Matrices: una matriz es un arreglo rectangular de números, los números en el arreglo se denominan
elementos de la matriz
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] → 𝑎𝑖𝑗 = "𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑖 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑗"
1 2
𝐴=(
),
3 4
2
1
𝐵 = ( ),
3
0
𝐶 = (1),
1
𝐷 = (−1 2
),
4
√2
𝐸=(
0
0
1
arctan 4
2
)
𝑒
ln 7
0
𝜋
El número de filas y columnas de una matriz se denomina tamaño de la matriz y se suele denotar por
𝐴𝑚𝑥𝑛 para indicar posee 𝑚 filas y 𝑛 columnas.
Operaciones con matrices:
Igualdad de Matrices: Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus elementos son
iguales.
Adición de matrices:
Si 𝐴 y 𝐵 son matrices del mismo tamaño, entonces la suma 𝐴 + 𝐵 es la matriz obtenida al sumar los
elementos de 𝐵 con los elementos correspondientes de 𝐴.
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ), 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) → 𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 )
De forma análoga, la diferencia 𝐴 − 𝐵 es la matriz obtenida al restar los elementos de 𝐵de los
elementos correspondientes de 𝐴. No es posible sumar o restar matrices de tamaños diferentes.
Multiplicación por un escalar: Si 𝐴 es cualquier matriz y 𝑐 es cualquier escalar, entonces el producto
𝑐𝐴 es la matriz obtenida al multiplicar cada elemento de 𝐴 por 𝑐.
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) → 𝑐𝐴 = (𝑐𝑎𝑖𝑗 )
Producto entre matrices: si 𝐴 es una matriz 𝑚𝑥𝑟 y 𝐵 es una matriz 𝑟𝑥𝑛 entonces el producto 𝐴𝐵 es
la matriz 𝑚𝑥𝑛 cuyos elementos se determinan como sigue: Para encontrar el elemento en el renglón
𝑖 y columna 𝑗 de la matriz 𝐴𝐵, se considera solo el renglón 𝑖 de la matriz 𝐴 y la columna 𝑗 de la matriz
𝐵, posteriormente se multiplican los elementos correspondientes del renglón y de la columna
mencionados y luego sumar los productos resultantes:
𝑝
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ]
𝑚𝑥𝑝
,
𝐵 = [𝑏𝑖𝑗 ]
𝑝𝑥𝑛
→ 𝐴𝐵 = 𝐶𝑚𝑥𝑛 = [𝐶𝑖𝑗 ] → 𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗
𝑘=1
Para multiplicar dos matrices se debe cumplir que las columnas de 𝐴 coincidan con el número de filas
de 𝐵, la matriz resultante tiene el número de filas de 𝐴 y el numero de columnas de 𝐵.
Propiedades de las operaciones de adición, multiplicación por un escalar y producto entre matrices:
Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que las operaciones indicadas se puedan
efectuar, las siguientes propiedades son válidas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
𝐴+𝐵 =𝐵+𝐴
𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶
𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶
𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
(𝐵 + 𝐶)𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴
𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵
(𝑘1 + 𝑘2 )𝐴 = 𝑘1 𝐴 + 𝑘2 𝐴
𝑘1 (𝑘2 𝐴) = (𝑘1 𝑘2 )𝐴
𝑘1 (𝐴𝐵) = (𝑘1 𝐴)𝐵 = 𝐴(𝑘1 𝐵)
En general el producto entre matrices no es conmutativo, esto es, 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴. Aunque existe una clase
especial de matrices denominadas permutables o conmutables tales que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴, no se puede
asegurar que todas las matrices son permutables.
Otra propiedad interesante del producto es que:
𝐴𝐵 = 𝑂 ∧ 𝐴 ≠ 𝑂 ∧ 𝐵 ≠ 𝑂
Este tipo de matrices se denomina matrices divisoras del cero. Ambas matrices poseen
necesariamente determinante nulo.
