Calculo Vectorial

Cálculo
Vectorial
Ing. Edison Javier Guamán
Dedicado a mi familia, compañeros, amigos
y mis queridos estudiantes.
I
Agradecimientos
¡Muchas gracias a todos!
II
Resumen
Se trata de una bonita historia.
III
Índice general
Resumen
III
1. Definiciones Básicas
1.1. Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Función Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Integrales Impropias. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas . . .
1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Cálculo de áreas en coordenadas paramétricas . .
1.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Cálculo de areas en coordenadas polares . . . . .
1.6.1. Discucion de una ecuacion en Coordenadas
1.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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polares
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2
2
2
3
4
4
9
10
16
18
23
24
25
2. Momentos de áreas
2.1. Centroides . . . . . .
2.2. Momentos de área en
2.3. Momentos de área en
2.4. Ejercicios . . . . . .
. . . . . . .
coordenadas
coordenadas
. . . . . . .
3. Longitud de Arco
3.1. Coordenadas Cartesianas .
3.2. Coordenadas Paramétricas
3.3. Coordenadas Polares . . .
3.4. Ejercicios . . . . . . . . .
3.5. Momentos de Longitud . .
3.5.1. Ejercicios . . . . .
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IV
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paramétricas
polares . . .
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29
29
30
30
31
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43
43
44
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45
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4. Volúmenes de Revolución
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Método de Disquetes . . . . . . . . . .
4.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . .
4.3. Volumen en coordenadas paramétricas
4.4. Volumen en coordenadas polares . . . .
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5. Funciones Vectoriales
5.1. Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Límite y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Definición de Límite: . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Derivada Direccional. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1. Forma alternativa de la derivada direccional. .
5.4.2. Propiedades del gradiente. . . . . . . . . . . .
5.5. Derivada Direccional para funciones de tres variables.
5.6. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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53
53
54
55
56
57
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59
59
59
61
61
61
61
69
69
69
70
70
6. Vectores en el Espacio.
6.0.1. Vector en el Espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.0.2. Componentes de un Vector en el Espacio. . . . . . .
6.0.3. Módulo de un Vector. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.0.4. Distancia entre dos puntos. . . . . . . . . . . . . .
6.0.5. Vector unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Superficies Cilíndricas y Cuádricas. . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Superficies Cilíndricas. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2. Superficies Cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Vector Tangente Unitario, Normal Principal y Binormal. .
6.2.1. Vector Tangente Unitario . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Vector Normal Principal . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3. Vector Binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Plano Osculador, Vector Curvatura y Radio de Curvatura.
6.4. Derivadas Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Ejercicio Completo: Plano osculador, normal y rectificante
6.6. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . .
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79
79
80
80
81
81
82
82
82
86
86
87
87
91
93
94
96
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7. Campos Vectoriales
98
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.2. Calculo de áreas y volúmenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
V
7.2.1. Ejemplos . . . . . . .
7.3. Masa . . . . . . . . . . . . .
7.4. Cambio a coordenas Polares
7.4.1. Ejemplos . . . . . . .
7.5. Integrales Dobles, cambio de
7.5.1. Ejemplos . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
variable de una integral doble
. . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Integrales Triples
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Cambios de variable en una Integral Triple
8.2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Coordenadas Cartesianas-Esféricas . . . .
8.4. Coordenadas Cartesianas-Cilíndricas . . .
8.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Campos Vectoriales . . . . . . . . . . . . .
8.6.1. Campo Vectorial Conservativo . . .
8.6.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .
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9. Integrales de Linea.
9.1. Para Campo Escalar . . . . . . . . . . . . .
9.2. Para Campo Vectorial. . . . . . . . . . . . .
9.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .
9.5. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6. Integrales de Superficie . . . . . . . . . . . .
9.6.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7. Parametrización de algunas funciones . . . .
9.8. Integral de Superficie de un Campo Escalar
9.8.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . .
9.9. Teorema de la divergencia . . . . . . . . . .
9.9.1. Segunda forma del teorema de Green
9.9.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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99
101
102
102
103
103
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108
. 108
. 108
. 109
. 109
. 110
. 110
. 110
. 111
. 112
. 112
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114
. 114
. 114
. 115
. 116
. 117
. 118
. 119
. 122
. 123
. 125
. 125
. 126
. 127
. 127
. 127
Capítulo 1
Definiciones Básicas
1.1.
Integral Definida
Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a, b] R, la integral
definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y
rectas x = a y x = b
Se representa por
1.2.
´b
a
f (x) dx
Función Integral
2
Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función
se define la función integral:
F (x) =
´x
a
f (t) dt
que depende del límite superior de integración.
Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto
limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en
el intervalo [a, b].
1.2.1.
1.
=
´ −1
Ejemplos
dx
−2 (x−1)3
h
i−1
−1
2(x−1)2 −2
= − 12
h
1
(−2)2
−
1
(−3)2
i
5
= − 72
2.
=
=
´3
√ x
dx
x2 −1
2
1
2
´3
2
h√
2x (x2 − 1)
− 21
dx
i3
x2 − 1
2
3
=
√
´π
3.
=
8−
0
√
3
sen2 x dx
´ π 1−cos2x dx
0
2
x
2
− 41 sen2x
iπ
=
h
=
π
2
4.
´4 √
x x2 + 9dx
0
=
1
2
=
´4
0
1
3
h
=
1
3
=
98
3
1.3.
1.3.1.
0
1
2x (x2 + 9) 2 dx
3
(x2 + 9) 2
4
0
3
2
(25) − 9
3
2
i
Integrales Impropias.
Ejercicios
1.1
4
3
y = x2a+a2 ======>x es una asintota.
x2 y + (a2 y − a3 ) = 0
q
x=±
a2 (a−y)
y
a3 −a2 y
y
≥o
(−) ≤ 0(+) ≤ a(−)
Por ser Funcion par = Puede ser 2 veces la integral.
´ +$
´ +$
´0
A = −ω f (x)dx + 0 f (x)dx = 2 0 f (x)dx
´ +$
´b
2 0 x2a3
dx=2a3 limb→$ 0 x2dx
+a2
+a2
h
i
h
i
limb→$ 2a3 ( a1 )arcT ang( xa ) |b0 = limb→+$ 2a2 arctang( xa ) |$
0
=2πa2
1.2
y = ln(x)
y=0
0≤x≤e
´0
´e
A = 1 ln(x)dx + 1 ln(x)dx
´0
´e
A = limξ→0 1 ln(x)dx + 1 ln(x)dx
A = limξ→0 [xln(x) − x] |ξ1 + [xln(x) − x] |e1
A = [1] + [1] = 2u2
5
1.3
xln(x)
y = [(1+x
2 )2 ]
0 = xln(x)
x=0
x = e0
x=1
xln(x)
limx→$ (1−x
2 )2 = 0
´$
´ 0 xln(x)
A = − 1 (1+x2 )2 dx + 1
u = lnx
xdx
dv = (1+x
2 )2
A1 =
−ln(x)
2(1+x2 )
−
1
2
´
du
v=
xln(x)
dx
(1+x2 )2
= x1 dx
−1
2(1+x2 )
dx
x(1+x2 )
x = 1tan(z)
dx = Sec2 (z)dz
´ dx
´
´
Sec2 (z)dz
=
=
2
2
x(1+x )
tan(z)(1+tan (z))
´ dz
−ln(x)
A1 = 2(1+x2 ) − 12 tan(z)
A1 =
A1 =
−ln(x)
− 12 ln | sen(z)
2(1+x2 )
−ln(x)
1
x
−[ 2(1+x
2 ) − 2 ln | 1+x2
Sec2 (z)dz
tan(z)(Sec2 (z))
|
|] |01
6
1.4Sea f(x)=x +
1
2(x−1)
y = f (x) ===>su Asintota
x=2
x=λ
λ≥2
Calcular el limite del area cuando λ → $
3
2 +2x+1
2x(x−1)2 +1
= 2x 2x−4x
2 −4x+2
2(x2 −2x+1)
2x2 −4x+2
= 1===>Asintota
x´
$
dx
A = 2 2(x−1)
2
´
1 $
dx
A = 2 2 (x−1)2
´ b dx
A = 12 limb→$ 2 (x−1)
2
1
−1
A = 2 limb→$ [ (x−1) ] |b2
−1
A = − 12 limb→$ [ (b−1)
− 11 ]
A = − 12 [0 − 11 ]
A = 12 u2
7
1.5
x3
====>Simetrica
2a−x
q 3
x
2a−x
y2 =
y=
al eje x
x3
2a−x
≥0
´ 2a q x
dx
A = 2 0 x 2a−x
x = z2
dx = 2zdz
´ 2
´ 4 dz
A = 2 z√∗z∗2zdz
= 4 √z2a−z
2
2a−z 2
√
z = 2a sin(θ)
√
dz = 2a cos(θ)
´ 2 sin4 (θ)√2acos(θ)dθ
A = 4 4a √
2a−2asin2 (θ)
´
´
A = 16a2 sin4 (θ)dθ = 16a2 ( 1−cos(2θ)
)2 dθ
2
´
A = 4a2 (1 − 2cos(2θ) + cos2 (2θ))dθ
h
´ 1+4cos(θ) i
A = 4a2 θ − 2sin(2θ)
+
dθ
2
2
h
A = 4a2 θ − sin(2ϑ) + 21 (θ +
h
A = 4a2 θ − sin(2ϑ) + 12 θ +
A = 4a2
h
3
θ
2
− sin(2ϑ) +
A = 4a2 lı́mb→$
A = 4a2
h
3
θ
2
A = 4a2
h
3π
4
h
3
θ
2
i
sin(4θ)
)
8
i
sin(4θ)
)
4
− sin(2ϑ) +
− sin(2ϑ) +
i
i
sin(4θ)
)
4
i
sin(4θ)
)
4
i
sin(4θ)
)
4
π
|02
= 3a2 π
8
|b0
1.4.
Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas
dA = f (x1 )dx
n
X
A = lı́m
x→+∞
f (xi)dx
i=1
´b
´b
A = a f (x)dx ⇒ A = a f (x) − 0)dx
Si f(x) es positiva, el área es positiva
Si f(x) es negativa, el área es negativa
ˆ
b
0 − f (x)dx
A =
ˆ
a
A =
a
f (x)dx
b
9
1.4.1.
Ejercicios
Calular el área del triángulo
1
5
1
y − 3 = − (x + 2)
5
x 2
y−3 = − −
5 5
x 13
L1 = − +
5
5
m1 = −
ˆ
5
3
5
y − 3 = − (x + 2)
3
5
10
y−3 = − x−
3
3
5
1
L2 = − x −
3
3
m2 = −
m3
y−2
y
L3
=
=
=
=
2
2(x − 3)
2x − 6 + 2
2x − 4
ˆ 3 1
x 13
5
x 13
5
+
A =
− +
− − x−
dx +
− − x − 2x − 4 dx
5
5
3
3
5
5
3
−2
1
ˆ 1
ˆ 3
−3x + 25x + 39 + 5
−x + 10x + 13 + 20
A =
dx +
dx
15
5
−2
1
1
A =
A =
A =
A =
ˆ 1
ˆ
1 3
1
(22x + 44) dx +
(9x + 33) dx
15 −2
5 1
1
3
1
1 9 2
2
(11x + 44x)
+
x + 33x
15
5 2
−2
1
1
1 81
9
(11 + 44 − 44 + 88) + ( + 99 − − 33)
15
5 2
2
1
1
(99) + (102) = 27u2
15
5
10
Hallar el área de la región acotada por las parábolas
siguientes
y2 = x
x = −2y 2 + 3
(1.1)
(1.2)
x − h = 4p(y − k)2
x − 3 = −2y
(1)
y2
3y 2 + 3
y2 + 1
y
ˆ
=
=
=
=
=
(2)
−2y 2 − 3
0
0
±1
1
(f (y) − g(x)) dy
Ay =
−1
ˆ 1
Ay =
−2y 2 + 3 − y 2 dy
−3y 2 + 3 dy
−1
ˆ
1
Ay =
−1
Ay = −y 3 + 3y
i1
−1
Ay = −1 + 3 − (1 − 3)
Ay = 4u2
11
Calular el área comprendida entre 0 y Π
f (x) = sen(x)
g(x) = cos(x)
)
= (1)
ˆ
ˆ Π
4
[cos(x) − sen(x)] dx +
A =
π
[sen(x) − cos(x)] dx
Π
4
0
Π
Ay = sen(x) + cos(x) ]04 + ( −cos(x) − sen(x)) ]ΠΠ
4
√
√
√ !
√
2
2
2
+
− 0 + 1 + 1 − 0 − − 22 −
A =
2
2
2
√
√
√ 2
A =
2 − 1 + 1 + 2 = 2 2u
Hallar el área comprendida entre x=-1 y x=1
f (x) = ex
g(x) = e− x
)
12
= (2)
ˆ
0
A =
ˆ
e
−x
−e
x
dx +
−1
A = −e
−x
1
ex − e−x dx
0
−e
x
i0
+ e + e−x
x
−1
i1
0
1
1
A = − −e −
+e+
e
e
2
A = 2e +
e
2e2 + 2
A =
= 6, 17u2
e
Hallar el área comprendida entre las siguientes curvas:


 x2
+ y 2 = a2
(3) = x2 y 2


+
=1
b
a

ˆ a √
ˆ b s
2
x


A =
a 1 − 2 dx +
a2 − x2 dx
b
0
0
ˆ b √
ˆ a √
a
A =
b2 − x2 dx +
a2 − x2 dx
b 0
0
cambio1 : x = bsen(u) → dx1 = bcos(u)du
cambio2 : x = asen(m) −→ dx2 = acos(m)dm
13
ˆ
Π
2
A = ab
0
1 + cos2 (u)
du + a
2
1u sen(2u)
A = ab
+
2
4
!
A = ab
Π
Π
+a
4
4
! #Π
2
0
ˆ
0
Π
2
1 + cos2 (m)
dm
2
1m sen(2m)
+a
+
2
4
!
Π
A = ab (1 + a)u2
4
Encontrar el área determinada entre:
x
2
(4) =

y =| 1 − x |


y
r
=
14
! #Π
2
0
ˆ 2 r
x
x
−1 + x dx +
−1 + x dx
A =
1
2
2
1
2
ˆ 1
ˆ 2
ˆ 1 ˆ 2 √
√
1
1
A = √
(−1 + x) dx
x dx −
(1 − x) dx + √
x dx +
1
2 21
2
1
1
2
ˆ
1
r
! #1
#1
#2
2 3
x2
2 3
x2
2
√
A = − √ x2
−
x
−
+
x
+
x
+
1
1
2
2
3 2
3 2
1
2
2
1 1 1
1
A = 0,305 − 1 − − +
+ 0,86 + −2 + 2 + 1 −
2 2 8
2
1
1
A = 0,305 − + 0,86 + = 1,54u2
8
2
! #2
1
Resolver el /’area del intercepto entre las dos curvas
(5) =

x2
= 1 + 2y
y = 1 + 2x
√
y2
=
1 + 2y
2
2
y2 − 1
= 4 + 8y
y 4 − 2y 2 − 8y − 3 = 0
4y 3 − 4y − 8 = 0
15
y2 = 2,41
x2 = 2,41
y1 = −0,41
x1 = −0,42
ˆ
2,41
√
1 + 2y − y dy
A = 2
−0,41
2,41
ˆ
A = 2
ˆ
2,41
ydy + 2
−0,41
√
1 + 2y dy
−0,41
2
si : u = 1 + 2y
udu = dy
ˆ
ˆ
√
1 + 2ydy =
uudu
√
u3
1 + 2y 3
=
3
3
! #2,41
√
i2,41
1 + 2y 3
= 3,66u2
A = 2
+ y2
−0,42
3
−0,42
1.5.
Cálculo de áreas en coordenadas paramétricas
f (x, y) =

