Electromagnetismo - Estática
Electricidad
Elemento
Fuente
Campo
Campo en
Distrib.
continuas
Leyes
(estática)
{
{
Forma Integral
Forma Diferencial
Gauss
Q
∯ Ē⋅d̄S = εenc
0
E conservativo
∮ Ē⋅d̄l =0
̄ E
̄= ρ
∇⋅
ε0
̄ E
̄ =0
∇×
̄ ⋅d̄l = Δ W
V B −V A =−∫A E
Q
B
Potencial
Magnetismo
I: cantidad de carga que pasa por unidad
λ densidad lineal de carga [C/m]
λ(̄r ') dl '
I d̄l , ̄I = λ ̄
v
2
de tiempo = dQ/dt [C/seg=Ampere]
σ
densidad
superficial
de
carga
[C/m
]
q ' ̄v = ̄g dA , ̄
dQ ' = σ (̄r ') dS '
g =σ ̄v
g: densidad superf. de corriente [A/m]
ρ densidad volumétrica de carga [C/m3]
J̄ dV , ̄
J = ρ ̄v J: densidad volumétrica [C/m3*m/s=A/m2]
ρ( ̄r ') dV '
[T (Tesla)=N/(C m/s)=N/A m] 1
μ
̄ (̄r )= q (̄r −̄r ' )3 E
̄ (̄r )= 1 ∫ dQ ' (̄r − ̄r3 ' ) [N/C=V/m] B
E
̄ (̄r )= 0 (q v̄ )×( r̄−3̄r ' ) Gauss= 10-4 T
4π ε 0 ∥̄r − ̄r '∥
4π ε 0
4π
∥̄r − ̄r '∥
∥̄r −̄r '∥
̄
̄
̄
̄
̄
̄
λ
( ̄r ' ) dl ' R
ρ
( ̄r ' ) dV ' R
(i
̄ (̄r )=k e ∫
̄ (̄r )=k e ∭
̄ (̄r )=k m∫ d l ' 3)× R
̄ (̄r )=k m∭ ( J dV '3)× R
E
E
B
B
3
3
R
R
R
R
C
V
C
V
̄
1
̄
μ0
σ
( ̄r ' ) dS ' R
(
g
dS
')×
R
̄
k e=
̄ (̄r )=k e ∬
̄ (̄r )=k m∬
E
k m=
B
3
4π ε0
4π
R3
R
S
S
̄
̄
r: vector donde evalúo el campo
r': vector de fuente de campo, sobre el cual integro
R =̄r −̄r ' , R=∥R∥
V ( ̄r )=k e∫
dQ '
r
̄ =−∇ V
E
Trabajo = Fuerza x Dist. Potencial = Trabajo /Carga = Campo x Dist.
̄ =Q E
̄ =−Q ∇ V ( ̄r )=−∇ U ( ̄r )
F
Fuerza
Poisson
Forma Integral
Forma Diferencial
Ampere
∮ B̄⋅d̄l= μ0 I enc
̄ B
̄ = μ 0 J̄
∇×
∄ monopolo
∯ B̄⋅d̄S =0
̄ B
̄ =0
∇⋅
̄
̄ (̄r )=k m∭ J (̄r ') dV '
A
R
V
̄ × ̄A
̄ =∇
B
Potencial vectorial con
gauge de Coulomb
̄ =q ̄v × B
̄
̄ = I d̄l × ̄B
F
F
2
̄ =− μ0 J̄ ( ∇ 2 A x =−μ0 J x , ∇ 2 A y =−μ0 J y , ∇ 2 A z=−μ0 J z )
∇ A
∇ 2 V =− ρ/ ε0
Expansión Multipolar y Momentos
Electricidad
Expansión del potencial V
Campo E del dipolo
Expansión
̄ ̄r
( p⋅r ) r
Q ̄p⋅̄r ̄r Q
̄ (̄r )≈k e − ̄p3 +3 ̄ ̄5 ̄
+
+
+⋯ E
Multipolar V ( ̄r )≈k e
5
r r3
r
r
2r
[
Momentos
]
(
Magnetismo
Expansión del potencial A
Campo B del dipolo
m×
r
̄
̄
̄ +3 ( m⋅
̄ ̄r ) ̄r
̄ ( r̄ )≈k m
̄ ( r̄ )=k m − m
A
+⋯
B
3
5
r3
r
r
)
[
Monopolo Q: carga total
Dipolo
̄p =q d̄ (dir de - → + ) ̄p =∭V ̄r ' ρ ( r̄ ' ) dV ' [C m2]
̄ Qi , j =∭ ρ( ̄r ' ) ( 3 xi ' x j ' −r ' 2 δ i j ) dV ' [C m2]
Q/
V
xi,j= x, y o z. δij: delta de Kronecker.
