De La Serie Como Aprendo… Como Aprendo Derivadas Por Adolfo Chapuz Benítez. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/1 Adolfo Chapuz Benítez De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Como Aprendo Derivadas Parte 1. Por: Adolfo Chapuz Benítez Lic. En Matemáticas Universidad Juárez Autónoma De Tabasco Instituto Tecnológico Superior De Comalcalco México https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/ Dedico este trabajo primeramente a Cristo Jesús, a Él sea toda lo gloria, toda la honra y toda la alabanza. Él es el camino, y la verdad, y la vida Juan 14:6 A mis hijas Dulce, Regina y Alejandra, por quienes me esfuerzo para que tengan una vida llena de bendiciones. A mis padres Felipe y Valentina. Los mejores. A mis hermanos: Nena, Mini, Sandra, Richard, Marbe e Ingrid. Inigualables. A todos mis alumnos. De todo corazón. Esto es para todos. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/2 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas ÍNDICE. 1.1 Introducción. .....................................................................................4 1.2 DEFINICIÓN DE DERIVADA ...........................................................6 1.3 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES .............................. 7 1.3.1 Ejemplos de la Derivada de Una Potencia ..................................... 8 EJERCICIOS: DESARROLLE LAS SIGUIENTE DERIVADAS USANDO LA DERIVADA DE UNA POTENCIA. d n ( x ) nxn 1 ............................. 16 dx 1.4 PROPIEDADES DE LA DERIVADA ............................................... 17 1.4.1 DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN .......... 17 1.4.2 DERIVADA DE UNA SUMA/DIFERENCIA. .............................. 20 Ejercicios 1.4.2. Resuelva las siguientes derivadas: .............................. 25 1.4.3 DERIVADA DE UN PRODUCTO .................................................26 Ejercicios para la sección 1.4.3 Derivada de Un Producto. ...................32 1.4.4 DERIVADA DE UN COCIENTE ...................................................34 EJERCICIOS PARA LA SECCIÓN 1.4.4. Derivada de Un Cociente. ... 40 Propiedades de la Derivada. ................................................................ 48 1.4.5 REGLA DE LA CADENA ............................................................. 48 Ejercicios para la sección 1.4.5 (Regla de la Cadena)............................62 EJERCICIOS DIVERSOS. .....................................................................63 https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/3 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas 1.1 Introducción. El concepto de derivada es muy importante en las ciencias exactas e ingeniería. Su interpretación como rapidez de cambio aparece en problemas relacionados con el movimiento de una partícula, dinámica de una población, desintegración radiactiva y en general es una herramienta muy poderosa que sirve para modelar sistemas que evolucionan con el tiempo (sistemas dinámicos). La idea de escribir estas notas está basada en lo siguiente: a). Dar las técnicas necesarias para APRENDER a derivar funciones de una variable b).Sintetizar éstas técnicas a unas cuantas fórmulas de derivación, a las propiedades de la derivada y a la regla de la cadena. En vista de lo anterior, éstas notas no proporcionan una base teórica de la derivada, solo se verá desde un punto de vista operacional y algo muy importante: EL OBJETIVO ES APRENDER A DERIVAR SIN TENER QUE RECURRIR A LOS FAMOSOS FORMULARIOS. ¿COMO LO VAMOS A HACER? CONSTRUYENDO TU CONOCIMIENTO Este es el camino exacto a seguir: La idea básica consiste en dar las primeras fórmulas de derivadas las más básicas y poco a poco ir agregando más “formulas y propiedades” de modo tal que no te satures de fórmulas, que tu cerebro vaya poco a poco pero de manera continua, que tu vayas construyendo tu propio formulario pero en tu cerebro…hasta dominar todas las técnicas necesarias, que no te falte ninguna…hasta que realmente aprendas a derivar. En definitiva voy a romper con el esquema tradicional de enseñanza del cálculo, en donde te dan el formulario y el alumno se pierde en un mar de fórmulas..., que luego no saben ni que formula utilizar… ¿No es cierto? Empezarás con las 1. Derivadas de las funciones elementales 2. Propiedades de la Derivada. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/4 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas 3. Con la Derivada de un cociente calcularemos la derivadas de las funciones trigonométricas: tangente, cotangente, secante y cosecante. 4. La Regla de La cadena 5. Derivadas de Funciones de la forma f ( x) g ( x ) 6. Derivadas de Funciones Inversas 7. Derivación Logarítmica 8. Derivación Implícita 9. Derivadas Parciales Nota importante: los temas del 6 al 9 se estudiarán en Como Aprendo Derivadas 2.0 METODOLOGÍA: 1.-DEFINIR CONCEPTOS Y PROPIEDADES POR PARTE DEL MAESTRO 1.-DEMOSTRACIÓN DE EJEMPLOS POR PARTE DEL MAESTRO (VIDEOS, NOTAS, AUDIO). 2.-RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS POR PARTE DEL ALUMNO EJERCICIOS NIVEL BÁSICO EJERCICIOS NIVEL INTERMEDIO EJERCICIOS NIVEL AVANZADO 3.- SESIÓN DE PREGUNTAS Y RESPUESTAS 4.- SUGERENCIAS Espero que estas notas te sean de utilidad. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/5 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas 1.2 DEFINICIÓN DE DERIVADA La derivada de una función se define en realidad a través de un límite. Sólo daré la definición por compromiso pero no la vamos a usar porque el objetivo de estas notas no es teórico, en otra oportunidad crearé un documento donde se hable en detalle del asunto… ¿sale? Sea y f (x) una función real de variable real. La derivada de f (x ) respecto a x , df representada por , f (x ) , y o Df (x) . Se define mediante la siguiente dx expresión : df f ( x h) f ( x ) lim h 0 dx h NOTA: f (x ) y y se leen : “efe prima de x “ y “ ye prima “, respectivamente. df nos representa “LA PENDIENTE DE LA RECTA dx TANGENTE A LA GRÁFICA DE f (x ) EN EL PUNTO ( x, f ( x)) “. Nota: Para una explicación más detallada de la definición e interpretación geométrica de la derivada ir al siguiente enlace: Definición y ejemplos del Concepto de la Derivada Geométricamente https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/6 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas 1.3 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Vamos a empezar nuestras notas dando una lista de derivadas de funciones elementales. Aunque no las vamos a demostrar, vamos a suponer que son válidas y también que las funciones involucradas son ya conocidas. DEBES APRENDERLAS DE MEMORIA. 