Leibniz

Sesión
26
Series alternadas
Temas
Capacidades
X Series alternadas.
X Convergencia
cional.
absoluta
y
B Conocer y aplicar el criterio para estudiar series alternadas.
condi-
B Conocer y aplicar el teorema de la
convergencia absoluta.
B Aplicar los criterios de series positivas, para determinar convergencia
absoluta.
26.1
Introducción
Gottfried Leibniz
Alemán (1646 - 1716)
La mayorı́a de las series estudiadas hasta el momento
han sido series de términos positivos. En particular, los criterios tratados han sido condicionados para
tales series.
En esta sesión se estudiarán series cuyos términos
son positivos y negativos.
Una clase de estas series son las series cuyos términos
alternan en signo. En 1705 Leibniz observó estas series y demostró que si se cumplen ciertas condiciones,
se garantiza que una serie alternada converge. Este
teorema se llama criterio de las series alternadas o
criterio de Leibniz.
También se estudiará ciertas series de términos positivos y negativos, sin ser alternadas, y
algunas condiciones que permiten estudiar su convergencia.
185
Sesión 26
26.2
Series alternadas
Series de términos positivos y negativos
Si en una serie el número de términos negativos es finito, el estudio de su comportamiento
se puede realizar aplicando criterios de las series de términos positivos.
El problema está cuando una serie tiene infinitos términos positivos e infinitos términos
negativos.
Entre estas series se encuentran las llamadas series alternadas o series alternantes. Por
ejemplo, la serie:
+∞
X
(−1)n+1
n=1
n
=1−
1 1 1
(−1)n+1
+ − + ... +
+ ...
2 3 4
2n
es una serie alternada.
Un ejemplo de una serie de términos positivos y negativos, sin ser alternada es:
+∞
X
sin n
n=1
n2
=
sin 1 sin 2 sin 3
sin n
+
+
+ ... + 2 + ...
1
4
9
n
Para decidir si una serie de esta clase converge o nó, se estudiará la serie de los valores
absolutos de sus términos. Ciertos resultados permitirán ampliar el uso de los criterios para
series positivas, a otras series.
26.3
Definición de series alternadas
Una serie se dice alternada cuando sus términos son alternativamente positivos y negativos (o negativos y positivos).
Es decir, si an > 0 para cada n ∈ N, entonces las series alternadas pueden ser de las
siguientes formas:
+∞
X
(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − . . . + (−1)n+1 an + . . .
n=1
o
+∞
X
(−1)n an = −a1 + a2 − a3 + a4 − a5 + . . . + (−1)n an + . . .
n=1
Nota 26.1 Como el comportamiento de una serie no cambia si se modifica un número
finito de términos, esto ocurre también
Por ello, se puede decir que
P en una serie
P alternada.
una serie alternada es de la forma: (−1)n an o
(−1)n+1 an , siendo an > 0. También, se
puede considerar series alternadas donde el ı́ndice toma un valor inicial n = n0 .
Ejemplo 26.1 Las siguientes series son series alternadas:
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a)
Series alternadas
+∞
X
(−1)n
n=1
1 1 1
(−1)n
= − + − + ... +
+ ...
n+1
2 3 4
n+1
+∞ +∞
X
1 n X
1
1 1 1
1
b)
−
=
(−1)n n = 1 − + − + . . . + (−1)n n + . . .
2
2
2 4 8
2
n=0
c)
+∞
X
n=1
(−1)n+1
n=1
26.3.1
1
1
1
1
1
= 1 − + − + . . . + (−1)n+1 + . . .
n!
2! 3! 4!
n!
Criterio para series alternadas (Leibniz, 1704).
Teorema 26.1 Dada la serie alternada
Si se cumplen las condiciones:
P
(−1)n+1 an tal que an > 0.
• an > an+1 para todo n, es decir si (an ) es decreciente, y
•
lim an = 0
n→+∞
P
entonces la serie alternada
(−1)n+1 an es convergente.
Demostración
P
Probar que la serie
(−1)n+1 an converge significa probar que la sucesión de sus sumas
parciales tiene lı́mite finito.
La n−ésima suma parcial es:
Sn = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − . . . (−1)n+1 an
Se estudiará la subsucesión de sumas parciales de ı́ndice par, y la subsucesión de sumas
parciales de ı́ndice impar.
a) Estudio de la subsucesión de sumas parciales de ı́ndice par.
a1) Expresar cada suma parcial de ı́ndice par en la forma:
S2 = a1 − a2
S4 = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 )
..
.
S2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + (a5 − a6 ) + . . . + (a2n−1 − a2n )
..
.
Como la sucesión (an ) es decreciente:
ak − ak+1 > 0,
para todo k
la subsucesión de sumas parciales:
S2 , S4 , . . . S2n , . . .
es creciente.
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Series alternadas
a2) Expresar cada suma parcial S2n en la forma:
S2n = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − . . . − (a2n−2 − a2n−1 ) − a2n
• Como ak − ak+1 > 0, se obtiene que la subsucesión de sumas parciales:
S2 , S4 , . . . S2n , . . .
es acotada superiormente por a1 .