x
y
= g(t)
= h(t)
16
dx=g’(t)dt
17
dy=h’(t)dt
ˆ
ˆ
b
b
f (x) dx;
Ax =
a
ˆ
f (x) dx = F (x)
a
b
f (g(t))g 0 (t)dt
Ax =
a
ˆ
b
Ax =
f (g(t))d(g(t))dt = F (g(t))
a
ˆ
b
f (z)dz = F (z)
Ax =
a
ˆ
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
Ax =
ˆ
a
t2
Ax =
f (g(t)) · g 0 (t)dt
t1
A = F (g(t2 )) − F (g(t1 ))
ˆ t2
Ax =
h(t)g 0 (t)dt
t1
t∗2
ˆ
Ay =
h(t)g 0 (t)dt
t∗1
Límites de integración en dx y dy respectivamente
1.5.1.
Ejercicios
Utilizando las identidades trigonométricas pitagóricas
cos2 (t) + sen2 (t) = 1
18

x
f (x, y) =
ˆ
y
= acos(t)
= asen(t)
0
Ax =
asen(t)(−asen(t))dt
Π
2
ˆ
0
a2 sen2 (t)dt
Ax = −
Π
2
ˆ
Ax = −a
0
2
Π
2
Ax = −a
2
1 − cos2 (t)
dt
2
1t 1sen(2t)
−
2
4
!
0
Π
2
Π
Ax = a2 u2
4
ˆ
Π
2
Ay =
acos(t)(acos(t))dt
0
ˆ
Π
2
Ay =
0
Ay
Π
2
1 + cos(2t)
dt
2
0
!
1sen(2t) 0
2 1t
= a
+
Π
2
4
2
2
aΠ 2
u
=
4
Ay = a
Ay
ˆ
a2 cos2 (t)dt
2
19

x
f (x, y) =
= asen(t)
= acos(t)
y
ˆ
0
Ax =
acos(t)acos(t)dt
Π
2
ˆ
Ax = a
0
2
Π
2
Ax = a
1t sen(2t)
+
2
4
2
!
0
Π
2
a2 2
Πu
4
Ax =
ˆ
Π
2
Ay =
asen(t)(−asen(t))dt
0
Ay = −a
ˆ
2
Ay = −a2
Ay =
1 + cos(2t
)dt
2
Π
2
1 − cos2(t)
dt
2
0
! Π
2
1t cos(2t)
−
2
4
0
a2 2
Πu
4
20
ˆ
Ax = a
2
3Π
2
cos2 (t)dt
0
ˆ
Ax = a
3Π
2
1 + cos(2t)
dt
2
0
! 3Π
2
1t sen(2t)
+
2
4
0
2
A x = a2
3
A = a2 Πu2
4
ˆ
Ay = −a
0
2
sen2 (t)dt
ˆ
3Π
2
0
2
Ay = −a
3Π
2
2
Ay = −a
1 − cos(2t)
dt
2
1t sen(2t)
−
2
4
3
A = a2 Πu2
4

x
f (x, y) = 
= asen(t) + h
y = bcos(t) + k
21
!
0
3Π
2
ˆ
ˆ
0
2Π
ydx −
ydx
Π
#
"ˆ Π
ˆ 2Π
ydx
ydx +
= −
Ax =
Π
Ax
ˆ
Π
0
2Π
Ax = −
ydx
0
ˆ
2Π
Ax = −
[k + bsen(t)] [−asen(t)] dt
0
ˆ 2Π h
i
Ax =
−kasen(t) − absen2 (t) dt
0
#
ˆ 2Π "
1 − cos(2t)
Ax =
kasen(t) + ab
dt
2
0
!
abt sen(2t) 2Π
Ax = −kacos(t) +
−
2
4
0
abΠ
A = ka +
− ka
4
abΠ 2
A =
u
4
Cicloide
f (x, y) =

x
= a(t − sen(t))
y = a(1 − cos(t))
22
ˆ
2Π
Ax =
ydx
0
ˆ
2Π
a(1 − cos(t)a(1 − cos(t))dt
Ax =
0
Ax = a
ˆ
2Π
2
(1 − 2cos(t) + cos2 (t))dt
0
ˆ
Ax
Ax
Ax
2Π
f (x, y) =
1.6.
!
1 + cos(2t)
= a
(1 − 2cos(t) +
dt
2
0
2Π
1
1
2
= a t − 2sen(t) + t + ssen(2t)
2
4
0
2
2 2
= a (2Π + Π) = 3Πa u
2

x
= 4t2 − 4t
y = 1 − 4t2
Cálculo de areas en coordenadas polares
23
1.6.1.
Discucion de una ecuacion en Coordenadas polares
1. cambio de variables
r 2 = x2 + y 2
x = rcos(θ)
y = rsen(θ)
2. Intersecciones
Polar
⇒ θ = 0 + nπ; nZ
E. normal
θ=
π
2
+ nπ; nZ
3. Simetria
Eje polar
r(−θ) = r(θ)
r(π − θ) = −r(θ)
Eje normal
r(π − θ) = r(θ) r(−θ) = −r(θ)
Polo
−r(θ) = r(θ) r(π + θ) = r(θ)
4. Tabulacion En general el punto (r; θ) puede expresarse como: (r; θ) =
(r; θ + 2nπ) o (r; θ) = (−r; θ + (2n + 1)π)
5. Graficos
24
6. formulas
Sea r = r(θ) la ecuación en coordenadas polares de una curva y
supongamos que r(θ) es continua en el intervalo cerrado [α, β]. Se
define el area de la region limitada por las curvas y las semirrectas
de ecuaciones θ = α y θ = β como la integral:
´
β
⇒ 12 α r(θ)2 dθ
El area de la region limitada por las curvas de ecuaciones polares
r = r1 (θ)yr = r2 (θ) y los rayos de ecuaciones θ = αyθ = β se
define como la integral:
´β
⇒ 21 α (r2 (θ)2 − r1 (θ)2 )dθ
1.6.2.
Ejercicios
r1 = −6cos(θ) y r2 = 2 − 2cos(θ)
25
A
2
=
1
2
´β
(−6cos(θ))2 dθ +
α
1
2
´δ
γ
(2 − 2cos(θ))2 dθ
donde
α = π2 ;
β = 2 π3 ;
δ = π;
γ = 2 π3
−6cos(θ) = 2 − 2cos(θ)
−6cos(θ) + 2cos(θ) = 2
−4cos(θ) = 1
cos(θ) = − 21
A
2
θ = 23 π
´β
´δ
= 12 α (−6cos(θ))2 dθ + 12 γ (2 − 2cos(θ))2 dθ como β = γ ⇒
´δ
= 12 α (4 − 8cos(θ) + 4(cos(θ))2 )dθ
´δ
= 21 α (6 − 8cos(θ) + 3cos2(θ))dθ
= ([6(θ) − 8sen(θ) + sen2(θ)] con θ = π)
−([6(θ) − 8sen(θ) + sen2(θ)] con θ = π2 )
=3π + 1
r1 = 3cos(3θ) y r2 = 2
26
A
6
=
1
2
´β
α
22 dθ +
1
2
´δ
γ
(3cos(3θ))2 dθ
yθ=
2
3
= cos(3θ)
arcos( 23 ) = 3θ
θ = 0, 28
A
6
=
1
2
´β
α
4dθ +
1
2
´δ
γ
9cos(3θ)2 dθ
´β
´δ
= 12 α 4dθ + 21 γ 9( 1+cos6(θ)
)dθ
2
´
´
β
δ
= 21 α 4dθ + 21 γ 9( 1+cos6(θ)
)dθ
2
A
6
= 12 [4θ] con θ=0,28 + 94 [θ +
= 0,7368
sen6θ
](con
6
r = asec2 ( 2θ ) y y = x
a
θ
cos2 ( θ2
)
2a
1+cos(θ)
⇒=
=
27
θ = π6 ) - (y con θ = 0, 28)
r + rcos(θ) = 2a
r√= 2ax
x2 + y 2 = 2ax
2
y = −4a(x − a)
⇒
a2
2
´β
A= 21 α (asec2 ( 2θ )2 )dθ
2 ´β
⇒ a2 α (1 + tg 2 ( 2θ ))sec2 ( 2θ dθ
´β
2
sec2 ( 2θ ) + tg 2 ( 2θ )sec2 ( 2θ )dθ a2 [2tg 2 ( 2θ + 23 tg 3 ( 2θ ] (conθ = π2 ) α
(conθ = π4 )
= 1,79
28
Capítulo 2
Momentos de áreas
i) dAi = f (xi)dx
ii)dM xi =
Mx =
2.1.
x=
1
2
yi
dAi
2
´b
a
dM yi = xidAi
y 2 dx
My =
Centroides
My
;
A
y=
Mx
A
29
´b
a
xydx
2.2.
Momentos de área en coordenadas paramétricas
x = f (t)
y = g(t)
Ax =
´ t2
t1
g(t).f 0 (t)dt
Ay =
´ t2
dx :
2.3.
f (t).g 0 (t)dt
dy :
´t
M x = 12 t12 (g(t))2 .f 0 (t)dt
´ t2
g(t).f (t).g 0 (t)dt
t1
My =
t1
´ t2
t1
Mx =
f (t).g(t).f 0 (t)dt
My =
1
2
´ t2
t1
(f (t))2 .g 0 (t)dt
Momentos de área en coordenadas polares
dA = 21 (ri)2 dθ
dM x = 23 rsen(θ)dA
´ θf
M x = 13 θi (r(θ))3 sen(θ)dA
´ θf
M y = 13 θi (r(θ)) cos(θ)dA
30
2.4.
Ejercicios
Área:´
´1
0
A = −1 (2x + 2)dx+ 0 (−2x + 2)dx
A = 2(u)
Momentos: ´
´1
0
M x = 21 −1 (2x+2)2 dx+ 12 0 (−2x+2)2 dx
M x = 23 + 32
M x = 43
´0
´1
M y = −1 x(2x + 2)dx+ 0 x(−2x + 2)2 dx
M y = − 31 + 13
My = 0
Centroide:
x=0
y=
4
3
2
=
2
3
(x; y) = (0; 32 )
x2 + y 2 = 42

