = 6 . 7 2
4 .. 5
xn
espacio(a1 ; a2 ; :::; an ), entonces existen escalares c1 ; c2 ; :::; cn tales que
c1 a1 + c2 a2 + ::: + cn an = w,
1
reescribiendo
2
6
6
[a1 a2 :::an ] 6
4
c1
c2
..
.
cn
2
3
7 6
7 6
7=6
5 4
El sistema lineal 1 siempre tiene solución
2
c1
6 c2
6
6 ..
4 .
cn
2
3
x1
x2
..
.
c1
c2
..
.
6
7
6
7
7 , A6
4
5
xn
dada por
2
3
6
7
6
7
7=B6
4
5
x1
x2
..
.
xn
cn
3
2
7 6
7 6
7=6
5 4
x1
x2
..
.
xn
3
7
7
7.
5
(1)
3
7
7
7,
5
es decir espacio(a1 ; a2 ; :::; an ) = Rn . Puesto que e1 ; e2 ; :::; en 2 Rn entonces existen b01 ; b02 ; :::; b0n tales
que
Ab0i = ei , i = 1; 2; :::; n.
Tomando B 0 = [b01 b02 :::b0n ] obtenemos que
AB 0 = [Ab01 Ab02 :::Ab0n ] = In .
Sólo resta probar que B = B 0 .
B = BIn = B(AB 0 ) = (BA)B 0 = In B 0 = B 0 .
De lo anterior BA = AB = In , es decir, B = A
1.2
1
.
Método de Gauss Jordan
Sea A una matriz cuadrada. Si una sucesión de operaciones elementales por …la reduce a A en I,
entonces A es invertible y la misma sucesión de operaciones elementales transforma a I en A 1 :
Ejemplo 1 Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
2x 2y
x 2y z
2x + 3z
= 1
= 1
= 1
a. Escriba el sistema lineal anterior en la forma Ax = b:
b. ¿Es la matriz A invertible? En caso a…rmativo, halle A
1
:
c. Use el literal (b) y encuentre la solución del sistema.
Solución:
2
3
2
2 0
2
15 ; el vector que contiene las variables del
a. La matriz de coe…cientes del sistema es A = 41
2 0
3
2 3
2 3
x
1
sistema es X = 4y 5 y el vector de términos independientes b = 415 : De esta manera, el sistema
z
1
se puede escribir como AX = b:
2
b. Para decidir si la matriz es invertible, hacemos operaciones elementales de …la para obtener la
forma reducida de la matriz. La forma reducida es la matriz identidad si y sólo si la matriz A
si es invertible. Más aún, si la matriz es invertible, las mismas operaciones …la, realizadas para
obtener la forma reducida de la matriz A; transforman la identidad en A 1 : Así que consideremos
la matriz ampliada [AjI3 ] y hagamos operaciones …la hasta encontrar la forma reducida de A:
2
3
2
3
2
2 0
1 0 0
1
2
1
0 1 0
4 1
2
1 j 0 1 0 5 R1 $ R2 4 2
2 0 j 1 0 0 5
!
2 0
3
0 0 1
2 0
3
0 0 1
2
3
2
3
1
2
1
0 1 0
1
2
1
0 1 0
2 j 1
2 0 5 R3 2R1 4 0 2
2 j 1
2 0 5
R2 2R1 4 0 2
!
!
2 0
3
0 0 1
0 4
5
0
2 1
3
2
2
3
0
1 0
1
2
1
1
2
1
0
1 0
1
1 j 12
2 j 1
2 0 5 R2 4 0 1
1 0 5
R3 2R2 4 0 2
!
2!
0 0
1
0 0
1
2 2 1
2 2 1
2
3
2
3
1
1 0
3
3
1
1 0 1
1 0 0
1 0 5 R1 R3 4 0 1 1 j 21
1 0 5
R1 + 2R2 4 0 1 1 j 21
!
!
0 0 1
0 0 1
2 2 1
2 2
1
2
3
3
3
1
1 0 0
3
1 5
R2 R3 4 0 1 0 j 25
!
0 0 1
2 2
1
Puesto que la forma2reducida de la matriz
A es la identidad entonces efectivamente A es invertible y
3
3
3
1
3
1 5:
además A 1 = 4 25
2 2
1
c. Ejercicio
2
1
Ejemplo 2 Sea C = 43
2
1
1
3
3
2
2 5 : ¿Es C invertible?
1
Solución: Encontremos la forma reducida de
2
3
2
1
1 2
1
1
43 1
2 5 R2 3R1 40 4
!
2 3
1
2 3
2
3
2
1
1 2
1
5 4
1
45 R2 40
R3
R1 0 4
4!
4!
0 0
0
0
la matriz C:
3
2
3
2
1
1 2
45 R3 2R1 40 4
45 R 3
!
1
0 5
5
3
2
3
1 2
1 0 1
1
15 R1 + R2 40 1
15
!
0
0
0 0 0
2
1
2R1 40
!
0
1
4
5
3
2
45
5
La forma reducida de C no es la matriz identidad (recuerde que la forma reducida es única). Por
lo tanto C no es invertible.
3