1. Si c es cualquier constante entonces: “La derivada de una constante es CERO”. d (c ) 0 dx d 5 0 , d 12 0 , d 0 , d e 0 , d 2 0 … Es decir: dx dx dx dx dx 2. “ La Derivada de la exponencial es la misma exponencial” d x e ex dx 3. “La Derivada de exponencial negativa es igual a MENOS la exponencial “ d x e e x dx 4. La derivada de “seno” es “coseno” d sen( x) cos(x) dx 5. La derivada de “coseno” es “MENOS seno” d cos(x) sen( x) dx 6. La derivada de “tangente” es “secante cuadrada” d tan( x) sec2 ( x) dx 7. La derivada de “logaritmo natural” es “uno entre x” d 1 ln( x) dx x 8. LA DERIVADA DE UNA POTENCIA d n x nxn 1 para todo dx https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/7 nR De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Las fórmulas anteriores sólo son las primeras, corresponden a las funciones elementales más conocidas. Son leyes. Debo mencionar que existen muchas más fórmulas que podría dar en este punto, pero RECUERDA que vamos a CONSTRUIR tu conocimiento, vamos a empezar con unas cuantas derivadas básicas y poco a poco vamos aumentar el número de funciones cuyas derivadas se van a ir obteniendo, porque vas a APRENDER A DERIVAR, de tal manera que vas a poder calcular cualquier derivada SIN CONSULTAR FORMULARIOS. Pero de la fórmula 8 podemos desarrollar varios casos y sacar provecho de algunas cosas que más adelante nos van a servir de base para calcular derivadas más complicadas. 1.3.1 Ejemplos de la Derivada de Una Potencia Fórmula a usar: d n ( x ) nxn 1 dx Lo primero que vamos observar aquí es que n puede ser cualquier tipo de número: entero positivo o negativo, cero, fracción, irracional, etc. Lo importante no es aprender la fórmula si no la idea que está detrás de ella. La derivada transforma a x n : BAJA EL EXPONENTE, DEJA LA BASE IGUAL Y LUEGO LE RESTA UNO. ¡SIEMPRE SE LE RESTA UNO! Más aún, la x es irrelevante, podemos usar cualquier variable, letra o símbolo: d n d n z nz n 1 ó y ny n 1 , dz dy d n n n 1 d https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/8 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Calcular las siguientes derivadas: d 10 (x ) dx Desarrollo: 1.- d 10 ( x ) 10 x101 10x 9 dx d 10 ( x ) 10x 9 dx 1. Aquí el exponente es entero n=10, lo bajamos y le restamos 1 Conclusión d 13 (x ) dx Desarrollo: 2.- Aquí el exponente es entero n=13, lo bajamos y le restamos 1 d 13 ( x ) 13 x131 13x12 dx d 13 ( x ) 13x12 dx Conclusión https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/9 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas 3.- d 5 (x ) dx Desarrollo: 1. Aquí el exponente es entero NEGATIVO, lo bajamos con todo y signo y le restamos 1. ¡ OJO ! el exponente aumenta NEGATIVO a -6 d 5 ( x ) 5 x 51 dx 5 x 6 x 6 1 5 6 x 5 6 x , 3. Eliminamos los paréntesis multiplicando las fracciones: 5 1 5 6 6 1 x x Por lo tanto concluimos que: 4.- d 5 5 (x ) 6 dx x Conclusión. d 10 (x ) dx Desarrollo: 1 x6 ESTE EJEMPLO ES SIMILAR AL ANTERIOR, GUÍATE DE ÉL. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/10 2. Podemos “bajar” la potencia cambiando de signo al exponente según la fórmula anterior. De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas d 10 ( x ) 10 x 101 dx 10x 11 x 11 1 10 11 x 10 11 x d 10 10 ( x ) 11 dx x Así: 1 x11 Conclusión d 1 ( )? dx x 7 Desarrollo: 5.- d 1 d 7 ( 7) x dx x dx 7 x 71 7 x 8 Por lo tanto: 6.- 7 x8 d 1 7 ( 7) 8 dx x x ¡OJO! PRIMERO DEBEMOS “SUBIR” LA POTENCIA CAMBIANDO EL SIGNO DEL EXPONENTE. Está positivo, sube NEGATIVO. El desarrollo es similar al ejemplo anterior. Síguelo detenidamente. Conclusión d 1 ( )? dx x 7 Desarrollo: https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/11 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas d 1 d ( 7 ) x 7 dx x dx 7 x 71 El desarrollo es similar al ejemplo anterior. Síguelo detenidamente. 7x6 Por lo tanto: 7. d 1 ( ) 7x6 dx x 7 Conclusión d 4 3 ( x ) dx Desarrollo: 1. Antes de derivar transformamos la “raíz” en potencia con exponente fraccionario 3 d 4 3 d 4 ( x ) x dx dx 3 Por lo tanto: 3 4 1 x 4 1 3 4 x 4 3 1 4 14 x 3 1 4 4 x 3 4 4 x x x 3 4 2. Bajamos la fracción y le restamos 1 3. Nos queda una potencia NEGATIVA Y FRACCIONARIA 4. Bajamos la potencia y el signo CAMBIA de negativo a positivo 5. Cambiamos el exponente de una fracción a un RADICAL (“raíz”) 4 xx 6. Finalmente, multiplicamos las fracciones del paso anterior d 4 3 3 ( x ) 4 dx 4 x Conclusión https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/12 1 4 3 4 De La Serie Como Aprendo… Como Aprendo Derivadas 8. d 3 5 ( x ) dx Desarrollo: 5 d 3 5 d 3 ( x ) x dx dx El desarrollo es similar al ejemplo anterior. Síguelo detenidamente. 5 5 1 x3 3 2 5 3 x 3 5 3 x2 3 HEY !! Aquí no es necesario bajar la potencia porque me quedó POSITIVA Cambiamos el exponente de una fracción a un RADICAL (“raíz”) Así: d 3 5 5 ( x ) 3 x2 dx 3 Conclusión https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/13 Adolfo Chapuz Benítez De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas 9.- d 1 ( 5) 3 dx x Desarrollo: d 1 d 1 ( ) 5 dx 3 x 5 dx 3 x 5 d 3 x dx 5 5 1 x 3 3 8 5 x 3 3 5 8 3x 3 5 33 x 8 1.Antes de derivar primero cambiamos a exponente fraccionario 2. Ahora SUBIMOS la potencia y le cambiamos el signo ,de positivo a negativo 3. ¡Ahora sí! Derivamos como una potencia, bajamos el exponente… lo mismo que hemos hecho. Por lo tanto: d 1 5 ( 5) dx 3 x 33 x 8 https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/14 Conclusión De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas NOTA: HEMOS USADO 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS, las cuales no han ayudado en os ejercicios anteriores. 