y 2 = 4x 


y = −x + 4


31
*Circunferecia y Parábola
x2 + 4x = 42
x1 = 2,47
x2 = −6,47
*Parábola y Recta
4x = (−x + 4)2
4x = x2 − 8x + 16
x2 − 12x + 16 = 0
x1 = 10,47
x2 = 1,52
*Circunferencia y Recta
x2 + (−x + 4)2 = 42
x2 + x2 − 8x + 16 = 16
2x2 − 8x = 0
x1 = 0
x2 = 4
"
t1 :
x = 4 cos(t)
y = 4sen(t)
y 2 = 4x
#
"
t2 :
32
#
x = 4 cos(t)
y = 4sen(t)
y = −x + 4
t1 = 0,91
t2 =
Circunferencia:
Área:´
A = ydx
A=
A=
´ 0,91
− 16
2
(4sen(t)).(−4sen(t))dt
π
´2 0,91
(1 − cos 2(t))dt
π
2
h
A = −8 t −
i
sen(2t) 0,91
2
π/2
2
A = 9,16(u )
Momentos:
´ 0,91
M x = 21 π (4sen(t))2 .(−4sen(t))dt
2 ´
0,91
M x = −32 π sen(t)(1−cos2 (t))dt
2
´ 0,91
M x = −32 π (sen(t)−sen(t) cos2 (t))dt
h2
M x = −32 − cos(t) +
M x = 17,17
i
cos3 (t) 0,91
3
π/2
´ 0,91
(4 cos(t))(4sen(t)).(−4sen(t))dt
´ 0,91
M y = −64 π (sen2 (t). cos(t))dt
My =
π
2
2
h
i
sen3 (t) 0,91
3
π/2
My =
M y = 11,09
Recta:
Área: ´
1,52
A2 = 0 (−x + 4)dx
h
2
A = − x2 + 4x
A = 4,9
i1,52
0
Momentos:
´ 1,52
M x = 12 0 (−x+4)2 dx
Mx =
1
2
h
x3
3
2
− 8 x2 + 16x
i1,52
0
33
π
2
M x = 8,12
My =
´ 1,52
h0
x(−x + 4)dx
3
− x3
My =
+ 2x2
M y = 3,45
i1,52
0
Parábola:
Área: ´
2,47 √
A3 = 1,52 2 xdx
h
A = 2 32 x3/2
A = 2,68
i2,47
1,52
Momentos:
´ 2,47
M x = 21 1,52 4xdx
h
M x = 12 4x2
M x = 3,8
My =
2
i2,47
1,52
´ 2,47
2x3/2 dx
1,52
h
i2,47
2 52 x5/2
1,52
My =
M y = 5,39
Centroide:
Nota: Si las áreas se restan los momentos tambien.
x=
M y1 − M y2 − M y3
11,09 − 3,45 − 5,39
=
= 1,43
A1 − A2 − A3
9,17 − 4,92 − 2,68
y=
M x1 − M x2 − M x3
17,17 − 8,12 − 3,8
=
= 3,34
A1 − A2 − A3
9,17 − 4,92 − 2,68
(x; y) = (1,43; 3,34)
"
r1 = 1 + sen(θ)
r2 = 2 cos(θ)
#
34
AT = A1 − A2
Cinrcunferencia:
Área: ´
π+0,64
A = 21 π/2 (2 cos(θ))2 dθ
´ π+0,64
A = π/2 (1 − cos(2θ))dθ
h
A= θ+
A = 2,68
i
sen(2θ) π+0,64
2
π/2
Momentos:
´ π+0,64
M x = 31 −π/2 (2 cos(θ))3 sen(θ)dθ
h
4
iπ+0,64
M x = 38 cos4(θ)
−π/2
M x = −0,28
´ π+0,64
M y = 31 −π/2 (2 cos(θ))3 cos(θ)dθ
M y = 2,89
Cardioide:
Área:
35
´ 0,64
A2 = 21 −π/2 (1 + sen(θ))2 dθ
A = 0,71
Momentos:
´ 0,64
M x = 31 −π/2 (1+sen(θ))3 sen(θ)dθ
h
4
M x = 38 cos4(θ)
M x = −0,17
iπ+0,64
−π/2
´ 0,64
M y = 31 −π/2 (1 + sen(θ))3 cos(θ)dθ
M y = 0,54
Centroide:
−M y2
x = MAy11 −A
=
2
y=
M x1 −M x2
A1 −A2
=
2,89−0,54
2,68−0,71
= 1,19
−0,28−0,17
2,68−0,71
= −0,224
(x; y) = (1,19; −0,224)
"
x = 3 cos3 (t)
y = 3sen3 (t)
x2 + y 2 = 32
θ = 5π
3
#
y = mx
y = tan( 2π
)x
√ 3
y = − 3x
36
AT = Ac + AR − AA
Circunferencia:
Área: ´
5π/3
A = 12 3π/2 (3)2 dθ
A = 34 π
Momentos:
´ 5π/3
M x = 31 3π/2 (3)3 sen(θ)dθ
5π/3
M x = 9 [− cos(θ)]3π/2
M x = − 29
My =
1
3
´ 5π/3
3π/2
(3)3 cos(θ)dθ
5π/3
M y = 9 [sen(θ)]3π/2
M y = 1,20
Astroide:
Área:
´ 3π/2
A2 = t
3sen3 (t)(−3 cos2 (t).sen(t))dt
´ 3π/2
A = −9 −0,876 sen4 (t) cos2 (t)dt
37
A = 0,55
Momentos:
´ 3π/2
M x = 12 t (3sen3 (t))2 (−3 cos2 (t).sen(t))dt
´ 3π/2
M x = −9 −0,876 sen6 (t) cos2 (t)dt
M x = −0,26
´ 3π/2
M y = t (3 cos3 (t))(3sen3 (t))(−3 cos2 (t).sen(t))dt
´ 3π/2
M y = −27 −0,876 cos5 (t)sen4 (t)dt
M y = 0,3
Recta:
Área: ´
0 √
A3 = x − 3xdx
√ ´0
A3 = − 3 0,79 xdx
A3 = 1,53
Momentos:
´0
M x = 23 0,79 x2 dx
M x = 1,63
√ ´0
M y = − 3 0,79 x2 dx
M y = 0,55
Centroide:
x=
y=
M y1 −M y2 −M y3
A1 −A2 −A3
M x1 −M x2 −M x3
A1 −A2 −A3
=
=
1,20+0,3−0,55
2,36+0,55−1,53
−4,5−0,26+1,63
2,36+0,55−1,53
= 0,96
= −3,13
(x; y) = (0,77; −2,35)
"
x = t − sen(t)
y = 1 − cos(t)
#
∗(x − π)2 + (y − 1)2 = 1
38
"
x = cos(t) + π
y = sen(t) + 1
#
AT = A1 − A2
Cicloide:
Área:
´ 2π
A1= π (1 − cos(t))2 dt
´ 2π
A1= π (1 − 2 cos(t) + cos2 (t))dt
´ 2π
)dt
A1= π (1 − 2 cos(t) + 21 + cos(2t)
2
´
1 2π
A1= 2 π (3 − 4 cos(t) + cos(2t))dt
h
A1= 21 3t − 4sen(t) +
A1= 23 π
i
sen(2t) 2π
2
π
Momentos:
´ 2π
M x = 12 π (1 − cos(t))3 dt
´ 2π
M x = 21 π (1 − 3 cos(t) + 3 cos2 (t) − cos3 (t))dt
´ 2π
M x = 21 π (1 − 3 cos(t) + 3( 1+cos(2t)
) − cos(t)(1 − sen2 (t)))dt
2
´
2π
M x = 12 π (1 − 3 cos(t) + 32 (1 + cos(2t)) − cos(t) + cos(t)sen2 (t)dt
´
2π
M x = 41 π 2 − 6 cos(t) + 3 + 3 cos(2t) − cos(t) + 2 cos(t)sen2 (t)dt
´
2π
M x = 41 π 5 − 8 cos(t) + 3 cos(2t) + 2 cos(t)sen2 (t)dt
i2π
h
M x = 14 5t − 8sen(t) + 32 sen(2t) + 23 sen3 (t)
M x = 45 π
π
´ 2π
M y = π (t − sen(t))(1 − cos(t))2 dt
´ 2π
M y = π (t − sen(t))(1 − 2 cos(t) + cos2 (t))dt
´ 2π
M y = π (tsen(t) − 2 + sen(t) cos(t) + tsen(t) cos2 (t)dt
39
M y = 20,87
Circunferencia:
Área: ´
´ 2π
0
A2= π/2 (sen(t) + 1)(sen(t))dt − 3π/2 (sen(t) + 1)(−sen(t))dt
´0
´0
A2= π/2 (sen(t) + 1)(sen(t))dt − −π/2 (sen(t) + 1)(−sen(t))dt
´ −π/2
A2= − π/2 (sen2 (t) + sen(t))dt
´ −π/2
A2 = − 21 π/2 (1 + cos(2t) + 2sen(t))dt
A2 = 21 π
Momentos:
´ −π/2
M x = − 21 π/2 (sen(t) + 1)2 (−sen(t))dt
´ −π/2
M x = − 21 π/2 (sen2 (t) + 2sen(t) + 1)(−sen(t))dt
´ −π/2
M x = − 21 π/2 (sen3 (t) + 2sen2 (t) + sen(t))dt
M x = − π2
´ −π/2
M y = − π/2 (π + cos(t))(sen(t) + 1)(−sen(t))dt
´ −π/2
M y = π/2 (πsen(t) + cos(t))(sen(t))(sen(t) + 1)dt
´ −π/2
M y = π/2 (πsen2 (t) + πsen(t) + cos(t)sen2 (t) + cos(t)sen(t))dt
M y = −5,601
Centroide:
x=
M y1 −M y2
A1 −A2
=
y=
M x1 −M x2
A1 −A2
=
20,87+5,601
3
π− π2
2
5
π+ π2
4
3
π− π2
2
= 8,43
= 1,75
(x; y) = (8,43; 1,75)
"
x = t − sen(t)
y = 1 − cos(t)
#
∗(x − π)2 + (y − 2)2 = 22
40
"
x = π + 2 cos(t)
y = 2 + 2sen(t)
A=
A=
´ π/2
π
´ t∗
π
ydx −
yc dx −
#
´π
2dx +
π−2
´π
t∗
´π
2dx −
π−2
´ t∗
π
yc dx −
´π
t∗
yA dx
yA dx
t∗ :
(t − sen(t) − π)2 + (1 − cos(t) − 2)2 = 22
(t2 + sen2 (t) + π 2 − 2tsen(t) − 2tπ + 2πsen(t) + (− cos(t) − 1)2 ) = 4
t2 + sen2 (t) + π 2 − 2tsen(t) − 2tπ + 2πsen(t) + cos2 (t) + 2 cos(t) + 1 = 4
f (x) = t2 + sen2 (t) + π 2 − 2tsen(t) − 2tπ + 2πsen(t) + cos2 (t) + 2 cos(t) +
6,87 = 0
f 0 (x) = 2t + sen(2t) − 2(t cos(t) + sen(t)) − 2π + 2π cos(t) − 2 cos(t)sen(t) −
2sen(t) = 0
f 0 (x) = 2t + sen(2t) − 2t cos(t) − 2sen(t)) − 2π + 2π cos(t) − sen(2t) −
2sen(t) = 0
f 0 (x) = 2t + 2t cos(t) − 4sen(t) − 2π + 2π cos(t) = 0
Con Newton: t = 2,08
"
x = 1,207
y = 1,487
#
t∗ = 2,89
41
Circunferencia:
Área: ´
2,89
A1 = − π/2 (2 + 2sen(t∗))(−2sen(t∗))dt
´ 2,89
A1 = 4 π/2 sen(t∗)sen2 (t∗))dt
A1 = 6,9946
Momentos:
M x = − 21
´ 2,89
´π/2
2,89
− 21 π/2
Mx =
M x = 12,78
(2 + 2sen(t∗))2 (−2sen(t∗))dt
2(+sen(t∗))2 (−2sen(t∗))dt
´ 2,89
M y = − π/2 (2 + 2 cos(t∗))(π + 2 cos(t∗))(−2sen(t∗))dt
´ 2,89
M y = 4 π/2 (1 + cos(t∗))(πsen(t) + sen(2t∗))dt
M y = 11,89
Cicloide:
Área:´
π
A2 = 2,89 (1 − cos(t))2 dt
´π
A2 = 2,89 (1 − 2 cos(t) + cos2 (t))dt
A2 = 0,9958
Momentos:
´π
M x = 21 2,89 (1 − cos(t))3 dt
M x = 0,99
´π
M y = 2,89 (t − sen(t∗))(1 − cos(t∗)dt
M y = 2,89
Centroide:
x=
M y1 −M y2
A1 −A2
=
y=
M x1 −M x2
A1 −A2
==
11,89+2,89
6,9946+0,9958
= 1,498
12,78+0,99
6,9946+0,9958
= 1,965
(x; y) = (1,489; 1,965)
42
Capítulo 3
Longitud de Arco
3.1.
Coordenadas Cartesianas
dL2 = dx2 + dy 2
dL =
s
1+(
dL =
ˆ
Lx =
Lx =
a
q
ˆb a q
q
dx2 + dy 2
s
dy 2
) dx
dx
dL =
1+(
ˆ
Lx =
1 + (f 0 (x))2 dx
b
1 + (y0)2 dx
b
43
a
q
dx 2
) dx
dy
1 + (x0 )2 dx
3.2.
Coordenadas Paramétricas
ˆ
L=
π
2
q
(x0 (t))2 + (y 0 (t))2
0
3.3.
Coordenadas Polares
)
x = r(θ) cos(θ) ⇒ (x0 (θ)) = r0 (θ) cos(θ) + r(θ)(− sin(θ))
= f (θ) = r
y = r(θ) sin(θ) ⇒ (y 0 (θ)) = r0 (θ) sin(θ) + r(θ)(cos(θ))
44
(x0 (θ))2 = (r0 (θ))2 (cos(θ))2 + (r(θ))2 (sin(θ))2 − rr0 sin(θ) cos(θ)
(y 0 (θ))2 = (r0 (θ))2 (sin(θ))2 + (r(θ))2 (cos(θ))2 + 2r0 r sin(θ) cos(θ)
ˆ
θ2
L =
θ1
ˆ θ2
L =
θ1
θ2
ˆ
L =
q
(x0 (θ))2 + (y 0 (θ))2 dx
q
(r0 cos(θ) − r sin(θ))2 + (r0 sin(θ) + r cos(θ))2 dθ
q
(r0 (θ))2 + (r(θ))2 dθ
θ1
3.4.
Ejercicios
Hallar la longitud de la curva
r = 1 − sin(θ)
45
ˆ
2π
L =
q
(1 − sin(θ))2 + (− cos(θ))2 dθ
q
1 − 2 sin(θ) + 1 dθ
0
ˆ
=
2π
0
√ ˆ
=
2
2π
0
√ ˆ
2
=
0
=
=
=
=
2π
˙
1 + sin(θ)
q
q
1 − sin(θ) dθ q
1 + sin(θ)
q
q
cos(θ)
dθ
1 + sin(θ)
2π
√ q
2,2 1 + sin(θ)
0
√ q
√ q
2 2 1 + sin(2π) − 2 2 1 + sin(09
√ √
√ √
2 2 1+0−2 2 1+0
√
2 2
Hallar la longitud de la curva

sin(θ) 

r=
(cos(θ))2 
r = 2 cos(θ) 
sin(θ)
= 2 cos(θ)
(cos(θ))2
sin(θ) − 2(cos(θ))3 = 0
π
θ=
4
x = r cos(θ)
sin(π/4)
x =
· cos(π/4)
(cos(π/4)2
x = 1
46
ˆ
1
L =
q
ˆ
1+
(2x)2
dx +
0
ˆ
L =
1
√
ˆ
1+
4x2
π/4
q
ˆ
(2 cos(θ))2
+
(−2 sin(θ))2
π/2
π/2
dx +
tan2 2π
+ 2θ
2 0
π
L =
+ 1, 48
2
2 dθ
π/2
L =
π/4
Ejercicio
)
x = a(cos(t) − t sin(t))
y = a(sin(t) − t cos(t))
)
x0 = a(− sin(t) + sin(t)) − t cos(t)
y 0 = a(cos(t) − cos(t) + sin(t)
ˆ
π
q
(x0 (t))2 + (y 0 (t))2
L =
ˆ
0
π
q
a2 .t2 (cos(t))2 + a2 .t2 (sin(t))2
=
ˆ tq
0
=
ˆ tq
a2 .t2 ((cos(t))2 + (sin(t))2 )
0
=
ˆ
a2 .t2 (1)
0
= a
t
t dt
0
2 π
t
2
aπ 2
=
2
dθ +
2 dθ
π/2
π/4
0
π/4
= a
0
Ejercicio
47
)
)
x = a(1 − θ)
x0 = a(−2θ)
−→
y = aθ
y0 = a
)
)
a + a cos(t)
−a sin(t)
−→
a + a sin(t)
a cos(t)
ˆ
1
LT =
q
ˆ
(a2 )4θ2
+
a2
dθ +
0
ˆ
ˆ
√
1
3π/2
a2 (sin(θ))2 + a2 (cos(t))2 dt
π/2
3π/2
a2 dt
a 4θ2 + 1 dθ +
LT =
q
π/2
0
3π/
LT = (a2 t)
π/2
π
3π
) − a2 ( )
2
2
= a2 π
LT = a2 (
LT
3.5.
dL
Momentos de Longitud
=
√
1 + y0
2 dx
48
Mx =
´b √
y 1 + y0
a
2 dx
My =
´b √
x 1 + y0
a
2 dx
P olares
x= r
y= r
r=
cos
sen
θ
θ
f (θ)
√
=
dL
Mx
=
My
=
3.5.1.
r2 + r0
´ θ2
θ1
´ θ2
θ1
2
dθ
r(θ)sen
θ
dL
r(θ)cos
θ
dL
Ejercicios
1)
L1 =
L
=
Mx =
My =
−x + 2
´2√
0
´2
0
2dx =
√
2 2u
√
(−x + 2) 2dx =
´2 √
x 2dx =
0
h√
x2
22
h√ 2
2 − x2 + 2x
i2
0
49
i2
0
x=1
2)
y=1
P erimetro
del
area
rayada
√
L1 = 2√ 2
Mx1 = 2√2
My1 = 2 2
´2q
L2 =
0
2
1 + y0
=
dx
Mx2 =
´2 √
y 1dy =
0
2
My2 =
´2 √
x 1dy =
0
0
2
L3
y=
L3
0
=
y0 =
0
´2√
1 + 0dx =
0
Mx3 =
´2 √
y 1dy =
0
0
My3 =
´2 √
x 1dy =
0
2
√
x=
2
2
2
√
y=
2
2
50
r
r0
=
=
2a cos θ
−2a sen θ
i) x =
ii) x =
L1
=
L1
=
Mx =
My =
Calcular
1
1
L1
////
´ π/2 q
0
2a
´ π/2
0
´ π/2
0
el
(2a
cos
θ)2
+
(2a
sen
θ)2 dθ
π
2a
cos
θ
sen
θ
2a
dθ
=
2a2
2a
sen
θ
sen
θ
2a
dθ
=
πa2
centro
de
gravedad
1)
y = 12 x − a
2)
x = a cos (t)3
y = a sin (t)3
51
del
P erimetro
de
la
region
rayada.
2