Este hecho, contradice la ley de cancelación de los números reales donde si 𝑎𝑏 = 0 debía cumplirse
que 𝑎 = 0 ⋁ 𝑏 = 0.
Matriz inversa:
Sea 𝐴 una matriz cuadrada, la inversa de 𝐴 se escribe 𝐴−1 y es aquella matriz que cumple que:
𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼
Una matriz 𝐴 es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.
Métodos para calcular la inversa de una matriz:
Método de la adjunta en España:
𝐴 → 𝐴𝑑𝑗(𝐴) → 𝐴−1 =
1
𝑡
(𝐴𝑑𝑗(𝐴))
det(𝐴)
Método de la adjunta en el resto del mundo que está cuerdo y sano:
𝑡
𝐴 → 𝐶𝑜𝑓(𝐴) → 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = (𝑐𝑜𝑓(𝐴)) → 𝐴−1 =
1
𝐴𝑑𝑗(𝐴)
det(𝐴)
Método de Gauss-Jordán:
(𝐴|𝐼) → 𝑀𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝐽𝑜𝑟𝑑𝑎𝑛 → (𝐼|𝐴−1 )
Fórmula para calcular la inversa de 𝟐𝒙𝟐
𝑎
𝐴=(
𝑐
Propiedades de la matriz inversa:
1
𝑏
𝑑
) → 𝐴−1 =
(
𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 −𝑐
−𝑏
)
𝑎
1. La matriz inversa es única.
2. La inversa del múltiplo escalar es:
1 −1
𝐴
𝑘
La inversa de una matriz inversa es la matriz original:
(𝐴−1 )−1 = 𝐴
Si 𝐴, 𝐵 son invertibles entonces la inversa del producto, es el producto de las inversas
cambiado de sentido, esto es:
(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1
Transponer una matriz y tomar su inversa, es idéntico a hacer la transpuesta de la inversa.
(𝐴𝑡 )−1 = (𝐴−1 )𝑡
El determinante de una matriz inversa es el inverso del determinante de la matriz original.
1
det(𝐴−1 ) =
det(𝐴)
(𝑘𝐴)−1 =
3.
4.
5.
6.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la inversa:
Si 𝐴𝑥 = 𝑏 y 𝐴 es invertible entonces:
𝑥 = 𝐴−1 𝑏
Matriz transpuesta: Si 𝐴 es cualquier matriz 𝑚𝑥𝑛 entonces la transpuesta de 𝐴, definida como 𝐴𝑡 , es
la matriz 𝑛𝑥𝑚 que se obtiene al intercambiar las filas de y las columnas de 𝐴.
Propiedades de la Matriz Transpuesta:
1.
2.
3.
4.
5.
(𝐴𝑡 )𝑡 = 𝐴
(𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡
(𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 𝐴𝑡
(𝑘𝐴)𝑡 = 𝑘𝐴𝑡
Si 𝐴 es invertible entonces (𝐴𝑡 )−1 = (𝐴−1 )𝑡
Potencias de una matriz:
Si 𝐴 es una matriz cuadrada entonces las potencias enteras no negativas de 𝐴 se definen como:
𝐴0 = 𝐼,
𝐴𝑛 = 𝐴 ∗ … ∗ 𝐴 (𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠)
Además, si 𝐴 es invertible entonces las potencias enteras negativas de 𝐴 se definen como:
(𝐴−𝑛 ) = (𝐴−1 )𝑛 = (𝐴−1 ) ∗ … ∗ (𝐴−1 ) (𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠)
Propiedades de las potencias en matrices:
1.
2.
3.
4.
5.
𝐴𝑟 ∗ 𝐴𝑠 = 𝐴𝑟+𝑠
(𝐴𝑟 )𝑠 = 𝐴𝑟∗𝑠
(𝐴𝑛 )−1 = (𝐴−1 )𝑛
(𝐴𝑡 )𝑛 = (𝐴𝑛 )𝑡
(𝑘𝐴)𝑛 = 𝑘 𝑛 𝐴𝑛
Tipos de Matrices:
Existen muchos tipos de matrices y diferentes formas de clasificarlas, diferentes matrices pueden
pertenecer a diferentes categorías simultáneamente y no son mutuamente exclusivas. Siguen un
orden lógico e introductorio, aunque muchas propiedades se sustentan en varias definiciones.
Matrices de acuerdo a su numero de filas y columnas:
Matriz fila o vector fila:
Aquella matriz que tiene únicamente una fila.
𝐴 = (1 2
3)
Matriz columna o vector columna:
Aquella matriz que tiene únicamente una columna
1
𝐴 = (2)
3
Matrices Rectangulares: una matriz con un número de filas distintas al número de columnas.
Matriz Cuadrada: una matriz 𝑛𝑥𝑚 elementos es una matriz cuadrada, si el número de filas es igual al
número de columnas, es decir, 𝑛 = 𝑚, y se dice entonces que la matriz es de orden 𝑛.
𝑎11
𝐴=( ⋮
𝑎𝑛1
… 𝑎1𝑛
⋱
⋮ )
… 𝑎𝑛𝑛
Propiedades:
Toda matriz cuadrada se puede descomponer como la suma de una matriz simétrica 𝑆 y otra
antisimétrica 𝑇, tales que:
𝐴 = 𝑆 + 𝑇,
1
𝑆 = (𝐴 + 𝐴𝑡 ),
2
1
𝑇 = (𝐴 − 𝐴𝑡 )
2
Los conceptos de traza y determinantes son aplicables únicamente a matrices cuadradas.
Los elementos en la posición 𝑎11 , 𝑎22 , … , 𝑎𝑛𝑛 se denominan diagonal principal, la otra
diagonal no es de interés.
Matrices de acuerdo a las relaciones entre sus elementos:
Matrices elementales:
Una matriz elemental de orden 𝑛 es una matriz que se obtiene a partir de la matriz identidad 𝐼𝑛
aplicando solo una operación elemental por fila. Se suelen identificar con la letra 𝐸𝑛
Toda matriz invertible se puede descomponer como el producto de matrices elementales.
Multiplicar por una matriz elemental es idéntico a hacer la operación elemental por fila
directamente en la matriz.
Matrices Triangulares (Inferior, Superior, Diagonal, Escalar)
Matriz triangular superior: una matriz cuadrada es triangular superior si los elementos por debajo de
la diagonal principal son nulos.
𝑎11
𝑈=( 0
0
𝑎12
𝑎22
0
𝑎13
𝑎23 ) → 𝑈 = [𝑎𝑖𝑗 ],
𝑎33
𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑗 = {
0
𝑠𝑖 𝑖 ≤ 𝑗
𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗
Matriz triangular Inferior: una matriz cuadrada es triangular inferior si los elementos por arriba de la
diagonal principal son nulos.
𝑎11
𝐿 = (𝑎21
𝑎31
0
𝑎22
𝑎32
0
0 ) → 𝐿 = [𝑎𝑖𝑗 ],
𝑎33
𝑎𝑖𝑗 = {
𝑎𝑖𝑗
0
𝑠𝑖 𝑖 ≤ 𝑗
𝑠𝑖 𝑖 < 𝑗
Matriz diagonal: Una matriz cuadrada es triangular superior si tanto los elementos por debajo y arriba
de la diagonal principal son nulos.
𝑎11
𝐷=( 0
0
0
𝑎22
0
0
0 ) → 𝐷 = [𝑎𝑖𝑗 ],
𝑎33
𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑗 = {
0
𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
Propiedades de la diagonal
Multiplicar por la izquierda por una matriz diagonal, multiplica las columnas de la matriz por
los elementos de la diagonal.
Multiplicar por la derecha por una matriz diagonal, multiplica las columnas de la matriz por
los elementos de la diagonal.
Las matrices diagonales son superiores, inferiores y son simétricas.