1. POTENCIAS NEGATIVAS x n 1 xn Con esta podemos subir y bajar las potencias, PERO debemos cambiar el signo del exponente. 2. TRANSFORMACION DE RADICALES EN EXPONENTE FRACCIONARIO m x x n n m De acuerdo a esta fórmula podemos escribir 1. x x 1 2 2.3 x x 3. x x 4 1 3 1 4 4.7 x x 6 5. t t 3 8 6 7 8 3 6.2017 2018 2018 2017 https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/15 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas EJERCICIOS: DESARROLLE LAS SIGUIENTE DERIVADAS USANDO LA DERIVADA DE UNA POTENCIA. 4 d 2 (x ) dx d 3 2. (x ) dx d 3. ( x) dx d 2 4. (x ) dx d 3 5. (x ) dx d 12 6. (x ) dx d 1 7. (x ) dx d 1 8. ( ) dx x 6 d 1 9. ( 10 ) 7 dx x 1. d 3 (t ) dt 1 d 10 18. (w ) dw 5 d 19. ( s 7 ) ds 8 d 20. ( 11 ) d d 21. ( 13 ) d 17. 12 d ( 5 ) d d 100 23. ( ) d d 1 24. ( 90 ) d d 1 25. ( ) d 10 7 22. d 1 ( ) dx 3 x d 1 11. ( 5) 4 dx x 26. d 1 ( 10 9 ) dx x 27. d 1 ( ) dt 4 t 11 d ( x) dx d 3 13. ( x) dx d 14. ( x7 ) dx d 1 15. ( ) dx x d ( 9) d d 3 5 29. ( ) d d 30. ( 7 ) d d 1 31. ( 2018 ) dx x 10. 12. 28. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/16 d n ( x ) nxn 1 dx De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas d 2017 ?? 16.d 1.4 PROPIEDADES DE LA DERIVADA Las propiedades de la derivada nos muestran como derivar las funciones obtenidas a partir de las operaciones definidas entre las funciones: multiplicación por un escalar, suma /resta, producto, cociente y la Regla De La Cadena. 1.4.1 DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN d df cf ( x) c dx dx En palabras sencillas: “La derivada de una función por una constante se calcula dejando fija la constante y luego multiplicando por la derivada de la función”. Ejemplo 1.4.1.1 Calcula la derivada de g ( x) 9 ln( x) . En este caso c=9 y f ( x) ln( x) Entonces: d d 9 ln( x) 9 ln( x) dx dx 9. 1 x 1. Sacamos el 9 sin derivarlo, y dejamos indicada la derivada del ln(x). 2. Sólo calculamos la derivada de “logaritmo natural” 3. Multiplicamos las fracciones: 9 x 9 1 9 1 x x https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/17 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas d 9 9 ln( x) dx x Conclusión Ejemplo 1.4.1.2 Calcula la siguiente derivada. d 3 . dx x Solución: Tomemos C=3 y f ( x) 1 x Entonces: d 3 d 1 3 dx x dx x 3 d 12 x dx 1. Dejamos afuera el número 3 2. Subimos la raíz cuadrada ,cambiando el signo: 1 x 1 3 3 x 2 2 1 x 1 x 1 2 2 Se calculo la derivada de: x 1 2 (Derivada de una potencia). d 3 3 dx x 2 x3 Conclusión https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/18 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.1.3 Calcula la siguiente derivada. d (4 x 5 ) dx Desarrollo: d d (4 x 5 ) 4 ( x 5 ) dx dx 4(5 x 4 ) 20x 4 Conclusión: d (4 x 5 ) 20x 4 dx Ejemplo 1.4.1.4 Calcula la siguiente derivada. d ( 7 x 7 ) dx Desarrollo: d (7 x 7 ) 7(7 x 8 ) dx 49x 8 49 x8 Conclusión: https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/19 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas d 49 (7 x 7 ) 8 dx x 1.4.2 DERIVADA DE UNA SUMA/DIFERENCIA. Derivada de Una Suma: d d d ( f g) f g dx dx dx En palabras sencillas: “La derivada de una SUMA es la SUMA de las Derivadas” Otra forma de expresar esto es decir que: “La Derivada SEPARA a la suma de funciones”. Derivada de Una Diferencia: d d d ( f g) f g dx dx dx En palabras sencillas: “La derivada de una DIFERENCIA es la DIFERENCIA de las Derivadas” Otra forma de expresar esto es decir que: “La Derivada SEPARA a la diferencia de funciones”. Ejemplo 1.4.2.1 veamos como funcionan estas reglas. Calculemos d cos( x) sen( x) dx Solución: Tomemos f ( x) cos(x) y g ( x) sen( x) d d d cos(x) sen( x) cos(x) sen( x) dx f dx dx g sen( x) cos(x) 1. Separamos en dos derivadas, dejándolas indicadas. 2. En este paso calculamos las derivadas ( que ya conoces). https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/20 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas d cos(x) sen( x) cos(x) sen( x) dx Ejemplo 1.4.2.2 Calcular Concluimos simplemente cambiando el orden de la suma . d 3 x ln( x) dx Solución: f ( x) x 3 y g ( x) ln( x ) Tomamos Así: d 3 d 3 d x ln( x ) x ln( x ) dx dx dx 3x 2 1 x 2. Ahora calculamos la derivada de cada una de las funciones 3x 3 1 x 1. Separamos en dos derivadas, dejándolas indicadas 3. Realizamos la suma de fracciones multiplicando cruzado: 3x 2 1 3x 3 1 1 x x d 3 3x 3 1 x ln( x) dx x Conclusión https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/21 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.2.3. Encuentre d 4e x 10x10 dx Solución: d d d 4e x 10x10 (4e x ) (10x10 ) dx dx dx 4 4e 10(10x ) 4e x 100x 9 2. Sacamos las constantes de cada una de las derivadas. d x d e 10 x10 dx dx x 1. Separamos en dos derivadas, dejándolas indicadas d 4e x 10x10 4e x 100x 9 dx 9 3.En este paso calculamos las derivadas, en la segunda usamos un paréntesis, porque debo multiplicar por el 10 4.Efectuamos operaciones y elimino paréntesis. Conclusión OBSERVACIÓN: La regla de la suma es valida para cualquier par (o más) de funciones, no importando la forma que tengan estas (pueden ser muy complicadas), lo importante es que “separa” la suma. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/22 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.2.4 Desarrolle la siguiente derivada d 4 t 5t 5 2t 10 dt Solución: 1. Separamos en 3 derivadas y las constantes las dejamos afuera d 4 d d d t 5t 5 2t 10 (t 4 ) 5 (t 5 ) 2 (t 10 ) dt dt dt dt 4t 5 5(5t 6 ) 2(10t 11 ) Conclusión: 4 25 20 t 5 t 6 t11 d 4 4 25 20 t 5t 5 2t 10 5 6 11 dt t t t https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/23 2. Aplicamos la derivada de una potencia: bajamos el exponente y le restamos 1 3. Multiplicamos los signos en cada término y bajamos las potencias cambiando el signo de cada exponente De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.2.5 Desarrolle la siguiente derivada d 6 7 2 7 9 10 dt t t t Solución: 1. Separamos en 3 derivadas d 6 7 2 d 6 d 7 d 2 7 9 ( 10 ) ( 7 ) ( 9 ) 10 dt t t t dt t dt t dt t 6 6 d 1 d 1 d 1 ( 10 ) 7 ( 7 ) 2 ( 9 ) dt t dt t dt t d 10 d d (t ) 7 (t 7 ) 2 (t 9 ) dt dt dt 6(10t 11 ) 7(7t 6 ) 2(9t 10 ) 60t 11 49t 6 18t 10 60 18 49t 6 10 11 t t 2. Las constantes las dejamos afuera, sin derivar 3. Como las potencias están “abajo”, las subimos pero cambiamos el signo al exponente 4. Calculamos las derivadas a través de la regla para una potencia y las ponemos entre paréntesis 5. Multiplicamos, primero los signos y luego los coeficientes 6. Bajamos las potencias cambiando de signo al exponente Conclusión: d 6 7 2 60 18 7 9 11 49t 6 10 10 dt t t t t t https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/24 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejercicios 1.4.2. Resuelva las siguientes derivadas: d 3 x x2 x 2 dx d 2. ( x 4 x 3 2 x 2 3) dx d 3. (5 x 2 6 x 3 2 x 1 ) dx d 4. ( x 5 x 6 7 x 2 ) dx d 5 3 6 5. ( 1 10 ) dx x x x d 10 8 1 6. ( 3 2011 6 ) dx x x x d 3 7. (3 x 23 x ) dx x d 8. (t 4t 3 2t 2 4) dt d 3 5 1 9. ( 10 ) dt 4t t t d 10. ( z 35 z 63 z 4 ) dz d 11. (4 w5 5w4 7 w3 2 w2 4 w 1) dw d 12. (6 5 5 4 7 3 8 2 2 ) d d 13. (2r 2 3r 4 7 r 6 4r 1 2r 2) dr d 14. ( 2 3 4 2 6 4 8 2 ) d d 3 3 3 15. ( 3 3 4 ) ds s s s d 5 3 6 16. ( 1 10 ) dn n n n 1. 17. d z 35 z 63 z 4 ( ) dz z d t 3 45 t 2 23 t 5 ( ) dt t3 d x 4 x3 x 2 19. ( ) dx x4 d x x3 x 2 20. ( ) dx x2 18. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/25 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas 1.4.3 DERIVADA DE UN PRODUCTO d dv du (u v) u v dx dx dx En palabras: “ES EL PRIMERO POR LA DERIVADA DEL SEGUNDO + EL SEGUNDO POR LA DERIVADA DEL PRIMERO” ¡IMPORTANTE! NO ES CIERTO QUE: d d d (u v) u v dx dx dx Esto es: La derivada del producto NO ES el producto de las derivadas. Por ejemplo sabemos que d 10 ( x ) 10x 9 dx Pero si fuera cierta esta propiedad, tendríamos que al factorizar : x10 x 2 x 8 d 2 d 8 ( x ) ( x ) (2 x)(8 x 7 ) 16x 8 y sólo multiplicando las derivadas dx dx 9 8 por lo cual es obvio que 10x 16x Así d 10 d 2 d 8 (x ) (x ) (x ) dx dx dx https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/26 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.3.1: ¿Cómo calculamos le derivada de y cos(x) sen( x) ? Solución: ¡FACIL! La función y es el producto de u cos(x) y v sen(x) . Entonces: d d d cos(x) sen( x) cos(x) sen( x) sen( x) cos(x) dx dx dx cos(x) cos(x) sen( x) sen( x) 1.Se aplica la regla del producto se dejan indicadas las derivadas 2. Se calculan las derivadas correspondientes cos2 ( x) sen2 ( x) 3. Multiplicamos las funciones trigonométricas. Por lo tanto: d cos(x) sen( x) cos2 ( x) sen2 ( x) dx https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/27 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas d ( xe x ) . dx Ejemplo 1.4.3.2 Hallar Solución: d d d ( xe x ) x e x e x x dx dx dx x(e ) e (1) x x 1. Se aplicó la regla del producto dejando indicadas las derivadas 2.Aquí se calcularon las derivadas xe x e x 3.Se hicieron operaciones ( x 1)e x 4.Se factorizó e x xex 1 e x ( x 1)e x d ( xe x ) ( x 1)e x dx Conclusión https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/28 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.3.3 Calcula: d 6 x 3 ln( x) 5e x cos(x) dx Solución: En este ejemplo observemos que, para nuestro propósito, la operación principal es la SUMA. Por lo tanto, separamos en dos derivadas d d d 6 x 3 ln( x) 5e x cos(x) 6 x 3 ln( x) 5e x cos(x) dx dx dx Sacando las constantes de las derivadas que aparecen a la derecha de la igualdad, obtenemos: 6 d 3 d x ln( x) 5 e x cos(x) dx dx Para calcular las derivadas que aparecen usamos la regla del producto, las calcularemos por separado. Por un lado: d 3 d d x ln( x) x 3 ln( x) ln( x) x 3 dx dx dx 1 x 3 ( ) ln( x)(3 x 2 ) x x 2 3 x 2 ln( x) https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/29 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Por otro lado: d x d d e cos(x) e x cos(x) cos(x) e x dx dx dx e x ( sen( x)) cos(x)(e x ) e x sen( x) e x cos(x) sen( x) cos(x)e x Sustituyendo estos resultados, en nuestra expresión original, tenemos que: 6 d 3 d x ln( x) 5 e x cos(x) 6 x 2 3 x 2 ln( x) 5 sen( x) cos(x)e x dx dx 6 x 2 1 3 ln( x) 5 sen( x) cos(x)e x Nuestro resultado final es: d 6 x 3 ln( x) 5e x cos(x) 6 x 2 1 3 ln( x) 5 sen( x) cos(x)e x dx https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/30 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.3.4 Pregunta: ¿Qué pasa si queremos calcular d xe x sen(x) ? dx Respuesta: Bueno, aquí aparece el producto de 3 funciones, a saber: x , e x y sen(x) Existe una fórmula, pero antes de verla, vamos a resolverla usamo la fórmula para dos funciones, agrupando cualesquiera dos de ellas y considerándola como una sola función. Podemos agruparlas de la siguiente manera: xe sen(x) x y usar la regla del producto con u xe y v sen(x ) . x Entonces: d d d xe x sen( x) xe x sen( x) sen( x) xe x dx dx dx d d xe x cos(x) sen( x) x e x e x x dx dx xe x cos(x) sen( x) x(e x ) e x (1) xe x cos(x) e x sen( x)( x 1) e x x cos(x) ( x 1) sen( x) d xe x sen( x) e x x cos(x) ( x 1) sen( x) dx Queda como ejercicio agrupar de otra manera y calcular la derivada (el resultado debe ser el mismo).En general, para tres funciones: d du dv dw Es decir, en cada término se deriva una (u v w) vw u w u v dx dx dx dx función y las demás se dejan fijas. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/31 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejercicios para la sección 1.4.3 Derivada de Un Producto. d dv du (u v) u v dx dx dx d 2 x (x e ) dx d 2. e x ln( x) dx d 3. x cos(x) dx d 4. xsen( x) dx d 5. x 3 cos(x) dx d 6. x 3 x dx d 7. x 2 e x dx d 8. 4 x ln( x) dx d 9. x10 e x dx d 10. sen2 ( x) dx d 11 cos2 ( x) dx d 12. ( x 3 1)( x 4 1) dx d 13. (2t 7)(3t 2 t ) dt d 14. ( z 2 1)( z 2 1) dz d 15. (4 s 7 6)(5s 9 9) ds 1. d 3 x (x e ) dx d 17. e x ln( x) dx d 18. e x cos(x) dx d 19. x 4 sen( x) dx d 20. x 3 cos(x) dx d 21. x 3 x dx d 22. x 2e x dx d 23. 3 x ln( x) dx d 24. x 2018e x dx d 25. ( s 3 s ) s ds d 26 t ( t t) dt d 27. ( x 3 x 2 )( x 4 x 3 ) dx d 28. (t 5 t 4 )(t 2 t 7 ) dt d 29. (4 z 2 3 z 6 )(5 z 8 8 z 2 ) dz d 30. (4 s 7 6 s 5 )(5s 9 9 s10 ) ds 16. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/32 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas d 2 ln ( x) dx d 32. ( x 1 x 2 )( x 3 x 4 ) dx d 33. (3t 3 t 3 )(4t 2 6t 4 ) dt d 34. (9s 3 4 s 5 )(6 s 10 5s10 ) ds En los siguientes ejerciciosdel 35 al 39 aplicar 2 veces la derivada de un producto : d 35. xsen( x) 4e x ln( x) dx d 3 36. x ln( x) 6e x cos(x) dx d 37. x sen( x) 2sen( x) cos(x) dx d 3 38. x ( x 1) ( x 1) cos(x) dx d 100 2 39. x ( x x) ( x100 x) x dx En los siguientes ejerciciosdel 40 al 50 aplica la fórmula para la derivada del producto de 3 funciones : 31. d 2 x x e ln( x) dx d 41. 4 xe x ln( x) dx d x 42. e sen( x) cos(x) dx d 43. sen(t ) cos(t ) ln(t ) dt d 44. (t 2 1)(t 3 t )(t 4 2t ) dt d 45. ( 2 7 )(6 3 9 )(8 4 2 ) d d 46. ( x 3 x 2 )( x 2)( x 4 x 3 ) dx d 47. ( x e x )( x 2 ln x)( x 4 x) dx d 48. s 5 ln( s ) cos(s ) ds d 49. ( 2 )( 3 2 )( 4 3 ) d d 50. (1 senq)(1 cos q )(1 q 9 ) dq 40. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/33 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas 1.4.4 DERIVADA DE UN COCIENTE d u dx v v du dv u dx dx v2 En palabras simples: “EL DE ABAJO” POR LA DERIVADA DEL “DE ARRIBA” MENOS EL “DE ARRIBA” POR LA DERIVADA DEL “DE ABAJO” ENTRE EL DE ABAJO AL CUADRADO. NOTA: Habrás observado que el número, y la forma de las funciones que podemos derivar va en aumento a medida que vamos estudiando más propiedades. Veamos algunos ejemplos de la regla del cociente. Ejemplo 1.4.4.1 Hallar d x2 dx cos(x) Solución: d 2 x d x2 dx OJO!!!! dx cos(x) d cos(x) dx Es decir, LA DERIVADA DE UN COCIENTE NO ES EL COCIENTE DE LAS DERIVADAS Debemos aplicar la regla con u x 2 y v cos(x) https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/34 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas d x dx cos(x) 2 cos(x) d 2 d x x2 cos(x) dx dx cos2 ( x) cos(x)(2 x) x 2 sen( x) cos2 ( x) 1.Se aplicó la regla del cociente dejando las derivadas solamente indicadas 2.Se calcularon las derivadas 3.Se hicieron operaciones, se multiplicaron signos 2 x cos(x) x 2 sen( x) cos2 ( x) d x 2 2 x cos(x) x 2 sen( x) dx cos(x) cos2 ( x) Conclusión Una observación sobre la forma de las soluciones: En principio lo que me interesa es que desarrolles gran habilidad para aplicar cada una de las reglas, por tanto, si posees las bases algebraicas para manipularlas y simplicarlas ¡ADELANTE! Si no, no te preocupes puedes dejarlas como queden (sin olvidar que más adelante tendrás que simplicarlas).además debe quedar claro que no existe, en general, una forma única de expresarlas. d x . Ejercicio 1.4.4.2 Encuentra dx ln(x) Solución: d x dx ln( x) ln( x) d d x x ln( x) dx dx 2 ln ( x) 1 ln( x)(1) x x 2 ln ( x) 1.Nuevamente aplicamos la regla del cociente, dejando indicadas las derivadas 2. Calculamos la derivada de lo que estaba indicada en el paso anterior. 3.CUIDADO ! ln( x) 1 ln 2 ( x) d x ln( x) 1 dx ln( x) ln 2 ( x) 1 x 1 , aquí se elimina la x. x Conclusión https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/35 De La Serie Como Aprendo… Como Aprendo Derivadas Ejercicio 1.4.4.3 Encuentra d t 1 . dt t 2 t Desarrollo: ¡ALERTA! Observa con mucho cuidado TODO el desarrollo en este ejemplo. d t 1 dt t 2 t (t 2 t ) d d (t 1) (t 1) (t 2 t ) dt dt (t 2 t ) 2 (t 2 t )(1) (t 1)(2t 1) (t 2 t ) 2 t 2 t (2t 2 t 2t 1) (t 2 t ) 2 t 2 t 2t 2 t 2t 1 (t 2 t ) 2 t 2 2t 1 (t 2 t ) 2 Conclusión: d t 1 t 2 2t 1 dt t 2 t (t 2 t ) 2 https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/36 Adolfo Chapuz Benítez De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.4.4 Hallar d 6 . 4 3 dx 5 x 3 x Desarrollo: d 6 4 3 dx 5 x 3 x (5 x 4 3 x 3 ) d d (6) 6 (5 x 4 3 x 3 ) dx dx (5 x 4 3 x 3 ) 2 (5 x 4 3 x 3 )(0) 6(20x 3 9 x 2 ) (5 x 4 3 x 3 ) 2 120x 3 54x 2 (5 x 4 3 x 3 ) 2 Conclusión: 3 2 d 6 120x 54x dx 5 x 4 3x 3 (5 x 4 3x 3 ) 2 Ejemplo 1.4.4.5 Hallar d xsen( x) dx e x cos(x) Solución: Aquí f ( x) xsen( x) y g ( x) e x cos(x) Entonces: d xsen( x) dx e x cos(x) e x cos(x) d xsen( x) xsen( x) d e x cos(x) dx dx 2 x e cos(x) … Ecuación 1 Las derivadas que aparecen deben calcularse mediante la regla del producto (ya que son productos).Se deja como ejercicio obtenerlas (no debe existir problema alguno). Se obtiene: https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/37 De La Serie Como Aprendo… Como Aprendo Derivadas d xsen( x) x cos(x) sen( x) dx y d x e cos(x) e x cos(x) sen( x) dx Al sustituir en la ecuación 1, tenemos: ¡ALERTA! Observa con mucho cuidado TODO el desarrollo en este ejemplo. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/38 Adolfo Chapuz Benítez De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas d xsen( x) e x cos(x)x cos(x) sen( x) xsen( x) e x cos(x) sen( x) dx e x cos(x) e x cos(x)2 xe x cos2 ( x) e x cos(x) sen( x) xe x sen( x) cos(x) xe x sen2 ( x) e 2 x cos2 ( x) xe x cos2 ( x) xe x sen2 ( x) e x cos(x) sen( x) xe x sen( x) cos(x) e 2 x cos2 ( x) xe x cos2 ( x) sen2 ( x) e x cos(x) sen( x)1 x e 2 x cos2 ( x) xe x (1) e x cos(x) sen( x)1 x e 2 x cos2 ( x) e x [ x cos(x) sen( x)1 x ] e 2 x cos2 ( x) x cos(x) sen( x)1 x e x cos2 ( x) Factorizamos xex Una identidad trigonométrica cos2 ( x) sen2 ( x) 1 Eliminamos una arriba con una ex e x de de abajo. d xsen( x) x cos(x) sen( x)1 x dx e x cos(x) e x cos2 ( x) Factorizamos Conclusión https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/39 ex De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas EJERCICIOS PARA LA SECCIÓN 1.4.4. Derivada de Un Cociente. 1. d x2 x dx 1 x 3 16. 2. d x dx cos(x ) d x 2 sen( x) dx e x cos(x) 17. 3. d x dx sen( x) d x 2 x 3 dx x 3 x 2 18. 4. d x dx e x d 4 x 4 6 x 1 dx x 5 x 2 19. 5. d sen( x) dx cos(x) d x 10 dx x x 5 20. 6. d 1 dt cos(t ) d 1 dx x 1 21. d 1 dt t 2 1 7. d 1 dx sen( x) 22. d 1 dx 1 x 10 8. d ln( x ) dx x 23. d x ln( x) dx x d et dt t d x 1 10. dx x 1 d 1 x2 11. dx 2 x 3 9. 