̄ E fijo=0 F
̄ E var =∇ ( ̄p⋅E
̄ ) ̄τ = ̄p × E
̄ U =− ̄p⋅E
̄
Fuerzas Dip F
Cuadrup.
]
(
Monopolo No existe monopolo magnético
1
m=
I∮ ̄
r ' ×d̄l '
̄ I S n̂ =I S̄ m=
̄
2
C
)
1
d m=
̄ 2 ̄r × J̄ dv
S: Área del dipolo. n̂ Normal a la corriente con mano
derecha. m en [A m2]
Dipolo
̄ B fijo =0 F
̄ B var =∇ ( m
̄ ) ̄τ = m×
̄ U =− m
̄
F
̄ ⋅B
̄ B
̄ ⋅B
Electromagnetismo en Medios Materiales
Campos
Electricidad
̄ =ε 0 E
̄ +P
̄
Desplazamiento D
̄ E
̄ =0
∇×
ρ +ρ
Leyes en ∇⋅
̄ E
̄= L P
Medios
ε0
Magnetismo
̄ =B
̄ / μ 0− M
̄
Intensidad Magnética H
̄ D
̄ P
̄ = ∇×
̄
∇×
̄ D
̄ = ρ0 o ∯ D
̄ ⋅d̄S =Q L enc
∇⋅
S
̄ B
̄ = μ 0 ( J̄L+ J̄M )
∇×
̄ B
̄ =0
∇⋅
̄ H
̄ = J̄L o
∇×
Ley de Gauss en medios eléct., rotor ≠ 0
Si JM =0, Ampere en B
Fuentes
̄ × ̄P , ̄P × n̂
E: ρ L , σ L , ρ P ,σ P
D: ρ L , σ L , ∇
̄ ×D
̄ , D×
̄ n̂ .
P: ρ P ,σ P , ∇
̄ P
̄
ρ P =− ∇⋅
̄ ⋅̂n
σ P= P
B: J̄L , ḡL J̄M , ḡM
̄ d̄l=∬ J̄L⋅d̄S
∮C H⋅
S
Ley de Ampere en medios magnéticos, pero
̄ H
̄ M
̄ =− ∇⋅
̄ = ρM (divergencia ≠ 0)
∇⋅
Si ρM =0, Ampere en H
H: J̄L , ḡL ρ M , σ M
M: J̄M , ḡM − ρ M ,−σ M
̄ M
̄ Densidades volumétrica (JM)y superficial (gM) de
J̄M = ∇×
̄ × n̂ corriente de magnetización. JL y gL densidades de
ḡM = M
n̂
Densidades volumétrica (ρP) y superficial
corriente libres. separa los medios.
(σP) de carga de polarización. ρL y σL dens.
̄
Densidades volumétrica (ρM) y superficial (σM) de carga
̄
ρ
=−
∇⋅
M
M
de cargas libres. n̂ separa medios.
̄ n magnética. Funcionan como cargas magnéticas, en pares
σ M = M⋅̂
(σM polos Norte y Sur). n̂ separa los medios.
̄ = Δ ̄p / Δ v es la polarización del medio (momento
̄ = Δ m/
P
M
̄ Δv es la magnetización del medio (momento magnético por
dipolar por unidad de volumen)
unidad de volumen)
Teoría
Macroscópica ⟨V ( ̄r ) ⟩= k
e
[∭
V
ρ P (̄r ')
σ (̄r ' )
dV ' +∯ P
dA'
∥̄r − ̄r '∥
∥
r̄ −r̄ '∥
S
Potencial eléctrico
En
Medios
LIH
C. Cont.
]
[∭
[∭
̄ (̄r )⟩=k m
⟨A
V
]
]
J̄M (̄r )
ḡ (̄r )
dV ' +∯ M
dA' Potencial magnético
vectorial
∥̄r − ̄r '∥
r −̄r '∥
S ∥̄
ρM (̄r )
σ (̄r )
dV ' +∯ M
dA' Potencial magnético
escalar
∥
r
−
r
'∥
∥
r
−
r
'∥
̄
̄
̄
̄
V
S
̄
̄ k: constante dieléctrica, ≥ 1
̄ =B
̄ / μ μ: Permeabilidad magnética
̄ = χm H
̄ H
M
̄ = χe E
̄ D =ε E
P
χm: Suceptibilidad mag.. Diamagnéticos <0,
ε=k e ε0 χe: suceptibilidad dieléctrica
μ− μ0 μ= k m μ0
χ e =ε−ε 0
Electrete: Con Eext=0: P≠ 0 y puede χ m = μ
k e =1+ χ e
k m=1+ χ m Paramagnéticos >0, Ferromagnéticos >>0
0
̄
̄
Ē 1 ∥= Ē2 ∥
V M (̄r )=k m
̄ = ∇ × ̄P
∃ D ≠ 0. ∇ × D
̄1 ⊥ = D
̄2 ⊥
D
km: Permeabilidad relativa.
