1CCNNtrigonometria

Tema 2
APUNTES DE MATEMÁTICAS
TEMA 2: TRIGONOMETRÍA
1º BACHILLERATO
Tema 2
TEMA 2: TRIGONOMETRÍA .................................................................................................................................. 1
1.
Definición de Ángulo ....................................................................................................................................... 4
1.1.
2.
3.
MEDIDA DE LOS ÁNGULOS .................................................................................................................... 4
1.1.1.
Grado sexagesimal ............................................................................................................................ 4
1.1.2.
Radián (rad) ....................................................................................................................................... 4
1.1.3.
CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA. ...................................................................... 4
1.1.4.
Tipos de Ángulos según su medida ................................................................................................... 5
1.1.5.
Equivalencias entre grados sexagesimales y radianes ...................................................................... 5
1.1.6.
Tipos de Ángulos según la suma de sus medidas .............................................................................. 5
Razones trigonométricas................................................................................................................................. 6
2.1.
Circunferencia goniométrica y líneas trigonométricas ........................................................................ 7
2.2.
RELACIONES FUNDAMENTALES EN TRIGONOMETRÍA .......................................................................... 8
2.2.1.
Razones Trigonoméricas DE ángulos complementarios (SUMAN 90º o π/2 rad) ............................. 8
2.2.2.
Razones Trigonoméricas de ángulos SUPERIORES a 360 .................................................................. 8
2.2.3.
Razones Trigonoméricas de ángulos Opuestos entre sí .................................................................... 9
2.2.5.
Razones Trigonoméricas que DIFIEREN 180º o π rad ...................................................................... 10
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ............................................................................................. 10
3.1.
Ejercicios resueltos .............................................................................................................................. 10
3.2.
Resultados útiles .................................................................................................................................. 11
3.2.1.
Proyección de un segmento ............................................................................................................ 11
3.2.2.
Altura de un triángulo ..................................................................................................................... 11
3.2.3.
Área de un triángulo........................................................................................................................ 11
3.3.
ESTRATEGIA DE LA ALTURA PARA RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ................................... 11
3.4.
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA ....................................................................................... 12
3.4.1.
Teorema de los senos ..................................................................................................................... 12
3.4.2.
Teorema de los cosenos .................................................................................................................. 12
3.4.3.
Resultados interesantes .................................................................................................................. 13
4.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA ± DE DOS ÁNGULOS. .......................................................................... 14
5.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE. ................................................................................... 14
6.
RAZONES TRIGONOMÉRTRICAS DEL ÁNGULO MITAD. ................................................................................. 14
7.
FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA PRODUCTO. ................................................................. 14
8.
FÓRMULAS DE TRANSFORMACIONES DE PRODUCTOS SUMA. ............................................................ 14
Tema 2
Tema 2
1.
Definición de Ángulo
Ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que se encuentran en el mismo plano y se
intersectan (rectas secantes), el punto de intersección de éstas recibe el nombre de vértice.
1.1.
MEDIDA DE LOS ÁNGULOS
Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:
1.1.1.
GRADO SEXAGESIMAL
La unidad de medida de los ángulos se llama grado, y resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes
iguales, por lo tanto, un ángulo recto mide 90º. Uno de los sistemas de medición de los ángulos se
llama sexagesimal.
Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').
1.1.2.
RADIÁN (RAD)
Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.
2 π rad = 360° ; π rad = 180°
¿rad?
30º
Conversión grado radian
π 180o
30π π
=
⇒α =
= rad
o
α 30
180 6
Conversión radiangrado
π
3
¿º?
180o
π 180o
o
=
⇒ 3α = 180 ⇒ α =
= 60o
o
π
30
α
El ángulo α de la figura mide un radian ya que el
arco r es de la misma longitud que el radio
1.1.3.
rad
3
CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y VICEVERSA.
1.- De x grados a radianes:
α =
x .π
180
2.- De
α
x=
radianes a grados:
α .180
π
Tema 2
1.1.4.
Ángulo
Agudo
Es aquél
cuya
magnitud es
menor que
90º
1.1.5.
TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA
Ángulo
Ángulo
Recto
Obtuso
Ángulo
Perigonal
Es aquél cuya
magnitud
Es aquél cuya
magnitud es mayor
que 90º
Es aquél cuya
magnitud es
igual a 360º
es igual a 90º
Ángulo Llano
Nulo
Es aquél cuya
Es aquél cuya
magnitud es igual a magnitud es igual a
0º
180º
EQUIVALENCIAS ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES
Grados
1.1.6.
Ángulo
Radianes
TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN LA SUMA DE SUS MEDIDAS
Ángulos Complementarios
Ángulos Suplementarios
Son aquellos cuya suma es igual a 90º
Son aquellos cuya suma es igual a 180º
Tema 2
2.
Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir
las razones seno, coseno y tangente, cosecante, secante y cotangente del
ángulo α , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la
circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la
razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,
senα =
CB a
=
AB c
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
cos α =
AC b
=
AB c
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
tgα =
CB a
=
AC b
La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo:
csc α =
1
AB c
=
= (el inverso de la razón seno α )
senα CB a
La secante (abreviado como sec) es la razón entre la hipotenusa sobre el cateto adyacente
sec α =
1
AB c
=
= (el inverso de la razón coseno α )
cos α AC b
La cotangente (abreviado como cotan o ctg) es la razón entre el cateto adyacente sobre el cateto opuesto,
ctgα =
1
AC b
=
=
tgα CB a
Tema 2
Radianes Grados sexag.
0
seno
0o
30o
45o
2
2
60o
3
2
90o
2.1.
coseno
tangente cosecante secante cotangente
0
∃/
1
∃/
3
2
3
3
2
2 3
3
3
2
2
1
2
2
1
3
2 3
3
2
3
3
∃/
1
∃/
0
Circunferencia goniométrica y líneas trigonométricas
Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es
la unidad. En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se
numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.
El punto P tiene por coordenadas (x,y) por tanto el
valor x está comprendido entre los valores [-1,1] al
igual que los valores posibles de y
El seno es la ordenada del punto P.(y)
El coseno es la abscisa del punto P.(x)
Como y=sen α -1 ≤ sen α ≤ +1
Como cos α =x -1 ≤ cos α ≤ +1
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
Las líneas trigonométricas se pueden ver en la
figura:
Tema 2
La línea de seno es PQ
La Línea de coseno es OQ
La línea tangente es la línea ST
La línea secante es OS
T’S’ es la cotangente
OS’ es la cosecante
2.2.
RELACIONES FUNDAMENTALES EN TRIGONOMETRÍA
Se cumple para todos los ángulos que:
sen2α + cos2 α = 1
senα
tgα =
cos α
1
2
1 + tg 2α =
=
sec
α
2
cos α
2.2.1.
RAZONES TRIGONOMÉRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS (SUMAN 90º O Π/2 RAD)
α a uno de ellos. El otro evidenteπ
mente será
−α .
Llamamos
2
sen(
cos(
tg (
π
2
π
2
π
2
− α ) = cos α
− α ) = senα
− α ) = ctgα
Por ejemplo : el ángulo de
α =30º
90- α =60º o lo que es lo mismo
Así sabiendo las
razones de un
ángulo se
pueden saber
las del otro
sen(60o ) = sen(
cos(60o ) = cos(
tg (60o ) = tg (
2.2.2.
π
2
π
2
π
2
π
2
ó
π
. y
6
−α
3
2
− α ) = cos 30o =
− α ) = sen30o =
1
2
− α ) = ctg 30o = 3
RAZONES TRIGONOMÉRICAS DE ÁNGULOS SUPERIORES A 360
Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas de uno entre 0 y 360º
Un ángulo > 360º situará el punto que lo
representa en algún lugar de la cfa después de un
determinado número de vueltas n
sen(α + 2kπ ) = senα
cos(α + 2kπ ) = cos α
tg (α + 2kπ ) = tgα
Tema 2
Por ejemplo : el ángulo de 750º dará dos vueltas
completas y su punto coincidirá con el de 30º.por
tanto serán iguales sus razones trigonométricas
En este caso k=2 y
2kπ = 2 ⋅ 2 ⋅ π serán dos vueltas
2.2.3.
RAZONES TRIGONOMÉRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS ENTRE SÍ
El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido
del movimiento de las agujas del reloj.
sen(−α ) = − senα
cos(−α ) = cos α
tg (−α ) = −tgα
Por ejemplo : el ángulo de -30º ó −
sen(−30o ) = − sen30 = −
π
6
1
2
π
3
cos(−30 ) = cos(− ) = cos 30 =
6
2
π
− 3
tg (−30o ) = tag (− ) = tg 30o =
6
3
π
2.2.4.
RAZONES TRIGONOMÉRICAS QUE DIFIEREN 90º O 2 RAD
α a uno de ellos. El otro evidenteπ
mente será α + .
Llamamos
2
sen(α +
cos(α +
tg (α +
Así sabiendo
las razones de
un ángulo se
pueden saber
las del otro
π
2
π
2
π
2
) = cos α
) = − senα
) = −ctgα
Por ejemplo : el ángulo de 30º ó
sen(120o ) = cos 30 =
cos(120 ) = cos(
tg (120o ) = tg (
π
6
. y 120º
3
2
2π
1
) = − sen30o = −
3
2
2π
) = −ctg 30o = − 3
3
Tema 2
2.2.5.
