matemática 3º con soluc.

UTU Escuela Técnica Buceo
Examen de Matemática 3º
1
a) Resolver y discutir según m, m∈R:
(e
b) Calcular xlim
→−∞
−
2
x
2
− ex
6/02/2009
x+ y+z =0


2
 mx + my + m z = 3 − 3m
mx + m2 y + mz = 2m − 2

5x2 − 7 x
)(
)
3x − 8
c) Estudio analítico y representación gráfica de f :
f ( x) = 2 L( x + 1) +
6
x +1
2
1 1

d) i) Calcular el determinante de J, siendo J =  a a
 a a2

1

a2 
a 
ii) Calcular los valores de a ,reales, para que J no sea invertible, si existen.
e) Calcular
lím
x → −1
2 − x3 − 2 + x 2
L( x + 5) − L(3 − x)
g) Estudio analítico y representación gráfica de g :
g ( x) =
y clasificar la función g en \ .
2x − 3
x + 2x +1
2
TEÓRICO:
1) Defina derivabilidad de una función en un punto y explique geométricamente.
2) Defina lim+ f ( x ) = b e interprete geométricamente.
x →3
3) a) Defina infinitésimos equivalentes.
b) Enuncie y demuestre un infinitésimo equivalente.
Algo de la solución: 1)a) x=1/m ; y=2/m ; z= -3/m
1)b) −
Discusión: si m=0, SI.
20
3
1)c) f'(x)= 2·(x - 2) / (x + 1)²
2)d)i) det(J) =
- a² ·(a - 1)²
f''(x)=2(5-x)/(x+1)³
ii) J no es invertible si a=0 ó si a=1.
3
3
e)
−
g)
g '( x) =
8 − 2x
( x + 1)3
g ''( x) =
4 x − 26
( x + 1) 4
gg
Clasificación: g no es inyectiva ni sobreyectiva. Es sólo función.