Luego, la subsucesión de sumas parciales:
S2 , S4 , . . . S2n , . . .
es creciente y acotada superiormente, por lo tanto es convergente. Luego, existe
L ∈ R, tal que lim S2n = L.
n→+∞
b) Estudio de la subsucesión de sumas parciales de ı́ndice impar.
Como:
S2n+1 = S2n + a2n+1
Luego,
lim S2n+1 = lim (S2n + a2n+1 ) = L
n→+∞
n→+∞
Estos significa que la subsucesión S2n+1 es convergente.
Luego,
la sucesión de sumas parciales Sn es convergente, lo que implica que, la serie alternada
P
n+1
(−1)
an es convergente.
Nota 26.2 Si se cumplen las condiciones del teorema anterior, entonces la serie
también es convergente.
Ejemplo 26.2 Estudiar el comportamiento de la serie
+∞
X
n=1
P
(−1)n an
1
(−1)n+1 .
n
Solución
P+∞
La serie n=1
(−1)n+1 n1 es alternada, cuyo término general es: (−1)n+1 n1 . Para aplicar el
criterio de las series alternadas, se debe estudiar la sucesión an = n1 , que es una sucesión de
términos positivos.
Estudio de la sucesión an :
• La sucesión an =
1
n
es decreciente, ya que
1
n
>
1
n+1 .
• lim an = lim n1 = 0
Por el criterio de las series alternadas, la serie
P+∞
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n+1 1
n=1 (−1)
n
converge.
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Sesión 26
Series alternadas
Gráfico de la sucesión de sumas parciales de
Ejercicio 26.1 Estudiar el comportamiento de la serie
P+∞
n+1 1
n=1 (−1)
n
+∞
X
(−1)n
n=2
Ejemplo 26.3 Determinar si la serie
+∞
X
n=1
1
.
ln n
n
converge.
(−2)n−1
Solución
Gráfico de la sucesión de sumas parciales de
Es claro que,
P+∞
n
n=1 (−2)n−1
Estudio de la sucesión an =
=
P+∞
n
n=1 (−2)n−1
P+∞
n−1 n .
n=1 (−1)
2n−1
n
,
2n−1
para n > 1.
n
• Para n > 1: 2n−1
> n+1
2n , luego la sucesión an es decreciente (verificarlo) y todos sus
términos son positivos.
• Usando la regla de L’Hopital:
luego:
lim
x→+∞
x
1
= lim
= 0,
2x−1 x→+∞ 2x−1 ln 2
n
lim an = lim 2n−1
= 0,
Por lo tanto, por el criterio de las series alternadas, la serie
Ejemplo 26.4 Estudiar si la serie
+∞
X
n=1
(−1)n
P+∞
n
n=1 (−2)n−1
es convergente.
5n + 1
es convergente.
4n − 1
Solución
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Series alternadas
• La serie es alternada, con an =
• lim an = lim 5n+1
4n−1 =
5n+1
4n−1
5
4
Luego, la sucesión an no cumple la segunda condición.
Por lo tanto, no se puede aplicar el criterio de las series alternadas para decidir si la serie
converge.
Ejercicio 26.2 ¿Se puede determinar el comportamiento de la serie dada en el ejemplo
precedente, usando el criterio del término general?.
Ejemplo 26.5 Estudiar si la serie
+∞
X
(−1)n+1
n=2
Solución
Estudio de la sucesión an =
ln n
es convergente.
n
ln n
n .
• Usando la regla de L’Hopital se obtiene:
ln x
1 − ln x
si f (x) =
entonces f 0 (x) =
x
x2
0
Como f (x) < 0 para todo x > e, la función f (x) es decreciente para x > e. Luego,
(an ) es decreciente.
• lim lnnn = 0
Luego, serie es convergente.
Gráfico de la sucesión de sumas parciales de
P+∞
n+1 ln n
n=2 (−1)
n
Ejercicio 26.3 Estudiar el comportamiento de cada serie:
a)
+∞
X
n=2
(−1)n
1
ln n
b)
+∞
X
n=2
(−1)n+1
3n + 2
4n2 − 3
c)
+∞
X
n=1
(−1)n
n
ln(2n)
Teorema 26.2 Estimación
de una serie alternante
P
Si la serie alternante (−1)n+1 an satisface las condiciones del criterio de Leibniz (luego,
es convergente), y S ∗ y Sn denotan las suma de la serie y la suma parcial de los n primeros
términos de la serie, respectivamente, entonces
|Rn | = |S ∗ − Sn | 6 an+1
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Sesión 26
26.4
Series alternadas
Convergencia absoluta
Como se mencionó al comienzo de esta sesión, hay series con términos positivos y negativos,
que no son alternadas. Por ejemplo:
+∞
X
sin n
n=1
n2
sin 1 sin 2 sin 3
sin n
+
+
+ ... + 2 + ...