Matriz escalar: es una matriz diagonal con todos sus elementos iguales:
𝑎11
𝐾=( 0
0
0
𝑎22
0
0
0 ) → 𝐾 = [𝑎𝑖𝑗 ],
𝑎33
𝑘
𝑎𝑖𝑗 = {
0
𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
Propiedades de las matrices escalares:
Es lo mismo que multiplicar la matriz por un escalar.
Las matrices escalares son permutables o conmutables con cualquier otra matriz.
Las matrices escalares son superiores, inferiores, diagonales y son simétricas.
Los valores propios de una matriz escalar son los elementos de la diagonal principal, y son
todos iguales.
Propiedades de las matrices triangulares en general:
El producto de dos matrices triangulares del mismo tipo, resulta en una matriz triangular del
mismo tipo.
La transpuesta de una matriz triangular superior es una triangular inferior, y viceversa.
El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal
principal.
Una matriz triangular es invertible si y solo si, sus elementos en la diagonal principal son
distintos de cero.
Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de una diagonal principal.
Matriz simétrica:
Una matriz cuadrada es simétrica si es una matriz cuadrada de la cual tiene la característica de ser
igual a su transpuesta.
1 2
𝐴 = (2 4
3 5
3
5)
6
Definición por operaciones:
𝐴𝑡 = 𝐴
Definición por elementos:
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] → 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 → 𝑎𝑖𝑗 − 𝑎𝑗𝑖 = 0
Propiedades de las matrices simétricas:
La suma dos matrices simétricas es simétrica.
La multiplicación de una matriz simétrica por un número sigue siendo simétrica.
La transpuesta de una matriz simétrica es simétrica.
La potencia de una matriz simétrica es simétrica.
Si la matriz simétrica es invertible entonces la inversa es simétrica.
El producto de una matriz con su transpuesta es siempre simétrico sin importar el orden
(𝐴𝐴𝑡 , 𝐴𝑡 𝐴)
Si 𝐴 es una matriz simétrica y 𝐵𝑝𝑥𝑞 entonces el producto 𝐵𝑡 𝐴𝐵 es simétrico.
El producto de dos matrices simétricas no necesariamente es simétrico, únicamente será
simétrico si y solo si, también son permutables.
Matriz antisimétrica o Hemisimétrica.
Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada 𝐴 cuya transpuesta es igual a su negativa, es decir, si
se cumple que:
𝐴𝑡 = −𝐴
Por ejemplo:
0
2 3
𝐴 = (−2 0 5) ,
−3 −5 0
0 −2 −3
0
2 3
𝐴𝑡 = (2 0 −5) = − (−2 0 5) = −𝐴
3 5
0
−3 −5 0
La matriz antisimétrica se caracteriza por tener sus elementos en la diagonal principal todos nulos.
Propiedades de las matrices antisimétricas:
La suma dos matrices antisimétricas es antisimétrica.
La multiplicación de una matriz antisimétrica por un número sigue siendo antisimétrica.
La transpuesta de una matriz antisimétrica es antisimétrica.
La potencia de una matriz antisimétrica es simétrica si la potencia es par, y antisimétrica si es
una potencia impar.
Si la matriz antisimétrica es invertible entonces la inversa es antisimétrica.
El determinante de una matriz antisimétrica de orden impar es siempre nulo, si es de orden
par, puede ser cualquier número real.
La traza de una antisimétrica es siempre cero.
El producto de dos matrices antisimétricas no necesariamente es antisimétrico ni simétrico,
únicamente será simétrico si y solo si, también son permutables.
Resumen de las propiedades del producto de matrices simétricas y antisimétricas.
El producto de dos matrices simétricas no necesariamente es simétrico, únicamente será
simétrico si y solo si, también son permutables.
El producto de dos matrices antisimétricas no necesariamente es antisimétrico ni simétrico,
únicamente será simétrico si y solo si, también son permutables.
El producto de dos matrices una simétrica y otra antisimétrica no necesariamente es
antisimétrico, únicamente será antisimétrico si y solo si, también son permutables.