RAZONES TRIGONOMÉRICAS QUE DIFIEREN 180º O Π RAD
Llamamos α a uno de ellos. El otro evidentemente será α + π .
sen(α + π ) = − cos α
cos(α + π ) = − senα
tg (α + π ) = −tgα
Por ejemplo : el ángulo de 30º ó
Así sabiendo
las razones de
un ángulo se
pueden saber
las del otro
3.
π
π
6
. y 210º
1
6
2
π
3
cos(210 ) = cos( + π ) = − cos 30o = −
6
2
π
3
tg (210o ) = tg ( + π ) = tg 30o =
6
3
sen(210o ) = sen(
+ π ) = − sen30o = −
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos a partir de los elementos (lados y ángulos) conocidos.
PREGUNTAS CLAVE PARA RESOLVER UN TRIÁNGULO
¿Cuáles son los datos?
¿Cuál es el elemento desconocido?
¿Qué razón trigonométrica liga los elementos conocidos y desconocidos?
ELEMENTO CONOCIDO
COMO SE CALCULAN LOS DEMÁS
•
El tercer lado se calcula mediante el
teorema de Pitágoras.
•
El ángulo que forman los dos lados
conocidos se halla a partir de la razón
trigonométrica que los relaciona
•
Otro lado se calcula mediante la razón
trigonométrica que lo relaciona con el
lado y el ángulo conocidos.
•
El otro ángulo agudo es el
complementario del que conocemos.
CASO I
Dos lados
CASO II
Un lado Un ángulo
3.1.
Ejercicios resueltos
En un triángulo se conocen un cateto, a = 11 cm,
y la hipotenusa, c = 20 cm. Hallar los demás
elementos.
El otro cateto: b = 1202 - 112 = 16,7 cm
Un ángulo: sen Á =
11
= 0,55 Á = 33° 22'
22
Tema 2
El otro ángulo agudo: B = 90° - Á = 56° 38'
En un triángulo rectángulo del que se conocen B
= 50° y un cateto a = 15 cm, hallar los demás
elementos.
tgB=
b
> b = a tg50º = 15 tg 50° = 17,88 cm
a
cos B =
a
a
15
c =
=
= 23,34
c
cos B cos 50
A = 90° - B = 90° - 50° = 40°
Resultados útiles
3.2.
Los siguientes resultados, ligados a la resolución de triángulos rectángulos, aparecen con tanta fre-cuencia que es
conveniente memorizarlos:
3.2.1.
PROYECCIÓN DE UN SEGMENTO
En el triángulo ABC,
cos α =
ΑC
AC= AB cos α A'B' = AB cos α
AB
La longitud de la proyección de un segmento sobre una recta es igual al
producto de la longitud del segmento por el coseno del ángulo que forman.
3.2.2.
ALTURA DE UN TRIÁNGULO
En el triángulo rectángulo de la izquierda,
senα =
h
h = asenα
a
La altura de un triángulo es igual al producto de uno de sus lados
laterales por el seno del ángulo que dicho lado forma con la base.
3.2.3.
Área =
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
b⋅h 1
= ⋅ b ⋅ a ⋅ senα
2
2
El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
3.3.
ESTRATEGIA DE LA ALTURA PARA RESOLVER TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Cualquier triángulo no rectángulo puede ser resuelto, aplicando los m todos de resolución de los triángulos rectángulos,
mediante la estrategia de la altura. Consiste en elegir adecuadamente una de sus alturas, de modo que, al trazarla, se
obtengan dos triángulos rectángulos resolubles con los datos que se tienen.
Ejemplo 1
Estamos en A. Conocemos las distancias de A a C (b = 3 800 m )
de C a B (a = 5 600 m). Queremos calcular la distancia de A a
(AB = c).
Para ello medimos el ángulo Á = 49°. Y, sobre el papel, trazamos
altura h y nombramos x e y a las proyecciones de a y b sobre •
x = b cos Á = 3 800 cos 49° = 2 493 m
h = b sen = 3 800 sen 49° = 2 868 m
2
2
2
2
Conociendo h y a calculamos y (teorema de Pitágoras):y = a - h = 600 - 2 868 = 4 810 m
Ejemplo 2
Tema 2
Estamos en P, situado en un llano. Queremos hallar la altura de montaña, M. Para ello medimos el ángulo P
que forma la visual la montaña con la horizontal
(P = 29°). Avanzamos 300 m hacia Ia montaña y
volvemos a medir el ángulo (Q = 32°).
M
En MM'Q,
tg 32° =h/x --> h = x tg 32°
En MM'P, tg 29° =
h = (x + 3 00 ) t g 2 9°
x tg 32° = (x + 300) tg 29°x(tg 32° - tg 29°) = 300 tg 29°
x=
300 tg 29°
= 2357m
tg 32° - tg 29°
Ahora volvemos a h:
h = x tg 32° = 2 357 tg 32° = 1 473 m Hemos obtenido que la altura de la montaña es de 1473 m.