B̄1 ⊥ = B̄2 ⊥
H̄ 1 ∥= H̄ 2 ∥
Conductores Ideales
Toda la carga en las superficies. En interior:E=D=P= 0 o V=cte. E ┴ superficie del conductor, con valor σ/ε0
Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012
Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC
UBA - FCEN - Página 1
Corrientes
̄ J̄ dV . Normal hacia
I =∬S J̄⋅̂n dS . Por conservación de cargas, corriente ingresando en superficie cerrada S: I =−∯S J̄⋅̂n dS =−∭V ∇⋅
dQ d
∂ρ ̄
= ∭ ρ(̄r ' ) dV ⇒ ∭ (
+ ∇⋅̄
J )dV =0⇒
afuera de S, I positivo si entra carga en S. I =
dq dt V
∂t
v
∂ρ ̄ ̄
̄ . σ: conductibilidad (en [Ω m]), ρ = 1/ σ resistividad.
+ ∇⋅J =0 Ley de Ohm Microscópica: ̄J =σ E
∂t
̄⋅d̄l =E l . Pero I =∬ ̄
J⋅d̄S =JS =σES ⇒ I =JS /l ΔV . Llamo JS/l = R la resistencia
En un cable recto, la diferencia de potencial es ΔV =−∫C E
S
Ecuación de Continuidad:
ΔV =RI
del cable, y queda:
Ley de Ohm Macroscópica. R en [V/ A = Ohm (Ω)]
Inducción
dΦ
̄ d̄S Flujo Magnético: Φ=∬ B
̄ ⋅d̄S (unidades: Weber, [1 Wb = 1 T.m2]).
. ε=∮ E
dt
Ley de Lenz: La dirección de la corriente inducida produce un campo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético que genera esa
corriente (1-Defino n̂ para la superficie. 2-Veo signo de Φ. 3-Veo signo de dΦ/dt, si >0, ε<0 y viceversa. 4-Dirección de la corriente para ε>0 con
̄
̄ ×E
̄ =− ∂ B
regla mano derecha pulgar apuntando en n̂ , al revés para ε<0). ∇
∂t
dΦ
dΦ
dΦ dI
dI
Autoinductancia. L=
, queda ε=−
para un circuito fijo
=−
⇒ ε=−L
dI
dt
dI dt
dt
dΦ
∂Φ
dI
Inductancia Mutua. ε 12=− 12 M 12= 12 ε 12=−M 12 2 Φ 12=∬1 B̄2⋅d ̄S 1 . Φ12 es el flujo del campo magnético del objeto 2 sobre el área
dt
∂I2
dt
dI
dI
dI
dI
del objeto 1. ε12 es la emf asociada al cambio de este flujo con el tiempo. M12 = M21 = M. ε 1 =−L1 1 −M 2 , ε 2 =−M 1 − L 2 2
dt
dt
dt
dt
Ley de Faraday: ε=−
Circuitos
Elemento
Voltaje React. (Ω) Imped. (Ω) Amplit. I
Fase ϕ
Resistencia V=IR
R
ZR=R
IR0=V0/R I en fase con V: V→, I→
Capacitor V=Q/C
Inductor
XC=1/ωC
V=L dI/dt XL=ωL
Resistencia:
En serie: R = R1 + R2
Capacitancia:
Placas paralelas C=
t=∞
Complejos
Z̄ =a+b i=∣Z̄ ∣e i φ
∣Z̄ ∣= √ a 2 +b 2 ,φ=tan −1 (b /a )
r ei φ=r (cos φ+i sin φ)
ZC= - i/(ωC) IC0=V0/ZC I delante de V 90°: V→, I↑
ZL=i ωL
IL0=V0/ZL I atrás de V 90°: V→, I↓
Resistencia úníco elemento que disipa potencia, P=I2R=IV
En paralelo: 1/R = 1/R1 + 1/R2
ε0 A
̄= σ = Q
,E
d
ε0 A ε0
Cilíndrico C=
2π ε 0 L
.
ln (b /a )
En serie: 1/C = 1/C1 + 1/C2 En paralelo: C = C1 + C2
Inductancia:
t=0
Esférico C=4π ε 0 a b .