x
2
3)(x + a) + (y + a) = a2
P untos
de
y
= a cos (s) − a
= a sin (s) − a
corte :
Circunf erencia y recta : (1)
(x + a)2 + (− 21 x − a + a)2 = a2
x(5x + 8a) = 0
x1 = 0
x2 = − 8a
5
en terminos de (s)
− 8a
= a cos (s) − a
5
(3)
y
− 53 a = a cos (s)
s = 2,21
M omento q para L1
√
´a
L1 = −8a 1 + ( 12 )2 dx = 4 5 5 a
i
√
√ ´
√ h
√
´5 a
a
−12 5 2
2
x
−
ax
=
a
M x1 = −8a y 25 dx = 25 −8a 12 x − a dx = 25 −1
4
25
√ 5 2 √
´ a 5 √5
5 x
M y1 = −8a x 2 dx =
evaluado : = 1625 5 a2
2
2
5
M omentoq para 2
´π
´π
2
sin(2t)dt =
L2 = 02 (−3a(cost)2 (sint)2 )2 + (3a(sint)2 cost)2 dt = 3a
2 0
−3a
2
M x2 =
M y2 =
´π
2
´π
0
2
0
q
= − 3a5
q
= − 9a5
acos(t)3 (−3a(cost)2 (sint)2 )2 + (3a(sint)2 cost)2 dt
asin(t)3 (−3a(cost)2 (sint)2 )2 + (3a(sint)2 cost)2 dt
52
2
2
Capítulo 4
Volúmenes de Revolución
4.1.
Introducción
dA = πr2 = π [f (xi)]2
dV = dA·dx
V =π
´b
a
Vm=π
V =π
´b
´b
a
f (x)2 dx
a
(m − f (x))2 dx
f (x)
dx
´
V y = π (f (x))2 dy
V1 =
´1
(22 − 12 )dy +
0
´4
1
(22 − (y))dy
53
4.2.
Método de Disquetes
Volumen respecto al eje X
dV = πf (xi)2 dx
Vx=π
Vx=π
Vk =π
Vk =π
´b
a
´b
a
´b
a
´b
a
(f (xi)2 − 02 )dx
(f (x) − g(x))2 dx
(f (x) + k)2 − (g(x) + k)2 dx
(f (x) − k)2 − (g(x) − k)2 dx
y=m
π
´b
a
(m − g(x))2 − (m − f (x))2
METODO DE CASQUETES
54
Respecto al eje y
dV = 2πxif (xi)dx
´b
a
xydx
V y = 2π
Vx=π
a
´b
V k = 2π
4.2.1.
´b
a
x(f (x) − g(x))dx
yxdy
´b
a
(f (x) + k.dx) − (g(x) + k.dx)
Ejercicios
Calcular el volumen generado por las curvas
g = x3 − 6x2 + 12x − 5
f (x) = −x2 + 4x − 3
Verticales
55
x=1
x=3
V y = 2π
V = 2π
V = 2π
V = 2π
V = 2π
V = 2π
´3
1
´3
1
´3
1
´3
1
´3
1
(x)(y − f (x))dx
(x)(x3 − 6x2 + 12x − 5 − (−x2 + 4x − 3)dx
(x)(x3 − 6x2 + 12x − 5 + x2 − 4x + 3)dx
(x) (x3 − 5x2 + 8x − 2)dx
(x4 − 5x3 + 6x2 − 2x − x3 + 5x2 − 8x + 2)dx
´3
1
x4 − 6x3 + 13x2 − 10x + 2 dx
i
V = 2π
h
x5
5
−
6x4
4
+
13x3
3
−
V = 2π
h
x5
5
−
3x4
2
+
13x3
3
− 5x2 + 2x
V = 2π
h
243
5
351
3
− 45 + 6 −
V = 2π
h
51
10
−
−
243
2
1
30
+
10x2
2
+ 2x k31
i´
i
h
1
5
k31
− 23 +
13
3
−5+2
i
i
V = 2π( 76
)
16
V =
4.3.
152
πu3
15
Volumen en coordenadas paramétricas
56
x = a(t − sen(t))
y = a(1 − cos(t))
h
V y = 2a = π
´ 2πa
i
h
2a2 dx − π
0
´ 2πa
0
i
(2a − y) dx
DISCOS
V y = 2a =
Vx=π
´ 2π
0
´ 2πa
4a2 dx − π
0
´π
0
(2a − a(1 − cost))a(1 − cost) dt
(a(1 − cost)2 )2 a (1 − cost) dt
Discos=V1 − V2
π
´ 2π
0
=π
=π
4.4.
x2 dy − π
´π
0
´π
0
´ 2π
0
x2 dy − π
x2 dy + π
x2 dy
´π
0
´π
0
x2 dy
x2 dy
Volumen en coordenadas polares
57
x̄ = 23 r cosθ
ȳ = 23 r senθ
V x = 2πd(dA)
= 2π ȳ( 21 r2 ) dθ
= 2π ȳ
Vx=
2π
3
Vy =
2π
3
=
2π
3
2
3
´π
2
− π2
1
2
´ θ2
θ1
´ θ2
θ1
r3 sen(θ) dθ
3
r(θ)
cos(θ) dθ
(1 + senθ)3 cosθ dθ
58
Capítulo 5
Funciones Vectoriales
5.1.
Dominio
Para sacar el dominio de una función parametrizada en R3 debemos analizar si hay restricciones en cada una de las componentes
de r(t) = [x(t), y(t), z(t)] y después intersecarlas.
5.1.1.
Ejemplo
Sea r(t) = (e−t )~i + t +
dominio.
√
1 − t2 ~j + 1 −
sec2 (t−1)
(t−1)2
~k determinar su
Dominio en x(t):
e−t =⇒ t ∈ R
Dominio en y(t):
1 − t2 ≥ 0
(1 − t)(1 + t) ≥ 0
−∞
−
−2
•
−1
Mediante esto tenemos que el dominio de y(t) es:
t ∈ [−1, 1]
59
+
0
•
1
−
2
∞
Dominio en z(t):
sec2 (t − 1)
(t − 1)2
Se analizan los valores que hagan cero el denominador.
1−
t−1 =
6
0
t =
6
1
t ∈ R − {1}
También vemos para que valores de t existe la función sec.
1
cos(t − 1)
0
π
+ nπ
2
π
1 + + nπ
2
π
1 + + nπ
2
sec(t − 1) =
cos(t − 1) 6=
t − 1 6=
t 6=
t∈R −
Entonces tendriamos que para z(t) el dominio es:
π
t ∈ R − 1, 1 + + nπ
2
Dominio de la Función f (t).
Intersecamos los dominios de x(t), y(t) y z(t):
−0,57
−∞
−2
• ◦
−1 0
◦
1
2
∞
Como podemos observar el −0,57 no esta incluido y se debe a que
si reemplazamos n por −1 en la restricción de la secante tenemos
que:
π
t 6= 1 + + nπ
2
π
t 6= 1 + − π
2
π
t 6= 1 − ≈ −0,57
2
n
Respuesta: t ∈ R − −1, 1 −
π
2
o
60
5.2.
5.2.1.
Límite y Continuidad
Definición de Límite:
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |t − c| < δ =⇒ |r(t) − L| < ε
Al calcular un límite podemos saber si una función es continua o
discontinua en un punto. El límite se calcula de la siguiente manera:
~
lı́m r(t) = L
t→c±
lı́m r(t) =
t→c±
5.2.2.
lı́m± f (t) ~i + lı́m± g(t) ~j + lı́m± h(t) ~k
t→c
t→c
t→c
Ejemplo
Demostrar mediante definición que el límite de la función vectorial r(t) = (3t, t2 ) cuando t → 2 es igual a 6~i + 4~j.
∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < |t − 2| < δ =⇒ ||(3t~i + t2~j) − (6~i + 4~j)|| < ε
2 < t < 3 =⇒ (3t − 6)~i + (t2 − 4)~j < ε
4 < t + 2 < 5 =⇒
|t + 2| < 5 =⇒
=⇒
=⇒
=⇒
5.3.
q
(3t − 6)2 + (t2 − 4)2 < ε
|3t − 6| + |t2 − 4| < ε
3|t − 2| + |t − 2||t + 2| < ε
3δ + 5δ < ε
ε
δ<
8
Ejercicios
Encuentre el dominio.
√
1. z =
x2 +y 2 −9
x

 x2
+ y 2 ≥ 32
Dominio
x 6= 0
Respuesta:
El dominio es (x, y) : x2 + y 2 ≥ 9
61
2. f (x, y, z) = √
x
x2 −y 2 −z 2 +9
x2 − y 2 − z 2 + 9 ≥ 0
z9 + 9 ≥ y2 + z2
Respuesta:

f (x, y, z)
: z9 + 9 ≥ y2 + z2
El dominio es √ 2
x − y 2 − z 2 + 9 6= 0
3. f (x, y) =
√
16 − 4x2 − y 2
16 − 4x2 − y 2 ≥ 0
4x2 + y 2 ≤ 42
Respuesta:
El dominio es (x, y) : x2 + y 2 ≤ 16
Determine el dominio y el rango.
1. z =
√
25 − x2 − y 2
25 − x2 − y 2 ≥ 0
x2 + y 2 ≤ 52
Dominio:
El dominio es (x, y) : x2 + y 2 ≤ 52
x2 + y 2 ≥ 0
−x2 − y 2 ≤ 0
25 − x2 − y 2 ≤ 25
q
25 − x2 − y 2 ≤ 5
0≤z ≤ 5
Rango: El rango es 0 ≤ z ≤ 5
√
2. z = 16 − 4x2 − y 2
16 − 4x2 − y 2 ≥ 0
4x2 + y 2 ≤ 42
62
El dominio es (x, y) : x2 + y 2 ≤ 16
Dominio:
4x2 + y 2 ≥ 0
16 − 4x2 − y 2 ≤ 16
q
Rango:
16 − 4x2 − y 2 ≤ 4
−4 ≤ z ≤ 4
El rango es −4 ≤ z ≤ 4
Determine las curvas de nivel.
1. f (x, y) = 4x2 + y 2 + 1
4x2 + y 2 ≥ 0
4x2 + y 2 + 1 ≥ 1
z ≥ 1
k
k
k
k
k
=1
=2
=3
=4
=5
→
→
→
→
→
4x2 + y 2
4x2 + y 2
4x2 + y 2
4x2 + y 2
4x2 + y 2
=0
=1
=2
=3
=4
2. f (x, y) = x
k
k
k
k
k
=1
=2
=3
=4
=5
63
→
→
→
→
→
x=1
x=2
x=3
x=4
x=5
3. f (x, y) = 8 − x2 − 2y
k = −2
k = −1
k=0
k=1
k=2
→
→
→
→
→
x2 + 2y
x2 + 2y
x2 + 2y
x2 + 2y
x2 + 2y
= 10
=9
=8
=7
=6
4. f (x, y) = sin(y − x)
k = −1 → y = x + π
k = −0,5 → y = x + 2,09
π
k =0 → y =x+
2
k = 0,5 → y = x + 1,05
k=1 → y=x
Analizar el dominio, continuidad y derivada de las siguientes
funciones vectoriales.
r(t) =
sin(t)~
t i
+
1 ~
1−t2 j
+ t~k
Dominio.
f (t):
g(t):
t ∈ R − {0}
Dominio:
h(t)
1 − t2 =
6
(1 − t)(1 + t) 6=
t 6=
t ∈ R − {−1 ,
t ∈ R − {−1, 0, 1}
64
0
0
±1
1}
t∈R
Límites y Continuidad.
Para -1:
sin(t)~
1 ~
i + lı́m±
j + lı́m± t~k
t→−1
t→−1
t→−1 1 − t2
t→−1
t
1
sin(−1± )~
~j + −1±~k
i+
lı́m r(t) =
±
±
2
t→−1±
−1
1 − (−1 )
lı́m+ r(t) = (0,8414)~i + ∞~j − ~k
lı́m± r(t) =
lı́m±
t→−1
lı́m r(t) = (0,8414)~i − ∞~j − ~k
t→−1−
Para 0:
sin(t)~
1 ~
i + lı́m±
j + lı́m± t~k
t→0
t→0
t→0 1 − t2
t→0
t
±
1
sin(0 )~
~j + 0±~k
lı́m± r(t) =
i+
±
±
2
t→0
0
1 − (0 )
lı́m+ r(t) = ~i + ~j
lı́m± r(t) =
lı́m±
t→0
lı́m r(t) = ~i + ~j
t→0−
Para 1:
1 ~
sin(t)~
i + lı́m±
j + lı́m± t~k
t→1 1 − t2
t→1
t→1
t→1
t
±
sin(1 )~
1
~j + 1±~k
lı́m± r(t) =
i+
±
t→1
1
1 − (1± )2
lı́m+ r(t) = 0,8414~i − ∞~j + ~k
lı́m± r(t) =
lı́m±
t→1
lı́m r(t) = 0,8414~i + ∞~j + ~k
t→1−
Derivadas.
#0
"
sin(t)~
1 ~
r0 (t) =
i+
j + t~k
t
1 − t2
cos(t)t − sin(t)~
2t ~ ~
r0 (t) =
i−
j+k
2
t
(1 − t2 )2
65
r(t) = csc t~i +
1−t2 ~
1−t j
+ t~k
Dominio.
f (t):
g(t):
1
sin t
sin t 6= 0
t 6= nπ
t ∈ R − {nπ}
h(t)
csc t =
Dominio:
t∈R
1 − t 6= 0
t ∈ R − {1}
t ∈ R − {1, nπ}
Límites y Continuidad.
Para 1:
1 − t2 ~
j + lı́m± t~k
t→1
t→1
t→1
t→1 1 − t
± 2
1 − (1 ) ~
j + 1±~k
lı́m± r(t) = csc 1±~i +
t→1
1 − 1±
lı́m± r(t) = 1,188~i + 2~j + ~k
lı́m± r(t) =
lı́m± csc t~i + lı́m±
t→1
Para nπ:
1 − t2 ~
~
lı́m r(t) = lı́m± csc ti + lı́m±
j + lı́m± t~k
t→π ±
t→π
t→π
t→π
1−t
± 2
1 − (π ) ~
j + π ±~k
lı́m± r(t) = csc π ±~i +
t→π
1 − π±
lı́m± r(t) = ∞~i + 4,1415~j + 3,1415~k
t→π
Derivadas.
"
1 − t2 ~
r (t) = csc t~i +
j + t~k
1−t
r0 (t) = − csc t · cot t~i + ~j + ~k
0
66
#0
r(t) = t~i +
t2 −4 ~
t2 −2t j
+ 1t ~k
Dominio.
f (t):
g(t):
t2 − 2t =
6
0
t(t − 2) =
6
0
t ∈ R − {0, 2}
t∈R
Dominio:
h(t)
t 6= 0
t ∈ R − {0}
t ∈ R − {0, 2}
Límites y Continuidad.
Para 0:
t2 − 4 ~
~
lı́m r(t) = lı́m± ti + lı́m± 2
j + lı́m±
t→0±
t→0
t→0 t − 2t
t→0
± 2
(0 ) − 4 ~
1
lı́m± r(t) = 0±~i + ± 2
j + ± ~k
±
t→0
(0 ) − 2(0 )
0
lı́m+ r(t) = ∞~j + ∞~k
1~
k
t
t→0
lı́m r(t) = −∞~j − ∞~k
t→0−
Para 2:
t2 − 4 ~
lı́m± t~i + lı́m± 2
j + lı́m±
t→2
t→2
t→2 t − 2t
t→2
± 2
(2
)
−
4
~j + 1 ~k
lı́m± r(t) = 2±~i + ± 2
t→2
(2 ) − 2(2± )
2±
1
lı́m± r(t) = 2~i + 2~j + ~k
t→2
2
lı́m± r(t) =
Derivadas.
"
t2 − 4 ~
r (t) = t~i + 2
j+
t − 2t
2
1
r0 (t) = ~i + 2 ~j + 2 ~k
t
t
0
67
1~
k
t
#0
1~
k
t
r(t) = t2~i + 3t~j +
1−cos t ~
k
t
Dominio.
f (t):
g(t):
t∈R
Dominio:
h(t)
t∈R
t 6= 0
t ∈ R − {0}
t ∈ R − {0}
Límites y Continuidad.
Para 0:
1 − cos t ~
k
lı́m± t2~i + lı́m± 3t~j + lı́m±
t→0
t→0
t→0
t→0
t
sin t ~
lı́m± r(t) = lı́m± t2~i + lı́m± 3t~j + lı́m±
k
t→0
t→0
t→0
t→0
1
sin 0± ~
lı́m± r(t) = (0± )2~i + 3 · 0±~j +
k
t→0
1
lı́m± r(t) = 0~i + 0~j + 0~k
lı́m± r(t) =
t→0
Derivadas.
1 − cos t ~ 0
k
t
sin t · t − 1 + cos t ~
r0 (t) = 2t~i + 3~j +
k
t2
r0 (t) =
t2~i + 3t~j +
r(t) = et~i + e1t ~k
Dominio.
f (t):
h(t)
t∈R
Dominio:
et =
6
0
t ∈ R
t∈R
68
Límites y Continuidad.
No hay puntos de discontinuidad.
Derivadas.
1~
k
et
1
r0 (t) = et~i − t ~k
e
r0 (t) =
5.4.
et~i +
0
Derivada Direccional.
Si f es una función diferenciable en x e y, su derivada direccional
en la dirección del vector unitario
~u = cos θ~i + sin θ~j
Denotado por D~u f (x, y) se define como:
f (x + t cos θ, y + t sin θ) − f (x, y)
t→0
t
D~u f (x, y) = lı́m
5.4.1.
Forma alternativa de la derivada direccional.
Si f es una función diferenciable de x e y, su derivada direccional
en la dirección del vector unitario ~u = cos θ~i + sin θ~j es:
~ (x, y) · ~u
D~u f (x, y) = ∇f
= fx (x, y) cos θ + fy (x, y) sin θ
5.4.2.
Propiedades del gradiente.
~ (x, y) = ~0 entonces D~u f (x, y) = 0 para todo ~u.
Si ∇f
La dirección de máximo crecimiento de f viene dado por
~ (x, y).
∇f
~ (x, y)k.
El valor máximo de D~u f (x, y) es k∇f
~ (x, y).
La dirección de mínimo crecimiento de f viene dado por −∇f
~ (x, y)k.
El valor mínimo de D~u f (x, y) es −k∇f
69
5.5.
Derivada Direccional para funciones de
tres variables.
Si f es una función diferenciable en x, y, z su derivada direccional
en la dirección del vector unitario ~u = a~i + b~j + c~k es:
~ (x, y, z) · ~u
D~u f (x, y, z) = ∇f
= fx (x, y, z)a + fy (x, y, z)b + fz (x, y, z)c
5.6.
Ejercicios.
1. Calcular la derivada direccional del campo escalar f (x, y) =
3x2 + y 2 en el punto P (− 34 ; 0) en la dirección del vector P Q,
siendo Q(0,1).
~
∇f
= (6x, 2y)
9
~
∇f(−3/4,0) = − , 0
2
PQ = Q − P
3
=
,1
4
~ · ~u
D~u f (x, y, z) = ∇f
9
3 4
= − ,0 ·
,
2
5 5
27
= −
10
2. Dado el campo escalar f (x, y, z) = 3x − 5y + 2z determinar la
derivada direccional:
a) En el punto Du f (2, 0, 2)
b) En la dirección del vector normal a la superficie al vector
S : (x − 1)2 + (y + 1)2 + z 2 = 6
c) Cual es la dirección en la que la derivada tiene su mayor
valor en el punto a).
70
3. Un insecto se halla en un medio ambiente toxico, el nivel de
toxicidad esta dado por 2x2 −4y 2 si el insecto esta ubicado en (1,2) en que dirección debera moverse para evitar la toxicidad.
∇f = (4x; −8y)
= (−4, −16)
√
√ !
17 4 17
=
;−
17
17
Respuesta: El insecto deberá moverse en esa dirección para
alejarse de la toxicidad.
4.