3.4.
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA
Vamos a obtener unas fórmulas que nos permitirán resolver directamente triángulos cualesquiera, sin necesidad de utilizar
cada vez la estrategia de la altura para descomponerlos en dos triángulos rectángulos.
3.4.1.
TEOREMA DE LOS SENOS
En un triángulo cualquiera ABC de lados a,b,c se cumplen las siguientes
igualdades
•
a
b
c
=
=
senA senB senC
Ejemplo
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
Sol:
A=180º-45º=30º
2
6
b
sen45º
=
==> b = 6
= 6 2 = 6 2m
1
sen30º sen45º
sen30º
2
6
c
sen º105º
=
==> b = c
= 11.6m
sen30º sen105º
sen30º
3.4.2.
TEOREMA DE LOS COSENOS
En un triángulo cualquiera ABC de lados a,b,c se cumplen las siguientes
igualdades
a 2 = b 2 + c 2 + 2bc cos A
E j e m p l o El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha
circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
Tema 2
a 2 = b 2 + c 2 + 2bc cos A ==> 36 2 = 252 + 25 2 − 2 ⋅ 25 ⋅ 25 cos O
O=92º6’32’’
En el cuadrilátero AOBT, los ángulo A y B son rectos.
O+T=180ºT=190º-O=107º53’27’’
3.4.3.
RESULTADOS INTERESANTES
El área de un triángulo es la mitad del producto de una base por la altura correspondiente. S
1
= b⋅h
2
El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman.
1
S = b ⋅ a ⋅ senC
2
El área de un triángulo es el cociente entre el producto de sus lados y cuatro veces el radio de su circunferencia
circunscrita. S
=
abc
4R
El área de un triángulo es igual al producto del radio de la circunferencia inscrita por su semiperímetro.
S=r.p
Fórmula de Herón:
S=
p( p − a)( p − b)( p − c) donde p es el semiperímetro
Tema 2
4.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA ± DE DOS ÁNGULOS.
sen(x+y) = senx.cosy + sen y. cos x sen(x-y) = sen .cosy – seny.cosx
cos(x+y) = cosx.cosy - senx.seny
5.
cos(x-y) = cosx.cosy + senx.seny
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE.
sen(2x)=sen(x+x) = 2senx.cosx
cos(2x)= cos(x+x) = cos2x.- sen2xy
6.
RAZONES TRIGONOMÉRTRICAS DEL ÁNGULO MITAD.
x
1 − cos x
sen( ) = ±
2
2
7.
x
1 − cos x
tg ( ) = ±
2
1 + cos x
FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE SUMA PRODUCTO.
A + B
 A − B
. cos

 2 
 2 
SenA+SenB = 2.sen 
A + B
 A − B
. cos

 2 
 2 
CosA+CosB = 2.cos 
8.
x
1 + cos x
cos( ) = ±
2
2
A−B
 A+ B
. cos

 2 
 2 
SenA-SenB = 2.sen 
A + B
A−B
 .sen 

 2 
 2 
CosA–CosB = -2.sen 
FÓRMULAS DE TRANSFORMACIONES DE PRODUCTOS SUMA.
senx.cosy = ½.[ sen(x+y) + sen(x-y)] cosx.seny = ½.[sen(x+y) – sen(x-y)]
cosx.cosy = ½.[cos(x+y) + cos(x-y)]
senx.seny = -½.[cos(x+y) – cos(x-y)]
Tema 2
Se conocen como ecuaciones trigonométricas aquellas que contienen razones trigonométricas de ángulos
desconocidos. Por ejemplo, en sen x = 0 buscamos ángulos que tengan seno cero. Una solución
particular es un valor del ángulo que satisface la ecuación. Así, dos soluciones particulares de la ecuaci
ón anterior son x1 = 0 y x2 = π. Ahora bien, cuando una ecuación dada tiene una solución, tendrá, en
general, un conjunto infinito de soluciones. En el ejemplo anterior, el conjunto de soluciones o solución
general viene dado por:
x1 = 0 + 2kπ, x2 = π+ 2kπ, k ∈Z
Al resolverlas, tendremos en cuenta que a cada ángulo le corresponde un valor único para cada razón
trigonométrica, sin embargo, puede haber infinitos ángulos con la misma razón. Será de gran utilidad
recordar que, en el primer giro:
Tienen el mismo seno α y π − α , ya que sen(π − α ) = sen α,
Tienen el mismo coseno α y 2 π − α ya que cos(2π – α) = cos α
Tienen la misma tangente α y π +α pues tg ( π + α) = tg α
Para resolver una ecuación trigonométrica, en primer lugar, la reduciremos a una de los tipos seno,
coseno o tangente, y seguiremos las instrucciones que se recogen en la siguiente tabla: