Funciones y Operaciones B AAf →× : A Ag → : B AAf

Matemática Discreta y Lógica 1
Material teórico
Funciones y Operaciones
Operaciones unarias y binarias
B , cualquier función f : A × A → B
A . Si B ⊆ A , se dice que la operación binaria es cerrada en A .
Una función g : A → A es una operación unaria en A .
Dados dos conjuntos no vacíos
•
•
A
y
es una operación binaria en
Conmutatividad y asociatividad de operaciones
f : A× A → B
Sea
A.
Diremos que f es conmutativa si ∀( a, b) ∈ A × A, f ( a, b) = f (b, a )
Si B ⊆ A , diremos que f es asociativa si ∀a, b, c ∈ A, f ( f ( a, b), c ) = f ( a, f (b, c))
•
•
una operación binaria en
Neutro
f : A × A → B una operación binaria en A .
Un elemento x ∈ A es un neutro de f si ∀a ∈ A, f ( a, x ) = f ( x, a ) = a
Sea
Teorema:
Si
f : A× A → B
tiene un elemento neutro, entonces dicho elemento es único. La demostración queda a cargo del
lector.
Función identidad
La función
1A : A → A , definida como ∀a ∈ A,1A (a ) = a
es la función identidad para
A.
Igualdad de funciones
Si
f , g : A → B , diremos que f = g
si
∀a ∈ A, f (a ) = g (a )
Composición de funciones
g:B→C .
Definimos la función compuesta g o f : A → C
Sean
f :A→ B
y
como
∀a ∈ A, ( g o f )(a ) = g ( f (a))
g
f
a
f(a)
A
B
g
o
g(f(a))
C
f
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Matemática Discreta y Lógica 1
Material teórico
Propiedades de la composición de funciones
Sean
f : A → B, g : B → C y h:C → D .
g son inyectivas, entonces g o f es inyectiva.
Sean a1 , a 2 ∈ A con ( g o f )(a1 ) = ( g o f )(a 2 ) .
Por la definición de composición se tiene que g ( f ( a1 )) = g ( f ( a 2 )) .
La inyectividad de g implica que f ( a1 ) = f ( a 2 ) y luego la inyectividad de f
Si
•
f
y
y g son sobreyectivas, entonces g o f es sobreyectiva.
z ∈ C , como g es sobreyectiva, ∃y ∈ B / g ( y ) = z
Luego, al ser f sobreyectiva, ∃x ∈ A / f ( x ) = y .
Tenemos entonces que ∀z ∈ C , ∃x ∈ A / g ( f ( x )) = z , y entonces, g o f
Si
•
implica que
a1 = a2 .
f
Sea
es sobreyectiva.
La composición de funciones es asociativa
•
((h o g ) o f )( x ) = (h o g )( f ( x )) = h( g ( f ( x )))
Por otro lado ( h o ( g o f ))( x ) = h(( g o f )( x )) = h( g ( f ( x )))
Entonces ∀x ∈ A, ((h o g ) o f )( x) = ( h o ( g o f ))( x) con lo cual la composición es asociativa.
Tenemos que
Función invertible
Una función
f :A→ B
es invertible si
∃g : B → A / g o f = 1A ∧ f o g = 1B
Teorema:
Si una función
función
g
f : A→ B
es invertible y
g:B→ A
satisface que
g o f = 1 A ∧ f o g = 1B , entonces esta
es única.
h : B → A con h o f = 1A ∧ f o h = 1B .
h = h o 1B = h o ( f o g ) = (h o f ) o g = 1A o g = g , por lo cual
Supongamos que existe otra función
Entonces
única. A esta función
g
f
(única) se la llama inversa de
f
, y se la denota como
−1
la función inversa, de existir, es
.
Teorema:
Una función
f : A→ B
es invertible si y sólo si es biyectiva. La demostración se deja a cargo del lector (puede
consultar la sección 5.6 de Grimaldi).
Teorema:
Si
f : A→ B, g :B →C
−1
(g o f ) = f
−1
og
−1
son funciones invertibles, entonces
que son invectivas y sobreyectivas. Que
sean sobreyectivas implica que
go f
f
g
y
f
y
g
son invertibles si y sólo si son biyectivas, lo cual implica
sean inyectivas implica que
g o f sea inyectiva, y que f y g
g o f es biyectiva, y entonces
sea sobreyectiva. Por lo tanto tenemos que
invertible. Para demostrar la segunda parte hay que advertir que
( g o f ) (c ) = a .
es invertible y se cumple que
.
Para demostrar la primera parte basta observar que
−1
go f : A→C
( g o f ) −1
está definida
C → A . Sea c ∈ C
( g o f )(a ) = c o, de otro modo, g ( f (a )) = c . Entonces
−1
−1
implica f (b ) = a ∧ g (c) = b . Simplificando se tiene que
Tenemos entonces que
∃b ∈ B / f (a) = b ∧ g (b) = c , lo que
f −1 ( g −1 (c)) = a lo que nos lleva a ( f −1 o g −1 )(c) = a .
Resumiendo:
y
∀c ∈ C , ( g o f ) −1 (c) = ( f −1 o g −1 )(c) , lo que demuestra que las funciones son iguales.
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