1 Matrices

Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Matrices
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Una Matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos
horizontalmente en filas y verticalmente en columnas.
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Una Matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos
horizontalmente en filas y verticalmente en columnas.


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n  

= aij m×n
A= .

.
..
 ..

am1 am2 . . . amn
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Una Matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos
horizontalmente en filas y verticalmente en columnas.


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n  

= aij m×n
A= .

.
..
 ..

am1 am2 . . . amn
Conjunto de Matrices
Mm×n (R) = {A/A es una matriz de orden m × n con elementos reales}
Mn (R) = {A/A es una matriz (Cuadrada) con elementos reales}
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Tipos de Matrices
Matriz Fila
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Tipos de Matrices
Matriz Fila
Matriz Columna
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Tipos de Matrices
Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Diagonal
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Tipos de Matrices
Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Diagonal
Matriz Antidiagonal
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Tipos de Matrices
Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Diagonal
Matriz Antidiagonal
Matriz Triangular Superior
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Tipos de Matrices
Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Diagonal
Matriz Antidiagonal
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Inferior
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Tipos de Matrices
Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Diagonal
Matriz Antidiagonal
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Inferior
Matriz Traspuesta
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Tipos de Matrices
Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Diagonal
Matriz Antidiagonal
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Inferior
Matriz Traspuesta
Matriz Simétrica
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Tipos de Matrices
Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Diagonal
Matriz Antidiagonal
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Inferior
Matriz Traspuesta
Matriz Simétrica
Matriz Antisimétrica
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Tipos de Matrices
Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Diagonal
Matriz Antidiagonal
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Inferior
Matriz Traspuesta
Matriz Simétrica
Matriz Antisimétrica
Matriz Identidad
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Tipos de Matrices
Matriz Fila
Matriz Columna
Matriz Diagonal
Matriz Antidiagonal
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Inferior
Matriz Traspuesta
Matriz Simétrica
Matriz Antisimétrica
Matriz Identidad
Matriz Nula
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Dos matrices Am×n y Bp×q se dice que son iguales si y solo si
m = p, n = q, y aij = bij , con i = 1, ..., m; j = 1, ..., n
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Dos matrices Am×n y Bp×q se dice que son iguales si y solo si
m = p, n = q, y aij = bij , con i = 1, ..., m; j = 1, ..., n
Ejercicios
En cada caso hallar los valores de a, b, c y d, si existen, constantes
reales, tales que:
2
−3 −1
a + 2a −1
1
=
, en M2 (R)
b
2
1+a 2
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Dos matrices Am×n y Bp×q se dice que son iguales si y solo si
m = p, n = q, y aij = bij , con i = 1, ..., m; j = 1, ..., n
Ejercicios
En cada caso hallar los valores de a, b, c y d, si existen, constantes
reales, tales que:
2
−3 −1
a + 2a −1
1
=
, en M2 (R)
b
2
1+a 2
2
a + 2a −1
3
−1
2
=
, en M2 (R)
b
2
1+a 2
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Dos matrices Am×n y Bp×q se dice que son iguales si y solo si
m = p, n = q, y aij = bij , con i = 1, ..., m; j = 1, ..., n
Ejercicios
En cada caso hallar los valores de a, b, c y d, si existen, constantes
reales, tales que:
2
−3 −1
a + 2a −1
1
=
, en M2 (R)
b
2
1+a 2
2
a + 2a −1
3
−1
2
=
, en M2 (R)
b
2
1+a 2
2
2
a
+
2a
+
b
−1
a
+
1
2c
3
=
, en M2 (R)
a+b+c
2
b
d
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Suma de Matrices
Sean A = [aij ] y B = [bij ] matrices de orden m × n, entonces la
suma de A y B es la matriz definida por:
A + B = [aij + bij ] = [cij ] = C , donde C es una matriz de orden
m×n
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Suma de Matrices
Sean A = [aij ] y B = [bij ] matrices de orden m × n, entonces la
suma de A y B es la matriz definida por:
A + B = [aij + bij ] = [cij ] = C , donde C es una matriz de orden
m×n
Ejercicios
Calcular
2
3
4
−7
2
−1
1
+
1 0 2
2 −3 0
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Suma de Matrices
Sean A = [aij ] y B = [bij ] matrices de orden m × n, entonces la
suma de A y B es la matriz definida por:
A + B = [aij + bij ] = [cij ] = C , donde C es una matriz de orden
m×n
Ejercicios
Calcular
2 3
1
1 0