Matrices constantes:
Matriz identidad: La matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento
neutro del producto de matrices. Esto es:
𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴
Existen infinitas matrices identidades y se señalan como 𝐼𝑛 para indicar su orden correspondiente:
1
𝐼3 = (0
0
0 0
1 0) → 𝐼𝑛 = [𝑎𝑖𝑗 ],
0 1
𝑎𝑖𝑗 = {
1 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
Propiedades de las matrices identidad:
Es el elemento neutro en el producto de matrices.
Es una matriz triangular, esto es, es diagonal, inferior, superior, escalar.
Es simétrica, idempotente, involutiva, regular, ortogonal, permutable.
Matriz nula o matriz cero:
La matriz nula es una matriz la cual todos sus elementos son nulos. Esta matriz puede tener todas las
dimensiones posibles mientras todos sus elementos sean ceros.
Propiedades:
1. 𝐴 + 𝑂 = 𝐴
2. 𝐴 − 𝐴 = 𝑂
3. 𝐴𝑂 = 𝑂, 𝑂𝐴 = 𝑂
Características:
Las matrices nulas cuadradas son simétricas y antisimétricas simultáneamente.
Las matrices nulas cuadradas son triangulares, es decir, son superior, inferior, diagonal y
escalar simultáneamente.
La matriz nula cuadrada es singular, degenerada o no invertible.
Es el elemento neutro para la suma de matrices.
Matrices que satisfacen condiciones en los productos, inversas y transposiciones.
Matrices idempotentes.
Una matriz idempotente son aquellas matrices que elevadas a cualquier potencia siempre dan la
misma matriz, esto es:
𝐴2 = 𝐴,
𝐴3 = 𝐴,
…,
𝐴𝑛 = 𝐴
Ejemplo:
4 −2
𝐴=(
)
6 −3
Formula de una matriz idempotente
𝑎
𝐴=(
𝑐
𝑏
),
1−𝑎
𝑐𝑜𝑛 𝑎2 + 𝑏𝑐 = 𝑎
Propiedades de los matrices idempotentes:
El determinante de los matrices idempotentes es 0 ó 1.
La única matriz con determinante 1 e idempotente es la identidad.
La traza de una matriz idempotente es el rango de la matriz.
La matriz 𝐴 es idempotente si y solo si 𝑃 = 2𝐴 − 𝐼 es involutiva
Los matrices idempotentes son siempre diagonalizables y sus valores propios son 0 ó 1.
Matrices involutivas:
La matriz involutiva es una matriz cuadrada e invertible cuya matriz inversa es la propia matriz:
𝐴−1 = 𝐴
𝐴2 = 𝐼
Ejemplo: La matriz siguiente es involutiva.
2
3
𝐴=(
)
−1 −2
Formula de la matriz involutiva:
𝑎
𝐴=(
𝑐
𝑏
),
−𝑎
𝑐𝑜𝑛 det(𝐴) = −1
Propiedades:
1
La matriz 𝐴 es involutiva si y solo si la matriz 𝑄 = 2 (𝐴 + 𝐼) es idempotente.
Si 𝐴, 𝐵 son dos matrices involutivas y permutables entonces 𝐴𝐵 es involutivo.
Las potencias de las matrices involutivas son la identidad si la potencia es par, y si es impar,
es la misma matriz.
El determinante de una matriz involutiva es ±1.
Matrices Nilpotente.
Una matriz Nilpotente es una matriz cuadrada que elevada a algún número entero positivo da como
resultado la matriz nula.
𝑁𝑘 = 𝑂
𝑘 es el índice de Nilpotencia, y es la mínima potencia, tal que 𝑁 𝑘 = 𝑂
Ejemplo:
2 −4
𝑁=(
)
1 −2
Formula de una matriz nilpotente de orden 2:
𝑎
𝑁 = ( 𝑎2
−
𝑏
𝑏
−𝑎
),
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ
Propiedades de las matrices nilpotentes:
La traza de una matriz nilpotente es siempre cero.