24. d tet dt t d 3x 1 25. dx 7 x 1 26. d 1 x3 dx 1 x 3 12. d 4x5 2x3 dx x 4 7 x 2 27. d x 3 dx 3 x 1 13. d 1 t 100 dt t 3 28. d (1 t 100 )(t t 2 ) dt (t 3) 14. cos(x) d dx sen( x) cos(x) 29. d sen( x) cos(x) dx sen( x) cos(x) 15. d x3 x 2 2x 1 dx 10x10 5 x 5 30. d x3 x 2 2x 1 2 dx 10x 5 x 10x10 5 x 5 https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/40 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas 1.4.5 DERIVADAS TRIGONOMETRICAS. En ésta sección vamos a calcular la derivada de las funciones trigonometricas tangente, cotangente, secante y cosecante, usando la propiedad de la derivada de un cociente y a partir de las funciones seno y coseno. Vamos a obtener 4 formulitas que agregaremos a nuestro formulario básico dado al inicio de éstas notas. Para éste fin, redordemos como se definen las siguentes 4 funciones trigonométricas a partir de las funciones básicas, seno y coseno. tan( x) sen( x) cos(x) Función tangente cot(x) cos(x) sen( x) Función cotangente sec(x) 1 cos(x) Función secante csc(x) 1 sen( x) Función cosecante cos2 ( x) sen2 ( x) 1 IDENTIDAD PITAGÓRICA https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/41 De La Serie Como Aprendo… Como Aprendo Derivadas La Derivada de la Tangente es Secante Cuadrada. d tan( x) sec2 ( x) a). dx Demostración: sen( x ) Partimos de derivar el cociente … cos(x ) d d sen( x) tan( x) dx dx cos(x) cos(x) d d sen( x) sen( x) cos(x) dx dx cos2 ( x) cos(x) cos(x) sen( x) sen( x) cos2 ( x) cos2 ( x) sen2 ( x) cos2 ( x) 1 cos2 ( x) 1 cos(x) 2 sec(x) 2 sec2 ( x) Por lo tanto: d tan( x) sec2 ( x) dx https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/42 Adolfo Chapuz Benítez De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Otra forma de expresar la derivada de la tangente es la siguiente. d tan( x) 1 tan 2 ( x) b). dx Demostración. Partimos del cuarto renglón del desarrollo anterior y en vez de usar la identidad pitagórica, la expresión se separa usando el común denominador cos2 ( x) . d cos2 ( x) sen2 ( x) tan( x) dx cos2 ( x) cos2 ( x) sen2 ( x) cos2 ( x) cos2 ( x) sen( x) 1 cos(x) 2 1 tan( x) 2 1 tan 2 ( x) Conclusión: d tan( x) 1 tan 2 ( x) dx https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/43 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas La Derivada de Cotangente es Menos Cosecante cuadrada. d cot(x) csc2 ( x) c). dx Demostración: cos(x ) La idea consiste en derivar el cociente . sen( x ) d d cos(x) cot(x) dx dx sen( x) sen( x) d d cos(x) cos(x) sen( x) dx dx 2 sen ( x) sen( x) sen( x) cos(x) cos(x) cos2 ( x) sen2 ( x) cos2 ( x) sen2 ( x) sen2 ( x) cos2 ( x) sen2 ( x) 1 sen2 ( x) 1 sen( x) 2 csc(x) 2 csc2 ( x) Conclusión: d cot(x) csc2 ( x) dx https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/44 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas La Derivada de la Secante es Secante por Tangente. d sec(x) sec(x) tan( x) d). dx Demostración: Empeamos derivando el cociente que define a la secante sec(x) d d 1 sec(x) dx dx cos(x) cos(x) d d (1) (1) cos(x) dx dx 2 cos ( x) cos(x) 0 (1) sen( x) cos2 ( x) sen( x) cos2 ( x) sen( x) cos(x) cos(x) 1 sen( x) cos(x) cos(x) sec(x) tan( x) Conclusión: d sec(x) sec(x) tan( x) dx https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/45 1 cos(x) De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas La Derivada de la Cosecante es Menos cosecante por Cotangente d csc(x) csc(x) cot(x) e). dx Demostración: Empeamos derivando el cociente que define a la cosecante csc(x) d d 1 csc(x) dx dx sen( x) sen( x) d d (1) (1) sen( x) dx dx sen2 ( x) sen( x) 0 (1)cos(x) sen2 ( x) cos(x) sen2 ( x) cos(x) sen( x) sen( x) 1 cos(x) sen( x) sen( x) csc(x) cot(x) Conclusión: d csc(x) csc(x) cot(x) dx https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/46 1 sen( x) De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Formulario actualizado. En resumen hemos obtenido hasta este punto las siguientes expresiones para calcular derivadas. Derivadas de Algunas Funciones elementales. d [cons tan te] 0 dx d 1. ( x ) 1 dx d du 2. e u e u dx dx 0. 3. d du cos(u ) sen(u ) dx dx 4. d du sen(u ) cos(u ) dx dx 5. d du tan(u ) sec2 (u ) dx dx 6. d du cot(u ) csc2 (u ) dx dx 7. d du sec(u ) sec(u ) tan(u ) dx dx 8. d du csc(u ) csc(u ) cot(u ) dx dx 9. d 1 du ln(u ) dx u dx d n du u nu n 1 dx dx d 1 du 11. ( u ) dx 2 u dx 10. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/47 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Propiedades de la Derivada. 1. Derivada de Una Constante por una Función d c f ( x) c df ( x) dx dx 2. Derivada de un Producto. de 2 funciones : d u v u dv v du dx dx dx d u v w v w du u w dv u v dw dx dx dx dx 3. Derivada de un Cociente. de 3 funciones : d u dx v v du dv u dx dx v2 1.4.5 REGLA DE LA CADENA La siguiente regla para derivar es una de las más importantes del cálculo. Ella, junto con las anteriores, nos dará la pauta para calcular cualquier cantidad de derivadas. Se usa para derivar composición de funciones (función de función). Hemos aprendido a derivar expresiones del tipo: f ( x) sen( x), y x , y x 2 ln( x), y e x cos(x), etc En donde las funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc. Sólo tienen como argumento a la variable x . Pero no sabemos como derivar expresiones del tipo, por ejemplo: y sen( x 6 x) ó y e 2 x 7 3 En donde las funciones “seno” y exponencial tienen como argumento a expresiones un poquito más complicadas en la variable x . Empezaremos con un ejemplo para dar la idea de cómo funciona. Intentemos calcular la derivada de y (e x ln( x))3 Una forma sería desarrollar el binomio al cubo y luego derivar término a término https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/48 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas (Esto sería muy complicado si la potencia fuera, digamos, 100). Para evitar esto observaremos la expresión detenidamente. Si hacemos u e ln(x) entonces y depende de u y se puede ver como y u , como y es una potencia, se antojaría derivar como una potencia y podríamos concluir que x 3 dy 3u 2 .Esto es “correcto a medias”.Seria cierto si y sólo dependiera de u . dx du Como u depende de x hay que multiplicar por , entonces nuestra derivada completa dx seria: dy du 3u 2 dx dx entonces,sustituyendo, obtenemos... 3 e x ln( x) 2 d x (e ln( x)) dx 2 1 3 e x ln( x) (e x ) x 2 dy 1 3 e x ln( x) (e x ) dx x En resumen: y en términos de la variable u , para transformarla en una función 3 que se pueda derivar fácilmente ( y u ). 