Universidad de la República - Facultad de Ciencias

Universidad de la República - Facultad de Ciencias Económicas y de Administración.
Cálculo I - Semipresencial - Primera revisión - Versión 1 - 23 de setiembre de 2016
Ejercicio 1.
Sea f : R → R tal que f (x) = x3 + ex . Entonces,
(A)
0
f es invertible y f −1 (1 + e) =
1
2+e
(B)
0
f es invertible y f −1 (1 + e) =
(C)
0
f es invertible y f −1 (1 + e) =
1
3+e
(D)
f no es invertible
1
1+e
Ejercicio 2.
Sea f : (2, +∞) → R tal que f (x) = L(x − 2) + 1. Entonces,
(A)
f es invertible y f −1 (x) = ex−1
(B)
f es invertible y f −1 (x) = 2 + ex−1
(C)
f es invertible y f −1 (x) = x − 1
(D)
f no es invertible
Ejercicio 3.
(
Sea f (x) =
(A)
ax + 2
si x < 4
, con a real. Entonces f es continua en [2, 6]
2
x − 2x − 7 si x ≥ 4
solo para a = −
1
4
(B)
para todo a ∈ R
(C)
para ningún valor de a
(D)
solo para a = 4
Ejercicio 4.
Se consideran las siguientes afirmaciones:
(I) La elasticidad de la demanda en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva de la
función de demanda en ese punto.
(II) Se tiene el costo de producción de una empresa en función del número de unidades producidas.
Si el costo marginal es constante, entonces el costo real de producir una segunda unidad es igual
al costo real de producir la primera unidad.
(A)
Solo (I) es verdadera
(B)
Solo (II) es verdadera
(C)
Las dos son verdaderas
(D)
Ninguna es verdadera
Ejercicio 5.
El valor del lı́mite, lı́m
x→0 e−x
x − sen x
−1+x−
(A)
0
x2
2
, es:
(B)
1
2
(C)
1
(D)
−1
Ejercicio 6.
Sea f (x) = L(1 + sen x). Entonces, el polinomio de Mac Laurin de orden 3 asociado a f es:
(A)
x
2
(B)
x−
x3
6
(C)
x−
x2 x3
+
2
6
(D)
−
x2 x3
+
2
3
Ejercicio 7.
Dadas las siguientes series: (I)
+∞
X
(−1)n
n=0
3n
,
+∞
X
n
(II)
. Entonces:
n−1
3
n=1
(A)
Las dos son convergentes
(B)
Solo (I) es convergente
(C)
Solo (II) es convergente
(D)
No se puede decidir en (I) porque los sumandos cambian de signo
Ejercicio 8.
π π
. Entonces, en x = 0, f :
Se considera la función f dada por f (x) = xex − tg x, ∀ x ∈ − ,
2 2
(A)
tiene un mı́nimo relativo
(B)
tiene un máximo relativo
(C)
no tiene un punto estacionario
(D)
tiene un punto de inflexión
Ejercicio 9.
Se quiere implementar un sistema de transporte en el cual el pasajero pueda viajar a cualquier punto
del paı́s por el mismo precio. Para esto se realiza una encuesta para determinar el número de personas
que utilizarı́an este sistema y se obtiene la función de demanda diaria
D(p) = 1000 − 125p.
Hallar el precio p0 (en cientos de pesos) para maximizar el ingreso diario y la cantidad de pasajeros
que viajarı́an por dı́a a ese precio.
(A)
p0 = 4, 400 pasajeros
(B)
p0 = 4, 500 pasajeros
(C)
p0 = 5, 400 pasajeros
(D)
p0 = 5, 500 pasajeros
Ejercicio 10.
Se consideran las siguientes afirmaciones:
(I) Si f es una función tal que tiene un mı́nimo absoluto en x = 3 y f (2) = 2, entonces f (3) < 2.
(II) Si f es una función definida en [0, 10] tal que f 0 (5) = 0, entonces f tiene en x = 5 un extremo
absoluto.
(A)
Ninguna es verdadera
(B)
Solo (II) es verdadera
(C)
Las dos son verdaderas
(D)
Solo (I) es verdadera