El determinante de una matriz nilpotente es cero, por ello, no son invertibles.
La única matriz nilpotente diagonalizable es la matriz nula.
El índice de nilpotencia de una matriz de tamaño 𝑛𝑥𝑛 es siempre menor o igual a 𝑛.
Cualquier matriz triangular con cero en la diagonal principal es nilpotente.
Toda matriz singular se puede descomponer como un producto de matrices nilpotentes.
Todos los valores propios de una matriz nilpotente son todos cero.
Matriz normal:
Una matriz es normal si cumple que:
𝐴𝐴𝑡 = 𝐴𝑡 𝐴
Todas las matrices ortogonales y simétricas son normales.
Matriz ortogonal
Una matriz es ortogonal si es una matriz cuadrada que multiplicada por su transpuesta es igual a la
matriz identidad, es decir, aquellas matrices que cumplen la condición de que:
𝐴𝐴𝑡 = 𝐴𝑡 𝐴 = 𝐼
También se definen como:
𝐴𝑡 = 𝐴−1
Ejemplos:
1
𝐴= 2
√3
(2
√3
−
2 ,
1
2 )
1
𝐴=
√2
1
0
0
√2
(0 1
1
√2
−1
√2
0)
Propiedades de las matrices ortogonales:
Tanto los vectores que conforman las filas y columnas tienen modulo 1.
Los vectores columna y fila son ortogonales entre sí, esto es, el producto punto de los vectores
tomados de dos en dos, es siempre nulo.
Las matrices ortogonales siempre tienen determinante det(𝐴) = ±1
Todas las matrices ortogonales son diagonalizables.
Los valores propios de una matriz ortogonal son 1 o -1.
Cualquier matriz ortogonal formada únicamente por números reales es también una matriz
normal.
El producto de dos matrices ortogonal es otra matriz ortogonal.
La matriz transpuesta de una matriz ortogonal es ortogonal.
Matriz regular, invertible, no singular o no degeneradas.
Son aquellas matrices cuadradas que además son invertibles.
Propiedades de las matrices regulares.
Siempre tiene determinante distinto de cero.
La matriz escalonada reducida es la identidad siempre.
El rango de una matriz regular coincide con el tamaño de matriz.
El producto de dos matrices regulares es siempre regular.
La transpuesta de una matriz regular es regular.
Si 𝐴𝑥 = 𝑏 es un sistema de ecuaciones y 𝐴 es regular, el sistema es siempre compatible
determinado.
Los vectores columnas y fila de una matriz regular son linealmente independientes.
Los valores propios de una matriz regular siempre son distintos de cero.
Matriz singular o degenerada, o no regular.
Una matriz singular es una matriz cuadrada que no es invertible, y que, por lo tanto, su determinante
es siempre cero.
Propiedades:
Como mínimo dos filas o dos columnas son combinación lineal del resto.
Determinante siempre nulo.
El rango de una matriz regular es siempre menor a su tamaño
El producto de una matriz singular por otra matriz es siempre singular.
La potencia de una matriz singular es singular.
La transpuesta de una matriz singular es singular.
La adjunta de una matriz singular es singular
Las matrices triangulares son singulares si tienen al menos un cero en la diagonal
Dado un sistema de ecuaciones lineales 𝐴𝑥 = 𝑏, si 𝐴 es singular entonces o el sistema es
incompatible o es compatible indeterminado.
Una matriz singular al menos uno de sus valores propios es cero.
Matrices Conmutables o permutables
Decimos que dos matrices son conmutables o permutables si y solo si, se cumple que:
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴
Algunas matrices conmutables conocidas
Las matrices escalares conmutan con cualquier matriz.
Las matrices diagonales conmutan entre sí mismas
Una matriz y su inversa son conmutables
La matriz identidad conmuta con cualquier matriz
La nula conmuta con cualquier matriz.