S
: x2 − y 2 − z = 0
Dadas las superficies
S2 : x2 + y 2 + z = 0
1
~a = (2, 1, 3)
Hallar la dericada del campo dreccional del campo escalar
f (x, y, z) = xyz + xy − yz a lo largo de la curva de interseccion
de S1 ∧ S2 en el punto ~a.
1. Calcular ~r0 (t),
´1
0
~r(t)dt donde ~r(t) es una trayectoria definida por:
a) ~r(t) = (t, t2 , t3 )
Derivada:
r0 (t) = (t, t2 , t3 )
= (1, 2t, 3t2 )
Integral:
ˆ
ˆ
1
1
(t, t2 , t3 )dt
~r(t) =
0
0
=
t2 t3 t4
, ,
2 3 4
!1
12 13 14
, ,
=
2 3 4
1 1 1
=
, ,
2 3 4
b) ~r(t) =
2t
1
1
, √1−t
2 , 1+t2
1+t2
71
!0
02 03 04
−
, ,
2 3 4
!
Derivada:
!
2t
1
1
,
,√
2
1+t
1 − t2 1 + t2
!
2t
2(1 + t2 ) − 2t · 2t
−2t
√
,
,
(1 + t2 )2
2(1 − t2 ) 1 − t2 (1 + t2 )2
!
2 − 2t2
t
−2t
√
,
,
(1 + t2 )2 (1 − t2 ) 1 − t2 (1 + t2 )2
0
r (t) =
=
=
Integral:
ˆ
ˆ 1
~r(t) =
0
0
=
1
!
2t
1
1
,√
,
dt
2
2
1+t
1 − t 1 + t2
1
ln(1 + t2 ), arcsin(t), arctan(t)
0
= (ln(2), arcsin(1), arctan(1)) − (ln(1), arcsin(0), arctan(0))
π π
= ln(2), ,
2 4
c) ~r(t) = (sin(t), cos(t), t cos(t))
Derivada:
r0 (t) = (sin(t), cos(t), t cos(t))
= (cos(t), − sin(t), cos(t) − sin(t)t)
Integral:
ˆ 1
ˆ
~r(t) =
0
1
(sin(t), cos(t), t cos(t)) dt
0
= (− cos(t), sin(t), t sin(t) + cos(t))10
= (− cos(1), sin(1), sin(1) + cos(1)) − (− cos(0), sin(0), cos(0))
= (0,4596; 0,8414; 0,3817)
d) ~r(t) = (tet , t2 et , te−t )
Derivada:
r0 (t) =
tet , t2 et , te−t
=
et (1 + t), et t(2 + t), e−t (1 − t)
72
Integral:
ˆ
ˆ
1
~r(t) =
1
tet , t2 et , te−t
0
0
=
=
et (t − 1), et (t2 − 2t + 2), −e−t (t + 1)
0, e, −2e
−1
1
0
− (−1, 2, −1)
= (1; 0,7182; 0,2642)
2. Sean ~u y ~v vectores de Rn fijos. Sea ~r(t) = e2t~u + e−2t~v , demostrar
que r00 (t) tiene la misma dirección que ~r(t) .
r(t) = e2t~u + e−2t~v
r0 (t) = 2e2t~u − 2e−2t~v
r00 (t) = 4e2t~u + 4e−2t~v
r(t) = (e2t ux + e−2t vx , e2t uy + e−2t vy , e2t uz + e−2t vz )
r00 (t) = [4(e2t ux + e−2t vx ), 4(e2t uy + e−2t vy ), 4(e2t uz + e−2t vz )]
Para que los vectores r(t) y r00 (t) sean vectores en la misma dirección
se debe cumplir que:
r(t) · r00 (t) = kr(t)kkr00 (t)k
r(t) · r00 (t) = 4(e2t ux + e−2t vx )2 + 4(e2t uy + e−2t vy )2 + 4(e2t uz + 4e−2t vz )2
r(t) · r00 (t) = 4[(e2t ux + e−2t vx )2 + (e2t uy + e−2t vy )2 + (e2t uz + e−2t vz )2 ]
00
kr(t)kkr (t)k =
q
(e2t ux + e−2t vx )2 + (e2t uy + e−2t vy )2 + (e2t uz + e−2t vz )2 ·
q
4 (e2t ux + e−2t vx )2 + (e2t uy + e−2t vy )2 + (e2t uz + e−2t vz )2
= 4[(e2t ux + e−2t vx )2 + (e2t uy + e−2t vy )2 + (e2t uz + e−2t vz )2 ]
Podemos ver que r(t)·r00 (t) es igual a kr(t)kkr0 (t)k por lo que podemos
afirmar r(t) y r00 (t) son vectores paralelos (en la misma dirección).
3. Dados los vectores fijos ~u, ~v y la trayectoria ~r tal que r00 (t) = t~u +~v .
Determinar la trayectoria ~r(t), si ~r(0) = (1, −1, 1) y r0 (0) = (2, 0, −1).
73
Como son vectores fijos podemos decir que:
r00 (t) = t~u + ~v
t2
r0 (t) =
~u + t~v + C1
2
t3
t2
r(t) =
~u + ~v + tC1 + C2
6
2
Resolvemos mediante los datos dados:
02
~u + 0~v + C1
2
(2, 0, −1) = C1
r0 (0) =
02
03
~u + ~v + 0C1 + C2
6
2
(1, −1, 1) = C2
r(0) =
Reemplazamos:
r(t) =
t3
t2
~u + ~v + t(2, 0, −1) + (1, −1, 1)
6
2
5. Calcular la longitud de las siguientes curvas paramétricas:
Longitud: L(~r) =
´b
a
kr0 (t)k
a) ~r(t) = (5t, 4t2 , 3t2 ) para t ∈ [0, 2]
ˆ 2
ˆ 2
0
k(5, 8t, 6t)k
kr (t)k =
0
0
ˆ 2√
=
25 + 64t2 + 36t2 dt
0
ˆ 2q
= 5
1 + (2t)2 dt
0
2
q
5 q
1
=
t 1 + (2t)2 + ln(2t + 1 + (2t)2 )
2
2
√ 5 √
1
2 17 + ln(4 + 17)
=
2
2
≈ 23,234
74
0
b) ~r(t) = (t2 , t sin t, t cos t) para t ∈ [0, 1]
ˆ 1
ˆ 1
0
kr (t)k =
k(2t, sin t + t cos t, cos t − t sin t)k
0
0
ˆ
1
=
v
u 2
u 4t
t
0
ˆ
+ sin2 t + 2t sin t cos t + t2 cos2 t
dt
+ cos2 t − 2t sin t cos t + t2 sin2 t
√
( 5t)2 + 1dt
0
√
!1
√
1
5t √ 2
1 √
= √
5t + 1 + ln( 5t + 5t2 + 1)
2
2
5
0
√
!
√
5√
1
1 √
= √
6 + ln( 5 + 6)
2
5 2
≈ 1,57
1
=
q
c) ~r(t) = (et cos t, et , et sin t) para t ∈ [0, 2π]
ˆ 2π
ˆ 2π
0
kr (t)k =
k(et cos t − et sin t, et , et sin t + et cos t)k
0
0
ˆ
=
0
=
=
=
≈
2π
v
u 2t
ue
t
+ e2t cos2 t − 2e2t sin t cos t + e2t sin2 t
dt
+e2t sin2 t + 2e2t sin t cos t + e2t cos2 t
√ ˆ 2π 2t
3
e dt
0
√
3 2t 2π
e
0
2
√
3 4π
(e − 1)
2
248333,0557
75
d) ~r(t) = (3t2 , t3 , 6t) para t ∈ [0, 1]
ˆ
ˆ 1
0
kr (t)k =
0
1
k(6t, 3t2 , 6)k
0
ˆ
= 3
1
√
t4 + 4t2 + 4
ˆ0 1 q
(t2 + 2)2
= 3
0
!1
t3
= 3
+ 2t
3
1
= 3
+2
3
= 7
0
6. Determinar la componente tangencial y normal del vector aceleración en todo punto de la curva dada por la ecuación paramétrica
~r(t) = (4 cos t, 9 sin t, t).
Primero calculamos el vector aceleración (~a), que viene dado por
r00 (t):
~r(t) = (4 cos t, 9 sin t, t)
~v (t) = (−4 sin t, 9 cos t, 1)
Como ya tenemos ~v (t) debemos encontrar v(t)y a esta derivarla
(da como resultado ~a), esto nos permite encontrar la componente
tangencial en cada punto:
q
16 sin2 t + 81 cos2 t + 1
16 sin t cos t − 81 cos t sin t
v 0 (t) = √
16 sin2 t + 81 cos2 t + 1
65 sin t cos t
= −√
2
16 sin t + 16 cos2 t + 65 cos2 t + 1
65 sin t cos t
= −√
17 + 65 cos2 t
v(t) =
Para encontrar el vector normal debemos aplicar:
aN = v(t)kT~ 0 (t)k
76
~v (t)
T~ (t) =
v(t)
(−4 sin t, 9 cos t, 1)
√
=
17 + 65 cos2 t
!
9 cos t
1
−4 sin t
√
=
,√
,√
17 + 65 cos2 t 17 + 65 cos2 t 17 + 65 cos2 t
T~ 0 (t) =
√
−4 cos t 17 + 65 cos2 t −
−q
260 sin2 t cos t
√
17+65 cos2 t
17 + 65 cos2 t
65 cos t sin t
,
√
−9 sin t 17 + 65 cos2 t +
585 sin t cos2 t
√
17+65 cos2 t
17 + 65 cos2 t
,
(17 + 65 cos2 t)3
−4 cos t(17 + 65 cos2 t) − 260 sin2 t cos t −9 sin t(17 + 65 cos2 t) + 585 sin t cos2 t
q
q
,
,
=
(17 + 65 cos2 t)3
(17 + 65 cos2 t)3
65 cos t sin t
−q
(17 + 65 cos2 t)3

= − q
328 cos t
(17 +
kT~ 0 (t)k =
65 cos2
t)3
, −q
153 sin t
(17 +
65 cos2
65 cos t sin t
t)3

, −q
2
3
(17 + 65 cos t)
v
u
u 3282 cos2 t + 1532 sin2 t + 652 sin2 t cos2 t
t
(17 + 65 cos2 t)3
=
v
u
u 84175 cos2 t + 1532
t
=
v
u
u 84175 cos2 t + 1532
t
=
v
u
u −652 cos4 t + 88400 cos2 t + 1532
t
=
v
u
u (65 cos2 t − 1377) (65 cos2 t + 17)
t
+ 652 sin2 t cos2 t
(17 + 65 cos2 t)3
+ 652 (1 − cos2 t) cos2 t
(17 + 65 cos2 t)3
(17 + 65 cos2 t)3
√
=
(17 + 65 cos2 t)3
65 cos2 t − 1377
17 + 65 cos2 t
77

