FUNDAMENTOS DE FÍSICA I 1 curso Grado en Ciencias Físicas er Curso 2019-20 Análisis Vectorial, Magnitudes Físicas y Unidades 1. Dados los vectores ~a = 5~ı + 2~ + 3~k, ~b = bx~ı + 2~ + bz~k y ~c = 3~ı + cy~ + ~k, determina bx , bz y cy para que los tres vectores sean perpendiculares. 2. Dos vectores, ~a y ~b, cumplen la condición: ~a + ~b = ~a − ~b Demuestra que ambos vectores son perpendiculares. 3. Dados dos vectores definidos por sus cosenos directores, hallar el ángulo θ que forman entre sí ambos vectores en función de dichos cosenos directores. 4. (*) Dado el vector ~r = cos ωt~ı + sin ωt ~: (a) Hallar d~r/dt. (b) Comprobar que |~r| es constante y que d~r/dt es perpendicular a ~r. 5. Dados dos vectores de componentes a = (1, 2, 3) y b = (3, 2, 1), encontrar un vector de módulo unidad que sea perpendicular a ambos. 6. Calcular el módulo, la dirección y las componentes de la resultante de un conjunto de fuerzas aplicadas en el origen de coordenadas de módulos 1200 N, 900 N, 300 N y 800 N y que forman ángulos con el eje positivo de las X de 0o , 30o , 120o y 240o , respectivamente. Todos los vectores involucrados están contenidos en el plano XY. 7. (*) Dada la función f (x, y, z) = 3xy −2z/x2 , calcular: i) las derivadas parciales respecto a cada variable; ii) el gradiente de la función en el punto (1, 2, 3). 8. (*) Deducir, por medio del análisis dimensional, una expresión que relacione la presión de un fluido con su densidad y la velocidad de movimiento del mismo. 9. (*) La ecuación que relaciona la distancia entre dos capas de un fluido, h, la velocidad, ~v , la sección, S, y la fuerza es: F~ = η(∆~v /∆h)S Calcula las dimensiones del coeficiente de viscosidad η. 10. (*) Comprueba que es dimensionalmente correcta la siguiente ecuación, propuesta para describir la velocidad de las ondas superficiales de longitud de onda λ en líquidos de densidad ρ y tensión superficial γ bajo la influencia de la gravedad. La tensión γ se mide en N/m en el S.I. de unidades. v2 = gλ 2πγ + 2π ρλ 11. Estima la densidad del Sol (M = 1.98 × 1030 kg, R = 6.96 × 108 m). Compárala con la densidad de la Tierra y la del agua (buscar datos). 12. (*) Para que el Universo deje de expansionarse y comience a contraerse es necesario que tenga una densidad crítica ρ = 6 × 10−27 kg/m3 . ¿A cuántos electrones por metro cúbico equivale esa densidad? ¿A cuántos protones? 13. ¿Cuánto tarda la luz en recorrer el núcleo atómico? Ídem un átomo, 30 cm, distancia Madrid-Nueva York y distancia Tierra-Sol. Análisis Vectorial, Magnitudes Físicas y Unidades 1 FUNDAMENTOS DE FÍSICA I 1 curso Grado en Ciencias Físicas er Curso 2019-20 14. (*) El radio de la onda expansiva de una explosión depende de la energía liberada, de la densidad del medio en que tiene lugar y del tiempo. Hallar por medio de análisis dimensional R = R(E, ρ, t). 15. En los sistemas de ultra-alto vacío de los laboratorios de investigación se pueden alcanzar presiones de 1.33 × 10−9 Pa. A esta presión y una temperatura de 20o C, ¿cuántas moléculas hay en 1 cm3 ? 16. Calcular los elementos diferenciales de superficie y de volumen en coordenadas cilíndricas y esféricas. 17. (*) Dada la expresión del vector posición de un cuerpo en coordenadas cilíndricas y esféricas, deduzca la expresión de la velocidad de dicha partícula en esas mismas coordenadas. 18. Basándose en el resultado del problema anterior, deduzca la expresión de la aceleración de una partícula en coordenadas cilíndricas y esféricas. 19. La densidad de la Tierra en un punto situado a una distancia r de su centro viene dada por la expresión: h i ρ = ρo 1 − 3r2 /4R2 siendo ρo = 10 g/cm3 y R = 6370 km. Cacular la masa de la Tierra. Análisis Vectorial, Magnitudes Físicas y Unidades 2