1
4
9
n
=
≈ 0.84 + 0.22 + 0.015 − 0.047 − 0.038 − 0.0077 + 0.013 + . . .
¿Se puede obtener información de esta serie, estudiando la serie:
Nota 26.3 Dada cualquier serie
valores absolutos
+∞
X
P+∞
n=1 an ,
P+∞
sin n
n=1 | n2 |?
se puede considerar la serie correspondiente de
|an | = |a1 | + |a2 | + |a3 | + . . .
n=1
P
Si an > 0, entonces la serie
an es una serie de términos positivos.
El siguiente teorema da una respuesta a la pregunta anteriormente formulada.
Teorema
26.3 Dada una serie
P
an también es convergente.
P
P
an . Si la serie
|an | es convergente, entonces la serie
Demostración
• Se tiene que:
0 6 an + |an | 6 2|an |
para todo n
X
• Aplicando el criterio de comparación con la serie
2|an |, la serie:
X
(an + |an |)
es convergente
• Como: an = (an + |an |) − |an |, se tiene que:
X
X
X
an =
(an + |an |) −
|an |
• Luego, la serie
X
an converge, ya que ambas series del lado derecho son convergentes.
P
(−1)n
Nota 26.4 El recı́proco del teorema anterior no se cumple. Por ejemplo, la serie +∞
n=1
n
P
1
es convergente, aplicando el criterio de las series alternadas, y la serie armónica +∞
n=1 n es
divergente.
Ejemplo 26.6 Determinar si la serie
+∞
X
sin n
n=1
n2
converge.
Solución
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Sesión 26
Series alternadas
P+∞ sin n
Se estudiará la serie de valores absolutos:
n=1 | n2 |.
Como: | sin n| 6 1, para todo n ∈ N, luego:
sin n
1
6 2
2
n
n
P 1
Como la serie
es convergente (serie p, con p = 2 > 1), por el criterio de comparación
Pn2 sin n
directa, la serie
| n2 | es convergente.
P
sin n
Luego, por el teorema de convergencia absoluta, la serie +∞
n=1 n2 es convergente.
Gráfico de la sucesión de sumas parciales de
26.5
P+∞
n=1
sin n
n2
Definición de convergencia absoluta
P
P
Una serie
an es absolutamente convergente, siempre y cuando, la serie
|an | es
convergente.
Observaciones
a) Del teorema de convergencia absoluta, se obtiene que: si una serie converge absolutamente, entonces la serie converge.
P
b) El teorema de convergencia absoluta dice que, para determinar si una serie
P bn de
términos no nulos converge, se puede estudiar la serie de valores absolutos |bn |, que
es una serie de términos positivos, y su comportamiento se puede estudiar usando los
criterios para series de términos positivos.
Ejemplo 26.7 La serie
P
1
es convergente.
n3
P (−1)n
n3
es absolutamente convergente, ya que la serie
P
(−1)n
n3
=
P (−1)n
no es absolutamente convergente, ya que la serie
Ejemplo 26.8 La serie
n
P (−1)n
P1
=
n
n no es convergente.
26.6
Definición de convergencia condicional
P
Una serie
an es condicionalmente convergente, si y sólo si, la serie converge pero no
absolutamente.
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Sesión 26
Series alternadas
X (−1)n
√
es una serie condicionalmente convergente.
n
En efecto. por el criterio
de
series alternadas, la serie es convergente. La serie de los
n
Plas
√ |=
√1 es divergente (serie p, con p = 1 ).
valores absolutos | (−1)
2
n
n
Ejemplo 26.9 La serie
26.7
Autoevaluación
1) Determinar si las siguientes series alternadas son convergentes o divergentes.
a)
b)
c)
∞
X
(−1)n−1
(2n − 1)2
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
(−1)n+1
2n
4n2 + 1
(−1)n 8n+2
22n (n + 1)3
2) Dada la serie:
1
1
1
1
− √ + √ − √ + √ − ...
2 2 3 3 4 4 5 5
a) Verificar que es convergente.
b) Estimar el valor de su suma con sus primeros 10 términos.
c) Acotar el error cometido.
3) Determinar si la serie dada es condicionalmente convergente, absolutamente convergente o divergente:
X (−1)n √n
a)
n+3
∞
X sin2 n
b)
n2
c)
n=1
∞
X
(−1)n+1 ln
√
n
2n
n=1
Respuestas:
1)
a) Convergente
b) Convergente
2)
b) −0.2220768299
3)
a) Condicionalmente Convergente
c) Divergente
c) 0.02405626121
b) Absolutamente Convergente
c) Absolutamente Convergente
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Sesión 26
26.8
Series alternadas
Desafı́o
Se sabe que la serie
+∞
X
1
π2
es
convergente
y
que
su
suma
es
. Verificar que la serie
n2
6
n=1
+∞
X
(−1)n+1
n=1
n2
es convergente, y calcular su suma.
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