Ahora aplicamos aN = v(t)kT~ 0 (t)k:
√
√
17 + 65 cos2 t 65 cos2 t − 1377
aN =
17 + 65 cos2 t
√
1377 − 65 cos2 t
= √
17 + 65 cos2 t
78
Capítulo 6
Vectores en el Espacio.
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes
X e Y.
Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).
Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados:
XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho
regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas.
6.0.1.
Vector en el Espacio.
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que
tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.
79
6.0.2.
Componentes de un Vector en el Espacio.
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2)
~ son las coordenadas
Las coordenadas o componentes del vector AB
del extremo menos las coordenadas del origen.
~ = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
AB
6.0.3.
Módulo de un Vector.
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado
que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
~ = (U1 , U2 , U3 )
U
~ =
U
q
U12 + U22 + U32
Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
A(x1 , y1 , z1 )B(x2 , y2 , z2 )
~ =
AB
q
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
80
6.0.4.
Distancia entre dos puntos.
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que
tiene de extremos dichos puntos.
~ =
d(A, B) = AB
6.0.5.
q
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Vector unitario.
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado,
dividiendo cada componente del vector por su módulo.
~
~~ = V
U
V
V~
Ejercicios.
1. Dada la curva definida por y = x2 . Determinar el vector tangente
unitario, el normal principal y el plano osculador en el punto
√
3 3
( 2 , 4 ).
~ = (t, t2 ) es la curva parametrizada
x = t; y = t2 → r(t)
r0~(t) = (1, 2t) es el vector tangente en cada punto
√
√
~√
r0 ( 23 ) = (1, 3) es el vector tangente en t = 23
√
√
~√
r0 ( 23 ) = 12 (1, 3) es el vector tangente unitario en t = 23
1
Como el vector T~(t) = √1+4t
2 (1, 2t) es el vector tangente unitario
en cada punto
Derivando este vector se tiene que T ~0 (t) = √ 1 2 3 (−4t, 2)
( 1+4t )
~~N (t) =
T 0~(t)
kT 0~(t)k
√ 1
(−2t, 1)
1+4t2
=
√
~~N ( 3 ) = 1 (− 3, 1) es el vector normal principal a la curva en:
2
2
√
3
t=
2
2. Dada la ecuacion paramétrica de la trayectoria ~r definida
~ = (1, cos t, 2 + 2 sin t). Determinar la ecuación de la curva
por: r(t)
cartesiana.
Las ecuaciones parametricas son: {x = 1; y = cos t; z = 2 + 2 sin t}
√
81
(z − 2)2
~y +
=1∧x=1
4
que es la ecuación cartesiana de una elipse que esta ubicada en
un plano paralelo a plano YZ cuando x=1
2
6.1.
6.1.1.
Superficies Cilíndricas y Cuádricas.
Superficies Cilíndricas.
Sea C una curva plana y l una recta que corta a C pero que no
está en el plano de C. El conjunto de todos los puntos sobre rectas
que son paralelas a l y que corten a C se llama un cilindro.
Los cilindros que aparecen de manera natural al graficar una
ecuación en el espacio tridimensional, que implique a solo dos variables.
6.1.2.
Superficies Cuádricas.
Si una superficie es la gráfica en el espacio tridimensional de la
ecuación de segundo grado.
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0
se le llama una superficie cuádrica.
82
Las secciones planas de una superficie cuádrica son cónicas. Se
puede mostrar que toda ecuación cuádrica se puede reducir a una
de las formas mediante rotación y traslación de los ejes de coordenadas
Ax2 + By 2 + Cz 2 + J = 0
Ax2 + By 2 + Iz = 0
Tipos de Superficies Cuádricas
1. Elipsoide.
La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
2. Hiperboloide de un manto.
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 =1
a2
b
c
83
3. Hiperboloide de dos mantos.
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 = −1
a2
b
c
4. Paraboloide elíptico.
Un paraboloide será elíptico cuando los términos cuadráticos
de su ecuación canónica sean del mismo signo:
84
2
x
a
+
2
y
b
−z =0
Si además es a = b, el paraboloide elíptico será un paraboloide de revolución, que es la superficie resultante de girar una
parábola en torno a su eje de simetría.
5. Paraboloide hiperbólico.
Un paraboloide será hiperbólico cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean de signo contrario:
2
x
a
−
2
y
b
−z =0
El paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por lo que se puede construir a partir de rectas. Por
85
su apariencia, también se lo denomina superficie de silla de
montar.
6. Cono elíptico.
x2 y 2
z2
+
=
a2
b2
c2
6.2.
6.2.1.
Vector Tangente Unitario, Normal Principal y Binormal.
Vector Tangente Unitario
La tangente de una curva es una recta que interseca la curva
en un solo punto. Es conocido por nosotros a través del cálculo
que mediante la diferenciación de una función se obtiene el punto
tangencial para la curva de esa función. Un concepto similar es
aplicable al cálculo vectorial, junto con una excepción.
Para una función con un vector de la forma, (x), un vector de
la forma es llamado vector tangente en el caso de que esta función
sea real y su magnitud no sea igual a cero. En esta situación, la
tangente de la función dada (x) en un punto arbitrario es paralela
al vector tangente, en ese punto. Aquí, con el fin de tener un vector
tangente, 0 es un pre-requisito esencial. Esto es debido a que un
vector de magnitud cero no puede tener dirección.
De manera similar, un vector tangencial unitario es definido
como,
F~ (t)
T~ =
F~ (t)
86
F~ (t)
T~ =
ŝ
δF
T~ =
δs
Aquí s es la longitud total del arco dado, (t) es el vector posición
de la función dada y t es la variable de parametrización.
6.2.2.
Vector Normal Principal
Un vector normal es algo similar a un vector unitario, suponga
que para una función (x), (t) es el vector posición, entonces el
vector normal para la función dada es definida como,
~
~ = T (t)
N
T~ (t)
un vector normal es un vector que está perpendicular a un plano
o superficie dada.
6.2.3.
Vector Binormal
Un vector binormal es un producto cruz o producto vectorial del
vector normal y del vector unitario normal. Suponga que para una
función (x), (t) es el vector posición, entonces el vector binormal
para la función dada se define como,
~ = T~ X N
~
B
El vector Binormal es también un vector unitario que se encuentra normal al vector tangente y al vector normal.
Ejercicios
1. Un gas obedece la ley del gas ideal PV=8T. El gas se calienta
kgf
a razon de 2/min y la presion aumenta a razon de 12 ( cm
2 )/min. En
kgf
cierto momento, la temperatura es de 200 y la presion es de 10 cm
2.
Calcular la rapidez de cambio de volumen en ese momento.
V = 8T /P
δv
δV
δT
δV
δP
=
(ā)
+
(ā) dondeā = (T, P ) = (200, 10)
δt
δt
δt
δP
δt
87
8
=
1
p
(5) + −
V
(−2)
R2
v=80R=40
v=80R=40
5
160
9
+
=
= 0,225A/min
40 1600
40
2. Dado r(t) = h2 cos t, 2 sin t, ti.
Hallar {T (t)N (t)B(t)} , {P.Osculador; P.N ormal; P.Rectif icante}
Para t = π4
=
√ √
π
π
r( ) =
2, 2,
4
4
r0 (t) = h−2 sin t, 2 cos t, 1i
0
kr (t)k =
q
4sin t2 + 4cos t2 + 1 =
√
5
r0 (t)
2 sin t
2 cos t
1
a)T (t) = 0
= − √ ~i + √ ~j + √ ~k
kr (t)k
5
5
5
2 cos t
2 sin t
T 0 (t) = − √ ~i − √ ~j + 0~k
5
5
s
kT 0 (t)k =
T 0 (t)
=
b)N (t) =
kT 0 (t)k
4
4
cos t2 + sin t2 =
5
5
s
5
2
(− √ cost)~i −
4
5
s
s
4
5
5
2
(− √ sint)~j
4
5
N (t) = − cos t~i − sin t~j
c) B(t) = T (t)
N
N (T )
~i
~j
2
2
B(t) = − √ sin t √ cos t
5
5
− cos t
− sin t
~k
√1
5
0
!
2
2
1
1
B(t) = − √ sin t~i + √ cos t~j − √ sin t2 + √ cos t2 ~k
5
5
5
5
2
1
1
B(t) = √ sin t~i − √ cos t~j + √ ~k
5
5
5
88
Sabiendo que:
√
√ !
10
10 2 5
,−
,
10
10
5
√
√
!
π
10 10 1
T (t)en = −
,
,√
4
5
5
5
√ √
!
!
√ √ π
π
π
2 2
N (t)en = −
,
, 0 yr(t)en =
2, 2,
4
2 2
4
4
π
B(t)en =
4
√
Plano Osculador
Π = B(t)
K
r(t)
√ +
√
√
√
10
10 2 5
π
=
,−
,
x − 2, y − 2, z −
10
10
5
4
√
√
√
√
√
2 5
10
10
π
=
(x − 2) −
(y − 2) +
(z − )
10
10
5
4
Plano Normal
*√
Π = T (t)
K
r(t)
√
+
√
√
10 10 1
π
x − 2, y − 2, z −
= −
,
,√
5
5
4
5
√
√
√
√
10
10
1
π
=−
(x − 2) +
(y − 2) + √ (z − )
5
5
4
5
*
√
Plano Rectificante
Π = N (t)
K
r(t)
√
+
√
√
2
2
π
= −
,−
, 0 x − 2, y − 2, z −
2
2
4
√
√
√
√
2
2
=−
(x − 2) −
(y − 2)
2
2
3. Dado: r(t) =< 2cost, 2sint, t >. Hallar el plano osculador:
*
√
r(t) =< 2cost, 2sint, t >
89
r0 (t) =< −2sint, 2cost, 1 >
kr0 (t)k =
q
4sint2 + 4cost2 + 1
kr0 (t)k =
q
4(1) + 1
kr0 (t)k =
T (t) =
T (t) =<
√
5
r0 (t)
kr0 (t)k
−2sint + 2cost + 1
√
>
5
2
2
1
T (t) =< − √ sint + √ cost + √ >
5
5
5
2
2
T 0 (t) =< − √ cost − √ sint >
5
5
s
0
kT (t)k =<
4 2
4
cos (t) − sen2 (t)
5
5
2
kT 0 (t)k = √
5
N (t) =
N (t) =
T 0 (t)
kT 0 (t)k
< − √25 cost −
√2 sint
5
>
√2
5
N (t) =< −cost − sint >
B(t) = T (t)xN (t)B(t)
1
1
2
B(t) =< √ sint, − √ cost, √ (sint2 + cost2 ) >
5
5
5
√
√
√
π
10
10 2 5
Ent = → B(t) =<
,−
,
>
4
10
10
5
90
Plano Osculador:
√
√
√
√
√
10
10 2 5
π
π = B(t).r(t) =<
,−
,
> • < x − 2, y − 2, z − >
10
10
5
4
√
√
√
√
√ 2 5
10
10
π
π =<
(x − 2), −
(y − 2),
(z − ) >
10
10
5
4
Plano Normal:
√
√
√
√
10
10
1
π
π = T (t).r(t) =< −
(x − 2),
(y − 2), √ (z − ) >
5
5
4
5
Plano Rectificante:
√
√
√
√
2
2
π = N (t).r(t) =< −
(x − 2), −
(y − 2) >
2
2
6.3.
Plano Osculador, Vector Curvatura y Radio de Curvatura.
Ejercicios
1. Hallar la curvatura de:
x2
+ y2 = 1
4

x
y
= 2 cos t
= 2 sin t
r(t) =< 2 cos x, sin t > r0 (t) =< −2 sin t, cos t >
r00 (t) =< −2 cos t, − sin t >
0
kr (t)k =
q
4 sin2 t + cos2 t
3
3
|r0 (t)| = (4 sin2 t, cos2 t) 2
91
−2 sin t cos t
= 2 sin2 t + 2 cos2 t = 2
−2 cos t − sin t
r0 (t)xr00 (t) =
K=
r0 (t)xr00 (t)
2
=
3
3/2
|r0 (t)|
(4 sin2 t + cos2 t)
2. Hallar la curvatura de:
r(t) =< a cos (wt), a sin (wt), bwt > r0 (t) =< −aw sin (wt), −aw cos (wt), bw >
r00 (t) =< −aw2 cos (wt), −aw2 sin (wt), 0 >
i
j
k
aw cos (wt) bw
r (t)xr (t) = −aw sin (wt)
−aw2 cos (wt) −aw2 sin (wt) 0
0
00
r0 (t)xr00 (t) =< abw3 sin (wt)~i, −abw3 cos (wt)~j, a2 w3 >
0
|r (t)| =
q
a2 w2 sin2 (wt)+a2 w2 cos2 (wt) + b2 w2
√
|r0 (t)| = w a2 + b2
3/2
3
|r0 (t)| = w3 (a2 + b2 )
K=
K=
r0 (t)xr00 (t)
|r0 (t)|3
v
u 2 2
u a b (sin2 (wt) + cos2 (wt))
t
(a2 + b2 )3
√
a b 2 + a2
K=
(a2 + b2 )3/2
a
K= 2
(a + b2 )
92
+
a4
(a2 + b2 )3
6.4.
Derivadas Parciales
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas
variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles
en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se
representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:
δf
= δx f = f 0 x
δx
Ejercicios
1. Calcule las derivadas parciales de primer orden:
a)f (x) = sin (cos (x2 + y 2 ))
δf
= cos (cos (x2 + y 2 ))(− sin (x2 + y 2 ))(2x)
δx
δf
= cos (cos (x2 + y 2 ))(− sin (x2 + y 2 ))(2y)
δx
√
b)f (x, y) = tan x2 y
q
q
2xy
δz
√
2
2
2
√
= sec x y(
) = y sec x2 y
δx
2 x2 y
q
q
2x
1
δz
= sec2 x2 y √ 2 = √ sec2 x2 y
δy
y
2 xy
c)f (x, y) =
x+y
;x
x−y
6= y
δz
(x − y) − (x + y)
−2y
=
=
2
δx
(x − y)
(x − y)2
δz
(x − y) − (x + y)(−1)
2x
=
=
2
δy
(x − y)
(x − y)2
Calcule todas las derivadas de segundo orden:
a)f (x, y) = ln (x2 y 2 )
δ2z
(−1)
2
=
2
=
−
dx2
x2
x2
δz
1
2
= 2 2 (2xy 2 ) =
δx
xy
x
93
δz
2x2 y
2
= 2 2 =
δy
xy
y
δ2z
2(−1)
2
=
=
−
dy 2
y2
y2
b)f (x, y) = x3 + y 3 + x2 y
δz
= 3x2 + 2xy = 3x2 + 2xy
δx
δ2z
= 6x + 2y
δx2
δ2z
= 6y
δy 2
δz
= 3y 2 + x2
δy
6.5.
Ejercicio Completo: Plano osculador, normal y rectificante
Dado r(t) = h2 cos t, 2 sin t, ti. Encontrar en el punto t =
~ La recta tangente.
1. L.
2. ΠT (t). El plano osculador.
3. ΠN (t). El plano normal.
4. ΠB(t). El plano binormal.
Derivamos.
r0 (t) = h−2 sin t, 2 cos t, 1i
r00 (t) = h−2 cos t, −2 sin t, 0i
Sacamos los puntos para t =
π
4
r(π/4) =
√
√
π
2, 2,
4
1. Encontrar recta tangente.
√ √
r0 (π/4) = h− 2, 2, 1i
hx − x1 , y − y1 , z − z1 i = thdx , dy , dz i
√
√
√ √
π
x − 2, y − 2, z −
= th− 2, 2, 1i
4
94
π
4
√
= 2(1 − t)
√
~ = y = 2(1 + t)
L



z = π4 + t



x
2. El plano osculador.
T~ (t) =
r0 (t)
kr0 (t)k
h−2 sin t, 2 cos t, 1i
= q
*
=
~ (t) =
N
T~ 0 (t)
kT~ 0 (t)k
D
(−2 sin t)2
+
(2 cos t)2
−2 sin t 2 cos t 1
√
, √ ,√
5
5
5
+
(1)2
+
=
E
−2√cos t −2√sin t
,
,0
5
5
2
√
5
= h− cos t, − sin t, 0i
Osc(t) = T (t) × N (t)
*
+
−2 sin t 2 cos t 1
√
=
, √ , √ × h− cos t, − sin t, 0i
5
5
5
*
+
sin t cos t 2
√ , √ ,√
=
5
5
5
√
*√
+
10 10 2
Osc(π/4) =
,
,√
10 10
5
a(x − x1 ) + b(y − y1 ) + c(z − z1 )
√
√
√
10
10
2
π
(x − 2) +
(y − 2) + √ (z − )
10
10
4
5
√
√
√
π
(x − 2) + (y − 2) + 2 2(z − )
√4
√
√
√
π 2
x − 2 + y − 2 + 2 2z −
2
√
√
√
π 2
x + y + 2 2z − 2 2 −
2
√
√
√
El plano osculador es x + y + 2 2z − 2 2 − π 2 2 = 0
√
95
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
3. El plano normal.
*
~ (π/4) =
N
√
√
+
− 2 − 2
,
,0
2
2
a(x − x1 ) + b(y − y1 ) + c(z − z1 ) = 0
√
√
√
√
− 2
− 2
(x − 2) +
(y − 2) = 0
2
2
√
x+y−2 2 = 0
6.6.
Multiplicadores de Lagrange
El ∇f es perpendicular a toda la curva de nivel. Sirve para el
análisis de máximos y mínimos.
∇f (x, y) = λ∇g(x, y)
∇f = λ1 ∇g1 + λ2 ∇g2 + ... + λn ∇gn
Hallar los puntos de intersección de las superficies x + y + z = 8 y
2x − y + 3z = 28, que están mas próximos al origen.
Curva de intersección de planos:
d2
f (x, y, z)
g1 (x, y, z)
g2 (x, y, z)
=
=
=
=
x2 + y 2 + z 2
x2 + y 2 + z 2 − d 2
x+y+z−8
2x − y + 3z − 28
∇f = λ1 ∇g1 + λ2 ∇g2
(2x, 2y, 2z) = λ1 (1, 1, 1) + λ(2, −1, 3)
(2x, 2y, 2z) = (λ1 + 2λ2 , λ1 − λ2 , λ1 + 3λ2 )
Sistema:


2x

= λ1 + 2λ2
=
2y = λ1 − λ2



2z = λ1 + 3λ2
96
Resolver el sistema:
λ1 = 2y + λ2
2x = 2y + λ2 + 2λ2
2x = 2y + 3λ2
2x − 2y
λ2 =
3
2z = λ1 + 3λ2
2x − 2y
2z = 2y +
+ 2x − 2y
3
97
Capítulo 7
Campos Vectoriales
7.1.
Introducción
f : R2 → R
!
x
→ z = f (x, y)
y
¨
V :
f (x, y).dA
¨R
¨
f (x, y)dydx
f (x, y)dxdy =
R
7.2.
R
Calculo de áreas y volúmenes.
˜
Si f (x,˜y) = 1
V = R dA
dA = AR
R
Se encuentra el área
˝
dV = V R
R
Se encuentra el Volumen
Si:
˝ f (x, y, z) = 1
f (x, y, z)dV
R
98
7.2.1.
Ejemplos
1. *Variable se mueve entre dos constantes → x
¨
f (x)
ˆb ˆ
dA = (
dy)dx
AR =
a
R
ˆ
g(x)
y1
dy = y2 − y1
AR =
y2
AR
ˆb ˆy1
=
( (y2 − y1))dx
a
y2
ˆb
(y2 − y1)dx
AR =
a
2. *Variable se mueve entre do constantes ↓ x
99
¨
AR =
dA
R
AR
f (x)
ˆd ˆ
=
(
dx)dy
c
g(x)
ˆd
(f (x) − g(x))dy
AR =
c
El dominio
la superficie va a ser su proyección en el eje xy
´ b ´ y2 ´de
z2
V = a ( y1 ( z1 dz)dy)dx
→En integrales doble el dominio de integración es una región
→En integrales triples el dominio de integración es una superficie
3. Resolver
´ 2 ´ log(x)
1
0
√
(x − 1) 2 1 + e2y dydx
ˆ
V
ˆ
log(2)
=
f (x, y)dxdy
1
ˆ
V
2
0
ln(2)
=
4. Resolver
´ 3 ´ √25−y2
0
4y/3
2
f (x, y)dxdy
b
1
V
ˆ
= 1,001
f (x, y)dxdy
100
si f (x, y) = 1
0 ≤ y√≤ 3
4y
≤
x ≤ 25 − y 2
3
4y
= x√
⇒ y = 3x
3
4
x = 25 − y 2
x2 + y 2 = 25 √
´ 4 ´ 3x/4
´ 5 ´ 25−x2
I= 0 b
dydx + 4 b
dydx
I = 8,04
5. Resolver
´ 4 ´ y−4
2
0
√
− 4−y
f (x, y)dxdy
y :√ 0 ≤ y ≤ 4
x : − 4 −√y ≤ x ≤ y−4
2
x=− 4−y
x2 = 4 − y
y = 2x + 4
´ 0 ´ y−4
I = −2 −√2 4−y f (x, y)dxdy
I = 1,33
7.3.
Masa
Si f (x, y) =densidad
101
´´
M x = ´ ´ R yd(x, y)dxdx
My =
xd(x, y)dxdy
R
My
x̄ = M
ȳ = MMx
7.4.
Cambio a coordenas Polares
¨
¨
f (x, y)dxdy =
R
f (rcos(θ), rsen(θ))|J(r, θ)| drdθ
R∗
J(r, θ) =
J(r, θ) = 1
´ 2π ´ R
A = 0 0 rcos(θ)rsen(θ)rdrdθ
Si los ´limites son constantes
se pueden separar sus Integrales.
´R 3
1 2π
A = 2 0 (sen(2θ)dθ)( 0 r dr)
7.4.1.
1. I =
Ejemplos
´ 2a ´ √2ax−x2 2
( b
(x + y 2 )dy)dx
b
0 ≤ x ≤ 2a
102
dx
dr
dy
dr
dx
dθ
dr
dθ
√
2
0 ≤ y ≤ 2ax
√− x
x=0
y = 2ax − x2
x = 2a
y 2 = 2ax − x2
(x − a)2 + y 2 = a2
x2 + y 2 = 2ax
r = 2cos(θ)
´ π ´ 2cos(θ) 3
r drdθ
I = 02 0
´ π 16a4 cos4 (θ)
2
I= 0
dθ
4
3a4 π
I= 4
2. ˜
Hacer un cambio de variable en la siguiente expresión: I =
2
2
ex +y dxdy
R ˜
2
I = R0 er rdrdθ
x = 1; rcos(θ) = 1; r = sec(θ)
y = 1; rsen(θ) = 1; r = csc(θ)
´ π ´ csc(θ) r2
´ π ´ sec(θ) r2
e rdrdθ + π4 0
I = 04 0
e rdrdθ
2
7.5.
Integrales Dobles, cambio de variable de
una integral doble
¨
¨
f (x, y)dxdy =
R
J(u, v) =
7.5.1.
1. I =
f (x(uv), y(u, v)|J(u, v)|dudv)
R
1
J(x, y)
Ejemplos
˜
X−Y
e X+Y dxdy y el triángulo (0,0)(2,0)(0,2)
R
103
u=x−y
y =x+y
1 −1
=2
J(x, y) =
1 1
⇒ x = u+v
2
⇒ y = v−u
2
J(u, v) =
1
2
− 12
P untos :
(0, 0) ⇒ (0, 0)
(2, 0) ⇒ (2, 2)
(0, 2) ⇒ (−2, 2)
ˆ ˆ
1 2 v u/v
I =
(
e du)dv
2 0 −v
I = 2,35
2.
˜
(x − y)2 sen(x + y)dxdy y el paralelogramo:
A(π,0)
⇒
A’=(π, π)
B(2π, π) ⇒
B’=(π, 3π)
C(π, 2π) ⇒
C’=(−π, 3π)
D(0, π)
⇒
D’=(−π, π)
R
ˆ
ˆ
1 3π π 2
I =
(
u sen2 (v)du)dv
2 π
−π
ˆ
ˆ π
1 3π
2
I =
(
sen (v)dv)(
u2 du)
2 π
−π
4
π
I =
3
104
1
2
1
2
=
1
2
3. ˜
Demostrar que se cumple
la igualdad
´2
f
(x,
y)dxdy
=
ln(2
f
(u)du)
R
1
R es la región en el Primer cuadrante limitada por las curvas:
yx = 1, xy = 2, y = x, y = 4x ⇒ xy = u, xy = v
Transformación
J(x, y) =
y
x
−y
x2
1
x
=
2y
x
= 2v
1
ˆ2v2 ˆ 4
1
I =
(
f (u) dv)du
2v
1
1
ˆ
2
I = ln(2)
f (u)du
J(u, v) =
1
I = 1,03
4. Sea R={(x, y)/x´2 +´y 2 ≤ a2 }
˜
2
2
2
2
∞ ∞
a)Calcular I = -∞ -∞ e−(x +y ) dxdy = lı́ma→∞ e−(x +y ) dxdy
105
ˆ
I1 = 4
0
π
2
ˆ
(
∞
2
e−r rdr)dθ
0
ˆ π
2 1
I1 =
dθ
0 2
I1 = 2π
´∞
2
I2 = 0 e−r rdr
I2 = − 12 e−u |∞
0
I2 = lı́mb→∞ − 12 e−u |b0 = − 12
b)Sea T el rectángulo en el plano uv, represente mediante un
grafico la imagen R en XY
Puntos(1, 1) ⇒ (0, 2)
(2, 1) ⇒ (3, 4)
(2, 3) ⇒ (−5, 12)
(1, 3) ⇒ (−8, 6)
Transformación
˜
5. Calcular R xydxdy haciendo el cambio de variable definido,
considerando las ecuaciones:
106
x = u2 − v 2
y = 2uv
2u 2v
= 4(u2 + v 2 )
J(x, y) =
−2v
2u
˜
(u2 − v 2 )2uv4(u2 + v 2 )
R ´ ´
3
2
I = 8 1 ( 1 uv(u4 − v 4 )du)dv
I = −1120
107
Capítulo 8
Integrales Triples
8.1.
Introducción
˝
S
f (x, y, z)dxdydz =
˜ ´ ρ2
(
f (x, y, z)dz)dxdy
Q ρ1
Se tienen fórmulas parecidas cuando la proyección se la realiza
sobre el plano xz o yz.
El caso más sencillo es cuando S es un paralelepípedo rectangular
dado por:
S = {(x, y, z)} /a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, m ≤ z ≤ n
en
se escribirá:
˝ este caso la integral
´ n ´triple
d´b
f (x, y, z)dxdydz = m c a f (x, y, z)dxdydz
s
8.2.
Cambios de variable en una Integral Triple
Sean Q y T regiones sólidas en los espacios xyz y uvw,
respectivamente, relacionadas por las ecuaciones:
x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = l(u, v, w)
108
Transformación:
˝
˝Q
f (x, y, z)dV =
d(x,y,z)
|dudvdw
f (g(u, v, w), h(u, v, w)l(u, v, w))| d(u,v,w)
Donde el Jacoviano se escribe:
T
J(u, v, w) =
8.2.1.
dx
du
dy
du
dz
du
dx
dv
dy
dv
dz
dv
dx
dw
dy
dw
dz
dw
Ejemplo
Hallar el volumen formado por las superficies:
S: z = 9 − x2 − y 2
z=5
x2 ≥ 0
y2 ≥ 0
−x2 ≤ 0
−y 2 ≤ 0
−x2 − y 2 ≤ 0
9 − x2 − y 2 ≤ 0
z ≤ 9´ π ´ ´
2 9
V
= 02 0 0 (9 − r2 − 5)rdrdθ
4
V = 96π
8.3.
Coordenadas Cartesianas-Esféricas
˝
S
f (x, y, z)dxdydz
⇒ x = ρsen(ψ)cos(θ)
⇒ y = ρsen(ψ)sen(θ)
⇒ Z = ρcos(ψ)
109
˝
⇒ J(ρ, ψ, θ) = ρ2 sen(θ)
f (ρsen(ψ)cos(θ) ∗ ρsen(ψ)sen(θ) ∗ ρcos(ψ))ρ2 sen(θ)dρdψdθ
S
0 ≤ θ ≤ 2π
0≤ψ≤π
0 ≤ ρ ≤ radio
8.4.
Coordenadas Cartesianas-Cilíndricas
˝
f (x, y, z)dxdydz ⇒ x = rcos(θ)
⇒ y = rsen(θ)
⇒Z=z
⇒
˝ J(r, θ, z) = r
f (rcos(θ), rsen(θ), z)drdθdz
T
S
8.5.
Aplicaciones
˝
f (x, y, z)dv;
S
Si f (x, y, z) = 1 ⇒ V olumen
Si f (x,˝
y, z) = densidad ⇒ M asa
V x̄ = ˝ s xdv
V ȳ = ˝s ydv
V z̄ = s zdv
Esfera
x = aρsen(ψ)cos(θ)
y = bρsen(ψ)sen(θ)
Z = ´cρcos(ψ)
´π
´1
2π
I = 0 dθ 0 sen(ψ)dψ 0 ρ2 dρ
abc
I = 4π
3
8.5.1.
Ejercicios
Calcule el volumen de :
r = acos(θ)
110
En cartesianas √
˝
´ a ´ ((a/2)−(x−a/2))2 b √
V
=
dv
=
a2 − x2 − y 2 dydx
4
a
0 0
En Polares
˝
´ π ´ acos(θ) b √
V
a2 − r2 drdθ
=
dv = 02 0
4
a
En esféricas
´ π ´ 1 ´ 2π
V = 0 ( 0 ( 0 a2 bρ2 sen(ψ)dθ)dρ)dψ
2
V = 4a3bπ
Calcular el volumen intersecado por las superficies en el primer
cuadrante:
s: z ˝
= 1 − y 2 ; x + y = 1; x + y = 2
I=
((x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 )− 1/2dxdydz
x−a=u⇒x=u+a
y−b=v ⇒y =v+b
z−c=w ⇒z =w+c
1 0 0
J(u, v, w) = 0 1 0 = 1
0 0 1
˝ 2
I=
(u + v 2 + w2 )−1/2 dudvdw
Se aplica
esféricas
´ 2π ´ π coordenadas
´R
I = 0 0 0 ρsen(ψ)dρdψdθ
I = 2πR2
8.6.
Campos Vectoriales
f : Rn → Rm
i)n = 2; m = 2
2
f : R2 →
R
x
← M
y
N
ii)n = 3; m = 3
f : R3 → R3
111
 
 
x
P
   
y →Q
z
R
vector gradiente
d~
d~
d~
k
i + dy
j + dz
∇ = dx
2
2 ~2
∇ =≺ dx
, dy
, dz operador noble
Si f es un escalar
grad f = ∇f =
df ~
i
dx
div F = ∇F =
df
dx
rot F = ∇XF =
8.6.1.
+
+
df ~
j
dy
df
dy
+
+
df ~
k
dz
df
dz
i
j
k
d
dx
d
dy
d
dz
M N
P
= ( dP
− dN
)~i − ( dP
− dM
)~j + ( dN
+ dM
)~k
dy
dz
dx
dz
dx
dY
Campo Vectorial Conservativo
Si rot F=0
F = ∇F
df df df
≺ M, N, P =≺ dx
, dy , dz df
=´m ∴ df = M 2X
dx
f = M dx = M ∗ + g(y, z) → Constante de Integracion
∗
g ∗ (y) =N − 2M
2Y
8.6.2.
Ejercicios
Encuentre el campo vectorial conservativo de
F (x, y, z) = (2xyz + z 2 − 2y 2 + 1)~i + (x2 z − 4xy)~j + (x2 y + 2xz − 2)~k
i j k
d
d
d
∇XF = dx
dy
dz
M N P
dP
dN
= dz → x2 = x2
dy
dP
= dM
→ 2xy + 2z = 2xy + 2z
dx
dz
dN
dM
= dY → 2xz − 4y = 2xz − 4y
dx
df df df
≺ M, N, P =≺ dx
, dy , dz df
M = dx
M = 2xyz + z 2 − 2y 2 + 1
112
´
f = 2xyz + z 2 − 2y 2 + 1dx
f = x2 yz + xz 2 + x + Cn(y, z)
N = x2 z − 4xy
=0
f = dCn(yz)
dy
´
Cn(y, z) = dy
Cn(y, z) = C2(z)
f : x2 yz + xz 2 − 2xy 2 + x + C2(z)
df
=P
dz
= x2y + 2xz-2
x2y + 2xz + dc2(z)
dz
C2(z) = −2z + C3
f : (x2 yz + xz 2 − 2xy 2 − 2z)
Determinar si el campo vectorial es conservativo, si lo es calcular la función potencial para el:
F (x, y, z) = (ex cosy + yz)~i + (xz − ex sen(y))~j + (xy + z)~k
i j k
d
d
d
∇XF = dx dy
dz
M N P
dP
dN
= dz → x = x
dy
dP
= dM
→y=y
dx
dz
dN
dM
=
→z=z
dx
dY
df df df
≺ M, N, P =≺ dx
, dy , dz x
M =´e cosy + yz
f = ex cosy + yzdx
f = ex cosy + yzx + Cn(y, z)
d
N = dy
−ex seny + zx +
dCn(y,z)
dy
= −ex seny + zx
dCn(y,z)
dy
=0
´
Cn(y, z) = 0dy
Cn(yz) = C2(z)
d
P = dz
yx + dC2(y,z)
= 2y + z
dz
C2(z) = z´
C2(z) = zdz
2
C2(z) = z2 + C3
2
f : ex cosy + yzx + z2
113
Capítulo 9
Integrales de Linea.
9.1.
Para Campo Escalar
f :c :curva.
´
´ t2
F.ds = t1 f (x, y)||r, (t)||at
c
c : r(t); < x(t), y(t) >
dA = f ds
´
´
dA = f ds
Si f (x, y) = 1 ⇒ S
*f (x, y) = densidad ⇒ masa
´
*mx = ¯c xd.ds
´
*mȳ = c yd.ds
´
*mz̄ = c zd.ds
9.2.
´
S=
´b
a
t
||r, (t)||dt
ds = ||r, (t)||dt
Para Campo Vectorial.
F~ .ds =
c
´t
F~ (r, (t)).r, (t)dt
114
´
´
~ ds = F~ .dr
F
c
c
Si F~ (x, y, z) =< M, N, P >
F = ∇f
´
= c < M, N, P > . < dx, dy, dz >
Si el producto “x”
de F^∇f es =0, Es un campovectorial conservativo.
´b
= a M dx + N dy + P dz
´
´b
F.dr = a V f.dr
c
ı
F.dr = 0⇒Si F es un campo conservativo.
c
Teorema
´
∇f.ds = f (r(b)) − f (r(a))
c
2) Aplicar F : t → F (r(t))
F , (t) = (f or), (t)
= v̄f (r(θ)) − r, (t)
´
´b ¯
Por tanto: c vf.ds = a ∇f (r(t)).r, (t)dt
´b
= a F , (t).dt
= f (r(θ)) − f (r(t))
9.3.
Ejercicios
r(t) =< aCos(t), aSen(t), bt >
Sección Circular.
r(t) =< aCos(t), bSen(t), bt >
r(t) =< aCos3 (t), aCos3 (t), bt >
Elipce.
Astroide.
*r(t) =< aCos(t), aSen(t), bt >; 0 ≤ t ≤ 2Π
d = x2 + y 2 + z 2
r(t) = a2 + b2 t
r, (t) =< −aSen(t), aCos(t), b >
√
||r, (t)|| = a2 + b2
115
´
m = c d.ds
√
´ 2n
m = 0 (a2 + b2 ) a2 + b2 at
√
√
m = 2a2 n a2 + b2 + 83 b2 π 3 a2 + b2
√
m = 2π a2 + b2 (a2 + 43 b2 π 2 )
F~ =< xy, x3 , x2 − y >;
y = −2x + x2 + 1 ⇒ y = (x − 1)2
r(t) =< t, t2 − 2t + 1 >
0≤t≤2
,
r (t) =< r, 2t − 2 >
y = (x − 1)2
x = t + 1 ⇒ y = t2
δ(t) =< t + 1, t2 >
−1 ≤ t ≤ 1
´
´b
,
~
F ds = a F (r)t).r (t)dt
c
´2
= 0 (t(t2 − 2t + 1)) − t3 ; t2 − (t2 − 2t + 1). < 1, 2t − 2 > dt
´2
= 0 (−2t2 + t + 2t2 − 6t + 2)dt = − 32
´ Por green
´b
´2
∗ c M ax + N dy = a (M dx
+ N dy
)at = 0 [t(t2 − 2t + 1) − t3 ] + [t2 − (t2 −
dt
dt
2t + 1)](2t − 2)] dt
y = x2 + 2
´
σ
9.4.
F ds =
d = x2 + y 2 + z 2
y = −x2 + 2x + 1
= −(x2 − 2x + 1) + 2
y − 2 = −(x − 1)2
x − 1 = x,
x = x, + 1
σ(t) =< t + 1, −t2 + 2 >
´1
−1
(t + 1)(t2 + 2) + (t + 1)3 + [(t + 1)2 − (t3 + 2)](−2t)dt =
Teorema de Green
Se lo puede utilizar siempre que :
→
−
F = sea campo vectorial
c = region de integracion sea una curva cerrada
116
−10
3
Primera Forma de Green(En el plano)
sea
¸
´
˜
− dM
)dA
F.ds = M dx + N dy = R ( dN
dx
dy
Se aplicara Green según mas convenga en el ejercicio ya sea de
izquierda a derecha o de derecha a izquierda
9.4.1.
Ejercicios
¸ Sea el2 campo vectorial
F = −y dx + zdy + xdz
Y las superficies:Calcule la integral de linea
2x + 2y + z = 6
x=0
c:
y=0
z=0
Calcule la Integral de linea
x=t
c1 : y = 3 − t
z=0
r(c1 ) =< 1, −1, 0 >




x=0 

y=t
c2 :



z = 6 − 2t
´
Utilizando de linea
r(c2 ) =< 0, 1, −2 >
117
´3
´0
2
+ 0 + t)dt − 0 −t2 + (6 − 2t)
I = 3 (−(3 − t)

 y=0 

´6
x=t
c3 :
(6 − 2t)6 + (t)(−2)dt
0




z = 6 − 2t
r(3) =< 0, 1, −2 >
I = −9
rot F =
i
j
k
d
dx
2
d
dy
d
dz
=< −1, −1, 2y > N =< 2, 2, 1 >
z x
˜ y
˜
I = R (rot F.N )dA = r < 2, 2, 1 > . < 2, 2, 1 > dA
´ 3 ´ 3−x
I = 6 ( 6 −4 + 2y dy = −9
2.|1 − x| → 1 − x Si 1 − x ≥ 0
x≤1
−(1 − x) Si 1 − x < 0
x>1
¸
I = ´c F.dr
´
I = c (x2 + y 2 )dx + (x2 − y 2 )dy + c2 (x2 + y 2 )dx + (x2 − y 2 )dy
C1 : r1 (t) =< t, t >
r, (t, t) =< 1, 1 >
C2 : r2 (t) =< t, 2 − t >
r, (t, t) =< 1, −1 >
´1
´2
I = 0 2t2 dt + 1 t2 + (2 − t)2 + 1t2 − (2 − t)2 (−1)dt
I = 34
9.5.
Teorema de Stokes
En toda curva cerrada C se puede aplicar teorema de stokes de
modo que:
118
C
˜
P dx + Qdy + Rdz = S rotF • ndA
˜
rotF k Tu × Tv k dA
S
=
˜
S
v
k Tu × Tv k dA
rotF kTTuu ×T
×T k
v
=
9.5.1.
˜
S
rotF • ndA
Ejemplos
Ejercicio 1:
Dado F <y2 ,xy, xz>y S: x2 +y2 +z2 =1 con z ≥ 0 .
Solución
La superficie es :
Su proyección sobre el plano XY es :
Aplicando :
˜
P dx + Qdy + Rdz = S rotF • ndA
C
Obteniendo el rotacional de F:

i
j
k

 d
d
dy
d
dz


rot F=
dx
2
y
xy xz
rotF =< 0i − zj + yk >
Reemplazando el rotacional en :
119
˜
T
(0 − 2y − 2)dxdy
Haciendo un cambio de variable:
x=r cos(θ),y=sin(θ)
La integral final es:
´ 2π ´ 1
( 0 (−2 sin(θ) ∗ r2 )dr)dθ = 0
0
Ejercicio 2:
Dada C (xz)dx + (xy)dy + (y 2 )dz y C: z=4-x2 , y=3 .
120
La curva z=4-x2 es :
Encontramos la normal a la curva :
N=∇F =< −f(x) , −f(y) , 1 >
N=<2x,0,1>
Hallamos el rotacional de la función:

i
j
k

 d
d
dy
d
dz
2


rot F = 
dx
xz xy y
rotF =< 2y, x, y >
La integral final es:
´2 ´3
( 0 (4xy − y)dy)dx=9
0
Ejercicio 3:
DadoF (x, y, z) = (y + z)i + (x + z)j + (x + y)k
donde C es la curva de intersección del cilíndro x2 + y 2 = 2y y el
plano y-z=0.Demostrar que su rotacional es cero.
Hallamos la norma a la superficie:
121
N =< −f(x) , −f(y) , 1 >
N =< 0, −1, 1 >
Encontramos en rotacional:

rot F= 

i
j
k

d
dx
d
dy
d
dz


y+z x+z x+y
Concluimos que el rotacional es 0
rotF =< x − x, y − y, z − z >= 0
9.6.
Integrales de Superficie
f : R2 −→ R3
¨
¨
!
−→ φ(u, v)
f (T(u,v) ) k Tu × Tv k dA
F ds =
S
u
v
T
122
=
→
−
F =< P, Q, R >
˜ →
−
F • < −fx , −fy , 1 >
S
˜
S
< P, Q, R > • < −fx , −fy , 1 > dA
˜
= T < −P fx , −Qfy , R >
Una curva es suave cuando no tiene picos ni pliegues cuando el
vector T u × Tv es diferente de cero.
dx dy dz
, du , du ) Vectores tangentes elementales
T u = ( du
T v = ( dx
, dy , dz )
dv dv dv
El vector T u ×Tv se denomina vector producto elemental y representa un vector normal a la superficie en cualquier punto φ(u, v).
9.6.1.
Ejemplos
Ejercicio 1:
Demostrar que el cono z2 = x2 +y2 es suave en el origen.
φ(r, θ) =< r cos(θ), r sin(θ), r>
Hallamos Tu y Tv :
123
T u =< rcos(θ), rsin(θ), 1 >
T v =< −rsin(θ), rcos(θ), 0 >
Realizamos el producto cruz entre los vectores tangentes elementales:


i
j
k

cos(θ)
sen(θ)
1 
T u × Tv = 
= <0,0,0>
−rsin(θ) rcos(θ) 0
Observamos que el producto de vectores tangentes es cero por
lo que concluimos que la superficie no es suave en el origen.
Ejercicio 2:
Hallar una ecuacion del plano tangente a la superficie r(u, v) =
2ucos(v)i + 3uSin(v)j + u2 k en el punto (0,6,4)
→
−
→
−
→
−
−
→
ru=2Cos(v)
i + 3 Sin(v) j +2u k
→
−
→
−
→
−
→
−
rv =-2uSin(v) i +3uCos(v) j + 0 k
−
→
− →
−→
Igualamos el punto P en i , j k :
u2 = 4; u=2
4Cos(v)=0; v=
π
2
6Sen(v)=6 ; v= π2
Realizando el producto cruz entre los dos vectores obtenemos:
→
−
N =< 0, −16, 12 >
Sacando factor común:
→
−
N = 4 < 0, −4, 3 >
El plano tangente es:
πT =< 0, −4, 3 > • < x − 0, y − 6, z − 4 >
πT =⇒ 3z − 4y + 12 = 0
124
9.7.
Parametrización de algunas funciones
Para la esfera x2 + y 2 + z 2 = R2
R(u,v) =< RSin(u)CoS(v), RSin(u)Sin(v), RCos(u) >
con [0≤ u ≤ π ] y [0≤ v ≤ 2π]
x2
a2
Para el elipsoide:
+
y2
b2
+
z2
c2
=1
R(u,v) =< aSin(u)Cos(v), bSin(v)Sin(u), cCos(u) >
con [0≤ u ≤ 2π] y [0≤ v ≤ π]
Para la hipérbola de una hoja:
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
=1
R(u,v) =< aCosh(v)Cos(u), bCosh(v)Sin(u), cSinh(u)
con [0≤ u ≤ 2π] y vR.
Para el hiperboloide de dos hojas:
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= −1
R(u,v) =< aSinh(v)Cos(v), bSinh(v)Sin(u), cCosh(v) >
con [1≤ u ≤ 2π] y v] − ∞, ∞[
Para el paraboloide hiperbólico: z =
x2
a2
−
y2
b2
R(u,v) =< avCos(u), bvSin(u), v 2 Cos(2u) >
con [0≤ u ≤ 2π] y y[0,∞]
Para el cilindro elíptico recto:
x2
a2
+
y2
b2
=1
R(u,v) =< aCos(u), bSin(v), v >
con [0≤ u ≤ 2π] y v]-∞, ∞[
9.8.
˜
S
Integral de Superficie de un Campo Escalar
F (x, y, z)ds =
˜
T
→×→
−
F [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] k −
ru
rv k dudv
125
9.8.1.
Ejemplo
Dado x2 + y 2 + z 2 = R2 y x2 + y 2 = Rx .Hallar el área de la esfera
en S1.
La figura entre la esfera y el cilindro:
Parametrizamos con z=f(x,y);
Hallando la normal:
→
−
T u × Tv = N =< √
−x
, −√ 2y 2 2 , 1
R2 .x2 −y 2
R .x −y
Si f φ(u, v) = 1 hallamos el área de la superficie,
˜
A= T k Tu × Tv k ds
Finalmente la integral es:
´ π ´ RCos(θ)
A=R 0 ( 0
( √R2r−r2 )dr)dθ= -R2
126
>
9.9.
9.9.1.
Teorema de la divergencia
Segunda forma del teorema de Green
r(s) =< x(s), y(s) >
r0 (s) =< x0 (s), y 0 (s) >
N =< y 0 (s), x0 (s) >
C
F • N ds=
´b
a
< P, Q > • < y 0 (s), x0 (s) > ds
´b
− Q dx
)ds
= a (P dy
ds
ds
=
=
P dy − Qdx =
C
˜
( dp +
R dx
´b
dQ
)dA=
dy
a
→
− →
−
rot F • K
˜
R
→
−
div F dA
→
− →
−
= C F • N ds
9.9.2.
Ejemplo
Ejercicio 1:
Dada la curva Q. Hallar el flujo sobre la superficie.
127
x2 + y 2 = 4
Q:{ x+z =6
z=0
F =< x2 + Sin(t); xy + Cos(z), ey >
Hallamos el divergente de F:
divF =< 2x + x >
Reemplazando en la integral :
´ 2π ´ 2 ´ 6−rCos(θ) 2Cos(θ)
3 0 ( 0( 0
r
dz)dr)dθ
Integrando la expresión :
DivF dv= 3*-4π=-12π
C
Ejercicio 2:
Calcular el flujo del campo vectorial F(x,y,z)=<x,y,z>a través
de la superficie esférica x2 + y 2 + z 2 = 4.
Hallamos el divergente de F:
divF =< 3 >
Como utilizamos un cambio de variable esférico, utilizamos el
jacobiano r2 Sin(φ):
´ 2π ´ π ´ 2
3 0 ( 0 ( 0 r2 Sen(φ)dr)dφ)dθ
Resolviedno la expresión :
divF dv = 16(2π) = 32π
C
128