1.- Se puso la función 2.-Esta expresión, y u , se derivó respecto a u y luego se multiplicó por la derivada de u respecto de x . El siguiente resultado generaliza el proceso utilizado. 3 https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/49 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas TEOREMA (REGLA DE CADENA). Sean f (x ) y u (x ) tales que y f u x está bien definida y tales que la siguiente relación tenga sentido. Entonces la derivada de y , respecto a x es: dy dy du dx du dx f u x f (u( x)) u( x) Analicemos detenidamente esta regla, ya que de ella depende en gran medida el cálculo de derivadas de funciones cuya expresión son algo elaboradas. Interpretación de dy dy du . dx du dx Primero: Esta regla sirve para derivar composición de funciones. Algunos ejemplos para los que la regla funciona son: 2. y x 1. y x 2 1 3 3 3x 2 3 3. y cos(x 4 3) 4. y sen(cos(x 2)) 5. y e tan( x ) Segundo: en la expresión que aparece en el teorema la u aparece como un intermediario para poder calcular la derivada respecto a x .Se deriva primero respecto a u y luego respecto a x . A continuación se presentan algunos pasos que facilitarán el uso correcto de la regla de la cadena. PASOS PARA USAR LA REGLA DE LA CADENA: https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/50 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Sea y f (u ( x)) . 1.- Se identifica a u (x ) 2.- Se escribe y en términos de u ( y f (u ) ) 3.- Calculamos dy du y du dx 4.-Multiplicamos éstas derivadas 5.- La respuesta se deja en términos de la variable x. Más adelante daremos una manera de aplicar la regla de la cadena sin tener que utilizar la expresión anterior, sólo se verá el razonamiento necesario para esto. Interpretación de f (u ( x)) f (u ( x)) u( x) . Para derivar una composición de funciones… “ Se deriva la primera función (f) y se deja fija la función de adentro (la u) , luego se multiplica por la derivada de la función que había quedado fija dentro de f ”, Ejemplos de la aplicación de ésta forma se da en los siguentes desarrollos. Ejemplo 1.4.5.1 Calcular d 2 ( x 1) 3 dx Solución: https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/51 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas 1. Bajamos el 3, le restamos 1 al exponente, sin derivar lo que está adentro. d 2 d ( x 1)3 3( x 2 1) 2 ( x 2 1) dx dx NOTA: Agregamos al final la derivada de lo de adentro 3( x 2 1) 2 (2 x) 2. Calculamos la derivada de lo que estaba indicada en el paso anterior. 6 x( x 2 1) 2 3. Multiplicamos los coeficientes y eso es todo dy 6 x( x 2 1) 2 dx Conclusión Se deriva primero la función “cúbica” dejando fijo lo que está adentro, luego multiplicamos por la derivada de lo que dejamos sin derivar. Ejemplo 1.4.5.2 Calcular d 3 ( x 3x 2)10 dx Solución. Consideramos la misma idea, lo primero que derivamos es la DÉCIMA POTENCIA . d 3 d ( x 3x 2)10 10( x 3 3 x 2) 9 ( x 3 3x 2) dx dx 10( x 3 3 x 2) 9 (3 x 2 3) 10(3x 2 3)( x 3 3x 2) 9 https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/52 1.Bajamos el 10, le restamos 1 al exponente, dejamos fijo lo que está adentro y multiplicamos por la derivada de lo que dejamos fijo . 2.Calculamos la derivada que dejamos indicada en el paso anterior 3.Simplemente cambiamos el orden de los factores. De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas dy 30( x 2 1)( x 3 3x 2) 9 dx 4.Concluimos factorizando el 3 del primer factor y multiplicando por el 10, eso nos dá 30. ¡UNA OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE! En principio, una posible respuesta que los estudiantes creen que es la correcta es la siguiente: dy 10(3 x 2 3) 9 dx El error aquí es que se derivó “al mismo tiempo” como una potencia y también lo que está adentro del paréntesis. Lo correcto es derivar la potencia y dejar fijo lo que está adentro. Luego multiplicar por la derivada de lo de adentro. Ejemplo 1.4.5.3 Calcular d (5 x 2 3x) 3 dx Solución. Observa bien el desarrollo de este ejemplo, es como los anteriores. d d (5 x 2 3x) 3 3(5 x 2 3x) 4 (5 x 2 3x) dx dx 3(5 x 2 3x) 4 (10x 3) 3(10x 3)(5 x 2 3x) 4 (30x 9)(5 x 2 3x) 4 https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/53 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Conclusión: d 30x 9 (5 x 2 3x)3 dx (5 x 2 3x) 4 Ejemplo 1.4.5.4 Veamos como calculamos d cos(x 4 3) . dx Solución: x 4 3) Sea y cos( u 2. Multiplicamos por la derivada de lo que está adentro d d cos(x 4 3) sen( x 4 3) ( x 4 3) dx dx 1. Derivamos la función coseno sin derivar lo que está adentro 3. Calculamos la derivada que dejamos indicada en el paso anterior sen( x 4 3) 4 x 3 4 x 3 sen( x 4 3) 4.Eliminamos paréntesis y cambiamos el orden de los factores. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/54 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas d cos(x 4 3) 4 x 3 sen( x 4 3) dx CONCLUSIÓN La idea es derivar la función COSENO y dejar fijo lo que está adentro. Posteriormente se multiplica por derivada de lo que está adentro. Ejemplo 1.4.5.5 Calcula d sen(4 x 5 x 2 5) dx Solución: 1. Derivamos la función seno sin derivar lo que está adentro 2. Multiplicamos por la derivada de lo que está adentro d d sen(4 x 5 x 2 5) cos(4 x 5 x 2 5) (4 x 5 x 2 5) dx dx cos(4 x 5 x 2 5) 20x 4 2 x 20x 4 2 x cos(4 x 5 x 2 5) d sen(4 x 5 x 2 5) 20x 4 2 x cos(4 x 5 x 2 5) dx https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/55 CONCLUSIÓN 3. Calculamos la derivada que dejamos indicada en el paso anterior 4. Cambiamos el orden de los factores. De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.5.6 Calcula la derivada de y e cos( x ) Solución: u dy d cos( e x) dx dx e cos( x ) 1. La derivada de la función exponencial es la misma exponencial…dejamos sin derivar el “coseno” d cos(x) dx e cos( x ) sen( x) sen( x)e cos( x ) dy sen( x)ecos( x ) dx 2. Multiplicamos por la derivada del exponente 3. La derivada de la función coseno es “-seno”. Agregamos paréntesis 4. Multiplicamos signos, eliminamos paréntesis y cambiamos el orden de los factores, colocamos la función seno al principio. CONCLUSIÓN IDEA: Se deriva la función exponencial, se deja fijo el coseno. Luego se multiplica por la derivada de la función coseno. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/56 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.5.7 Calcular d ln x 3 sen( x) dx Solución: 1. Derivamos la función logaritmo esto es: pasamos dividiendo lo que está adentro del logaritmo y dejamos indicada su derivada d 3 1 d ln x sen( x) 3 x 3 sen( x) x sen( x) dx dx u 1 x 3 cos(x) 3 x 2 sen( x) x sen( x) 3 2. Calculamos la derivada usando la regla del producto 3. Factorizamos la x2 . x2 x cos(x) 3sen( x) 3 x sen( x) x cos(x) 3sen( x) xsen( x) d x cos(x) 3sen( x) ln x 3 sen( x) dx xsen( x) https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/57 2 4. Eliminamos una x del numerador y denominador x2 1 3 x sen( x) xsen( x) 5. Conclusión De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.5.8 Desarrolla d tan(cos(sen(sec(( x ))))) dx Solución: IDEA: Empezamos derivando de afuera hacia adentro. En cada paso se va dejando fijo lo que está adentro de la función que se deriva, hasta llegar hasta la función que está hasta más adentro. ES UN PROCESO EN CADENA (de ahí el nombre) En este caso, empezamos con la función “tangente” hasta llegar a la función “secante”. Punto. 1. La derivada de “tangente” es “secante cuadrada”…NO derivamos lo de adentro 2. TODO LO QUE ESTÁ ADENTRO QUEDA FIJO!! d d tan(cos(sen(sec(( x ))))) sec2 (cos(sen(sec(( x ))))) cos(sen(sec(( x )))) dx dx 3. Pero…al final derivamos lo que dejamos fijo sec2 (cos(sen(sec(( x ))))) [ sen( sen(sec(( x ))))] d sen(sec(( x ))) dx sec2 (cos(sen(sec(( x ))))) [ sen( sen(sec(( x ))))] cos(sec(( x ))) d sec(( x )) dx sec2 (cos(sen(sec(( x ))))) [ sen( sen(sec(( x ))))] cos(sec(( x ))) sec(( x )) tan(( x )) sec2 (cos(sen(sec(( x ))))) [ sen( sen(sec(( x ))))] cos(sec(( x ))) sec(( x )) tan(( x )) 1 2 x 1 2 x d ( x) dx 1 2 x sec2 (cos(sen(sec(( x ))))) sen( sen(sec(( x )))) cos(sec(( x ))) sec(( x )) tan(( x )) sec2 (cos(sen(sec(( x ))))) sen( sen(sec(( x )))) cos(sec(( x ))) sec(( x )) tan(( x )) Conclusión https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/58 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejemplo 1.4.5.9 En éste ejemplo usamos la regla de la cadena para encontrar una expresión para la derivada de la función exponencial generalizada d x (a ) . dx Desarrollo: x x Primero expresamos la exponencial a en términos de la exponencial natural e . Recordamos la siguiente propiedad de la exponencial y logaritmo natural: (base)exponente eexponenteln(base) Una potencia se escribe en térnimos de la exponencial como sigue: “ e al exponente, por el logaritmo natural de la base”. Entonces a e x x ln(a ) . para derivar usamos, derivada de la exponencial: da x d e xln(a ) . x ln(a ) dx dx e xln(a ) ln(a ) dx dx a x ln(a )(1) a x ln(a ) Por lo tanto: da x a x ln(a) dx dau du au ln(a) La forma general para la regla de la cadena es dx dx https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/59 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas g ( x) Ejemplo 1.4.5.10. Derivada de f ( x) En éste ejemplo usamos la regla de la cadena para encontrar una expresión para la derivada de “ Una función elevada a otra función”. Con esta expresión podremos calcular derivadas de funciones del tipo: x sen( x)cos( x ) , x x , ( x )ln x , (ln x)cot x , xe , ( x3 ) x , etc. Desarrollo: g ( x) x Primero expresamos la exponencial f ( x) en términos de la exponencial natural e . Recordando nuevamente la propiedad de la exponencial y logaritmo natural: (base)exponente eexponenteln(base) Obtenemos la expresión f ( x) g ( x) e g ( x )ln( f ( x )) y derivando… df ( x) g ( x ) d e g ( x )ln( f ( x )) . g ( x) ln( f ( x)) dx dx d d e g ( x )ln( f ( x )) g ( x) ln( f ( x)) ln( f ( x)) g ( x) dx dx 1 e g ( x )ln( f ( x )) g ( x) f ( x) ln( f ( x)) g ( x) f ( x) f ( x) f ( x) g ( x ) g ( x) g ( x) ln( f ( x)) f ( x) https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/60 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Las fórmulas de la regla de la cadena correspondientes a las derivadas de las du funciones elementales quedan de la siguiente manera (sólo hay que agregar ): dx d (c ) 0 dx d 2. ( x ) 1 dx d du 3. eu eu dx dx d du 4. a u ln(a)a u dx dx d 1 du 5. ln(u ) dx u dx d du 6. cos(u ) sen(u ) dx dx 1. d du sen(u ) cos(u ) dx dx d du 8. tan(u ) sec2 (u ) dx dx 7. 9. d du cot(u ) csc2 (u ) dx dx 10. d du sec(u ) sec(u ) tan(u ) dx dx d du csc(u ) csc(u ) cot(u ) dx dx d du 12. u n nu n1 dx dx 11. https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/61 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas Ejercicios para la sección 1.4.5 (Regla de la Cadena) Calcula la derivada de las siguientes funciones 1. y 4 x 3 3 x 1 2. y tan( sen( x)) 3. y 1 x 4. f ( x) cos(x) sen( x) 2e tan( x ) 100 5.T ( x) 1 ex 1 e x 6.G ( x) e cos( x 2 ) 7.g ( x) cos11 (2 x) 8. y cos(ln(x)) ln(cos(x)) 9. f (t ) tan 4 (t ) cos(tan(t )) 10.g (t ) tan( e x e x ) 11.T (t ) ln(t 5 3t 2 t 4) 12. y cot(6 5 x 5 6 x 6 2 x 2 ) 13.Q ( z ) e z ln( z 3) 14. y sen3 ( x) cos(xsen( x)) 4 15. y tan 1 cos(cot(x) ) 100 16. Las funciones seno y coseno hiperbólico se definen mediante senh( x) cosh( x) e x ex y 2 d d e x ex senh( x) cosh(x) y cosh( x) senh( x) . .Demuestra que: dx dx 2 https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/62 De La Serie Como Aprendo… Adolfo Chapuz Benítez Como Aprendo Derivadas EJERCICIOS DIVERSOS. Encuentra la derivada de las siguientes funciones. 1. f ( x) 3 x10 55 x 8 2.g ( x) cos( x 20 x 2 ) tan( x) 3.h( x) sen( x) 4. f ( x) sec5 ( x 2 x) cos2 (t ) sen2 (t ) csc(t ) sec(t ) 6. y tan(tan(tan( x))) 5.T (t ) 7.g ( x) cos10 ( sen( x )) 8.h(t ) cot1 (t 2t 2 ) 1 9. f ( x) csc( ) x 1 10.g ( x) cot( 4 ) x deu du eu dx dx x 12. y a , sugerencia : tomar la misma idea que el ejercicioanterior 11. y a x , sugerencia : hacer a x e xln(a ) y derivar usando 13. f ( x) e ee ex 14. f ( x) x x 15.h( x) ln(cos(sen(e cos( x4 ) ))) 16.g ( x) x12 cos(tan(ln( x))) 1 x 1 x 17. f ( x) x tan( x) x2 ln( x) x x 1 x https://www.facebook.com/ComoAprendoMatematicas/63