b−a
Esfera aislada C=4π ε 0 R
Con Dieléctrico: C=ke C0 (ke=ε/ε0)
μ l
Cable: L= 0
8π
μ l
μ l
μ l
Cilindro hueco: L= 0 (ln (2 l/ r)−1) , l≫r Cables paralelos: L= 0 ln( d /r ) , l≫d ≫r Coaxil: L= 0 ln( b /a)
2π
π
2π
En serie: L = L1 + L2
En paralelo: 1/L = 1/L1 + 1/L2
[r radio del cilindro / cable, d dist. entre cables, a y b radios coaxil]
Impedancia:
En serie: Z = Z1 + Z2
En paralelo: 1/Z = 1/Z1 + 1/Z2
Z complejo: Re(Z)= Resistencia (R), Im(Z)=Reactancia (X)
Leyes de Kirchoff: 1.Ley de Nodos: La suma de las corrientes en cada nodo Thevenin: 1-Remover RL y reemplazar por terminales abiertas A y B. 2-Encon= 0 (corriente que entra al nodo = a la que sale). 2.Ley de Mallas.En cada malla (o
loop) la suma de las diferencias de tensión (V) = 0. Para sumar elijo una Dir para
cada I, y una Dir de Giro en la malla. En bats, si Dir de Giro va de | a │ ⇒ +ε . En
Rs, si Dir de Giro = Dir de I ⇒ -RI. En Cs, si Dir de Giro va de +q│ a │-q ⇒ -q/C
trar Is con Kirchoff (circuito ab. en A y B para Is). 3-Encontrar Vth agregando bat Vth
entre A y B, con cualquier malla que pase por Vth, y con Is calculadas en 2 (I=0 para
elementos en terminales abiertas). 4-Encontrar Rth con cortocircuito en baterías (salvo sus resistencias si tienen) y calculando R equivalente = Rth.
Corriente Alterna. Régimen transitorio: 1er orden (Circ RL): ẋ +(1 /τ ) x=b , x h (t)=k e−t / τ , x p (t )=bτ , x (t)= x h + x p=k e−t / τ +bτ
2do Orden (Circ. RLC)
λ t
λ t
ẍ+2b ẋ+ω20 x= F (t) , x h (t)= A e 1 +B e 2
λ 1,2=−b± b 2−ω20 , ω= ω02−b 2
√⏟
√
α
b>ω0 Sobreamortiguado xh(t)=e -bt (A e αt + B e-αt)
b<ω0
Subamortiguado xh(t)=e
-bt
(A e
iωt
Antioscilador
-iωt
)=A1 e
+Be
-bt
cos (ωt+ φ0)
b=ω0 Amortig. Crítico xh(t)=e -bt (A+ B t)
b=0
Osc. Armónico xh(t)=A e i ω0t + B e -i ω0t= A1 cos (ω0t+ φ0)
ẍ−ω02 x= F (t )
xh(t)=Ae ω0t+Be
ω0t
Régimen estacionario: Ley de Ohm de Fasores: ̄ε = Z
̄ ̄I . V(t)= V0 cos(ωt). V(t)=V0 e iωt . I(t)= I0 cos(ωt - ϕ). I(t)=I0 e i(ωt-ϕ). ∣Z∣=V ef / I ef
En Serie: I(t) igual para todos los elementos, V(t) desfasado. Dibujar Fasores de V. En paralelo: I(t) desfasada, V(t) igual. Dibujar Fasores de I.
2
I V
V
Potencia entregada x fuente: P(t)=I(t)V(t). ⟨ P ⟩= 0 0 cos(ϕ)= 0 cos(ϕ Z T )=I rms V rms cos(ϕ)=I 2rms R .ϕ: fase de Zeq, cos(ϕ):Factor de Potencia,
2
2∣Z̄T∣
Vrms= V0 / √2. Transformador Ideal:
V 2 N 2 I1
= = , M2=L1L2, Pin=I1V1=Pout=I2V2.
V 1 N1 I 2
Energía
Distribuciones
Discretas
Continuas
En medios
Densidad
Electricidad
k q
1
'
U = ∑ q j V i j , conV i j = e i
2 j
∣r̄i −r̄j∣
1
ε
U = ∭ ρ(̄r ' )V ( ̄r ' ) dV '
U = 0 ∭∣̄
E∣2 dV
2 V'
2 ∞
1
̄⋅D
̄ dV
U= ∭ E
2 ∞
2
2
ε
q
CV
u E= 0 E 2
=
Energía de un Capacitor: U E =
2
2C
2
Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012
Magnetismo
dΦ ji
1
U = ∑ I j Φ j , con dΦ j =∑
dI =∑ M ji dI i
2 j
dI i i i
i
1
1
U = ∑ ∮ d̄l j⋅̄A
U=
∭∣B̄ ∣2 dV
2 μ0 ∞
2 j C
1
̄ ⋅H
̄ dV
U= ∭ B
2 ∞
2
1
B
Energía de un solenoide: U B = L i 2
u B=
2
2 μ0
Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC
j
UBA - FCEN - Página 2
Ejemplos de Campos
Electricidad
Magnetismo
q
1
1
I
q:
carga,
r:
distancia.
V=0
en
|
Cable
̄ =k e 2 ̂r
̄ =k m (sin θ 2−sinθ 1 ) θ̂ r distancia ┴ al cable,θ1 y θ2 ángulos
E
V =k e Q −
B
subtendidos en r por los extremos
r r ref z|=∞
finito
r
r
μ0 I
Q
Q
Adentro
E=0.
Q:
Carga
total.
r distancia ┴ al cable. Cable en
̄ =k e 2 ̂r
E
̄=
V =k e , r≥R
θ̂
Cable ∞ B
Similar a esf. conductora
dirección z.
r
2π r
r
R
1
λ
μ g
̄=
E
̂r V = λ ln( ref ) r: distancia ┴a la línea. V=0
̄ =± 0 ̂y , z > 0
Plano en xy, g en dirección x+
Plano ∞ B
en r=Rref
2π ε0 r
2π ε 0
r
2
<
1
σ
Plano ∞ E
Solenoide B
Solenoide en xy, I en dirección x+,
̄ =±
V =V 0 −
σ ∣z∣ V=V0 en z=0
n̂
̄ =μ 0 n I ẑ L= μ0 n 2 A l
2 ε0
2 ε0
n =N/ l (densidad de espiras)
∞
2
Q
Q
z
μ
Anillo E
E medido en eje z. R:
̄ =k e 2 2 3/2 ̂z V =k e
Espira B
B en eje de la espira. Espira en
̄ = 0 2 R I2 3/2 ̂z
uniforme
( z +R )
2 (z +R )
plano xy. R radio espira
√( z 2+ R 2) radio. V=0 en |z|=∞
circular
E medido
2
2
∣z∣
σ
Disco
σ
R
μ
μ
̄ =±
E
1− 2 2 ẑ V =
∣z∣ 1+ 2 −1 en eje z.
̄ = 0 N I θ̂ L= 0 N S B dentro del toroide. N:vueltas
Toroide B
2 ε0
uniforme
2ε 0
√R + z
z
2π r
2π r totales. r: radio toroide. S: área tor.
V=0 |z|=∞
(
Carga
Puntual
Esfera
carga un.
Línea de
carga ∞
(
)
(√
)
)
Constantes
Constante eléctrica
Permitiv. el. vacío
2
Nm
1
k e =8.988×10
=
2
4π ε 0
C
9
−12
ε 0 =8.85×10
2
Coulomb
Constante magnética Permeab. mg. vacío Velocidad de la luz
18
C
1C=6.2×10 e
N m2 e=carga electrón
−7
μ0 =4π×10
T⋅m N
= 2
A
A
−7
μ0 =4π×10
T⋅m
A
c=
1
√ ε o μ0
≈3×10
8
m
seg
Apédice Matemática
Tipos de Integrales
Simple
De función escalar f (̄r )
Integral simple
̄ (̄r )
De campo vectorial F
Integral simple sobre un campo
∫ f (t )dt =k
∫ F̄ (t)dt =∫ F 1 (t)dt x̂ +∫ F 2 (t)dt ̂y +∫ F 3 (t )dt ̂z= ̄r
Integral de línea
Curva
∫C
Circulación de un campo – Vector dot dl = escalar
b
b
f (̄r )dl =∫a f (̄γ (t)) ∥̄γ ' (t)∥dt= k
∫C F̄ (̄r )⋅d̄l=∫a F̄ (̄γ (t))⋅ ̄γ ' (t)dt =∫C F x dx + F y dy+ F z dz=k
γ(t):[a , b]→ℝ 3 parametrización regular de C
Vector por dl = Vector
Si f ( ̄
r )⩾0 se puede interpretar como el “área de una valla”
∫C F̄ (̄r )dl =∫
C
Doble
Integral doble / de área
Integral doble sobre un campo
∬D f ( x , y ) dA=∬D f ( x , y) dx dy=k
∬D F̄ ( x , y) dA=∬D F 1 ( x , y) dx dy x̂ +∬D F 2 ( x , y) dx dy ̂y= ̄r
Integral de superficie
∬S f (̄r ) dS=∬D f
F 1 ( r̄) dl x̂ +∫C F 2( ̄r ) dl ̂y +∫C F 3 ( r̄) dl ̂z = ̄
r
Flujo de un Campo – Vector dot dS = escalar
(T̄ (u , v ))∥T̄ u×T̄ v∥du dv=k
Superficie
̄ d̄S =∬ F
̄ (̄r )⋅̂n dS =∬ F n dA= k
∬S F⋅
S
Integral de superficie sobre un campo - vector por dS
∬S F̄ ( r̄)dS =∬S F 1 (̄r )dS
x̂ +∬S F 2 (̄r ) dS ̂y +∬S F 3 ( r̄ )dS ̂z =̄r
Ejemplo: Campo eléctrico de una superficie
Volumen
Integral triple / de volumen
∭V
Integral de volumen sobre un campo
f (̄r )dV =∭V f ( x , y , z) dx dy dz=k
∭V F̄ (r̄)dt =∭
V
F 1 (̄r ) dV x̂ +∭V F 2 (̄r ) dV ̂y +∭V F 3 ( ̄r ) dV ̂z =̄r
Teoremas de Cálculo Vectorial
Cambio de Variable: T : ℝ 2 →ℝ 2 inyec. y C 1 . D*⊂ℝ 2 acotado y f : D=T ( D* )→ℝ integrable. Si DT inversible en D* ⇒
∫D
D*
T
f =∫D * ( f ∘ t )∣det (D T )∣ . Ej. polares, D círculo r=R, D* r x θ: [0,R] x [0,2π], T(r,θ)={x=r cos θ, y=r sin θ}
2
Stokes
Green (o Stokes en áreas de ℝ )
̄ F
̄ ̄l =∬ ( ∇×
̄ )⋅k̂ dA
∮∂ D=C F⋅d
D
D
f ◦T
f
ℝ
Gauss
̄ d̄l
∬S ( ∇̄ × F̄ )⋅d̄S=∮∂ S =C F⋅
̄ F
̄ )dV =∯
̄ n dS
F⋅̂
∭V ( ∇⋅
∂V = S
2
La integral del rotor de un campo en un área de ℝ es El flujo del rotor de un campo sobre una superficie La integral de volumen de la div. de un campo es igual al
es igual a la circulación del campo sobre la frontera flujo del campo sobre la superficie que envuelve al vol.
igual a la circulación del campo sobre el borde
Expansión Binomial: (1±ε)n ≃1±n ε+… (ε ≪1) . Ej.:
2 −1/ 2
( ) (
1
1
1
L
=
= 1+
√ r 2+ L 2 √ r 2 (1+ L 2 /r 2) r r 2
≃
2
)
2
2
1
1L
1 L
L
1−
= − 3 ( L≪r ,ε= 2 )
r
2 r2
r 2r
r
Integrales Relevantes
̄
∮C d̄l =0 ∮C ̄r⋅d̄l =0 ∮C ̄r × d l =2 A
(A:Área encerrada)
Productos Escalar y Vectorial
̄⋅B
̄ = A x B x + A y B y + A z + B z =∣A∣∣B∣cos θ
A
∮
C'
d̄l '⋅( ̄r −̄r ' )
=0
3
∣̄r −̄r '∣
∣
∮
C'
d̄l ' ×(̄r −̄r ' ) ̄
d̄l '
= ∇ ×∮
3
∣
r
−̄r '∣
̄
∣̄r −̄r '∣
C'
∭
V'
̄ ×( ̄r −̄r ' )
A
̄ ∭ ̄A dV '
dV ' = ∇×
3
r −̄r '∣
∣̄r − r̄ '∣
V ' ∣̄
∣
̂y ̂z
x̂
̄ ×B
̄ = A x A y A z =− ̄B× ̄A=∣A∣∣B∣sin θ ê , ê ⊥ ( ̄A , B
̄)
A
Bx B y Bz
Regla de la mano derecha: Pulgar A, Índice B, del Medio A x B
Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012
Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC
UBA - FCEN - Página 3
Identidades y Operaciones Simples
Con Gradiente
∇ ( f + g )=∇ f +∇ g
̄ A
̄ A
̄ ̄B
̄+̄
̄ + ∇⋅
Con Divergencia ∇⋅(
B )= ∇⋅
̄ ×( ̄A + B
̄ × ̄A+ ∇×
̄ B
̄ )= ∇
̄
∇
Con Rotor
∇ ( f g )=g ∇ f + f ∇ g
̄ ) ̄A+( A
̄ )B
̄ ̄
̄ ×B
̄ )=( B
̄ ⋅∇
̄ ⋅∇
̄+B
̄ ×( ∇×
̄)
∇ ( ̄A⋅B
A )+ ̄A×( ∇
̄ f ̄A)=(∇ f )⋅̄A + f ( ∇⋅
̄ A
̄)
∇⋅(
̄ A
̄ × ̄A)− ̄A⋅( ∇
̄ ×B
̄ ∇
̄ × f )=0
̄ ×B
̄ )= B
̄ ⋅( ∇
̄ ) ∇⋅(
∇⋅(
̄ ×( f ̄A)=(∇ f )× A
̄ ×A
̄ + f (∇
̄)
∇
̄ ×( ∇
̄ × ̄A)=∇ ( ∇⋅
̄ ̄A)−∇ 2 A
̄
∇
̄ ×( B
̄ ×C
̄ )= B
̄ (A
̄⋅C
̄ )−C
̄ ( ̄A⋅̄B ) ( ̄A× ̄B)× C=
̄ B
̄ (A
̄⋅C
̄ )− ̄A ( B
̄ ⋅C
̄)
A
̄ ×(∇ f )=0
∇
̄ )A
̄ )B
̄ ̄A)+ ̄A( ∇⋅
̄ B
̄⋅∇
̄ −( ̄A⋅∇
̄ −B
̄ ( ∇⋅
̄)
∇ ×( ̄A× ̄B )=( B
Con Laplaciano ∇ 2 ( f g )=g ∇ 2 f + f ∇ 2 g+2 (∇ f⋅∇ g )
Operaciones
Simples
r
∇ r=r̂ = ̄
r
∇ r =n r
∇ ( ̄A⋅r̄ )= ̄A
̄ ̄r / r 3 =0
∇⋅
n
n−1
n−2
r̂ =n r ̄r
1
r̂
r
∇ =− 2 =− ̄3
r
r
r
∇
1
r̂
r
=−2 3 =−2 ̄4
r2
r
r
̄ ̄
∇⋅
r =3
̄ ×̄r =0
∇
∇
1
r̂
r
=−n n+1 =−n ̄n+2 , n>0
rn
r
r
2
∇ (1/ r)=−4π δ( ̄
r)
Coordenadas
Polares / Cilíndricas (̂r , θ̂ , ̂z )
̂ F z ẑ
̄ =F r r̂ +F θ θ+
F
Cartesianas ( x̂ , ̂y , ̂z )
̄ = F x x̂ +F y ̂y + F z ̂z
F
Vectores
Cart.: x̂ × ̂y =̂z ̂y ×̂z = x̂ ẑ × x̂ = ̂y
Coord Cilíndricas: Notación altern: (ρ, θ o φ, z)
̂ ẑ = r̂ ̂z ×̂r = θ̂
r̂ × θ̂ =̂z θ×
Esféricas: Notación alter.: (r, θ, φ o ϕ)
Versores
(radial, cenital, azimutal)
̂ ẑ = r̂ ̂z ×̂r = θ̂
r̂ × θ̂ =̂z θ×
r= √ x + y : [ 0,+∞ )
θ=tan −1 ( y/ x): [0,2 π]
z=z (−∞ ,+∞)
2
2
r̂ = x/ r ̂x + y/ r ̂y
̂
θ=−
y/ r ̂x +x / r ̂y
̂z =̂z
x=r cos(θ )
y=r sin(θ )
z=z
x̂ =cos θ r̂ −sinθ θ̂
̂y =sin θ ̂r +cos θ θ̂
̂z =̂z
̂ , θ)
̂ ϕ cenital, θ azimutal
Esféricas (̂r , ϕ
̂ F θ θ̂
̄ = F r ̂r + F ϕ ϕ+
F
r= √ x + y +z : [ 0,+∞ )
ϕ=cos−1 ( z/ r): [0, π ]
θ=tan −1 ( y/ x): [0,2 π]
2
2
2
x=r cos(θ )sin (ϕ)
y=r sin (θ )sin (ϕ)