9
2  −5
0
4
2
1
2
2
8
−7 2 −1
+
2 −3 0
  1

− 3 −3 6
0
2
3 
+ 0
−4 
5
2
1
1
−4 0
3
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Propiedades
Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces:
1
(A + B) + C = A + (B + C )
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Propiedades
Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces:
1
(A + B) + C = A + (B + C )
2
A+B =B +A
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Propiedades
Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces:
1
(A + B) + C = A + (B + C )
2
A+B =B +A
3
A+0=A
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Propiedades
Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces:
1
(A + B) + C = A + (B + C )
2
A+B =B +A
3
A+0=A
4
A + (−A) = 0, matriz nula de orden m × n.
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Propiedades
Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces:
1
(A + B) + C = A + (B + C )
2
A+B =B +A
3
A+0=A
4
A + (−A) = 0, matriz nula de orden m × n.
5
k(A + B) = kA + kB
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Propiedades
Sean A, B, C ∈ Mm×n (R) y k, t ∈ R, entonces:
1
(A + B) + C = A + (B + C )
2
A+B =B +A
3
A+0=A
4
A + (−A) = 0, matriz nula de orden m × n.
5
k(A + B) = kA + kB
6
(k + t)A = kA + tA
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Multiplicación por escalar
Sean k ∈ R y A = [aij ] ∈ Mm×n (R), entonces:
k · A = A · k = k[aij ]
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Multiplicación por escalar
Sean k ∈ R y A = [aij ] ∈ Mm×n (R), entonces:
k · A = A · k = k[aij ]
Ejercicios
Calcular

1
1 2 ·  3
3
4

2
3
0 − 12 
−2 0
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Multiplicación por escalar
Sean k ∈ R y A = [aij ] ∈ Mm×n (R), entonces:
k · A = A · k = k[aij ]
Ejercicios
Calcular

1
1 2 ·  3
2

2
3
0 − 12 
3
0
4 −2
1 5 √π
(−5) ·
0 13
3
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Multiplicación
Sean Am×n = [aij ] y Bn×q = [bij ], definimos el producto entre A y
n
X
B como la matriz: A · B = [cij ]m×q , donde cij =
aik bkj
k=1
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Multiplicación
Sean Am×n = [aij ] y Bn×q = [bij ], definimos el producto entre A y
n
X
B como la matriz: A · B = [cij ]m×q , donde cij =
aik bkj
k=1
Ejercicios
Calcular, si es posible:


2 −2
1 2 3
1
· 1 0 
6 5 4
3 1
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Multiplicación
Sean Am×n = [aij ] y Bn×q = [bij ], definimos el producto entre A y
n
X
B como la matriz: A · B = [cij ]m×q , donde cij =
aik bkj
k=1
Ejercicios
Calcular, si es posible:


2 −2
1 2 3
1
· 1 0 
6 5 4
3 1


2 −2
1 2 3

2  1
0
·
6 5 4
3 1
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Multiplicación
Sean Am×n = [aij ] y Bn×q = [bij ], definimos el producto entre A y
n
X
B como la matriz: A · B = [cij ]m×q , donde cij =
aik bkj
k=1
Ejercicios
Calcular, si es posible:


2 −2
1 2 3
1
· 1 0 
6 5 4
3 1


2 −2
1 2 3

2  1
0
·
6 5 4
3 1
2
−1
5
0
−1
5
3
·
2
2
1 7 21
3
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Diremos que las matrices A y B conmutan si y solo si
AB = BA
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Diremos que las matrices A y B conmutan si y solo si
AB = BA
Teorema
Si cada suma y producto existe, se cumple:
1
A(BC ) = (AB)C
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Diremos que las matrices A y B conmutan si y solo si
AB = BA
Teorema
Si cada suma y producto existe, se cumple:
1
A(BC ) = (AB)C
2
(A + B)C = AC + BC
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Diremos que las matrices A y B conmutan si y solo si
AB = BA
Teorema
Si cada suma y producto existe, se cumple:
1
A(BC ) = (AB)C
2
(A + B)C = AC + BC
3
D(E + F ) = DE + DF
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Diremos que las matrices A y B conmutan si y solo si
AB = BA
Teorema
Si cada suma y producto existe, se cumple:
1
A(BC ) = (AB)C
2
(A + B)C = AC + BC
3
D(E + F ) = DE + DF
4
AIn = A, Im A = A, A ∈ Mm×n
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Ejercicios
−2 31
Dadas A =
−π 0
 1

−3
2
C = 2
0 
−6 1
√ 3
0 −1
3
2 ,
√
,
B
=
2
1 − 2 0
5
Calcular, si es posible:
1
(A + B)C
2
AC
3
CB
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Si A es una matriz cuadrada de orden n. Se define, por recurrencia,
la potencia de una matriz
A0 =
In
Ak+1 = Ak · A , k ∈ N0
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Si A es una matriz cuadrada de orden n. Se define, por recurrencia,
la potencia de una matriz
A0 =
In
Ak+1 = Ak · A , k ∈ N0
Ejercicios
Dada la matriz
1 2
, calcular A0 , A1 , A2 , A3 , A4
0 −1
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Si A es una matriz cuadrada de orden n y p(x) =
m
X
ai x i un
i=0
polinomio con coeficientes en R, entonces se define p evaluado en
A como
m
X
p(A) =
ai Ai
i=0
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Definición
Si A es una matriz cuadrada de orden n y p(x) =
m
X
ai x i un
i=0
polinomio con coeficientes en R, entonces se define p evaluado en
A como
m
X
p(A) =
ai Ai
i=0
Ejercicios
Dada la matriz A =
1 2
0 −1
y el polinomio p(x) = x 3 + 3x + 1.
Calcular p(A).
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Ejercicio
Matriz Inversa
Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si:
AB = BA = In
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Ejercicio
Matriz Inversa
Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si:
AB = BA = In
Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y solo si
existe su inversa.
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Ejercicio
Matriz Inversa
Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si:
AB = BA = In
Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y solo si
existe su inversa.
Si existe una inversa de A ella es única.
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Ejercicio
Matriz Inversa
Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si:
AB = BA = In
Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y solo si
existe su inversa.
Si existe una inversa de A ella es única.
Teorema
1 Si A es regular, entonces su inversa es única.
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Ejercicio
Matriz Inversa
Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si:
AB = BA = In
Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y solo si
existe su inversa.
Si existe una inversa de A ella es única.
Teorema
1 Si A es regular, entonces su inversa es única.
2
Si A es regular, entonces A−1 es regular y (A−1 )−1 = A
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Ejercicio
Matriz Inversa
Sean A, B ∈ Mn (R). Se dice que A es la inversa de B si y solo si:
AB = BA = In
Una matriz se dice regular (invertible, no singular) si y solo si
existe su inversa.
Si existe una inversa de A ella es única.
Teorema
1 Si A es regular, entonces su inversa es única.
2
3
Si A es regular, entonces A−1 es regular y (A−1 )−1 = A
Si A y B son regulares, entonces AB es regular y
(AB)−1 = B −1 A−1
CCBB
Matrices
Operaciones con Matrices
Matriz Inversa
Ejercicio
Ejercicio
0 1
3 −1
−1
Si A =
. Verifique que A =
−1 3
1 0
CCBB
Matrices