Variable aleatoria. La función cuyo valor es un número real determinado por cada
elemento en el espacio muestra, se llama variable aleatoria. Las variables aleatorias
se representan mediante mayúsculas, por ejemplo, X, Y, Z. Los valores numéricos
reales que puede asumir una variable aleatoria se representan con minúsculas, por
ejemplo, x, y, z.
Una variable aleatoria sigue las reglas de distribución de probabilidad:
• La suma de las probabilidades asociadas a todos los valores posibles de la
variable aleatoria X es uno.
• La probabilidad de que un posible valor de la variable X se presente siempre es
mayor que o igual a cero.
Con cada variable aleatoria, asociamos una función llamada función acumulativa de
la distribución de x.
La función acumulativa de la distribución o cdf (por sus siglas en inglés) de una
variable aleatoria X, denotada por Fx (x), se define por:
para toda x.
La función Fx(x) es una cdf si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones:
y
b. F(x) es una función no decreciente de x.
c. F(x) es continua por la derecha; es decir, para cada número
Variable aleatoria discreta. Si un espacio muestra contiene una cantidad finita de
posibilidades o una secuencia interminable con tantos elementos como el total de
números enteros, se llama espacio muestra discreto, y al valor de la variable aleatoria
definida sobre ese espacio, se le llama variable aleatoria discreta y cumple con
Función de probabilidad. A la función p(x) se le conoce como función de probabilidad
de X.
Función acumulativa de la distribución. La función acumulativa de la distribución
F(b)de una variable X se define como
Variable aleatoria continua. Si un espacio muestra contiene un número infinito de
posibilidades igual al número de puntos en un segmento de recta, se le llama espacio
muestral continuo, y a la variable aleatoria definida sobre ese espacio, se llama variable
aleatoria continua.
Este tipo de variables se representan mediante la función de densidad de
probabilidad y cumplen con
Función acumulativa de probabilidad. La función acumulativa de probabilidad F(b)de
una variable aleatoria continua X se define como
• Investigar en Excel y R, las funciones útiles para el desarrollo
del tema de variable aleatoria.
Para Excel tenemos:
Para R tenemos:
•
•
d: función de densidad. Requiere un vector de percentiles más allá de los
parámetros necesarios por la distribución de interés.
r. generador de números aleatorio. Requiere argumentos especificando el
tamaño de la muestra, más allá de los parámetros necesarios por la distribución
de interés.
Cómo generar números aleatorios.
R puede generar números aleatorios de diversas maneras. Se puede generar cualquier
número dentro de un rango o distribución de interés predeterminado. Vamos a ver las
dos formas a continuación:
• Generar números en intervalos predefinidos
Primero debe establecer el intervalo, es decir, los valores que el(los) número(s)
generado(s) puede(n) tomar. Luego se debe determinar la cantidad de números que se
generarán, con o sin reemplazo.
Generar números de una distribución de interés.
En R hay varias funciones (distribuciones) listas para generar números aleatorios. Sólo
tiene que utilizar el siguiente código: letra "r", seguido de la distribución de interés y sus
parámetros.
Ejercicios propuestos.
Sección 2.4
De acuerdo a la definición de PDF
𝑓𝑥 (𝑥) =
𝑑 𝐹𝑥 (𝑥)
𝑑𝑥
Entonces tenemos que
2
fx (x) = {6 𝑥 − 6𝑥
0
a)
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
b) P (K ≥ 3) = 1 – P (K < 3) = 1 – [P (K = 0) + P (K = 1) + P (K = 2)]
P (K ≥ 3) = 1 – [ 1/16 + 4/16 + 6/16]
P (K ≥ 3) = 1 – [11/16]
P (K ≥ 3) = 5/16.
c) P [2 ≤ K ≤ 4] = 1 – P (K < 2) = 1 – [P (K = 0) + P (K = 1)]
P [2 ≤ K ≤ 4] = 1 – [ 1/16 + 4/16]
P [2 ≤ K ≤ 4] = 1 – [5/16]
P [2 ≤ K ≤ 4] = 11/16.
a) Valor de K
∞
1
2
3
∞
∫ 𝑓𝑥 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 0𝑑𝑥 + ∫ 𝐾(𝑥 − 1)𝑑𝑥 + ∫ 𝐾 (3 − 𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 0𝑑𝑥 = 1
−∞
−∞
2
1
2
3
3
∫ 𝐾 (𝑥 − 1)𝑑𝑥 + ∫ 𝐾(3 − 𝑥)𝑑𝑥 = 1
1
2
4
1
9
[𝐾 ( − 2) − 𝐾 ( − 1)] + [𝐾 (9 − ) − 𝐾(6 − 4)] = 1
2
2
2
1
1
𝐾 𝐾
[𝐾 ( )] + [𝐾 ( )] = + = 1
2
2
2 2
𝑲=𝟏
b) fx (x) =
c) CDF de X
0,
𝑥<1
1
𝐹𝑥(𝑥) = 2 , 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
1, 2 ≤ 𝑥 ≤ 3
{ 0,
𝑥>3
2
𝑃 [1 ≤ 𝑥 ≤ 2] = ∫1 𝐾 (𝑥 − 1)
d)
4
1
1
1
𝐾
𝑃[1 ≤ 𝑥 ≤ 2] = [𝐾 ( − 2) − 𝐾 ( − 1)] = 𝐾(2 − 2) − 𝐾 (− ) = −𝐾 (− ) =
2
2
2
2
2
Como sabemos el valor de K (K = 1), finalmente tenemos que
𝑷[𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐] =
a)
∞
0
𝜋/2
∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝑐 sin 𝑥𝑑𝑥 + ∫0
𝜋/2
𝟏
𝟐
∞
𝑐 sin 𝑥𝑑𝑥 + ∫𝜋/2 𝑐 sin 𝑥𝑑𝑥 = 1
𝜋/2
∫
𝑐 sin 𝑥𝑑𝑥 = 𝑐 ∫
0
0
sin 𝑥𝑑𝑥 = (−𝑐 × cos 𝜋/2) − (−𝑐 × cos 0) = 1
(−𝑐 × 0) − (−𝑐 × 1) = 1
0 − (−𝑐) = 1
𝒄=𝟏
b)
∞
0
∞
0
∞
∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝑐𝑒 −|𝑥| 𝑑𝑥 + ∫0 𝑐𝑒 −|𝑥| 𝑑𝑥 = ∫−∞ 𝑐𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + ∫0 𝑐𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 1
0
𝑏
= lim ∫ 𝑐𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑐𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 1
𝑎→−∞ 𝑎
𝑏→∞ 0
= lim (𝑐𝑒 0 − 𝑐𝑒 𝑎 ) + lim (−𝑐𝑒 −𝑏 + 𝑐𝑒 0 ) = 1
𝑎→−∞
𝑏→∞
= (𝑐 − 𝑐𝑒 −∞ ) + (−𝑐𝑒 −∞ + 𝑐) = 𝑐 −
𝑐
𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 0,
𝑒∞
𝑐
𝑐
− ∞+𝑐 =1
∞
𝑒
𝑒
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
= 𝑐 + 𝑐 = 2𝑐 = 1
𝒄=
𝟏
𝟐