z=r cos(ϕ)
r̂ =sin ϕ cosθ x̂ +sin ϕ sin θ ̂y +cos ϕ ̂z
̂
̂
ϕ=cos
ϕ cosθ x̂ +cosϕ sin θ ̂y −sin ϕ ̂z θ=−sin
θ x̂ +cos θ ̂y
̂
x̂ =sin ϕ cosθ ̂r +cos ϕcos θ ϕ−sin
θ θ̂
̂
̂y=sin ϕ sin θ r̂ +cosϕ sin θ ϕ+cosθ
θ̂ ẑ =cos ϕ r̂ −sin ϕ ϕ̂
r2 sin ϕ
̂ sin ϕ dθ θ̂
dr r̂ +r dϕ ϕ+r
2
r sin (ϕ)dr dθ ϕ̂
r sin(ϕ)dϕ dθ r̂
d̄l
d̄S
dV
1
dx x̂ +dy ̂y +dz ̂z
dy dz x̂
dx dz ̂y
dx dy ̂z
dx dy dz
r
̂
dr r̂ +r dθ θ+dz
̂z
r dθ dz ̂r
r dr dθ ẑ
dr dz θ̂
r dr dθ dz
̄ f
∇
∂ ̂x + ∂ ŷ + ∂ ̂z
∂x
∂y
∂z
∂ r̂ + 1 ∂ θ+
̂ ∂ ̂z
∂r
r ∂θ
∂z
̄ F
̄
∇⋅
∂ F x ∂ F y ∂F z
+
+
∂x ∂ y ∂ z
∂Fθ ∂
1 ∂
(r F r )+
+ (r F z )
r ∂r
∂θ ∂z
1 ∂ 2
1
∂ (sin ϕ F )+ 1 ∂ F θ
(r F r )+
ϕ
r sin ϕ ∂ ϕ
r sin ϕ ∂θ
r2 ∂ r
) (
1
∂ (sin ϕ F )− ∂ F ϕ ̂r +
θ
r sin ϕ ∂ ϕ
∂θ
1 1 ∂ Fr ∂
1
∂ (r F )− ∂ F r θ̂
̂
+
− (r F θ ) ϕ+
ϕ
r sin ϕ ∂ θ ∂ r
r ∂r
∂ϕ
Jacob.
̄ F
̄
∇×
̄ F
̄
∇×
Det.
(
) (
)
(
∣
x̂
∂
∂x
Fx
)
̂y
∂
∂y
Fy
̂z
∂
∂z
Fz
ṙ= ẋ x̂ + ẏ ŷ + ż ẑ
r̈= ẍ x̂ + ÿ ̂y + z̈ ẑ
∇2 f
∂ f ∂ f ∂ f
+
+
∂ x 2 ∂ y2 ∂ z 2
2
]
)
∂Fr ∂ Fz ̂
1 ∂F z ∂ Fθ
−
̂r +
−
θ+
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
1 ∂(rF θ ) ∂ F r
+
−
̂z
r
∂r
∂θ
(
∣
∣
ṙ , r̈
2
(
)
r̂
∂
∂r
Fr
r θ̂
∂
∂θ
r Fθ
̂z
∂
∂z
Fz
2
2
[
]
[
] [
∣
∣
r̂
1
∂
r 2 sin ϕ ∂ r
Fr
̂ ż ẑ
ṙ= ṙ r̂ +r θ̇ θ+
2
̂ z̈ ẑ
r̈=( r̈−r θ̇ ) r̂ +(2 ṙ θ̇ +r θ̈) θ+
2
r sin ϕ dθ dϕ dr
1
∂ r̂ + 1 ∂ ϕ+
∂ θ̂
̂
∂r
r ∂ϕ
r sin (ϕ) ∂ θ
[
∂F z ∂ F y
∂F x ∂ Fz
−
x̂ +
−
̂y +
∂y
∂z
∂z
∂x
∂ F y ∂ Fx
+
−
̂z
∂x
∂y
r dr dϕ θ̂
2
2
1∂f ∂ f 1 ∂ f ∂ f
+
+
+
r ∂ r ∂ r 2 r 2 ∂ θ2 ∂ z 2
]
̂ r sin ϕ θ̂
rϕ
∂
∂
∂ϕ
∂θ
r F ϕ r sin ϕ F θ
∣
ṙ= ṙ r̂ +r sin(ϕ) θ̇ θ̂ +r ϕ̇ ϕ̂
r̈=( r̈−r ϕ̇ 2−r sin 2 ϕ θ̇ 2 ) ̂r +( 2 sin ϕ θ̇ ṙ+2r cos ϕ θ̇ ϕ̇ +
̂ ( 2 ṙ ϕ̇+r ϕ̈−r sin ϕcos ϕ θ̇ 2 ) ϕ
̂
+r sin ϕ θ̈ ) θ+
(
)
(
2
)
1 ∂ 2∂ f
1
∂ f
∂ sin ϕ ∂ f + 1
r
+ 2
∂r
∂ ϕ r 2 sin 2 ϕ ∂θ 2
r2 ∂ r
r sin ϕ ∂ ϕ
ϕ̂
r dϕ
θ̂
r̂
r sin (ϕ) dθ
dr
Áreas / Volúmenes
Esfera: Area: 4π r2 Vol:4/3 π r3. Cilindro: Area:2π r2+ 2π r h Vol:π r2 h. Círculo: Area: π r2 Diámetro:2 π r.
Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012
Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC
UBA - FCEN - Página 4
